4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. Lineární nerovnice a jejich soustavy"

Transkript

1 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší než je větší nebo rovno je menší nebo rovno Řešením nerovnice je v oboru reálných čísel interval, v oboru přirozených a celých čísel množina bodů. Interval nebo množinu bodů můžeme vyjádřit pomocí číselné osy a zapíšeme. Opakování : Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří do intervalu (plné kolečko) b) interval polouzavřený zleva číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b nepatří do intervalu (prázdné kolečko) c) interval polouzavřený zprava číslo a nepatří do intervalu (prázdné kolečko) číslo b patří do intervalu (plné kolečko)

2 d) otevřený interval číslo a nepatří do intervalu (prázdné kolečko) číslo b nepatří do intervalu (prázdné kolečko) e) krajní hodnotou intervalu může být i nekonečno a minus nekonečno, pak se jedná vždy o polouzavřený nebo otevřený interval. 4.. Lineární nerovnice > 40 lineární nerovnice Každou nerovnici lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z těchto tvarů : a + b > 0 a + b 0 a + b < 0 a + b 0, kde a i b reálné číslo. Ekvivalentní úpravy nerovnice : ) k oběma stranám nerovnice můžeme přičíst ( odečíst ) libovolné číslo, ) obě strany nerovnice můžeme násobit ( dělit ) kladným číslem, ) obě strany nerovnice můžeme násobit ( dělit ) záporným číslem, ale musíme změnit orientaci nerovnice na opačnou. Např. > na < nebo na. Pro výsledek je důležité v jakém číselném oboru řešíme danou nerovnici. Zopakujeme si číselné obory : obor přirozených čísel (,, 0,.. ) obor celých čísel (.. -0, -9, -, 0,,.0. ) obor racionálních čísel (. -,4. 0 0,5.... ) 0 4 obor racionálních čísel ( sjednocení množin racionálních čísel a iracionálních čísel ) obor kompleních čísel nebudeme na základní škole počítat. DOHODA : pokud v příkladě nebude určen číselný obor, ve kterém máme řešit nerovnici nebo soustavu nerovnic, tak tím oborem bude množina všech reálných čísel.

3 Výsledek řešení nerovnice můžeme uvádět : a) v algebraické podobě > 7 b) výčtem = ( ; 4; 5; 6 ) c) graficky 4.. Řešení lineárních nerovnic. Lineární nerovnice řešíme obdobným způsobem jako lineární rovnice. Příklad : Vyřešte lineární nerovnici < + 4 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel < + 4 < 4 + < 6 < a) řešením v oboru přirozených čísel je množina,, která je dvouprvková b) řešením v oboru celých čísel je množina ( - ;), která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; 0; ; c) řešením v oboru reálných čísel je množina,, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; 0; ;,7; ;, ( Technická poznámka : prázdné kolečko nad číslem by mělo totožné s počátkem šipky.)

4 Příklad : Vyřešte lineární nerovnici + 4 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel / Rozdíl proti předcházejícímu příkladu je pouze v tom, že zápis připouští také rovnost. / a) řešením v oboru přirozených čísel je množina ;;, která obsahuje tři prvky b) řešením v oboru celých čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; 0; ;, ale také c) řešením v oboru reálných čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; 0; ;,7; ;,7;,99, ale také Příklad : Vyřešte lineární nerovnici,5 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel,5 4,5 +,

5 a) v oboru přirozených čísel není žádné číslo, pro které platí, b) řešením v oboru celých čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; -; c) řešením v oboru reálných čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; -, ale také Příklad : Řešte nerovnice v oboru přirozených čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 Příklad : Řešte nerovnice v oboru celých čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 Příklad : Řešte nerovnice v oboru záporných reálných čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) f) 5,5 4 c) 5 + < 4 d) g), 4 e) 5, >,7 5

6 h) + 4 0,5 + ch) < Příklad 4 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy i) j) 4 < 5 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 Příklad 5 : Dokažte, že nerovnost ( a b ) < ( a b + ) -.( a b ) platí pro libovolná čísla a, b. Příklad 6 : Je možné, aby součet čísel a + b byl někdy menší než číslo a? Příklad 7 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) 5.( ).( 7 ) < b) ( ) <.( + ) + c) ( 4 ) + < ( 8 + ). ( 4 ) d) 8 < e) 5 < 6 f) 5. y. y. 4. y > 0 g). 7.. < 6 h) ( 4 ). ( + ) < ( 8 ). ( + ) ch) ( ) ( + ) > 5 i) ( 4 ).( 6 + ) + ( 5-9 ). ( + ) j) ( + ) ( 4 ) ( 5 ). ( + ) Příklad : Řešte nerovnici > 0 v intervalu < 0 ; 5 > 6. etapa určení podmínky řešitelnosti 6 Toto omezení je stejně mimo interval řešitelnosti.. etapa úprava nerovnice 6 6 > > 0 Zlomek je kladný, když čitatel i jmenovatel je kladný ( záporný ). 4 8 > 0 6 > < 0 6 < 0 4 > 8 6 > 4 < 8 6 < > 6 > < 6 < < < 6 prázdná množina. etapa závěrečná podmínka : Vzhledem k tomu, že nerovnici řešíme v intervalu < 0 ; 5 > a současně platí podmínka < < 6 je výsledným řešení množina X ( ; 5 >. 6

7 Příklad 8 : Řešte nerovnici 6 7 > 0 v intervalu < ; 7 >. 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 9 : Řešte nerovnici 5 < 0 v intervalu ( - ; 9 >. 4.. Soustava lineárních nerovnic s jednou neznámou. Řešit soustavu dvou nerovnic o jedné neznámé znamená určit množinu všech hodnot proměnné, pro které současně platí obě nerovnice. Množina všech řešení soustavy dvou nerovnic je průnik množiny všech řešení jedné nerovnice s množinou všech řešení druhé nerovnice. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : + > < + 6 Řešení : + > < + 6 > < 7 Tuto skutečnost můžeme zapsat jako < < 7 nebo ( ; 7 ) Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je otevřený interval s krajními body ; 7, které do množiny nepatří. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : Tuto skutečnost můžeme zapsat jako 5 nebo < ; 5 > Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je uzavřený interval s krajními body ; 5, které do množiny patří. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : + > + 6 Řešení : + > + 6 > 7 Tuto skutečnost můžeme zapsat jako < 7 nebo ( ; 7 > Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je polouzavřený interval s krajními body ; 7, přičemž nepatří do intervalu a 7 patří do intervalu. V některých učebnicích se můžete setkat s výrazem zleva (zdola) otevřený a zprava (shora) uzavřený. Příklad 0 : Vyřešte soustavu nerovnic : a) < > 8 0 b) + > < + c) + < + d) < e) 8 <.( 5) 5 + > 9.( ) f).( + 4 ) > 4 7.( ) <.( + 7 ) 9 5 g) < h) - < 4 + < 4 Příklad : Řešte soustavu nerovnic : - < 5 7

8 Tento zápis můžeme zapsat také takto : - < < < - 0,8-0,8 < < - 0,8 ; ) Opakujeme : Příklad : Pro jaké je výraz 5 7 a) kladný b) záporný c) roven nule d) výraz nemá smysl. a) Zlomek je kladný, jestliže čitatel i jmenovatel je buď kladný nebo oba jsou záporné. Protože jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být také kladný. Aby součin 5 byl kladný, musí být kladný. > 0 b) Zlomek je záporný, jestliže čitatel a jmenovatel má opačné znamínko. Protože jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být záporný. Aby součin 5 byl záporný, musí být záporný. < 0 c) Zlomek je záporný, jestliže čitatel je roven 0. Aby součin 5 byl roven nule, musí být alespoň jeden činitel roven 0. v našem případě tedy = 0. d) Aby zlomek neměl smysl je nutné, aby jmenovatel byl roven 0. To v našem případě není možné. Neboli neeistuje žádné, aby tento výraz neměl smysl. 9 Příklad: Pro jaké je výraz a) kladný b) záporný c) roven nuled) výraz nemá smysl. a) > 0 a současně 9 > 0 > 0 a současně > 9 > 9 nebo < 0 a současně 9 < 0 < 0 a současně < 9 < 9 b) > 0 a současně 9 < 0 > 0 a současně < 9 0 < < 9 nebo < 0 a současně 9 > 0 < 0 a současně > 9 neeistují žádné dané vlastnosti c) 9 = 0 = 9 d) = 0 Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 4 a) kladný b) záporný c) roven nule Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 a) kladný b) záporný c) roven nule 8

9 Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 a) kladný b) záporný c) roven nule 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 4 : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 9a 6 a a a) kladný b) záporný c) roven nule Příklad : V nádobě je 0 litrů vody o teplotě 0 C. Jakou teplotu musí mít 4 litrů vody, které přidáme nádoby, aby vzniklá voda měla teplotu minimálně 5 C a maimálně 60 C?. fáze : zápis v podobě tabulky množství teplota. voda voda 4 4. směs min směs ma fáze : sestavení nerovnice a její vyřešení. fáze : odpověď < < < < < < < < < < Voda, kterou budeme přilévat musí mít teplotu v rozmezí ( ; ). Příklad 5 : Kdyby traktorista zoral denně o dva hektary více, než plánoval, zoral by za 9 dní více než 84 hektarů. Kdyby zoral o hektar denně méně, než plánoval, zoral by za dní nejvíce 84 hektarů. Kolik hektarů má zorat podle plánu? 4.4. Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Příklad : Vyřešte nerovnici - 5 <. fáze : = 5, což se promítne do nerovnice takto : 5 5 < 5 < 7 dílčí výsledek 5 < 7. fáze 5 < 0-5 = - + 5, což se promítne do nerovnice takto : < < < 5 < dílčí výsledek < < 5. fáze Vzhledem k tomu, že platí < 0, tak i mezi dílčími výsledky 9

10 platí nebo 5 < 7 < < 5 < < 7 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 6 : Řešte tyto nerovnice : a) - 5 b) - < c) - < d) - 4 < e) -,5 < 0,5 f) Příklad 7 : Řešte soustavu nerovnic : a) < < b) < < 4 5 Příklad 8 : Určete všechna celá čísla, která jsou řešením nerovnic : a) 5 - < 8 b) 5 + < 7 c) 5 - d) - 4 Příklad : Řešte nerovnici > - +. fáze : Určíme nulové body lineárních dvojčlenů v absolutních hodnotách : + = 0 = - = 0 = 5 = 0 = 5. fáze : Tyto nulové body rozdělí množinu reálných čísel na čtyři disjunktní množiny. V tabulce určíme pro jednotlivé intervaly hodnoty absolutních hodnot. ( - ; - ) < - ; ) < ; 5 ) < 5 ; ) fáze : Řešíme danou nerovnici v jednotlivých intervalech. a) ( - ; - ) ( 5 ).( - ) > ( ) + ( - ; - ) > -,5 dílčí výsledek ( -,5 ; - ) b) < - ; ) ( 5 ).( + ) > ( ) + < - ; ) < -0,5 dílčí výsledek < - ; -0,5 ) c) < ; 5 ) ( 5 ).( + ) > ( - ) + < ; 5 ) <,5 dílčí výsledek d) < 5 ; ) ( 5 ).( + ) > ( - ) + < 5 ; ) < -,5 dílčí výsledek 4. fáze : Určení závěrečného výsledku : ( -,5 ; -0,5 ) Příklad 9 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) b) < 0 c) d) >. + e).( 4 ) f) < Lineární nerovnice se dvěma neznámými. 0

11 Příklad : Rozhodněte, zda-li uspořádané dvojice [ -5 ; ] [ - ; -5 ] jsou řešením nerovnice 5 + 0y > - 4 Uspořádané dvojice dosadíme do nerovnosti : 5.(-5) + 0. > -4 5.(-) + 0.(-5) > -4-5 > > -4 pravdivé tvrzení nepravdivé tvrzení dvojice je řešením dané nerovnice dvojice není řešením dané nerovnice Příklad 0 : Rozhodněte, které z uspořádaných dvojic [ ; - ], [ ; - ], [ ; 0 ], [ 4 ; 4 ], [ 0 ; ] jsou řešením nerovnice 4y + > 0. Lineární nerovnici se dvěma neznámými řešíme graficky. Grafem každé nerovnice se dvěma neznámými, která také neobsahuje rovnost, je polorovina bez hraniční přímky. Grafem každé nerovnice se dvěma neznámými, která obsahuje také rovnost, je polorovina s hraniční přímkou. Příklad : Graficky vyřešte nerovnici - + y + > 0. etapa : vyjádříme y y > -. etapa : narýsujeme graf y =. etapa : do nerovnice dosadíme souřadnice libovolného bodu, např. [ 0 ; 0 ]. Dostaneme-li pravdivou nerovnost, pak grafem je polorovina, která obsahuje souřadnice onoho bodu. Dostaneme-li nepravdivou nerovnost, pak grafem je polorovina, která neobsahuje souřadnice onoho bodu. 0 >.0 Jedná se o pravdivou nerovnost a proto grafem nerovnice y > - je polorovina, která obsahuje bod [ 0 ; 0 ] - na obrázku je vyšrafována. Protože se jedná o ostrou nerovnost, do výsledku nepatří hraniční polopřímka. Příklad : Graficky vyřešte nerovnice : a) + y > 0 b) 5 + y c) 5 y + 0 d) y < - e) + y Grafické řešení soustavy dvou lineárních nerovnic

12 Graficky řešíme soustavu dvou nerovnic se dvěma neznámými tak, že postupně graficky znázorníme řešení obou nerovnic. Řešením soustavy nerovnic je průnik množin, které jsou řešením jednotlivých nerovností. Příklad : Graficky vyřešte soustavu nerovnic + < y + y >.fáze : graficky vyřešíme první nerovnici. fáze : graficky vyřešíme druhou nerovnici

13 . fáze : řešením soustavy nerovnic je průnik množin řešení první a druhé nerovnice. Příklad : Graficky vyřešte soustavy nerovnic : a) + y 4 b) + y 6 + y 6 y Příklad : Graficky vyřešte soustavy nerovnic : a) y 6 0 y b) + y y y 0 Souhrnná cvičení ) Řešte nerovnice v oboru přirozených čísel : a) 7 <,5 + 6 b).( + ) > ) Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) ( + ). ( 7 ) > ( ) b) ( 5 ). ( + 5 ) > ( ). ( + ) c) - 7 < 4 5 d) 5 > 5 c) + ( + ) d) ( ). ( + ) ( + ) ) Řešte nerovnici 7 > 0 v intervalu -5 < 4. 4) Řešte soustavu nerovnic : a).( + 5 ) > < 0,75 b). ( 4 ) > 5.( 4 ) + 5 0,5.( 7 ) < 0,.( + 4 ) 4 c) 5. >.. 6 < 0,5.( ) d) 5 4 < 0,5.( + ) > 5 5 7

14 e) 0,7-0, > 5 0 0, + 0,5 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5) Vyřešte v množině přirozených čísel : a) 6 > 0 b) < 0 6) Vyřešte soustavu nerovnic 5.( ) 0,5.( 6) 7 < 0 a) v intervalu ( - ; ) b) v intervalu ( ; 5 ) c) v intervalu ( ; ) 7) Určete pro jaké nabývá výraz 7 8) Určete pro jaké nabývá výraz a) kladné hodnoty, b) záporné hodnoty, c) nulu. a) kladné hodnoty, b) záporné hodnoty, c) nulu. 9 ) Řešte nerovnice : a) - 4 b) - c) < d) < 4 e) < - 0) Určete všechna celá čísla, která jsou řešením soustavy nerovnic : a) + 0 > < b) 0,5 4 4 ) Určete největší záporné číslo, které je řešením soustavy nerovnic : + 5 < ) Řešte nerovnice : a). 7 > 0 b). 4 5 < 0 ) Vyřešte nerovnici 4 4) Řešte nerovnici > 0 5) Řešte nerovnici : a) - < b) c) > 5 d) e) 5 - > - 5 f) > 0 6) Graficky vyřešte nerovnice : a) > y + b) y 5 - c) + y + 4 > 0 d) y 0 e) + - y + < 0 4

15 7) Graficky řešte soustavu nerovnic : a) + y y b) + y 0 5 y + < 0 Výsledky : a) ;;, b) množina všech při přirozených čísel, c) nemá řešení, d) množina všech při přirozených čísel, e) nemá řešení, f), g) ;, h) nemá řešení, ch) nemá řešení, i) 7;8;9;...;, a), ;... ; ;0;;;, b) 7, 6; 5;...0;;... d) všechna celá čísla, e) ;...;, f) ;...; 6; 5;,, c) nemá řešení, g) ;...; ; ;0;, h) ;...; ;0;;, ch) ;... 7; 6, i) ;... ;, j) 7;8;9;0;..., a) <0, b) -8 < < 0, c) nemá řešení, d) nemá řešení, e) - 4, f) < 0, g) < 0, h) < -5, ch) - 6 i) nemá řešení, 4 4 a) < 5 7, b) > -8, c) nemá řešení, d) > 0,5, e) - 4, f), g),4, 8 8 h) < -5,75, ch) - 6, i) > 6, 5) 0 <, 6) ano pro b < 0, 7 a) > -,5, b) > 0,75, c) < -0,, d) 4 < 0, e) - 7 5, f) < y, g) <, h) < -, ch) < 0, i) nekonečně mnoho řešení, j) -0,5, 8),5 < 7, 9) - < < 7 < 9, 0 a) - < < 9, b) < - 0,5, c) - <, d) -,5-0,5, e) >, f) <, g),7 < < 6, h),4 < < 4,5, a) < 0 nebo > 4, b) 0 < < 4, c) = 0, d) = 4, a) < nebo > 5, b) < < 5, c) = 5, d) =, a) > -,5 0, b) < -,5, c) = 0, d) = -,5, 4 a) a < - nebo a >, b) - < a <, c) a =, d) a = -, 5) Výkon za jeden den si zvolíme za neznámou. 9.(+) 84 >.(-) 7 < 8, 6 a) 8, b) < <, c) 0 < <, d) < <, e) 0,5, f) - 9 nebo -, 7 a ) - < - nebo < < 5, b) -6 < < - nebo 4 < < 7, 8 a) ;0;, b) ;0, c), d) 0;, 5

16 9 a) -0,5, b) < - nebo > -, c) 5 5 6, d) 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 7 < < e), f) -,5 < < 6,5, 0) dvojice [ ; - ], [ ; - ], [ ; 0 ], [ 4 ; 4 ], a) b) c) d) 6

17 e) ) Poznámka : výsledek b je špatně. Souhrnná cvičení a) { ; ; ; 4}, b) všechna přirozená čísla, c) { ; ; ; }, d) žádné přirozené číslo, a) > 5, b) < -, c) 0, d) všechna reálná čísla, ) ( -5 < -,5 ) ( < < 4 ) 4 a) < 4, b) > 9, c) nemá řešení, d) nemá řešení, e) -0, 5 a) všechna přirozená čísla, b), 6 a) nemá řešení, b) < 5, c), 7

18 7 a),5 < <, b) <,5 nebo >, c) =,5, 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 8 a) < -,5 nebo > 0,5, b) -,5 < < 0,5, c) = 0,5, 9 a) 7, b) všechna reálná čísla, c) - < <, d) -4 < < 4, e) nemá řešení, 0 a) { ; ; 4}, b) { -; 0; ; ; ; }, ) -8, a) - < < nebo > 7, b) < -5 nebo - < < 4, ) -, 4 ) < - nebo > -, 5 a) - < < 4, b) < -9 nebo -, c) < 5, d) 9 nebo 5, e) nemá řešení, f) < - 7 nebo >, 6 a ) b) c) d) 8

19 e) pro < - y > - + pro y > a) 7 b) 9

20 0 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 13

Kód uchazeče ID:... Varianta: 13 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 13 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 20 % lednové mzdy. Následně

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 12 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 10 % prosincové mzdy. Následně

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi: Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. @001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Teorie množin. kapitola 2

Teorie množin. kapitola 2 Teorie množin kapitola 2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem. Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x 9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými

2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými .3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými Předpoklady: 308 Př. 1: Najdi všechna řešení nerovnice 6x + 1 10. Zkusíme jako u rovnice. 6x + 1 10 3y 9 6x 9 6x y = 3 x 3 Jak zapsat množinu všech řešení? K

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Kapka kapaliny na hladině kapaliny

Kapka kapaliny na hladině kapaliny JEVY NA ROZHRANÍ TŘÍ PROSTŘEDÍ Kapka kapaliny na hladině kapaliny Na hladinu (viz obr. 11) kapaliny (1), nad níž je plynné prostředí (3), kápneme kapku jiné kapaliny (2). Vzniklé tři povrchové vrstvy (kapalina

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

Pan Novák si vždy kupuje boty o velikosti 8,5 a každý den stráví

Pan Novák si vždy kupuje boty o velikosti 8,5 a každý den stráví Číselné obory Seznamte se s jistým panem Novákem z Prahy. Je mu 48 let, má 2 děti a bydlí v domě s číslem popisným 157. Vidíte, že základní informace o panu Novákovi můžeme sdělit pomocí několika čísel,

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

Variace. Lineární rovnice

Variace. Lineární rovnice Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je

Více

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon

Více

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu... Písemný test MA010 Grafy: 11.1. 2007, var A... 1). Dány jsou následující tři grafy na 8 vrcholech každý. 1 A B C Vašim úkolem je mezi nimi najít všechny isomorfní dvojice. Pro každou isomorfní dvojici

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce) MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 206 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 2 Příklad. (3b) Binární operace je definovaná jako a b = a+b a b. Určete hodnotu

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář. / 9 GONIOMETRIE ) Doplň tabulk hodnot: α ( ) 0 0 5 60 90 0 5 50 80 α (ra sin α cos α tg α cotg α α ( ) 0 5 0 70 00 5 0 60 α (ra sin α cos α tg α cotg α ) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Otázky z kapitoly Základní poznatky

Otázky z kapitoly Základní poznatky Otázky z kapitoly Základní poznatky 4. ledna 2016 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 2 Mnohočleny a lomené výrazy (88 otázek) 1 2.1 Obtížnost 2 (78 otázek)....................................... 1

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Očekávané výstupy z RVP ZV Ročníkové výstupy Učivo Průřezová témata a přesahy Číslo a početní operace využívá při

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx Název školy: SPŠ Ústí nad Labem, středisko Resslova Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.10.1036 Klíčová aktivita: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Digitální učební materiály Autor:

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně egistrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady: .. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1 2a) Desetinná čísla celá část desetinná část příklady k procvičení 1. Zapište číslo a) 5 celých 4 desetin, 8 setin b) 8 set 4 desítky 7 jednotek 1 desetina 8 tisícin c) 2 miliony 8 tisíc 9 tisícin. 2.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

5. Na množině R řeš rovnici: 5 x 2 2 x Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 3 5

5. Na množině R řeš rovnici: 5 x 2 2 x Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 3 5 I 16 VADRO (váha 80) E 1. Na obrázku vpravo je graf funkce g dané předpisem: y = a + b + c. Urči koeficienty a, b, c.. Zapiš definiční obor a obor hodnot funkce f na obrázku vpravo. f: y = 0,5 4 + 3. Na

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Variace. Kvadratická funkce

Variace. Kvadratická funkce Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206 ..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou 0009. Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět: Období ročník: Učební texty: Matematika 2. období 5. ročník R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (2. díl) (Alter) R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (3. díl) (Alter) J. Jurtová:

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více