4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4. Lineární nerovnice a jejich soustavy"

Transkript

1 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší než je větší nebo rovno je menší nebo rovno Řešením nerovnice je v oboru reálných čísel interval, v oboru přirozených a celých čísel množina bodů. Interval nebo množinu bodů můžeme vyjádřit pomocí číselné osy a zapíšeme. Opakování : Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří do intervalu (plné kolečko) b) interval polouzavřený zleva číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b nepatří do intervalu (prázdné kolečko) c) interval polouzavřený zprava číslo a nepatří do intervalu (prázdné kolečko) číslo b patří do intervalu (plné kolečko)

2 d) otevřený interval číslo a nepatří do intervalu (prázdné kolečko) číslo b nepatří do intervalu (prázdné kolečko) e) krajní hodnotou intervalu může být i nekonečno a minus nekonečno, pak se jedná vždy o polouzavřený nebo otevřený interval. 4.. Lineární nerovnice > 40 lineární nerovnice Každou nerovnici lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z těchto tvarů : a + b > 0 a + b 0 a + b < 0 a + b 0, kde a i b reálné číslo. Ekvivalentní úpravy nerovnice : ) k oběma stranám nerovnice můžeme přičíst ( odečíst ) libovolné číslo, ) obě strany nerovnice můžeme násobit ( dělit ) kladným číslem, ) obě strany nerovnice můžeme násobit ( dělit ) záporným číslem, ale musíme změnit orientaci nerovnice na opačnou. Např. > na < nebo na. Pro výsledek je důležité v jakém číselném oboru řešíme danou nerovnici. Zopakujeme si číselné obory : obor přirozených čísel (,, 0,.. ) obor celých čísel (.. -0, -9, -, 0,,.0. ) obor racionálních čísel (. -,4. 0 0,5.... ) 0 4 obor racionálních čísel ( sjednocení množin racionálních čísel a iracionálních čísel ) obor kompleních čísel nebudeme na základní škole počítat. DOHODA : pokud v příkladě nebude určen číselný obor, ve kterém máme řešit nerovnici nebo soustavu nerovnic, tak tím oborem bude množina všech reálných čísel.

3 Výsledek řešení nerovnice můžeme uvádět : a) v algebraické podobě > 7 b) výčtem = ( ; 4; 5; 6 ) c) graficky 4.. Řešení lineárních nerovnic. Lineární nerovnice řešíme obdobným způsobem jako lineární rovnice. Příklad : Vyřešte lineární nerovnici < + 4 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel < + 4 < 4 + < 6 < a) řešením v oboru přirozených čísel je množina,, která je dvouprvková b) řešením v oboru celých čísel je množina ( - ;), která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; 0; ; c) řešením v oboru reálných čísel je množina,, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; 0; ;,7; ;, ( Technická poznámka : prázdné kolečko nad číslem by mělo totožné s počátkem šipky.)

4 Příklad : Vyřešte lineární nerovnici + 4 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel / Rozdíl proti předcházejícímu příkladu je pouze v tom, že zápis připouští také rovnost. / a) řešením v oboru přirozených čísel je množina ;;, která obsahuje tři prvky b) řešením v oboru celých čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; 0; ;, ale také c) řešením v oboru reálných čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; 0; ;,7; ;,7;,99, ale také Příklad : Vyřešte lineární nerovnici,5 v oboru a) přirozených čísel b) v obru celých čísel c) v oboru reálných čísel,5 4,5 +,

5 a) v oboru přirozených čísel není žádné číslo, pro které platí, b) řešením v oboru celých čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -; -; c) řešením v oboru reálných čísel je množina ( ; >, která obsahuje nekonečně mnoho prvků, mimo jiné čísla -4; -,5; - ; -; -, ale také Příklad : Řešte nerovnice v oboru přirozených čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 Příklad : Řešte nerovnice v oboru celých čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 Příklad : Řešte nerovnice v oboru záporných reálných čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) f) 5,5 4 c) 5 + < 4 d) g), 4 e) 5, >,7 5

6 h) + 4 0,5 + ch) < Příklad 4 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) < 70 0 b) 4 8 < ( 4 ) c) 5 + < 4 d) e) 5, >,7 f) 5,5 4 g), 4 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy i) j) 4 < 5 h) + 4 0,5 + ch) < i) j) 4 < 5 Příklad 5 : Dokažte, že nerovnost ( a b ) < ( a b + ) -.( a b ) platí pro libovolná čísla a, b. Příklad 6 : Je možné, aby součet čísel a + b byl někdy menší než číslo a? Příklad 7 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) 5.( ).( 7 ) < b) ( ) <.( + ) + c) ( 4 ) + < ( 8 + ). ( 4 ) d) 8 < e) 5 < 6 f) 5. y. y. 4. y > 0 g). 7.. < 6 h) ( 4 ). ( + ) < ( 8 ). ( + ) ch) ( ) ( + ) > 5 i) ( 4 ).( 6 + ) + ( 5-9 ). ( + ) j) ( + ) ( 4 ) ( 5 ). ( + ) Příklad : Řešte nerovnici > 0 v intervalu < 0 ; 5 > 6. etapa určení podmínky řešitelnosti 6 Toto omezení je stejně mimo interval řešitelnosti.. etapa úprava nerovnice 6 6 > > 0 Zlomek je kladný, když čitatel i jmenovatel je kladný ( záporný ). 4 8 > 0 6 > < 0 6 < 0 4 > 8 6 > 4 < 8 6 < > 6 > < 6 < < < 6 prázdná množina. etapa závěrečná podmínka : Vzhledem k tomu, že nerovnici řešíme v intervalu < 0 ; 5 > a současně platí podmínka < < 6 je výsledným řešení množina X ( ; 5 >. 6

7 Příklad 8 : Řešte nerovnici 6 7 > 0 v intervalu < ; 7 >. 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 9 : Řešte nerovnici 5 < 0 v intervalu ( - ; 9 >. 4.. Soustava lineárních nerovnic s jednou neznámou. Řešit soustavu dvou nerovnic o jedné neznámé znamená určit množinu všech hodnot proměnné, pro které současně platí obě nerovnice. Množina všech řešení soustavy dvou nerovnic je průnik množiny všech řešení jedné nerovnice s množinou všech řešení druhé nerovnice. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : + > < + 6 Řešení : + > < + 6 > < 7 Tuto skutečnost můžeme zapsat jako < < 7 nebo ( ; 7 ) Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je otevřený interval s krajními body ; 7, které do množiny nepatří. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : Tuto skutečnost můžeme zapsat jako 5 nebo < ; 5 > Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je uzavřený interval s krajními body ; 5, které do množiny patří. Příklad : Vyřešte soustavu nerovnic : + > + 6 Řešení : + > + 6 > 7 Tuto skutečnost můžeme zapsat jako < 7 nebo ( ; 7 > Množina všech reálných čísel, které vyhovuje této podmínce je polouzavřený interval s krajními body ; 7, přičemž nepatří do intervalu a 7 patří do intervalu. V některých učebnicích se můžete setkat s výrazem zleva (zdola) otevřený a zprava (shora) uzavřený. Příklad 0 : Vyřešte soustavu nerovnic : a) < > 8 0 b) + > < + c) + < + d) < e) 8 <.( 5) 5 + > 9.( ) f).( + 4 ) > 4 7.( ) <.( + 7 ) 9 5 g) < h) - < 4 + < 4 Příklad : Řešte soustavu nerovnic : - < 5 7

8 Tento zápis můžeme zapsat také takto : - < < < - 0,8-0,8 < < - 0,8 ; ) Opakujeme : Příklad : Pro jaké je výraz 5 7 a) kladný b) záporný c) roven nule d) výraz nemá smysl. a) Zlomek je kladný, jestliže čitatel i jmenovatel je buď kladný nebo oba jsou záporné. Protože jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být také kladný. Aby součin 5 byl kladný, musí být kladný. > 0 b) Zlomek je záporný, jestliže čitatel a jmenovatel má opačné znamínko. Protože jmenovatel je kladný, tak čitatel musí být záporný. Aby součin 5 byl záporný, musí být záporný. < 0 c) Zlomek je záporný, jestliže čitatel je roven 0. Aby součin 5 byl roven nule, musí být alespoň jeden činitel roven 0. v našem případě tedy = 0. d) Aby zlomek neměl smysl je nutné, aby jmenovatel byl roven 0. To v našem případě není možné. Neboli neeistuje žádné, aby tento výraz neměl smysl. 9 Příklad: Pro jaké je výraz a) kladný b) záporný c) roven nuled) výraz nemá smysl. a) > 0 a současně 9 > 0 > 0 a současně > 9 > 9 nebo < 0 a současně 9 < 0 < 0 a současně < 9 < 9 b) > 0 a současně 9 < 0 > 0 a současně < 9 0 < < 9 nebo < 0 a současně 9 > 0 < 0 a současně > 9 neeistují žádné dané vlastnosti c) 9 = 0 = 9 d) = 0 Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 4 a) kladný b) záporný c) roven nule Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 a) kladný b) záporný c) roven nule 8

9 Příklad : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 5 a) kladný b) záporný c) roven nule 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 4 : Pro jaké je výraz d) výraz nemá smysl. 9a 6 a a a) kladný b) záporný c) roven nule Příklad : V nádobě je 0 litrů vody o teplotě 0 C. Jakou teplotu musí mít 4 litrů vody, které přidáme nádoby, aby vzniklá voda měla teplotu minimálně 5 C a maimálně 60 C?. fáze : zápis v podobě tabulky množství teplota. voda voda 4 4. směs min směs ma fáze : sestavení nerovnice a její vyřešení. fáze : odpověď < < < < < < < < < < Voda, kterou budeme přilévat musí mít teplotu v rozmezí ( ; ). Příklad 5 : Kdyby traktorista zoral denně o dva hektary více, než plánoval, zoral by za 9 dní více než 84 hektarů. Kdyby zoral o hektar denně méně, než plánoval, zoral by za dní nejvíce 84 hektarů. Kolik hektarů má zorat podle plánu? 4.4. Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Příklad : Vyřešte nerovnici - 5 <. fáze : = 5, což se promítne do nerovnice takto : 5 5 < 5 < 7 dílčí výsledek 5 < 7. fáze 5 < 0-5 = - + 5, což se promítne do nerovnice takto : < < < 5 < dílčí výsledek < < 5. fáze Vzhledem k tomu, že platí < 0, tak i mezi dílčími výsledky 9

10 platí nebo 5 < 7 < < 5 < < 7 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy Příklad 6 : Řešte tyto nerovnice : a) - 5 b) - < c) - < d) - 4 < e) -,5 < 0,5 f) Příklad 7 : Řešte soustavu nerovnic : a) < < b) < < 4 5 Příklad 8 : Určete všechna celá čísla, která jsou řešením nerovnic : a) 5 - < 8 b) 5 + < 7 c) 5 - d) - 4 Příklad : Řešte nerovnici > - +. fáze : Určíme nulové body lineárních dvojčlenů v absolutních hodnotách : + = 0 = - = 0 = 5 = 0 = 5. fáze : Tyto nulové body rozdělí množinu reálných čísel na čtyři disjunktní množiny. V tabulce určíme pro jednotlivé intervaly hodnoty absolutních hodnot. ( - ; - ) < - ; ) < ; 5 ) < 5 ; ) fáze : Řešíme danou nerovnici v jednotlivých intervalech. a) ( - ; - ) ( 5 ).( - ) > ( ) + ( - ; - ) > -,5 dílčí výsledek ( -,5 ; - ) b) < - ; ) ( 5 ).( + ) > ( ) + < - ; ) < -0,5 dílčí výsledek < - ; -0,5 ) c) < ; 5 ) ( 5 ).( + ) > ( - ) + < ; 5 ) <,5 dílčí výsledek d) < 5 ; ) ( 5 ).( + ) > ( - ) + < 5 ; ) < -,5 dílčí výsledek 4. fáze : Určení závěrečného výsledku : ( -,5 ; -0,5 ) Příklad 9 : Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) b) < 0 c) d) >. + e).( 4 ) f) < Lineární nerovnice se dvěma neznámými. 0

11 Příklad : Rozhodněte, zda-li uspořádané dvojice [ -5 ; ] [ - ; -5 ] jsou řešením nerovnice 5 + 0y > - 4 Uspořádané dvojice dosadíme do nerovnosti : 5.(-5) + 0. > -4 5.(-) + 0.(-5) > -4-5 > > -4 pravdivé tvrzení nepravdivé tvrzení dvojice je řešením dané nerovnice dvojice není řešením dané nerovnice Příklad 0 : Rozhodněte, které z uspořádaných dvojic [ ; - ], [ ; - ], [ ; 0 ], [ 4 ; 4 ], [ 0 ; ] jsou řešením nerovnice 4y + > 0. Lineární nerovnici se dvěma neznámými řešíme graficky. Grafem každé nerovnice se dvěma neznámými, která také neobsahuje rovnost, je polorovina bez hraniční přímky. Grafem každé nerovnice se dvěma neznámými, která obsahuje také rovnost, je polorovina s hraniční přímkou. Příklad : Graficky vyřešte nerovnici - + y + > 0. etapa : vyjádříme y y > -. etapa : narýsujeme graf y =. etapa : do nerovnice dosadíme souřadnice libovolného bodu, např. [ 0 ; 0 ]. Dostaneme-li pravdivou nerovnost, pak grafem je polorovina, která obsahuje souřadnice onoho bodu. Dostaneme-li nepravdivou nerovnost, pak grafem je polorovina, která neobsahuje souřadnice onoho bodu. 0 >.0 Jedná se o pravdivou nerovnost a proto grafem nerovnice y > - je polorovina, která obsahuje bod [ 0 ; 0 ] - na obrázku je vyšrafována. Protože se jedná o ostrou nerovnost, do výsledku nepatří hraniční polopřímka. Příklad : Graficky vyřešte nerovnice : a) + y > 0 b) 5 + y c) 5 y + 0 d) y < - e) + y Grafické řešení soustavy dvou lineárních nerovnic

12 Graficky řešíme soustavu dvou nerovnic se dvěma neznámými tak, že postupně graficky znázorníme řešení obou nerovnic. Řešením soustavy nerovnic je průnik množin, které jsou řešením jednotlivých nerovností. Příklad : Graficky vyřešte soustavu nerovnic + < y + y >.fáze : graficky vyřešíme první nerovnici. fáze : graficky vyřešíme druhou nerovnici

13 . fáze : řešením soustavy nerovnic je průnik množin řešení první a druhé nerovnice. Příklad : Graficky vyřešte soustavy nerovnic : a) + y 4 b) + y 6 + y 6 y Příklad : Graficky vyřešte soustavy nerovnic : a) y 6 0 y b) + y y y 0 Souhrnná cvičení ) Řešte nerovnice v oboru přirozených čísel : a) 7 <,5 + 6 b).( + ) > ) Řešte nerovnice v oboru reálných čísel : a) ( + ). ( 7 ) > ( ) b) ( 5 ). ( + 5 ) > ( ). ( + ) c) - 7 < 4 5 d) 5 > 5 c) + ( + ) d) ( ). ( + ) ( + ) ) Řešte nerovnici 7 > 0 v intervalu -5 < 4. 4) Řešte soustavu nerovnic : a).( + 5 ) > < 0,75 b). ( 4 ) > 5.( 4 ) + 5 0,5.( 7 ) < 0,.( + 4 ) 4 c) 5. >.. 6 < 0,5.( ) d) 5 4 < 0,5.( + ) > 5 5 7

14 e) 0,7-0, > 5 0 0, + 0,5 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5) Vyřešte v množině přirozených čísel : a) 6 > 0 b) < 0 6) Vyřešte soustavu nerovnic 5.( ) 0,5.( 6) 7 < 0 a) v intervalu ( - ; ) b) v intervalu ( ; 5 ) c) v intervalu ( ; ) 7) Určete pro jaké nabývá výraz 7 8) Určete pro jaké nabývá výraz a) kladné hodnoty, b) záporné hodnoty, c) nulu. a) kladné hodnoty, b) záporné hodnoty, c) nulu. 9 ) Řešte nerovnice : a) - 4 b) - c) < d) < 4 e) < - 0) Určete všechna celá čísla, která jsou řešením soustavy nerovnic : a) + 0 > < b) 0,5 4 4 ) Určete největší záporné číslo, které je řešením soustavy nerovnic : + 5 < ) Řešte nerovnice : a). 7 > 0 b). 4 5 < 0 ) Vyřešte nerovnici 4 4) Řešte nerovnici > 0 5) Řešte nerovnici : a) - < b) c) > 5 d) e) 5 - > - 5 f) > 0 6) Graficky vyřešte nerovnice : a) > y + b) y 5 - c) + y + 4 > 0 d) y 0 e) + - y + < 0 4

15 7) Graficky řešte soustavu nerovnic : a) + y y b) + y 0 5 y + < 0 Výsledky : a) ;;, b) množina všech při přirozených čísel, c) nemá řešení, d) množina všech při přirozených čísel, e) nemá řešení, f), g) ;, h) nemá řešení, ch) nemá řešení, i) 7;8;9;...;, a), ;... ; ;0;;;, b) 7, 6; 5;...0;;... d) všechna celá čísla, e) ;...;, f) ;...; 6; 5;,, c) nemá řešení, g) ;...; ; ;0;, h) ;...; ;0;;, ch) ;... 7; 6, i) ;... ;, j) 7;8;9;0;..., a) <0, b) -8 < < 0, c) nemá řešení, d) nemá řešení, e) - 4, f) < 0, g) < 0, h) < -5, ch) - 6 i) nemá řešení, 4 4 a) < 5 7, b) > -8, c) nemá řešení, d) > 0,5, e) - 4, f), g),4, 8 8 h) < -5,75, ch) - 6, i) > 6, 5) 0 <, 6) ano pro b < 0, 7 a) > -,5, b) > 0,75, c) < -0,, d) 4 < 0, e) - 7 5, f) < y, g) <, h) < -, ch) < 0, i) nekonečně mnoho řešení, j) -0,5, 8),5 < 7, 9) - < < 7 < 9, 0 a) - < < 9, b) < - 0,5, c) - <, d) -,5-0,5, e) >, f) <, g),7 < < 6, h),4 < < 4,5, a) < 0 nebo > 4, b) 0 < < 4, c) = 0, d) = 4, a) < nebo > 5, b) < < 5, c) = 5, d) =, a) > -,5 0, b) < -,5, c) = 0, d) = -,5, 4 a) a < - nebo a >, b) - < a <, c) a =, d) a = -, 5) Výkon za jeden den si zvolíme za neznámou. 9.(+) 84 >.(-) 7 < 8, 6 a) 8, b) < <, c) 0 < <, d) < <, e) 0,5, f) - 9 nebo -, 7 a ) - < - nebo < < 5, b) -6 < < - nebo 4 < < 7, 8 a) ;0;, b) ;0, c), d) 0;, 5

16 9 a) -0,5, b) < - nebo > -, c) 5 5 6, d) 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 7 < < e), f) -,5 < < 6,5, 0) dvojice [ ; - ], [ ; - ], [ ; 0 ], [ 4 ; 4 ], a) b) c) d) 6

17 e) ) Poznámka : výsledek b je špatně. Souhrnná cvičení a) { ; ; ; 4}, b) všechna přirozená čísla, c) { ; ; ; }, d) žádné přirozené číslo, a) > 5, b) < -, c) 0, d) všechna reálná čísla, ) ( -5 < -,5 ) ( < < 4 ) 4 a) < 4, b) > 9, c) nemá řešení, d) nemá řešení, e) -0, 5 a) všechna přirozená čísla, b), 6 a) nemá řešení, b) < 5, c), 7

18 7 a),5 < <, b) <,5 nebo >, c) =,5, 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 8 a) < -,5 nebo > 0,5, b) -,5 < < 0,5, c) = 0,5, 9 a) 7, b) všechna reálná čísla, c) - < <, d) -4 < < 4, e) nemá řešení, 0 a) { ; ; 4}, b) { -; 0; ; ; ; }, ) -8, a) - < < nebo > 7, b) < -5 nebo - < < 4, ) -, 4 ) < - nebo > -, 5 a) - < < 4, b) < -9 nebo -, c) < 5, d) 9 nebo 5, e) nemá řešení, f) < - 7 nebo >, 6 a ) b) c) d) 8

19 e) pro < - y > - + pro y > a) 7 b) 9

20 0 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 12 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 10 % prosincové mzdy. Následně

Více

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi: Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. @001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Teorie množin. kapitola 2

Teorie množin. kapitola 2 Teorie množin kapitola 2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Kapka kapaliny na hladině kapaliny

Kapka kapaliny na hladině kapaliny JEVY NA ROZHRANÍ TŘÍ PROSTŘEDÍ Kapka kapaliny na hladině kapaliny Na hladinu (viz obr. 11) kapaliny (1), nad níž je plynné prostředí (3), kápneme kapku jiné kapaliny (2). Vzniklé tři povrchové vrstvy (kapalina

Více

Pan Novák si vždy kupuje boty o velikosti 8,5 a každý den stráví

Pan Novák si vždy kupuje boty o velikosti 8,5 a každý den stráví Číselné obory Seznamte se s jistým panem Novákem z Prahy. Je mu 48 let, má 2 děti a bydlí v domě s číslem popisným 157. Vidíte, že základní informace o panu Novákovi můžeme sdělit pomocí několika čísel,

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony

Kirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon

Více

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu... Písemný test MA010 Grafy: 11.1. 2007, var A... 1). Dány jsou následující tři grafy na 8 vrcholech každý. 1 A B C Vašim úkolem je mezi nimi najít všechny isomorfní dvojice. Pro každou isomorfní dvojici

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce) MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Očekávané výstupy z RVP ZV Ročníkové výstupy Učivo Průřezová témata a přesahy Číslo a početní operace využívá při

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně egistrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx Název školy: SPŠ Ústí nad Labem, středisko Resslova Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.10.1036 Klíčová aktivita: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Digitální učební materiály Autor:

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1

2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1 2a) Desetinná čísla celá část desetinná část příklady k procvičení 1. Zapište číslo a) 5 celých 4 desetin, 8 setin b) 8 set 4 desítky 7 jednotek 1 desetina 8 tisícin c) 2 miliony 8 tisíc 9 tisícin. 2.

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět: Období ročník: Učební texty: Matematika 2. období 5. ročník R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (2. díl) (Alter) R. Blažková: Matematika pro 4. ročník ZŠ (3. díl) (Alter) J. Jurtová:

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková VY_42_INOVACE_MA1_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění

Více

Otázky z kapitoly Základní poznatky

Otázky z kapitoly Základní poznatky Otázky z kapitoly Základní poznatky 4. ledna 2016 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 2 Mnohočleny a lomené výrazy (88 otázek) 1 2.1 Obtížnost 2 (78 otázek)....................................... 1

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

2.1.9 Lineární funkce II

2.1.9 Lineární funkce II .1.9 Lineární funkce II Předpoklad: 108 Pedagogická poznámka: Je třeba postupovat tak, ab na příklad 6, kde se poprvé kreslí graf lineárních funkcí, zblo minimálně 10 minut. Př. 1: Přiřaď k jednotlivým

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

( ) ( ) 2.8.2 Lineární rovnice s parametrem II. Předpoklady: 2801

( ) ( ) 2.8.2 Lineární rovnice s parametrem II. Předpoklady: 2801 .8. Lineární rovnice s parametrem II Předpoklady: 80 Pedagogická poznámka: Zvládnutí zápisu a obecného postupu (dělení podle hodnot parametru) při řešení parametrických rovnic v této hodině je zásadní

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina - Prima Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence občanská Kompetence sociální a personální Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...

a jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu... Písemný test MA010 Grafy: 17.1. 2007, var A... 1). Vašim úkolem je sestrojit všechny neisomorfní jednoduché souvislé grafy na 6 vrcholech mající posloupnost stupňů 1,2,2,2,2,3. Zároveň zdůvodněte, proč

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C

Úloha 2. Obdélník ABCDprotínákružnicivbodech E, F, G, H jakonaobrázku.jestližeplatí AE =3, DH =4a GH =5,určete EF. G C Úloha 1. Čitatel i jmenovatel Kennyho zlomku jsou přirozená čísla se součtem 2011. Hodnota zlomku jepřitommenšínež 1 3.Jakánejvětšímůžetatohodnotabýt? Úloha 2. Obdélník Dprotínákružnicivbodech E, F, G,

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 17. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 17 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Jsou dány funkce f: y = x + A, g: y = x B,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A 04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více