ELEKTROSTATIKA. Obsah. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Bohumil Vybíral. Úvod 3

Transkript

1 ELEKTROTATIKA tudijní text po řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Bohumil Vybíal Obsah Úvod 3 Elektostatické pole ve vakuu 5 Elektický náboj 5 Coulombův zákon 7 3 Intenzita elektického pole 7 Příklad intenzita pole nabité kužnice 8 4 Tok intenzity elektického pole 9 5 Gaussův zákon 0 Příklad intenzita pole nabité přímky Příklad 3 intenzita pole nabité oviny 3 Příklad 4 intenzita pole nabité elektické koule 4 6 Páce síly elektického pole při přemísťování náboje 6 7 Elektostatická enegie náboje, potenciál elektického pole 7 8 ouvislost potenciálu a intenzity elektického pole 9 Příklad 5 elektické pole dipólu Příklad 6 elektické pole nabité kulové plochy Příklad 7 elektické pole nabitého dielektického válce 5 9 Vlastní elektostatická enegie soustavy nábojů 6 Příklad 8 enegie elektostatické vazby kystalové mříže 7 Příklad 9 vlastní elektostatická enegie nabité koule 8 0 Hustota enegie elektického pole 30 Příklad 0 ohyb svazku elektonů na nabitém dátě 3 Elektostatické pole v dielektiku 34 Dielektikum a jeho polaizace 34 Vliv dielektika na elektické pole 34 3 Elektická indukce 36

2 37 a) W a = (C U + C U ) b) W b = (C U + C U ) C + C C c) Rozdíl enegií W a W b = C (C + C ) (U U ) > 0 Při spojení kondenzátoů se vyovnalo napětí a přitom přecházel náboj (elektický poud) z jednoho kondenzátou na duhý Tento přechod povázel vznik Jouleova tepla na úko části elektostatické enegie 38 a) C = C (C + C 3 ) C + C + C 3 b) Po náboje platí vztahy: = + 3 = = UC, = 3 C C 3 Řešením dostaneme = U C (C + C 3 ) C C C C 3, = U, 3 = U C + C + C 3 C + C + C 3 C + C + C 3 39 a) C a = C C + C 3 (C + C ) C + C +C 3 b) Potože síť kondenzátoů je nekonečná, bude její kapacita stejná jako kapacita této sítě doplněné ještě o jeden článek (tj jeden kondenzáto připojený paalelně a duhý séiově) C b = C ( 5 ) Úvod Předložené pojednání je dalším ze séie studijních textů učených nejen po řešitele fyzikální olympiády, ale i po ostatní zájemce o fyziku v hlubším záběu, než kteý poskytuje střední škola Zabývá se elektostatikou, tedy oddílem fyziky popisujícím elektické pole vyvolané elektickými náboji, kteé jsou v uvažované pozoovací soustavě v klidu Elektostatické pole je jednoduchou fomou obecnějšího elektomagnetického pole, kteé je jedním ze čtyř dosud známých fundamentálních fyzikálních polí, esp fyzikálních inteakcí, pomocí nichž můžeme vysvětlit všechny známé jevy mezi mateiálními objekty Jsou to: gavitační pole (gavitační inteakce), leptonové pole (slabá inteakce), 3 elektomagnetické pole (elektomagnetická inteakce), 4 mezonové pole (silná inteakce) Z těchto polí má pvní a třetí velký (pakticky neomezený) dosah, kdežto dosah duhého a čtvtého pole je velmi nepatný a pakticky je omezen jen na psto jáda atomu (jeho polomě je řádu 0 5 až 0 4 m) Po úplnost je třeba dodat, že současné fyzice vysokých enegií a jadené fyzice se podařilo najít a expeimentálně potvdit vazbu mezi slabou a elektomagnetickou inteakcí a užitím kvantové teoie pole úspěšně popsat integovanou elektoslabou inteakci Z makoskopického hlediska však i současná fyzika pacuje s uvedenými čtyřmi inteakcemi ovnáme-li elektostatickou a gavitační sílu mezi dvěma potony ve stejné vzdálenosti, zjistíme, že elektostatická inteakce je, 0 36 kát silnější než inteakce gavitační Gavitační inteakce se poto může uplatnit jen u velkých makoskopických objektů (řídí např pohyb planet luneční soustavy) a učuje stuktuu vesmíu Naopak elektomagnetická inteakce se ve stavbě vesmíu neuplatňuje (celkový náboj vesmíu je nulový) a u makoskopických těles se uplatní, jen když se pouší ovnováha mezi kladnými a záponými náboji Dominantní postavení elektomagnetické inteakce je až u mikoskopických objektů (učuje stuktuu atomového obalu, poutá atomy v molekuly) Zbývající dvě inteakce (silná a slabá) se pakticky uplatňují při stavbě jáda atomu a jeho ozpadu a při ozpadu elementáních částic ilná inteakce je 37kát větší než elektomagnetická mezi dvěma potony, kdežto slabá inteakce je 0 kát slabší než elektomagnetická a nemůže poutat žádné částice Popis elektomagnetického pole v soustavě, v níž jsou jeho zdoje elektické náboje v klidu, je nejjednodušší (stejně tomu tak je i u ostatních polí) Poto výklad o těchto statických jevech podáme nejpve Budou-li se zdojové částice pole v pozoovací soustavě pohybovat, musíme povést elativistickou 6 3

3 b) W e = 3e 8πε 0 b F c) Pohybovou ovnic y ma = y (ob 50) upavíme na tva e ÿ + πε 0 b 3 m y =0, úhlová fekvence vlastních kmitů je Ω = e πε 0 b 3 m e, m y F F e α F α y e b Ob W e = e 4πε 0 b ( 8sinα )= 8,0 0 8 J= 50,0 ev 6 a) W e = 8e 3πε0 b = e b) W e = e πε 0 b b (,66 0 )m F ( ) = e 3 F y F b y b 3,88 00 m F 7 W e ( N = e πε 0 b + 3 ) 4 + = e ln πε 0 b, W e N =, J= 6,65 ev Při řešení jsme uvážili Tayloův ozvoj funkce ln( + x) po x = 8 W e = 8πε 0 R 9 Polomě elektonu 0 = 3μ 0e, kde μ 0πm 0 = e ε 0 c je pemeabilita vakua, 0 =, m 30 Vlastní elektostatická enegie soustavy n částic je dána vztahem (50), přičemž v našem případě je i = j = e Indexy i, j tvoří vaiace třídy ze Z pvků bez opakování Z kombinatoiky je známo, že jejich celkový počet je (Z )Z Bude-li střední vzdálenost mezi dvěma libovolnými potony 0, bude vlastní elektostatická enegie jáda W e (Z )Z e 8πε 0 0 Potože střední vzdálenost mezi potony je poněkud menší než 0, bude ve skutečnosti vlastní elektostatická enegie jáda poněkud větší než udává Elektostatické pole ve vakuu Elektický náboj Tělesa, kteá se běžně vyskytují v příodě, jeví pouze gavitační inteakci; jsou elekticky neutální Za učitých okolností však mohou na sebe vzájemně působit ještě jinými silami než gavitačními, závislými stejným způsobem na vzdálenosti, jsou-li ve stavu, kteý nazýváme elektický Dotohostavupře- cházejí zelektováním (např třením nebo elektickou indukcí) Na ozdíl od gavitačních sil mohou být elektické síly přitažlivé i odpudivé Pokusy již v 7 století ukázaly, že existují dva duhy elektřiny Elektřina, kteá vzniká třením tyče z olovnatého skla amalgamovanou kůží nebo hedvábím, se nazvala kladná Elektřina, kteá vzniká třením tyče z ebonitu (tvdého kaučuku) sstí, se nazvala záponá Expeimentálně lze snadno zjistit, že souhlasně nabité tyče se vzájemně odpuzují a nesouhlasně nabité tyče se vzájemně přitahují Ke kvantitativnímu vyjádření elektického stavu mateiálních objektů (těles nebo částic) se zavádí elektický náboj jako mía vlastnosti mateiálního objektu působit na jiný mateiální objekt silou související s polohou vzhledem k němu a závislou na elektickém stavu obou mateiálních objektů Potože nositelem elektomagnetické inteakce je elektomagnetické pole, můžeme elektický náboj definovat jako míu schopnosti mateiálního objektu vytvářet elektické pole Náboj má dvojí polaitu, je kladný nebo záponý Nábojestejné polaity se odpuzují, náboje ůzné polaity se přitahují Náboj neexistuje samostatně; je vždy vázán na látku, esp na částice Nositelem kladných nábojů jsou ze stabilních částic potony ačásticeα, nositelem záponých nábojů elektony U elekticky neutálních těles se působení kladných a záponých nábojů vzájemně kompenzuje Kladně nabité těleso obsahuje nekompenzované kladné náboje, záponě nabité těleso nekompenzované záponé náboje Jednotkou náboje v soustavě I je C (coulomb) = A s Náboj označujeme, případně q Po elektické náboje platí tyto základní zákony: Zákon zachování náboje: v izolované soustavě se celkový náboj zachovává; náboj není možné vytvořit ani zničit Zákon kvantování náboje: všechny náboje, kladné i záponé, jsou celist- 60 5

4 8 v = e ε 0 hn, = ε 0h n πm e e, f = m ee 4 4ε 0 h3 n 3, v =,9 0 6 m s, =5,9 0 m, f =6, Hz 9 a) v 0 = l eu =9, 0 d m 6 m s e ( ) [ d b) v = v 0 + = eu + l m e α =actg d l =3,0 ( ) ] l =,063 0 d 7 m s, 0 a) W e = e 4πε 0 b =,5 0 4 J=7,0 0 6 ev b) Potože W e m e c =0,5 MeV, můžeme použít klasickou mechaniku v = e πε 0 bm e = 30 m s Částice má v poli pstence elektostatickou enegii, kteou vypočteme užitím výazu (3), do kteého dosadíme výsledek (8) řešení příkladu : W e = q 0 E dx = q 4πε 0 Po substituci R + x = z, x dx =dz dostaneme 0 x dx ( R + x ) 3/ W e = q z 3 q dz = 8πε 0 4πε 0 R R Tento výsledek je v souladu s poznámkou o poli pstence po x R, uvedenou na závě řešení příkladu Má-li částice dosáhnout středu pstence, musí získat stejně velkou počáteční kinetickou enegii Budeme-li poblém řešit klasickou mechanikou dostaneme v 0 = q πε 0 mr Bude-li počáteční ychlost nepatně větší, částice poletí středem pstence a ve velké vzdálenosti od něj získá opět v ychlost 0 Bude-li naopak ychlost částice nepatně menší, vátí se zpět a ve velké vzdálenosti od pstence bude mít v ychlost 0 Coulombův zákon Inteakce mezi dvěma elekticky nabitýmičásticemisepojevujesilověve zvlášť jednoduchém případě, kdy jsou oba náboje v pozoovací soustavě v klidu, jde o elektickou inteakci, kteájepodvabodové náboje, q, nacházející se ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti, popsána Coulombovým zákonem (785): = F 4πε 0 q 0, (4) kde F jesíla,kteoupůsobínáboj (zdojový) na náboj q (testovací), 0 je jednotkový vekto vedený od k q a ε 0 = 07 4π{c} C m N =8, F m je pemitivita vakua a {c} je číselná hodnota ychlosti světla ve vakuu v soustavě I Mezi jednotkami platí vztah C m N =F m, kde F (faad) = =C m N =C V je jednotka kapacity a V (volt) = N m C =J C je jednotka potenciálu elektického pole Po výpočet síly, kteou na sebe působí jiné náboje než bodové, je nutné nejpve vyjádřit element síly mezi elementy těchto nábojů a pak povést integaci přes uvažované nebodové náboje Coulombův zákon (4) jsme fomulovali po statickou soustavu bodových nábojů Jeho platnost můžeme ozšířit i na důležitý případ, kdy zdojový náboj sice zůstává v pozoovací soustavě v klidu, avšak testovací náboj q se pohybuje libovolnou ychlostí u<cvyplývá to ze zákonainvaiantnostináboje a je v souladu s pozoováním (expeimentálně byla tato skutečnost potvzena s elativní přesností až 0 0 ) Budou-li v pozoovací soustavě oba náboje v pohybu, změní se elektostatické pole zdojového náboje na pole elektomagnetické a síla mezi náboji na sílu Loentzovu (ke Coulombově síle přistoupí síla magnetická) Výklad těchto jevů bude předmětem elektodynamiky 3 Intenzita elektického pole Inteakce mezi elektickými náboji se neděje přímo, nýbž postřednictvím elektomagnetického pole, kteé se v okolí nábojů vytváří V pozoovací soustavě, v níž je náboj v klidu, je toto pole elektostatické V okolí každého elektického náboje existuje tedy pole, o němž se můžeme jednoduše přesvědčit tím, že do uvažovaného místa umístíme jiný testovací (zkušební, pokusný) náboj Na náboj bude působit elektická síla a v místě testovacího náboje existuje elektické pole Toto pole lze popsat jednak silově, jednak enegeticky Pvní popis 58 7

5 elementů sil bude úměný ploše πr řezu, kteá je půmětem plochy πr povchu polokoule Velikost odpudivé síly tedy bude F = πr σe = 3πε 0 R 7 a) (Ob 48) E a = E c = σ σ =,3 0 ε 5 V m, 0 E b = σ + σ =5,65 0 ε 5 V m, 0 b) (Ob 49) E = σ ε + σ =4,07 05 V m, 0 α =actg σ =33 σ 40 σ σ σ E a E b E c Ob 48 Ob 49 8 K řešení využijeme výsledku po nabitou kužnici (příklad ) Integací intenzit polí elementáních pstenců dostaneme E x = σ ( ) x, E y = E z =0 ε 0 R + x 9 a) Postup výpočtu je stejný jako při řešení elektického pole nabité oviny Jiná je jen dolní mez integálu E y = σ y ε 0 + y Tento výsledek dostaneme ovněž supepozicí pole nabité oviny a opačně nabitého kuhu (s hustotou σ), tedy odečtením výsledku příkladu 3 a úlohy 8 b) E o =0 E σ α α E Po jeho vzdálenost od bodu A na ose (ob ) a úhel α platí d = R + x, cos α = x R + x de de de Ob β dβ O α A x α R x y de Intenzitu pole o velikosti de = d/4πε 0 ozložíme na dvě kolmé de složky x de, y, přičemž ke každému elementu kužnice lze najít potilehlý element, po nějž se de složky y vzájemně vyuší a de složky x o velikosti de x =de cos α sečtou Integací po celou kužnici dostaneme E x = 4πε 0 x 3 (R + x ) π 0 dβ π = x 4πε 0 (R + x ) 3, E y =0 (8) Pobodynaose, poněž x R, můžeme výsledek (8) zjednodušit do tvau E x = Intenzita pole je tedy stejná jako kdyby náboj byl soustředěn 4πε 0 x ve středu kužnice 4 Tok intenzity elektického pole Elektické E B pole můžeme vhodně znázonit pomocí siloča iločáou v elektickém E A B poli nazýváme myšlenou oientovanou čáu vedenou tak, že tečna v kteémkoliv jejím bodě má smě vektou intenzity elektického pole v tomto bodě (ob ) Hustota A ča se volí tak, aby byla úměná velikosti Ob intenzity v uvažovaném místě pole K nejjednodušším tvaům polí patří pole adiální, kteé vytváří např osamocený bodový náboj, přičemž u kladného náboje je toto pole ozbíhavé (ob 3a), u záponého náboje je toto pole sbíhavé (ob 3b) Homogenní pole má ovnoběžné, stejně husté siločáy (ob 3c) 56 9

6 Fyzikální konstanty po řešení úloh Rychlost světla ve vakuu Planckova konstanta Elementání náboj Pemitivita vakua c =, m s h =6, J s e =, C ε 0 =8,854 0 F m =8, πε 9 F m 0 =9 0 9 F m μ 0 =, H m N A =6,0 0 3 mol F =9, C mol ev =, J m e =9, kg m p =, kg m n =, kg m α =6, kg g =9,80665 m s R Z =6, m 3 kg s Pemeabilita vakua Avogadova konstanta Faadayova konstanta Elektonvolt Klidová hmotnost elektonu Klidová hmotnost potonu Klidová hmotnost neutonu Klidová hmotnost částice α Nomální tíhové zychlení Rovníkový polomě Země Gavitační konstanta κ =6,676 0 m d 0 E 0 0 d 0 V Zvolíme-li místo kulové plochy obecnou uzavřenou plochu kolem náboje, musí z ní vycházet stejný počet siloča jako z kulové plochy (ob 5) Potože celkový tok intenzity plochou opět nemůže záviset na poloze náboje, můžeme si uvnitř uzavřené plochy představit n bodových nábojů a podle pincipu supepozice bude celkový tok intenzity uzavřenou plochou dán algebaickým součtem (tok je skalá) toků od jednotlivých nábojů Tedy Φ e Ob d = n E 5 ε i, () 0 i= ε 0 kde koužek u symbolu integálu vyjadřuje integaci přes uzavřenou plochu Náboj může být uvnitř objemu V vymezeného uzavřenou plochou ozložen spojitě s objemovou hustotou ϱ Pak bude mít výsledek () tva d = E ϱ dv (3) ε 0 Bude-li náboj uvnitř objemu V ozložen spojitě na křivce délky L nebo na ploše obsahu A vypočteme jeho celkovou velikost užitím hustoty dané vztahem () příp (): = τ dl, = σ d (4) L Výsledky () a (3) vyjadřují Gaussův zákon elektostatiky po vakuum v integálním tvau: V A Celkový tok intenzity elektického pole libovolnou uzavřenou plochou se ovná celkovému náboji v postou, kteý uzavíá tato plocha, dělenému pemitivitou vakua Gaussův zákon v integálním (a zejména v difeenciálním) tvau tvoří jednu ze čtyř hlavních Maxwellových ovnic elektomagnetického pole Je přímým důsledkem Coulombova zákona Vedle tohoto základního významu Gaussova zákona je jeho význam i po výpočet intenzit elektických polí někteých soustav nábojů Jde o případy, kdy známe (nebo dovedeme odhadnout) tva řešeného pole, esp ozložení siloča 54

7 34 Deskový kondenzáto se složeným dielektikem Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátou, jehož dielektikum je členěno: a) séiově podle ob 4, přičemž je dáno ε,ε, ε 3,,d,d,d 3 b) paalelně podle ob 4, přičemž je dáno ε, ε, ε 3,, d, l, l, l 3 a předpokládá se, že desky mají čtvecový nebo obdélníkový tva ε ε ε 3 d d d 3 * ε ε l l ε ε 3 l 3 d +, Ob 4 Ob 4 Ob Kapacita válcového kondenzátou s vstveným dielektikem Vypočtěte kapacitu válcového kondenzátou sestávajícího ze dvou vodivých válcových ploch o poloměech,, mezi nimiž je vloženo vstvené dielektikum o elativních pemitivitách ε, ε s dělícím poloměem 3 Příčný řez kondenzátoem je na ob 43 Délka kondenzátou je l Okajovýjev neuvažujte 36 Kondenzáto s posuvným dielektikem Deskový vzduchový (ε v ε 0 ) kondenzáto po nabití na napětí U vtahuje do postou mezi deskami dielektikum, kteé je v uvažované situaci v poloze x (viz ob 44) Obdélníkové desky kondenzátou mají plošný obsah, délkul, vzdálenost mezi sebou d a dielektikum má pemitivitu ε = ε 0 ε Vypočtěte: a) kapacitu kondenzátou, b) velikost síly, kteou elektické pole kondenzátou vtahuje dielektikum v poloze x ε x l F d ε 3 44 b) Řešení užitím Gaussova zákona je velmi jednoduché nadno odhadneme, že siločáy pole nabité přímky budou polopřímky, kteé jsou kolmé k nabité přímce a adi- τ R álně se od ní ozbíhají Jako uzavřenou plochu bude tedy vhodné zvolit válcovou plochu o poloměu R a délce l s podstavami ovnoběžnými se siločáami iločáy budou také kolmé k povchovým přímkám pláště válce A (ob 7) Celkový tok intenzity povchem válce tedy bude l Φ E e =πrle Válec uzavíá náboj τl Použijeme-li nyní Gaussův zákon () dostaneme πrle = τl ε 0 Ob 7 a odtud plyne výsledek (5) Příklad 3 intenzita pole nabité oviny Vypočtěte intenzitu elektického pole vzbuzeného nábojem ovnoměně ozděleným na ovině s plošnou hustotou σ Řešte užitím: a) definice intenzity, b) Gaussova zákona Řešení a) Vyjádříme nejpve intenzitu pole elementu, za kteý vhodně zvolíme kuhový pstenec (ob 8) o poloměu ašířced, na kteém je náboj d =πσ d ložky de de intenzity s se po celý pstenec vyuší de de s a uplatní se jen de složka o velikosti α A de =de s cos α = d cos α (6) 4πε 0 s de α Za integační poměnnou zvolíme úhel α s x Geometické vztahy: d = x tg α, s= O Ob x cos α, x dα d = cos α Ob

8 a) elektostatickou sílu, kteou působí náboje ve vcholech na náboj q ve středu čtvece, b) elektostatickou enegii náboje q ve středu čtvece v poli nábojů v jeho vcholech q q O e e +e, m e +e +e b q H H b b b q b 4q Ob 37 Ob 38 Ob 39 α( ' & 4 oustava tří nábojů na úsečce Jsou dány tři částice o nábojích e, e, e ozmístěné na úsečce podle ob 38 Vypočtěte: a) elektostatické síly působící na jednotlivé částice soustavy, b) celkovou elektostatickou enegii soustavy c) Nechť středová částice o hmotnosti m se může pohybovat v příčném směu Jaká bude úhlová fekvence malých vlastních kmitů částice? 5 Molekula vody Vypočtěte vazbovou enegii osamocené molekuly vody, kteou můžeme intepetovat jako celkovou elektostatickou enegii iontů molekuly: záponého iontu kyslíku o náboji e a dvou kladných iontů vodíku (tj potonů) onáboji+e v konfiguaci podle ob 39 Je známo b =, m, α = 05 6 Elektostatická enegie soustavy nábojů e e Uvažujme soustavu osmi částic s nábojem e elektonu, kteé leží ve vcholech kychle e o staně b a centální částici s nábojem b dvou potonů, kteá leží ve středu kychle (ob 40) Vypočtěte: +e a) elektostatickou enegii centálního náboje e v poli osmi nábojů e, e e b b) vlastní elektostatickou enegii soustavy e b e všech devíti nábojů )Ob40 Řešení K výpočtu využijeme Gaussův zákon Náboj je ozdělen objemovou hustotou ϱ = 3 4πR 3 =konst Pole soustavy je adiální, poto za uzavřenou plochu zvolíme kulovou plochu o poměnném poloměu Existují dvě oblasti tohoto pole (ob 0) E deϱ R O E E Ob 0 R O Ob 0 R: Plocha uzavíá náboj = 4 3 π3 ϱ, jehož velikost vzůstá s Pak podle () je E 4π = ε π3 ϱ, neboli E = ϱ 3ε 0 = 4πε 0 R 3 Uvnitř koule vzůstá intenzita pole lineáně se souřadnicí (ob ) > R:Plocha uzavíá náboj = 4 3 πr3 ϱ =, kteý je již na nezávislý Pak podle () je E 4π = ε πr3 ϱ, neboli E = ϱr3 3ε 0 = 4πε 0 Intenzita pole vně koule klesá se duhou mocninou (viz ob ) podle stejného vztahu jako u bodového náboje viz výaz (6) Vně ovnoměně nabité koule má tedy pole stejný tva jako pole bodového náboje umístěného v jejím středu 50 5

9 7 Vakuová dioda d ozžhavené deskové katody K vystupují ve vakuu k ovnoběžně instalované anodě A elektony (ob 35) Vzdálenost d mezi elektodami je malá vzhledem k jejich ozměům K A Potenciál mezi deskami je popsán funkcí ϕ = kx e x O$Z 4/3,x 0,d a) Vypočtěte hustoty σ K, σ A povchových nábojů na katodě a anodě za předpokladu σ =konst b) Jak závisí postoová hustota ϱ nábojů mezi deskami na x? Ob 35 8 Bohův model atomu vodíku Ve vývoji názoů na stavbu atomu zaujímá významné postavení Bohův model atomu vodíku z 93, kteý postuluje, že elekton se pohybuje po takových kuhových tajektoiích o poloměu se středem v jádře potonu, po něž platí πm e v = nh, kdev je ychlost elektonu o hmotnosti m e na příslušné tajektoii o poloměu, h je Planckova konstanta a n přiozené číslo udávající pořadí tajektoie směem od jáda Odvoďte vztahy po ychlost, polomě tajektoie a fekvenci oběhu elektonu a vypočtěte velikost těchto veličin po n = 9 vazek elektonů v příčném elektickém poli vazek elektonů vstupuje do příčného elektického pole vytvořeného ovnoběžnými nabitými deskami podle ob 36 Je dáno: l =0,0 mm, d =6,0 mm, U = 70 V l v d 0 U d em e %α Ob 36 v a) Jaká v je vstupní ychlost 0 elektonů, jestliže do elektického pole vstupují kolmo na jeho siločáy, přičemž napětí U mezi deskami nastavíme tak, že elektony na výstupu pávě dopadnou na okaj spodní desky (po dělení q 0) E dl =0, (0) C C kde koužek u symbolu integálu vyjadřuje, že jde o křivkový integál po uzavřené křivce C neboli Ob 3 7 Elektostatická enegie náboje, potenciál elektického pole Páci, kteou pole vykoná při přemístění náboje mezi body, lze vyjádřit jako ozdíl hodnot jisté veličiny pole, kteá je funkcí pouze polohy náboje v tomto poli Dobře to můžeme vidět na výsledku (9) Nově zavedená veličina se nazývá potenciální (polohová) enegie náboje v elektostatickém poli a označuje se W e Tedy A E = q d = W e W e () V poli bodového náboje má tudíž testovací náboj q v obecné poloze potenciální enegii W e = q 4πε 0 () Výaz () učuje potenciální enegii až na konstantu, kteou lze vhodně volit podle okajové podmínky po výpočet potenciální enegie Volíme-li potenciální enegii nulovou v bodě neomezeně vzdáleném, říkáme, že potenciální enegii nomujeme To je případ výazu (), z něhož je zřejmé, že po je W e =0 Potenciální enegie testovacího náboje q v elektickém poli závisí jednak na mohutnosti zdoje (dané zdojovým nábojem a polohou testovací částice), jednak na testovacím náboji q Je výhodné vztáhnout tuto potenciální enegii na kladný jednotkový testovací náboj a využít ji k enegetickému popisu elektického pole Příslušná veličina se nazývá potenciál elektického pole ϕ a definuje se jako elektostatická enegie W e testovacího náboje v učitém Označení W po enegii se v teoii elektomagnetického pole dává přednost před označením E, aby nedocházelo ke kolizi s označením po intenzitu elektického pole Páce se označuje A místo W 48 7

10 5 Inteakce částice α s molekulou H Částice α polétne velkou ychlostí geometickým středem molekuly vodíku (ob 3) po tajektoii, kteá je kolmá ke spojnici potonů, jejichž ozteč je b Po jednoduchost uvažujte b = konst a neuvažujte elektické pole elektonů Vypočtěte: a) velikost F síly v závislosti na x, b) po kteá x bude odpudivá síla maximální 6 Inteakce dvou nabitých polokoulí Dutá kovová koule o poloměu R s tenkými stěnami je ovnoměně nabita nábojem a poté ozdělena hlavním řezem na dvě stejné polokoule, kteé se zřejmě budou odpuzovat Vypočtěte velikost odpudivé síly po případ, kdy polokoule budou těsně u sebe 7Dvěnabitéoviny Mějme dvě ozlehlé nabité desky (teoeticky oviny) s konstantními hustotami náboje σ =6,0 μc m, σ = 4,0 μc m Vypočtěte velikost intenzity elektického pole ovin a nakeslete siločáy po tyto případy: a) Roviny jsou ovnoběžné a vzdálenost mezi nimi je d = 30 mm b) Roviny jsou na sebe kolmé K řešení využijte výsledků příkladu 3 8 Elektické pole nabitého kuhu Tenký kuhový disk (kuh) o poloměu R je nabit kladným nábojem o plošné hustotě σ =konst Disk leží v ovině x =0ajehostředvpočátkusouřadnicové soustavy Vypočtěte intenzitu jeho elektického pole na ose disku v bodě o souřadnici x>0 9 Elektické pole nabité oviny s kuhovým otvoem Rovina je ovnoměně nabita elektickým nábojem s plošnou hustotou σ V ovině je kuhový otvo o poloměu a) Vypočtěte intenzitu elektického pole na kolmici k ovině, kteá pochází středem otvou Vzdálenost bodu, v němž počítáme pole, je y od středu otvou b) Jaká je intenzita elektického pole ve středu otvou? 0 Elektické pole nabité úsečky Vypočtěte intenzitu a potenciál elektického pole úsečky délky l vboděa, ležící na ose úsečky ve vzdálenosti R (ob 33) Úsečka je nabita kladným nábojem s konstantní délkovou hustotou τ 8 ouvislost potenciálu a intenzity elektického pole Ze silového popisu elektického pole jsme dospěli k intenzitě elektického pole a z enegetického popisu k po- ϕ ϕ dϕ tenciálu elektického pole Abychom našli souvislost mezi těmito veličinami, představme si, že na hladině potenciálu ϕ = ϕ() je bodový testovací náboj q (ob 4), 0 kteý zde má potenciální enegii qϕ E Pole působí na náboj silou d Posune-li se náboj o qe q ve směu kolmém k hladině ϕ na hladinu ϕ dϕ, vykoná d pole páci, kteá se qe pojeví d úbytkem potenciální enegie náboje Tato enegie v jeho nové poloze bude q(ϕ dϕ) Musí tedy platit Ob qe 4 d = q dϕ (9) Vzhledem k tomu, že u adiálního pole je = 0, adále = 0 d, 0 0 d =, E E je = E d a ze vztahu d (9) E plyne d = E d = dϕ, (30) E neboli E = dϕ d Po vynásobení ovnice jednotkovým vektoem 0 dostaneme hledaný vztah po adiální pole = dϕ E d 0 (3) Potože d je nejmenší vzdálenost mezi hladinami ϕ a ϕ dϕ, je dϕ d největší spád (gadient) potenciálu Vztah, kteý slouží k převodu mezi veličinami E, ϕ, říká, že intenzita elektického pole je dána největším spádem potenciálu, neboli záponě vzatým gadientem potenciálu Odvozený vztah (3) platí po jednoduchý případ, kdy potenciál je funkcí ϕ = ϕ(), závisí-li jen na velikosti polohového vektou Uovinnýchúloh (viz např dipól v následujícím příkladě 5) je potenciál funkcí dvou nezávisle poměnných poloh bodu, za kteé je vhodné volit polání souřadnice, α Pak je potenciál funkcí ϕ = ϕ(, α) Z této funkce lze učit užitím paciálních deivací polání souřadnice vektou intenzity E ze vztahů, kteé uvádíme bez 46 9

11 Při tomto spojení se na každém kondenzátou nahomadí (naindukuje) stejný náboj NapětíU se ozdělí na jednotlivé kondenzátoy v obáceném poměu ke kapacitám: U = C, U = C, U i = C i, U n = C n oučet těchto napětí musí dát vložené napětí U, tedy U = n n U i = C i i= Nahadíme-li tuto řadu kondenzátoů jediným kondenzátoem, musí mít kapacitu C, po jejíž převácenou hodnotu platí i= C = U = n (79) C i i= Příklad 5 elektické pole dipólu Uvažujte elektický dipól, tj soustavu dvou nábojů, + umístěných v koncových bodech oientované úsečky l, kteý je uložen v katézské soustavě podle ob 5 Vypočtěte potenciál ϕ v libovolném bodě A (x, y) espa(, α) oviny (x, y) Dále uvažujte polohu bodu A, jejíž polání souřadnice l, a učete v něm potenciál a katézské a polání souřadnice intenzity E pecializujte jejich hodnoty po dvě významné polohy y =0ax =0, esp α =0aα = π/ Ey y E E α E A α E x O α l + x Ob 5 Řešení Užitím pincipu supepozice po potenciál vboděa dostaneme ϕ = ( ), (36) 4πε 0 kde po a podle ob 5 platí ( = x l ) ( + y, = x + l + y ) Pak potenciál ϕ = 4πε 0 ( x l ) + y ( x + l ) (37) + y V pakticky významném případě, kdy l, můžeme vztah (36) přepsat do tvau ϕ = 4πε 0 4πε 0 ( p ) cos α, (38) 4πε 0 44

12 Řešení a) Pvní způsob ozboem enegie Páce, kteou pole vykoná tím, že silou F přiblíží desky odx (ob 7), je ovna úbytku enegie elektostatického pole mezi deskami K výpočtu využijeme hustotu enegie (59) a dostaneme F F dx = w e dx = ε 0E dx, neboli dx F = ε 0E = ε 0U d d Ob 7 b) Duhý způsob ozboem silového účinku pole + Uvažujme, že v poli jedné desky, např nabité nábojem + (v ob 8 jsou siločáy tohoto pole vyznačeny plnými čaami), se nachází deska s nábojem Pole kladně nabité desky na ni působí silou o velikosti F = E, kde po intenzitu pole použijeme výaz (7) po nabitou ovinu, přičemž σ = / Pak Řešení Nejpve vypočteme potenciál kulové plochy integací elementu plochy užitím vztahu(7) Zvolme si bod A, v němž budeme pole učovat, nejpve vně plochy (ob 6) Za element si vhodně zvolíme pstenec elementání šířky tak, aby byl kolmý k ose jdoucí středem O abodema Naelementujenáboj d = σ(πr sin α)(r dα) =πr σ sin α dα (43) Náboj je ve vzdálenosti α od bodu A, přičemž podle kosinové věty platí α = R + R cos α Difeenciací ( = konst, R = konst) dostaneme Ob 6 O α d α =R sin α dα (44) dα α R dα α A Ob 8 F = σ = ε 0 ε 0 = C U ε 0 = ε 0U d, kde byl využit výaz (75) po kapacitu deskového kondenzátou Numeicky F =, N Potože za integační poměnnou bude výhodné volit α, vyjádříme z (44) sin α dα a dosadíme do (43): R d =πσ R α d α 34 Kapacita soustavy kondenzátoů oustava (bateie) kondenzátoů může mít řazení paalelní, séiové nebo kombinované a) Paalelní řazení Chceme-li při stejném napětí U na svokách kondenzátou zvětšit náboj kondenzátou, musíme zvětšit jeho kapacitu C Toho dosáhneme buď vhodnou konstukcí kondenzátou anebo paalelním spojením daných kondenzátoů 4 Pak potenciál pstence je dϕ = d = σr 4πε 0 α ε 0 d α Nyní můžeme povést integaci přes celou kulovou plochu Bude-li bod A vně kulové plochy nebo na jejím povchu, tj R, bude se α měnit v mezích R, + R Tedy R : ϕ = σr ε 0 +R R d α = σr ε 0 = 4πε 0, (45) 3

13 Pak kapacita deskového kondenzátou je Příklad kapacita válcového kondenzátou C = U = ε 0ε (75) d Vypočtěte kapacitu válcového kondenzátou, kteý sestává ze dvou souosých vodivých válcových ploch o poloměech, > a o délce l, mezi nimiž je dielektikum o elativní pemitivitě ε Okajový jev neuvažujte Řešení E () d + l Na vnitřní plochu přivedeme náboj, na vnější ploše se bude indukovat náboj Elektické pole bude soustředěno v postou mezi válcovými plochami (ob 6) a jeho intenzita bude kolmá k jejich ose K výpočtu indukce D = ε 0 ε E pole užijeme Gaussův zákon (69), přičemž za uzavřenou plochu zvolíme souosou válcovou plochu o poloměu ( ) Nenulový indukční tok půjde pouze pláštěm válcové plochy, tok podstavami bude nulový Tedy πlε 0 ε E = Ztoho Ob 6 E = πε 0 ε l Po výpočet napětí mezi elektodami použijeme výaz (35): d U = E d = πε 0 ε l = Odtud kapacita C = U = πε 0ε l πε 0 ε l ln ln (76) Příklad 7 elektické pole nabitého dielektického válce Je dán dlouhý dielektický válec o poloměu R nabitý postoovým nábojem o hustotě ϱ =konst a pemitivitě ε ε 0 Vypočtěte intenzitu a potenciál jeho elektického pole po body oviny pocházející jeho středem kolmo k ose válce Jednu okajovou podmínku po potenciál volte ϕ(0) = 0, duhá vyplyne z podmínky spojitosti funkce popisující potenciál po = R Řešení l R ϱ E E po R: Ob 8 ϕ = ϱr ε 0 Okajové podmínky: ϕ (0) = 0, ztoho C =0, ϕ (R) =ϕ (R), neboli ϱr 4ε 0 ztoho C = ϱr ( ln R ) 4ε 0 Pak potenciál po <R: Potože siločáy pole jsou kolmé k ose válce, učíme intenzitu pole snadno užitím Gaussova zákona Za uzavřenou plochu si volíme válcovou plochu poměnného poloměu adélkyl (ob 8) Gaussův zákon po <R: πle = π ε lϱ, 0 ztoho E = ϱ, ε 0 po R : πle = πr ε lϱ, 0 ztoho E = ϱr ε 0 Potenciál vypočteme užitím vztahu (34) Po <R: ϕ = ϱ d + C = ϱ + C, ε 0 4ε 0 d + C = ϱr ε 0 ln + C = ϱr ε 0 ln R + C, ϕ = ϱ 4ε 0, po R: ϕ = ϱr 4ε 0 ( ln R ) 40 5

14 3 Kapacita vodičů 3 Vlastní kapacita vodiče Mějme osamocený izolovaný vodič, na kteém je náboj Kolem vodiče existuje elektostatické pole, kteé jsme popsali intenzitou a potenciálem Zvětšíme-li náboj na vodiči n kát, zvětší se ovněž intenzita a potenciál v jeho okolí i na povchu n kát Můžeme to snadno posoudit např z výazu (45), kteý platí po jednoduchý vodič tvau koule Náboj vodiče a jeho potenciál ϕ jsou si tedy úměné Můžeme poto psát = C v ϕ,kdeϕ je nomovaný potenciál 3 na vodiči a konstanta úměnosti C v = ϕ (7) se nazývá (vlastní) kapacita vodiče Má význam náboje potřebného k tomu, aby se uvažovaný vodič nabil na kladný jednotkový nomovaný potenciál Kapacita vodiče je míou jeho schopnosti získat (nebo udžet si) elektický náboj V případě zmíněného kulového vodiče po jeho kapacitu ve vakuu užitím vztahů (45) a (7) dostaneme C v =4πε 0 R (73) Kapacita má jednotku o ozměu [C v ]= coulomb =m kg s 4 A = F(faad) volt Kapacita osamělého vodiče je velmi malá Například obovský kulový kondenzáto o poloměu ovném poloměu Země by měl kapacitu pouhých 70 μf 3 Kapacita kondenzátou Kapacitu (osamělého) vodiče jsme definovali z potenciálu vzbuzeného pouze jeho vlastním nábojem Budou-li se nacházet v okolí vodiče další nabité vodiče, bude podle zákona supepozice potenciál v místě pvního vodiče dán supepozicí (algebaickým součtem) potenciálů vzbuzených pvním i ostatními vodiči Náboj pvního vodiče se nezmění, změní se však jeho potenciál Kapacitu osamělého vodiče můžeme poto zvětšit tím, že do jeho blízkosti umístíme opačně nabitý vodič, kteý sníží potenciální ozdíl mezi oběma vodiči, a tím vzoste kapacita 3 Potenciál je obecně učen až na konstantu viz výaz (34) Aby valstní kapacita vodiče byla definována jednoznačně, musíme volit jednoznačně potencíál tím, že jej nomujeme podle vzoce (3), esp integační konstantu volíme tak, aby ϕ = 0 v bodě nekonečně vzdáleném 38 Pak vlastní elektostatická enegie soustavy je W e = n n i= j=,j i Tento výaz lze ještě přepsat do tvau kde W ij = 8πε 0 W e = ϕ i = 4πε 0 n n i= j=,j i i j (50) ij n i ϕ i, (5) i= n j=,j i i ij, (5) je potenciál elektického pole soustavy bodových nábojů v místě náboje i vzbuzené všemi ostatními náboji j (sčítá se pouze po j i) Úpava výsledku (50) do tvau (5) umožňuje jednoduchý přechod na případ soustavy se spojitě ozděleným nábojem Místo náboje i uvažujeme jeho element d, přičemž jeho enegie v poli ostatních elementů bude ϕ d, kde ϕ je potenciál, kteý v místě elementu d budí všechny ostatní elementy spojitě ozloženého náboje Celková vlastní elektostatická enegie soustavy je pak dána integací přes celý náboj soustavy, tedy W e = ϕ d (53) Příklad 8 enegie elektostatické vazby kystalové mříže významným a jednoduchým iontovým kystalům patří kystal chloidu sodného (NaCl), jehož zjednodušený elektický model je na ob 9 estává se z iontů nesoucích po jednom elementáním náboji e: z kladných iontů Na bk + (vyznačených čenými kuličkami) a záponých iontů Cl (vyznačených bílými kuličkami) pavidelně uspořádaných s cyklujícím znaménkem náboje ve vcholech kychle o staně b atvořícíchpostoovou kystalovou mříž s mřížkovou konstantou b =,8 0 0 m Vypočtěte enegii elektostatické vazby připadající na jeden ion kys- Ob 9 talu 7

15 3 Elektická indukce Intenzita elektického pole závisí na pemitivitě daného postředí viz např výaz (63) Poto se často zavádí nová veličina elektostatická indukce tak, aby její velikost nebyla ovlivněna vlastnostmi dielektika Po lineání dielektika je elektická indukce definována vztahem D = εe (66) Tak např elektické pole bodového náboje bude mít indukci D = 4π 0 (67) Jednotka elektické indukce má ozmě [D] =C m =A s m Podobně jako siločáy definují se i indukční čáy jako oientované čáy jejichž tečny mají ve všech bodech smě vektou elektostatické indukce a jejichž hustota je úměná jeho velikosti Po lineání dielektika mají siločáy a indukční čáy zřejmě stejný tva, avšak ůznou hustotu Na ozhaní dvou ůzných dielektik budou siločáy nespojité, kdežto indukční čáy spojité Analogicky toku intenzity elektického pole (0) zavádíme elektický indukční tok výazem D Ψ d = (68) Mezi oběma toky je po izotopni dielektika zřejmě vztah Ψ = εφ e Pakmůžeme platnost výazů (), (3) zobecnit i po elektické pole v dielektiku, tedy d = n D k, (69) k= d = ϱ D dv (70) V Tyto vztahy epezentují Gaussův zákon po elektické pole v dielektiku a zahnují i elektické pole ve D vakuu (pak = ε 0 ) Náboj na E pavé staně ovnic (69), (70) je volný Vliv vázaného (polaizačního) náboje je již zahnut ve veličině D Pokud nás bude zajímat intenzita polaizačního elektického pole a velikost vázaného náboje, případně jeho hostota, je nutné řešení tohoto poblému převést na vakuum, ve kteém v tomto případě existuje vedle elektického pole volného náboje ještě indukované polaizační pole vázaného náboje 36 Řešení O d Ob0 A R K výpočtu vlastní enegie užijeme výaz (53) Nejpve je nutné vypočíst nomovaný potenciál po body uvnitř koule Potenciál budeme počítat vboděa (ob 0), kteý leží na myšlené kouli o poloměu opsané ze středu O Tato koule dělí náboj koule na dvě části Po náboj, kteý je uvnitř této koule, je bod A bodem vnějším a účinek tohoto náboje je takový, jako by byl soustředěn v bodě O Potenciál od náboje tedy je ϕ = 4πε 0 = ϱ 3ε 0 Po náboj, kteý je vně vnitřní koule o poloměu, je bod A bodem vnitřním V příkladě 6 jsme ukázali, že pole uvnitř duté koule má konstantní potenciál Tedy v bodě A bude mít pole od vnější duté koule (vnitřního poloměu avnějšíhopoloměur) stejný potenciál jako od této koule ve středu O tanovíme nyní tento potenciál ϕ Z vnější části koule vytkneme elementání kulovou vstvu o poloměu atloušťced, kteá nese náboj d =4π ϱ d Vyjádříme element potenciálu dϕ = d 4πε 0 a integujeme v mezích, R, tedy ϕ = ϱ ε 0 R d = ϱ ε 0 (R ) Celkový potenciál v bodě A je dán supepozicí ϕ = ϕ + ϕ = ϱ (3R )= 6ε 0 8πε 0 R 3 (3R ), (57) kde je náboj koule Tento výsledek můžeme dostat také přímým výpočtem užitím vztahu (3), kteý přepíšeme do tvau ϕ = E d = R E d + R E d, kde podle příkladu 4 po intenzitu v našem případě platí E = 4πε 0 R 3 po R a E = 4πε 0 po >R 9

16 Elektostatické pole v dielektiku Dielektikum a jeho polaizace Vložíme-li do elektického pole vytvořeného ve vakuu látkové postředí, dojde k inteakci pole a postředí Bude-li tímto postředím vodič, kteý se vyznačuje existencí volných nábojů, dojde působením pole k jejich přemisťování a vzniká elektický poud Duhou skupinou látek je izolující postředí (izolant), kteé se z hlediska elektického pole označuje jako dielektikum Unějjsounabité látkové částice (elektony a potony) víceméně vzájemně vázány a působením vloženého vnějšího pole se nemohou z tohoto místa vzdálit Působením tohoto vnějšího pole dojde pouze k defomaci mikoskopických elektických polí atománích elementů dielektika Tento jev se nazývá dielektická polaizace Při dielektické polaizaci dochází ke kombinaci následujících mechanismů: Posuv elektonů v obalu atomu vůči jádům jde o tzv elektonovou polaizaci Posuv jade atomů vzhledem k sobě tzv jadená polaizace 3 Oientace poláních skupin nebo molekul do směu vnějšího elektického pole tzv oientační polaizce Modelově si lze představit polaizaci dielektika jako vznik atománích nebo molekuláních dipólů Jejich účinky se supeponují a polaizované dielektikum se navenek jeví jako jeden makoskopický dipól Vliv dielektika na elektické pole Polaizované dielektikum ovlivňuje původní elektické pole ve vakuu Vysvětlíme si to na kondenzátou, kteý nabijeme a pak mezi jeho desky vložíme dielektikum (ob 4) V důsledku polaizace dielektika se na jeho kajních plochách objeví povchové vázané (polaizační) náboje Na staně přilehlé ke kladné desce vzniká záponý vázaný náboj, na staně přilehlé k záponé desce vzniká stejně velký kladný vázaný náboj Tyto náboje jsou vázány na dielektikum a nemohou se poto z něj odvést; nemohou se uvnitř dielektika ani pohybovat (v dielektiku nevzniká vodivý poud) Tím E 0 se podstatně liší od volného náboje, kteý je ve vodiči volně pohyblivý a dá se z něj odvést E V příkladě Ob 4 znázoněném na ob 4 je volný náboj na deskách Polaizční vázané náboje budí v dielektiku polaizační elektické pole o intenzitě p, E kteé je namířeno poti intenzitě 0 původního pole ve E vakuu E p 34 enegie elektického pole je w e = dw e dv = σ ε 0 Tento výaz po zavedení intenzity E = σ ε 0 nabývá obecnější tva w e = ε 0E (59) Hustotu elektického pole můžeme také podobným postupem odvodit úvahou o elektickém poli dvou ozlehlých ovinných desek nabitých stejnými náboji opačného znaménka (viz čl 33 této božuy nebo knihu [8], s 73) Příklad 0 ohyb svazku elektonů na nabitém dátě Tenký svazek elektonů uychlených ve vakuu napětím U na v ychlost 0 pochází elektickým polem vytvořeným kladně nabitým tenkým dátem, kteý je kolmý k ovině tajektoie elektonů (ob ) Je dána lineání hustota náboje τ =konst Vypočtěte celkový úhel α 0, o kteý pole dátu změní smě tajektoie elektonů (tedy úhel ohybu dostatečně dlouhého svazku) Posuďte, zda tento úhel závisí na paametu b, tedy na kolmé vzdálenosti tečny k tajektoii ve vzdálené poloze elektonu od osy dátu Řešte za těchto zjednodušujících podmínek: a) Dát je dostatečně dlouhý, aby mohl být pokládán za nabitou přímku b) Jsou splněny podmínky po použití pohybových ovnic klasické mechaniky c) Úhel α 0 je malý a změny velikosti v ychlosti 0 jsou zanedbatelné Řešení Ob e v 0 m e b α 0 dát v Elektické pole vně dátu je dáno vztahem (5), tedy E = působí F síla o velikosti F = ee = 3 τ πε 0 anaelekton eτ πε 0, (60)

17 směřující k dátu kolmo k jeho ose mě síly tedy závisí na okamžité poloze elektonu na tajektoii Polohu elektonu popíšeme úhlem β (ob 3a), kteý po neomezenou tajektoii bude v mezích β π, π íla F bude měnit p hybnost elektonů; budeme se zajímat jen o změnu směu hybnosti Ve vzdáleném bodě tajektoie (ob 3b) bude po její kolmou složku platit Δp = p sin α 0 m e v 0 α 0 Odtud po hledaný úhel dostaneme a) b β dβ F e β α 0 Δp m e v 0 (6) F v 0 dt dβ Δp Ob 3 Velikost složky Δp hybnosti učíme z celkového impulsu kolmé složky F b) α 0 p Celkový impuls síly F dostaneme integací v mezích od π do π, tedy F Δt = eτ πε 0 v 0 π π dβ = Po dosazení do (6) dostaneme hledané řešení eτ α 0 ε 0 m e v0 kde k úpavě byl použit klasický vztah m ev 0 = eu eτ ε 0 v 0 =Δp = τ 4ε 0 U, po uychlovací napětí U Úhel α 0 zřejmě nezávisí na vzdálenosti b Poznámka: Námětem po tento příklad byla část zadání jedné úlohy na 4 MFO v UA (993) síly F, jejíž velikost je dána výazem (60), na celé tajektoii: Δp = F Δt, kde F = eτ cos β πε 0 Mezi poměnnými, β adt platí vztah (ob 3 a): v 0 dt cos β = dβ = dt = Element impulsu síly F tedy bude mít velikost dβ v 0 cos β F dt = eτ πε 0 cos β dβ v 0 cos β = eτ dβ πε 0 v

18 Pak ϕ = 4πε 0 R d R 3 + R d = 8πε 0 R 3 (3R ) Nyní přistoupíme k výpočtu vlastní enegie podle vztahu (53) Uvnitř koule si vytkneme elementání kulovou vstvu o obecném poloměu atloušťced, kteá nese náboj d =4π ϱ d Dosadíme do (53), využijeme výsledku (57) a integujeme přes celou kouli: = πϱ 3ε 0 W e = πϱ 3ε 0 R 0 (3R 4 )d = ] R [R 3 5 = 4πϱ R 5 = 5 0 5ε 0 3 0πε 0 R (58) Tato enegie je kladná a pokud by částice koule nebyly vázány jinými inteakcemi,koulebyseokamžitěozpadla 0 Hustota enegie elektického pole Nositelem elektostatické enegie nabitých těles a částic je elektické pole, kteé existuje v jejich okolí Vypočteme nyní hustotu jeho enegie, tj enegii připadající na jednotkový objem výpočtu si zvolíme jednoduchý objekt nabitou uzavřenou kulovou plochu o poloměu R, Ob σ kteý můžeme měnit Uvažujme malou část povchu o plošném obsahu (ob ), kteý obsa- R E huje náboj = σ a na kteý působí pole silou FK E = F R, kde podle (49) je E R = σ Chceme-li ε 0 R dr zmenšit polomě kulové plochy o dr, musí vnější síly vykonat páci da = F dr, kteá se pojeví zvětšením potenciální enegie pole o dw e Tedy dr dw e = F dr = E R dr = σ dr, ε 0 kde dr =dv je příůstek objemu uvažovaného pole Toto pole je již vně kulové plochy, i když v její těsné blízkosti Jeho intenzita sepotopočítájiž E podle výazu (48), potože však dr 0, je E = σ Pak objemová hustota ε 0 (ob 4) Označíme-li E intenzitu výsledného pole, můžeme intenzitu E p polaizačního pole vyjádřit ve tvau E p = κ p E, (6) kde κ p je bezozměová veličina, kteá se nazývá dielektická susceptibilita Závisí především na duhu dielektika, může však záviset i na intenzitě E V našem výkladu budeme uvažovat jen izotopní lineání dielektika, unichžκ p je konstanta nezávislá na intenzitě E PakjeE p lineání funkcí E Z mechanismu dielektické polaizace vyplývá, že u všech dielektik musí být κ p > 0 Výsledná intenzita elektického pole v dielektiku je Ztoho E = E 0 + E p = E 0 κ p E 0 0 E = =, (63) +κ E p E ε kde jsme zavedli označení +κ p = ε Budeme-li aplikovat výaz (63) např na pole bodového náboje (6), můžeme psát = 0 E 4πε 0 ε = 0 4πε, (64) kde ε = ε 0 ε je (absolutní) pemitivita dielektika a ε = ε ε 0 =+κ p > (65) je elativní pemitivita dielektika Po plyny je zpavidla její odchylka od elativní pemitivity vakua (ε = ) zanedbatelná, např po vzduch je ε =, Po sklo podle jeho složení je ε = 5 až 7,5, po petolej ε =,, avšak po glyceín ε =4, apovoduε =8, V dielektiku se síly mezi náboji zmenší ε kát Zvlášť výazně se pojevuje tato vlastnost u vody a tím se vysvětluje i velká disociační vlastnost vody Při ozpuštění solí, jejichž molekuly mají iontovou vazbu (např NaCl, CuO 4 ) se elektická síla mezi ionty (např Na +, Cl ) ve vodě zmenší 8kát, a to vyvolá ozpad molekuly na osamocené ionty Tak vzniká elektolyt, kteý je schopen volnými kladnými a záponými ionty zpostředkovat vedení poudu 30 35

19 Řešení Teoeticky jde o složitou úlohu, neboť jeden makoskopický kystal NaCl obsahuje okolo 0 0 atomů Při řešení je však možné očekávat, že ionty na jednom konci makoskopického kystalu budou mít jen velmi nepatný vliv na ionty na jeho opačném konci Lze se poto při sestavování řady omezit jen na učitý počet členů řady podle požadavku přesnosti výpočtu jejího součtu Další zjednodušení poblému spočívá ve zjištění, že uspořádání záponých iontů v okolí učitého kladného iontu je analogické uspořádání kladných iontů v okolí učitého záponého iontu (ob 9) Poto můžeme přijmout jeden ion, lhostejné zda kladného či záponého znaménka, za centální a vypočítat jeho elektostatickou enegii v poli ostatních iontů a získanou enegii vynásobit počtem N iontů a koeficientem, potože každý pá iontů je při výpočtu enegie uvažován dvakát Tak místo obecnějšího výazu (50) dostaneme W e = N N j= ϕ j = 8πε 0 N N j= j j, (54) kde ϕ j je potenciál, kteý v místě centálního iontu o náboji (námi tak libovolně zvoleného a označeného indexem ) způsobuje ion o náboji j, přičemž = j = e je elementání náboj a j jsou vzdálenosti zvoleného centálního iontu od ostatních iontů v makoskopickém kystalu Enegie vazby připadající na jeden ion učená z (54) po nejbližší okolí centálního iontu je W e = W e N = 8πε 0 ( 6e b + e b 8e b 3 + ) (55) Pvní člen řady v závoce je úměný enegii od šesti nejbližších iontů ve vzdálenosti b, duhý člen enegii dvanácti iontů ve vzdálenosti stanové úhlopříčky b, třetí člen enegii osmi iontů ve vzdálenosti postoové úhlopříčky b 3 Přidáním dalších členů řady a výpočtem jejího součtu na počítači dostaneme po vytknutí e /b po numeickou hodnotu součtu v závoce číslo,7476 Vazbová enegie připadající na jeden ion pak je Podobně můžeme ozšířit i platnost výzu (59) po hustotu enegie elektického pole v dielektiku: w e = εe = ED = E D, (7) kde poslední vyjádření platí i po neizotopní dielektika, u nichž mají obecně vektoy E, D ůzný smě W e = 0,06953 e ε 0 b (56) Po dosazení za konstanty dostaneme numeickou hodnotu enegie vazby W e = 7,5 0 9 J= 4,46 ev Příklad 9 vlastní elektostatická enegie nabité koule Vypočtěte vlastní elektostatickou enegii dielektické koule o poloměu R a pemitivitě ε ε 0 nabité postoovým nábojem o hustotě ϱ =konst 8 37

20 9 Vlastní elektostatická enegie soustavy nábojů Mějme soustavu bodových nábojů Každý z nich je zdojem elektického pole a současně i objektem, na kteý pole ostatních nábojů působí Chaakteistikou takové soustavy je vlastní elektická enegie soustavy neboli enegie elektostatické vazby (podobně může jít o enegii vazby gavitační např u galaxie nebo jadené u nukleonů v jádře) Tuto enegii definujeme jako ozdíl enegie, kteou má soustava v dané poloze nábojů a enegie, kteou by soustava měla, kdyby se vzdálenosti neomezeně zvětšily Vlastní enegie soustavy nábojů je tedy ovna nomované elektostatické enegii soustavy (W e =0po ) Velikost vlastní enegie soustavy můžeme ovněž učit jako páci, kteou je třeba vykonat na ozklad soustavy do jednotlivých neomezeně vzdálených složek (elementů) Naopak při vzniku soustavy z jednotlivých složek se vlastní enegie soustavy uvolňuje oustava je stabilní, je-li její vlastní enegie záponá a minimální oustava má záponou vlastní enegii, budou-li síly mezi jednotlivými složkami přitažlivé (esp bude-li u smíšené inteakce vliv přitažlivých sil převládat) Uvažujme po jednoduchost nejpve dva bodové náboje,, kteé jsou ve vzájemné vzdálenosti = Pak potenciální elektostatická enegie náboje v elektickém poli náboje je W = ϕ = 4πε 0 Úvahu lze obátit a zjišťovat elektostatickou enegii náboje velektickém poli náboje : W = ϕ = = W 4πε 0 Vlastní elektostatickou enegii soustavy dvou bodových nábojů můžeme fomálně vyjádřit vztahem W = W + W, kteý je vhodný po další zobecnění Půjde-li nyní o soustavu tří nábojů, musíme bát v úvahu působení každého náboje s každým a vzít jednu polovinu vlastní enegie mezi objektem i, j, neboť W ij = W ji Tak můžeme psát W = (W + W 3 + W + W 3 + W 3 + W 3 ) Výpočet vlastní elektostatické enegie můžeme nyní zobecnit na n bodových nábojů Vzájemnou vzdálenost náboje i anáboje j označme ij = ji Pakticky je důležitý případ, kdy jsou blízko sebe umístěny dva vodiče, na nichž jsou stejné náboje, avšak opačných znamének Tato soustava dvou vodičů představuje nabitý kondenzáto Přibližujeme-li k sobě opačně nabité vodiče, bude se zmenšovat potenciální ozdíl mezi nimi při stejném náboji, a to tím více, čím budou vodiče blíže k sobě Tak přicházíme k veličině vzájemná kapacita dvou vodičů, nebolikapacita kondenzátou, kteoudefinujeme výazem C = = ϕ ϕ U, (74) kde je kladný náboj, kteý by přešel z pvního vodiče o potenciálu ϕ na duhý o potenciálu ϕ <ϕ při jejich vodivém spojení a U je elektické napětí mezi těmito vodiči Posto mezi vodiči (deskami, elektodami) kondenzátou se vyplňuje vhodným dielektikem Jak jsme si ukázali, dielektikum zmenšuje intenzitu pole To vede při nezměněném náboji ke zmenšení napětí mezi elektodami a to má ve shodě s (74) za následek zvětšení kapacity kondenzátou Příklad kapacita deskového kondenzátou Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátou, sestávajícího ze dvou ovnoběžných desek, každá o ploše, nacházejícím se ve vzájemné vzdálenosti d Posto mezi deskami je vyplněn dielektikem o elativní pemitivitě ε Řešení Přivedeme-li na jednu desku náboj, bude se na duhé desce indukovat opačný náboj (ob 5) K učení intenzity elektického pole mezi deskami užijeme Gaussův zákon Přitom budeme předpokládat, že vzdálenost d je elativně k ozměům desek tak malá, že nemusíme uvažovat ozptyl pole na okaji desek (tzv okajový jev) Jednu z desek uzavřeme do libovolné plochy a užitím Gaussova zákona (69) dostaneme D =, kde D = ε 0 ε E Tedy E = ε 0 ε Potože pole mezi deskami je homogenní, bude napětí mezi deskami U = Ed = d ε 0 ε + d 5E Ob 6 39

21 kde =4πR σ je celkový náboj na kulové ploše Bude-li bod A ležet uvnitř plochy ( <R) bude se vzdálenost α měnit v mezích od R do R + Tedy ϕ R R E σ ε 0 σ R OOb 7 ε 0 O <R: ϕ = σr ε 0 R+ R d α = σr ε 0 = 4πε 0 R (46) Z výsledku (45) je zřejmé, že vně nabité uzavřené kulové plochy vypočteme potenciál elektického pole tak, jakoby celý její náboj byl soustředěn v jejím středu Z výsledku (46) je vidět, že uvnitř kulové plochy je potenciál konstantní a je oven jeho velikosti na povchu kulové plochy Půběh potenciálu je znázoněn na ob 7 Je zřejmé, že potenciál je funkce spojitá, avšak v bodech = R není hladká To ovlivňuje i intenzitu elektického pole po = R, kteá po tento bod není z matematického hlediska definována Intenzita je podle (3) dána deivací, avšak ta po = R neexistuje (deivace zpava se neovná deivaci zleva) Po velikost intenzity užitím vztahu (3) na funkce (45) a (46) dostaneme E =0 po <R, (47) E = σr ε 0 = po >R (48) 4πε 0 Fyzikálně můžeme dospět k velikosti intenzity po = R touto úvahou Plošný náboj je idealizovaným matematickým modelem, neboť ve skutečnosti je náboj vázán na částice látky konečných ozměů Takže, i když hovoříme o plošném náboji, je náboj ozložen v tenké vstvě a tudíž i půběh potenciálu je popsán funkcí hladkou a intenzita po = R bude existovat Po tento bod se bee jako střední hodnota intenzity zpava a zleva v blízkém okolí bodu = R (sovnej s [7], s 65), tedy E R = σ ε 0 po = R (49) 33 Enegie nabitého kondenzátou K výpočtu enegie kondenzátou můžeme vyjít z výazu (7) po hustotu enegie elektického pole, použít jej na objemový element pole kondenzátou a povést integaci po celý objem pole kondenzátou Enegii elektostatického pole můžeme vypočítat ovněž jako páci potřebnou k nabití kondenzátou o kapacitě C Kondenzáto postupně nabíjíme elementem náboje d V učitém okamžiku nechť je na kondenzátou náboj a tudíž mezi elektodami napětí U = /C Zvětšíme-li nyní náboj o d, musíme vykonat páci da = U d = C d =dw e, kteá se pojeví jako příůstek enegie W e elektostatického pole kondenzátou Celková enegie po nabití na náboj je W e = C 0 d = C = U = CU (77) Nyní si můžeme naopak ověřit platnost výazu (7) po hustotu enegie, použijeme-li odvozený vztah (77) na deskový kondenzáto, ve kteém je homogenní pole Platí W e = CU = ε d E d = εe d, kde d = V je objem pole kondenzátou Dělíme-li tento výaz tímto objemem V, dostaneme hustotu enegie (7) Příklad 3 elektostatický voltmet Podstatou elektostatického voltmetu je deskový kondenzáto se vzduchovým dielektikem, jehož jedna deska je pevná, duhá pohyblivá Je spojena přes pákový mechanismus s ukazatelem, přičemž v ovnovážné poloze je udžována pužinou Vypočtěte sílu, kteou se přitahují desky elektostatického voltmetu při potenciálním ozdílu U = 500VKaždázdesekmáplochu oobsahu = 500 mm a jejich vzájemná vzdálenost v ovnovážné poloze je d =, 0 mm Okajový jev neuvažujte 4 4