5.1. Pojem posloupnosti čísel Grafické znázornění posloupnosti Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "5.1. Pojem posloupnosti čísel 152 5.1.1. Grafické znázornění posloupnosti 154 5.1.2. Některé vlastnosti posloupností 155 Kontrolní otázky 157"

Transkript

1 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické poloupoti 59 Kotrolí otázky 6 5 Geometrická poloupot 6 5 Součet prvích čleů geometrické poloupoti 65 Kotrolí otázky 68 5 Užití geometrické poloupoti Limit poloupoti 70 Kotrolí otázky 7 56 Nekoečá geometrická řd 7 Úlohy k mottému řešeí 75 Výledky úloh k mottému řešeí 76 Klíč k řešeí úloh 76 Kotrolí tet 78 Výledky tetu 79 Shrutí lekce

2 Zákldy mtemtiky 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY Poloupoti Průvodce tudiem Sezámili jte e už pojmem reálé fukce jedé reálé proměé Nyí teto pojem rozšíříme ezámíme e fukcemi, jejichž defiičím oborem jou je přirozeá číl Ukážeme i, jk je užitečé e těmito peciálími fukcemi zbývt Nové vědomoti pomohou vyřešit moho prktických úloh Cíle Objit pojem poloupoti obecě, dále pojem poloupoti ritmetické geometrické, limity poloupoti ekoečé geometrické řdy příkldech ukázt možoti využití Předpokládé zloti Pojem reálé fukce jedé reálé proměé, který jte i zopkovli v kpitole 5 Pojem poloupoti číel Výkld Mějme z úkol ledovt u emocého pciet teplotu Důležitá je eje měřeá hodot le i deí dob pořdí, ve kterém byl měře Měřeí budeme provádět v kždou celou hodiu výledek ší péče o pciet zpíšeme do tbulky Pořdí měřeí: deí dob: teplot: 6,6 C 6,5 C 7 C 7 C 7, C 7,9 C 8 C Sledujeme-li v tomto přehledu pouze upořádé dvojice [ ;6,6], [ ;6,5], [ ;7], td, vidíme v ich, že přirozeým čílům,,,, jou přiřzová reálá číl 6,6; 6,5; 7; 7; 7,; td Toto přiřzeí je fukcí, jejíž rgumet je vždy přirozeé čílo, je tedy poloupotí O měřeých hodotách mluvíme jko o čleech poloupoti Jiý, ež tbulk či upořádé dvojice, je používý zápi: 6, 6; 6, 5; 7, Fukce, jejímž defiičím oborem je moži N všech přirozeých číel, e zývá poloupot (ekoečá číelá poloupot) - 5 -

3 Zákldy mtemtiky U fukcí tohoto druhu zpiujeme rgumet jko idex hodoty fukce Tedy: f ), f (), f (),, f ( ) (, Poloupoti Poloupot, která kždému N přiřzuje čílo R, e zpiuje ěkterým z áledujících způobů:,,,,, Příkldy poloupotí:, ( ), { }, ebo tručě { } Číl,, 6, 8, 0,, jou prvími čley poloupoti udých kldých číel Tto poloupot vzike tk, že kždému přirozeému čílu { } Libovolý čle Zpiujeme ji přiřdíme jeho dvojáobek Číl,,,, jou prvími čley poloupoti převráceých číel k přirozeým čílům Doteme ji přiřzováím převráceé hodoty ke kždému přirozeému čílu, tkže její libovolý čle Číl, 7, 0,, 6, jou prvími čley poloupoti, ve které je kždému přirozeému čílu přiřzeo čílo + zpiujeme ji { + } Řešeá úloh Příkld 5 Jký je rozdíl mezi ymboly ) { }, b) {, N }, c) Řešeí: ) Teto ymbol ozčuje poloupot b) Tkto ozčujeme možiu všech čleů poloupoti { } c) Toto je -tý čle poloupoti { } - 5 -

4 Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 Grfické zázorěí poloupoti Výkld Poloupoti zázorňujeme v prvoúhlé outvě ouřdic v roviě Grfem poloupoti je vždy moži izolových bodů {[, ] } zázorňujeme v prvoúhlé outvě ouřdic bodem A [, ] N R Čle poloupoti reálých číel Řešeé úlohy Příkld 5 Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti { } Řešeí: Příkld 5Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti Řešeí: - 5 -

5 Zákldy mtemtiky Příkld 5 Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti { 5 } Poloupoti Řešeí: 5 Některé vltoti poloupotí Výkld Poloupot reálými čley je zvláštím přípdem reálé fukce reálé proměé, proto můžeme tké u í zkoumt obdobé vltoti, př ohričeot mootóot Poloupot { } e zývá hor ohričeá, exituje-li tkové čílo zdol ohričeá, exituje-li tkové čílo h R, že h, N, d R, že d, N, ohričeá, je-li ohričeá hor i zdol Poloupot { } e zývá rotoucí N pltí, že + >, klejí N pltí, že < +, eklející erotoucí N pltí, že, + N pltí, že + Má-li poloupot ěkterou ze čtyř výše uvedeých vltotí, zývá e mootóí, přičemž poloupoti rotoucí klející e zývjí ryze mootóí

6 Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeé úlohy Příkld 55 Zjitěte, zd poloupot, ve které pro libovolý čle pltí ryze mootóí ( ), je + Řešeí: Předpokládejme, že tto poloupot je rotoucí je tedy < + Čle ( ) + ( + )(( + ) ) ( + ) čle + ( + ) + + dodíme do předpokldu < + doteme erovici ( ) ( + ) <, u které potřebujeme zjitit, zd + + pltí pro všech přirozeá číl Po jejím vyáobeí kldým čílem doteme ( + )( + ) + < + + Odtud pk po úprvě >, což pltí N Náš předpokld byl právý zjitili jme, že poloupot je rotoucí tedy ryze mootóí Příkld 56 Zjitěte, zd je poloupot + ohričeá Řešeí: Prví čley poloupoti jou:,, 6, 8, ,,, 6 0 Lze uuzovt, že je rotoucí, což ověříme pltotí vzthu dozeí dotáváme + >, N Po ( + ) >, po úprvě ( + + ) > ( + ), tedy + + > 0 Víme yí, že poloupot rote, chceme zjitit, zd je ohričeá Čle této rotoucí poloupoti má ejmeší hodotu Zdáí pro -tý čle uprvíme tkto: : ( + ) + + Z toho vyplývá, že všechy čley poloupoti jou meší ež přirozeá číl je, tedy tedy ohričeá Zjevě pro všech d h, kde d, h Poloupot je

7 Zákldy mtemtiky Poloupoti Pozámk N předchozích příkldech vidíme, že je možé ěkteré poloupoti určit vzorcem pro -tý čle Jou všk i jié velmi důležité poloupoti, u kterých tkový vzorec udt eumíme (Npříkld u rotoucí poloupoti všech prvočíel:,, 5, 7,,, 7, 9,, ) Velmi čtý důležitý je přípd, kdy je dá prví čle ebo ěkolik prvích čleů poloupoti pro áledující čley je dá předpi, jk e má určit čle čleů + zákldě zloti předchozích,,, V tkovém přípdě říkáme, že poloupot { } je defiová rekuretě (ltiky recurrere běžeti zpět) Řešeé úlohy Příkld 57 Npište prvích pět čleů poloupoti, která je dá rekuretě:,, + Řešeí: ; ; 5 5 Příkld 58 Npište prvích deet čleů poloupoti dé rekuretě: 0 +,, + + Řešeí: 0,,,,, 5, 8,,, Tto poloupot e zývá Fibocciov Kotrolí otázky Tvoří moži N všech přirozeých číel upořádých podle velikoti poloupot? + Je poloupot mootóí? Může být grfem poloupoti přímk ebo polopřímk?

8 Zákldy mtemtiky 5 Aritmetická poloupot Poloupoti Výkld Aritmetické poloupoti jou peciálí typy poloupotí, které mjí velký teoretický i prktický výzm Aritmetická poloupot je kždá poloupot určeá rekuretě vzthy:, + d, N, + kde, d jou dá reálá číl Čílo d zýváme diferece (diferece rozdíl), protože e rová rozdílu + kterýchkoliv dvou ouedích čleů poloupoti, tj d + Uvedeme i yí jedu vltot kždé ritmetické poloupoti, která je pro i chrkteritická Podle defiice je rozdíl kždých dvou jejích ouedích čleů kottí Pltí tedy : + pro kždé N, Odtud dotáváme rovici, z íž plye pro čle : + + Teto vzth vyjdřuje, že počíje druhým čleem, je kždý čle ritmetické poloupoti ritmetickým průměrem čleů ouedích Obráceě, je-li v poloupoti kždý čle, ritmetickým průměrem čleů ouedích, jedá e o ritmetickou poloupot Řešeá úloh Příkld 5 Určete prvích pět čleů ritmetické poloupoti, je-li dá edmý čle 7 0 šetý čle 6 8 Řešeí: d + d + d + d + d + d d d

9 Zákldy mtemtiky Poloupoti Výkld Sdo vidíme, že -tý čle ritmetické poloupoti lze vyjádřit pomocí prvího čleu potřebého áobku diferece: + ( ) d Pro libovolé dv čley r, ritmetické poloupoti pltí vzth: + ( r d r ) Řešeé úlohy Příkld 5 V ritmetické poloupoti je dáo 8, 7 6, určete, d, 0 Řešeí: Podle Podle + ( r d je r ) 7 + d d 7 d + ( ) d pk je + d d 0 Podle + ( ) d je tké 0 + 9d 0 + 9( ) 5 Součet prvích čleů ritmetické poloupoti Výkld Mějme z úkol ečít všech přirozeá číl od jedé do pdeáti Můžeme i počít tk, že píšeme čítce vzetupě etupě pk je ečteme : Součtem těchto rovic dotáváme : ( 50) + ( + 9) + + ( 50 + ) Z tkto řešeé úlohy vidíme, že lze odvodit pro oučet poloupoti { } vzorec: prvích čleů ritmetické ( + )

10 Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeé úlohy Příkld 5 Vypočtěte oučet prvích přirozeých lichých číel Řešeí: Lichá přirozeá číl tvoří ritmetickou poloupot, ve které je Podle + ( ) d je + ( ) ;, d proto podle ( + ) ( + ) je ( ) Součet prvích lichých přirozeých číel má hodotu Příkld 5 Trubky jou rováy v omi řdách d ebou tk, že vrchí má trubek kždá dlší řd o jedu více Kolik je všech trubek dohromdy? Řešeí: Počty trubek v řdách jou prvími omi čley ritmetické poloupoti, ve které je, d podle + ( ) d je Máme-li určit 8 počet všech trubek, určíme oučet prvích omi čleů této poloupoti Dodíme do vzorce Trubek je tedy celkem ( + ) 8 ( + 0) 8 Příkld 55 Délky tr prvoúhlého trojúhelíku jou prvími třemi čley ritmetické poloupotiurčete délky odvěe víte-li, že přepo měří 0 cm Řešeí: Ozčme odvěy v trojúhelíku b, c 0 d 0 d d 0 d, Z Pythgorovy věty pro délky tr prvoúhlého trojúhelíku dotáváme (0 d) 900 0d + d 5d d d, 80d d ± + (0 d) d + d ± d 0, d 6 Koře d 0 pro áš úkol emá myl Druhý koře d d 0 6 8, Stry prvoúhlého trojúhelíku měří 8, 0 cm

11 Zákldy mtemtiky Poloupoti Příkld 56 Mezi číl,6; b, 7 vložte 9 číel tk, by dými dvěm číly tvořil prvích čleů ritmetické poloupoti Řešeí: V uvžové poloupoti je zdá její prví jedeáctý čle,6 b,7,7,6 + 0d,7,6 d 0, 0 Prvích jedeáct čleů poloupoti jou tedy číl:, 6;, 8;, 0;, ;, ;, 65;, 86;, 07;, 8;, 9;, 7 Příkld 57 Aritmetická poloupot má difereci d čle 5 Kolik prvích čleů této poloupoti má oučet 56? Řešeí: ( ) d 5 ( )( ) Pro oučet doteme rovici ezámou (+ + 5) 56 / 9 8+ / : ± 9 ( 5) ± 5, 9 8, N Hledé je 8 N : V dé poloupoti má prvích om čleů předpokládý oučet Příkld 58 Z dobrý propěch dl otec yovi počátkem školího roku prví kpeé 00 Kč tím, že mu bude v průběhu pěti měíců toto kpeé zvyšovt buď po měíci vždy o Kč, ebo po půl měících vždy o Kč Zkute ejprve odhdout, která bídk je pro y výhodější, pk e o tom výpočtem převědčte Řešeí: Odhdli jte, že je výhodější pro y, když mu bude otec zvyšovt kpeé o Kč z půl měíce ež o Kč z měíc? Převědčíme e o tom porováím oučtů dvou ritmetických poloupotí - 6 -

12 Zákldy mtemtiky Poloupoti Poloupot při měíčím vyšováí má 00, d, 5 Její oučet je Její oučet je ( (5 ) d ) Při půlměíčím vyšováí kpeého jde o jiou poloupot, která má 50, d, 0 ( (0 ) d ) Porováím zíkých oučtů vidíme, že je druhá vrit pro y o pět koru výhodější Příkld 59 Určete ritmetickou poloupot, u které pltí: , 7 6 Řešeí: Určit máme hodotu prvího čleu diferece Použitím + ( ) d doteme outvu dvou lieárích rovic o dvou ezámých vyřešíme dozovcí metodou + d + + 6d + d + + d 6 ( + d ) ( + d ) 6, d, kterou + 7d 6 + d 6 d 6 ( d 6) + 7d 6 9d 8 + 7d 6 6d d Poloupot je urče vým prvím čleem 5 diferecí d 7 Příkld 50 Jk je hluboká tud, víme-li, že výkop kždého áledujícího metru byl o 500 Kč držší ež výkop metru předešlého Z výkop poledího metru třetího metru od koce bylo zplceo dohromdy tolik, kolik by tál výkop celé tudy, pokud by kždý metr výkopu tál tejě jko výkop prvího metru Průměrá ce jedoho metru výkopu byl 500 Kč Řešeí: Cey z výkopy po obě jdoucích metrů tudy jou prvími čley ritmetické poloupoti, o které ze zdáí víme, že d 500,

13 Zákldy mtemtiky Poloupoti Hledá hloubk tudy je rov počtu čleů ší poloupoti zjevě je možé předpokládt, že Užitím vzthů pltých v ritmetické poloupoti zíkáváme ze zdáí: ( + ) d + d + ( ) d 5000 Pro d 500 je d d + ( ) d + + ( ) d ( ) 000( ) + d d Pro je 000 Dozeím dotáváme: Stud je hluboká edm metrů Kotrolí otázky Je ritmetická poloupot rotoucí, je-li její diferece d < 0? Jk určíme oučet prvích čleů ritmetické poloupoti? Co je to diferece ritmetické poloupoti? 5 Geometrická poloupot Výkld Aritmetické poloupoti vytihovly změu, kterou bychom mohli chrkterizovt jko rovoměrou, eboť přírůtky od jedoho čleu k áledujícímu byly kottí Nyí ledujme míček volě puštěý z výšky jedoho metru, který e po dopdu vodorovou roviu odrzí vždy do výše rové výšky, ze které dopdl Číl,,,, jou výšky, 9 7 kterých míček po odrzech dohuje Tvoří poloupot, kterou zýváme geometrickou - 6 -

14 Zákldy mtemtiky Poloupoti Geometrická poloupot je kždá poloupot určeá rekuretě vzthy, q, N, kde, q jou dá číl + Čílo q e zývá kvociet geometrické poloupoti Budeme předpokládt, že je 0 q 0 V tkovém přípdě je kždé 0 z rekuretího vzthu plye pro kvociet (ltiký ázev pro podíl), že + q Uveďme i ukázku prvích pět čleů geometrické poloupoti, je-li dá její prví čle kvociet ) b) c), q ; ; 9; 7; 8;, q,5 ; ;,5; 6,75; 0,5; 0, q 0; 5;,5;,5; 0,65; d), q ; 6;8; 5; 6; Pozámk Je-li kvociet záporý ( q < 0 ), pk čley geometrické poloupoti reálých číel jou třídvě kldé záporé tková poloupot eí i rotoucí, i klející; to vidíme příkldu d) Je-li kvociet kldý ( q > 0 ), pk má geometrická poloupot reálých číel buď všechy čley kldé, ebo všechy čley záporé Je-li q, eí poloupot i klející i rotoucí, je kottí Poloupoti kldými čley, jou pro q > rotoucí pro 0 < q < klející Výkld Tké pro geometrické poloupoti reálých číel je možé odvodit chrkteritickou vltot, která pltí je pro poloupoti geometrické Z defiice plye, že podíl kždých dvou ouedích čleů je kottí Zmeá to, že pltí: + q tké q Můžeme tedy porovt + + Souči je kldé čílo tedy

15 Zákldy mtemtiky Je-li { } geometrická poloupot reálých číel, pk bolutí hodot kždého jejího čleu (kromě prvího) je rov geometrickému průměru čleů ouedích, tj + Obráceě, je-li v poloupoti reálých číel { } bolutí hodot kždého čleu (kromě prvího) geometrickým průměrem čleů ouedích, je to poloupot geometrická Poloupoti Z defiice geometrické poloupoti víme, že je urče prvím čleem kvocietem pltí: + tj q, q q, q, q, q N zákldě toho vidíme, že pro výpočet -tého čleu geometrické poloupoti dé prvím čleem 0 kvocietem 0 pltí vzth: q q Pro libovolé dv čley, geometrické poloupoti, v íž je 0, q 0, pltí rovot r r rq 5 Součet prvích čleů geometrické poloupoti Výkld Pro oučet prvích čleů geometrické poloupoti { } pltí vzthy: q pro q, ebo pro q q Řešeé úlohy Příkld 5 Npište prvích pět čleů geometrické poloupoti, je-li dáo: ),, b),

16 Zákldy mtemtiky Řešeí: ) Nejprve určíme podíl dvou ouedích čleů eboli kvociet ší geometrické poloupoti q Z defiice je pk Poloupoti q (ebo podle q je 9 q ), 9 q 9 7 (ebo 5 q 7 8 (ebo q ), 7 5 q ) 8 b) Jou dáy dv libovolé čley geometrické poloupoti Kvociet určíme podle r q r 5 q q q q 5 Tto rovice dává dvě možá řešeí Nejprve určíme zbývjící čley poloupoti pro q : 6, 6, 6 q q q Nyí druhé řešeí pro q : 6 6 ( ), 6, Příkld 5 Určete počet prvích čleů geometrické poloupoti, záte-li 7, oučet ( + 9) Řešeí: Užitím q doteme: 7 q q 9 q q

17 Zákldy mtemtiky Poloupoti Toto vyjádřeí polu e zdáím dodíme do vzthu q q q ( + 9) 7 9 / ( )( q ) q, pro q q + q q 9, odkud je po úprvě + + q + ( + ) Dozeím do vzthu q zíkáme expoeciálí rovici 9 9, kterou převedeme tvr, odtud je, tj 5 Příkld 5 Předtvme i, že dv přátelé zpozorovli de led v 000 hodi přitáí vemíré lodi mimozemšťy Během čtvrt hodiy věděly o přitáí i jejich mželky Během dlší čtvrt hodiy dělil kždý z ich tuto událot vému zámému, tkže o událoti vědělo půl hodiy po půloci již 8 lidí Předpokládejme, že by e tkto mohl zpráv šířit po čtvrthodiách i dlší obyvtele Země Zjitíte, kdy by e o přitái vemíré lodi dozvědělo lidtvo celého vět? Zkute ejprve odhd Řešeí: Počty iformových lidí po čtvrthodiách jou čley geometrické poloupoti,, 8, 6,,, kde, q Muíme zjitit, který její čle přeáhe vou hodotou počet obyvtel Země 9 Víme, že je teto počet přibližě šet milird to zpiujeme jko čílo 6 0 Chceme, by q Řešíme tedy erovici log log6 + 9log0 log log6 + 9 log log 6 0 9, pro N Po zlogritmováí obou tr je log , log 0,00 Tkže téhož de led v 7hodi 5 miut by o událoti vědělo

18 Zákldy mtemtiky Poloupoti obyvtel z dlší čtvrt hodiy už by počet přeáhl počet obyvtel ší plety, eboť dlší čle poloupoti je Odhdli jte, že by k tomu tčilo přibližě om hodi? Příkld 5 Možá jte už ěkdy dotli ebo dotete dopi, v ěmž jou uvede čtyři vám zámá i ezámá jmé dremi výzv ke hře, jejíž prvidl jou tručě tkováto pošli pohledici hráči, jehož dre je z uvedeých čtyř dre prví v pořdí Pokyy k této hře čtyřikrát opiš tím rozdílem, že prvího hráče vyecháš píšeš ebe čtvrté míto dopiy pošli čtyřem ovým poluhráčům Pk e můžeš těšit, že v krátké době doteš 56 pohledic Neí to lákvé? Jitě o, zvláště když e v jié vritě této hry bízí míto pohledic peíze! Můžeme le těch 56 pohledic kutečě dott? Řešeí: Rozešlete-li dopi e vou dreou čtvrtém mítě čtyřem zámým, kždý z ich opět čtyřem zámým vší dreou třetím mítě td, ž e vše dre objeví prvím mítě všech účtíků vám zšle pohledici, zdá e, že je vše v pořádku Ale pozor, ztím jme euvžovli o tom, kolikátí v pořdí jte e do hry dotli Předtvte i, že jte jedím z hráčů, který vtoupil do hry příkld v omém kole hry Počty hráčů v jedotlivých kolech vytvářejí geometrickou poloupot, 6,6,56,, 56,, ze které vidíme, že v omém kole by e muelo hry zúčtit hráčů, byte byli jitě úpěší Je le docel možé, že e do hry dotete ž v kole dváctém Aby e v tomto přípdě dotl vše dre prví míto, muelo by e už hry zúčtit dokoce hráčů, tedy víc hráčů, ež má ČR obyvtel Odpověď ši otázku tedy zí, že ejpíše e Kotrolí otázky Jký je geometrický průměr číel 8? Co je to kvociet geometrické poloupoti? Jk určíme oučet prvích čleů geometrické poloupoti?

19 Zákldy mtemtiky 5 Užití geometrické poloupoti Poloupoti Výkld Čto e etkáváme růtem ebo pokleem číelých údjů, které jou čley geometrické poloupoti, změ jedotlivých čleů je zdá v procetech Vzrůt kždého čleu o p procet zmeá vzrůt čleu ze 00% jeho hodoty (00+p)% této hodoty, tkže čley e tále zvětšují v poměru 00 + p + p Tkovými údji jou příkld počty obyvtel v určitém čovém období, rozpd rdi, výpočet úroků od bky z uložeých vkldů podobě V áledujících příkldech e podíváme možá využití Řešeé úlohy Příkld 5 Z kolik let vzrote vkld Kč při tálém ročím přírůtku o p% k- 0) áobek ( k > vé původí hodoty? Řešeí: Ozčme velikot vkldu po letech + p p ( +) Stv po Jedá e zde o geometrickou poloupot kvocietem q To zmeá, že q q Podle zdáí pltí k, tkže q k, odkud q k letech pk je p q + prvím čleem 00 Logritmováím zíkáme rovici log q log k, ze které log k tj p log + 00 Dý vkld vzrote k-áobek vé původí hodoty z log k, log q log k p log + 00 let Příkld 5 Ve mětě de žije obyvtel Jký počet obyvtel tm můžeme očekávt z 6 let, předpokládáme-li kždoročí přírůtek,7%?

20 Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeí: Po roce e zvětší počet obyvtel 0,7% tvu, který byl počátkem roku Počty obyvtel po uplyutí jedotlivých roků tvoří geometrickou poloupot 0,7 kvocietem q, Ozčme i tedy počátečí tv Počet po prvím roce bude 0q 6 6 á zjímá čle q 85600, Z šet let můžeme ve mětě očekávt i 9 70 obyvtel 55 Limit poloupoti Výkld Teto ový pojem budeme potřebovt v dlších úvhách přitom e změříme je ěkolik málo užití Npříkld pro odpověď otázku, zd může exitovt koečý oučet ekoečě moh číel Po vyvětleí tohoto ového pojmu i ukážeme, že tkový oučet exitovt může, byť ečít ekoečě moho číel elze Možá jte lyšeli o řeckém filozofovi Zeoovi z Eleje (i 90 0 přl), který potrápil trověké mtemtiky škodolibým tvrzeím, že rychloohý Achille emůže ikdy dohoit želvu, má-li želv určitý ákok Je to emyl, le ukázt to eí jedoduché Limit poloupoti ám k odpovědi pomůže Slovo limit je ltikého původu zmeá mez ebo hrici Všiměme i poloupoti Její čley,,,,,, klejí rotoucím, 5 6 ikdy všk ebudou meší ež, eboť + Čley této poloupoti e zjevě blíží, eboli kovergují, k jedé Čílo je limitou této poloupoti To zmeá, že od určité + hodoty pltí < ε, kde ε je libovolě zvoleé kldé čílo Řekeme, že poloupot { } má limitu R, jetliže ke kždému ε > 0 exituje tkové čílo 0 N, že je Poloupot má ejvýše jedu limitu < ε pro všech > 0, N Píšeme lim Má-li poloupot koečou limitu, říkáme, že je kovergetí (bíhvá) V opčém přípdě mluvíme o divergetí (rozbíhvé) poloupoti

21 Zákldy mtemtiky Poloupoti N obrázku je vidět, že pro všech > ptří obrzy čleů poloupoti v outvě { } ouřdic v roviě do vitřku páu hricemi ε, + ε Řešeá úloh Příkld 55 Zjitěte, zd je poloupot kovergetí ebo divergetí Řešeí: Dá poloupot má -tý čle po úprvě 7 ; Sledujme yí poloupot žme e podle defiice limity poloupoti + 7 zjitit její limitu Sdo vidíme, že je , ( ) eboť N je + 7 > 0 Proto můžeme předpokládt, že + 7 < ε ( ) 7ε odtud po úprvě < ε + 7ε > 0 ε Obráceě, je-li > 0, tj pltí-li ( 5 ), pltí i ( ) tkové čílo, že pltí ( ) pro všech > 0 0 ( 5 ) () ( ) Ke kždému ε > 0 exituje tedy - 7 -

22 Zákldy mtemtiky Ze vzthů ( ), ( ), ( ) plye, že lim Poloupoti Protože ke kždému > 0 exituje tkové, že Podle () můžeme tedy pát ε 0 <, > 0 7 lim + 7 Dá poloupot je kovergetí, koverguje k ε Kotrolí otázky Má kždá poloupot vou limitu? Je kottí poloupot kovergetí? 56 Nekoečá geometrická řd Výkld Vložíme-li mezi kždé dv čley poloupoti { } + + +, + + zméko +, doteme chém které zpiujeme zkem (čteme um od do ekoeč) zýváme ekoečá řd Číl,,, zýváme čley této řdy Omezíme e je ekoečé geometrické řdy ukážeme i, jk v ěkterých přípdech dopějeme k pojmu oučet ekoečé řdy Vytvoříme poloupot:,, , kterou zveme poloupotí čátečých oučtů dé ekoečé řdy Pro tuto poloupot pk mohou tt pouze tyto dv přípdy: - má limitu ; - emá limitu +, - 7 -,

23 Zákldy mtemtiky Poloupoti V prvím přípdě říkáme, že dá ekoečá řd je kovergetí, čílo zýváme jejím oučtem V druhém přípdě říkáme, že ekoečá řd je divergetí, tj emá oučet Je-li ekoečá řd kovergetí e oučtem, pk ymbolem ozčujeme zápi eje této řdy, le tké její oučet Píšeme Lze dokázt, že ekoečá geometrická řd q je kovergetí jeom v tom přípdě, když je q < ; její oučet potom je Pro q je řd divergetí q Řešeé úlohy Příkld 56 Určete oučet ekoečé geometrické řdy Řešeí: Řdu i ejprve vyjádříme pomocí ěkolik prvích čleů: Je zřejmé, že q, ( q < ) Řd je kovergetí pro její oučet pltí: Příkld 56 Njděte řešeí dé rovice: 8 x x 9 x 7 x + Řešeí: N prvé trě je v rovici ekoečá geometrická řd prvím čleem kvocietem q <, tedy < q, kterou je uto ečít To lze v přípdě, že je plěo: x Tto erovice je plě pro všech ( ; ) ( ; ) x x - 7 -

24 Zákldy mtemtiky Poloupoti Pro tto x řd koverguje je tedy podle : q x 8 x 0 x q x + x + 0 x + + x x Řešeí tkto uprveé rovice hledáme možiě (, 0) ( 0, ) ( ) M, 8 x / x+ 0 x+ 8x+ x + 0x ( x ) ( x ) ± + ± 0 x + x 0 x, x 6, x Ob kořey leží v možiě M jou tedy hledým řešeím dé rovice Příkld 56 Určete dé rcioálí periodické čílo 0,8 ve tvru zlomku, jehož čittel i jmeovtel jou celá číl Řešeí: Dé čílo (eryze periodické) je 0,888 0, Z čílem 0, vidíme kovergetí ekoečou geometrickou řdu o prvím čleu 8 0 kvocietu q 0 Je tedy 0, +, kde je oučet té řdy Proto je q Pozámk Vzpomíáte i tvrzeí filozof Zeo, že Achille ikdy edohoí pomlou želvu? Přibližme i vyvětleí tohoto prdoxu jedodušším tvrzeí Zeo, že žádý běžec emůže proběhout úek z mít A do mít B Zeoov úvh byl dlouho mtemticky evyvrtitelá Pouďte mi Má-li běžec proběhout vzdáleot AB, muí proběhout - 7 -

25 Zákldy mtemtiky Poloupoti ejdříve poloviu této vzdáleoti, potom poloviu zbývjící vzdáleoti, potom opět poloviu zbývjící vzdáleoti td Muí tedy proběhout vzdáleot, která e rová oučtu ekoečého počtu úeků o délkách A teď položil Zeo otázku Jk je možé, že může běžec překot ekoečý počet úeků z koečý č? Vyvětleí jitě už mi vidíte Je to možé, protože úeky tvoří ekoečou geometrickou řdu kvocietem q q, tedy kovergetí ekoečou řdu, která má koečý oučet A tk je dokázáo, že tuto vzdáleot může běžec proběhout v koečém če Podobě bychom dokázli, že Achille dohoí želvu Úlohy k mottému řešeí Určete ritmetickou poloupot, u které pltí , 5 Sečtěte prvích dvcet čleů ritmetické poloupoti, ve které je:, V ritmetické poloupoti určeé čleem 7 diferecí d je oučet prvích čleů 0 Určete čílo Prví čle geometrické poloupoti je záporý Která podmík muí být plě, by poloupot byl: ) rotoucí, b) klející 5 Určete kvociet geometrické poloupoti, je-li:, 9 6 Určete, q geometrické poloupoti, u íž pltí: 7 5 8, , Teploty Země přibývá do hloubky přibližě o o C 0 metrů Jká je teplot dě dolu 05 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplot 9 o C? 5 8 Řešte rovici: x + x + x + x + 9 Mezi kořey kvdrtické rovice x 6x vložte číl tk, by polu kořey tvořil ritmetickou poloupot e oučtem 7 Určete tto číl difereci 0 Určete v geometrické poloupoti, kde pltí: , 60

26 Zákldy mtemtiky Poloupoti Výledky úloh k mottému řešeí 5, d 7 ; 0 ; 0 0 ; ) q ( 0; ) ; b) ( ; ) q ; 5 q ; 6, q, 0 ; 7 C ; 8 0, q, ; ; 9,7,0,,6,9,; d ; 7 Klíč k řešeí úloh Užitím vzthů + ( ) d + ( r d zíkáte outvu dvou rovic o r ) dvou ezámých + + d + + 5d 7, uprvíme ji + d ( + d) ( + d) + 8d + d 7 6 doteme řešeí 5 d 7 Užijeme potupě vzthy + ( ) d, + ( r d Doteme outvu + 9d d d / ( ) 0 ( + 0 ) 0 0 ( 9 + 0) 0 Užitím vzthů + ( ) d ezámé Ze vzthu kořey jou r ) po vyřešeí d, 9, ( + ) ( + ) zíkáte kvdrtickou rovici o (7 + ) 0 ; N dozeím úprvou doteme 8 0 0, 0, Ale eí přirozeé čílo, řešeí je tedy jedié 0 Poloupoti rotoucí tejě jko poloupoti klející jou mootóí K tomu je třeb, by jejich čley eměly zmék třídvě kldá záporá, což by tlo při áobeí záporým čílem Budeme tedy v obou přípdech poždovt, by kvociet bylo čílo kldé Vyjděme z podmíky pro rotoucí poloupot, t je + > Když zde ob čley

27 Zákldy mtemtiky Poloupoti hrdíme podle vzthu q doteme k vyřešeí erovice: q q > q > q < ( q q ) > 0 / < 0 0 0, které potupě uprvujeme: q q < 0, q ( q ) < 0 To je plěo pro q < 0 q > 0 ebo pro q > 0 q < 0 Z těchto podmíek je q < 0 q > ebo q > 0 q < N závěr dotáváme q ebo q ( 0, ) Geometrická poloupot e záporým prvím čleem je tedy rotoucí, je-li její kvociet čílo z otevřeého itervlu (0, ) Nyí vyjdeme z podmíky < + V předchozím potupu změíme zméko erovoti, geometrická poloupot e záporým prvím čleem je klející, má-li její kvociet hodotu větší ež jed, tz řešeím bude itervl (, ) r 5 Použijeme vzthy q q r 6 Použijeme vzthy q, q r r q q q 7 Použijeme plté vzthy ritmetické poloupoti 8 N prvé trě zdé rovice jou dvě ekoečé geometrické řdy, u kterých je třeb podle určit oučty q 9 Kořey rovice ozčit jko prví -tý čle ritmetické poloupoti užít vzth ( + ) r 0 Nejprve určit prví čle kvociet užitím vzthů q, q pk použít r vzth q q

28 Zákldy mtemtiky Poloupoti Kotrolí tet V ritmetické poloupoti záte, 5 Určete čle ), b) -5, c) 0, d) -5 Mezi kořey kvdrtické rovice x + x 0 vložte 6 číel tk, by polu kořey tvořil čley ritmetické poloupoti Jký je oučet vložeých číel? ) oučet 6, b) oučet 0, c) oučet, d) oučet 50 Obvod prvoúhlého trojúhelíku měří cm Velikoti jeho tr tvoří tři po obě jdoucí čley ritmetické poloupoti Určete délku přepoy ), b) 0, c) 8, d) 6 Aritmetická poloupot má difereci d edmý čle 7 Vypočítejte kolik čleů této poloupoti má oučet 0? ) -8, b) 8, c) 7, d) Vypočtěte omý čle ritmetické poloupoti, ve které pltí 0, ) 8, b) 8 0, c) 8 8, d) Kolik číel je třeb vložit mezi číl 5 60 tk, by oučet vložeých číel byl 60 by vložeá číl tvořil dými číly po obě jdoucí čley geometrické poloupoti? ) 0, b) 6, c) 8, d) 9 7 Kvádr, jehož velikoti hr tvoří geometrickou poloupot, má povrch S 78m Součet délek hr procházejících jedím jeho vrcholem je m Vypočtěte hodotu objemu tkového kvádru v cm ) 7, b), c) 0, d) 8 Součet čtyř po obě jdoucích čleů geometrické poloupoti je 80 Určete její kvociet prví čle, víte-li, že druhý čle je devětkrát meší ež čtvrtý čle ) q, 5, b) q 5, c) q 5 7, d) q,

29 Zákldy mtemtiky Poloupoti 9 Určete oučet geometrické poloupoti, ve které je 8 88 ) 00, b), c) 0, d) 7 0 Určete prví čle oučet geometrické poloupoti, ve které je ), 58, b), 05, 5 c), 00, d), Výledky tetu b); d); b); d); 5 ); 6 b); 7 ); 8 d); 9 d); 0 b) Shrutí lekce Smylem této kpitoly bylo především docílit pochopeí pojmu poloupoti tk, jk je v mtemtice používá N příkldech poloupotí ritmetických geometrických pk po utém procvičeí ukázt i možá použití při řešeí prktických úloh Pojem limity poloupoti je zde uvede je tručě bez uvedeí všech jejích vltotí, le dottečě jě, bychom mohli pochopit i pojem ekoečé geometrické řdy Dodejme, byte e měli co těšit, že mtemtik prcuje i jiými řdmi, příkld mociými, hrmoickými, lterujícími ebo Fourierovými, které jou oučátí mtemtické lýzy lze jejich pomocí řešit řdu zjímvých úloh

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

5. Geometrické transformace

5. Geometrické transformace 5. Geometrické trnormce V této čáti předmětu 3D počítčová grik e budeme bývt geometrickými trnormcemi 3D objektů. Jedná e o operce pouvů otáčení měn měřítk koení těle vtvořených opercemi modelování. Stejnou

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha

FINANČNÍ MATEMATIKA. Jarmila Radová KBP VŠE Praha FINANČNÍ MATEMATIA Jarmila Radová BP VŠE Praha Osova Jedoduché úročeí Diskotováí krátkodobé ceé papíry Metody vedeí a výpočtu úroku z běžého účtu Skoto Složeé úrokováí Budoucí hodota auity spořeí Současá

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Geometrická posloupnost a její užití, pravidelný růst a pokles, nekonečná geometrická řada. 1 n. r s. [ a)22 ; b)31,5 ; c)-50 ; d)0 ; e)

Geometrická posloupnost a její užití, pravidelný růst a pokles, nekonečná geometrická řada. 1 n. r s. [ a)22 ; b)31,5 ; c)-50 ; d)0 ; e) 9 Geometrická posloupost její užití, prvidelý růst pokles, ekoečá geometrická řd Geometrická posloupost Je dá posloupost { }. Tuto posloupost zveme geometrická, jestliže pro kždé dv po sobě ásledující

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo metodická příručka DiPo násobení a dělení () PLUS násobilkové karty DiPo OlDiPo, spol. s r.o. tř. Svobody 20 779 00 Olomouc telefon: 585 204 055 mobil: 777 213 535 e-mail: oldipo@oldipo.cz web: www.oldipo.cz

Více

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava

Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava Katedra elektrotechiky Fakulta elektrotechiky a iformatiky, VŠB - TU Ostrava 10. STŘÍDAVÉ STROJE Obsah 1. Asychroí stroje 1. Výzam a použití asychroích strojů 1.2 Pricip čiosti a provedeí asychroího motoru.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

2.5.10 Přímá úměrnost

2.5.10 Přímá úměrnost 2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Pokud není uvedeno jinak, uvedený materiál je z vlastních zdrojů autora

Pokud není uvedeno jinak, uvedený materiál je z vlastních zdrojů autora Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Y_32_INOACE_EM_2.13_měření statických parametrů operačního zesilovače Střední odborná škola

Více

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy).

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). ROZCVIČKY Z MATEMATIKY 8. ROČ Prezentace jsou vytvořeny v MS PowerPoint 2010 (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). Anotace: Materiál slouží k procvičení základních

Více

5. cvičení 4ST201_řešení

5. cvičení 4ST201_řešení cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení

Více

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201 1.. Síly II Předoklady: 101 Oakování z minulé hodiny: Pohyb a jeho změny zůobují íly. Pro každou ravou ílu můžeme najít: ůvodce (těleo, které ji zůobuje), cíl (těleo, na které íla ůobí), artnerkou ílu

Více

Podrobný postup pro vygenerování a zaslání Žádosti o podporu a příloh OPR přes Portál farmáře

Podrobný postup pro vygenerování a zaslání Žádosti o podporu a příloh OPR přes Portál farmáře Podrobný postup pro vygenerování a zaslání Žádosti o podporu a příloh OPR přes Portál farmáře 3. a 4. výzva příjmu žádostí Operačního programu Rybářství (2014 2020) V následujícím dokumentu je uveden podrobný

Více

Dopravní stroje a zařízení odborný základ - 2015

Dopravní stroje a zařízení odborný základ - 2015 Dopraví stroje a zařízeí odbor zálad - 05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 5 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí Bodové hodoceí otáze: otáza body 0 0 3 0 0 5 0 OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdch

Více

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Měření změny objemu vody při tuhnutí

Měření změny objemu vody při tuhnutí Měření změny objemu vody při tuhnutí VÁCLAVA KOPECKÁ Katedra didaktiky fyziky, Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Anotace Od prosince 2012 jsou na webovém portálu Alik.cz publikovány

Více

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2016, kategorie A, B

Školní kolo soutěže Mladý programátor 2016, kategorie A, B Doporučené hodnocení školního kola: Hodnotit mohou buď učitelé školy, tým rodičů nebo si žáci, kteří se zúčastní soutěže, mohou ohodnotit úlohy navzájem sami (v tomto případě doporučujeme, aby si žáci

Více

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace Periodicita v časové řadě, její popis a idetifikace 1 Periodicita Některé časové řady obsahují periodickou složku. Pomocí vybraých ástrojů spektrálí aalýzy budeme tuto složku idetifikovat. Mějme fukci

Více

VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička

VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit.

Pokud se vám tyto otázky zdají jednoduché a nemáte problém je správně zodpovědět, budete mít velkou šanci v této hře zvítězit. Pro 2 až 6 hráčů od 10 let Určitě víte, kde leží Sněžka, Snad také víte, kde pramení Vltava, kde leží Pravčická brána, Černé jezero nebo Prachovské skály. Ale co třeba Nesyt, jeskyně Šipka, Pokličky nebo

Více

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR 1/1 Znalecký standard AZO č.1 Obvyklá cena spoluvlastnického podílu - obecně (mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) Stanovení obvyklé ceny (dále OC) spoluvlastnického podílu je nutné pro soudní spory,

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

Ovoce do škol Příručka pro žadatele

Ovoce do škol Příručka pro žadatele Ve smečkách 33, 110 00 Praha 1 tel.: 222 871 556 fax: 296 326 111 e-mail: info@szif.cz Ovoce do škol Příručka pro žadatele OBSAH 1. Základní informace 2. Schválení pro dodávání produktů 3. Stanovení limitu

Více

Aritmetika s didaktikou II.

Aritmetika s didaktikou II. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé

Více

VYHLÁŠKA Ministerstva spravedlnosti.. 177/1996 Sb. ze dne 4. ervna 1996

VYHLÁŠKA Ministerstva spravedlnosti.. 177/1996 Sb. ze dne 4. ervna 1996 VYHLÁŠKA Ministerstva spravedlnosti. 177/1996 Sb. ze dne 4. ervna 1996 o odm nách advokát a náhradách advokát za poskytování právních služeb (advokátní tarif), ve zn ní vyhlášky. 235/1997 Sb., vyhlášky.

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA

PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA č. j.: TACR/14666/2014 PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA Schválil/a: Lenka Pilátová, vedoucí oddělení realizace

Více

Zákon o významné tržní síle

Zákon o významné tržní síle Mteriál pro jednání 114. Plenární schůze RHSD ČR konné dne 1. prosince 2014 Zákon o význmné tržní síle Zprcovl: Svz obchodu cestovního ruchu ČR Bude projednáno n PT RHSD pro vnitřní trh dne 18. 11. 201

Více

ř ý ý š Ě Á š Á š š š ž é ř ů é ý é š ý ý š ý š é ž é ř ž ř ý ž ý š ř ý ř ý ř ř ž ů ř é ň ů ý é ň ř ř ř ž ý é Ž Í ť ú ř é é Ď Ž é Š ř š Š ý ž ý Ě ž é Š ř š Š ý é ř ý š ý ů é ř é ž é š ř š Š ý ž é ř ž ý

Více

Steinbrenerova 6, 385 17 VIMPERK. odbor výstavby a územního plánování Ú Z E M N Í R O Z H O D N U T Í

Steinbrenerova 6, 385 17 VIMPERK. odbor výstavby a územního plánování Ú Z E M N Í R O Z H O D N U T Í Městský úřad Vimperk Steinbrenerova 6, 385 17 VIMPERK odbor výstavby a územního plánování Číslo jednací: Vyřizuje: Telefon: 388 459 047 Ve Vimperku dne: 27.1.2009 VÚP 328.3-2360/3150/08 Ka-38 Pavel Kavlík

Více

Měření základních vlastností OZ

Měření základních vlastností OZ Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Á Š Í Ú Ú ř ě úř ó úř é ě ěš úř úř č é š ě úř ě ě č úř é š ě é š ě é š ě ě úř Ú Í Š ě Ř Á ÁŠ Í Ú Í Í ý č ě úř úř ř š ý č ú ř ě ě š ř ů ú ř ž Ž ě Í ě é š ě é ř ě é ě Š é ř ě é é š ě ý é š ě š é é š ě ž

Více

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice

Obr. Z1 Schéma tlačné stanice Části a mechaismy strojů III Předmět : 34750/0 Části a mechaismy strojů III Cvičí : Doc Ig Jiří Havlík, PhD Ročík : avazující Školí rok : 00 0 Semestr : zimí Zadáí cvičeí Navrhěte a kostrukčě zracujte

Více

269/2015 Sb. VYHLÁŠKA

269/2015 Sb. VYHLÁŠKA 269/2015 Sb. - rozúčtování nákladů na vytápění a příprava teplé vody pro dům - poslední stav textu 269/2015 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. září 2015 o rozúčtování nákladů na vytápění a společnou přípravu teplé

Více

Zadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional

Zadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional Zadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional Nejčastěji se o JDF hovoří při řízení procesů v tiskových provozech. JDF se však má stát komunikačním prostředkem mezi všemi

Více

č Č Ó ť Ó Ý ť Í ďý Ů Ť Í Ť Ó č Ó č Ť Ó č Ě ť Ě ť ť Ť Ťč ť Ěč č Ť Íč Ó Ť Ť Ťč Ó Í Ť ť ž ť ť Ť ť ť ť Č Ó ď Ť ť ť Ť č ť Í č Í Í ř Í ť Ť č ť Ú ú Ú Ť ť Í ť Í Í č ť Í ť Ť ď Í Í č Í Í ť ť Ó Í Ť É Í Ť Ď ž ž Ď

Více

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Tento projekt je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky.

Tento projekt je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. Tento projekt je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky. ÚVOD Cvičení pro uvolnění ruky jsou určeny pro vzdělávání žáků v základní škole speciální a plně respektují

Více

úř ř č úř ó Í Ú Í Í Ž é ů Ž Ú ě ž é ě ý ř š é č š é č ú ě ř š é š é č ú ě úř úř č č Ú ř ě ě š ř ů č ř ě č ř Ú ý Ú ř úř ť ř ř š ý ž ě ě é ě ý ř š é č š é č ú ě ř š é š é č ú ě ý ú úř ř Ž ř é ř ě ý Ž é ř

Více

Český úřad zeměměřický a katastrální vydává podle 3 písm. d) zákona č. 359/1992 Sb., o zeměměřických a katastrálních orgánech, tyto pokyny:

Český úřad zeměměřický a katastrální vydává podle 3 písm. d) zákona č. 359/1992 Sb., o zeměměřických a katastrálních orgánech, tyto pokyny: Český úřad zeměměřický a katastrální POKYNY Č. 44 Českého úřadu zeměměřického a katastrálního ze dne 20.12.2013 č.j. ČÚZK- 25637/2013-22, k zápisu vlastnictví jednotek vymezených podle zákona č. 72/1994

Více

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m.

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m. 3. Dynamika Zabývá se říčinou ohybu (jak vzniká a jak se udržuje). Vše se odehrávalo na základě řesných okusů, vše shrnul Isac Newton v díle Matematické základy fyziky. Z díla vylývají 3 ohybové zákony.

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Rozšířená nastavení. Kapitola 4

Rozšířená nastavení. Kapitola 4 Kapitola 4 Rozšířená nastavení 4 Nástroje databáze Jak již bylo zmíněno, BCM používá jako úložiště veškerých informací databázi SQL, která běží na všech lokálních počítačích s BCM. Jeden z počítačů nebo

Více

5.2.2 Rovinné zrcadlo

5.2.2 Rovinné zrcadlo 5.2.2 Rovinné zrcadlo ředpoklady: 5101, 5102, 5201 Terminologie pro přijímačky z fyziky Optická soustava = soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných paprsků. Optické

Více

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika

Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace. Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz. Metodika Základní škola, Staré Město, okr. Uherské Hradiště, příspěvková organizace Komenské 1720, Staré Město, www.zsstmesto.cz Metodika k použití počítačové prezentace A Z kvíz Mgr. Martin MOTYČKA 2013 1 Metodika

Více

SLEVY I. ZÁKLADNÍ SLUŽBY

SLEVY I. ZÁKLADNÍ SLUŽBY SLEVY I. ZÁKLADNÍ SLUŽBY Slevy úrovně 1 pro podání se Zákaznickou kartou České pošty Podmínky slev při podání se Zákaznickou kartou České pošty Každý držitel Zákaznické karty České pošty má nárok na uplatnění

Více

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit

Více

Zpráva nezávislého. Obec Soběkury

Zpráva nezávislého. Obec Soběkury Ing. Jan Nozar, auditor Na Výhledech 315, 334 52 Merklin číslo oprávnění 1424 o zápisu do seznamu auditorů IČ 49737601 Zpráva nezávislého o výsledku přezkoumání auditora hospodaření územního samosprávného

Více

Zpravodaj pro rodiče č.22

Zpravodaj pro rodiče č.22 Základní škola Merklín, okres-plzeň-jih Školní 249, 334 52 MERKLÍN Tel. 377912116 * email: zsmerklinpj@iol.cz * www.web.telecom.cz/zsmerklin Zpravodaj pro rodiče č.22 listopad 2005 Vážení rodiče, v dnešním

Více

Návrh rozměrů plošného základu

Návrh rozměrů plošného základu Inženýrský manuál č. 9 Aktualizace: 02/2016 Návrh rozměrů plošného základu Program: Soubor: Patk Demo_manual_09.gpa V tomto inženýrském manuálu je představeno, jak lze jednoduše a ektivně navrhnout železobetonovou

Více

VY_32_INOVACE_OV_1AT_01_BP_NA_ELEKTRO_PRACOVISTI. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno

VY_32_INOVACE_OV_1AT_01_BP_NA_ELEKTRO_PRACOVISTI. Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_OV_1AT_01_BP_NA_ELEKTRO_PRACOVISTI Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Štícha Roman Tematická oblast

Více

ř č ě Í Í Š é á ě ÍÍ ř ě ě á á ě á ř č ď ý ý ý á á č ě é ě ě ě ě Ť ž ě ř é é á ř ě ř š é é é ť Í ý é ř á ž á á č ř ě ý á á á ď ý ň á á é ž á ě é ď č ář ůž ý á ř ě č ý ř ý ž ň ě ý ů ě á á ř áď ž á ý Í ž

Více

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik

Více

2.3.6 Vektory - shrnutí

2.3.6 Vektory - shrnutí .3.6 Vektory - shrnutí Předpoklady: 0070 Pomůcky: lano, tři knížky, závaží 5 kg Pedagogická poznámka: V úvodu řešíme poslední příklad z minulé hodiny. Př. : Jirka s Honzou nesou společně tašku. Jirkovo

Více

Rekuperace rodinného domu

Rekuperace rodinného domu Co je to rekuperace? Rekuperace rodinného domu Rekuperace, neboli zpětné získávání tepla je děj, při němž se přiváděný vzduch do budovy předehřívá teplým odpadním vzduchem. Teplý vzduch není tedy bez užitku

Více

Opakování. Metody hodnocení efektivnosti investic. Finanční model. Pravidla pro sestavení CF. Investiční fáze FINANČNÍ MODEL INVESTIČNÍHO ZÁMĚRU

Opakování. Metody hodnocení efektivnosti investic. Finanční model. Pravidla pro sestavení CF. Investiční fáze FINANČNÍ MODEL INVESTIČNÍHO ZÁMĚRU Metody hodoceí efektvost vestc Opakováí Typy vazeb v uzlové síťové grafu K čeu slouží stude využtelost Fačí odel vestčího záěru Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Napšte strukturu propočtu Fačí odel FINANČNÍ

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. VZPĚR VZPĚR

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. VZPĚR VZPĚR Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. ZÁŘÍ 2013 Název zpracovaného celku: VZPĚR VZPĚR U všech předcházejících druhů namáhání byla funkce součásti ohroţena překročením

Více

Obecně závazná vyhláška obce Zaječí č. 04/2003 ze dne 20.11.2003 o místních poplatcích

Obecně závazná vyhláška obce Zaječí č. 04/2003 ze dne 20.11.2003 o místních poplatcích Obecně závazná vyhláška obce Zaječí č. 042003 ze dne 20.11.2003 o místních poplatcích Zastupitelstvo obce Zaječí vydalo dne 20.11.2003 podle ustanovení 14 odst. 2 zákona č. 5651990 Sb., o místních poplatcích,

Více

Á Í ň Í é ň Ý ď ž Ť Á š é ý Š é š é š ý é ž ý ž é š é é š é ň Ď Á Á Á Í š ň ý ý ž é é ž š š é é ú š é ž š é ž é ý ž é ň š ž ň š é é é ň ý ú š é š é ž ý š é é Í Í š ž é š š š ň š š š ú š é é é š ž é ž ž

Více

Oddíl 5 Bytové spoluvlastnictví

Oddíl 5 Bytové spoluvlastnictví Oddíl 5 Bytové spoluvlastnictví Pododdíl 1 - Obecná ustanovení 1158 (1) Bytové spoluvlastnictví je spoluvlastnictví nemovité věci založené vlastnictvím jednotek. Bytové spoluvlastnictví může vzniknout,

Více

í Š í Š Í Í ú š š š Š š Š ě ý íň ý í í Ž é ě š Ť í í ý ú ý ý é ý Ř Ý š Žď ě š é ý ďí ě ě ě í í í ď š ší Ž í Ř ý í Í ý ž ý ý Ž ě Í ě í ď ě ý ě ě Í ý ý ú í ý ý ě š ý í Í ž ý ý ý í í Žď é ě ý í ší é ě ť é

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

Zadání. Založení projektu

Zadání. Založení projektu Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout symetrický dřevěný střešní vazník délky 13 m, sklon střechy 25. Materiálem je dřevo třídy C24, fošny tloušťky 40 mm. Zatížení krytinou a podhledem 0,2 kn/m, druhá

Více

Návod k obsluze programu ERVE4

Návod k obsluze programu ERVE4 Návod k obsluze programu ERVE4 Obsah Hlavní ovládací panel... 2 Základní tlačítka... 2 Pomocné tlačítko DETAIL... 4 Základní příprava programu... 5 Tvorba ADRESÁŘE... 5 Tvorba CENÍKU ADRESNÉ DISTRIBUCE...

Více

Metoda Lokální multiplikátor LM3. Lokální multiplikátor obecně. Ing. Stanislav Kutáček. červen 2010

Metoda Lokální multiplikátor LM3. Lokální multiplikátor obecně. Ing. Stanislav Kutáček. červen 2010 Metoda Lokální multiplikátor LM3 Ing. Stanislav Kutáček červen 2010 Lokální multiplikátor obecně Lokální multiplikátor 1, vyvinutý v londýnské New Economics Foundation (NEF), 2 pomáhá popsat míru lokalizace

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Digitální album návod k použití

Digitální album návod k použití Digitální album návod k použití ALBUM je schopné stahovat (nahrávat) fotografie přímo z digitálního fotoaparátu bez použití počítače. Pojme více než 20 tisíc fotografií ve formátu JPG, optimalizovaných

Více

Výstup. Registrační číslo projektu CZ.01.07/1.1.01/01.0004. PaedDr. Vladimír Hůlka, PaedDr. Zdenka Kınigsmarková

Výstup. Registrační číslo projektu CZ.01.07/1.1.01/01.0004. PaedDr. Vladimír Hůlka, PaedDr. Zdenka Kınigsmarková Projekt: Přispějme k ještě kvalitnější a modernější výuce na ZŠ Chotěboř Buttulova Registrační číslo projektu CZ.01.07/1.1.01/01.0004 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním

Více

Václav Meškan - PF JČU v Českých Budějovicích, ZŠ L. Kuby, České Budějovice

Václav Meškan - PF JČU v Českých Budějovicích, ZŠ L. Kuby, České Budějovice Tvůrčí řešení problémových úloh Divergentní fyzikální úlohy Václav Meškan - PF JČU v Českých Budějovicích, ZŠ L. Kuby, České Budějovice Problémové fyzikální úlohy Úlohy, k jejichž vyřešení nestačí pouhá

Více

M ě s t o V i m p e r k

M ě s t o V i m p e r k M ě s t o V i m p e r k 385 17 Vimperk Vyřizuje: Ing. Jaroslava Martanová Ve Vimperku dne 31.03.2015 VYMEZENÍ ZASTAVĚNÉHO ÚZEMÍ VIMPERK NÁVRH PO UPLATNĚNÍ STANOVISEK DOTČENÝCH ORGÁNŮ* Opatření obecné povahy

Více

Monitoring institucionální výchovy podrobná zpráva za výchovné ústavy

Monitoring institucionální výchovy podrobná zpráva za výchovné ústavy Monitoring institucionální výchovy podrobná zpráva za výchovné ústavy říjen 2009 1 2 Kapacita a úvazky Dotazník s informacemi za výchovné ústavy (dále jen VÚ) vyplnili zástupci celkem 6 spádových oblastí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad

Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad Městský úřad Lipník nad Bečvou Stavební úřad náměstí T. G. Masaryka 89, 751 31 Lipník nad Bečvou Spisová značka: MU/15129/2011/SÚ Lipník nad Bečvou, dne 13.10. 2011 Č.j.: MU/19587/2011/ Skartační znak:

Více

Člověk a příroda - Přírodopis - 9. ročník. POZNÁMKY (průřezová témata, mezipředmětové vztahy) PŘEDMĚTOVÉ KOMPETENCE OČEKÁVANÉ VÝSTUPY UČIVO

Člověk a příroda - Přírodopis - 9. ročník. POZNÁMKY (průřezová témata, mezipředmětové vztahy) PŘEDMĚTOVÉ KOMPETENCE OČEKÁVANÉ VÝSTUPY UČIVO - způsobu myšlení, které vyžaduje ověřování vyslovovaných domněnek o přírodních faktech více nezávislými způsoby - charakterizuje postavení Země ve Sluneční soustavě a význam vytvoření základních podmínek

Více

ě ř ó é ž ó ř ý ó ě ě š ř ů ó ó ř ů ý ů ě ď ě ě ř ě ě ř ě ě ř é ř ě ř é ý ě é é ř š ě ů ů ý ů Ť ď ý ů š ů ř é é š ž ý ý ě é ý ý ý ů ě ž ů ů é š ě é é ů ř é ě ě é ř é ž Íš ř ž é ď é ě ř ů ď ý ž ď ě ě é

Více

TIP: Pro vložení konce stránky můžete použít klávesovou zkratku CTRL + Enter.

TIP: Pro vložení konce stránky můžete použít klávesovou zkratku CTRL + Enter. Dialogové okno Sloupce Vložení nového oddílu Pokud chcete mít oddělené jednotlivé části dokumentu (například kapitoly), musíte roz dělit dokument na více oddílů. To mimo jiné umožňuje jinak formátovat

Více