Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
|
|
- Rudolf Malý
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
2 0.1 Exponenciála matice a její užití Exponenciála matice a její užití Definice exponenciály matice V této části definujeme pojem takzvané exponenciály matice. Definice, kterou nyní uvedeme je motivována známým rozkladem exponenciální funkce do Mac laurinovy řady která konverguje pro všechny hodnoty t R. e t = ! t + 1 2! t n! tn +, Definice 0.1. Pro n n matici B(t) definujme exponenciálu matice jako novou n n matici pomocí řady e B(t) := exp[b(t)] = E + 1 1! B(t) + 1 2! B2 (t) n! Bn (t) +. (1) Každý prvek matice exp[b(t)] je součtem některé řady a výše uvedená definice v sobě zahrnuje celkem n n řad. Lze ukázat, že každá tato řada konverguje, a tím prokázat korektnost této definice. Použitím Definice 0.1 se snadno dokáže následující Věta 0.2. Je-li O nulová n n matice, pak e O = E.
3 0.1 Exponenciála matice a její užití 3 Další vlastnost říká, že pro exponenciálu matice platí podobná výpočetní pravidla jako pro exponenciální funkci Věta 0.3. Jestliže n n matice A a B komutují, tj. platí-li AB = BA, potom e A e B = e A+B = e B e A. Důkaz této věty jenom naznačíme s důrazem na ten moment, kdy je zapotřebí komutativita matic. Pro jednoduchost budeme dokazovat rovnost dvou posledních výrazů (podobně by se dokázala rovnost prvních dvou). Podle definice rozvineme druhý výraz e A+B =I + A + B 1! (A + B) ! =I + A 1! + B 1! + 1 (A + B)(A + B) + 2 =I + A 1! + B 1! (A2 + AB + BA + B 2 ) + =I + A 1! + B 1! (A2 + 2AB + B 2 ) +. Nyní vypočteme podle definice třetí výraz: ] e B e A B2 = [I + + B1! 2! + B3 3! +
4 0.1 Exponenciála matice a její užití 4 [I + ] A2 + A1! 2! + A3 3! + =I 2 + A 1! + B 1! + A2 2! + BA + B2 2! 2! + =I 2 + A 1! + B 1! (A2 + BA + B 2 ) +. Vidíme, že oba dva výrazy jsou si rovny s přesností do kvadratických členů. Podobně bychom v prokazování rovnosti kubických členů a členů vyšších mocnin pokračovali dále. Výsledek Věty 0.3 implikuje při volbě B = A, že exponenciála matice e A je invertibilní a že platí ( e A ) 1 = e A. Příklad 0.4. Najděte (pomocí definice) exponenciály matice e At v případě, že ( ) 3 0 A =. 0 2 Řešení. Přímým výpočtem obdržíme A n = ( ) 3 n n pro n = 1, 2,....
5 0.1 Exponenciála matice a její užití 5 Proto e At = E + t 1! A + t2 2! A2 + t3 3! A3 + = t 3 3! ( ) t 0 1 1! ( ) = ( ) t ! (3t) k k! k=0 0 ( ) (2t) k = k! k=0 ( ) e 3t 0 0 e 2t. Uveďme ještě jednu větu, která v některých případech umožňuje najít exponenciálu matice bez použití definice. Věta 0.5. Je-li A matice typu n n a P je regulární matice taková, že λ P 1 0 λ AP = Λ :=..., λ n
6 0.1 Exponenciála matice a její užití 6 potom platí e λ e A = P exp(λ)p 1 0 e λ = P... P e λn Zvolíme-li v této větě matici P jako 2 2 jednotkovou matici, obdržíme ihned výsledek příkladu č Příklad 0.6. Najděte (pomocí definice) exponenciálu matice e At v případě, že ( ) 0 1 A =. 1 0 Řešení. Přímým výpočtem obdržíme ( ) 1 0 A 2 =, A 3 = 0 1 ( ) 0 1, A 4 = 1 0 ( ) a A 5 = A.
7 0.2 Užití exponenciály matice 7 Proto e At = E + t 1! A + t2 2! A2 + t3 3! A3 + t4 4! A4 + ( ) 1 0 = + t ( ) ( ) ( ) ( ) t t t ! 1 0 2! 0 1 3! 1 0 4! 0 1 ( 1) k t2k t 2k+1 ( 1) k ( ) (2k)! (2k + 1)! = k=0 k=0 cos t sin t t 2k+1 ( 1) k ( 1) k t2k =. sin t cos t (2k + 1)! (2k)! k=0 k=0 0.2 Užití exponenciály matice Je-li A konstantní n n matice pak s pomocí vzorce (1) dostaneme ( e At ) = Ae At. (2)
8 0.2 Užití exponenciály matice 8 Tento vztah dává možnost zapsat obecné řešení homogenního systému diferenciálních lineárních rovníc (2) s konstantní maticí A, tj. systému dy = Ay. (3) dt Věta 0.7. Fundamentální matice systému (3) s konstantní maticí A je dána vztahem S pomocí vztahu (2) dostaneme Y (t) = e At. Y (t) = Ae At = AY (t), tj. matice Y (t) je skutečně řešení systému (3). Kromě toho Y (0) = E, tj. sloupce této matice jsou generované pomocí lineárně nezávislých řešení systému (2). Přímou prověrkou můžeme dokázat platnost následující věty (proveďte samostatně): Věta 0.8. Obecné řešení y = y(t) lineárního systému (3) je dané vzorcem kde C je konstantní vektor. y = y(t) = e At C (4)
9 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 9 Přímý výpočet exponenciály matice podle definice (tj. podle vzorce (1)) je obyčejně nepoužitelný kvůli tomu, že není možné najít součet definiční řady. Jak vyplývá z Věty 0.8 je pro nalezení některého řešení (nebo pro nalezení obecného řešení systému (3) užitečné mít metody pro výpočet exponenciály matice. Takové metody existují. Nyní uvedeme jednu z nich. 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice Metoda nalezení exponenciály matice, kterou nyní uvedeme, vyžaduje nalezení jistého partikulárního řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Proto si zopakujte látku, která byla v bakalářském studiu této problematice věnována. Určitě si vzpomenete, že důležitou roli hrál pojem tzv. charakteristického polynomu a charakteristické rovnice. Tyto pojmy se vyskytují i při řešení systémů lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Předpokládejme, že je dána konstantní n n matice a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n.... a n1 a n2... a nn
10 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 10 Charakteristickým polynomem matice A nazýváme polynom p(λ) definovaný pomocí determinantu λ a 11 a a 1n p(λ) = a 21 λ a a 2n.... a n1 a n2... λ a nn Je zřejmé, že po provedení výpočtu determinantu lze polynom p(λ) zapsat ve schématickém tvaru skutečného polynomu například takto p(λ) = λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a 1 λ + a 0, kde koeficienty a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 dostaneme, když determinant spočítáme. V následující větě předpokládáme, že charakteristický polynom byl získán právě tímto způsobem. Poukažme ještě na to, že v řadě učebnic se charakteristický polynom definuje jako determinant a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n..., a n1 a n2... a nn λ který má po provedení výpočtu hodnotu ( ) n p(λ) (víte proč?). Tento znaménkový rozdíl se stírá, hovoříme-li o tzv. charakteristické rovnici matice A, která má tvar p(λ) = 0.
11 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 11 Věta 0.9. Předpokládejme, že A je konstantní n n matice, jejíž charakteristický polynom má tvar p(λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. Předpokládejme dále, že y(t) je řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní diferenciální rovnici n-tého řádu se stejnými koeficienty: Označme Pak pro exponenciálu matice platí vztah: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, (5) y(0) = y (0) = = y (n 2) = 0, y (n 1) (0) = 1. (6) z 1 (t) a 1 a 2 a n 1 1 y(t) z 2 (t). = a 2 a y (t).. (7) z n (t) y (n 1) (t) e At = z 1 (t)i + z 2 (t)a + + z n (t)a n 1. [ ] 1 2 Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A =. 3 2
12 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 12 Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 3 λ 4 a vlastní čísla λ 1 = 1, λ 2 = 4. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 3y 4 = 0 má obecné řešení y = C 1 e t + C 2 e 4t. Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : 0 = y(0) = C 1 + C 2 1 = y (0) = C 1 + 4C 2 } C 1 = 1 5 C 2 = 1 5 Dostáváme tak y(t) = 1 5 ( e t + e 4t, y (t) = 1 5 (e t + 4e 4t. Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( z1 (t) z 2 (t) e At = 4e t + e 4t 5 ) ( ( ) = 1 ( ) e t + e 4t 5 e t + 4e 4t = 1 ( ) 4e t + e 4t 5 e t + e 4t ) + e t + e 4t ( ) 1 2 = 1 ( 3e t + 2e 4t 2e t + 2e 4t e t + 3e 4t 2e t + 3e 4t ) Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A = [ Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 2 λ+4 a vlastní čísla λ 1,2 = 1±2j. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 2y + 4 = 0 má obecné řešení y = e t (C 1 cos 2t + C 2 sin 2t). ].
13 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 13 Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : } 0 = y(0) = C 1 1 = y (0) = C 1 + 2C 2 C 1 = 0 C 2 = 1 2 Dostáváme tak y(t) = 1 2 et sin 2t, y (t) = 1 2 et (2 cos 2t + sin 2t). Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( ) ( ) ( ) z1 (t) e = t sin 2t z 2 (t) e t = 1 ( ) e t (2 cos 2t sin 2t) (2 cos 2t + sin 2t) 2 e t sin 2t ( ) ( ) ( ) e At = et 1 0 (2 cos 2t sin t) + et 1 2 cos 2t sin 2t sin 2t = e t sin 2t cos 2t Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A = [ Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 4 λ + 4 a vlastní čísla λ 1,2 = 2. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 4y + 4 = 0 má obecné řešení y = e 2t (C 1 + C 2 t). Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : 0 = y(0) = C 1 1 = y (0) = 2C 1 + C 2 } ]. C 1 = 0 C 2 = 1
14 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 14 Dostáváme tak y(t) = e 2t t, y (t) = e 2t (2t + 1). Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( ) ( ) ( ) ( ) z1 (t) 4 1 e = 2t t e z 2 (t) 1 0 e 2t = 2t (1 2t) (2t + 1) e 2t t ( 1 0 e At = e 2t (1 2t) 0 1 ) ( e 2t t 1 3 ) ( 1 t t = e t t 1 + t ). 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy Cauchyova úloha pro homogenní systém Počáteční (Cauchyovou) úlohou na intervalu I pro homogenní systém rozumíme dy dt = A(t)y, y(t 0) = y 0, (8) kde t 0 I. Tato úloha má jediné řešení, která můžeme zapsat pomocí jakékoli fundamentální matice Φ(t). Tato má pro libovolné t 0 I inverzní matici (Φ(t 0 )) 1 a pronásobením touto konstantní maticí
15 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 15 dostáváme normovanou fundamentální matici v bodě t = t 0 ve tvaru e Φ(t, t 0 ) = Φ(t)(Φ(t 0 )) 1. Taková matice je řešením úlohy Y = AY (t), Y (t 0 ) = E, Analogicky platí, že řešení úlohy (8) je dáno vztahem y(t) = Φ(t, t 0 )y 0. (9) Cauchyova úloha pro homogenní systém s konstantní maticí Nyní uvažujme počáteční (Cauchyovu) úlohu pro homogenní systém s konstantní maticí dy dt = Ay, y(t 0) = y 0, (10) kde t 0 I. V tomto případě je fundamentální matice ve tvaru exponenciály Φ(t) = e At a normovanou fundamentální matici v bodě t = t 0 je maticová exponenciála Φ(t, t 0 ) = e (t t 0)A (11) a řešení (8) zapsat vztahem (9), tj., y(t) = e (t t 0)A y 0.
16 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy Cauchyova úloha pro nehomogenní systém Hledejme nyní řešení počáteční (Cauchyovy) úlohy pro nehomogenní systém dy dt = A(t)y + b(t), y(t 0) = y 0, (12) kde t 0 I. Také tato úloha má jediné řešení. Obecné řešení odpovídající homogenní úlohy můžeme zapsat ve tvaru y(t) = Φ(t; t 0 ) C, kde C = (C 1, C 2,..., C n ) T je konstantní vektor. Použijeme metodu variace konstant a řešení y(t) na intervalu I předpokládáme ve tvaru y(t) = Φ(t, t 0 ) C(t) (13) tak, aby platilo y(t 0 ) = y 0. Vztah, kterému vyhovuje vektorová funkce C(t) je C (t) = Φ 1 (t; t 0 )b(t) C(t) = C(t 0 ) + Abychom dostali řešení úlohy (12), volíme C(t 0 ) = y 0, tedy: t t 0 Φ 1 (s; t 0 )b(s)ds. t y(t) = Φ(t; t 0 )y 0 + Φ(t; t 0 ) Φ 1 (s; t 0 )b(s)ds. t 0 (14)
17 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 17 Nyní pro t, t 0, s I užijeme vztah: Φ(t, t 0 )Φ 1 (s, t 0 ) = Φ(t)(Φ(t 0 )) 1 (Φ(s)(Φ(t 0 )) 1 ) 1 = Φ(t)(Φ(s)) 1 = Φ(t, s) (15) a získáme tak konečnou podobu: y(t) = Φ(t; t 0 )y 0 + t t 0 Φ(t; s)b(s)ds. (16) Cauchyova úloha pro nehomogenní systém s konstantní maticí V případě že uvažujme počáteční (Cauchyovu) úlohu pro nehomogenní systém s konstantní maticí dy dt = Ay + b(t), y(t 0) = y 0, (17) kde t 0 I, můžeme užitím vztahu (11) nalezené řešení (16) zjednodušit. Protože Φ(t; t 0 ) = e (t t0)a a Φ(t; s) = e (t s)a, má řešení (16) tvar y(t) = e (t t 0)A y 0 + t t 0 e (t s)a b(s)ds. (18)
18 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 18 Příklad Nalezněte obecné řešení systému lineárních diferenciálních rovnic: y 1 = y 1 + 2y t y 2 = 3y 1 + 2y t [ ] [ ] t Řešení. Matice soustavy je konstantní A = a pravá strana má tvar b(t) = t V příkladě 0.10 jsme určili exponenciálu matice A ve tvaru e ta = 1 [ ] 3 e t + 2 e 4 t 2 e 4 t 2 e t. 5 3 e 4 t 3 e t 2 e t + 3 e 4 t Nyní určíme integrál ze vzorce (18) (t 0 = 0): t e (t s)a b(s)ds = 1 [ ] t 4 e t+s 1 e t+s s + 14 e 4 t 4 s 24 e 4 t 4 s s ds = e 4 t 4 s 36 e 4 t 4 s s + 4 e t+s + e t+s s [ t 1 4 ] [ 0 e t+s 1 e t+s s + 14 e 4 t 4 s 24 e 4 t 4 s s ds 3 ] 5 5 t 21 = e t e4 t + t 1 0 e4 t 4 s 36 e 4 t 4 s s + 4 e t+s + e t+s 3 s ds 5 e4 t 3 5 e t + 2 t Nyní dosadíme za vektor počátečních hodnot vektor C = [C 1, C 2 ] a celkově dostáváme řešení: [ ] y1 (t) = C [ ] 1 3 e t + 2 e 4 t + C [ ] [ 2 2 e 4 t 2 e t 3 ] 5 + e t e4 t + t 1. y 2 (t) 5 3 e 4 t 3 e t 5 2 e t + 3 e 4 t 3 5 e4 t 3 5 e t + 2 t
19 0.5 Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu Cílem této kapitoly je seznámit čtenáře se speciálním typem diferenciální rovnice druhého řádu, Besselovou rovnicí. Ukážeme, že řešení této rovnice se hledá pomocí nekonečné řady. Zmíníme se o tzv. gama funkci, která se v řešení Besselovy rovnice objevuje. Popíšeme Besselovy funkce, pomocí nichž je řešení Besselovy rovnice popsáno. 0.6 Funkce gama Na tomto místě se budeme chvíli věnovat tzv. funkci gama, kterou využijeme při řešení Besselovy rovnice. Pokud je vám tato funkce důvěrně známa, můžete následující odstavec přeskočit. Funkce gama se definuje jako Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. (19) Funkce Γ(x) je tímto integrálem definována pro x > 0 (pro x 0 integrál diverguje) a je pro x > 0 spojitá.
20 0.7 Besselova rovnice 20 Pomocí integrace per partes můžeme ukázat (odvážnější nechť se o to sami pokusí), že Pro x = 1 máme takže podle (20) je Γ(x + 1) = xγ(x). (20) Γ(1) = 0 e t dt = 1, Γ(2) = 1 Γ(1) = 1, Γ(3) = 2 Γ(2) = 2 1, Γ(4) = 3 Γ(3) = 3 2 1, atd. Vidíme, že pro celá kladná čísla n platí Funkce gama je tedy jakýmsi zobecněním faktoriálu. 0.7 Besselova rovnice Γ(n + 1) = n! (21) Při popisu mnohých fyzikálních jevů hraje důležitou roli diferenciální rovnice x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0. (22) Tato rovnice se nazývá Besselova. Budeme předpokládat, že ν 0. Řešení vyjádříme pomocí mocninné řady se středem v 0. Bod x = 0 je tzv. regulárním singulárním bodem Besselovy rovnice.
21 0.7 Besselova rovnice Konstrukce řešení ve tvaru řady Řešení Besselovy rovnice můžeme hledat ve tvaru y = c n x n+r, (23) nebo (vytkneme-li výraz x r ) ve tvaru y = x r c n x n, kde koeficienty řady c n a číslo r určíme v průběhu výpočtů Výpočet koeficientů řady Abychom řadu (23) mohli dosadit do rovnice (22), potřebujeme její první a druhou derivaci: y = y = c n (n + r)x n+r 1 c n (n + r)(n + r 1)x n+r 2.
22 0.7 Besselova rovnice 22 Nyní vše dosadíme do rovnice (22). Upozorňujeme, že úpravy budou dlouhé a budou vyžadovat vaši pozornost a trpělivost. x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = = x 2 c n (n + r)(n + r 1)x n+r 2 + x c n (n + r)x n+r 1 + (x 2 ν 2 ) x 2 a x před sumami zahrneme dovnitř sum, (x 2 ν 2 ) c nx n+r roznásobíme: = c n (n + r)(n + r 1)x n+r + c n (n + r)x n+r + c n x n+r+2 ν 2 c n x n+r =. c n x n+r = Člen obsahující x r (vyskytuje se pro n = 0 ve všech sumách kromě třetí) oddělíme; tím se v některých sumách začne sčítat až od 1. Ze všech sum vytkneme x r : = c 0 (r(r 1) + r ν 2 )x r + x r n=1 c n (n + r)(n + r 1)x n + x r n=1 c n (n + r)x n + + x r c n x n+2 x r ν 2 n=1 c n x n =
23 0.7 Besselova rovnice 23 Zjednodušíme koeficient u x r a sloučíme sumy, u kterých to bez potíží lze: = c 0 (r 2 ν 2 )x r + x r n=1 Ještě zjednodušíme výraz v první sumě a dostáváme: x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = c 0 (r 2 ν 2 )x r + x r Z tzv. charakteristické rovnice c n ((n + r)(n + r 1) + (n + r) ν 2 )x n + x r n=1 r 2 ν 2 = 0 c n ((n + r) 2 ν 2 )x n + x r určíme hodnotu čísla r. Vidíme, že kořeny charakteristické rovnice jsou r 1 = ν a r 2 = ν. Pro r = ν z (24) zbude x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = x ν n=1 c n n(n + 2ν)x n + x ν c n x n+2. c n x n+2. c n x n+2. (24) Výraz na pravé straně budeme dále upravovat. Abychom mohli obě sumy sloučit do jedné, posuneme v první z nich sumační index o dvě zavedeme nový sumační index k = n 2. Sumační index ve druhé
24 0.7 Besselova rovnice 24 sumě přeznačíme z n na k. Z první sumy pak dáme stranou to, co oproti druhé sumě přečuhuje, což nám umožní převést konečně všechno na jednu sumu. x ν k= 1 c k+2 (k + 2)(k ν)x k+2 + x ν = x ν (c 1 (1 + 2ν)x + k=0 c k x k+2 = c k+2 (k + 2)(k ν)x k+2 + k=0 = x ν (c 1 (1 + 2ν)x + ) c k x k+2 = k=0 ) [(k + 2)(k ν)c k+2 + c k ]x n+2 = 0. Jestli vás nějak překvapilo to = 0 na konci, možná jste v zápalu boje se sumami pozapomněli, že dosazujeme do rovnice (22). S velkou námahou jsme upravili levou stranu rovnice, a teď chceme, aby se rovnala straně pravé. Aby byla uvedená rovnost splněna pro každé x, musí platit k=0 (1 + 2ν)c 1 = 0 (25) (k + 2)(k ν)c k+2 + c k = 0 k = 0, 1, 2,... neboli c k+2 = c k, k = 0, 1, 2,.... (26) (k + 2)(k ν)
25 0.7 Besselova rovnice 25 Protože podle (25) je c 1 = 0, postupným dosazováním do (26) pro k = 1, 3, 5,... dostaneme c 3 = = c 5 = c 7 = = 0. Všechny liché členy řady jsou tedy nulové a zbývá nám prozkoumat sudé členy řady. Označíme k + 2 = 2n. Indexům k = 0, 2, 4,... teď odpovídá n = 1, 2, 3,.... Vztah (26) můžeme (po vcelku jednoduché úpravě jmenovatele zlomku) zapsat jako c 2n = c 2n 2, n = 1, 2, 3,.... (27) 2 2 n(n + ν) c 0 Tedy c 2 = (1 + ν), c 2 c 4 = (2 + ν) = c (1 + ν)(2 + ν), c 6 =. c 2n = c (3 + ν) = c (1 + ν)(2 + ν)(3 + ν), ( 1) n c 0, n = 1, 2, 3,.... (28) 2 2n n!(1 + ν)(2 + ν) (n + ν)
26 0.8 Besselovy funkce 26 Konstantu c 0 bychom mohli zvolit libovolně, ale standardně se volí (ach, to se vám asi nebude líbit... ) 0.8 Besselovy funkce c 0 = 1 2 ν Γ(1 + ν). Teď, když už víme, co se skrývá pod zápisem Γ(1 + ν), můžeme se vrátit k Besselově rovnici. Pokud zvolíme c 0 výše uvedeným způsobem, dostaneme využitím vztahu (20) pro další koeficienty: a obecně, pro n = 0, 1, 2,..., c 2 = ν 1 (1 + ν)γ(1 + ν) = ν 1 Γ(2 + ν), c 4 = ν 2! (2 + ν)(1 + ν)γ(1 + ν) = ν 2! Γ(3 + ν),. c 2n = ( 1) n 2 2n+ν n! (n + ν) (2 + ν)(1 + ν)γ(1 + ν) = ( 1) n 2 2n+ν n! Γ(1 + ν + n).
27 0.8 Besselovy funkce 27 Jedno řešení Besselovy rovnice je tedy y = c 2n x 2n+ν = ( 1) n n! Γ(1 + ν + n) ( ) x 2n+ν. Pro ν 0 tato řada konverguje alespoň na intervalu 0, ). Funkce popisující právě získané řešení se obvykle značí J ν (x): ( 1) n ( ) x 2n+ν J ν (x) =. (29) n! Γ(1 + ν + n) 2 Pro druhý kořen charakteristické rovnice rovnice, r 2 = ν, zcela analogicky dostaneme ( 1) n ( ) x 2n ν J ν (x) =. (30) n! Γ(1 ν + n) 2 Funkce J ν (x) a J ν (x) se nazývají Besselovy funkce prvního druhu řádu ν, resp. ν. Na obrázku 1 jsou grafy funkcí y = J 0 (x) a y = J 1 (x). Dá se ukázat, že jestliže ν není celé číslo, funkce J ν (x) a J ν (x) jsou lineárně nezávislé. V tomto případě je obecné řešení rovnice (22) na intervalu (0, ) 2 y = c 1 J ν (x) + c 2 J ν (x). (31)
28 0.8 Besselovy funkce 28 y 1 J 0 (x) J 1 (x) x Obr. 1: Besselovy funkce prvního druhu řádu 0 a 1 Příklad Najděte obecné řešení rovnice na intervalu (0, ). x 2 y + xy + ( x 2 1 ) y = 0 4 Řešení. V našem případě je ν 2 = 1/4, a tedy ν = 1/2. Vidíme, že ν není celé číslo, a tedy obecné řešení
29 0.9 Shrnutí kapitoly 29 zadané rovnice je y = c 1 J 1/2 (x) + c 2 J 1/2 (x). 0.9 Shrnutí kapitoly V této kapitole jsme se seznámili s Besselovou rovnicí, která je speciálním typem diferenciální rovnice druhého řádu. Řešení této rovnice bylo nalezeno pomocí nekonečné řady. Funkce, kterými je toto řešení popsáno, se nazývají Besselovy funkce. Cvičení 1. Najděte obecné řešení rovnice a) x 2 y + xy + (x 2 1 )y = 0. 9 b) 4x 2 y + 4xy + (4x 2 25)y = 0. Výsledky 1. a) y = c 1 J 1/3 (x) + c 2 J 1/3 (x).
30 0.9 Shrnutí kapitoly 30 b) y = c 1 J 5/2 (x) + c 2 J 5/2 (x) Cvičení Příklad 1. Metodou vlastních vektorů najděte řešení systému splňující podmínku y 1 (0) = 6, y 2 (0) = 2. Řešení: Hledané řešení má tvar y 1 = 3y 1 + 8y 2, y 2 = y 1 3y 2 y 1 (t) = 4e t + 2e t, y 2 (t) = e t e t. Příklad 2. Metodou vlastních vektorů najděte obecné řešení systému y 1 = 2y 1 + y 2 2y 3, y 2 = y 1 2y 2 + 2y 3, y 3 = y 1 y 2 + y 3.
31 0.9 Shrnutí kapitoly 31 Řešení: Obecné řešení systému má tvar y 1 (t) = [K 1 (1 t) + K 2 t 2K 3 ]e t, y 2 (t) = [K 1 t + K 2 (1 t) + 2K 3 ]e t, y 3 (t) = [K 1 t K 2 t + K 3 (1 + 2t)]e t. Příklad 3. Metodou vlastních vektorů najděte obecné řešení systému Řešení: Obecné řešení systému má tvar y 1 = y 1 2y 3 + 2y 4, y 2 = y 1 + y 2 + y 3 2y 4, y 3 = 2y 2 + 2y 3 3y 4, y 4 = y 1 + 2y 2 + 2y 3 3y 4. y 1 (t) = (K 1 + K 2 + 2K 4 ) sin t + ( K 1 + K 2 + 2K 3 ) cos t, y 2 (t) = (K 2 + K 3 ) sin t + (K 1 + K 4 ) cos t, y 3 (t) = (K 3 + K 4 ) sin t + (K 3 K 4 ) cos t, y 4 (t) = K 2 sin t + K 1 cos t.
10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
VíceAritmetika s didaktikou II.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
Více6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty
H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
VíceVydání občanského průkazu
Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
Více9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík
9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
Více1 Matematické základy teorie obvodů
Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl
VíceU S N E S E N Í. I. Elektronické dražební jednání se koná dne 10.12.2015 v 09:00:00 hodin, prostřednictvím elektronického systému dražeb na adrese:
Stránka 1 z 5 U S N E S E N Í JUDr. Vít Novozámský, soudní exekutor Exekutorského úřadu Brno-město se sídlem Bratislavská 73, 602 00 Brno-Město, Česká republika pověřený provedením exekuce, které vydal
Více4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod
4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod Předpoklady: 040215 Postřeh z minulých měření: Při sestavování obvodů jsme používali stále stejnou plochou baterku. Přesto se její napětí po zapojení do obvodu měnilo.
Více2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201
.. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali
VíceAnalýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
VíceDYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT
DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým
Více4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle
Více1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ
1. POLOVODIČOVÁ DIODA JAKO SMĚRŇOVAČ Zadání laboratorní úlohy a) Zaznamenejte datum a čas měření, atmosférické podmínky, při nichž dané měření probíhá (teplota, tlak, vlhkost). b) Proednictvím digitálního
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
VíceMetoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka
Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
VíceHPN. projekt. s.r.o. OBEC STARÉ MĚSTO PASPORT MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ. katastrální území: Staré Město, Petrušov, Radišov
HPN projekt s.r.o. OBEC STARÉ MĚSTO PASPORT MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ katastrální území: Staré Město, Petrušov, Radišov Vypracoval: Neckář Pavel Datum: Říjen 2015 1) Úvod k pasportu místních komunikací Pasport
VíceKontrolní test Číslicová technika 1/2. 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2
Kontrolní test Číslicová technika 1/2 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2 2.převeďte do dvojkové soustavy číslo 0,87 3.Převeďte do osmičkové soustavy z= 8 číslo (92,45)
VíceStatistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických
VíceZapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III
- 1 - Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III (c) Ing. Ladislav Kopecký, srpen 2015 V p edchozí ásti tohoto lánku jsme dosp li k zapojení horního spína e se dv ma transformátory, které najdete
Více2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I
Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
VícePOZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU
Do vlastních rukou akcionářů DEK a.s. POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Představenstvo společnosti DEK a.s., se sídlem Tiskařská 10/257, PSČ 108 00, IČ: 276 36 801, zapsané v obchodním rejstříku, vedeném
Více3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?
3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
Více4.5.1 Magnety, magnetické pole
4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_2_20 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
VíceNÁHRADA ŠKODY Rozdíly mezi odpov dnostmi TYPY ODPOV DNOSTI zam stnavatele 1) Obecná 2) OZŠ vzniklou p i odvracení škody 3) OZŠ na odložených v cech
NÁHRADA ŠKODY - zaměstnanec i zaměstnavatel mají obecnou odpovědnost za škodu, přičemž každý potom má svou určitou specifickou odpovědnost - pracovněprávní odpovědnost rozlišuje mezi zaměstnancem a zaměstnavatelem
Více( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty
Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,
VícePřijímací řízení ve školním roce 2012/2013 - Informace pro vycházející žáky a zákonné zástupce
Přijímací řízení ve školním roce 2012/2013 - Informace pro vycházející žáky a zákonné zástupce Přijímací řízení ke vzdělávání ve středních školách a konzervatořích (dále jen SŠ ) se řídí, mimo jiné, následujícími
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceZvyšování kvality výuky v přírodních a technických oblastech CZ.1.07/1.128/02.0055. Nástrahy virtuální reality (pracovní list)
Zvyšování kvality výuky v přírodních a technických oblastech CZ.1.07/1.128/02.0055 Označení: EU-Inovace-Inf-6-03 Předmět: Informatika Cílová skupina: 6. třída Autor: Jana Čejková Časová dotace: 1 vyučovací
VíceNEJČASTĚJI KLADENÉ DOTAZY K PUBLICITĚ PROJEKTŮ OP LZZ
NEJČASTĚJI KLADENÉ DOTAZY K PUBLICITĚ PROJEKTŮ OP LZZ A) Povinnost příjemců zajišťovat publicitu projektů 1. Z čeho vyplývá povinnost příjemců podpory dodržovat vizuální identitu ESF/OP LZZ a zajišťovat
VícePosouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny.
Posouzení stávající soustavy vytápění ÚVOD Připomeňme si, že existuje několik typů soustav pro vytápění a s nástupem nových technologií a využívání netradičních a obnovitelných zdrojů tepla přibývá řada
VíceVÝVOZNÍ SUBVENCE PRO MLÉKO A MLÉČNÉ VÝROBKY
VÝVOZNÍ SUBVENCE PRO MLÉKO A MLÉČNÉ VÝROBKY Vývozcům ze Společenství jsou z Evropského zemědělského orientačního a garančního fondu poskytovány subvence při vývozu (vývozní subvence, vývozní náhrady),
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
VícePOČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní
VíceMETODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra. ze dne 17. prosince 2015
METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra ze dne 17. prosince 2015 1. Jaký zákon upravuje číslování stavebních objektů? Označování/číslování budov upravuje 31 zákona č. 128/2000 Sb., o obcích (obecní zřízení),
VíceČíslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -
Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,
VícePOKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012
dz_12dpfo5405_19_pok.pdf - Adobe Acrobat Professional POKYNY k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 Pokyny k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických
VícePříloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost
Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a
VícePodrobný postup pro doplnění Žádosti o dotaci prostřednictvím Portálu Farmáře. 1. kolo příjmu žádostí Programu rozvoje venkova (2014 2020)
Podrobný postup pro doplnění Žádosti o dotaci prostřednictvím Portálu Farmáře 1. kolo příjmu žádostí Programu rozvoje venkova (2014 2020) V tomto dokumentu je uveden podrobný postup doplnění Žádosti o
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
VíceZadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional
Zadávání tiskových zakázek prostřednictvím JDF a Adobe Acrobat Professional Nejčastěji se o JDF hovoří při řízení procesů v tiskových provozech. JDF se však má stát komunikačním prostředkem mezi všemi
VíceVýzva k podání nabídek
Výzva k podání nabídek Číslo zakázky (bude doplněno MPSV při uveřejnění): Název zakázky: Předmět zakázky (služba, dodávka nebo stavební práce): Zajištění vzdělávacích aktivit pro společnost Volvo Group
VíceOsvětlovací modely v počítačové grafice
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz
VíceAlgoritmizace a programování
Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů. Naučí nás rozdělit
VíceDne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace:
Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: 1. na str. 3 požadujete: Volání a SMS mezi zaměstnanci zadavatele zdarma bez paušálního poplatku za tuto službu. Tento požadavek
VíceFinanční matematika pro každého
Novinky nakladatelství GRADA Publishing Investice do akcií běh na dlouhou trat JEME AVU PŘIPR Jeremy Siegel výnosy finančních aktiv za posledních 2 let úspěšnost finančních strategií faktory ovlivňující
VíceVýzva k podání nabídek (zadávací dokumentace)
Výzva k podání nabídek (zadávací dokumentace) 1.Číslo zakázky 2.Název programu: 3.Registrační číslo projektu 4.Název projektu: 5.Název zakázky: Operační program Vzdělání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.07/02.0129
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo
VíceČl. 3 Poskytnutí finančních prostředků vyčleněných na rozvojový program Čl. 4 Předkládání žádostí, poskytování dotací, časové určení programu
Vyhlášení rozvojového programu na podporu navýšení kapacit ve školských poradenských zařízeních v roce 2016 čj.: MSMT-10938/2016 ze dne 29. března 2016 Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy (dále
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE dle Pravidel, kterými se stanovují podmínky pro poskytování dotace na projekty PRV ČR na období 2007-2013, Opatření IV.1.2 Realizace místní rozvojové strategie Název veřejné zakázky
VíceČ.j. S056/2008/VZ-03935/2008/520/EM V Brně dne 7. března 2008
Č.j. S056/2008/VZ-03935/2008/520/EM V Brně dne 7. března 2008 Úřad pro ochranu hospodářské soutěže příslušný podle 112 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění zákona č. 110/2007 Sb. a zákona
Více170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010
170/2010 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 21. května 2010 o bateriích a akumulátorech a o změně vyhlášky č. 383/2001 Sb., o podrobnostech nakládání s odpady, ve znění pozdějších předpisů Ministerstvo životního prostředí
VíceObsah. Trocha právničiny
Trocha právničiny - Pokud se vám můj ebook líbí, řekněte o tom svým známým. Pošlete jim odkaz na webovou stránku, kde si jej mohou zakoupit. Ebook je mým duševním vlastnictvím a jeho tvorba mě stála spoustu
VíceI. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
VíceVÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY
VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY Výzva k podání nabídky a prokázání kvalifikace pro veřejnou zakázku: KOUTEX 2014 (recyklace textilního odpadu) - zadávanou jako zakázku malého rozsahu nespadající pod aplikaci zákona
VícePRINCIPY ŠLECHTĚNÍ KONÍ
PRINCIPY ŠLECHTĚNÍ KONÍ Úvod Chovatelská práce u koní měla v minulosti velmi vysokou úroveň. Koně sloužili jako vzor, obecná zootechnika a řada dalších chovatelských předmětů byla vyučována právě na koních
VícePŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA
č. j.: TACR/14666/2014 PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA Schválil/a: Lenka Pilátová, vedoucí oddělení realizace
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceCEFIF Založení a změna s. r. o. Obchodní rejstřík I
CEFIF Založení a změna s. r. o. Obchodní rejstřík I Dana Batelková dana.batelkova@nuov.cz Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno
Vícemetodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo
metodická příručka DiPo násobení a dělení () PLUS násobilkové karty DiPo OlDiPo, spol. s r.o. tř. Svobody 20 779 00 Olomouc telefon: 585 204 055 mobil: 777 213 535 e-mail: oldipo@oldipo.cz web: www.oldipo.cz
VíceDynamika tuhých těles
Dynamika tuhých těles V reálných technických aplikacích lze model bodového tělesa použít jen v omezené míře. Mnohem častější je použití modelu tuhého tělesa. Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož
VíceModel dvanáctipulzního usměrňovače
Ladislav Mlynařík 1 Model dvanáctipulzního usměrňovače Klíčová slova: primární proud trakčního usměrňovače, vyšší harmonická, usměrňovač, dvanáctipulzní zapojení usměrňovače, model transformátoru 1 Úvod
VíceMatematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik
VíceZEMNÍ ODPOR ZEMNIČE REZISTIVITA PŮDY
Katedra elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB TU Ostrava ZEMNÍ ODPOR ZEMNIČE REZISTIVITA PŮDY Návody do měření Září 2009 Ing. Tomáš Mlčák, Ph.D. Měření zemního odporu zemniče Úkol
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY
Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!
VícePoukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4.
MOJESODEXO.CZ Poukázky v obálkách Verze aplikace: 1.4.0 Aktualizováno: 22. 9. 2014 17:44 Strana 1 / 1 OBSAH DOKUMENTU 1. ÚVOD... 2 1.1. CO JSOU TO POUKÁZKY V OBÁLKÁCH?... 2 1.2. JAKÉ POUKÁZKY MOHOU BÝT
VíceMetodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
VíceProgramový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642
Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55 modul Sklad 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Obsah 1 Programový komplet pro evidenci provozu jídelny modul SKLAD...3 1.1
VíceVEŘEJNÁ NABÍDKA POZEMKŮ URČENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA
VEŘEJNÁ NABÍDKA POZEMKŮ URČENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA č. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH PŘEVODU ZEMĚDĚLSKÝCH A LESNÍCH POZEMKŮ Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZNĚNÍ POZDĚJŠÍCH PŘEDPISŮ (DÁLE JEN ZÁKON
VíceVýchovné a vzdělávací strategie pro rozvoj klíčových kompetencí žáků
CVIČENÍ Z MATEMATIKY Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět je realizován od 6. ročníku až po 9. ročník po 1 hodině týdně. Výuka probíhá v kmenové učebně nebo
VíceMatematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 3 RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Vstupní test 8 I NUMERICKÉ METODY 10 2 Chyby při numerických výpočtech 10 2.1 Zdroje a typy chyb...............................
VíceKRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno
KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno Č. j.: 122062/2013 Sp.zn.: S - JMK 122062/2013/OD/Jí Brno 12.12.2013 V E Ř E J N Á V Y H L Á Š K A R O Z H O D N U T
VíceZásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5
Zásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5 Základní pojmy Pro účely těchto Zásad pro prodej nemovitostí (pozemků, jejichž součástí jsou bytové domy) Městské části Praha 5 (dále jen Zásady )
Více