Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu"

Transkript

1 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

2 0.1 Exponenciála matice a její užití Exponenciála matice a její užití Definice exponenciály matice V této části definujeme pojem takzvané exponenciály matice. Definice, kterou nyní uvedeme je motivována známým rozkladem exponenciální funkce do Mac laurinovy řady která konverguje pro všechny hodnoty t R. e t = ! t + 1 2! t n! tn +, Definice 0.1. Pro n n matici B(t) definujme exponenciálu matice jako novou n n matici pomocí řady e B(t) := exp[b(t)] = E + 1 1! B(t) + 1 2! B2 (t) n! Bn (t) +. (1) Každý prvek matice exp[b(t)] je součtem některé řady a výše uvedená definice v sobě zahrnuje celkem n n řad. Lze ukázat, že každá tato řada konverguje, a tím prokázat korektnost této definice. Použitím Definice 0.1 se snadno dokáže následující Věta 0.2. Je-li O nulová n n matice, pak e O = E.

3 0.1 Exponenciála matice a její užití 3 Další vlastnost říká, že pro exponenciálu matice platí podobná výpočetní pravidla jako pro exponenciální funkci Věta 0.3. Jestliže n n matice A a B komutují, tj. platí-li AB = BA, potom e A e B = e A+B = e B e A. Důkaz této věty jenom naznačíme s důrazem na ten moment, kdy je zapotřebí komutativita matic. Pro jednoduchost budeme dokazovat rovnost dvou posledních výrazů (podobně by se dokázala rovnost prvních dvou). Podle definice rozvineme druhý výraz e A+B =I + A + B 1! (A + B) ! =I + A 1! + B 1! + 1 (A + B)(A + B) + 2 =I + A 1! + B 1! (A2 + AB + BA + B 2 ) + =I + A 1! + B 1! (A2 + 2AB + B 2 ) +. Nyní vypočteme podle definice třetí výraz: ] e B e A B2 = [I + + B1! 2! + B3 3! +

4 0.1 Exponenciála matice a její užití 4 [I + ] A2 + A1! 2! + A3 3! + =I 2 + A 1! + B 1! + A2 2! + BA + B2 2! 2! + =I 2 + A 1! + B 1! (A2 + BA + B 2 ) +. Vidíme, že oba dva výrazy jsou si rovny s přesností do kvadratických členů. Podobně bychom v prokazování rovnosti kubických členů a členů vyšších mocnin pokračovali dále. Výsledek Věty 0.3 implikuje při volbě B = A, že exponenciála matice e A je invertibilní a že platí ( e A ) 1 = e A. Příklad 0.4. Najděte (pomocí definice) exponenciály matice e At v případě, že ( ) 3 0 A =. 0 2 Řešení. Přímým výpočtem obdržíme A n = ( ) 3 n n pro n = 1, 2,....

5 0.1 Exponenciála matice a její užití 5 Proto e At = E + t 1! A + t2 2! A2 + t3 3! A3 + = t 3 3! ( ) t 0 1 1! ( ) = ( ) t ! (3t) k k! k=0 0 ( ) (2t) k = k! k=0 ( ) e 3t 0 0 e 2t. Uveďme ještě jednu větu, která v některých případech umožňuje najít exponenciálu matice bez použití definice. Věta 0.5. Je-li A matice typu n n a P je regulární matice taková, že λ P 1 0 λ AP = Λ :=..., λ n

6 0.1 Exponenciála matice a její užití 6 potom platí e λ e A = P exp(λ)p 1 0 e λ = P... P e λn Zvolíme-li v této větě matici P jako 2 2 jednotkovou matici, obdržíme ihned výsledek příkladu č Příklad 0.6. Najděte (pomocí definice) exponenciálu matice e At v případě, že ( ) 0 1 A =. 1 0 Řešení. Přímým výpočtem obdržíme ( ) 1 0 A 2 =, A 3 = 0 1 ( ) 0 1, A 4 = 1 0 ( ) a A 5 = A.

7 0.2 Užití exponenciály matice 7 Proto e At = E + t 1! A + t2 2! A2 + t3 3! A3 + t4 4! A4 + ( ) 1 0 = + t ( ) ( ) ( ) ( ) t t t ! 1 0 2! 0 1 3! 1 0 4! 0 1 ( 1) k t2k t 2k+1 ( 1) k ( ) (2k)! (2k + 1)! = k=0 k=0 cos t sin t t 2k+1 ( 1) k ( 1) k t2k =. sin t cos t (2k + 1)! (2k)! k=0 k=0 0.2 Užití exponenciály matice Je-li A konstantní n n matice pak s pomocí vzorce (1) dostaneme ( e At ) = Ae At. (2)

8 0.2 Užití exponenciály matice 8 Tento vztah dává možnost zapsat obecné řešení homogenního systému diferenciálních lineárních rovníc (2) s konstantní maticí A, tj. systému dy = Ay. (3) dt Věta 0.7. Fundamentální matice systému (3) s konstantní maticí A je dána vztahem S pomocí vztahu (2) dostaneme Y (t) = e At. Y (t) = Ae At = AY (t), tj. matice Y (t) je skutečně řešení systému (3). Kromě toho Y (0) = E, tj. sloupce této matice jsou generované pomocí lineárně nezávislých řešení systému (2). Přímou prověrkou můžeme dokázat platnost následující věty (proveďte samostatně): Věta 0.8. Obecné řešení y = y(t) lineárního systému (3) je dané vzorcem kde C je konstantní vektor. y = y(t) = e At C (4)

9 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 9 Přímý výpočet exponenciály matice podle definice (tj. podle vzorce (1)) je obyčejně nepoužitelný kvůli tomu, že není možné najít součet definiční řady. Jak vyplývá z Věty 0.8 je pro nalezení některého řešení (nebo pro nalezení obecného řešení systému (3) užitečné mít metody pro výpočet exponenciály matice. Takové metody existují. Nyní uvedeme jednu z nich. 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice Metoda nalezení exponenciály matice, kterou nyní uvedeme, vyžaduje nalezení jistého partikulárního řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Proto si zopakujte látku, která byla v bakalářském studiu této problematice věnována. Určitě si vzpomenete, že důležitou roli hrál pojem tzv. charakteristického polynomu a charakteristické rovnice. Tyto pojmy se vyskytují i při řešení systémů lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Předpokládejme, že je dána konstantní n n matice a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n.... a n1 a n2... a nn

10 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 10 Charakteristickým polynomem matice A nazýváme polynom p(λ) definovaný pomocí determinantu λ a 11 a a 1n p(λ) = a 21 λ a a 2n.... a n1 a n2... λ a nn Je zřejmé, že po provedení výpočtu determinantu lze polynom p(λ) zapsat ve schématickém tvaru skutečného polynomu například takto p(λ) = λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a 1 λ + a 0, kde koeficienty a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 dostaneme, když determinant spočítáme. V následující větě předpokládáme, že charakteristický polynom byl získán právě tímto způsobem. Poukažme ještě na to, že v řadě učebnic se charakteristický polynom definuje jako determinant a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n..., a n1 a n2... a nn λ který má po provedení výpočtu hodnotu ( ) n p(λ) (víte proč?). Tento znaménkový rozdíl se stírá, hovoříme-li o tzv. charakteristické rovnici matice A, která má tvar p(λ) = 0.

11 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 11 Věta 0.9. Předpokládejme, že A je konstantní n n matice, jejíž charakteristický polynom má tvar p(λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. Předpokládejme dále, že y(t) je řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní diferenciální rovnici n-tého řádu se stejnými koeficienty: Označme Pak pro exponenciálu matice platí vztah: y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0, (5) y(0) = y (0) = = y (n 2) = 0, y (n 1) (0) = 1. (6) z 1 (t) a 1 a 2 a n 1 1 y(t) z 2 (t). = a 2 a y (t).. (7) z n (t) y (n 1) (t) e At = z 1 (t)i + z 2 (t)a + + z n (t)a n 1. [ ] 1 2 Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A =. 3 2

12 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 12 Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 3 λ 4 a vlastní čísla λ 1 = 1, λ 2 = 4. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 3y 4 = 0 má obecné řešení y = C 1 e t + C 2 e 4t. Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : 0 = y(0) = C 1 + C 2 1 = y (0) = C 1 + 4C 2 } C 1 = 1 5 C 2 = 1 5 Dostáváme tak y(t) = 1 5 ( e t + e 4t, y (t) = 1 5 (e t + 4e 4t. Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( z1 (t) z 2 (t) e At = 4e t + e 4t 5 ) ( ( ) = 1 ( ) e t + e 4t 5 e t + 4e 4t = 1 ( ) 4e t + e 4t 5 e t + e 4t ) + e t + e 4t ( ) 1 2 = 1 ( 3e t + 2e 4t 2e t + 2e 4t e t + 3e 4t 2e t + 3e 4t ) Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A = [ Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 2 λ+4 a vlastní čísla λ 1,2 = 1±2j. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 2y + 4 = 0 má obecné řešení y = e t (C 1 cos 2t + C 2 sin 2t). ].

13 0.3 Metoda pro nalezení exponenciály matice 13 Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : } 0 = y(0) = C 1 1 = y (0) = C 1 + 2C 2 C 1 = 0 C 2 = 1 2 Dostáváme tak y(t) = 1 2 et sin 2t, y (t) = 1 2 et (2 cos 2t + sin 2t). Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( ) ( ) ( ) z1 (t) e = t sin 2t z 2 (t) e t = 1 ( ) e t (2 cos 2t sin 2t) (2 cos 2t + sin 2t) 2 e t sin 2t ( ) ( ) ( ) e At = et 1 0 (2 cos 2t sin t) + et 1 2 cos 2t sin 2t sin 2t = e t sin 2t cos 2t Příklad Nalezněte exponenciálu matice matice A = [ Řešení. Nejdříve určíme charakteristický polynom λ 2 4 λ + 4 a vlastní čísla λ 1,2 = 2. Odpovídající pomocná diferenciální rovnice y 4y + 4 = 0 má obecné řešení y = e 2t (C 1 + C 2 t). Z podmínek y(0) = 0, y (0) = 1 určíme konstanty C 1, C 2 : 0 = y(0) = C 1 1 = y (0) = 2C 1 + C 2 } ]. C 1 = 0 C 2 = 1

14 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 14 Dostáváme tak y(t) = e 2t t, y (t) = e 2t (2t + 1). Dále určíme funkce z 1 (t), z 2 (t): ( ) ( ) ( ) ( ) z1 (t) 4 1 e = 2t t e z 2 (t) 1 0 e 2t = 2t (1 2t) (2t + 1) e 2t t ( 1 0 e At = e 2t (1 2t) 0 1 ) ( e 2t t 1 3 ) ( 1 t t = e t t 1 + t ). 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy Cauchyova úloha pro homogenní systém Počáteční (Cauchyovou) úlohou na intervalu I pro homogenní systém rozumíme dy dt = A(t)y, y(t 0) = y 0, (8) kde t 0 I. Tato úloha má jediné řešení, která můžeme zapsat pomocí jakékoli fundamentální matice Φ(t). Tato má pro libovolné t 0 I inverzní matici (Φ(t 0 )) 1 a pronásobením touto konstantní maticí

15 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 15 dostáváme normovanou fundamentální matici v bodě t = t 0 ve tvaru e Φ(t, t 0 ) = Φ(t)(Φ(t 0 )) 1. Taková matice je řešením úlohy Y = AY (t), Y (t 0 ) = E, Analogicky platí, že řešení úlohy (8) je dáno vztahem y(t) = Φ(t, t 0 )y 0. (9) Cauchyova úloha pro homogenní systém s konstantní maticí Nyní uvažujme počáteční (Cauchyovu) úlohu pro homogenní systém s konstantní maticí dy dt = Ay, y(t 0) = y 0, (10) kde t 0 I. V tomto případě je fundamentální matice ve tvaru exponenciály Φ(t) = e At a normovanou fundamentální matici v bodě t = t 0 je maticová exponenciála Φ(t, t 0 ) = e (t t 0)A (11) a řešení (8) zapsat vztahem (9), tj., y(t) = e (t t 0)A y 0.

16 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy Cauchyova úloha pro nehomogenní systém Hledejme nyní řešení počáteční (Cauchyovy) úlohy pro nehomogenní systém dy dt = A(t)y + b(t), y(t 0) = y 0, (12) kde t 0 I. Také tato úloha má jediné řešení. Obecné řešení odpovídající homogenní úlohy můžeme zapsat ve tvaru y(t) = Φ(t; t 0 ) C, kde C = (C 1, C 2,..., C n ) T je konstantní vektor. Použijeme metodu variace konstant a řešení y(t) na intervalu I předpokládáme ve tvaru y(t) = Φ(t, t 0 ) C(t) (13) tak, aby platilo y(t 0 ) = y 0. Vztah, kterému vyhovuje vektorová funkce C(t) je C (t) = Φ 1 (t; t 0 )b(t) C(t) = C(t 0 ) + Abychom dostali řešení úlohy (12), volíme C(t 0 ) = y 0, tedy: t t 0 Φ 1 (s; t 0 )b(s)ds. t y(t) = Φ(t; t 0 )y 0 + Φ(t; t 0 ) Φ 1 (s; t 0 )b(s)ds. t 0 (14)

17 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 17 Nyní pro t, t 0, s I užijeme vztah: Φ(t, t 0 )Φ 1 (s, t 0 ) = Φ(t)(Φ(t 0 )) 1 (Φ(s)(Φ(t 0 )) 1 ) 1 = Φ(t)(Φ(s)) 1 = Φ(t, s) (15) a získáme tak konečnou podobu: y(t) = Φ(t; t 0 )y 0 + t t 0 Φ(t; s)b(s)ds. (16) Cauchyova úloha pro nehomogenní systém s konstantní maticí V případě že uvažujme počáteční (Cauchyovu) úlohu pro nehomogenní systém s konstantní maticí dy dt = Ay + b(t), y(t 0) = y 0, (17) kde t 0 I, můžeme užitím vztahu (11) nalezené řešení (16) zjednodušit. Protože Φ(t; t 0 ) = e (t t0)a a Φ(t; s) = e (t s)a, má řešení (16) tvar y(t) = e (t t 0)A y 0 + t t 0 e (t s)a b(s)ds. (18)

18 0.4 Cauchyova úloha pro lineární systémy 18 Příklad Nalezněte obecné řešení systému lineárních diferenciálních rovnic: y 1 = y 1 + 2y t y 2 = 3y 1 + 2y t [ ] [ ] t Řešení. Matice soustavy je konstantní A = a pravá strana má tvar b(t) = t V příkladě 0.10 jsme určili exponenciálu matice A ve tvaru e ta = 1 [ ] 3 e t + 2 e 4 t 2 e 4 t 2 e t. 5 3 e 4 t 3 e t 2 e t + 3 e 4 t Nyní určíme integrál ze vzorce (18) (t 0 = 0): t e (t s)a b(s)ds = 1 [ ] t 4 e t+s 1 e t+s s + 14 e 4 t 4 s 24 e 4 t 4 s s ds = e 4 t 4 s 36 e 4 t 4 s s + 4 e t+s + e t+s s [ t 1 4 ] [ 0 e t+s 1 e t+s s + 14 e 4 t 4 s 24 e 4 t 4 s s ds 3 ] 5 5 t 21 = e t e4 t + t 1 0 e4 t 4 s 36 e 4 t 4 s s + 4 e t+s + e t+s 3 s ds 5 e4 t 3 5 e t + 2 t Nyní dosadíme za vektor počátečních hodnot vektor C = [C 1, C 2 ] a celkově dostáváme řešení: [ ] y1 (t) = C [ ] 1 3 e t + 2 e 4 t + C [ ] [ 2 2 e 4 t 2 e t 3 ] 5 + e t e4 t + t 1. y 2 (t) 5 3 e 4 t 3 e t 5 2 e t + 3 e 4 t 3 5 e4 t 3 5 e t + 2 t

19 0.5 Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu Cílem této kapitoly je seznámit čtenáře se speciálním typem diferenciální rovnice druhého řádu, Besselovou rovnicí. Ukážeme, že řešení této rovnice se hledá pomocí nekonečné řady. Zmíníme se o tzv. gama funkci, která se v řešení Besselovy rovnice objevuje. Popíšeme Besselovy funkce, pomocí nichž je řešení Besselovy rovnice popsáno. 0.6 Funkce gama Na tomto místě se budeme chvíli věnovat tzv. funkci gama, kterou využijeme při řešení Besselovy rovnice. Pokud je vám tato funkce důvěrně známa, můžete následující odstavec přeskočit. Funkce gama se definuje jako Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. (19) Funkce Γ(x) je tímto integrálem definována pro x > 0 (pro x 0 integrál diverguje) a je pro x > 0 spojitá.

20 0.7 Besselova rovnice 20 Pomocí integrace per partes můžeme ukázat (odvážnější nechť se o to sami pokusí), že Pro x = 1 máme takže podle (20) je Γ(x + 1) = xγ(x). (20) Γ(1) = 0 e t dt = 1, Γ(2) = 1 Γ(1) = 1, Γ(3) = 2 Γ(2) = 2 1, Γ(4) = 3 Γ(3) = 3 2 1, atd. Vidíme, že pro celá kladná čísla n platí Funkce gama je tedy jakýmsi zobecněním faktoriálu. 0.7 Besselova rovnice Γ(n + 1) = n! (21) Při popisu mnohých fyzikálních jevů hraje důležitou roli diferenciální rovnice x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0. (22) Tato rovnice se nazývá Besselova. Budeme předpokládat, že ν 0. Řešení vyjádříme pomocí mocninné řady se středem v 0. Bod x = 0 je tzv. regulárním singulárním bodem Besselovy rovnice.

21 0.7 Besselova rovnice Konstrukce řešení ve tvaru řady Řešení Besselovy rovnice můžeme hledat ve tvaru y = c n x n+r, (23) nebo (vytkneme-li výraz x r ) ve tvaru y = x r c n x n, kde koeficienty řady c n a číslo r určíme v průběhu výpočtů Výpočet koeficientů řady Abychom řadu (23) mohli dosadit do rovnice (22), potřebujeme její první a druhou derivaci: y = y = c n (n + r)x n+r 1 c n (n + r)(n + r 1)x n+r 2.

22 0.7 Besselova rovnice 22 Nyní vše dosadíme do rovnice (22). Upozorňujeme, že úpravy budou dlouhé a budou vyžadovat vaši pozornost a trpělivost. x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = = x 2 c n (n + r)(n + r 1)x n+r 2 + x c n (n + r)x n+r 1 + (x 2 ν 2 ) x 2 a x před sumami zahrneme dovnitř sum, (x 2 ν 2 ) c nx n+r roznásobíme: = c n (n + r)(n + r 1)x n+r + c n (n + r)x n+r + c n x n+r+2 ν 2 c n x n+r =. c n x n+r = Člen obsahující x r (vyskytuje se pro n = 0 ve všech sumách kromě třetí) oddělíme; tím se v některých sumách začne sčítat až od 1. Ze všech sum vytkneme x r : = c 0 (r(r 1) + r ν 2 )x r + x r n=1 c n (n + r)(n + r 1)x n + x r n=1 c n (n + r)x n + + x r c n x n+2 x r ν 2 n=1 c n x n =

23 0.7 Besselova rovnice 23 Zjednodušíme koeficient u x r a sloučíme sumy, u kterých to bez potíží lze: = c 0 (r 2 ν 2 )x r + x r n=1 Ještě zjednodušíme výraz v první sumě a dostáváme: x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = c 0 (r 2 ν 2 )x r + x r Z tzv. charakteristické rovnice c n ((n + r)(n + r 1) + (n + r) ν 2 )x n + x r n=1 r 2 ν 2 = 0 c n ((n + r) 2 ν 2 )x n + x r určíme hodnotu čísla r. Vidíme, že kořeny charakteristické rovnice jsou r 1 = ν a r 2 = ν. Pro r = ν z (24) zbude x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = x ν n=1 c n n(n + 2ν)x n + x ν c n x n+2. c n x n+2. c n x n+2. (24) Výraz na pravé straně budeme dále upravovat. Abychom mohli obě sumy sloučit do jedné, posuneme v první z nich sumační index o dvě zavedeme nový sumační index k = n 2. Sumační index ve druhé

24 0.7 Besselova rovnice 24 sumě přeznačíme z n na k. Z první sumy pak dáme stranou to, co oproti druhé sumě přečuhuje, což nám umožní převést konečně všechno na jednu sumu. x ν k= 1 c k+2 (k + 2)(k ν)x k+2 + x ν = x ν (c 1 (1 + 2ν)x + k=0 c k x k+2 = c k+2 (k + 2)(k ν)x k+2 + k=0 = x ν (c 1 (1 + 2ν)x + ) c k x k+2 = k=0 ) [(k + 2)(k ν)c k+2 + c k ]x n+2 = 0. Jestli vás nějak překvapilo to = 0 na konci, možná jste v zápalu boje se sumami pozapomněli, že dosazujeme do rovnice (22). S velkou námahou jsme upravili levou stranu rovnice, a teď chceme, aby se rovnala straně pravé. Aby byla uvedená rovnost splněna pro každé x, musí platit k=0 (1 + 2ν)c 1 = 0 (25) (k + 2)(k ν)c k+2 + c k = 0 k = 0, 1, 2,... neboli c k+2 = c k, k = 0, 1, 2,.... (26) (k + 2)(k ν)

25 0.7 Besselova rovnice 25 Protože podle (25) je c 1 = 0, postupným dosazováním do (26) pro k = 1, 3, 5,... dostaneme c 3 = = c 5 = c 7 = = 0. Všechny liché členy řady jsou tedy nulové a zbývá nám prozkoumat sudé členy řady. Označíme k + 2 = 2n. Indexům k = 0, 2, 4,... teď odpovídá n = 1, 2, 3,.... Vztah (26) můžeme (po vcelku jednoduché úpravě jmenovatele zlomku) zapsat jako c 2n = c 2n 2, n = 1, 2, 3,.... (27) 2 2 n(n + ν) c 0 Tedy c 2 = (1 + ν), c 2 c 4 = (2 + ν) = c (1 + ν)(2 + ν), c 6 =. c 2n = c (3 + ν) = c (1 + ν)(2 + ν)(3 + ν), ( 1) n c 0, n = 1, 2, 3,.... (28) 2 2n n!(1 + ν)(2 + ν) (n + ν)

26 0.8 Besselovy funkce 26 Konstantu c 0 bychom mohli zvolit libovolně, ale standardně se volí (ach, to se vám asi nebude líbit... ) 0.8 Besselovy funkce c 0 = 1 2 ν Γ(1 + ν). Teď, když už víme, co se skrývá pod zápisem Γ(1 + ν), můžeme se vrátit k Besselově rovnici. Pokud zvolíme c 0 výše uvedeným způsobem, dostaneme využitím vztahu (20) pro další koeficienty: a obecně, pro n = 0, 1, 2,..., c 2 = ν 1 (1 + ν)γ(1 + ν) = ν 1 Γ(2 + ν), c 4 = ν 2! (2 + ν)(1 + ν)γ(1 + ν) = ν 2! Γ(3 + ν),. c 2n = ( 1) n 2 2n+ν n! (n + ν) (2 + ν)(1 + ν)γ(1 + ν) = ( 1) n 2 2n+ν n! Γ(1 + ν + n).

27 0.8 Besselovy funkce 27 Jedno řešení Besselovy rovnice je tedy y = c 2n x 2n+ν = ( 1) n n! Γ(1 + ν + n) ( ) x 2n+ν. Pro ν 0 tato řada konverguje alespoň na intervalu 0, ). Funkce popisující právě získané řešení se obvykle značí J ν (x): ( 1) n ( ) x 2n+ν J ν (x) =. (29) n! Γ(1 + ν + n) 2 Pro druhý kořen charakteristické rovnice rovnice, r 2 = ν, zcela analogicky dostaneme ( 1) n ( ) x 2n ν J ν (x) =. (30) n! Γ(1 ν + n) 2 Funkce J ν (x) a J ν (x) se nazývají Besselovy funkce prvního druhu řádu ν, resp. ν. Na obrázku 1 jsou grafy funkcí y = J 0 (x) a y = J 1 (x). Dá se ukázat, že jestliže ν není celé číslo, funkce J ν (x) a J ν (x) jsou lineárně nezávislé. V tomto případě je obecné řešení rovnice (22) na intervalu (0, ) 2 y = c 1 J ν (x) + c 2 J ν (x). (31)

28 0.8 Besselovy funkce 28 y 1 J 0 (x) J 1 (x) x Obr. 1: Besselovy funkce prvního druhu řádu 0 a 1 Příklad Najděte obecné řešení rovnice na intervalu (0, ). x 2 y + xy + ( x 2 1 ) y = 0 4 Řešení. V našem případě je ν 2 = 1/4, a tedy ν = 1/2. Vidíme, že ν není celé číslo, a tedy obecné řešení

29 0.9 Shrnutí kapitoly 29 zadané rovnice je y = c 1 J 1/2 (x) + c 2 J 1/2 (x). 0.9 Shrnutí kapitoly V této kapitole jsme se seznámili s Besselovou rovnicí, která je speciálním typem diferenciální rovnice druhého řádu. Řešení této rovnice bylo nalezeno pomocí nekonečné řady. Funkce, kterými je toto řešení popsáno, se nazývají Besselovy funkce. Cvičení 1. Najděte obecné řešení rovnice a) x 2 y + xy + (x 2 1 )y = 0. 9 b) 4x 2 y + 4xy + (4x 2 25)y = 0. Výsledky 1. a) y = c 1 J 1/3 (x) + c 2 J 1/3 (x).

30 0.9 Shrnutí kapitoly 30 b) y = c 1 J 5/2 (x) + c 2 J 5/2 (x) Cvičení Příklad 1. Metodou vlastních vektorů najděte řešení systému splňující podmínku y 1 (0) = 6, y 2 (0) = 2. Řešení: Hledané řešení má tvar y 1 = 3y 1 + 8y 2, y 2 = y 1 3y 2 y 1 (t) = 4e t + 2e t, y 2 (t) = e t e t. Příklad 2. Metodou vlastních vektorů najděte obecné řešení systému y 1 = 2y 1 + y 2 2y 3, y 2 = y 1 2y 2 + 2y 3, y 3 = y 1 y 2 + y 3.

31 0.9 Shrnutí kapitoly 31 Řešení: Obecné řešení systému má tvar y 1 (t) = [K 1 (1 t) + K 2 t 2K 3 ]e t, y 2 (t) = [K 1 t + K 2 (1 t) + 2K 3 ]e t, y 3 (t) = [K 1 t K 2 t + K 3 (1 + 2t)]e t. Příklad 3. Metodou vlastních vektorů najděte obecné řešení systému Řešení: Obecné řešení systému má tvar y 1 = y 1 2y 3 + 2y 4, y 2 = y 1 + y 2 + y 3 2y 4, y 3 = 2y 2 + 2y 3 3y 4, y 4 = y 1 + 2y 2 + 2y 3 3y 4. y 1 (t) = (K 1 + K 2 + 2K 4 ) sin t + ( K 1 + K 2 + 2K 3 ) cos t, y 2 (t) = (K 2 + K 3 ) sin t + (K 1 + K 4 ) cos t, y 3 (t) = (K 3 + K 4 ) sin t + (K 3 K 4 ) cos t, y 4 (t) = K 2 sin t + K 1 cos t.

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Aritmetika s didaktikou II.

Aritmetika s didaktikou II. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou II. KM / 0026 Přednáška 0 Desetinnáčísla O čem budeme hovořit: Budeme definovat desetinnáčísla jako speciální racionálníčísla. Naučíme se poznávat různé

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

Vydání občanského průkazu

Vydání občanského průkazu Vydání občanského průkazu 01. Identifikační kód 02. Kód 03. Pojmenování (název) životní situace Vydání občanského průkazu 04. Základní informace k životní situaci Občanský průkaz je povinen mít občan,

Více

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík 9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou

Více

U S N E S E N Í. I. Elektronické dražební jednání se koná dne 10.12.2015 v 09:00:00 hodin, prostřednictvím elektronického systému dražeb na adrese:

U S N E S E N Í. I. Elektronické dražební jednání se koná dne 10.12.2015 v 09:00:00 hodin, prostřednictvím elektronického systému dražeb na adrese: Stránka 1 z 5 U S N E S E N Í JUDr. Vít Novozámský, soudní exekutor Exekutorského úřadu Brno-město se sídlem Bratislavská 73, 602 00 Brno-Město, Česká republika pověřený provedením exekuce, které vydal

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod 4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod Předpoklady: 040215 Postřeh z minulých měření: Při sestavování obvodů jsme používali stále stejnou plochou baterku. Přesto se její napětí po zapojení do obvodu měnilo.

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Analýza oběžného kola

Analýza oběžného kola Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný

Více

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

Řešení: 20. ročník, 2. série

Řešení: 20. ročník, 2. série Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme

Více

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 - Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,

Více

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární

Více

METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra. ze dne 17. prosince 2015

METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra. ze dne 17. prosince 2015 METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra ze dne 17. prosince 2015 1. Jaký zákon upravuje číslování stavebních objektů? Označování/číslování budov upravuje 31 zákona č. 128/2000 Sb., o obcích (obecní zřízení),

Více

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost

Příloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a

Více

Výzva k podání nabídek

Výzva k podání nabídek Výzva k podání nabídek Číslo zakázky (bude doplněno MPSV při uveřejnění): Název zakázky: Předmět zakázky (služba, dodávka nebo stavební práce): Zajištění vzdělávacích aktivit pro společnost Volvo Group

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD

POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní

Více

NÁHRADA ŠKODY Rozdíly mezi odpov dnostmi TYPY ODPOV DNOSTI zam stnavatele 1) Obecná 2) OZŠ vzniklou p i odvracení škody 3) OZŠ na odložených v cech

NÁHRADA ŠKODY Rozdíly mezi odpov dnostmi TYPY ODPOV DNOSTI zam stnavatele 1) Obecná 2) OZŠ vzniklou p i odvracení škody 3) OZŠ na odložených v cech NÁHRADA ŠKODY - zaměstnanec i zaměstnavatel mají obecnou odpovědnost za škodu, přičemž každý potom má svou určitou specifickou odpovědnost - pracovněprávní odpovědnost rozlišuje mezi zaměstnancem a zaměstnavatelem

Více

Č.j. S056/2008/VZ-03935/2008/520/EM V Brně dne 7. března 2008

Č.j. S056/2008/VZ-03935/2008/520/EM V Brně dne 7. března 2008 Č.j. S056/2008/VZ-03935/2008/520/EM V Brně dne 7. března 2008 Úřad pro ochranu hospodářské soutěže příslušný podle 112 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění zákona č. 110/2007 Sb. a zákona

Více

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Do vlastních rukou akcionářů DEK a.s. POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Představenstvo společnosti DEK a.s., se sídlem Tiskařská 10/257, PSČ 108 00, IČ: 276 36 801, zapsané v obchodním rejstříku, vedeném

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,

Více

Model dvanáctipulzního usměrňovače

Model dvanáctipulzního usměrňovače Ladislav Mlynařík 1 Model dvanáctipulzního usměrňovače Klíčová slova: primární proud trakčního usměrňovače, vyšší harmonická, usměrňovač, dvanáctipulzní zapojení usměrňovače, model transformátoru 1 Úvod

Více

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012

POKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 dz_12dpfo5405_19_pok.pdf - Adobe Acrobat Professional POKYNY k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 Pokyny k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín

Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

Posouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny.

Posouzení stávající soustavy vytápění. Posouzení stávající soustavy vytápění. Semináře JOULE 2012 Ing. Vladimír Galad galad@volny. Posouzení stávající soustavy vytápění ÚVOD Připomeňme si, že existuje několik typů soustav pro vytápění a s nástupem nových technologií a využívání netradičních a obnovitelných zdrojů tepla přibývá řada

Více

Výzva k podání nabídek (zadávací dokumentace)

Výzva k podání nabídek (zadávací dokumentace) Výzva k podání nabídek (zadávací dokumentace) 1.Číslo zakázky 2.Název programu: 3.Registrační číslo projektu 4.Název projektu: 5.Název zakázky: Operační program Vzdělání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.1.07/02.0129

Více

Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY

Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY Jak na KOTLÍKOVÉ DOTACE? JEDNODUCHÝ RÁDCE PRO ZÁKAZNÍKY KOTLÍKOVÉ DOTACE pokračují! Máte doma starý kotel na uhlí, dřevo a jiná tuhá paliva? Pak jsou kotlíkové dotace určeny právě pro Vás! Pokud máte doma

Více

METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ

METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ Regionální rada regionu soudržnosti Moravskoslezsko METODICKÝ POKYN - DEFINICE MALÝCH A STŘEDNÍCH PODNIKŮ verze 1.06 Evidence změn Verze Platnost od Předmět změny Strany č. 1.01 22. 10. 2007 Sestavování

Více

Podrobný postup pro doplnění Žádosti o dotaci prostřednictvím Portálu Farmáře. 1. kolo příjmu žádostí Programu rozvoje venkova (2014 2020)

Podrobný postup pro doplnění Žádosti o dotaci prostřednictvím Portálu Farmáře. 1. kolo příjmu žádostí Programu rozvoje venkova (2014 2020) Podrobný postup pro doplnění Žádosti o dotaci prostřednictvím Portálu Farmáře 1. kolo příjmu žádostí Programu rozvoje venkova (2014 2020) V tomto dokumentu je uveden podrobný postup doplnění Žádosti o

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Vstupní test 8 I NUMERICKÉ METODY 10 2 Chyby při numerických výpočtech 10 2.1 Zdroje a typy chyb...............................

Více

http://www.coptkm.cz/ Měření výkonu zesilovače

http://www.coptkm.cz/ Měření výkonu zesilovače http://www.coptkm.cz/ Měření výkonu zesilovače Měření výkonu zesilovače se neobejde bez zobrazování a kontroly výstupního průběhu osciloskopem. Při měření výkonu zesilovače místo reprodukční soustavy zapojíme

Více

KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno

KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno KRAJSKÝ ÚŘAD JIHOMORAVSKÉHO KRAJE Odbor dopravy Žerotínovo náměstí 3/5, 601 82 Brno Č. j.: 122062/2013 Sp.zn.: S - JMK 122062/2013/OD/Jí Brno 12.12.2013 V E Ř E J N Á V Y H L Á Š K A R O Z H O D N U T

Více

170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010

170/2010 Sb. VYHLÁŠKA. ze dne 21. května 2010 170/2010 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 21. května 2010 o bateriích a akumulátorech a o změně vyhlášky č. 383/2001 Sb., o podrobnostech nakládání s odpady, ve znění pozdějších předpisů Ministerstvo životního prostředí

Více

Čl. 3 Poskytnutí finančních prostředků vyčleněných na rozvojový program Čl. 4 Předkládání žádostí, poskytování dotací, časové určení programu

Čl. 3 Poskytnutí finančních prostředků vyčleněných na rozvojový program Čl. 4 Předkládání žádostí, poskytování dotací, časové určení programu Vyhlášení rozvojového programu na podporu navýšení kapacit ve školských poradenských zařízeních v roce 2016 čj.: MSMT-10938/2016 ze dne 29. března 2016 Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy (dále

Více

PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA

PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA č. j.: TACR/14666/2014 PŘÍRUČKA K PŘEDKLÁDÁNÍ PRŮBĚŽNÝCH ZPRÁV, ZPRÁV O ČERPÁNÍ ROZPOČTU A ZÁVĚREČNÝCH ZPRÁV PROJEKTŮ PODPOŘENÝCH Z PROGRAMU BETA Schválil/a: Lenka Pilátová, vedoucí oddělení realizace

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ

1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ 1. LNEÁNÍ APLKACE OPEAČNÍCH ZESLOVAČŮ 1.1 ÚVOD Cílem laboratorní úlohy je seznámit se se základními vlastnostmi a zapojeními operačních zesilovačů. Pro získání teoretických znalostí k úloze je možno doporučit

Více

Poukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4.

Poukázky v obálkách. MOJESODEXO.CZ - Poukázky v obálkách Uživatelská příručka MOJESODEXO.CZ. Uživatelská příručka. Strana 1 / 1. Verze aplikace: 1.4. MOJESODEXO.CZ Poukázky v obálkách Verze aplikace: 1.4.0 Aktualizováno: 22. 9. 2014 17:44 Strana 1 / 1 OBSAH DOKUMENTU 1. ÚVOD... 2 1.1. CO JSOU TO POUKÁZKY V OBÁLKÁCH?... 2 1.2. JAKÉ POUKÁZKY MOHOU BÝT

Více

Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642

Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55. modul Sklad. 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Programový komplet pro evidence provozu jídelny v. 2.55 modul Sklad 2001 Sviták Bechyně Ladislav Sviták hotline: 608/253 642 Obsah 1 Programový komplet pro evidenci provozu jídelny modul SKLAD...3 1.1

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha: 4 Název úlohy: Balmerova série Kroužek: po-do Datum měření: 10. března 014 Skupina: Vypracoval: Ondřej Grover Klasifikace: 1 Pracovní úkoly 1. (Nepovinné) V

Více

Elasticita a její aplikace

Elasticita a její aplikace Elasticita a její aplikace Motivace Firmu zajímá, jak ovlivní její tržby tyto změny: firmě rostou náklady, proto chce zdražit svou produkci konkurenční firma vyrábějící podobný výrobek zlevnila očekává

Více

Jak prochází světlo soustavou částečně propustných zrcadel?

Jak prochází světlo soustavou částečně propustných zrcadel? Jak rochází světlo soustavou částečně roustných zrcadel? Když světlo rochází oloroustným zrcadlem, olovina světla rojde a olovina se odrazí. Co se však stane, když takových zrcadel máme víc za sebou a

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15

Kód uchazeče ID:... Varianta: 15 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 15 1. V únoru byla zaměstnancům zvýšena mzda o 15 % lednové mzdy. Následně

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

ODBOR DOPRAVY Velké náměstí 114/3 pracoviště Budovcova 207 397 19 Písek

ODBOR DOPRAVY Velké náměstí 114/3 pracoviště Budovcova 207 397 19 Písek ODBOR DOPRAVY Velké náměstí 114/3 pracoviště Budovcova 207 397 19 Písek Č. j.: MUPI/2016/19152/St - UZ/05 V Písku dne: 03.06.2016 Vyřizuje: Ing.Václav Stejskal Telefon: 382 330 601, 382 330 555 E-mail:

Více

Změny dispozic objektu observatoře ČHMÚ v Košeticích

Změny dispozic objektu observatoře ČHMÚ v Košeticích O D Ů V O D N Ě N Í V E Ř E J N É Z A K Á Z K Y Dokument slouží ke správnému zpracování odůvodnění veřejné zakázky podle ustanovení 86 odst. 2 a 156 ZVZ, ve smyslu vyhlášky Ministerstva pro místní rozvoj

Více

Uchazečům o veřejnou zakázku

Uchazečům o veřejnou zakázku MĚSTO KOPŘIVNICE MĚSTSKÝ ÚŘAD KOPŘIVNICE Oddělení soukromoprávní VÁŠ DOPIS ZN.: ZE DNE: Č. J.: SPIS. ZN.: VYŘIZUJE / ÚTVAR: Mgr. Irena Hanáková/OSP TELEFON: 556 879 749 E-MAIL: Irena.hanakova@koprivnice.cz

Více

Zásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5

Zásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5 Zásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5 Základní pojmy Pro účely těchto Zásad pro prodej nemovitostí (pozemků, jejichž součástí jsou bytové domy) Městské části Praha 5 (dále jen Zásady )

Více

VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY

VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY VÝZVA K PODÁNÍ NABÍDKY Výzva k podání nabídky a prokázání kvalifikace pro veřejnou zakázku: KOUTEX 2014 (recyklace textilního odpadu) - zadávanou jako zakázku malého rozsahu nespadající pod aplikaci zákona

Více

3 Vývojová prostředí, základní prvky jazyka Java, konvence jazyka Java

3 Vývojová prostředí, základní prvky jazyka Java, konvence jazyka Java 3 Vývojová prostředí, základní prvky jazyka Java, konvence jazyka Java Studijní cíl V tomto bloku navážeme na konec předchozího bloku a seznámíme se s vývojovými prostředími, které se nejčastěji používají

Více

VEŘEJNÁ NABÍDKA POZEMKŮ URČENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA

VEŘEJNÁ NABÍDKA POZEMKŮ URČENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA VEŘEJNÁ NABÍDKA POZEMKŮ URČENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA č. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH PŘEVODU ZEMĚDĚLSKÝCH A LESNÍCH POZEMKŮ Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZNĚNÍ POZDĚJŠÍCH PŘEDPISŮ (DÁLE JEN ZÁKON

Více

PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana

PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ Strana Vyhledávání textu - přidržte klávesu Ctrl, kurzor umístěte na příslušný řádek a klikněte levým tlačítkem myši. 1. Právní předpisy upravující přijímací řízení ke studiu ve střední

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE ZADÁVACÍ DOKUMENTACE dle Pravidel, kterými se stanovují podmínky pro poskytování dotace na projekty PRV ČR na období 2007-2013, Opatření IV.1.2 Realizace místní rozvojové strategie Název veřejné zakázky

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Metodické doporučení MPSV č. 2/2010 pro postup orgánů sociálně-právní ochrany dětí při případové konferenci

Metodické doporučení MPSV č. 2/2010 pro postup orgánů sociálně-právní ochrany dětí při případové konferenci Metodické doporučení MPSV č. 2/2010 pro postup orgánů sociálně-právní ochrany dětí při případové konferenci Vymezení pojmu a definice případové konference Případová konference je odborná diskuse zainteresovaných

Více

Daňová partie. Aktuality z oblasti řešení daňových sporů. 5. května 2011. 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech

Daňová partie. Aktuality z oblasti řešení daňových sporů. 5. května 2011. 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech www.pwc.cz/danovespory Aktuality z oblasti řešení daňových sporů 5. května 2011 Témata tohoto vydání: 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech 2. Příjmy z absolutně neplatných smluv v daňovém přiznání

Více

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží Jihomoravské oblasti Českého svazu orientačních sportů v orientačním běhu

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží Jihomoravské oblasti Českého svazu orientačních sportů v orientačním běhu SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží Jihomoravské oblasti Českého svazu orientačních sportů v orientačním běhu 1. Základní ustanovení 1.1 Soutěžní řád soutěží Jihomoravské oblasti v orientačním běhu stanovuje podmínky

Více

Uplatňování nařízení o vzájemném uznávání u předmětů z drahých kovů

Uplatňování nařízení o vzájemném uznávání u předmětů z drahých kovů EVROPSKÁ KOMISE GENERÁLNÍ ŘEDITELSTVÍ PRO PODNIKY A PRŮMYSL Pokyny 1 V Bruselu dne 1. února 2010 - Uplatňování nařízení o vzájemném uznávání u předmětů z drahých kovů 1. ÚVOD Účelem tohoto dokumentu je

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Zvyšování kvality výuky v přírodních a technických oblastech CZ.1.07/1.128/02.0055. Nástrahy virtuální reality (pracovní list)

Zvyšování kvality výuky v přírodních a technických oblastech CZ.1.07/1.128/02.0055. Nástrahy virtuální reality (pracovní list) Zvyšování kvality výuky v přírodních a technických oblastech CZ.1.07/1.128/02.0055 Označení: EU-Inovace-Inf-6-03 Předmět: Informatika Cílová skupina: 6. třída Autor: Jana Čejková Časová dotace: 1 vyučovací

Více

Starosta Města Rokytnice v Orlických horách

Starosta Města Rokytnice v Orlických horách Město Rokytnice v Orlických horách náměstí Jindřicha Šimka 3, 517 61 Rokytnice v Orlických horách č.tel. 494 379 021 email: podatelna@mu.rokytnice.cz Starosta Města Rokytnice v Orlických horách O Z N A

Více

CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,

Více

SRF08 ultrazvukový dálkoměr

SRF08 ultrazvukový dálkoměr SRF08 ultrazvukový dálkoměr Technické údaje Ultrazvukový dálkoměr SRF08 komunikuje pomocí sběrnice I2C, která je dostupná na řadě oblíbených kontrolérů jako OOPic, Stamp BS2p, Atom či Picaxe. Z hlediska

Více

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo

metodická příručka DiPo násobení a dělení (čísla 6, 7, 8, 9) násobilkové karty DiPo metodická příručka DiPo násobení a dělení () PLUS násobilkové karty DiPo OlDiPo, spol. s r.o. tř. Svobody 20 779 00 Olomouc telefon: 585 204 055 mobil: 777 213 535 e-mail: oldipo@oldipo.cz web: www.oldipo.cz

Více

2. Vstup do podnikání fyzická osoba

2. Vstup do podnikání fyzická osoba Odbor obecní živnostenský úřad Praktické rady - Jak postupovat při žádosti o živnostenské oprávnění Živností je ve smyslu 2 živnostenského zákona soustavná činnost provozovaná samostatně, vlastním jménem,

Více

Č.j.: 3R18/04-Ku V Brně dne 18.5.2004

Č.j.: 3R18/04-Ku V Brně dne 18.5.2004 Č.j.: 3R18/04-Ku V Brně dne 18.5.2004 Ve správním řízení o rozkladu ze dne 26.2.2004 podaném společností FALCO CZ, s.r.o., se sídlem Viniční 235, 615 00 Brno, zast. jednatelem Ing. Miloslavem Martinů,

Více

statutární město Děčín podlimitní veřejná zakázka na služby: Tlumočení a překlady dokumentů

statutární město Děčín podlimitní veřejná zakázka na služby: Tlumočení a překlady dokumentů statutární město Děčín Zadávací dokumentace podlimitní veřejná zakázka na služby: Tlumočení a překlady dokumentů vyhlášená v otevřeném řízení dle zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění

Více

SMLOUVA O ZAJIŠTĚNÍ PRONÁJMU, MONTÁŽE, DEMONTÁŽE VČETNĚ REVIZE A OPRAV VÁNOČNÍHO OSVĚTLENÍ PRO HL.M.PRAHU V ROCE 2015

SMLOUVA O ZAJIŠTĚNÍ PRONÁJMU, MONTÁŽE, DEMONTÁŽE VČETNĚ REVIZE A OPRAV VÁNOČNÍHO OSVĚTLENÍ PRO HL.M.PRAHU V ROCE 2015 V z o r o v á s m l o u v a Stejnopis č. SMLOUVA O ZAJIŠTĚNÍ PRONÁJMU, MONTÁŽE, DEMONTÁŽE VČETNĚ REVIZE A OPRAV VÁNOČNÍHO OSVĚTLENÍ PRO HL.M.PRAHU V ROCE 2015 č. DIL. kterou dne, měsíce a roku níže uvedeného

Více

Android Elizabeth. Verze: 1.3

Android Elizabeth. Verze: 1.3 Android Elizabeth Program pro měření mezičasů na zařízeních s OS Android Verze: 1.3 Naposledy upraveno: 12. března 2014 alesrazym.cz Aleš Razým fb.com/androidelizabeth Historie verzí Verze Datum Popis

Více

Pracovní právo seminární práce

Pracovní právo seminární práce Pracovní právo seminární práce 1. Úvod do problematiky Tématem mé seminární práce je problematika pracovního práva a jeho institutů. V několika nadcházejících kapitolách bych se chtěl zabývat obecnou systematikou

Více

CL232. Převodník RS232 na proudovou smyčku. S galvanickým oddělením, vysokou komunikační rychlostí a se zvýšenou odolností proti rušení

CL232. Převodník RS232 na proudovou smyčku. S galvanickým oddělením, vysokou komunikační rychlostí a se zvýšenou odolností proti rušení Převodník RS232 na proudovou smyčku S galvanickým oddělením, vysokou komunikační rychlostí a se zvýšenou odolností proti rušení 28. dubna 2011 w w w. p a p o u c h. c o m CL232 Katalogový list Vytvořen:

Více

Číslo zakázky (bude doplněno poskytovatelem dotace) 1 Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Číslo zakázky (bude doplněno poskytovatelem dotace) 1 Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výzva k podání nabídek (pro účely uveřejnění na www.msmt.cz nebo www stránkách krajů pro zadávání zakázek z prostředků finanční podpory OP VK, které se vztahují na případy, pokud zadavatel není povinen

Více

Podlé há Váš é vozidlo př édmé tu dáné šilnič ní?

Podlé há Váš é vozidlo př édmé tu dáné šilnič ní? Podlé há Váš é vozidlo př édmé tu dáné šilnič ní? 2016_01_14 UP_01_2016_01_26 31. 1. 2016 to je termín pro podání daňového přiznání k dani silniční za rok 2015! Pojďme si v článku Bc. Martina Mikuše připomenout,

Více

Pravidla pronájmu bytů v majetku statutárního města Brna svěřených městské části Brno-Královo Pole

Pravidla pronájmu bytů v majetku statutárního města Brna svěřených městské části Brno-Královo Pole Pravidla pronájmu bytů v majetku statutárního města Brna svěřených městské části Brno-Královo Pole Článek 1 Úvod V souladu s čl. 2 odst. 1 Pravidel pronájmu bytů v domech v majetku statutárního města Brna

Více