K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014"

Transkript

1 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav hmotných bodů nebo tuhého tělesa ve všech případech ted šlo o problém s konečným počtem stupňů volnosti Existují ovšem problém, v nichž počet stupňů volnosti není konečný Například chvění membrán bubnu: výchlka z z( x, x, t) 1 1 závisí kromě času na dvou prostorových proměnných x, x Jak řešit takovéto problém? Dvourozměrné objekt (jako zmíněná membrána bubnu) či třírozměrné (například vzduch v místnosti, jehož části kmitají, kdž zní jakýkoli zvuk) jsou možná pro začátek zbtečně složité Podíváme se proto na snad nejjednodušší problém podobného tpu, a to na problém jednorozměrný: kmitající strunu Ukážeme si, jak lze její pohb řešit pomocí variačního principu, což je přístup, který jde lehce zobecnit na dvourozměrné nebo třírozměrné případ 1 Uvedeme také řešení této rovnice ve formě postupných i stojatých vln Úvod: formulace problému Uvažujme strunu hmotnosti m, která je napnuta mezi dvěma bod, jejichž vzdálenost je l Struna je homogenní, elastická 3 a je napnuta silou F Pro jednoduchost přidáme dva další předpoklad: 1 Části strun kmitají jen ve směru kolmém na spojnici krajních bodů Výchlk (resp amplitud kmitů) jsou malé První předpoklad znamená, že se části strun nepohbují doleva a doprava 4 Druhý předpoklad říká, že sklon strun vzhledem ke spojnici krajních bodů je malý 5 Výchlku strun popisuje funkce kde přitom, dík předpokladu, Úkolem je najít rovnici pro funkci ( x, t) (, ) x t, (11) << 1 (1) a poté najít alespoň některá její řešení Ještě poznámku k označení Pro krátkost budeme často označovat parciální derivace jako, (13) 1 V tomto textu nebudeme vícerozměrné problém řešit, omezíme se na pohb strun Ten se řešívá už na v závěru úvodního kurzu klasické mechanik, budeme ted moci porovnat odvození rovnice pomocí variačního počtu s odvozením vcházejícím z druhého Newtonova zákona Pro toho, kdo tato řešení zná, to bude připomenutí, shrnutí a v něčem možná doplnění Vzhledem k tomu, že analogické situace se popisují a řeší v optice, klasické elektrodnamice i v dalších partiích fzik (a vlnění je také důležitou součástí středoškolské fzik), není marné probrat si řešení tohoto problému dostatečně podrobně na názorném příkladu kmitající (resp vlnící se) strun 3 Tj prodlužuje se podle Hookova zákona Strunu také považujeme za dokonale ohebnou, ted síl spojené s ohýbáním strun budeme považovat za zanedbatelné (Jde o strunu, ne o tč, u ní b bl síl spojené s ohbem samozřejmě podstatné) 4 a vstihuje skutečnost, že půjde o příčné vlnění 5 Obrázek výše výchlk strun pro názornost přehání Ovšem reálně jste asi dosud neviděli napnutou strunu na ktaře kmitat s takovýmto rozkmitem 1

2 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Lagrangián kmitající strun Lagrangián našeho problému je L T V, kde T je kinetická energie kmitající strun a V její potenciální energie Kinetická energie kousku strun vznačeného na ose x délkou x (viz obrázek) je kousku strun T Rchlost ve směr os je 1 mv Označíme-li délkovou hustotu strun jako η ml Kinetická energie kousku strun je ted, 6 je hmotnost m η x (14) v (15) 1 T η x Celkovou kinetickou energii kmitající strun dostaneme sečtením přes všechn její kousk, je ted dána integrálem l 1 T η dx (16) Potenciální energii spočteme jako práci, kterou síla velikosti F, jíž je napínána struna, vkoná při prodloužení strun dík výchlce 7 Kousek strun, který má v klidu délku x, se při vchýlení strun protáhne na délku l ( ) x ( ) x ( ) Protažení daného kousku je ted l x x Potenciální energie daného kousku strun je proto potenciální energie celé strun pak Lagrangián je ted 1 1 V F x, l 1 V F dx (17) l 1 1 L T V η F dx (18) 6 Je-li ρ hustota materiálu strun a S její průřez, je přirozeně η ρs Struna je homogenní, takže η konst 7 Tato úvaha se může zdát na první pohled zvláštní, ale funguje: Představte si, že bste vzali koncový bod strun a strunu natáhli o malý kousek délk d Protože táhnete silou F, vkonáte práci F d (Natažení pokládáme za malé, takže síla F, kterou je struna napnuta, se praktick nezmění) Stejnou práci ale vkonáme, jestliže strunu o kousek délk d protáhneme tím, že ji vchýlíme do stran 8 x považujeme za malé (resp nakonec budeme brát limitu x ) a vužíváme toho, že je malé, viz (1)

3 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Vidíme, že obecně je lagrangián dán integrálem x B L,,,, x t L dx 9 x A (19) Veličinu L nazýváme lagrangeovská hustota 1 V lagrangiánu (18) blo konkrétně Variační princip v případě dvou nezávislých proměnných 1 η 1 L F (11) t 1 ( j, j, ) V kapitole 8 jsme definovali akci jako 11 Dosadíme-li za lagrangián (19), dostaneme S L q q t dt (111) t1 x A t S 1,,,, x t L dt dx (11) t xb V analogii s Hamiltonovým principem, který jsme poznali v kapitole 8, můžeme očekávat 1, že struna se bude pohbovat tak, že variace akce je nulová, Jakou rovnici musí splňovat funkce δ S 13 (, ) 3 (113) x t, ab bl splněn variační princip (113)? Mohli bchom ji odvozovat podobně, jako jsme v kapitole 8 odvodili Eulerovu-Lagrangeovu rovnici Může nám však pomoci analogie: Hamiltonův princip užívající akci (111), v níž se integruje podle času vedl na Lagrangeov rovnice druhého druhu Nní se ve výrazu pro akci (11) integruje přes dvě proměnné, t a x Obě tto proměnné vstupují v integrálu zcela rovnocenně Lze ted očekávat, že budou vstupovat rovnocenně i v rovnicích pro funkci ( x, t) Ted, že rovnice budou mít tvar L L L + (114) 9 V našem konkrétním případě L nezáviselo explicite na, x ani t, ale v obecném případě b na těchto proměnných mohlo záviset Meze jsme označili x a A x, v našem konkrétním případě blo B x A a xb l 1 Musíme ji integrovat přes x, abchom dostali lagrangián, podobně, jako třeba délkovou hustotu hmotnosti musíme integrovat přes x, abchom dostali celkovou hmotnost 11 Jen meze integrálu bl v osmé kapitole ta, t B, nní je značíme t, t1, ab se nám to nepletlo s index A a B u proměnné x 1 Netřeba asi dodávat, že naše očekávání je oprávněné, níže uvedený variační princip je opravdu správným pohbovým zákonem pro kmit strun 13 Při této variaci musí být pevně dané poloh strun v počátečním a koncovém čase, tj ( x, t ) ( x ) a ( x, t1) 1 ( x) a navíc musí být pevně držené okraje strun, tj ( x, A t) (, t) a ( x, B t) lt (, ) Znamená to, že výchlk strun jsou pevně zadané na okrajích oblasti vmezené hodnotami ( t, t1 ) a ( xa, x B)

4 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 A opravdu, tohle je správný tvar rovnic, který b nám všel i po podrobném odvození V zápisu rovnice (114) nám může připadat nezvklé derivovat podle parciálních derivací možná přijatelněji a srozumitelněji rovnice vpadá, označíme-li parciální derivace smbol (13): L L L + Jasněji teď vidíme, že se tato rovnice opravdu podobá Lagrangeově rovnici druhého druhu (115) d L L dt q q Rovnice strun odvození z variačního principu 14 (116) Kdž pomocí značení a zapíšeme lagrangeovskou hustotu (11), 1 1 L η F, (117) můžeme lehce spočíst její potřebné derivace 15 a dosazením do (115) získat rovnici pro kmit strun: (118) ( η ) ( F ) Můžeme ji upravit např na tvar F η, obvklejší bývá vjádření, v němž jsou parciální derivace zapsán explicite, např ve tvaru 16 1 (119) F ( η ) Rovnice strun odvození z druhého Newtonova zákona Pro kontrolu, zda jsme dospěli ke správné rovnici, může být užitečné připomenout si odvození rovnice strun z druhého Newtonova zákona 17 Jde to docela přímočaře Pro kousek strun o hmotnosti m dává druhý Newtonův zákon dv m F (1) dt 14 (115) a Lagrangeova rovnice (116) jsou opravdu analogické, jen místo souřadnice q, která závisí na čase, q qt máme v (115) funkci dvou proměnných ( x, t) Obě tto proměnné v rovnici (115) vstupují jako nezávisle proměnné a mají v ní člen analogické členu d L v Lagrangeových rovnicích druhu dt q Jen nní v (115) musíme místo totální derivace d psát parciální derivaci a podobně pro proměnnou x dt 15 L η, L F a L 16 Za chvíli uvidíme, proč v druhém členu píšeme výraz takto do jmenovatele 17 Variační princip v případě dvou proměnných a rovnice, které z něho plnou, jsme výše získali jen analogií s jednodušším případem probíraným v kapitole 8 Možná v nás ted může hlodat červík nedůvěr, jestli jsou opravdu správně Jsou ale zatím jsme se museli spolehnout jen na autoritativní tvrzení, že tomu tak je, nebo si je zkontrolovat v učebnicích Takže není od věci, ověřit si platnost rovnice (119) i zcela nezávislým odvozením 4

5 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Protože se kousek strun pohbuje jen ve směru os, stačí uvažovat jen -ovou složku rovnice dv (1), ted m dt F Přitom v a m η x (viz (14)), takže Newtonův zákon t dává 18 η x F (11) Síla F je součet sil, kterými na daný kousek strun působí části strun napravo a nalevo (Na obrázku sílu zprava označujeme jako F +, sílu zleva jako F ) Ve směr os je ted F F + F (1) + Pokud se týče vodorovných, ted x-ových složek síl, t musí být zleva i zprava co do velikosti stejné a musí se ted vrovnávat, jinak b se daný kousek strun urchloval doprava nebo doleva Faktick můžeme říci, že velikost x-ové složk síl je rovna síle F, kterou je struna napnuta, kdž je v klidu Složka síl do směru závisí na sklonu strun Jak ukazuje obrázek, F Ftgα F F Derivaci ovšem musíme vzít vžd x + v příslušném bodě, takže F F a F F 19 x x Dosazení do (1) dá x+ x F F F x F x Teď už stačí dosadit (13) do (11): a po zkrácení x x+ x x (13) η x F x x a převedení na jednu stranu dostáváme což už je faktick rovnice (119) 1 F η x t Rovnici strun ted máme odvozenou Jak je to s jejím řešením?, (14) 18 Derivaci podle času už píšeme jen jako parciální, i kdž v (1) bla totální derivace Tam jsme ale brali xt, závisí na dvou proměnných a tak kousek strun faktick jako hmotný bod, zatímco v (11) funkce musíme časovou změnu zapisovat pomocí parciální derivace 19 U F je záporné znaménko, protože na levém kraji daného kousku strun působí síla opačně, než na pravém df Vužíváme toho, že rozdíl funkce ve dvou blízkých bodech je f ( x+ x) f ( x) x, funkcí f je dx x 1 Dík tomu, že nám i při zcela nezávislém odvození všla stejná rovnice, snad může stoupnout i naše důvěra ve variační princip použitý k řešení pohbu spojitých prostředí, jako je struna 5

6 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Řešení rovnice strun: postupné vln Vztah vstihující postupné vlnění 3 se obvkle píše ve tvaru Asin( kx ωt) (15) Jak víme, že jde o postupnou vlnu a jakou rchlostí taková vlna postupuje? Obrázek ukazuje výchlk strun 4 v nějakém konkrétním čase t Zvýrazněn je jeden vrchol vln, jeho souřadnice je označena x V Jakou hodnotu musí mít argument funkce sinus v (15), ab šlo o vrchol vln, ted ab výchlka bla maximální? Pro maximální hodnotu se sinus musí rovnat 1 To znamená, že argument v závorce má hodnotu například π 5 Pro vrchol je ted např kxv ωt π ; odtud To je ale vztah pro rovnoměrný přímočarý pohb, xv ω π t + (16) k k xv v t + konst Vidíme, že jde opravdu o postupné vlnění; vrchol vln (i kterékoli jiné jejich části) postupují podél os x rchlostí ω v 6 k (17) Ještě jsme ovšem neukázali, že (15) je řešením rovnice strun (119), případně za jakých podmínek je řešením Pro dosazení do rovnice strun potřebujeme spočítat druhé derivace (15): kacos ( kx ωt), k Asin ( kx ωt), ω Acos ( kx ωt), ω Asin ( kx ωt) (18) Dosazení do (119), ted do 1 dá F η sin 1 k A kx ωt + ω A sin( kx ωt ), ( F η ) čili ω k + A sin( kx ωt) (19) ( F η ) Jde o postupné vlnění v jednorozměrném případě Stejnou rovnici může mít postupná rovinná vlna 3 V našem případě jde o postupné vlnění příčné, výchlk jsou kolmé na směr šíření vln 4 Výchlk jsou na obrázku velmi přehnané, výše jsme rovnici strun odvodili pro malé výchlk, zde nám jde o ilustraci vlnění obecně 5 nebo 3π, 5π, zkrátka obecně ( k + 1) π Asin k x vt 6 Skutečnost, že jde o postupné vlnění, je také jasně vidět, kdž (15) přepíšeme jako ( ) 6

7 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Tato rovnice musí být splněna pro všechna x a všechna t Ab to blo pravda, musí platit ω ω k +, čili k ( F η ) vln na struně je F ω η k F Porovnáním s (17) vidíme, že rchlost postupných η v F (13) η Tím pádem můžeme rovnici strun (119) psát jako 1 (131) v Faktick jde o jednorozměrný případ vlnové rovnice 7 V případě výše uvedeného vlnění (15) jde o harmonickou vlnu 8 Blo b možno vjádřit i vlnu zcela obecného profilu? Jde to, stačí pro libovolnou funkci f f ξ 9 napsat f ( x vt) (13) Druhé derivace (13) jsou 3 df d f,, dξ dξ df d f ( v), v dξ dξ Po dosazení do levé stran (131) dostaneme 1 d f 1 d f d f v v 1 v dξ v dξ dξ v Vidíme ted, že (13) opravdu je řešením rovnice strun A skutečně jde o postupnou vlnu šířící se rchlostí v : jestliže funkce f ( ξ ) má maximum pro nějakou hodnotu ξ, m je vrchol funkce na místě o souřadnici x v t + ξ Profil funkce f přitom zůstává stále stejný, jen se pohbuje podél os x V m 7 1 p Ve třírozměrném případě vlnová rovnice, např pro zvukové vln, má tvar p Zde p je tlak v p p p vzduchu, a Δ je Laplaceův operátor, p + + z 8 Prostě, ve vztahu je sinus nebo kosinus argumentu 9 Spojitou a derivovatelnou do druhého řádu 3 Rozmslete si, že tohle je pravda (Stačí použít pravidlo pro derivaci složené funkce, takže např f df ξ, dξ kde ξ x v t ) 7

8 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Řešení rovnice strun: stojaté vln Harmonická stojatá vlna je popsána vztahem 31 sin( ω ) Asin kx t, (133) kde ω π f je úhlová frekvence vlnění a k π λ je vlnové číslo 3 Dokázat, že (133) je řešením rovnice strun znamená spočítat druhé derivace kacos( kx) sin ( ωt), k Asin( kx) sin ( ωt), ω Asin kx cos ωt, ω Asin kx sin ωt (134) a dosadit je do levé stran (131): 1 1 ω k Asin kx sin t + Asin kx sin t k + Asin kx sin t v v v ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) Rovnice strun ted bude splněna, pokud pro všechna x a t bude platit ω k + A sin( kx) sin( ωt) v (135) ω Nutnou a postačující podmínkou pro to je k + v v případě postupné harmonické vln (viz (17)), čili v ω, což je stejný vztah, jako k Jde-li o stojaté vln na struně konečné délk, musí být splněn okrajové podmínk (, ), (, ) t l t 33 (136) První podmínka je splněna již volbou řešení (133) 34 Ab bla splněna druhá podmínka, musí platit sin kl kl nπ, kde n 13,,, (137) Protože k π λ, plne z (137), že λ l n, ted, že na délku strun připadne celý počet půlvln 35 Na druhou stranu mezi k a ω platí vztah ω k v (viz (17)), takže π f ω k v nπ l v, 31 Toto není obecný tvar stojaté vln V obou argumentech funkcí sinus b mohl být ještě fázové konstant, případně bchom mohli uvažovat kombinace sinů a kosinů Vztah (133) však bude vhovovat situaci, kterou budeme dále popisovat 3 Přitom f je frekvence vlnění a λ vlnová délka Rozmslete si, že vztah (133) opravdu popisuje vlnění s touto frekvencí a vlnovou délkou A rozmslete si, jak bste to vsvětlili středoškolákům tento popis je na úrovni středoškolské fzik (Stejně tak musíme umět vsvětlit význam příslušných parametrů v případě harmonické postupné vln, ted ve vztahu (15)) 33 Na začátku a na konci je struna upevněna a nemůže se tam hýbat 34 Protože sin k 35 Což je logické (Rozmslete si proč) 8

9 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 čili (po dosazení (13)) v 1 F f n n, n 13,,, l l η (138) Struna ted může kmitat základní frekvencí f 1 1 l F η a jejími násobk stojatého vlnění dostaneme složením stojatých vln těchto základních frekvencí Složitější případ Závěrečná poznámka Přestože jsme se v závěrečných částech kapitol věnovali konkrétním řešením rovnice strun, neměli bchom zapomenout na základní poznatek, s nímž jsme se seznámili: variační princip lze z případu soustav hmotných bodů dobře zobecnit i na soustav s nekonečným počtem stupňů volnosti, ted na spojitá prostředí 36 Mluvíme o tzv všších harmonických Obecně, kdž drnkneme třeba na strunu ktar, zní současně základní tón i všší harmonické, našemu uchu to zní libozvučně (Uvádí se, že s výjimkou sedmé harmonické) 37 Kvalitativně můžeme zkontrolovat, že se vztah pro frekvenci základního tónu chová rozumně: napneme-li strunu větší silou F, frekvence roste (výška tónu vzrůstá), naopak hmotnější struna (s všší délkovou hustotou hmotnosti η ) kmitá s nižší frekvencí, ted zní hlubším tónem 9

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Variační principy Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014.

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Variační principy Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014. K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Variační princip V této kapitole se podíváme na zcela jiné vjádření zákonů, které

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice 278 24 VLNĚNÍ Základní druhy vlnění a vlnová rovnice Skládání vln, interference a polarizace Fázová a grupová rychlost, disperze Dopplerův jev, Čerenkovův jev Vlny v omezeném prostředí Energie a hybnost

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

Zadání I. série. Obr. 1

Zadání I. série. Obr. 1 Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

AKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001

AKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001 AKUSTICKÉ JEVY V KONTINUÍCH Petr Hora 30. května 2001 Tento text obsahuje sylabus přednášek z předmětu Akustické jevy v kontinuích (AJK), který se přednáší na Fakultě aplikovaných věd Západočeské univerzity

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. x m. Ne čas!

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. x m. Ne čas! MECHANICKÉ VLNĚNÍ I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í uveďte rozdíly mezi mechanickým a elektromagnetickým vlněním zdroj mechanického vlnění musí. a to musí být přenášeno vhodným prostředím,

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice

Více

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF 22. II. S

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF  22. II. S Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S ročník, úloha II S Young a vlnová povaha světla (5 bodů; průměr,50; řešilo 6 studentů) a) Jaký tvar interferenčních proužků na stínítku

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce lineární funkce Mirek Kubera žák načrtne graf požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti reálných

Více

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole 161 Pole je druhá základní forma existence hmoty (vedle

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

1 Skalární vlna a její matematický popis

1 Skalární vlna a její matematický popis 7 1 Skalární vlna a její matematický popis 1.1 Vlna a vlnová rovnice 1. Rovinné vlny 1. Kulové vlny 1.4 Harmonické vlny 1.5 Komplexní notace harmonických vln 1.6 Intenzita vlnění a výpočet intenzity harmonických

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem

Více

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Pro zředěné roztoky za konstantní teploty T je osmotický tlak úměrný molární koncentraci

Pro zředěné roztoky za konstantní teploty T je osmotický tlak úměrný molární koncentraci TRANSPORTNÍ MECHANISMY Transport látek z vnějšího prostředí do buňky a naopak se může uskutečňovat dvěma cestami - aktivním a pasivním transportem. Pasivním transportem rozumíme přenos látek ve směru energetického

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Akustická měření - měření rychlosti zvuku

Akustická měření - měření rychlosti zvuku Akustická měření - měření rychlosti zvuku Úkol : 1. Pomocí přizpůsobené Kundtovy trubice určete platnost vztahu λ = v / f. 2. Určete rychlost zvuku ve vzduchu pomocí Kundtovy a Quinckeho trubice. Pomůcky

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Řízení a regulace II Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Prof. Ing. František Šolc, CSc. Ing. Pavel Václavek, Ph.D. Prof. Ing. Petr Vavřín, DrSc. ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Vícenásobná regresní a korelační analýza 1 1 Tto materiál bl vtvořen za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. O vícenásobné závislosti mluvíme tehd, jestliže je závisle proměnná závislá na více nezávislých

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

4.4.8 Zase nějaké... Předpoklady: ,6 l benzínu stálo 993,24 Kč. Kolik Kč by stálo 44,8 litru benzínu?

4.4.8 Zase nějaké... Předpoklady: ,6 l benzínu stálo 993,24 Kč. Kolik Kč by stálo 44,8 litru benzínu? ..8 Zase nějaké... Předpoklad: 000 Př. :, l benzínu stálo 99, Kč. Kolik Kč b stálo,8 litru benzínu? Čím více benzínu koupíme, tím více musíme zaplatit přímá úměrnost., litru 99, Kč,8 litru 99, = /,8 (cena

Více

Vlny v trubici VUT FSI v Brně

Vlny v trubici VUT FSI v Brně Vlny v trubici VUT FSI v Brně Měření provedeno: Vedoucí práce: Měření provedli: Zpracoval: Úkol: Měřením rezonančních frekvencí podélného vlnění v trubici určit rychlost šíření zvuku ve vzduchu. Teoretická

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích

3.2. Elektrický proud v kovových vodičích 3.. Elektrický proud v kovových vodičích Kapitola 3.. byla bez výhrad věnována popisu elektrických nábojů v klidu, nyní se budeme zabývat pohybujícími se nabitými částicemi. 3... Základní pojmy Elektrický

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

2.1.10 Lineární funkce III

2.1.10 Lineární funkce III ..0 Lineární funkce III Předpoklad: 09 Minulá hodina Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk), kterou kreslíme většinou

Více

Teorie reaktivního pohonu

Teorie reaktivního pohonu Teorie reaktivního pohonu David Klusáček MFF UK 3.11.211 brmlab.cz/user/david 1 Úroveň na které se budeme pohybovat Poloha Je funkce r : R R 3. V čase t leží bod na souřadnicích r(t) = (r x (t), r y (t),

Více

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Jaroslav Reichl, 011 ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Pomůcky: tříosé čidlo zrychlení 3D-BTA (základní měření lze realizovat i s jednoosým čidlem zrychlení), optická závora VPG-BTD, větší lékovka (nebo nádobka

Více

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter.

CHEMICKÁ ENERGETIKA. Celá termodynamika je logicky odvozena ze tří základních principů, které mají axiomatický charakter. CHEMICKÁ ENERGETIKA Energetickou stránkou soustav a změnami v těchto soustavách se zabývá fyzikální disciplína termodynamika. Z široké oblasti obecné termodynamiky se chemická termodynamika zajímá o chemické

Více

plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu

plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu Úloha 4: Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu, Měření Poissonovy konstanty vzduchu FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 2.11.2009 Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 11 Ročník

Více

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1. Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře

Více

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Shodnostní Helmertova transformace

Shodnostní Helmertova transformace Shodnostní Helmertova transformace Toto pojednání ukazuje, jak lze určit transformační koeficienty Helmertovy transformace za požadavku, aby představovaly shodnostní transformaci. Pro jednoduchost budeme

Více

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy)

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Úvod: Problematika výtoku kapaliny z nádrže se uplatňuje při vyprazdňování nádrží a při nejjednodušším nastavování konstantních průtoků.

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Kvantová fyzika. Fotoelektrický jev (FJ)

FYZIKA 4. ROČNÍK. Kvantová fyzika. Fotoelektrický jev (FJ) Stěny černého tělesa mohou vysílat záření jen po energetických kvantech (M.Planck-1900). Velikost kvanta energie je E = h f f - frekvence záření, h - konstanta Fotoelektrický jev (FJ) - dopadající záření

Více

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úloha č. 2 Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úkoly měření: 1. Určete dynamickou viskozitu z měření doby pádu kuličky v kapalině (glycerinu, roztoku polysacharidu ve vodě) při laboratorní

Více

2.7.8 Druhá odmocnina

2.7.8 Druhá odmocnina .7.8 Druhá odmocnina Předpoklad: 707 Pedagogická poznámka: Tato hodina není příliš nabitá, pokud jste nestihli poslední příklad z minulé hodin 707, dá se stihnout na začátku této hodin. Př. : Je dána funkce

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Diferenciální rovnice kolem nás

Diferenciální rovnice kolem nás Diferenciální rovnice kolem nás Petr Kaplický Den otevřených dveří MFF UK 2012 Praha, 29. 11. 2012 Petr Kaplický (KMA MFF UK) Diferenciální rovnice kolem nás 1 / 24 Plán 1 Let Felixe B. 2 Pád (s odporem

Více

Dynamika. Akademik Karel J uliš, Doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc. a kol. , f,,,.,'. < ... t- PRAHA 1987 SNTL - NAKLADATELSTVÍ TECHNICKÉ LITERATURY !

Dynamika. Akademik Karel J uliš, Doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc. a kol. , f,,,.,'. < ... t- PRAHA 1987 SNTL - NAKLADATELSTVÍ TECHNICKÉ LITERATURY ! I MECHANIKA Dynamika II DÍḶ Akademik Karel J uliš, Doc Ing Rudolf Brepta, DrSc a kol " ",,l;' ' -,' "" ;,!,", f,,,,' < '" ~ t- PRAHA 1987 I SNTL - NAKLADATELSTVÍ TECHNICKÉ LITERATURY OBSAH PREDMLUVA lo

Více

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel

Více