BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá?

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá? Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jana Čerbáková Studijní program: Matematika 2006

2 Děkuji Mgr. Janě Čerbákové za volbu zajímavého tématu, za čas, který si vyhradila na konzultace a také za pečlivou kontrolu textu, cenné podněty a připomínky, které pomohly zkvalitnit tuto práci. Mé poděkování patří také doc. Ing. Jaroslavu Bernardovi, CSc. za zapůjčení publikace [3]. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Marek Dvořák

3 Obsah 1 Sportka Fenomén Sportka Vznik Sportky Vývoj technického zázemí Pravidla hry Změny v pravidlech Výhry Výpočty pravděpodobností Pravděpodobnost vytažení čísla Pravděpodobnosti výher Je Sportka spravedlivá? Potřebná tvrzení Statistická spravedlivost Ekonomický přístup Dodatky 28 Literatura 39

4 Název práce: Je Sportka spravedlivá? Autor: Marek Dvořák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jana Čerbáková vedoucího: janacerb@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme sázkovou loterií Sportka provozovanou v České republice akciovou společností SAZKA. V úvodu práce zdůrazňujeme význam Sportky na trhu loterií v ČR a přinášíme základní informace o jejím vzniku a vývoji. Po seznámení s pravidly hry a jejich změnami počítáme pravděpodobnosti vytažení čísel v závislosti na jednotlivých pozicích. Následuje výpočet pravděpodobností výher v jednotlivých pořadích v závislosti na změnách v pravidlech Sportky. Hlavní část práce obsahuje základní tvrzení z teorie testů dobré shody, které následně umožní testovat hypotézu o parametrech multinomického rozdělení na základě napozorovaných četností tažených čísel. V závěru přinášíme alternativní pohled na spravedlivost Sportky, který vychází z konceptu ceny sázenky. Klíčová slova: četnost, pravděpodobnosti výher, Sportka, spravedlivost Title: Is Sportka fair? Author: Marek Dvořák Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Jana Čerbáková Supervisor s address: janacerb@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the thesis we study Sportka lottery operated by SAZKA Inc. In the opening part we emphasize its influence on the lottery market in the Czech Republic and we bring the information about its inception and technical innovations. Explanation of Sportka s rules and its changes is followed by counting the probability of drawing numbers depending on its sequence. Probability of gaining prices depending on the changes in the rules is discussed next. The main part of this paper deals with the Chi-Squared goodness-of-fit theory that enables to test hypothesis about the parameters of multinomial distribution. The alternative view to the fairness problem is discussed at the very end of this work. Keywords: fairness, frequency, probability of winning, Sportka

5 Úvod Obsahem následujících stran bude pohled na nejznámější číselnou loterii provozovanou v České republice. Jedná se o sázkovou hru Sportka, která existuje již téměř 50. let na českém loterijním trhu. V této práci je naší snahou přiblížit čtenáři Sportku z co možná nejširšího úhlu pohledu. V 1. kapitole jsou uvedeny informace o vzniku Sportky, pravidlech hry a jejich změnách a podmínek pro vyplácení výher. Nechybí ani zmínka o vývoji zařízení určených pro provozování Sportky. Ve 2. kapitole je předmětem našeho zájmu výpočet pravděpodobnosti vytažení čísla z osudí v závislosti na předpokládané pozici ve skupině vylosovaných čísel. Na základě změn v pravidlech vypočteme také šance sázejících na vítězství. Cílem této práce je odpovědět na otázku, zda je Sportka spravedlivá hra, čemuž je věnována 3. kapitola. Zabýváme se v ní dvěma možnými pohledy na význam slova spravedlivost. Ve statistickém náhledu využijeme tvrzení z teorie testů dobré shody, že Pearsonova statistika χ 2 má asymptoticky χ 2 -rozdělení. Na základě porovnání její hodnoty s kritickou hodnotou χ 2 -rozdělení testujeme hypotézu o shodnosti pravděpodobností tažených čísel v multinomickém rozdělení. Výsledky těchto testů jsou zpracovány v tabulkách v závislosti na změnách v pravidlech hry. Závěrečné části práce patří popisu zacházení SAZKY s finančními prostředky vybranými na vkladech a ekonomickému pohledu na spravedlivost Sportky.

6 Kapitola 1 Sportka 1.1 Fenomén Sportka Sportka je druhá nejstarší loterie v historii poválečného Československa a nejoblíbenější loterie v dřívější československé i současné české populaci. Jak je vidět i z obrázku 4.1, její vliv na loterijní trh provozovaných SAZKOU (jakožto dominantní sázkové organizace) je značný. K její popularitě přispěla řada faktorů, mimo jiné skutečnost, že losování probíhala o přestávkách sportovních utkání, která se těšila velkému zájmu obyvatel. Televizní přenosy losování od 70. let probíhaly často s populárními osobnostmi české kultury a sportu. Na obrázku 1.1 losuje spolu s moderátorem Milošem Frýbou hokejový brankář Jiří Holeček. Obrázek 1.1: Televizní losování z r Zdroj: [3]

7 1. Sportka Vznik Sportky Vznik číselné loterie Sportka souvisí se vznikem celé společnosti SAZKA, která tuto loterii provozuje. SAZKA byla založena v srpnu roku 1956 a už o dva měsíce později zavedla první stejnojmennou číselnou loterii Sazka. Vzhledem k její velké oblibě pak Československá vláda dne přijala návrh na rozšíření sázení o nový druh číselné loterie - Sportku. Její první tah se uskutečnil Losování probíhalo každou neděli dopoledne na různých místech republiky o přestávce sportovních utkání. Na televizní obrazovce se Sportka objevuje pravidelně od roku Vysílání tahů z vlastního studia v sídle SAZKY se uskutečňuje od roku Celý vývoj Sportky se ubíral (a doposud ubírá) ke zvyšování maximálních výher. V rozmezí let 1960 a 1965 došlo dokonce k jejímu 13-ti násobnému navýšení až na Kčs, neboť se zrušil horní strop pro nejvyšší vyplacené částky. V současné době dosahují nejvyšší výhry i sta miliónů korun. Je to možné proto, že se nevyplacené částky přičítají do následujících slosování (tzv. Jackpot). Přesný popis tohoto mechanizmu popíšeme v kapitole 3.3. Přehled rekordních Jackpotů uvádí tabulka 1.1. Jackpot datum počet individuální vsazená v mil.kč výherců výhra vítězná čísla 148, Kč 3, 8, 9, 12, 17, 20, , Kč 18, 20, 29, 32, 45, 46, , Kč 11, 12, 13, 36, 45, 49, , Kč 6, 8, 19, 26, 40, 49, 15 Tabulka 1.1: Nejvyšší výhry v historii Sportky 1.3 Vývoj technického zázemí S nárůstem obliby sázení začala SAZKA čelit problému s rychlostí zpracování sázenek. Proto v roce 1967 přistoupila od manuálního ke strojovému zpracování. Od počátku 70. let byly zaváděny stroje TCM 5, které dokázaly třídit sázenky do skupin dle výhry. Seznamy výher společně s vyúčtováním však byly nadále zhotovovány manuálně. K další podstatné modernizaci procesu strojního zpracování sázenek došlo v roce Tehdy byl zaveden tzv. off-line systém. Pro něj byly zakoupeny třídící zařízení DPM 6000 propojené s centrálním výpočetním systémem. Systém off-line umožňoval načíst každou sázenku do diskové paměti, zaznamenat na mikrofilm a vyhotovit kompletní vkladové uzávěrky sběren.

8 1. Sportka 8 Zpracování výher pak probíhalo z 96% bez dotyku lidské ruky, zbylé sázenky označené strojem za chybné se následně třídily ručně. V roce 1993 pak došlo k přechodu k dodnes používanému online systému zpracovávání sázenek pomocí zařízení Spektra II. V současné době dochází k další výměně terminálů za účelem splnění přísných kritérií bezpečnosti celého systému. Více o této výměně, která by měla být hotova do roku 2007, si lze přečíst v [5]. Obrázek 1.2: Sázenka pro hru Sportka a Šance 1.4 Pravidla hry Pravidla Sportky se po dobu historie hry neustále vyvíjela, věnujme se nejprve těm současným. V úvodu výkladu pravidel krátce pojednáme o další číselné loterii s názvem Šance, protože ta se v současné době losuje vždy s losováním Sportky

9 1. Sportka 9 a některá pravidla Sportky se bezprostředně dotýkají hry Šance. Dalším důvodem, proč se o ni zmiňujeme, je společná sázenka pro Sportku i Šanci, viz obrázek 1.2. Ve hře Šance se losuje z 6 bubnů, každý obsahuje 10 koulí s čísly 0 až 9. Z každého bubnu je vylosováno 1 číslo, dohromady se tedy losuje šestice čísel. Chce-li hrát zákazník hru Šance, musí vsadit alespoň jeden sloupec Sportky. Výhra v Šanci je dosažena v případě shody vylosovaných čísel s čísly obsaženými v koncovém šestičíslí výrobního čísla sázenky, přičemž záleží na pořadí vylosovaných čísel. Nyní už se věnujme Sportce. Sázející tipuje šest čísel ze čtyřiceti devíti tak, že zakřížkuje příslušná čísla v prvním sloupci sázenky (viz obrázek 1.2). Chce-li sázející uzavřít více sázek na jedno losování, vyplní svými tipy i další sloupce sázenky, maximálně 10 sloupců. Sloupce se tipují postupně, žádné nelze vynechat. Každý vsazený sloupec, který obsahuje 6 tipovaných čísel, je v současnosti zpoplatněn částkou 16 Kč. Jestliže se hráč účastní i loterie Šance, zaplatí o 10 Kč navíc. Na sázence Sportky lze samostatně uzavřít sázky na středeční nebo nedělní slosování, popř. systémovou sázku (systém). Při tipování formou systému vyplňuje sázející svým tipem pouze první sloupec sázenky, a to kombinací 7 až 15 čísel. Počet takto zakřížkovaných čísel musí být rovněž označen v dolní části sázenky u položky Systém. Vklad pro systémovou sázku je násobkem základního vkladu za jednu sázku a počtu všech šestic, které lze vytvořit kombinací zaškrtnutých čísel. Těch je ( k 6), k = 7,..., 15. Nechceli sázející uzavřít sázku ve hře Šance, musí zaškrtnout kolonku označenou Šance Ne. Sázky lze uzavírat i metodou náhodného tipu zaškrtnutím políčka N. V tom případě vybere terminál náhodná čísla pro všechny uzavřené sázky. Více o některých zajímavostech spočívajících v náhodném generování si lze přečíst např. v [2]. Nakonec je terminálem vytištěno potvrzení sázky. Převzetím potvrzení sázky zákazník vyslovuje souhlas se všemi pravidly, kterými se Sportka řídí. Toto potvrzení pak také slouží jako jediný doklad pro výplatu případných výher. Na konci každého sázkového období (dvakrát týdně ve středu a v neděli) se provádí dva samostatné tahy (tzv. 1. tah a 2. tah). Ke slosování každého tahu se používá elektromechanické osudí. Před slosováním je do každého ze dvou osudí vloženo 49 po sobě jdoucích čísel 1 až 49. Při slosování 1. tahu je z jednoho osudí postupně vylosováno 6 čísel bez vracení. Po vylosování těchto čísel je ze zbývajících čtyřiceti tří čísel vylosováno dodatkové číslo. Totéž se provede vzápětí i při losování 2. tahu s druhým osudím. Všechna vylosovaná čísla jsou poté vyhlášena spolu s šestičíslím hry Šance a tabulkou výher pro daný den.

10 1. Sportka Změny v pravidlech Sportka zaznamenala během své historie mnoho změn v pravidlech losování. Na samém počátku se losovalo z osudí 6 čísel ze 49. Od roku 1962 bylo zavedeno tipování sedmého prémiového čísla, na který bylo možné vyhrát různé věcné ceny. V roce 1965 byla Sportka rozšířena na tzv. dvousázku. Losování 2. tahu se konalo vždy v Praze v budově SAZKY, přibližně 3 hodiny po losování 1. tahu. V prosinci 1980 byl schválen nový herní řád, který mimo jiné přinesl ustanovení samostatného výherního pořadí pro správné tipování pěti čísel a dodatkového čísla. V únoru 1991 byla zrušena maximální hranice pro výše výher a v srpnu 1993 byl zřízen Jackpot, o kterém se zmíníme ve 3. kapitole. Od roku 1995 pak byl zaveden dvojí hrací cyklus s losováním v neděli a ve středu. Shrnutí zásadních změn v pravidlech uvádí tabulka 1.2. Důsledky změn v pravidlech budeme podrobně zkoumat ve 2. kapitole v souvislosti s pravděpodobnostmi výher. Vzhledem k tomu, že se nepodařilo zjistit, kdy došlo k výměně osudí, budeme předpokládat, že se tak stalo současně se změnou pravidel hry. datum událost 16. týden 1957 až 13. týden 1965 neděle 1 tah, bez dod. čísla 14. týden 1965 až 52. týden 1976 neděle 2 tahy, bez dod. čísla 1. týden 1977 až 14. týden 1995 neděle 2 tahy, oba s dod. čísly 15. týden 1995 až doposud středy a neděle 2 tahy, vše s dod. čísly Tabulka 1.2: Změny v pravidlech losování Sportky 1.6 Výhry Jestliže sázející natipuje správně dostatečný počet čísel buď v prvním nebo v druhém tahu, může vyhrát finanční hotovost. Při správném tipování 1) šesti čísel, získává sázející výhru 1. pořadí, 2) pěti čísel a dodatkového čísla (5 + 1), získává sázející výhru 2. pořadí, 3) pěti čísel, získává sázející výhru 3. pořadí, 4) čtyř čísel, získává sázející výhru 4. pořadí, 5) tří čísel, získává sázející výhru 5. pořadí. Přitom je možné, že s jedním vsazeným sloupcem lze uspět v obou tazích. Pak je samozřejmě sázejícímu vyplacena výhra za oba tahy. Jestliže existuje

11 1. Sportka 11 v konkrétním pořadí více výherců, dělí se mezi sebou rovným dílem. Není-li dosažena výhra v některém z pořadí, převede se tato částka k výhře v 1. pořadí. Není-li vyplacena výhra v 1. pořadí, pak se částka převede k výhře v 1. pořadí v následujícím losovacím období.

12 Kapitola 2 Výpočty pravděpodobností 2.1 Pravděpodobnost vytažení čísla V této části se budeme zabývat teoretickými pravděpodobnostmi vylosování konkrétního čísla v jednom tahu Sportky v závislosti na pozici, ve které je vytaženo. Tyto pravděpodobnosti spočítáme na základě způsobu losování a ze znalosti pravidel hry. K výpočtům prováděných v této kapitole nám bude užitečná věta o celkové pravděpodobnosti. Věta 2.1 Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Je-li P( n B n) = 1, kde {B n } je konečná nebo spočetná posloupnost navzájem vylučujících se jevů (tj. {B n } je úplný systém jevů) a je-li P[B n ] > 0 pro všechna n N, pak pro A A platí: P(A) = n P(A B n ) P(B n ). Důkaz: Lze najít např. v [4], str. 28, věta 2.1. Uvažujme kouli s číslem i, 1 i 49, a zaveďme náhodnou veličinu ξ (c) i jako indikátor, že koule s číslem i bude tažena na c-tém místě v dané sedmici čísel, c {1,..., 7}. Zaměřme se nejprve na jednotlivé pozice 1 až 7. Je-li c = 1, pak P[ξ (1) i = 1] = Pravděpodobnost vytažení i-té koule na pozici c = 2 vypočteme podle věty 2.1 o celkové pravděpodobnosti, přičemž úplný systém jevů z této věty tvoří dvě situace, které mohou nastat: 1) i-tá koule je vytažena na 1. pozici, 2) i-tá koule není vytažena na 1. pozici.

13 2. Výpočty pravděpodobností 13 Současné vytažení koule i na obou pozicích není možné, neboť se koule v průběhu losování nevrací zpět do osudí, takže Potom P[ξ (2) i = 1] = P[ξ (2) i = 1 ξ (1) i = 1] = 0. (2.1) 1 j=0 P[ξ (2) i = 1 ξ (1) i = j] P[ξ (1) i = j] (2.1) = (2.1) = P[ξ (2) i = 1 ξ (1) i = 0] P[ξ (1) i = 0] = = Nyní vypočteme pravděpodobnost pro c = 3, tj. že koule s číslem i bude vytažena na 3. pozici, 1 i 49. Úplný systém jevů tvoří situace pro kouli i v předchozích dvou tazích - a ty jsou následující: 1) koule i je vytažena na 1. pozici a není vytažena na 2. pozici P[ξ (1) i = 1 ξ (2) i = 0] = P[ξ (2) i = 0 ξ (1) i = 1] P[ξ (1) i = 1] = 1 1 = 1, ) koule i není vytažena na 1. pozici a je vytažena na 2. pozici P[ξ (1) i = 0 ξ (2) i = 1] = P[ξ (2) i = 1 ξ (1) i = 0] P[ξ (1) i = 0] = 1 48 = 1, ) koule i není vytažena na 1. pozici a není vytažena na 2. pozici P[ξ (1) i = 0 ξ (2) i = 0] = P[ξ (2) i = 0 ξ (1) i = 0] P[ξ (1) i = 0] = = Výpočet byl proveden podle definice podmíněné pravděpodobnosti. Označme B 1 jev popsaný v 1), B 2 jev popsaný v 2) a B 3 jev popsaný v 3). Aplikací věty 2.1 dostáváme P[ξ (3) i = 1] = 3 n=1 P(ξ (3) i = 1 B n ) P(B n ) = = P[ξ (3) i = 1 ξ (2) i = 0 ξ (1) i = 0] P[ξ (2) i = 0 ξ (1) i = 0] = = = Druhá rovnost plyne z toho, že P[ξ (3) i = 1 ξ (1) i = 1 ξ (2) i = 0] = 0, P[ξ (3) i = 1 ξ (1) i = 0 ξ (2) i = 1] = 0. Analogicky se postupuje i v případě dalších pozic včetně dodatkové (sedmé) pozice. Postupně dojdeme k závěru, že teoretická pravděpodobnost vytažení libovolného čísla i na určité pozici, 1 i 49, v dané sedmici čísel nezávisí na pozici, kde má být vytaženo, tedy P[ξ (c) i = 1] = 1, c {1, 2,..., 7}. 49

14 2. Výpočty pravděpodobností 14 Označme ξ i indikátor, že číslo i bude vylosováno mezi sedmi čísly v jednom tahu Sportky, i = 1,..., 49. Pak P[ξ i = 1] = 7 49 = 1 7. (2.2) 2.2 Pravděpodobnosti výher Nyní spočítáme teoretické pravděpodobnosti výher ve Sportce na základě současných pravidel hry. Budeme předpokládat, že sázející vsadil 1 sloupec Sportky. Nechť pro jednoduchost probíhá pouze jeden tah Sportky a neprobíhá losování dodatkového čísla. Označme p i pravděpodobnost správného tipování i čísel z 6, i = 0,..., 6. Po zakřížkování sázenky máme v osudí 6 čísel, která jsou pro nás z hlediska výhry příznivá a 43 čísel, která jsou z hlediska výhry nepříznivá. Z osudí se vybere postupně 6 čísel, přičemž na pořadí, v jakém byla vylosována, nezáleží. Pravděpodobnost shody i tipovaných čísel s šesti vylosovanými, i = 0,..., 6, je podíl příznivých kombinací ku počtu všech šestic, které lze dostat výběrem z 49 čísel. Pravděpodobnost, že uhádneme i čísel z 6, i = 0,..., 6, je p i = ( ) 6 i ( ) 43 1 ( 6 i 49 ), i {0,..., 6}. (2.3) 6 Je-li X náhodná veličina, značící počet správně tipovaných čísel ve Sportce v jednom libovolném tahu, pak podle výpočtů pravděpodobnosti výher v (2.3) má X hypergeometrické rozdělení. Připomeňme definici tohoto rozdělení. Definice 2.2 Nechť N, A a n jsou přirozená čísla, pro která platí A < N, n < N. Nechť X je náhodná veličina, která nabývá pouze celočíselných hodnot s pravděpodobnostmi ( A ( P(X = k) = k) N A ) n k ( N pro max{0, A + n N} k min{a, n}. n) Pak řekneme, že X má hypergeometrické rozdělení. V našem případě je A = 6 počet vítězných čísel, N = 49 počet čísel v osudí, n = 6 počet tažených čísel, k počet vylosovaných vsazených čísel. Uvažujme nyní losování jednoho tahu Sportky s dodatkovým číslem. Zaměřme se na pravděpodobnosti výher, které nejsou ovlivněny dodatkovým číslem (tzn. na výhry v 1., 4., a 5. pořadí). Ve všech těchto případech stačí dosadit i = 6, resp. i = 4, resp. i = 3 do

15 2. Výpočty pravděpodobností 15 vzorce (2.3) a dostáváme po řadě pravděpodobnosti výher v 1., resp. 4., resp. 5. pořadí. Přitom nezáleží na tom, zda uhádneme či neuhádneme dodatkové číslo, a proto jsme ho do výpočtů nemuseli zahrnovat. Nyní se zabývejme pravděpodobností výhry v 2. pořadí p 6, tj. správného tipování pěti čísel a dodatkového čísla. Z prvních šesti tažených čísel musíme uhádnout 5 čísel a v jednom se musíme splést. Tuto pravděpodobnost spočítáme dosazením i = 5 do vzorce (2.3). Ze zbývajících 43 čísel musíme uhádnout dodatkové číslo, což nastane s pravděpodobností 1 43 p 6 = ( 6 ) ( 5 43 ) 1 ( 49 ) 6. Tudíž platí (2.4) Dopočtěme ještě pravděpodobnost výhry v 3. pořadí p 5, kdy musíme uhádnout 5 čísel z 6 a nesmíme uhádnout dodatkové číslo. Pravděpodobnost, že uhádneme 5 čísel z 6, je p 5 a dodatkové číslo neuhádneme s pravděpodobností 42. Proto 43 ( 6 ) ( p 5 43 ) 1 5 = ( 49 ) (2.5) 6 Přehled pravděpodobností výher při losování jednoho tahu včetně dodatkového čísla uvádí tabulka 2.1. i typ výhry pravděpodobnost pořadí p 6 = 0, pořadí p. 6 = 0, pořadí p. 5 = 0, pořadí p 4 = 0, pořadí p 3 = 0, Tabulka 2.1: Pravděpodobnosti výher v jednotlivých pořadích Nyní shrneme výsledky na základě změn v losování uvedené v tabulce 1.2. Označme p ip, (resp. p iv ) pravděpodobnost prohry (resp. pravděpodobnost výhry) v i-tém období, i = 1,..., období (1 tah bez losování dodatkového čísla) V tomto období se prováděl pouze 1 tah bez losování dodatkového čísla. Nejnižší výhra se vyplácela za 3 správně tipovaná čísla. Výsledné hodnoty pravděpodobností spočteme podle (2.3). Pravděpodobnost výhry: p 1v = 6 i=3 p. i = 0, Pravděpodobnost prohry tvoří doplněk: p 1p = 1 p 1v = 0,9814. Označme U náhodnou veličinu značící počet uhádnutých čísel v tomto období. Pak EU = 6 k=0 kp k = = 0, 73.

16 2. Výpočty pravděpodobností 16 varu = 6 k=0 k2 p k ( 6 k=0 kp ) 2 k = = 0, období (2 tahy bez losování dodatkového čísla) K dispozici jsou 2 tahy, neuvažujeme losování dodatkového čísla. Nejnižší výhra byla vyplacena za 3 správně tipovaná čísla. Opět použijeme (2.3). Pravděpodobnost prohry znamená, že uhádneme nejvýše 2 čísla v obou tazích, tedy p 2p = ( 2 i=0 p 2. i) = 0, Pravděpodobnost výhry tvoří doplněk: p 2v = 1 p 2p = 0, období (2 tahy s dodatkovými čísly) Označme pro zjednodušení zápisu q i pravděpodobnost výhry i-tého pořadí, i = 1,..., 5. Pak podle tabulky 2.1 je q 1 = p 6, q 2 = p 6, q 3 = p 5, q 4 = p 4, q 5 = p 3. (2.6) Pravděpodobnost prohry: p 3p = ( 1 5 i=1 q i) 2. = 0,9631. Pravděpodobnost výhry: p 3v = 1 p 3p. = 0, období (2 losovací dny, 2 tahy s dodatkovými čísly) Ustanovení středy jako dalšího losovacího dne nemá vliv na vypočtené hodnoty. Podmínky středečního a nedělního losování jsou stejné. Všimněme si, že zavedení 2. tahu Sportky v 2. období téměř zdvojnásobilo pravděpodobnost p 1v. Přidáním dalšího výherního pořadí v roce 1980 se nezměnila celková pravděpodobnost výhry v 3. období oproti celkové šanci na výhru v 2. období, neboť se snadno ověří, že ( 2 ) 2 ( p 2v = 1 p i = 1 1 i=0 ) 2 5 q i = p 3v. Byl to zřejmě marketingový krok, kterým se mělo nahradit vyplácení věcných cen za uhádnutí kombinace s dodatkovým číslem. i=1

17 Kapitola 3 Je Sportka spravedlivá? Čtenář, který si přečte název této kapitoly, očekává, že se v následujících odstavcích dočká odpovědi typu ano/ne. Nicméně i člověk nematematického vzdělání by jistě očekával upřesnění významu slova spravedlivost. Zabývejme se tedy vymezením pojmu spravedlivá hra na příkladě Sportky. První přístup, jak se vypořádat se spravedlivostí Sportky, se týká samotného průběhu losování. Můžeme se tedy ptát, zda jsou tahy koulí z osudí regulérní. V tomto přístupu zkoumáme, zda zázemí losování, tedy např. nesymetrie koulí či jejich různá hmotnost nebo další nenáhodné vlivy neovlivňují losování. Zda je Sportka spravedlivá podle tohoto přístupu, odvodíme na základě práce s již vyhlášenými čísly. Druhý přístup se inspiruje teorií her. Pozornost bude věnována zejména tomu, zda malá pravděpodobnost výhry ve Sportce je dostatečně kompenzovaná výší výher. Zkoumáme tedy, zda je hra vyvážená z ekonomického pohledu. Definice 3.1 Hra je pro 2 subjekty A, B spravedlivá, jestliže platí p A z A p B z B = 0, (3.1) kde p A, (resp. p B ) značí pravděpodobnost výhry subjektu A, (resp. B) a z A, (resp. z B ) reprezentuje výši výhry subjektu A, (resp. B). V případě Sportky bude z A znamenat částku určenou na výplatu výher a z B budeme interpretovat jako zisk SAZKY. První přístup, popsaný výše, je statistický a založený na znalosti mnoha výsledků daného pokusu, kdežto druhý má spíše ekonomický charakter. Zabývejme se nejprve podrobně statistickým přístupem k pojetí spravedlivé hry. 3.1 Potřebná tvrzení Než začneme analyzovat statistický přístup k spravedlivosti Sportky, uveďme potřebné teoretické zázemí.

18 3. Je Sportka spravedlivá? 18 Nejprve zadefinujeme multinomické rozdělení náhodného vektoru, protože (jak později ukážeme) tažená čísla na jednotlivých pozicích mají právě toto rozdělení. Definice 3.2 Mějme osudí s koulemi s čísly 1, 2,..., k, a nechť pravděpodobnost vytažení koule s číslem i je rovna p i, 0 < p i < 1, i = 1,..., k, a k i=1 p i = 1. Postupně táhneme nezávisle na sobě n-krát koule po jedné s vracením a zaznamenáváme počet vytažení koule s číslem i do veličiny X i, i = 1,..., k. Označme X = (X 1,..., X k ) a p = (p 1,..., p k ). Pak řekneme, že X má multinomické rozdělení. Značíme X M(n; p 1,..., p k ) a platí P(X 1 = x 1,..., X k = x k ) = n! x 1! x k! px 1 1 p x k k pro x i = 0, 1,..., n, i = 1,..., k, x x k = n. Nyní vyslovíme tvrzení, na jehož základě odvodíme kritický obor testu hypotézy o parametrech multinomického rozdělení. Věta 3.3 Nechť X = (X 1,..., X k ) Položme má multinomické rozdělení M(n; p). Y i := X i np i npi, i = 1,..., k, Y = (Y 1,..., Y k ). (1) Pro n platí Y d N(0, Q), kde 1 p 1 p 1 p 2... p 1 p k p 1 p 2 1 p 2... p 2 p k Q = p 1 p k p 2 p k... 1 p k. (2) Náhodná veličina χ 2 = k (X i np i ) 2 i=1 np i (3.2) má pro n asymptoticky rozdělení χ 2 k 1. Důkaz: Lze najít v [1], str , věta 12.4 a Poznámka 3.4 Náhodná veličina (3.2) zavedená ve větě 3.3 se nazývá Pearsonova statistika.

19 3. Je Sportka spravedlivá? Statistická spravedlivost V této části budeme testovat hypotézu, zda všechna čísla ve Sportce mají stejnou pravděpodobnost vytažení v závislosti na pozici a obdobích. K testování využijeme znalosti o asymptotickém rozdělení Pearsonovy statistiky χ 2. Je třeba si ale uvědomit, že jsme ve větě 3.3 pracovali s náhodným vektorem X (počty vytažených koulí v n pokusech), který měl multinomické rozdělení. To znamená, že se předpokládalo losování s vracením. Každý tah Sportky spočívá v postupném losování sedmi čísel bez vracení. Vracení koulí zpět do osudí se ve Sportce realizuje až po sedmi vylosovaných číslech. Je tedy třeba se zajímat o pozice, na jakých byla čísla vylosována. Vektor X = (X 1,..., X 49 ), kde X i, i = 1,..., 49, vyjadřuje, kolikrát byla koule s číslem i vylosována v n tazích, nemá multinomické rozdělení. Je to z toho důvodu, že teoretická pravděpodobnost vytažení čísla i v jednom tahu Sportky, i = 1,..., 49, je dle (2.2) p i = 1, takže 49 7 i=1 p i 1. Nechť máme k dispozici vylosovaná čísla z n tahů Sportky. Označme p (c) i teoretickou pravděpodobnost vytažení koule i na c-té pozici v každém tahu Sportky. Nechť X (c) i je náhodná veličina vyjadřující počet vytažení čísla i v n pokusech na c-tých pozicích, i = 1,..., 49, c = 1,..., 7. Nejprve se zaměříme na čísla losovaná na 1. pozicích. Označme ξ (1) ij indikátor, že číslo i bylo taženo v j-tém losování na 1. pozici, i = 1,..., 49, j = 1,..., n. Pak ξ (1) ij a ξ (1) is jsou pro j s nezávislé náhodné veličiny. Pro čísla losovaná na 1. pozici je p (1) i = 1, i = 1,..., 49, tudíž i=1 p(1) i = 1. Pak P[ξ (1) ij = 1] = p (1) i = 1, i = 1,..., 49, j = 1,..., n. 49 Vzhledem k tomu, že pak ξ (1) ij Alt X (1) i = ( ) 1, i = 1,..., 49, j = 1,..., n, 49 n j=1 ξ (1) ij ( Bi n, 1 ), i = 1,..., Zřejmě 49 i=1 X(1) i = n a tím jsou splněny podmínky z definice 3.2, tedy X (1) = (X (1) 1,..., X (1) 49 ) M(n, p), kde p = ( 1.,..., ) Jestliže vyjdeme z kapitoly 2.1 a uvažujeme, že P[ξ (c) ij = 1] = p (c) i = 1, c {2,..., 7}, j = 1,..., n, 49 pak ve všech losovacích obdobích mají čísla i na c-tých pozicích stejnou teoretickou pravděpodobnost vytažení, i = 1,..., 49, c = 2,..., 7 a platí 49 i=1 p(c) i = 1, c = 2,..., 7. Zřejmě 49 i=1 X(c) i = n, c = 2,..., 7. Proto i vektory X (c) = (X (c) 1,..., X (c) 49 ), c = 2,..., 7 mají multinomické rozdělení.

20 3. Je Sportka spravedlivá? 20 Nyní k samotnému provedení testu spravedlivosti podle prvního přístupu: Informace o číslech tažených v jednotlivých losovacích dnech včetně jejich pozic v dané sedmici jsou k dispozici v [5]. Z dat vybereme čísla vylosovaná na 1. pozicích a rozdělíme je v závislosti na změnách v pravidlech. Jak již bylo řečeno, budeme předpokládat, že změny v pravidlech souvisely s technickými inovacemi osudí. Zjištění spravedlivosti Sportky podle statistického přístupu provedeme testem hypotézy Víme, že veličina H (1) 0 : p (1) 1 = p (1) 2 =... = p (1) 49 = 1 49, H (1) 1 : H 0 neplatí. χ 2 = k i=1 ( ) 2 X (1) i np (1) i np (1) i má podle věty 3.3 asymptoticky χ 2 -rozdělení o k 1 stupních volnosti, kde k je v našem případě počet koulí v osudí. Hypotézu H (1) 0 zamítneme, jestliže χ 2 χ 2 k 1 (α), kde χ2 k 1 (α) je kritická hodnota χ2 -rozdělení o k 1 stupních volnosti definovaná jako P ( X > χ 2 k 1(α) ) = α, kde X je náhodná veličina s χ 2 -rozdělením o k 1 stupních volnosti. Do vzorce (3.2) dosadíme k = 49 počet koulí v osudí, n počet losovacích období, X (1) i empirické četnosti čísel i v n losovacích obdobích na 1. pozicích, i = 1,..., k, p (1) i teoretická pravděpodobnost vytažení koule i, p (1) i = 1, 49 i = 1,..., k. Vzhledem k tomu, že Pearsonova statistika má χ 2 -rozdělení pouze asymptoticky, je kvůli použitelnosti aproximace zapotřebí (viz [1]), aby np (1) i 5 pro všechna i = 1,..., k. (3.3) V současnosti se používá citlivější Yarnoldovo kritérium, pro které stačí, aby np (1) i 5q pro všechna i = 1,..., k při k 3, kde q je podíl tříd, pro něž platí np (1) i < 5. Vzhledem k velkému počtu losování je předpoklad (3.3) splněn pro všechna období. Hodnota n je uvedená na posledním řádku tabulky 4.1. Pracovali jsme s daty z rozmezí let 1957 až 2005, přičemž jsme rozlišili

21 3. Je Sportka spravedlivá? 21 výsledky na základě změn losování uvedených v tabulce 1.2. Tabulka 4.1 uvádí, kolikrát byla vylosována jednotlivá čísla na prvních pozicích v různých obdobích. Relativní četnosti výskytu jednotlivých koulí jsou v tabulce 4.2. Graf četností výskytu koulí v obou tazích na prvních pozicích je na obrázku 4.2. Nyní zbývá spočítat Pearsonovu statistiku pro jednotlivá období. Údaje shrnuje tabulka 3.1. období χ 2 1.období neděle 1.tah 36,14 1.tah 48,37 2.období neděle 2.tah 31,50 1.tah 58,14 3.období neděle 2.tah 51,92 1.tah 48,22 neděle 2.tah 49,97 4.období 1.tah 34,60 středa 2.tah 48,75 Tabulka 3.1: Pearsonova statistika pro čísla vylosovaná na 1. pozicích Test provedeme na hladině významnosti 5%. Pro příslušnou kritickou hodnotu χ 2 -rozdělení platí χ 2 48(0,05) = 65,17. (3.4) Vzhledem k tomu, že jsou všechny Pearsonovy statistiky v tabulce 3.1 menší než kritická hodnota (3.4), nezamítáme hypotézu H (1) 0 o shodnosti pravděpodobností tažených čísel na 1. pozicích na hladině významnosti 5%. Hypotézu H (1) 0 dokonce nezamítáme ani pro α = 0,1, neboť χ 2 48(0,10) = 60,91. Pro čísla vylosovaná na dalších pozicích testujeme hypotézy H (c) 0 : p (c) 1 = p (c) 2 =... = p (c) 49 = 1 49, H (c) 1 : H 0 neplatí, kde c {2,..., 7}. Analogicky dostáváme hodnoty χ 2 pro čísla tažená na 2., 3.,..., 7. pozicích. V tabulce 3.2 jsou tučně uvedeny Pearsonovy statistiky, které překračují kritickou hodnotu χ 2 48(0, 05). V těchto případech pak zamítáme hypotézu H (c) 0, c = 2,..., 7. Dle tabulky 3.2 jsme zamítali hypotézu H (4) 0 pro čísla tažená v 2. období v losování 1. tahu. V tabulce 4.5 vidíme značné odlišnosti v četnosti čísel v 2. období při losování 1. tahu (např. číslo 38 bylo taženo pouze 3krát, kdežto číslo 11 bylo taženo 23krát).

22 3. Je Sportka spravedlivá? poz 3. poz 4. poz 5. poz 6. poz 7. poz 1.období neděle 1.tah 41,37 48,74 46,84 34,47 38,99-1.tah 58,17 63,79 80,50 36,64 36,48-2.období neděle 2.tah 44,67 43,23 35,51 38,73 47,40-1.tah 53,99 49,44 39,90 48,30 42,39 54,41 3.období neděle 2.tah 44,26 49,95 37,83 55,34 47,88 56,27 1.tah 52,24 29,71 31,63 41,76 44,03 36,35 neděle 2.tah 46,48 52,77 55,91 56,09 46,65 54,69 4.období 1.tah 39,49 38,62 52,77 43,16 61,50 47,53 středa 2.tah 55,04 57,48 40,01 45,60 53,81 48,05 Tabulka 3.2: Pearsonova statistika pro čísla vylosovaná na 2. až 7. pozicích 3.3 Ekonomický přístup Zkoumejme, v jakém postavení je ve Sportce sázející a v jakém SAZKA jako zřizovatel této loterie. K tomu je třeba si uvědomit, kam směřují finanční prostředky získané na vkladech a jak je SAZKA přerozděluje na výhry. Situaci okomentujeme pro současná pravidla hry. V tomto odstavci budeme pracovat s následujícími pojmy: Herní jistina - úhrn sázkových vkladů přijatých pro jedno losování. Výherní jistina - 50% herní jistiny Sportky za příslušné sázkové období. Je rozdělena stejným dílem pro oba tahy. To znamená, že 1 herní jistiny putuje 4 na výhry 1. tahu Sportky, 1 herní jistiny na výhry 2. tahu Sportky. Z každé 4 z těchto čtvrtin zvlášť se pak podle tzv. výherních kvót stanovují částky pro výplatu výher v jednotlivých pořadích. Kvóty jsou pevně stanoveny, viz tabulka 3.3. výh. počet uhodnutých rozdělení výh. pořadí tažených čísel jistiny 1. 6 λ 1 = 34% dodatkové λ 2 = 5% 3. 5 λ 3 = 9% 4. 4 λ 4 = 12% 5. 3 λ 5 = 40% Tabulka 3.3: Rozdělení výherní jistiny do jednotlivých pořadí Všimněme si, že největší částka vybraná na vkladech je určena pro výhru v 5. pořadí, kde SAZKA předpokládá nejvíce výherců. Pro 2. pořadí je částka nejnižší, protože se předpokládá velmi malý počet výherců.

23 3. Je Sportka spravedlivá? 23 Jackpot - nevyčerpané částky, které se převádí do 1. pořadí následujícího sázkového období. Jackpot je vyplacen pouze v případě, že sázející vyplní všech 10 sloupců sázenky svými tipy včetně účasti na hře Šance. Všechny sázky musí soustředit do jednoho losovacího dne a aspoň v jednom sloupci musí vyhrát výhru v 1. pořadí. Podle současných tarifů sázející zaplatí za takovou sázku 170 Kč (10 16 Kč za 10 sloupců sázenky + 10 Kč za doprovodnou hru Šance). Přerozdělování výher má právo dle předpisů měnit generální ředitel SAZ- KY, obvykle se ale vše řídí těmito dodatečnými pravidly: (1) Výše částky pro výhry v jednotlivých pořadích se zaokrouhluje na koruny. (2) Vyhraje-li více lidí stejnou výhru, dělí se rovným dílem. (3) V případě, že by výhra přepočtená na jednoho účastníka dle (2) byla ve vyšším pořadí menší než výhra v pořadí nižším, stanoví se výhra v těchto pořadích stejnou částkou, která se vypočítává ze součtu výherních kvót. (4) Nevyčerpané výherní kvóty Sportky nebo jejich nedělitelné zbytky se převádějí do výhry 1. pořadí ještě v tomtéž losovacím období. V případě, že nebude naplněna výhra v 1. pořadí, převede se tato nevyčerpaná částka do výherní kvóty 1. pořadí v následujícím sázkovém období. Nyní popíšeme celý postup, jak Sazka přerozděluje finanční prostředky. Vše si vysvětlíme na modelovém příkladě ze 6. a 7. sázkového týdne roku Ze zdroje [5] jsme získali výplatní tabulky, které jsou v modifikované verzi na obrázku 3.1. Příklad: Představme si, že je 7. sázkový týden, středa a že se již uzavřely terminály pro uzavírání sázek pro toto losovací období. Je tedy znám finanční obnos, který se získal na vkladech od všech sázejících. V našem případě se jedná o částku Kč uvedenou v kolonce Vsazeno na obrázku 3.1. Z této částky se vypočte výherní jistina pro oba tahy. Z výherní jistiny jde polovina na výplatu výher v 1. tahu a polovina na výplaty v 2. tahu. Na každý z tahů tak v našem případě připadá Kč. Uvažujme 2. tah Sportky (pro 1. tah se provedou následující úvahy analogicky). Podle tabulky 3.3 se rozdělí částka Kč na výhry v jednotlivých pořadích. Výše výher jsou uvedeny v tabulce 3.4, přičemž k výhře v 1. pořadí zatím není přičten Jackpot. Po uzavření terminálů proběhne losování čísel. V 2. tahu byla v našem případě vylosována čísla 16, 33, 27, 30, 18, 24 a dodatkové 28. V té chvíli je znám počet výherců v jednotlivých pořadích. Čteme třetí sloupec Počet výher ve středečním losování 2. tahu na obrázku 3.1. Nyní se provede výpočet výše výher na jednoho hráče, přičemž se řídíme pravidly (1),(2),(3) a (4):

24 3. Je Sportka spravedlivá? pořadí Kč 2. pořadí Kč 3. pořadí Kč 4. pořadí Kč 5. pořadí Kč Tabulka 3.4: Výhry určené pro jednotlivá pořadí v 2. tahu Začneme výpočtem výhry pro 5. pořadí. Zde rozdělujeme částku Kč mezi výherců. Po zaokrouhlení tak každý dostane 87 Kč, viz sloupec Výše výhry u 5. pořadí. K výhře v 1. pořadí se převede částka ( ) Kč = Kč. Analogicky postupujeme při rozdělování výher 4., 3., a 2. pořadí, přičemž po řadě přičítáme k výhře v 1. pořadí částky 192 Kč, 15 Kč, 0 Kč. Vidíme, že v 2. pořadí se částka určená na výhry rozdělila mezi výherce přesně. Obrázek 3.1: Výsledkové listiny

25 3. Je Sportka spravedlivá? 25 Nyní zbývá vypočítat dle pravidla (4) výhru v 1. pořadí s Jackpotem středečního 2. tahu. Zde vítězí dle tabulky jediný sázející. K základní částce Kč uvedené v prvním řádku tabulky 3.4 určené pro 1. pořadí přičteme zbytkové částky z nižších pořadích (tedy Kč, 192 Kč a 15 Kč) a ještě částku, která je uvedená v kolonce Převod v 6. sázkovém týdnu - neděle, Sportka 2. tah, což je v našem případě ,5 Kč. Dostáváme ( ,5) Kč = ,5 Kč. To je částka určená pro výhru v 1. pořadí s Jackpotem v tabulce středečního losování 2. tahu. Z této tabulky na obrázku 3.1 je vidět, že vítěz získal v 2. tahu spolu s výhrou v 1. pořadí i Jackpot. Tento úspěšný sázející musel vsadit plnou, jak se obvykle nazývá kompletně vyplněná sázenka včetně účasti na hře Šance. Protože se výhry dle pravidla (1) zaokrouhlují na celé koruny dolů, vítěz získá Kč, přičemž 0,5 Kč se převádí do nedělního losování 7. sázkového týdne do 2. tahu Sportky (viz kolonka Převod pod středečním losováním 2. tahu). Nyní se již můžeme zaměřit na to, zda je pro sázející Sportka spravedlivá z ekonomického pohledu. Analýzu situace budeme provádět pro současná pravidla hry. Učiňme následující zjednodušující předpoklady: P 1 V daný den hraje Sportku jen jeden hráč, který vyplní 1 sloupec sázenky a nehraje hru Šance. Jeho vklad do hry činí c 0 = 16 Kč. P 2 Losuje se 1 tah Sportky. P 3 Neuvažujeme Jackpot - tedy z předchozího období se nepřičítá žádná částka k výhře v 1. pořadí. Výhry se nebudou dělit mezi více výherců, neboť v našem modelovém případě hraje jen 1 člověk - odpadají pravidla (2) a (3). Pro další výpočty použijeme veličiny q i (pravděpodobnost výhry v i-tém pořadí), i = 1,..., 5, zavedené v (2.6). Připomeňme, že 1 q 1 = q 2 = q 3 = q 4 = q 5 = = 0, ,. = 0, ,. = 0, , (3.5). = 0, ,. = 0,

26 3. Je Sportka spravedlivá? 26 Je-li v našem případě h = 16 Kč velikost herní jistiny pro toto losování, pak podle pravidel přerozdělení platí pro výherní jistinu w c = h = 8 Kč. Předpokládejme, že zisk SAZKY z tvoří druhá polovina částky z herní jistiny, tedy 2 z = w c. Výherní jistina se dále nerozděluje, protože dle P 2 předpokládáme losování pouze jednoho tahu Sportky. Označme w i, i = 1,... 5, výši výhry v i-tém pořadí. Pak platí w i = λ i w c, i = 1,..., 5, (3.6) kde λ i, i = 1,..., 5, jsou zavedeny v tabulce 3.3. V případě výhry v 1. pořadí se k částce w 1 nepřičítají výhry w i z nižších pořadích, i = 2,..., 5, protože hráč vsadil jen 1 sloupec sázenky. Z téhož důvodu může sázející vyhrát pouze jednu výhru. Sportka je podle definice 3.1 spravedlivá, jestliže platí ( ) 5 5 q i w i z 1 q i = 0. i=1 i=1 Po dosazení za w i, i = 1,..., 5 podle (3.6) dostáváme w c 5 λ i q i w c (1 i=1 ) 5 q i = 0. (3.7) i=1 Dosadíme-li do levé strany (3.7) příslušné hodnoty, dostaneme výsledek 7,8 Kč, takže hra není pro sázejícího spravedlivá a finančně je zvýhodněna SAZKA. Všimněme si ještě jedné zajímavosti. Ve vzorci (3.7) se objevuje ve všech členech nenulové číslo w c, kterým můžeme rovnici zkrátit a dostaneme vztah, který nezávisí na ceně jedné sázky. Hra by tedy byla v tomto zjednodušeném modelu nespravedlivá podle definice 3.1 při jakékoliv ceně sázenky.

27 Závěr Na základě teorie testů dobré shody jsme až na jeden případ nezamítali hypotézu na hladině významnosti 5%, že jsou ve Sportce všechna čísla na konkrétní pozici tažena se stejnou pravděpodobností. Sportka se ukázala jako nespravedlivá ve výše popsaném zjednodušeném ekonomickém modelu. Zjistili jsme, že v případě jednoho hráče Sportka není spravedlivá ve smyslu definice 3.1. Postupy, které jsme prezentovali v kapitole 3.3, lze zobecnit na případ n hráčů, kdy se jednotlivé výhry dělí mezi více správných tipů. Rovněž lze situaci řešit pro případ, kdy se přičítá částka z předcházejícího losovacího období k výhře v 1. pořadí. Sportka vždy na konci losování oznámí Jackpot pro další losovací období. Díky výherním tabulkám tak lze zkoumat závislost mezi tímto avizovaným Jackpotem a částkou, která se následně vybere na vkladech. Zřejmě při velmi vysokých Jackpotech dochází k tzv. sázkovému šílenství, kdy by bylo možné poukázat na závislost počtu sázejících na zveřejněném Jackpotu. I toto by se dalo modelovat. Na úplný závěr poznamenejme, že výpočty pravděpodobností v 2. kapitole byly prováděny pomocí programu Maple 6.0 a na práci s daty o vylosovaných číslech se využil Microsoft Excel 2000.

28 Kapitola 4 Dodatky Zdroj: Výroční zprávy SAZKY, a.s. Obrázek 4.1: Podíl vkladů do Sportky na vkladech do čís. loterií provozovaných SAZKOU

29 4. Dodatky 29 Zdroj: SAZKA, a.s. Obrázek 4.2: Graf četností jednotlivých čísel na 1. pozicích ( )

30 4. Dodatky 30 1.období 2.období 3.období 4.období č. neděle neděle neděle neděle středa Σ 1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah n Tabulka 4.1: Tabulka četností vytažených čísel na 1. pozicích ( )

31 4. Dodatky 31 1.období 2.období 3.období 4.období č. neděle neděle neděle neděle středa Σ 1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1 0,024 0,026 0,025 0,015 0,012 0,011 0,021 0,018 0,020 0, ,010 0,021 0,010 0,023 0,025 0,018 0,020 0,020 0,018 0, ,007 0,015 0,016 0,016 0,027 0,016 0,016 0,012 0,030 0, ,027 0,015 0,015 0,024 0,015 0,027 0,020 0,014 0,020 0, ,027 0,023 0,016 0,024 0,025 0,016 0,020 0,025 0,029 0, ,022 0,028 0,025 0,021 0,018 0,018 0,023 0,025 0,021 0, ,019 0,025 0,015 0,023 0,030 0,023 0,021 0,018 0,036 0, ,022 0,026 0,023 0,019 0,016 0,020 0,020 0,027 0,023 0, ,024 0,011 0,018 0,024 0,021 0,023 0,020 0,027 0,025 0, ,012 0,025 0,016 0,018 0,017 0,029 0,014 0,025 0,025 0, ,027 0,026 0,020 0,031 0,017 0,014 0,016 0,021 0,023 0, ,022 0,018 0,026 0,021 0,029 0,014 0,014 0,014 0,016 0, ,019 0,026 0,021 0,014 0,019 0,016 0,021 0,025 0,023 0, ,027 0,018 0,015 0,018 0,022 0,018 0,018 0,023 0,027 0, ,022 0,021 0,020 0,025 0,019 0,025 0,011 0,020 0,011 0, ,012 0,026 0,016 0,022 0,015 0,011 0,016 0,020 0,016 0, ,017 0,018 0,021 0,018 0,021 0,029 0,030 0,030 0,018 0, ,019 0,020 0,018 0,019 0,022 0,032 0,012 0,032 0,014 0, ,032 0,011 0,028 0,013 0,015 0,023 0,025 0,020 0,025 0, ,024 0,015 0,013 0,022 0,017 0,027 0,023 0,016 0,020 0, ,024 0,020 0,018 0,034 0,018 0,016 0,016 0,020 0,020 0, ,019 0,015 0,030 0,016 0,020 0,009 0,027 0,020 0,018 0, ,019 0,031 0,020 0,017 0,020 0,018 0,014 0,014 0,023 0, ,015 0,025 0,023 0,023 0,018 0,025 0,016 0,018 0,023 0, ,012 0,018 0,021 0,014 0,019 0,027 0,023 0,021 0,021 0, ,017 0,015 0,023 0,024 0,015 0,021 0,020 0,023 0,012 0, ,024 0,025 0,021 0,027 0,022 0,012 0,012 0,021 0,014 0, ,024 0,020 0,018 0,011 0,024 0,025 0,029 0,016 0,018 0, ,029 0,013 0,015 0,015 0,027 0,020 0,039 0,018 0,020 0, ,022 0,031 0,028 0,015 0,025 0,023 0,014 0,009 0,020 0, ,022 0,021 0,023 0,024 0,030 0,020 0,021 0,018 0,016 0, ,015 0,021 0,018 0,027 0,010 0,018 0,018 0,018 0,018 0, ,027 0,013 0,021 0,020 0,019 0,011 0,018 0,025 0,011 0, ,019 0,018 0,020 0,015 0,021 0,021 0,018 0,029 0,023 0, ,015 0,013 0,026 0,013 0,019 0,012 0,012 0,020 0,012 0, ,017 0,011 0,016 0,018 0,031 0,023 0,027 0,027 0,032 0, ,029 0,015 0,015 0,025 0,021 0,025 0,034 0,029 0,037 0, ,017 0,015 0,025 0,017 0,014 0,021 0,009 0,020 0,021 0, ,015 0,025 0,020 0,023 0,020 0,016 0,030 0,020 0,016 0, ,010 0,036 0,020 0,022 0,025 0,023 0,027 0,023 0,021 0, ,017 0,018 0,023 0,014 0,015 0,020 0,021 0,021 0,018 0, ,024 0,016 0,025 0,029 0,022 0,029 0,018 0,021 0,023 0, ,019 0,020 0,013 0,023 0,018 0,018 0,021 0,021 0,014 0, ,034 0,025 0,023 0,021 0,016 0,016 0,027 0,014 0,027 0, ,010 0,016 0,030 0,016 0,019 0,021 0,029 0,009 0,012 0, ,019 0,030 0,030 0,023 0,025 0,016 0,020 0,025 0,023 0, ,027 0,018 0,021 0,021 0,020 0,032 0,023 0,014 0,021 0, ,027 0,025 0,016 0,024 0,020 0,036 0,014 0,016 0,011 0, ,017 0,018 0,023 0,017 0,024 0,018 0,021 0,020 0,014 0,019 Tabulka 4.2: Tabulka relativních četností vytažených čísel na 1. pozicích ( )

32 4. Dodatky 32 1.období 2.období 3.období 4.období č. neděle neděle neděle neděle středa Σ 1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah Tabulka 4.3: Tabulka četností vytažených čísel na 2. pozicích ( )

33 4. Dodatky 33 1.období 2.období 3.období 4.období č. neděle neděle neděle neděle středa Σ 1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah Tabulka 4.4: Tabulka četností vytažených čísel na 3. pozicích ( )

34 4. Dodatky 34 1.období 2.období 3.období 4.období č. neděle neděle neděle neděle středa Σ 1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah Tabulka 4.5: Tabulka četností vytažených čísel na 4. pozicích ( )