MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2013 MICHAL OHLÍDAL

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Software pro řešení úlohy lineárního programování Bakalářská práce Michal Ohlídal Vedoucí práce: Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Brno 2013

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Michal Ohlídal Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Software pro řešení úlohy lineárního programování Matematika Aplikovaná matematika pro víceoborové studium Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Akademický rok: 2012/2013 Počet stran: viii + 36 Klíčová slova: Lineární programování; program; GUSEK; GMPL

4 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Michal Ohlídal Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Linear programming software Mathematics Applied Mathematics for Multi-Branches Study Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Academic Year: 2012/2013 Number of Pages: viii + 36 Keywords: Linear programming; software; GUSEK; GMPL

5 Abstrakt Tato práce se zabývá softwarem pro řešení úlohy lineárního programování. Cílem práce je popsat problematiku lineárního programování z hlediska softwarových možností pro její řešení. Práce je rozdělena do čtyř částí. První část představuje stručný úvod do lineárního programování. Jsou v ní uvedeny a definovány základní pojmy a principy lineárního programování. Druhá část obsahuje popis dostupného spektra programů určených pro řešení úlohy lineárního programování. Ve třetí části jsou popsány, a na typických úlohách lineárního programování demonstrovány, možnosti programu GUSEK. V poslední části je ukázáno použití programu GUSEK pro řešení rozsáhlejších problémů. Abstract This work deals with a software constructed for solving the linear programming problems. The main goal of the work is to describe the linear programing taking the point of view of software options of its solving. The thesis is divided into four parts the first part provides a brief introduction to the linear programming. The list and definitions of the basic terms and principles of linear programming are covered. The second part deals with descriptions of the available programs used for solving the linear programming problems. In the third part the options of the GUSEK program are described and also shown on the typical examples of linear programing. In the last, fourth part, the use of the GUSEK program for solving more complex problems is shown.

6

7 Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat vedoucímu mé bakalářské práce Mgr. Michalu Bulantovi, Ph.D. za odborné vedení. Dále bych vyjádřil své poděkování Šárce Ohlídalové, Bc. Haně Ohlídalové, MgA. Alfredu Texelovi a Zuzaně Dudkové za pomoc s finálními úpravami práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 17. května Michal Ohlídal

8 Obsah Úvod viii Kapitola 1. Lineární programování Úloha lineárního programování Geometrie lineárního programování Simplexová metoda Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Rozdíly mezi programy Vybrané programy GLPK a GUSEK GLPK GUSEK Kapitola 3. Typické příklady GMPL Kapacitní problém Směšovací problém MPS Plánování reklamy (media selection problem) CPLEX LP Úloha o dělení materiálu Kapitola 4. Další příklady Einsteinova hádanka Zadání Modelový soubor Dieta Zadání Modelový soubor Datový soubor Závěr Seznam použité literatury vii

9 Úvod Lineární programování je aplikovaná matematická disciplína. Jakožto podmnožina problematiky obecného matematického programování se zabývá optimalizací. A právě optimalizace hraje při rozhodování nejen lidí, ale hlavně firem a vlád, významnou roli. Asi nejčastěji se s otázkou optimalizace, a tedy i praktického využití lineárního programování, setkáváme v ekonomii. Většina úloh lineárního programování, které jsou prakticky využitelné, dosahuje značných rozměrů, a je tedy bez využití patřičného softwaru téměř neřešitelná. Proto jsem se ve své práci zaměřil na popis programů určených pro řešení úlohy lineárního programování. První část práce popisuje obecné vlastnosti několika vybraných softwarů. V další části je problematika zúžena na popis programu GUSEK a formátů, které podporuje. V práci je na typických příkladech, jako je směšovací či kapacitní problém, demonstrována funkčnost programu. V práci jsou rozebrány všechny tři typy vstupů, které GUSEK umí zpracovat. Největší pozornost je pak věnována formátu GMPL, který je pro GUSEK defaultním. viii

10 Kapitola 1 Lineární programování Lineární programování se zabývá problémy souvisejícími s hledáním vázaných extrémů lineárních funkcí, jejichž omezující podmínky mají tvar lineárních rovnic a nerovnic. 1.1 Úloha lineárního programování Definice 1.1 Necht a i j, b i, c j jsou daná reálná čísla, pro i = 1,...,m; j = 1,...,n, kde m,n N. Necht Ī I = {1,...,m}, J J = {1,...,n}. Optimalizační úlohu maximalizovat funkci n c j x j j=1 na množině řešení soustavy rovnic a nerovnic n j=1 a i j x j b i n a i j x j = b i j=1 x j 0 i Ī i I Ī j J nazýváme maximalizační úlohou lineárního programování v obecném tvaru. Funkce n j=1 c jx j se pak nazývá účelová funkce. Jestliže Ī = /0 a J = J, pak tuto úlohu maximalizovat n c j x j j=1 na množině řešení soustavy lineárních rovnic n a i j x j = b i j=1 x j 0 i I j J 1

11 Kapitola 1. Lineární programování 2 nazýváme maximalizační úlohou lineárního programování ve standardním tvaru. Jestliže Ī = I a J = J, pak tuto úlohu maximalizovat n c j x j j=1 na množině řešení soustavy lineárních nerovnic n a i j x j b i j=1 x j 0 i I j J nazýváme úlohou lineárního programování v kanonickém tvaru. Poznámka 1.1 Výše popsané tvary jsou vzájemně ekvivalentní a lze je mezi sebou převádět. Každou podmínku ve tvaru rovnice lze zapsat jako soustavu dvou nerovnic Také každou nerovnici lze zapsat ve tvaru rovnice n a j x j = b j=1 n j=1 a j x j b n a j x j b j=1 n a j x j b j=1 n a j x j + x n+1 = b j=1 Pro takto přidanou proměnnou (x n+1 ) pak do účelové funkce přidáme koeficient c n+1 = 0. Takže tato proměnná nebude mít na optimální hodnotu vliv. V případě, kdy v obecném tvaru úlohy lineárního programování není pro některé x j kladen požadavek nezápornosti, použijeme úpravu: x j = x + j x j x + j 0, x j 0 Tyto dvě nové proměnné pak dosadíme do všech podmínek i do účelové funkce.

12 Kapitola 1. Lineární programování 3 Poznámka 1.2 Uvedené úlohy lze zapsat i maticově. Například maximalizační úloha lineárního programování ve standardním tvaru se dá zapsat jako úloha maximalizovat za podmínek f (x) = cx Ax = b x 0 Kde A = (a i, j ) je matice, x = (x j ) je vektor proměnných b = (b i ), c = (c j ) T jsou vektory koeficientů a 0 je nulový vektor, pro i, j N. Věta 1.1 Pro libovolnou množinu M R n a libovolnou funkci f : M R platí: min f (x) = max( f (x)) x M Z věty 1.1 tedy plyne, že kteroukoliv minimalizační úlohu lineárního programování lze převést na úlohu maximalizační, proto není třeba tyto úlohy rozebírat samostatně. Definice 1.2 Množinu M = {x R n Ax = b,x 0} nazýváme množinou přípustných řešení úlohy lineárního programování ve standardním tvaru. Definice 1.3 Přípustné řešení x 0 M nazveme optimálním řešením maximalizační úlohy lineárního programování, platí-li pro každé x M : cx 0 cx. Věta 1.2 (Dualita v lineárním programování) Necht A je matice a necht b,c jsou vektory. Pak pro dvojici úloh lineárního programování platí právě jedno z následujících tří tvrzení: max{cx Ax b,x 0} min{yb ya c,y 0} 1. obě úlohy mají optimální řešení a optimální hodnoty účelových funkcí jsou si rovny; 2. jedna z úloh nemá žádné přípustné řešení a druhá úloha má přípustné, ale nemá optimální řešení (účelová funkce není omezená); 3. ani jedna úloha nemá přípustné řešení. Tuto větu lze vyslovit pro úlohu lineárního programování v libovolném tvaru. Věta 1.3 Necht A je matice typu (m,n), necht b R m. Pak má soustava Ax = b nezáporné řešení, právě když pro všechna u R m splňující podmínku A T u 0 platí b T u 0.

13 Kapitola 1. Lineární programování 4 Věta 1.4 Necht M = {x R n Ax = b,x 0} /0. Jestliže existuje reálné číslo γ tak, že pro libovolné x M platí c T x γ pak existuje optimální řešení úlohy lineárního programování max{c T x Ax = b,x 0} 1.2 Geometrie lineárního programování Definice 2.1 Množinu S R n nazveme konvexní množinou 1, jestliže pro libovolné dva body x 1,x 2 S a pro libovolné α (0,1) platí αx 1 + (1 α)x 2 S Definice 2.2 Konvexní polyedrická množina (nebo také polyedr) M R n je taková množina, kterou lze vyjádřit jako průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Hraniční množiny těchto poloprostorů se nazývají vytvářející nadroviny množiny M. Věta 2.1 Množina přípustných řešení úlohy lineárního programování je konvexní polyedrická množina. Množina M optimálních řešení úlohy je rovněž konvexní polyedrická množina. max{cx Ax = b,x O} Definice 2.3 Necht S R n je libovolná množina. Bod s S nazveme krajním bodem množiny S, jestliže neexistují body x 1,x 2 S a číslo α (0,1) takové, že x 1 x 2 a s = αx 1 + (1 α)x 2. Věta 2.2 Konvexní polyedrická množina má konečný počet krajních bodů. Definice 2.4 Necht M R n je konvexní polyedrická množina a S M je neprázdná množina. Jestliže lze S vyjádřit jako průnik množiny M a těch jejich vytvářejících nadrovin, které množinu S obsahují, je S stěna množiny M. Definice 2.5 Jednorozměrná stěna se nazývá hrana. Definice 2.6 Přípustné řešení x M = {x R n Ax = b,x 0} nazveme bazickým (základním) řešením úlohy lineárního programování, jestliže jsou sloupce matice A s indexy odpovídajícími nenulovým složkám vektoru x lineárně nezávislé. Věta 2.3 Bod x M = {x R n Ax = b,x 0} je krajním bodem množiny M právě tehdy, když je bazickým řešením. v [7]. 1 Praktické příklady konvexních množin i dalších pojmů z teorie lineárního programování je možno nalézt

14 Kapitola 1. Lineární programování Simplexová metoda Simplexová 2 metoda je metoda určená k řešení úlohy lineárního programování. Základní myšlenka se dá jednoduše geomericky popsat: Předpokládejme, že známe krajní bod x 0 množiny M přípustných řešení úlohy. Z tohoto bodu vychází konečný počet hran množiny M, z nichž každá bud obsahuje jediný další krajní bod množiny M, nebo je neomezená. Jestliže na některé neomezené hraně existuje bod, pro který je hodnota účelové funkce větší než c T x 0, nemá úloha optimální řešení a postup končí. V opačném případě hledáme sousední krajní bod x 1, pro který platí c T x 1 > c T x 0. Potom stejný postup, který jsme použili pro x 0, aplikujeme na x 1. Pokud neexistuje sousední krajní bod s vlastností c T x > c T x 0, je x 0 hledaným optimálním řešením. 2 Teorie simplexové metody přesahuje rozsah této práce, proto zde nebude podrobně rozebrána. Odvození a důkazy je možné nalézt například v [11]. Detailnější popis simplexové metody obsahuje také [6].

15 Kapitola 2 Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Programů, umožňujících řešení úloh lineárního programování, je celá řada. Některé mají formu samostatného softwaru, jiné formu knihovny, dostupné prostřednictvím jiného softwarového nástroje 1. Některé balíčky nabízí obě tyto možnosti současně. Většina progamů je schopna řešit nejen úlohy lineárního programování, ale i další, složitější, optimalizační úlohy 2. Možnosti, které nabízí většina programů, jsou z velké části srovnatelné, proto nejprve vypíšu některé vlastnosti, ve kterých se navzájem mohou lišit. Poté se zmíním podrobněji o několika vybraných programech Rozdíly mezi programy Typ - Programy mohou obsahovat pouze prostředí pro vytváření modelů, solver (program, který samotný model vyřeší), nebo obě tyto součásti integrované do jednoho celku. Podporované operační systémy - Většina programů je multiplatformní, ale některé běží pouze pod určitým operačním systémem 4. Dostupnost - Optimalizační programy jsou většinou komerční, avšak nabízí zdarma trial verzi, nebo verzi pro studijní a výzkumné účely. K dostání jsou i freewarové nástroje, ty ale bývají obecně o něco pomalejší. 1 Například MATLAB, Microsoft Office Excel, TOMLAB atp. 2 Standardem je možnost řešení úloh celočíselného a smíšeného programování, tyto další typy úloh však vzhledem k zaměření a rozsahu práce nebudu dále rozebírat. 3 Srovnání programů vychází z [13]. 4 Nejčastěji programy fungují pod Windows, častěji chybí podpora Linuxu nebo Mac OS. 6

16 Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Vybrané programy GLPK (GNU Linear Programming Kit) popis GLPK je obsahem následující kapitoly. IBM ILOG CPLEX Optimization Studio je komplexní optimalizační nástroj vyvíjený společností IBM. Pro modelování úloh používa vlastní modelovací jazyk CPLEX LP. K programu existuje obsáhlá dokumentace a je zdarma dostupný pro studijní a výzkumné účely v rámci IBM Academic Initiative[4]. MOSEK je komerční solver dostupný jako samostatný program, nebo jako knihovna pro MATLAB. MOSEK je dostupný zdarma, jako trial verze nebo ve verzi pro akademické účely. Nabízí také rozhraní pro C, Javu, Python a další. Linear Programming Solver je zdarma dostupný program, jehož hlavní devizou je jednoduché grafické uživatelské prostředí. Výstupem programu je přesný výpis kroků simplexové metody (jednotlivé simplexové tabulky), což jej činí vhodným pro vzdělávací účely. Lindo solver suite je balíček optimalizačních produktů od firmy Lindo. Součástí balíčku je What sbest! (add-in pro MS Excel), LINGO (modelovací prostředí a solver) a Lindo API (knihovna optimalizačních postupů a solverů). CLP je open-source solver úloh lineárního programování. Tento program je vyvíjený nezávislou iniciativou COIN-OR.[2] 2.3 GLPK a GUSEK GLPK GLPK (GNU Linear Programming Kit) je volně šiřitelný 5 balíček, určený pro řešení úloh lineárního a smíšeného celočíselného programování. Hlavními součástmi GLPK jsou: primární a duální simplexová metoda, primární a duální metoda vnitřních bodů, metoda větví a řezů, překladač pro GNU MathProg, 6 aplikační programové rozhraní, samostatný solver. 5 Program je součástí GNU projektu, spadá tedy pod podmínky GNU General Public Licence, je tedy možné jej volně používat, šířit i modifikovat za podmínek daných licencí. [10] 6 GNU MathProg je modelovací jazyk podporovaný GLPK.

17 Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování 8 Vzhledem k licenci, pod kterou je GLPK šířen, existuje několik programů, které jsou na základě GLPK postaveny. Kromě programu GUSEK, kterému se budu věnovat v následujícím textu, se jedná například o GLPK Lab. GLPK podporuje, kromě svého primárního jazyku, kterým je GNU MathProg, i vstup ve formátu CPLEX LP a MPS GUSEK Pro použití GLPK stačí obyčejný textový editor, ve kterém lze vytvořit modelové soubory a následně pomocí příkazového řádku spustit GLPK solver. Tento postup je však, zvláště pro neinformatiky, poněkud složitý. Právě proto vznikl GUSEK, což je v podstatě pouze mírně upravený editor 8 zdrojového kódu, přímo napojený na GLPK solver. Licence GUSEKu je stejná jako v případě GLPK, je tedy přístupný ke stažení 9 a používání zcela zdarma. Instalací programu se nebudu podrobně zabývat, výše přiložený odkaz je v tomhle ohledu plně dostačující. Obrázek 2.1: GUSEK GUSEK umí používat několik typů souborů, které rozlišuje na základě přípon:.mod - soubor GMPL modelu (může obsahovat i datovou část),.dat - datová část GMPL modelu,.out - výstupní soubor,.mps - model ve formátu MPS,.lp - model ve formátu CPLEX LP. 7 Popis jednotlivých formátů, tedy GMPL, CPLEX LP a MPS je obsahem následující kapitoly. 8 Informace o SciTE editoru k nalezení na [12]. 9 Další informace o stažení a instalaci GUSEKu na [1].

18 Kapitola 3 Typické příklady V této části práce uvedu názorné příklady použití programu GUSEK. Primárním modelovacím jazykem GUSEKu je GNU Math Prog, 1 proto mu bude věnována největší pozornost. Krom modelů zapsaných pomocí GMPL (GNU Mathematical Programming Language je pouze jiné označení pro GNU Math Prog) ukážu a popíšu model 2 vytvořený v CPLEX LP a MPS. 3.1 GMPL GNU Math Prog je jazyk určený k vytváření modelů matematického programování. Oficiální dokumentace je součástí instalačního balíčku GLPK i GUSEKu. GMPL je, jak již bylo zmíněno, hlavním jazykem, se kterým GUSEK pracuje, proto mu bude v následující části vyhrazen největší prostor Kapacitní problém První úlohou, jejíž řešení budu prezentovat, je jednoduchý kapacitní problém. Firma uvažuje o výrobě 3 typů výrobků (pro jednoduchost použiji označení A, B, C). K jejich výrobě potřebuje surovinu N a práci L. Jak množství suroviny na skladě, tak množství práce, je omezené. Firma dále ví, za kolik daný výrobek prodá na trhu. Úkolem je maximalizovat zisk firmy. Zadání úlohy Přejděme tedy ke konkretizaci zadání. Následující tabulka obsahuje v řádcích množství práce L a suroviny N, potřebné k vyrobení daného výrobku (sloupečky A, B, C). V posledním sloupci jsou maximální možné dostupné zdroje. Jedná se tedy o množství suroviny na skladě a dostupný pracovní čas. V posledním řádku je pak pro každý výrobek uveden zisk firmy z prodeje jednoho kusu. 1 Kompletní manuál ke GMPL je k nalezení v instalační dokumentaci, některé další informace na [3]. 2 Příklady v této částo jsou inspirovány typickými příklady v [8] a [5]. 9

19 Kapitola 3. Typické příklady 10 A B C Omezení L N Zisk Pro vytvoření modelu musíme určit proměnné, omezení a účelovou funkci. V našem případě jsou proměnné 3: x 1 - množství vyrobeného produktu A, x 2 - množství vyrobeného produktu B, x 3 - množství vyrobeného produktu C. Omezení daného modelu jsou maximální dostupné množství práce L a suroviny N. V předchozí tabulce jsou udána jednotková množství suroviny a práce, potřebná k výrobě jednotlivých výrobků. Omezení tedy zapíšeme pomocí nerovnic: x 1 + 3x 2 + 2x x 1 + x 2 + 2x Úkolem je maximalizace zisku, jde tedy o maximalizaci rovnice: zisk = 30x x x 3 Modelový soubor Nyní, když známe zadání a víme co chceme zjistit, je na čase přejít k praktické realizaci. Zadaný problém musíme zapsat pomocí GMPL. Klíčové položky, které musíme deklarovat jsou: proměnné, účelová funkce, omezení, data příslušná danému problému. Následující kód ukazuje, jak vypadá jednoduchý kapacitní problém, zapsaný v jazyce MathProg 3. 3 Čísla řádků nejsou přímou součástí kódu, jsou přidána pouze pro snazší orientaci.

20 Kapitola 3. Typické příklady 11 1 # 2 # Výrobní problém 3 # 4 # Maximalizace zisku. 5 # 6 7 /* Proměnné */ 8 var x1 >= 0; /* Množství výrobku A */ 9 var x2 >= 0; /* Množství výrobku B */ 10 var x3 >= 0; /* Množství výrobku C */ /* Účelová funkce */ 13 maximize zisk: 30*x1 + 45*x2 + 40*x3; /* Omezení */ 16 s.t. L : x1 + 3*x2 + 2*x3 <= 480; 17 s.t. N : 2*x1 + x2 + 2*x3 <= 600; end; 20 Řádky 1 až 5 jsou komentáře - cokoliv vyskytující se na řádku za křížkem (#) je považováno za komentář. Stejně tak se za komentář považuje vše, napsané mezi znaky /* a */. Takovéto komentáře se pak mohou vyskytovat kdekoliv v kódu. Jako první krok je třeba nadeklarovat proměnné. Řádky 8 až 10 deklarují proměnné x1, x2 a x3. Deklarace proměnné začíná klíčovým slovem var. MathProg umožňuje zapsat omezení proměnných přímo v jejich deklaraci (nejen >= 0, ale i jiné). Názvy proměnných mohou být libovolné alfanumerické kombinace znaků. První znak názvu však nesmí být číslo. Každý řádek kódu musí být ukončen středníkem (;). Řádek 13 specifikuje účelovou funkci. Vzhledem k tomu, že se jedná o maximalizační úlohu, je klíčovým slovem maximize, v případě minimalizační úlohy by bylo použito klíčové slovo minimize. Účelová funkce je pojmenována zisk a její hodnota je 30 x x x3. Dvojtečka (:) odděluje název účelové funkce od její definice. Řádky 16 a 17 definují omezení modelu. V našem případě se jedná o maximální množství suroviny na skladě a maxiální množství dostupné práce. Klíčové slovo s.t. (subject to) není povinnou součástí deklarace, ale zlepšuje čitelnost kódu. Jednotlivá omezení jsou pojmenována L a N. Název omezení a jeho definice jsou opět odděleny dvojtečkou (:). Každý soubor v jazyce GMPL musí končit klíčovým slovem end; (řádek 19). Za poznámku zajisté stojí fakt, že tento modelový soubor neobsahuje datovou část. To je způsobeno jednoduchostí příkladu, kdy jsou data přímou součástí deklarací proměnných a omezení. Na druhém příkladu ukážu, jak vypadá model obsahující všechny regulérní části.

21 Kapitola 3. Typické příklady 12 Řešení úlohy Pro vyřešení úlohy postupujeme v následujících krocích. Vytvořený soubor uložíme (File/Save) s příponou.mod (například vyrobni1.mod) a následně spustíme samotný GLPK solver (Tools/Go). Pokud chceme, aby GLPK vygenerovalo výstupní soubor, zatrhneme v menu Tools položku Generate Output File on Go. GLPK pak vygeneruje výstupní soubor, který pojmenuje stejně jako modelový soubor, ale s příponou.out, a uloží do složky, ve které se nachází modelový soubor. Výstupní soubor se také ihned otevře v GUSEKu. Výstupní informace Kromě výstupního souboru vyrobni1.out obsahuje některé informace i výstup, který GUSEK zobrazí v pravé polovině pracovního okna. >D:\dokumenty\škola\mat\Bc\gusek\glpsol.exe OPTIMAL SOLUTION FOUND Time used: 0.0 secs Memory used: 0.1 Mb ( bytes) Writing basic solution to vyrobni1.out... >Exit code: 0 Time: V případě chybné syntaxe modelu se právě v tomto reportu zobrazí chybová zpráva i s informací, na kterém řádku se problém nachází (po kliknutí na tuto chybovou hlášku se zbarví žlutě hlášení i řádek v kódu, kterého se týká). Pokud je model v pořádku a optimální řešení existuje, hlásí program: OPTIMAL SOLUTION FOUND. V případě, kdy úloha má přípustná řešení, ale optimální řešení neexistuje, vypíše zde GUSEK hlášení PROBLEM HAS UNBOUNDED SOLUTION, v případě, kdy neexistuje žádné přípustné řešení, a tedy ani řešení optimální, zahlásí GUSEK PROBLEM HAS NO FEASIBLE SOLUTION. Výstupní soubor Problem: vyrobni1 Rows: 3 Columns: 3 Non-zeros: 9 Status: OPTIMAL Objective: zisk = (MAXimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal zisk B L NU N NU

22 Kapitola 3. Typické příklady 13 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal x1 B x2 B x3 NL Výstupní soubor se skládá ze 4 částí 4 : informace o problému a optimální hodnota účelové funkce; přesné informace o stavu účelové funkce a omezení; přesné informace o optimálních hodnotách proměnných; informace o podmínkách optimality. Pro tento konkrétní problém tedy existuje optimální řešení, jak je vidět v první části výstupu, (Status: OPTIMAL) a jeho hodnota je Pokud by úloha optimální řešení neměla, zobrazí se zde Status: UNDEFINED nebo Status: INFEASIBLE, v závislosti na tom, zda existují přípustná řešení, ale neexistuje optimální, nebo neexistuje žádné přípustné řešení. Ve třetí části výstupního souboru vidíme, při jakých hodnotách proměnných x 1, x 2 a x 3 je optima dosaženo. Aby firma dosáhla optimálního zisku, bude vyrábět 264 kusů produktu A, 72 kusů produktu B a produkt C nebude vyrábět vůbec Směšovací problém Druhým příkladem, kterému se ve své práci budu věnovat, je směšovací problém. Firma, zabývající se zpracováním kovů, potřebuje získat dané množství dvou různých kovů (kov1, kov2). K dispozici má 3 různé slitiny (A,B,C), z nichž každá obsahuje určité množství těchto dvou kovů. Známe také cenu, za kterou firma jednotlivé slitiny nakupuje. Úkolem je získat potřebná množství kovů za co nejnižší cenu. Zadání úlohy V následující tabulce reprezentují sloupečky jednotlivé suroviny, v řádcích je pak uvedeno množství (v kilogramech) jednotlivých kovů ve 100 kilogramech suroviny a cena suroviny (v korunách), opět vztažená ke 100 kg. V posledním sloupci je pak uvedeno množství obou kovů, které firma potřebuje získat. A B C Množství Kov 1 4,5 11, Kov Cena Podrobný popis přesahuje rozsah této práce, proto vyberu jen informace, které jsou pro tuto práci významné.

23 Kapitola 3. Typické příklady 14 Můžeme tedy definovat proměnné, které se budou jmenovat: A - množství zakoupené slitiny A, B - množství zakoupené slitiny B, C - množství zakoupené slitiny C. Omezení v daném modelu jsou dvě. Jedná se o minimální požadovaná množství jednotlivých kovů: 4,5A + 11,5B + 30C A + 48B + 54C 600 Účelovou funkcí pak je součet cen jednotlivých slitin: cena = 800A B + 950C Tuto konečnou cenu chceme minimalizovat, jedná se tedy o minimalizační úlohu. Modelový soubor Modely zapsané v jazyce MathProg obvykle obsahují dvě části: modelovou a datovou. Tyto dvě části se mohou vyskytovat bud v jednom souboru (s příponou.mod) nebo ve dvou, kdy modelová část je uložena s příponou.mod a datová část je uložena s příponou.dat. Samostatný soubor pro datovou část je výhodný, pracuje-li na projektu více lidí, nebo v případě, že chceme použít jeden model na několik různých skupin dat. V tomto konkrétním příkladě jsem použil jeden soubor, který obsahuje jak modelovou část (řádky 1-25) a datovou část (řádky 26-46). 1 # 2 # Směšovací problém 3 # 4 # Minimalizace nákladů 5 # 5 7 /* Množina potřebných kovů */ 8 set SLIT; 9 10 /* Parametry */ 11 param kov1 {i in SLIT}; 12 param kov2 {i in SLIT}; 13 param cena {i in SLIT}; /* Proměnné */ 16 var x {i in SLIT} >=0; /* Účelová funkce */ 19 minimize z : sum{i in SLIT} cena[i]*x[i]; 20

24 Kapitola 3. Typické příklady /* Omezení */ 22 s.t. hmotnost : sum{i in SLIT} x[i] <= 12; 23 s.t. potreba_kov1 : sum{i in SLIT} kov1[i]*x[i] >= 210; 24 s.t. potreba_kov2 : sum{i in SLIT} kov2[i]*x[i] >= 600; data; 27 /* Datová část */ set SLIT := A B C; param kov1:= 32 A B C 30; param kov2:= 37 A B C 54; param cena:= 42 A B C 950; end; 47 Klíčová slovo set definuje množinu. Pod pojmenování množina spadá v GMPL značné množství elementů. Ve výše uvedeném kódu je množinou vektor, pojmenovaný SLIT. Množina SLIT obsahuje prvky A, B a C. Samotné hodnoty, příslušné této množině, jsou pak uvedeny až v datové části souboru (řádek 29). Dále na řádku 29 vidíme, jak se prvky množiny deklarují: set SLIT := A B C kde set je klíčové slovo, SLIT je název množiny (pro který platí stejná pravidla jako pro pojmenovávání proměnných) a prvky množiny jsou zapsány za znakem := a vzájemně se oddělují mezerou. Řádky definují parametry modelu. Parametry jsou kov1 množství kovu 1 v dané surovině, kov2 množství kovu 2 v dané surovině a cena suroviny. Tyto parametry vytvářejí datovou matici a jsou dále použity k výpočtu omezení. Jako příklad použiji parametr kov1 (tedy množství prvního kovu v jednotlivých slitinách). Tento parametr je definován na množině SLIT, takže každá slitina v této množině obsažená obsahuje určité množství prvního kovu. Nyní se podívejme na řádky 31 až 34. Zde je definice množství prvního kovu v jednotlivých slitinách. Parametr kov1 je tedy vektor délky 3, který obsahuje následující údaje: kov1[a] = 4,5; kov1[b] = 11,5; kov1[c] = 30. Zbývající parametry jsou definovány analogicky. Nyní se vrat me k definici proměnných. Ta se nachází na řádku 16. Tento řádek deklaruje 3 proměnné. Proměnnou x pro každý člen množiny SLIT (tedy x[a], x[b], x[c]). Na tomto řádku je pak ještě omezení všech proměnných, které musí být 0.

25 Kapitola 3. Typické příklady 16 Účelovou funkci definuje řádek 19. Základ deklarace je stejný jako v předchozím příkladu (klíčové slovo minimize, název funkce z a její definice následující za dvojtečkou). Rozdílné je pouze vyjádření ve tvaru funkce s využitím datové matice. Vyjádření minimize z : sum{i in SLIT} cena[i]*x[i] říká, že chceme minimalizovat sumu součinů ceny a množství jednotlivých slitin přes všechny prvky množiny SLIT. Omezení na řádcích 22 až 24 je deklarováno obdobně. Jako příklad uvedu omezení potreba kov1. Opět sčítáme přes všechny prvky množiny SLIT, tentokát však součin množství prvního kovu v dané slitině a množství použité slitiny (kov[a] * x[a]). Řešení úlohy V případě, kdy je datová část součástí modelového souboru, je postup řešení úlohy shodný s postupem v předchozí sekci. Proto se ted zaměřím na situaci, kdy chceme datový a modelový soubor oddělit. Samotný kód zůstává stejný, pouze z modelového souboru vyjmeme řádky 26 až 45 a uložíme je do nového souboru, na jehož konec ještě doplníme klíčové slovo end. Tento soubor pak uložíme s příponou.dat (například smesovaci.dat). Pro jednoduchost je vhodné, aby se modelový a datový soubor jmenovaly stejně (samozřejmě s vyjímkou přípony). Pokud se oba tyto soubory jmenují stejně a nachází se ve stejné složce, stačí před spuštěním modelování (pomocí příkazu Go) zatrhnout v menu Tools položku Use External.dat. Pokud bychom chtěli, aby se datový soubor jmenoval jinak než soubor modelový, musíme nejprve otevřít datový soubor, v menu Tools vybrat možnost Use as Default.dat File. Tento datový soubor pak bude považován za defaultní pro všechny modelové soubory bez ohledu na jejich název, dokud takto nevybereme jiný datový soubor, nebo pamět nevyčistíme příkazem Clear Extra.dat Files, opět v menu Tools. Výstup Výstupní informace i výstupní soubor jsou ekvivalentní výstupům v minulém příkladu, proto jejich přesný popis tentokrát nebudu uvádět. Omezím se pouze na informaci, ohledně řešení úlohy. Příklad má opět optimální řešení, jehož hodnoty jsou: množství použité slitiny A je 5,15 kg, slitina B použita nebude, množství použité slitiny C je 6,22 kg. Při této kombinaci vstupních slitin, dosáhneme optimální ceny surovin, která je 10052,4 korun. 3.2 MPS MPS je sloupcově orientovaný formát, určený pro zápis modelů lineárního a celočíselného programování. V současnosti nepatří mezi nejpoužívanější, ale je velmi univerzálně akceptovaný mnoha programy (jak komerčními, tak ostatními).

Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011

Programy pro ˇreˇsen ı ulohy line arn ıho programov an ı 18. dubna 2011 Programy pro řešení úlohy lineárního programování 18. dubna 2011 Přehled Mathematica Sage AMPL GNU Linear Programming Kit (GLPK) Mathematica Mathematika je program pro numerické a symbolické počítání.

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Bakalářské, diplomové a rigorózní práce odevzdávané k obhajobě na Přírodovědecké

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

6 Simplexová metoda: Principy

6 Simplexová metoda: Principy 6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení

Více

DUM 06 téma: Tvorba makra pomocí VBA

DUM 06 téma: Tvorba makra pomocí VBA DUM 06 téma: Tvorba makra pomocí VBA ze sady: 03 tematický okruh sady: Tvorba skript a maker ze šablony: 10 Algoritmizace a programování určeno pro: 4. ročník vzdělávací obor: 18-20-M/01 Informační technologie

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

13. Lineární programování

13. Lineární programování Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Konvexní množiny Formulace úloh lineárního programování. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Euklidovský prostor E n Pod pojmem n-rozměrný euklidovský prostor budeme rozumnět prostor, jehož prvky jsou uspořádané n-tice reálných čísel X = (x 1, x 2,...,

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

BRNO KOMPLEXNÍ DOPRAVNÍ ANALÝZA

BRNO KOMPLEXNÍ DOPRAVNÍ ANALÝZA MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA GEOGRAFICKÝ ÚSTAV BRNO KOMPLEXNÍ DOPRAVNÍ ANALÝZA Diplomová práce Jan Kučera Vedoucí práce: Mgr. Daniel Seidenglanz, Ph.D. Brno 2013 Bibliografický záznam Autor:

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

Univerzita Karlova v Praze

Univerzita Karlova v Praze [Vzor: Pevná deska bakalářské práce není součástí elektronické verze] Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rok Jméno a příjmení autora [Vzor :Titulní strana bakalářské

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Úvod do programovacího jazyka Python

Úvod do programovacího jazyka Python Úvod do programovacího jazyka Python Co je to Python? Python je objektově-orientovaný programovací jazyk. Tento programovací jazyk je velice výkonný, čitelný a dá se snadno naučit. Jeho použití je velice

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

Univerzita Karlova v Praze

Univerzita Karlova v Praze Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2011 Jonáš Bujok Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jonáš Bujok Nástroj pro převod PDF na

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Stručný návod k programu Octave

Stručný návod k programu Octave Stručný návod k programu Octave Octave je interaktivní program vhodný pro technické výpočty. Je nápadně podobný programu MATLAB, na rozdíl od něho je zcela zadarmo. Jeho domovská vebová stránka je http://www.octave.org/,

Více

Univerzita Karlova v Praze

Univerzita Karlova v Praze [Vzor: Pevná deska diplomové práce není součástí elektronické verze] [Verze 3/2013 platná od 18.3.2013 dostupná z http://www.mff.cuni.cz/studium/bcmgr/prace] Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální

Více

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu:

Čtvrtek 8. prosince. Pascal - opakování základů. Struktura programu: Čtvrtek 8 prosince Pascal - opakování základů Struktura programu: 1 hlavička obsahuje název programu, použité programové jednotky (knihovny), definice konstant, deklarace proměnných, všechny použité procedury

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML ROZHRANÍ ESA XML Ing. Richard Vondráček SCIA CZ, s. r. o., Thákurova 3, 160 00 Praha 6 www.scia.cz 1 OTEVŘENÝ FORMÁT Jednou z mnoha užitečných vlastností programu ESA PT je podpora otevřeného rozhraní

Více

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení Vzor textu na deskách bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rok Jméno Příjmení Vzor titulní strany bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for

Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for Funkce, podmíněný příkaz if-else, příkaz cyklu for Definice funkce Funkce je pojmenovaná část programu, kterou lze dále zavolat v jiné části programu. V Pythonu je definována klíčovým slovem def. Za tímto

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

8 Makra Příklad 4 Excel 2007

8 Makra Příklad 4 Excel 2007 TÉMA: Úprava maker rozhodování, příkaz If..Then..Else Sekretářka společnosti Naše zahrada potřebuje upravit makra vytvořená pomocí záznamu tak, aby vyhovovala jejím požadavkům. Pro úpravy využije Editor

Více

Úvod do teorie her

Úvod do teorie her Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu

Více

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO

Mgr. et Mgr. Jan Petrov, LL.M. Ph.D. BYZNYS A PRÁVO BYZNYS A PRÁVO Byznys a právo OBSAH ZÁKLADNÍ FUNKCE EXCELU... 2 FUNKCE ODMOCNINA A ZAOKROULIT... 4 FORMÁT A OBSAH BUNĚK... 5 RELATIVNÍ ODKAZY... 9 ABSOLUTNÍ ODKAZY... 11 Byznys a právo ZÁKLADNÍ FUNKCE

Více

Návod pro práci s SPSS

Návod pro práci s SPSS Návod pro práci s SPSS Návody pro práci s programem SPSS pro kurz Metodologie pro Informační studia a knihovnictví 2 (jaro 2013) Ladislava Zbiejczuk Suchá Instalace programu SPSS najdete v INETu. Po přihlášení

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Vzor textu na deskách diplomové práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Jméno Příjmení

Vzor textu na deskách diplomové práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Jméno Příjmení Vzor textu na deskách diplomové práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Rok Jméno Příjmení Vzor titulní strany diplomové práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Úvod do programovacího jazyka Python

Úvod do programovacího jazyka Python Úvod do programovacího jazyka Python Co je to Python? Python je objektově orientovaný programovací jazyk, který se může využít v mnoha oblastech vývoje softwaru. Nabízí významnou podporu k integraci s

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt Automatický výpočet chyby nepřímého měření František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009 Abstrakt Pro správné vyhodnocení naměřených dat je třeba také vypočítat chybu měření. Pokud je neznámá

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Pokročilé programování v jazyce C pro chemiky (C3220) Třídy v C++

Pokročilé programování v jazyce C pro chemiky (C3220) Třídy v C++ Pokročilé programování v jazyce C pro chemiky (C3220) Třídy v C++ Třídy v C++ Třídy jsou uživatelsky definované typy podobné strukturám v C, kromě datových položek (proměnných) však mohou obsahovat i funkce

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include

9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include <stdio.h> 9.3.2010 Program převod z desítkové na dvojkovou soustavu: /* Prevod desitkove na binarni */ #include int main(void) { int dcislo, kolikbcislic = 0, mezivysledek = 0, i; int vysledek[1000]; printf("zadejte

Více

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta. programování. Vedoucí práce: Barbora Helešicová

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta. programování. Vedoucí práce: Barbora Helešicová Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Podpora řešení úloh lineárního programování Bakalářská práce Vedoucí práce: doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. Barbora Helešicová Brno 2010 Na tomto místě

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

14.4.2010. Obsah přednášky 7. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7. Parametry metod. Parametry, argumenty. Parametry metod.

14.4.2010. Obsah přednášky 7. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7. Parametry metod. Parametry, argumenty. Parametry metod. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7 Ing. Michael Bažant, Ph.D. Katedra softwarových technologií Kancelář č. 229, Náměstí Čs. legií Michael.Bazant@upce.cz Obsah přednášky 7 Parametry metod, předávání

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Základy HTML. Autor: Palito

Základy HTML. Autor: Palito Základy HTML Autor: Palito Zobrazení zdrojového kódu Zobrazení zdrojového kódu Každá stránka je na disku nebo na serveru uložena ve formě zdrojového kódu. Ten kód je psaný v jazyce HTML. Když si chcete

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

TECHNICKÉ PARAMETRY DIPLOMOVÉ PRÁCE

TECHNICKÉ PARAMETRY DIPLOMOVÉ PRÁCE TECHNICKÉ PARAMETRY DIPLOMOVÉ PRÁCE 1. VAZBA Práce je vázána v pevných deskách, na kterých jsou následující údaje: Název vysoké školy a fakulty; jméno autora diplomové práce; název práce; Diplomová práce

Více

Úvod do MS Access. Modelování v řízení. Ing. Petr Kalčev

Úvod do MS Access. Modelování v řízení. Ing. Petr Kalčev Úvod do MS Access Modelování v řízení Ing. Petr Kalčev Postup při tvorbě aplikace Vytvoření tabulek Vytvoření relací Vytvoření dotazů Vytvoření formulářů Vytvoření sestav Tabulky Slouží k definování polí,

Více

Základy programování. Úloha: Eratosthenovo síto. Autor: Josef Hrabal Číslo: HRA0031 Datum: 28.11.2009 Předmět: ZAP

Základy programování. Úloha: Eratosthenovo síto. Autor: Josef Hrabal Číslo: HRA0031 Datum: 28.11.2009 Předmět: ZAP Základy programování Úloha: Eratosthenovo síto Autor: Josef Hrabal Číslo: HRA0031 Datum: 28.11.2009 Předmět: ZAP Obsah 1 Zadání úkolu: 3 1.1 Zadání:............................... 3 1.2 Neformální zápis:.........................

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ

Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ Modul: Téma workshopu: Výpočetní technika Co je to internet? Jak si udělat vlastní www stránku? Vypracovala: Ing. Lenka Hellová Termín workshopu: 30. říjen 2012

Více

Typy souborů ve STATISTICA. Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu

Typy souborů ve STATISTICA. Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu StatSoft Typy souborů ve STATISTICA Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu STATISTICA, ukáže Vám jejich možnosti a tím Vám dovolí využívat program efektivněji. Jistě jste již

Více

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ

ALGORITMIZACE A PROGRAMOVÁNÍ Metodický list č. 1 Algoritmus a jeho implementace počítačovým programem Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení pojmů algoritmus a programová implementace algoritmu. Dále je cílem seznámení

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Databázové aplikace pro internetové prostředí. 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku

Databázové aplikace pro internetové prostředí. 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku Databázové aplikace pro internetové prostředí 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku Projekt: Inovace výuky prostřednictvím ICT Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.250

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2002 SEDLÁK MARIAN - 1 - OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA INFORMATIKY A POČÍTAČŮ Vizualizace principů výpočtu konečného

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

POKYNY PRO ZPRACOVÁNÍ MATURITNÍ PRÁCE

POKYNY PRO ZPRACOVÁNÍ MATURITNÍ PRÁCE Integrovaná střední škola hotelového provozu, obchodu a služeb, Příbram Gen. R. Tesaříka 114, 261 01 Příbram I, IČ: 00508268, e-mail: iss@pbm.czn.cz, www:iss.pb.cz POKYNY PRO ZPRACOVÁNÍ MATURITNÍ PRÁCE

Více

5.Profesionální optimalizační systémy

5.Profesionální optimalizační systémy 5.Profesionální optimalizační systémy Řešení reálných optimalizačních úloh, které často obsahují tisíce i desítky tisíc proměnných i omezujících podmínek, není myslitelné bez vysoce výkonných optimalizačních

Více

Analýza dat na PC I.

Analýza dat na PC I. Lékařská a Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Analýza dat na PC I. Základy programu STATISTICA IBA výuka 2008/2009 StatSoft, Inc., http://www.statsoft.com/, http://www.statsoft.cz Verze pro

Více