MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2013 MICHAL OHLÍDAL

2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Software pro řešení úlohy lineárního programování Bakalářská práce Michal Ohlídal Vedoucí práce: Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Brno 2013

3 Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Michal Ohlídal Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Software pro řešení úlohy lineárního programování Matematika Aplikovaná matematika pro víceoborové studium Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Akademický rok: 2012/2013 Počet stran: viii + 36 Klíčová slova: Lineární programování; program; GUSEK; GMPL

4 Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Michal Ohlídal Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Linear programming software Mathematics Applied Mathematics for Multi-Branches Study Mgr. Michal Bulant, Ph.D. Academic Year: 2012/2013 Number of Pages: viii + 36 Keywords: Linear programming; software; GUSEK; GMPL

5 Abstrakt Tato práce se zabývá softwarem pro řešení úlohy lineárního programování. Cílem práce je popsat problematiku lineárního programování z hlediska softwarových možností pro její řešení. Práce je rozdělena do čtyř částí. První část představuje stručný úvod do lineárního programování. Jsou v ní uvedeny a definovány základní pojmy a principy lineárního programování. Druhá část obsahuje popis dostupného spektra programů určených pro řešení úlohy lineárního programování. Ve třetí části jsou popsány, a na typických úlohách lineárního programování demonstrovány, možnosti programu GUSEK. V poslední části je ukázáno použití programu GUSEK pro řešení rozsáhlejších problémů. Abstract This work deals with a software constructed for solving the linear programming problems. The main goal of the work is to describe the linear programing taking the point of view of software options of its solving. The thesis is divided into four parts the first part provides a brief introduction to the linear programming. The list and definitions of the basic terms and principles of linear programming are covered. The second part deals with descriptions of the available programs used for solving the linear programming problems. In the third part the options of the GUSEK program are described and also shown on the typical examples of linear programing. In the last, fourth part, the use of the GUSEK program for solving more complex problems is shown.

6

7 Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat vedoucímu mé bakalářské práce Mgr. Michalu Bulantovi, Ph.D. za odborné vedení. Dále bych vyjádřil své poděkování Šárce Ohlídalové, Bc. Haně Ohlídalové, MgA. Alfredu Texelovi a Zuzaně Dudkové za pomoc s finálními úpravami práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 17. května Michal Ohlídal

8 Obsah Úvod viii Kapitola 1. Lineární programování Úloha lineárního programování Geometrie lineárního programování Simplexová metoda Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Rozdíly mezi programy Vybrané programy GLPK a GUSEK GLPK GUSEK Kapitola 3. Typické příklady GMPL Kapacitní problém Směšovací problém MPS Plánování reklamy (media selection problem) CPLEX LP Úloha o dělení materiálu Kapitola 4. Další příklady Einsteinova hádanka Zadání Modelový soubor Dieta Zadání Modelový soubor Datový soubor Závěr Seznam použité literatury vii

9 Úvod Lineární programování je aplikovaná matematická disciplína. Jakožto podmnožina problematiky obecného matematického programování se zabývá optimalizací. A právě optimalizace hraje při rozhodování nejen lidí, ale hlavně firem a vlád, významnou roli. Asi nejčastěji se s otázkou optimalizace, a tedy i praktického využití lineárního programování, setkáváme v ekonomii. Většina úloh lineárního programování, které jsou prakticky využitelné, dosahuje značných rozměrů, a je tedy bez využití patřičného softwaru téměř neřešitelná. Proto jsem se ve své práci zaměřil na popis programů určených pro řešení úlohy lineárního programování. První část práce popisuje obecné vlastnosti několika vybraných softwarů. V další části je problematika zúžena na popis programu GUSEK a formátů, které podporuje. V práci je na typických příkladech, jako je směšovací či kapacitní problém, demonstrována funkčnost programu. V práci jsou rozebrány všechny tři typy vstupů, které GUSEK umí zpracovat. Největší pozornost je pak věnována formátu GMPL, který je pro GUSEK defaultním. viii

10 Kapitola 1 Lineární programování Lineární programování se zabývá problémy souvisejícími s hledáním vázaných extrémů lineárních funkcí, jejichž omezující podmínky mají tvar lineárních rovnic a nerovnic. 1.1 Úloha lineárního programování Definice 1.1 Necht a i j, b i, c j jsou daná reálná čísla, pro i = 1,...,m; j = 1,...,n, kde m,n N. Necht Ī I = {1,...,m}, J J = {1,...,n}. Optimalizační úlohu maximalizovat funkci n c j x j j=1 na množině řešení soustavy rovnic a nerovnic n j=1 a i j x j b i n a i j x j = b i j=1 x j 0 i Ī i I Ī j J nazýváme maximalizační úlohou lineárního programování v obecném tvaru. Funkce n j=1 c jx j se pak nazývá účelová funkce. Jestliže Ī = /0 a J = J, pak tuto úlohu maximalizovat n c j x j j=1 na množině řešení soustavy lineárních rovnic n a i j x j = b i j=1 x j 0 i I j J 1

11 Kapitola 1. Lineární programování 2 nazýváme maximalizační úlohou lineárního programování ve standardním tvaru. Jestliže Ī = I a J = J, pak tuto úlohu maximalizovat n c j x j j=1 na množině řešení soustavy lineárních nerovnic n a i j x j b i j=1 x j 0 i I j J nazýváme úlohou lineárního programování v kanonickém tvaru. Poznámka 1.1 Výše popsané tvary jsou vzájemně ekvivalentní a lze je mezi sebou převádět. Každou podmínku ve tvaru rovnice lze zapsat jako soustavu dvou nerovnic Také každou nerovnici lze zapsat ve tvaru rovnice n a j x j = b j=1 n j=1 a j x j b n a j x j b j=1 n a j x j b j=1 n a j x j + x n+1 = b j=1 Pro takto přidanou proměnnou (x n+1 ) pak do účelové funkce přidáme koeficient c n+1 = 0. Takže tato proměnná nebude mít na optimální hodnotu vliv. V případě, kdy v obecném tvaru úlohy lineárního programování není pro některé x j kladen požadavek nezápornosti, použijeme úpravu: x j = x + j x j x + j 0, x j 0 Tyto dvě nové proměnné pak dosadíme do všech podmínek i do účelové funkce.

12 Kapitola 1. Lineární programování 3 Poznámka 1.2 Uvedené úlohy lze zapsat i maticově. Například maximalizační úloha lineárního programování ve standardním tvaru se dá zapsat jako úloha maximalizovat za podmínek f (x) = cx Ax = b x 0 Kde A = (a i, j ) je matice, x = (x j ) je vektor proměnných b = (b i ), c = (c j ) T jsou vektory koeficientů a 0 je nulový vektor, pro i, j N. Věta 1.1 Pro libovolnou množinu M R n a libovolnou funkci f : M R platí: min f (x) = max( f (x)) x M Z věty 1.1 tedy plyne, že kteroukoliv minimalizační úlohu lineárního programování lze převést na úlohu maximalizační, proto není třeba tyto úlohy rozebírat samostatně. Definice 1.2 Množinu M = {x R n Ax = b,x 0} nazýváme množinou přípustných řešení úlohy lineárního programování ve standardním tvaru. Definice 1.3 Přípustné řešení x 0 M nazveme optimálním řešením maximalizační úlohy lineárního programování, platí-li pro každé x M : cx 0 cx. Věta 1.2 (Dualita v lineárním programování) Necht A je matice a necht b,c jsou vektory. Pak pro dvojici úloh lineárního programování platí právě jedno z následujících tří tvrzení: max{cx Ax b,x 0} min{yb ya c,y 0} 1. obě úlohy mají optimální řešení a optimální hodnoty účelových funkcí jsou si rovny; 2. jedna z úloh nemá žádné přípustné řešení a druhá úloha má přípustné, ale nemá optimální řešení (účelová funkce není omezená); 3. ani jedna úloha nemá přípustné řešení. Tuto větu lze vyslovit pro úlohu lineárního programování v libovolném tvaru. Věta 1.3 Necht A je matice typu (m,n), necht b R m. Pak má soustava Ax = b nezáporné řešení, právě když pro všechna u R m splňující podmínku A T u 0 platí b T u 0.

13 Kapitola 1. Lineární programování 4 Věta 1.4 Necht M = {x R n Ax = b,x 0} /0. Jestliže existuje reálné číslo γ tak, že pro libovolné x M platí c T x γ pak existuje optimální řešení úlohy lineárního programování max{c T x Ax = b,x 0} 1.2 Geometrie lineárního programování Definice 2.1 Množinu S R n nazveme konvexní množinou 1, jestliže pro libovolné dva body x 1,x 2 S a pro libovolné α (0,1) platí αx 1 + (1 α)x 2 S Definice 2.2 Konvexní polyedrická množina (nebo také polyedr) M R n je taková množina, kterou lze vyjádřit jako průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Hraniční množiny těchto poloprostorů se nazývají vytvářející nadroviny množiny M. Věta 2.1 Množina přípustných řešení úlohy lineárního programování je konvexní polyedrická množina. Množina M optimálních řešení úlohy je rovněž konvexní polyedrická množina. max{cx Ax = b,x O} Definice 2.3 Necht S R n je libovolná množina. Bod s S nazveme krajním bodem množiny S, jestliže neexistují body x 1,x 2 S a číslo α (0,1) takové, že x 1 x 2 a s = αx 1 + (1 α)x 2. Věta 2.2 Konvexní polyedrická množina má konečný počet krajních bodů. Definice 2.4 Necht M R n je konvexní polyedrická množina a S M je neprázdná množina. Jestliže lze S vyjádřit jako průnik množiny M a těch jejich vytvářejících nadrovin, které množinu S obsahují, je S stěna množiny M. Definice 2.5 Jednorozměrná stěna se nazývá hrana. Definice 2.6 Přípustné řešení x M = {x R n Ax = b,x 0} nazveme bazickým (základním) řešením úlohy lineárního programování, jestliže jsou sloupce matice A s indexy odpovídajícími nenulovým složkám vektoru x lineárně nezávislé. Věta 2.3 Bod x M = {x R n Ax = b,x 0} je krajním bodem množiny M právě tehdy, když je bazickým řešením. v [7]. 1 Praktické příklady konvexních množin i dalších pojmů z teorie lineárního programování je možno nalézt

14 Kapitola 1. Lineární programování Simplexová metoda Simplexová 2 metoda je metoda určená k řešení úlohy lineárního programování. Základní myšlenka se dá jednoduše geomericky popsat: Předpokládejme, že známe krajní bod x 0 množiny M přípustných řešení úlohy. Z tohoto bodu vychází konečný počet hran množiny M, z nichž každá bud obsahuje jediný další krajní bod množiny M, nebo je neomezená. Jestliže na některé neomezené hraně existuje bod, pro který je hodnota účelové funkce větší než c T x 0, nemá úloha optimální řešení a postup končí. V opačném případě hledáme sousední krajní bod x 1, pro který platí c T x 1 > c T x 0. Potom stejný postup, který jsme použili pro x 0, aplikujeme na x 1. Pokud neexistuje sousední krajní bod s vlastností c T x > c T x 0, je x 0 hledaným optimálním řešením. 2 Teorie simplexové metody přesahuje rozsah této práce, proto zde nebude podrobně rozebrána. Odvození a důkazy je možné nalézt například v [11]. Detailnější popis simplexové metody obsahuje také [6].

15 Kapitola 2 Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Programů, umožňujících řešení úloh lineárního programování, je celá řada. Některé mají formu samostatného softwaru, jiné formu knihovny, dostupné prostřednictvím jiného softwarového nástroje 1. Některé balíčky nabízí obě tyto možnosti současně. Většina progamů je schopna řešit nejen úlohy lineárního programování, ale i další, složitější, optimalizační úlohy 2. Možnosti, které nabízí většina programů, jsou z velké části srovnatelné, proto nejprve vypíšu některé vlastnosti, ve kterých se navzájem mohou lišit. Poté se zmíním podrobněji o několika vybraných programech Rozdíly mezi programy Typ - Programy mohou obsahovat pouze prostředí pro vytváření modelů, solver (program, který samotný model vyřeší), nebo obě tyto součásti integrované do jednoho celku. Podporované operační systémy - Většina programů je multiplatformní, ale některé běží pouze pod určitým operačním systémem 4. Dostupnost - Optimalizační programy jsou většinou komerční, avšak nabízí zdarma trial verzi, nebo verzi pro studijní a výzkumné účely. K dostání jsou i freewarové nástroje, ty ale bývají obecně o něco pomalejší. 1 Například MATLAB, Microsoft Office Excel, TOMLAB atp. 2 Standardem je možnost řešení úloh celočíselného a smíšeného programování, tyto další typy úloh však vzhledem k zaměření a rozsahu práce nebudu dále rozebírat. 3 Srovnání programů vychází z [13]. 4 Nejčastěji programy fungují pod Windows, častěji chybí podpora Linuxu nebo Mac OS. 6

16 Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování Vybrané programy GLPK (GNU Linear Programming Kit) popis GLPK je obsahem následující kapitoly. IBM ILOG CPLEX Optimization Studio je komplexní optimalizační nástroj vyvíjený společností IBM. Pro modelování úloh používa vlastní modelovací jazyk CPLEX LP. K programu existuje obsáhlá dokumentace a je zdarma dostupný pro studijní a výzkumné účely v rámci IBM Academic Initiative[4]. MOSEK je komerční solver dostupný jako samostatný program, nebo jako knihovna pro MATLAB. MOSEK je dostupný zdarma, jako trial verze nebo ve verzi pro akademické účely. Nabízí také rozhraní pro C, Javu, Python a další. Linear Programming Solver je zdarma dostupný program, jehož hlavní devizou je jednoduché grafické uživatelské prostředí. Výstupem programu je přesný výpis kroků simplexové metody (jednotlivé simplexové tabulky), což jej činí vhodným pro vzdělávací účely. Lindo solver suite je balíček optimalizačních produktů od firmy Lindo. Součástí balíčku je What sbest! (add-in pro MS Excel), LINGO (modelovací prostředí a solver) a Lindo API (knihovna optimalizačních postupů a solverů). CLP je open-source solver úloh lineárního programování. Tento program je vyvíjený nezávislou iniciativou COIN-OR.[2] 2.3 GLPK a GUSEK GLPK GLPK (GNU Linear Programming Kit) je volně šiřitelný 5 balíček, určený pro řešení úloh lineárního a smíšeného celočíselného programování. Hlavními součástmi GLPK jsou: primární a duální simplexová metoda, primární a duální metoda vnitřních bodů, metoda větví a řezů, překladač pro GNU MathProg, 6 aplikační programové rozhraní, samostatný solver. 5 Program je součástí GNU projektu, spadá tedy pod podmínky GNU General Public Licence, je tedy možné jej volně používat, šířit i modifikovat za podmínek daných licencí. [10] 6 GNU MathProg je modelovací jazyk podporovaný GLPK.

17 Kapitola 2. Přehled programů pro řešení úlohy lineárního programování 8 Vzhledem k licenci, pod kterou je GLPK šířen, existuje několik programů, které jsou na základě GLPK postaveny. Kromě programu GUSEK, kterému se budu věnovat v následujícím textu, se jedná například o GLPK Lab. GLPK podporuje, kromě svého primárního jazyku, kterým je GNU MathProg, i vstup ve formátu CPLEX LP a MPS GUSEK Pro použití GLPK stačí obyčejný textový editor, ve kterém lze vytvořit modelové soubory a následně pomocí příkazového řádku spustit GLPK solver. Tento postup je však, zvláště pro neinformatiky, poněkud složitý. Právě proto vznikl GUSEK, což je v podstatě pouze mírně upravený editor 8 zdrojového kódu, přímo napojený na GLPK solver. Licence GUSEKu je stejná jako v případě GLPK, je tedy přístupný ke stažení 9 a používání zcela zdarma. Instalací programu se nebudu podrobně zabývat, výše přiložený odkaz je v tomhle ohledu plně dostačující. Obrázek 2.1: GUSEK GUSEK umí používat několik typů souborů, které rozlišuje na základě přípon:.mod - soubor GMPL modelu (může obsahovat i datovou část),.dat - datová část GMPL modelu,.out - výstupní soubor,.mps - model ve formátu MPS,.lp - model ve formátu CPLEX LP. 7 Popis jednotlivých formátů, tedy GMPL, CPLEX LP a MPS je obsahem následující kapitoly. 8 Informace o SciTE editoru k nalezení na [12]. 9 Další informace o stažení a instalaci GUSEKu na [1].

18 Kapitola 3 Typické příklady V této části práce uvedu názorné příklady použití programu GUSEK. Primárním modelovacím jazykem GUSEKu je GNU Math Prog, 1 proto mu bude věnována největší pozornost. Krom modelů zapsaných pomocí GMPL (GNU Mathematical Programming Language je pouze jiné označení pro GNU Math Prog) ukážu a popíšu model 2 vytvořený v CPLEX LP a MPS. 3.1 GMPL GNU Math Prog je jazyk určený k vytváření modelů matematického programování. Oficiální dokumentace je součástí instalačního balíčku GLPK i GUSEKu. GMPL je, jak již bylo zmíněno, hlavním jazykem, se kterým GUSEK pracuje, proto mu bude v následující části vyhrazen největší prostor Kapacitní problém První úlohou, jejíž řešení budu prezentovat, je jednoduchý kapacitní problém. Firma uvažuje o výrobě 3 typů výrobků (pro jednoduchost použiji označení A, B, C). K jejich výrobě potřebuje surovinu N a práci L. Jak množství suroviny na skladě, tak množství práce, je omezené. Firma dále ví, za kolik daný výrobek prodá na trhu. Úkolem je maximalizovat zisk firmy. Zadání úlohy Přejděme tedy ke konkretizaci zadání. Následující tabulka obsahuje v řádcích množství práce L a suroviny N, potřebné k vyrobení daného výrobku (sloupečky A, B, C). V posledním sloupci jsou maximální možné dostupné zdroje. Jedná se tedy o množství suroviny na skladě a dostupný pracovní čas. V posledním řádku je pak pro každý výrobek uveden zisk firmy z prodeje jednoho kusu. 1 Kompletní manuál ke GMPL je k nalezení v instalační dokumentaci, některé další informace na [3]. 2 Příklady v této částo jsou inspirovány typickými příklady v [8] a [5]. 9

19 Kapitola 3. Typické příklady 10 A B C Omezení L N Zisk Pro vytvoření modelu musíme určit proměnné, omezení a účelovou funkci. V našem případě jsou proměnné 3: x 1 - množství vyrobeného produktu A, x 2 - množství vyrobeného produktu B, x 3 - množství vyrobeného produktu C. Omezení daného modelu jsou maximální dostupné množství práce L a suroviny N. V předchozí tabulce jsou udána jednotková množství suroviny a práce, potřebná k výrobě jednotlivých výrobků. Omezení tedy zapíšeme pomocí nerovnic: x 1 + 3x 2 + 2x x 1 + x 2 + 2x Úkolem je maximalizace zisku, jde tedy o maximalizaci rovnice: zisk = 30x x x 3 Modelový soubor Nyní, když známe zadání a víme co chceme zjistit, je na čase přejít k praktické realizaci. Zadaný problém musíme zapsat pomocí GMPL. Klíčové položky, které musíme deklarovat jsou: proměnné, účelová funkce, omezení, data příslušná danému problému. Následující kód ukazuje, jak vypadá jednoduchý kapacitní problém, zapsaný v jazyce MathProg 3. 3 Čísla řádků nejsou přímou součástí kódu, jsou přidána pouze pro snazší orientaci.

20 Kapitola 3. Typické příklady 11 1 # 2 # Výrobní problém 3 # 4 # Maximalizace zisku. 5 # 6 7 /* Proměnné */ 8 var x1 >= 0; /* Množství výrobku A */ 9 var x2 >= 0; /* Množství výrobku B */ 10 var x3 >= 0; /* Množství výrobku C */ /* Účelová funkce */ 13 maximize zisk: 30*x1 + 45*x2 + 40*x3; /* Omezení */ 16 s.t. L : x1 + 3*x2 + 2*x3 <= 480; 17 s.t. N : 2*x1 + x2 + 2*x3 <= 600; end; 20 Řádky 1 až 5 jsou komentáře - cokoliv vyskytující se na řádku za křížkem (#) je považováno za komentář. Stejně tak se za komentář považuje vše, napsané mezi znaky /* a */. Takovéto komentáře se pak mohou vyskytovat kdekoliv v kódu. Jako první krok je třeba nadeklarovat proměnné. Řádky 8 až 10 deklarují proměnné x1, x2 a x3. Deklarace proměnné začíná klíčovým slovem var. MathProg umožňuje zapsat omezení proměnných přímo v jejich deklaraci (nejen >= 0, ale i jiné). Názvy proměnných mohou být libovolné alfanumerické kombinace znaků. První znak názvu však nesmí být číslo. Každý řádek kódu musí být ukončen středníkem (;). Řádek 13 specifikuje účelovou funkci. Vzhledem k tomu, že se jedná o maximalizační úlohu, je klíčovým slovem maximize, v případě minimalizační úlohy by bylo použito klíčové slovo minimize. Účelová funkce je pojmenována zisk a její hodnota je 30 x x x3. Dvojtečka (:) odděluje název účelové funkce od její definice. Řádky 16 a 17 definují omezení modelu. V našem případě se jedná o maximální množství suroviny na skladě a maxiální množství dostupné práce. Klíčové slovo s.t. (subject to) není povinnou součástí deklarace, ale zlepšuje čitelnost kódu. Jednotlivá omezení jsou pojmenována L a N. Název omezení a jeho definice jsou opět odděleny dvojtečkou (:). Každý soubor v jazyce GMPL musí končit klíčovým slovem end; (řádek 19). Za poznámku zajisté stojí fakt, že tento modelový soubor neobsahuje datovou část. To je způsobeno jednoduchostí příkladu, kdy jsou data přímou součástí deklarací proměnných a omezení. Na druhém příkladu ukážu, jak vypadá model obsahující všechny regulérní části.

21 Kapitola 3. Typické příklady 12 Řešení úlohy Pro vyřešení úlohy postupujeme v následujících krocích. Vytvořený soubor uložíme (File/Save) s příponou.mod (například vyrobni1.mod) a následně spustíme samotný GLPK solver (Tools/Go). Pokud chceme, aby GLPK vygenerovalo výstupní soubor, zatrhneme v menu Tools položku Generate Output File on Go. GLPK pak vygeneruje výstupní soubor, který pojmenuje stejně jako modelový soubor, ale s příponou.out, a uloží do složky, ve které se nachází modelový soubor. Výstupní soubor se také ihned otevře v GUSEKu. Výstupní informace Kromě výstupního souboru vyrobni1.out obsahuje některé informace i výstup, který GUSEK zobrazí v pravé polovině pracovního okna. >D:\dokumenty\škola\mat\Bc\gusek\glpsol.exe OPTIMAL SOLUTION FOUND Time used: 0.0 secs Memory used: 0.1 Mb ( bytes) Writing basic solution to vyrobni1.out... >Exit code: 0 Time: V případě chybné syntaxe modelu se právě v tomto reportu zobrazí chybová zpráva i s informací, na kterém řádku se problém nachází (po kliknutí na tuto chybovou hlášku se zbarví žlutě hlášení i řádek v kódu, kterého se týká). Pokud je model v pořádku a optimální řešení existuje, hlásí program: OPTIMAL SOLUTION FOUND. V případě, kdy úloha má přípustná řešení, ale optimální řešení neexistuje, vypíše zde GUSEK hlášení PROBLEM HAS UNBOUNDED SOLUTION, v případě, kdy neexistuje žádné přípustné řešení, a tedy ani řešení optimální, zahlásí GUSEK PROBLEM HAS NO FEASIBLE SOLUTION. Výstupní soubor Problem: vyrobni1 Rows: 3 Columns: 3 Non-zeros: 9 Status: OPTIMAL Objective: zisk = (MAXimum) No. Row name St Activity Lower bound Upper bound Marginal zisk B L NU N NU

22 Kapitola 3. Typické příklady 13 No. Column name St Activity Lower bound Upper bound Marginal x1 B x2 B x3 NL Výstupní soubor se skládá ze 4 částí 4 : informace o problému a optimální hodnota účelové funkce; přesné informace o stavu účelové funkce a omezení; přesné informace o optimálních hodnotách proměnných; informace o podmínkách optimality. Pro tento konkrétní problém tedy existuje optimální řešení, jak je vidět v první části výstupu, (Status: OPTIMAL) a jeho hodnota je Pokud by úloha optimální řešení neměla, zobrazí se zde Status: UNDEFINED nebo Status: INFEASIBLE, v závislosti na tom, zda existují přípustná řešení, ale neexistuje optimální, nebo neexistuje žádné přípustné řešení. Ve třetí části výstupního souboru vidíme, při jakých hodnotách proměnných x 1, x 2 a x 3 je optima dosaženo. Aby firma dosáhla optimálního zisku, bude vyrábět 264 kusů produktu A, 72 kusů produktu B a produkt C nebude vyrábět vůbec Směšovací problém Druhým příkladem, kterému se ve své práci budu věnovat, je směšovací problém. Firma, zabývající se zpracováním kovů, potřebuje získat dané množství dvou různých kovů (kov1, kov2). K dispozici má 3 různé slitiny (A,B,C), z nichž každá obsahuje určité množství těchto dvou kovů. Známe také cenu, za kterou firma jednotlivé slitiny nakupuje. Úkolem je získat potřebná množství kovů za co nejnižší cenu. Zadání úlohy V následující tabulce reprezentují sloupečky jednotlivé suroviny, v řádcích je pak uvedeno množství (v kilogramech) jednotlivých kovů ve 100 kilogramech suroviny a cena suroviny (v korunách), opět vztažená ke 100 kg. V posledním sloupci je pak uvedeno množství obou kovů, které firma potřebuje získat. A B C Množství Kov 1 4,5 11, Kov Cena Podrobný popis přesahuje rozsah této práce, proto vyberu jen informace, které jsou pro tuto práci významné.

23 Kapitola 3. Typické příklady 14 Můžeme tedy definovat proměnné, které se budou jmenovat: A - množství zakoupené slitiny A, B - množství zakoupené slitiny B, C - množství zakoupené slitiny C. Omezení v daném modelu jsou dvě. Jedná se o minimální požadovaná množství jednotlivých kovů: 4,5A + 11,5B + 30C A + 48B + 54C 600 Účelovou funkcí pak je součet cen jednotlivých slitin: cena = 800A B + 950C Tuto konečnou cenu chceme minimalizovat, jedná se tedy o minimalizační úlohu. Modelový soubor Modely zapsané v jazyce MathProg obvykle obsahují dvě části: modelovou a datovou. Tyto dvě části se mohou vyskytovat bud v jednom souboru (s příponou.mod) nebo ve dvou, kdy modelová část je uložena s příponou.mod a datová část je uložena s příponou.dat. Samostatný soubor pro datovou část je výhodný, pracuje-li na projektu více lidí, nebo v případě, že chceme použít jeden model na několik různých skupin dat. V tomto konkrétním příkladě jsem použil jeden soubor, který obsahuje jak modelovou část (řádky 1-25) a datovou část (řádky 26-46). 1 # 2 # Směšovací problém 3 # 4 # Minimalizace nákladů 5 # 5 7 /* Množina potřebných kovů */ 8 set SLIT; 9 10 /* Parametry */ 11 param kov1 {i in SLIT}; 12 param kov2 {i in SLIT}; 13 param cena {i in SLIT}; /* Proměnné */ 16 var x {i in SLIT} >=0; /* Účelová funkce */ 19 minimize z : sum{i in SLIT} cena[i]*x[i]; 20

24 Kapitola 3. Typické příklady /* Omezení */ 22 s.t. hmotnost : sum{i in SLIT} x[i] <= 12; 23 s.t. potreba_kov1 : sum{i in SLIT} kov1[i]*x[i] >= 210; 24 s.t. potreba_kov2 : sum{i in SLIT} kov2[i]*x[i] >= 600; data; 27 /* Datová část */ set SLIT := A B C; param kov1:= 32 A B C 30; param kov2:= 37 A B C 54; param cena:= 42 A B C 950; end; 47 Klíčová slovo set definuje množinu. Pod pojmenování množina spadá v GMPL značné množství elementů. Ve výše uvedeném kódu je množinou vektor, pojmenovaný SLIT. Množina SLIT obsahuje prvky A, B a C. Samotné hodnoty, příslušné této množině, jsou pak uvedeny až v datové části souboru (řádek 29). Dále na řádku 29 vidíme, jak se prvky množiny deklarují: set SLIT := A B C kde set je klíčové slovo, SLIT je název množiny (pro který platí stejná pravidla jako pro pojmenovávání proměnných) a prvky množiny jsou zapsány za znakem := a vzájemně se oddělují mezerou. Řádky definují parametry modelu. Parametry jsou kov1 množství kovu 1 v dané surovině, kov2 množství kovu 2 v dané surovině a cena suroviny. Tyto parametry vytvářejí datovou matici a jsou dále použity k výpočtu omezení. Jako příklad použiji parametr kov1 (tedy množství prvního kovu v jednotlivých slitinách). Tento parametr je definován na množině SLIT, takže každá slitina v této množině obsažená obsahuje určité množství prvního kovu. Nyní se podívejme na řádky 31 až 34. Zde je definice množství prvního kovu v jednotlivých slitinách. Parametr kov1 je tedy vektor délky 3, který obsahuje následující údaje: kov1[a] = 4,5; kov1[b] = 11,5; kov1[c] = 30. Zbývající parametry jsou definovány analogicky. Nyní se vrat me k definici proměnných. Ta se nachází na řádku 16. Tento řádek deklaruje 3 proměnné. Proměnnou x pro každý člen množiny SLIT (tedy x[a], x[b], x[c]). Na tomto řádku je pak ještě omezení všech proměnných, které musí být 0.

25 Kapitola 3. Typické příklady 16 Účelovou funkci definuje řádek 19. Základ deklarace je stejný jako v předchozím příkladu (klíčové slovo minimize, název funkce z a její definice následující za dvojtečkou). Rozdílné je pouze vyjádření ve tvaru funkce s využitím datové matice. Vyjádření minimize z : sum{i in SLIT} cena[i]*x[i] říká, že chceme minimalizovat sumu součinů ceny a množství jednotlivých slitin přes všechny prvky množiny SLIT. Omezení na řádcích 22 až 24 je deklarováno obdobně. Jako příklad uvedu omezení potreba kov1. Opět sčítáme přes všechny prvky množiny SLIT, tentokát však součin množství prvního kovu v dané slitině a množství použité slitiny (kov[a] * x[a]). Řešení úlohy V případě, kdy je datová část součástí modelového souboru, je postup řešení úlohy shodný s postupem v předchozí sekci. Proto se ted zaměřím na situaci, kdy chceme datový a modelový soubor oddělit. Samotný kód zůstává stejný, pouze z modelového souboru vyjmeme řádky 26 až 45 a uložíme je do nového souboru, na jehož konec ještě doplníme klíčové slovo end. Tento soubor pak uložíme s příponou.dat (například smesovaci.dat). Pro jednoduchost je vhodné, aby se modelový a datový soubor jmenovaly stejně (samozřejmě s vyjímkou přípony). Pokud se oba tyto soubory jmenují stejně a nachází se ve stejné složce, stačí před spuštěním modelování (pomocí příkazu Go) zatrhnout v menu Tools položku Use External.dat. Pokud bychom chtěli, aby se datový soubor jmenoval jinak než soubor modelový, musíme nejprve otevřít datový soubor, v menu Tools vybrat možnost Use as Default.dat File. Tento datový soubor pak bude považován za defaultní pro všechny modelové soubory bez ohledu na jejich název, dokud takto nevybereme jiný datový soubor, nebo pamět nevyčistíme příkazem Clear Extra.dat Files, opět v menu Tools. Výstup Výstupní informace i výstupní soubor jsou ekvivalentní výstupům v minulém příkladu, proto jejich přesný popis tentokrát nebudu uvádět. Omezím se pouze na informaci, ohledně řešení úlohy. Příklad má opět optimální řešení, jehož hodnoty jsou: množství použité slitiny A je 5,15 kg, slitina B použita nebude, množství použité slitiny C je 6,22 kg. Při této kombinaci vstupních slitin, dosáhneme optimální ceny surovin, která je 10052,4 korun. 3.2 MPS MPS je sloupcově orientovaný formát, určený pro zápis modelů lineárního a celočíselného programování. V současnosti nepatří mezi nejpoužívanější, ale je velmi univerzálně akceptovaný mnoha programy (jak komerčními, tak ostatními).

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Bakalářské, diplomové a rigorózní práce odevzdávané k obhajobě na Přírodovědecké

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení Vzor textu na deskách bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rok Jméno Příjmení Vzor titulní strany bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Více

5.Profesionální optimalizační systémy

5.Profesionální optimalizační systémy 5.Profesionální optimalizační systémy Řešení reálných optimalizačních úloh, které často obsahují tisíce i desítky tisíc proměnných i omezujících podmínek, není myslitelné bez vysoce výkonných optimalizačních

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Vzor textu na deskách diplomové práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Jméno Příjmení

Vzor textu na deskách diplomové práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Jméno Příjmení Vzor textu na deskách diplomové práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Rok Jméno Příjmení Vzor titulní strany diplomové práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Univerzita Karlova v Praze

Univerzita Karlova v Praze [Vzor: Pevná deska bakalářské práce není součástí elektronické verze] Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rok Jméno a příjmení autora [Vzor :Titulní strana bakalářské

Více

Úvod do programovacího jazyka Python

Úvod do programovacího jazyka Python Úvod do programovacího jazyka Python Co je to Python? Python je objektově-orientovaný programovací jazyk. Tento programovací jazyk je velice výkonný, čitelný a dá se snadno naučit. Jeho použití je velice

Více

14.4.2010. Obsah přednášky 7. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7. Parametry metod. Parametry, argumenty. Parametry metod.

14.4.2010. Obsah přednášky 7. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7. Parametry metod. Parametry, argumenty. Parametry metod. Základy programování (IZAPR) Přednáška 7 Ing. Michael Bažant, Ph.D. Katedra softwarových technologií Kancelář č. 229, Náměstí Čs. legií Michael.Bazant@upce.cz Obsah přednášky 7 Parametry metod, předávání

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Univerzita Karlova v Praze

Univerzita Karlova v Praze [Vzor: Pevná deska diplomové práce není součástí elektronické verze] [Verze 3/2013 platná od 18.3.2013 dostupná z http://www.mff.cuni.cz/studium/bcmgr/prace] Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Znak Slovy Popis Zdroj Výsledek Formátova cí řetězec v CZ verzi Excelu

Znak Slovy Popis Zdroj Výsledek Formátova cí řetězec v CZ verzi Excelu řetězec v Všeobecný Odpovídá obecnému formátu - čísla i text bude zarovnán dle kontextu (při nastavení češtiny tedy Excel zarovná text doleva, čísla a časové údaje doprava). Tento formát nemusíme zadávat

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML ROZHRANÍ ESA XML Ing. Richard Vondráček SCIA CZ, s. r. o., Thákurova 3, 160 00 Praha 6 www.scia.cz 1 OTEVŘENÝ FORMÁT Jednou z mnoha užitečných vlastností programu ESA PT je podpora otevřeného rozhraní

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v

DSL manuál. Ing. Jan Hranáč. 27. října 2010. V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v DSL manuál Ing. Jan Hranáč 27. října 2010 V této kapitole je stručný průvodce k tvorbě v systému DrdSim a (v současné době krátký) seznam vestavěných funkcí systému. 1 Vytvoření nového dobrodružství Nejprve

Více

WSH Windows Script Hosting. OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007

WSH Windows Script Hosting. OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007 WSH Windows Script Hosting OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007 Co je skript? Skriptování nástroj pro správu systému a automatizaci úloh Umožňuje psát skripty jednoduché interpretované programové

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma

Seznam funkcí pro kurz EXCEL I. Jaroslav Nedoma Seznam funkcí pro kurz EXCEL I Jaroslav Nedoma 2010 Obsah ÚVOD... 3 SUMA... 4 PRŮMĚR... 6 MIN... 8 MAX... 10 POČET... 12 POČET2... 14 ZAOKROUHLIT... 16 COUNTIF... 18 SVYHLEDAT... 22 2 ÚVOD Autor zpracoval

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony Číslo didaktického materiálu Druh didaktického materiálu Autor Jazyk Téma sady didaktických materiálů Téma didaktického materiálu Vyučovací předmět Cílová skupina (ročník) Úroveň

Více

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech

7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech 7 Formátovaný výstup, třídy, objekty, pole, chyby v programech Studijní cíl Tento studijní blok má za cíl pokračovat v základních prvcích jazyka Java. Konkrétně bude věnována pozornost formátovanému výstupu,

Více

Nástroje pro analýzu dat

Nástroje pro analýzu dat 7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

2 Datové typy v jazyce C

2 Datové typy v jazyce C 1 Procedurální programování a strukturované programování Charakteristické pro procedurální programování je organizace programu, který řeší daný problém, do bloků (procedur, funkcí, subrutin). Původně jednolitý,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Kód. Proměnné. #include using namespace std; int main(void) { cout << "Hello world!" << endl; cin.get(); return 0; }

Kód. Proměnné. #include <iostream> using namespace std; int main(void) { cout << Hello world! << endl; cin.get(); return 0; } Jazyk C++ Jazyk C++ je nástupcem jazyka C. C++ obsahuje skoro celý jazyk C, ale navíc přidává vysokoúrovňové vlastnosti vyšších jazyků. Z toho plyne, že (skoro) každý platný program v C je také platným

Více

JAK PROPOJIT R-KO a EXCEL aneb Aby se uživatel nasytil a statistik zůstal celý

JAK PROPOJIT R-KO a EXCEL aneb Aby se uživatel nasytil a statistik zůstal celý JAK PROPOJIT R-KO a EXCEL aneb Aby se uživatel nasytil a statistik zůstal celý Ondřej Vencálek listopad 2008 Motivace Jak to udělat, aby se panu doktorovi ušetřila práce, a přitom aby se nemusel učit R-ko?

Více

Prezentační prostředky v matematice

Prezentační prostředky v matematice Seminární práce z předmětu: Grafika na počítači Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy v Praze v Praze 2012 Obsah seminární práce 1 Cíle seminární práce 2 Microsoft Office PowerPoint 2000, 2007 OpenOffice

Více

MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ÚLOH VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ

MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ÚLOH VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV INFORMATIKY FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF INFORMATICS MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ÚLOH VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ

Více

ZSF web a intranet manuál

ZSF web a intranet manuál ZSF web a intranet manuál Verze pro školení 11.7.2013. Návody - Jak udělat...? WYSIWYG editor TinyMCE Takto vypadá prostředí WYSIWYG editoru TinyMCE Jak formátovat strukturu stránky? Nadpis, podnadpis,

Více

Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ

Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ Výukový materiál KA č.4 Spolupráce se ZŠ Modul: Téma workshopu: Výpočetní technika Co je to internet? Jak si udělat vlastní www stránku? Vypracovala: Ing. Lenka Hellová Termín workshopu: 30. říjen 2012

Více

Tiskové sestavy. Zdroj záznamu pro tiskovou sestavu. Průvodce sestavou. Použití databází

Tiskové sestavy. Zdroj záznamu pro tiskovou sestavu. Průvodce sestavou. Použití databází Tiskové sestavy Tiskové sestavy se v aplikaci Access používají na finální tisk informací z databáze. Tisknout se dají všechny objekty, které jsme si vytvořili, ale tiskové sestavy slouží k tisku záznamů

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Tvorba webových stránek

Tvorba webových stránek Tvorba webových stránek Kaskádové styly Úprava vzhledu webové stránky pomocí atributů má několik nevýhod a úskalí. Atributy nabízejí málo možností úprav. Obtížně se sjednocují změny na různých částech

Více

Úvod. Program ZK EANPRINT. Základní vlastnosti programu. Co program vyžaduje. Určení programu. Jak program spustit. Uživatelská dokumentace programu

Úvod. Program ZK EANPRINT. Základní vlastnosti programu. Co program vyžaduje. Určení programu. Jak program spustit. Uživatelská dokumentace programu sq Program ZK EANPRINT verze 1.20 Uživatelská dokumentace programu Úvod Základní vlastnosti programu Jednoduchost ovládání - umožňuje obsluhu i málo zkušeným uživatelům bez nutnosti většího zaškolování.

Více

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva Základní seminář 6. října 2009 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická

Více

1. Programování proti rozhraní

1. Programování proti rozhraní 1. Programování proti rozhraní Cíl látky Cílem tohoto bloku je seznámení se s jednou z nejdůležitější programátorskou technikou v objektově orientovaném programování. Tou technikou je využívaní rozhraní

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

3MA481 Propojení Accessu a Excelu David Hach

3MA481 Propojení Accessu a Excelu David Hach Popis práce Tato práce se zabývá propojením aplikací MS Office s pomocí kódů ve VBA. V tomto konkrétním příkladě je znázorněn případ komunikace mezi programy MS Access 2007 a MS Excel 2007. Díky možnostem

Více

1. Obsah 2. Úvod Zdarma poštovní klient od společnosti Microsoft přímo v PC

1. Obsah 2. Úvod Zdarma poštovní klient od společnosti Microsoft přímo v PC 1. Obsah 1. Obsah... 1 2. Úvod... 1 3. Instalace... 2 4. Vytvoření účtu... 5 5. Pošta... 7 6. Kontakty... 11 7. Informační kanály... 11 8. Nastavení zobrazení... 12 2. Úvod Zdarma poštovní klient od společnosti

Více

22. Tvorba webových stránek

22. Tvorba webových stránek 22. Tvorba webových stránek Webové stránky jsou spolu s elektronickou poštou nejpoužívanější prostředky internetu. Brouzdáme li internetem používáme nějaký prohlížeč. To, co vidíme na obrazovce v prohlížeči

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

DATABÁZE MS ACCESS 2010

DATABÁZE MS ACCESS 2010 DATABÁZE MS ACCESS 2010 KAPITOLA 5 PRAKTICKÁ ČÁST TABULKY POPIS PROSTŘEDÍ Spuštění MS Access nadefinovat název databáze a cestu k uložení databáze POPIS PROSTŘEDÍ Nahoře záložky: Soubor (k uložení souboru,

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Databázové aplikace pro internetové prostředí. 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku

Databázové aplikace pro internetové prostředí. 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku Databázové aplikace pro internetové prostředí 01 - PHP úvod, základní princip, vkládání skriptu, komentáře, výpis na obrazovku Projekt: Inovace výuky prostřednictvím ICT Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.250

Více

a instalace programu COMSOL Multiphysics

a instalace programu COMSOL Multiphysics a instalace programu COMSOL Multiphysics Síťová licence (FNL) Stažení instalace Po úspěšném vytvoření Access Accountu (Uživatelského účtu), návod naleznete na odkazu níže: www.humusoft.cz/link/comsol-access

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Střední průmyslová škola Ostrov ROČNÍKOVÁ PRÁCE. Webové stránky na téma škola. Třída. Školní rok 2014/2015 Daniel Snášel

Střední průmyslová škola Ostrov ROČNÍKOVÁ PRÁCE. Webové stránky na téma škola. Třída. Školní rok 2014/2015 Daniel Snášel Střední průmyslová škola Ostrov ROČNÍKOVÁ PRÁCE Webové stránky na téma škola Studijní obor Informační technologie Třída I2 Školní rok 2014/2015 Daniel Snášel Prohlášení autora Prohlašuji, že jsem tuto

Více

7. Enterprise Search Pokročilé funkce vyhledávání v rámci firemních datových zdrojů

7. Enterprise Search Pokročilé funkce vyhledávání v rámci firemních datových zdrojů 7. Enterprise Search Pokročilé funkce vyhledávání v rámci firemních datových zdrojů Verze dokumentu: 1.0 Autor: Jan Lávička, Microsoft Časová náročnost: 30 40 minut 1 Cvičení 1: Vyhledávání informací v

Více

Základy XML struktura dokumentu (včetně testových otázek)

Základy XML struktura dokumentu (včetně testových otázek) Základy XML struktura dokumentu (včetně testových otázek) Otakar Čerba Oddělení geomatiky Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Přednáška z předmětu Počítačová kartografie

Více

Software. Placený, nebo zdarma? Ing. Simona Martínková Masarykovo gymnázium, Plzeň

Software. Placený, nebo zdarma? Ing. Simona Martínková Masarykovo gymnázium, Plzeň Software Placený, nebo zdarma? Ing. Simona Martínková Masarykovo gymnázium, Plzeň Obsah Co je to software Základní dělení software Počítačový program a autorský zákon Užitečné adresy a zdroje informací

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Výnos děkana č. 8/2010

Výnos děkana č. 8/2010 Filozofická fakulta UHK Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové Sídlo fakulty: Nám. Svobody 331, Hradec Králové www.uhk.cz/ff Mgr. Petr Grulich, Ph.D. tel. 493 331 201 děkan e-mail: petr.grulich@uhk.cz

Více

Licence software. Přednáška číslo 10

Licence software. Přednáška číslo 10 Licence software Přednáška číslo 10 Přehled softwarových licencí Snaha odstranit zmatení pojmů free software X public domain Nelze podat úplný výčet objevují se nové druhy licencí lišící se v detailech

Více

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS 1. Úvod... 2 2. Základní pojmy... 3 3. Vytvoření databáze... 5 4. Základní objekty databáze... 6 5. Návrhové zobrazení tabulky... 7 6. Vytváření tabulek... 7 6.1. Vytvoření tabulky

Více

Z. Kotala, P. Toman: Java ( Obsah )

Z. Kotala, P. Toman: Java ( Obsah ) Z. Kotala, P. Toman: Java ( Obsah ) 13. Výjimky Výjimka (exception) je definována jako událost, která nastane během provádění programu a která naruší normální běh instrukcí. Výjimka je vyvolána například

Více

MATLAB & Simulink. novinky v roce 2008. Jan Houška houska@humusoft.cz. HUMUSOFT s.r.o.

MATLAB & Simulink. novinky v roce 2008. Jan Houška houska@humusoft.cz. HUMUSOFT s.r.o. MATLAB & Simulink novinky v roce 2008 Jan Houška houska@humusoft.cz Release 2008a a 2008b nové produkty SimElectronics Econometrics Toolbox významné aktualizace MATLAB Symbolic Math Toolbox Parallel Computing

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence

Více

Typy souborů ve STATISTICA. Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu

Typy souborů ve STATISTICA. Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu StatSoft Typy souborů ve STATISTICA Tento článek poslouží jako přehled hlavních typů souborů v programu STATISTICA, ukáže Vám jejich možnosti a tím Vám dovolí využívat program efektivněji. Jistě jste již

Více

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Martin Fajkus Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky, Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce:

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0185. Název projektu: Moderní škola 21. století. Zařazení materiálu: Ověření materiálu ve výuce: STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA A STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ NERATOVICE Školní 664, 277 11 Neratovice, tel.: 315 682 314, IČO: 683 834 95, IZO: 110 450 639 Ředitelství školy: Spojovací 632, 277 11 Neratovice tel.:

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu:

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_01_ACCESS_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

NÁVOD NA OBSLUHU INTERNETOVÉ PREZENTACE. Ataxo Czech s.r.o.

NÁVOD NA OBSLUHU INTERNETOVÉ PREZENTACE. Ataxo Czech s.r.o. NÁVOD NA OBSLUHU INTERNETOVÉ PREZENTACE Ataxo Czech s.r.o. ÚVOD Internetové stránky vytvořené společností Ataxo v rámci produktu Mini web můžete jednoduše a rychle upravovat prostřednictvím on-line administrace.

Více

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace

MS OFFICE MS WORD. Editor rovnic - instalace MS OFFICE Může se zdát, že užití kancelářského balíku MS Office při výuce fyziky nepřesahuje běžné aplikace a standardní funkce, jak jsou popsány v mnoha příručkách ke všem jednotlivým částem tohoto balíku.

Více

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách Dimenzování těles Dialogové okno Dimenzování těles lze otevřít z programu TZ (tepelné ztráty), z programu DIMOS_W a také z programu DIMTEL. Při spuštění z programu TZ jsou nadimenzovaná tělesa uložena

Více

Instalace produktu Ontopia. ver. 5.0.2 (open-source verze)

Instalace produktu Ontopia. ver. 5.0.2 (open-source verze) Instalace produktu Ontopia ver. 5.0.2 (open-source verze) Martina Husáková 1.2.2010 PÁR SLOV ÚVODEM Produkt společnosti Bouvet Ontopia (dříve Ontopia Knowledge Suite OKS) je jedním z nejpoužívanějších

Více

Komprimace/Dekomprimace

Komprimace/Dekomprimace Základy programování Zápočtový projekt Komprimace/Dekomprimace souborů 1 Úvod Tento dokument slouží jako uživatelská příručka a technická dokumentace k programu realizujícímu komprimaci a zpětnou dekomprimaci

Více

MS Excel 2010. Základy maker. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt Zvyšování IT gramotnosti zaměstnanců vybraných fakult MU

MS Excel 2010. Základy maker. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt Zvyšování IT gramotnosti zaměstnanců vybraných fakult MU MS Excel 2010 Základy maker Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Projekt Zvyšování IT gramotnosti zaměstnanců vybraných fakult MU Registrační číslo: CZ.1.07/2.2.00/15.0224, Oblast podpory:

Více

Microsoft Access tvorba databáze jednoduše

Microsoft Access tvorba databáze jednoduše Microsoft Access tvorba databáze jednoduše Časový rozsah: 2 dny (9:00-16:00) Cena: 3300 Kč + DPH Úvod do relačních databází. Funkce databázových objektů Microsoft Access. Návrh tabulek, definice základních

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Open Source Programování

Open Source Programování Softwarové licence Open Source Programování http://rtime.felk.cvut.cz/osp/ Pavel Píša http://cmp.felk.cvut.cz/~pisa Michal Sojka František Vacek DCE FEL ČVUT Copyright 2004 2010, Pavel

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

Postup: Nejprve musíme vyplnit tabulku. Pak bude vypadat takto:

Postup: Nejprve musíme vyplnit tabulku. Pak bude vypadat takto: Úkol: Jednoduchá tabulka v Excelu Obrázky jsou vytvořené v Excelu verze 2003 CZ. Postupy jsou platné pro všechny běžně dostupné české verze Excelu s výjimkou verze roku 2007. Postup: Nejprve musíme vyplnit

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání

Čtvrtek 3. listopadu. Makra v Excelu. Obecná definice makra: Spouštění makra: Druhy maker, způsoby tvorby a jejich ukládání Čtvrtek 3. listopadu Makra v Excelu Obecná definice makra: Podle definice je makro strukturovanou definicí jedné nebo několika akcí, které chceme, aby MS Excel vykonal jako odezvu na nějakou námi definovanou

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 3 6/14

ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ. Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 3 6/14 ZÁKLADY PROGRAMOVÁNÍ Mgr. Vladislav BEDNÁŘ 2013 3 6/14 Co je vhodné vědět, než si vybereme programovací jazyk a začneme programovat roboty. 1 / 11 0:40 Legální a nelegální operační systém a software Počítačové

Více

Jak psát bakalářskou práci v DocBooku

Jak psát bakalářskou práci v DocBooku VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Jak psát bakalářskou práci v DocBooku Bakalářská práce Jiří Kosek Vedoucí práce: Prof. Ing.

Více

Angličtina program k procvičování slovní zásoby

Angličtina program k procvičování slovní zásoby Středoškolská technika 2011 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT Angličtina program k procvičování slovní zásoby Kamil Hanus Střední průmyslová škola elektrotechniky a informačních

Více

Nápověda a postupy. Instalace a aktivace PDF-XChange Viewer Pro. Instalace a aktivace software. Nápověda a postupy. 1 z 9 27.8.

Nápověda a postupy. Instalace a aktivace PDF-XChange Viewer Pro. Instalace a aktivace software. Nápověda a postupy. 1 z 9 27.8. Nápověda a postupy Zde najdete návody a tipy pro práci, které Vám mohou usnadnit práci s produkty PDF-XChange. V případě, že si myslíte, že by zde neměl některý dotaz nebo problematika chybět, napište

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více