Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní. Semestrální práce z Matematického Modelování

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní Semestrální práce z Matematického Modelování Dynamika pohybu rakety v 1D Vypracoval: Pavel Roud Obor: Technologie obrábění e mail:stu85@seznam.cz 1

2 1.Úvod Bilance sil Vertikální síly Horizontální síly Představení jednoduchého modelu Pohyb rakety bez odporu prostředí Pohyb rakety s odporem prostředí Použité zdroje

3 1 Úvod Raketa je těleso, které v závislosti na čase mění svoji hmotnost a díky tomu i rychlost. Základní schéma rakety je na obr.1. Raketa je nejčastěji konstruována jako vícestupňová. Důvodem je co největší úspora hmotnosti. Část ve které již bylo vyčerpáno palivo je zbytečná a pouze způsobuje zbytečnou zátěž. Samotná hmotnost rakety je tvořena z 90% hmotností paliva, zbytek tvoří samotná konstruktce, včetně přídavných látek ( výbušniny, zařízení pro sběr dat apod.). Obr. 1 Rakety můžeme rozdělit podle několika hledisek: Dle dráhy letu o S plochou o Vertikální o Po balistické křivce nejčastější Dle paliva o Jednosložkové o Dvou složkové o Vícesložkové Tuhé motory používající toto palivo se vyznačují jednoduchou konstrukcí a dosahují vysokého tahu a spolehlivosti. Palivo je umístěno ve spalovací komoře a je nazýváno zrnem. Kromě směsi zrna je možné tah motoru ovlivňovat jeho tvarem. Kapalné předností je vyšší výkon, menší hmotnost, možnost řídit velikost a směr tahu v širokém rozsahu, včetně restartu. Nevýhodou je konstrukční složitost tudíž vyšší cena. Hybridní jedna složka pohonné látky v tuhém skupenství a druhá v kapalném. Mají vysoký specifický impuls, lze u nich regulovat tah a restartovat je. Ve spalovací komoře je blok paliva tvořen práškovým kovem (stačí levný hliník) a pojivem. Do komory se vstřikuje kapalné okysličovadlo, například kapalný kyslík nebo fluór 3

4 Dle probíhají reakce o Chemické výkonné, lehké a jednoduché o Jaderné při reakci se uvolňuje x10 6 více energie než při chemickém reakci o Elektrické pracovní látka se zrychluje elektrickou energií ze zdroje, který si raketa nese s sebou Velikost rychlosti na použitém palivu udává Tab.1. Palivo Okysličovadlo Výtoková rychlost [m/s] černý prach 2360 benzín tekutý kyslík 4377 benzín tekutý ozon 4888 benzín peroxid vodíku 3640 benzín kyselina dusičná 3450 etylalkohol kyslík 4164 benzol kyslík 4450 pentan kyslík 4455 vodík kyslík 5180 Dalšími charakteristikami je maximální dolet, maximální výška od země tzv. apogeum. Tyto charakteristiky se vztahují na balistické střely pohybující se po balistické křivce. Nejdůlěžitějším parametrem je tzv. specifický impuls raketového motoru [Ns/kg]. Uvádí velikost tahu, který vyvine daný raketový motor, v němž spálíme kilogram pohonné látky za sekundu. Jinými slovy: tah je přibližně roven součinu specifického impulsu a sekundové spotřeby pohonných látekněkdy také nazývané reaktivita paliva. Specifický impuls motoru je ovlivněn řadou faktorů, z nichž některé jsou dány vlastnostmi použitých pohonných látek, jiné konstrukčním řešením. Nejvhodnější jsou pohonné látky s minimální hmotností a maximální spalnou teplotou. Technici pochopitelně usilují o použití materálů, které tuto teplotu vydrží, a o lehkou konstrukci, umožňující ve spalovací komoře vyvinout vysoký tlak a naopak dosáhnout téměř nulový tlak na výstupu z trysky. 4

5 2 Bilance sil Pro popis pohybu rakety se používá 1. Impulsový zákon: Kde: [p(t)] hybnost tělesa v čase t Ns [Fc] celková působí síla N Hybnost tělesa je dána součinem jeho hmotnosti a rychlosti, jež jsou obecně v čase proměnné. pt mtvt Kde: [m(t)] hmotnost tělesa v čase t kg [v(t)] rychlost tělesa v čase t m/s Celková působící síla, znamená výslednici sil, které na těleso působí. Tyto síly můžeme podle směru rozdělit na Vertikální Horizontální 2.1 Vertikální síly Jednou ze sil působících na raketu je gravitační síla, která táhne těleso směrem dolů. Její velikost lze určit z Newtonova zákona síly: Kde: je zrychlení tělesa, V konkrétním případě [a]=g =m/s 2 [m] hmotnost tělesa kg Silou jež působí proti gravitační síle je vztlaková síla Fz a tu lze obdržet dosazením do věty Kutta Žukovského: Гaρ Kde: Г cirkulace m 3/ s [a] rychlost proudícího média (vzduchu) [m/s] ρ hustota média[kg/m 3 ] 5

6 2.2 Horizontální síly Mezi horizontální síly patří reaktivní síla motoru, která způsobuje pohyb rakety. Tato síla je úměrná relativní rychlosti spalin [m/s] a reaktivitě paliva, resp. jeho hmotnostnímu toku r[kg/s]. r Rozměrová analýza: N Podle prostředí ve kterém se raketa pohybuje, působí na ni odporová síla, která může nabývat hodnot Kde: 0 pro prostředí, které neklade žádný odpor vakuum, nebo neuvažujeme vliv prostředí 0 o Konstantní o Proměnná V závislosti na jednom parametru např. ρ pak ρ 1 ρ 2 ρ hustota prostředí ρ hustota referenčního prostředí odporová síla referenčního prostředí Rozměrová analýza : N N K K 1 V závislosti na více parametrech ρ,, pak ρ Kde: součinitel odporu prostředí [ ] ρ hustota prostředí [kg/m 3 ] S x plocha v normálném směru na kterou odpor prostředí působí [m 2 ] rychlost [m/s] Rozměrová analýza: N kgm m ms kgms 6

7 3 Představení jednoduchého modelu Raketa s plochou dráhou letu má prorazit stěnu o šířce l a hustotě ρ. Na základě znalosti fyzikálních zákonitostí se má stanovit změna rychlosti rakety v závislosti na čase a odporu prostředí, která brání pohybu rakety konst. silou. Jako další zjednodušující podmínka je rovnováha mezi gravitační a vztlakovou silou a proto se pohyb rakety odehrává pouze v horizontální rovině. Dalším zjednodušujícím předpokladem je vypotřebování veškerého paliva v době nárazu. Dalšími parametry jež se mají stanovit: potřebná rychlost rakety k proražení stěny určit dobu do vyhoření paliva pokud je uvažován odpor prostředí, jak je nutné změnit relativní rychlost spalin nebo reaktivitu paliva, aby byla proražena stěna o dané šířce pokud tah rakety změnit nelze, jak se změní její rychlost a jak se změní tlouštka stěny, která raketa bude schopná prorazit Použité symboly : [kg] počáteční hmotnost paliva [kg] hmotnost vlastní konstrukce rakety [kg] celková hmotnost rakety [kg] hmotnost rakety v čase t r [kg/s] reaktivita paliva [N] reaktivní síla motoru rakety [m/s] relativní rychlost spalin vycházejících z motoru [m/s] rychlost rakety v čase t [J] koncová kinetická energie [J] počáteční kinetická energie W [J] práce odporové síly ρ ZDI [km/m 3 ] hustota zdi [N] odporová síla zdi [m] šířka zdi ρ VZD [km/m 3 ] hustota vzduchu [N] odporová síla vzduchu 7

8 3.1 Pohyb rakety bez odporu prostředí Doba do vyhoření paliva První impulsový zákon Derivací podle dt Vznikne diferenciální rovnice prvního řádu: Úpravou za : Řešení dif. Rovnice pomocí metody Variace konstant: 1 ln ln ln ln Derivací podle dt : Dosazením do dif. Rovnice: m t C mt m t C mt Dosazením do v(t): mt Mrt 8

9 Potřebná rychlost pro proražení stěny se vypočte za zákonu o změně kinetické energie tělesa: Uvažuje se, že v době nárazu došlo palivo Potřebná rychlost spalin ρ ZDI ρ VZD Mr 3.2 Pohyb rakety s odporem prostředí Bude se uvažovat konstantní síla, která klade odpor proti pohybu rakety. Tzn., že na pravé straně rovnice přibude člen Proto bude rovnice pro první impulsový zákon ve tvaru: Použijí se stejné úpravy jako v případě pohybu raket bez odporu prostředí: Dostáváme diferenciální rovnici prvního řádu: Úpravou za : Řešení dif. Rovnice pomocí metody Variace konstant: 1 ln ln ln ln 9

10 Derivací podle dt : m t C mt Dosazením do dif. Rovnice: C m t mt Dosazením do v(t): mt Mrt Pokud má raketa prorazit stěnu musí mít stejnou rychlost jako v případě bez uvažování odporu prostředí. Proto se musí zvýšit buď relativní rychlost spalin nebo použít palivo o větší reaktivitě r. Pro případ, že použité palivo bude stejné, je potřebná relativní rychlost spalin: Pokud rychlost spalin změnit nelze, (kvůli konstrukci), nutná reaktivita paliva r: V případě, že nelze změnit ani jeden z parametrů bude maximální tlouštka stěny, kterou raketa bude schopná prorazit odvozena ze zákona o změně kinetické energie:

11 4 Použité zdroje [1] MÍKA,S. Texty z aplikované matematiky:matematické modelování,plzeň 2006 [2] KUCHTA,R. Texty z přednášek Technická Fyzika pro FST,Plzeň 2004 [3] Balistické rakety [4] Co žene rakety vzhůru 11