JIHOČESKÁ UNIVERZITA, PEDAGOGICKÁ FAKULTA ÚVOD DO STATISTIKY. Tomáš MRKVIČKA, Vladimíra PETRÁŠKOVÁ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "JIHOČESKÁ UNIVERZITA, PEDAGOGICKÁ FAKULTA ÚVOD DO STATISTIKY. Tomáš MRKVIČKA, Vladimíra PETRÁŠKOVÁ"

Transkript

1

2 JIHOČESKÁ UNIVERZITA, PEDAGOGICKÁ FAKULTA ÚVOD DO STATISTIKY Tomáš MRKVIČKA, Vladimíra PETRÁŠKOVÁ ČESKÉ BUDĚJOVICE 2006

3 Recenzenti: prof. RNDr. Jindřich Klůfa, CSc., doc. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. c Tomáš Mrkvička, Vladimíra Petrášková, 2006 ISBN

4 Obsah 1 Zpracování statistického materiálu Rozloženíčetnostíajejichznázornění Charakteristikypolohy Charakteristikyvariability Teorie pravděpodobnosti Náhodnéveličiny Náhodnévektory Základnírozdělenínáhodnýchveličin Normálnírozděleníarozděleníznějodvozená Pearsonovorozdělení Studentovorozdělení Fisherovo-Snedecorovorozdělení

5 2 OBSAH 2.5 Kritickéhodnoty Náhodný výběr 35 4 Odhady parametrů Intervalové odhady pro parametry normálního rozdělení IntervalovýodhadstředníhodnotypomocíCLV Parametrické testy Jednovýběrovýttest Testorozptylunormálníhorozdělení Párovýttest Dvouvýběrovýttest Testshodnostidvourozptylů Porovnávání středních hodnot při nestejných rozptylech TestostředníhodnotěpomocíCLV Neparametrické testy Znaménkovýtest JednovýběrovýWilcoxonůvtest DvouvýběrovýWilcoxonůvtest... 63

6 OBSAH 3 7 Porovnání více výběrů Analýzarozptylujednoduchéhotřídění Kruskalův-Wallisůvtest Analýzarozptyludvojnéhotřídění Friedmanůvtest Lineární regrese Lineárníregresesjednouvysvětlujícíproměnnou Lineárníregresesvícevysvětlujícímiproměnnými Polynomiálníregrese Nelineárníregrese Korelační analýza Výběrovýkorelačníkoeficient Spearmanůvkorelačníkoeficient Testy dobré shody Pearsonův χ 2 test Testnormality TestPoissonovarozdělení

7 4 OBSAH 10.4 Kolmogorovův-Smirnovůvjednovýběrovýtest Kontingenční tabulky Testnezávislosti Testhomogenitymultinomickýchrozdělení Test χ 2 večtyřpolníchtabulkách Fisherůvfaktoriálovýtest McNemarůvtest Testsymetrie Statistické tabulky 123

8 Předmluva Statistika je v dnešní době nedílnou součástí každodenního života. Setkáváme se s ní na každém kroku(např. při zpracování výsledků sčítání lidu, voleb, při zpracování výsledků získaných laboratorní cestou atd.). Díky množství zpracovávaných dat se dnes do popředí zájmu dostává statistický software, bez kterého bychom se neobešli. Užití statistického softwaru má však svá úskalí. Člověk, který neovládá základy teorie z oblasti statistky a který se zaměří pouze na počítačové zpracování dat(včetně jejich interpretace), může dojít k chybným závěrům. I statistické testy mají totiž své předpoklady, bez jejichž ověření užití testu nemusí vést ke správnému výsledku. Cílem této knihy je podat ucelený přehled o základních statistických testech, které jsou nedílnou součástí každého statistického software. Kniha je určena pro všechny, kteří se chtějí seznámit se základy statistiky. V úvodních částech knihy jsou stručně shrnuty základy teorie pravděpodobnosti. Poté následují parametrické testy a neparametrické testy, základy analýzy rozptylu, korelační analýza, testy dobré shody a základní testy v kontingenčních tabulkách. Jednotlivé kapitoly jsou doprovázeny řešenými příklady, které čtenáři napomohou k lepšímu pochopení dané problematiky. V závěru knihy jsou uvedeny statistické tabulky, které napomáhají tomu, že kniha je relativně samostatná. Autoři chtějí také touto cestou poděkovat recenzentům prof. RNDr. JindřichuKlůfovi,CSc.adoc.RNDr.PavluTlustému,CSc.zapřečtenítextua cenné připomínky. V Českých Budějovicích v listopadu 2006 Tomáš Mrkvička a Vladimíra Petrášková 5

9 6 OBSAH

10 Kapitola 1 Zpracování statistického materiálu Dříve než se začneme zaobírat základními statistickými metodami, definujeme základní pojmy z oblasti zpracování statistického materiálu. Definice 1.1 Definujme následující pojmy: 1.Statistickýmsouboremnazývámesouborreálnýchčíselx 1,...,x n.kterými mohou být například výsledky nějakých měření nebo pokusů. 2. Argumentem statistického souboru budeme nazývat znak příslušející jednotlivým reálným číslům. Například výšku, váhu, IQ Celkový počet(n) všech prvků uvažovaného souboru nazýváme rozsahem souboru. Prostývýpishodnotstatistickéhosouboru x 1,...,x n jeprovětší nzcela nepřehledný, je proto třeba informaci o tomto souboru zkoncentrovat do 7

11 8 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU menšího počtu ukazatelů. K tomuto účelu můžeme využít četnosti a jejich znázornění. Nebo různé popisné charakteristiky, které shrnují vlastnosti statistického souboru do jednoho čísla. Nejdůležitějšími charakteristikami jsou charakteristiky popisující polohu a rozptýlení souboru. 1.1 Rozložení četností a jejich znázornění Definice 1.2 Nechť a je minimální hodnota argumentu X, b je maximální hodnotaargumentuxdanéhostatistickéhosouboru,tj. x min = a, x max = b. 1.Interval < a,b >nazývámevariačnímoborem(nebotéžoboremvariability, intervalem variability) argumentu X daného statistického souboru. 2.Rozdíl x = b anazývámevariačnímrozpětímargumentuxdaného statistického souboru. 3.Variačníobor < a,b >rozkládámenamenšíčástinazývanétřídy(popř. třídní intervaly) argumentu X. 4. Šířkou(délkou) h třídy příslušného třídního intervalu a, b nazýváme číslo h = b k a k.číslo 1 2 (a k + b k )nazývámestředemtřídy,číslo a k dolníhranicíuvažovanétřídy,číslo b k horníhranicíuvažovanétřídy. 5.Hodnotu x k argumentux,kterájezpravidladánastředem k-tétřídyazastupuje všechny hodnoty patřící do této třídy, nazýváme třídním znakem k-té třídy. Při rozkladu variačního oboru a, b na třídy budeme dbát zpravidla těchto zásad:

12 1.1. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ A JEJICH ZNÁZORNĚNÍ 9 1. Obsahuje-li soubor jen malý počet hodnot argumentu X, volíme každou hodnotu x k tohotoargumentuzasamostatnoutřídu.pokudstatistický soubormáznačněvelkýpočetrůznýchhodnot x k argumentu X(popř. je jich nekonečně mnoho), sdružujeme hodnoty argumentu v třídy. Přitom šířky tříd volíme obvykle stejně velké. Pro výpočet šířky h lze použítpřibližnéhovzorce h 8 (b a). 100 Přivolběpočtutřídníchintervalůsedoporučuje,abyjichbylo8až20. Záleží na rozsahu souboru a účelu statistické tabulky. Počet k třídních intervalůvolímenapř. k 3,3log(n)nebo k n,kde njerozsah souboru. Dvě pozorování považujeme za ekvivalentní, jakmile padnou do téhož třídního intervalu. 2. Jestliže na hranici dvou sousedních tříd padne více hodnot argumentu, zařazujeme polovinu z nich do nižší třídy a druhou polovinu do třídy vyšší. Zbyla-li ještě jedna hodnota(toto odpovídá lichému počtu hodnot ležících na hranic), rozhodneme o její příslušnosti k dané třídě losem. Není vhodné zařazovat stereotypně takové hraniční hodnoty vždy dovyšší,popř.nižšítřídy,neboťbysetímmohlzkreslitcelkovýobraz rozložení uvažovaného souboru ve prospěch vyšších, popř. nižších tříd. 3. Vyskytuje-li se v hraničních třídách velmi málo hodnot argumentu X, je vhodné tyto třídy spojit se sousední třídou v třídu jedinou. Definice 1.3 Druhy četností: 1. Počet prvků souboru patřících do k-té třídy nazýváme absolutní četností argumentu v k-té třídě nebo absolutní třídní četností(stručně četností)k-tétřídyaznačímejej f k. 2.Je-li f k absolutnítřídníčetnost k-tétřídyanrozsahuvažovanéhosouboru, potom

13 10 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU a) f k n nazývámerelativníčetnostík-tétřídy, b) 100 f k n nazývámeprocentnírelativníčetnostík-tétřídy. 3.Kumulativní(součtovou)absolutníčetností F k k-tétřídynazýváme součetvšechčetností f j aždok-tétřídyvčetně,tj. F k = k f j. j=1 4.Kumulativnírelativníčetností R k k-tétřídynazývámesoučet R k = k j=1 f j n = F k n. Poznámka 1.1 Pro četnosti platí některé vlastnosti(uvažujeme statistický souborrozsahun,kterýjerozdělendortříd) r f k = n k=1 F r = n 3. r k=1 f k n = 1 Definice 1.4 Tabulkou rozložení četností daného statistického souboru nazýváme tabulku, v níž jsou uvedeny hodnoty argumentu(popř. třídní znaky) s příslušnými absolutními, popř. relativními četnostmi.

14 1.1. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ A JEJICH ZNÁZORNĚNÍ 11 Příklad 1.1 Na telefonní stanici zaznamenávali počet telefonních výzev za dobu1min.běhemjednéhodinybylovurčitédennídobědosaženotěchto výsledků(v každém řádku jsou hodnoty získané během 10 minut): 3,2,2,3,1,1,0,4,2,1 1,4,0,1,2,3,1,2,5,2 3,0,2,4,1,2,3,0,1,2 1,3,1,2,0,7,3,2,1,1 4,0,0,1,4,2,3,2,1,3 2,2,3,1,4,0,2,1,1,5. Sestavte tabulku rozložení daného statistického souboru. Počet telefonních výzev za 1 min Absolutní četnost Relativní četnost , , ,016 Celkem 60 1 Tabulka 1.1: Tabulka rozložení četností Argument statistického souboru představuje náhodnou veličinu X. Ze zákona velkýchčísel(podrobnějivizvěta3.2)plyne,žerelativníčetnost f k n udává (přibližně)pravděpodobnost,že X padnedo k-tétřídy,takžeplatí p k = P(a k X b k ) f k n,přičemžinterval a k,b k je k-toutřídou. Definice 1.5 Typy znázornění absolutních či relativních četností:

15 12 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU 1. Histogram rozložení absolutních(relativních) četností sestavíme tak, že na osu x vyneseme středy jednotlivých tříd a nad každou úsečkou zobrazující určitou třídu(šířky h) sestrojíme obdélník s výškou rovnou příslušnéabsolutníčetnosti f k,popř.relativníčetnosti f k n.horníobrazpravoúhelníka představuje histogram rozložení četností. Histogram relativních četností aproximuje hustotu rozdělení spojité náhodné veličiny X. 2. Úsečkový diagram(nebo graf) rozložení absolutních(relativních) četností dostaneme, jestliže na ose x zobrazíme středy jednotlivých tříd a vkaždémznichsestrojímevesměruosy yúsečkuodélcerovnépříslušnéabsolutníčetnosti f k,popř.relativníčetnosti f k n. 3. Polygon rozložení četností(spojnicový diagram) dostaneme, jestliže koncové body úsečkového diagramu rozložení četnosti spojíme úsečkami a vytvoříme tak lomenou čáru, která pak představuje hledaný polygon neboli spojnicový diagram. 4. Graf, polygon nebo histogram kumulativních četností dostaneme analogickyjakovbodech1,2a3. 5. Ogivní křivku(stručně ogivu) dostaneme, sestrojíme-li polygon kumulativních relativních četností. Ogiva aproximuje graf distribuční funkce uvažované náhodné veličiny X. 1.2 Charakteristiky polohy Charakteristiky polohy neboli střední hodnoty počítáme nejčastěji pomocí aritmetického, popř. harmonického, popř. geometrického průměru nebo mediánu a modusu.

16 1.2. CHARAKTERISTIKY POLOHY Obrázek 1.1: Histogram a ogiva dat z příkladu 1.1 Definice 1.6 Nechť je dán statistický soubor, jehož argument X nabývá hodnot x 1,x 2,...,x n,kteréjsoupopř.roztříděnydortříd,přičemž f k značíabsolutní četnost k-té třídy. 1.Aritmetickýprůměr Xjedefinovánvztahy X = 1 n n x k = 1 n k=1 r f i x i. (1.1) i=1 2.Geometrickýprůměr X g jedefinovánvztahem X g = n x 1 x 2... x n (1.2) 3.Harmonickýprůměr X h jedefinovánvztahy X h = 1 A,kde A = 1 n n k=1 1 x k = 1 n r i=1 f i x i. (1.3) Ve vztazích 1.1, 1.3 jsou uvedeny dva tvary. První tvar odpovídá souboru neroztříděnému a druhý tvar roztříděnému. Geometrický průměr nelze použít, pokud argument X nabývá nulové hodnoty, popř. hodnoty záporné. Harmonický průměr lze použít tehdy, má-li smysl součet reciprokých hodnot.

17 14 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU Věta 1.1 Pro libovolný statistický soubor X platí: X h X g X. Nechťjedánstatistickýsoubor,jehožargumentXnabýváhodnotx 1,x 2,...,x n. Setřídíme-li hodnoty podle velikosti, dostaneme tzv. setříděný statistický soubor X (1),X (2),...,X (n), kdex (1) označujenejmenšíhodnotu,x (2) označujedruhounejmenšíhodnotu,...obecně X (i) označuje i-toupořadovouhodnotu. Definice 1.7 Medián netříděného souboru je určen dvěma způsoby, v závislosti na počtu prvků statistického souboru. V případě lichého počtu hodnot vezmeme za medián x prostřední hodnotu setříděného souboru x = X ([ n 2]+1). Pokud X má sudý počet hodnot, vezmeme za medián x aritmetický průměr prostředních dvou hodnot setříděného souboru x = X ([ n 2]) +X ([ n 2]+1). 2 Medián je speciálním případem výběrového kvantilu. Výběrovým kvantilem nazýváme hodnotu zvolenou tak, že pozorování, která jsou menší než tato hodnota, tvoří předepsaný díl výběru(např. 10% výběrový kvantil označuje hodnotu, která je větší než 10% hodnot statistického souboru a menší než 90% hodnot statistického souboru). Rozeznáváme tři speciální případy výběrového kvantilu: 25% výběrový kvantil se nazývá dolní výběrový kvartil, 50% výběrový kvantil je medián a 75% výběrový kvantil se nazývá horní výběrový kvartil.

18 1.3. CHARAKTERISTIKY VARIABILITY 15 Definice 1.8 Nechť argument statistického souboru může nabývat pouze konečně mnoha hodnot. Pak modus je hodnota argumentu s největší absolutní četností. Modus nemusí být určen jednoznačně. Příklad 1.2 Uvažujme následující hypotetický příklad. Ve firmě F existují 4 platové třídy s platy uvedenými v následující tabulce. Počet zaměstnanců udává, kolik zaměstnanců je v dané platové třídě. třída zařazení plat v Kč počet zaměstnanců 1. výkonná síla mistr náměstek ředitel Tabulka 1.2: Tabulka četností příjmu zaměstnanců ve firmě F. Spočtěme některé charakteristiky polohy. Aritmetický průměr X = , geometrickýprůměr X g = ,harmonickýprůměr X h = Jelikož máme 44 hodnot, bude medián průměr 22. a 23. pořadové hodnoty, tedy x = Dolnívýběrovýkvartilbudeprůměr11.a12.pořadové hodnoty, tj a horní výběrový kvartil je Každá charakteristika polohy nám dává jen parciální informaci o statistickém souboru, zatímco grafy rozložení četností nám dávají úplnou informaci o statistickém souboru. 1.3 Charakteristiky variability Definice 1.9 Charakteristiky variability: 1.Rozptylem (disperzí) s 2 statickéhosouborusrozsahem nnazýváme aritmetickýprůměrkvadratickýchodchylek (x k X) 2 hodnotargumentu

19 16 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU Xodaritmetickéhoprůměru X s 2 = 1 n n (x k X) 2 = 1 n k=1 r f i (x i X) 2. (1.4) i=1 2. Směrodatnou odchylkou s nazýváme s2 = s 0. (1.5) 3.Průměrnouodchylkou dnazývámearitmetickýprůměrabsolutníchhodnotodchylekodaritmetickéhoprůměru X,tj. d = 1 n n x k X = 1 n k=1 r f i x i X. (1.6) i=1 4. Variační koeficient v statistického souboru je definován jako v = s X. (1.7) Poznámka 1.2 Rozptyl je definován vzorcem(1.4), pro jeho výpočet se však častěji používá vzorce s 2 = 1 n n (x 2 k) X 2 = 1 n k=1 r f i x 2 i X 2. (1.8) i=1 Poznámka 1.3 Hodnoty argumentu statistického souboru jsou realizace nějaké náhodné veličiny. Např. počet telefonních hovorů na ústředně za 1 minutu (viz příklad 1.1) je náhodná veličina, která má Poissonovo rozdělení X Po(λ). Všechny charakteristiky polohy aproximují střední hodnotu náhodné veličiny EX = λ. Podobně rozptyl statistického souboru aproximuje rozptyl náhodné veličiny VarX = λ.

20 1.3. CHARAKTERISTIKY VARIABILITY 17 Poznámka 1.4 Rozptyl uvedený ve vzorcích(1.4) a(1.8) rozptyl náhodné veličiny podhodnocuje, proto se k výpočtu rozptylu častěji používá vzorců: S 2 = 1 n 1 S 2 = 1 n 1 n k=1 n k=1 ( xk X ) 2 = 1 n 1 (x 2 k) n n 1 X 2 = 1 n 1 r ( f i xi X ) 2, (1.9) i=1 r i=1 f i x 2 i n n 1 X 2. (1.10) Tyto vzorce již teoretickou hodnotu nepodhodnocují(podrobněji viz věta 3.1). Poznámka 1.5 Variační koeficient slouží k srovnání variability dvou a více statistických souborů, které mají výrazně odlišnou polohu znaku nebo jsou vyjádřeny v různých měrových jednotkách. Příklad 1.3 Uvažujme produkci ve dvou firmách. Produkce firmy A se vykazujevkusechafirmybvtunách.posuďte,vekterézfirembylaběhem sledovaného období 10 dnů výroba rovnoměrnější([4]). Den Celkem FirmaA(1000ks) x i FirmaB(tuny) y i Tabulka1.3:TabulkaprodukcefiremAaB. NejdřívevypočtemevariačníkoeficientproprodukcifirmyA:Průměr X = 2,3,směrodatnáodchylka s X = 1atudížvariačníkoeficient v X = s X / X = 0,4. AnalogickyvypočtemevariačníkoeficientprofirmuB:Průměr Ȳ = 6,směrodatnáodchylka s Y = 1,55atudížvariačníkoeficient v Y = s Y /Ȳ = 0,25. TedyrovnoměrnějšíjevdanédekáděvýrobavefirměB.

21 18 KAPITOLA 1. ZPRACOVÁNÍ STATISTICKÉHO MATERIÁLU

22 Kapitola 2 Teorie pravděpodobnosti V této kapitole shrneme základní pojmy a tvrzení z teorie pravděpodobnosti, které budeme potřebovat pro další studium matematické statistiky. Pro hlubší studium teorie pravděpodobnosti doporučujeme čtenáři knihy[3] a[5]. 2.1 Náhodné veličiny Uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Ω je neprázdná množina všech výsledků náhodného pokusu, výsledky označujeme ω. A je σ-algebra sestrojenána Ω. P : A 0,1 Rjefunkcepřiřazujícíkaždémnožině A A její pravděpodobnost. Této funkci se říká pravděpodobnostní míra. Pro podrobnější zavedení těchto pojmů je možno nahlédnout např. do[3]. Definice 2.1 Náhodnou veličinou rozumíme každé měřitelné zobrazení X z (Ω,A,P)do R. 19

23 20 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Jinak řečeno, měřitelné zobrazení je takové zobrazení, které zobrazuje měřitelnémnožiny(tj.tycoležívσ-algebře A)naměřitelnémnožinyvR.Toto zavedení nám pomůže eliminovat problémy s neměřitelnými množinami. Definice 2.2 Distribuční funkce F náhodné veličiny X je dána vzorcem F(x) = P(ω : X(ω) < x). Zkráceně píšeme F(x) = P(X < x). Příklad2.1Uvažujmenáhodnýpokus-hodkostkou Ω = {1,2,3,4,5,6}, P(ω) = 1/6.Sestrojmenáhodnouveličinu,kteráukazuje,zdapadlo6činěco jiného. X(6) = 1,jinak X(ω) = 0.Distribučnífunkce F jepakdefinována takto: F(x) = 0,pokud x 0, F(x) = 5/6,pokud 0 < x 1aF(x) = 1, pokud x > 1. Uvažujme jiný náhodný pokus- náhodně vybereme studenta. Ω je tudíž množina všech studentů. Nechť náhodná veličina X ukazuje výšku studenta ωvmetrech,tudíž X(ω) (0,3). V předchozím příkladě si můžeme povšimnout, že existují dva typy náhodných veličin. Pokud množina možných výsledků náhodné veličiny je diskrétní (množina obsahuje konečně mnoho hodnot nebo spočetně), pak hovoříme o diskrétní náhodné veličině nebo o diskrétním rozdělení náhodné veličiny. Pokud množina možných výsledků náhodné veličiny je interval(množina obsahuje nespočetně mnoho hodnot), pak hovoříme o spojité náhodné veličině nebo o spojitém rozdělení náhodné veličiny. Náhodné veličiny mohou být i kombinací těchto dvou typů, ovšem takové veličiny se v praxi vyskytují velmi zřídka a proto se jimy zabývat nebudeme.

24 2.1. NÁHODNÉ VELIČINY 21 Diskrétní náhodné veličiny Nechť náhodná veličina X může nabývat nejvýše spočetně mnoha hodnot x 1,x 2,...Označme P(X = x i ) = p i 0, i = 1,2,...Zřejměplatí p i = 1. Distribučnífunkce Fmávhodnotách x i skoky p i, i = 1,2,...Vostatních bodechje Fkonstantní.Pravděpodobnost,že Xpadnedomnožiny B R, udává vzorec P(X B) = p i. i:x i B Střední hodnota X neboli též očekávaná hodnota náhodné veličiny je dána vzorcem EX = i x i p i. (2.1) Někdy je nezbytné počítat střední hodnotu z nějaké funkce náhodné veličiny X.Např.nechťnáhodnáveličina Xudávávýslednéčíslovruletěasázkyje možné uzavírat jen na jedno číslo. Nás bude zajímat střední hodnota naší výhry, kde výhra představuje funkci g aplikovanou na výsledek náhodné veličiny X. Eg(X) = i g(x i )p i. (2.2) Spojité náhodné veličiny Nechť náhodná veličina X nabývá nespočetně mnoha hodnot. Potom nemůžeme každé hodnotě přiřadit její pravděpodobnost výskytu, ale přiřadíme jí funkční hodnotu f(x), která udává relativní pravděpodobnost výskytu x jako výsledku náhodné veličiny. Tato funkce se nazývá hustota náhodné veličiny. Distribuční funkce F(x) = x f(t)dt.

25 22 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Zřejměplatí f(x)dx = 1.Pravděpodobnost,že X padnedomnožiny B R,udávávzorec P(X B) = f(x)dx. Střední hodnota X je dána vzorcem EX = Střední hodnota funkce náhodné veličiny X Eg(X) = B xf(x)dx. (2.3) g(x)f(x)dx. (2.4) Nejpoužívanější charakteristika polohy náhodné veličiny je střední hodnota, existují ovšem i další charakteristiky polohy. Medián µ náhodné veličiny X je definován vztahy: P(X µ) 1 2, P(X µ) 1 2. Modus µ náhodné veličiny X je nejpravděpodobnější hodnota výsledku náhodné veličiny X. Pro spojité náhodné veličiny je modus definován vztahem µ =argmax x (f(x)).prodiskrétnínáhodnéveličinyjemodusdefinovánvztahem µ =argmax i (p i ). Rozptyl X(základní charakteristika rozptýlení náhodné veličiny) se vypočte jako VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Rozptylseněkdyoznačujesymbolem σ 2,veličině σ = VarXpakříkáme směrodatná odchylka. Věta2.1Nechť Y = a+bx.existuje-li EX,pak EY = a+bex.je-linavíc EX 2 <,pak VarY = b 2 VarX.

26 2.2. NÁHODNÉ VEKTORY Náhodné vektory Mějmenáhodnéveličiny X 1,...,X n,kteréjsoudefinovanénastejnémpravděpodobnostnímprostoru (Ω,A,P).Pak X = (X 1,...,X n ) T senazývánáhodný vektor. Distribuční funkcí náhodného vektoru rozumíme funkci F(x 1,...,x n ) = P(X 1 < x 1,...,X n < x n ). Středníhodnotanáhodnéhovektoruje EX = (EX 1,...,EX n ) T. Pro jednoduchost se nyní zabývejme pouze dvěma náhodnými veličinami X, Y. Pro libovolný, konečný počet náhodných veličin se všechny vztahy v tomto odstavci odvodí analogicky. Diskrétní případ: Sdružené rozdělení náhodného vektoru je dáno pravděpodobnostmi P(X = (x i,y j )) = p ij, i = 1,2,...,j = 1,2,... Marginální rozdělení je rozdělení pouze části vektoru. V případě dvou náhodných veličin existují pouze marginální rozdělení náhodných veličin X, Y. Zaveďme p i = p ij, p j = p ij. j i Tudíž marginální rozdělení jsou dána vztahy: P(X = x i ) = p i, P(Y = y j ) = p j, i = 1,2,...,j = 1,2,... Střední hodnota funkce náhodného vektoru je dána vzorcem Eg(X) = i,j g(x i,y j )p ij. Spojitý případ: Sdružené rozdělení náhodného vektoru je dáno hustotou f X (x,y), x,y R.

27 24 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Distribuční funkce F(x,y) = x y f(u, v)dudv. Hustoty marginálních rozdělení jsou dány vztahy f X (x) = f(x,y)dy, x R, f Y (y) = f(x,y)dx, y R. R R Střední hodnota funkce náhodného vektoru je dána vzorcem Eg(X) = g(x, y)f(x, y)dxdy. R R Kovariancí náhodných veličin X a Y rozumíme výraz Cov(X,Y) = E(X EX)(Y EY) = EXY EXEY. Jezřejmé,že VarX = Cov(X,X).Kovariancenáhodnýchveličin Xa Y se častooznačuje σ XY. Věta2.2Nechť Xa Y jsounáhodnéveličiny,potom Var(X +Y) = VarX +2Cov(X,Y)+VarY, pokud všechny výrazy na pravé straně existují. Řekneme, že dvě náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže jejich sdružená distribuční funkce je rovna součinu marginálních distribučních funkcí F X,Y (x,y) = F X (x)f Y (y). Jsou-li náhodné veličiny X a Y diskrétní, pak jsou nezávislé, jestliže pro jejich sdružené a marginální rozdělení platí vztah p ij = p i p j i,j.

28 2.3. ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 25 Jsou-li náhodné veličiny X a Y spojité, pak jsou nezávislé, jestliže jejich sdružená hustota je rovna součinu marginálních hustot f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y). Toto je matematická definice termínu nezávislosti, který se užívá i v běžné řeči. Věta2.3Nechť Xa Y jsounezávislénáhodnéveličinyskonečnýmistředními hodnotami. Pak platí E(XY) = (EX)(EY). Věta 2.4 Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s konečnými rozptyly. Pak platí Cov(X,Y) = 0. Platí-li Cov(X, Y) = 0, pak říkáme, že náhodné veličiny jsou nekorelované. Z nekorelovanosti ještě neplyne nezávislost! Ovšem předchozího tvrzení se často využívá při testech nezávislosti dvou náhodných veličin. Místo kovariance se v nich využívá její normovaný tvar, kterému říkáme korelační koeficient: ρ = Cov(X,Y) VarX VarY. Věta2.5Platí 1 ρ 1.Navíc ρ = 1,právětehdy,když Y = a + bx, b > 0, ρ = 1,právětehdy,když Y = a+bx, b < Základní rozdělení náhodných veličin Alternativní rozdělení A(p) představuje úspěch/neúspěch pokusu s pravděpodobností 0 < p < 1. To znamená, že alternativní rozdělení nabývá pouze

29 26 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI dvouhodnot:úspěch-1,neúspěch-0. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. EX = p, Var(X) = p(1 p). Binomické rozdělení Bi(n, p) představuje počet úspěchů v n nezávislých pokusech, přičemž pravděpodobnost úspěchu je 0 < p < 1. Jinak řečeno, binomické rozdělení je součet n nezávislých alternativních rozdělení. P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0,1,...,n. k EX = np, Var(X) = np(1 p). Hypergeometrické rozdělení HGeom(n, M, N) se používá místo binomického rozdělení v experimentech, ve kterých n představuje počet tahů bez vracení(u binomického je n počet tahů s vracením) z osudí majícího N prvků, z nichž M prvků představuje při vytažení úspěch(u binomického by M/N = p) Hypergeometrické rozdělení pak představuje počet úspěchů v tomto experimentu. ( M N M ) P(X = k) = k)( n k ( N, k = 0,1,...,n. n) EX = n M N, Var(X) = nm N ( 1 M ) N n N N 1. Poissonovo rozdělení Po(λ) λ > 0 představuje počet událostí, které nastanou za určitý čas. P(X = k) = e λλk k!. EX = λ, Var(X) = λ.

30 2.3. ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 27 Geometrické rozdělení Geom(p) představuje počet neúspěšných nezávislých pokusů, které nastanou před prvním úspěchem, přičemž pravděpodobnostúspěchuje 0 < p < 1. P(X = k) = p(1 p) k. EX = 1 p 1 p, Var(X) =. p p 2 MultinomickérozděleníM(n,p 1,...,p k ) jepatrněnejdůležitějšímdiskrétním mnohorozměrným rozdělením. Mějme urnu a v ní kuličky k různých barev.nechťpravděpodobnostvytaženíkuličkyi-tébarvyjerovna p i,i= 1,2,...,k,přičemž 0 < p i < 1, p p k = 1.Ztétourny n-krátnezávisle na sobě vytáhneme po jedné kuličce. Kuličku po vytažení vždy vracíme zpětdourny.počtykuličeki-tébarvy,kterétaktobylyvybránypo ntazích označme X i.paksdruženérozdělenínáhodnýchveličin X 1,...,X k jedáno vzorcem P(X 1 = x 1,...,X k = x k ) = n! x 1!...x k! px p x k k, kde x i {0,1,...,n} i = 1,2,...,k, x x k = n. EX i = np i, Var(X i ) = np i (1 p i ) i = 1,...k, Cov(X i,x j ) = np i p j, i j. Marginálnírozdělení X i jebinomickérozděleníbi(n,p i ). Rovnoměrné rozdělení na intervalu A, B, U[A, B]. Všechny body intervalu A, B mají stejnou pravděpodobnost výskytu. f(x) = 1, pro x [A,B], f(x) = 0, jinak. B A EX = A+B, Var(X) = (B A)2.

31 28 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Exponenciální rozdělení Exp(λ) představuje dobu čekání do určité události, např. dobu do poruchy určitého zařízení. f(x) = 1 λ e x/λ, pro x > 0, f(x) = 0, jinak. EX = λ, Var(X) = λ Normální rozdělení a rozdělení z něj odvozená Normálnírozdělenísestředníhodnotou µarozptylem σ 2 značímen(µ,σ 2 ) a toto rozdělení má hustotu [ ] 1 f(x) = exp (x µ)2, x R. 2πσ 2 2σ Obrázek 2.1: Graf hustoty normálního rozdělení- plná čára N(0,1), čárkovaná N(0,2), tečkovaná N(0,1/2). Nejčastěji budeme pracovat s normovaným normálním rozdělením N(0,1). Jeho hustotu budeme označovat φ(x) = 1 2π e x2 /2, x R

32 2.4. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ A ROZDĚLENÍ Z NĚJ ODVOZENÁ 29 a distribuční funkci budeme označovat Φ(x) = x φ(u)du. Funkce φjesudá,ztohoplyne Φ( x) = 1 Φ(x). Normované normální rozdělení je významné především následujícím tvrzením: součet nezávislých náhodných veličin, jehož střední hodnotu posuneme do0arozptylupravímena1,seblížíprozvětšujícísepočetnáhodných veličin k normovanému normálnímu rozdělení. Věta2.6CentrálnílimitnívětaNechť X 1,...,X n jeposloupnostnezávislých, stejně rozdělených náhodných veličin se střední hodnotu µ a konečným rozptylem σ 2.Pak n i=1 X i nµ nσ 2 má při n asymptoticky rozdělení N(0,1). Příklad 2.2 Jaká je pravděpodobnost, že ze 120 hodů kostkou, padne alespoň 14 šestek? Označme X i A(1/6)náhodnouveličinu,kterápředstavujeto,zdanám padne6činikolivi-témhodukostkou.pro X i platí,že EX i = 1/6, σ 2 = 5/36. Tudíž je třeba vypočíst: P ) X i 14. ( 120 i=1 Spočtěmetentopříkladnejprvepřímo.Náhodnáveličina X = 120 i=1 X imá binomické rozdělení Bi(120, 1/6). Pomocí počítače a definice binomického rozdělení spočteme, že P (X 14) = 1 13 k=0 p k = 1 13 k=0 ( 120 k ) (1/6) k (5/6) (120 k) = 0,95.

33 30 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Nyní spočtěme tento příklad pomocí aproximace CLV. Použití CLV spočívá v úpravě výrazu do podoby, ve které se nachází výraz asymptoticky se blížící normálnímu rozdělení. ( 120 ) P X i 14 = P Výraz U = tedy psát, že i=1 120 i=1 np nσ 2 P ( 120 ( 120 i=1 np nσ 2 ) 14 np. nσ 2 mápodleclvasymptotickynormálnírozdělenímůžeme ) ( ) X i 14 = P U / /36 i=1 Podle definice distribuční funkce normálního rozdělení máme ( 120 ) P X i 14 = 1 P (U < 1,47) = 1 Φ( 1,47). i=1 V tabulkách nebo ve statistickém softwaru najdeme hodnotu distribuční funkce Φ( 1, 47) = 0, 07. Hledaná pravděpodobnost je podle aproximace CLV rovna 0,93. Příklad 2.3 Kolikrát musíme hodit kostkou, aby pravděpodobnost, že padne alespoň 10 šestek, byla větší nebo rovna 0,95. Obdobnějakovminulémpříkladěoznačme X i A(1/6)náhodnouveličinu, kterápředstavujeto,zdanámpadne6činikolivi-témhodukostkou.pro X i platí,že EX i = 1/6, σ 2 = 5/36.Problémmůžemepřepsatnanerovnici ( n ) P X i 10 0,95, i=1 kdeneznámáje n-počethodůkostkou.použitíclvspočívávúpravěnerovnice do podoby, ve které se nachází výraz asymptoticky se blížící normálnímu rozdělení. P ( n i=1 X i n/6 5n/36 10 n/6 5n/36 ) 0,95.

34 2.4. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ A ROZDĚLENÍ Z NĚJ ODVOZENÁ 31 Výraz U = n i=1 X i n/6 5n/36 mápodleclvasymptotickynormálnírozdělení. P ( U 10 n/6 5n/36 ) = 0,95 Tímto předpisem je ovšem definována kritická hodnota normálního rozdělení u(0,05) = 1,64(vizodstavec2.5).Tedy 10 n/6 5n/36 = 1,64 Tutokvadratickourovnicisnadnovyřešímeavyjdenám n = 96.Nebolimusíme hodit nejméně 96-krát kostkou, abychom měli 95% pravděpodobnost, že padne alespoň deset šestek. Pro vyjádření dalších rozdělení si zopakujme definice Gama a Beta funkce. Γ(a) = Vlastnosti: Γ(a+1) = a Γ(a), Γ( 1 2 ) = π 0 x a 1 e x dx, a > 0 B(a,b) = Γ(a) Γ(b) Γ(a+b) Pearsonovo rozdělení Nechťnáhodnéveličiny U 1, U 2,..., U k jsounezávisléamajínormovanénormální rozdělením N(0,1). Pak χ 2 k = k i=1 mátzv.rozdělení χ 2 (čtětechikvadrát)skstupnivolnostiashustotou(pro u > 0)tvaru f k (u) = U 2 i 1 Γ(k/2) 2 k/2 u(k/2) 1 e u/2, u > 0.

35 32 KAPITOLA 2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Eχ 2 k = k, Var χ 2 k = 2k Obrázek2.2:GrafhustotyPearsonovarozdělení-plnáčára χ 2 10,čárkovaná χ 2 20,tečkovaná χ Studentovo rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny, a to náhodnou veličinu U s normovanýmnormálnímrozdělenímn(0,1)anáhodnouveličinu V srozdělením χ 2 s k stupni volnosti. Pak veličina T k = U V k má Studentovo rozdělení t s hustotou tvaru f k (t) = s k stupni volnosti. 1 B( 1 2, k 2 ) k (1+ t2 k ) (k+1)/2, t R ET k = 0, Var T k = k k 2, t k k Φ.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 76 1 / 76 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M3 ZÁKLADY TEORIE ODHADU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie - stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277,

Ω = 6 6 3 = 1 36 = 0.0277, Příklad : Házíme třemi kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude roven 5? Jev A značí příznivé možnosti: {,, 3}; {,, }; {, 3, }; {,, }; {,, }; {3,, }; P (A) = A Ω = 6 6 3 = 36 = 0.077, kde. značí

Více

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. STATISTIKA LS 2013 Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Cvičící: Ing. Ondřej Grunt RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. Ing. Kateřina Janurová Mgr. Tereza

Více

Třídění statistických dat

Třídění statistických dat 2.1 Třídění statistických dat Všechny muže ve městě rozdělíme na 2 skupiny: A) muži, kteří chodí k holiči B) muži, kteří se holí sami Do které skupiny zařadíme holiče? prof. Raymond M. Smullyan, Dr. Math.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE

SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE SEZNAM VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ - ANOTACE Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Autor CZ.1.07/1.5.00/34.0797 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT 2M3 Slovní

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více