Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Ivo Volf. Několik slov úvodem 2

Transkript

1 Fyzikajekolemnás(Sílaatuhétěleso) Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Ivo Volf Obsah Několik slov úvodem 2 1 Moment síly vzhledem k ose otáčení 3 Příklad1 houpačka... 4 Příklad2 Pappinůvkotlík... 4 Příklad3 nůžkynaplech... 5 Cvičení Skládání a rozklad sil Skládáníarozkladrůznoběžnýchsil Nakloněnárovina... 7 Příklad4 lyžařjedoucískopce... 9 Příklad5 lyžařjedoucínavlekudokopce Sílypůsobícínašroubu Příklad6 šroubovýzdvihák Pohybnaklínu Štípánídřívísekyrkou Příklad7 štípánídříví Cvičení Skládáníarozkladrovnoběžnýchsil Příklad8 cyklistanalávce Příklad9 chodecnalávce Příklad10 trámy Cvičení Těžiště tělesa 22 Příklad11 těžištěpísmene L Příklad12 rovnánícihel Cvičení Řešení cvičení 26 Literatura 32 1

2 Několik slov úvodem Doposud jsme se setkávali se situacemi, kdy jsme těleso mohli nahradit hmotným bodem. Hmotný bod pro nás představoval model situace, kdy jsme veškerou hmotnost těles soustředili do jednoho konkrétního bodu a zanedbávali rozměry tělesa. V praktickém životě to však tímto způsobem pokaždé řešit nelze. Pokud bychom se podívali např. na různé pohyby v přírodě, jako jsou třeba sportovní skoky z letadla, nemůžeme si nevšimnout, že skokan v průběhu pohybu mění svoji polohu různě se natáčí. Pokud bychomsepodívalizvelkédálky,pakbychomviděliskokanatéměřjakohmotnýbodakdyžbychom sledovali jeho trajektorii pohybu, nepoznali bychom, zdasejednáonějakýbalíkhozenýzletadla,nebozda sejednáopohybčlověka.mysevšaknatentopohyb budeme dívat zblízka pak už nutně musíme vnímat krásu skokučlověkaisjehorozměry(obr.1). Jakjižbylouvedenovúvodu,nelzepřiřešení problémů v běžném životě v řadě situací zanedbat anirozměryanitvartělesa.častojenutnétakéuvažovatstím,žesetělesootáčí. Obr.1Skokzletadla Pro zjednodušení našich úvah budeme předpokládat, že síly působící na těleso budou mít jen pohybové účinky, tj. nezmění ani tvar ani objem tělesa. Skutečné těleso tedy nahradíme myšlenkovým modelem, který nazveme tuhé těleso. Otuhémtělesetedymůžemeříci,žejetoideálnítěleso,jehožtvaraniobjem se účinkem libovolně velkých sil nezmění. V této brožuře se budeme zabývat tuhým tělesem, především se však zaměříme na silové účinky spojené s pojmem tuhé těleso. Před studiem tohoto textu by bylo vhodné, abyste již měli probrány základy dynamiky. Pak by bylo vhodné seznámit se se základními pojmy ze statiky tuhého tělesa(nikoliv pohyb tuhého tělesa, ale jen statiku). Velmi dobře je toto vysvětleno např. v[1]. Při řešení úloh není třeba se učit odvozené vztahy nazpaměť, je třeba, abyste se zaměřili na pochopení fyzikálních souvislostí a porozumět, že vše vychází ze správně nakresleného obrázku se silovým rozborem, pak napsat jednotlivé rovniceařešit... Cílem tohoto textu je zvládnout metodiku skládání a rozkladu sil v různých situacích, se kterými je možno se v praktickém životě setkat. Přáli bychom si, abyste toto zvládli co nejlépe. 2

3 1 Momentsílyvzhledemkoseotáčení V této kapitole se zaměříme na základní pojmy souvisejicími se silovým působením na tuhé těleso. Před studiem tohoto textu je třeba ovládat základy dynamiky. Bylo by vhodné, projít si také základní pojmy v souvislosti se statikou tuhého tělesa podrobně vysvětlené např. v[1]. Každýzvásseužjistěhoupalnahoupačce vyrobené ze silnějšího prkna(fošny), které je uprostřed podepřeno(obr. 2). Pokud mají obě děti přibližně stejnou hmotnost, sedí každé znichnajednomkonci.mohousevšaktaké takdobřehoupatisněkterýmzesvýchrodičů?akdyžano,takjaktoudělat?řada zvásužasiintuitivněcítí,ževtomtopřípadě není podstatná pouze velikost síly, ale také poloha působiště síly vzhledem k ose otáčení. Obr. 2 Houpačka Vektorová veličina, která nám umožňuje takové situace fyzikálně popsat, senazývámomentsíly M 1 ajehovelikostsevypočtejakosoučin M = Fr (obr.3). Orientaci momentu působící síly určíme užitím pravidla pravé ruky: Položíme-li pravou ruku na těleso F r tak, aby prsty ukazovaly směr otáčení tělesa, pak O vztyčený palec ukazuje směr momentu síly. Obr.3Momentsíly Na obr. 3 tedy moment síly směřuje před nákresnu. Pokud bychom se nyní vrátili k houpačce, mohli bychom tuto situaci popsat také matematicky(obr. 4). r 1 r 2 O G 1 G 2 Obr.4Síly,kterýmidítěsotcempůsobínahoupačku Abynastalarovnováha,musídítěsedětdáleodosy Ootáčenínežotec,a tedymomentysilvzhledemkoseotáčenímusíbýtvrovnováze,tj.musímít opačný směr a velikost, což se dá matematicky vyjádřit ve tvaru G 1 r 1 = G 2 r 2. 1 Podrobnějijemožnosestímtopojmemseznámitnapř.v[1]. 3

4 Příklad 1 houpačka Představme si situaci, která je znázorněná na obr. 2. Na levé straně houpačky sedíjednodítě(vlevonaobr.2),nadruhéstraněhoupačkydvěděti.zobr.2 jezřejmé,žedítěnalevéstraně převážilo dětinapravéstraně.váženímjsme zjistili,žedítěvlevomáhmotnost m 1 =35kg,dítěvpravoblížkoseotáčení máhmotnost m 2 =20kg.Dálejsmeměřenímzjistili,že r 2 =0,8, r 3 =1,0 r 1 r 1 (obr.5).jakájenanejvýšhmotnost m 3? r 1 r 2 r 3 O F G1 F G2 F G3 Obr. 5 Síly, kterými působí děti na houpačku Řešení Abybylasplněnapodmínkanaobrázku,musíplatit F G1 r 1 F G2 r 2 + F G3 r 3. Podosazeníza r 2 =0,8r 1, r 3 = r 1 dostaneme F G1 r 1 F G2 0,8r 1 + F G3 r 1, tedy F G1 0,8F G2 + F G3, m 1 0,8m 2 + m 3, m 3 m 1 0,8m 2. Podosazenízahmotnostidostaneme m 3 (35 0,8 20)kg,atedy m 3 19kg. Třetí dítě může mít hmotnost nejvýše 19 kg. Příklad 2 Pappinův kotlík Na obr. 6 je znázorněna část Pappinova kotlíku. Pohybem závaží tvaru válečku ohmotnosti m=50gnapácejemožnoregulovathodnotutlakupodpístem. Určete nejmenší a největší hodnotu tlaku pod pístem(v násobcích atmosférickéhotlaku).průměrpístupodpákouje d=0,5cm;rozsah x,vekterémje možnopohybovatválečkemjeod x=4,5cmdo11,0cm; b=12mm.hmotnost pákyzanedbejte,hodnotaatmosférickéhotlakuje p a =0,1MPa. 4

5 O b x Obr. 6 Pappinův kotlík Hodnoty příslušných tlaků jsou: p 1 = F 1 1,8 pd 2 = p ( ) p 2 = F 2 pd 2 4 = 4,5 p ( ) 2 4 Řešení Označme F sílu působící na píst. Platí mg x=f b,zčehož F= x b mg. Pro dané hodnoty: F 1 = 4,5 0,05 9,81N=1,8 N, 1,2 F 2 = 11,0 0,05 9,81N=4,5N. 1,2 Pa=0,09MPa=0,9 p a ; Pa=0,23MPa=2,3 p a. Tím jsme vypočetli rozsah přetlaků uvnitř Pappinova kotlíku. Hodnoty tlaků uvnitřjsoutedyop a =0,1MPavětší,tedymajírozsahod1,9 p a do3,3 p a. Příklad3 nůžkynaplech Naobr.7jsouznázorněnynůžkynaplech.Zobrázkujezřejmé,žejezdepoužit dvojnásobný pákovýpřevod.vdůsledkutohoněkolikanásobněsezvětší střižná síla vzhledem k síle, kterou působíme na páku nůžek rukou. Odhadněte, kolikrát se vlivem pákových převodů zvětší síla oproti síle, kterou vyvíjíme při stříhání. F 1 F 3 F 2 r 4 r 3 r 2 r 1 Obr.7Nůžkynaplech Obr.8Nůžkynaplech síly 5

6 Řešení V rámci zjednodušení obrázku budeme zakreslovat místo dvou sil působících proti sobě vždy pouze jednu z těchto stejně velkých sil. Zobr.8můžemeodečíst,že r 1 =5, r 2+ r 3 =2.Dáletaképlatí F r 2 r 1 r 1 = F 2 r 2 4 a F 2 (r 2 + r 3 )=F 3 r 4. Zvýšeuvedenýchvztahůvyplývá,že F 1 = r 2 = 1 F 2 r 1 5, F 2 = r 4 = 1 F 3 r 2 + r 3 2. Tedymůžemepsát F 1 = F 1 F2 = 1 1 F 3 F 2 F = Vlivem pákového převodu nůžek se velikost síly působící na koncích ramen nůžek může 10krát zvětšit. Cvičení 1 1. Odhadněte poměr mezi silou, kterou musíte působit na konci louskáčku na ořechy, a silou, kterou je třeba rozlousknout ořech(obr. 9). 2. Odhadněte velikost síly, jakou musíte působit na kliku rumpálu(obr. 10), je-li d=0,4mar=0,1maje-lihmotnost vědraisvodou15kg.jakvelkoupráci vykonáte při zvednutí vědra z hloubky 10m?Kolikrátseotočíkolorumpálu při zvedání vědra? 3. Odhadněte velikost síly, jakou musíte působit na koncích držadel na kolečku, abyste zvedli kolečko s pytlem cementu. Hmotnost zvedané části kolečka odhadněte na 12 kg, hmotnost pytle cementu je 50 kg. Předpokládejte, že na držadla kolečka působíte pouze silami ve svislém směru. Jak velkou silou působí každá ruka na držadlo kolečka ve svislém směru(obr. 11)? Chybějící údaje pro řešení odhadněte pomocí obr. 11. Obr. 9 Louskáček na ořechy r d Obr. 10 Rumpál Obr. 11 Kolečko 6

7 2 Skládáníarozkladsil Vminulékapitolejsmesizavedlipojemtuhétěleso.Vtétočástisiukážeme několik úloh, se kterými se můžeme v souvislosti s tuhým tělesem setkat. Jde především o řešení problémů souvisejících se skládáním a rozkladem sil. Přiskládáníarozkladusilbudemevyužívatnásledujícípoznatky 2 : a) výslednice několika sil je jejich vektorovým součtem, b) vzhledem k libovolně zvolené ose je moment výslednice vektorovým součtem momentů jednotlivých sil, Je-li tuhé těleso v rovnovážném stavu, je výslednice všech sil, které na těleso působí nulová a také výsledný moment je nulový vzhledem k libovolné ose. Při řešení úloh také budeme při vzájemném silovém působení těles používat zákon akce a reakce. 2.1 Skládání a rozklad různoběžných sil Podívejme se nyní na několik situací, kdy je třeba skládat a rozkládat síly Nakloněná rovina Nejprve si připomeneme, jaké vztahy platí pro posuvný pohyb tělesa na nakloněné rovině, bude-li se těleso na nakloněné rovině pohybovat samovolně. Na tělesopůsobízemětíhovousilou F G vesvislémsměru,nakloněnárovinareakční kolmoutlakovousilou F n atřecísíla F t vesměrurovnoběžnémsnakloněnou rovinou(obr. 15). F n F n F t F t F 1 F F G F2 F 1 FG F2 Obr. 15 Nakloněná rovina pohyb samovolně směrem dolů Obr. 16 Nakloněná rovina pohyb směrem dolů s další silou 2 Podrobnějemožnosestěmitopoznatky seznámitnapř.v[1],mysevnašemtextu zaměříme spíš na řešení úloh. 7

8 Přisamovolnémpohybusměremdolůjevýslednice F v těchtosiljevektorovým součtem těchto sil, tj. F v = F G + F n + F t. Nyníprovedemerozkladsilnasložkytak,jakjeuvedenonaobr.15.Dostaneme F 1 = mgsin, F n = mgcos, F t = ff n. Vzhledem k tomu, že se těleso ve směru kolmém k nakloněné rovině nepohybuje, platíještěrovnice F 2 = F n.potom F t = mgfcos.pohybovárovnicejepak dána vztahem ma=mgsin mgfcos, zčehož Provedeme diskusi vztahu(1). a=g(sin fcos). (1) 1.Bude-li a >0,potomsin fcos >0,zčehožtg > f,tělesose pohybuje po nakloněné rovině rovnoměrně zrychleně směrem dolů. 2.Bude-li a=0,potomsin fcos=0,zčehožtg =f,tělesose pohybuje po nakloněné rovině směrem dolů rovnoměrně. 3.Bude-lisin fcos <0,zčehožtg < f,pakpohybnemůženastat. Kuvedenítělesadopohybujetřeba,abynatělesopůsobilaještědalší dostatečně velká síla F, rovnoběžně s nakloněnou rovinou směrem dolů (obr.16).připůsobenídalšísíly F pakplatí F v = F+ F G + F n + F t. Velikost zrychlení pohybu je pak dána vztahem a= F + g(sin fcos). m Má-liivtomtopřípaděbýt a 0,potommusíbýt F mg(fcos sin). F 1 F n F t F F G F2 Obr. 17 Nakloněná rovina pohyb směrem nahoru V případě pohybu tělesa po nakloněné rovině směrem nahoru ještě musí na těleso působit síla F(obr. 17). Výslednice F v těchtosiljeopětvektorovýmsoučtem těchto sil, tj. F v = F+ F G + F n + F t. Pohybovou rovnici bychom pak napsali obdobně jako v případě pohybu směrem dolů. Postupovali bychom analogicky jako v případě pohybu po nakloněné rovině směrem dolů za působení síly F. 8

9 Zrychlení pohybu je pak dáno vztahem a= F m g(sin+fcos). Abytělesostoupalovzhůruponakloněnérovině,musíbýt a 0,atedy F mg(sin+fcos). Přirovnoměrnémpohybuponakloněnéroviněvzhůrujetedy a=0,potom F= mg(sin+fcos). Příklad4 lyžařjedoucískopce Lyžařohmotnosti80kgjedezesvahu,kterýsvírásvodorovnourovinouúhel =15.Lyžařsepohybujesamovolněposvahudolůaždosáhnerychlosti ovelikosti30m s 1,nakterésepohybustálí.Jakámusíbýthodnotasoučinitele f smykového tření, které působí na skluznici lyží, aby pohyb lyžaře byl rovnoměrný? Uvažujte, že kromě třecí síly, působí na lyžaře také odporová sílavzduchu,projejížvelikostplatí F= 1 2 C Sv2,kde C=0,5, S=0,6m 2, =1,2kg m 3, vjevelikostrychlostipohybulyžařevzhledemkesvahu. Řešení Přiustálenémpohybuplatí mg(sin fcos) 1 2 C Sv2 =0,zčehož f= 2mgsin C Sv2 2mgcos =0,05. Příklad5 lyžařjedoucínavlekudokopce Lyžařzpředchozíúlohyjedenavlekudosvahu,kterýmátentokrátsklon =20. Uvažujme,žetažnélanomályžařzestrany (obr. 18). Směr vlečného lana budeme uvažovat,žejetéměřrovnoběžnýsesvahematažným lanem. Určete, jakou silou je napínáno vlečné lano, jede-li lyžař rovnoměrným pohybem.lyžařsepohybuje pomalu,takžesílu odporu vzduchu při pohybu zanedbáme. Obr.18Lyžařnavleku1 9

10 Řešení Při jízdě rovnoměrným pohybem do kopce platí pro velikost síly, kterou je napínáno vlečné lano(obr. 17) vztah F= mg(sin+fcos)=80 9,81 (sin20 +0,05 cos20 )N=305N Síly působící na šroubu Než zformulujeme problém sil působících na šroubu, vyřešíme ještě úlohu týkající se pohybu na nakloněné rovině, která, jak zjistíme, s tímto problémem velmiúzcesouvisí.určímevelikostvodorovněpůsobícísíly F 1,která utáhne břemeno o hmotnosti m na nakloněné rovině, která svírá s vodorovnou rovinou úhel. Součinitel smykového tření mezi břemenem a nakloněnou rovinou je f. F n F n F 5 F 1 F t F 3 F t F 6 F 1 F G F G F4 Obr. 19 Síly působící na břemeno Obr. 20 Rozklad sil Nejprve si zakreslíme síly, které na těleso působí(obr. 19). Tyto síly pak rozložíme do dvou navzájem kolmých směrů: rovnoběžného s nakloněnou rovinou, kolmého na nakloněnou rovinu(obr. 20). Budeme uvažovat, že břemeno se pohybuje na nakloněné rovině rovnoměrně. Ve směru rovnoběžném s nakloněnou rovinou platí F t F 3 + F 5 =0. Ve směru kolmém na nakloněnou rovinu je F n F 4 F 6 =0. Tytodvěrovnicedoplnímeještěvztahemprosmykovétření F t = F n f. Podleobr.20pakdálemůžemepsát F 3 = F G sin, F 5 = F 1 cos, F 4 = = F G cos, F 6 = F 1 sin,coždáledosadímedovýšeuvedenýchvztahů.dostaneme F n f F G sin+f 1 cos = 0, F n F G cos F 1 sin = 0. 10

11 Dále budeme postupovat tak, že z druhé rovnice vyjádříme F n = F G cos+f 1 sinadosadímedoprvnírovnice,tj. (F G cos+f 1 sin) f F G sin+f 1 cos=0. Z této rovnice pak vyjádříme F 1 = sin+fcos cos fsin F G. (2) Poznámka 1.Vtechnicképraxisečastozavádítzv.třecíúhel ϕ,kterýsedefinuje pomocívztahutg ϕ=f.pokudbychomčitateleijmenovatelevevztahu(2) vydělili cos, dostaneme sin cos + f cos cos tg +f F 1 = F cos cos f sin G = 1 f tg F tg +tg ϕ G= 1 tg ϕtg F G. cos Tento vztah je možno dále zjednodušit užitím tzv. součtového vzorce tg +tg ϕ 1 tg ϕtg =tg(+ϕ), sekterýmsevmatematiceseznámítepozději(vzorecjemožnonaléztv[2]nebo v[3]).vztah(2)sepakvýraznězjednodušínatvar F 1 = F G tg(+ϕ). (3) 2. Budeme-li břemeno po nakloněné rovině spouštět, změní se směr třecí sílynaopačný,cožsevevztahu(2)projevíveznaménkutřecíhoúhlu,tj.ve vztahu(3) je třeba zaměnit ϕ za ϕ a dostaneme vztah F 2 = F G tg( ϕ). (4) Šroubový zdvihák Zvedat(spouštět) nějaké břemeno pomocí šroubového zdviháku si lze představit jako pohyb tělesa po nakloněné rovině s vodorovnou silou, protože šroubovici si lze po rozvinutí představit jako nakloněnou rovinu, jejíž úhelsvodorovnourovinoujedánvztahemtg = h 1 pd 0, kde h 1 jetzv.stoupánízávitu, d 0 jetzv.středníprůměr závitu(obr.22), r 0 = d 0 2 pakjestřednípoloměrzávitu. G a F' 1 Obr. 21 Šroubový zdvihák 1 11

12 Připomeňmesi,žeprozvedáníplatívztah F 1 = F G tg(+ϕ),prospouštění platívztah F 2 = F G tg( ϕ). a) b) r 0 d 0 h 1 F' 1 c) G a F' 1 F 1 a F 1 Příklad 6 šroubový zdvihák Obr. 22 Šroubový zdvihák 2 Šroubovým zdvihákem, jehož šroub má střední průměr 65 mm, budeme zdvihat břemenoohmotnosti50kg.jakvelkousilou F 1 musímepůsobitnapáce, jejíž rameno má délku a = 500 mm, při rovnoměrném zdvihání břemene, je-li stoupáníšroubu h 1 =10mm(jednáseošroubsplochýmzávitem).Součinitel smykovéhotřenímezizávityzvedákuje f=0,1(obr.21,22). Řešení Nejprvevypočtemeúhly aϕ.proúhel platívztahtg = h 1 = 10 pd 0 p 65, zčehož = 2,80.Třecíúhel ϕjedánvztahem f = tg ϕ = 0,1,zčehož ϕ=5,71.zrovnováhynapácevyplývá,že F 1 = r 0 a F 1.Užitímvztahu(3) dostaneme F 1 =tg(2,80 +5,71 ) 50 9,81N=73N.Potom F 1= 32, N=4,7N Pohyb na klínu Při silovém rozboru pohybu na klínu musíme brát v úvahu dvě situace: pohyb klínu po vodorovné rovině a pohyb klínu po nakloněné rovině(obr. 23, 24). V našich úvahách nebudeme uvažovat s hmotností klínu, jehož tíha je zanedbatelná vzhledem k zatížení klínu břemenem(tlakovou silou). V rámci zjednodušení budeme také předpokládat, že součinitel smykového tření f je pro 12

13 obě stykové plochy stejný. Tření mezi vedením špalíku a špalíkem nebudeme uvažovat. G G F 1 = F 1+ F 1 F 2 = F 2+ F 2 Obr. 23 Zarážení klínu Obr. 24 Vytahování klínu Zarážení klínu Zarážení klínu je analogické pohybu po nakloněné rovině nahoru působením vodorovnésíly.vtétokapitolejsmejiždříveodvodilivztah F 1= G tg(+ϕ). Pro pohyb klínu po vodorovné rovině platí pro sílu mezi klínem a vodorovnou rovinouvztah F 1 = G f.provelikostcelkovésílytedyplatívztah F 1 = F 1+ F 1 = G tg(+ϕ)+g f= G [tg(+ϕ)+f]. Vytahování klínu Vytahování klínu odpovídá pohybu po nakloněné rovině dolů působením vodorovnésíly.platívztah F 2 = G tg( ϕ).propohybklínupovodorovné roviněplatíprosílumeziklínemavodorovnourovinouvztah F 2 = G f.pro velikost celkové síly tedy platí vztah F 2 = F 2+ F 2 = G tg( ϕ) G f= G [tg( ϕ) f]. Poznámka 1. U všech doposud uvažovaných jednoduchých strojů jsme uvažovali, aniž bychomtonějakdálerozebírali,žebřemenozůstanevesvépoloze,ikdyžnaně už nebudeme působit jakoukoli silou. Tato vlastnost se nazývá samosvornost. 2. Podmínku samosvornosti lze odvodit ze situace, že budeme břemeno spouštět. Při spouštění totiž musíme vyvinout sílu opačného smyslu než při zvedání,tj. F 2 = G tg( ϕ) 0,zčehožlzeodvoditpodmínku ϕ. 13

14 2.1.4 Štípání dříví sekyrkou Štípání dříví sekyrkou je další případ pohybu na nakloněné rovině.vtomtopřípaděsebudejednatsituaci,kdysebude pohybovat dvojice nakloněných rovin, a to vlivem síly, která bude působit svisle dolů. Výslednice sil na jednotlivých plochách budou mít vodorovný směr a budou-li dostatečně velké, mohou roztrhnout požadovaný špalek dřeva. Udělejme si nyní silový rozbor této situace. Budeme uvažovat pohyb sekyrky směrem svisle dolů. Při štípání dřeva bude na sekyrku působit síla F z = 2F.Vzhledemksymetriisekyrkytutosílurozložímetak,ženakaždéšikméplošesekyrkybudepůsobitpouze její polovina, tj. pro každou plochu budeme počítat se silou F (obr. 25, 26). F n1 F t2 F t1 F n2 F 2 F 1 2 F F Obr. 26 Síly působící na sekyrku F =2F z Obr. 25 Štípání sekyrkou Podleobr.26jetedymožnoříci,ženapravouplochusekyrkypůsobísíla Fakolmá tlakovásíla F n1 ;mezitoutoplochouadřevem pak působí proti směru pohybu sekyrkysílatřecí F t1.výslednice F 1 mávodorovný směr a způsobí roztržení dřeva. Stejnouúvahujemožnoprovésttaképrolevou šikmou plochu. My tento problém budeme řešit pro každou z těchto ploch zvlášť. Tíhu sekyrky v našich úvahách vzhledem k velikosti ostatních sil zanedbáme. V dalším postupu bychom měli provést rozklad těchto sil do dvou navzájem kolmých směrů na každé ploše, jako v případě pohybu po nakloněné rovině svisle vzhůru působením vodorovné síly jako v části Postup by byl analogický jako v části 2.1.2(proveďte sami). Měli byste dospět k výsledku cos fsin F 1 = F 2 = sin+fcos F=1 cos fsin 2sin+fcos F z. Pokudbychomtentovýrazupraviliužitímvztahuprotřecíúheltg ϕ=f, dostaneme vztah F 1 = F tg(+ϕ) =1 F z 2tg(+ϕ). (5) Všimněte si, že tento vztah je analogickou obdobou vztahu(2). 14

15 Příklad 7 štípání dříví Uvažujte,žemátesekyrku,jejížklínmáúhel2=10.Součinitelsmykového třenízapohybumezidřevemaocelísekyrkyje f=0,4.vypočtětepoměrmezi silou,jakoupůsobítesekyrkoupřinárazunapoleno F z avodorovnousilou F 1, která způsobí roztržení polene. Řešení Přiřešenípoužijemevztah(5),třecíúhel ϕ=22, =5.Dostaneme F 1 = 1 F z 2 1 tg(5 +22 ) =0,98 =1.. Cvičení 2 4. Uvažujte lyžaře z příkladu 4, kterýjedenajinémvleku,dokopce, který svírá s vodorovnou rovinou úhel = 30, tažné lano je opět rovnoběžné se svahem, vlečné lano svírásrovinousvahuúhel β=15 (obr. 27). Určete velikost síly, kteroujenapínánovlečnélanovtomto případě, pohybuje-li se lyžař rovnoměrně. Obr.27Lyžařnavleku2 5. Odvoďte vztah(4). Použijte postup analogický postupu při odvození vztahu (3). 6.Vypočtětevelikostisil F 1 a F 2,které utáhnou břemenoohmotnosti100kg ponakloněnéroviněsúhlem =15,je-lisoučinitelsmykovéhotřenímezi nakloněnou rovinou a břemenem 0,1. Břemeno budeme nejprve rovnoměrně zvedatponakloněnéroviněvodorovnousilou F 1 apaknásledněrovnoměrně spouštětdolůpůsobenímvodorovnésíly F 2. 7.Odvoďtevztah(5)pomocírozkladusilzobr Klín,znázorněnýnaobr.28,mápřizaraženívyvinouttlakovousílu2kN. Součinitelsmykovéhotřeníje0,15(ocel ocel).určete,jakvelkousilou F 1,je třeba působit na klín ve vodorovném směru, abychom ho zarazili a jak velkou silou F 2,abychomhozasevytáhliven.Klínmáúkos1:100.Ověřtetaké,zdaje splněna podmínka samosvornosti, že se klín po zaražení samovolně neuvolní. 15

16 1 100 Obr.28Klín 9. Jakou silou musíme působit na konec páky šroubového lisu při utahování a povolování,abychompřistřednímprůměruzávitu d 0 =64mmastoupání h 1 = =6mmvyvinulitlakovousílu5kN?Délkapákyje50cm.Součinitelsmykového tření je 0,1. Ověřte, zda je lis samosvorný. 10. Stolní svěrák, znázorněný na obr. 28, je tvořen šroubem s plochým závitem ostoupání5mmastřednímprůměru48mm.vlivemotáčenípákyvevzdálenosti 10 cm od osy otáčení uvádíme do pohybu jednu ze dvou rovnoběžných čelistí, které se v případě upínání součástky k sobě začnou přibližovat a nakonec součástku pevně sevřou. Součinitel smykového tření mezi závity šroubu a vedením šroubu je 0,1. Jak velkou silou budou působit čelisti při upnutí součástky, jestliže na kliku působíme silou 50 N? Obr. 29 Stolní svěrák 16

17 2.2 Skládání a rozklad rovnoběžných sil Příklad8 cyklistanalávce Cyklista o hmotnosti 60 kg i s kolem přejíždí po lávce o délce 10 m rychlostí 9km h 1, g=9,81m s 2.Zatíženíjednotlivýchkoljevpoměru1:2(vícejezatíženo zadní kolo). Osy kol mají vzdálenost d=1m.určete,jaksevprůběhupohybu cyklisty mění zatížení jednotlivých konců lávky v závislosti na čase. Při řešení uvažujte pouze situaci, že se cyklista nachází nalávcesoběmakoly(nikolivjenjedním kolem) bicyklu. Obr. 30 Lávka Určetedobuodokamžikuvjezducyklistyoběmakolynalávku,kdyjezatížení obou konců lávky stejně veliké. Vypočtěte také dobu, za kterou cyklista přejede lávku. Znázorněte také graficky závislost zatížení okrajů lávky v závislostinačase.(všepouzeprosituaci,žecyklistajeoběmakolybicykluna lávce.) Hmotnost lávky v tomto výpočtu neuvažujte. Řešení A B F A F 1 F 2 F B x d l Obr. 31 Síly, kterými bicykl působí na lávku Vzhledem k bodu A platí: F 2 x+f 1 (x d)=f B l. 17

18 Podlezadáníje F 1 F 2 = 2 1,dáletaképlatí F 1+ F 2 = F G,zčehož F 1 = 2 3 F G, F 2 = 1 3 F G.Podosazenídovýšeuvedenérovnicedostaneme 1 3 F G x+ 2 3 F G (x d)=f B l, 3x 2d zčehož F B = F 3l G, {F B }= 39,24+58,86{x}.Vzhledemktomu,žese cyklistapohybujerovnoměrně,můžemepro xpsát: x=d+vt(včase t=0se cyklistazadnímkolem dotýká bodu A).Podosazenídostanemevztah {F B }=19,62+147,15{t}. Pro F A pakplatí,že 3x 2d F A = F G F B = F G F G, {F A }=568,98 147,15{t}. 3l Grafy ukončíme vsituaci,žesecyklistabude dotýkat přednímkolemlávky vbodě B.Stejnézatíženínaoboukoncíchlávkynastane,je-li F A = F B,tedy platí, že 568,98 147,15t=19,62+147,15t, zčehož t=1,87s =1,9s.Cyklistapřejedelávkuvýšepopsanýmzpůsobemza. dobu T= l d 10 1 = s=3,6s. v 9 3,6 567 F N 500 F B F A = F B F A 1,0 2,0 3,0 3,6 Obr. 32 Graf závislosti zatěžujících sil na čase t s 18

19 Příklad9 chodecnalávce Přeslávkuodélce6mjdechodecohmotnosti80kg.Délkakrokuchodceje 0,75 m. Určete, jak se změní zatížení konců lávky v závislosti na pohybu chodce (jeho jednotlivých krocích)(obr. 33). Uvažujte, že při dokončení kroku spočívá tíhachodcenanoze,kteroumáprávěnazemi, g=9,81m s 2. Řešení A F A d F G l - d l Obr. 33 Síla, kterou chodec působí na lávku Na začátku chůze po lávce je lávka zatížena pouze na jednom konci, tj. F A =785N, F B =0N.Pakchodecučiníprvníkrok nakonci1.kroku je veškerá tíha chodce soustředěna na jedné noze ve vzdálenosti d od bodu A. Běhemchůzepolávcevykonáchodec n= l d =8kroků. Nakonci1.kroku:dleobr.33platí F A d=f B (l d)azároveň F A +F B = F G, zčehož F A = l d = l F B d d 1= 6 0,75 1=7.Potom F A= ,81N=687N, F B = ,81N=98N. 8 Nakonci2.kroku:obdobnějakonakonci1.krokuplatí F A 2d=F B (l 2d) azároveň F A + F B = F G,zčehož F A = l 2d = l F B 2d 2d 1= 6 2 0,75 1=3. Potom F A = ,81N=589N, F B= ,81N=196N. 4 Po dalším kroku: obdobně jako na konci předchozího kroku platí F A 3d=F B (l 3d) F B B 19

20 azároveň F A + F B = F G,zčehož F A = l 3d = l F B 3d 3d 1= 6 3 0,75 1=5 3. Potom F A = ,81N=491N, F B= ,81N=294N. 8 Po n-tém kroku: obdobně jako na konci předchozího kroku platí F A nd=f B (l nd) azároveň F A + F B = F G,zčehož F A = l nd = l F B nd nd 1=8 n 1. Chodec přejde lávku po 8 krocích. Když je chodec na konci lávky, dostaneme F A =0N, F B =785N. V průběhu jednotlivých kroků klesá velikost síly na začátku lávky po každémkrokuo98n,otutéžhodnotuvelikostsílynadruhémkoncilávkystoupá. Příklad10 trámy Dřevěné trámy ze suchého dřeva o hustotě500kg m 3 až600kg m 3 mají délku8maprůřez16cm 14cm.Odhadněte hmotnost trámu. Odhadněte, zdatrámuzvednejedentesařakdeho uchopí. Odhadněte, zda trám unesou dvatesaři.záležínatom,zdahobudou držetobatak,žekaždýstojínakonci trámunebo1metrodkonce?jakouzá- Obr.34Trámy těž bude představovat trám pro každého ze dvou tesařů, bude-li jeden držet trámzcelanakonciadruhý2metryoddruhéhokonce?jednoutrámnesli tesařipodelšítrase,atakvzaduchytiljedenznichtrámzcelanakonciadalší dvatesařisipřibilipříčnoulaťkukolmokdélcetrámuavtomtomístěnesli trám oba společně. Kde měli umístit tyčku, aby všichni nesli stejně? Řešení Objemtrámuje V=0, m 3 =0,18m 3.Hmotnosttrámuodhadneme pomocívztahu m= V,podosazení m=(90až108)kg.prodalšívýpočty budemeuvažovat m=100kg.pokudbyměltrámnéstjedentesař,muselby houchopitvtěžišti,tj.vevzdálenosti4modjednohozkonců,aletakhletěžký trámbyasineunesl.dvatesařitrámunesou,zátěžprokaždéhoznichbude mg 2 bezohledunato,zdatrámnesoukaždýnajednomkoncinebokaždýve vzdálenosti1modkonce.jinásituacebynastala,pokudbyjedentesařnesl 20

21 trámnakonciadruhý2modkonce,cožjeschematickyznázorněnonaobr.35. F 1 F 2 l 2 l 2 x x F G Obr. 35 Přenášení trámu Zobr.35vyplývápodmínkarovnováhy: F 1 l ( ) l 2 = F 2 2 x,podosazeníza l=8max=2mdostaneme F 1 = 1 F 2 2.Protožezároveňplatí,že F 1+F 2 = F G, dostaneme F 1 =333N, F 2 =667N.Vpřípadě,žebytrámneslitřitesaři nesoucístejněvelkouzátěž,pakbychommohlipsát F 1 = F, F 2 =2F.Po dosazení do obecné podmínky pro rovnováhu dostaneme F l ( ) l 2 =2F 2 x,zčehož x= l 4 =2m. Cvičení 3 11.Mostovýjeřábonosnosti10tunmá na háku zavěšeno břemeno o hmotnosti m=5tun.jeřábovákočkasepohybuje pomostuošířce a = 20 mrychlostí ovelikosti v = 0,5 m s 1.Stanovte, jakse mění zatíženínaobou koncích mostu v závislosti na čase. a v m Obr. 36 Mostový jeřáb 12. Určete namáhání lan, na kterých je zavěšeno břemeno na háku jeřábu vpředchozíúloze,víte-li,žeúhel,kterýsvírajílanamezisebouje Osobní automobil má přední nápravu zatíženou silou N, zadní nápravusilou8900n.vzdálenostmeziosamináprav(tzv.rozvor)je2450mm. Určete vzdálenost vektorové přímky těchto sil od přední nápravy. 21

22 3 Těžiště tělesa Než tento pojem zavedeme, zkuste provést následující pokus. Vezměte smeták s násadou a provázek. Na jednom konci provázku udělejte oko a provlékněte jím násadu smetáku, druhý konec provázku upevněte někdevevýšce,např.přivažtekvětvi stromu(obr. 37). Obr. 37 Smeták Nyní postupně měňte polohu oka vůči násadě smetáku a snažte se dostat tyč smetáku do vodorovné polohy. Vokamžiku,kdysevámtopovede,pakmůžemeříci,ženastalarovnováha a že výslednice všech momentů tíhových sil je nulová. Jinak řečeno: nastala rovnováha momentů tíhových sil působících na smeták nalezli jste x-ovou souřadnici těžiště. Co tedy přesně znamená, když o nějakém předmětu řekneme, že má těžiště? Umístíme-li těleso určitým způsobem např. tak, že jej v nějakém bodě zavěsíme, pak zaujme stabilní rovnovážnou polohu, ve které se otáčivý účinek tíhových sil působících na jednotlivé části tělesa ruší. Vektorová přímka výsledné tíhové síly těžnice tedy prochází bodem závěsu. Výslednou tíhovou sílu můžeme ovšem přenést do libovolného bodu těžnice. Pro libovolný bod těžnice platí momentová věta. Abychom zavěšováním určili působiště tíhové síly jednoznačně, musíme měnit bod závěsu,čímžseměnípolohatěžnicevtělese. Všechny těžnice pak procházejí týmž bodem těžištěm tělesa(obr. 38). Obr. 38 Zjišťování polohy těžiště V případě některých geometricky jednoduchých homogenních útvarů a těles však máme problém hledání polohy těžiště značně zjednodušen: využíváme symetrie těchto těles, např. těžiště tenké homogenní čtvercové desky(dále jen desky) tvaru čtverce nebo obdélníku se nachází v průsečíku úhlopříček, o těžišti desky tvaru trojúhelníku již víte, že je průsečíkem tzv. těžnic, definovaných jako spojnice vrcholů se středy protějších stran. Řadu těles a útvarů pak můžeme z těchto jednoduchých útvarů skládat. Polohu těžiště takových útvarů pak počítáme obdobně jako když skládáme síly a zjišťujeme polohu výslednice, což si dále ukážeme. 22

23 Příklad11 těžištěpísmene L Vypočtěte polohu těžiště písmene L znázorněného na obr. 39. Délka strany jednoho čtverečku je a. Řešení Nejprve zavedeme soustavu souřadnic, a to tak, že za počátek soustavy souřadnic zvolíme levý dolní roh písmene L(obr. 39). Nejprve určíme x-ovou souřadnici těžiště. PísmenoLsimůžemepředstavit,žeseskládáse dvou obdélníků vyznačených na obr. 40. Vzhledemkbodu Oplatí F G1 a 2 + F G2 2a=F G x T. Označme m hmotnost každého čtverečku. Pakmůžemepsát F G1 =5mg, F G2 =2mg, F G = F G1 + F G2 =7mg.Podosazenídostaneme 5mg a 2 +2mg 2a=7mg x T, zčehož x T = 13 a=0,93 a. 14 y O F G1 T F G x T Obr. 39 Písmeno L F G2 x Obr. 40 Volba soustavy souřadnic Abychom zjistili y-ovou souřadnici těžiště, celé písmeno L překlopíme tak, jak je znázorněno na obr. 41. Pak postupujeme stejně jako při výpočtu x-ové souřadnice, tj. 3mg a 2 +4mg 3a=7mg y T, zčehož y T = 27 a=1,93 a. 14 Těžiště písmene L tedy má souřadnice [0,93 a;1,93 a]. x O y T T y F G1 F G2 F G Obr. 41 y-ová souřadnice těžiště 23

24 Poznámka: Na základě řešení příkladu 11 lze tedy obecně pro výpočet souřadnic těžiště napsat vztahy x T = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x , y T = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y , m 1 + m 2 + m m 1 + m 2 + m popř. ještě z T = m 1z 1 + m 2 z 2 + m 3 z m 1 + m 2 + m Příklad 12 rovnání cihel Řešte následující úlohy: a) Dvě cihly jsou s přesahem položeny na sobě. Určete maximální přesah horní cihly, aby ještě zůstala ve vodorovné poloze. b) Tři cihly jsou s přesahem položeny nasobě,atotak,žedruhávůčiprvnía třetí vůči druhé mají stejný přesah. Určete maximální přesah také v tomto případě. Délkacihlyje a=30cm. Obr. 42 Cihly Řešení a) Pokud dojde k překlopení horní cihly, bude se cihla naklápět podle hrany procházející bodem A. V rovnovážném stavu platí pro maximální vysunutí horní cihly podmínka: Sh(a b) g a b = Shb g b 2 2, kde Sjeobsahpodstavycihly.Poúpravě dostanemerovnici(a b) 2 = b 2. Fyzikální význam má pouze řešení b= a 2 =15cm. h a F G F G1 Obr.43Dvěcihly b) Pokud dojde k překlopení prostřední cihly, bude se cihla naklápět podle hrany procházející bodem A(obr. 44). V rovnovážném stavu platí pro maximální vysunutí dvou horních cihel podmínka: Sh(a b) g a b 2 + Sh(a 2b) g a 2b 2 24 A = Sb g b + S 2b g b, 2 b F G2