MECHANIKA PRUŽNÉHO TĚLESA. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Bohumil Vybíral. Předmluva 3

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MECHANIKA PRUŽNÉHO TĚLESA. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Bohumil Vybíral. Předmluva 3"

Transkript

1 MECHANIKA PRUŽNÉHO TĚLESA Studijní tet pro řešitee O a ostatní zájemce o fyziku Bohumi Vybíra Obsah Předmuva 3 1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O PRUŽNOSTI TĚLES Pevnépružnétěeso Napětíadeformace TAHOVÁ A TLAKOVÁ DEORMACE Tahovádeformacetyče,Hookůvzákon Takovádeformacetyče Deformačníenergiepřitahu Eperimentánízkoumánímateriáutahematakem Mírabezpečnostiadovoenénapětí Příkad1 návrhprutovésoustavy Sožitějšíúohyvedoucínatahnebotak Příkad2 rotujícítyč Příkad3 rotujícíprstenec Úohykekapitoe SMYKOVÁ DEORMACE A TORZE Hookůvzákonprodeformacismykem Deformačníenergiepřismyku Dovoenénapětípřismyku Torzerotačníhováce Deformačníenergiepřitorzi Příkad4 hnacíhříde Příkad5 torzníosciátor Příkad6 tuhostšroubovitépružiny Úohykekapitoe

2 4 ELEMENTÁRNÍ TEORIE OHYBU Nosníkzatíženývnějšímisiami Vnitřnístatickéúčinkyunosníků Příkad7 posouvajícísíaaohybovýmoment Napětíadeformacepřiprostémohybu Příkad8 Průřezovécharakteristikyobdéníkaakruhu Deformačníenergiepřiprostémohybu Příčnýohyb Ohybováčáranosníkupřipříčnémohybu Příkad9 Ohybováčárakrakorce Příkad10 Pevnostnívýpočetkrakorce Vzpěrpřímýchprutů Úohykekapitoe ŘEŠENÍ ÚLOH 56 Literatura 62 Příoha 63

3 Předmuva Předožený studijní tet se zabývá mechanikou pevného deformovateného těesa oborem, který studuje mechanická napětí a deformace vyvoané působením vnějších si. Jde tedy o otázky související s pružností a pevností reáného těesa a proto se tento obor v apikované technické formě nazývá pružnost a pevnost, i když ani toto označení pně nevystihuje obsah tohoto technického předmětu. Zabývá se jevy, které vysvětují pevnost např. ptačího křída, kymácejícího se stéba trávy ve větru anebo rotující neutronové hvězdy. Konstruktérovi poskytuje metody potřebné pro návrh různých staveb a strojů. Jejich nedostatečné respektování vede ke katastrofám, se kterými se stáe setkáváme (zřícené budovy, mosty, havarovaná etada atd.). Otázkami pružnosti a pevnosti se zabývay nejvýznamnější osobnosti fyziky, jakými byi G. Gaiei, Jacob Bernoui, E. Mariotte, R. Hooke, L. Euer, Ch. A.Couomb,A.L.Cauchy,G.G.Stokes,G.Green,J.C.Maweaj.Souběžně s rozvojem tohoto oboru se rozvíjey i významné matematické obory, jako teorie diferenciáních rovnic a tenzorový počet. I přes uvedený význam je tento obor mechaniky jen okrajovou součástí současné středoškoské fyziky. Nicméně ve vysokoškoské fyzice má pevné místo v teoretické mechanice jako mechanika pružného kontinua. Zde jde o náročnou partii vyžadující dobrou znaost vyšší matematiky, zejména tenzorového počtu. Pro budoucí techniky na středních a vysokých škoách je pružnost a pevnost obávaným profiujícím předmětem. Inženýr dokáže metodou konečných prvků (numerická diferenční metoda řešení diferenciáních rovnic, které popisují napětí a deformace) provést pevnostní výpočet těesa(součástky, konstrukce) ibovoného tvaru. Předožená pubikace může poskytnout jen stručný fyzikání úvod do mechaniky deformovatených těes. Omezuje se jen na pružné deformace těes jednoduchého tvaru. Popisuje zákadní deformace: tah, tak, smyk, torzi a ohyb. Při fyzikáním popisu vystačíme se zákady diferenciáního a integráního počtu. Stručný fyzikání výkad je iustrován 10 řešenými příkady a čtenáři je předoženo 26 úoh s řešením uvedeným v závěru pubikace. Přiřešenípříkadůaúohsečtenářsetkásmatematikou,kteráseběžně na střední škoe neprobírá. Vhodné dopnění matematiky pro fyziku ze najít v souboru pubikací Kapitoy z matematiky pro řešitee fyzikání oympiády[13]. 3

4 1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O PRUŽNOSTI TĚLES 1.1 Pevné pružné těeso V mechanice se setkáváme s ideaizovanými modey pevných těes. Jde-i nám o pohyb těesa jako ceku, používáme mode tuhého těesa. Síy a momenty si působící na těeso vyvoávají u reáného těesa stav napjatosti provázený jeho deformací. V našem tetu se soustředíme na zjednodušený mode pevného těesa, u něhož vznikají jen pružné deformace, tj. po vymizení vnějších si vymizí i deformace a těeso nabývá původního tvaru. U reáného tvárného těesa přejdou při překročení určitého napětí pružné deformace na pastické zákad změny tvaru těesa kováním a isováním. U křehkého těesa tento stav nenastává dochází přímo k omu. Deformace reáných pružných těes působením si je podmíněna jejich mikrostrukturou. Jejím zákadem jsou zpravida ionty, které jsou u krystaických átek rozoženy v krystaových mřížkách. Látka ve formě monokrystau je anizotropní, tj. její vastnosti závisí na směru si vzhedem ke stavbě krystau. Většina technicky významných átek se vyskytuje jako poykrystay. Skádají se z vekého počtu krystaků(zrn), jejichž vzájemná pooha je nahodiá a proto výsedné fyzikání vastnosti těchto átek jíž nejsou závisé na směru; tyto átky jsou izotropní. Izotropií se vyznačuje i druhá skupina pevných átek amorfní átky, které nemají krystaovou strukturu, protože jsou tvořeny částicemi s krátkým dosahem. Patří mezi ně např. pasty, sko, vosk, pryskyřice, asfat a poymery(např. kaučuk, bavna, termopasty aj.). V našem tetu se budeme zabývat deformacemi pevných těes vytvořených z izotropních átek. Mikrostruktura pevných átek výrazně ovivňuje jejich mechanické vastnosti jejich pružnost a pevnost. Pro zkoumání makroskopických deformačních dějů však není nutné přihížet k mikrostruktuře átky, nýbrž pevné těeso ze vyšetřovat jako pružné spojité prostředí pružné kontinuum. Tento mode umožňuje využít matematickou teorii spojitých funkcí jedné nebo více proměnných, přičemž rozpor s nespojitou fyzikání reaitou, projevující se ve vemi maých objemech, překeneme tak, že jednotivým bodům kontinua připíšeme veičiny, které jsou středními hodnotami z dostatečně vekého okoí bodu kontinua.upatňujesezdefenomenoogická( jevová )metoda,přičemžfyzikání vastnosti átky, podmíněné jejich mikrostrukturou, jsou popsány obecně spojitými funkcemi místa v těese. Některé z nich ze považovat za konstanty; nazývají se materiáové konstanty. U izotropních átek jsou tyto konstanty dvě a nazývají se moduy pružnosti: E YoungůvmodupružnostiaG modupružnostivesmyku.uani- 4

5 zotropních átek se nazývají eastické koeficienty a jejich počet závisí na sožitosti krystau(u nejsožitějšího krystau trojkonné soustavy je jich 21). 1.2 Napětí a deformace Nechťnapružnétěesopůsobísoustavavnějšíchsi 1... i... n (obr.1), přičemžjejichvýsednicejenuová: n i=1 i= 0, tj.těesojevestatickérovnováze. Mezi vnější síy patří: 1. objemové síy rozožené v ceém těese, tedy především tíhová sía a setrvačné síy vznikají v neinerciání soustavě spojené s těesem, např. sía odstředivá, 2. pošné síy, působící na povrch těesa především takové síy vyvoané takem kapain a pynů, 3. vazbové síy(reakce) síy a případně momenty si, kterými působí na pružné těeso okoní těesa v místech vazeb(např. ožiska, podpěry, vetknutí). Určují se z podmínek statické rovnováhy těesa(viz např.[10]) n k n Obr. 1 Soustava vnějších si a vnitřních si Působení vnějších si uvnitř těesa zprostředkovávají vnitřní síy. Jsou to síy, které působí jako reakce proti tendenci vnějších si porušit prvek pružného těesa, měnit jeho tvar, odděit jednu jeho část od druhé. Určují se metodou k 5

6 myšenéhořezu. 1 )Těesemvedemevmístě,kdemámesíyurčit,myšenýřez rovinou (obr.1),kterýmtěesorozděímenadvěčásti1,2.označíme-i 21 výsednici vnitřních si spojitě rozožených po poše řezu, kterými působí část 2načást1aanaogicky 12,kterýmipůsobíčást1načást2,musízhediska rovnováhybýt = 0. Vnitřnísíyurčujememetodoumyšenéhořezu tak,žeurčímerovnováhujejíurčitéčásti(1nebo2). V mechanice tuhého těesa jsme pracovai se siou jako vektorem, který je vázánnapřímku nositekusíy ponížjibyomožnoibovoněposunout. V mechanice pružných těes to nepatí, protože posunutím síy po přímce(změnoujejíhopůsobiště)bydošokezměněrozoženívnitřníchsiatímkezměně napjatosti těesa. Rozožení vnitřních si na poše myšeného řezu těesa charakterizujeme veičinou(mechanické) napětí. Nechť na eementární poše S v okoí bodu A pochyřezu(obr.2)působívnitřnísía.pakcekovénapětívtomtobodě je c= im S 0 S =d ds. (1) JednotkounapětívsoustavěSIjeN m 2 =m 1 kg s 2 =Pa(pasca).Protože napětí1pajevemimaé,používásejednotkampa=10 6 Pa=N mm 2. S S n n A α c t t n k Obr.2 Kpojmunapětí 1 )Geniánímetodumyšenéhořezu,hojněpoužívanouvmechanicepružnéhotěesa,zaved Leonard Euer ( ). Řezem se vnitřní sía stává siou vnější a můžeme ji určit z podmínky rovnováhy odděené části. 6

7 Vektornapětí cmádvěvýznamnésožky.sožkanapětívesměrunormáy nkroviněmyšenéhořezusenazývánormáovénapětí,vtechnicképraise značí σ. tohoto souhasný se směrem vnější normáy, hovoříme otahovémnapětí(tentopřípadjeznázorněnnaobr.2).je-isměrnapětí opačný než vnější normáa, hovoříme o takovém napětí. Druhá významná sožkouvektorunapětí cežívtečnéroviněmyšenéhořezu(tedypřímovroviněřezu,kterýjerovinný).nazývásetečnénapětí avtechnicképraise značí τ. Protože toto napětí vyvoává smykovou deformaci, nazývá se rovněž smykové napětí. Rozkadvektorunapětí cvurčitémboděrovinnéhořezuzatíženéhotěesa do sožek můžeme vyjádřit těmito skaárními výrazy: n σ= im S 0 S =d n ds =d ds cosα=σ ccosα, (2) t τ= im S 0 S =d t ds =d ds sinα=σ csinα, (3) kde n, t jsouveikostiprůmětusíy do nat.úhe αvtěchtovýrazech jeodchykasíy odsměruvnějšínormáy naežívintervau 0, p.zvýrazu (2)tedyvypývá σ >0 protahovénapětí,kdy α 0, p/2) a σ <0 pro takovénapětí,kdy α (p/2, p.tečné(smykové)napětíje τ > 0,neboť vznikápro α (0, p). Cekové napětí(1) je závisé na dvou vektorových veičinách na vektoru vnitřních si v místě eementu pochy S a na směru vnější normáy pochy myšenéhořezuvmístě,vněmžeement Seží.Napětí cjetedyveičina, která je charakterizována dvěma směry, což se v jeho sožkách obecně vyjadřuje připojením dvou indeů. Takové veičiny se vyskytují jak ve fyzice, tak v geometrii, nazývají se tenzory a zabývá se jimi matematická discipína tenzorový počet. 2 ) 2 )Vdanémpřípadějdeotenzordruhéhořádu.Vtrojrozměrnémprostorumá3 2 =9 kartézských sožek, které ze uspořádat do matice ( σ, σ y, σ z ) σ y, σ yy, σ yz. σ z, σ zy, σ zz Tři sožky v havní diagonáe matice mají dva stejné indey a popisují normáová napětí ve směru přísušných os, y, z. Šest zbývajících sožek popisuje tečná napětí v rovinách yz, zay.jsouvindeechsymetrické(např. σ y = σ y)atedynezáviséjsoujentři. V mechanice tuhého těesa se setkáváme s podobným tenzorem tenzorem setrvačnosti(viz např.[11]). Vektory ze považovat za tenzory prvního řádu(v trojrozměrném prostoru mají 3 1 =3sožky)askaáryzatenzorynutéhořádu(3 0 =1sožka).Ovektorechatenzorechve fyzice systematicky pojednává[12]. 7

8 S tenzorovým vyjádřením napětí souvisí i tenzorové vyjádření deformace, kterou napětí vyvoává. Tedy úpný a obecný popis napjatosti těesa vyžaduje popis pomocí tenzorové agebry a anaýzy. V našem výkadu se tomuto obecnému popisu vyhneme, aniž bychom omezovai správnost řešení, neboť se budeme zabývat jen jednoduchými(i když fundamentáními) případy pružnosti těesa. Budeme tedy nadáe pracovat se sožkami napětí σ a τ jako se skaárními veičinami. Účinkem vnitřních si vzniká v těese jeho deformace. Budeme uvažovat jen pružnou deformaci, tj. takové změny tvaru a rozměrů, které vymizí, přestanou-i působit vnější síy. Nyní zavedeme veičiny, kterými budeme popisovat deformaci. Představme si body A, B, C nedeformovaného těesa(obr. 3). Vzdáenost bodů A, B označíme ; úsečky AB, BC spou svírají úhe α. Působenímsíy setěesodeformujeabodypřejdoudopooh A, B, C.Orientované úsečky AA, BB, CC senazývajívektorypřemístění,přičemžjezerozožit na přemístění ineární posunutí a přemístění úhové pootočení. U ohybu nosníku(viz kap. 4) se posunutí nazývá průhyb v určitém bodě. S pootočením sesetkámeutorze(vizkap.3),kterésezdeoznačujeúhezkroucení. A A + B α B α C C Obr.3 Kpojmudeformace Současně s přemístěním vzniká u těesa na obr. 3 přetvoření charakterizovanézměnoudéekúsečekazměnouúhumezinimi.nechťúsečka ABzmění déku popřemístěnído A B na +.Tutozměnucharakterizujemereativním(poměrným) prodoužením ε=. (4) Je to bezrozměrná veičina, která udává prodoužení úsečky jednotkové déky. Vyjde-i εzáporné,jdeozkráceníúsečkydéky o. 8

9 Vede ineárního přetvoření vzniká úhové přetvoření, které se v našem případěprojevízměnouúhu αna α.zvoíme-ibodya, B, Ctak,že α=p/2, nazývá se přísušná změna úhu zkos γ= p/2 α. (5) Obecně síy a momenty si způsobují sožité deformace těes. Ve zváštních případech dochází k zákadním deformacím těes, jak je vyznačeno na obr. 4. Jsou to: 1. tah(tahová deformace) a tak(taková deformace) projevuje se u namáhání an, prutů v příhradových konstrukcích, soupů, řetězů, 2. smyk(smyková deformace) projevuje se u namáhání šroubů, nýtů, svárů, čepů, 3. torze(krut) projevuje se u namáhání hřídeů, pružin, torzních váken, 4. ohyb projevuje se u namáhání všech druhů nosníků, např. hřídeů, překadů, mostovek, bakonových nosníků(krakorců). a) b) c) d) 2 e) Obr.4 Zákadnídruhydeformací:a)tah,b)tak,c)smyk,d)torze,e)ohyb 9

10 2 TAHOVÁ A TLAKOVÁ DEORMACE 2.1 Tahová deformace tyče, Hookův zákon Napřímoutyčkonstantníhoprůřezuopošnémobsahu Snechťpůsobívose stáá sía (obr. 5). Normáové napětí v ibovoném místě komého průřezu nosníku určíme metodou myšeného řezu rovinou vedenou komo k jeho ose (obr.5a).zpodmínkyrovnováhyodděenéčásti σs =0pyne σ= S. (6) a) b) b b b S σ + Obr. 5 Tahová deformace: a) určení napětí metodou myšeného řezu, b) změna rozměrůtyčepřitahu Působením vnější siy se tyč prodouží o. Výsedky eperimentů, které r pubikova Robert Hooke, vedou k jednoduchému závěru, že prodoužení je přímo úměrné veikosti působící síy, pokud její veikost nepřekročí jistou mez. Prodoužení tyče je dáe přímo úměrné její déce a nepřímo úměrné pošnému obsahu S příčného řezu pode vztahu = ES = σ E, (7) kde Ejekoeficientúměrnosti,kterýjeprourčitýmateriátyčeajehotepotu konstanta.veičinu Ezavedteprver.1807,tedyaž129etpozveřejněníHookova poznatku, Thomas Young. Na jeho počest se nazývá Youngův modu (anebo také modu pružnosti v tahu). Zavedením reativního prodoužení(4) a normáového napětí(6) můžeme vztah(7) psát v obecnějším tvaru σ= Eε, (8) který se nazývá Hookův zákon pro jednoosou napjatost(tah/tak). Z tohoto vztahu je zřejmý fyzikání význam Youngova moduu. Je to napětí, které 10

11 byvtyčivznikopři ε=1(tj. =),kdyžbychompřijaipatnostzákona (8) bez omezení. Ve skutečnosti u většiny technických materiáů vzniká již při ε <0,01pastickádeformace.Výjimkutvoříjenpryž.Vtab.Ivpříozejsou uvedeny hodnoty Youngova moduu pro běžné technické materiáy. Protože / = ES/, nazývá se veičina ES/ tuhost tyče v tahu jako sía, která by způsobia prodoužení tyče o jednotkovou déku. S prodoužením tyče se současně zmenšují její příčné rozměry. Např. šířka tyče bsezmenšína b b(obr.5b).reativnízúženípříčnýchrozměrů η = b/b je přímo úměrné reativnímu prodoužení ε pode vztahu η= b b = µε=µ σ E, (9) kde konstanta úměrnosti µ se nazývá Poissonovo číso. U běžných technických materiáůje µ (0,25 0,5) viztab.i. 2.2 Taková deformace tyče Poznatky, které jsme uvedi pro pružnou tahovou deformaci, patí do jisté míry iprotakovoudeformaci,přičemž σ <0 ε <0(zápornéreativníprodoužení = zkrácení), η < 0(záporné reativní zúžení = rozšíření). U takové deformace však přistupují i otázky stabiity a tak reativně štíhé přímé tyče namáhané natakjenutnékontroovatnavzpěr(vizč.4.7). 2.3 Deformační energie při tahu Protože se tyč nachází ve statické rovnováze, projeví se práce vykonaná vnějšími siami při její deformaci přírůstkem její potenciání energie; v tomto případě deformační energie při tahu. Vypočtěme tedy deformační práci ze stavu bez deformace(=0)dostavusdeformací = (obr.6).vobecnépooze(při protažení )mávnějšísiaveikost = ES/ apřiprotaženíodékud vykoná eementární práci dw= d= ES d. Ceková deformační práce při protažení o je W= ES 0 d= ES [ 2 2 ] 0 = ES 2 ( )2 = 1 2 = 2 2ES. (10) 11

12 + S B dw O d C Obr. 6 K výpočtu deformační energie při tahu Zde jsme práci vyjádřii ještě užitím koncové veikosti síy a prodoužení podevztahu(7).zobr.6jezřejmé,žepráce(10)jeúměrnápošetrojúheníka OBC. Zavedeme-i do(10) reativní prodoužení ε a napětí σ, dostaneme pro deformační práci a tudíž i pro deformační energii U výraz W= U= ε2 E σ2 S= S. (11) 2 2E Protože S = V je objem tyče, můžeme snadno vypočítat hustotu deformační energie při tahu u t = U V = ε2 E 2 = σε 2 = σ2 2E. (12) Přiznaostideformačníenergie U přiobecnémprotaženíomůžemenaopakurčitveikost vnějšísíypřitomtoprodoužení.zevztahu(10)pro obecnou poohu nahradíme veičinou a dostaneme U = W = ES 2 2 = du d = ES. (13) 2.4 Eperimentání zkoumání materiáu tahem a takem Mechanické vastnosti materiáu ze spoehivě určit jen eperimentáně, přičemž zákadní statickou zkouškou je zkouška tahem. Tyč se napíná v hydrauickém trhacím stroji pozvoně rostoucí siou, až dojde k jejímu přetržení. Přitom se měří veikost síy a odpovídající prodoužení. Zkouška musí probíhat za přesně stanovených podmínek(daných závaznou normou). Zkušební tyče jsou normaizovány; mívají zpravida kruhový průřez(obr. 7). Pracovní déka tyče, vyznačená ryskami, je kratší než její vácová část. 12

13 Obr. 7 Zkušební tyč pro statickou zkoušku tahem Graf závisosti veikosti zatěžující síy na prodoužení, resp. závisosti napětí σ na reativním prodoužení ε se nazývá pracovní diagram, jehož příkadjenaobr.8. σ σ pt σ kt σ e σ u O α K 0 K E U σ P X 0 X X ε Obr. 8 Pracovní diagram pro houževnatou oce. Napětí σ je definováno podíem zatěžující síy a pošného obsahu původního(nedeformovaného) průřezu; jde osmuvnínapětí,skutečnénapětí σ je větší, protože se pocha průřezu deformací zmenšuje. Poznámka: Pro napětí v pracovním diagramu se nově pode ČSN přijaa tato označení: σ k = R e, σ pt = R m Pracovní diagram má někoik význačných bodů: σ u napětínameziúměrnosti(u mezúměrnosti)vymezujeobast (přibižné)inearity,tedyobast,vnížjespněnhookůvzákon σ=eε.je zřejmé,žesměrniceúsečky OU(tg α)jerovnayougovumoduu E. σ e napětí na mezi úměrnosti(e mezpružnosti)vymezujebod, při jehož překročení vznikají trvaé deformace.(norma vymezuje, že trvaé prodoužení musí být větší než 0,005%.) σ k napětínamezikuzu(k mezkuzu)jenapětí,přiněmžsečástečně poruší strukturání vazba v krystaické mřížce. Vzniká výrazná pastická deformace(materiá teče ).Tentobodsenevyskytujeukřehkýchmateriáů. σ pt napětínamezipevnostivtahu,(p mezpevnosti),přijehož dosaženídojdektrvaémuporušenímateriáu(bod P).Materiádáe teče a přetržení nastane v bodě X při menším smuvním napětí.(skutečné napětí je větší bod X.)Bod X 0 popisujedékupřetrženétyče. Při statické zkoušce na tak se použije zkušební těísko tvaru kryche nebo nízkého váce. Jde-i o houževnatý materiá(většina oceí), chová se do meze 13

14 úměrnosti stejně jako při tahu. Při překročení meze kuzu nabude zkušební těísko tvaru soudku. U křehkých materiáů(itina, beton, kámen) je pevnost vtakuvýrazněvětší,přičemžněkteréznich(např.čistýbeton,tj.bezoceové armatury) neze vůbec namáhat na tah. Na mezi pevnosti v taku nastává rozdrcení zkušebního těíska. Porovnání úpných pracovních diagramů houževnatých a křehkých materiáů je na obr. 9. Pracovní diagramy pro křehké materiáy nemají zpravida ineární úseky, proto Hookův zákon pro ně patí jen přibižně. Mechanické pevnostní charakteristiky některých konstrukčních oceí akřehkýchmateriáůjsouuvedenyvpříozevtabukáchiiaiii.ukřehkých materiáů se uvádí i eperimentání hodnota pevnosti v ohybu. a) oce σ b) šedá itina σ σ kt tah σ pt tah O ε O ε tak σ kd tak σ pd Obr. 9 Úpné pracovní diagramy: a) houževnaté materiáy(oce), b) křehké materiáy (šedá itina) 2.5 Míra bezpečnosti a dovoené napětí Tvar a veikost namáhaných těes(např. součástí strojů) se odchyuje od tvaru zkušebních tyčí. Jde zejména o změny průřezu(otvory, osazení, zápichy, závity tvořískupinutzv. vrupů ).Rovněžsíynebývajístatické,naopakčastovemi dynamické, např. u spaovacích motorů. Provozní tepoty také ovivňují pevnost, jsou-i vysoké anebo naopak vemi nízké. Zejména dynamické namáhání může způsobit tzv. únavové omy v místě vrupů, z nichž se šíří mikroskopické trhiny. Konstruktér se musí při návrhu také pojistit proti nenadáému nestandardnímu zatížení, které se může při provozu ojediněe vyskytnout a ohrozit ceistvostsoučástiatímčinnostceéhozařízení.zavádíseprotokoeficient k >1 14

15 zvanýmírabezpečnosti,pomocíněhožsepočítádovoenénapětí σ dt pro namáhání tahem pode vztahu σ dt = σ kt k, (14) kde σ kt jenapětínamezikuzuurčenéstatickouzkouškou. Zmateriáů,kterénemajímezkuzu,sedovoenénapětíurčíznapětína mezi pevnosti pode vztahu σ dt = σ pt k, (15) kde k > k.vobamírybezpečnosti k, k jepředevšímotázkouempiriezískané provozem a zkušenosti konstruktéra. Při jeho vobě rozhodují současně otázky spoehivosti a ekonomiky, které jsou vzájemně protichůdné. Často přistupují i otázky hmotnosti ceého zařízení, např. u etade. Materiá k, k Oce k=1,2 2 Ocekaená k =2,5 4 Šedáitina k =4 5 Hiníkitý k =8 10 Dřevo k =6 12 Beton k =4 8 Tab.IV Mírabezpečnosti Pevnostní podmínka, kterou je vázán konstruktér při návrhu, určuje, že pro vypočtené napětí musí patit σ σ dt k nebo σ σ pt k. (16) Zaokrouhení vypočteného rozměru součásti, které nakonec konstruktér provede, je dáno např. ceým čísem, které vypývá z normované řady pro řešený případ(např. normované řady šroubů, nýtů, ožisek). Zváštní pozornost je třeba věnovat cykicky namáhaným součástkám, u kterýchmůžepřiprovozudojítkúnavovýmomům.jetodánonapř.jejichkmitáním(u opatek turbín, anebo istů vrtue), nebo rotací(u hřídeů, čepů ko automobiů) a jejichž om může způsobit katastrofu. Zde je proto nutné statickou zkoušku dopnit zkouškou meze únavy při střídavém tahu taku anebo 15

16 při souměrně střídavém ohybu, kdy jsou krajní vákna střídavě namáhána na tahatak.zjišťujesezávisostcykickéhonapětí σ c napočtu Ncyků,které zkušebnítyčvydržídovznikuúnavovéhoomu.srostoucím N se σ c uocei asymptotickyzmenšujekhodnotě σ 0c,kterájenapětímnameziúnavy.Při zkoušcesevycházízpoznatku,ženerozruší-isevzorekdo cyků,vydrží praktickyneomezenýpočetcyků.přísušnýgraf σ c (N)senazýváWöherůvdiagram(obr.10).Prooceipatípřibižnýpoznatek σ 0c =(0,4 0,6)σ pt.unežeezných kovů, zejména u ehkých sitin, se neobjevuje zřetená mez únavy. Wöherova křivka má stáe sestupný průběh, a proto je nutné součásti z těchto kovůnavrhovatpročasovoumezúnavy σ N proočekávanýpočet Ncykůdo konce životnosti zařízení. Přinávrhucykickynamáhanýchsoučástísedovoenénapětí σ dt vpevnostní podmínce(16) určí anaogicky vztahu(14), tedy σ dt = σ 0c k resp. σ dt = σ N k. σ c σ c σ pt σ c1 σ c2 oce nežeezné kovy pevnost časovaná trvaá σ 0c σ 0c 0 N 1 N N og N Obr.10 Závisostcykickéhonapětí σ cnapočtucyků N(Wöherůvdiagram)vgrafu ineárním(a) a semiogaritmickém(b) pro oce Příkad 1 návrh prutové soustavy Navrhněte průměry tyčí staticky namáhané prutové soustavy pode obr. 11 pro =10,0kN, α 1 = α 2 = α=30.voteoce10370(σ kt =200MPa)amíru bezpečnosti k = 2,0. 16

17 α 1 α Obr. 11 Prutová soustava Řešení Z podmínky statické rovnováhy pyne Pevnostní podmínka(16): 1 = 2 = 2cosα = 3. σ= 1 S = 2 pd 2 cosα σ dt= σ kt k. (17) 2k Odtud d pσ kt cosα =8, m. Voíme d=10mm. Zevztahu(17)pakdostanemeskutečnénapětívtyči σ=73,5mpa <100MPa. 2.6 Sožitější úohy vedoucí na tah nebo tak K nejvýznamnějším úohám, které vedou k Hookovu zákonu pro tah/tak patří namáhánívohybu.tentopřípadjetakvýznamnýasožitý,žemuvěnujeme samostatnou kapitou 4. K úohám na tah/tak vede i řada staticky neurčitýchúoh,tj.úoh,kdykurčenísiamomentůsinestačípodmínkystatické rovnováhy = 0, M=0 akřešenímusípřistoupitještědeformační rovnice, vyjadřující pode dané situace deformační podmínku soustavy, její rozměrovou kompatibiitu. Těchto rovnic je někdy nutno sestavit více; pak hovoříme o tom, koikrát je soustava staticky neurčitá. Důežitým případem je tepené pnutí. Uvažujme jedenkrát staticky neurčitousoustavu,kteroujetyčvoženápřitepotě t 1 donehybnýchopor(např. mezičeistisvěráku)bezpředpětí(obr.12).pozahřátíztepoty t 1 na t 2 se 17

18 tyč bude snažit prodoužit a bude rozpínat opory. Protože jsou nehybné, budoupůsobitnatyčreakcemi R,kterévyvoajívtyčinapětí σ.tovypočteme zrovnice t + R =0, kde t = α(t 2 t 1 ), R = R ES = σ E, kde α je tepotní součinite dékové roztažnosti. Odtud σ= αe(t 2 t 1 ). (18) Např.uoceovétyče(α=1, K 1 )vznikápřizvýšenítepotyo10 C takovénapětí σ= 30MPa, E=2, Pa. R S R Obr.12 Tepenépnutívtyči Jiný příkad jedenkrát staticky neurčité soustavy je na obr. 13. Předpokádáme,ženosníkjedokonaetuhýapruty1,2jsoupružné.Soustavaby bya staticky určitá, kdyby neobsahovaa prut 2. Pak bychom mohi jednoduše určitsíupůsobícívprutu1ireakci Rzávěsu.Vdanémpřípaděobouprutů bude řešení poměrně jednoduché, budou-i pruty přesně stejně douhé a jejich montáž bude provedena s nuovým předpětím(obr. 13b). Jiná situace nastane, kdyžnapř.prut2budevdůsedkuvýrobnínepřesnostioδkratší(obr.13c). Pakpřimontážibudenutnéprut1stačitodéku 10 aprut2odéku 20 natáhnout.musítedybýtspněnadeformačnírovnice δ= , kde 10 <0jetakovádeformaceprutu1převedenádoprutu2.Přimontážitedy vzniknouvprutechpočátečnísíy 10 <0, 20 >0,ikdyž =0.Popřipojení vnější síy dostaneme výsedné zatížení superpozicí si z řešení situací na obr. 13ba13c. Přerozděení si v naší soustavě by nastao i v případě montáže bez předpětí (obr.13b),jestižebychompotézměniitepoty t 1, t 2 prutů1,2(předpokádejmerovnoměrněpoceéjejichdéce),např. t 2 < t 1. Vsoustavěopětvznikne tepotnípnutíipro =0.Podobnépnutívznikátakénapř.přiochazování itinového nebo skeněného oditku a může vést k jeho popraskání. K apikaci Hookova zákona pro tah vedou i některé daší sožitější úohy, jak je uvedeno vpříkadech2a3avúoháchvč

19 a) O 1 2 a a a b) O R c) O δ 10 Příkad2 rotujícítyč R Obr. 13 Staticky neurčitá prutová soustava Uvažujte pružnou tyč o déce, hustotě a konstantním obsahu S příčného průřezu, která rotuje konstantní úhovou rychosti ω koem osy komé k podéné ose tyče(obr. 14). Vypočtěte a)napětí σ vobecněvedenémkomémřezu Xtyče, b) prodoužení úseku tyče o déce a prodoužení ceé tyče. Při řešení pro jednoduchost předpokádejte, že změna rozměrů tyče je maá, což dobře spňují technické materiáy s výjimkou pryže. Řešení a)vevzdáenosti odkoncetyčeprovedememyšenýřez X(obr.14).Vnitřní síyvtomtořezumusíbýtvrovnovázesvýsednicí odstředivýchsimyšené odděené části. Na eement dξ působí eement odstředivé síy o veikosti d = Sω 2 ( ξ)dξ. 19

20 Pronapětívřezu Xpakpatí σ = S = ω2 0 ( ( ξ)dξ= ω 2 ). 2 b) K výpočtu prodoužení úseku tyče o déce určíme nejprve prodoužení jejího eementu dξ, které označíme (dξ) a tato prodoužení sečteme pro všechna ξ.vyjdemezhookovazákona,přičemžnapětí σ ξ vmístěeementuurčímez výše uvedeného vztahu, nahradíme-i ξ za. Pro prodoužení eementu dξ tedy apikací vztahu(7) dostaneme (dξ)= σ ξ ω2 dξ= E E ) (ξ ξ2 dξ. 2 Prodoužení úseku tyče déky dostaneme integrací od 0 do : = ω2 E 0 (ξ )dξ= ξ2 ω2 2 ( ). 2 2E 3 Prodoužení ceé rotující tyče dostaneme dosazením = : = ω2 3 3E (patípro ). ω X dξ ξ S σ Obr. 14 Rotující tyč Příkad 3 rotující prstenec Prstenecovnitřnímpooměru r,toušťce h r,šířce bahustotě rotuje úhovou rychostí ω okoo rotační osy souměrnosti. Vypočtěte a) napětí v prstenci, b) zvětšení pooměru v důsedku rotace, c) deformační energii a porovnejte ji s kinetickou energií. 20

21 Řešení a)úohavedenaprostýtah.zprstencevyjmemeeement(obr.15),nakterý působí eementární odstředivá sía o veikosti ( d o = ω 2 r+ h ) dm ω 2 r 2 bhdα. 2 Aby myšeně vyjmutý eement by v rovnováze, musí účinek odstředivé síy d o vyrovnávatdvěvnitřníobvodovésíy, stejnéveikostipodeobr.15b. Protože tyto tři síy jsou v rovnováze, je siový trojúheník uzavřený(obr. 15c). Proveikosteementárnísíyd o musítedysoučasněpatit d o = dα. Porovnánímobouvýrazůprod o dostanemeveikost vnitřnísíyatahové napětí, které sía v prstenci vyvoá: = ω 2 r 2 bh, σ= bh = ω2 r 2. (19) b a) b) c) h r O ω dα dα d o d o Obr. 15 K výpočtu napětí v rotujícím prstenci dα = = b) Působením odstředivých si se obvod prstence zvětší, přičemž pode Hookova zákona pro jeho reativní prodoužení patí ε= 2p(r+ r) 2pr 2pr = r r = σ E = ω2 E r2. Odtud dostaneme zvětšení pooměru prstence r= ω2 E r3. 21

22 Vzhedemktomu,žehodnota Ejevemiveikávesrovnánísnapětím σ,je r vemi maé ve srovnání s pooměrem r. c) Pode(12) je hustota deformační energie prstence u t = σ2 2E = ω4 r 4 2 2E. Deformační energii ceého prstence dostaneme vynásobením objemem V: U= u t V= u t m = mω4 r 4 2E. Kinetickáenergie Tprstence 3 )omomentusetrvačnosti J= mr 2 je T= 1 2 Jω2 = 1 2 mω2 r 2. Podí obou energií je U T = ω2 r 2 E = σ E, kde σ je napětí(19), které v prstenci při rotaci vzniká. Protože z pevnostních důvodůmůžebýtprooce σ ma 200MPaaE Pa,jepotenciání deformační energie prstence nejméně 1000krát menší než jeho energie kinetická. Lze ji tedy zanedbat. 2.7 Úohykekapitoe2 1. Řetěz Řetězkezvedáníbřemendohmotnosti2500kgmábýtzhotovenzocei11370 (σ kt =200MPa).Navrhnětepotřebnýprůměr dčánku.mírubezpečnostivote k=2,0.omeztesejennanamáhánítahovýmisiamivevětvíchčánku. d Obr. 16 Čánek řetězu 3 )Prokinetickouenergiiužijememístosymbou E k symbo T běžnývteoretickémechanice, abychom odstranii koizi se značkou E pro Youngův modu. 22

23 2. Ladění housové struny Uvažujmeoceovouhousovoue-strunuodéce =325mm(úsekodkobyky nakonechmatníku)aprůměru2r=0,250mm,kterámábýtnaaděnana tón e 1 ofrekvenci f=654hz.jedántepotnísoučinitedékovéroztažnosti α=1, K 1, E=2, Pa, =7, kg m 3.Jeznámvztah mezirychostízvukuvestruně canapínajícísiou: c 2 S=.Vypočtěte a)veikost napínajícísíyanapětí σvestruně, b) prodoužení struny při adění z nenapjatého stavu. 3. Vychýení housové struny Strunuzúohy2vjejímstředupříčněvychýímeoδ =4mm.Jakébude přídavnénapětí σ p ajakécekovénapětí σ c = σ+ σ p,kde σjenapětístruny po jejím naadění? 4. Oceový drát při změně tepoty Mezidvěmapevnýmibody,např.mezidvěmadomy,byzatepoty t=35 C napnutoceovýdrátoprůměru2r=2,00mmsiouoveikosti =30,0N. Vypočtěte a)napětí σvdrátu, b)napětí σ aveikost napínajícísíy,kesne-itepotana t = 5 C. Tepotnísoučinitedékovéroztažnosti α=1, K 1, E=2, Pa. 5. Tahová zkouška Přitahovézkoušceoceovétyčeoprůměru d=20,0mmadéce =200mm byopřizatížení =5, Nzměřenoprodoužení =0,172mmapříčné zúžení d =4, mm.tytohodnotybyyurčenyzastavupodmezí pružnosti. Určete napětí, Youngův modu a Poissonovo číso zkoumané ocei. 6. Podpěrný soup Ve stavební konstrukci je třeba navrhnout reativně krátký soup z šedé itiny, jehožprůřezmátvarmezikružíovnějšímprůměru d=100mm.nasoup připadátíhovásíaveikosti2, N.Vypočtěteminimánítoušťkustěny soupu,jestiže σ pd =500MPa.Vote k =5,0. 7. Důní ano Důníanoodéce =1000m,pošnémobsahupříčnéhořezuvšechdrátů S=500mm 2,dékovéhustotě µ=3,95kg m 1 ayoungověmoduu E= 23

Obsah MECHANIKA PRUŽNÉHO TĚLESA. Tabulka III. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Bohumil Vybíral.

Obsah MECHANIKA PRUŽNÉHO TĚLESA. Tabulka III. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Bohumil Vybíral. Tabuka III Mechanické vastnosti některých křehkých konstrukčních materiáů Pevnost v tahu Pevnost v taku Pevnost v ohybu Materiá σ pt/mpa σ pd /MPa σ po/mpa Šedá itina 4 4 1 10 500 80 Šedá itina 4 4 4 40

Více

Téma 4 Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem)

Téma 4 Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem) Pružnost a pasticita, 2.ročník bakaářského studia Téma 4 ormáové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým takem) Zákadní vztahy a předpokady řešení apětí a přetvoření osově namáhaného prutu

Více

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou

1. Stanovení modulu pružnosti v tahu přímou metodou . Stanovení moduu pružnost v tahu přímou metodou.. Zadání úohy. Určte modu pružnost v tahu přímou metodou pro dva vzorky různých materáů a výsedky porovnejte s tabukovým hodnotam.. Z naměřených hodnot

Více

Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem) - staticky určité úlohy

Normálové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým tlakem) - staticky určité úlohy Pružnost a pasticita, 2.ročník bakaářského studia ormáové napětí a přetvoření prutu namáhaného tahem (prostým takem) - staticky určité úohy Zákadní vztahy a předpokady řešení apětí a přetvoření osově namáhaného

Více

Elastické deformace těles

Elastické deformace těles Eastické eformace těes 15 Na oceový rát ék L 15 m a průměru 1 mm zavěsíme závaží o hmotnosti m 110 kg přičemž Youngův mou pružnosti ocei v tahu E 16 GPa a mez pružnosti ocei σ P 0 Pa Určete reativní prooužení

Více

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0632 1

Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.0632 1 Střední průmysová škoa a Vyšší odborná škoa technická Brno, Sokoská 1 Šabona: Inovace a zkvaitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číso: Anotace: echanika, pružnost pevnost Nosníky stejné

Více

1 ROZMĚRY STĚN. 1.1 Délka vnější stěny. 1.2 Výška vnější stěny

1 ROZMĚRY STĚN. 1.1 Délka vnější stěny. 1.2 Výška vnější stěny 1 ROZMĚRY STĚN Důežitými kritérii pro zhotovení cihených stěn o větších rozměrech (déce a výšce) je rozděení stěn na diatační ceky z hediska zatížení tepotou a statického posouzení stěny na zatížení větrem.

Více

7 Mezní stavy použitelnosti

7 Mezní stavy použitelnosti 7 Mezní stavy použitenosti Cekové užitné vastnosti konstrukcí mají spňovat dva zákadní požadavky. Prvním požadavkem je bezpečnost, která je zpravida vyjádřena únosností. Druhým požadavkem je použitenost,

Více

Statika 2. Vetknuté nosníky. Miroslav Vokáč 2. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M.

Statika 2. Vetknuté nosníky. Miroslav Vokáč 2. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M. 3. přednáška Průhybová čára Mirosav Vokáč mirosav.vokac@kok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakuta architektury 2. istopadu 2016 Průhybová čára ohýbaného nosníku Znaménková konvence veičin M z x +q +w +ϕ + q...

Více

Přednáška 10, modely podloží

Přednáška 10, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II.,.ročník kaářského studia Přednáška, modey podoží Úvod Winkerův mode podoží Pasternakův mode podoží Nosník na pružném Winkerově podoží, řešení OD atedra stavební mechaniky

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6)

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6) Řešení úoh 1. koa 60. ročníku fyzikání oympiády. Kategorie B Autoři úoh: J. Thomas (1, 2, 3, 4, 5, 7), M. Jarešová (6) h 1.a) Protože vzdáenost bodů K a O je cos α, je doba etu kuičky z bodu K do bodu

Více

Přednáška 12 Obecná deformační metoda, nelineární úlohy u prutových soustav

Přednáška 12 Obecná deformační metoda, nelineární úlohy u prutových soustav Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakaářského studia Přednáška Obecná deformační metoda, neineární úohy u prutových soustav Fyzikáně neineární úoha Geometricky neineární úoha Konstrukčně neineární

Více

Mechanické vlastnosti materiálů.

Mechanické vlastnosti materiálů. Mechancké vastnost materáů. Obsah přednášky : tahová zkouška, zákadní mechancké vastnost materáu, prodoužení př tahu nebo taku, potencání energe, řešení statcky neurčtých úoh Doba studa : as hodna Cí přednášky

Více

Linearní teplotní gradient

Linearní teplotní gradient Poznámky k semináři z předmětu Pružnost pevnost na K68 D ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiá má pouze pracovní charakter a ude v průěhu semestru postupně dopňován. utor: Jan Vyčich E mai: vycich@fd.cvut.cz

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA

1.5. DYNAMIKA OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA .5. OTÁČIVÉHO A SLOŽENÉHO POHYBU TĚLESA.5. ZÁKLADNÍ ROVNICE DYNAMIKY PRO ROTAČNÍ POHYB Fz F Z výsednce zrychujících s F m.a n m a t a n r z F Zrychující moment M F. r F. r z z z m.a t r6,5cm ρ r ω,ε r

Více

Téma 4 Výpočet přímého nosníku

Téma 4 Výpočet přímého nosníku Stavební statika, 1.ročník bakaářského studia Téma 4 Výpočet přímého nosníku Výpočet nosníku v osové úoze Výpočet nosníku v příčné úoze ve svisé a vodorovné havní rovině Výpočet nosníku v krutové úoze

Více

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,

Více

FYZIKA I. Kyvadlový pohyb. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

FYZIKA I. Kyvadlový pohyb. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STRONÍ FYZIKA I Kyvadový pohyb Prof. RNDr. Viém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Haváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Haváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar Mádrová

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D. Dosazením do rovnice(1) a úpravou dostaneme délku vlaku

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D. Dosazením do rovnice(1) a úpravou dostaneme délku vlaku Řešení úoh koa 49 ročníku fyzikání oympiády Kategorie D Autořiúoh:JJírů(,3,4,5,6,),TDenkstein(), a) Všechny uvažované časy jsou měřené od začátku rovnoměrně zrychené pohybu vaku a spňují rovnice = at,

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky. POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Stav napjatosti materiálu.

Stav napjatosti materiálu. tav napjatosti materiáu. Zákad mechanik, 9. přednáška Obsah přednášk : jednoosý a dvojosý stav napjatosti, stav napjatosti ohýbaného nosníku, deformace ohýbaného nosníku, řešení statick neurčitých úoh

Více

Kmitavý pohyb trochu jinak

Kmitavý pohyb trochu jinak Kmitavý pohyb trochu jinak JIŘÍ ESAŘ, PER BAROŠ Katedra fyziky, Pedaoická fakuta, JU České Budějovice Kmitavý pohyb patří mezi zákadní fyzikání děje. Většinou se tato část fyziky redukuje na matematický

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

STRUKTURA A VLASTNOSTI KAPALIN

STRUKTURA A VLASTNOSTI KAPALIN I N V E S T I C E D O O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í STUKTUA A VLASTNOSTI KAPALIN. Povrchové napětí a) yzikání jev Povrch kapain se chová jako napjatá pružná membrána (důkaz vodoměrka, maé kapičky koue)

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí zákadních poznatků V případech příčných deformací přímých prutů- nosníků se zabýváme deformací jejich střednice, tj. spojnice těžiště příčných průřezů. Tuto deformovanou křivku nazýváme průhybová

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška

KONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška 1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební

Více

I Stabil. Lepený kombinovaný nosník se stojnou z desky z orientovaných plochých třísek - OSB. Navrhování nosníků na účinky zatížení podle ČSN 73 1701

I Stabil. Lepený kombinovaný nosník se stojnou z desky z orientovaných plochých třísek - OSB. Navrhování nosníků na účinky zatížení podle ČSN 73 1701 I Stabi Lepený kombinovaný nosník se stojnou z desky z orientovaných pochých třísek - OSB Navrhování nosníků na účinky zatížení pode ČSN 73 1701 Část A Část B Část C Část D Výchozí předpokady, statické

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

MAGNETICKÉ POLE. 1. Stacionární magnetické pole I I I I I N S N N

MAGNETICKÉ POLE. 1. Stacionární magnetické pole I I I I I N S N N MAGETCKÉ POLE 1. Stacionární magnetické poe V E S T C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á Í je část prostoru, kde se veičiny popisující magnetické poe nemění s časem. Vzniká v bízkosti stacionárních vodičů

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Téma 2 Napětí a přetvoření

Téma 2 Napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram

Více

BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K ŠTÍHLÉ BETONOVÉ KONSTRUKCE. Betonové konstrukce B03C + B03K. Betonové konstrukce B03C +6B03K

BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K ŠTÍHLÉ BETONOVÉ KONSTRUKCE. Betonové konstrukce B03C + B03K. Betonové konstrukce B03C +6B03K BETONOVÉ KONSTRUKCE B03C +B03K ŠTÍHLÉ BETONOVÉ KONSTRUKCE Betonové konstrukce B03C +4B03K Betonové konstrukce B03C +5B03K Betonové konstrukce B03C +6B03K prvky namáhané kombinací [M+N] N M tak (tah) s

Více

NOVÁ METODA NÁVRHU PRŮMYSLOVÝCH PODLAH Z VLÁKNOBETONU

NOVÁ METODA NÁVRHU PRŮMYSLOVÝCH PODLAH Z VLÁKNOBETONU NOVÁ METODA NÁVRHU PRŮMYSLOVÝCH PODLAH Z VLÁKNOBETONU Jan Loško, Lukáš Vrábík, Jaromír Jaroš Úvod Nejrozšířenějším příkadem využití váknobetonu v současné době jsou zřejmě podahové a zákadové desky. Při

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

Název: Studium kmitání matematického kyvadla

Název: Studium kmitání matematického kyvadla Název: Studium kmitání matematického kyvada Autor: Doc. RNDr. Mian Rojko, CSc. Název škoy: Gymnázium Jana Nerudy, škoa h. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: fyzika, biooie Ročník: 3. (1. ročník

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak. 00001 Definujte mechanické napětí a uved te jednotky. 00002 Definujte normálové napětí a uved te jednotky. 00003 Definujte tečné (tangenciální, smykové) napětí a uved te jednotky. 00004 Definujte absolutní

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB A) NOSNÍKY NA DVOU PODPORÁCH ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB A) NOSNÍKY NA DVOU PODPORÁCH ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL Předmět: Ročník: Vytvoři: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 9. ČERVNA 2013 Název zpracovaného ceku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB A) NOSNÍKY NA DVOU PODPORÁCH ZATÍŽENÉ SOUSTAVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL ÚLOHA 1

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost a pasticita II 3. ročník bakaářského studia doc. Ing. artin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební echaniky Neineární chování ateriáů, podínky pasticity, ezní pastická únosnost Úvod, zákadní pojy Teorie

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

F7 MOMENT SETRVAČNOSTI

F7 MOMENT SETRVAČNOSTI F7 MOMENT ETRVAČNOTI Evropský sociání fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti F7 MOMENT ETRVAČNOTI V této části si spočteme některé jednoduché příkady na rotační pohyby a seznámíme se s někoika

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

Z toho se η využije na zajištění funkcí automobilu a na překonání odporu vzduchu. l 100 km. 2 body b) Hledáme minimum funkce θ = 1.

Z toho se η využije na zajištění funkcí automobilu a na překonání odporu vzduchu. l 100 km. 2 body b) Hledáme minimum funkce θ = 1. Řešení úoh. koa 59. ročníku fyzikání oympiády. Kategorie A Autor úoh: J. Thomas.a) Na dráze vt bude zapotřebí objem paiva V θ θv t. Při jeho spáení se získá tepo Q mh ρv H ρθvh t. Z toho se η využije na

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

2.1 Stáčivost v závislosti na koncentraci opticky aktivní látky

2.1 Stáčivost v závislosti na koncentraci opticky aktivní látky 1 Pracovní úkoy 1. Změřte závisost stočení poarizační roviny na koncentraci vodního roztoku gukozy v rozmezí 0 500 g/. Pro jednu zvoenou koncentraci proveďte 5 měření úhu stočení poarizační roviny. Jednu

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta technologická Ústav fyziky a materiálového inženýrství

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta technologická Ústav fyziky a materiálového inženýrství Univerzita Tomáše Bati ve Zíně, Fakuta technoogická Ústav fyziky a materiáového inženýrství Jméno a příjmení Josef Novák Ročník / Skupina x Předmět Laboratorní cvičení z předmětu Datum měření xx. xx. xxxx

Více

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Odděení fyzikáních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. úohač.19 Název: Měření s torzním magnetometrem Pracova: Lukáš Ledvina stud.skup.14 dne:16.10.2009 Odevzdadne: Možný počet

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II. Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ. katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II. Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ katedra fyziky ZÁKLADY FYZIKY II Pro obory DMML, TŘD a AID prezenčního studia DFJP RNDr Jan Z a j í c, CSc, 005 4 MAGNETICKÉ JEVY 4 NESTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ

Více

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu

1.7 Magnetické pole stacionárního proudu 1.7 Magnetické poe stacionárního proudu Pohybující se e. náboje (e. proud) vytvářejí magnetické poe. Naopak poe působí siou na pohybující se e. náboje. 1.7.1 E. proud, Ohmův zákon v diferenciáním tvaru

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 2: Měření modulu pružnosti v tahu a ve smyku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úoha : Měření moduu pružnosti v tahu a ve smyku Datum měření: 9. 10. 009 Jméno: Jiří Sabý Pracovní skupina: 1 Ročník a kroužek:. ročník, 1. kroužek, pátek 13:30 Spoupracovaa:

Více

1. Úvod do pružnosti a pevnosti

1. Úvod do pružnosti a pevnosti 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

Reakce. K618 FD ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní charakter a bude v průbehu semestru

Reakce. K618 FD ČVUT v Praze (pracovní verze). Tento materiál má pouze pracovní charakter a bude v průbehu semestru Poznámky ke cvičení z předmětu Pružnost pevnost na K618 D ČVU v Praze (pracovní verze). ento materiá má pouze pracovní charakter a bude v průbehu semestru postupně dopňován. Autor: Jan Vyčich E mai: vycich@fd.cvut.cz

Více

Jev elektromagnetické indukce

Jev elektromagnetické indukce Jev eektromagnetické indukce V minuých kapitoách jsme si jistě uvědomii, že pojmy kid a pohyb, které byy vemi významné u mechanických dějů, při zkoumání eektrických a magnetických jevů nabyy přímo zásadní

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

3.9. Energie magnetického pole

3.9. Energie magnetického pole 3.9. nergie agnetického poe 1. Uět odvodit energii agnetického poe cívky tak, aby bya vyjádřena poocí paraetrů obvodu (I a L).. Znát vztah pro energii agnetického poe cívky jako funkci veičin charakterizujících

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

Mezní napětí v soudržnosti

Mezní napětí v soudržnosti Mení napětí v soudržnosti Pro žebírkovou výtuž e stanovit návrhovou hodnotu meního napětí v soudržnosti vtahu: = η η ctd kde je η součinite ávisý na kvaitě podmínek v soudržnosti a pooe prutu během betonáže

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015 Použitá

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVO O MOELOVÁNÍ V MECHNICE MECHNIK KOMPOZITNÍCH MTERIÁLŮ 2 Přednáška č. 7 Robert Zemčík 1 Zebry normální Zebry zdeformované 2 Zebry normální Zebry zdeformované 3 Zebry normální 4 Zebry zdeformované protažené?

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Teorie prostého smyku se v technické praxi používá k výpočtu styků, jako jsou nýty, šrouby, svorníky, hřeby, svary apod.

Teorie prostého smyku se v technické praxi používá k výpočtu styků, jako jsou nýty, šrouby, svorníky, hřeby, svary apod. Výpočet spojovacích prostředků a spojů (Prostý smyk) Průřez je namáhán na prostý smyk: působí-li na něj vnější síly, jejichž účinek lze ekvivalentně nahradit jedinou posouvající silou T v rovině průřezu

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ. ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍŘENÝ PRŮVODCE

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ. ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD03-MO1 ROZŠÍŘENÝ PRŮVODCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD3-MO ROZŠÍŘENÝ PRŮVODCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

PŘÍČNÉ LISOVANÉ ZTUŽIDLO VE STŘEŠNÍ ROVINĚ KONSTRUKCÍ Z DŘEVĚNÝCH

PŘÍČNÉ LISOVANÉ ZTUŽIDLO VE STŘEŠNÍ ROVINĚ KONSTRUKCÍ Z DŘEVĚNÝCH PŘÍČNÉ LISOVANÉ ZTUŽIDLO VE STŘEŠNÍ ROVINĚ KONSTRUKCÍ Z DŘEVĚNÝCH VAZNÍKŮ S KOVOVÝMI DESKAMI S PROLISOVANÝMI TRNY Petr Kukík 1, Micha Grec 2, Aeš Tajbr 3 Abstrakt Timber trusses with punched meta pate

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Učební text k přednášce UFY102

Učební text k přednášce UFY102 Učební text k přeášce UFY0 Lom hranoem ámavé stěny ámavá hrana ámavý úhe ϕ deviace δ úhe, o který je po výstupu z hranou vychýen světený paprsek ežící v rovině komé k ámavé hraně (v tzv. havním řezu hranou),

Více

1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu

1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu Měření modulu pružnosti Úkol : 1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu Pomůcky : - Měřící zařízení s indikátorovými hodinkami - Mikrometr - Svinovací metr

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1 Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření Metody charakterizace nanomateriálů 1 Základní rozdělení vlastností ZMV Přednáška č. 1 Nejobvyklejší dělení vlastností materiálů v technické

Více

Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů

Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů Řešení úo. koa 59. ročníku fyzikání oympiáy. Kategorie D Autor úoh: J. Jírů Obr. 1 1.a) Označme v veikost rychosti pavce vzheem k voě a v 0 veikost rychosti toku řeky. Pak patí Číseně vychází α = 38. b)

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

Diferenciální geometrie křivek

Diferenciální geometrie křivek Diferenciání geometrie křivek Poární souřadnice Kartézské souřadnice Poární souřadnice. y y M r M f x x rcosf y r sin f, r r x x y y f arctan x 1 Spiráy Archimedova spiráa r af r ae Logaritmická spiráa

Více

Kritéria porušení laminy

Kritéria porušení laminy Kap. 4 Kritéria porušení laminy Inormační a vzdělávací centrum kompozitních technologií & Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky S ČVU v Praze.. 007-6.. 007 Úvod omové procesy vyvolané v jednosměrovém

Více

Hlavní body. Teplotní závislosti fyzikálních veličin. Teplota, měření

Hlavní body. Teplotní závislosti fyzikálních veličin. Teplota, měření e r i k a Havní body epota, ěření epotní závisosti fyzikáních veičin Kinetická teorie pynů Maxweova rozděovací funkce epo, ěrné tepo, kaorietrie epota Je zákadní veičinou, kterou neze odvodit? Čověk ji

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 0 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Diferenciální rovnice ohybu prutu Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Vliv teploty na průhyb a křivost prutu Příklady

Více

M/61000/M, M/61000/MR Kluzné vedení a dorazové válce

M/61000/M, M/61000/MR Kluzné vedení a dorazové válce M/6/M, M/6/MR Kuzné vedení a dorazové váce Dvojčinné - Ø 32 až 1 mm Přesnost vedení Ø,2 mm Přesnost bez otáčení Ø,2 Integrované pevné vodící tyče Varianta s ineárním kuičkovým ožiskem poskytuje přesné

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více