ˇ CESK E VYSOK E U ˇ CEN I TECHNICK E Fakulta jadern a a fyzik alnˇe inˇzen yrsk a DIPLOMOV A PR ACE 2006 Jan Vachulka

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ˇ CESK E VYSOK E U ˇ CEN I TECHNICK E Fakulta jadern a a fyzik alnˇe inˇzen yrsk a DIPLOMOV A PR ACE 2006 Jan Vachulka"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská DIPLOMOVÁ PRÁCE 2006 Jan Vachulka

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra Matematiky Monitorování průběhu učení neuronových sítí s přepínacími jednotkami Diplomová práce Jméno : Jan Vachulka Školitel : Ing. František Hakl, CSc. Ak. rok :

3 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem předkládanou práci vypracoval samostatně, veškerá použitá literatura je uvedena v citacích. Podpis:

4 Obsah 1 Úvod Zaměření a cíle diplomové práce Základní definice Formulace problému klasifikace do dvou množin Neuronová sít Učení neuronové sítě Neuron s přepínací jednotkou Neuron s přepínací jednotkou Přepínací jednotka Výpočetní neurony Determinismus učení Srovnání metod použitých pro učení přepínací jednotky Srovnání v závislosti na počtu vzorů Srovnání v závislosti na počtu shluků Závěry Interpretace výstupů neuronové sítě Použití prahu Zobecnění použití prahu Převod výstupů na pravděpodobnosti Histogramový odhad Odhad parametrů směsi normálních rozdělení Úprava rozhodování Srovnání rozhodovacích pravidel Určení kvality neuronové sítě Základní principy a motivace Kritérium nejmenších čtverců Cross-entropy

5 5.4 Další ztrátové funkce Benchmarky pro klasifikátory Úvod Proben UCI Machine Learning Repository Delve Analýza neuronových sítí s přepínacími jednotkami Úvod a motivace Základní myšlenky Analýza sítě s jedním neuronem Závěry z analýzy neuronové sítě obsahující jeden neuron Analýza řetězce Srovnání kritérií kvality Závěr 70 A Metody shlukové analýzy 71 A.1 Úvod A.2 Iterační metody A.2.1 Forgyho metoda A.2.2 Nalezení počátečního rozkladu A.2.3 Deterministické metody pro nalezení počátečního rozkladu A.3 Hierarchické metody A.3.1 Metoda nejbližšího souseda (single linkage) A.3.2 Metoda nejvzdálenějšího souseda (complete linkage).. 78 A.3.3 Metoda průměrné nepodobnosti vzorů (average linkage) 78 A.3.4 Poznámky k implementaci hierarchických metod B Metoda hlavních komponent 80 C Použité nástroje 82 2

6 Použité značení def def ekvivalence ve smyslu definice = rovnost ve smyslu definice R množina reálných čísel R + 0 [0; + ) N množina přirozených čisel ˆn R n R n,m diag(α 1,...,α n ) A T x (i) = {i N i n} vektorový prostor nad tělesem reálných čísel dimenze n vektorový prostor reálných matic o n řádcích a m sloupcích diagonální matice, jejíž diagonála je tvořena čísly α 1,...,α n transpozice matice A i-tá složka vektoru x R n ˆn def 2 X množina všech podmnožin množiny X, 2 X def = {x x X} X počet prvků množiny X Dom(f) definiční obor funkce f Ran(f) obor hodnot funkce f 3

7 Kapitola 1 Úvod 1.1 Zaměření a cíle diplomové práce Jak naznačuje název diplomové práce, jejím hlavním tématem je jeden z typů neuronových sítí - neuronové sítě s přepínacími jednotkami. Dále v textu, pokud nebude řečeno jinak, se neuronovou sítí, nebo jen sítí bude rozumět právě neuronová sít s přepínacími jednotkami. Tento typ neuronových sítí původně vznikl za účelem rozlišení signálu od pozadí při řešení fyzikálních problémů. Jedná se ale o nástroj, který lze obecně použít pro klasifikaci do dvou tříd či aproximaci funkce. Neuronové sítě tohoto typu již byly aplikovány na několik problémů (viz. např. [HLA02]), nicméně o vlastnostech těchto sítí z praktického hlediska stále existuje mnoho otázek. Hlavním účelem práce tedy bylo systematické zmapování vlastností těchto sítí a vypozorování závěrů, které by pomohly při jejich aplikaci na reálné problémy. Při řešení tohoto problému se postupovalo takto: 1. Byl vybrán soubor problémů, které se budou používat při zjišt ování vlastností sítí, viz. kapitola Bylo nutné řešit problém určování kvality naučených sítí, viz. kapitola Předchozí bod vyžadoval zodpovězení otázky, jak interpretovat výstup neuronové sítě, tento problém je řešen v kapitole Bylo nutné zajistit determinismus učení neuronových sítí, viz. kapitola 3. 4

8 5. Vše bylo završeno provedením analýzy těchto sítí, popsané v kapitole Navíc bylo třeba přeformulovat terminologii týkající se těchto sítí, viz. kapitola 2. 5

9 Kapitola 2 Základní definice 2.1 Formulace problému klasifikace do dvou množin Problém označovaný jako klasifikace do dvou množin, v rámci něhož probíhala analýza neuronových sítí, lze popsat následovně: Necht je dána množina S R n, n N libovolné a necht existují množiny S 1, S 2 S splňující 1. S 1 S 2 = 2. S 1 S 2 = S Necht zobrazení χ : S { 1; 1} je definováno takto { χ(x) def 1 pro x S1 = 1 pro x S 2 Dále se bude symbolem T značit třída funkcí T def = {f f : S R}. Necht je dána funkce L : T T R + 0. Řešením úlohy klasifikace do dvou tříd se bude dále rozumět nalezení funkce g minimalizující výraz L(g, χ) Poznámka 2.1 Účelem je najít funkci g, která o každém prvku množiny S rozhoduje, zda mu přísluší hodnota 1 nebo 1, neboli do které ze dvou možných tříd patří. Správné hodnoty jsou představovány funkcí χ. Funkce L nazývaná běžně jako ztrátová funkce určuje při daných požadovaných hodnotách ztrátu, při volbě určité funkce g jako řešení. 6

10 Poznámka 2.2 Funkce g bude dále právě funkce realizovaná neuronovou sítí. Funkce L bude nějaké kritérium, které určuje kvalitu neuronové sítě na základě prvků z množiny S. Poznámka 2.3 Pro vzory nebo celé množiny vzorů, kterým přísluší hodnota +1, se bude používat výraz signál, pro vzory příslušné k hodnotě 1 se bude používat výraz pozadí. 2.2 Neuronová sít Původní motivace pro použití a podobu umělých neuronových sítí vychází z nervových systémů živých organismů, základní princip přírodních a tedy i umělých neuronových sítí spočívá v rozdělení celku na jednodušší jednotky nazývané neurony. Neurony jsou vzájemně propojeny a předávají si mezi sebou informace, díky této kooperaci jednodušších jednotek lze získat složitější a mocnější nástroj pro řešení nejrůznějších úloh. Jelikož je tento nástroj složen z jednodušších částí, je snadnější nastavit parametry takového nástroje (jinými slovy naučit danou neuronovou sít ), než nastavovat parametry komplexního a daleko složitějšího systému. Následuje zavedení pojmů jako je neuron, neuronová sít a učení neuronové sítě v kontextu neuronových sítí s přepínacími jednotkami. Definice 2.1 Necht je dána funkce f : R n Par R m, kde množina Par je libovolná množina objektů představující parametry funkce f. Množina M f = {g (g : R n R m ) ( α Par)( (x, α) Dom(f))(g(x) = f(x, α))} se bude nazývat model neuronu s přechodovou funkcí f. Poznámka 2.4 Pod modelem neuronu se rozumí třída funkcí stejného tvaru, které se liší hodnotou jejich parametru. Prvky určitého modelu neuronu jsou konkrétní funkce zobrazující prostor R n do R m. Definice 2.2 Modelem neuronu se bude nazývat množina MN = M f je model neuronu s přechodovou funkcí f Poznámka 2.5 Množina MN je sjednocením všech modelů neuronů a obsahuje veškeré objekty, které lze označit jako neuron. M f 7

11 Definice 2.3 Necht M f je model neuronu s přechodovou funkcí f : R n Par R m, funkce q M f se bude nazývat neuron. Další pojmy související s pojmem neuron jsou Dom(q) vstupní prostor neuronu q n vstupní dimenze neuronu q ozn. indim(q) Ran(q) výstupní prostor neuronu q m výstupní dimenze neuronu q, ozn. outdim(q) Poznámka 2.6 Neuron je definován jako funkce, podoba neuronou s určitou přechodovou funkcí je dána příslušným modelem neuronu (tedy třídou funkcí určitého tvaru). Hodnota parametru α, který určuje neuron, může být k-tice reálných čísel, může však mít i složitější stukturu. Definice 2.4 Pod pojmem topologie se bude rozumět orientovaný acyklický graf T = (V, E), který navíc splňuje vlastnosti (ozn. V = {v in } V H {v out }, v in v out, v out V H, v in / V H ): 1. V < + 2. ( v V )((u, v in ) / E) 3. ( v V )((v out, v) / E) 4. ( v V H {v out })( u V )((u, v) E) 5. ( v V H {v in })( u V )((v, u) E) Poznámka 2.7 Topologie je tedy acyklický orientovaný graf, který obsahuje právě jeden vrchol, ze kterého již nevede žádná hrana (výstup), právě jeden vrchol, do kterého nevede žádná hrana (vstup) a několik skrytých vrcholů, přes které jsou propojeny vstup a výstup. Poznámka 2.8 Na obrázku 2.1 je ilustrován příklad topologie. Jednotlivá kolečka reprezentují vrcholy, šipky reprezentují orientované hrany mezi vrcholy, orientace šipek je od rodičů směrem k dětem. Vstup (v in ) se bude značit kolečkem vybarveným černě, výstup bude vždy nejníže zobrazený vrchol, ze kterého již nevede žádná hrana. Z praktických důvodů je vstup zobrazen pouze jedním kolečkem a není pro každou složku vstupu zobrazen zvláštní vstupní neuron, počty vstupních neuronů by pak většinou převýšily počet ostatních neuronů. 8

12 Obrázek 2.1: Příklad topologie Definice 2.5 Necht je dána topologie T, množina def = {NN = (T, N, g, id) ψ(nn)} se bude nazývat model neuronové M NN T sítě se vstupní dimenzí d nad topologií T, ψ je relace nad uspořádanými čtveřicemi (T, N, g, id) definovaná následovně (T, N, g, id) ψ def 1) N MN 2) g : N V je bijekce 3) id : N ˆn je bijekce, n = V 4) vstupní dimenze neuronu q = g 1 (v in ) je rovna d Poznámka 2.9 V označení modelu neuronové sítě se nevyskytuje vstupní dimenze, ta bude však vždy zřejmá z kontextu. Definice 2.6 Modelem neuronové sítě se bude nazývat množina M NN = MT NN T je topologie Definice 2.7 Prvek NN MT NN modelu neuronové sítě se vstupní dimenzí d nad topologií T se bude nazývat Neuronová sít se vstupní dimenzí d nad topologií T. Necht NN = (T, N, g, id) MT NN, T = (V, E), následuje několik pojmů týkajících se konkrétní NN. Necht m = N, q N libovolný, parents(q) def = {q N (g(q ), g(q)) E} children(q) def = {q N (g(q), g(q )) E} 9

13 q in def = g 1 (v in ) vstupní neuron NN q out def = g 1 (v out ) výstupní neuron NN indim(nn) def = d vstupní dimenze NN Poznámka 2.10 Neuronová sít NN = (T, N, g, id) je objekt, který se skládá z neuronů a jehož struktura je dána jeho topologií. Jednotlivé neurony jsou očíslovány funkcí id. Smysl tohoto očíslování spočívá hlavně v uchopitelnosti jednotlivých neuronů při definování přechodové funkce realizované celou neuronovou sítí a algoritmu učení neuronové sítě. Poznámka 2.11 Pokud na topologii nebo dimenzi neuronové sítě nebude záležet, bude se informace o topologii, či vstupní dimenzi vypouštět. Definice 2.8 Necht NN = (T, N, g, id) je neuronová sít se vstupní dimenzí d, q N, m = indim(q), o = outdim(q). Funkce q r : R d R m a q p : R d R o jsou definovány následovně. Necht n = parents(q) (q 1,...,q n ) je uspořádaná n-tice, pro niž platí ( i ˆn)(q i parents(q)) ( i, j ˆn)(i < j id(q i ) < id(q j )) a konečně q p (x) def = (q1 r (x),...,qr n { (x)) q r (x) def q(q = p (x)) pro n>0 q(x) jinak Poznámka 2.12 Funkce q p vezme výstupy rodičů neuronu q a převede je na podobu jediného vektoru, který je teprve zpracován neuronem q. Funkce q p i q r jsou definovány rekurzivně a slouží k popsání toku dat uvnitř neuronové sítě, narozdíl od funkce q mají vstupní prostor totožný se vstupním prostorem celé neuronové sítě a vracejí výstup z určitého místa v síti. Definice 2.9 Neuronová sít NN = (T, N, g, id) se bude nazývat korektní, pokud platí podmínka ( q N)(dim(Ran(q p )) = indim(q)) (2.1) 10

14 Poznámka 2.13 Definice 2.9 zavádí přirozenou podmínku pro tok dat uvnitř neuronové sítě, nemělo by se stát, že neuronu by ke zpracování dostal vstup, který nepochází ze vstupního prostoru daného neuronu. Jelikož nemá smysl se zabývat neuronovými sítěmi, které nejsou korektní, bude se všude dále pod pojmem neuronová sít uvažovat neuronová sít, která je korektní. Definice 2.10 Necht NN = (T, N, g, id) M NN, funkce q r out se bude nazývat funkce realizovaná neuronovou sítí NN. Poznámka 2.14 Pomocí neuronové sítě je definována jistá funkce f : R d R n, dále se bude často neuronová sít ztotožňovat s funkcí kterou reprezentuje, tato funkce se bude značit NN, tedy NN(x) bude dále reprezentovat funkční hodnotu funkce realizované neuronovou sítí NN. Jelikož hodnota NN(x) je definována pomocí hodnoty přechodové funkce výstupního neuronu, je výstupní dimenze celé neuronové sítě totožná s výstupní dimenzí výstupního neuronu, všude dále se budou uvažovat pouze neuronové sítě, jejich výstupní dimenze je rovna jedné. 2.3 Učení neuronové sítě Definice 2.11 Množina X = {(x, t, i) (x, t, i) R m { 1, +1} N} s vlastnostmi n = X < + m N ( (x, t, i) X)(i ˆn) ( (x 1, t 1, i 1 ), (x 2, t 2, i 2 ) X)((x 1 = x 2 t 1 = t2) (i 1 = i 2 )) se bude nazývat množina vzorů dimenze m, nebo jen množina vzorů. Velikostí X se bude rozumět číslo n. Dále necht (x, t, i) X x se bude nazývat vzor a značit x i t se bude nazývat požadovaná hodnota a značit t i i se bude nazývat index vzoru dvojice (x, t) se bude značit w i množina {x R m ( (x, t, i ) X)(x = x )} se bude značit X x 11

15 množina {t { 1; 1} ( (x, t, i ) X)(t = t )} se bude značit X t Definice 2.12 Necht X je množina vzorů dimenze m a velikosti n, X se bude nazývat učící množina dimenze m s n vzory a značit D L (n, m). Poznámka 2.15 Definice učící množiny je pouze jiné pojmenování pro množinu vzorů, její smysl je pouze ve zvýraznění účelu, ke kterému je daná množina vzorů použita. Definice 2.13 Množina def D L = {D L (n, m) D L (n, m) je učící množina dimenze m s n vzory, kde n, m N} se bude nazývat množina učících množin. Poznámka 2.16 Symbolem D L se někdy bude označovat blíže nespecifikovaná učící množina, z kontextu však bude vždy zřejmé, zda se jedná o jednu učící množinu, či výše definovanou množinu učících množin. Definice 2.14 Necht M f je model neuronu s přechodovou funkcí f, funkce u : D L M f se bude nazývat nenaučený neuron s přechodovou funkcí f. Definice 2.15 Necht NN U = (T, U, g u, id u ) je uspořádaná čtveřice, kde T = (V, E) je topologie U je množina nenaučených neuronů g u : U V je bijekce id u : U ˆv je bijekce, v = V NN U se bude nazývat nenaučená neuronová sít nad topologií T. Definice 2.16 Množina NN T,U def = {NN U NN U je nenaučená neuronová sít nad topologií T } se bude nazývat množina nenaučených neuronových sítí nad topologií T. Definice 2.17 Množina M NN U def = T je topologie NN T,U se bude nazývat množina nenaučených neuronových sítí. 12

16 Definice 2.18 Učící metodou neuronové sítě se bude nazývat funkce L M : L D MU NN M NN, která je definována následovně. Necht l L D, NN U MU NN, NN U = (T, U, G u, id u ), T = (V, E ). kde pro NN platí T = T L M (l, NN U ) def = NN = (T, N, g, id) ( q N)( u U)(id(q) = id(u) ((q = u(l q )) (g(q) = g u (u)))) def kde l q = {(x, t, i ) ( (x, t, i) l)((x, t, i ) = (q p (x), t, i))} Poznámka 2.17 Učící metoda byla definována za použití sady podmínek, které platí pro funkční hodnotu za daných vstupních hodnot. Je samozřejmě možná i konstruktivní definice této funkce, taková definice by však byla velice nepřehledná, proto byl preferován použitý přístup. Poznámka 2.18 Učící metoda přiřazuje učící množině a nenaučené neuronové síti konkrétní neuronovou sít. Z toho, jak byla učící metoda definovaná je vidět, že již předem je nutné zadat topologii neuronové sítě a definovat funkce, pomocí kterých se učí jednotlivé neurony. Proces učení tedy optimalizuje pouze parametry jednotlivých neuronů. Propojení mezi neurony, přechodové funkce neuronů a způsoby učení jednotlivých neuronů jsou již předem dány a zakódovány v nenaučené neuronové sít i. Nenaučená neuronová sít je vlastně předpis, jak za využití učící množiny zkonstuovat neuronovou sít. Z definice množin l q je zřejmé, že se jedná o množinu vzorů, navíc je tato množina definována pomocí rekurzivně definované funkce q p z čehož plyne, že neurony musí být při učení brány v určitém pořadí. Naučení neuronu musí předcházet naučení jeho rodičů. Z definice l q je také vidět, že pro učení každého neuronu jsou použity stejné požadované hodnoty. Definice 2.18 zavádí způsob naučení libovolné neuronové sítě s přepínacími jednotkami. Poznámka 2.19 Další vlastnosti učící metody plynoucí z definice 2.18 jsou: Učící proces neuronové sítě není iterační (při učení jednotlivých neuronů se však iterační metody používají, viz. následující kapitola). Při učení každého neuronu je použitá celá učící množina naráz. Pro naučení neuronu q je třeba mít k dispozici učící množinu složenou z výstupů rodičů q. 13

17 Kapitola 3 Neuron s přepínací jednotkou Neuronové sítě s přepínacími jednotkami, jak název napovídá, obsahují přepínací jednotky. Tyto jednotky se v neuronové síti neobjevují samostatně, ale vždy jako součást neuronu s přepínací jednotkou (důvody lze najít v [HLA01, HLA02]). Nejprve je uveden popis neuronu s přepínací jednotkou a jeho funkcionality, následují detailnější popisy jeho jednotlivých částí. 3.1 Neuron s přepínací jednotkou Na neuron s přepínací jednotkou (NSU) se lze dívat jako na strukturu, která se skládá z právě jedné přepínací jednotky a několika výpočetních jednotek (neuronů), schéma neuronu s přepínací jednotkou je na obrázku 3.1. Zpracování vstupu neuronem s přepínací jednotkou lze popsat slovy následovně: Obrázek 3.1: Schéma neuronu s přepínací jednotkou 14

18 1. přepínací jednotka při zpracování vstupu x rozhodne, který výpočetní neuron vstup x zpracuje 2. výpočetní neuron, který dostane přidělen vstup x ke zpracování, na x aplikuje svoji přechodovou funkci, tím se získá výstup y 3. výstup y výpočetního neuronu se vezme jako výstup neuronu s přepínací jednotkou Formálně lze funkci realizovanou neuronem s přepínací jednotkou popsat následovně: Definice 3.1 Necht k N M f je model neuronu s přechodovou funkcí f q 1,...,q k jsou neurony, q i M f, q i : R n R m pro i ˆk, h : R n ˆk x R n j = h(x) NSU(x) def = f j (x) (3.1) funkce NSU : R n R m se bude nazývat neuron s přepínací jednotkou k se bude nazývat počet výpočetních neuronů h se bude nazývat přepínací jednotka Poznámka 3.1 V předchozí definici tedy funkce h představuje přepínací jednotku a funkce q 1,..., q k jsou výpočetní neurony. Je poněkud problematické, jak odlišit výpočetní neurony a neurony s výpočetní jednotkou pouze pomocí přechodové funkce, nebo jejím tvarem. To, že NSU má po částech definovanou přechodovou funkci, jistě není dostatečné kritérium. Dále se všude bude intuitivně předpokládat, že neuron s přepínací jednotkou se skládá z přepínací jednotky a výpočetních neuronů, které mají již lineární přechodovou funkci a nemají žádnou vnitřní strukturu. Dále budou popsány konkrétní NSU a bude vidět, že víceméně představují po částech lineární funkce. 15

19 Učení NSU s k výpočetními neurony lze popsat následovně: 1. pomocí učící množiny je naučena přepínací jednotka 2. učící množina je rozdělena na k podmnožin pomocí již naučené přepínací jednotky 3. i-tá podmnožina učící množiny je použita k naučení i-tého výpočetního neuronu 3.2 Přepínací jednotka Přepínací jednotka, jak je zřejmé z popisu neuronu s přepínací jednotkou, realizuje funkci h : R n ˆk, kde n je vstupní dimenze neuronu a k je počet výpočetních neuronů. Pro libovolný vstup x tedy rozhodne, který výpočetní neuron by měl daný vstup zpracovat. Pro takové rozhodnutí musí být vstupní prostor nějak popsán. K popisu vstupního prostoru se používá následující postup. Ve vstupním prostoru je umístěno k bodů, každý z těchto bodů je asociován s jedním výpočetním neuronem. Při rozhodování, který výpočetní neuron by měl zpracovat vstup x se zvolí ten, jemuž příslušející bod je nejblíže danému vstupu. Pokud by byla tato vzdálenost stejná pro více bodů, vybere se výpočetní neuron s nejnižším indexem. Detailněji lze přepínací jednotku definovat následovně: Definice 3.2 Necht NSU je neuron s přepínací jednotkou k je počet výpočetních neuronů NSU n = indim(nsu) h : R n ˆk x R n µ 1,...,µ k R n d : R n R n R + 0 d min = min{d(x, µ i ) i ˆk} 16

20 h(x) def = min{i ˆk d min = d(x, µ i )} (3.2) Funkce h se bude nazývat přepínací jednotkou neuronu NSU Poznámka 3.2 Funkce d v definici přepínací jednotky slouží k určování vzdáleností mezi body ze vstupního prostoru. Definice 3.3 Necht x, y R n d e def = d abs def = d sum def = n (x (i) y (i) ) 2 (3.3) i=1 n x (i) y (i) (3.4) i=1 n x (i) i=1 n y (i) (3.5) K učení přepínací jednotky se používají metody shlukové analýzy, viz. dodatek A. Jako vstup pro shlukování se používá množina vzorů z učící množiny, která neobsahuje požadované hodnoty. V principu se pak děje toto: 1. shlukovací metoda rozdělí učící vzory z učící množiny na disjunktní podmnožiny 2. u každé podmnožiny se určí těžiště 3. ke každému (zatím nenaučenému) výpočetnímu neuronu se přiřadí jedno těžiště jako bod µ Na obrázku 3.2 je příklad rozdělení dvojrozměrného vstupního prostoru neuronu při daných učících vzorech. i=1 3.3 Výpočetní neurony Jako výpočetních neuronů uvnitř neuronů s přepínací jednotkou se používají dva typy neuronů, tyto neurony se učí stejným způsobem, liší se však jejich přechodová funkce. 17

21 Obrázek 3.2: Příklad rozdělení dvourozměrného vstupního prostoru do tří částí, černé body reprezentují vzory z učící množiny Definice 3.4 Neuronem typu I se bude nazývat neuron s přechodovou funkcí f : R n R n+1, n N ( ) x f(x) = diag(α 1,...,α n, α n+1 ) 1 Definice 3.5 Neuronem typu II se bude nazývat neuron s přechodovou funkcí f : R n R, n N ( ) x f(x) = (α 1,...,α n+1 ) 1 Parametry neuronů typu I i II jsou nastavovány pomocí metody nejmenších čtverců, jejíž popis lze najít např. v [VIS98, AND85]. 3.4 Determinismus učení Pro srovnání učení neuronových sítí s různými parametry je třeba, aby učení bylo deterministické a to hlavně z následujících důvodů: Pokud by učení nebylo deterministické a při učení neuronové sítě by se sledovala např. veličina X. Později by se mohlo zjistit, že je třeba sledovat i veličinu Y, tím by se staly veškeré již napočtené výsledky nepoužitelné, protože pro získání hodnot veličiny Y by bylo třeba znovu získat hodnoty již dříve naměřené, které by odpovídaly průběhu učení, při kterém bylo provedeno nové měření. Při drobné změně učících dat by učení mělo probíhat podobně, jako při učení původních dat. Pokud se neuronová sít naučí za použití učící 18

22 množiny X, která se později například rozšíří, mělo by učení probíhat alespoň podobně, jako s původní učící množinou, očekávalo by se také, že výsledná sít bude kvalitní. Tento požadavek je trochu naivní, ale rozhodně ho lze lépe splnit v případě deterministického učení. K učení výpočetních neuronů se používá metoda nejmenších čtverců, která je deterministická, procházení celé neuronové sítě při učení je také deterministické. Jediný prvek, kde se využívala náhoda, je učení přepínací jednotky. Některé metody pro učení přepínací jednotky jsou iterační a na počátku již vyžadují odhad řešení, tento odhad se získával náhodným generováním. V kapitole o použitých metodách shlukové analýzy jsou uvedeny výsledky některých experimentů, které ilustrují cilivost iteračních metod na konečném výsledku. Daly by se použít i neiterační metody, ze srovnání výpočetní náročnosti metod shlukové analýzy však vyplývá, že tyto metody jsou od jisté velikosti učící množiny velice náročné pro použití. Je nutné si uvědomit, že pro naučení neuronové sítě může být nutné naučit mnoho přepínacích jednotek a to by mohlo trvat delší čas. Citlivost iteračních metod na počáteční řešení by nemusela být až tak tragická, kdyby se ukázalo, že na celkové učení neuronové sítě to nemá příliš významný dopad. Bohužel z praktických výsledků se ukázalo, že opak je pravdou. Pro ilustraci tohoto jevu jsou uvedeny výsledky, na nichž je ukázáno, jak se liší výsledky těchto sítí při opakovaném učení. Tento experiment vychází z jednoduché představy, že pokud mají dvě síté různou kvalitu, musí se lišit i jejich parametry. Pro několik různých sítí byl proveden tisíckrát následující experiment: 1. neuronová sít byla naučena (jako učící množina byla použita množina vzorů, která je označena v kapitole 6 jako heart 2. byly spočteny výstupy neuronové sítě, kde jako vstupy byly použity vzory z učící množiny 3. byla spočtena chyba klasifikace danou sítí (poměr špatně klasifikovaných vzorů ku počtu všech vzorů, kde za špatně ohodnocený vzor byl považovaný vzor, u něhož byla sít učena na hodnotu +1 resp. -1, ale sít ho později zařadila blíže -1 resp. +1) 4. uložení kvality Na obrázcích 3.3, 3.4 a 3.5 je vždy vlevo uveden historgram chyb neuronové sítě, vpravo je uvedena topologie neuronové sítě, které odpovídá 19

23 daný histogram. Z uvedených histogramů lze usoudit, že kvality neuronových sítí, které byly učeny pomocí stejné nenaučené neuronové sítě a stejné učící množiny, se liší, z toho plyne, že i odpovídající neuronové sítě se liší. Náhodný počáteční rozklad tedy ovlivňuje učení sítí. Histogram chyby naučené neuronové sítě Frekvence Chyba Obrázek 3.3: Histogram chyby klasifikace a topologie odpovídající neuronové sítě 3.5 Srovnání metod použitých pro učení přepínací jednotky Pro učení přepínací jednotky byly používány následující metody shlukové analýzy. Iterační metody Forgy rand Forgy PCA Forgy LA Hierarchické metody Nejbližší soused Nejvzálenější soused 20

24 Histogram chyby naučené neuronové sítě Frekvence Chyba Obrázek 3.4: Histogram chyby klasifikace a topologie odpovídající neuronové sítě Průměrná nepodobnost Z iteračních metod jsou použity různé varianty Forgyho metody, tyto varianty se liší ve způsobu určení počátečního řešení, které se dále iteračně zlepšuje. Varianta Forgy rand vybere náhodně k bodů a ostatní body jsou zařazeny do shluku k nejbližšímu bodu, varianty Forgy PCA a Forgy LA používají metodu PCA Part a její variantu LA ( viz. odstavec A.2.3) k nalezení počátečního rozkladu. Tyto jednotlivé metody pracují na různých principech a minimalizují i různá kritéria pro rozdělení vzorů do shluků. To je důvod, proč tyto metody nebyly srovnávány přímo v rámci shlukové analýzy. Srovnána byla výpočetní náročnost těchto algoritmů, v kapitole 7 jsou uvedeny výsledky, které byly získány při zjišt ování vlivu jednotlivých metod na celkové učení neuronových sítí. Hlavní parametry ovlivňující metody shlukové analýzy jsou počet vzorů určených ke shlukování, jejich dimenze a způsob určování vzdálenosti mezi vzory. Uvedené výsledky byly získány při použití euklidovské vzdálenosti. 3.6 Srovnání v závislosti na počtu vzorů Na obrázku 3.6 je vidět závislost doby výpočtu na velikosti učící množiny (pro výpočet bylo vždy vzato prvních n vzorů) pro veškeré uvedené metody 21

25 Histogram chyby naučené neuronové sítě Frekvence Chyba Obrázek 3.5: Histogram chyby klasifikace a topologie odpovídající neuronové sítě najednou. Z tohoto obrázku je zřejmé, že výpočetní náročnost hierarchických metod je značně vyšší než náročnost Forgyho metody. To vyplývá ze složitosti uvedených metod (viz dodatek A). Veškeré shlukování bylo provedeno pro deset shluků. Na obrázcích 3.7 až 3.12 jsou uvedeny zvlášt hierarchické metody a varianty Forgyho metody pro různé dimenze vstupních dat (pro vzory bylo použito vždy prvních k hodnot z učící množiny mushroom1-lrn) Na obrázku je uvedeno srovnání pro učící množinu heart1-lrn. Tato množina dat obsahuje méně vzorů, než mushroom1-lrn. Je vidět, že při nižší velikosti učící množiny ( 500) je rozdíl v čásové náročnosti malý, hierarchické metody jsou v tomto případě dokonce rychlejší než Forgy PCA. 3.7 Srovnání v závislosti na počtu shluků Kromě počtu vzorů v učící množině, je dalším parametrem počet hledaných shluků. Na obrázcích 3.15 a 3.15 jsou zobrazeny závislosti doby potřebné pro shlukování v závislosti na počtu shluků při konstantní velikosti učící množiny. 3.8 Závěry Ze srovnání vedených metod lze dojít k následujícím závěrům: 22

26 Používané metody Čas výpočtu[s] Forgy LA Forgy PCA Forgy rand Nejbližší soused Průměrná nepodobnost nejvzdálenější soused Počet prvků v datové množině Obrázek 3.6: Závislost doby výpočtu použitých metod na počtu prvků ve vstupní množině, data mushroom1-lrn (dim=125) hierarchické metody jsou od určité hranice daleko náročnější na výpočetní čas než iterační metody pro učící množiny s menším počtem vzorů ( 700) je výpočetní náročnost hierarchických a iteračních metod podobná, dokonce jsou hierarchické metody méně náročné než iterační metoda Forgy PCA uvedené hierarchické metody mají přibližně stejné nároky na výpočetní čas, nejsou citlivé na počet shluků Forgy PCA je významně náročnější, než další varianty Forgyho metody, přičemž náročnost těchto metod je ovlivněna počtem shluků Poznámka 3.3 Z deterministických variant Forgyho metody je varianta Forgy LA výrazně méně náročná na výpočetní čas, bylo by pozitivní zjištění, že výsledky celých neuronových sítí jsou při použití jednotlivých variant srovnatelné. 23

27 Hierarchické metody Nejbližší soused Průměrná nepodobnost nejvzdálenější soused Čas výpočtu[s] Počet prvků v datové množině Obrázek 3.7: Závislost doby výpočtu hierarchických metod na počtu prvků ve vstupní množině (dim=125) Iterační metody Čas výpočtu[s] Forgy LA Forgy PCA Forgy rand Počet prvků v datové množině Obrázek 3.8: Závislost doby výpočtu iteračních metod na počtu prvků ve vstupní množině (dim=125) 24

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat

Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Jan Žižka IBA Institut biostatistiky a analýz PřF & LF, Masarykova universita Kamenice 126/3, 625 00 Brno Email: zizka@iba.muni.cz Bioinformatika:

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy

Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Profilování vzorků heroinu s využitím vícerozměrné statistické analýzy Autor práce : RNDr. Ivo Beroun,CSc. Vedoucí práce: prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. PROFILOVÁNÍ Profilování = klasifikace a rozlišování

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 DOLOVÁNÍ V DATECH (DATA MINING) OBJEVUJE SE JIŽ OD 60. LET 20. ST. S ROZVOJEM POČÍTAČOVÉ TECHNIKY DEFINICE PROCES VÝBĚRU, PROHLEDÁVÁNÍ A MODELOVÁNÍ

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB 62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup

Více

Strojové učení se zaměřením na vliv vstupních dat

Strojové učení se zaměřením na vliv vstupních dat Strojové učení se zaměřením na vliv vstupních dat Irina Perfilieva, Petr Hurtík, Marek Vajgl Centre of excellence IT4Innovations Division of the University of Ostrava Institute for Research and Applications

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Klasifikace předmětů a jevů

Klasifikace předmětů a jevů Klasifikace předmětů a jevů 1. Úvod Rozpoznávání neboli klasifikace je základní znak lidské činnosti. Rozpoznávání (klasifikace) předmětů a jevů spočívá v jejich zařazování do jednotlivých tříd. Třídou

Více

Rovinný průtokoměr. Diplomová práce Ústav mechaniky tekutin a termodynamiky, 2013. Jakub Filipský

Rovinný průtokoměr. Diplomová práce Ústav mechaniky tekutin a termodynamiky, 2013. Jakub Filipský Rovinný průtokoměr Diplomová práce Ústav mechaniky tekutin a termodynamiky, 2013 Autor: Vedoucí DP: Jakub Filipský Ing. Jan Čížek, Ph.D. Zadání práce 1. Proveďte rešerši aktuálně používaných způsobů a

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Zápočtová úloha z předmětu KIV/ZSWI DOKUMENT SPECIFIKACE POŽADAVKŮ

Zápočtová úloha z předmětu KIV/ZSWI DOKUMENT SPECIFIKACE POŽADAVKŮ Zápočtová úloha z předmětu KIV/ZSWI DOKUMENT SPECIFIKACE POŽADAVKŮ 10. 5. 2011 Tým: Simplesoft Členové: Zdeněk Malík Jan Rada Ladislav Račák Václav Král Marta Pechová malikz@students.zcu.cz jrada1@students.zcu.cz

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence

Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence APLIKACE UMĚLÉ INTELIGENCE Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence Aplikace umělé inteligence - seminář ING. PETR HÁJEK, PH.D. ÚSTAV SYSTÉMOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A INFORMATIKY

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Ukázkový přiklad mikroaplikace systému Formcrates 2010 Naucrates s.r.o. Veškerá práva vyhrazena. Vyskočilova 741/3, 140 00 Praha 4 Czech Republic tel.: +420

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Náplň. v.0.03 16.02.2014. - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění

Náplň. v.0.03 16.02.2014. - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění Náplň v.0.03 16.02.2014 - Jednoduché příklady na práci s poli v C - Vlastnosti třídění - Způsoby (algoritmy) třídění Spojení dvou samostatně setříděných polí void Spoj(double apole1[], int adelka1, double

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Microsoft Office. Excel vyhledávací funkce

Microsoft Office. Excel vyhledávací funkce Microsoft Office Excel vyhledávací funkce Karel Dvořák 2011 Vyhledávání v tabulkách Vzhledem ke skutečnosti, že Excel je na mnoha pracovištích používán i jako nástroj pro správu jednoduchých databází,

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

DOE (Design of Experiments)

DOE (Design of Experiments) DOE - DOE () DOE je experimentální strategie, při které najednou studujeme účinky několika faktorů, prostřednictvím jejich testování na různých úrovních. Charakteristika jakosti,y je veličina, pomocí které

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Přejímka jedním výběrem

Přejímka jedním výběrem Přejímka jedním výběrem Menu: QCExpert Přejímka Jedním výběrem Statistická přejímka jedním výběrem slouží k rozhodnutí, zda dané množství nějakých výrobků vyhovuje našim požadavkům na kvalitu, která je

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Úloha ve stavovém prostoru SP je , kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů

Úloha ve stavovém prostoru SP je <s 0, C>, kde s 0 je počáteční stav C je množina požadovaných cílových stavů Stavový prostor a jeho prohledávání SP = formalismus k obecnějšímu uchopení a vymezení problému, který spočívá v nalezení posloupnosti akcí vedoucích od počátečního stavu úlohy (zadání) k požadovanému

Více

45 Plánovací kalendář

45 Plánovací kalendář 45 Plánovací kalendář Modul Správa majetku slouží ke tvorbě obecných ročních plánů činností organizace. V rámci plánu je třeba definovat oblasti činností, tj. oblasti, ve kterých je možné plánovat. Každá

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Bayesovská klasifikace digitálních obrazů

Bayesovská klasifikace digitálních obrazů Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický Bayesovská klasifikace digitálních obrazů Výzkumná zpráva č. 1168/2010 Lubomír Soukup prosinec 2010 1 Úvod V průběhu nedlouhého historického vývoje

Více