Matematika pro studenty ekonomie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika pro studenty ekonomie"

Transkript

1 w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY EKONOMIE Dále doporučujeme: Jiří Moučka Petr Rádl Michael Publikace srozumitelně vysvětluje základní matematické pojmy a metody jejichž znalost je nezbytná při studiu ekonomických fakult vysokých škol Oproti prvnímu vydání kniha nabízí více příkladů na procvičení a některé pasáže jsou upraveny tak aby lépe navazovaly na současné znalosti středoškolské matematiky studentů Při studiu učebnice budete postupovat od lineární algebry přes diferenciální počet funkce jedné proměnné diferenciální počet funkce dvou proměnných integrální počet funkce jedné proměnné diferenciální rovnice až po diferenční rovnice Díky množství řešených příkladů probíraná témata snadněji pochopíte a získané znalosti pak využijete v dalším studiu např ve statistice operačním výzkumu ekonometrii ekonomii apod Řešení příkladů se odkrývá postupně po jednotlivých krocích což přispívá k rychlému zvládnutí probírané látky Kniha pokrývá obsah základního kurzu matematiky na vysokých školách ekonomického zaměření Jiří Moučka Petr Rádl Lineární algebra Diferenciální rovnice Diferenciální a integrální počet Diferenční rovnice Teorie a 7 řešených příkladů

2

3 Jiří Moučka Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie upravené a doplněné vydání Grada Publishing

4 Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno Doc RNDr Jiří Moučka PhD RNDr Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie upravené a doplněné vydání Kniha je monografie Vydala Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + wwwgradacz jako svou 9 publikaci Odborná recenze: Prof RNDr Jan Chvalina DrSc Doc RNDr Jaroslav Beránek CSc Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing as Odpovědní redaktoři Petr Somogyi Kamila Nováková Sazba Petr Somogyi Návrh a zpracování obálky Jan Dvořák Počet stran 7 Druhé vydání Praha Vytiskla Tiskárna v Ráji sro Pardubice Grada Publishing as Cover Photo fotobanka allphoto ISBN (pdf) ISBN (print)

5 Obsah O autorech 9 Úvod Lineární algebra Základní pojmy z teorie množin Cvičení Vektorové prostory Pojem vektorového prostoru Aritmetický vektorový prostor 8 Podprostor vektorového prostoru 9 Lineární závislost a nezávislost vektorů Báze a dimenze vektorového prostoru Cvičení Matice Pojem matice Základní operace s maticemi 9 Hodnost matice Násobení matic Cvičení 8 Determinanty 9 Pojem determinantu 9 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů 7 Cvičení 8 Soustavy lineárních rovnic Základní pojmy Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Metody řešení soustav lineárních rovnic Cvičení Maticová algebra Inverzní matice Maticové rovnice 8 Cvičení 7 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 7 Funkce Vlastnosti funkcí 7 Definice funkce 7 Vlastnosti funkcí 77 Základní elementární funkce 8 Operace s funkcemi Transformace grafu funkce 89 Polynom Racionální funkce 9 Cvičení 97 Limita funkcí 99 Definice limity 99 Nevlastní limita

6 Matematika pro studenty ekonomie Výpočet limity Cvičení Spojitost funkcí Cvičení 7 Derivace funkcí 8 Definice a geometrický význam derivace 8 Pravidla pro derivování 9 Derivace složených funkcí Derivace implicitních funkcí Derivace funkcí tvaru fg Derivace vyššího řádu Diferenciál funkce Cvičení Užití derivací Průběh funkce 8 L Hospitalovo pravidlo 8 Monotónnost a extrémy funkce Konvexnost konkávnost Inflexní body 7 Asymptoty grafu funkce 9 Průběh funkce Cvičení Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 9 Pojem funkce dvou a více proměnných Euklidovské prostory Význačné body a množiny bodů v prostoru En Definice funkce dvou a více proměnných Grafické znázornění funkce dvou proměnných 8 Cvičení Limita a spojitost funkcí dvou proměnných Limita funkcí dvou proměnných Spojitost funkcí dvou proměnných Cvičení Derivace funkcí dvou proměnných Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Tečná rovina a normála plochy 7 Parciální derivace vyšších řádů 8 Cvičení Extrémy funkcí dvou a více proměnných Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Lokální extrémy funkcí tří proměnných Vázané extrémy Absolutní extrémy 9 Cvičení 7 Integrální počet funkcí jedné proměnné 7 Neurčitý integrál 7 Primitivní funkce a neurčitý integrál 7 Přímá integrace pomocí vzorců a úprav integrandu 7

7 Obsah 7 Integrace racionální funkce 8 Substituční metoda 8 Metoda per partes 87 Integrace metodou neurčitých koeficientů 9 Cvičení 9 Určitý integrál 9 Definice a vlastnosti určitého integrálu 9 Výpočet určitého integrálu 9 Geometrické aplikace určitého integrálu 98 Cvičení Nevlastní integrál Integrál nevlastní vzhledem k mezi Integrál nevlastní vzhledem k funkci 7 Cvičení Diferenciální rovnice Základní pojmy Cvičení Diferenciální rovnice řádu Diferenciální rovnice typu y = f(x) Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými Lineární diferenciální rovnice řádu 8 Cvičení Lineární diferenciální rovnice řádu Diferenciální rovnice typu yʹʹ = f(x) Zkrácená lineární diferenciální rovnice řádu Metoda variace konstant Metoda neurčitých koeficientů 8 Skládání hlavních integrálů Cvičení Diferenční rovnice Posloupnost Diference posloupnosti Cvičení Diferenční rovnice Základní pojmy Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Cvičení 9 Výsledky cvičení Literatura 9 Shrnutí 7 Rejstřík 7

8

9 O autorech Doc RNDr Jiří Moučka PhD Vystudoval odbornou matematiku na Přírodovědecké fakultě Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně (97) V rámci doktorského postgraduálního studia na Masarykově univerzitě v Brně studoval vlastnosti diskrétních algebraických struktur (997) Touto problematikou se zabýval i ve své habilitační práci která byla zaměřena na aplikaci diskrétních matematických struktur pro modelování procesů () Pedagogicky působil na Fakultě ekonomiky obrany státu VVŠ PV ve Vyškově na Fakultě ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně Přednášel především matematiku pro studenty ekonomických specializací operační analýzu a ekonomicko-matematické metody Zpracoval řadu studijních textů a skript zaměřených na základní kurz vyšší matematiky teorii her a lineární programování Je autorem a spoluautorem několika desítek odborných článků v oblasti teorie algebraických hyperstruktur a matematického modelování V současné době je garantem předmětu Matematika na Fakultě vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně RNDr Petr Rádl Vystudoval Přírodovědeckou fakultu Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně obor matematika a deskriptivní geometrie (97) Zde v roce 98 složil státní rigorózní zkoušku Po absolvování základní vojenské služby je od roku 97 zaměstnán na Mendelově univerzitě v Brně Působil na Ústavu matematiky Lesnické a dřevařské fakulty v letech 7 byl vedoucím tohoto ústavu Přednášel matematiku konstruktivní geometrii a technické kreslení v různých studijních programech prezenční i kombinované formy studia na všech fakultách univerzity a je spoluautorem skript používaných ke studiu těchto předmětů Řadu let byl garantem přijímacích zkoušek z matematiky na Mendelovu univerzitu a je vedoucím autorského kolektivu Sbírky příkladů z matematiky pro přijímací řízení Externě přednášel technické kreslení na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně kde byl také členem komise pro státní závěrečné zkoušky ve studijním programu Matematika a Aplikovaná matematika Od roku 8 působí na Ústavu statistiky a operačního výzkumu Provozně ekonomické fakulty Mendelovy univerzity v Brně a přednáší matematiku studentům této fakulty

10

11 Úvod Znalost exaktních metod ekonomických teorií by měla v současné době patřit k nezbytné výbavě každého pracovníka na jakékoliv úrovni ekonomické praxe Z toho pro něj jednoznačně vyplývá nutnost seznámit se s jejich matematickými základy Stěžejním cílem autorů této učebnice stejně jako cílem výuky matematiky na ekonomických fakultách je poskytnout studentům základní znalosti vyšší matematiky využitelné při studiu navazujících ekonomicko-matematických předmětů a při studiu kvantitativních metod aplikovaných v odborných ekonomických disciplínách Učebnice je rozdělena do šesti kapitol které na sebe logicky navazují Pro úspěšné studium určité kapitoly je nezbytné zvládnutí látky z předchozích kapitol Vždy se přitom požaduje znalost středoškolské matematiky v obvyklém rozsahu V každé kapitole je formou definic a vět bez důkazů shrnuta potřebná teorie Způsob výkladu je přitom přizpůsoben odbornému zaměření studentů kteří nestudují matematiku jako takovou ale potřebují ji umět vhodně využívat Přímo v základním textu jsou probírané pojmy a metody ilustrovány množstvím řešených příkladů Další úlohy označené jako cvičení jsou určeny k samostatnému řešení Výsledky těchto cvičení jsou uvedeny na konci knihy Definice věty příklady i obrázky jsou vždy označeny dvojicí číslic z nichž první značí pořadové číslo kapitoly a druhá jejich pořadí uvnitř kapitoly Značkou jsou v textu kvůli větší přehlednosti označeny konce definic vět a příkladů včetně jejich řešení Učebnice je určena především studentům prezenční i kombinované formy studia Provozně ekonomické fakulty Mendlovy univerzity v Brně a Fakulty vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně Její obsah jednoznačně koresponduje se stávajícím studijním plánem prvních semestrů studia na zmíněných fakultách kde oba autoři pedagogicky působí Byla koncipována na základě skript a učebních textů které jsou zaměřeny na dílčí části probírané problematiky a které byly používany při výuce základního kurzu matematiky na obou fakultách v posledním desetiletí Zkušenosti z jejich používání připomínky a názory jejich autorů i uživatelů byly při tvorbě této knihy využity a autoři za ně touto cestou srdečně děkují Jedním z důležitých motivů vzniku předkládaného textu bylo shrnout celý obsah základního matematického kurzu do jediné učebnice jejíž prostudování umožní studentům úspěšné zvládnutí předmětu Matematika Druhé vydání knihy reflektuje zkušenosti autorů a jejich spolupracovníků získané při jejím pětiletém intenzivním využívání Vzhledem k tomu že mnohé další ekonomické fakulty v České republice mají ve svých studijních programech základní kurz vysokoškolské matematiky podobného obsahu i rozsahu je možné že po této učebnici sáhnou i studenti jiných vysokých škol především ekonomického zaměření Všechny liché kapitoly napsal doc RNDr Jiří Moučka PhD autorem sudých kapitol je RNDr Petr Rádl Za mnohé cenné rady a připomínky autoři děkují doc RNDr Josefu Kalasovi CSc RNDr Ludmile Staré a RNDr Milanu Vágnerovi Brno srpen Autoři

12

13 KAPITOLA Lineární algebra

14 Matematika pro studenty ekonomie Lineární algebra jejíž základy se v této kapitole studují se začala vytvářet jako samostatná matematická disciplína v 8 století kdy byl zaveden pojem determinantu a ukázána metoda řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých V polovině 9 století se poprvé objevuje pojem matice a další metody řešení soustav lineárních rovnic Lineární algebra však není pouze teoretickou matematickou disciplinou Typická je její aplikovatelnost a široké použití v praxi Bezprostředně je využíváno metod lineární algebry v lineárním programování jež řeší celou řadu úloh ekonomického charakteru Základní pojmy z teorie množin V úvodním odstavci uvádíme přehled základních pojmů teorie množin v míře nezbytně nutné pro pochopení všech dalších úvah Množinou M rozumíme souhrn určitých objektů chápaný jako samostatný celek Tyto objekty nazýváme prvky množiny a značíme a b x y Zápisem a M resp a M rozumíme že a je resp a není prvkem množiny M Pro každý objekt a a množinu M platí právě jedna z možností a M nebo a M Množinu která nemá žádný prvek značíme symbolem Ø a říkáme jí prázdná množina Množinu která je souhrnem prvků b b n označujeme symbolem { b b n } Ze středoškolské matematiky jsou dále známy tyto zápisy a jejich význam: A B rovnost množin A B A B množina A je podmnožina množiny B A B průnik množin A B A B sjednocení množin A B A B rozdíl množin A B tedy množina právě těch prvků x A pro které platí x B Nechť M M jsou dvě množiny Množina všech uspořádaných dvojic ( x x) kde x M x M se nazývá kartézský součin množin M M a značí se M M Jsou-li M M libovolné množiny pak binární relací z množiny M do množiny M nazýváme každou podmnožinu kartézského součinu M M Zobrazením f z množiny M do množiny M nazýváme každou binární relaci f M M takovou že každému prvku x M je přiřazen nejvýše jeden prvek x M s vlastností ( x x) f Někdy se používá značení f: M M Je-li při zobrazení f z množiny M do množiny M každému prvku x M přiřazen právě jeden prvek x M mluvíme o zobrazení f množiny M do množiny M Jestliže při zobrazení f z množiny M do množiny M existuje ke každému prvku x M alespoň jeden prvek x M tak že ( xx ) f mluvíme o zobrazení f z množiny M na množinu M Jestliže je při zobrazení f z množiny M do množiny M každému prvku x M přiřazen právě jeden prvek x M a ke každému prvku x M existuje alespoň jeden prvek x M tak že ( x x) f mluvíme o zobrazení f množiny M na množinu M

15 Lineární algebra Důležitou roli v matematice i v jiných vědách hraje pojem (algebraické) operace Binární operací v množině M rozumíme každé zobrazení M M M které každé uspořádané dvojici (ab) M přiřazuje nejvýše jeden prvek cm Označíme-li binární operaci (dále jen operace) symbolem můžeme psát a b = c Operaci nazýváme komutativní právě tehdy když pro každé prvky a b M platí a b = b a Operaci nazýváme asociativní právě tehdy když pro každé prvky a b c M platí (a b) c = a (b c) Operaci nazýváme distributivní zleva resp zprava k operaci právě tehdy když pro každé prvky a b c M platí a (b c) = (a b) (a c) resp (b c) a = (b a) (c a) Je-li operace komutativní nemusíme rozlišovat zleva a zprava a používáme pouze jeden vztah a (b c) = (a b) (a c) Výše uvedené rovnosti bývají také nazývány komutativní asociativní a distributivní zákon Existuje-li v množině M takový prvek e že pro každé xm platí rovnost x e = e x =x nazývá se tento prvek neutrální vzhledem k operaci Je-li e neutrální prvek vzhledem k operaci a existuje-li k prvku am prvek a M s vlastností a a = a a = e nazýváme prvek a inverzní případně opačný prvek k prvku a na množině M Nejjednoduššími příklady komutativních a asociativních operací jsou běžné operace sčítání a násobení na množině N Při operaci sčítání hraje roli neutrálního prvku číslo při operaci násobení číslo Inverzní prvek k žádnému číslu však v množině přirozených čísel neexistuje ani vzhledem k operaci sčítání ani vzhledem k násobení V množině reálných čísel jsou obě operace komutativní i asociativní a vzhledem k oběma operacím má každý prvek am inverzní prvek a Při sčítání je a = a při násobení a = a neutrální prvky jsou opět a Ve všech základních číselných množinách je operace násobení distributivní k operaci sčítání tj a (b + c) = ab + ac S celou řadou jiných operací na různých množinách se budeme setkávat na dalších stranách této učebnice Operace v níž se vyskytují pouze prvky množiny M tj M M M se nazývá vnitřní Vyskytují-li se při operaci kromě prvků množiny M i prvky jiné množiny např R M M mluvíme o operaci vnější Neprázdná množina na níž je definována alespoň jedna (algebraická) operace se nazývá algebraická struktura Významnou algebraickou strukturou je vektorový prostor Jeho studiem se budeme zabývat v následující kapitole Pro označování základních číselných množin je všude použito pevných symbolů takto: N množina všech přirozených čísel N množina všech přirozených čísel včetně nuly

16 Matematika pro studenty ekonomie Z množina všech celých čísel R množina všech reálných čísel R + množina všech reálných kladných čísel C množina všech komplexních čísel Cvičení Rozhodněte která tvrzení jsou pravdivá a) Z R b) N Z c) N R d) N Z R e) N Z Z f) N R R g) N R N h) N R = Ø i) N N = Ø j) N R = R N k) N Z l) Z N Pro množiny A = {abcd} B = {def} sestrojte uvedené množiny a) A B b) B A c) A B d) B A e) A B f) B A g) A B h) B A Rozhodněte která tvrzení jsou pravdivá a vyjadřují distributivní zákon a) A ( B C) ( A B) ( A C) b) A ( B C) ( A B) ( A C) c) A ( B C) ( A B) C d) A ( B C) ( A B) ( A C) e) A ( B C) ( A B) ( A C) Vektorové prostory Pojem vektorového prostoru Vektorový prostor je algebraická struktura (V + ) se dvěma operacemi V je množina libovolných prvků které značíme a b a říkáme jim vektory Na V jsou zavedeny operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem Operace sčítání je komutativní a asociativní existuje v ní neutrální prvek kterým je nulový vektor o a ke každému vektoru a existuje opačný vektor a Operace násobení vektoru reálným číslem je asociativní a platí pro ni distributivní zákony vzhledem k operaci sčítání vektorů Definice Množina V libovolných prvků které značíme a b x y a říkáme jim vektory se nazývá vektorový prostor jestliže: Je dáno zobrazení V V V jež každé uspořádané dvojici vektorů (a b) V V přiřazuje vektor a b V tak že pro každé vektory a b c V platí axiomy: (A) a b b a (A) a ( b c) ( a b) c (A) existuje vektor o V takový že pro každý vektor a V platí a o a (A) ke každému vektoru a V existuje vektor a V tak že platí a + ( a) = o

17 Lineární algebra 7 Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině V a vektor a b je součet vektorů a b Je dáno zobrazení R V V které každé uspořádané dvojici (r a)r V přiřazuje vektor ra V tak že pro každá reálná čísla r s R a každé vektory a b V platí axiomy: (A) a = a (A) r (sa) = rs(a) (A7) (r +s)a = ra + sa (A8) r (a+b) = ra + rb Toto zobrazení se nazývá násobení vektoru reálným číslem a vektor ra se nazývá reálný násobek vektoru a Místo pojmu vektorový prostor se lze v literatuře setkat také s názvem lineární prostor Definice vektorového prostoru je značně obecná Této definici vyhovuje celá řada množin s vhodně definovanými operacemi Vektorovými prostory jsou například: a) Množina všech reálných posloupností s obvyklým sčítáním a násobením čísel tedy { a n b n } { a n } { b n }{ ra n } r { a n } b) Množina všech funkcí definovaných na libovolné neprázdné množině spolu s obvyklým sčítáním funkcí a násobením funkce reálným číslem tedy (f + g)(x) = = f(x) + g(x) (rf)(x) = rf(x) c) Množina všech konvergentních posloupností d) Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic e) Množina všech matic stejného typu Rovněž pojem vektoru jakožto prvku vektorového prostoru je v tomto pojetí velmi obecný Vektorem může být uspořádaná n-tice reálných čísel ale také reálná funkce reálná posloupnost matice reálné číslo apod Příklad Uvažujme množinu všech přirozených čísel N na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla obvyklým způsobem Rozhodněme zda množina N spolu s operací reálného násobku je vektorový prostor Řešení Aby množina N byla vektorovým prostorem musí podle definice vektorového prostoru platit: a) Pro všechny vektory a b z množiny N je jejich součet a + b opět vektor z N tedy množina N je uzavřená vzhledem ke sčítání b) Pro každé r R je ra N tedy množina N je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem c) V množině N platí axiomy (A) až (A8) Zatímco podmínka a) je zřejmě splněna podmínka b) splněna není neboť např pro r = a = neplatí ra N a tedy množina N není uzavřená vůči násobení reálným číslem Množina přirozených čísel N s obvykle definovanými operacemi tedy není vektorový prostor

18 * 8 Matematika pro studenty ekonomie Aritmetický vektorový prostor Definice Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a a n ) nn nazýváme n- rozměrným aritmetickým vektorem Reálná čísla a a a n nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru a na- a n b n Definice Součtem aritmetických vektorů a a a n a b b b n zýváme aritmetický vektor a + b a b Příklad Pro aritmetické vektory a = ( ) a b = ( 7 ) je jejich součtem aritmetický vektor a + b = ( ) Definice Nechť r R Reálným r-násobkem aritmetického vektoru a = (a a n ) je aritmetický vektor ra = (ra ra n ) Příklad Pro aritmetické vektory a = ( ) b = ( ) platí a + b = (8) Definice Opačným aritmetickým vektorem k aritmetickému vektoru a a a n nazýváme aritmetický vektor a a a n Rozdílem aritmetických vektorů a b rozumíme součet aritmetického vektoru a a a n a aritmetického vektoru opačného k aritmetickému vektoru b b b n tedy a b = a + + ( b) = (a a n ) + ( b b n ) = (a b a n b n ) Definice Aritmetický vektor o jehož všechny souřadnice jsou rovny nule nazýváme nulovým aritmetickým vektorem tedy o je roven aritmetické- b b n a píšeme a = b jestliže platí a j bj pro každé Definice 7 Řekneme že aritmetický vektor a a a n mu vektoru b j { n } Označme nyní symbolem V n množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů Věta Jestliže na množině V n definujeme součet aritmetických vektorů z V n a reálný násobek aritmetického vektoru z V n vztahy a + b a b a n b n ra ra ra n pak V n je vektorový prostor Definice 8 Množina V n všech aritmetických vektorů na které jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem vztahy a + b = (a + b a n + b n ) a ra ra ra n se nazývá n-rozměrný aritmetický vektorový prostor Z definice aritmetického vektorového prostoru a předcházející věty je zřejmé že každý aritmetický vektorový prostor je vektorovým prostorem ve smyslu definice a stejně tak každý aritmetický vektor je vektorem Kromě operace násobení vektoru reálným číslem zavádíme v aritmetickém vektorovém prostoru ještě jiné násobení a to tzv skalární součin vektorů Definice 9 Skalárním součinem aritmetických vektorů a = (a a n ) a b = (b b n ) rozumíme číslo ab = a b + a b + + a n b n

19 Lineární algebra 9 Příklad Skalárním součinem aritmetických vektorů a = ( 9) a b = ( ) je číslo ab = + ( ) ( ) + + ( 9) = Podprostor vektorového prostoru Definice Nechť V je vektorový prostor W neprázdná podmnožina množiny V Řekneme že množina W je podprostor vektorového prostoru V a píšeme W V jestliže platí: () Pro každou dvojici vektorů a b W je a + b W () Pro každé reálné číslo r R a každý vektor a W je ra W Podprostor W vektorového prostoru V je vždy vektorovým prostorem Vyplývá to z toho že v podprostoru W platí axiomy (A) (A8) a podle podmínek () a () z definice podprostoru je množina W uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem Nechť o je nulový vektor vektorového prostoru V Jednoprvková množina obsahující pouze nulový vektor tedy množina {o} je podprostor vektorového prostoru V Množina {o} se nazývá triviální vektorový prostor Triviální vektorový prostor je jediný vektorový prostor který má konečný počet prvků (obsahuje-li vektorový prostor alespoň jeden nenulový vektor pak obsahuje současně všechny reálné násobky tohoto vektoru a těch je nekonečný počet) Ve smyslu shora uvedené definice je podprostorem libovolného vektorového prostoru V také celý vektorový prostor V Definice Nechť a a a k jsou prvky vektorového prostoru V Řekneme že vektor a je lineární kombinací vektorů a a k jestliže existují reálná čísla c c k taková že platí a = c a + + c k a k Čísla c ck se nazývají koeficienty lineární kombinace Příklad Nulový vektor o je lineární kombinací libovolné skupiny vektorů a a k z vektorového prostoru V protože platí o = a + + a k Lineární kombinace vektorů ve které jsou všechny koeficienty rovny nule se nazývá triviální lineární kombinace Příklad Zjistěme zda vektor a = ( ) je lineární kombinací vektorů a = ( ) a a = ( ) Řešení Podle definice lineární kombinace je třeba najít reálná čísla c c tak aby platilo a = c a + c a Po dosazení souřadnic vektorů a a a do této rovnice obdržíme ( ) = (c + c c + c c + c ) Podle definice rovnosti aritmetických vektorů to znamená že platí c c c c c c

20 Matematika pro studenty ekonomie Zřejmě neexistují žádná reálná čísla c c vyhovující této soustavě rovnic (viz druhá rovnice) proto vektor a není lineární kombinací vektorů a a Pojem lineární kombinace vektorů nám umožňuje demonstrovat další příklad podprostoru vektorového prostoru V Uvažujme vektory a a k z vektorového prostoru V Označme [a a k ] množinu všech lineárních kombinací vektorů a a k tedy [a a k ] = {a V ; a = c a + + c k a k c ck R} Definice Nechť a a k jsou vektory z vektorového prostoru V Množina [a a k ] všech lineárních kombinací vektorů a a k se nazývá lineární obal množiny vektorů {a a k } Věta Jsou-li a a k vektory z vektorového prostoru V pak je jejich lineární obal [a a k ] podprostor vektorového prostoru V Lineární obal [a a k ] je podprostor vektorového prostoru a jako takový je sám vektorovým prostorem Vektorový prostor [a a k ] je zřejmě nejmenší vektorový prostor obsahující všechny vektory a a k Definice Nechť a a k jsou vektory z vektorového prostoru V Jestliže každý vektor a V je lineární kombinací vektorů a a k říkáme že vektorový prostor V je generován vektory a a k a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V Z uvedené definice vyplývá že množina vektorů a a k je množinou generátorů vektorového prostoru V právě tehdy když platí V = [a a k ] Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem o Příklad 7 Dvojice vektorů j = ( ) j = ( ) je množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V Snadno ověříme že libovolný vektor a = (a a ) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů j j ve tvaru a = a j + a j Příklad 8 Rozhodněme zda vektory x = ( ) y = ( ) jsou množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V Řešení Vektory x y generují prostor V jestliže pro každý vektor a = (a a ) existují reálná čísla c c tak že platí a = c x + c y Po dosazení souřadnic vektorů a x y do předchozího vztahu obdržíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c c : a = c c a = c + c Vynásobíme-li první rovnici čtyřmi a obě rovnice sečteme získáme c = a + a Obdobně po vynásobení první rovnice třemi a následném sečtení máme c = a + a Protože každý vektor a = (a a ) z V je možné napsat ve tvaru a = c x + c y = (a + a )x + (a + a )y je prostor V generován vektory x y

21 Lineární algebra Příklad 9 Množinou generátorů vektorového prostoru V jsou také vektory x = () y = () z = () neboť pro každý vektor a = (a a ) platí např a a x y az Z uvedených příkladů je vidět že množina generátorů vektorového prostoru V není jediná a že dokonce ani počet generátorů není jednoznačně určen Bližší představu o množinách generátorů vektorového prostoru V dává následující věta Věta Nechť {a a k } je množina vektorů z vektorového prostoru V a {b b q } je množina vektorů která vznikla z množiny vektorů {a a k } jedním z následujících způsobů: a) změnou pořadí vektorů b) násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem c) přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů d) vynecháním vektoru který je lineární kombinací ostatních e) přidáním vektoru který je lineární kombinací ostatních vektorů Jestliže množina vektorů {a a k } tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V pak také množina vektorů {b b q } tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V Z uvedené věty vyplývá že každý netriviální vektorový prostor má nekonečně mnoho množin generátorů Věta navíc uvádí seznam úprav kterými můžeme z jedné množiny generátorů vektorového prostoru vytvořit jinou S podobnými úpravami se v první kapitole knihy setkáme na více místech (hodnost matice řešení soustav lineárních rovnic) Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice Nechť a ak jsou vektory z vektorového prostoru V Řekneme že vektory a ak jsou lineárně závislé jestliže existují reálná čísla c ck z nichž alespoň jedno je různé od nuly taková že platí c a + + c k a k = o V opačném případě se vektory a ak nazývají lineárně nezávislé Mluvíme také o lineární závislosti resp lineární nezávislosti množiny vektorů {a a k } Vektory a ak jsou podle uvedené definice lineárně nezávislé právě tehdy když ze všech jejich možných lineárních kombinací je nulovému vektoru o rovna pouze jejich triviální lineární kombinace Vektory a ak jsou pak lineárně závislé právě tehdy když existuje současně nějaká jejich netriviální lineární kombinace která je rovna nulovému vektoru o Uvědomme si přitom že pro k = tedy v případě jednoho vektoru a je tento vektor lineárně závislý právě tehdy když je nulový Pouze pro nulový vektor o totiž platí rovnice c o o kde c je různé od nuly Nenulový vektor a je vždy lineárně nezávislý neboť rovnice c a o je splněna jen tehdy když c =

22 Matematika pro studenty ekonomie Příklad Rozhodněme zda vektory a ( ) a () patřící do aritmetického vektorového prostoru V jsou lineárně závislé či nezávislé Řešení Podle definice je třeba zjistit pro která reálná čísla c c je splněna rovnice c a + c a = o Po dosazení souřadnic vektorů a a o do této rovnice dostáváme soustavu lineárních rovnic c c c c Snadno se zjistí že soustava má jediné řešení c c a že nulovému vektoru o je rovna pouze triviální kombinace vektorů a a Vektory a a jsou tedy lineárně nezávislé Při rozhodování o lineární závislosti či nezávislosti vektorů je možno někdy výhodně využít následujících dvou vět a Věta Nechť a ak jsou vektory z vektorového prostoru V k Vektory a a k jsou lineárně závislé právě tehdy když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních Každá skupina vektorů obsahující nulový vektor o je lineárně závislá Vyplývá to z předchozí věty a z toho že nulový vektor je triviální kombinací ostatních vektorů Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy když jeden z nich je reálným násobkem druhého Příklad Rozhodněme zda vektory a () a ( ) a () z aritmetického vektorového prostoru V jsou lineárně závislé či nezávislé Řešení Je ihned vidět že a a a Vektor a je lineární kombinací vektorů a a což podle předchozí věty znamená že vektory a a a jsou lineárně závislé Věta Nechť a ak jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V k Pak také vektory a a k jsou lineárně nezávislé V podkapitole o maticích si ukážeme že o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů se dá efektivně rozhodnout prostřednictvím pojmu hodnosti matice Báze a dimenze vektorového prostoru Z předchozího odstavce víme že každý vektorový prostor V má nekonečně mnoho množin generátorů přičemž jednotlivé množiny generátorů se mohou lišit počtem vektorů Jsou-li vektory množiny generátorů a ak lineárně závislé pak alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních vektorů a takový vektor lze podle věty z množiny generátorů vynechat Vynecháme-li takto v množině generátorů všechny vektory které se dají vyjádřit ve tvaru lineární kombinace ostatních vektorů dostaneme množinu generátorů tvořenou lineárně nezávislými vektory Takovými množinami generátorů se budeme dále zabývat

23 Lineární algebra Definice Množina generátorů vektorového prostoru V jejíž vektory jsou lineárně nezávislé se nazývá báze vektorového prostoru Příklad Ukažme že vektory j ( ) j ( ) j ( ) tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V Řešení Každý vektor a = (a a a ) se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů j j j ve tvaru a = a j + a j + a j tedy vektory j j j generují vektorový prostor V Přitom rovnice c j + c j + c j = o vede na soustavu rovnic c c c která má jediné řešení a vektory j j j jsou tedy lineárně nezávislé Ukázali jsme že vektory j j j generují vektorový prostor V a jsou zároveň lineárně nezávislé Podle definice 7 tvoří tedy bázi vektorového prostoru V Věta Nechť {a a k } je množina generátorů vektorového prostoru V tedy každý vektor a V se dá napsat ve tvaru a = c a + + c k a k Vektory a ak tvoří bázi vektorového prostoru právě tehdy když koeficienty c ck jsou určeny jednoznačně Nechť {a a k } je báze vektorového prostoru V Podle předchozí věty lze každý vektor a V jednoznačně zapsat ve tvaru a = c a + + c k a k Koeficienty c ck této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru a vzhledem k bázi a a k Věta 7 Nechť V je vektorový prostor s bází {a a k } Pak každá množina k lineárně nezávislých vektorů b b k V tvoří také bázi vektorového prostoru V Příklad Rozhodněme zda vektory a () a () a () tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V Řešení Víme že ve V existuje báze o třech vektorech (např j () j () j () ) takže podle předchozí věty stačí ověřit lineární nezávislost vektorů a a a Vyjdeme z rovnice c a + + c k a k = o dosadíme souřadnice vektorů a a a o a obdržíme soustavu lineárních rovnic c + c = c = c + c = Odečteme-li od součtu prvních dvou rovnic třetí rovnici dostaneme c a dále c c Vektory a a a jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi V Je zřejmé že báze netriviálního vektorového prostoru není jediná Vzniká otázka zda různé báze téhož vektorového prostoru se mohou lišit počtem vektorů Na tuto otázku odpovídá následující věta a její důsledek

24 Matematika pro studenty ekonomie Věta 8 Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech pak každá množina vektorů obsahující více než k vektorů je lineárně závislá Důsledek Jestliže a ak a b bq jsou dvě báze vektorového prostoru V pak platí k = q Zjistili jsme tedy že počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru je vždy stejný Číslo udávající počet vektorů v libovolné bázi je pro každý vektorový prostor charakteristické a nazývá se dimenzí vektorového prostoru Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V Z věty 8 vyplývá že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V V triviálním vektorovém prostoru báze neexistuje protože o není nezávislý vektor proto je přirozené mu přiřadit dimenzi rovnou Příklad Nejčastěji používanou bází aritmetického vektorového prostoru V n je množina n-rozměrných jednotkových vektorů v počtu n tedy množina vektorů j = () j = () j n = () Tyto vektory jsou zřejmě lineárně nezávislé a protože pro každý vektor a ( a a n ) V n platí a = a j + + a n j n V n tvoří vektory j jn množinu generátorů prostoru V n Můžeme tedy říkat že V n je aritmetický vektorový prostor dimenze n nebo n-rozměrný aritmetický vektorový prostor a psát dim V n = n Cvičení Rozhodněte které z následujících číselných množin spolu s uvedenými operacemi tvoří vektorový prostor a) Množina všech reálných čísel R kde součet reálných čísel a reálný násobek reálného čísla definujeme obvyklým způsobem b) Množina všech kladných čísel R + kde součet kladných čísel a reálný násobek kladného čísla definujeme obvyklým způsobem c) Množina všech přirozených čísel N kde součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla definujeme obvyklým způsobem d) Množina všech sudých čísel kde součet sudých čísel a reálný násobek sudého čísla definujeme obvyklým způsobem e) Jednoprvková množina {} f) Jednoprvková množina {} Pro vektory a = ( ) b = ( ) c = ( ) vypočtěte a) (a + b) + c b) a + (b + c) c) a b + c

25 Lineární algebra d) a + b c e) (a + b) c f) a b + c Jsou dány aritmetické vektory a = ( ) b = ( ) c = ( ) d = ( ) Zapište všechny platné vztahy dominování mezi těmito vektory 7 Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů a) a a a b) a 7 a a c) a 8 a a a d) a 8 a a a a 9 7 a a a e) 8 Rozhodněte zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V a) a a b) a a c) a a d) a 8 a e) a a 8 f) a a a a a a 7 g) 9 Rozhodněte zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V a) a a a b) a 7 a c) a a a d) a a a 7 9 e) a a a f) a a a g) a a a 7 a a a a a h) Rozhodněte o lineární závislosti či lineární nezávislosti vektorů a) a a b) a a a c) a a d) a a a a e)

26 Matematika pro studenty ekonomie f) a a g) a a 7 h) a a a a a Rozhodněte zda dané vektory tvoří bázi příslušného vektorového prostoru a b V a) b) a b V c) b c V a d) b c V a e) 7 b V a f) b c V g) a 7 b c V h) a b c d V a Vektor a vyjádřete v bázi B a B a a a) b) a B a a c) a B a a a d) a a a e) a a a f) a a a a B a B a B Matice Pojem matice Definice 7 Uspořádané schéma tvořené m n reálnými čísly tvaru a a a n a a an am am amn se nazývá matice typu m n () Matice značíme velkými písmeny A B E přičemž v případě potřeby značíme dolním indexem typ matice Matici () značíme A m n nebo stručně A Jiný možný způsob zápisu je [a ij ] nebo [a ij ] m n Vektory z aritmetického vektorového prostoru V n r = (a a n ) r m = = (a m a mn ) se nazývají řádkové vektory nebo stručně řádky matice A Vektory z aritmetického vektorového prostoru V m s = (a a m ) s n = = (a n a mn ) se nazývají sloupcové vektory nebo stručně sloupce matice A

27 Lineární algebra 7 Reálným číslům a ij říkáme prvky matice A Přitom a ij značí prvek který leží v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice A Index i se nazývá řádkový index prvku a ij a index j sloupcový index prvku a ij Prvky matice () a amm při m n případně prvky a ann při m n tvoří hlavní diagonálu matice A Analogicky se definuje pojem vedlejší diagonály Vedlejší diagonálu při m n tvoří prvky a n an amn m a při m n jsou to prvky a nan an Příklad Matice A 8 je příkladem matice typu Vektor r ( ) je druhý řádek matice A vektor s ( ) je třetí sloupec matice A Prvek a kdežto prvek a Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a a a Vedlejší diagonálu matice A tvoří prvky a a a V následujících definicích se seznámíme s některými důležitými typy matic Se zavedenými pojmy se budeme v následujících odstavcích a kapitolách často setkávat Definice 8 Nechť A B jsou matice stejného typu m n Říkáme že matice A B jsou si rovny a píšeme A = B jestliže pro každé i m a každé j n platí aij bij Definice 9 Matice typu m n pro jejíž všechny prvky platí a ij kde i m j n se nazývá nulová matice typu m n Nulovou matici značíme O m n Je-li typ nulové matice ze souvislosti zřejmý je běžné použití stručnějšího zápisu O Definice Čtvercová matice řádu n je matice A typu m n pro níž platí m n Definice Jednotková matice E n řádu n je čtvercová matice řádu n která má všechny prvky v hlavní diagonále rovny jedné a všechny prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou rovny nule Příklad Matice je nulová matice typu Matice je jednotková matice řádu O = E =

28 8 Matematika pro studenty ekonomie Definice Diagonální matice je čtvercová matice pro jejíž prvky platí a ij pro všechna i j Je zřejmé že jednotková matice E n je speciálním případem diagonální matice Definice Nechť A je matice typu m n Matice která vznikne z matice A tak že zaměníme řádky za sloupce přičemž zachováme jejich pořadí se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se A T Transponovaná matice A T T k matici A typu m n je matice typu n m a její prvek a ji je roven prvku a ij matice A Transponovanou matici A T k matici A tedy dostaneme překlopením matice A podle hlavní diagonály Z definice transponované matice zřejmě plyne vztah (A T ) T = A tedy transponovaná matice k matici A T je původní matice A Říkáme že matice A a A T jsou navzájem transponované T Pro jednotkovou matici E n platí vztah E n = E n Obecněji je-li A diagonální matice pak pro ni platí A T = A Také transponovaná matice k nulové matici O je opět nulová matice rovnost O T = O však platí pouze pro čtvercové nulové matice Pro matice které se rovnají své transponované matici zavádíme speciální název Definice Matice A se nazývá symetrická platí-li A T = A Příklad 7 K maticím A B určeme transponované matice 7 7 A B Řešení 7 7 T T A B T Je vidět že platí B B to značí že matice B je symetrická Při řešení soustav lineárních rovnic případně při určování hodnosti matice v další části textu bude hrát důležitou roli tzv trojúhelníková matice Definice Matice A typu m n se nazývá trojúhelníková matice jestliže platí a) m n b) a pro i m ii c) a pro i j i m ; j n ij Pojem trojúhelníková matice je v literatuře definován různým způsobem Např v [8] je jako trojúhelníková matice chápána každá matice splňující podmínku c) předchozí

29 Lineární algebra 9 definice V našem pojetí nemá trojúhelníková matice více řádků než sloupců v hlavní diagonále nemá žádnou nulu a pod hlavní diagonálou jsou samé nuly Definice Matice která vznikne z matice A typu m n vynecháním některých řádků nebo sloupců se nazývá submatice matice A Příklad 8 Matice C je submaticí matice B z předchozího příkladu Vzniká vynecháním druhého a třetího řádku a prvního a třetího sloupce matice B Základní operace s maticemi V tomto odstavci se zabýváme operacemi sčítání a odčítání matic násobení matic reálným číslem a zkoumáme vlastnosti těchto operací Operace násobení matic bude zavedena v odstavci Definice 7 Nechť A B jsou matice téhož typu m n Matice C typu m n pro jejíž prvky platí cij aij bij i m j n se nazývá součet matic A B a značí se A + B Definice 8 Nechť r je reálné číslo A matice typu m n Matice D typu m n pro jejíž prvky platí dij raij i m j n se nazývá reálný násobek matice A a značí se ra Součet matic definujeme pouze pro matice téhož typu Prvky matice A + B obdržíme jako součet odpovídajících si prvků matice A a matice B Násobení matice reálným číslem je definováno pro libovolný typ matice Prvky matice ra dostaneme tak že každý prvek matice A vynásobíme číslem r Obdobně jako jsme v odstavci definovali rozdíl vektorů je možno zavést rozdíl matic A B Nechť A B jsou matice stejného typu m n Rozdílem matic A B rozumíme součet matic A a matice B opačné k matici B určené vztahem B () B Je tedy A B A ( B) Příklad 9 Jsou dány matice A 7 B Vypočtěme matice A B A B B A a B A Řešení A B 7 7 7

30 Matematika pro studenty ekonomie B A A B 7 A B = Z pravidel pro počítání s reálnými čísly vyplývá platnost následujících zákonů pro operace s maticemi Nechť O C B A jsou matice téhož typu a rs R libovolná reálná čísla Pak platí: A B B A komutativní zákon pro sčítání matic C B A C B A ) ( ) ( asociativní zákon pro sčítání matic A O A existence nulové matice O A A ) ( existence opačné matice r (sa) = (rs)a asociativní zákon pro reálný násobek (r + s)a = ra + sa první distributivní zákon 7 r (A + B) = ra + rb druhý distributivní zákon Označme dále symbolem V m n množinu všech matic typu m n Věta 9 Množina V m n spolu s operacemi sčítání matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor Podle předchozí věty je možno všechny pojmy zavedené v kapitole o vektorových prostorech aplikovat na množiny matic stejného typu Můžeme tak hovořit o lineárním obalu množiny matic o lineární závislosti či nezávislosti množiny matic o bázi prostoru V m n o dimenzi prostoru V m n atd Příklad Najděme bázi vektorového prostoru V všech matic typu a určeme dimenzi V Řešení Máme nalézt množinu generátorů vektorového prostoru V tak aby její vektory (tedy matice typu ) byly lineárně nezávislé Zvolíme matice A A A A Matice A A A A tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V neboť pro každou matici

31 Lineární algebra a a A a a typu zřejmě platí A = a A + a A + a A + a A Řešením maticové rovnice c A + c A + c A + c A = O dále rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti matic A A A A Snadnou úpravou levé strany rovnice získáme maticovou rovnici c c c c což značí c c c c Matice A A A A jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi vektorového prostoru V Dále víme z předchozího výkladu že dimenze vektorového prostoru je rovna počtu prvků jeho libovolné báze Odtud dim V = Analogicky jako v předchozím příkladě je možno nalézt bázi libovolného vektorového prostoru V m n Obecně tedy platí dim V m n = m n Je důležité si uvědomit souvislosti mezi pojmy vektoru a matice Ve smyslu předchozích úvah je možno každou matici typu m n chápat jako prvek vektorového prostoru V m n tedy jako vektor Naopak každý vektor a ( a a n ) je podle definice matice maticí typu n Také vektor a je matice typu m Hodnost matice a a ( a aa ) a m Vzhledem k tomu že matici můžeme chápat jako systém řádkových nebo sloupcových aritmetických vektorů budeme hodnost matice definovat pomocí pojmů zavedených v kapitole o vektorových prostorech Definice 9 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(a) Tento způsob zavedení jednoho ze stěžejních pojmů lineární algebry je ekvivalentní definici hodnosti matice na základě počtu lineárně nezávislých řádkových vektorů matice (viz věta ) nebo přes počet řádků v trojúhelníkové matici (viz věta ) Z předchozích úvah je nám známo že lineární obal množiny vektorů je vektorovým prostorem a že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V Platí tedy následující věta T m

32 Matematika pro studenty ekonomie Věta Hodnost matice A je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice A Pro hodnost nulové matice O platí h(o) = což je důsledek skutečnosti že dimenze triviálního vektorového prostoru je rovna Jestliže A O pak h(a)n Věta Pro hodnost matice A typu m n platí h(a) min {mn} Věta Nechť A A T jsou navzájem transponované matice Platí h(a) = h(a T ) Před formulací další věty která je velmi užitečná z hlediska praktického výpočtu hodnosti matice si připomeňme že trojúhelníková matice A typu m n má tvar a a a m a n A a am an amm amn kde všechny prvky v hlavní diagonále jsou různé od nuly tedy a ii pro i m Věta Hodnost trojúhelníkové matice A typu m n je rovna počtu řádků této matice tedy h(a) = m Stanovení hodnosti matice A typu m n znamená nalezení přirozeného čísla nejvýše rovného číslu min{mn} značícího počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru [r r k ] Při určování hodnosti matice A pak prakticky přecházíme od množiny generátorů { r rm } lineárního obalu [r r k ] k lineárně nezávislé množině generátorů lineárního obalu [r r k ] Hodnost matice A je pak rovna počtu vektorů této báze Při výpočtu hodnosti matice A budeme vycházet z věty a z věty Cílem bude danou matici A jejíž hodnost máme určit upravit na odpovídající trojúhelníkovou matici jejíž hodnost je pak rovna počtu jejích řádků Podle věty přitom můžeme provádět tyto úpravy matice A: (U) (U) (U) (U) zaměnit pořadí řádků matice násobit libovolný řádek matice nenulovým reálným číslem přičíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků vynechat řádek který je lineární kombinací ostatních řádků V některých speciálních případech např u matice A však nestačí uvedené čtyři uvedené možnosti úpravy matice k převodu na trojúhelníkový tvar (jde o splnění podmínky a ii pro prvky hlavní diagonály matice) Na základě věty však můžeme při určování hodnosti matice převodem na trojúhelníkovou matici kromě řádkových úprav (U) (U) používat analogických sloupcových úprav K úpravám (U) (U) proto přidáme úpravu:

33 Lineární algebra (U) záměna pořadí sloupců matice Úpravám (U) (U) říkáme ekvivalentní úpravy matice Skutečnost že matice B vznikla z matice A ekvivalentní úpravou značíme B A ~ a matice A B nazýváme ekvivalentní Příklad Určeme hodnost matice A 7 Řešení Matici A upravíme užitím úprav (U) (U) na trojúhelníkovou matici jejíž hodnost a tím i hodnost matice A snadno určíme V prvním kroku vynulujeme první sloupec pod hlavní diagonálou První řádek opíšeme nový druhý řádek obdržíme jako součet trojnásobku prvního řádku a dvojnásobku druhého řádku nový třetí řádek vzniká odečtením dvojnásobku třetího řádku od prvního a čtvrtý řádek zůstává nezměněn ~ 7 Ve druhém kroku upravujeme obdobným způsobem submatici matice A která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a prvního sloupce Opíšeme první a druhý řádek součet druhého a třetího řádku napíšeme jako nový třetí řádek a nový poslední řádek vznikne odečtením čtvrtého řádku od řádku druhého 7 ~ K dosažení trojúhelníkové matice zbývá vynulovat prvek a Od třetího řádku matice odečteme dvojnásobek čtvrtého řádku ~ 7 Nulový čtvrtý řádek je lineární kombinací ostatních podle (U) jej můžeme vynechat Tak obdržíme trojúhelníkovou matici Podle věty je h(a) =

34 Matematika pro studenty ekonomie Postup při řešení předchozího příkladu byl jedním z mnoha možných způsobů řešení úloh tohoto typu Předcházející úpravy lze zobecnit do následujícího algoritmu který nazýváme kondenzační metoda Chceme určit hodnost matice A typu m n kde a a a n A a a an am am amn Předpokládejme že platí a Je-li a pak záměnou pořadí řádků nebo sloupců přesuneme na místo a nenulový prvek (pokud takový prvek v matici není pak platí h(a) = ) V prvním kroku upravíme matici A na matici A takto: Opíšeme první řádek a do prvního sloupce pod hlavní diagonálu doplníme nuly Ostatní prvky a ij matice A vypočteme ze vztahu aij aaij a jai pro i m j n Ve druhém kroku tento postup opakujeme se submaticí matice A který vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a prvního sloupce Dostaneme matici A která má první dva řádky stejné jako matice A v prvních dvou sloupcích matice A pod hlavní diagonálou jsou nuly a pro ostatní prvky a ij matice A platí aij aaij a jai pro i m j n Dalším opakováním tohoto postupu získáme nejpozději po m krocích trojúhelníkovou matici A m jejíž hodnost snadno určíme Stejnou hodnost má i původní matice A Uvedený algoritmus je modifikací kondenzační metody výpočtu determinantů se kterou se seznámíme v následující kapitole Příklad Určeme hodnost matice 7 A 7 9 Řešení Danou matici upravíme na trojúhelníkovou matici výše popsaným kondenzačním algoritmem ~ ~ ~ ~ Je tedy h(a) =

35 Lineární algebra Pomocí výpočtu hodnosti matice můžeme jednodušeji než z definice rozhodnout o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů Mějme m aritmetických vektorů z vektorového prostoru V n Tyto vektory zapíšeme do řádků matice Tak dostaneme matici A typu m n Potom určíme hodnost matice A Mohou nastat dva případy: a) h(a) = m vektory jsou lineárně nezávislé b) h(a) < m vektory jsou lineárně závislé Příklad Rozhodněme zda vektory a = ( ) a = ( ) a = ( ) a = ( ) jsou lineárně nezávislé Řešení Vektory a a a a zapíšeme do řádků matice A typu m n a určíme hodnost vzniklé matice ~ ~ ~ ~ ~ Obdrželi jsme trojúhelníkovou matici se čtyřmi řádky takže h(a) = a dané vektory jsou lineárně nezávislé Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n Řekneme že matice A je regulární jestliže platí h(a) = n Řekneme že matice A je singulární jestliže platí h(a) < n Násobení matic V odstavci jsme definovali součet matic B A a reálný násobek matice ra K těmto dvěma maticovým operacím nyní přidáme součin matic AB Definice Nechť A je matice typu m n a B matice typu n p Matice C typu m p pro jejíž prvky platí n k kj ik ij b a c i m p j se nazývá součin matic A a B a značí se AB Součin AB je definován pouze tehdy je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B Pokud není tato podmínka splněna není součet matic definován Z definice součinu matic vyplývá že prvek c ij ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w. g r a d a. c z 2. vydání 2., upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420 234 264 400 e-mail: obchod@grada.cz, www.grada.cz

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů

Finanční. matematika pro každého. f inance. 8. rozšířené vydání. věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů Finanční matematika pro každého 8. rozšířené vydání J. Radová, P. Dvořák, J. Málek věcné a matematické vysvětlení základních finančních pojmů metody pro praktické rozhodování soukromých osob i podnikatelů

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Doc. Ing. Michal Korecký, Ph.D. Ing. Václav Trkovský, CSc. Management rizik projektů se zaměřením na projekty v průmyslových podnicích Vydala Grada

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong Armstrong Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi v přírodních a technických vědách Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz

Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Ukazka knihy z internetoveho knihkupectvi www.kosmas.cz Doc. JUDr. Michal Spirit, Ph.D. Úvod do studia práva Vydala Grada Publishing, a.s. U Prùhonu 22, 170 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 401, fax: +420

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu. MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong

Zuzana Došlá, Petr Liška. Matematika. pro nematematické obory. s aplikacemi v přírodních a technických vědách. Armstrong Armstrong Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi v přírodních a technických vědách Zuzana Došlá, Petr Liška Matematika pro nematematické obory x z y s aplikacemi

Více

Dvacet let. České koruny. Dvacet let české koruny. na pozadí vývoje obchodního bankovnictví v České republice. Jaroslava Dittrichová

Dvacet let. České koruny. Dvacet let české koruny. na pozadí vývoje obchodního bankovnictví v České republice. Jaroslava Dittrichová novodobého vývoje domácí měny a bankovnictví v České republice v letech 1990 až 2012. Publikace vznikla při příležitosti dvacátého výročí Jaroslava Dittrichová je věnována nejdůležitějším událostem Jitka

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více