Matematika pro studenty ekonomie

Transkript

1 w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY EKONOMIE Dále doporučujeme: Jiří Moučka Petr Rádl Michael Publikace srozumitelně vysvětluje základní matematické pojmy a metody jejichž znalost je nezbytná při studiu ekonomických fakult vysokých škol Oproti prvnímu vydání kniha nabízí více příkladů na procvičení a některé pasáže jsou upraveny tak aby lépe navazovaly na současné znalosti středoškolské matematiky studentů Při studiu učebnice budete postupovat od lineární algebry přes diferenciální počet funkce jedné proměnné diferenciální počet funkce dvou proměnných integrální počet funkce jedné proměnné diferenciální rovnice až po diferenční rovnice Díky množství řešených příkladů probíraná témata snadněji pochopíte a získané znalosti pak využijete v dalším studiu např ve statistice operačním výzkumu ekonometrii ekonomii apod Řešení příkladů se odkrývá postupně po jednotlivých krocích což přispívá k rychlému zvládnutí probírané látky Kniha pokrývá obsah základního kurzu matematiky na vysokých školách ekonomického zaměření Jiří Moučka Petr Rádl Lineární algebra Diferenciální rovnice Diferenciální a integrální počet Diferenční rovnice Teorie a 7 řešených příkladů

2

3 Jiří Moučka Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie upravené a doplněné vydání Grada Publishing

4 Upozornění pro čtenáře a uživatele této knihy Všechna práva vyhrazena Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele Neoprávněné užití této knihy bude trestně stíháno Doc RNDr Jiří Moučka PhD RNDr Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie upravené a doplněné vydání Kniha je monografie Vydala Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + wwwgradacz jako svou 9 publikaci Odborná recenze: Prof RNDr Jan Chvalina DrSc Doc RNDr Jaroslav Beránek CSc Vydání odborné knihy schválila Vědecká redakce nakladatelství Grada Publishing as Odpovědní redaktoři Petr Somogyi Kamila Nováková Sazba Petr Somogyi Návrh a zpracování obálky Jan Dvořák Počet stran 7 Druhé vydání Praha Vytiskla Tiskárna v Ráji sro Pardubice Grada Publishing as Cover Photo fotobanka allphoto ISBN (pdf) ISBN (print)

5 Obsah O autorech 9 Úvod Lineární algebra Základní pojmy z teorie množin Cvičení Vektorové prostory Pojem vektorového prostoru Aritmetický vektorový prostor 8 Podprostor vektorového prostoru 9 Lineární závislost a nezávislost vektorů Báze a dimenze vektorového prostoru Cvičení Matice Pojem matice Základní operace s maticemi 9 Hodnost matice Násobení matic Cvičení 8 Determinanty 9 Pojem determinantu 9 Vlastnosti determinantů Kondenzační metoda výpočtu determinantů 7 Cvičení 8 Soustavy lineárních rovnic Základní pojmy Řešitelnost soustavy lineárních rovnic Metody řešení soustav lineárních rovnic Cvičení Maticová algebra Inverzní matice Maticové rovnice 8 Cvičení 7 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 7 Funkce Vlastnosti funkcí 7 Definice funkce 7 Vlastnosti funkcí 77 Základní elementární funkce 8 Operace s funkcemi Transformace grafu funkce 89 Polynom Racionální funkce 9 Cvičení 97 Limita funkcí 99 Definice limity 99 Nevlastní limita

6 Matematika pro studenty ekonomie Výpočet limity Cvičení Spojitost funkcí Cvičení 7 Derivace funkcí 8 Definice a geometrický význam derivace 8 Pravidla pro derivování 9 Derivace složených funkcí Derivace implicitních funkcí Derivace funkcí tvaru fg Derivace vyššího řádu Diferenciál funkce Cvičení Užití derivací Průběh funkce 8 L Hospitalovo pravidlo 8 Monotónnost a extrémy funkce Konvexnost konkávnost Inflexní body 7 Asymptoty grafu funkce 9 Průběh funkce Cvičení Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 9 Pojem funkce dvou a více proměnných Euklidovské prostory Význačné body a množiny bodů v prostoru En Definice funkce dvou a více proměnných Grafické znázornění funkce dvou proměnných 8 Cvičení Limita a spojitost funkcí dvou proměnných Limita funkcí dvou proměnných Spojitost funkcí dvou proměnných Cvičení Derivace funkcí dvou proměnných Parciální derivace Geometrický význam parciální derivace Tečná rovina a normála plochy 7 Parciální derivace vyšších řádů 8 Cvičení Extrémy funkcí dvou a více proměnných Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Lokální extrémy funkcí tří proměnných Vázané extrémy Absolutní extrémy 9 Cvičení 7 Integrální počet funkcí jedné proměnné 7 Neurčitý integrál 7 Primitivní funkce a neurčitý integrál 7 Přímá integrace pomocí vzorců a úprav integrandu 7

7 Obsah 7 Integrace racionální funkce 8 Substituční metoda 8 Metoda per partes 87 Integrace metodou neurčitých koeficientů 9 Cvičení 9 Určitý integrál 9 Definice a vlastnosti určitého integrálu 9 Výpočet určitého integrálu 9 Geometrické aplikace určitého integrálu 98 Cvičení Nevlastní integrál Integrál nevlastní vzhledem k mezi Integrál nevlastní vzhledem k funkci 7 Cvičení Diferenciální rovnice Základní pojmy Cvičení Diferenciální rovnice řádu Diferenciální rovnice typu y = f(x) Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými Lineární diferenciální rovnice řádu 8 Cvičení Lineární diferenciální rovnice řádu Diferenciální rovnice typu yʹʹ = f(x) Zkrácená lineární diferenciální rovnice řádu Metoda variace konstant Metoda neurčitých koeficientů 8 Skládání hlavních integrálů Cvičení Diferenční rovnice Posloupnost Diference posloupnosti Cvičení Diferenční rovnice Základní pojmy Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty Cvičení 9 Výsledky cvičení Literatura 9 Shrnutí 7 Rejstřík 7

8

9 O autorech Doc RNDr Jiří Moučka PhD Vystudoval odbornou matematiku na Přírodovědecké fakultě Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně (97) V rámci doktorského postgraduálního studia na Masarykově univerzitě v Brně studoval vlastnosti diskrétních algebraických struktur (997) Touto problematikou se zabýval i ve své habilitační práci která byla zaměřena na aplikaci diskrétních matematických struktur pro modelování procesů () Pedagogicky působil na Fakultě ekonomiky obrany státu VVŠ PV ve Vyškově na Fakultě ekonomiky a managementu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně Přednášel především matematiku pro studenty ekonomických specializací operační analýzu a ekonomicko-matematické metody Zpracoval řadu studijních textů a skript zaměřených na základní kurz vyšší matematiky teorii her a lineární programování Je autorem a spoluautorem několika desítek odborných článků v oblasti teorie algebraických hyperstruktur a matematického modelování V současné době je garantem předmětu Matematika na Fakultě vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně a na Provozně ekonomické fakultě Mendelovy univerzity v Brně RNDr Petr Rádl Vystudoval Přírodovědeckou fakultu Univerzity Jana Evangelisty Purkyně (dnes Masarykova univerzita) v Brně obor matematika a deskriptivní geometrie (97) Zde v roce 98 složil státní rigorózní zkoušku Po absolvování základní vojenské služby je od roku 97 zaměstnán na Mendelově univerzitě v Brně Působil na Ústavu matematiky Lesnické a dřevařské fakulty v letech 7 byl vedoucím tohoto ústavu Přednášel matematiku konstruktivní geometrii a technické kreslení v různých studijních programech prezenční i kombinované formy studia na všech fakultách univerzity a je spoluautorem skript používaných ke studiu těchto předmětů Řadu let byl garantem přijímacích zkoušek z matematiky na Mendelovu univerzitu a je vedoucím autorského kolektivu Sbírky příkladů z matematiky pro přijímací řízení Externě přednášel technické kreslení na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně kde byl také členem komise pro státní závěrečné zkoušky ve studijním programu Matematika a Aplikovaná matematika Od roku 8 působí na Ústavu statistiky a operačního výzkumu Provozně ekonomické fakulty Mendelovy univerzity v Brně a přednáší matematiku studentům této fakulty

10

11 Úvod Znalost exaktních metod ekonomických teorií by měla v současné době patřit k nezbytné výbavě každého pracovníka na jakékoliv úrovni ekonomické praxe Z toho pro něj jednoznačně vyplývá nutnost seznámit se s jejich matematickými základy Stěžejním cílem autorů této učebnice stejně jako cílem výuky matematiky na ekonomických fakultách je poskytnout studentům základní znalosti vyšší matematiky využitelné při studiu navazujících ekonomicko-matematických předmětů a při studiu kvantitativních metod aplikovaných v odborných ekonomických disciplínách Učebnice je rozdělena do šesti kapitol které na sebe logicky navazují Pro úspěšné studium určité kapitoly je nezbytné zvládnutí látky z předchozích kapitol Vždy se přitom požaduje znalost středoškolské matematiky v obvyklém rozsahu V každé kapitole je formou definic a vět bez důkazů shrnuta potřebná teorie Způsob výkladu je přitom přizpůsoben odbornému zaměření studentů kteří nestudují matematiku jako takovou ale potřebují ji umět vhodně využívat Přímo v základním textu jsou probírané pojmy a metody ilustrovány množstvím řešených příkladů Další úlohy označené jako cvičení jsou určeny k samostatnému řešení Výsledky těchto cvičení jsou uvedeny na konci knihy Definice věty příklady i obrázky jsou vždy označeny dvojicí číslic z nichž první značí pořadové číslo kapitoly a druhá jejich pořadí uvnitř kapitoly Značkou jsou v textu kvůli větší přehlednosti označeny konce definic vět a příkladů včetně jejich řešení Učebnice je určena především studentům prezenční i kombinované formy studia Provozně ekonomické fakulty Mendlovy univerzity v Brně a Fakulty vojenského leadershipu Univerzity obrany v Brně Její obsah jednoznačně koresponduje se stávajícím studijním plánem prvních semestrů studia na zmíněných fakultách kde oba autoři pedagogicky působí Byla koncipována na základě skript a učebních textů které jsou zaměřeny na dílčí části probírané problematiky a které byly používany při výuce základního kurzu matematiky na obou fakultách v posledním desetiletí Zkušenosti z jejich používání připomínky a názory jejich autorů i uživatelů byly při tvorbě této knihy využity a autoři za ně touto cestou srdečně děkují Jedním z důležitých motivů vzniku předkládaného textu bylo shrnout celý obsah základního matematického kurzu do jediné učebnice jejíž prostudování umožní studentům úspěšné zvládnutí předmětu Matematika Druhé vydání knihy reflektuje zkušenosti autorů a jejich spolupracovníků získané při jejím pětiletém intenzivním využívání Vzhledem k tomu že mnohé další ekonomické fakulty v České republice mají ve svých studijních programech základní kurz vysokoškolské matematiky podobného obsahu i rozsahu je možné že po této učebnici sáhnou i studenti jiných vysokých škol především ekonomického zaměření Všechny liché kapitoly napsal doc RNDr Jiří Moučka PhD autorem sudých kapitol je RNDr Petr Rádl Za mnohé cenné rady a připomínky autoři děkují doc RNDr Josefu Kalasovi CSc RNDr Ludmile Staré a RNDr Milanu Vágnerovi Brno srpen Autoři

12

13 KAPITOLA Lineární algebra

14 Matematika pro studenty ekonomie Lineární algebra jejíž základy se v této kapitole studují se začala vytvářet jako samostatná matematická disciplína v 8 století kdy byl zaveden pojem determinantu a ukázána metoda řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých V polovině 9 století se poprvé objevuje pojem matice a další metody řešení soustav lineárních rovnic Lineární algebra však není pouze teoretickou matematickou disciplinou Typická je její aplikovatelnost a široké použití v praxi Bezprostředně je využíváno metod lineární algebry v lineárním programování jež řeší celou řadu úloh ekonomického charakteru Základní pojmy z teorie množin V úvodním odstavci uvádíme přehled základních pojmů teorie množin v míře nezbytně nutné pro pochopení všech dalších úvah Množinou M rozumíme souhrn určitých objektů chápaný jako samostatný celek Tyto objekty nazýváme prvky množiny a značíme a b x y Zápisem a M resp a M rozumíme že a je resp a není prvkem množiny M Pro každý objekt a a množinu M platí právě jedna z možností a M nebo a M Množinu která nemá žádný prvek značíme symbolem Ø a říkáme jí prázdná množina Množinu která je souhrnem prvků b b n označujeme symbolem { b b n } Ze středoškolské matematiky jsou dále známy tyto zápisy a jejich význam: A B rovnost množin A B A B množina A je podmnožina množiny B A B průnik množin A B A B sjednocení množin A B A B rozdíl množin A B tedy množina právě těch prvků x A pro které platí x B Nechť M M jsou dvě množiny Množina všech uspořádaných dvojic ( x x) kde x M x M se nazývá kartézský součin množin M M a značí se M M Jsou-li M M libovolné množiny pak binární relací z množiny M do množiny M nazýváme každou podmnožinu kartézského součinu M M Zobrazením f z množiny M do množiny M nazýváme každou binární relaci f M M takovou že každému prvku x M je přiřazen nejvýše jeden prvek x M s vlastností ( x x) f Někdy se používá značení f: M M Je-li při zobrazení f z množiny M do množiny M každému prvku x M přiřazen právě jeden prvek x M mluvíme o zobrazení f množiny M do množiny M Jestliže při zobrazení f z množiny M do množiny M existuje ke každému prvku x M alespoň jeden prvek x M tak že ( xx ) f mluvíme o zobrazení f z množiny M na množinu M Jestliže je při zobrazení f z množiny M do množiny M každému prvku x M přiřazen právě jeden prvek x M a ke každému prvku x M existuje alespoň jeden prvek x M tak že ( x x) f mluvíme o zobrazení f množiny M na množinu M

15 Lineární algebra Důležitou roli v matematice i v jiných vědách hraje pojem (algebraické) operace Binární operací v množině M rozumíme každé zobrazení M M M které každé uspořádané dvojici (ab) M přiřazuje nejvýše jeden prvek cm Označíme-li binární operaci (dále jen operace) symbolem můžeme psát a b = c Operaci nazýváme komutativní právě tehdy když pro každé prvky a b M platí a b = b a Operaci nazýváme asociativní právě tehdy když pro každé prvky a b c M platí (a b) c = a (b c) Operaci nazýváme distributivní zleva resp zprava k operaci právě tehdy když pro každé prvky a b c M platí a (b c) = (a b) (a c) resp (b c) a = (b a) (c a) Je-li operace komutativní nemusíme rozlišovat zleva a zprava a používáme pouze jeden vztah a (b c) = (a b) (a c) Výše uvedené rovnosti bývají také nazývány komutativní asociativní a distributivní zákon Existuje-li v množině M takový prvek e že pro každé xm platí rovnost x e = e x =x nazývá se tento prvek neutrální vzhledem k operaci Je-li e neutrální prvek vzhledem k operaci a existuje-li k prvku am prvek a M s vlastností a a = a a = e nazýváme prvek a inverzní případně opačný prvek k prvku a na množině M Nejjednoduššími příklady komutativních a asociativních operací jsou běžné operace sčítání a násobení na množině N Při operaci sčítání hraje roli neutrálního prvku číslo při operaci násobení číslo Inverzní prvek k žádnému číslu však v množině přirozených čísel neexistuje ani vzhledem k operaci sčítání ani vzhledem k násobení V množině reálných čísel jsou obě operace komutativní i asociativní a vzhledem k oběma operacím má každý prvek am inverzní prvek a Při sčítání je a = a při násobení a = a neutrální prvky jsou opět a Ve všech základních číselných množinách je operace násobení distributivní k operaci sčítání tj a (b + c) = ab + ac S celou řadou jiných operací na různých množinách se budeme setkávat na dalších stranách této učebnice Operace v níž se vyskytují pouze prvky množiny M tj M M M se nazývá vnitřní Vyskytují-li se při operaci kromě prvků množiny M i prvky jiné množiny např R M M mluvíme o operaci vnější Neprázdná množina na níž je definována alespoň jedna (algebraická) operace se nazývá algebraická struktura Významnou algebraickou strukturou je vektorový prostor Jeho studiem se budeme zabývat v následující kapitole Pro označování základních číselných množin je všude použito pevných symbolů takto: N množina všech přirozených čísel N množina všech přirozených čísel včetně nuly

16 Matematika pro studenty ekonomie Z množina všech celých čísel R množina všech reálných čísel R + množina všech reálných kladných čísel C množina všech komplexních čísel Cvičení Rozhodněte která tvrzení jsou pravdivá a) Z R b) N Z c) N R d) N Z R e) N Z Z f) N R R g) N R N h) N R = Ø i) N N = Ø j) N R = R N k) N Z l) Z N Pro množiny A = {abcd} B = {def} sestrojte uvedené množiny a) A B b) B A c) A B d) B A e) A B f) B A g) A B h) B A Rozhodněte která tvrzení jsou pravdivá a vyjadřují distributivní zákon a) A ( B C) ( A B) ( A C) b) A ( B C) ( A B) ( A C) c) A ( B C) ( A B) C d) A ( B C) ( A B) ( A C) e) A ( B C) ( A B) ( A C) Vektorové prostory Pojem vektorového prostoru Vektorový prostor je algebraická struktura (V + ) se dvěma operacemi V je množina libovolných prvků které značíme a b a říkáme jim vektory Na V jsou zavedeny operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem Operace sčítání je komutativní a asociativní existuje v ní neutrální prvek kterým je nulový vektor o a ke každému vektoru a existuje opačný vektor a Operace násobení vektoru reálným číslem je asociativní a platí pro ni distributivní zákony vzhledem k operaci sčítání vektorů Definice Množina V libovolných prvků které značíme a b x y a říkáme jim vektory se nazývá vektorový prostor jestliže: Je dáno zobrazení V V V jež každé uspořádané dvojici vektorů (a b) V V přiřazuje vektor a b V tak že pro každé vektory a b c V platí axiomy: (A) a b b a (A) a ( b c) ( a b) c (A) existuje vektor o V takový že pro každý vektor a V platí a o a (A) ke každému vektoru a V existuje vektor a V tak že platí a + ( a) = o

17 Lineární algebra 7 Toto zobrazení se nazývá sčítání na množině V a vektor a b je součet vektorů a b Je dáno zobrazení R V V které každé uspořádané dvojici (r a)r V přiřazuje vektor ra V tak že pro každá reálná čísla r s R a každé vektory a b V platí axiomy: (A) a = a (A) r (sa) = rs(a) (A7) (r +s)a = ra + sa (A8) r (a+b) = ra + rb Toto zobrazení se nazývá násobení vektoru reálným číslem a vektor ra se nazývá reálný násobek vektoru a Místo pojmu vektorový prostor se lze v literatuře setkat také s názvem lineární prostor Definice vektorového prostoru je značně obecná Této definici vyhovuje celá řada množin s vhodně definovanými operacemi Vektorovými prostory jsou například: a) Množina všech reálných posloupností s obvyklým sčítáním a násobením čísel tedy { a n b n } { a n } { b n }{ ra n } r { a n } b) Množina všech funkcí definovaných na libovolné neprázdné množině spolu s obvyklým sčítáním funkcí a násobením funkce reálným číslem tedy (f + g)(x) = = f(x) + g(x) (rf)(x) = rf(x) c) Množina všech konvergentních posloupností d) Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic e) Množina všech matic stejného typu Rovněž pojem vektoru jakožto prvku vektorového prostoru je v tomto pojetí velmi obecný Vektorem může být uspořádaná n-tice reálných čísel ale také reálná funkce reálná posloupnost matice reálné číslo apod Příklad Uvažujme množinu všech přirozených čísel N na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla obvyklým způsobem Rozhodněme zda množina N spolu s operací reálného násobku je vektorový prostor Řešení Aby množina N byla vektorovým prostorem musí podle definice vektorového prostoru platit: a) Pro všechny vektory a b z množiny N je jejich součet a + b opět vektor z N tedy množina N je uzavřená vzhledem ke sčítání b) Pro každé r R je ra N tedy množina N je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem c) V množině N platí axiomy (A) až (A8) Zatímco podmínka a) je zřejmě splněna podmínka b) splněna není neboť např pro r = a = neplatí ra N a tedy množina N není uzavřená vůči násobení reálným číslem Množina přirozených čísel N s obvykle definovanými operacemi tedy není vektorový prostor

18 * 8 Matematika pro studenty ekonomie Aritmetický vektorový prostor Definice Uspořádanou n-tici reálných čísel a = (a a n ) nn nazýváme n- rozměrným aritmetickým vektorem Reálná čísla a a a n nazýváme souřadnicemi aritmetického vektoru a na- a n b n Definice Součtem aritmetických vektorů a a a n a b b b n zýváme aritmetický vektor a + b a b Příklad Pro aritmetické vektory a = ( ) a b = ( 7 ) je jejich součtem aritmetický vektor a + b = ( ) Definice Nechť r R Reálným r-násobkem aritmetického vektoru a = (a a n ) je aritmetický vektor ra = (ra ra n ) Příklad Pro aritmetické vektory a = ( ) b = ( ) platí a + b = (8) Definice Opačným aritmetickým vektorem k aritmetickému vektoru a a a n nazýváme aritmetický vektor a a a n Rozdílem aritmetických vektorů a b rozumíme součet aritmetického vektoru a a a n a aritmetického vektoru opačného k aritmetickému vektoru b b b n tedy a b = a + + ( b) = (a a n ) + ( b b n ) = (a b a n b n ) Definice Aritmetický vektor o jehož všechny souřadnice jsou rovny nule nazýváme nulovým aritmetickým vektorem tedy o je roven aritmetické- b b n a píšeme a = b jestliže platí a j bj pro každé Definice 7 Řekneme že aritmetický vektor a a a n mu vektoru b j { n } Označme nyní symbolem V n množinu všech n-rozměrných aritmetických vektorů Věta Jestliže na množině V n definujeme součet aritmetických vektorů z V n a reálný násobek aritmetického vektoru z V n vztahy a + b a b a n b n ra ra ra n pak V n je vektorový prostor Definice 8 Množina V n všech aritmetických vektorů na které jsou definovány operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem vztahy a + b = (a + b a n + b n ) a ra ra ra n se nazývá n-rozměrný aritmetický vektorový prostor Z definice aritmetického vektorového prostoru a předcházející věty je zřejmé že každý aritmetický vektorový prostor je vektorovým prostorem ve smyslu definice a stejně tak každý aritmetický vektor je vektorem Kromě operace násobení vektoru reálným číslem zavádíme v aritmetickém vektorovém prostoru ještě jiné násobení a to tzv skalární součin vektorů Definice 9 Skalárním součinem aritmetických vektorů a = (a a n ) a b = (b b n ) rozumíme číslo ab = a b + a b + + a n b n

19 Lineární algebra 9 Příklad Skalárním součinem aritmetických vektorů a = ( 9) a b = ( ) je číslo ab = + ( ) ( ) + + ( 9) = Podprostor vektorového prostoru Definice Nechť V je vektorový prostor W neprázdná podmnožina množiny V Řekneme že množina W je podprostor vektorového prostoru V a píšeme W V jestliže platí: () Pro každou dvojici vektorů a b W je a + b W () Pro každé reálné číslo r R a každý vektor a W je ra W Podprostor W vektorového prostoru V je vždy vektorovým prostorem Vyplývá to z toho že v podprostoru W platí axiomy (A) (A8) a podle podmínek () a () z definice podprostoru je množina W uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem Nechť o je nulový vektor vektorového prostoru V Jednoprvková množina obsahující pouze nulový vektor tedy množina {o} je podprostor vektorového prostoru V Množina {o} se nazývá triviální vektorový prostor Triviální vektorový prostor je jediný vektorový prostor který má konečný počet prvků (obsahuje-li vektorový prostor alespoň jeden nenulový vektor pak obsahuje současně všechny reálné násobky tohoto vektoru a těch je nekonečný počet) Ve smyslu shora uvedené definice je podprostorem libovolného vektorového prostoru V také celý vektorový prostor V Definice Nechť a a a k jsou prvky vektorového prostoru V Řekneme že vektor a je lineární kombinací vektorů a a k jestliže existují reálná čísla c c k taková že platí a = c a + + c k a k Čísla c ck se nazývají koeficienty lineární kombinace Příklad Nulový vektor o je lineární kombinací libovolné skupiny vektorů a a k z vektorového prostoru V protože platí o = a + + a k Lineární kombinace vektorů ve které jsou všechny koeficienty rovny nule se nazývá triviální lineární kombinace Příklad Zjistěme zda vektor a = ( ) je lineární kombinací vektorů a = ( ) a a = ( ) Řešení Podle definice lineární kombinace je třeba najít reálná čísla c c tak aby platilo a = c a + c a Po dosazení souřadnic vektorů a a a do této rovnice obdržíme ( ) = (c + c c + c c + c ) Podle definice rovnosti aritmetických vektorů to znamená že platí c c c c c c

20 Matematika pro studenty ekonomie Zřejmě neexistují žádná reálná čísla c c vyhovující této soustavě rovnic (viz druhá rovnice) proto vektor a není lineární kombinací vektorů a a Pojem lineární kombinace vektorů nám umožňuje demonstrovat další příklad podprostoru vektorového prostoru V Uvažujme vektory a a k z vektorového prostoru V Označme [a a k ] množinu všech lineárních kombinací vektorů a a k tedy [a a k ] = {a V ; a = c a + + c k a k c ck R} Definice Nechť a a k jsou vektory z vektorového prostoru V Množina [a a k ] všech lineárních kombinací vektorů a a k se nazývá lineární obal množiny vektorů {a a k } Věta Jsou-li a a k vektory z vektorového prostoru V pak je jejich lineární obal [a a k ] podprostor vektorového prostoru V Lineární obal [a a k ] je podprostor vektorového prostoru a jako takový je sám vektorovým prostorem Vektorový prostor [a a k ] je zřejmě nejmenší vektorový prostor obsahující všechny vektory a a k Definice Nechť a a k jsou vektory z vektorového prostoru V Jestliže každý vektor a V je lineární kombinací vektorů a a k říkáme že vektorový prostor V je generován vektory a a k a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V Z uvedené definice vyplývá že množina vektorů a a k je množinou generátorů vektorového prostoru V právě tehdy když platí V = [a a k ] Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem o Příklad 7 Dvojice vektorů j = ( ) j = ( ) je množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V Snadno ověříme že libovolný vektor a = (a a ) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů j j ve tvaru a = a j + a j Příklad 8 Rozhodněme zda vektory x = ( ) y = ( ) jsou množinou generátorů aritmetického vektorového prostoru V Řešení Vektory x y generují prostor V jestliže pro každý vektor a = (a a ) existují reálná čísla c c tak že platí a = c x + c y Po dosazení souřadnic vektorů a x y do předchozího vztahu obdržíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c c : a = c c a = c + c Vynásobíme-li první rovnici čtyřmi a obě rovnice sečteme získáme c = a + a Obdobně po vynásobení první rovnice třemi a následném sečtení máme c = a + a Protože každý vektor a = (a a ) z V je možné napsat ve tvaru a = c x + c y = (a + a )x + (a + a )y je prostor V generován vektory x y

21 Lineární algebra Příklad 9 Množinou generátorů vektorového prostoru V jsou také vektory x = () y = () z = () neboť pro každý vektor a = (a a ) platí např a a x y az Z uvedených příkladů je vidět že množina generátorů vektorového prostoru V není jediná a že dokonce ani počet generátorů není jednoznačně určen Bližší představu o množinách generátorů vektorového prostoru V dává následující věta Věta Nechť {a a k } je množina vektorů z vektorového prostoru V a {b b q } je množina vektorů která vznikla z množiny vektorů {a a k } jedním z následujících způsobů: a) změnou pořadí vektorů b) násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem c) přičtením k libovolnému vektoru lineární kombinace ostatních vektorů d) vynecháním vektoru který je lineární kombinací ostatních e) přidáním vektoru který je lineární kombinací ostatních vektorů Jestliže množina vektorů {a a k } tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V pak také množina vektorů {b b q } tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V Z uvedené věty vyplývá že každý netriviální vektorový prostor má nekonečně mnoho množin generátorů Věta navíc uvádí seznam úprav kterými můžeme z jedné množiny generátorů vektorového prostoru vytvořit jinou S podobnými úpravami se v první kapitole knihy setkáme na více místech (hodnost matice řešení soustav lineárních rovnic) Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice Nechť a ak jsou vektory z vektorového prostoru V Řekneme že vektory a ak jsou lineárně závislé jestliže existují reálná čísla c ck z nichž alespoň jedno je různé od nuly taková že platí c a + + c k a k = o V opačném případě se vektory a ak nazývají lineárně nezávislé Mluvíme také o lineární závislosti resp lineární nezávislosti množiny vektorů {a a k } Vektory a ak jsou podle uvedené definice lineárně nezávislé právě tehdy když ze všech jejich možných lineárních kombinací je nulovému vektoru o rovna pouze jejich triviální lineární kombinace Vektory a ak jsou pak lineárně závislé právě tehdy když existuje současně nějaká jejich netriviální lineární kombinace která je rovna nulovému vektoru o Uvědomme si přitom že pro k = tedy v případě jednoho vektoru a je tento vektor lineárně závislý právě tehdy když je nulový Pouze pro nulový vektor o totiž platí rovnice c o o kde c je různé od nuly Nenulový vektor a je vždy lineárně nezávislý neboť rovnice c a o je splněna jen tehdy když c =

22 Matematika pro studenty ekonomie Příklad Rozhodněme zda vektory a ( ) a () patřící do aritmetického vektorového prostoru V jsou lineárně závislé či nezávislé Řešení Podle definice je třeba zjistit pro která reálná čísla c c je splněna rovnice c a + c a = o Po dosazení souřadnic vektorů a a o do této rovnice dostáváme soustavu lineárních rovnic c c c c Snadno se zjistí že soustava má jediné řešení c c a že nulovému vektoru o je rovna pouze triviální kombinace vektorů a a Vektory a a jsou tedy lineárně nezávislé Při rozhodování o lineární závislosti či nezávislosti vektorů je možno někdy výhodně využít následujících dvou vět a Věta Nechť a ak jsou vektory z vektorového prostoru V k Vektory a a k jsou lineárně závislé právě tehdy když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních Každá skupina vektorů obsahující nulový vektor o je lineárně závislá Vyplývá to z předchozí věty a z toho že nulový vektor je triviální kombinací ostatních vektorů Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy když jeden z nich je reálným násobkem druhého Příklad Rozhodněme zda vektory a () a ( ) a () z aritmetického vektorového prostoru V jsou lineárně závislé či nezávislé Řešení Je ihned vidět že a a a Vektor a je lineární kombinací vektorů a a což podle předchozí věty znamená že vektory a a a jsou lineárně závislé Věta Nechť a ak jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V k Pak také vektory a a k jsou lineárně nezávislé V podkapitole o maticích si ukážeme že o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů se dá efektivně rozhodnout prostřednictvím pojmu hodnosti matice Báze a dimenze vektorového prostoru Z předchozího odstavce víme že každý vektorový prostor V má nekonečně mnoho množin generátorů přičemž jednotlivé množiny generátorů se mohou lišit počtem vektorů Jsou-li vektory množiny generátorů a ak lineárně závislé pak alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních vektorů a takový vektor lze podle věty z množiny generátorů vynechat Vynecháme-li takto v množině generátorů všechny vektory které se dají vyjádřit ve tvaru lineární kombinace ostatních vektorů dostaneme množinu generátorů tvořenou lineárně nezávislými vektory Takovými množinami generátorů se budeme dále zabývat

23 Lineární algebra Definice Množina generátorů vektorového prostoru V jejíž vektory jsou lineárně nezávislé se nazývá báze vektorového prostoru Příklad Ukažme že vektory j ( ) j ( ) j ( ) tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V Řešení Každý vektor a = (a a a ) se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů j j j ve tvaru a = a j + a j + a j tedy vektory j j j generují vektorový prostor V Přitom rovnice c j + c j + c j = o vede na soustavu rovnic c c c která má jediné řešení a vektory j j j jsou tedy lineárně nezávislé Ukázali jsme že vektory j j j generují vektorový prostor V a jsou zároveň lineárně nezávislé Podle definice 7 tvoří tedy bázi vektorového prostoru V Věta Nechť {a a k } je množina generátorů vektorového prostoru V tedy každý vektor a V se dá napsat ve tvaru a = c a + + c k a k Vektory a ak tvoří bázi vektorového prostoru právě tehdy když koeficienty c ck jsou určeny jednoznačně Nechť {a a k } je báze vektorového prostoru V Podle předchozí věty lze každý vektor a V jednoznačně zapsat ve tvaru a = c a + + c k a k Koeficienty c ck této lineární kombinace se nazývají souřadnice vektoru a vzhledem k bázi a a k Věta 7 Nechť V je vektorový prostor s bází {a a k } Pak každá množina k lineárně nezávislých vektorů b b k V tvoří také bázi vektorového prostoru V Příklad Rozhodněme zda vektory a () a () a () tvoří bázi aritmetického vektorového prostoru V Řešení Víme že ve V existuje báze o třech vektorech (např j () j () j () ) takže podle předchozí věty stačí ověřit lineární nezávislost vektorů a a a Vyjdeme z rovnice c a + + c k a k = o dosadíme souřadnice vektorů a a a o a obdržíme soustavu lineárních rovnic c + c = c = c + c = Odečteme-li od součtu prvních dvou rovnic třetí rovnici dostaneme c a dále c c Vektory a a a jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi V Je zřejmé že báze netriviálního vektorového prostoru není jediná Vzniká otázka zda různé báze téhož vektorového prostoru se mohou lišit počtem vektorů Na tuto otázku odpovídá následující věta a její důsledek

24 Matematika pro studenty ekonomie Věta 8 Existuje-li ve vektorovém prostoru V báze o k vektorech pak každá množina vektorů obsahující více než k vektorů je lineárně závislá Důsledek Jestliže a ak a b bq jsou dvě báze vektorového prostoru V pak platí k = q Zjistili jsme tedy že počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru je vždy stejný Číslo udávající počet vektorů v libovolné bázi je pro každý vektorový prostor charakteristické a nazývá se dimenzí vektorového prostoru Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dim V Z věty 8 vyplývá že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V V triviálním vektorovém prostoru báze neexistuje protože o není nezávislý vektor proto je přirozené mu přiřadit dimenzi rovnou Příklad Nejčastěji používanou bází aritmetického vektorového prostoru V n je množina n-rozměrných jednotkových vektorů v počtu n tedy množina vektorů j = () j = () j n = () Tyto vektory jsou zřejmě lineárně nezávislé a protože pro každý vektor a ( a a n ) V n platí a = a j + + a n j n V n tvoří vektory j jn množinu generátorů prostoru V n Můžeme tedy říkat že V n je aritmetický vektorový prostor dimenze n nebo n-rozměrný aritmetický vektorový prostor a psát dim V n = n Cvičení Rozhodněte které z následujících číselných množin spolu s uvedenými operacemi tvoří vektorový prostor a) Množina všech reálných čísel R kde součet reálných čísel a reálný násobek reálného čísla definujeme obvyklým způsobem b) Množina všech kladných čísel R + kde součet kladných čísel a reálný násobek kladného čísla definujeme obvyklým způsobem c) Množina všech přirozených čísel N kde součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla definujeme obvyklým způsobem d) Množina všech sudých čísel kde součet sudých čísel a reálný násobek sudého čísla definujeme obvyklým způsobem e) Jednoprvková množina {} f) Jednoprvková množina {} Pro vektory a = ( ) b = ( ) c = ( ) vypočtěte a) (a + b) + c b) a + (b + c) c) a b + c

25 Lineární algebra d) a + b c e) (a + b) c f) a b + c Jsou dány aritmetické vektory a = ( ) b = ( ) c = ( ) d = ( ) Zapište všechny platné vztahy dominování mezi těmito vektory 7 Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů a) a a a b) a 7 a a c) a 8 a a a d) a 8 a a a a 9 7 a a a e) 8 Rozhodněte zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V a) a a b) a a c) a a d) a 8 a e) a a 8 f) a a a a a a 7 g) 9 Rozhodněte zda dané vektory tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V a) a a a b) a 7 a c) a a a d) a a a 7 9 e) a a a f) a a a g) a a a 7 a a a a a h) Rozhodněte o lineární závislosti či lineární nezávislosti vektorů a) a a b) a a a c) a a d) a a a a e)

26 Matematika pro studenty ekonomie f) a a g) a a 7 h) a a a a a Rozhodněte zda dané vektory tvoří bázi příslušného vektorového prostoru a b V a) b) a b V c) b c V a d) b c V a e) 7 b V a f) b c V g) a 7 b c V h) a b c d V a Vektor a vyjádřete v bázi B a B a a a) b) a B a a c) a B a a a d) a a a e) a a a f) a a a a B a B a B Matice Pojem matice Definice 7 Uspořádané schéma tvořené m n reálnými čísly tvaru a a a n a a an am am amn se nazývá matice typu m n () Matice značíme velkými písmeny A B E přičemž v případě potřeby značíme dolním indexem typ matice Matici () značíme A m n nebo stručně A Jiný možný způsob zápisu je [a ij ] nebo [a ij ] m n Vektory z aritmetického vektorového prostoru V n r = (a a n ) r m = = (a m a mn ) se nazývají řádkové vektory nebo stručně řádky matice A Vektory z aritmetického vektorového prostoru V m s = (a a m ) s n = = (a n a mn ) se nazývají sloupcové vektory nebo stručně sloupce matice A

27 Lineární algebra 7 Reálným číslům a ij říkáme prvky matice A Přitom a ij značí prvek který leží v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice A Index i se nazývá řádkový index prvku a ij a index j sloupcový index prvku a ij Prvky matice () a amm při m n případně prvky a ann při m n tvoří hlavní diagonálu matice A Analogicky se definuje pojem vedlejší diagonály Vedlejší diagonálu při m n tvoří prvky a n an amn m a při m n jsou to prvky a nan an Příklad Matice A 8 je příkladem matice typu Vektor r ( ) je druhý řádek matice A vektor s ( ) je třetí sloupec matice A Prvek a kdežto prvek a Hlavní diagonálu matice A tvoří prvky a a a Vedlejší diagonálu matice A tvoří prvky a a a V následujících definicích se seznámíme s některými důležitými typy matic Se zavedenými pojmy se budeme v následujících odstavcích a kapitolách často setkávat Definice 8 Nechť A B jsou matice stejného typu m n Říkáme že matice A B jsou si rovny a píšeme A = B jestliže pro každé i m a každé j n platí aij bij Definice 9 Matice typu m n pro jejíž všechny prvky platí a ij kde i m j n se nazývá nulová matice typu m n Nulovou matici značíme O m n Je-li typ nulové matice ze souvislosti zřejmý je běžné použití stručnějšího zápisu O Definice Čtvercová matice řádu n je matice A typu m n pro níž platí m n Definice Jednotková matice E n řádu n je čtvercová matice řádu n která má všechny prvky v hlavní diagonále rovny jedné a všechny prvky ležící mimo hlavní diagonálu jsou rovny nule Příklad Matice je nulová matice typu Matice je jednotková matice řádu O = E =

28 8 Matematika pro studenty ekonomie Definice Diagonální matice je čtvercová matice pro jejíž prvky platí a ij pro všechna i j Je zřejmé že jednotková matice E n je speciálním případem diagonální matice Definice Nechť A je matice typu m n Matice která vznikne z matice A tak že zaměníme řádky za sloupce přičemž zachováme jejich pořadí se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se A T Transponovaná matice A T T k matici A typu m n je matice typu n m a její prvek a ji je roven prvku a ij matice A Transponovanou matici A T k matici A tedy dostaneme překlopením matice A podle hlavní diagonály Z definice transponované matice zřejmě plyne vztah (A T ) T = A tedy transponovaná matice k matici A T je původní matice A Říkáme že matice A a A T jsou navzájem transponované T Pro jednotkovou matici E n platí vztah E n = E n Obecněji je-li A diagonální matice pak pro ni platí A T = A Také transponovaná matice k nulové matici O je opět nulová matice rovnost O T = O však platí pouze pro čtvercové nulové matice Pro matice které se rovnají své transponované matici zavádíme speciální název Definice Matice A se nazývá symetrická platí-li A T = A Příklad 7 K maticím A B určeme transponované matice 7 7 A B Řešení 7 7 T T A B T Je vidět že platí B B to značí že matice B je symetrická Při řešení soustav lineárních rovnic případně při určování hodnosti matice v další části textu bude hrát důležitou roli tzv trojúhelníková matice Definice Matice A typu m n se nazývá trojúhelníková matice jestliže platí a) m n b) a pro i m ii c) a pro i j i m ; j n ij Pojem trojúhelníková matice je v literatuře definován různým způsobem Např v [8] je jako trojúhelníková matice chápána každá matice splňující podmínku c) předchozí

29 Lineární algebra 9 definice V našem pojetí nemá trojúhelníková matice více řádků než sloupců v hlavní diagonále nemá žádnou nulu a pod hlavní diagonálou jsou samé nuly Definice Matice která vznikne z matice A typu m n vynecháním některých řádků nebo sloupců se nazývá submatice matice A Příklad 8 Matice C je submaticí matice B z předchozího příkladu Vzniká vynecháním druhého a třetího řádku a prvního a třetího sloupce matice B Základní operace s maticemi V tomto odstavci se zabýváme operacemi sčítání a odčítání matic násobení matic reálným číslem a zkoumáme vlastnosti těchto operací Operace násobení matic bude zavedena v odstavci Definice 7 Nechť A B jsou matice téhož typu m n Matice C typu m n pro jejíž prvky platí cij aij bij i m j n se nazývá součet matic A B a značí se A + B Definice 8 Nechť r je reálné číslo A matice typu m n Matice D typu m n pro jejíž prvky platí dij raij i m j n se nazývá reálný násobek matice A a značí se ra Součet matic definujeme pouze pro matice téhož typu Prvky matice A + B obdržíme jako součet odpovídajících si prvků matice A a matice B Násobení matice reálným číslem je definováno pro libovolný typ matice Prvky matice ra dostaneme tak že každý prvek matice A vynásobíme číslem r Obdobně jako jsme v odstavci definovali rozdíl vektorů je možno zavést rozdíl matic A B Nechť A B jsou matice stejného typu m n Rozdílem matic A B rozumíme součet matic A a matice B opačné k matici B určené vztahem B () B Je tedy A B A ( B) Příklad 9 Jsou dány matice A 7 B Vypočtěme matice A B A B B A a B A Řešení A B 7 7 7

30 Matematika pro studenty ekonomie B A A B 7 A B = Z pravidel pro počítání s reálnými čísly vyplývá platnost následujících zákonů pro operace s maticemi Nechť O C B A jsou matice téhož typu a rs R libovolná reálná čísla Pak platí: A B B A komutativní zákon pro sčítání matic C B A C B A ) ( ) ( asociativní zákon pro sčítání matic A O A existence nulové matice O A A ) ( existence opačné matice r (sa) = (rs)a asociativní zákon pro reálný násobek (r + s)a = ra + sa první distributivní zákon 7 r (A + B) = ra + rb druhý distributivní zákon Označme dále symbolem V m n množinu všech matic typu m n Věta 9 Množina V m n spolu s operacemi sčítání matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor Podle předchozí věty je možno všechny pojmy zavedené v kapitole o vektorových prostorech aplikovat na množiny matic stejného typu Můžeme tak hovořit o lineárním obalu množiny matic o lineární závislosti či nezávislosti množiny matic o bázi prostoru V m n o dimenzi prostoru V m n atd Příklad Najděme bázi vektorového prostoru V všech matic typu a určeme dimenzi V Řešení Máme nalézt množinu generátorů vektorového prostoru V tak aby její vektory (tedy matice typu ) byly lineárně nezávislé Zvolíme matice A A A A Matice A A A A tvoří množinu generátorů vektorového prostoru V neboť pro každou matici

31 Lineární algebra a a A a a typu zřejmě platí A = a A + a A + a A + a A Řešením maticové rovnice c A + c A + c A + c A = O dále rozhodneme o lineární závislosti či nezávislosti matic A A A A Snadnou úpravou levé strany rovnice získáme maticovou rovnici c c c c což značí c c c c Matice A A A A jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi vektorového prostoru V Dále víme z předchozího výkladu že dimenze vektorového prostoru je rovna počtu prvků jeho libovolné báze Odtud dim V = Analogicky jako v předchozím příkladě je možno nalézt bázi libovolného vektorového prostoru V m n Obecně tedy platí dim V m n = m n Je důležité si uvědomit souvislosti mezi pojmy vektoru a matice Ve smyslu předchozích úvah je možno každou matici typu m n chápat jako prvek vektorového prostoru V m n tedy jako vektor Naopak každý vektor a ( a a n ) je podle definice matice maticí typu n Také vektor a je matice typu m Hodnost matice a a ( a aa ) a m Vzhledem k tomu že matici můžeme chápat jako systém řádkových nebo sloupcových aritmetických vektorů budeme hodnost matice definovat pomocí pojmů zavedených v kapitole o vektorových prostorech Definice 9 Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(a) Tento způsob zavedení jednoho ze stěžejních pojmů lineární algebry je ekvivalentní definici hodnosti matice na základě počtu lineárně nezávislých řádkových vektorů matice (viz věta ) nebo přes počet řádků v trojúhelníkové matici (viz věta ) Z předchozích úvah je nám známo že lineární obal množiny vektorů je vektorovým prostorem a že dimenze vektorového prostoru V je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ve V Platí tedy následující věta T m

32 Matematika pro studenty ekonomie Věta Hodnost matice A je rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice A Pro hodnost nulové matice O platí h(o) = což je důsledek skutečnosti že dimenze triviálního vektorového prostoru je rovna Jestliže A O pak h(a)n Věta Pro hodnost matice A typu m n platí h(a) min {mn} Věta Nechť A A T jsou navzájem transponované matice Platí h(a) = h(a T ) Před formulací další věty která je velmi užitečná z hlediska praktického výpočtu hodnosti matice si připomeňme že trojúhelníková matice A typu m n má tvar a a a m a n A a am an amm amn kde všechny prvky v hlavní diagonále jsou různé od nuly tedy a ii pro i m Věta Hodnost trojúhelníkové matice A typu m n je rovna počtu řádků této matice tedy h(a) = m Stanovení hodnosti matice A typu m n znamená nalezení přirozeného čísla nejvýše rovného číslu min{mn} značícího počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru [r r k ] Při určování hodnosti matice A pak prakticky přecházíme od množiny generátorů { r rm } lineárního obalu [r r k ] k lineárně nezávislé množině generátorů lineárního obalu [r r k ] Hodnost matice A je pak rovna počtu vektorů této báze Při výpočtu hodnosti matice A budeme vycházet z věty a z věty Cílem bude danou matici A jejíž hodnost máme určit upravit na odpovídající trojúhelníkovou matici jejíž hodnost je pak rovna počtu jejích řádků Podle věty přitom můžeme provádět tyto úpravy matice A: (U) (U) (U) (U) zaměnit pořadí řádků matice násobit libovolný řádek matice nenulovým reálným číslem přičíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků vynechat řádek který je lineární kombinací ostatních řádků V některých speciálních případech např u matice A však nestačí uvedené čtyři uvedené možnosti úpravy matice k převodu na trojúhelníkový tvar (jde o splnění podmínky a ii pro prvky hlavní diagonály matice) Na základě věty však můžeme při určování hodnosti matice převodem na trojúhelníkovou matici kromě řádkových úprav (U) (U) používat analogických sloupcových úprav K úpravám (U) (U) proto přidáme úpravu:

33 Lineární algebra (U) záměna pořadí sloupců matice Úpravám (U) (U) říkáme ekvivalentní úpravy matice Skutečnost že matice B vznikla z matice A ekvivalentní úpravou značíme B A ~ a matice A B nazýváme ekvivalentní Příklad Určeme hodnost matice A 7 Řešení Matici A upravíme užitím úprav (U) (U) na trojúhelníkovou matici jejíž hodnost a tím i hodnost matice A snadno určíme V prvním kroku vynulujeme první sloupec pod hlavní diagonálou První řádek opíšeme nový druhý řádek obdržíme jako součet trojnásobku prvního řádku a dvojnásobku druhého řádku nový třetí řádek vzniká odečtením dvojnásobku třetího řádku od prvního a čtvrtý řádek zůstává nezměněn ~ 7 Ve druhém kroku upravujeme obdobným způsobem submatici matice A která vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a prvního sloupce Opíšeme první a druhý řádek součet druhého a třetího řádku napíšeme jako nový třetí řádek a nový poslední řádek vznikne odečtením čtvrtého řádku od řádku druhého 7 ~ K dosažení trojúhelníkové matice zbývá vynulovat prvek a Od třetího řádku matice odečteme dvojnásobek čtvrtého řádku ~ 7 Nulový čtvrtý řádek je lineární kombinací ostatních podle (U) jej můžeme vynechat Tak obdržíme trojúhelníkovou matici Podle věty je h(a) =

34 Matematika pro studenty ekonomie Postup při řešení předchozího příkladu byl jedním z mnoha možných způsobů řešení úloh tohoto typu Předcházející úpravy lze zobecnit do následujícího algoritmu který nazýváme kondenzační metoda Chceme určit hodnost matice A typu m n kde a a a n A a a an am am amn Předpokládejme že platí a Je-li a pak záměnou pořadí řádků nebo sloupců přesuneme na místo a nenulový prvek (pokud takový prvek v matici není pak platí h(a) = ) V prvním kroku upravíme matici A na matici A takto: Opíšeme první řádek a do prvního sloupce pod hlavní diagonálu doplníme nuly Ostatní prvky a ij matice A vypočteme ze vztahu aij aaij a jai pro i m j n Ve druhém kroku tento postup opakujeme se submaticí matice A který vznikne z matice A vynecháním prvního řádku a prvního sloupce Dostaneme matici A která má první dva řádky stejné jako matice A v prvních dvou sloupcích matice A pod hlavní diagonálou jsou nuly a pro ostatní prvky a ij matice A platí aij aaij a jai pro i m j n Dalším opakováním tohoto postupu získáme nejpozději po m krocích trojúhelníkovou matici A m jejíž hodnost snadno určíme Stejnou hodnost má i původní matice A Uvedený algoritmus je modifikací kondenzační metody výpočtu determinantů se kterou se seznámíme v následující kapitole Příklad Určeme hodnost matice 7 A 7 9 Řešení Danou matici upravíme na trojúhelníkovou matici výše popsaným kondenzačním algoritmem ~ ~ ~ ~ Je tedy h(a) =

35 Lineární algebra Pomocí výpočtu hodnosti matice můžeme jednodušeji než z definice rozhodnout o lineární závislosti či nezávislosti aritmetických vektorů Mějme m aritmetických vektorů z vektorového prostoru V n Tyto vektory zapíšeme do řádků matice Tak dostaneme matici A typu m n Potom určíme hodnost matice A Mohou nastat dva případy: a) h(a) = m vektory jsou lineárně nezávislé b) h(a) < m vektory jsou lineárně závislé Příklad Rozhodněme zda vektory a = ( ) a = ( ) a = ( ) a = ( ) jsou lineárně nezávislé Řešení Vektory a a a a zapíšeme do řádků matice A typu m n a určíme hodnost vzniklé matice ~ ~ ~ ~ ~ Obdrželi jsme trojúhelníkovou matici se čtyřmi řádky takže h(a) = a dané vektory jsou lineárně nezávislé Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n Řekneme že matice A je regulární jestliže platí h(a) = n Řekneme že matice A je singulární jestliže platí h(a) < n Násobení matic V odstavci jsme definovali součet matic B A a reálný násobek matice ra K těmto dvěma maticovým operacím nyní přidáme součin matic AB Definice Nechť A je matice typu m n a B matice typu n p Matice C typu m p pro jejíž prvky platí n k kj ik ij b a c i m p j se nazývá součin matic A a B a značí se AB Součin AB je definován pouze tehdy je-li počet sloupců matice A roven počtu řádků matice B Pokud není tato podmínka splněna není součet matic definován Z definice součinu matic vyplývá že prvek c ij ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B