(STATISTIKA I., SMAD)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "(STATISTIKA I., SMAD)"

Transkript

1 VŠB TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY (STATISTIKA I., SMAD) Martina Litschmannová

2 OSTRAVA, 2008 Tyto materiály obsahují neřešené příklady vztahující se k částem statistiky, které se vyučují v rámci STATISTIKY I. na FEI a SMAD na HGF, VŠB-TU Ostrava. Příklady jsou často převzaty z internetu, z knih a skript kolegů z jiných univerzit a fakult a jsou neustále doplňovány. Zdrojové materiály jsou uvedeny v části Literatura. Datové soubory používané v příkladech jsou volně ke stažení na 2

3 EXPLORAČNÍ ANALÝZA TEST 1. Test ze Statistiky píše velké množství studentů. Představte si, že každý z nich odpoví správně přesně na polovinu otázek. V tomto případě bude směrodatná odchylka počtu správných odpovědí: a) rovna průměru, b) rovna mediánu, c) rovna nule, d) Směrodatnou odchylku nelze určit bez dalších informací. 2. Největší kumulativní absolutní četnost v množině čísel se rovná: a) součtu všech absolutních četností, b) 1, c) dvojnásobku průměru, d) dvojnásobku mediánu, e) dvojnásobku módu. 3. Několik studentů píše test ze Statistiky s 10-ti otázkami. Nejhorší výsledek jsou 3 správné odpovědi, nejlepší výsledek je 10 správných odpovědí. Jakou hodnotu má medián? a) 7 ( ) b) 6,5 c) Medián nelze určit, pokud neznáme konkrétní výsledky jednotlivých žáků. 4. Představte si, že jste absolvovali normovaný test (např. SCIO test) a že Vám sdělili, že patříte do 91. percentilu. To znamená, že: a) 90 žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo vyšších výsledků než vy. b) 90 žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo nižších výsledků než vy. c) 90% žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo vyšších výsledků než vy. d) 90% žáků, kteří se podrobili stejnému testu, dosáhlo nižších výsledků než vy. 5. Průměrná mzda je 60% kvantil mzdy. Lze tedy říci, že a) medián mzdy je vyšší než průměrná mzda, b) medián mzdy je nižší než průměrná mzda, c) medián mzdy je stejný jako průměrná mzda, d) o vztahu mezi mediánem mzdy a průměrnou mzdou nelze rozhodnout. 6. Průměrná mzda je 60% kvantil mzdy. Lze tedy říci, že a) mzdy mají kladnou šikmost, b) mzdy mají zápornou šikmost, c) mzdy mají kladnou špičatost, d) mzdy mají zápornou špičatost, e) vztah mezi průměrem a 60% kvantilem nevypovídá nic o šikmosti ani o špičatosti dat. 7. Lékař Petře sdělil, že patří do 3. percentilu ohledně BMI (Body mass index poměr váhy (kg) ke kvadrátu výšky (m)). Petra má pravděpodobně: a) podváhu, b) normální váhu, c) nadváhu, d) Bez dalších informací nelze usuzovat na Petřinu váhu. 8. Představte si, že jste absolvovali normovaný test (např. SCIO test). Měl(a) jste lepší výsledek než 85 studentů ze 100. To znamená, že a) patříte do 99. decilu, b) patříte do 95. decilu, 3

4 c) patříte do 10. decilu, d) patříte do 9. decilu, e) patříte do 2. kvartilu. 9. Pro srovnání variability váhy a výšky je možné použít a) průměr, b) rozptyl, c) směrodatnou odchylku, d) variační koeficient, e) šikmost. 10. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 100,- Kč, průměrný plat ve firmě se zvýší a) o 100,- Kč, b) o 1000,- Kč, c) Průměrný plat se nezmění. 11. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat dvojnásobně, průměrný plat ve firmě se zvýší a) dvojnásobně, b) čtyřnásobně, c) Průměrný plat se nezmění. 12. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 20%, průměrný plat ve firmě se zvýší a) o 20%, b) o 400%, c) o 40%, d) o 44%, e) Průměrný plat se nezmění. 13. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 100,- Kč, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) o 100,- Kč, b) o 1000,- Kč, c) Rozptyl platů se nezmění. 14. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat dvojnásobně, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) dvojnásobně, b) čtyřnásobně, c) Rozptyl platů se nezmění. 15. Zvýšíme-li každému zaměstnanci ve firmě plat o 20%, rozptyl platů ve firmě se zvýší a) o 20%, b) o 400%, c) o 40%, d) o 44%, e) Rozptyl platů se nezmění. 16. Největší kumulativní četnost se rovná a) dvojnásobku průměru, b) dvojnásobku mediánu, c) dvojnásobku módu, d) součtu všech jednotlivých hodnot absolutních četností, e) Určete, zda jsou následující tvrzení pravdivá. a) Geometrický průměr je definován pro proměnné, které nabývají pouze kladných hodnot. b) Jedna čtvrtina hodnot je větší než 25% kvantil, zatímco tři čtvrtiny hodnot jsou menší. c) Mají-li dvě proměnné stejný průměr a stejný rozptyl, mají stejný variační koeficient. d) Mzdy v ČR mají kladnou šikmost. (V ČR mají zhruba 2/3 lidí podprůměrný plat.) 4

5 Počet soutěžících Data e) Nejčetnější hodnota v souboru se nazývá medián. f) Rozptyl má vždy kladnou hodnotu V grafu na Obr. 1, modrý křížek označuje a) median, b) průměr, c) modus, d) interkvartilové rozpětí (IQR) Určete zda jsou následující tvrzení pravdivá. Proměnná znázorněna na Obr. 1 a) neobsahuje odlehlá pozorování, b) má kladnou šikmost, c) je kladná, d) má více než polovinu hodnot větších než 83. Obr. 1: Proměnná x 20. Na atletických závodech mládeže žáci soutěžili ve 4 kategoriích. Určete, který výrok je nepravdivý. a) Na obrázku je znázorněn histogram a nejméně soutěžících bylo ve skoku do dálky. b) Celkem ve čtyřech kategoriích soutěžilo 80 žáků. c) Modus = hod koulí. d) Modus = běh skok do výšky skok do dálky hod koulí Obr. 2: Zastoupení žáků na atletických závodech 21. Číslicový histogram reprezentuje množství peněz, které studenti jedné třídy vybrali na humanitární účely. Které z následujících výroků jsou určitě nepravdivé? a) 10 studentů věnovalo méně než 120 Kč. b) Medián vybrané částky činí 120 Kč. c) Na humanitarní účely přispělo v této třídě 23 studentů. d) Přispívající studenti věnovali na humanitární účely částky od 1,- Kč do 35,- Kč. e) 6 studentů věnovalo nejméně 200 Kč. Obr. 3: Příspěvky na humanitární účely 5

6 Četnost Kumulativní rel. četnost Četnost Kumulativní četnost Četnost Kumulativní četnost Četnost Kumulativní rel. četnost 22. Určete, na kterém obrázku je zobrazen Paretův graf % 71% 81% 88% 94% 98% 100% 150% 100% 50% 0 B A C D E F G 0 0 B A C D E F G 0% a) b) % 46% 81% 88% 94% 98% 100% 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0% A B C D E F G A B C D E F G c) d) Výsledek testu: a) 1c, 2a, 3c, 4d, 5b, 6a, 7a, 8d, 9d, 10a, 11a, 12a, 13c, 14b, 15d, 16d, pravdivá tvrzení 17a, 17c a 17d, 18b, pravdivá tvrzení 19b a 19c, 20d, 21b (Median je 130,- Kč.), 21d (Přispívající studenti věnovali na humanitární účely částky od 10,- Kč do 350,- Kč.), 22b. KATEGORIÁLNÍ PROMĚNNÁ 1. Následující data představují zemi výroby automobilu. Data vyhodnoťte (četnost, rel. četnost, resp. kum. Četnost a kum. rel. četnost, informace, modus), graficky znázorněte (histogram, výsečový graf) a výsledky okomentujte. USA USA Německo ČR Německo Německo Německo ČR ČR ČR USA Německo 3. Analyzujte proměnnou Kategorie obcí v souboru VO_spotreba.sf3. (Jde o datový soubor zaznamenávající údaje o energetické spotřebě při provozu veřejného osvětlení v obcích ČR. Uvedeny jsou Kategorie obcí (podle počtu obyvatel), Spotřeba na km 2, Spotřeba na světelné místo (SM) a Spotřeba na obyvatele.) a) Vyplňte řádek tabulky četnosti (v tabulce uveďte všechny používané číselné charakteristiky). b) Kolik obcí v získaném souboru má méně než 10 tisíc obyvatel? Uveďte absolutní i relativní četnost. c) Určete modus. d) Načrtněte výsečový graf. 6

7 NUMERICKÁ PROMĚNNÁ 1. Maximální teploty měřené ve stupních Celsia v průběhu jednoho týdne byly: Označte správnou odpověď: a) Průměrná teplota byla 18 o C a medián 17 o C b) Průměrná teplota byla 19 o C a medián 18 o C c) Průměrná teplota byla 18 o C a medián 18 o C d) Průměrná teplota byla 17 o C a medián 18 o C e) Průměrná teplota byla 17 o C a medián 19 o C 2. Následující data byla získána měřením Určete jejich směrodatnou odchylku. 3. Následující data představují dobu čekání *min+ zákazníka na obsluhu. Zakreslete box plot a graf stem and leaf Tabulka uvedená v souboru Psenice.xls udává průměrné výnosy pšenice (ozimu) v kg na 10 4 m 2 ve 20-ti oblastech Švédska, průměrné teploty vzduchu předchozí zimu, průměrné teploty vzduchu v probíhajícím vegetačním období a srážkový úhrn v mm ve vegetačním období ve třech meteorologických stanicích v oblasti. Data pocházejí z let Spočtěte výběrovou korelační matici. 5. Při dopravním průzkumu byla sledována vytíženost vjezdu do určité křižovatky. Student, provádějící průzkum, si vždy při naskočení zeleného světla zapsal počet aut, čekajících ve frontě u semaforu. Jeho zapsané výsledky jsou: Načrtněte krabicový graf a vypočtěte následující výběrové statistiky: průměr, směrodatná odchylka, shorth, modus a rozpětí. 9. U každé ze 70 žen byl změřen hemoglobin s přesností 0,1 g/100 ml. Naměřené hodnoty jsou v níže uvedené tabulce. Tabulka: Hladina hemoglobinu v g/100 ml pro 70 žen 10,2 13,7 10,4 14,9 11, ,3 12,9 12,1 9,4 13,2 10,8 11,7 10,6 10,5 13,7 11,8 14,1 10,3 13,6 12,1 12,9 11,4 12,7 10,6 11,4 11,9 9,3 13,5 14,6 11,2 11,7 10,9 10, ,9 11,1 8,8 10,2 11,6 12,5 13,4 12,1 10,9 11,3 14,7 10,8 13,3 11,9 11,4 12, ,6 13,1 9,7 11, ,7 12,9 13,4 12, ,6 11,1 13,5 10,9 13,1 11,8 12,2 7

8 Za pomocí statistického software data analyzujte. (Určete základní číselné charakteristiky polohy (průměr, dolní kvartil, medián, horní kvartil), charakteristiky variability (rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient), identifikujte odlehlá pozorování, data graficky znázorněte (box plot, stem & leaf, resp. histogram) a výsledky okomentujte.) 10. Analyzujte proměnnou Spotřeba_km2 v souboru VO_spotreba.sf3. (Jde o datový soubor zaznamenávající údaje o energetické spotřebě při provozu veřejného osvětlení v obcích ČR. Uvedeny jsou Kategorie obcí (podle počtu obyvatel), Spotřeba na km 2, Spotřeba na světelné místo (SM) a Spotřeba na obyvatele.) a) Kolik odlehlých pozorování se v datech nachází? (Uveďte použité kritérium pro identifikaci outlierů.) b) Určete a komentujte 30%-ní kvantil. (konkrétně) c) Určete pravdivost výroku: Spotřeba energie VO na km 2 více než poloviny obcí je nadprůměrná. d) Jakou maximální spotřebu energie VO na km 2 byste očekávali u Krmelína? Proč jste použili uvedený odhad? e) Jaká je variabilita těchto dat? (nízká, průměrná, vysoká) Uveďte číselnou charakteristiku, na jejímž základě jste rozhodli. ČÍSELNÉ CHARAKTERISTIKY OBECNĚ 1. Zemědělské družstvo dostalo kuřat s průměrnou váhou 1,37 kg. Cena byla 50,- Kč za kilogram. Během dne se prodalo 300 kuřat za ,- Kč. Jaká byla průměrná váha neprodaných kuřat? (1,27 kg) 2. V jisté společnosti je průměrný plat ,- Kč. 30% pracovníků s nejnižším platem má průměrně 9 000,- Kč. Na začátku roku došlo ke zvýšení platů pracovníků této skupiny jednotně o 500,- Kč. O kolik % vzrostl průměrný plat v celé společnosti následkem tohoto zvýšení platu? (1,11%) 3. Petr, řidič zkušebního automobilu, jel z Ostravy do Olomouce rychlostí 70 km/h. Zpět jel rychlostí 90 km/h. Jaká byla průměrná rychlost zkušebního automobilu na cestě Ostrava Olomouc Ostrava? (78,8 km/h) 4. V jistém supermarketu byla v jednom okamžiku na 8 pokladnách měřena doba, během které pokladní ověří platnost platební karty zákazníka v bance. U pěti zákazníků trvalo ověření 2 minuty, u zbylých tří to byly 3 minuty. Určete průměrnou dobu potřebnou k ověření platnosti karty. (2,4 min) 5. Nákladní automobil jel z města A do města B rychlostí 40 km/h, z města B do města C rychlostí 50 km/h a z města C do města D rychlostí 60 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost, které dosáhl automobil na celé trase, víte-li, že: a) vzdálenost všech úseků je stejná 5 km. b) Vzdálenost z A do B je 15% trasy a vzdálenost z C do D je 60% trasy. (a) 48,7 km/h, b) 53,3 km/h) 6. Cena jedné akcie energetické společnosti vzrostla na burze XY v období od 13. do 15. března téhož roku z 952,50 Kč na 982,00 Kč. Jaký byl průměrný relativní přírůstek ceny této akcie? (1,54%) 7. Při sledování proměnné x byl určen aritmetický průměr 110 a rozptyl 800. Dodatečně byly zjištěny chyby u dvou údajů. Místo 85 mělo být správně 95 a místo 120 má být 150. Ostatních 18 údajů bylo správných. Opravte vypočítané charakteristiky (průměr a rozptyl). ( 8. Ze čtyřiceti hodnot byl vypočítán aritmetický průměr 7,50 a rozptyl 2,25. Při kontrole bylo zjištěno, že chybí 2 hodnoty proměnné 3,8 a 7. Opravte uvedené charakteristiky. 8

9 9. V důsledku výstavby satelitního městečka poklesl průměrný věk obyvatel vesnice o 19%, jeho rozptyl vzrostl o 21%. Jak se změnil variační koeficient? (vzrostl o 35,8%) 10. Ze známých dat byl určen rozptyl měsíčních mezd Kč 2.Určete směrodatnou odchylku mezd, zvýší-li se všechny měsíční mzdy a) o 150,- Kč b) 1,2 krát c) o 4%. (a) 500,- Kč, b) 600,- Kč, c) 520,- Kč) 11. Máme n údajů o měření teploty ( o C). Průměrná teplota je 20 o C a rozptyl je 10 o C 2. Určete a) průměrnou teplotu ve stupních Fahrenheita ( o F), b) rozptyl teploty ve stupních Fahrenheita ( o F), c) variační koeficienty teploty ve stupních Celsia ( o C) a ve stupních Fahrenheita ( o F). (Vztah pro převod stupňů Celsia na stupně Fahrenheita: ) (a) 68 o F, b) 32 o F 2, c) ) 9

10 TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI TEST 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní. e) Pravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo. 2. Pravděpodobnost poruchy každé součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. (Předpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Když funguje alespoň jedna součástka, blok funguje.) a) b) c) d) e) f) g) h) 3. Pravděpodobnost poruchy každé součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. (Předpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Když se porouchá jedna součástka, blok nefunguje.) a) b) c) d) e) f) g) h) 4. Podmíněná pravděpodobnost se vypočítá jako a) b) c) d) 5. Mějme jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) 6. Mějme nezávislé jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) 10

11 7. Mějme disjunktní jevy A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost průniku jevu A a B se vypočítá jako a) b) c) d) 8. Mějme jevy A a B. Jev C je průnik jevů A a B. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost sjednocení jevu B a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a B se vypočítá jako a) b) c) d) e) f) 9. Mějme nezávislé jevy A a B. Jev C je doplněk jevu A. Pravděpodobnost jevu A je P(A) a pravděpodobnost jevu B je P(B). Pravděpodobnost průniku jevu B a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a B se vypočítá jako a) b) c) d) e) f) 10. Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) Pravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) Pravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) Pravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) Pravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) Pravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. Výsledky testu: 1c, d; 2d; 3g; 4d; 5c; 6c; 7d; 8b; 9d; 10a, d, e KOMBINATORIKA 1. U stolu je místo pro 4 osoby. Kolika způsoby je možno rozsadit skupinku 10 lidí? 2. Určete počet možností, jimiž lze vybrat 4 prvky ze 12-ti prvků (v závislosti na pořadí). 3. Kolik je možností, jak rozdělit stejnoměrně 8 lidí do 2 automobilů? 4. Na lavici je místo pro 4 osoby. Kolika je možností k zabrání lavičky skupinou 10 osob? 5. Kolik je možností jak vybrat tři prvky z 15 prvků v závislosti na pořadí? 6. Pokud x je počet možností jak posadit 6 osob do řady a y je počet možností jak posadit 6 osob ke kruhovému stolu, pak: a) x =2y b) x=1/2y 11

12 c) x=3y d) x=6y e) x=y 7. Sestavujeme vlajku ze 3 vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. (Vlajka nesmí mít vedle sebe 2 pruhy stejné barvy.) a) Kolik vlajek lze sestavit? b) Kolik vlajek má modrý pruh? c) Kolik vlajek nemá červený pruh uprostřed? (80; 44; 64) 12. Na večírku je n lidí. Přiťukne-li si skleničkou každý s každým, kolik Ťuknutí by mohlo být slyšet? 13. Kolik je úhlopříček v konvexním n-úhelníku? 14. Test se skládá ze 2 dějepisných, 2 zeměpisných a 1 literární otázky. Připraveno je 30 dějepisných, 25 zeměpisných a 20 literárních otázek. Kolik variant testu lze vytvořit? ( ) 15. Kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 vybrat a) trojici políček neležících v témže sloupci? b) neležících v témže sloupci ani v téže řadě? (41 216; ) 16. Musí mít alespoň dva obyvatele městečka o 1000 obyvatelích stejné iniciály (jméno a příjmení začinají jedním z 32 písmen)? (ne) 17. Kolika způsoby lze vytvořit anagram slovního spojení abrakadabra? (83 160) 18. Ve výboru je 6 mužů a 4 ženy. Kolik je způsobů jak zvolit předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? Co když mají předseda a místopředseda být opačného pohlaví? (5040; 2688) 19. Kolikrát lze přemístit slova ve verši Sám svobody hoden, kdo svobodu zná vážiti každou, nemají-li se promíchat slova věty hlavní a vedlejší. (1440 větu hlavní a vedlejší lze prohodit) 20. Kolika nulami končí číslo 258!? (63) 21. Kolika způsoby lze z nabídky 4 druhů rybiček zakoupit 6 rybiček, kupujeme-li je od každého druhu po párech? (20) 22. Kolik je pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4, 7? Kolik z nich je dělitelných 6-ti? (96; 42) 23. Kolika způsoby se na startu může seřadit 8 automobilů do dvou řad po 4 autech? Co když nám jde jen o rozdělení (ne seřazení) do dvou řad? (40 320; 70) 24. Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 dívek. Kolika způsoby lze vybrat 4 taneční páry? ( ) 12

13 25. Z kolika prvků lze vytvořit 90 variací druhé třídy (bez opakování)? 26. Z kolika prvků lze vytvořit 55 kombinací druhé třídy (bez opakování)? (10) (11) 27. Zmenší-li se počet prvků o dva, zmenší se počet permutací (bez opakování) čtyřicetdvakrát. Určete počet prvků. (7) 28. Z kolika prvků lze vytvořit padesátkrát více variací třetí třídy (bez opakování) než variací druhé třídy (bez opakování)? (52) 29. V prodejně si můžete vybrat ze sedmi druhů pohlednic. Kolika způsoby lze koupit: a) 10 pohlednic, b) 5 pohlednic, c) 5 různých pohlednic (8008; 462; 21) 30. V knihkupectví prodávají 10 titulů knižních novinek. Kolika způsoby lze koupit a) 4 knižní novinky, b) 5 různých knižních novinek? (715; 252) 31. Na hokejovém turnaji, kterého se účastní 8 družstev, sehraje každý tým s ostatními právě 1 utkání. Kolik zápasů bude celkem sehráno? (28) 32. Z 5 bílých a 4 červených kuliček tvoříme trojice tak, aby v každé trojici byly vždy 2 bílé a 1 červená kulička. Kolik trojic splňujících tuto podmínky lze vytvořit? (40) 33. Hokejový tým odjel na OH s 23 hráči, a to s 12 útočníky, 8 obránci a 3 brankáři. Kolik různých sestav může trenér teoreticky vytvořit? (18 480) 34. Kolika přímkami lze spojit 7 bodů v rovině, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce, b) tři z nich leží v jedné přímce? (21; 19) 35. Kolik kružnic je určeno 10 body v rovině, jestliže žádné tři z nich neleží na přímce a žádné čtyři z nich neleží na kružnici? (120) 36. Kolik různých hodů můžeme provést a) dvěmi, b) třemi různobarevnými kostkami? (36; 216) 37. Kolik různých značek teoreticky existuje v Morseově abecedě, sestavují-li se tečky a čárky ve skupiny po jedné až pěti? (62) 38. Kolik prvků obsahuje množina všech pěticiferných přirozených čísel? (90 000) 39. Deset přátel si vzájemně poslalo pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic celkem rozeslali? (90) 13

14 40. Kolikrát více je variací k-té třídy z n prvků než kombinací k-té třídy z těchto prvků (bez opakování)? (Variací je k!-krát vice než kombinací) 41. V plně obsazené lavici sedí 6 žáků a, b, c, d, e, f. a) Kolika způsoby je lze přesadit? b) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žáci a, b seděli vedle sebe? c) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žák c seděl na kraji? d) Kolika způsoby je lze přesadit tak, aby žák c seděl na kraji a žáci a, b seděli vedle sebe? (720; 240; 240; 96) 42. Student má v knihovně 4 různé učebnice pružnosti, 3 různé učebnice matematiky a 2 různé učebnice angličtiny. Kolika způsoby je lze seřadit, mají-li zůstat učebnice jednotlivých oborů vedle sebe? (1728) 43. Kolika způsoby lze rozdělit 8 účastníků finále v běhu na 100 m do 8 drah? 44. Kolik různých permutací lze vytvořit použitím všech písmen slova a) statistika, b) matematika? (40 320) (75 600; ) 45. Četa vojáků má vyslat na stráž 4 muže. Kolik mužů má četa, je-li možno úkol splnit 210 způsoby? (10) 46. V zásobníku je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Určete, kolika způsoby lze namátkou ze zásobníku vyjmout 5 nábojů, z nichž alespoň 3 jsou ostré. (231) 47. Kolika způsoby je možno na čtvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna tři pole neměla stejnou barvu (aby nebyla všechna černá ani všechna bílá)? (31 744) ZÁKLADNÍ AXIÓMY PRAVDĚPODOBNOSTI 1. Nechť p je pravděpodobnost, že nově narozené dítě je děvče. Určete pravděpodobnost, že rodina se čtyřmi dětmi má právě dva chlapce. 2. V šuplíku mám 4 ponožky červené a 4 ponožky bílé barvy. Vyberu si náhodně (po tmě) dvě ponožky. Která z odpovědí je správná? a) Je pravděpodobnější, že ponožky budou různých barev. b) Je nepravděpodobné, že ponožky budou téže barvy. c) Je pravděpodobnější, že ponožky budou téže barvy. d) Pravděpodobnost, že si vyberu ponožky téže barvy je stejná jako pravděpodobnost, že si vyberu ponožky různých barev. 3. Pět bodů leží v jedné přímce. Vybereme náhodně dva z nich. Jaká je pravděpodobnost, že se nebude jednat o dva sousední body? 4. Mezi čtyřmi studenty jsou dvě dívky. Tito studenti jsou náhodně rozděleni na dvě dvojice. Jaká je pravděpodobnost, že jednu dvojici budou tvořit dívky a druhou chlapci? 5. 6 osob (Aleš, Pavel, Marek, Honza, Tomáš a Radek) je náhodně rozděleno do tří týmů. Určete pravděpodobnost, že Aleš s Markem budou tvořit jeden tým. 14

15 6. Vojenskou kolonu tvoří 2 terénní vozy UAZ, 3 auta Praga V3S a 4 Tatry 138. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném seřazení kolony pojedou stejná vozidla za sebou? (1/210) 7. Ve třídě 20 chlapců a 12 dívek jsou losem určeni 2 mluvčí. Jaká je pravděpodobnost, že budou různého pohlaví? (0,484) 8. Jaká je pravděpodobnost, že slovem náhodně sestaveným z písmen A, A, A, E, I, K, M, M, T, T bude MATEMATIKA? (24/10!) 9. Jaká je pravděpodobnost, že z 60 lidí slaví někteří dva narozeniny ve stejný den? 10. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 3 kartami, náhodně vytaženými z balíčku 32 karet, bude eso? (0,994) (0,340) 11. Firma dodává výrobky v sadách po 10 kusech. Je-li v sadě vice než 1 vadný výrobek, sada se neúčtuje. Jestliže asi 2% výrobků jsou vadná, kolik asi procent sad nebude firma účtovat? (1,6%) 12. Nechť p je pravděpodobnost narození holčičky. Určete pravděpodobnost, že rodina se čtyřmi dětmi bude mít alespoň jednu holčičku. 13. Kulička na hracím poli může se stejnou pravděpodobností padnout do desíti různých sektorů očíslovaných 0-9. Výsledek hodu je dán číslem sektoru. Určete, co má nejvyšší pravděpodobnost: a) výsledek vyšší než 3 b) výsledek nižší než 3 c) výsledek bude sudé číslo (0 není sudé číslo) d) výsledek Vyberte si náhodně dva z devíti čtverců na následujícím obrázku a určete pravděpodobnost, že tyto dva čtverce leží v jednom řádku nebo v jednom sloupci. 5. n různých balónků je rozděleno náhodně do N přihrádek. V případě, že X je počet přihrádek, v nichž se nachází minimálně jeden balónek, jaká je pravděpodobnost P(X=0)? 6. V pytlíku je B bílých kuliček a C červených kuliček. Vybereme náhodně dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že obě kuličky budou bílé? 7. X je náhodná veličina udávající počet hodů kostkou před tím než nám poprvé padne 6. Pravděpodobnost toho, že nám padne 6 je p. Jaký je vztah mezi pravděpodobnostmi p 1 =P(X>s+t X>s) a p 2 =P(X>t), v případě, že s a t jsou kladná přirozená čísla? a) p 1 <p 2, nezávisle na s a t b) p 1 =p 2 pro všechna p, 0<p<1, a pro všechna s a t c) p 1 =(s+t)/s, p 2 =t pro všechna p, 0<p<1 d) p 1 >p 2, nezávisle na s a t e) p 1 =p 2, v případě, že kostka je homogenní, tj. p=1/6 8. Uvažujme hod symetrickou stejnorodou klasickou hrací kostkou. Který z následujících výroků je správný? a) Nejčastější výsledek hodu je 3 15

16 b) Pravděpodobnost, že nám padne 1 nebo 2 je stejná jako pravděpodobnost, že nám padne 5 nebo 6 c) Pravděpodobnost, že nám padne 1 nebo 2 je menší než pravděpodobnost, že nám padne 5 nebo 6 d) Pravděpodobnost, že nám padne méně než 3 je větší než pravděpodobnost, že nám padne více než 3 9. Kulička se může skutálet do rovnoměrně rozmístěných sektorů s čísly 0 až 9. Číslo sektorů je výsledkem hodu. Který z následujících výsledků má největší pravděpodobnost? a) méně než 3 b) 9 c) více než 3 d) všechny výše uvedené výsledky mají stejnou pravděpodobnost 10. Uvažujme hod dvěma symetrickými stejnorodými klasickými hracími kostkami. Výsledek hodu je součtem údajů na obou kostkách. Jaká je pravděpodobnost, že výsledek bude menší než 4? 11. Systém je funkční pokud funguje součástka A a nejméně jedna ze součástek B a C. Pravděpodobnost, že po 1000 hodinách je funkční součástka A je 0,8, součástka B 0,9 a součástka C 0,7. Systém pracuje nezávisle na okolních podmínkách. A Jaká je pravděpodobnost, že systém bude po 1000 hodinách funkční? 12. Ve velkém množství písemek se vyskytují dva typy chyb, A a B. Pravděpodobnost, že v písemce bude chyba A je 0,1 a pravděpodobnost, že tam bude chyba B je 0,2. Pravděpodobnost, že v písemce budou obě chyby zároveň je 0,05. Určete pravděpodobnost, že v písemce bude pouze chyba A, nikoliv chyba B? 13. Pražská obchodní banka má zjištěno, že na tisíc šeků, které zpravidla zpracuje během určité doby, je jich 80 znějících na částku do 5.000,-Kč (včetně), 200 znějících na částku od 5.000,-Kč do 8.000,-Kč (včetně) a 250 na částku od 8.000,- Kč do ,-Kč. Jaká je pravděpodobnost, že šek podaný u jedné z poboček bude znít na hodnotu nižší než ,-Kč? 14. Reklama na nový automobil Mondavia je zaměřena na jeho technickou kvalitu. Jeden z reklamních sloganů propaguje, že s novým automobilem Mondavia najedete km bez vážné poruchy. Výrobce nicméně informoval své prodejce, že během prvních najetých km může dojít k pěti klasickým vážným poruchám. Pravděpodobnost poruchy motoru je odhadována na 5%, převodovky na 3%, brzd na 1,3%, spojky na 1% a diferenciálu na 0,1%. Jaká je pravděpodobnost, že by např. asociace motoristických novinářů mohla po testu jediného automobilu Mondavia považovat uvedený reklamní slogan za klamavý? 15. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané dvouciferné číslo je dělitelné dvěma nebo pěti? B C 16. Tři muži sedí u baru. Aby mohli rozhodnout, kdo zaplatí útratu, každý z nic hází mincí. Muž, jehož mince ukáže jinou stranu než mince zbývajících dvou, platí útratu. Předpokládejme, že na všech mincích obě dvě strany padají se stejnou pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost, že k rozhodnutí, kdo bude platit, dojde již poté, co muži hodí poprvé? 17. Signalizační zařízení se skládá ze tří sériově zapojených okruhů, ve dvou z nich jsou paralelně zapojeny navzájem se zálohující prvky. Spolehlivosti jednotlivých prvků jsou přímo vyznačeny ve schématu: 16

17 0,90 0,80 0,90 0,80 0,95 0,85 Určete pravděpodobnost, že signalizační zařízení bude mít poruchu (za předpokladu, že poruchy jednotlivých prvků vznikají nezávisle na sobě. 18. Sonda má dvě kamery, které mohou pracovat nezávisle na sobě. Každá z nich je vybavena pro případ poruchy opravným mechanismem. Pravděpodobnost poruchy kamery je 0,1, pravděpodobnost úspěšné opravy případné poruchy pomocí korekčního mechanismu je 0,3. S jakou pravděpodobností se nepodaří ani jednou z kamer nic nafilmovat? 19. Tři absolventi střední školy pan Novák, pan Svoboda a pan Dvořák skládají přijímací zkoušky na tři různé vysoké školy. Jejich šance na úspěch se odhaduje na 70% pro studenta Nováka, na 40% pro studenta Svobodu a na 60% pro studenta Dvořáka. Jaká je pravděpodobnost, že a) všichni tři uspějí, b) ani jeden neuspěje, c) uspěje jen student Novák, d) uspěje právě jeden z nich, e) neuspěje jen student Svoboda, f) uspějí právě dva z nich, g) uspěje alespoň jeden z nich. 20. V osudí je 5 černých a 15 bílých koulí. Z osudí se náhodně vytáhne jedna koule. Poté se vrátí zpět a přidá se 20 koulí téže barvy, jakou měla vytažená koule, a tah se opakuje. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude černá? 21. Účastník zapomněl poslední cifru telefonního čísla a rozhodl se, že jí bude postupně volit. S jakou pravděpodobností se dovolá nejpozději na čtvrtý pokus? (Předpokládejme, že při vytočení správného čísla se spojení uskuteční.) 22. Narozeninový problém: Kolik lidí musí být minimálně ve skupině, aby byla pravděpodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2? (23) 23. Tři střelci střílí na terč. Terč zasáhnou s pravděpodobností: 0,2; 0,4; 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že terč zasáhnou a) všichni, b) právě dva, c) nejvýše jeden, d) alespoň jeden. (0,04; 0,26; 0,70;0,76) 24. Při trojnásobném souboji se tři soupeři A, B, C postaví na rohy rovnostranného trojúhelníku. Střílí se ve vylosovaném pořadí tak dlouho, dokud nezbude jediný vítěz. Je známo, že střelec A zasáhne vždy, střelec B s pravděpodobností 0,8 a střelec C s pravděpodobností 0,5. Každý ze soupeřů použije nejvýhodnější strategii, pokud jde o volbu cíle. Jakou mají jednotliví účastníci souboje naději na vítězství? (27/90, 16/90, 47/90) 17

18 25. Ze šesti vajec jsou dvě prasklá. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném odebrání dvou vajec vybereme žádné, jedno, dvě prasklá vejce? (6/15, 8/15, 1/15) 26. Přístroj se skládá ze 300 stejných, nezávisle na sobě pracujících částí. Pravděpodobnost poruchy kterékoli části je: a) 0,050 b) 0,010 c) 0,001. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj přestane pracovat v důsledku poruchy alespoň jedné části? (a) 0, ; b) 0, ; c) 0, ) 27. Každý ze tří střelců vystřelí jednou do společného cíle. Pravděpodobnosti zásahu jsou u jednotlivých střelců: 0,6, 0,5 a 0,4. Při kontrole terče byly zjištěny 2 zásahy. Určete pravděpodobnost, že zasáhl druhý a třetí střelec. (0,21) 28. Na osmi stejných kartičkách jsou napsána po řadě čísla 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 a 13. Náhodně vezmeme dvě kartičky. Určete pravděpodobnost, že zlomek utvořený z těchto dvou čísel lze krátit. (5/14) 29. V sále s n+k místy náhodně zaujalo místa n lidí. Určete pravděpodobnost, že je obsazeno určitých m n míst. 30. Kolik je nutno vzít čísel z tabulky náhodných čísel, abychom s pravděpodobností alespoň 0,9 mohli tvrdit, že je mezi nimi alespoň jedno sudé číslo? (n 4) 31. V urně jsou dvě koule, bílá a černá. Provádí se výběr po jedné kouli do té doby, než se vytáhne černá koule, přičemž kdykoliv se vytáhne bílá koule, vrátí se a do urny se přidají ještě dvě bílé koule. Určete pravděpodobnost, že se při prvních padesáti tazích černá koule nevytáhne. (0,08) 32. Ve dvou urnách jsou koule, které se od sebe liší pouze barvou. V první urně je 5 bílých koulí, 11 černých a 8 červených. V druhé urně je 10 bílých, 8 černých a 6 červených koulí. Z obou uren se náhodně táhne po jedné kouli. Jaká je pravděpodobnost, že obě koule jsou stejné barvy? (0,323) 33. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 34. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými matematiky B. Pascalem a P. de Fermatem v roce Zabývali se mimo jiné problémem, se kterým přišel šlechtic Chevalier de Méré (velký milovník hazardních her). Ze zkušenosti věděl, že je výhodné sázet na to, že při 4 hodech šestistěnnou kostkou padne šestka. Usuzoval, že při 24 hodech dvěmi kostkami bude opět výhodné vsadit na to, že padnou na obou kostkách šestky. Ukázalo se však, že tomu tak není. Určete pravděpodobnost, že při 4 hodech padne aspoň jednou šestka a pravděpodobnost, že při 24 hodech dvěmi kostkami padnou aspoň jednou dvě šestky. 35. Jaká je pravděpodobnost nejvyší výhry ve hře šťastných deset? Je třeba uhodnout 10 čísel, přičemž se táhne 20 čísel z osmdesáti. 36. Ve skříni máme pět párů ponožek (černé, hnědé, bílé, modré a červené). Ponožky jsou pomíchané. Ráno náhodně vytáhneme dvě ponožky. Jaká je pravděpodobnost, že: a) je mezi nimi černá ponožka, b) jedna je bílá a druhá je modrá, c) jedna je červená a druhá není hnědá, 18

19 d) obě mají stejnou barvu? 37. Úloha o vadných fotoaparátech: v továrně bylo v sadě 20 aparátů objeveno, že 3 musí být znovu seřízeny. Nedopatřením však došlo k tomu, že tyto 3 přístroje byly vráceny do série a ta se teď musí prohlédnout znovu. a) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout více než 17 přístrojů? b) Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset prohlédnout právě 17 přístrojů? c) Jaký je nejpravděpodobnější počet přístrojů, které budeme muset prohlédnout? 38. Sekretářka má n různých dopisů a stejný počet obálek určený adresátům. Dopisy vkládá do obálek náhodně. Určete pravděpodobnost, že: a) všechny dopisy se dostanou do správné obálky, b) právě dva dopisy budou ve špatné obálce, c) aspoň jeden dopis se dostane do správné obálky. 39. První skupina studentů vyřeší úlohu s pravděpodobností 2/5 a druhá s pravděpodobností 1/3. Každá skupina se snaží úlohu nezávisle vyřešit. S jakou pravděpodobností bude úloha vyřešena? 40. Házíme dvěma hracími kostkami. Jev A znamená, že na první kostce padlo liché číslo, jev B znamená, že na druhé kostce padlo sudé číslo, jev C znamená, že součet obou čísel je lichý. Jsou náhodné jevy A, B, C nezávislé? Jsou náhodné jevy A, B, C po dvou nezávislé? 41. Roztržitý pan profesor navštívil během dne 4 obchody. V každém obchodě s pravděpodobností 1/4 zapomněl deštník. Domů přišel bez deštníku. Jaká je pravděpodobnost, že ho zapomněl ve čtvrtém obchodě? 42. První dítě z dvojčat je chlapec. Jaká je pravděpodobnost toho, že i druhé dítě je chlapec, jestliže je u dvojčat pravděpodobnost narození dvou chlapců rovna p, dvou děvčat rovna q a u dvojčat obojího pohlaví je pravděpodobnost dřívějšího narození stejná pro obě pohlaví? 43. V osudí je 8 koulí (5 bílých a 3 černé). Vytáhneme postupně dvě koule (nevracíme je zpět do osudí). Určete pravděpodobnost, že právě jedna z dvou vytažených koulí je bílá. 44. Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci jménem Jakub a 2 dívky jménem Katka. Martina tvrdí, že potkala někoho ze třídy 1.A. Jaká je pravděpodobnost, že potkala: a) Jakuba? b) Katku? Martina upřesní svou výpověď. Tvrdí, že potkala chlapce ze třídy 1.A. Jak se změní odpovědi na výše položené otázky? 45. Finále soutěže Miss se účastní 12 dívek. Podle předběžných anket se zdá, že nejvyšší šance zvítězit mají dívky Kateřina, Lucie a Markéta. Kateřině je předpovídáno vítězství s pravděpodobností 0,2, Lucii s pravděpodobnosti 0,1 a Markétě s pravděpodobnosti 0,3. Těsně před začátkem finále se však Kateřina rozhodne odstoupit ze soutěže. Jak se změní pravděpodobnost vítězství Lucie a Markéty? 46. Z balíčku 32, tzv. mariášových karet vytáhneme postupně dvě karty, přičemž kartu po vytažení nevracíme zpět do balíčku. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty budou esa? (Balíček mariášových karet obsahuje 4 esa.) 47. Z balíčku 32, tzv. mariášových karet vytáhneme postupně dvě karty, přičemž první vytaženou kartu po vytažení vracíme zpět do balíčku. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty budou esa? (Balíček mariášových karet obsahuje 4 esa.) 19

20 48. Výstřední profesor matematiky zkouší každou hodinu jednoho chlapce a jednu dívku. Přitom používá následující metodu: Má připravenou krabici, která obsahuje 3 černé lístky s velmi obtížnými úlohami a 6 bílých lístků se snadnými otázkami. Každý ze studentů si musí se zavřenýma očima jeden z lístků vylosovat. Vylosované lístky se již do krabice nevrací. Ke zkoušeni byli vybráni Jirka a Petra. a) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si černý lístek vytáhne i Petra? b) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si Petra vytáhne bílý lístek? c) Jirka je zamilovaný do Petry a proto je ochoten přijmout obtížnou úlohu, jen aby zvýšil šanci Petry na získáni snadné úlohy. Měl by losovat jako první, nebo nechat Petru, aby jako první losovala ona? 49. V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední žalářník však dá vězni šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu, že zítra příjde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození. 50. Představte si, že vezmete sklenici vody (2 dl) a vylijete ji do oceánu. Vlivem koloběhu vody (proudy, příliv, odliv, déšť a odpařování) se postupně promíchá voda na této planetě. O 5 let později jdete k nějakému jinému oceánu a naberete z něj vodu do jiné sklenice (o stejném objemu). Kolik molekul vody z první sklenice skončí v té druhé? (Potřebné informace najdete na: molekula vody váží 2,99 s kg (dle ostatní potřebné informace jsou obecně známé, popřípadě snadno dohledatelné na internetu.) 51. Favority Wimbledonu jsou Rafael Nadal a Roger Federer. Sázkaři tipují, že Nadal vyhraje s pravděpodobnosti 0,25 a Federer s pravděpodobnosti 0,20. Představte si, že Rafael Nadal by z důvodu zranění v 1. kole musel odstoupit. Jaká by pak byla pravděpodobnost, že Wimbledon vyhraje Roger Federer? GEOMETRICKÁ PRAVDĚPODOBNOST 1. Struna dlouhá 1m je zcela náhodně přestřižena na dvě části. S jakou pravděpodobností je poměr délky delší části ku délce kratší části větší než 3:1? 2. Do kruhu o poloměru R je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jaká je pravděpodobnost, že čtyři body náhodně umístěné do tohoto kruhu budou uvnitř trojúhelníka? (0,029) 3. Na zastávku místní dopravy přijíždí autobus každých 7 minut a zdrží se 0,5 minuty. Jaká je pravděpodobnost, že příjdu a zastihnu autobus na zastávce? (0,07) 20

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)

5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b) TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení

EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT. 7. cvičení EXPLORATORNÍ ANALÝZA DAT 7. cvičení Teorie pravděpodobnosti x Statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje zákonitosti týkající se náhodných jevů, používá se k modelování náhodností a neurčitostí, které

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Diskrétní pravděpodobnost

Diskrétní pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability

Pracovní list č. 3 Charakteristiky variability 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

A 2.C. Datum: 13.5.2010

A 2.C. Datum: 13.5.2010 Jméno: Řešení Datum: 13.5.2010 A 2.C 1) Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže: a) Na pořadí vozidel nejsou

Více

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít

0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít 0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.

Při určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál. Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin

Více

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků

pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Základy statistiky, kombinační úsudek v úlohách Klíčová slova: tabulky, grafy, diagramy Autor: Mlynářová 1 Základy statistiky Statistika je vědní obor, který se zabývá

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Kombinatorika. Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika 1. KOMBINATORIKA Průvodce studiem Na střední škole se někteří z vás seznámili se základními pojmy z kombinatoriky. V této kapitole tyto pojmy zopakujeme a prohloubíme vaše znalosti. Předpokládané znalosti

Více

Přednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza

Přednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza Přednáška 5 Výběrová šetření, Exploratorní analýza Pravděpodobnost vs. statistika Výběrová šetření aneb jak získat výběrový soubor Exploratorní statistika aneb jak popsat výběrový soubor Typy proměnných

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Co je to statistika? teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat Jak získat data?

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_17 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Téma 2. Řešené příklady

Téma 2. Řešené příklady Téma. Řešené příklady 1. V tabulce č. 1. jsou uvedeny údaje o spotřebě polotučného sušeného a polotučného tekutého mléka v jednotlivých létech. Tab. 1. (mil. l) \ rok 1998 1999 000 001 00 003 004 005 Polotučné

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo

Více

3 PRAVDĚPODOBNOST. Základní vztahy: Pravděpodobnost negace jevu A: P A 1 P A

3 PRAVDĚPODOBNOST. Základní vztahy: Pravděpodobnost negace jevu A: P A 1 P A 3 RAVDĚODOBNOST Základní vztahy: ravděpodobnost negace jevu A: A 1 A ravděpodobnost sjednocení jevů A,B: A B A B A B - pro disjunktní (neslučitelné) jevy A, B: A B A B ravděpodobnost průniku jevů A, B:

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109

( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

4. Stezkou, která vede na vrchol hory, vystupuje turista rychlostí 2,5 km/h, sestupuje rychlostí 5 km/h. Jakou průměrnou rychlostí jde?

4. Stezkou, která vede na vrchol hory, vystupuje turista rychlostí 2,5 km/h, sestupuje rychlostí 5 km/h. Jakou průměrnou rychlostí jde? 1. Při zjišťování počtu nezletilých dětí ve třiceti vybraných rodinách byly získány tyto výsledky: 1, 1, 0, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 4, 3, 3, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2. Uspořádejte

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Základy statistiky pro obor Kadeřník

Základy statistiky pro obor Kadeřník Variace 1 Základy statistiky pro obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Aritmetický průměr

Více

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

výška (cm) počet žáků

výška (cm) počet žáků Statistika 1) Ve školním roce 1997/119 bylo v Brně 3 základních škol, ve kterých bylo celkem 1 tříd. Tyto školy navštěvovalo 11 5 žáků. Určete a) kolik tříd průměrně měla jedna ZŠ, b) kolik žáků průměrně

Více

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu

Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu Doporučené příklady k procvičení k 2. Průběžnému testu - Statistika v příkladech Marek a kol. (2013) - kapitola 2.3, 9 řešené příklady 2.52-2.53, 2.58a,b - kapitola 3.1 o řešené příklady: 3.1, 3.2, 3.4

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky.

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Biostatistika Cvičení - pracovní listy Martina Litschmannová, Kateřina Janurová 5.května

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Poměry a úměrnosti. Poměr dvou čísel je matematický zápis a : b, ve kterém a,b jsou nezáporná, nejčastěji přirozená čísla, symbol : čteme ku

Poměry a úměrnosti. Poměr dvou čísel je matematický zápis a : b, ve kterém a,b jsou nezáporná, nejčastěji přirozená čísla, symbol : čteme ku Poměry a úměrnosti Poměr dvou čísel je matematický zápis a : b, ve kterém a,b jsou nezáporná, nejčastěji přirozená čísla, symbol : čteme ku S poměrem lze pracovat jako se zlomkem a : b = a b porovnávat,

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

1BMATEMATIKA. 0B9. třída

1BMATEMATIKA. 0B9. třída BMATEMATIKA 0B. třída. Na mapě v měřítku : 40 000 je vyznačena červená turistická trasa o délce cm. Za jak dlouho ujde tuto trasu turista, který se pohybuje stálou rychlostí 4 km/h? (A) za minut (B) za

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Statistika. 2) U 127 zaměstnanců firmy byl zjištěn počet jejich rodinných příslušníků a výsledek shrnut v tabulce:

Statistika. 2) U 127 zaměstnanců firmy byl zjištěn počet jejich rodinných příslušníků a výsledek shrnut v tabulce: Statistika 1) Každý z 250 žáků školy navštěvuje právě jeden volitelný předmět, kterými jsou angličtina, němčina, ruština a španělština. Určete relativní četnost je-li rozdělení četností je dáno tabulkou,

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

1. Ve třídě je celkem 28 žáků. Chlapců je o 4 méně než děvčat. Kolik je ve třídě chlapců a kolik děvčat? 2. Jana uspořila dvakrát více než Jitka,

1. Ve třídě je celkem 28 žáků. Chlapců je o 4 méně než děvčat. Kolik je ve třídě chlapců a kolik děvčat? 2. Jana uspořila dvakrát více než Jitka, 1. Ve třídě je celkem 28 žáků. Chlapců je o 4 méně než děvčat. Kolik je ve třídě chlapců a kolik děvčat? 2. Jana uspořila dvakrát více než Jitka, Alena o 27 Kč méně než Jana. Celkem uspořily 453 Kč. Kolik

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Biostatistika. Cvičení pracovní listy

VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Biostatistika. Cvičení pracovní listy VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Biostatistika Cvičení pracovní listy Martina Litschmannová 5/10/2013 Jméno:. KOMBINATORIKA PŘÍKLADY 1. V prodejně vozů

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA LUCIE DOUDOVÁ DAVID HAMPEL JAROSLAV MICHÁLEK HANA PYTELOVÁ Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA LUCIE DOUDOVÁ DAVID HAMPEL JAROSLAV MICHÁLEK HANA PYTELOVÁ Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA LUCIE DOUDOVÁ DAVID HAMPEL ZUZANA HRDLIČKOVÁ JAROSLAV MICHÁLEK HANA PYTELOVÁ MAREK SEDLAČÍK SBÍRKA ÚLOH Z PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY BRNO 2006 preprint

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více