Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace"

Transkript

1 Vysoke ucen technicke v Brne Fakulta informacnch technologi Projekt v ramci predmetu TJD Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace 2005 Radek Bidlo

2 Abstrakt Tento dokument popisuje zakladn modely formalnch jazyku zalozene na automatech a zavad nektere dals modikace, kterymi je mozne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Detailneji je pojednano o oboustrannych zasobnkovych automatech nad volnou grupou, ktere vychaz z klasickych zasobnkovych automatu. Na zaver je prezentovan dukaz ekvivalence trdy jazyku prijmanych temito automaty s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku.

3 Obsah 1 Uvod 4 2 Zakladn pojmy a denice 2.1 Symbol, abeceda,retezec. 2.2 Jazyk nad abecedou Chomskeho hierarchie jazyku Grupy a volne grupy Konecne a zasobnkove automaty 3.1 Konecne automaty Zasobnkove automaty Konecne automaty nad grupami 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku Diskuse ke konecnym automatum Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Frontove gramatiky Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Diskuse k zasobnkovym automatum Zaver 20

4 1 Uvod Automaty predstavuj zakladn formaln model jakehokoliv vypoctu. Ten je zpravidla reprezentovan urcitou posloupnost prechodu konkretnho automatu mezi jednotlivymi jeho konguracemi podle presne danych pravidel, ktere jsou soucast denice automatu. Vypocet pak muzeme prohlasit za uspesny, nachaz-li se automat po proveden poslednho vypocetnho kroku v konguraci, ktera je de- novana jako clova. V opacnem prpade je vypocet neuspesny. Clova kongurace byva zpravidla reprezentovana koncovym stavem automatu, ale mohou pribyt i dals podmnky jako je naprklad vyprazdnen zasobnku a podobne. Samozrejmost je kompletn nacten vstupnho retezce. Z hlediska teorie formalnch jazyku chapeme automaty jako tzv. akceptory jazyku. Jazyk prijmany danym automatem pak zpravidla denujeme jako mnozinu vsech vet, ktere je schopen automat zpracovat a pritom po proveden poslednho kroku skoncit v nektere z clovych kongurac. Posloupnost takovychto kroku vedoucch do nektere clove kongurace pri prijman urcitehoretezce je pak mozno chapat jako uspesny vypocet daneho automatu. Nejznamejs z automatu, ktere se behem vyvoje teoreticke informatiky ustalily jako jakesi zakladn verze, jsou zejmena konecne automaty, zasobnkove automaty a Turingovy stroje. My se budeme podrobneji zabyvat konecnymi a zasobnkovymi automaty. V nasledujcch kapitolach si uvedeme vzdy presnou denici a ukazeme, jakou trdu jazyku jsou schopny ve sve zakladn variante denovat. Dale zavedeme nektera jejich rozsren prpadne omezen a budeme studovat akceptacn schopnosti nove vzniklych modelu. Podrobne se zamerme zejmena na automaty zasobnkove. U ctenare se predpoklada zakladn znalost teorie formalnch jazyku a algebry, viz [1] a [2]. 4

5 2 Zakladn pojmy a denice V teto kapitole zopakujeme naproste zaklady teorie formalnch jazyku a denujeme si formalne pojmy jako jsou abeceda,retezec, a jazyk nad abecedou. Zakladn denice jsou prevzaty z [3]. 2.1 Symbol, abeceda, retezec Denice 2.1 Abecedou nazvemekazdoukonecnouneprazdnoumnozinuprvku, ktere nazavame symboly teto abecedy. Libovolna sekvence symbolu urcite abecedy tvor retezec. Oznacme-li symbolem " prazdny retezec, tedy retezec, ktery neobsahuje zadne symboly, muzeme vsechny retezce denovat rekurzvne. Denice 2.2 Necht' je libovolna abeceda. 1. " jeretezec nad 2. je-li xretezec nad a a 2, pak take xa jeretezec nad 2.2 Jazyk nad abecedou Uvazujme libovolnou abecedu. Oznacme mnozinu vsech retezcu nad abecedou vcetne retezce prazdneho a + mnozinu vsech retezcu nad abecedou vyjma retezce prazdneho, tedy + = f"g. Jinymi slovy, + obsahuje vsechny neprazdne retezce nad abecedou. resp. + se nazyva iterace resp. pozitivn iterace mnoziny. Denujme nyn jazyk nad abecedou. Denice 2.3 Necht' je abeceda a necht' L. Potom L je jazyk nad abecedou. Z teto denice je zrejme, ze jazykem nad urcitou abecedou muze byt vlastne libovolna podmnozina iterace teto mnoziny. Otazkou zustava, jak takovy jazyk popsat. Moznost je nekolik. Jedna z nejmene praktickych je prmy vycet prvku jazyka. Tato varianta je vsak zcela nepouzitelna v prpade nekonecnych jazyku a problemy nastavaj jiz pri pokusu o popis rozsahlych konecnych jazyku. Proto byly vyvinuty urcite formaln modely, ktere poskytuj konecne prostredky pro popis obecne nekonecnych jazyku. Tyto modely muzeme rozdelit do dvou zakladnch skupin gramatiky a automaty. My se v tomto projektu zamerme prave na automaty. 2.3 Chomskeho hierarchie jazyku V roce 1956 rozdelil americky jazykovedec Avram Noam Chomsky jazyky do hierarchie podle tvaru prepisovacch pravidel gramatik, kterymi mohou byt generovany. Tato hierarchie byla jednm z nejvyznamnejsch objevu dvacateho stolet v oblasti teorie formalnch jazyku a dosud nese jeho jmeno. Prestoze se postupem casu objevily dals formaln modely, ktere svymi vyjadrovacmi schopnostmi 5

6 zasahuj pres nekolik trd jazyku Chomskeho hierarchie (tedy jsou schopny popsat z kazde skupiny pouze nektere jazyky), jedna se stale o jedno ze zakladnch clenenjazykuatrdyjazykutetohierarchiebyvajsrovnavanyvmnohadukazech ekvivalence trd jazyku denovanych jinymi formalnmi modely. Protoze je tento dokument zameren hlavne na automaty jako prostredky pro popis formalnch jazyku, popisme si jednotlive trdy jazyku Chomskeho hierarchie pouze neformalne. jazyky typu 0 zahrnuj vsechny jazyky s gramatickym zakladem; vsechny tyto jazyky jsou prijmany Turingovymi stroji a jsou zname taktez pod oznacenm rekurzvne vycslitelne jazyky jazyky typu 1 zname tez pod oznacenm kontextove jazyky; vsechny tyto jazyky jsou prijmany linearne ohranicenymi nedeterministickymi Turingovymi stroji jazyky typu 2 oznacovany tez jako bezkontextove jazyky; tyto jazyky jsou prijmany nedeterministickymi zasobnkovymi automaty (viz dale) a predstavuj urcity teoreticky zaklad syntaxe mnoha programovacch jazyku jazyky typu 3 oznacovany vetsinou jako regularn jazyky, ktere jsou prijmany konecnymi automaty (viz dale) Jednotlive trdy jsou vzajemne vazany ostrou inkluz. Oznacme-li symboly RE, CS, CF a REG postupne trdu rekurzvne vycslitelnych, kontextovych, bezkontextovych a regularnch jazyku, potom plat REGCFCSRE. 2.4 Grupy a volne grupy V teto casti uvedeme velmi strucne denici grupy a jej zobecnene varianty volne grupy (zejmena s ohledem na nase dals pouzit v kapitole 5). Teorie grup tvor samostatnou algebraickou disciplnu a je velmi obsahla. My si zde proto uvedeme opravdu jen to nejdulezitejs, co budeme v dalsch castech tohoto dokumentu potrebovat. Denice 2.4 Necht' V je mnozina. Strukturu(V; ;e) nazveme grupou, jestlize :V V! V je binarn asociativn operator (uzavreny na V) existuje unikatn prvek e 2 V takovy, ze e a=a e=a pro kazde a 2 V pro kazde a 2 V existuje a 2 V takove, ze a a=a a=e; Denice 2.5 Necht' V je abeceda a necht' je binarn asociativn operator konkatenace. Strukturu (V ; ;") nazveme volnou grupou generovanou mnozinou V a operac konkatenace, jestlize pro kazde dvaretezce x;y 2 V plat x y 2 V existuje unikatn retezec " zvany prazdny, ktery je neutralnm prvkem teto struktury (tj. pro kazdyretezec x 2 V plat x "=" x=x) prokazdyretezectvarux=x1x2:::xn 2 V,n0existujex=xn:::x2x1 zvany inverzn takovy, ze plat x x=x x=" 6

7 3 Konecne a zasobnkove automaty Automaty, chapane jako formaln modely vypoctu nebo jako akceptory jazyku, lze rozdelit do nasledujcch trd. 1. Konecne automaty 2. Zasobnkove automaty 3. Turingovy stroje My se v tomto dokumentu zamerme na konecne a zasobnkove automaty. V teto kapitole si uvedeme jejich zakladn denici. V dals kapitole potom ukazeme, jak vhodnym rozsrenm zakladnch modelu muzeme vyrazne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Poznamenejme, ze dale se jiz automaty nebudeme zabyvat ve smyslu modelu vypoctu, ale ve smyslu akceptoru jazyku. 3.1 Konecne automaty Konecnyautomatjenejslabsformalnmodelzvyseuvedeneskupiny.Jakjsmejiz uvedli vyse, konecne automaty denuj pouze trdu regularnch jazyku. Uved'me si nyn jeho formaln denici. Denice 3.1 Konecny automat je petice, M =(Q; ;R;q0;F), kde Q je konecna mnozina vnitrnch stavu je konecna vstupn abeceda Rjekonecnamnozinapravideltvarupa! q,kdep;q 2 Q,a 2 ;vprpade, ze plat a 2 [f"g, nazyva se konecny automat rozsreny; pokud navc pro kazdy symbol a 2 plat, ze existuje pro kazdy stav q 2 Q nejvyse jedno pravidlo qa! p, pro nejake p 2 Q, nazyva se takovyto konecny automat deterministicky q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac konecneho automatu M rozumme retezec qx, kde q 2 Q a x 2. Pokud qax a px jsou dve kongurace a qa! p 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace qax do kongurace px podle pravidla qa! p a pseme qax ` px[qa! p] nebo strucneji qax ` px. Symbol ` oznacuje relaci prechodu mezi jednotlivymi konguracemi. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 ^q0w ` f ^f 2 Fg Poznamenejme na zaver tohoto odstavce, ze deterministicke konecne automaty maj stejnou vyjadrovac schopnost jako nedeterministicke, tedy denuj rovnez trdu regularnch jazyku. Clenen z tohoto hlediska vsak pro nas nen podstatne a proto se jm nebudeme zabyvat. 7

8 3.2 Zasobnkove automaty Zasobnkovy automat(pushdown automaton, PDA) svym zpusobem predstavuje urcite rozsren konecneho automatu v tom smyslu, ze obsahuje zasobnk jako vnejspamet'teoretickyneomezenevelikosti.jehogenerativnslajevchomskeho hierarchiiostupenvyse jakjsmejizuvedlidrve,nedeterministicke zasobnkove automaty denuj trdu bezkontextovych jazyku. Na rozdl od konecnych automatu,deterministickezasobnkoveautomatymajnizsvyjadrovacschopnostnez nedeterministicke. Oznacme-li PDA(NED) trdu jazyku prijmanych nedeterministickymi zasobnkovymi automaty a PDA(DET) trdu jazyku prijmanych deterministickymi zasobnkovymi automaty, pak plat REG PDA(DET) PDA(NED)=CF Pokud budeme v dalsch castech hovorit o zasobnkovem automatu (nebo jeho modikaci), budeme mt vzdy na mysli nedeterministickou variantu. Uved'me si nyn formaln denici. Denice 3.2 Zasobnkovy automat je n-tice M = (Q; I; PD;R;Z;q0;F), kde Q je konecna mnozina stavu I je konecna vstupn abeceda PD je konecna zasobnkova abeceda R je konecna mnozina pravidel tvaru Apa! wq, kde A 2 PD, p;q 2 Q, a 2 I [f"g, and w 2 PD Z PD je pocatecn symbol zasobnku q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac zasobnkoveho automatu M rozumme retezec yqx, kde q 2 Q, y 2 PD a x 2 I. Pokud uaqav a uwpv jsou dve kongurace a Aqa! wp 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace uaqav do kongurace uwpv podle pravidla Aqa! wp a pseme uaqav ` uwpv[aqa! wp] nebo strucneji uaqav ` uwpv. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M muze byt denovan tremi zpusoby: a) prechodem do koncoveho stavu: L(Mf) = fwjw 2 I ^Zq0w ` rf; where f 2 F;r 2 PD g b) svyprazdnenmzasobnku: L(Me)=fwjw 2 I^Zq0w ` p;where p 2 Qg c) prechodem do koncoveho stavu a s vyprazdnenm zasobnku: L(Mfe) = fwjw 2 I ^Zq0w ` f; where f 2 Fg Klasicke konecne a zasobnkove automaty jsou v teorii formalnch jazyku vseobecne zname a tvor vyznamny formaln zaklad pro nescetne mnozstv praktickych aplikac (zejmena v oblasti lexikaln a syntakticke analyzy). V dalsch castechsialeukazemenekteredalsprostredky,jakymimuzemeschopnostikonecnych a zasobnkovych automatu vylepsit. 8

9 4 Konecne automaty nad grupami Napln teto kapitoly je cerpana z [4] a [5]. Necht' K = (M;;e) je grupa s bazovou mnozinou M, binarn operac a neutralnm prvkem e. Denice 4.1 Rozsreny konecny automat (extended nite automaton, EFA) nad grupou K jesestice A=(Q; ;K;R;q0;F), kde Q,, q0, F maj stejny vyznam jako v prpade bezneho konecneho automatu, tedy konecna mnozina stavu, konecna vstupn abeceda, pocatecn stav a mnozina koncovych stavu (v tomto porad) R:Q ( [f"g)! Pf(Q M) Takto denovany automat muzeme povazovat za bezny konecny automat, ktery ma navc registr pro uchovan libovolneho prvku z M. Relace (q;m) 2 R(s;a), kde q;s 2 Q, a 2 [f"g, m 2 M znamena, ze automat A zmen svuj soucasny stav s na stav q, precte ze vstupn pasky symbol a a do registru uloz hodnotu xm, kde x je stary obsah registru. Startovac hodnota registru je e. Kongurac takovehoto automatu rozumme trojici (q;u;m), kde q 2 Q, u 2 a m 2 M.Necht'potom(q;aw;m)a(s;w;mr)jsoudvekongurace, r 2 M, a necht' (s;r) 2 R(q;a). Pak pseme (q;aw;m) `(s;w;mr) a rkame, ze automat A provad krok (prechod) z kongurace (q;aw;m) do kon- gurace (s;w;mr) podle (s;r) 2 R(q;a). My se dale zamerme na rozsrene konecne automaty nad volnymi grupami. Pripomenme, ze pro kazdou (ne-abelovskou) grupu K existuje homomorsmus z volne grupy do K. Volnou grupu generovanou nejakou neprazdnou spocetnou mnozinou M oznacme F(M). Grupu s n generatory potom oznacme jako Fn. Dale oznacme L(EFA(Fn)) trdu jazyku prijmanych rozsrenymi konecnymi automaty nad volnymi grupami s n generatory. Pripomenme z[7] denici aditivn valencn gramatiky(additive valence grammar),kteragenerujejazykpodobnymzpusobemjakojedenovanjazykprijmany vyse popsanym rozsrenym konecnym automatem. Aditivn valencn gramatika je petice, G = (N;T;P;S;v), kde (N;T;P;S) je bezna gramatika Chomskeho hierarchie a v je zobrazen z P do mnoziny celych csel. Jazyk generovany gramatikou G je tvoren vsemi retezce nad terminaln abecedou T takovymi, ktere byly vygenerovany posloupnost pravidel p1, p2,:::, pn 2 P a zaroven v(p1) + v(p2)+::: +v(pn) = 0. Protoze F1 a aditivn grupa celych csel jsou isomorfn, potom kazdy jazyk generovany nejakou regularn gramatikou s aditivn valenc je obsazen v L(EFA(F1)) a naopak. 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku V predchozch kapitolach jsme si jiz denovali vse potrebne pro to, abychom mohli uvest vyznamny vysledek teto kapitoly prevzaty z [5]. 9

10 Veta 4.1 CF= L(EFA(F2)) Jinymi slovy tento matematicky zapis rka, ze kazdy bezkontextovy jazyk muze byt prijman rozsrenym zasobnkovym automatem nad volnou grupou se dvema generatory. Uved'me si alespon nastin dukazu teto vety, ktery bude sestavat ze dvou cast. PrvncastdokazujeinkluziCF L(EFA(F2)),tedyskutecnost,zetrdabezkontextovychjazykujeobsazenavtrdejazykuprijmanychrozsrenymikonecnymi automaty nad volnymi grupami s dvema generatory. Proof Necht' L je bezkontextovy jazyk prijmany nejakym zasobnkovym automatem P =(Q;V; ;R;Z;q0;F) koncovym stavem a vyprazdnenm zasobnku, kde = fx1;x2;:::;xng, X1 = Z. Bez ztraty obecnosti dale muzeme predpokladat, ze pro libovolny koncovy stav jiz nen denovan zadny prechod. Polozme M = fc1;c2;:::;cng a zaved'me zobrazen :! F(M) jako (Xi) = ci, 1 n. Nyn konstruujme rozsreny konecny automat nad volnou grupou F(M), A = (Q[ fs0g;v;f(m);f;s0;f), kde f(s0;")=f(q0;c1)g a f(q;a)= [ f(p;((x)) 1(Ym):::(Y2)(Y1))jXqa! Y1Y2:::Ymp 2 Rg[ X2 [ X2 f(p;((x)) 1jXqa! p 2 Rg pro vsechna a 2 V [ f"g a q 2 Q. Matematickou indukc pak lze ukazat, ze R1R2:::Rmqxy `n R0 1 R0 2 :::R0 s q0y v P prave kdyz (q;xy;(rm)(rm 1):::(R1)) `n (q0;y;(r0 s )(R0 s 1 ):::(R0 1 )) v A. Oba automaty pak jsou v kazdem kroku ve stejnem stavu a neutraln prvek volne grupy se v registru automatu A objev prave v okamziku, kdyz se vyprazdn zasobnk automatu P. Jazyky generovane automatem A a automatem PDA jsou tedy shodne. Protoze kazda volna grupa je zaroven podgrupou binarn volne grupy, je dukaz hotovy. Dukaz inkluze L(EFA(F2)) CF uved'me jiz pouze strucne. V tomto prpade budeme na pocatku uvazovat libovolny rozsreny konecny automat nad volnou grupou s dvema generatory. Po konstrukci vhodne prave linearn gramatiky dale denujeme tzv. smesovac operaci (shue operation) o rekurzvne takto: (uo")=("ou)=fug a (auobw)=a(uobv)[b(auov) kde u;v jsou retezce a a;b symboly. Prirozene rozsren teto operace na jazyky provedeme jako [ L1oL2 = (uov) u2l1;v2l2 10

11 S vyuzitm Dykova jazyka (Dyck language)radu 2 (viz strana 603 v [3]) a vlastnost uzaveru rodiny bezkontextovych jazyku dokazeme, ze L(A) je skutecne bezkontextovy. Prpadne zajemce odkazujeme na [5], kde je dukaz kompletn. Jiz bez dukazu si uved'me jakysi souhrn teto casti, ktery je prevzat rovnez z [5]. Veta 4.2 REG=L(EFA(F0)) L(EFA(F1)) L(EFA(F2))=CF Zminme se strucne i o deterministickych konecnych automatech nad volnymi grupami. Je vseobecne znamo, ze bezne deterministicke a nedeterministicke konecne automatymajstejnouvyjadrovacschopnost.ztohotopohledujevsakprekvapujc, ze deterministicke konecne automaty nad volnymi grupami maj mens vyjadrovac slu nez jejich nedeterministicke varianty. Podvame-li se vsak na tuto problematiku ze strany bezkontextovych jazyku, jejichz formalnmi modely jsou i zasobnkove automaty, jedna se vlastne o prirozenou vlastnost, nebot' deterministicke zasobnkove automaty jsou taktez slabs nez jejich nedeterministicke varianty. Vce o teto problematice lze opet najt v [5]. 4.2 Diskuse ke konecnym automatum V teto kapitole jsme si demonstrovali nektere dals modikace beznych konecnych automatu. Vidme, ze jejich vhodnym rozsrenm jsme schopni do urcite mry zvysitjejichvyjadrovacschopnosti.nejsmetedyomezenipouzetrdouregularnch jazyku. V nasledujc kapitole se budeme pro zmenu zabyvat zasobnkovymi automaty a ukazeme, ze podobny prstup je aplikovatelny i v teto oblasti. 11

12 5 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Mnozina vsech retezcu nad urcitou abecedou je obvykle vyjadrena volnym monoidem generovanym symboly teto abecedy a operac konkatenace. Neutralnm prvkem je pak prazdnyretezec". Nad mnozinou vsechretezcu jsou denovany relace prme derivace a dals souvisejc operace. My vsak volne monoidy castecne opustme. Kazdy prvek puvodn abecedy rozsrme o jeho inverzn variantu a mnozinu vsech retezcu nad nove vzniklou abecedou budeme denovat pomoc volnegrupygenerovanetoutoabecedouaoperackonkatenace.kromeneutralnho prvku " zskame i inverzn retezce. Konkatenac kazdeho retezce s jeho inverzn variantou pak zskame prave prazdny retezec " (viz denice 2.4 a 2.5). Tato kapitola je ispirovana clankem [6]. Zavad vsak zcela novy prstup, zjednodusuje konstrukci pravidel automatu a zpruhlednuje dukaz. 5.1 Frontove gramatiky Pro denici a konstrukci oboustrannych zasobnkovych automatu nad volnymi grupami vyuzijeme tzv. frontove gramatiky (viz tez [8]). Denice 5.1 Frontova gramatika je sestice G =(V;T;W;F;s;P), kde V a W jsou dve konecne abecedy, pro ktere plat V \W =? T V, F W s 2(V T)(W F) je axiom P V (W F) V W je konecna relace takova, ze pro kazde a 2 V existuje prvek (a;b;x;c) 2 P. Jestlize u;v 2 V W jsou retezce tvaru u = arb, v = rxc, kde a 2 V, r;x 2 V, b;c 2 W a(a;b;x;c) 2 P,pakrkame,zeu prmoderivujev vefrontovegramatice G podle pravidla (a;b;x;c). Pseme arb ) rxc[(a;b;x;c)] Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany frontovou gramatikou G, je denovan jako L(G) = fw 2 T js ) wf; kde f 2 Fg. Denice 5.2 Leve rozsrena frontova gramatika (viz tez [9]) je sestice G = (V;T;W;F;s;P), kde V;T;W;F a s maj stejny vyznam jako v prpade bezne frontove gramatiky a P V (W F) V W je konecna relace (poznamenejme, ze tato denice nevyzaduje, aby pro kazde a 2 V existovalo nejake pravidlo (a;b;x;c) 2 P). Krome toho predpokladejme, ze # 62(V [ W). Jestlize u;v 2 V f#gv W jsou retezce tvaru u = w#arb, v = wa#rxc, kde a 2 V, r;x;w 2 V, b;c 2 W a (a;b;x;c) 2 P, potom pseme w#arb ) wa#rxc[(a;b;x;c)] 12

13 Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany leve rozsrenou frontovou gramatikou G je denovan jako L(G)=fy 2 T j#s ) w#yf pro nejake w 2 V a f 2 Fg. Oznacme QG trdu jazyku generovanych frontovymi gramatikami. Plat nasledujc veta. Veta 5.1 QG=RE. Dukaz je mozne nalezt v [8]. Nasledujc pomocna veta bude vyuzita pri konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou. Lemma 5.2 Pro kazdy rekurzvne vycslitelny jazyk L existuje leve rozsrena frontova gramatika G takova, ze L = L(G) a pro kazde pravidlo (a;b;x;c) 2 P plat a 2(V T), b 2(W F) a x 2((V T) [T ). Dukaz viz [3]. 5.2 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami M =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM), kde Q je konecna mnozina stavu T je konecna vstupn abeceda Z je konecna zasobnkova abeceda Denice 5.3 Oboustranny zasobnkovy automat nad volnou grupou je n-tice R je konecna mnozina pravidel tvaru Z1jZ2px! 1j2q, kde Z1;Z2 2 Z, 1;2 2 Z, x 2 T a p;q 2 Q; poznamenejme, ze takovyto automat muze nactat v jednom vypocetnm kroku vce nez jeden vstupn symbol (transformace na klasicky automat ctouc nejvyse jeden symbol ze vstupu je trivialn) z je pocatecn stav ZL resp.zr jepocatecnsymbolleveresp.pravestranyzasobnku,zl;zr 2 Z FM Q je mnozina koncovych stavu Kongurac oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou rozumme retezec qw, kde q 2 Q, 2 Z a w 2 T. Pokud LRpxy a LRqy jsou dve kongurace a LjRpx! LjRq 2 R, kde x;y 2 T, p;q 2 Q, L;R 2 Z a L;;R 2 Z, pak automat M provad prechod z kongurace LRpxy do kongurace LRqy podle pravidla LjRpx! LjRq a pseme LRpxy ` LRqy[LjRpx! LjRq] Relace `n, `+ a ` oznacuj posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn a reexivn-tranzitivn uzaver relace ` v tomto porad a jsou denovany obvyklym zpusobem. 13

14 Jazyk prijmany oboustrannym zasobnkovym automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 T ;ZRZLzw ` "f, kde f 2 FMg. Vsimneme si, zeretezce vyskytujc se na oboustrannem zasobnku jsou tvoreny volnou grupou generovanou abecedou Z operac konkatenace. Retezec w je automatem prijat pouze tehdy, pokud je beze zbytku nacten, zasobnk je prazdny a automat se po proveden poslednho kroku nachaz v nekterem koncovem stavu. Nyn se jiz dostavame k hlavnmu vysledku tohoto projektu. Oznacme 2PDA trdu jazyku prijmanych oboustrannymi zasobnkovymi automaty nad volnymi grupami. Veta 5.3 2PDA =RE Dukaz Je dokazano, ze trda jazyku generovanych frontovymi gramatikami (QG) je totozna s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku (RE). Stac tedy dokazat, ze pro kazdou frontovou gramatiku G =(V;T;W;F;Sq0;P) je mozne sestrojit oboustrannyzasobnkovyautomatnadvolnougrupoum =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM) takovy, ze L(G) = L(M). Bez ztraty obecnosti predpokladejme, ze G splnuje podmnky popsane v Lemmatu 5.2. Konstrukce Konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou provedeme aplikac nasledujcch kroku: Q=ff;zg[fhq;1i;hq;2ijq 2 Wg Z = fzl;zr;zl;zrg[(v T)[N, kde N = fxjx 2(V T)g FM = ffg Mnozina pravidel R je zkonstruovana nasledujcm zpusobem: 1) pro axiom Sq0 gramatiky G, kde S 2 (V T), q0 2 (W F), pridej ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i do R 2) pro kazde (A;q;x;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), x 2(V T), pridej ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i do R 3) pro kazde q 2 W pridej ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i do R 4) pro kazde (A;q;y;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), y 2 T, pridej ZLjZRhq;2iy! ZLAjZRhp;2i do R 5) pro kazde (A;q;y;t) 2 P, kde A 2 (V T), p 2 (W F), t 2 F, pridej ZLjZRhq;2iy! Aj"f do R Nyn je konstrukce hotova. Pro dals casti dukazu zaved'me nasledujc notaci. Jestlize hq;1i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu generovan nonterminalu. Podobne jestlize hq;2i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu cten terminalu (pro nejake q 2 W). Nyn musme dokazat rovnost L(G) = L(M), tedy inkluze L(G) L(M) a L(M) L(G). Nejprve dokazeme prvn inkluzi, tedy L(G) L(M). Proved'me to postupnou demonstrac tvrzench A, B a C. 14

15 Tvrzen A Jestlize A1:::An#B1:::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1::: :::Bmx1:::xipvG,potomZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i! v M, kde A1;:::;An, B1;:::;Bm 2 (V T), x1;:::;xi 2 (V T), u;p 2 (W F), m 1, n 0,! 2 T, i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bmu )0 A1::: :::An#B1:::Bmu vg.jezrejme,zezlan:::a1a1:::anb1:::bmzrhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen A plat pro kazde i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvarua1:::an#b1:::bmu )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q a vyjadreme ji presneji jako A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1::: :::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G, kde l+2 m. Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `l ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! vm.vp existujepouze jeden typ pravidel schopny provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1::: :::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G. Jsou to pravidla tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F) a xl+1 2 (V T). Podle druheho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlzrhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! v M a tvrzen A tedy plat. Claim B Jestlize A1:::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1::: :::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bip v G, potom ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1::: :::BmZRhp;2ibi+1:::bj v M, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2(V T), a1;:::;ak, b1;:::;bj 2 T, u;p 2(W F), i < m, i < j, k 0. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bma1:::aku )0 A1::: :::An#B1:::Bma1:::aku v G. Je zrejme, ze take ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen B plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvaru A1:::An#B1:::Bma1::: :::aku )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q a vyjadremejipresnejijako A1:::An#B1:::Bma1:::aku )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1::: :::blbl+1q v G, kde l+2 m, k 0, i < j, l+2 j. 15

16 Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M. V tomto prpade existuje pouze jedna moznost jak muze G provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1::: :::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q, a to pomoc pravidla tvaru(bl+1;p; bl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F), bl+1 2 T. Podle ctvrteho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;2ibl+1! ZLBl+1jZRhq;2i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M a tvrzen B plat. Claim C Jestlize A1:::An 1#Anyq ) A1:::An 1An#yzt v G, kde A1;::: :::;An 2(V T), y;z 2 T, q 2(W F), t 2 F, potom ZLAn 1:::A1A1::: :::AnZRhq;2iz ` An:::A1A1:::Anf = "f v M, kde f 2 FM. Gramatika G provad popsanou derivaci pomoc pravidla tvaru (An;q;z;t) 2 P, kde An 2 (V T), z 2 T, q 2 (W F), t 2 F. Podle pateho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhq;2iz! Anj"f, takze odpovdajc krok popsany tvrzenm C se nepochybne v M vyskytuje. Tvrzen C tedy plat. Dohromady tvrzen A, B a C dokazuj, ze skutecne L(G) L(M). Abychom dokazali opacnou inkluzi, tedy L(M) L(G), demonstrujeme postupne platnost tvrzench D, E a F. Claim D AutomatM prijmakazdyretezecw 2 L(M)nasledujcmzpusobem. ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLSSX1 1 X1 2 :::X1 n 1ZRhq1;1iw1w2:::wr ` ZLX1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2ZRhq2;1iw1w2:::wr ` ZLX1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3ZRhq3;1iw1w2:::wr ` ::: ::: ::: ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+1;2iw2:::wr ` ZLXk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+2;2iw3:::wr ` 16

17 ::: ::: ::: ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr ` XmnmXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm f = "f v M,kde w = w1w2:::wr, r 1, w1;:::;wr 2 T, q0;q1;:::;qm+r 1 2(W F), X1 1 ;:::;X1 n 1;X2 1 ;:::;X2 n 2;:::;Xm 1 ;:::;Xm nm 2(V T), n1;n2;:::;nm 0, m 1, 0 k m. Proof of Claim D Nyn prozkoumame vsechny kroky konstrukce mnoziny automatovych pravidel R. Poznamenejme, ze v kazdem uspesnem vypoctu automat M pouzva vzdy pravidla zkonstruovana v kroku b pred tm, nez pouzije pravidla zkonstruovana v kroku b+1, pro b=1;:::;4. V prvnm kroku aplikuje M pravidlo ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i zkonstruovane v casti 1, kde Sq0 je axiom gramatiky G. Toto je jediny zpusob, kterym muze M provest prechod ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr. Vsimneme si, ze v kazdem uspesnem vypoctu automatu je toto pravidlo pouzito prave jednou. Pomoc nej se automat zaroven prepne do modu generovan nonterminalu. V dals casti vypoctu popsane sekvenc prechodu ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr pouzva M pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i zkonstruovana v bodu 2, kde A 2 (V T), x 2 (V T), p;q 2 (W F). Tato cast vypoctu je charakterizovana stavy automatu tvaru hq;1i, q 2(W F). Detailn dukaz teto casti je uveden v tvrzen E. V kroku ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr automat M prepne pomoc pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i zkonstruovaneho v bodu 3 do modu cten nonterminalu. Poznamenejme, ze toto pravidlo je behem jednoho uspesneho vypoctu automatu pouzito prave jednou. Protoze je jeho aplikac zmenen aktualn stav automatu tvaru hq;1i na stav tvaru hq;2i, q 2 (W F), nen jiz zadna dals moznost pouzit pravidel zkonstruovanych v bodech 1 az 3. V dals casti vypoctu popsane sekvenc kroku 17

18 ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr pouzva M pravidla zkonstruovana v bodu 4 a postupne nacta vstupn retezec. Podrobny dukaz teto casti je uveden v tvrzen F. Poslednm krokem automat prejde do koncoveho stavu f 2 FM pomoc nejakeho pravidla tvaru ZLjZRhq;2iy! Aj"f zkonstruovaneho v bodu 5, kde q 2 (W T), y 2 T a A 2 (V T). Pokud je oboustranny zasobnk po proveden tohoto kroku prazdny (po aplikaci grupovych redukc), pak byl vstupn retezec prijat. V opacnem prpade retezec prijat nen, nebot' v mnozine R neexistuje zadne pravidlo obsahujc f 2 FM na sve leve strane. Claim E Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i!vM,potomA1:::An#B1::: :::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bmx1:::xipvG,kde A1;:::;An;B1;::: :::;Bm 2(V T), x1;:::;xi 2(V T), u;p 2(W F), i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Pak ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Rozhodne take A1:::An#B1::: :::Bmu )0 A1:::An#B1:::Bmu v G. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen E plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok UvazujmelibovolnouposloupnostkrokutvaruZLAn:::A1A1::: :::AnB1:::BmZRhu;1i! `l+1 ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! a vyjadreme ji presneji jako ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;1i! `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M, kde q 2 (W F), l+2 m. Podle indukcn hypotezy A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1qvG.Vmno- zine R je pouze jeden typ pravidel schopnych provest posloupnost kroku ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An::: :::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M. Jsou to pravidla tvaru ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i 2 R. Podle konstrukce vsak existuje v G pravidlo tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, takze rovnez A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2::: :::Bmx1:::xlxl+1q v G a tvrzen E plat. Claim F Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1:::BmZRhp;2ibi+1:::bj vm,potoma1::: :::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bipv G, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2 V T, a1;:::;ak;b1;:::;bj 2 T a C;D 2 W F, i < m. 18

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Regulární pologrupy. Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Regulární pologrupy Semestrální práce do předmětu Algebra, Kombinatorika, Grafy Tomáš Masopust Brno, 2006 Obsah Úvod 1 1 Základní definice

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Gramatiky nad volnými grupami 2005 Petr Blatný Abstrakt Tento dokument zavádí pojmy bezkontextové gramatiky nad volnou grupou a E0L gramatiky

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Teoretická informatika Třetí úkol 2 Jan Trávníček . Tato úloha je řešena Turingovým strojem, který je zobrazen na obrázku, který si můžeme

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému

Pumping lemma - podstata problému. Automaty a gramatiky(bi-aag) Pumping lemma - problem resolution. Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 2/22 Pumping lemma - podstata problému BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 10. Vlastnosti regulárních jazyků p. 4/22 Automaty a gramatiky(bi-aag)

Více

Teoretická informatika - Úkol č.1

Teoretická informatika - Úkol č.1 Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je

Více

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat

Více

Teoretická informatika TIN 2013/2014

Teoretická informatika TIN 2013/2014 Teoretická informatika TIN 2013/2014 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz doc.ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba Ing. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva:

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva: 1) Syntaktická analýza shora a zdola, derivační strom, kanonická derivace ezkontextová gramatika gramatika typu 2 Nechť G = je gramatika typu 1. Řekneme, že je gramatikou typu 2, platí-li: y

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2002 SEDLÁK MARIAN - 1 - OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA INFORMATIKY A POČÍTAČŮ Vizualizace principů výpočtu konečného

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Překladový automat Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Zobecněný překladový automat Překladový automat

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Teorie programovacích jazyků Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy Ak.rok: 2008/2009 Jiří Koutný Abstrakt Následující text je projektem do

Více

Substituce a morfismy jednoduše

Substituce a morfismy jednoduše Substituce a morfismy jednoduše Petr Zemek 31. července 2010 Abstrakt Tento text si dává za cíl srozumitelně a formou příkladů osvětlit problematiku substitucí a morfismů v rozsahu předmětu Teoretická

Více

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj

Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj 27 Kapitola 4 Univerzální Turingův stroj a Nedeterministický Turingův stroj 4.1 Nedeterministický TS Obdobně jako u konečných automatů zavedeme nedeterminismus. Definice 14. Nedeterministický Turingův

Více

1. Pologrupy, monoidy a grupy

1. Pologrupy, monoidy a grupy Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2002/2003 Michal Marvan 1. Pologrupy, monoidy a grupy Algebra dvacátého století je nauka o algebraických strukturách.

Více

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 2/36 Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 4/36 Automaty a gramatiky(bi-aag) 11.

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků 2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky Tato skripta jsou určena pro kurs Základy matematické informatiky

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

Teoretická informatika TIN

Teoretická informatika TIN Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce , strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ

Více

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28

Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28 Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 8 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5

/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 460-4005/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FEI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2010/2011 Petr Jančar (FEI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.

M M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací), L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]

Více

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více