Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace"

Transkript

1 Vysoke ucen technicke v Brne Fakulta informacnch technologi Projekt v ramci predmetu TJD Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace 2005 Radek Bidlo

2 Abstrakt Tento dokument popisuje zakladn modely formalnch jazyku zalozene na automatech a zavad nektere dals modikace, kterymi je mozne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Detailneji je pojednano o oboustrannych zasobnkovych automatech nad volnou grupou, ktere vychaz z klasickych zasobnkovych automatu. Na zaver je prezentovan dukaz ekvivalence trdy jazyku prijmanych temito automaty s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku.

3 Obsah 1 Uvod 4 2 Zakladn pojmy a denice 2.1 Symbol, abeceda,retezec. 2.2 Jazyk nad abecedou Chomskeho hierarchie jazyku Grupy a volne grupy Konecne a zasobnkove automaty 3.1 Konecne automaty Zasobnkove automaty Konecne automaty nad grupami 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku Diskuse ke konecnym automatum Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Frontove gramatiky Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Diskuse k zasobnkovym automatum Zaver 20

4 1 Uvod Automaty predstavuj zakladn formaln model jakehokoliv vypoctu. Ten je zpravidla reprezentovan urcitou posloupnost prechodu konkretnho automatu mezi jednotlivymi jeho konguracemi podle presne danych pravidel, ktere jsou soucast denice automatu. Vypocet pak muzeme prohlasit za uspesny, nachaz-li se automat po proveden poslednho vypocetnho kroku v konguraci, ktera je de- novana jako clova. V opacnem prpade je vypocet neuspesny. Clova kongurace byva zpravidla reprezentovana koncovym stavem automatu, ale mohou pribyt i dals podmnky jako je naprklad vyprazdnen zasobnku a podobne. Samozrejmost je kompletn nacten vstupnho retezce. Z hlediska teorie formalnch jazyku chapeme automaty jako tzv. akceptory jazyku. Jazyk prijmany danym automatem pak zpravidla denujeme jako mnozinu vsech vet, ktere je schopen automat zpracovat a pritom po proveden poslednho kroku skoncit v nektere z clovych kongurac. Posloupnost takovychto kroku vedoucch do nektere clove kongurace pri prijman urcitehoretezce je pak mozno chapat jako uspesny vypocet daneho automatu. Nejznamejs z automatu, ktere se behem vyvoje teoreticke informatiky ustalily jako jakesi zakladn verze, jsou zejmena konecne automaty, zasobnkove automaty a Turingovy stroje. My se budeme podrobneji zabyvat konecnymi a zasobnkovymi automaty. V nasledujcch kapitolach si uvedeme vzdy presnou denici a ukazeme, jakou trdu jazyku jsou schopny ve sve zakladn variante denovat. Dale zavedeme nektera jejich rozsren prpadne omezen a budeme studovat akceptacn schopnosti nove vzniklych modelu. Podrobne se zamerme zejmena na automaty zasobnkove. U ctenare se predpoklada zakladn znalost teorie formalnch jazyku a algebry, viz [1] a [2]. 4

5 2 Zakladn pojmy a denice V teto kapitole zopakujeme naproste zaklady teorie formalnch jazyku a denujeme si formalne pojmy jako jsou abeceda,retezec, a jazyk nad abecedou. Zakladn denice jsou prevzaty z [3]. 2.1 Symbol, abeceda, retezec Denice 2.1 Abecedou nazvemekazdoukonecnouneprazdnoumnozinuprvku, ktere nazavame symboly teto abecedy. Libovolna sekvence symbolu urcite abecedy tvor retezec. Oznacme-li symbolem " prazdny retezec, tedy retezec, ktery neobsahuje zadne symboly, muzeme vsechny retezce denovat rekurzvne. Denice 2.2 Necht' je libovolna abeceda. 1. " jeretezec nad 2. je-li xretezec nad a a 2, pak take xa jeretezec nad 2.2 Jazyk nad abecedou Uvazujme libovolnou abecedu. Oznacme mnozinu vsech retezcu nad abecedou vcetne retezce prazdneho a + mnozinu vsech retezcu nad abecedou vyjma retezce prazdneho, tedy + = f"g. Jinymi slovy, + obsahuje vsechny neprazdne retezce nad abecedou. resp. + se nazyva iterace resp. pozitivn iterace mnoziny. Denujme nyn jazyk nad abecedou. Denice 2.3 Necht' je abeceda a necht' L. Potom L je jazyk nad abecedou. Z teto denice je zrejme, ze jazykem nad urcitou abecedou muze byt vlastne libovolna podmnozina iterace teto mnoziny. Otazkou zustava, jak takovy jazyk popsat. Moznost je nekolik. Jedna z nejmene praktickych je prmy vycet prvku jazyka. Tato varianta je vsak zcela nepouzitelna v prpade nekonecnych jazyku a problemy nastavaj jiz pri pokusu o popis rozsahlych konecnych jazyku. Proto byly vyvinuty urcite formaln modely, ktere poskytuj konecne prostredky pro popis obecne nekonecnych jazyku. Tyto modely muzeme rozdelit do dvou zakladnch skupin gramatiky a automaty. My se v tomto projektu zamerme prave na automaty. 2.3 Chomskeho hierarchie jazyku V roce 1956 rozdelil americky jazykovedec Avram Noam Chomsky jazyky do hierarchie podle tvaru prepisovacch pravidel gramatik, kterymi mohou byt generovany. Tato hierarchie byla jednm z nejvyznamnejsch objevu dvacateho stolet v oblasti teorie formalnch jazyku a dosud nese jeho jmeno. Prestoze se postupem casu objevily dals formaln modely, ktere svymi vyjadrovacmi schopnostmi 5

6 zasahuj pres nekolik trd jazyku Chomskeho hierarchie (tedy jsou schopny popsat z kazde skupiny pouze nektere jazyky), jedna se stale o jedno ze zakladnch clenenjazykuatrdyjazykutetohierarchiebyvajsrovnavanyvmnohadukazech ekvivalence trd jazyku denovanych jinymi formalnmi modely. Protoze je tento dokument zameren hlavne na automaty jako prostredky pro popis formalnch jazyku, popisme si jednotlive trdy jazyku Chomskeho hierarchie pouze neformalne. jazyky typu 0 zahrnuj vsechny jazyky s gramatickym zakladem; vsechny tyto jazyky jsou prijmany Turingovymi stroji a jsou zname taktez pod oznacenm rekurzvne vycslitelne jazyky jazyky typu 1 zname tez pod oznacenm kontextove jazyky; vsechny tyto jazyky jsou prijmany linearne ohranicenymi nedeterministickymi Turingovymi stroji jazyky typu 2 oznacovany tez jako bezkontextove jazyky; tyto jazyky jsou prijmany nedeterministickymi zasobnkovymi automaty (viz dale) a predstavuj urcity teoreticky zaklad syntaxe mnoha programovacch jazyku jazyky typu 3 oznacovany vetsinou jako regularn jazyky, ktere jsou prijmany konecnymi automaty (viz dale) Jednotlive trdy jsou vzajemne vazany ostrou inkluz. Oznacme-li symboly RE, CS, CF a REG postupne trdu rekurzvne vycslitelnych, kontextovych, bezkontextovych a regularnch jazyku, potom plat REGCFCSRE. 2.4 Grupy a volne grupy V teto casti uvedeme velmi strucne denici grupy a jej zobecnene varianty volne grupy (zejmena s ohledem na nase dals pouzit v kapitole 5). Teorie grup tvor samostatnou algebraickou disciplnu a je velmi obsahla. My si zde proto uvedeme opravdu jen to nejdulezitejs, co budeme v dalsch castech tohoto dokumentu potrebovat. Denice 2.4 Necht' V je mnozina. Strukturu(V; ;e) nazveme grupou, jestlize :V V! V je binarn asociativn operator (uzavreny na V) existuje unikatn prvek e 2 V takovy, ze e a=a e=a pro kazde a 2 V pro kazde a 2 V existuje a 2 V takove, ze a a=a a=e; Denice 2.5 Necht' V je abeceda a necht' je binarn asociativn operator konkatenace. Strukturu (V ; ;") nazveme volnou grupou generovanou mnozinou V a operac konkatenace, jestlize pro kazde dvaretezce x;y 2 V plat x y 2 V existuje unikatn retezec " zvany prazdny, ktery je neutralnm prvkem teto struktury (tj. pro kazdyretezec x 2 V plat x "=" x=x) prokazdyretezectvarux=x1x2:::xn 2 V,n0existujex=xn:::x2x1 zvany inverzn takovy, ze plat x x=x x=" 6

7 3 Konecne a zasobnkove automaty Automaty, chapane jako formaln modely vypoctu nebo jako akceptory jazyku, lze rozdelit do nasledujcch trd. 1. Konecne automaty 2. Zasobnkove automaty 3. Turingovy stroje My se v tomto dokumentu zamerme na konecne a zasobnkove automaty. V teto kapitole si uvedeme jejich zakladn denici. V dals kapitole potom ukazeme, jak vhodnym rozsrenm zakladnch modelu muzeme vyrazne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Poznamenejme, ze dale se jiz automaty nebudeme zabyvat ve smyslu modelu vypoctu, ale ve smyslu akceptoru jazyku. 3.1 Konecne automaty Konecnyautomatjenejslabsformalnmodelzvyseuvedeneskupiny.Jakjsmejiz uvedli vyse, konecne automaty denuj pouze trdu regularnch jazyku. Uved'me si nyn jeho formaln denici. Denice 3.1 Konecny automat je petice, M =(Q; ;R;q0;F), kde Q je konecna mnozina vnitrnch stavu je konecna vstupn abeceda Rjekonecnamnozinapravideltvarupa! q,kdep;q 2 Q,a 2 ;vprpade, ze plat a 2 [f"g, nazyva se konecny automat rozsreny; pokud navc pro kazdy symbol a 2 plat, ze existuje pro kazdy stav q 2 Q nejvyse jedno pravidlo qa! p, pro nejake p 2 Q, nazyva se takovyto konecny automat deterministicky q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac konecneho automatu M rozumme retezec qx, kde q 2 Q a x 2. Pokud qax a px jsou dve kongurace a qa! p 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace qax do kongurace px podle pravidla qa! p a pseme qax ` px[qa! p] nebo strucneji qax ` px. Symbol ` oznacuje relaci prechodu mezi jednotlivymi konguracemi. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 ^q0w ` f ^f 2 Fg Poznamenejme na zaver tohoto odstavce, ze deterministicke konecne automaty maj stejnou vyjadrovac schopnost jako nedeterministicke, tedy denuj rovnez trdu regularnch jazyku. Clenen z tohoto hlediska vsak pro nas nen podstatne a proto se jm nebudeme zabyvat. 7

8 3.2 Zasobnkove automaty Zasobnkovy automat(pushdown automaton, PDA) svym zpusobem predstavuje urcite rozsren konecneho automatu v tom smyslu, ze obsahuje zasobnk jako vnejspamet'teoretickyneomezenevelikosti.jehogenerativnslajevchomskeho hierarchiiostupenvyse jakjsmejizuvedlidrve,nedeterministicke zasobnkove automaty denuj trdu bezkontextovych jazyku. Na rozdl od konecnych automatu,deterministickezasobnkoveautomatymajnizsvyjadrovacschopnostnez nedeterministicke. Oznacme-li PDA(NED) trdu jazyku prijmanych nedeterministickymi zasobnkovymi automaty a PDA(DET) trdu jazyku prijmanych deterministickymi zasobnkovymi automaty, pak plat REG PDA(DET) PDA(NED)=CF Pokud budeme v dalsch castech hovorit o zasobnkovem automatu (nebo jeho modikaci), budeme mt vzdy na mysli nedeterministickou variantu. Uved'me si nyn formaln denici. Denice 3.2 Zasobnkovy automat je n-tice M = (Q; I; PD;R;Z;q0;F), kde Q je konecna mnozina stavu I je konecna vstupn abeceda PD je konecna zasobnkova abeceda R je konecna mnozina pravidel tvaru Apa! wq, kde A 2 PD, p;q 2 Q, a 2 I [f"g, and w 2 PD Z PD je pocatecn symbol zasobnku q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac zasobnkoveho automatu M rozumme retezec yqx, kde q 2 Q, y 2 PD a x 2 I. Pokud uaqav a uwpv jsou dve kongurace a Aqa! wp 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace uaqav do kongurace uwpv podle pravidla Aqa! wp a pseme uaqav ` uwpv[aqa! wp] nebo strucneji uaqav ` uwpv. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M muze byt denovan tremi zpusoby: a) prechodem do koncoveho stavu: L(Mf) = fwjw 2 I ^Zq0w ` rf; where f 2 F;r 2 PD g b) svyprazdnenmzasobnku: L(Me)=fwjw 2 I^Zq0w ` p;where p 2 Qg c) prechodem do koncoveho stavu a s vyprazdnenm zasobnku: L(Mfe) = fwjw 2 I ^Zq0w ` f; where f 2 Fg Klasicke konecne a zasobnkove automaty jsou v teorii formalnch jazyku vseobecne zname a tvor vyznamny formaln zaklad pro nescetne mnozstv praktickych aplikac (zejmena v oblasti lexikaln a syntakticke analyzy). V dalsch castechsialeukazemenekteredalsprostredky,jakymimuzemeschopnostikonecnych a zasobnkovych automatu vylepsit. 8

9 4 Konecne automaty nad grupami Napln teto kapitoly je cerpana z [4] a [5]. Necht' K = (M;;e) je grupa s bazovou mnozinou M, binarn operac a neutralnm prvkem e. Denice 4.1 Rozsreny konecny automat (extended nite automaton, EFA) nad grupou K jesestice A=(Q; ;K;R;q0;F), kde Q,, q0, F maj stejny vyznam jako v prpade bezneho konecneho automatu, tedy konecna mnozina stavu, konecna vstupn abeceda, pocatecn stav a mnozina koncovych stavu (v tomto porad) R:Q ( [f"g)! Pf(Q M) Takto denovany automat muzeme povazovat za bezny konecny automat, ktery ma navc registr pro uchovan libovolneho prvku z M. Relace (q;m) 2 R(s;a), kde q;s 2 Q, a 2 [f"g, m 2 M znamena, ze automat A zmen svuj soucasny stav s na stav q, precte ze vstupn pasky symbol a a do registru uloz hodnotu xm, kde x je stary obsah registru. Startovac hodnota registru je e. Kongurac takovehoto automatu rozumme trojici (q;u;m), kde q 2 Q, u 2 a m 2 M.Necht'potom(q;aw;m)a(s;w;mr)jsoudvekongurace, r 2 M, a necht' (s;r) 2 R(q;a). Pak pseme (q;aw;m) `(s;w;mr) a rkame, ze automat A provad krok (prechod) z kongurace (q;aw;m) do kon- gurace (s;w;mr) podle (s;r) 2 R(q;a). My se dale zamerme na rozsrene konecne automaty nad volnymi grupami. Pripomenme, ze pro kazdou (ne-abelovskou) grupu K existuje homomorsmus z volne grupy do K. Volnou grupu generovanou nejakou neprazdnou spocetnou mnozinou M oznacme F(M). Grupu s n generatory potom oznacme jako Fn. Dale oznacme L(EFA(Fn)) trdu jazyku prijmanych rozsrenymi konecnymi automaty nad volnymi grupami s n generatory. Pripomenme z[7] denici aditivn valencn gramatiky(additive valence grammar),kteragenerujejazykpodobnymzpusobemjakojedenovanjazykprijmany vyse popsanym rozsrenym konecnym automatem. Aditivn valencn gramatika je petice, G = (N;T;P;S;v), kde (N;T;P;S) je bezna gramatika Chomskeho hierarchie a v je zobrazen z P do mnoziny celych csel. Jazyk generovany gramatikou G je tvoren vsemi retezce nad terminaln abecedou T takovymi, ktere byly vygenerovany posloupnost pravidel p1, p2,:::, pn 2 P a zaroven v(p1) + v(p2)+::: +v(pn) = 0. Protoze F1 a aditivn grupa celych csel jsou isomorfn, potom kazdy jazyk generovany nejakou regularn gramatikou s aditivn valenc je obsazen v L(EFA(F1)) a naopak. 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku V predchozch kapitolach jsme si jiz denovali vse potrebne pro to, abychom mohli uvest vyznamny vysledek teto kapitoly prevzaty z [5]. 9

10 Veta 4.1 CF= L(EFA(F2)) Jinymi slovy tento matematicky zapis rka, ze kazdy bezkontextovy jazyk muze byt prijman rozsrenym zasobnkovym automatem nad volnou grupou se dvema generatory. Uved'me si alespon nastin dukazu teto vety, ktery bude sestavat ze dvou cast. PrvncastdokazujeinkluziCF L(EFA(F2)),tedyskutecnost,zetrdabezkontextovychjazykujeobsazenavtrdejazykuprijmanychrozsrenymikonecnymi automaty nad volnymi grupami s dvema generatory. Proof Necht' L je bezkontextovy jazyk prijmany nejakym zasobnkovym automatem P =(Q;V; ;R;Z;q0;F) koncovym stavem a vyprazdnenm zasobnku, kde = fx1;x2;:::;xng, X1 = Z. Bez ztraty obecnosti dale muzeme predpokladat, ze pro libovolny koncovy stav jiz nen denovan zadny prechod. Polozme M = fc1;c2;:::;cng a zaved'me zobrazen :! F(M) jako (Xi) = ci, 1 n. Nyn konstruujme rozsreny konecny automat nad volnou grupou F(M), A = (Q[ fs0g;v;f(m);f;s0;f), kde f(s0;")=f(q0;c1)g a f(q;a)= [ f(p;((x)) 1(Ym):::(Y2)(Y1))jXqa! Y1Y2:::Ymp 2 Rg[ X2 [ X2 f(p;((x)) 1jXqa! p 2 Rg pro vsechna a 2 V [ f"g a q 2 Q. Matematickou indukc pak lze ukazat, ze R1R2:::Rmqxy `n R0 1 R0 2 :::R0 s q0y v P prave kdyz (q;xy;(rm)(rm 1):::(R1)) `n (q0;y;(r0 s )(R0 s 1 ):::(R0 1 )) v A. Oba automaty pak jsou v kazdem kroku ve stejnem stavu a neutraln prvek volne grupy se v registru automatu A objev prave v okamziku, kdyz se vyprazdn zasobnk automatu P. Jazyky generovane automatem A a automatem PDA jsou tedy shodne. Protoze kazda volna grupa je zaroven podgrupou binarn volne grupy, je dukaz hotovy. Dukaz inkluze L(EFA(F2)) CF uved'me jiz pouze strucne. V tomto prpade budeme na pocatku uvazovat libovolny rozsreny konecny automat nad volnou grupou s dvema generatory. Po konstrukci vhodne prave linearn gramatiky dale denujeme tzv. smesovac operaci (shue operation) o rekurzvne takto: (uo")=("ou)=fug a (auobw)=a(uobv)[b(auov) kde u;v jsou retezce a a;b symboly. Prirozene rozsren teto operace na jazyky provedeme jako [ L1oL2 = (uov) u2l1;v2l2 10

11 S vyuzitm Dykova jazyka (Dyck language)radu 2 (viz strana 603 v [3]) a vlastnost uzaveru rodiny bezkontextovych jazyku dokazeme, ze L(A) je skutecne bezkontextovy. Prpadne zajemce odkazujeme na [5], kde je dukaz kompletn. Jiz bez dukazu si uved'me jakysi souhrn teto casti, ktery je prevzat rovnez z [5]. Veta 4.2 REG=L(EFA(F0)) L(EFA(F1)) L(EFA(F2))=CF Zminme se strucne i o deterministickych konecnych automatech nad volnymi grupami. Je vseobecne znamo, ze bezne deterministicke a nedeterministicke konecne automatymajstejnouvyjadrovacschopnost.ztohotopohledujevsakprekvapujc, ze deterministicke konecne automaty nad volnymi grupami maj mens vyjadrovac slu nez jejich nedeterministicke varianty. Podvame-li se vsak na tuto problematiku ze strany bezkontextovych jazyku, jejichz formalnmi modely jsou i zasobnkove automaty, jedna se vlastne o prirozenou vlastnost, nebot' deterministicke zasobnkove automaty jsou taktez slabs nez jejich nedeterministicke varianty. Vce o teto problematice lze opet najt v [5]. 4.2 Diskuse ke konecnym automatum V teto kapitole jsme si demonstrovali nektere dals modikace beznych konecnych automatu. Vidme, ze jejich vhodnym rozsrenm jsme schopni do urcite mry zvysitjejichvyjadrovacschopnosti.nejsmetedyomezenipouzetrdouregularnch jazyku. V nasledujc kapitole se budeme pro zmenu zabyvat zasobnkovymi automaty a ukazeme, ze podobny prstup je aplikovatelny i v teto oblasti. 11

12 5 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Mnozina vsech retezcu nad urcitou abecedou je obvykle vyjadrena volnym monoidem generovanym symboly teto abecedy a operac konkatenace. Neutralnm prvkem je pak prazdnyretezec". Nad mnozinou vsechretezcu jsou denovany relace prme derivace a dals souvisejc operace. My vsak volne monoidy castecne opustme. Kazdy prvek puvodn abecedy rozsrme o jeho inverzn variantu a mnozinu vsech retezcu nad nove vzniklou abecedou budeme denovat pomoc volnegrupygenerovanetoutoabecedouaoperackonkatenace.kromeneutralnho prvku " zskame i inverzn retezce. Konkatenac kazdeho retezce s jeho inverzn variantou pak zskame prave prazdny retezec " (viz denice 2.4 a 2.5). Tato kapitola je ispirovana clankem [6]. Zavad vsak zcela novy prstup, zjednodusuje konstrukci pravidel automatu a zpruhlednuje dukaz. 5.1 Frontove gramatiky Pro denici a konstrukci oboustrannych zasobnkovych automatu nad volnymi grupami vyuzijeme tzv. frontove gramatiky (viz tez [8]). Denice 5.1 Frontova gramatika je sestice G =(V;T;W;F;s;P), kde V a W jsou dve konecne abecedy, pro ktere plat V \W =? T V, F W s 2(V T)(W F) je axiom P V (W F) V W je konecna relace takova, ze pro kazde a 2 V existuje prvek (a;b;x;c) 2 P. Jestlize u;v 2 V W jsou retezce tvaru u = arb, v = rxc, kde a 2 V, r;x 2 V, b;c 2 W a(a;b;x;c) 2 P,pakrkame,zeu prmoderivujev vefrontovegramatice G podle pravidla (a;b;x;c). Pseme arb ) rxc[(a;b;x;c)] Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany frontovou gramatikou G, je denovan jako L(G) = fw 2 T js ) wf; kde f 2 Fg. Denice 5.2 Leve rozsrena frontova gramatika (viz tez [9]) je sestice G = (V;T;W;F;s;P), kde V;T;W;F a s maj stejny vyznam jako v prpade bezne frontove gramatiky a P V (W F) V W je konecna relace (poznamenejme, ze tato denice nevyzaduje, aby pro kazde a 2 V existovalo nejake pravidlo (a;b;x;c) 2 P). Krome toho predpokladejme, ze # 62(V [ W). Jestlize u;v 2 V f#gv W jsou retezce tvaru u = w#arb, v = wa#rxc, kde a 2 V, r;x;w 2 V, b;c 2 W a (a;b;x;c) 2 P, potom pseme w#arb ) wa#rxc[(a;b;x;c)] 12

13 Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany leve rozsrenou frontovou gramatikou G je denovan jako L(G)=fy 2 T j#s ) w#yf pro nejake w 2 V a f 2 Fg. Oznacme QG trdu jazyku generovanych frontovymi gramatikami. Plat nasledujc veta. Veta 5.1 QG=RE. Dukaz je mozne nalezt v [8]. Nasledujc pomocna veta bude vyuzita pri konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou. Lemma 5.2 Pro kazdy rekurzvne vycslitelny jazyk L existuje leve rozsrena frontova gramatika G takova, ze L = L(G) a pro kazde pravidlo (a;b;x;c) 2 P plat a 2(V T), b 2(W F) a x 2((V T) [T ). Dukaz viz [3]. 5.2 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami M =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM), kde Q je konecna mnozina stavu T je konecna vstupn abeceda Z je konecna zasobnkova abeceda Denice 5.3 Oboustranny zasobnkovy automat nad volnou grupou je n-tice R je konecna mnozina pravidel tvaru Z1jZ2px! 1j2q, kde Z1;Z2 2 Z, 1;2 2 Z, x 2 T a p;q 2 Q; poznamenejme, ze takovyto automat muze nactat v jednom vypocetnm kroku vce nez jeden vstupn symbol (transformace na klasicky automat ctouc nejvyse jeden symbol ze vstupu je trivialn) z je pocatecn stav ZL resp.zr jepocatecnsymbolleveresp.pravestranyzasobnku,zl;zr 2 Z FM Q je mnozina koncovych stavu Kongurac oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou rozumme retezec qw, kde q 2 Q, 2 Z a w 2 T. Pokud LRpxy a LRqy jsou dve kongurace a LjRpx! LjRq 2 R, kde x;y 2 T, p;q 2 Q, L;R 2 Z a L;;R 2 Z, pak automat M provad prechod z kongurace LRpxy do kongurace LRqy podle pravidla LjRpx! LjRq a pseme LRpxy ` LRqy[LjRpx! LjRq] Relace `n, `+ a ` oznacuj posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn a reexivn-tranzitivn uzaver relace ` v tomto porad a jsou denovany obvyklym zpusobem. 13

14 Jazyk prijmany oboustrannym zasobnkovym automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 T ;ZRZLzw ` "f, kde f 2 FMg. Vsimneme si, zeretezce vyskytujc se na oboustrannem zasobnku jsou tvoreny volnou grupou generovanou abecedou Z operac konkatenace. Retezec w je automatem prijat pouze tehdy, pokud je beze zbytku nacten, zasobnk je prazdny a automat se po proveden poslednho kroku nachaz v nekterem koncovem stavu. Nyn se jiz dostavame k hlavnmu vysledku tohoto projektu. Oznacme 2PDA trdu jazyku prijmanych oboustrannymi zasobnkovymi automaty nad volnymi grupami. Veta 5.3 2PDA =RE Dukaz Je dokazano, ze trda jazyku generovanych frontovymi gramatikami (QG) je totozna s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku (RE). Stac tedy dokazat, ze pro kazdou frontovou gramatiku G =(V;T;W;F;Sq0;P) je mozne sestrojit oboustrannyzasobnkovyautomatnadvolnougrupoum =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM) takovy, ze L(G) = L(M). Bez ztraty obecnosti predpokladejme, ze G splnuje podmnky popsane v Lemmatu 5.2. Konstrukce Konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou provedeme aplikac nasledujcch kroku: Q=ff;zg[fhq;1i;hq;2ijq 2 Wg Z = fzl;zr;zl;zrg[(v T)[N, kde N = fxjx 2(V T)g FM = ffg Mnozina pravidel R je zkonstruovana nasledujcm zpusobem: 1) pro axiom Sq0 gramatiky G, kde S 2 (V T), q0 2 (W F), pridej ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i do R 2) pro kazde (A;q;x;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), x 2(V T), pridej ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i do R 3) pro kazde q 2 W pridej ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i do R 4) pro kazde (A;q;y;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), y 2 T, pridej ZLjZRhq;2iy! ZLAjZRhp;2i do R 5) pro kazde (A;q;y;t) 2 P, kde A 2 (V T), p 2 (W F), t 2 F, pridej ZLjZRhq;2iy! Aj"f do R Nyn je konstrukce hotova. Pro dals casti dukazu zaved'me nasledujc notaci. Jestlize hq;1i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu generovan nonterminalu. Podobne jestlize hq;2i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu cten terminalu (pro nejake q 2 W). Nyn musme dokazat rovnost L(G) = L(M), tedy inkluze L(G) L(M) a L(M) L(G). Nejprve dokazeme prvn inkluzi, tedy L(G) L(M). Proved'me to postupnou demonstrac tvrzench A, B a C. 14

15 Tvrzen A Jestlize A1:::An#B1:::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1::: :::Bmx1:::xipvG,potomZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i! v M, kde A1;:::;An, B1;:::;Bm 2 (V T), x1;:::;xi 2 (V T), u;p 2 (W F), m 1, n 0,! 2 T, i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bmu )0 A1::: :::An#B1:::Bmu vg.jezrejme,zezlan:::a1a1:::anb1:::bmzrhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen A plat pro kazde i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvarua1:::an#b1:::bmu )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q a vyjadreme ji presneji jako A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1::: :::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G, kde l+2 m. Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `l ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! vm.vp existujepouze jeden typ pravidel schopny provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1::: :::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G. Jsou to pravidla tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F) a xl+1 2 (V T). Podle druheho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlzrhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! v M a tvrzen A tedy plat. Claim B Jestlize A1:::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1::: :::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bip v G, potom ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1::: :::BmZRhp;2ibi+1:::bj v M, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2(V T), a1;:::;ak, b1;:::;bj 2 T, u;p 2(W F), i < m, i < j, k 0. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bma1:::aku )0 A1::: :::An#B1:::Bma1:::aku v G. Je zrejme, ze take ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen B plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvaru A1:::An#B1:::Bma1::: :::aku )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q a vyjadremejipresnejijako A1:::An#B1:::Bma1:::aku )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1::: :::blbl+1q v G, kde l+2 m, k 0, i < j, l+2 j. 15

16 Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M. V tomto prpade existuje pouze jedna moznost jak muze G provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1::: :::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q, a to pomoc pravidla tvaru(bl+1;p; bl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F), bl+1 2 T. Podle ctvrteho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;2ibl+1! ZLBl+1jZRhq;2i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M a tvrzen B plat. Claim C Jestlize A1:::An 1#Anyq ) A1:::An 1An#yzt v G, kde A1;::: :::;An 2(V T), y;z 2 T, q 2(W F), t 2 F, potom ZLAn 1:::A1A1::: :::AnZRhq;2iz ` An:::A1A1:::Anf = "f v M, kde f 2 FM. Gramatika G provad popsanou derivaci pomoc pravidla tvaru (An;q;z;t) 2 P, kde An 2 (V T), z 2 T, q 2 (W F), t 2 F. Podle pateho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhq;2iz! Anj"f, takze odpovdajc krok popsany tvrzenm C se nepochybne v M vyskytuje. Tvrzen C tedy plat. Dohromady tvrzen A, B a C dokazuj, ze skutecne L(G) L(M). Abychom dokazali opacnou inkluzi, tedy L(M) L(G), demonstrujeme postupne platnost tvrzench D, E a F. Claim D AutomatM prijmakazdyretezecw 2 L(M)nasledujcmzpusobem. ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLSSX1 1 X1 2 :::X1 n 1ZRhq1;1iw1w2:::wr ` ZLX1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2ZRhq2;1iw1w2:::wr ` ZLX1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3ZRhq3;1iw1w2:::wr ` ::: ::: ::: ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+1;2iw2:::wr ` ZLXk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+2;2iw3:::wr ` 16

17 ::: ::: ::: ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr ` XmnmXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm f = "f v M,kde w = w1w2:::wr, r 1, w1;:::;wr 2 T, q0;q1;:::;qm+r 1 2(W F), X1 1 ;:::;X1 n 1;X2 1 ;:::;X2 n 2;:::;Xm 1 ;:::;Xm nm 2(V T), n1;n2;:::;nm 0, m 1, 0 k m. Proof of Claim D Nyn prozkoumame vsechny kroky konstrukce mnoziny automatovych pravidel R. Poznamenejme, ze v kazdem uspesnem vypoctu automat M pouzva vzdy pravidla zkonstruovana v kroku b pred tm, nez pouzije pravidla zkonstruovana v kroku b+1, pro b=1;:::;4. V prvnm kroku aplikuje M pravidlo ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i zkonstruovane v casti 1, kde Sq0 je axiom gramatiky G. Toto je jediny zpusob, kterym muze M provest prechod ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr. Vsimneme si, ze v kazdem uspesnem vypoctu automatu je toto pravidlo pouzito prave jednou. Pomoc nej se automat zaroven prepne do modu generovan nonterminalu. V dals casti vypoctu popsane sekvenc prechodu ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr pouzva M pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i zkonstruovana v bodu 2, kde A 2 (V T), x 2 (V T), p;q 2 (W F). Tato cast vypoctu je charakterizovana stavy automatu tvaru hq;1i, q 2(W F). Detailn dukaz teto casti je uveden v tvrzen E. V kroku ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr automat M prepne pomoc pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i zkonstruovaneho v bodu 3 do modu cten nonterminalu. Poznamenejme, ze toto pravidlo je behem jednoho uspesneho vypoctu automatu pouzito prave jednou. Protoze je jeho aplikac zmenen aktualn stav automatu tvaru hq;1i na stav tvaru hq;2i, q 2 (W F), nen jiz zadna dals moznost pouzit pravidel zkonstruovanych v bodech 1 az 3. V dals casti vypoctu popsane sekvenc kroku 17

18 ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr pouzva M pravidla zkonstruovana v bodu 4 a postupne nacta vstupn retezec. Podrobny dukaz teto casti je uveden v tvrzen F. Poslednm krokem automat prejde do koncoveho stavu f 2 FM pomoc nejakeho pravidla tvaru ZLjZRhq;2iy! Aj"f zkonstruovaneho v bodu 5, kde q 2 (W T), y 2 T a A 2 (V T). Pokud je oboustranny zasobnk po proveden tohoto kroku prazdny (po aplikaci grupovych redukc), pak byl vstupn retezec prijat. V opacnem prpade retezec prijat nen, nebot' v mnozine R neexistuje zadne pravidlo obsahujc f 2 FM na sve leve strane. Claim E Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i!vM,potomA1:::An#B1::: :::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bmx1:::xipvG,kde A1;:::;An;B1;::: :::;Bm 2(V T), x1;:::;xi 2(V T), u;p 2(W F), i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Pak ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Rozhodne take A1:::An#B1::: :::Bmu )0 A1:::An#B1:::Bmu v G. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen E plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok UvazujmelibovolnouposloupnostkrokutvaruZLAn:::A1A1::: :::AnB1:::BmZRhu;1i! `l+1 ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! a vyjadreme ji presneji jako ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;1i! `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M, kde q 2 (W F), l+2 m. Podle indukcn hypotezy A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1qvG.Vmno- zine R je pouze jeden typ pravidel schopnych provest posloupnost kroku ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An::: :::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M. Jsou to pravidla tvaru ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i 2 R. Podle konstrukce vsak existuje v G pravidlo tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, takze rovnez A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2::: :::Bmx1:::xlxl+1q v G a tvrzen E plat. Claim F Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1:::BmZRhp;2ibi+1:::bj vm,potoma1::: :::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bipv G, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2 V T, a1;:::;ak;b1;:::;bj 2 T a C;D 2 W F, i < m. 18

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Gramatiky nad volnými grupami 2005 Petr Blatný Abstrakt Tento dokument zavádí pojmy bezkontextové gramatiky nad volnou grupou a E0L gramatiky

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální

Více

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Teorie programovacích jazyků Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy Ak.rok: 2008/2009 Jiří Koutný Abstrakt Následující text je projektem do

Více

Substituce a morfismy jednoduše

Substituce a morfismy jednoduše Substituce a morfismy jednoduše Petr Zemek 31. července 2010 Abstrakt Tento text si dává za cíl srozumitelně a formou příkladů osvětlit problematiku substitucí a morfismů v rozsahu předmětu Teoretická

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků 2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky Tato skripta jsou určena pro kurs Základy matematické informatiky

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Teoretická informatika TIN

Teoretická informatika TIN Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce Rekurentní rovnice, strukturální indukce Jiří Velebil: A7B01MCS 26. září 2011: 1/20 Příklad (Parketáž triminy z minulé přednášky) P(n) = počet parket k vyparketování místnosti rozměru n 1 P(1) = 1. 2 P(n

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Rekurentní rovnice, strukturální indukce

Rekurentní rovnice, strukturální indukce , strukturální indukce Jiří Velebil: Y01DMA 23. února 2010: Strukturální indukce 1/19 Backusova-Naurova forma Například syntaxe formuĺı výrokové logiky kde a At. Poznámky 1 Relaxace BNF. ϕ ::= a tt (ϕ

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A

Více

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2 Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Programování Základy teoretické informatiky študenti MFF 15. augusta 2008 1 1 Základy teoretické informatiky Požadavky Logika - jazyk, formule, sémantika, tautologie

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

TGH12 - Problém za milion dolarů

TGH12 - Problém za milion dolarů TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků

Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Osnova dnešní přednášky 1 Úvod do teorie překladačů kompilátor a interpret

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Chomského normální forma

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Chomského normální forma 10 Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Chomského normální forma Podívejme se nyní na derivační stromy. Jak odhadnout výšku stromu podle délky

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Strukturální rozpoznávání

Strukturální rozpoznávání Strukturální rozpoznávání 1 Strukturální rozpoznávání obsah hierarchický strukturální popis systém strukturálního rozpoznávání teorie gramatik volba popisu výběr primitiv výběr gramatiky syntaktická analýza

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TEORETICKÉ ZÁKLADY INFORMATIKY II HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2003 Tento projekt byl spolufinancován Evropskou unií a českým státním rozpočtem Recenzenti: Doc. Ing. Miroslav

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Marie Duží

Marie Duží Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít

Více

GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA

GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ:

Více

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Sémantika programovacích jazyk: Syntaxe a sémantika Syntaxe a sémantika Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Ti hlavní charakteristiky jazyka (sémiotika) jsou: - syntax, sémantika a pragmatika

Více

TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II

TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ FILOZOFICKO-PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV INFORMATIKY TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II Studijní opora Poslední změny: 3. září 2007 Mgr. Šárka Vavrečková sarka.vavreckova@fpf.slu.cz

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Náhodná procházka a její aplikace

Náhodná procházka a její aplikace MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2007 Michaela Bartuňková Poděkování Chtěla bych

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

intenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t

intenzitu příchodů zákazníků za čas t intenzitu obsluhy (průměrný počet obsloužených) za čas t Ukázka - Systémy hromadné obsluhy Příklad: Pan Pumpička se rozhodl postavit samoobslužnou čerpací stanici u obce Česká Bříza. Na základě průzkumu ví, že by čerpací stanici mohlo průměrně navštívit 32,

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

O dynamickém programování

O dynamickém programování O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799

Více

Referát z předmětu Teoretická informatika

Referát z předmětu Teoretická informatika Referát z předmětu Téma: Algoritmus Coke-Younger-Kasami pro rozpoznávání bezkontextových jazyků VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Definice Překlad z jazyka L 1 do jazyka L 2 je definován množinou

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Matematika pro informatiku 1

Matematika pro informatiku 1 Matematika pro informatiku 1 Alena Šolcová katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií ČVUT Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Přednášející Ing. Karel Klouda, Ph.

Více