Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace"

Transkript

1 Vysoke ucen technicke v Brne Fakulta informacnch technologi Projekt v ramci predmetu TJD Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace 2005 Radek Bidlo

2 Abstrakt Tento dokument popisuje zakladn modely formalnch jazyku zalozene na automatech a zavad nektere dals modikace, kterymi je mozne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Detailneji je pojednano o oboustrannych zasobnkovych automatech nad volnou grupou, ktere vychaz z klasickych zasobnkovych automatu. Na zaver je prezentovan dukaz ekvivalence trdy jazyku prijmanych temito automaty s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku.

3 Obsah 1 Uvod 4 2 Zakladn pojmy a denice 2.1 Symbol, abeceda,retezec. 2.2 Jazyk nad abecedou Chomskeho hierarchie jazyku Grupy a volne grupy Konecne a zasobnkove automaty 3.1 Konecne automaty Zasobnkove automaty Konecne automaty nad grupami 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku Diskuse ke konecnym automatum Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Frontove gramatiky Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Diskuse k zasobnkovym automatum Zaver 20

4 1 Uvod Automaty predstavuj zakladn formaln model jakehokoliv vypoctu. Ten je zpravidla reprezentovan urcitou posloupnost prechodu konkretnho automatu mezi jednotlivymi jeho konguracemi podle presne danych pravidel, ktere jsou soucast denice automatu. Vypocet pak muzeme prohlasit za uspesny, nachaz-li se automat po proveden poslednho vypocetnho kroku v konguraci, ktera je de- novana jako clova. V opacnem prpade je vypocet neuspesny. Clova kongurace byva zpravidla reprezentovana koncovym stavem automatu, ale mohou pribyt i dals podmnky jako je naprklad vyprazdnen zasobnku a podobne. Samozrejmost je kompletn nacten vstupnho retezce. Z hlediska teorie formalnch jazyku chapeme automaty jako tzv. akceptory jazyku. Jazyk prijmany danym automatem pak zpravidla denujeme jako mnozinu vsech vet, ktere je schopen automat zpracovat a pritom po proveden poslednho kroku skoncit v nektere z clovych kongurac. Posloupnost takovychto kroku vedoucch do nektere clove kongurace pri prijman urcitehoretezce je pak mozno chapat jako uspesny vypocet daneho automatu. Nejznamejs z automatu, ktere se behem vyvoje teoreticke informatiky ustalily jako jakesi zakladn verze, jsou zejmena konecne automaty, zasobnkove automaty a Turingovy stroje. My se budeme podrobneji zabyvat konecnymi a zasobnkovymi automaty. V nasledujcch kapitolach si uvedeme vzdy presnou denici a ukazeme, jakou trdu jazyku jsou schopny ve sve zakladn variante denovat. Dale zavedeme nektera jejich rozsren prpadne omezen a budeme studovat akceptacn schopnosti nove vzniklych modelu. Podrobne se zamerme zejmena na automaty zasobnkove. U ctenare se predpoklada zakladn znalost teorie formalnch jazyku a algebry, viz [1] a [2]. 4

5 2 Zakladn pojmy a denice V teto kapitole zopakujeme naproste zaklady teorie formalnch jazyku a denujeme si formalne pojmy jako jsou abeceda,retezec, a jazyk nad abecedou. Zakladn denice jsou prevzaty z [3]. 2.1 Symbol, abeceda, retezec Denice 2.1 Abecedou nazvemekazdoukonecnouneprazdnoumnozinuprvku, ktere nazavame symboly teto abecedy. Libovolna sekvence symbolu urcite abecedy tvor retezec. Oznacme-li symbolem " prazdny retezec, tedy retezec, ktery neobsahuje zadne symboly, muzeme vsechny retezce denovat rekurzvne. Denice 2.2 Necht' je libovolna abeceda. 1. " jeretezec nad 2. je-li xretezec nad a a 2, pak take xa jeretezec nad 2.2 Jazyk nad abecedou Uvazujme libovolnou abecedu. Oznacme mnozinu vsech retezcu nad abecedou vcetne retezce prazdneho a + mnozinu vsech retezcu nad abecedou vyjma retezce prazdneho, tedy + = f"g. Jinymi slovy, + obsahuje vsechny neprazdne retezce nad abecedou. resp. + se nazyva iterace resp. pozitivn iterace mnoziny. Denujme nyn jazyk nad abecedou. Denice 2.3 Necht' je abeceda a necht' L. Potom L je jazyk nad abecedou. Z teto denice je zrejme, ze jazykem nad urcitou abecedou muze byt vlastne libovolna podmnozina iterace teto mnoziny. Otazkou zustava, jak takovy jazyk popsat. Moznost je nekolik. Jedna z nejmene praktickych je prmy vycet prvku jazyka. Tato varianta je vsak zcela nepouzitelna v prpade nekonecnych jazyku a problemy nastavaj jiz pri pokusu o popis rozsahlych konecnych jazyku. Proto byly vyvinuty urcite formaln modely, ktere poskytuj konecne prostredky pro popis obecne nekonecnych jazyku. Tyto modely muzeme rozdelit do dvou zakladnch skupin gramatiky a automaty. My se v tomto projektu zamerme prave na automaty. 2.3 Chomskeho hierarchie jazyku V roce 1956 rozdelil americky jazykovedec Avram Noam Chomsky jazyky do hierarchie podle tvaru prepisovacch pravidel gramatik, kterymi mohou byt generovany. Tato hierarchie byla jednm z nejvyznamnejsch objevu dvacateho stolet v oblasti teorie formalnch jazyku a dosud nese jeho jmeno. Prestoze se postupem casu objevily dals formaln modely, ktere svymi vyjadrovacmi schopnostmi 5

6 zasahuj pres nekolik trd jazyku Chomskeho hierarchie (tedy jsou schopny popsat z kazde skupiny pouze nektere jazyky), jedna se stale o jedno ze zakladnch clenenjazykuatrdyjazykutetohierarchiebyvajsrovnavanyvmnohadukazech ekvivalence trd jazyku denovanych jinymi formalnmi modely. Protoze je tento dokument zameren hlavne na automaty jako prostredky pro popis formalnch jazyku, popisme si jednotlive trdy jazyku Chomskeho hierarchie pouze neformalne. jazyky typu 0 zahrnuj vsechny jazyky s gramatickym zakladem; vsechny tyto jazyky jsou prijmany Turingovymi stroji a jsou zname taktez pod oznacenm rekurzvne vycslitelne jazyky jazyky typu 1 zname tez pod oznacenm kontextove jazyky; vsechny tyto jazyky jsou prijmany linearne ohranicenymi nedeterministickymi Turingovymi stroji jazyky typu 2 oznacovany tez jako bezkontextove jazyky; tyto jazyky jsou prijmany nedeterministickymi zasobnkovymi automaty (viz dale) a predstavuj urcity teoreticky zaklad syntaxe mnoha programovacch jazyku jazyky typu 3 oznacovany vetsinou jako regularn jazyky, ktere jsou prijmany konecnymi automaty (viz dale) Jednotlive trdy jsou vzajemne vazany ostrou inkluz. Oznacme-li symboly RE, CS, CF a REG postupne trdu rekurzvne vycslitelnych, kontextovych, bezkontextovych a regularnch jazyku, potom plat REGCFCSRE. 2.4 Grupy a volne grupy V teto casti uvedeme velmi strucne denici grupy a jej zobecnene varianty volne grupy (zejmena s ohledem na nase dals pouzit v kapitole 5). Teorie grup tvor samostatnou algebraickou disciplnu a je velmi obsahla. My si zde proto uvedeme opravdu jen to nejdulezitejs, co budeme v dalsch castech tohoto dokumentu potrebovat. Denice 2.4 Necht' V je mnozina. Strukturu(V; ;e) nazveme grupou, jestlize :V V! V je binarn asociativn operator (uzavreny na V) existuje unikatn prvek e 2 V takovy, ze e a=a e=a pro kazde a 2 V pro kazde a 2 V existuje a 2 V takove, ze a a=a a=e; Denice 2.5 Necht' V je abeceda a necht' je binarn asociativn operator konkatenace. Strukturu (V ; ;") nazveme volnou grupou generovanou mnozinou V a operac konkatenace, jestlize pro kazde dvaretezce x;y 2 V plat x y 2 V existuje unikatn retezec " zvany prazdny, ktery je neutralnm prvkem teto struktury (tj. pro kazdyretezec x 2 V plat x "=" x=x) prokazdyretezectvarux=x1x2:::xn 2 V,n0existujex=xn:::x2x1 zvany inverzn takovy, ze plat x x=x x=" 6

7 3 Konecne a zasobnkove automaty Automaty, chapane jako formaln modely vypoctu nebo jako akceptory jazyku, lze rozdelit do nasledujcch trd. 1. Konecne automaty 2. Zasobnkove automaty 3. Turingovy stroje My se v tomto dokumentu zamerme na konecne a zasobnkove automaty. V teto kapitole si uvedeme jejich zakladn denici. V dals kapitole potom ukazeme, jak vhodnym rozsrenm zakladnch modelu muzeme vyrazne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Poznamenejme, ze dale se jiz automaty nebudeme zabyvat ve smyslu modelu vypoctu, ale ve smyslu akceptoru jazyku. 3.1 Konecne automaty Konecnyautomatjenejslabsformalnmodelzvyseuvedeneskupiny.Jakjsmejiz uvedli vyse, konecne automaty denuj pouze trdu regularnch jazyku. Uved'me si nyn jeho formaln denici. Denice 3.1 Konecny automat je petice, M =(Q; ;R;q0;F), kde Q je konecna mnozina vnitrnch stavu je konecna vstupn abeceda Rjekonecnamnozinapravideltvarupa! q,kdep;q 2 Q,a 2 ;vprpade, ze plat a 2 [f"g, nazyva se konecny automat rozsreny; pokud navc pro kazdy symbol a 2 plat, ze existuje pro kazdy stav q 2 Q nejvyse jedno pravidlo qa! p, pro nejake p 2 Q, nazyva se takovyto konecny automat deterministicky q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac konecneho automatu M rozumme retezec qx, kde q 2 Q a x 2. Pokud qax a px jsou dve kongurace a qa! p 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace qax do kongurace px podle pravidla qa! p a pseme qax ` px[qa! p] nebo strucneji qax ` px. Symbol ` oznacuje relaci prechodu mezi jednotlivymi konguracemi. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 ^q0w ` f ^f 2 Fg Poznamenejme na zaver tohoto odstavce, ze deterministicke konecne automaty maj stejnou vyjadrovac schopnost jako nedeterministicke, tedy denuj rovnez trdu regularnch jazyku. Clenen z tohoto hlediska vsak pro nas nen podstatne a proto se jm nebudeme zabyvat. 7

8 3.2 Zasobnkove automaty Zasobnkovy automat(pushdown automaton, PDA) svym zpusobem predstavuje urcite rozsren konecneho automatu v tom smyslu, ze obsahuje zasobnk jako vnejspamet'teoretickyneomezenevelikosti.jehogenerativnslajevchomskeho hierarchiiostupenvyse jakjsmejizuvedlidrve,nedeterministicke zasobnkove automaty denuj trdu bezkontextovych jazyku. Na rozdl od konecnych automatu,deterministickezasobnkoveautomatymajnizsvyjadrovacschopnostnez nedeterministicke. Oznacme-li PDA(NED) trdu jazyku prijmanych nedeterministickymi zasobnkovymi automaty a PDA(DET) trdu jazyku prijmanych deterministickymi zasobnkovymi automaty, pak plat REG PDA(DET) PDA(NED)=CF Pokud budeme v dalsch castech hovorit o zasobnkovem automatu (nebo jeho modikaci), budeme mt vzdy na mysli nedeterministickou variantu. Uved'me si nyn formaln denici. Denice 3.2 Zasobnkovy automat je n-tice M = (Q; I; PD;R;Z;q0;F), kde Q je konecna mnozina stavu I je konecna vstupn abeceda PD je konecna zasobnkova abeceda R je konecna mnozina pravidel tvaru Apa! wq, kde A 2 PD, p;q 2 Q, a 2 I [f"g, and w 2 PD Z PD je pocatecn symbol zasobnku q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac zasobnkoveho automatu M rozumme retezec yqx, kde q 2 Q, y 2 PD a x 2 I. Pokud uaqav a uwpv jsou dve kongurace a Aqa! wp 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace uaqav do kongurace uwpv podle pravidla Aqa! wp a pseme uaqav ` uwpv[aqa! wp] nebo strucneji uaqav ` uwpv. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M muze byt denovan tremi zpusoby: a) prechodem do koncoveho stavu: L(Mf) = fwjw 2 I ^Zq0w ` rf; where f 2 F;r 2 PD g b) svyprazdnenmzasobnku: L(Me)=fwjw 2 I^Zq0w ` p;where p 2 Qg c) prechodem do koncoveho stavu a s vyprazdnenm zasobnku: L(Mfe) = fwjw 2 I ^Zq0w ` f; where f 2 Fg Klasicke konecne a zasobnkove automaty jsou v teorii formalnch jazyku vseobecne zname a tvor vyznamny formaln zaklad pro nescetne mnozstv praktickych aplikac (zejmena v oblasti lexikaln a syntakticke analyzy). V dalsch castechsialeukazemenekteredalsprostredky,jakymimuzemeschopnostikonecnych a zasobnkovych automatu vylepsit. 8

9 4 Konecne automaty nad grupami Napln teto kapitoly je cerpana z [4] a [5]. Necht' K = (M;;e) je grupa s bazovou mnozinou M, binarn operac a neutralnm prvkem e. Denice 4.1 Rozsreny konecny automat (extended nite automaton, EFA) nad grupou K jesestice A=(Q; ;K;R;q0;F), kde Q,, q0, F maj stejny vyznam jako v prpade bezneho konecneho automatu, tedy konecna mnozina stavu, konecna vstupn abeceda, pocatecn stav a mnozina koncovych stavu (v tomto porad) R:Q ( [f"g)! Pf(Q M) Takto denovany automat muzeme povazovat za bezny konecny automat, ktery ma navc registr pro uchovan libovolneho prvku z M. Relace (q;m) 2 R(s;a), kde q;s 2 Q, a 2 [f"g, m 2 M znamena, ze automat A zmen svuj soucasny stav s na stav q, precte ze vstupn pasky symbol a a do registru uloz hodnotu xm, kde x je stary obsah registru. Startovac hodnota registru je e. Kongurac takovehoto automatu rozumme trojici (q;u;m), kde q 2 Q, u 2 a m 2 M.Necht'potom(q;aw;m)a(s;w;mr)jsoudvekongurace, r 2 M, a necht' (s;r) 2 R(q;a). Pak pseme (q;aw;m) `(s;w;mr) a rkame, ze automat A provad krok (prechod) z kongurace (q;aw;m) do kon- gurace (s;w;mr) podle (s;r) 2 R(q;a). My se dale zamerme na rozsrene konecne automaty nad volnymi grupami. Pripomenme, ze pro kazdou (ne-abelovskou) grupu K existuje homomorsmus z volne grupy do K. Volnou grupu generovanou nejakou neprazdnou spocetnou mnozinou M oznacme F(M). Grupu s n generatory potom oznacme jako Fn. Dale oznacme L(EFA(Fn)) trdu jazyku prijmanych rozsrenymi konecnymi automaty nad volnymi grupami s n generatory. Pripomenme z[7] denici aditivn valencn gramatiky(additive valence grammar),kteragenerujejazykpodobnymzpusobemjakojedenovanjazykprijmany vyse popsanym rozsrenym konecnym automatem. Aditivn valencn gramatika je petice, G = (N;T;P;S;v), kde (N;T;P;S) je bezna gramatika Chomskeho hierarchie a v je zobrazen z P do mnoziny celych csel. Jazyk generovany gramatikou G je tvoren vsemi retezce nad terminaln abecedou T takovymi, ktere byly vygenerovany posloupnost pravidel p1, p2,:::, pn 2 P a zaroven v(p1) + v(p2)+::: +v(pn) = 0. Protoze F1 a aditivn grupa celych csel jsou isomorfn, potom kazdy jazyk generovany nejakou regularn gramatikou s aditivn valenc je obsazen v L(EFA(F1)) a naopak. 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku V predchozch kapitolach jsme si jiz denovali vse potrebne pro to, abychom mohli uvest vyznamny vysledek teto kapitoly prevzaty z [5]. 9

10 Veta 4.1 CF= L(EFA(F2)) Jinymi slovy tento matematicky zapis rka, ze kazdy bezkontextovy jazyk muze byt prijman rozsrenym zasobnkovym automatem nad volnou grupou se dvema generatory. Uved'me si alespon nastin dukazu teto vety, ktery bude sestavat ze dvou cast. PrvncastdokazujeinkluziCF L(EFA(F2)),tedyskutecnost,zetrdabezkontextovychjazykujeobsazenavtrdejazykuprijmanychrozsrenymikonecnymi automaty nad volnymi grupami s dvema generatory. Proof Necht' L je bezkontextovy jazyk prijmany nejakym zasobnkovym automatem P =(Q;V; ;R;Z;q0;F) koncovym stavem a vyprazdnenm zasobnku, kde = fx1;x2;:::;xng, X1 = Z. Bez ztraty obecnosti dale muzeme predpokladat, ze pro libovolny koncovy stav jiz nen denovan zadny prechod. Polozme M = fc1;c2;:::;cng a zaved'me zobrazen :! F(M) jako (Xi) = ci, 1 n. Nyn konstruujme rozsreny konecny automat nad volnou grupou F(M), A = (Q[ fs0g;v;f(m);f;s0;f), kde f(s0;")=f(q0;c1)g a f(q;a)= [ f(p;((x)) 1(Ym):::(Y2)(Y1))jXqa! Y1Y2:::Ymp 2 Rg[ X2 [ X2 f(p;((x)) 1jXqa! p 2 Rg pro vsechna a 2 V [ f"g a q 2 Q. Matematickou indukc pak lze ukazat, ze R1R2:::Rmqxy `n R0 1 R0 2 :::R0 s q0y v P prave kdyz (q;xy;(rm)(rm 1):::(R1)) `n (q0;y;(r0 s )(R0 s 1 ):::(R0 1 )) v A. Oba automaty pak jsou v kazdem kroku ve stejnem stavu a neutraln prvek volne grupy se v registru automatu A objev prave v okamziku, kdyz se vyprazdn zasobnk automatu P. Jazyky generovane automatem A a automatem PDA jsou tedy shodne. Protoze kazda volna grupa je zaroven podgrupou binarn volne grupy, je dukaz hotovy. Dukaz inkluze L(EFA(F2)) CF uved'me jiz pouze strucne. V tomto prpade budeme na pocatku uvazovat libovolny rozsreny konecny automat nad volnou grupou s dvema generatory. Po konstrukci vhodne prave linearn gramatiky dale denujeme tzv. smesovac operaci (shue operation) o rekurzvne takto: (uo")=("ou)=fug a (auobw)=a(uobv)[b(auov) kde u;v jsou retezce a a;b symboly. Prirozene rozsren teto operace na jazyky provedeme jako [ L1oL2 = (uov) u2l1;v2l2 10

11 S vyuzitm Dykova jazyka (Dyck language)radu 2 (viz strana 603 v [3]) a vlastnost uzaveru rodiny bezkontextovych jazyku dokazeme, ze L(A) je skutecne bezkontextovy. Prpadne zajemce odkazujeme na [5], kde je dukaz kompletn. Jiz bez dukazu si uved'me jakysi souhrn teto casti, ktery je prevzat rovnez z [5]. Veta 4.2 REG=L(EFA(F0)) L(EFA(F1)) L(EFA(F2))=CF Zminme se strucne i o deterministickych konecnych automatech nad volnymi grupami. Je vseobecne znamo, ze bezne deterministicke a nedeterministicke konecne automatymajstejnouvyjadrovacschopnost.ztohotopohledujevsakprekvapujc, ze deterministicke konecne automaty nad volnymi grupami maj mens vyjadrovac slu nez jejich nedeterministicke varianty. Podvame-li se vsak na tuto problematiku ze strany bezkontextovych jazyku, jejichz formalnmi modely jsou i zasobnkove automaty, jedna se vlastne o prirozenou vlastnost, nebot' deterministicke zasobnkove automaty jsou taktez slabs nez jejich nedeterministicke varianty. Vce o teto problematice lze opet najt v [5]. 4.2 Diskuse ke konecnym automatum V teto kapitole jsme si demonstrovali nektere dals modikace beznych konecnych automatu. Vidme, ze jejich vhodnym rozsrenm jsme schopni do urcite mry zvysitjejichvyjadrovacschopnosti.nejsmetedyomezenipouzetrdouregularnch jazyku. V nasledujc kapitole se budeme pro zmenu zabyvat zasobnkovymi automaty a ukazeme, ze podobny prstup je aplikovatelny i v teto oblasti. 11

12 5 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Mnozina vsech retezcu nad urcitou abecedou je obvykle vyjadrena volnym monoidem generovanym symboly teto abecedy a operac konkatenace. Neutralnm prvkem je pak prazdnyretezec". Nad mnozinou vsechretezcu jsou denovany relace prme derivace a dals souvisejc operace. My vsak volne monoidy castecne opustme. Kazdy prvek puvodn abecedy rozsrme o jeho inverzn variantu a mnozinu vsech retezcu nad nove vzniklou abecedou budeme denovat pomoc volnegrupygenerovanetoutoabecedouaoperackonkatenace.kromeneutralnho prvku " zskame i inverzn retezce. Konkatenac kazdeho retezce s jeho inverzn variantou pak zskame prave prazdny retezec " (viz denice 2.4 a 2.5). Tato kapitola je ispirovana clankem [6]. Zavad vsak zcela novy prstup, zjednodusuje konstrukci pravidel automatu a zpruhlednuje dukaz. 5.1 Frontove gramatiky Pro denici a konstrukci oboustrannych zasobnkovych automatu nad volnymi grupami vyuzijeme tzv. frontove gramatiky (viz tez [8]). Denice 5.1 Frontova gramatika je sestice G =(V;T;W;F;s;P), kde V a W jsou dve konecne abecedy, pro ktere plat V \W =? T V, F W s 2(V T)(W F) je axiom P V (W F) V W je konecna relace takova, ze pro kazde a 2 V existuje prvek (a;b;x;c) 2 P. Jestlize u;v 2 V W jsou retezce tvaru u = arb, v = rxc, kde a 2 V, r;x 2 V, b;c 2 W a(a;b;x;c) 2 P,pakrkame,zeu prmoderivujev vefrontovegramatice G podle pravidla (a;b;x;c). Pseme arb ) rxc[(a;b;x;c)] Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany frontovou gramatikou G, je denovan jako L(G) = fw 2 T js ) wf; kde f 2 Fg. Denice 5.2 Leve rozsrena frontova gramatika (viz tez [9]) je sestice G = (V;T;W;F;s;P), kde V;T;W;F a s maj stejny vyznam jako v prpade bezne frontove gramatiky a P V (W F) V W je konecna relace (poznamenejme, ze tato denice nevyzaduje, aby pro kazde a 2 V existovalo nejake pravidlo (a;b;x;c) 2 P). Krome toho predpokladejme, ze # 62(V [ W). Jestlize u;v 2 V f#gv W jsou retezce tvaru u = w#arb, v = wa#rxc, kde a 2 V, r;x;w 2 V, b;c 2 W a (a;b;x;c) 2 P, potom pseme w#arb ) wa#rxc[(a;b;x;c)] 12

13 Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany leve rozsrenou frontovou gramatikou G je denovan jako L(G)=fy 2 T j#s ) w#yf pro nejake w 2 V a f 2 Fg. Oznacme QG trdu jazyku generovanych frontovymi gramatikami. Plat nasledujc veta. Veta 5.1 QG=RE. Dukaz je mozne nalezt v [8]. Nasledujc pomocna veta bude vyuzita pri konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou. Lemma 5.2 Pro kazdy rekurzvne vycslitelny jazyk L existuje leve rozsrena frontova gramatika G takova, ze L = L(G) a pro kazde pravidlo (a;b;x;c) 2 P plat a 2(V T), b 2(W F) a x 2((V T) [T ). Dukaz viz [3]. 5.2 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami M =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM), kde Q je konecna mnozina stavu T je konecna vstupn abeceda Z je konecna zasobnkova abeceda Denice 5.3 Oboustranny zasobnkovy automat nad volnou grupou je n-tice R je konecna mnozina pravidel tvaru Z1jZ2px! 1j2q, kde Z1;Z2 2 Z, 1;2 2 Z, x 2 T a p;q 2 Q; poznamenejme, ze takovyto automat muze nactat v jednom vypocetnm kroku vce nez jeden vstupn symbol (transformace na klasicky automat ctouc nejvyse jeden symbol ze vstupu je trivialn) z je pocatecn stav ZL resp.zr jepocatecnsymbolleveresp.pravestranyzasobnku,zl;zr 2 Z FM Q je mnozina koncovych stavu Kongurac oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou rozumme retezec qw, kde q 2 Q, 2 Z a w 2 T. Pokud LRpxy a LRqy jsou dve kongurace a LjRpx! LjRq 2 R, kde x;y 2 T, p;q 2 Q, L;R 2 Z a L;;R 2 Z, pak automat M provad prechod z kongurace LRpxy do kongurace LRqy podle pravidla LjRpx! LjRq a pseme LRpxy ` LRqy[LjRpx! LjRq] Relace `n, `+ a ` oznacuj posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn a reexivn-tranzitivn uzaver relace ` v tomto porad a jsou denovany obvyklym zpusobem. 13

14 Jazyk prijmany oboustrannym zasobnkovym automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 T ;ZRZLzw ` "f, kde f 2 FMg. Vsimneme si, zeretezce vyskytujc se na oboustrannem zasobnku jsou tvoreny volnou grupou generovanou abecedou Z operac konkatenace. Retezec w je automatem prijat pouze tehdy, pokud je beze zbytku nacten, zasobnk je prazdny a automat se po proveden poslednho kroku nachaz v nekterem koncovem stavu. Nyn se jiz dostavame k hlavnmu vysledku tohoto projektu. Oznacme 2PDA trdu jazyku prijmanych oboustrannymi zasobnkovymi automaty nad volnymi grupami. Veta 5.3 2PDA =RE Dukaz Je dokazano, ze trda jazyku generovanych frontovymi gramatikami (QG) je totozna s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku (RE). Stac tedy dokazat, ze pro kazdou frontovou gramatiku G =(V;T;W;F;Sq0;P) je mozne sestrojit oboustrannyzasobnkovyautomatnadvolnougrupoum =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM) takovy, ze L(G) = L(M). Bez ztraty obecnosti predpokladejme, ze G splnuje podmnky popsane v Lemmatu 5.2. Konstrukce Konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou provedeme aplikac nasledujcch kroku: Q=ff;zg[fhq;1i;hq;2ijq 2 Wg Z = fzl;zr;zl;zrg[(v T)[N, kde N = fxjx 2(V T)g FM = ffg Mnozina pravidel R je zkonstruovana nasledujcm zpusobem: 1) pro axiom Sq0 gramatiky G, kde S 2 (V T), q0 2 (W F), pridej ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i do R 2) pro kazde (A;q;x;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), x 2(V T), pridej ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i do R 3) pro kazde q 2 W pridej ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i do R 4) pro kazde (A;q;y;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), y 2 T, pridej ZLjZRhq;2iy! ZLAjZRhp;2i do R 5) pro kazde (A;q;y;t) 2 P, kde A 2 (V T), p 2 (W F), t 2 F, pridej ZLjZRhq;2iy! Aj"f do R Nyn je konstrukce hotova. Pro dals casti dukazu zaved'me nasledujc notaci. Jestlize hq;1i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu generovan nonterminalu. Podobne jestlize hq;2i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu cten terminalu (pro nejake q 2 W). Nyn musme dokazat rovnost L(G) = L(M), tedy inkluze L(G) L(M) a L(M) L(G). Nejprve dokazeme prvn inkluzi, tedy L(G) L(M). Proved'me to postupnou demonstrac tvrzench A, B a C. 14

15 Tvrzen A Jestlize A1:::An#B1:::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1::: :::Bmx1:::xipvG,potomZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i! v M, kde A1;:::;An, B1;:::;Bm 2 (V T), x1;:::;xi 2 (V T), u;p 2 (W F), m 1, n 0,! 2 T, i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bmu )0 A1::: :::An#B1:::Bmu vg.jezrejme,zezlan:::a1a1:::anb1:::bmzrhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen A plat pro kazde i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvarua1:::an#b1:::bmu )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q a vyjadreme ji presneji jako A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1::: :::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G, kde l+2 m. Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `l ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! vm.vp existujepouze jeden typ pravidel schopny provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1::: :::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G. Jsou to pravidla tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F) a xl+1 2 (V T). Podle druheho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlzrhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! v M a tvrzen A tedy plat. Claim B Jestlize A1:::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1::: :::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bip v G, potom ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1::: :::BmZRhp;2ibi+1:::bj v M, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2(V T), a1;:::;ak, b1;:::;bj 2 T, u;p 2(W F), i < m, i < j, k 0. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bma1:::aku )0 A1::: :::An#B1:::Bma1:::aku v G. Je zrejme, ze take ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen B plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvaru A1:::An#B1:::Bma1::: :::aku )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q a vyjadremejipresnejijako A1:::An#B1:::Bma1:::aku )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1::: :::blbl+1q v G, kde l+2 m, k 0, i < j, l+2 j. 15

16 Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M. V tomto prpade existuje pouze jedna moznost jak muze G provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1::: :::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q, a to pomoc pravidla tvaru(bl+1;p; bl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F), bl+1 2 T. Podle ctvrteho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;2ibl+1! ZLBl+1jZRhq;2i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M a tvrzen B plat. Claim C Jestlize A1:::An 1#Anyq ) A1:::An 1An#yzt v G, kde A1;::: :::;An 2(V T), y;z 2 T, q 2(W F), t 2 F, potom ZLAn 1:::A1A1::: :::AnZRhq;2iz ` An:::A1A1:::Anf = "f v M, kde f 2 FM. Gramatika G provad popsanou derivaci pomoc pravidla tvaru (An;q;z;t) 2 P, kde An 2 (V T), z 2 T, q 2 (W F), t 2 F. Podle pateho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhq;2iz! Anj"f, takze odpovdajc krok popsany tvrzenm C se nepochybne v M vyskytuje. Tvrzen C tedy plat. Dohromady tvrzen A, B a C dokazuj, ze skutecne L(G) L(M). Abychom dokazali opacnou inkluzi, tedy L(M) L(G), demonstrujeme postupne platnost tvrzench D, E a F. Claim D AutomatM prijmakazdyretezecw 2 L(M)nasledujcmzpusobem. ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLSSX1 1 X1 2 :::X1 n 1ZRhq1;1iw1w2:::wr ` ZLX1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2ZRhq2;1iw1w2:::wr ` ZLX1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3ZRhq3;1iw1w2:::wr ` ::: ::: ::: ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+1;2iw2:::wr ` ZLXk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+2;2iw3:::wr ` 16

17 ::: ::: ::: ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr ` XmnmXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm f = "f v M,kde w = w1w2:::wr, r 1, w1;:::;wr 2 T, q0;q1;:::;qm+r 1 2(W F), X1 1 ;:::;X1 n 1;X2 1 ;:::;X2 n 2;:::;Xm 1 ;:::;Xm nm 2(V T), n1;n2;:::;nm 0, m 1, 0 k m. Proof of Claim D Nyn prozkoumame vsechny kroky konstrukce mnoziny automatovych pravidel R. Poznamenejme, ze v kazdem uspesnem vypoctu automat M pouzva vzdy pravidla zkonstruovana v kroku b pred tm, nez pouzije pravidla zkonstruovana v kroku b+1, pro b=1;:::;4. V prvnm kroku aplikuje M pravidlo ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i zkonstruovane v casti 1, kde Sq0 je axiom gramatiky G. Toto je jediny zpusob, kterym muze M provest prechod ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr. Vsimneme si, ze v kazdem uspesnem vypoctu automatu je toto pravidlo pouzito prave jednou. Pomoc nej se automat zaroven prepne do modu generovan nonterminalu. V dals casti vypoctu popsane sekvenc prechodu ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr pouzva M pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i zkonstruovana v bodu 2, kde A 2 (V T), x 2 (V T), p;q 2 (W F). Tato cast vypoctu je charakterizovana stavy automatu tvaru hq;1i, q 2(W F). Detailn dukaz teto casti je uveden v tvrzen E. V kroku ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr automat M prepne pomoc pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i zkonstruovaneho v bodu 3 do modu cten nonterminalu. Poznamenejme, ze toto pravidlo je behem jednoho uspesneho vypoctu automatu pouzito prave jednou. Protoze je jeho aplikac zmenen aktualn stav automatu tvaru hq;1i na stav tvaru hq;2i, q 2 (W F), nen jiz zadna dals moznost pouzit pravidel zkonstruovanych v bodech 1 az 3. V dals casti vypoctu popsane sekvenc kroku 17

18 ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr pouzva M pravidla zkonstruovana v bodu 4 a postupne nacta vstupn retezec. Podrobny dukaz teto casti je uveden v tvrzen F. Poslednm krokem automat prejde do koncoveho stavu f 2 FM pomoc nejakeho pravidla tvaru ZLjZRhq;2iy! Aj"f zkonstruovaneho v bodu 5, kde q 2 (W T), y 2 T a A 2 (V T). Pokud je oboustranny zasobnk po proveden tohoto kroku prazdny (po aplikaci grupovych redukc), pak byl vstupn retezec prijat. V opacnem prpade retezec prijat nen, nebot' v mnozine R neexistuje zadne pravidlo obsahujc f 2 FM na sve leve strane. Claim E Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i!vM,potomA1:::An#B1::: :::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bmx1:::xipvG,kde A1;:::;An;B1;::: :::;Bm 2(V T), x1;:::;xi 2(V T), u;p 2(W F), i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Pak ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Rozhodne take A1:::An#B1::: :::Bmu )0 A1:::An#B1:::Bmu v G. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen E plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok UvazujmelibovolnouposloupnostkrokutvaruZLAn:::A1A1::: :::AnB1:::BmZRhu;1i! `l+1 ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! a vyjadreme ji presneji jako ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;1i! `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M, kde q 2 (W F), l+2 m. Podle indukcn hypotezy A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1qvG.Vmno- zine R je pouze jeden typ pravidel schopnych provest posloupnost kroku ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An::: :::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M. Jsou to pravidla tvaru ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i 2 R. Podle konstrukce vsak existuje v G pravidlo tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, takze rovnez A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2::: :::Bmx1:::xlxl+1q v G a tvrzen E plat. Claim F Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1:::BmZRhp;2ibi+1:::bj vm,potoma1::: :::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bipv G, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2 V T, a1;:::;ak;b1;:::;bj 2 T a C;D 2 W F, i < m. 18

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ. Modelování Petriho sítěmi

PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ. Modelování Petriho sítěmi HPSim PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ 1962 - Carl Adam Petri formalismus pro popis souběžných synchronních distribučních systémů Modelování Petriho sítěmi Grafický popis a analýza systémů, ve kterých

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ REGULÁRNÍ A BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY I HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2005 Tento projekt byl spolufinancován Evropskou unií a českým státním rozpočtem Recenzent: Doc. Ing. Miroslav

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace

5.6.3 Rekursivní indexace složitostních tříd 5.6.4 Uniformní diagonalizace 5.6.5 Konstrukce rekursivních indexací a aplikace uniformní diagonalizace Obsah prvního svazku 1 Úvod 1.1 Přehled pojmů a struktur 1.1.1 Množiny, čísla a relace 1.1.2 Funkce 1.1.3 Pravděpodobnost 1.1.4 Grafy 1.2 Algebra 1.2.1 Dělitelnost, prvočíselnost a základní kombinatorické

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Správa počítačových systémů študenti MFF 15. augusta 2008 1 Vážený študent/čitateľ, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost

Týden 14. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 14 Přednáška PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomili jsme si nejprve, že např. pro zjištění toho, zda Bílý má nějakou strategii ve hře ŠACHY, která

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1

Uˇcebn ı texty k st atn ı bakal aˇrsk e zkouˇsce Obecn a informatika 8. z aˇr ı 2011 1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Obecná informatika 8. září 2011 1 Vážený študent/čitatel, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované študentmi

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

5. Formalizace návrhu databáze

5. Formalizace návrhu databáze 5. Formalizace návrhu databáze 5.1. Úvod do teorie závislostí... 2 5.1.1. Funkční závislost... 2 5.1.2. Vícehodnotová závislost (multizávislost)... 7 5.1.3. Závislosti na spojení... 9 5.2. Využití teorie

Více

Analýza a modelování dat 3. přednáška. Helena Palovská

Analýza a modelování dat 3. přednáška. Helena Palovská Analýza a modelování dat 3. přednáška Helena Palovská Historie databázových modelů Relační model dat Codd, E.F. (1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks". Communications of the ACM

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac 1/31 PLÁN PŘEDNÁŠKY

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

ÚVOD DO INFORMATIKY HASHIM HABIBALLA

ÚVOD DO INFORMATIKY HASHIM HABIBALLA ÚVOD DO INFORMATIKY HASHIM HABIBALLA ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: OP VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST ČÍSLO OBLASTI PODPORY: 7.3.2 TVORBA DISTANČNÍCH VZDĚLÁVACÍCH MODULŮ

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010 SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda

Více

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004

Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Jaký je rozdíl v definicicíh VARCHAR2(20 BYTE) a VARCHAR2(20 CHAR):

Jaký je rozdíl v definicicíh VARCHAR2(20 BYTE) a VARCHAR2(20 CHAR): Mezi příkazy pro manipulaci s daty (DML) patří : 1. SELECT 2. ALTER 3. DELETE 4. REVOKE Jaké vlastnosti má identifikující relace: 1. Je relace, která se využívá pouze v případě modelovaní odvozených entit

Více

Jiří Mašek BIVŠ V Pra r ha 20 2 08

Jiří Mašek BIVŠ V Pra r ha 20 2 08 Jiří Mašek BIVŠ Praha 2008 Procesvývoje IS Unifiedprocess(UP) Iterace vývoje Rysy CASE nástrojů Podpora metodických přístupů modelování Integrační mechanismy propojení modelů Podpora etap vývoje Generování

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

WSH Windows Script Hosting. OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007

WSH Windows Script Hosting. OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007 WSH Windows Script Hosting OSY 2 Přednáška číslo 2 opravená verze z 15.10.2007 Co je skript? Skriptování nástroj pro správu systému a automatizaci úloh Umožňuje psát skripty jednoduché interpretované programové

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku

Teorie informace 21.9.2014. Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.

Více

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku Znaky - standardní typ char var Z, W: char; - znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku - v TP (často i jinde) se používá kódová

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

úrok z prodlení, náhrada nákladů řízení, náklady oprávněného v exekuci úrok z prodlení, exekuci úrok z prodlení, exekuci úrok z prodlení, exekuci

úrok z prodlení, náhrada nákladů řízení, náklady oprávněného v exekuci úrok z prodlení, exekuci úrok z prodlení, exekuci úrok z prodlení, exekuci JUDr. Vladimr Szabo, insolvenčn správce e-mail: advokat@szabo.cz, IČ: 66 79 30, zapsán v seznamu advokátů pod čslem: 10 142 Nabdka postoupen pohledávek za úplatu v rámci řzen s dlužnkem Frontpage edeho

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

Systém elektronického rádce v životních situacích portálu www.senorady.cz

Systém elektronického rádce v životních situacích portálu www.senorady.cz Systém elektronického rádce v životních situacích portálu www.senorady.cz Obec Senorady Miroslav Patočka 2006 Obsah: 1. Úvodní informace 1.1 Informace pro uživatele 1.1.1 Přístupnost HTML, PDA, WAP, XML

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více