Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace"

Transkript

1 Vysoke ucen technicke v Brne Fakulta informacnch technologi Projekt v ramci predmetu TJD Formaln modely jazyku zalozene na automatech a jejich modikace 2005 Radek Bidlo

2 Abstrakt Tento dokument popisuje zakladn modely formalnch jazyku zalozene na automatech a zavad nektere dals modikace, kterymi je mozne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Detailneji je pojednano o oboustrannych zasobnkovych automatech nad volnou grupou, ktere vychaz z klasickych zasobnkovych automatu. Na zaver je prezentovan dukaz ekvivalence trdy jazyku prijmanych temito automaty s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku.

3 Obsah 1 Uvod 4 2 Zakladn pojmy a denice 2.1 Symbol, abeceda,retezec. 2.2 Jazyk nad abecedou Chomskeho hierarchie jazyku Grupy a volne grupy Konecne a zasobnkove automaty 3.1 Konecne automaty Zasobnkove automaty Konecne automaty nad grupami 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku Diskuse ke konecnym automatum Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Frontove gramatiky Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Diskuse k zasobnkovym automatum Zaver 20

4 1 Uvod Automaty predstavuj zakladn formaln model jakehokoliv vypoctu. Ten je zpravidla reprezentovan urcitou posloupnost prechodu konkretnho automatu mezi jednotlivymi jeho konguracemi podle presne danych pravidel, ktere jsou soucast denice automatu. Vypocet pak muzeme prohlasit za uspesny, nachaz-li se automat po proveden poslednho vypocetnho kroku v konguraci, ktera je de- novana jako clova. V opacnem prpade je vypocet neuspesny. Clova kongurace byva zpravidla reprezentovana koncovym stavem automatu, ale mohou pribyt i dals podmnky jako je naprklad vyprazdnen zasobnku a podobne. Samozrejmost je kompletn nacten vstupnho retezce. Z hlediska teorie formalnch jazyku chapeme automaty jako tzv. akceptory jazyku. Jazyk prijmany danym automatem pak zpravidla denujeme jako mnozinu vsech vet, ktere je schopen automat zpracovat a pritom po proveden poslednho kroku skoncit v nektere z clovych kongurac. Posloupnost takovychto kroku vedoucch do nektere clove kongurace pri prijman urcitehoretezce je pak mozno chapat jako uspesny vypocet daneho automatu. Nejznamejs z automatu, ktere se behem vyvoje teoreticke informatiky ustalily jako jakesi zakladn verze, jsou zejmena konecne automaty, zasobnkove automaty a Turingovy stroje. My se budeme podrobneji zabyvat konecnymi a zasobnkovymi automaty. V nasledujcch kapitolach si uvedeme vzdy presnou denici a ukazeme, jakou trdu jazyku jsou schopny ve sve zakladn variante denovat. Dale zavedeme nektera jejich rozsren prpadne omezen a budeme studovat akceptacn schopnosti nove vzniklych modelu. Podrobne se zamerme zejmena na automaty zasobnkove. U ctenare se predpoklada zakladn znalost teorie formalnch jazyku a algebry, viz [1] a [2]. 4

5 2 Zakladn pojmy a denice V teto kapitole zopakujeme naproste zaklady teorie formalnch jazyku a denujeme si formalne pojmy jako jsou abeceda,retezec, a jazyk nad abecedou. Zakladn denice jsou prevzaty z [3]. 2.1 Symbol, abeceda, retezec Denice 2.1 Abecedou nazvemekazdoukonecnouneprazdnoumnozinuprvku, ktere nazavame symboly teto abecedy. Libovolna sekvence symbolu urcite abecedy tvor retezec. Oznacme-li symbolem " prazdny retezec, tedy retezec, ktery neobsahuje zadne symboly, muzeme vsechny retezce denovat rekurzvne. Denice 2.2 Necht' je libovolna abeceda. 1. " jeretezec nad 2. je-li xretezec nad a a 2, pak take xa jeretezec nad 2.2 Jazyk nad abecedou Uvazujme libovolnou abecedu. Oznacme mnozinu vsech retezcu nad abecedou vcetne retezce prazdneho a + mnozinu vsech retezcu nad abecedou vyjma retezce prazdneho, tedy + = f"g. Jinymi slovy, + obsahuje vsechny neprazdne retezce nad abecedou. resp. + se nazyva iterace resp. pozitivn iterace mnoziny. Denujme nyn jazyk nad abecedou. Denice 2.3 Necht' je abeceda a necht' L. Potom L je jazyk nad abecedou. Z teto denice je zrejme, ze jazykem nad urcitou abecedou muze byt vlastne libovolna podmnozina iterace teto mnoziny. Otazkou zustava, jak takovy jazyk popsat. Moznost je nekolik. Jedna z nejmene praktickych je prmy vycet prvku jazyka. Tato varianta je vsak zcela nepouzitelna v prpade nekonecnych jazyku a problemy nastavaj jiz pri pokusu o popis rozsahlych konecnych jazyku. Proto byly vyvinuty urcite formaln modely, ktere poskytuj konecne prostredky pro popis obecne nekonecnych jazyku. Tyto modely muzeme rozdelit do dvou zakladnch skupin gramatiky a automaty. My se v tomto projektu zamerme prave na automaty. 2.3 Chomskeho hierarchie jazyku V roce 1956 rozdelil americky jazykovedec Avram Noam Chomsky jazyky do hierarchie podle tvaru prepisovacch pravidel gramatik, kterymi mohou byt generovany. Tato hierarchie byla jednm z nejvyznamnejsch objevu dvacateho stolet v oblasti teorie formalnch jazyku a dosud nese jeho jmeno. Prestoze se postupem casu objevily dals formaln modely, ktere svymi vyjadrovacmi schopnostmi 5

6 zasahuj pres nekolik trd jazyku Chomskeho hierarchie (tedy jsou schopny popsat z kazde skupiny pouze nektere jazyky), jedna se stale o jedno ze zakladnch clenenjazykuatrdyjazykutetohierarchiebyvajsrovnavanyvmnohadukazech ekvivalence trd jazyku denovanych jinymi formalnmi modely. Protoze je tento dokument zameren hlavne na automaty jako prostredky pro popis formalnch jazyku, popisme si jednotlive trdy jazyku Chomskeho hierarchie pouze neformalne. jazyky typu 0 zahrnuj vsechny jazyky s gramatickym zakladem; vsechny tyto jazyky jsou prijmany Turingovymi stroji a jsou zname taktez pod oznacenm rekurzvne vycslitelne jazyky jazyky typu 1 zname tez pod oznacenm kontextove jazyky; vsechny tyto jazyky jsou prijmany linearne ohranicenymi nedeterministickymi Turingovymi stroji jazyky typu 2 oznacovany tez jako bezkontextove jazyky; tyto jazyky jsou prijmany nedeterministickymi zasobnkovymi automaty (viz dale) a predstavuj urcity teoreticky zaklad syntaxe mnoha programovacch jazyku jazyky typu 3 oznacovany vetsinou jako regularn jazyky, ktere jsou prijmany konecnymi automaty (viz dale) Jednotlive trdy jsou vzajemne vazany ostrou inkluz. Oznacme-li symboly RE, CS, CF a REG postupne trdu rekurzvne vycslitelnych, kontextovych, bezkontextovych a regularnch jazyku, potom plat REGCFCSRE. 2.4 Grupy a volne grupy V teto casti uvedeme velmi strucne denici grupy a jej zobecnene varianty volne grupy (zejmena s ohledem na nase dals pouzit v kapitole 5). Teorie grup tvor samostatnou algebraickou disciplnu a je velmi obsahla. My si zde proto uvedeme opravdu jen to nejdulezitejs, co budeme v dalsch castech tohoto dokumentu potrebovat. Denice 2.4 Necht' V je mnozina. Strukturu(V; ;e) nazveme grupou, jestlize :V V! V je binarn asociativn operator (uzavreny na V) existuje unikatn prvek e 2 V takovy, ze e a=a e=a pro kazde a 2 V pro kazde a 2 V existuje a 2 V takove, ze a a=a a=e; Denice 2.5 Necht' V je abeceda a necht' je binarn asociativn operator konkatenace. Strukturu (V ; ;") nazveme volnou grupou generovanou mnozinou V a operac konkatenace, jestlize pro kazde dvaretezce x;y 2 V plat x y 2 V existuje unikatn retezec " zvany prazdny, ktery je neutralnm prvkem teto struktury (tj. pro kazdyretezec x 2 V plat x "=" x=x) prokazdyretezectvarux=x1x2:::xn 2 V,n0existujex=xn:::x2x1 zvany inverzn takovy, ze plat x x=x x=" 6

7 3 Konecne a zasobnkove automaty Automaty, chapane jako formaln modely vypoctu nebo jako akceptory jazyku, lze rozdelit do nasledujcch trd. 1. Konecne automaty 2. Zasobnkove automaty 3. Turingovy stroje My se v tomto dokumentu zamerme na konecne a zasobnkove automaty. V teto kapitole si uvedeme jejich zakladn denici. V dals kapitole potom ukazeme, jak vhodnym rozsrenm zakladnch modelu muzeme vyrazne zvysit jejich akceptacn schopnosti. Poznamenejme, ze dale se jiz automaty nebudeme zabyvat ve smyslu modelu vypoctu, ale ve smyslu akceptoru jazyku. 3.1 Konecne automaty Konecnyautomatjenejslabsformalnmodelzvyseuvedeneskupiny.Jakjsmejiz uvedli vyse, konecne automaty denuj pouze trdu regularnch jazyku. Uved'me si nyn jeho formaln denici. Denice 3.1 Konecny automat je petice, M =(Q; ;R;q0;F), kde Q je konecna mnozina vnitrnch stavu je konecna vstupn abeceda Rjekonecnamnozinapravideltvarupa! q,kdep;q 2 Q,a 2 ;vprpade, ze plat a 2 [f"g, nazyva se konecny automat rozsreny; pokud navc pro kazdy symbol a 2 plat, ze existuje pro kazdy stav q 2 Q nejvyse jedno pravidlo qa! p, pro nejake p 2 Q, nazyva se takovyto konecny automat deterministicky q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac konecneho automatu M rozumme retezec qx, kde q 2 Q a x 2. Pokud qax a px jsou dve kongurace a qa! p 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace qax do kongurace px podle pravidla qa! p a pseme qax ` px[qa! p] nebo strucneji qax ` px. Symbol ` oznacuje relaci prechodu mezi jednotlivymi konguracemi. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 ^q0w ` f ^f 2 Fg Poznamenejme na zaver tohoto odstavce, ze deterministicke konecne automaty maj stejnou vyjadrovac schopnost jako nedeterministicke, tedy denuj rovnez trdu regularnch jazyku. Clenen z tohoto hlediska vsak pro nas nen podstatne a proto se jm nebudeme zabyvat. 7

8 3.2 Zasobnkove automaty Zasobnkovy automat(pushdown automaton, PDA) svym zpusobem predstavuje urcite rozsren konecneho automatu v tom smyslu, ze obsahuje zasobnk jako vnejspamet'teoretickyneomezenevelikosti.jehogenerativnslajevchomskeho hierarchiiostupenvyse jakjsmejizuvedlidrve,nedeterministicke zasobnkove automaty denuj trdu bezkontextovych jazyku. Na rozdl od konecnych automatu,deterministickezasobnkoveautomatymajnizsvyjadrovacschopnostnez nedeterministicke. Oznacme-li PDA(NED) trdu jazyku prijmanych nedeterministickymi zasobnkovymi automaty a PDA(DET) trdu jazyku prijmanych deterministickymi zasobnkovymi automaty, pak plat REG PDA(DET) PDA(NED)=CF Pokud budeme v dalsch castech hovorit o zasobnkovem automatu (nebo jeho modikaci), budeme mt vzdy na mysli nedeterministickou variantu. Uved'me si nyn formaln denici. Denice 3.2 Zasobnkovy automat je n-tice M = (Q; I; PD;R;Z;q0;F), kde Q je konecna mnozina stavu I je konecna vstupn abeceda PD je konecna zasobnkova abeceda R je konecna mnozina pravidel tvaru Apa! wq, kde A 2 PD, p;q 2 Q, a 2 I [f"g, and w 2 PD Z PD je pocatecn symbol zasobnku q0 2 je pocatecn stav F Q je mnozina koncovych stavu Kongurac zasobnkoveho automatu M rozumme retezec yqx, kde q 2 Q, y 2 PD a x 2 I. Pokud uaqav a uwpv jsou dve kongurace a Aqa! wp 2 R, pak automat M provad prechod z kongurace uaqav do kongurace uwpv podle pravidla Aqa! wp a pseme uaqav ` uwpv[aqa! wp] nebo strucneji uaqav ` uwpv. Symboly `n, `+ a ` oznacuj postupne posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prechodu `. Jazyk prijmany automatem M muze byt denovan tremi zpusoby: a) prechodem do koncoveho stavu: L(Mf) = fwjw 2 I ^Zq0w ` rf; where f 2 F;r 2 PD g b) svyprazdnenmzasobnku: L(Me)=fwjw 2 I^Zq0w ` p;where p 2 Qg c) prechodem do koncoveho stavu a s vyprazdnenm zasobnku: L(Mfe) = fwjw 2 I ^Zq0w ` f; where f 2 Fg Klasicke konecne a zasobnkove automaty jsou v teorii formalnch jazyku vseobecne zname a tvor vyznamny formaln zaklad pro nescetne mnozstv praktickych aplikac (zejmena v oblasti lexikaln a syntakticke analyzy). V dalsch castechsialeukazemenekteredalsprostredky,jakymimuzemeschopnostikonecnych a zasobnkovych automatu vylepsit. 8

9 4 Konecne automaty nad grupami Napln teto kapitoly je cerpana z [4] a [5]. Necht' K = (M;;e) je grupa s bazovou mnozinou M, binarn operac a neutralnm prvkem e. Denice 4.1 Rozsreny konecny automat (extended nite automaton, EFA) nad grupou K jesestice A=(Q; ;K;R;q0;F), kde Q,, q0, F maj stejny vyznam jako v prpade bezneho konecneho automatu, tedy konecna mnozina stavu, konecna vstupn abeceda, pocatecn stav a mnozina koncovych stavu (v tomto porad) R:Q ( [f"g)! Pf(Q M) Takto denovany automat muzeme povazovat za bezny konecny automat, ktery ma navc registr pro uchovan libovolneho prvku z M. Relace (q;m) 2 R(s;a), kde q;s 2 Q, a 2 [f"g, m 2 M znamena, ze automat A zmen svuj soucasny stav s na stav q, precte ze vstupn pasky symbol a a do registru uloz hodnotu xm, kde x je stary obsah registru. Startovac hodnota registru je e. Kongurac takovehoto automatu rozumme trojici (q;u;m), kde q 2 Q, u 2 a m 2 M.Necht'potom(q;aw;m)a(s;w;mr)jsoudvekongurace, r 2 M, a necht' (s;r) 2 R(q;a). Pak pseme (q;aw;m) `(s;w;mr) a rkame, ze automat A provad krok (prechod) z kongurace (q;aw;m) do kon- gurace (s;w;mr) podle (s;r) 2 R(q;a). My se dale zamerme na rozsrene konecne automaty nad volnymi grupami. Pripomenme, ze pro kazdou (ne-abelovskou) grupu K existuje homomorsmus z volne grupy do K. Volnou grupu generovanou nejakou neprazdnou spocetnou mnozinou M oznacme F(M). Grupu s n generatory potom oznacme jako Fn. Dale oznacme L(EFA(Fn)) trdu jazyku prijmanych rozsrenymi konecnymi automaty nad volnymi grupami s n generatory. Pripomenme z[7] denici aditivn valencn gramatiky(additive valence grammar),kteragenerujejazykpodobnymzpusobemjakojedenovanjazykprijmany vyse popsanym rozsrenym konecnym automatem. Aditivn valencn gramatika je petice, G = (N;T;P;S;v), kde (N;T;P;S) je bezna gramatika Chomskeho hierarchie a v je zobrazen z P do mnoziny celych csel. Jazyk generovany gramatikou G je tvoren vsemi retezce nad terminaln abecedou T takovymi, ktere byly vygenerovany posloupnost pravidel p1, p2,:::, pn 2 P a zaroven v(p1) + v(p2)+::: +v(pn) = 0. Protoze F1 a aditivn grupa celych csel jsou isomorfn, potom kazdy jazyk generovany nejakou regularn gramatikou s aditivn valenc je obsazen v L(EFA(F1)) a naopak. 4.1 Nova charakterizace bezkontextovych jazyku V predchozch kapitolach jsme si jiz denovali vse potrebne pro to, abychom mohli uvest vyznamny vysledek teto kapitoly prevzaty z [5]. 9

10 Veta 4.1 CF= L(EFA(F2)) Jinymi slovy tento matematicky zapis rka, ze kazdy bezkontextovy jazyk muze byt prijman rozsrenym zasobnkovym automatem nad volnou grupou se dvema generatory. Uved'me si alespon nastin dukazu teto vety, ktery bude sestavat ze dvou cast. PrvncastdokazujeinkluziCF L(EFA(F2)),tedyskutecnost,zetrdabezkontextovychjazykujeobsazenavtrdejazykuprijmanychrozsrenymikonecnymi automaty nad volnymi grupami s dvema generatory. Proof Necht' L je bezkontextovy jazyk prijmany nejakym zasobnkovym automatem P =(Q;V; ;R;Z;q0;F) koncovym stavem a vyprazdnenm zasobnku, kde = fx1;x2;:::;xng, X1 = Z. Bez ztraty obecnosti dale muzeme predpokladat, ze pro libovolny koncovy stav jiz nen denovan zadny prechod. Polozme M = fc1;c2;:::;cng a zaved'me zobrazen :! F(M) jako (Xi) = ci, 1 n. Nyn konstruujme rozsreny konecny automat nad volnou grupou F(M), A = (Q[ fs0g;v;f(m);f;s0;f), kde f(s0;")=f(q0;c1)g a f(q;a)= [ f(p;((x)) 1(Ym):::(Y2)(Y1))jXqa! Y1Y2:::Ymp 2 Rg[ X2 [ X2 f(p;((x)) 1jXqa! p 2 Rg pro vsechna a 2 V [ f"g a q 2 Q. Matematickou indukc pak lze ukazat, ze R1R2:::Rmqxy `n R0 1 R0 2 :::R0 s q0y v P prave kdyz (q;xy;(rm)(rm 1):::(R1)) `n (q0;y;(r0 s )(R0 s 1 ):::(R0 1 )) v A. Oba automaty pak jsou v kazdem kroku ve stejnem stavu a neutraln prvek volne grupy se v registru automatu A objev prave v okamziku, kdyz se vyprazdn zasobnk automatu P. Jazyky generovane automatem A a automatem PDA jsou tedy shodne. Protoze kazda volna grupa je zaroven podgrupou binarn volne grupy, je dukaz hotovy. Dukaz inkluze L(EFA(F2)) CF uved'me jiz pouze strucne. V tomto prpade budeme na pocatku uvazovat libovolny rozsreny konecny automat nad volnou grupou s dvema generatory. Po konstrukci vhodne prave linearn gramatiky dale denujeme tzv. smesovac operaci (shue operation) o rekurzvne takto: (uo")=("ou)=fug a (auobw)=a(uobv)[b(auov) kde u;v jsou retezce a a;b symboly. Prirozene rozsren teto operace na jazyky provedeme jako [ L1oL2 = (uov) u2l1;v2l2 10

11 S vyuzitm Dykova jazyka (Dyck language)radu 2 (viz strana 603 v [3]) a vlastnost uzaveru rodiny bezkontextovych jazyku dokazeme, ze L(A) je skutecne bezkontextovy. Prpadne zajemce odkazujeme na [5], kde je dukaz kompletn. Jiz bez dukazu si uved'me jakysi souhrn teto casti, ktery je prevzat rovnez z [5]. Veta 4.2 REG=L(EFA(F0)) L(EFA(F1)) L(EFA(F2))=CF Zminme se strucne i o deterministickych konecnych automatech nad volnymi grupami. Je vseobecne znamo, ze bezne deterministicke a nedeterministicke konecne automatymajstejnouvyjadrovacschopnost.ztohotopohledujevsakprekvapujc, ze deterministicke konecne automaty nad volnymi grupami maj mens vyjadrovac slu nez jejich nedeterministicke varianty. Podvame-li se vsak na tuto problematiku ze strany bezkontextovych jazyku, jejichz formalnmi modely jsou i zasobnkove automaty, jedna se vlastne o prirozenou vlastnost, nebot' deterministicke zasobnkove automaty jsou taktez slabs nez jejich nedeterministicke varianty. Vce o teto problematice lze opet najt v [5]. 4.2 Diskuse ke konecnym automatum V teto kapitole jsme si demonstrovali nektere dals modikace beznych konecnych automatu. Vidme, ze jejich vhodnym rozsrenm jsme schopni do urcite mry zvysitjejichvyjadrovacschopnosti.nejsmetedyomezenipouzetrdouregularnch jazyku. V nasledujc kapitole se budeme pro zmenu zabyvat zasobnkovymi automaty a ukazeme, ze podobny prstup je aplikovatelny i v teto oblasti. 11

12 5 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami Mnozina vsech retezcu nad urcitou abecedou je obvykle vyjadrena volnym monoidem generovanym symboly teto abecedy a operac konkatenace. Neutralnm prvkem je pak prazdnyretezec". Nad mnozinou vsechretezcu jsou denovany relace prme derivace a dals souvisejc operace. My vsak volne monoidy castecne opustme. Kazdy prvek puvodn abecedy rozsrme o jeho inverzn variantu a mnozinu vsech retezcu nad nove vzniklou abecedou budeme denovat pomoc volnegrupygenerovanetoutoabecedouaoperackonkatenace.kromeneutralnho prvku " zskame i inverzn retezce. Konkatenac kazdeho retezce s jeho inverzn variantou pak zskame prave prazdny retezec " (viz denice 2.4 a 2.5). Tato kapitola je ispirovana clankem [6]. Zavad vsak zcela novy prstup, zjednodusuje konstrukci pravidel automatu a zpruhlednuje dukaz. 5.1 Frontove gramatiky Pro denici a konstrukci oboustrannych zasobnkovych automatu nad volnymi grupami vyuzijeme tzv. frontove gramatiky (viz tez [8]). Denice 5.1 Frontova gramatika je sestice G =(V;T;W;F;s;P), kde V a W jsou dve konecne abecedy, pro ktere plat V \W =? T V, F W s 2(V T)(W F) je axiom P V (W F) V W je konecna relace takova, ze pro kazde a 2 V existuje prvek (a;b;x;c) 2 P. Jestlize u;v 2 V W jsou retezce tvaru u = arb, v = rxc, kde a 2 V, r;x 2 V, b;c 2 W a(a;b;x;c) 2 P,pakrkame,zeu prmoderivujev vefrontovegramatice G podle pravidla (a;b;x;c). Pseme arb ) rxc[(a;b;x;c)] Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany frontovou gramatikou G, je denovan jako L(G) = fw 2 T js ) wf; kde f 2 Fg. Denice 5.2 Leve rozsrena frontova gramatika (viz tez [9]) je sestice G = (V;T;W;F;s;P), kde V;T;W;F a s maj stejny vyznam jako v prpade bezne frontove gramatiky a P V (W F) V W je konecna relace (poznamenejme, ze tato denice nevyzaduje, aby pro kazde a 2 V existovalo nejake pravidlo (a;b;x;c) 2 P). Krome toho predpokladejme, ze # 62(V [ W). Jestlize u;v 2 V f#gv W jsou retezce tvaru u = w#arb, v = wa#rxc, kde a 2 V, r;x;w 2 V, b;c 2 W a (a;b;x;c) 2 P, potom pseme w#arb ) wa#rxc[(a;b;x;c)] 12

13 Symboly )n, ) a )+ oznacuj postupne derivaci delky n, n 0, tranzitivn uzaver a reexivn-tranzitivn uzaver relace prme derivace `. Jazyk generovany leve rozsrenou frontovou gramatikou G je denovan jako L(G)=fy 2 T j#s ) w#yf pro nejake w 2 V a f 2 Fg. Oznacme QG trdu jazyku generovanych frontovymi gramatikami. Plat nasledujc veta. Veta 5.1 QG=RE. Dukaz je mozne nalezt v [8]. Nasledujc pomocna veta bude vyuzita pri konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou. Lemma 5.2 Pro kazdy rekurzvne vycslitelny jazyk L existuje leve rozsrena frontova gramatika G takova, ze L = L(G) a pro kazde pravidlo (a;b;x;c) 2 P plat a 2(V T), b 2(W F) a x 2((V T) [T ). Dukaz viz [3]. 5.2 Oboustranne zasobnkove automaty nad volnymi grupami M =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM), kde Q je konecna mnozina stavu T je konecna vstupn abeceda Z je konecna zasobnkova abeceda Denice 5.3 Oboustranny zasobnkovy automat nad volnou grupou je n-tice R je konecna mnozina pravidel tvaru Z1jZ2px! 1j2q, kde Z1;Z2 2 Z, 1;2 2 Z, x 2 T a p;q 2 Q; poznamenejme, ze takovyto automat muze nactat v jednom vypocetnm kroku vce nez jeden vstupn symbol (transformace na klasicky automat ctouc nejvyse jeden symbol ze vstupu je trivialn) z je pocatecn stav ZL resp.zr jepocatecnsymbolleveresp.pravestranyzasobnku,zl;zr 2 Z FM Q je mnozina koncovych stavu Kongurac oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou rozumme retezec qw, kde q 2 Q, 2 Z a w 2 T. Pokud LRpxy a LRqy jsou dve kongurace a LjRpx! LjRq 2 R, kde x;y 2 T, p;q 2 Q, L;R 2 Z a L;;R 2 Z, pak automat M provad prechod z kongurace LRpxy do kongurace LRqy podle pravidla LjRpx! LjRq a pseme LRpxy ` LRqy[LjRpx! LjRq] Relace `n, `+ a ` oznacuj posloupnost prechodu delky n, n 0, tranzitivn a reexivn-tranzitivn uzaver relace ` v tomto porad a jsou denovany obvyklym zpusobem. 13

14 Jazyk prijmany oboustrannym zasobnkovym automatem M je denovan jako L(M)=fwjw 2 T ;ZRZLzw ` "f, kde f 2 FMg. Vsimneme si, zeretezce vyskytujc se na oboustrannem zasobnku jsou tvoreny volnou grupou generovanou abecedou Z operac konkatenace. Retezec w je automatem prijat pouze tehdy, pokud je beze zbytku nacten, zasobnk je prazdny a automat se po proveden poslednho kroku nachaz v nekterem koncovem stavu. Nyn se jiz dostavame k hlavnmu vysledku tohoto projektu. Oznacme 2PDA trdu jazyku prijmanych oboustrannymi zasobnkovymi automaty nad volnymi grupami. Veta 5.3 2PDA =RE Dukaz Je dokazano, ze trda jazyku generovanych frontovymi gramatikami (QG) je totozna s trdou rekurzvne vycslitelnych jazyku (RE). Stac tedy dokazat, ze pro kazdou frontovou gramatiku G =(V;T;W;F;Sq0;P) je mozne sestrojit oboustrannyzasobnkovyautomatnadvolnougrupoum =(Q;T;Z;R;z;ZL;ZR;FM) takovy, ze L(G) = L(M). Bez ztraty obecnosti predpokladejme, ze G splnuje podmnky popsane v Lemmatu 5.2. Konstrukce Konstrukci oboustranneho zasobnkoveho automatu nad volnou grupou provedeme aplikac nasledujcch kroku: Q=ff;zg[fhq;1i;hq;2ijq 2 Wg Z = fzl;zr;zl;zrg[(v T)[N, kde N = fxjx 2(V T)g FM = ffg Mnozina pravidel R je zkonstruovana nasledujcm zpusobem: 1) pro axiom Sq0 gramatiky G, kde S 2 (V T), q0 2 (W F), pridej ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i do R 2) pro kazde (A;q;x;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), x 2(V T), pridej ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i do R 3) pro kazde q 2 W pridej ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i do R 4) pro kazde (A;q;y;p) 2 P, kde A 2(V T), p;q 2(W F), y 2 T, pridej ZLjZRhq;2iy! ZLAjZRhp;2i do R 5) pro kazde (A;q;y;t) 2 P, kde A 2 (V T), p 2 (W F), t 2 F, pridej ZLjZRhq;2iy! Aj"f do R Nyn je konstrukce hotova. Pro dals casti dukazu zaved'me nasledujc notaci. Jestlize hq;1i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu generovan nonterminalu. Podobne jestlize hq;2i je aktualn stav automatu M, rkame, ze M je v modu cten terminalu (pro nejake q 2 W). Nyn musme dokazat rovnost L(G) = L(M), tedy inkluze L(G) L(M) a L(M) L(G). Nejprve dokazeme prvn inkluzi, tedy L(G) L(M). Proved'me to postupnou demonstrac tvrzench A, B a C. 14

15 Tvrzen A Jestlize A1:::An#B1:::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1::: :::Bmx1:::xipvG,potomZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i! v M, kde A1;:::;An, B1;:::;Bm 2 (V T), x1;:::;xi 2 (V T), u;p 2 (W F), m 1, n 0,! 2 T, i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bmu )0 A1::: :::An#B1:::Bmu vg.jezrejme,zezlan:::a1a1:::anb1:::bmzrhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen A plat pro kazde i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvarua1:::an#b1:::bmu )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q a vyjadreme ji presneji jako A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1::: :::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G, kde l+2 m. Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `l ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! vm.vp existujepouze jeden typ pravidel schopny provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1::: :::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1q v G. Jsou to pravidla tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F) a xl+1 2 (V T). Podle druheho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlzrhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! v M a tvrzen A tedy plat. Claim B Jestlize A1:::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1::: :::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bip v G, potom ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1::: :::BmZRhp;2ibi+1:::bj v M, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2(V T), a1;:::;ak, b1;:::;bj 2 T, u;p 2(W F), i < m, i < j, k 0. Zaklad indukce Necht' i = 0. Potom A1:::An#B1:::Bma1:::aku )0 A1::: :::An#B1:::Bma1:::aku v G. Je zrejme, ze take ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;2ib1:::bj `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj v M. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen B plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok Uvazujme libovolnou derivaci tvaru A1:::An#B1:::Bma1::: :::aku )l+1 A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q a vyjadremejipresnejijako A1:::An#B1:::Bma1:::aku )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1::: :::blbl+1q v G, kde l+2 m, k 0, i < j, l+2 j. 15

16 Podle indukcn hypotezy ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M. V tomto prpade existuje pouze jedna moznost jak muze G provest derivaci A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bma1:::akb1:::blp ) A1:::AnB1::: :::BlBl+1#Bl+2:::Bma1:::akb1:::blbl+1q, a to pomoc pravidla tvaru(bl+1;p; bl+1;q) 2 P, kde Bl+1 2 (V T), p;q 2 (W F), bl+1 2 T. Podle ctvrteho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhp;2ibl+1! ZLBl+1jZRhq;2i, takze ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhp;2ibl+1:::bj ` ZLBl+1Bl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BmZRhq;2ibl+2:::bj v M a tvrzen B plat. Claim C Jestlize A1:::An 1#Anyq ) A1:::An 1An#yzt v G, kde A1;::: :::;An 2(V T), y;z 2 T, q 2(W F), t 2 F, potom ZLAn 1:::A1A1::: :::AnZRhq;2iz ` An:::A1A1:::Anf = "f v M, kde f 2 FM. Gramatika G provad popsanou derivaci pomoc pravidla tvaru (An;q;z;t) 2 P, kde An 2 (V T), z 2 T, q 2 (W F), t 2 F. Podle pateho bodu konstrukce existuje v R pravidlo ZLjZRhq;2iz! Anj"f, takze odpovdajc krok popsany tvrzenm C se nepochybne v M vyskytuje. Tvrzen C tedy plat. Dohromady tvrzen A, B a C dokazuj, ze skutecne L(G) L(M). Abychom dokazali opacnou inkluzi, tedy L(M) L(G), demonstrujeme postupne platnost tvrzench D, E a F. Claim D AutomatM prijmakazdyretezecw 2 L(M)nasledujcmzpusobem. ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLSSX1 1 X1 2 :::X1 n 1ZRhq1;1iw1w2:::wr ` ZLX1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2ZRhq2;1iw1w2:::wr ` ZLX1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3ZRhq3;1iw1w2:::wr ` ::: ::: ::: ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3::: :::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+1;2iw2:::wr ` ZLXk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+2;2iw3:::wr ` 16

17 ::: ::: ::: ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr ` XmnmXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm f = "f v M,kde w = w1w2:::wr, r 1, w1;:::;wr 2 T, q0;q1;:::;qm+r 1 2(W F), X1 1 ;:::;X1 n 1;X2 1 ;:::;X2 n 2;:::;Xm 1 ;:::;Xm nm 2(V T), n1;n2;:::;nm 0, m 1, 0 k m. Proof of Claim D Nyn prozkoumame vsechny kroky konstrukce mnoziny automatovych pravidel R. Poznamenejme, ze v kazdem uspesnem vypoctu automat M pouzva vzdy pravidla zkonstruovana v kroku b pred tm, nez pouzije pravidla zkonstruovana v kroku b+1, pro b=1;:::;4. V prvnm kroku aplikuje M pravidlo ZLjZRz! ZLjSZRhq0;1i zkonstruovane v casti 1, kde Sq0 je axiom gramatiky G. Toto je jediny zpusob, kterym muze M provest prechod ZLZRzw1w2:::wr ` ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr. Vsimneme si, ze v kazdem uspesnem vypoctu automatu je toto pravidlo pouzito prave jednou. Pomoc nej se automat zaroven prepne do modu generovan nonterminalu. V dals casti vypoctu popsane sekvenc prechodu ZLSZRhq0;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr pouzva M pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLAjxZRhp;1i zkonstruovana v bodu 2, kde A 2 (V T), x 2 (V T), p;q 2 (W F). Tato cast vypoctu je charakterizovana stavy automatu tvaru hq;1i, q 2(W F). Detailn dukaz teto casti je uveden v tvrzen E. V kroku ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;1iw1w2:::wr ` ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr automat M prepne pomoc pravidla tvaru ZLjZRhq;1i! ZLjZRhq;2i zkonstruovaneho v bodu 3 do modu cten nonterminalu. Poznamenejme, ze toto pravidlo je behem jednoho uspesneho vypoctu automatu pouzito prave jednou. Protoze je jeho aplikac zmenen aktualn stav automatu tvaru hq;1i na stav tvaru hq;2i, q 2 (W F), nen jiz zadna dals moznost pouzit pravidel zkonstruovanych v bodech 1 az 3. V dals casti vypoctu popsane sekvenc kroku 17

18 ZLXk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 :::Xm n 3::: 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm;2iw1w2:::wr ` ZLXm nm 1::::::Xk j+2 Xk j+1 Xk j :::X1 2 X1 1 SSX1 1 X1 2 :::X1 n 1X2 1 X2 2 ::: :::X2 n 2X3 1 X3 2 :::X3 n 3:::Xm 1 Xm 2 :::Xm nm ZRhqm+r 1;2iwr pouzva M pravidla zkonstruovana v bodu 4 a postupne nacta vstupn retezec. Podrobny dukaz teto casti je uveden v tvrzen F. Poslednm krokem automat prejde do koncoveho stavu f 2 FM pomoc nejakeho pravidla tvaru ZLjZRhq;2iy! Aj"f zkonstruovaneho v bodu 5, kde q 2 (W T), y 2 T a A 2 (V T). Pokud je oboustranny zasobnk po proveden tohoto kroku prazdny (po aplikaci grupovych redukc), pak byl vstupn retezec prijat. V opacnem prpade retezec prijat nen, nebot' v mnozine R neexistuje zadne pravidlo obsahujc f 2 FM na sve leve strane. Claim E Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xiZRhp;1i!vM,potomA1:::An#B1::: :::Bmu )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bmx1:::xipvG,kde A1;:::;An;B1;::: :::;Bm 2(V T), x1;:::;xi 2(V T), u;p 2(W F), i < m. Zaklad indukce Necht' i = 0. Pak ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! `0 ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;1i! v M. Rozhodne take A1:::An#B1::: :::Bmu )0 A1:::An#B1:::Bmu v G. Indukcn hypoteza Predpokladejme, ze tvrzen E plat pro vsechna i l, kde l je kladne cele cslo. Indukcn krok UvazujmelibovolnouposloupnostkrokutvaruZLAn:::A1A1::: :::AnB1:::BmZRhu;1i! `l+1 ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1::: :::xlxl+1zrhq;1i! a vyjadreme ji presneji jako ZLAn:::A1A1:::AnB1::: :::BmZRhu;1i! `l ZLBl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M, kde q 2 (W F), l+2 m. Podle indukcn hypotezy A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1::: :::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2:::Bmx1:::xlxl+1qvG.Vmno- zine R je pouze jeden typ pravidel schopnych provest posloupnost kroku ZLBl::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlZRhp;1i! ` ZLBl+1Bl:::B1An::: :::A1A1:::AnB1:::Bmx1:::xlxl+1ZRhq;1i! v M. Jsou to pravidla tvaru ZLjZRhp;1i! ZLBl+1jxl+1ZRhq;1i 2 R. Podle konstrukce vsak existuje v G pravidlo tvaru (Bl+1;p;xl+1;q) 2 P, takze rovnez A1:::An#B1:::Bmu )l A1:::AnB1:::Bl#Bl+1:::Bmx1:::xlp ) A1:::AnB1:::BlBl+1#Bl+2::: :::Bmx1:::xlxl+1q v G a tvrzen E plat. Claim F Jestlize ZLAn:::A1A1:::AnB1:::BmZRhu;2ib1:::bj `i ZLBi::: :::B1An:::A1A1:::AnB1:::BiBi+1:::BmZRhp;2ibi+1:::bj vm,potoma1::: :::An#B1:::Bma1:::aku )i A1:::AnB1:::Bi#Bi+1:::Bma1:::akb1:::bipv G, kde A1;:::;An;B1;:::;Bm 2 V T, a1;:::;ak;b1;:::;bj 2 T a C;D 2 W F, i < m. 18

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Substituce a morfismy jednoduše

Substituce a morfismy jednoduše Substituce a morfismy jednoduše Petr Zemek 31. července 2010 Abstrakt Tento text si dává za cíl srozumitelně a formou příkladů osvětlit problematiku substitucí a morfismů v rozsahu předmětu Teoretická

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických

ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI. 1. Úvod. V posledních letech se ukázalo, že teorii fraktálů lze využít v mnoha teoretických Kvaternion 2 (2012, 83 89 83 ŠIFROVACÍ METODA ZALOŽENÁ NA FRAKTÁLNÍ KOMPRESI TOMÁŠ GRÍSA Abstrakt Tento článek se zabývá teoretickými principy fraktální komprese a využitím modifikovaného algoritmu fraktální

Více

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy

FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Teorie programovacích jazyků. Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Teorie programovacích jazyků Dvourozměrné jazyky a digitální obrazy Ak.rok: 2008/2009 Jiří Koutný Abstrakt Následující text je projektem do

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků

Automaty a gramatiky. Na zopakování X*/~ Roman Barták, KTIML. Iterační (pumping) lemma. Pravidelnost regulárních jazyků 2 utomaty a gramatiky Roman Barták, KTML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Na zopakování Víme, co je konečný automat = (Q,X,δ,q,F) Umíme konečné automaty charakterizovat (Myhill-)Nerodova

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky Tato skripta jsou určena pro kurs Základy matematické informatiky

Více

Teoretická informatika TIN

Teoretická informatika TIN Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence

ALGEBRA. Zapisky z prednasky. 1 Algebry, homomorsmy a kongruence ALGEBRA Zapisky z prednasky 1 Algebry, homomorsmy a kongruence denice Necht' A je mnozina, pak o zobrazen : A N! A rekneme, ze je n-arn operace, n 2 N 0 terminologicka poznamka 0-arn operace: A 0! A, A

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2

V každém kroku se a + b zmenší o min(a, b), tedy vždy alespoň o 1. Jestliže jsme na začátku dostali 2 Euklidův algoritmus Doprovodný materiál pro cvičení Programování I. NPRM044 Autor: Markéta Popelová Datum: 31.10.2010 Euklidův algoritmus verze 1.0 Zadání: Určete největšího společného dělitele dvou zadaných

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další).

z nich byla poprvé dokázána v 19. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij Lvovič Čebyšev, Charles-Jean de la Vallée Poussin a další). 0. Tři věty o prvočíslech Martin Mareš Úvodem Při analýze algoritmů se často využívají různá tvrzení o prvočíslech. Většina z nich byla poprvé dokázána v 9. století velikány analytické teorie čísel (Pafnutij

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TEORETICKÉ ZÁKLADY INFORMATIKY II HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2003 Tento projekt byl spolufinancován Evropskou unií a českým státním rozpočtem Recenzenti: Doc. Ing. Miroslav

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA

GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA GRAMATIKY A JAZYKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH HASHIM HABIBALLA ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ:

Více

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu

Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Sémantika programovacích jazyk: Syntaxe a sémantika Syntaxe a sémantika Programovací jazyky, syntaxe, sémantika, zpsoby popisu Ti hlavní charakteristiky jazyka (sémiotika) jsou: - syntax, sémantika a pragmatika

Více

Náhodná procházka a její aplikace

Náhodná procházka a její aplikace MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D. Brno 2007 Michaela Bartuňková Poděkování Chtěla bych

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Referát z předmětu Teoretická informatika

Referát z předmětu Teoretická informatika Referát z předmětu Téma: Algoritmus Coke-Younger-Kasami pro rozpoznávání bezkontextových jazyků VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com

Více

JICH APLIKACE FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS

JICH APLIKACE FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS DVOUDIMENSIONÁLNÍ

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II

TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ FILOZOFICKO-PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV INFORMATIKY TEORIE JAZYKŮ A AUTOMATŮ II Studijní opora Poslední změny: 3. září 2007 Mgr. Šárka Vavrečková sarka.vavreckova@fpf.slu.cz

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Definice Překlad z jazyka L 1 do jazyka L 2 je definován množinou

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení

ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení ALGEBRA I. Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. cvičení 6.10. Euklidův algoritmus a ekvivalence Nechť a 0 > a 1 jsou dvě přirozená čísla. Připomeňme Euklidův algoritmus hledání největšího společného dělitele (NSD)

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K.

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K. Virtuální počítač Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor Virtuální počítač Překladač Překladač : Zdrojový jazyk Cílový jazyk Analytická část:

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole.

které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole. Kapitola 7 Stromy Stromy jsou jednou z nejdůležitějších tříd grafů. O tom svědčí i množství vět, které je z různých pohledů charakterizují. Několik z nich dokážeme v této kapitole. Představíme také dvě

Více

Složitost a NP-úplnost

Složitost a NP-úplnost Složitost a NP-úplnost RNDr. Ondřej Čepek, Ph.D. Do formátu TEX převedl Ladislav Strojil Připomínky, dotazy, opravy na emailu: Ladislav@Strojil.cz Verze 1.1.1 Nejnovější verze k nalezení vždy na http://ladislav.strojil.cz/np.php

Více

FI MU. Automaty nad nekonečnými slovy. Fakulta informatiky Masarykova univerzita. Učební text FI MU verze 1.0

FI MU. Automaty nad nekonečnými slovy. Fakulta informatiky Masarykova univerzita. Učební text FI MU verze 1.0 Ð Û Å«Æ ±²³ µ ¹º»¼½¾ Ý FI MU Fakulta informatiky Masarykova univerzita Automaty nad nekonečnými slovy Mojmír Křetínský Učební text FI MU verze 1.0 Copyright c 2002, FI MU prosinec 2002 Obsah 1 Büchiho

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2

Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova

Více

Gramatické systémy - teorie a aplikace

Gramatické systémy - teorie a aplikace Gramatické systémy - teorie a aplikace Luděk Dolíhal January 8, 2010 Contents 1 Úvod 2 1.1 Teorie gramatických systémů.................... 2 2 CD gramatické systémy 3 2.1 Definice................................

Více

TESTY ZALOZENE NA REGRESNICH PO RADOV YCH SK ORECH Jan PICEK TU Liberec, KPDM Abstract: In this paper we construct a class of regression rank scores tests in the linear mixed model where some of the predictors

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Středoškolská odborná činnost. Sociální sítě z pohledu teorie grafů. Matěj Žídek

Středoškolská odborná činnost. Sociální sítě z pohledu teorie grafů. Matěj Žídek Středoškolská odborná činnost Sociální sítě z pohledu teorie grafů Matěj Žídek Malenovice 2015 Středoškolská odborná činnost Obor SOČ: 01. Matematika a statistika Sociální sítě z pohledu teorie grafů Autor:

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více