Fyzika pro chemiky II. Jarní semestr Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek. Petr Mikulík. Maloúhlový rozptyl

Transkript

1 Fyzika pro chemiky II Jarní semestr 2014 Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek Petr Mikulík Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno 1 Obsah předmětu I. Elektromagnetické vlny a optika I.1. Elektromagnetické vlny I.2. Polarizace vlnění I.3. Odraz a lom světla I.4. Optické zobrazení zrcadla I.5. Optické zobrazení čočky I.6. Soustavy dvou čoček I.7. Základy fyzikální optiky interference vlnění I.8. Interference vln na tenké vrstvě I.9. Difrakce na otvoru I.10. Difrakce na mřížce II. Elementy kvantové fyziky II.1. Kvantový popis světla II.2. Bohrův model atomu II.3. De Broglieho vlny II.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenzi II.5. Základy formální kvantové teorie II.6. Základy kvantové mechaniky ve 3 dimenzích II.7. Atomy 2 III. Základy fyziky pevných (tuhých, kondenzovaných) látek III. Úvod rentgenová odrazivost, difrakce, transmise III.1. Vazby v pevných látkách III.2. Elektrony v kovu III.3. Pásová teorie III.4. Polovodičové prvky, výroba polovodičových součástek III.5. Magnetické vlastnosti pevných látek III.6. Supravodivost Literatura D. Halliday, R. Resnik, J. Walker, Fyzika, VUTIUM Brno 2000 R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer, Modern Physics, Thomson Learning 1997 C. Kittel, Úvod do fyziky pevných látek, Academia 1984 a J. Wiley, New York 1996 Na základě přednášek Fyzika pro chemiky II Václav Holý 3 Interakce látky a záření Vzorek (+ teplota, tlak, mg. pole, čas) Dopadající svazek Změna energie Neelastický rozptyl Elipsometrie Fluorescence Difrakce Spektroskopie Elektron Foton Absorbce Refrakce Elastický rozptyl Fotoemise absorptio n Zobrazování Tomografie Maloúhlový rozptyl Fyzika Materiálové vědy Chemie Biologie Medicína Životní prostředí Vědy o Zemi Předměty kulturního dědictví 4

2 5 Optická lavice, optická osa, přístroje jednoduché i velmi složité Světlo 6 Poznatky o světle známé z pozorování: světlo se šíří přímočaře paprsky jsou nezávislé a neovlivňují se navzájem paprsky se odráží na rozhraní různých prostředí pod stejným úhlem při průchodu paprsků do jiného prostředí dochází k lomu chod paprsků je možno zaměnit Vlnová teorie světla Christiaan Huygens (1690) Světlo je vlnění a šíří se ve vlnoplochách. Korpuskulární teorie světla Vlnově částicový přístup (přelomová období r a r. 1900) korpuskulární teorie světla Isaac Newton (1704) Částice o různých velikostech (barvy) se šíří velkou rychlostí, větší rychlost částic v hustším prostředí Newtonovo vysvětlení lomu (nesprávné). Fotoefekt (Heinrich Hertz, Albert Einstein) I. ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY A OPTIKA E(r,t) a D(r,t): elektrická intenzita, elektrická indukce H(r,t) a B(r,t): magnetická intenzita, magnetická indukce I.1. Elektromagnetické vlny 7 Postupná elektromagnetická vlna Elektromagnetická vlna vzniká nerovnoměrným pohybem nabitých částic např. elektronů v anténě 8 Historie: Teorie elektromagnetismu (J.C. Maxwell): světlo je elektromagnetické vlnění, elektromagnetické vlnění má vlastnosti analogické světlu odraz elektromagnetického vlnění, lom na rozhraní atd. Experimentální ověření existence elektromagnetických vln šířících se rychlostí světla, jejich odrazu a lomu, tedy první bezdrátový přenos: Heinrich Hertz ( ) Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak. Zdroje: svíčka žárovka výbojka světelná dioda (LED) fluorescence fosforescence laser synchrotron vlnová délka (m, nm) energie (ev) frekvence (Hz)

3 Elektromagnetické vlnění 9 Maxwellovy rovnice a materiálové vztahy 10 Světlo je vlnění elektromagnetického pole, které je charakterizováno elektrickou E a D a magnetickou B a H složkou elektromagnetické vlny. Tyto složky jsou na sobě závislé (Maxwellovy rovnice) a pro popis optických jevů je podstatná elektrická složka E, která souvisí s většinou optických jevů v látkách (lom, rozptyl, luminescence, ). Elektrické a magnetické pole se šíří současně; změna elektrického pole vyvolává pole magnetické a naopak. E, D, B, H intenzita, indukce; řešení pro izotropní či homogenní prostor Foton je vlnové klubko puls elektromagnetického vlnění, který je omezen v prostoru a čase. Spektrální čáry rtuti: Šířka čáry vs doba života, Lorentzova křivka profilu spektrální čáry, Závislost na poloze v prostoru a čase, např.: Závislost na poloze v prostoru, např.: Z Maxwellových rovnic pro vakuum (j=0, =0) plyne vlnová rovnice pro elektromagnetické vlnění: 2 E ΔE = ε 0 μ 0 t 1 2 E 2 c 2 t 2 Fázová rychlost elektromagnetického vlnění c ve vakuu je fundamentální fyzikální konstanta: Stacionární řešení vlnové rovnice: c = 1 ε 0 μ 0 = 2, m s m s 1 E(r,t)= E(r)e ±iωt Postupná elektromagnetická vlna přenáší energii. Hustoty toku energie (tj. přenesený výkon jednotkovou plochou kolmo na směr šíření vlnění) je dán Poyntingovým vektorem S = 1 μ 0 E B 11 Důležité vlastnosti elektromagnetického pole ve vakuu (platí přibližně i ve většině materiálů) Elektromagnetické vlnění je příčné, tj. vektory E a B jsou kolmé na směr šíření vlny. Vektory E a B jsou na sebe kolmé. V případě monochromatického (harmonického) vlnění mají vlny E a B stejnou frekvenci a jsou ve fázi. Předpokládejme například, že vlnění se šíří podél osy z a vlna E je polarizována v rovině xz: Vlna B je potom E=E 0 Re [e i(ωt k z) ], E 0 =(E 0,0,0) B=B 0 Re [e i(ωt k z) ], B 0 =(0, E 0 ε 0 μ 0,0) 12 jehož směr určuje směr šíření vlnění. Fáze postupného monochromatického vlnění je ϕ = ω t k z

4 Místo konstantní fáze ϕ = ωt k z=konst v = dz dt = ω k se pohybuje fázovou rychlostí: 13 I.2. Polarizace vlnění Polarizační rovina je určena vektory E a k. 14 Vlnoplocha je geometrické místo konstantní fáze. Vlnoplocha postupné vlny se posouvá fázovou rychlostí v. Rovinná vlna má rovinnou vlnoplochu kolmou na vlnový vektor k. Rovnice rovinné vlny je E=E 0 Re [e i(ωt k r) ] Lineárně polarizované elektromagnetické vlnění směr polarizační roviny se nemění v prostoru ani v čase (lasery). Elektromagnetická vlna je příčná, proto E k =0 skalární součin k r Kruhově polarizované vlnění polarizační rovina se stáčí v prostoru i v čase. Kulová vlna má kulovou vlnoplochu, jejíž poloměr se zvětšuje rychlostí v. Rovnice kulové vlny šířící se z bodového zdroje v počátku souřadnic je Nepolarizované vlnění (žárovka, Slunce). E = A r Re [e i(ωt kr) ] součin velikostí k.r V dalším vynecháme symbol Re. Intenzita vlnění je pak dána vztahem I = E E * Polarizační filtry látky s dlouhými lineárními molekulami v ideálním případě propouštějí jen jeden směr polarizace dopadajícího světla. Malusův zákon Propustnost polarizačního filtru pro lineárně polarizované světlo je funkcí úhlu mezi polarizační rovinou a směrem propouštěné polarizace 15 Šíření vlny v prostředí Index lomu, vlnová délka, a jsou permitivita a permeabilita prostředí r a r jsou relativní permitivita a relativní permeabilita prostředí, = r 0 16 I = I 0 cos 2 (Θ) ε μ = 1 v 2 a ε 0 μ 0 = 1 c 2 n = c v = ε r μ r ε r Polarizátor a analyzátor viz demonstrační pokus Stáčení polarizace: cukr sacharóza (pravotočivá) vs fruktóza (levotočiváú přístroj na měření cukernatosti: sacharimetr. V anizotropním prostředí je fázová rychlost světla závislá na polarizaci dvojlom světla. Dvojlom se pozoruje ve všech monokrystalech (propustných pro světlo) kromě kubických ϵ = ϵ(r) Velikost vlnového vektoru (vlnové číslo) Vlnová délka k = 2π λ = 2π ν νn =2π v c Fázová rychlost světla v prostředí Frekvence Rychlost světla ve vakuu Index lomu = 2πn λ 0 = nk 0 Vlnová délka ve vakuu Vlnové číslo ve vakuu 16

5 Index lomu funkcí λ interakce látky a záření 17 Chromatická disperze n(λ)= A+ B λ 2+ C λ Typické hodnoty indexu lomu pro = 589 nm: Závislost indexu lomu taveného křemene na vlnové délce světla: vakuum vzduch voda etanol roztok cukru 30 % roztok cukru 80 % glycerol řepkový olej benzen nitrobenzen sklo diamant 1,46 1,89 n 1 1, ,33 1,36 1,38 1,49 1,473 1,476 1,50 1,554 obvykle pro výpočty: 1,5 2,42 Křemík: n(λ) = 3, , nm 2 / λ 2 + 1, nm 4 / λ 4 Ale: závislost indexu lomu světla na vlnové délce n(λ) chromatická disperze Imaginární část indexu lomu absorbce 19 I.3. Odraz a lom světla 20 Imaginární část indexu lomu a koeficient absorbce: n' = n+ ik E(z)= E e ink 0 r Lambertův Beerův zákon: I(z)= I 0 e t Aplikace: Absorbce viditelného světla Infračervená absorpční spektroskopie Rentgenová radioagrafie a tomografie (různé μ pro různé materiály) μ index absorbce V této a následujících kapitolách použijeme aproximaci geometrické optiky. V této aproximaci se světlo v homogenním prostředí šíří po přímce zanedbáme ohyb světla. Průchod světla rozhraním dvou prostředí: Úhly dopadu, odrazu a lomu: měříme od kolmice k rozhraní dopadající vlna lomená vlna odražená vlna Při průchodu rozhraním se zachovává frekvence vlnění a tečná složka vlnového vektoru. Odtud lze odvodit: Zákon odrazu θ 1 = θ 1 ' Zákon lomu Snellův zákon n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 v 1 v 2 Odvození: viz přednáška

6 Světlo prochází z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího lom ke kolmici: 21 Disperze n(λ): rozklad bílého světla lomem 22 dopadající vlna 1 1 odražená vlna n 1 vzduch sklo 2 n 2 > n 1 sklo vzduch lomená vlna Světlo prochází z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího lom od kolmice: dopadající vlna 1 1 odražená vlna n 1 n fialová > n červená fialová barva se lomí méně a tudíž je blíže kolmici 2 lomená vlna n 2 < n 1 Úplný (totální) odraz světla na rozhraní: ze Snellova zákona plyne kritický úhel: θ m = arcsin ( 1 n) = /2 m 23 Odrazivost rozhraní poměr intenzit odraženého a dopadajícího světla R = I refl I inc = E refl 2 E inc 2 Vzorce pro r p, r s, a pro t p, t s se nazývají Fresnelovy koeficienty 24 n = n 2 n 1 je index lomu rozhraní Odrazivost rozhraní vzduch sklo: K totálnímu odrazu světla dochází při průchodu rozhraním z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího pro úhel dopadu větší než m. Vlna v opticky řidším prostředí se exponenciálně tlumí (evanescentní vlna). Brewsterův úhel voda etanol sklo diamant n (589 nm) 1,33 1,36 1,5 2,42 Kolmá odrazivost kritický úhel, rozhraní látka vzduch Spočtěte sami!

7 Polarizace světla odrazem 25 Hodina číslo 2 26 S- a P-polarizované světlo: Je-li úhel dopadu 1 roven Brewsterovu úhlu B, pak se P-polarizované světlo neodráží. Z Fresnelova koeficientu r p plyne, že θ B = arctan(n) voda etanol sklo diamant n (589 nm) 1,33 1,36 1,5 2,42 Brewsterův úhel, rozhraní vzduch látka Spočtěte sami! Průchod světla destičkou posuv vystupujícího paprsku 27 Optické zobrazení principy 28 Přiblížení geometrické optiky šíření světla se modeluje paprsky, světlo se šíří přímočaře, pokud neprochází rozhraním. Ohyb světla se zanedbá. Definice optického zobrazení Viz přednáška nebo Spočtěte sami! předmět optický systém skutečný obraz oko pozorovatele stínítko, detektor paprsky vycházející z téhož bodu předmětu se po průchodu optickým systémem protínají v tomtéž bodě skutečného obrazu. Skutečný obraz je možno pozorovat na stínítku. Aberace: chyby dokonalého zobrazení neprotínají-li se, případně je to různé pro různé vlnové délky.

8 29 I.4. Optické zobrazení zrcadla 30 Rovinné zrcadlo předmět optický systém oko pozorovatele zdánlivý obraz Prodloužené paprsky prošlé optickým systémem se protínají v tomtéž bodě zdánlivého obrazu. Zdánlivý obraz není možné zachytit na stínítku předmět l l zdánlivý vzpřímený obraz l = l' Oko pozorovatele (jakožto optický systém) převádí zdánlivý obraz na skutečný obraz na sítnici. Bodu P říkáme virtuální obraz bodu P, když paprsky po průchodu optickým systémem se šíří tak, jako by vycházely z tohoto bodu. Kulové zrcadlo vypuklé = konvexní vyduté = konkávní C je střed křivosti zrcadla, R je poloměr křivosti 31 U parabolického zrcadla je popsaný chod paprsků dodržen i mimo paraxiální přiblížení. Zobrazení kulovým zrcadlem 32 Chod paprsků vydutým zrcadlem (paraxiální přiblížení) F je ohnisko zrcadla, Paraxiální přiblížení: vzdálenost paprsků rovnoběžných s optickou osou je mnohem menší než poloměr křivosti úhel paprsků s optickou osou je velmi malý Ohnisková vzdálenost: f = R/2 1. paprsek rovnoběžný s ohniskovou osou se odráží do ohniska 2. paprsek procházející středem zrcadla se odráží do středu zrcadla 3. paprsek procházející ohniskem je po odrazu rovnoběžný s optickou osou Zobrazovací rovnice kulového zrcadla V případě vydutého kulového zrcadla je f > 0. 1 a + 1 a' = 1 f Příčné zvětšení obrazu poměr výšek obrazu a předmětu m = h' h = a' a Je-li a > 2f, je f < a < 2f, obraz je reálný, převrácený, zmenšený (-1 < m < 0) Je-li a = 2f, je a = 2f, obraz je reálný, převrácený, m = -1 Je-li f < a < 2f, je a > 2f, obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a < f, je a < 0, obraz je zdánlivý, přímý (m > 0) V případě vypuklého zrcadla je f < 0. Vždy vzniká vzpřímený (m > 0) a zdánlivý obraz za zrcadlem (a < 0).

9 Optické zobrazení čočky Jedna lámavá plocha zakřivené rozhraní dvou prostředí Paraxiální přiblížení 33 Tenké čočky Předpokládejme, že index lomu materiálu čočky n je větší než 1, index lomu okolí je 1. Tenká čočka její tloušťka na optické ose je mnohem menší než její průměr a poloměry lámavých ploch R 1,2 34 Snellův zákon v paraxiálním přiblížení n 1 θ 1 = n 2 θ 2 Platí přitom θ 1 = α 1 + γ, θ 2 = γ α 2, α 1 BV a, α 2 BV a', γ BV R ohnisková vzdálenost f >0 Odtud plyne zobrazovací rovnice lámavé plochy (pozor na znaménka a a a ) n 1 a + n 2 a' = n 2 n 1 R V případě vyduté lámavé plochy je R < 0. ohnisková vzdálenost f <0 Obrazová a předmětová rovina Definice ohniska čočky 35 Chod svazku paprsků čočkou 36 P C F F C F vlnoplochy 1. Paprsky rovnoběžné s optickou osou se po průchodu čočkou protínají v obrazovém ohnisku (definice ohniska). 2. Rovinnou vlnu změnila čočka ve vlnu kulovou. 3. Čočka při zobrazování nemění fázový rozdíl mezi paprsky. 4. Princip reverzibility v geometrické optice říká, že dráhy paprsků optickým systémem nezávisí na směru šíření světla. 1. Rovnoběžný svazek paprsků svírající s optickou osou úhel se protíná v obrazové ohniskové rovině v průsečíku P'. 2. Polohu tohoto průsečíku určí paprsek svazku jdoucí středem čočky. Bod P' můžeme považovat za obraz bodu P, který leží nekonečně daleko od čočky. Ohnisková rovina je pak i obrazovou rovinou. 3. Podle principu reversibility se paprsky vycházející z bodu ohniskové roviny šíří za čočkou rovnoběžně s paprskem jdoucím středem čočky.

10 Tenká čočka se popisuje jako soustava dvou lámavých ploch s poloměry R 1,2. Zobrazovací rovnice první plochy (zleva) je 1 a + n a'' = n 1 R 1 Zobrazovací rovnice druhé plochy je n a'' + 1 a' = 1 n R 2 Odtud plyne zobrazovací rovnice tenké čočky 1 a + 1 a' = 1 f, 1 Přitom se použila znaménková konvence f = (n 1) ( 1 R 1 1 R 2) a > 0 a > 0 Příčné zvětšení je: m= a' a 37 Chod paprsků tenkou spojkou (f>0) H a H jsou předmětový a obrazový hlavní bod, F a F jsou předmětové a obrazové ohnisko čočky, V je vrchol čočky. Je-li a > 2f, je f < a < 2f, obraz je reálný, převrácený, zmenšený (-1 < m < 0) Je-li a = 2f, je a = 2f, obraz je reálný, převrácený, m = -1 Je-li f < a < 2f, je a > 2f, obraz je reálný, převrácený, zvětšený (m < -1) Je-li a = f, je a Je-li a < f, je a < -f, obraz je zdánlivý, přímý, zvětšený (m > 1) 38 Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem čočky zachovává směr. Vzájemné polohy předmětu a obrazu spojky. 6' je zdánlivý předmět (a < 0), jemuž odpovídá skutečný obraz 6. f 39 Chod paprsků tenkou rozptylkou (f<0) H a H jsou předmětový a obrazový hlavní bod, F a F jsou předmětové a obrazové ohnisko čočky, V je vrchol čočky. 40 Obraz je vždy je zdánlivý, vzpřímený a zmenšený (0 < m < 1). Paprsek (1) rovnoběžný s optickou osou prochází po průchodu čočkou obrazovým ohniskem. Paprsek (2) procházející předmětovým ohniskem je po průchodu čočkou rovnoběžný s optickou osou. Paprsek (3) procházející vrcholem čočky zachovává směr.

11 Vzájemná poloha předmětu a obrazu rozptylky. 2 5 jsou zdánlivé předměty (a < 0) 41 Oko Doplňte sami! 42 Oko optická mohutnost dioptrie 43 Soustavy dvou čoček zobrazení lupou 44 Dioptrie = 1/ohnisková vzdálenost v metrech čočka s f=1 m má 1 dioptrii, pro f=0,1 m je 10 dioptrií P oko je velmi blízko lupě Čočka lupy Čočka oka Zdravé lidské oko: 60 dioptrií, dokáže ji měnit až o 15 dioptrií za cca 1/3 sekundy; 1/10 sekundy se udává jako reakční doba P Sítnice oka F1 F1 F2 F2 a l P Virtuální obraz vytváří 1. spojka a 2. spojka jej zobrazuje jako reálný obraz na stínítko. Dalekozrakost: Obraz P vytváří jen malý svazek paprsků ze širokého svazku procházejícího 1. čočkou. Předmět dáme jej do takové vzdálenosti a, aby obraz vznikl ve vzdálenosti l 0 = 25 cm (konvenční zraková vzdálenost). Oko (čočka 2), pak vidí virtuální obraz (přímý, zvětšený). Krátkozrakost: Úhlové zvětšení je: m = l 0 f = 25 cm f

12 I.6. Soustavy dvou čoček Dvě spojky mikroskop 45 Mikroskop 46 První čočka (objektiv) vytvoří obraz blízkého předmětu v předmětovém ohnisku druhé čočky (okuláru). Okulár vytvoří obraz v nekonečnu, oční čočkou se převede na sítnici oka. Úhlové zvětšení předmětu je m θ = θ' θ = sl 0 f 1 f 2 θ je úhel pod kterým je vidět předmět v konvenční zrakové vzdálenosti l 0 =25 cm, s je vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru. 1 mm Zvětšení měřítko Pozorování okem nebo záznam fotoaparátem či kamerou Hloubka ostrosti Rozlišovací schopnost čtverečky či čáry Binokulární mikroskop, stereomikroskop, 1) Mikroskop má okulár a při pozorování obrazu přikládáme oko těsně k okuláru. Okulár a oko pak představují projektiv, který promítá meziobraz na sítnici. 2) Při ostření mikroskopu měníme vzdálenost mezi preparátem a objektivem tak, abychom viděli ostrý obraz, bez ohledu na to, zda nosíme brýle nebo ne. Při práci s mikroskopem nepoužíváme brýle! I.6. Soustavy dvou čoček Dvě spojky Keplerův dalekohled 47 Spojka a rozptylka Galileiho dalekohled 48 Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky Vzdálený předmět (a ) se zobrazí do obrazového ohniska F 1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu (a' ), oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. Úhlové zvětšení dalekohledu je m θ = θ' θ = f 1 f 2 Obrazové ohnisko 1. čočky splývá s předmětovým ohniskem 2. čočky Vzdálený předmět (a ) se zobrazí do obrazového ohniska F 1 1. čočky (objektivu). Tento obraz je zdánlivým předmětem pro 2. čočku (okulár). Obraz se vytvoří v nekonečnu (a' ) a oční čočkou se zobrazí na sítnici oka. Úhlové zvětšení dalekohledu je m θ = θ' θ = f 1 f 2

13 Vady čoček 49 Hodina číslo 3 50 Otvorová vada Koma Barevná vada Sinová podmínka Aplanáty Apochromatická čočka Astigmatismus (nesférický tvar) meridianový řez poduškovité sagitální řez soudkovité I.7. Základy fyzikální optiky interference vlnění 51 Skládání vln Fázory = komplexní amplitudy 52 Doposud jsme šíření světla popisovali v geometrické aproximaci zanedbali jsme ohyb a interferenci vlnění, předpokládali jsme, že v homogenní prostředí se světlo šíří přímočaře. V této kapitole uvážíme vlnovou povahu světla, která vysvětlí interferenci a ohyb vlnění. Z Maxwellových rovnic lze odvodit Huygensův Fresnelův princip: Všechny body na vlnoploše v čase t jsou zdrojem sekundárních kulových vln, jejichž superpozicí vzniká další vlnoplocha v čase t+ t V fyzice máme: skaláry, vektory, tenzory, komplexní amplitudy Vycházeje z geometrické definice funkce sinus lze stav vlnění znázornit jako fázor. Při superpozici vln se fázory sčítají jako vektory. Toto pravidlo nám pomůže najít amplitudu výsledného vlnění. x i Fázor = komplexní amplituda v Gaussově komplexní rovině E 2 E 2 E 1 Z geometrické konstrukce pro velikost výsledného vektoru plyne (kosinová věta) E 2 =E E E 1 E 2 cos (α 2 α 1 ) 1 x r Fázor nesouvisí s vektorovým charakterem elmag. pole Lloydův pokus (Lloydovo zrcadlo): interference Po dosazení původního označení je pak interferenční intenzita dána vztahem I=I 1 + I I 1 I 2 cosϕ

14 Dvouštěrbinový experiment Experimentální ověření vlnové povahy světla Youngův pokus (1801) Spočteme to: E(t,x)= E 1 (t,x)+ E 2 (t,x) A Monochromatické světlo prochází dvěma blízkými malými otvory. Tyto otvory jsou podle a' 2cos ( k xd a') e i(ωt k 2a' ) H. F. principu zdroji sekundárních kulových vln. Na stínítku ve vzdálenosti a se pozoruje výsledek skládání (interference) těchto sekundárních vln Omezíme-li se na případ x << a, bude a' a a intenzita vlnění v místě pozorovatele je Elektrické pole v místě pozorovatele P je součtem elektrických polí dvou sekundárních kulových vln (zanedbáme polarizaci vlnění): E = E 1 + E 2 = A r 1 e i(ωt kr 1 ) + A r 2 e i(ωt k r 2 ) Fraunhoferova aproximace: detektor je daleko, takže vzdálenost otvorů d je mnohem menší než a, přesněji: d a λ I(x) I max cos ( 2 π xd aλ ) I max = 4 E 02 > E 02 + E 02 I min = 0 Pozorují se ekvidistantně rozložená maxima intenzity. K maximu intenzity dojde, liší-li se vzdálenosti r 1, r 2 o celistvý počet vlnových délek. Souřadnice m-tého maxima je x m = m λa d, m = 0,±1,±2, I.8. Interference vln na tenké vrstvě Skládání vlnění odražených na dvou rozhraních tenké vrstvy 55 Proč a jak se mění fáze při odrazu světla na rozhraní? Předpokládejme kolmý odraz: E r = E 0 r, Fresnelův koeficient r= n 1 n 2 =± n 1 n 2 n 1 + n 2 n 1 + n 2 56 Připomenutí jedno rozhraní: R = I refl I inc = E refl 2 E inc 2 n 1 < n 2 : opticky řidší opticky hustší E 0 E r Δϕ=π 1=e i n 1 > n 2 : opticky hustší opticky řidší E 0 E r Δϕ=0 +1=e i0 Analogie s mechanickým vlněním šířícím se uzlem spojujícím tenké a tlusté lano:

15 Kolmý dopad na tenkou vrstvu s indexem lomu n a tloušťkou h A. Z obou stran vzduch (n=1) 12 Δϕ= π+ 2hk n = π ( 1+ 4hn λ ) 57 Kolmý odraz: Jak ho zařídit v mikroskopu či spektrometru: a) polopropustné zrcátko b) vláknová optika 58 n=n 2 h fázový posuv při odrazu paprsku 1 je π fázový posuv při odrazu paprsku 2 je nulový Podmínka interferenčního maxima: Δϕ = π ( 1+ 4hn λ ) = 2πm, m = 1,2, h = ( m 1 2) λ 2n B. Nahoře vzduch (n 1 =1), podložka s indexem lomu n 3, přičemž n 3 >n 2 >n 1 : Podmínka interferenčního maxima: Δϕ = 2hk n 2 = 4hn π 2 λ h = m λ 2n 2 Příklady: bublina, olejová vrstva na vodě, tenká vrstva na skle, Šikmý dopad světla: 59 I.9. Difrakce na otvoru Štěrbina x x Body v otvoru štěrbiny emitují sekundární vlnění. Interference sekundárních vln se pozoruje na stínítku. 60 Fázový posuv mezi paprsky: Δϕ= π+ 2h ( kn cosθ 2 ktanθ 2 sinθ 1) = π+ 2hk ncosθ 2 Podmínka interferenčního maxima: Δϕ= 2mπ Proužky stejné tloušťky, proužky stejného sklonu d r a a Fraunhoferova aproximace d aλ Nakonec vyjde E(x)= A a' e i ωt d sinc ( k xd 2a' ) A a' e iωt d sinc ( kd 2 sinθ ) 0 Intenzita elektrického pole v bodě x na stínítku je d/2 E(x)= dx' d/2 kr k ( a' xx' a' ), 1 r 1 a' A r) e i(ωt k r kde sinc(x)={sin(x) x pro x 0 1 pro x=0

16 Omezíme-li se na případ x << a, bude a' a a intenzita vlnění v místě x je 61 Hodina číslo 4 62 I(x)= I max sinc 2 ( π x d λa ) Minima intenzity jsou v bodech m a λ d, m =±1,±2, Šířka hlavního maxima v poloviční výšce je přibližně Δx = aλ d Difrakce na obdélníkovém otvoru 63 Difrakce na kruhovém otvoru x 64 a r R a Difraktovaná intenzita je I(x, y) = I max sinc 2( π xd x λa' ) sinc2( π yd y λa' ) I max sinc2( π d x λ sinθ x) sinc2( πd y λ sinθ y) Difraktovaná intenzita je I (r)= I max( 2J (krr/a') 2 1 kr R/a' ) y I max( 2J 2 1 (k Rsinθ) k Rsinθ ) Rozložení difraktované intenzity na stínítku J 1 (x): Besselova funkce 1. řádu

17 65 Mezní rozlišovací schopnost Rayleighovo kritérium rozlišení: součet dvou křivek, maximum v minimu 66 Airyho disk První minimum difrakční intenzity vznikne pro sinθ 1.22 λ 2R Toto rozložení intenzity se pozoruje v zadní ohniskové rovině spojky. Dva předměty se rozliší, je-li jejich úhlová vzdálenost větší než Δθ min = 1.22 λ d kde d je průměr spojky (Rayleighovo kritérium rozlišení) Minima: 1.22, 1.xx P2 y P1 y y > y = a 1. Každý bod předmětu předmětu se zobrazí v nejlepším případě jako ploška o průměru b / D a nazývá se Airyho stopa. 2. V obraze budou body P 1 a P 2 rozlišeny, když y >. D b y Mezní rozlišovací schopnost 67 Difrakce na mřížce 68 Rayleighovo kritérium rozlišení: Rozlišení oka: 1 úhlová minuta dáno vzdáleností čípků na sítnici Spočtěte sami! sinθ 1.22 λ d Difrakční mřížka periodicky uspořádané totožné štěrbiny Omezíme se na difrakční mřížku s N velmi úzkými dlouhými štěrbinami, každá štěrbina je zdrojem sekundární kulové vlny. Výsledné elektrické pole N A E(x)= j=1 e i (ωt k r ) j r j Nechť platí Fraunhoferova aproximace Pak je r j a' j xd a' a nakonec vyjde I(x)= a' A 2 sin ( 2 N π xd λ a' ) sin ( 2 π x d λ a' ) N d aλ

18 Hlavní difrakční maxima jsou v bodech k xd = xd = d sin = m a' a' dsin = m m=0,±1,±2, Hodina číslo 5 70 sinθ x a' = m λ d Intenzita v difrakčním maximu je 2 I max = N a' 2 A Mezi sousedními hlavními difrakčními maximy je N 1 nulových bodů intenzity, tj. N 2 vedlejších maxim. Šířka hlavního maxima je přibližně rovna vzdálenosti mezi sousedními minimy: Δ(sinθ) cosθ Δθ = λ N d Použití difrakční mřížky: mřížkový spektrograf Konečná velikost štěrbin ovlivní výšku difrakčních maxim, jejich poloha a šířka zůstanou nezměněny. Dvojlom, polarizační mikroskopie a fotoelasticimetrie Anizotropní rozložení indexu lomu (nekubické minerály, např. kalcit): vektorový charakter E rozklad na polarizované vlny E 1 a E 2 různé směry šíření řádného a mimořádného paprsku. Fotoelasticimetrie polarizační mikroskopie Znečistěná voda 71 Tající led Difrakce na mřížce vs Youngův pokus Difrakční mřížky s N vrypy: 2 sin I (x) = A ( a' 2 N π x d λ a' ) sin ( 2 π xd λ a' ) Youngův pokus: I(x) I max cos 2 ( π xd λa' ) 72 Dvojlom vyvolaný elektrickým polem: Kerrův jev Vyjde to stejně pro N = 2??? Spočtěte sami!

19 Newtonova skla Pozorování v prošlém nebo v odraženém světle. 73 Průchod světla hranolem 74 Lámavý úhel hranolu ω ω δ úhlová deviace δ minimální úhlová deviace Spočtěte sami! Obecně: δ = δ 1 + δ 2 = + γ ω Spočtěte sami! Minimální deviace: δ = 2 ω Spočtěte sami!