nejmenshoprvkuvmnozines.tatooperacesenazyvavyhledank-teporadkovestatistiky.tatooperacenenpodporovananavrzenoustrukturou,projejefektivnimplementaci

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "nejmenshoprvkuvmnozines.tatooperacesenazyvavyhledank-teporadkovestatistiky.tatooperacenenpodporovananavrzenoustrukturou,projejefektivnimplementaci"

Transkript

1 Dalsdulezitoudatovoustrukturouvhodnouproresenslovnkovehoproblemu(reprezentace mnoziny,kterapripoustoperacemember,insertadelete),kteroulzepouzt Nejobecnejsgrafovadenice(a;b)-stromuje: jakprointerntakexternpamet,jsou(a;b)-stromy.jetostrukturazalozenanastromech. Nechtabjsoukladnaprirozenacsla.Pakkorenovystrom(T;t)senazyva(a;b)-strom, (a,b)-stromy kdyz(1)kdyzvjevnitrnvrcholstromutruznyodkorenet,pakmaalesponaanejvyseb nazyva(a;b)-strom,kdyz specialnprpad.pronas(a;b)-stromyjsoutaktodenovane: Tatodenicejeprlisobecnaaprodatovestrukturysenehod.Protopouzvamejej Nechtaabjsouprirozenacslatakova,ze2aa2a 1b.Pakkorenovystrom(T;t)se (2)vsechnycestyzkorenedolibovolneholistumajstejnoudelku. (1)kdyzvjevnitrnvrcholstromuTruznyodkorenet,pakmaalesponaanejvyseb synu; Vyhodynasich(a;b)-stromu: Kdyzma(a;b)-stromvyskuh>0(tj.delkakazdecestyzkorenedolibovolneholistuma delkuh),pakstrommaalespon2ah 1listuanejvysebhlistu. (3)vsechnycestyzkorenedolibovolneholistumajstejnoudelku. (2)korenjebudlistnebomaalespondvasynyanejvysebsynu; synu; O(logn). Mejmekorenovystrom(T;t)takovy,zeprokazdyvnitrnvrcholvplat: Tvrzen.Mejmeprirozenacslaaabtakova,zea2ab2a 1.Pakprokazdekladne prirozenecslonexistuje(a;b)-strom,kterymapresnenlistu.kdyz(a;b)-strommapresne h-tahladina.lexikograckeusporadannah-tehladinejedenovanorekurzivne: kdyzma(v)synu,pakjsouocslovanyod0do(v) 1.Rekneme,zevrcholvjevhloubce h,kdyzcestazkorenetdovmadelkuh.mnozinavsechvrcholuvhloubcehsenazyva nlistu,pakvyskastromujenejvyse1+loga(n2)ajealesponlogbn.tedyvyskastromuje tvorhladinuh,kdehjehloubka(a;b)-stromu,ananichjedenovanolexikograckeusporadan. MejmelinearneusporadaneuniversumUamnozinuSU.(a;b)-strom(T;t)reprezentuje Predpokladame,zev(a;b)-stromusynovekazdehovnitrnhovrcholujsouusporadany.Listy otec(v)awjej-tysynotec(v);pakij. vw,pravekdyzbudotec(v)<otec(w),nebootec(v)=otec(w)akdyzvjei-tysyn (v){pocetsynuvrcholuv, Strukturavnitrnchvrcholu(a;b)-stromu(T;t)reprezentujchomnozinuSU: mnozinus,kdyzmapresnejsjlistuajedanabijekceprvkuzmnozinylistutnas Sv(0::(v) 1){poleukazatelunasynyvrcholuvtakove,zeSv(i)jei-tysynvrcholuvpro vu,pravekdyz 1(s) 1(t)vlexikograckemusporadannamnozinelistustromuT). zachovavajcareektujcusporadan(tj.bijekce:list(t)!spros;t2ssplnujest TypesetbyAMS-TEX

2 neznejmensprvekreprezentovanyvpodstromu(i+1)-nhosynavrcholuv). reprezentovanyvpodstromui-tehosynavrcholuvjemensneborovenhv(i)atojemens podstromui-tehosynavrcholuv(alternativa:hv(i)jeprvekzutakovy,zenejvetsprvek Hv(0::(v) 2){poleprvkuzUtakove,zeHv(i)jenejvetsprvekzSreprezentovanyv 2i=0;1;:::;(v) 1, Nekdyjevestrukturekazdehovrcholuv(a;b)-stromuruznehoodkorenejesteukazatel otec(v)naotcevrcholuv. KdyzHv(i)jsouprvkyzreprezentovanemnoziny,pakprokazdyprveks2Skrome Strukturalistu: listuvjeprirazenprvek(v)2s. Nynuvedemealgoritmypro(a;b)-stromy.Nejprvepomocnyalgoritmus popisslisty. mnozinys,alejetechnickyneprehledna.protopripracis(a;b)-stromybudemepouzvat vrcholstromu,anejvetsprvekjeulozenvedle.jetoprostoroveefektivnejsreprezentace mentaci,kdesevynechavajlisty.prvkyzsjsoureprezentovanyvpolchhv,vjevnitrn nejvetshoexistujepravejedenvnitrnvrcholv(a;b)-stromuajednoi,zehv(i)=s,a nejvetsprvekvsnenprvekhvprozadnyvrcholv.tentofaktsepouzvapriimple- whiletnenlistdoi:=1 whileht(i)<x&i<(t)doi:=i+1 ifht(i)=xthenw:=tendif t:=korenstromut, enddovystup:taw. enddot:=st(i) Vyhledej(x) if(t)=xthenx2selsex=2sendif MEMBER(x) Su((u)+1):=t0,Hu((u)):=(t),(u):=(u)+1 if(t)<xthen(komentar:x>maxs) if(t)6=xthen vytvornovylistt0,(t0)=x,u:=otec(t) elsenajdii,zesu(i)=t Su((u)+1):=S((u)),j:=(u) 1 INSERT(x)Vyhledej(x) whilejido Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 Su(i):=t0,Hu(i):=x,(u):=(u)+1 while(t)>bdostepen(t) endift:=u enddoendif iftjekorenstromuthen

3 St0(bb+1 vytvornovykorenusjedinymsynemtendif u:=otec(t),najdii,zesu(i)=t, whilej>ido St0(j):=St(j+db+1 vytvornovyvnitrnvrcholt0,j:=1 Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 Su((u)+1):=Su((u)),j:=(u) 1,(u):=(u)+1, whilej<bb+1 2c):=St(b+1),(t):=db+1 2cdo enddo 2e),Ht0(j):=Ht(j+db+1 2e,(t0):=bb+1 2e),j:=j+1 Su(i+1):=t0,Hu(i+1):=Hu(i),Hu(i)=Ht((t)),t:=u DELETE(x) 2c, if(t)=xthenu:=otec(t), Vyhledej(x) Hu(k):=Hu(k 1),Su(k):=Su(k 1),k:=k 1 enddo Su((u) 1):=Su((u)),(u):=(u) 1, najdii,zesu(i)=t,aj,zehw(j)=x, whilek<(u) 1do Hw(j):=Hu(i 1),k:=i odstrant,t:=otec(t) while(t)<aatnenkorendo yjebezprostrednbratrt St((t)+j)=Sy(j),Ht((t)+j):=Hy(j),j:=j+1 j:=1whilej<(y)do u:=otec(t),najdii,zesu(i)=t enddo ifsu(i 1)=ythenvymentay,i:=i 1endif if(y)=athenspojen(t;y)elsepresun(t;y)endif Ht((t))=Hu(i),(t):=(t)+(y),odstrany whilei(u)do Su(i+1):=Su(i+2),Hu(i):=Hu(i+1),i:=i+1 enddo (u):=(u) 1,ifujekorena(u)=1thenodstranu elset:=uendif 3

4 4Presun(t;y) u:=otec(t),najdiitakove,zesu(i)=t St((t)+1):=Sy(1),Ht((t)):=Hu(i), ifsu(i+1)=ythen Hu(i):=Hy(1),j:=1 St(j+1):=St(j),Ht(j+1):=Ht(j),j:=j 1 whilej>0do elsest((t)+1):=st((t)),j:=(t) 1 Sy((y) 1):=Sy((y)),(t):=(t)+1,(y):=(y) 1 Sy(j):=Sy(j+1),Hy(j):=Hy(j+1),j:=j+1 whilej<(y) 1do Hu(i 1):=Hy((y) 1),(y):=(y) 1endif enddo (t):=(t)+1,st(1):=hy((y)),ht(1):=hu(i 1), horsmprpadecaso(logajsj),kdesjereprezentovanamnozina. Nynpopsemealgoritmyprodalsoperace.Jednazuzitecnychoperacjenalezenk-teho Veta.AlgoritmyMEMBER,INSERTaDELETEpro(a;b)-stromyvyzadujvnej- vrcholemv. sevprocedurevyhledejvkladajvrcholydozasobnkuaotec(v)jevrcholvzasobnkupred Odkaznaotcevrcholu:budjevkazdemvrcholuvstromuTprmoodkaznaotec(v),nebo nejmenshoprvkuvmnozines.tatooperacesenazyvavyhledank-teporadkovestatistiky.tatooperacenenpodporovananavrzenoustrukturou,projejefektivnimplementaci musmerozsritstrukturuvnitrnhovrcholuvopole UdrzovatpolePvvaktualnmstavuznamenapriuspesnemprovedenaktualizacnoperaceprojtcestuzvrcholudokoreneaaktualizovatpoleP.Nynuvedemealgoritmuspro whiletnenlistdoi:=1 t:=korenstromu nalezenk-teporadkovestatistiky. whilek>pt(i)&i<(t)doi:=i+1,k:=k Pt(i) enddo(t)jehledanyk-tynejmensprvek enddot:=st(i) ifk>jsjthenneexistujek-tynejmensprvek,konecendif k-statistics choluv. Pv(1::(v) 1),kdePv(i)jepocetprvkuSreprezentovanychvpodstromui-tehosynavr- srenestrukture(a;b)-stromuvyzadujevnejhorsmprpadecaso(logjsj),kdesjereprezentovanamnozina. Invariantalgoritmu:Vkazdemokamzikuplat,zepuvodnkserovnak+pocetprvkuzS, synavrcholut.korektnostalgoritmuplyneztohotoinvariantu. Veta.ImplementaceoperacMEMBER,INSERT,DELETEak-STATISTICSvroz- kterejsouvpodstromuvrcholustromu,kteryvlexikograckemusporadanpredchazi-teho

5 DalsvysetrovaneoperacejsouJOINaSPLIT.Mejmedva(a;b)-stromyT1aT2reprezentujcmnozinyS1aS2takove,zemaxS1<minS2(toznamena,zeplatsilnejspodmnka, nezzes1as2jsoudisjunktn).operacejoin(t1;t2)vytvor(a;b)-stromtreprezentujc axjeprvekzu,vytvor(a;b)-stromyt1at2reprezentujcmnozinys1=fs2sjs<xg mnozinus=s1[s2.operacesplit(t;x),kdetje(a;b)-stromreprezentujcmnozinus5 as2=fs2sjs>xgaoznam,zdaxpatrilodos. ifvyskat1jevetsneborovnavyscet2then t:=korent1,k:=vyskat1-vyskat2 whilek>0dot:=st((t)),k:=k 1 endospojen(t;korent2),t:=otec(t) enddoelset:=korent2,k:=vyskat2-vyskat1 whilek>0dot:=st(1),k:=k 1 enddospojen(t;korent1),t:=otec(t) while(t)>bdostepen(t) Vnasledujcmalgoritmuvyuzijemefakt,zeoperaceJOINvyzadujejencasO(jvyska(T1) enddoendif vyska(t2)j). podmnkykladenenavnitrnvrcholy(a;b)-stromu.protojevhodnepouztoperacispojen. OperaceJOINnavstvpocetvrcholurovnyrozdluvysekstromu.Protozekazdyvr- korenmenshostromujakosynavhodnehovrcholuvetshostromu,protozekorennesplnuje cholzpracujevcaseo(1),vyzadujecaso(log(js1j+js2j)),kdes1jemnozinareprezen- tovana(a;b)-stromemt1as2jemnozinareprezentovana(a;b)-stromemt2.nelzedat

6 whiletnenlistdoi:=1 whileht(i)<x&i<(t)doi:=i+1 enddot:=st(i) Z1,Z2prazdnezasobnky,t:=korenT 6SPLIT(T;x) foreveryj=1;2;:::;i 2do ifi=2thenvlozpodstomvrcholust(1)doz1endif ifi>2thenvytvornovyvrcholt1,(t1)=i 1, St2(j):=St(i+j),Ht2(j):=Ht(i+j)enddo St1(j):=St(j),Ht1(j):=Ht(j)enddo foreveryj=1;2;:::;(t) i 1do St1(i 1):=St(i 1),vlozpodstromvrcholut1doZ1 ifi<(t) 1thenvytvornovyvrcholt2,(t2):=(t) i endif ifi:=(t) 1thenvlozpodstromSt((t))doZ2endif St2((t) i):=st((t)),vlozpodstromt2doz2 endifenddo if(t)=xthenxpatrilodos elsexnepatrilodos T2:=vrcholZ2,odstranT2zeZ2 endifendif T1:=vrcholZ1,odstranT1zeZ1 if(t)<xthenvlozpodstromvrcholutdoz1 whilez26=;dot0:=vrcholz2, elsevlozpodstromvrcholutdoz2 odstrant0zez2,t2:=join(t2;t0)enddo whilez16=;dot0:=vrcholz1, odstrant0zez1,t1:=join(t0;t1)enddo

7 tetofazealgoritmujeposloupnostvysekstromu,jakjsouvzasobnkuz1neboz2,neklesajc Shrnmetatofakta. Veta.ImplementacealgoritmuprooperaceJOINaSPLITv(a;b)-stromechvnejhorsm RozdelenTdozasobnkuZ1aZ2valgoritmuSPLITvyzadujecasO(logjSj).Poskoncen amensneborovnavyscet.protocasalgoritmunavytvorent1at2jeo(vyskat). 7 Kdyzjemnozinareprezentovana(a;b)-stromemulozenanaserveruamaknprstupvce Prointernpametjsoudoporucenehodnotya=2,b=4neboa=3ab=6. pouzvat? Proexternpametjsoudoporucenehodnotya100,b=2a. (a;b)-stromysepouzvajjakvinterntakvexternpameti.jakehodnotyaabjevhodne prpadevyzadujecaso(logjsj). resittak,zepriaktualizacnchoperacchseuzavrecelystrom. uzivatelu,vznikaproblemsaktualizacnmioperacemi.tytooperacemenstrukturu(a;b)- Nevyhoda:ostatnuzivateledonehonemajprstupanemohoupracovat.Tzv.paraleln stromuavesvychdusledcchsevnemjinyuzivatelmuzeztratit.tentoproblemsemuze Valgoritmupakodpadnevyvazujccast(tj.Stepenpricestevzhurukekoreni). provedestepen(protonutnejeb2a,abychompotetooperacimelizase(a;b)-strom). PrioperaciDELETEjsouvevyhledavacfaziuzavrenyvrcholyt,otec(t)abezprostredn PrioperaciINSERTjsouvevyhledavacfazivzdyuzavrenyvrcholyt,otec(t)asynove vrcholut,algoritmuszjist,vkteremsynuvrcholutmapokracovat,apak,kdyz(t)=b, Predpoklad:b2a. implementaceoperacinsertadeletenabzjine,efektivnejsresen. casstejny(jejenvetsmultiplikativnkonstanta).doporucenehodnotyaabjsoua100 budpresun(kdyz(y)>a)nebospojen(kdyz(y)=a)avynechasevyvazovaccast bratryvrcholut.kdyz(t)=a,pakponalezenvrcholu,kdesebudepokracovat,seprovede uzavrajcpuvodnalgoritmus. ktomu,zemultiplikativnkonstantabybylaohodnevetsnezuklasickychtrdicchalgoritmu,takeulozen(a;b)-stromuvyzadujevcepametinezjepotrebaproklasickealgoritmy. Situacesepodstatnezmen,kdyzvstupnposloupnostjepredtrdenaajejitrebajendotrdit. ab=2a+2priulozennaserveruvexternpameti,kdybytobylovevnitrnpameti,pak setrdennahodneposloupnostinenvhodne,rezienaudrzovanstruktury(a;b)-stromuvede (a;b)-stromydavajtakezajmaveaplikaceprotrdicalgoritmy.pouzit(a;b)-stromupro sedoporucujea=2,b=6. TatoupravavyzadujesicevceStepen,SpojenaPresunu,aleasymptotickyvychaz Klasickealgoritmyvetsinounejsouschopnevyuztfaktu,zeposloupnostjepredtrdena,a jejichcasovanarocnostjepraktickystejna(nekdyihors)jakounahodneposloupnosti. vrcholvjehootce).nynuvedemealgoritmusa-sort. vrostoucmlexikograckemporad(ukazatelnanasledujcprvekjenasl)ajedanacestaz Modikace(a;b)-stromuproalgoritmusA-sort.Mame(a;b)-stromreprezentujcvstupn vyuztamanapredtrdenychposloupnostechlepsvysledkynezklasickealgoritmy. posloupnost,jedanukazatelprvnaprvnlist,listy(a;b)-stromujsoupropojenydoseznamu NarozdlodnichalgoritmusA-sortzalozenyna(a;b)-stromechjeschopenpredtrdenost prvnholistudokorene(toznamena,zenacestezprvnholistudokoreneznameprokazdy

8 A-Insert(xi),i:=i 1 enddoi:=1,t:=prv,y1:=(t) 8A-sort(x1;x2;:::;xn) i:=nwhilei1do whileindo ifi>1thenv:=st(i 1) enddot:=st(i) yi:=(t),i:=i+1,t:=nasl(t)enddo elseifvjedenovanothenv:=su((u)) whilet6=listdoi:=1 whileht(1)<x&i<(t)doi:=i+1 t:=prvwhilet6=korent&ht(1)<xdot:=otec(t)enddo A-Insert(x) Su((u)+1):=t0,Hu((u)):=(t),(u):=(u)+1, if(t)<xthen(komentar:x>maxs) endifendifenddo if(t)6=xthen vytvornovylistt0,(t0)=x,u:=otec(t) whilejido Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 j:=(u) 1,Nasl(v):=t0,Nasl(t0):=t Nasl(t):=t0,Nasl(t0):=NIL elsenajdii,zesu(i)=t,su((u)+1):=s((u)), Su(i):=t0,Hu(i):=x,(u):=(u)+1, ift=prvthenprv:=t0endif while(t)>bdostepen(t) endift:=u Korektnostalgoritmuplynezfaktu,zejeizomorsmususporadanaseznamlistuje seresstejnymzpusobemjakopro(a;b)-stromy. denovan.ukazatelotec(v)jeresennacestezvrcholuprvdokorene,proostatnvrcholy enddoendif (y1;y2;:::;yn)jesetrdenaposloupnost(x1;x2;:::;xn) vrostoucmporad.protozevjevzdybezprostrednpredchudcet,jeseznamkorektne Slozitostalgoritmu:ZrejmealgoritmusA-sortvnejhorsmprpadevyzadujecas,ktery potrebujea-insert,pluso(n).algoritmusa-insert(x)vyzadujecaspotrebnynanalezen msta,kamvlozitx,pluso(pocetvolanstepen).protozekazdybehprocedurystepen vytvoriljedenvnitrnlist(a;b)-stromuaprotozea2a(a;b)-stromposkoncenvolan A-Insertmanlistu,jevnitrnchvrcholu(a;b)-stromu<n.Protovsechnybehyprocedury A-InsertvyzadovalycasnanalezenmstjednotlivychprvkuplusO(n).Kdyzprocedura opakoval),paknalezenmstaproprvekxvyzadovalocaso(h).vsechnyprvkyreprezentovane(a;b)-stromempodprvnmvrcholemvevysceh 1jsoumensnezxajejichalespon A-Insert(x)prihledanmstaproprvekxskoncilavevysceh(tj.prvncyklusseh-krat A-Insert(x),kterejsoumensnezx,jejfj=i+1;i+2;:::;njxj<xigj.Oznacme ah 2.Kdyzx=xi,pakpocetprvkureprezentovanych(a;b)-stromempribehuprocedury

9 fi=jfj=i+1;i+2;:::;njxj<xigj.pakplat OdtudcasvnejhorsmprpadepotrebnypronalezenpozicexijeO(logfi).Casalgoritmu A-sortjeO(Pni=1logfi+n).Vyuzijemetoho,zearitmetickyprumernennikdymensnez ah 2fi=)h 2logafi=)h2O(logfi): 9 geometricky,adostaneme nxi=1logfi=lognyi=1fi=nlog(nyi=1fi)1nnlogpni=1fi Veta.AlgoritmusA-sortnasetrdenn-clenneposloupnostivyzadujevnejhorsmprpade ProtovelicinuFlzepovazovatzamrusetrdenostiposloupnosti(x1;x2;:::;xn). pakf=0,kdyzposloupnost(x1;x2;:::;xn)jeklesajc,pakf= n2.obecne0f n2. kdef=pni=1fi=jf(i;j)ji<j;xi>xjgj.kdyzposloupnost(x1;x2;:::;xn)jerostouc, n=nlogfn; caso(n+nlogfn),kdefjemrasetrdenostivstupnposloupnosti. Zhodnocen:ProtozeA-sortnepouzvaoperaciDELETE,doporucujesepouzt(2;3)- stromy.kdyzsebudoutrditposloupnostismroufnlogn,pakalgoritmusa-sort budepotrebovatvnejhorsmprpadecaso(nloglogn).mehlhornatsakalidisdokazali,ze kdyzf0:02n1:57,pakalgoritmusa-sortjerychlejsnezalgoritmusquicksort. NIL),aukazatelpravy(v)ukazujenanejmensvrchol(vlexikograckemusporadan)ve kemusporadan)vestejnehladinejakov,kteryjemensnezv(kdyzneexistuje,takjeto korenenebolistujerozsrena(protiklasickemu(a;b)-stromu)oukazatele: otec(v),levy(v),pravy(v),kdeukazatellevy(v)ukazujenanejvetsvrchol(vlexikograc- Propojeny(a;b)-stromsprstemje(a;b)-strom,kdestrukturavnitrnhovrcholuruznehood Propojene(a,b)-stromysprstem ukazatelprstnanekterylist. ukazatelemlevydal.kdyzxnenreprezentovananivtomtopodstromu,taksecelypostup pokracujevotci,akdyzpuvodnvrcholbyli-tysyn,taksepomocpolehzjistuje,zdax stejnehladinejakov,kteryjevetsnezv(kdyzneexistuje,takjetonil).navcjedan opakuje(zkoumaseotecvrcholu).kdyzxjevetsnezprvekreprezentovanylistem,na Zdeselishlavnevyhledavan,kterejezobecnenmprstupuvA-sortu.Zacnaodlistu, kteryukazujeprst,jepostupobraceny.kdyzsenaleznevrchol,vjehozpodstromumax nemabytreprezentovanvpodstromuj-tehosynaproj<i,akdyznen,taksepokracujes nakteryukazujeprst.kdyzxjemensnezprvekreprezentovanytmtolistem,pakse TatostrukturakromeoperacMEMBER,INSERTaDELETEjestepouzvaoperaci PRST(x),kteranastavukazatelPrstnalist,kteryreprezentujenejmensprvekvetsnebo lezet,pakseaplikujeodtohotovrcholumstoodkoreneproceduravyhledej. klasickem(a;b)-stromu,viza-sort. kterepracujvblzkemokolnejakehox2u.pakvyhledanprvkujerychlejsnezv Pouzit:Tatostrukturajevelmivyhodnaproulohy,kdeoperacejsourozdelenydosegmentu, rovnyx(pokudx>maxs,takukazatelprstbudeukazovatnanejvetslist).operace provedouvyhledanapakpokracujklasickymzpusobem.

10 10 Propevneaaboznacme Vyvazovacoperace:Stepen,Spojovan,Presun.Vme,zejednaoperaceINSERT zpuvodneprazdnehostromujekonstantn. nejdouzlepsit.provhodnytyp(a;b)-stromuvsakamortizovanypocetvyvazovacchoperac muzeprovestnejvyselog(jsj)operacstepenajednaoperacedeletemuzeprovest nejvyselog(jsj)operacspojenanejvysejednuoperacipresun.jevidet,zetytoodhady Veta.Nechtb2aaa2.NechtPjeposloupnostnoperacINSERTaDELETE, aplikujmejinaprazdny(a;b)-strom.oznacme Vyskavrcholuvkorenovemstromejemaximalndelkacestyznehodonektereholistu. Sth{pocetStepenvevyscehpriaplikaciPaSt=PhSth; c=minfminf2a 1;db+1 2eg a;b maxf2a 1;bb+1 2cgg: Sph{pocetSpojenvevyscehpriaplikaciPaSp=PhSph; Zdeniceplyne,zec1,atedyz2)dostanemeSt+Spnc+1+n 2 Ph{pocetPresunuvevyscehpriaplikaciPaP=PhPh. amortizovanypocetvyvazovacchoperacje Pakplat (2)Sth+Sph+Ph2(c+2)n (1)Pna(2c 1)St+cSpn+c+c(n 2) (c+1)h. a+c 1; Dukazjezalozennabankovnmprincipu{navrhnemekvantitativnohodnocen(a;b)- n7!1p+st+sp lim n 52: a2n+1.tedy vyvazovacoperace.srovnantechtoodhadudapozadovanyvysledek. Mejme(a;b)-stromT,pakprovnitrnvrcholv6=korendenujme stromu,naleznemehornodhadtohotoohodnocenapopseme,jaktotoohodnocenmen aprokorenrdenujmeb(r)=minf(r) 2;b (r);cg: b(v)=minf(v) a;b (v);cg Pozorovan.Provnitrnvrcholstromuvruznyodkoreneplat (3)kdyz(v)=a 1nebo(v)=b+1,pakb(v)= 1; (2)kdyz(v)=anebo(v)=b,pakb(v)=0; (1)b(v)c; (4)kdyz(v)=2a 1,pakb(v)=c.

11 Kdyzv0av00jsoudvaruznevrcholystromuruzneodkorenetakove,ze(v0)=db+1 Strom(T;r)ohodnotme (v00)=bb+1 2c,pakb(v0)+b(v00)2c 1.b(korene)c. 2ea 11 ruznyodraplat: Rekneme,ze(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,kdyzrjekorenstromu,vjevnitrnvrcholT bh(t)=xfb(v)jv6=rvnitrnvrcholstromutvevyscehg;b(t)=1xh=1bh(t)+b(r): NynrozdelmeoperaceINSERTaDELETEdojednotlivychakcsestromemavysetrme Pozorovan.Kdyzvav0jsouvnitrnvrcholystromuTaT0ruzneodjejichkorenu,pak vlivtechtoakcnaohodnocenstromu.dukazylemmatjsouzalozenenanasledujcmpo- vsechnycestyzkorenerdonejakeholistumajstejnoudelku. kdyztjevnitrnvrcholtruznyodvar,paka(t)b; a 1(v)b+1a2(r)b; plat: parcialn(a;b)-stromaplat Lemma1.Kdyz(T;r)je(a;b)-stromakdyzstromT0vzniknezTpridanm/ubranm jednohosynavrcholuvvevysce1(pakpridavany/ubranysynjelist),pak(t0;r;v)je (1)kdyz(v)=(v0),pakbT0(v0)=bT(v); (2)kdyzj(v) (v0)j=1,pakbt0(v0)bt(v) 1. Lemma2.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=b+1avjevevyscel1.Kdyz T0vzniknezToperacStepen(v),pak(T0;r;otec(v))jeparcialn(a;b)-stromaplat: bl(t0)bl(t)+2c;bl+1(t0)bl+1(t) 1;bh(T0)=bh(T)proh6=l;l+1; b(t0)b(t)+2c 1: b1(t0)b1(t) 1abh(T0)=bh(T)proh>1;b(T0)b(T) 1: Lemma3.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=a 1,vjevevyscel1ay (T0;r)je(a;b)-stromaplat: bezprostrednbratrv.kdyzt0vznikneztoperacpresun(v;y)(tedy(y)>a),pak Lemma4.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=a 1,vjevyscel1ayje jebezprostrednbratrv.kdyzt0vznikneztoperacspojen(v;y)(tedy(y)=a),pak bl(t0)bl(t)+c+1;bl+1(t0)bl+1(t) 1;bh(T0)=bh(T)proh6=l;l+1;b(T0)b(T)+c: (T0;r;otec(v))jeparcialn(a;b)-stromaplat: OznacmeTk(a;b)-stromvzniklyprovedenmposloupnostiPnaprazdny(a;b)-strom.Sectenmpredchozchvysledkudostavame bl(t0)bl(t)abh(t0)=bh(t)proh6=l;b(t0)b(t):

12 12Dusledek5.Kdyzpolozme Daleb(Tk)(2c 1)St+cSp n. Prvnvyrazupravme(vyuzvame,zec1): bh(tk)2csth+(c+1)sph Sth 1 Sph 1proh1: St0+Sp0=pocetlistuvTkn;pak Nynodhadnemeshorab(Tk). Sth+Sphbh(Tk) Xi=0bh i(tk) c+1+sth 1+Sph 1 (c+1)i+1+n (c+1)h=n bh(tk) (c+1)h+hxl=1bl(tk)(c+1)l c+1+bh 1(Tk) (c+1)2+sth 2+Sph 2 (c+1)h+1: (c+1)2 alespona+csynu.kdyzvrcholvmaa+jsynu,pakbt(v)japrokazdyvnitrnvrchol vplatbt(v)c.tedyb(t)c+pcj=0jmj.zvlastnoststromuplyne presnea+jsynu,amcoznacmepocetvnitrnchvrcholuruznychodkorene,kteremaj Dukaz.Pro0j<coznacmemjpocetvnitrnchvrcholuruznychodkorene,kteremaj Lemma6.KdyzTje(a;b)-stromsmlisty,pak0b(T)c+(m 2)c a+c 1. OdtudplynePcj=0(a+j 1)mjm 2: Protozej b(t)c+cxj=0jmj=c+cxj=0j a+j 1c 2+cXj=0(a+j)mjXf(v)jvjevnitrnvrcholTg=m+cXj=0mj: a+c 1prokazdejtakove,ze0jc,dostavame operacipresun(aoperaceinsertoperacipresunnepouzva)dostavame,ze alemmajedokazano. Nyndokazemetvrzen(1)Vety.ProtozekazdaoperaceDELETEpouzijenejvysejednu a+j 1(a+j 1)mjc+c a+c 1(m 2) aprvnnerovnostplat.abychomdokazalidruhounerovnost,spojmedruhetvrzenv Dusledku5aLemma6(Tkmanejvysenlistu) (2c 1)St+cSp nb(tk)c+(n 2)c PpocetoperacDELETEn Dukaz(2)vyuzijenasledujcodhad. Odtudplynepozadovananerovnosta(1)jedokazano. a+c 1

13 Lemma7.Prokazdeh1aprokazdy(a;b)-stromTsmlistyplat hxl=1bl(t)(c+1)l(c+1)m: 13 Dukaz.Pro0j<caprolibovolnehoznacmemj(h)pocetvrcholuvevyscehruznychod kteremajalespona+csynu.pakmame korene,kteremajpresnea+jsynu,amc(h)pocetvrcholuvevyscehruznychodkorene, PlathXl=1bl(T)(c+1)lhXl=1(c+1)l cxj=0jmj(l) kdedodenovavamepcj=0mj(0)=m.tytovztahypouzijemevnasledujcmodhadu. bh(t)cxj=0jmj(h)acxj=0(a+j)mj(h)cxj=0mj(h 1)prokazdeh1; (c+1)cxj=0mj(0) (c+1)hacxj=0mj(h)+ hxl=1(c+1)l cxj=0mj(l 1) acxj=0mj(l)= nekladny. poslednnerovnostplyneztoho,zea kderovnostjsmezskaliprerovnanmsctancutak,abyvyrazypcj=0mj(l)bylyusebe,a h 1 Xl=1(c+1)l+1 cxj=0mj(l) a KombinujemeodhadSth+SphsLemmatem7adostaneme c+11,atedydruhysctanecvpredchozmvyrazuje c+1cxj=0mj(l)(c+1)m; ProtozePhSph 1 SphSth 1+Sph 12n Sth+Sphn (c+1)h+hxl=1bl(tk)(c+1)l (c+1)h+1n (c+1)h+n(c+1) (c+1)h+1=2n adukaz(2)vevetejehotov. Sth+Sph+Ph2n (c+1)h+2n (c+1)h 1=2n+2n(c+1) (c+1)h 1dostavame,ze (c+1)h=2n(c+2) (c+1)h: takovou,zejejaplikacenaprazdny(a;b)-stromvyzadujepocetvyvazovacchoperacumerny nlogn(prokazdedostatecnevelken).podobnavetaplatiproparalelnimplementaci Vetavysvetluje,procjsoudoporucenehodnotyb2a{pakjepocetvyvazovacchoperac Kdyzb=2a 1,paklzelehcenaleztposloupnostoperacINSERTaDELETEodelcen (a;b)-stromu,aleplatzapredpokladub2a+2.prob=2anebob=2a+1lzenalezt behemposloupnostioperacinsertadeletelinearnvzhledemkdelceposloupnosti. posloupnost,kterajeprotiprkladem.protosedoporucujehodnotab=2a+2proparaleln implementaci(a;b)-stromu.propropojovane(a;b)-stromyplatsilnejsverze.

14 14Veta.Predpokladejme,zeb2aaa2.Mejmepropojovany(a;b)-stromsprstemT, kteryreprezentujen-prvkovoumnozinu.pakposloupnostpoperacmember,insert, DELETEaPRSTaplikovananaTvyzadujecas Vysvetlen:Zacnamevlibovolnempropojovanem(a;b)-stromeT,protojehostruktura muzebytnevyhodnaproposloupnostoperacp.abychomsedostalidovhodnehorezimu, muzebytpotrebaazlog(n)vyvazovacchoperac.casnavyhledavannemuzemeovlivnit, VyvazovanprioperaciINSERTlzeprovadettak,zeoperaceStepen(t)seprovede,jen tenmusovlivnituzivatel. O(log(n)+casnavyhledanprvku): Zadanulohy:MamepodmnozinuSlinearneusporadanehouniverzaaSjeulozenavpoli kdyzobabratrivrcholutmajbsynu.jinakseprovadoperacepresun.nevmozadnem serioznmpokusutytoalternativyporovnat. A[1::jSj]tak,zeproi<jjeA(i)<A(j).Prodanex2Umamezjistit,zdax2S(operace dvehodnotydahtakove,ze1d<d+1<hjsjaa(d)<x<a(h).pakzskame MEMBER(x)). Resen:Pokudx<A(1)neboA(jSj)<x,pakxnenprvkemS.Vopacnemprpademame Vyhledavanvusporadanempoli hodnotuntakovou,zed<n<h,adotazemzjistme,zdax=a(n)(pakkoncmeax2s), Koncme,kdyzdh,pakx=2S.Nazacatkupolozmed=1ah=jSj.Formalnzapis nebox<a(n)(polozmeh=n)nebox>a(n)(pakpolozmed=n)aprocesopakujeme. algoritmu: ifx=a(n)thenx2sstopelse ifx<a(1)thenx=2sstopelsed=1endif,endif whiled+1<hdon:=next(d;h) ifx=a(jsj)thenx2sstopelse ifx<a(n)thenh:=nelsed:=nendif,endif ifx>a(jsj)thenx=2sstopelseh=jsjendif,endif MEMBER(x)ifx=A(1)thenx2Sstopelse neexistujeitakove,zex=a(i),atedyx=2s.efektivitaalgoritmuzaleznafukcinext. Vtomtometaalgoritmujenext(d;h)funkce,kteranaleznehodnotuntakovou,zed<n<h. enddo x=2sstop Korektnostplynezpozorovan,zekdyzd+1=h,pakA(d)<x<A(h)implikuje,ze Poznamka:Dualnprstupje,kdyznext(d;h)=h 1,vysledkysenezmen.Priaplikacch jenekdyvyhodnepouztfunkcinext(d;h)=minfd+c;h 1g,kdecjenejakakonstanta Unarnvyhledavan:next(d;h)=d+1,pakkazdydotazzvetsdo1,atedynejvetspocet ZpracovandotazuvyzadujecasO(1)apocetdotazujepocetvolanfunkcenext. dotazujejsj.algoritmusvnejhorsmprpadevyzadujecaso(jsj)aocekavanypocetdotazu prirovnomernemrozlozenmnozinysaprvkuxjejsj 2(tedyocekavanycasjeO(jSj)).

15 Binarnvyhledavan:next(d;h)=dd+h unarnvyhledavan. vyzadujecaso(logjsj)aocekavanycasprirovnomernemrozlozenmnozinysax2uje (pakkroknen1,alec).jakuvidmepozdeji,jsousituace,kdyjevyhodnepouzttakoveto napolovinu.pocetdotazujenejvyse3+log(jsj 2),algoritmustedyvnejhorsmprpade 2e,pakkazdydotazzmensrozdlh dpriblizne 15 zehodnotanextzavisinavelikostix.kdyzxjevelke,takhodnotanextjeposunutado takeo(logjsj). Interpolacnvyhledavan:next(d;h)=d+dx A(d) polozitvcenezjsj Poznamka:Kdyzrozlozenprvkunenrovnomerne,alejezname,pakpodletohomusme vetschhodnot,kdyzxjemale,pakjeposunutadomenschhodnot. rozlozenmnozinysax2ujeocekavanycaso(loglogjsj).totojezalozenonafaktu, 2dotazu,aprotocasvnejhorsmprpadejeO(jSj),aleprirovnomernem A(h) A(d)(h d)e.vnejhorsmprpademusme upravitfunkcinextaocekavanycasalgoritmusenezmen. Pronasledujcdenicifunkcenextbudejednodussspoctatocekavanypocetdotazunezu interpolacnhovyhledavan,alevysledekjeasymptotickystejny.

16 16 blokuklesnepribliznenaodmocninuvelikostikrokuvtomtobloku.procedurapouzva dotazyvblocch.prvndotazvblokujeinterpolacnaprocedurapritomzjistvelikost hledavan.blokkonc,kdyzrozdlmezihadjenejvysevelikostkroku.krokvnasledujcm boolskepromenneblok,typ,smer.promennablokjeinicializovanahodnotoufalseaurcuje, krokuazdaxjepodprvnmdotazemvblokunebonadnm.pakstrdaunarnabinarnvy- Zobecnenekvadratickevyhledavan.Funkcenextjezdedenovanaslozitejsprocedurou, jejzvysledekzavisinapredchozchsituacchanavysledkudotazu.procedurazadava seneinicializujvolanmprocedurynext). typuinteger,kteraobsahujevelikostkrokuvramcibloku.hodnotytechtopromennychse zdasedotazzadavavramciblokunebonikoliv.promennatypurcuje,zdaprstdotazje predavajzjednohovolanprocedurydodalshovolan(tj.jsoutoglobalnpromenne,ktere dotazenvbloku(smer=true)nebonadnm.daleprocedurapouzvapromennoukrok unarn(kdyztyp=true)nebobinarn.promennasmerurcuje,zdadotazyjsoupodprvnm ifa(next(d;h))>xthenblok:=falseendif elsenext(d;h):=d+krok ifblokthen iftypthen ifsmerthennext(d;h):=h krok ifa(next(d;h))<xthenblok:=falseendif Podvoudotazechklesneh dbudpodph dnebopodh+d elsekrok:=bph dc,next(d;h):=d+dx A(d) typ:=falseendif elsenext(d;h):=dd+h elsesmer:=falseendifblok:=trueendif ifa(next(d;h))>xthensmer:=true 2e,typ:=trueendifA(h) A(d)(h d)e, zevramciblokusepolozalesponidotazu.pakocekavanypocetdotazuvramciblokuje caso(logjsj). Nynspoctameocekavanypocetdotazubehemjednohobloku.Nechtpijepravdepodobnost, horsmprpadepouzijenejvyse5+2logjsjdotazu,atedyvnejhorsmprpadevyzaduje 2.Protoproceduravnej- sevblokupolozalesponidotazuproi>2,pakjx njbi 2 zacatkubloku,pakxjenahodnapromennazavislanaargumentuoperaceabloku.kdyz vramciblokuanechtkrok=kvramcibloku.oznacmex=jfiji>d;a(i)xgjna Nynodhadnemepi.Oznacmen+dargumentprvnhodotazu(interpolacnvyhledavan) C=Xi1i(pi pi+1)=xi1pi: Tedy dotaz,pojehozpolozensenezmenilblok,musbytvrozdlujx njpravekhodnoti. promennasocekavanou(stredn)hodnotouarozptylem2,pakcebysevovanerovnost NynpouzijemeCebysevovunerovnostpronahodnoupromennouX.KdyzYjenahodna piprob(jx njbi 2 2kc): 2kc,protozezakazdyunarn

17 rka,ze Uvazujmeokamzik,kdyjsmenazacatkunejakehobloku.ProtozeSjevybranasrovnomernymrozdelenm,jepravdepodobnost,zeA(i)<xprod<i<h,rovnap=x A(d) Prob(jY jt)2 t2prokazdet>0: 17 pakpravdepodobnost,zex=j,je h d velicinasbinomickymrozdelenm,atedyjejocekavanahodnotaje =h d Xj=0h d jpj(1 p)h d j=p(h d) jpj(1 p)h d j.toznamena,zexjenahodna A(h) A(d),a Kdyzsiuvedomme,zek=bph dcan=p(h d),pakdostavame ajejrozptylmahodnotu pi;pi+1prob(jx njbi 2 2=h d Xj=0(j )2h d 2kc)4p(1 p)(h d) jpj(1 p)h d j=p(1 p)(h d): protozep(1 p)14.kdyzshrnemetatopozorovan,dostavame,ze C=Xi1pi2+2Xi31 (i 2)2=2+2Xi11i2=2+22 (i 2)2k24p(1 p) 6=2+2 (i 2)21 63:6 (i 2)2; KdyzT(n)jeocekavanypocetdotazuprooperaciMEMBERakdyzjSj=n,pakplat Zaver:ocekavanypocetdotazuvblokujemensnez4. Veta.OcekavanycasoperaceMEMBERvusporadanempolidelkynpriimplementaci ProtozeT(1)=1aT(2)2,dostavamezrekurentnhovzorce,ze T(n)2+Cloglognpron2: T(n)C+T(pn): avyhledavanodpovdacestevestrome.formalndenice: Binarnvyhledavacstromjebinarnvyhledavanvusporadanempoliroztazenedoroviny alizacnchoperac.tentoproblemresbinarnvyhledavacstromy. Nevyhodadatovestrukturyusporadanehopolejenemoznostefektivnimplementaceaktulozenvstupnchdat. zobecnenehokvadratickehovyhledavanjeo(loglogn)zapredpokladurovnomernehoroz-

18 18 stromutakova,ze nebomadvasyny,levehoapraveho)aexistujebijekcemezimnozinousavnitrnmivrcholy stromtreprezentujcmnozinusjeuplnybinarnstrom(tj.kazdyvrcholjebudlistem Predpokladame,zeUjelinearneusporadaneuniverzumaSU.Binarnvyhledavac kdyzvjevnitrnvrcholstromut,kteremujeprirazenprveks2s,pakkazdemu Binarnvyhledavacstromy ukazatellevy(v)nalevehosynavrcholuv, ukazatelotec(v)naotcevrcholuv, Strukturavnitrnhovrcholuv: vnitrnmuvrcholuuvpodstromulevehosynavrcholuvjeprirazenprvekzsmens ukazatelpravy(v)napravehosynavrcholuv, prvekzsvetsnezs. nezsakazdemuvnitrnmuvrcholuwvpodstromupravehosynavrcholuvjeprirazen neexistuje,pakureprezentujeinterval( 1;key(v))aprvekkey(v)jenejmensprvekvS. atributkey(v){prvekzsprirazenyvrcholuv.kdyzvjekorenstromu,pakhodnota ukazateleotec(v)jenil.listmaukazatelepouzenaotce. pravymsynemvrcholuw,pakureprezentujeinterval(key(w);key(v))akdyztakovyvrchol KazdylistreprezentujeintervalmezidvemasousednmiprvkyzS{presne,kdyzujelista prvekvs. utakovy,zejelevymsynemvrcholuw,pakureprezentujeinterval(key(v);key(w))akdyz takovyvrcholneexistuje,pakureprezentujeinterval(key(v);+1)aprvekkey(v)jenejvets Kdyzujelistajepravymsynemvrcholuv,naleznemevrcholnacestezudokorenenejblze jelevymsynemvrcholuv,naleznemevrcholnacestezudokorenenejblzeutakovy,zeje Priimplementacibinarnchvyhledavacchstromujevyhodnevynechatlisty(pakbude ukazatelnil).prinavrhualgoritmujevsakvyhodnepracovatslisty(jetologictejs). whiletnenlistakey(t)6=xdo t:=korenstromu valy. Navrhalgoritmu: Protoprinavrhualgoritmubudemepredpokladat,zestromymajlistyreprezentujcinter- ifkey(t)>xthent:=levy(t)elset:=pravy(t)endifenddo iftnenlistthenx2selsex=2sendif Vyhledej(x) Vyhledej(x) MEMBER(x)

19 levy(t)apravy(t)jsounovelisty,jejichzotcemjet key(t):=x, iftjelistthentsezmennavnitrnvrchol Vyhledej(x) INSERT(x) 19 ift=levy(otec(t))thenlevy(otec(t)):=pravy(t) iftnenlisttheniflevy(t)jelistthen Vyhledej(x) endif odstranmevrcholt odstranmevrchollevy(t),otec(pravy(t)):=otec(t) elsepravy(otec(t)):=pravy(t)endif DELETE(x) ifu=levy(otec(u))thenlevy(otec(u)):=levy(u) elsepravy(otec(u)):=levy(u)endif otec(levy(u)):=otec(u) elseu:=levy(t) whilepravy(u)nenlistdou:=pravy(u) enddokey(t):=key(u),odstranmevrcholpravy(u), endifendif HlavnproblemjekorektnostalgoritmuVyhledejazdesejednaomodikacivyhledavan odstranmevrcholu podstromreprezentujeintervalvmnozines.zvlastnostbinarnchvyhledavacchstromu plyne,zetototvrzenplatiprosynyvrcholuv.nynuzsnadnouindukcdostavame pozadovanelemma. Lemma.KazdypodstromreprezentujeintervalvmnozineS. Dukaz.Tvrzenplatprokoren.Predpokladejme,zeprovnitrnvrcholvplat,zejeho vusporadanychpoli.nejprvedokazeme Dokazemenasledujcinvariant:Kdyzvysetrujemevrcholstromuv,jehozpodstromreprezentujeinterval<s1;s2>vS,akdyzs01jepredchudces1vSas02jenaslednks2vS,pak s01<x<s02. Prvndvatestyzarucuj,zeplatmin(S)<x<max(S).Kdyztvrzenplatprovrcholv, podstromvrcholuvreprezentujeinterval<s1;s2>vsakey(v)=s,pakpodstromleveho synavrcholuvreprezentujeinterval<s1;s0>,kdes0jepredchudcesvs,apodstrom hledej(x)budnaleznevrcholvtakovy,zekey(v)=x,neboskoncvlistu,kteryreprezentuje pravehosynareprezentujeinterval<s00;s2>,kdes00jenaslednksvs.protozedals pravekdyzs<x,dostavame,zeinvariantplativnasledujcmkroku.protooperacevy- vysetrovanyvrcholjelevy(v),pravekdyzx<s,adalsvysetrovanyvrcholjepravy(v), listu.pakdostavame Korektnostostatnchoperacjetedzrejma. interval(t0;t00)aplatt0<x<t00a(t0;t00)\s=;.tedyoperacevyhledejjekorektn. korenedonejakeholistu.oznacmehloubka(t)delkunejdelscestyzkorenedonejakeho ZpracovanjednohovrcholuvyzadujecasO(1)aalgoritmussepohybujepojednecestez

Efektivitaoperac:JedenbehcykluvyzadujevoperaciUPcasO(1)avoperaciDOWNcas

Efektivitaoperac:JedenbehcykluvyzadujevoperaciUPcasO(1)avoperaciDOWNcas INSERT(s;a){pridakmnozineSprvekstak,zef(s)=a, problemu. Zadanproblemu:Ujeuniverzum.JedanamnozinaSUafunkcef:S!R,kdeRjsou realnacsla.mamenavrhnoutreprezentacisaf,kteraumoznujeoperace: Vpraxisecastosetkavamesnasledujcmproblemem,kteryjemodikacslovnkoveho

Více

Á Ě č Ý Úč Ř ů ů č č č č ú ů Ž é ž ž ú ů ů ů č š č š ť č é č č č š č ž Úč é é úč é úč č ů č č ů é ú Ž é ůč ň š úč ž úč ž é úč č č ž Č ů č úč č š Í ú č é Č č ť Ř Í Í Č č č ú ů ů é Í č Ú ú ů ů é é Í č Ž

Více

ý úř Č ý ř ř ř ř ř é ř ř ř ú ý ů ý ů ř ř ř š ř ř ý ř ř ř ř úó ř ř ř ř ř ú é ř ř ř ř ř ř ý ý ů ý ý ř ř ř ý ú ů ř ů ý ú Č ú Ý ř ř ř Í ř š ý š é ř ř ý ř é ř ř ř ř é ř ř é ř é ř ý Ů ý ý Ú ý ý ř ř Ů ý ů š ý

Více

š Č ú ř úó ď ů ř ř ř ů ů š ů ů ů řš ř ů ř ů ř ó ř ú ů ů ů ú ů ů ů ů ř ů ů ú ú ř ů ř ů ř ň ř ů ř ř ř ř ň ř ů ř ř ř ř ř ů ř ú ř ř ř ř ř ř ř ř ú ř Ů ř ř Ó š ů š úó Č ó ř ú ú ř ů ř ó ň ú ů ú ř ř úó ů ř ů ó

Více

ý ř ř ř é É Ř č ů č ř ý ř ř Ž Č ý ř ř č ř ř é ý č ř ř é ř ř č Ž č ř é š č ř ř ú ý ů ý ů é č Í ú ž š ř č ř ú ř é ý ř ř ř Ž é š ř ý Úř Ž ř é ř ř ř ý ř ř ř ř ř č č ř é č ř é úř é Úč ý ř ř ý č é č ř Á Ě ř

Více

É ď ú ť ŽŽ ť ť ť Ž ď ď Ů ď ř ř ť ú Č ď Ž ú ú ú ď ť Ú ř ď Ů Č ú Ů Ú ť ú Ž Ž ÚŘ ť Ž Ž ť Ú Ú Ú Ž Ž Ý Č Ň Ř ť ť Á Č Ů Ě Ž ú Ž ř Ž Ů Ů É ď ř Ó ú ď ť Č ť Ó Č ř Ý Č Ú ď ť ď ď ď ďů Ž ř ú ť ř ť ď ť ú ř ť ř ť Č

Více

ý Úř ý š Úř é á ý š ý š á á úř ý úř ý Š úř úř ř Š ý á ú á á řá á š ř Ů á á Žá á é ó é ú ý š ó ď ů Č á ý š Č Č á ý š é é ú ý Š á áš šú ú á ú ř řá š ř Ů é ř é ř ř é é ý é Ž á ý á š ý ž ů ý áš ř é áš š Ž

Více

ž Č ž ú ú Č š ú ž ě ě ě ú ů Ú ú ě ň ú ů ě ě ě ú ú Ú ú š ž ě š ž š ě ě ň ě ů ň ů š ě ú ž ú ú ě ě ú ú ě ů š ž ž ž ů ž ů ú ěž ú ž ú ů ě ě ú ú ú ú ú š ů ž ú ě š ú ě ě š ň ň Ú ž Č ž š ž ú ěž ú ě š ú ě š ů ž

Více

š Í ř š é č úř é ř é úč é é ý ý é č č č é ř č ý Č ý ů Ž éř é ů ý ý ž Č ý š ůž é ůž č č ú ď é č Í č ý ý š é úř ř ů ř š Í ý ý č ž ř ý é ž é č é ř č ď š č é ď ď Č š č Ž ž š é ď š ď č č Ž éř é č Ž é Č ý ý

Více

á ě č č ú řá ě řá ř č Ú č á ě ú řá ě řá á úř ř ř š á č ú á řá á ě ě š ř ů á é ěř š á á ě á řá ě ě š ř ů á á řá é ě ú úč ůú ř ě ů č ř ř čá ř Ž ř š é ř šť é ě é ř ř ů č ř ř čá ř Ž ř ď é ř š é ě é ř Ť č á

Více

ě ý úř ý š úř é á ý š ě ý Č š ě á ě á Úř á Ř Á ÁŠ ě ý úř ý š úř úř ř š ý á č Ú á á řá á ě ě š ř ů á á ě Žá á č é ú é ý š á čá ř čá ř čá ř čí ě á á ř é Ó ú áš ý š ě á á áš č ě šú ě ú á ú ř řá ě ě š ř ů

Více

Ů ů ň ů ň Ý ž ů ů ě ů ů Ý ě ů ů Ý ž ž ě ůú ů ů ů ů Ů Á ě ě ů ž ě ě ů ů ň ž ě ě ě ů ě ů ě ě ů ě ě ě Ý ě ě ě ě ě ě ě ů Ú ě ě Ů ž ů ů ě Ý ů Í ě ě ů ě Ý ě Š Š ě ě Í Í Í Š Í Í ů ě ž ů ě ů Ý ě ů ů ů Í ů ů ú

Více

ú ť á á á á á á á Š É Č á ú é á é š š é á á ž é š é á ů é é ž á é á ž é é á ž é á á ú ý é é ž ž ž é Ťé š ň é é š é ž á á á á é Š á á á ó ž ů é á é á ž á é á á ú ú á ž ž á á á é á Ž á áš á ž é á š á á á

Více

é ěř ř ž ěř ř ž řů ěř é ě Á ř ž é ě š é ě é é š ě ř Á é ď Ú ň é É ž ó é ě ď é ň ě ó Ů é řů Á ř ř ž é ř ž ó é ř é ř ž ú š ě ě ú ř ě ě ú ř ř é ď ž é ů é ě š ě ř ě é é Ž ů é ě ř ž é é ř ěř ž é ů ž ů ě ů ú

Více

ý úř Ž ž ó á ý ř á ř ý Č ř á ř á ý á ý ú ú á ó ř á á ř ú á ý ů ý Ů á á ř á á ř ř á ř á é ř á á žá á ř á á ř ú á á Ů žá ý ř á ř ř á ý ř ř á ř ý ř ř á ř ž řá ž á ú ř ř á ř ř á ř ú é á ř á á ř ř á ř ý ý ů

Více

Tlačné pružiny. Všechny rozměry pružin uvedených v katalogu jsou standardizovány. Také jsou zde uvedena potřebná technická data.

Tlačné pružiny. Všechny rozměry pružin uvedených v katalogu jsou standardizovány. Také jsou zde uvedena potřebná technická data. Tlačné pružiny Všechny rozměry pružin uvedených v katalogu jsou standardizovány. Také jsou zde uvedena potřebná technická data. Každá pružina má své vlastní katalogové číslo. Při objednávce udávejte prosím

Více

ú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú

Více

Š Š ř Š š ř Š ř Š ř ť ý Ý Ř Š š Ú ý ý ř ý ů ů ř ř ř ý ů ů Ú ů ž ý š ř ř ř ď š ý ň ř ý Š řš ý ř ž ř ý ž ý ž ř ž ř š ž ř ř š ř ř ý ů ř ř ů ý š ř Š ů ů Š ů ů ů Š ů ř š ř ř ř ř ť ř ž Š Š ý ř ů ů ř ž Š ů ů

Více

Ý úř Á ý ě č ý ý Č č ě ž ž č ě ě š ů ě č ě ú ý ů ý ů ý ý ě Š ě Ú č úě ě ý ě ý ů ý ž ž ý č č ý š č Ú č č ž úč č ý ž ě ů ý ě ý š č ý ý č č ě ý ú č ů ý ů ě š č č č č č č č ý ý ý č č ý ý Ť ýš č ě č ý úč č

Více

Ú Š Ú é š Ú š Ú Í Ú š Ú ú š č ú š ů Ž ú ů é é č ú š Č Ý Š Ě Í Š Č š ú ú ú ú ů é č é č ú š č ú š ů é é č é Ů é é š Ž č š č é ú ů é é č ů č é ú Ž č ů é ů š é č š é Ž Ó Ž é č ú ú é č é Ú Ž Š ů Ů š Ů é Ž Ž

Více

Č É Ú č Ť É á Ú é ť á ť á ž á á á ť Ů ď Ř ó š é č Ů Ě ť Ě ť ý ď ď Ě á á ť É é á á Ě á á ů ť ý ť é á ťó ď á á ů Ť ó á š É É áó á ď ú á ů Š ť Ý Ž Ž Ý É ů É ú ď ů ď á ó á á Ž áó á Ň ť ďť ó Ť á ý áá é ú á

Více

ť Ú Á É Á Ů Š Č Š Š č ř č č ř ÚČ Ě É č č ř úč č ř ů č ř úč č č úč úč ú ž ů č č ň č č č ú ó ů č ž ř č ř ž ž č č ú ů ř č š ů ř ň řú ř ň ň ú ř č č š Ů ů č řš ř řš Úč č É úú úč ú ú ů ž úč ů ú ů Č ÚČ Ě É É

Více

ž ř ř č ž ř Š š š Š ý ř ř ž ř ř ž ý ú ř ž ž Š ř ž ř š ž ř ž ž ř č š ž ř č č č úč č č ř ý ž ž ž ř ě ř č Ú ž č ý š ř ž Š ž ř ž č ý Ú ř ř ě ú ýš č ž ř ž č č ě ýš č č ě ěž ž č ř ů ř Č ř ý č č ž ř ř ý ý ř ž

Více

č č ú š š č Č ó č č úč č č ž ú Úč ž š ů ť ú č ž č ž č úč š ž Č č ň č ž č š č š č ž č š Š č ů č č ž ž č š ó č č č č č ž č č č Ú ď Ž Úč ť ž č č ž š ů č č Ú č úč č ž č č ž č Ú ž č ťž ů Č ť č Á ó Ú š Á Č ó

Více

Upozornění: Dne: 12.10.2015

Upozornění: Dne: 12.10.2015 Objekt : Pod Haltýřem 5 Dne: 12.10.2015 Byty č. : 183,182,169,168 od 8:00 hod. do 9:00 hod. Byty č. : 167,149,148,147 od 9:00 hod. do 10:00 hod. Byty č. : 123,122,121,94 od 10:00 hod. do 11:00 hod. Byty

Více

Ě Á Ě Í Č ú Ú ů č úč š ř ů úč ů ý ů úč ř úč š č š ď č š ů Á š ý ý ů ý úč ů ž ř úč ř ř ř ů ý ř č ř ř Ř ř š Č š ů úč ň úč š ř č úč č ž ú ý ř ý úč š č ý ů ů š ý č ý ů úč ů ž ň č ž ý ůž ý č ý č ů úč č ý ý

Více

úř š úř Č ř Ú úř úř úř ř š ú ř š ř ů ř ř ž ž ů é Č é Č ř é é ř š šú ú ú ř ř ú é ú é š é ř é šť ř é ř é é ž é é ž Č ř é ř úř úř úř ř ž ř ř é š š ř ř žš ž ř š ř ž ž ř ř š š ž ů ň š é ž ř š ř ř ř šť ž ř ř

Více

JEDNODUŠE A PROSTĚ Tento katalog představuje v přehledném členění všechny potřebné technické údaje týkající se našich 8000 pružin.

JEDNODUŠE A PROSTĚ Tento katalog představuje v přehledném členění všechny potřebné technické údaje týkající se našich 8000 pružin. S oprávněnou hrdostí si Vám dovolujeme představit naši rozsáhlou nabídku pružin a per. Náš sortiment totiž zahrnuje přes 8000 standardních provedení pružin, které jsme schopni dodávat z našich skladů v

Více

Ý ý ú ý é Á ý š Ů ú ý Ů ý é š ý ú é é é ú ó ú ý ť ó ý ú ó ď ý ý Ž ú é Č é ó ý ý ú ý ú ú é ň é Ú Ý š š é ý ý š ň š š é ý Ů š ž ť ý ž ž ý ý š ý é é Ť š é é ú ý ž ž ý é ú ž ý ž ý Ů ý ú ý ý ý ý Ů ú ý š ý ú

Více

Kopie z www.dsholding.cz

Kopie z www.dsholding.cz Ú š ř ú š ÚČ ú ř ř ú ř ú ú ú ú ú ú ů ň ů ř ů ř ů ř ů ů ř ú ů ň ň ů ú ř ů ň ň ú ř ů ú ú ň ú ú ň ř š ř ú ú ů ú ů ů ů šť ú ů ú ř ř ú ú ú š ř ů ú ú š š š š ú ú ú šš Č ú ů ů ú šš ú š šť ř ú ů Ý ú ů ů ů ů Ú

Více

ř á Á Í Á Í É Ž ÁŽ É á é é Č ř á č á ť é řá á á Ž Š ň Č ň á ý Ž š Č ř š Č á Ž ď á á č Í ý ř ř č á á ř á ý čá č č š á á úř ň ý ú ř š é čá ř š ýš é é á ú é é ú é ý Ř ý ý ř ý ů čá ý š ř č é á č ýš ř á č ýš

Více

Áď Ů ňň Š É Ů Č ý Č ž š ě ž ě ě ý úř úř úř ř š ý ú ř é ú ř ř ž ě ú é Íň ř ř ú Ž š ě ž ě ě ď ě ě ú ě é ž ř é Í é ě ú úř ř Ž ě é ú ě ú é ě ú Í é ř š ů ýš é ž é ý ů ý ú ž ě é ř š ů ýš é ř é ů ř ú é ů ýš ě

Více

ů š Č š ě ž ě ě ú ě ž ů ů ž ž ě ě ú Ú ě ě Č ů Č ů Č ž ů ů š Č ů š ů ě ů ě ů ů š Č ů ě š Á ů Č ě Č ů ů Č Č ů š š ů ň š ň š š ú ů Č ě ě ě ě ě ě Ů š ů Á ů š Č ů Á ů Č ě Á Č ů ů Č Č ů ů Č ě ě Á ě ě ě ž ž ž

Více

č ý ž ř č č š č ž č úč úř š č úč Č ř č š ň ů č ř š ý ř Ž č Ž Ž č Ž úř ř č č Ž ď ř ý č ý č š ř ý ř š ó č ý ř č ý Ž Ž ď č ř č Ž Ž č ý č ř č Ž ř č ů ž š ů ř Ž š ý ň ů ů ř š ž š ý ř ý ř ž č č Ž ř ýš ř č č

Více

úř ř ř ú ú ů š ě ý ů ý ý ý ř ú ý ý ó ď Ú Ě ďď ě ý š ý ě ý ú š ý ě ů ě ý ú ř ě ú Č ě ššě ě Č ě š ě Č ě š ě Í Í ř ů ě ú ý ů ř ý ů úř ř ř ů š ě ý ů ú ú ú ó úř ú ú Čď ř ě ú Š ě ý š ý ě ý ú š ý ř ě Č ě š ě

Více

úč úč ž ů ž Č Č č č ů ž úč č úč ť Ň č ú Ý č č Ú Ú ť ú č ď ů ž š úč ž úč úč ž ť ď ť ď ž ú č č úč š ž Ů č č ú úč ž ů ť úč ž ž ž Ů č ž ú č Š úč č Úč Č Č š ď š Š š Ó Ó ž ůč ú Ď ť ž ů ů č ů Č ů ž úč Ý č ž úč

Více

č ů š ň č č Ú č č č Ú ů Ú č ž ú š š ý č ú ó ó ž č ý ý ý č ž č ý ž ý č ý ž ž č ý ý ý ž ý ý ý ý š ý š ů ů č č ý ž č ý ů š ž ý Ú Ú úč š ů ž ů ů Úč ž č ý č š ý ů č š ý ý ý ů č č ž ů š ů ů š ý ý ů ů č č ž ú

Více

Á Ě Í Ě Á Á ó č ž č ž č Í š úč é úč š ž č é ů č é č é é ů č ů č č ů é Ž š ů ů š č é Ž č é Ž č Í ž Ž Ž é é Ů é Ř ů ť š é é č é é é š č č é č č č č š č š é č é č ů č č š ú é č é š é Ž Ž é é ú č č é ů č š

Více

ř úř úř ř Č ř Ž ř ř Č ú ú ú ú Ž ř Č ř ó ř úř ř ř ř ř ř ř ú ř ř ú ř ř ř ř ú ú ř Č ř ř ř Č ú ř ú ř ú ú ú ú ř ú ř ř ř ř ř ó ř ř ř ř Ř ř ř úř ř ř ř ř ř Ž Ý Š Š ř ř ř ř ú ř ř ř ř Ý ř ř ř ú Ú Š ř É Ú ú ť ř úř

Více

Ú ř Č ř ů ř ř ů ř ř ů ú ú ú ř ú ř ř ů Č Ž ř ř ů ř ř úř ř ř ů ů ú ú ř ř ú ú ú ř ů ř ř ď ů ú ů ú ú ú ř úř ů ř ů ř ů ř Č ř ř ř ř ř ř ř ů ř ř ř ř ú ř ř ř ř Č ř ů ř ř ř ř ř ř ř ů ť ů ř úř ř ř ů ř ř ř Ž ř ř

Více

ř ž ř š ř ů ř ž ř ř ž ž ř Č Ú Č Ř Ě Ř É Á ř ř ž ř ř ř ř ž Č ú ž Č ř š ř Č ž ř ň ř ž ř ů Ů ř ž ž ú ř š ř úř ř ř ň ř ů ů ř ř ž ů Č ž ř š ř ň ů ú ů ž ů ů š ž ř ů ů š ó š ů ů ř š ů ů ř ů ř ž š ř ú ůč Ú š ú

Více

úř ř Á Ř Í É Á Í é ď ž é Í ř ďé ř ů é ý ř ů ů Íé ý ý ú Í éý ý ů ď ý ý ř é ú ž ř ř ň é ý ň é ý ř ř ř ř ř ř ř é Ž ó é é ř é ů ž ů ž ú Á Ú Ú É ť Ť Ř ÁÉ Ť ň Ý úř Ú Ťř ó ú ú ž ř ý ý Á ú ý ř úť Ě Ě Ť Ť Ý ŘÁ

Více

ó Ú š ý š Č ě ď ě É É ř ě ě ř Ú ě š ř ě ě ě ř ř ě ů Í ů ů ř Ž ř ě ří ů ů Č ůž ě ě š ř ě úř ě ý ř ř ř ý Í ýš ě ýš ř š ý ů ý ě ě ř Š ť ť Č Ť ý ýš ě ě ý Í ě ě ů ř ú ř ě Č ř ů ý ř Í ě ý ý ý ě Č ť ě Č ř š ř

Více

Í ÚŘ Ě Š Č Í ž č Č č Ú ŽÚ ď Í é é é ť č č č č ť č é é š ť č Í š ť č Š č é ť č Í č č š č é č ť é č ť ť é é š č š ť ď ý ř ý ř č č ýš ú ů Ž ý é úř é é úř ň ý č č ř é ů Ú ř úč Č č úč é č Č č Č ó Šť č ýš č

Více

Ú á Ú Ž ÁŠ á ř ž á ě ě š ř ů á ě Ú é é ó š á Č Č Ů ú ž é ě á Ú Č ř Š á é é úř é á ě ěř á ž úř Ú é á á Ú á ž ř á ž á ž á ě é ář á ú ú ř ě ž ěř ěř á ů ěř ě á á ř á ň ó ó ěř ěř ě á á ř á á š á ú ě é á úř

Více

úř Ú é Ú Í Á ř ř ř ř ř ř é ř ř ř ř ř ř ř ř ú é ň ř ú ř ř ř ř ř ú ř ú ř éú ú ů š ř Ů ř ů Ů Ž ř ů Ž ž ů é ú ž Ž ř Ů ú ů ř ů Ú ř ř š ř Ú ř ů ů ů ů ů ů š ř ř ř Ú ř Ž řú ň ř ú ů ů ř ř š ř ů Ů ř ř ř ú ú éú ř

Více

ě ý úř ě Č ý ú é š ě Ý ř ě žé Ť é ý Č é ě é ý é ě Č ě ó Č Č ě Č ž ř é ž š Í Í ě ý úř ý é é Č é ž é ě é Č é ž Í ý ůž ý é ř ů ú é ů é é é ú ů é ú ě é ú é š ě ý ý ú é ď ř ž ž ř é ě ř ž ř š šť ťň é é é é é

Více

č á š ý á čš á á é á č š ř é č á á š á á á á š ř š Í Č á á é ě č č č č ú ř ě č č šť á ě ý ů ě á á é š á á á á č ř á č ř š á ř šš é é ě á á š ý á ě ě š ř ů á š Š á á ř é á é š š ž Ť Č á á š é ř š š ý Ť

Více

Č ř č á ě é č á áí é ď á ě ů ř á ť č é áí é č á ř ě ž á ů áí ř ř č é á é Í ů áí ř š ů č é á é á á ě ř řč ř á á ě ř á ě é ě ú Íé Č á Í á č é ě š á é č á á š ř ě á ě á Í ě Í ř á á ř č é áí é á é žá š ň á

Více

Č ý é á ž á ý á ř ž á Ř ž Á ř Úč Á Ě Á ě ě č ř Í ž ě ř é ú č úč ú á ú á ě ó ě ú á Í á é ž č ř ž ž čť č ě ž č á é ý áč úž ý ů ý ř ř áž é ť é č ř é é ř žá ů ž á č á č Í ČÁ é á áž š ě ů ř ť áž š ě š š ě š

Více

ě úč ě úč č Á Á Č ě úč úč č Á Á Č Č Š ů č ž č Č č ě ž Č ů č ě ž ě č ů Č č ě š ě č ů č ě ě úč Č Á Á úč ú ě úč Č Á Á Č š ú ě úč ě č ž ě Ž úč ě ě ů ě ú č úč ě Ž ž úč ů úč úč ě ě č Ž ě č úč ě úč ě úč š úč

Více

ť ď ď É ď Íú é Á Í Í Ř Č Č é Č é ý Ž ů é Č é Ž ů Č é é ž ř š ů Č é ř š ý ý ř š ů Ž ů ě ů ě Č é ř š Č é ž Ž é é ř ý š é ý ř ý ů ý ř ř ě š ř š ý ě ý ě ý š ř ý Ž é Ž ě é ý ě ř é Č é Ž é é ř é é Č é Ž ř ě

Více

č ř č ř ř č ř ř ř ř č č ň ř Ž č Ý č ů č Ž č ř ř č ř č č š č ú ů Ó č ž ř Í ů č č ů č č ř ž Í Č ůř ž Ž č ůř ž š č ů č ň ď ř ž č ůž š š č ů šť ů č ů ů č ů č ú Ž ů č ůř čů ž ž č ů čů čů č č č Ť š č ž ť č ř

Více

č š é ž č é č ž é é é č é š š ř š ř Č é ř š ř ů Ž ř š é š č ř ž š š č ř č Úč ř č č č č ř č Á č č é éř Š ř ř é č č Ř Á č ž é Č ř ž č ů Úč ř č Š ř ů ž Ř Ě Á č ř é ž Á č č ř č Č é č č č ř Č é č č č č é ř

Více

š ý ě á úář Ú á ď š ř ú á ěž ý ář é ě ě ý ú á é ž á é š ě ď é š ě ý ě ř š é ď ůž ř š ů ě á ě Š ú Č á ý ě ě ř á á ů á é ě ř Š ě ř é á ř á š Č Š ý ář é é á á á ů ář ý é á ý ě á á ř úř á á á á á úř ř á á

Více

ý úř ý ř ř ř š ř ř ř ú ý ů ý ů ř úř ř š ř ř ý Ť ř ř ř š ú ú ř ř ř ř Ů Ů ž ý ý ř ů ý ž ž ů ý ú ž ý ž ý ř ů ř ř ý ť š ř ý ÚČ ř ů ů ů ů ý ů ů ť ů ř ú ž ř ú ď ň ř ý ů ý ý ý ý ř Ť ý ř ú ú ú ř ř ř ř Ž ý š ř

Více

é á í ů ů ů ů ž š áž š í ě ě ěž Ž ěž é ě č ě Ří í ří ý á ď ě Í Ý ó í řá á í é í é é ň č č á ň í é ý á ř ě č á ě š ř á é ďá ř ř á ý š á í ý ří ý Ž ď ř ě ý ů ží ě ú ě ú ů ř í Íá í í ú é í š ř ě ř ě á ř úř

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

Á Á ŇŘ Ú ú Ť ťš č Á ě ú ě č ě ů ě ě š š š ý ýó ť š ť ý ó Ť š ť Á š č š ú č š ť ú č ě Á ýť ě Á ú ť č č Á č ý ý ě ť ě ě Á ú ť č úč ť Á ě ý č ú Ž Ž ú Ž Ť č ů ý ě č ú ě č ý ú š ú ú Ž ť ýš š Á ě ť ě ť š ú ť

Více

č č Ž č ÁŠ č č é č ď č Š Í ě ě š Ť é č ž ě ě ě š Ť ž ě č ž é ž ě ě č ž ě š Ž ÍŘÁ Ú Ž Ť ě č žž Í č Ď Ž ě é Ť č č ěí č ž ž č Ť ží ž Ť š ě č ď Ž č Ž ě é ě š Ť ť ž ě ž Ť ě Ž é é é ž ť ě é Ť é Ž ě ě ž é č Ž

Více

ň Ý ÚŘ Řč ž ř ď Á úř č ÁŠ Č ž ř É ě ýů ý č ě ýúř Ř č ž ř úř úř ř š ý Ď č ě ě ě ý ů ě ě š ř ů úř ř š ý č ú ř ě ě š ř ů ř ž ě Č Š ě ú Á Á č ž ě Š ě Á ý Č š ó ú ó Á Č ó Ú ó ř č ó Ú ó ó ú ú Ť ý Ť ěř ř ř Ž

Více

ď ě č č č ř ě č úě ň ú ď Ď Ť Ú ř ř Ň ě É ř ř ú č Ó É š Í ě ó ř ě úč Ú ó č ó ř ř É ř É É É ě É ú ě č ť ó É ď ť ú ě Ď É š úó ť úč Í Ý Á š ě ě ě š ť ř Ňů č ú Č č úč č ř Č ř Á Á ř ř ř ť š ě š ě ě ň č ň ě ú

Více

ý ě ý ů ň Á á Ř á ý ě ý ů ň Ú ř á ě Č ů ůž ě ě ť ČÍ Á Ž Í Í ě é é ČÍ Ů Ž Ň é č é ó ř ňš é á ú é é é ž ž á č ř ň čá á á é ě á á é š č é é ě ř ř Č é ý á č é é ý é č é ář ů ý ů ř á š Ž á Ž ř ý ý č ý Ž č ň

Více

ýúř ř č é á č Č ň Í áš á ě ý úř ř č é ř á á Íá Í á á á ě ě ř š ý ď á č é ý Í é ě á á č á řá é ě ď ú řá ě á Íé ě á ě á ý á á ě ý č Ú ď é č á úř ž Í Č á ó É Í á č á ě ě ř ž ý ý ďá Í č á ú č ž é ě ě ě é úř

Více

Í ÚŘ Í úř Č Ú Ř Á ÁŠ č úř úř úř ř š č ú ř ě ě č é ú ř Ž Ž Ž ě ř č ó ř č ě ě ž é ďě ř š č ě šú ě ú ř ř ú ř ě ž č ú ř č ř š č ú ř č č ú ř č š é ú ř č š č ě ě ě ř ž č ú ř č č ú ř č ž ž ř ě ž ě ř ř ě šť é

Více

ú ú ě úř ř ú ú ý úř ř ú ř ěř ú ú ú ú ý ý ý ý ř ž ř š ř ú ó ú ěž ú ý ě ť ě ě ř ř ě ý ý ř ě ř ě ó ě ú ú ú ú ú ú ó ú ř ú ú ě ť ě ý ř ě ý ý ř ů Ň ť ú ř ě ú ě ř ú ě ú ž ú ú ř ú ů ž ú ý úř ř ř š ě ý ú ů ú ú

Více

ť Š é ť ů ů é ž é Í Ř é ů ůž é é Ž Í ť é Ú Ú Ú Ú é ů ů Ž é é é é Ž é é ť ů Ú ň ů é ž Ž ů é ů é é é Á Ť é ď Á ů Í ž Í é é é é é é é é é Ý Ž Ž é é ů ů Ž Í é Í é ď ů é ů ů Ú é ó ť ž Ú Ž é úú ú Ž é ť ů Ž ů

Více

Ě Ů Ý Ů Á ý ě č č š š ý č ý ý č č Ú ě č ů ů Ú ý č ý ý ě ů č č š ě ů ý č ý č č č č Ř š ě ů ě ů ěž ý š ě ě ů ž ě Ř ů ě ž č ů ě ů ů č č ý Ú ů ě Ú Ú Ú Ž ž ů č Č ý š úč Ú úč Ú ů ů Ú Ú ě ž Ú š ě ž ž č č ě ě

Více

ř ř ý š ř ů š Í ř Š š ř Ž úř ý ý ř Č š ř ý ý ě ř š ú Ý ý ú š ř ý ů ě Ú ě ý ů š š ě ý ř š ý ě ý Ř Ě Ě ř ě šť ě ý ř ě ě š ý ů ě š ú š ř ř ř ý ý ú š ě ě ó ě ý ý ý ý š ě ě ý ý ý ó ý š ě ó ě ý ý ý š ý ý ů ě

Více

É Ř É Ž á á č č ž áš š á ř é ž é é ř á ž á ř ž é é á ř é ž ř á ř é ž áš á č á úč ů ř é ž č ř é ž ř ž Ž Č Č á Č á á é é Č á ř á ž řá á ž ář ř ář á ř á á á á ř ě ř é ž á á ž ř ě ř é ž ář ř á á ď č ř ě ř

Více

ú é ě ě ú ě š ě š š Š Í Č ě ú é ě ď ú Í ě é é ě ě ě ť ě ú ď ď ě ě Ý ě Ú š ě Ú š ď ď ěž é ú é ě ěž é ú é Č é é ě ě Ť ó š ď é é ěň ě é ě ú ě Č ě ě ě ě ě Ž ď ě š ď ž é ž ě Ž Ú é ě ď ě ě ž ě é ď š ú ě é ú

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

ú ě Á úř š úř ř á Ú Í Í Í Í á čá ě úř úř úř ř š á č ú á á řá á ě ě š ř ů á á č é ú ř ř ě ž Ž á žá á ě ě ó č é ó ě á á ě ř á á á á áš č ě š ú ě ú ř ř á ú ř ě á Č á Ú ř é ř ř ě é ř ř á ř ř ě ž ř ř š ř řá

Více

ř ý ř ř É Í ý ř úř ř š ý ú Ť š ř ž š ř ú Ť ř Ž ž ž ú ř šú ú ř ř ř ú ř ž š Ž ý š ú ř ř š ú š ú ř ýš ř ř ú ň ý ý ý Í ž ý š ú ď ú ý ú ř š š ý Ž ř ý š š ý ž ý ř ý ý š ř ý š ř š Ž š ř ř ř ž š š ú ř ř Ť ý ř

Více

Ě Ě Á Á Č É ŘÍČÍ ř š ž ý ý ý ř š ě š ť Ť ě č Í č ž ň É č ř š ě ř ý ř ř ý č ě ě ě ý ž ě ý ě ý ř ř ě ř č ř č ž š š č š č ř ř š č ě č ž ýěž ťž ž š ě ě ý č ž š ž ř ý ě ý ř ů ě ž ý č ý ý ň č ž ž ů č ý ě ů č

Více

ú Ý Ř ú ú ď ň ň ú Č ú ň ú Č ú Č ú ú ú Š Š ŘÁ É Ř ť Ú Č ó ň Ó ú ú ú úú ó ú ň ú úó ú ú ú ú ó ú ú ú ň ó ú ň ó ú ó ú ú Ú ú ú ú ó ú ú Í ň ú ú ť Ž ť ó ú ň Š ú Ž ú ň ň ň ú Ř ť Š Č Á Ž ú ť ú ú Á Á Ř É Ň Á Ý Ř

Více

Í ú ě ě ě ý ú ú ú š ý ú é ú ž ú é ú ě ě ě ú ě é ú ú ě ě ú ů ú ú ě ě ú ě ě ě é ú ý é ě é é ú Ť é ě ý ú ě Ž ý ý š ě ž š é ž š é é ě ě ě ě ú ž ě ě ý ý ž ý ý Í é ě š ě š ž ě ě ý ý š é é š é ú ýý é ě š ž é

Více

ž ž é á Ú ý é ý Ú č č á ý ě Ú š á č ť ý á á č Č á ý Č š Í Í á á é ě ý ó á Š á á é é á Ú á Í á Í áš á Č á úč ů ž ž á Úč ů ž á úč ů á ě á á ž á ě ě ž š á Š á á Š á š č č Č é šť á ť é é é ě é š á č č Ó ý

Více

Í ď Č ř á Í Úř ě éčá Ť ř á č ú Í á á řá á ě ě ř ů á á č Í á á ě ě ů č é ú ř ř ž ž á žá á ě ž Ú Ú ó é ů Í á á ě ř á á á á á č ě ú ě ú ř ř á ú ř ě ď á č á ě ě á á ě řá á ú Š ř ě ě ř á č é ú ěř ž ě ě ů é

Více

ě ů ň ř ů ě é Č Č ř ý ú ě é ň é ž ř ř ú š ř ř ř é ě ý ž ě é ř ž é ě é ě ě š ř ů ě ú ě é ý ý ě ř ý ě é ů ž ú é úř ě š ě ýš ěř ě é Č ř ě ě Č ě ě š ř ů ě ě ě ě š ř ů ě é š ě ť ť ě ě š ř ů ě ř ěř ý ú ř é ř

Více

ě ý úř úř ř ú ý ě ý úř úř úř ř ý ú ř ě ě ř ů ú ř ž ž ě ř ě Č éš ý ý Č ř é ě ř Č ůž ž ě ě ú ě ú ř ř ú ř ě ý é Č é ý é ř ž Šé ř ž é ž ú ú ě ž ž ě ú ť é ž Šé ř ž é ž é ř é ž ž ý ě ý ř é ů ř Ž ř ě ý ý ě é

Více

ř é é é ř ř ý ů š Ý ů ř é ů ř é ř ý ý ý é ř Ý Ř ý Ž é ř ř š ů Ž ý Ý ř ý é Ž ý ů é ý ř é é ř é é é é ř ř ř ř ř é ř ř ř ř Ž ř ť Č ř ř ř ř ů ř é ř ÍČ é ř ř ý ř ř ř š ý ř é ř ý ř é ř ý ú é ř é ů ů é ú Č Č

Více

á ř é á ů ň Š á Š ě Š ř ř á á á á Ť é á ů á Ť ř é ě š ř ý ů áš á ř é á á á é ř á ř á ú á é á á ú á é á ú á é ý ů á ý ů á ú á ú é ř ě é ř á ý ě á ř á ý ůě é ř á ť é á ě á á ú é á á ě ě ů á á Š Ť á ěř á

Více

Č É ú Ž ř Ž ú š ř ž ž ř Č ú Í É Á Í Á Č ó ů ú ř Ž ů ř ř š ž ř ú ž š ř š š ř žš Ž Ž Š ř ů ů ř ř Ž š ř ž ť Ž ť Ž ř Ž Ž š š ú Ž š ž ú ů Ý ů Ýš ů ť ů ř ř ů š ř š š ř ů ř š ů ú ů ž ú ř Ž ť ó Ú ú Č Ž Ý Í Á Ý

Více

ř ý ý é š ř ř é ř Ž ď č č č é ů é š é é ř é ř Č č é ů é ú ž č é Ž ř ý é ř ó ý é ž č š úč č é ů ů č é ů ř Ž é ř é ř ž ř č é ů é č č ý ů š č é ů ř Ž é ř č ů é ž ř š č č ů ř ž é Ž š č ů č ů ř ý é č é ů ž

Více

č É Á Á Ě É Í É Á Ří É Ř Á é Íá ě ď é ě Á Í Ř ř éč á Ť ě ě ý ý á í Žá ř á ě á Ě áž á í áž ý á á Žá í á ř ň á é ý ý í ř í í č í Č é ý ý é ň á í ú á Ž ř ě š á é á ř ří š á í ěá é á ě ý ú í é á á ú á ě ý

Více

č úč ř ú úč é š ř úč ř ář ž úč úč ř ň á č á á á ř á ř ř ř úč Č ář é úč é á á ř á č úč š ř áš á á á č úč š ř úč ř č á úč é úč á č á á š ř á č Í š ř č úč č ž á é á é š é úč ď ž č Ýé ř á é ř úč úč ř ž ď š

Více

ě ú ě Ž ě ň é ě é ě ž ě ž ě ě ě ň é ú ě ž é ž ž é ě š é ě ě š é ě š é ě ě Č Ř Č Č é Š ú ě ě ě ě ú ě Ú ě ž ž ž é é Ž š ž é Ů Ž Č Č é ě é ž éú š Ů Ž Ů ě ů é š é ŠÍ Č ě Ž Č é š ŠÍ ž Š ě é ě ž ů š Ů Ů é ú

Více

ř ě š áč á á á ř ý ž é ř ý ý á á ů ý ý ěď Ž ů ž á ř ě é ář ů ě ř ě á ý ú š ů é é ě é ú ů ž é š ě ž á ě š á ů ú ě á ěž á ě é é ě é é ě ěž Ž ý á č é é é ú á č ý ý é ě á ý á ž ě ě á ž ý ů š á ě č é č é é

Více

Ú Ú Ú š ě š ě Ú ž ů ě ž ů š ě Š Ě ú Á Ř Ř š Ě ň Ú Ú ě ě Ú ě ú ů Ú ú ě ě ú ú š Ú Ú š ě Ú Ú ú ž Ú ů ě Ú Ú š ů š ú Ú ě ž ů Ú ě ú ů ů ů ň ě ú ž ě ůú ě ú ů ů Ř Ř Ú ú ě š ě ž Ú ě š ě ě ú ě ě ú ě Ú Ú š ě ě ú

Více

ý úř ř Č Ž ř Ž ý Úř ď ř ř ř Š ý š ů š ř ř Č Č ř ř ý ů š Ú Š ř ř ý Ů ý ů š ř ř ř úř ř ř š ů Ů Ů Č ů ř ř ř ž ř ý ř ž ř ó ů ů š ó ů ů š ř ž ý ů ř ž ý ů ž ž ď ž ý ř ý ř ř ý ž ď ý ůž ý ú ý ž ř ů ů ů ň ž š ž

Více

ř ě č ř ě Ý účé ěř Ý é É Ě Ýý ď ý úč č č ú ě é É ť ú Ě óý É ý ó É ý ý ň Ýý ú ť ý úý ó ý ý é ýď é ý ň É ý úú ý ý ó É É ý ý ň É ó Á É Ť ý ě Í É É Ý ě ý č é č Ý ř ó ó ó ó Ý é ó ž é ú Á ď é ď ú ý éž éé Ž É

Více

M a l t é z s k é n á m. 1, 1 1 8 1 6 P r a h a 1

M a l t é z s k é n á m. 1, 1 1 8 1 6 P r a h a 1 0. j. : N F A 0 0 2 9 7 / 2 0 1 5 N F A V ý r o1 n í z p r á v a N á r o d n í h o f i l m o v é h o a r c h i v u z a r o k 2 0 1 4 N F A 2 0 1 5 V ý r o1 n í z p r á v a N á r o d n í h o f i l m o v

Více

VYŘAZOVACÍ SEZNAM MAJETKU K 31. 12. 2013

VYŘAZOVACÍ SEZNAM MAJETKU K 31. 12. 2013 VYŘAZOVACÍ SEZNAM MAJETKU K 31. 12. 2013 Účet 028 001 8028 10130 828000 Digitální fotoaparát 0000 001 00010001 1 10685.00 10685.00 8028 100240 828000 Skříň 0000 001 00010008 1 3700.00 3700.00 8028 10225

Více

ř É É Ý Š ř é é é č č ý ě ů ř ť ň Ý ř Ř Š ý ě ů Ž č ú ě ř ě ý ě é ř ř ě é ř é é ř ů ř ě é ř č ý é é ř ř é é ýš ř č ýš ý ů Ž é é č é ř é č ý č ý ý é ů ů ř š ň é ť ý ř ě č ý č ě é č š č é Ž ě é ý é šř č

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

OBSAH 1 Důležité pokyny a upozornění týkající 5 Používání varné desky se bezpečnosti a životního prostředí 6 Obsluha trouby 2 Obecné informace

OBSAH 1 Důležité pokyny a upozornění týkající 5 Používání varné desky se bezpečnosti a životního prostředí 6 Obsluha trouby 2 Obecné informace T r o u b a C S M 6 9 3 0 0 G P r o s í m, 2 t U t e n e j p r v e t e n t o n á v o d C h e r c l i e n t, D U k u j e m e z a v ý b U r p r o d u k t u B e k o D o u f á m e, ž e s t í m t o p r o d

Více