nejmenshoprvkuvmnozines.tatooperacesenazyvavyhledank-teporadkovestatistiky.tatooperacenenpodporovananavrzenoustrukturou,projejefektivnimplementaci

Transkript

1 Dalsdulezitoudatovoustrukturouvhodnouproresenslovnkovehoproblemu(reprezentace mnoziny,kterapripoustoperacemember,insertadelete),kteroulzepouzt Nejobecnejsgrafovadenice(a;b)-stromuje: jakprointerntakexternpamet,jsou(a;b)-stromy.jetostrukturazalozenanastromech. Nechtabjsoukladnaprirozenacsla.Pakkorenovystrom(T;t)senazyva(a;b)-strom, (a,b)-stromy kdyz(1)kdyzvjevnitrnvrcholstromutruznyodkorenet,pakmaalesponaanejvyseb nazyva(a;b)-strom,kdyz specialnprpad.pronas(a;b)-stromyjsoutaktodenovane: Tatodenicejeprlisobecnaaprodatovestrukturysenehod.Protopouzvamejej Nechtaabjsouprirozenacslatakova,ze2aa2a 1b.Pakkorenovystrom(T;t)se (2)vsechnycestyzkorenedolibovolneholistumajstejnoudelku. (1)kdyzvjevnitrnvrcholstromuTruznyodkorenet,pakmaalesponaanejvyseb synu; Vyhodynasich(a;b)-stromu: Kdyzma(a;b)-stromvyskuh>0(tj.delkakazdecestyzkorenedolibovolneholistuma delkuh),pakstrommaalespon2ah 1listuanejvysebhlistu. (3)vsechnycestyzkorenedolibovolneholistumajstejnoudelku. (2)korenjebudlistnebomaalespondvasynyanejvysebsynu; synu; O(logn). Mejmekorenovystrom(T;t)takovy,zeprokazdyvnitrnvrcholvplat: Tvrzen.Mejmeprirozenacslaaabtakova,zea2ab2a 1.Pakprokazdekladne prirozenecslonexistuje(a;b)-strom,kterymapresnenlistu.kdyz(a;b)-strommapresne h-tahladina.lexikograckeusporadannah-tehladinejedenovanorekurzivne: kdyzma(v)synu,pakjsouocslovanyod0do(v) 1.Rekneme,zevrcholvjevhloubce h,kdyzcestazkorenetdovmadelkuh.mnozinavsechvrcholuvhloubcehsenazyva nlistu,pakvyskastromujenejvyse1+loga(n2)ajealesponlogbn.tedyvyskastromuje tvorhladinuh,kdehjehloubka(a;b)-stromu,ananichjedenovanolexikograckeusporadan. MejmelinearneusporadaneuniversumUamnozinuSU.(a;b)-strom(T;t)reprezentuje Predpokladame,zev(a;b)-stromusynovekazdehovnitrnhovrcholujsouusporadany.Listy otec(v)awjej-tysynotec(v);pakij. vw,pravekdyzbudotec(v)<otec(w),nebootec(v)=otec(w)akdyzvjei-tysyn (v){pocetsynuvrcholuv, Strukturavnitrnchvrcholu(a;b)-stromu(T;t)reprezentujchomnozinuSU: mnozinus,kdyzmapresnejsjlistuajedanabijekceprvkuzmnozinylistutnas Sv(0::(v) 1){poleukazatelunasynyvrcholuvtakove,zeSv(i)jei-tysynvrcholuvpro vu,pravekdyz 1(s) 1(t)vlexikograckemusporadannamnozinelistustromuT). zachovavajcareektujcusporadan(tj.bijekce:list(t)!spros;t2ssplnujest TypesetbyAMS-TEX

2 neznejmensprvekreprezentovanyvpodstromu(i+1)-nhosynavrcholuv). reprezentovanyvpodstromui-tehosynavrcholuvjemensneborovenhv(i)atojemens podstromui-tehosynavrcholuv(alternativa:hv(i)jeprvekzutakovy,zenejvetsprvek Hv(0::(v) 2){poleprvkuzUtakove,zeHv(i)jenejvetsprvekzSreprezentovanyv 2i=0;1;:::;(v) 1, Nekdyjevestrukturekazdehovrcholuv(a;b)-stromuruznehoodkorenejesteukazatel otec(v)naotcevrcholuv. KdyzHv(i)jsouprvkyzreprezentovanemnoziny,pakprokazdyprveks2Skrome Strukturalistu: listuvjeprirazenprvek(v)2s. Nynuvedemealgoritmypro(a;b)-stromy.Nejprvepomocnyalgoritmus popisslisty. mnozinys,alejetechnickyneprehledna.protopripracis(a;b)-stromybudemepouzvat vrcholstromu,anejvetsprvekjeulozenvedle.jetoprostoroveefektivnejsreprezentace mentaci,kdesevynechavajlisty.prvkyzsjsoureprezentovanyvpolchhv,vjevnitrn nejvetshoexistujepravejedenvnitrnvrcholv(a;b)-stromuajednoi,zehv(i)=s,a nejvetsprvekvsnenprvekhvprozadnyvrcholv.tentofaktsepouzvapriimple- whiletnenlistdoi:=1 whileht(i)<x&i<(t)doi:=i+1 ifht(i)=xthenw:=tendif t:=korenstromut, enddovystup:taw. enddot:=st(i) Vyhledej(x) if(t)=xthenx2selsex=2sendif MEMBER(x) Su((u)+1):=t0,Hu((u)):=(t),(u):=(u)+1 if(t)<xthen(komentar:x>maxs) if(t)6=xthen vytvornovylistt0,(t0)=x,u:=otec(t) elsenajdii,zesu(i)=t Su((u)+1):=S((u)),j:=(u) 1 INSERT(x)Vyhledej(x) whilejido Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 Su(i):=t0,Hu(i):=x,(u):=(u)+1 while(t)>bdostepen(t) endift:=u enddoendif iftjekorenstromuthen

3 St0(bb+1 vytvornovykorenusjedinymsynemtendif u:=otec(t),najdii,zesu(i)=t, whilej>ido St0(j):=St(j+db+1 vytvornovyvnitrnvrcholt0,j:=1 Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 Su((u)+1):=Su((u)),j:=(u) 1,(u):=(u)+1, whilej<bb+1 2c):=St(b+1),(t):=db+1 2cdo enddo 2e),Ht0(j):=Ht(j+db+1 2e,(t0):=bb+1 2e),j:=j+1 Su(i+1):=t0,Hu(i+1):=Hu(i),Hu(i)=Ht((t)),t:=u DELETE(x) 2c, if(t)=xthenu:=otec(t), Vyhledej(x) Hu(k):=Hu(k 1),Su(k):=Su(k 1),k:=k 1 enddo Su((u) 1):=Su((u)),(u):=(u) 1, najdii,zesu(i)=t,aj,zehw(j)=x, whilek<(u) 1do Hw(j):=Hu(i 1),k:=i odstrant,t:=otec(t) while(t)<aatnenkorendo yjebezprostrednbratrt St((t)+j)=Sy(j),Ht((t)+j):=Hy(j),j:=j+1 j:=1whilej<(y)do u:=otec(t),najdii,zesu(i)=t enddo ifsu(i 1)=ythenvymentay,i:=i 1endif if(y)=athenspojen(t;y)elsepresun(t;y)endif Ht((t))=Hu(i),(t):=(t)+(y),odstrany whilei(u)do Su(i+1):=Su(i+2),Hu(i):=Hu(i+1),i:=i+1 enddo (u):=(u) 1,ifujekorena(u)=1thenodstranu elset:=uendif 3

4 4Presun(t;y) u:=otec(t),najdiitakove,zesu(i)=t St((t)+1):=Sy(1),Ht((t)):=Hu(i), ifsu(i+1)=ythen Hu(i):=Hy(1),j:=1 St(j+1):=St(j),Ht(j+1):=Ht(j),j:=j 1 whilej>0do elsest((t)+1):=st((t)),j:=(t) 1 Sy((y) 1):=Sy((y)),(t):=(t)+1,(y):=(y) 1 Sy(j):=Sy(j+1),Hy(j):=Hy(j+1),j:=j+1 whilej<(y) 1do Hu(i 1):=Hy((y) 1),(y):=(y) 1endif enddo (t):=(t)+1,st(1):=hy((y)),ht(1):=hu(i 1), horsmprpadecaso(logajsj),kdesjereprezentovanamnozina. Nynpopsemealgoritmyprodalsoperace.Jednazuzitecnychoperacjenalezenk-teho Veta.AlgoritmyMEMBER,INSERTaDELETEpro(a;b)-stromyvyzadujvnej- vrcholemv. sevprocedurevyhledejvkladajvrcholydozasobnkuaotec(v)jevrcholvzasobnkupred Odkaznaotcevrcholu:budjevkazdemvrcholuvstromuTprmoodkaznaotec(v),nebo nejmenshoprvkuvmnozines.tatooperacesenazyvavyhledank-teporadkovestatistiky.tatooperacenenpodporovananavrzenoustrukturou,projejefektivnimplementaci musmerozsritstrukturuvnitrnhovrcholuvopole UdrzovatpolePvvaktualnmstavuznamenapriuspesnemprovedenaktualizacnoperaceprojtcestuzvrcholudokoreneaaktualizovatpoleP.Nynuvedemealgoritmuspro whiletnenlistdoi:=1 t:=korenstromu nalezenk-teporadkovestatistiky. whilek>pt(i)&i<(t)doi:=i+1,k:=k Pt(i) enddo(t)jehledanyk-tynejmensprvek enddot:=st(i) ifk>jsjthenneexistujek-tynejmensprvek,konecendif k-statistics choluv. Pv(1::(v) 1),kdePv(i)jepocetprvkuSreprezentovanychvpodstromui-tehosynavr- srenestrukture(a;b)-stromuvyzadujevnejhorsmprpadecaso(logjsj),kdesjereprezentovanamnozina. Invariantalgoritmu:Vkazdemokamzikuplat,zepuvodnkserovnak+pocetprvkuzS, synavrcholut.korektnostalgoritmuplyneztohotoinvariantu. Veta.ImplementaceoperacMEMBER,INSERT,DELETEak-STATISTICSvroz- kterejsouvpodstromuvrcholustromu,kteryvlexikograckemusporadanpredchazi-teho

5 DalsvysetrovaneoperacejsouJOINaSPLIT.Mejmedva(a;b)-stromyT1aT2reprezentujcmnozinyS1aS2takove,zemaxS1<minS2(toznamena,zeplatsilnejspodmnka, nezzes1as2jsoudisjunktn).operacejoin(t1;t2)vytvor(a;b)-stromtreprezentujc axjeprvekzu,vytvor(a;b)-stromyt1at2reprezentujcmnozinys1=fs2sjs<xg mnozinus=s1[s2.operacesplit(t;x),kdetje(a;b)-stromreprezentujcmnozinus5 as2=fs2sjs>xgaoznam,zdaxpatrilodos. ifvyskat1jevetsneborovnavyscet2then t:=korent1,k:=vyskat1-vyskat2 whilek>0dot:=st((t)),k:=k 1 endospojen(t;korent2),t:=otec(t) enddoelset:=korent2,k:=vyskat2-vyskat1 whilek>0dot:=st(1),k:=k 1 enddospojen(t;korent1),t:=otec(t) while(t)>bdostepen(t) Vnasledujcmalgoritmuvyuzijemefakt,zeoperaceJOINvyzadujejencasO(jvyska(T1) enddoendif vyska(t2)j). podmnkykladenenavnitrnvrcholy(a;b)-stromu.protojevhodnepouztoperacispojen. OperaceJOINnavstvpocetvrcholurovnyrozdluvysekstromu.Protozekazdyvr- korenmenshostromujakosynavhodnehovrcholuvetshostromu,protozekorennesplnuje cholzpracujevcaseo(1),vyzadujecaso(log(js1j+js2j)),kdes1jemnozinareprezen- tovana(a;b)-stromemt1as2jemnozinareprezentovana(a;b)-stromemt2.nelzedat

6 whiletnenlistdoi:=1 whileht(i)<x&i<(t)doi:=i+1 enddot:=st(i) Z1,Z2prazdnezasobnky,t:=korenT 6SPLIT(T;x) foreveryj=1;2;:::;i 2do ifi=2thenvlozpodstomvrcholust(1)doz1endif ifi>2thenvytvornovyvrcholt1,(t1)=i 1, St2(j):=St(i+j),Ht2(j):=Ht(i+j)enddo St1(j):=St(j),Ht1(j):=Ht(j)enddo foreveryj=1;2;:::;(t) i 1do St1(i 1):=St(i 1),vlozpodstromvrcholut1doZ1 ifi<(t) 1thenvytvornovyvrcholt2,(t2):=(t) i endif ifi:=(t) 1thenvlozpodstromSt((t))doZ2endif St2((t) i):=st((t)),vlozpodstromt2doz2 endifenddo if(t)=xthenxpatrilodos elsexnepatrilodos T2:=vrcholZ2,odstranT2zeZ2 endifendif T1:=vrcholZ1,odstranT1zeZ1 if(t)<xthenvlozpodstromvrcholutdoz1 whilez26=;dot0:=vrcholz2, elsevlozpodstromvrcholutdoz2 odstrant0zez2,t2:=join(t2;t0)enddo whilez16=;dot0:=vrcholz1, odstrant0zez1,t1:=join(t0;t1)enddo

7 tetofazealgoritmujeposloupnostvysekstromu,jakjsouvzasobnkuz1neboz2,neklesajc Shrnmetatofakta. Veta.ImplementacealgoritmuprooperaceJOINaSPLITv(a;b)-stromechvnejhorsm RozdelenTdozasobnkuZ1aZ2valgoritmuSPLITvyzadujecasO(logjSj).Poskoncen amensneborovnavyscet.protocasalgoritmunavytvorent1at2jeo(vyskat). 7 Kdyzjemnozinareprezentovana(a;b)-stromemulozenanaserveruamaknprstupvce Prointernpametjsoudoporucenehodnotya=2,b=4neboa=3ab=6. pouzvat? Proexternpametjsoudoporucenehodnotya100,b=2a. (a;b)-stromysepouzvajjakvinterntakvexternpameti.jakehodnotyaabjevhodne prpadevyzadujecaso(logjsj). resittak,zepriaktualizacnchoperacchseuzavrecelystrom. uzivatelu,vznikaproblemsaktualizacnmioperacemi.tytooperacemenstrukturu(a;b)- Nevyhoda:ostatnuzivateledonehonemajprstupanemohoupracovat.Tzv.paraleln stromuavesvychdusledcchsevnemjinyuzivatelmuzeztratit.tentoproblemsemuze Valgoritmupakodpadnevyvazujccast(tj.Stepenpricestevzhurukekoreni). provedestepen(protonutnejeb2a,abychompotetooperacimelizase(a;b)-strom). PrioperaciDELETEjsouvevyhledavacfaziuzavrenyvrcholyt,otec(t)abezprostredn PrioperaciINSERTjsouvevyhledavacfazivzdyuzavrenyvrcholyt,otec(t)asynove vrcholut,algoritmuszjist,vkteremsynuvrcholutmapokracovat,apak,kdyz(t)=b, Predpoklad:b2a. implementaceoperacinsertadeletenabzjine,efektivnejsresen. casstejny(jejenvetsmultiplikativnkonstanta).doporucenehodnotyaabjsoua100 budpresun(kdyz(y)>a)nebospojen(kdyz(y)=a)avynechasevyvazovaccast bratryvrcholut.kdyz(t)=a,pakponalezenvrcholu,kdesebudepokracovat,seprovede uzavrajcpuvodnalgoritmus. ktomu,zemultiplikativnkonstantabybylaohodnevetsnezuklasickychtrdicchalgoritmu,takeulozen(a;b)-stromuvyzadujevcepametinezjepotrebaproklasickealgoritmy. Situacesepodstatnezmen,kdyzvstupnposloupnostjepredtrdenaajejitrebajendotrdit. ab=2a+2priulozennaserveruvexternpameti,kdybytobylovevnitrnpameti,pak setrdennahodneposloupnostinenvhodne,rezienaudrzovanstruktury(a;b)-stromuvede (a;b)-stromydavajtakezajmaveaplikaceprotrdicalgoritmy.pouzit(a;b)-stromupro sedoporucujea=2,b=6. TatoupravavyzadujesicevceStepen,SpojenaPresunu,aleasymptotickyvychaz Klasickealgoritmyvetsinounejsouschopnevyuztfaktu,zeposloupnostjepredtrdena,a jejichcasovanarocnostjepraktickystejna(nekdyihors)jakounahodneposloupnosti. vrcholvjehootce).nynuvedemealgoritmusa-sort. vrostoucmlexikograckemporad(ukazatelnanasledujcprvekjenasl)ajedanacestaz Modikace(a;b)-stromuproalgoritmusA-sort.Mame(a;b)-stromreprezentujcvstupn vyuztamanapredtrdenychposloupnostechlepsvysledkynezklasickealgoritmy. posloupnost,jedanukazatelprvnaprvnlist,listy(a;b)-stromujsoupropojenydoseznamu NarozdlodnichalgoritmusA-sortzalozenyna(a;b)-stromechjeschopenpredtrdenost prvnholistudokorene(toznamena,zenacestezprvnholistudokoreneznameprokazdy

8 A-Insert(xi),i:=i 1 enddoi:=1,t:=prv,y1:=(t) 8A-sort(x1;x2;:::;xn) i:=nwhilei1do whileindo ifi>1thenv:=st(i 1) enddot:=st(i) yi:=(t),i:=i+1,t:=nasl(t)enddo elseifvjedenovanothenv:=su((u)) whilet6=listdoi:=1 whileht(1)<x&i<(t)doi:=i+1 t:=prvwhilet6=korent&ht(1)<xdot:=otec(t)enddo A-Insert(x) Su((u)+1):=t0,Hu((u)):=(t),(u):=(u)+1, if(t)<xthen(komentar:x>maxs) endifendifenddo if(t)6=xthen vytvornovylistt0,(t0)=x,u:=otec(t) whilejido Su(j+1):=Su(j),Hu(j+1):=Hu(j),j:=j 1 j:=(u) 1,Nasl(v):=t0,Nasl(t0):=t Nasl(t):=t0,Nasl(t0):=NIL elsenajdii,zesu(i)=t,su((u)+1):=s((u)), Su(i):=t0,Hu(i):=x,(u):=(u)+1, ift=prvthenprv:=t0endif while(t)>bdostepen(t) endift:=u Korektnostalgoritmuplynezfaktu,zejeizomorsmususporadanaseznamlistuje seresstejnymzpusobemjakopro(a;b)-stromy. denovan.ukazatelotec(v)jeresennacestezvrcholuprvdokorene,proostatnvrcholy enddoendif (y1;y2;:::;yn)jesetrdenaposloupnost(x1;x2;:::;xn) vrostoucmporad.protozevjevzdybezprostrednpredchudcet,jeseznamkorektne Slozitostalgoritmu:ZrejmealgoritmusA-sortvnejhorsmprpadevyzadujecas,ktery potrebujea-insert,pluso(n).algoritmusa-insert(x)vyzadujecaspotrebnynanalezen msta,kamvlozitx,pluso(pocetvolanstepen).protozekazdybehprocedurystepen vytvoriljedenvnitrnlist(a;b)-stromuaprotozea2a(a;b)-stromposkoncenvolan A-Insertmanlistu,jevnitrnchvrcholu(a;b)-stromu<n.Protovsechnybehyprocedury A-InsertvyzadovalycasnanalezenmstjednotlivychprvkuplusO(n).Kdyzprocedura opakoval),paknalezenmstaproprvekxvyzadovalocaso(h).vsechnyprvkyreprezentovane(a;b)-stromempodprvnmvrcholemvevysceh 1jsoumensnezxajejichalespon A-Insert(x)prihledanmstaproprvekxskoncilavevysceh(tj.prvncyklusseh-krat A-Insert(x),kterejsoumensnezx,jejfj=i+1;i+2;:::;njxj<xigj.Oznacme ah 2.Kdyzx=xi,pakpocetprvkureprezentovanych(a;b)-stromempribehuprocedury

9 fi=jfj=i+1;i+2;:::;njxj<xigj.pakplat OdtudcasvnejhorsmprpadepotrebnypronalezenpozicexijeO(logfi).Casalgoritmu A-sortjeO(Pni=1logfi+n).Vyuzijemetoho,zearitmetickyprumernennikdymensnez ah 2fi=)h 2logafi=)h2O(logfi): 9 geometricky,adostaneme nxi=1logfi=lognyi=1fi=nlog(nyi=1fi)1nnlogpni=1fi Veta.AlgoritmusA-sortnasetrdenn-clenneposloupnostivyzadujevnejhorsmprpade ProtovelicinuFlzepovazovatzamrusetrdenostiposloupnosti(x1;x2;:::;xn). pakf=0,kdyzposloupnost(x1;x2;:::;xn)jeklesajc,pakf= n2.obecne0f n2. kdef=pni=1fi=jf(i;j)ji<j;xi>xjgj.kdyzposloupnost(x1;x2;:::;xn)jerostouc, n=nlogfn; caso(n+nlogfn),kdefjemrasetrdenostivstupnposloupnosti. Zhodnocen:ProtozeA-sortnepouzvaoperaciDELETE,doporucujesepouzt(2;3)- stromy.kdyzsebudoutrditposloupnostismroufnlogn,pakalgoritmusa-sort budepotrebovatvnejhorsmprpadecaso(nloglogn).mehlhornatsakalidisdokazali,ze kdyzf0:02n1:57,pakalgoritmusa-sortjerychlejsnezalgoritmusquicksort. NIL),aukazatelpravy(v)ukazujenanejmensvrchol(vlexikograckemusporadan)ve kemusporadan)vestejnehladinejakov,kteryjemensnezv(kdyzneexistuje,takjeto korenenebolistujerozsrena(protiklasickemu(a;b)-stromu)oukazatele: otec(v),levy(v),pravy(v),kdeukazatellevy(v)ukazujenanejvetsvrchol(vlexikograc- Propojeny(a;b)-stromsprstemje(a;b)-strom,kdestrukturavnitrnhovrcholuruznehood Propojene(a,b)-stromysprstem ukazatelprstnanekterylist. ukazatelemlevydal.kdyzxnenreprezentovananivtomtopodstromu,taksecelypostup pokracujevotci,akdyzpuvodnvrcholbyli-tysyn,taksepomocpolehzjistuje,zdax stejnehladinejakov,kteryjevetsnezv(kdyzneexistuje,takjetonil).navcjedan opakuje(zkoumaseotecvrcholu).kdyzxjevetsnezprvekreprezentovanylistem,na Zdeselishlavnevyhledavan,kterejezobecnenmprstupuvA-sortu.Zacnaodlistu, kteryukazujeprst,jepostupobraceny.kdyzsenaleznevrchol,vjehozpodstromumax nemabytreprezentovanvpodstromuj-tehosynaproj<i,akdyznen,taksepokracujes nakteryukazujeprst.kdyzxjemensnezprvekreprezentovanytmtolistem,pakse TatostrukturakromeoperacMEMBER,INSERTaDELETEjestepouzvaoperaci PRST(x),kteranastavukazatelPrstnalist,kteryreprezentujenejmensprvekvetsnebo lezet,pakseaplikujeodtohotovrcholumstoodkoreneproceduravyhledej. klasickem(a;b)-stromu,viza-sort. kterepracujvblzkemokolnejakehox2u.pakvyhledanprvkujerychlejsnezv Pouzit:Tatostrukturajevelmivyhodnaproulohy,kdeoperacejsourozdelenydosegmentu, rovnyx(pokudx>maxs,takukazatelprstbudeukazovatnanejvetslist).operace provedouvyhledanapakpokracujklasickymzpusobem.

10 10 Propevneaaboznacme Vyvazovacoperace:Stepen,Spojovan,Presun.Vme,zejednaoperaceINSERT zpuvodneprazdnehostromujekonstantn. nejdouzlepsit.provhodnytyp(a;b)-stromuvsakamortizovanypocetvyvazovacchoperac muzeprovestnejvyselog(jsj)operacstepenajednaoperacedeletemuzeprovest nejvyselog(jsj)operacspojenanejvysejednuoperacipresun.jevidet,zetytoodhady Veta.Nechtb2aaa2.NechtPjeposloupnostnoperacINSERTaDELETE, aplikujmejinaprazdny(a;b)-strom.oznacme Vyskavrcholuvkorenovemstromejemaximalndelkacestyznehodonektereholistu. Sth{pocetStepenvevyscehpriaplikaciPaSt=PhSth; c=minfminf2a 1;db+1 2eg a;b maxf2a 1;bb+1 2cgg: Sph{pocetSpojenvevyscehpriaplikaciPaSp=PhSph; Zdeniceplyne,zec1,atedyz2)dostanemeSt+Spnc+1+n 2 Ph{pocetPresunuvevyscehpriaplikaciPaP=PhPh. amortizovanypocetvyvazovacchoperacje Pakplat (2)Sth+Sph+Ph2(c+2)n (1)Pna(2c 1)St+cSpn+c+c(n 2) (c+1)h. a+c 1; Dukazjezalozennabankovnmprincipu{navrhnemekvantitativnohodnocen(a;b)- n7!1p+st+sp lim n 52: a2n+1.tedy vyvazovacoperace.srovnantechtoodhadudapozadovanyvysledek. Mejme(a;b)-stromT,pakprovnitrnvrcholv6=korendenujme stromu,naleznemehornodhadtohotoohodnocenapopseme,jaktotoohodnocenmen aprokorenrdenujmeb(r)=minf(r) 2;b (r);cg: b(v)=minf(v) a;b (v);cg Pozorovan.Provnitrnvrcholstromuvruznyodkoreneplat (3)kdyz(v)=a 1nebo(v)=b+1,pakb(v)= 1; (2)kdyz(v)=anebo(v)=b,pakb(v)=0; (1)b(v)c; (4)kdyz(v)=2a 1,pakb(v)=c.

11 Kdyzv0av00jsoudvaruznevrcholystromuruzneodkorenetakove,ze(v0)=db+1 Strom(T;r)ohodnotme (v00)=bb+1 2c,pakb(v0)+b(v00)2c 1.b(korene)c. 2ea 11 ruznyodraplat: Rekneme,ze(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,kdyzrjekorenstromu,vjevnitrnvrcholT bh(t)=xfb(v)jv6=rvnitrnvrcholstromutvevyscehg;b(t)=1xh=1bh(t)+b(r): NynrozdelmeoperaceINSERTaDELETEdojednotlivychakcsestromemavysetrme Pozorovan.Kdyzvav0jsouvnitrnvrcholystromuTaT0ruzneodjejichkorenu,pak vlivtechtoakcnaohodnocenstromu.dukazylemmatjsouzalozenenanasledujcmpo- vsechnycestyzkorenerdonejakeholistumajstejnoudelku. kdyztjevnitrnvrcholtruznyodvar,paka(t)b; a 1(v)b+1a2(r)b; plat: parcialn(a;b)-stromaplat Lemma1.Kdyz(T;r)je(a;b)-stromakdyzstromT0vzniknezTpridanm/ubranm jednohosynavrcholuvvevysce1(pakpridavany/ubranysynjelist),pak(t0;r;v)je (1)kdyz(v)=(v0),pakbT0(v0)=bT(v); (2)kdyzj(v) (v0)j=1,pakbt0(v0)bt(v) 1. Lemma2.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=b+1avjevevyscel1.Kdyz T0vzniknezToperacStepen(v),pak(T0;r;otec(v))jeparcialn(a;b)-stromaplat: bl(t0)bl(t)+2c;bl+1(t0)bl+1(t) 1;bh(T0)=bh(T)proh6=l;l+1; b(t0)b(t)+2c 1: b1(t0)b1(t) 1abh(T0)=bh(T)proh>1;b(T0)b(T) 1: Lemma3.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=a 1,vjevevyscel1ay (T0;r)je(a;b)-stromaplat: bezprostrednbratrv.kdyzt0vznikneztoperacpresun(v;y)(tedy(y)>a),pak Lemma4.Necht(T;r;v)jeparcialn(a;b)-strom,(v)=a 1,vjevyscel1ayje jebezprostrednbratrv.kdyzt0vznikneztoperacspojen(v;y)(tedy(y)=a),pak bl(t0)bl(t)+c+1;bl+1(t0)bl+1(t) 1;bh(T0)=bh(T)proh6=l;l+1;b(T0)b(T)+c: (T0;r;otec(v))jeparcialn(a;b)-stromaplat: OznacmeTk(a;b)-stromvzniklyprovedenmposloupnostiPnaprazdny(a;b)-strom.Sectenmpredchozchvysledkudostavame bl(t0)bl(t)abh(t0)=bh(t)proh6=l;b(t0)b(t):

12 12Dusledek5.Kdyzpolozme Daleb(Tk)(2c 1)St+cSp n. Prvnvyrazupravme(vyuzvame,zec1): bh(tk)2csth+(c+1)sph Sth 1 Sph 1proh1: St0+Sp0=pocetlistuvTkn;pak Nynodhadnemeshorab(Tk). Sth+Sphbh(Tk) Xi=0bh i(tk) c+1+sth 1+Sph 1 (c+1)i+1+n (c+1)h=n bh(tk) (c+1)h+hxl=1bl(tk)(c+1)l c+1+bh 1(Tk) (c+1)2+sth 2+Sph 2 (c+1)h+1: (c+1)2 alespona+csynu.kdyzvrcholvmaa+jsynu,pakbt(v)japrokazdyvnitrnvrchol vplatbt(v)c.tedyb(t)c+pcj=0jmj.zvlastnoststromuplyne presnea+jsynu,amcoznacmepocetvnitrnchvrcholuruznychodkorene,kteremaj Dukaz.Pro0j<coznacmemjpocetvnitrnchvrcholuruznychodkorene,kteremaj Lemma6.KdyzTje(a;b)-stromsmlisty,pak0b(T)c+(m 2)c a+c 1. OdtudplynePcj=0(a+j 1)mjm 2: Protozej b(t)c+cxj=0jmj=c+cxj=0j a+j 1c 2+cXj=0(a+j)mjXf(v)jvjevnitrnvrcholTg=m+cXj=0mj: a+c 1prokazdejtakove,ze0jc,dostavame operacipresun(aoperaceinsertoperacipresunnepouzva)dostavame,ze alemmajedokazano. Nyndokazemetvrzen(1)Vety.ProtozekazdaoperaceDELETEpouzijenejvysejednu a+j 1(a+j 1)mjc+c a+c 1(m 2) aprvnnerovnostplat.abychomdokazalidruhounerovnost,spojmedruhetvrzenv Dusledku5aLemma6(Tkmanejvysenlistu) (2c 1)St+cSp nb(tk)c+(n 2)c PpocetoperacDELETEn Dukaz(2)vyuzijenasledujcodhad. Odtudplynepozadovananerovnosta(1)jedokazano. a+c 1

13 Lemma7.Prokazdeh1aprokazdy(a;b)-stromTsmlistyplat hxl=1bl(t)(c+1)l(c+1)m: 13 Dukaz.Pro0j<caprolibovolnehoznacmemj(h)pocetvrcholuvevyscehruznychod kteremajalespona+csynu.pakmame korene,kteremajpresnea+jsynu,amc(h)pocetvrcholuvevyscehruznychodkorene, PlathXl=1bl(T)(c+1)lhXl=1(c+1)l cxj=0jmj(l) kdedodenovavamepcj=0mj(0)=m.tytovztahypouzijemevnasledujcmodhadu. bh(t)cxj=0jmj(h)acxj=0(a+j)mj(h)cxj=0mj(h 1)prokazdeh1; (c+1)cxj=0mj(0) (c+1)hacxj=0mj(h)+ hxl=1(c+1)l cxj=0mj(l 1) acxj=0mj(l)= nekladny. poslednnerovnostplyneztoho,zea kderovnostjsmezskaliprerovnanmsctancutak,abyvyrazypcj=0mj(l)bylyusebe,a h 1 Xl=1(c+1)l+1 cxj=0mj(l) a KombinujemeodhadSth+SphsLemmatem7adostaneme c+11,atedydruhysctanecvpredchozmvyrazuje c+1cxj=0mj(l)(c+1)m; ProtozePhSph 1 SphSth 1+Sph 12n Sth+Sphn (c+1)h+hxl=1bl(tk)(c+1)l (c+1)h+1n (c+1)h+n(c+1) (c+1)h+1=2n adukaz(2)vevetejehotov. Sth+Sph+Ph2n (c+1)h+2n (c+1)h 1=2n+2n(c+1) (c+1)h 1dostavame,ze (c+1)h=2n(c+2) (c+1)h: takovou,zejejaplikacenaprazdny(a;b)-stromvyzadujepocetvyvazovacchoperacumerny nlogn(prokazdedostatecnevelken).podobnavetaplatiproparalelnimplementaci Vetavysvetluje,procjsoudoporucenehodnotyb2a{pakjepocetvyvazovacchoperac Kdyzb=2a 1,paklzelehcenaleztposloupnostoperacINSERTaDELETEodelcen (a;b)-stromu,aleplatzapredpokladub2a+2.prob=2anebob=2a+1lzenalezt behemposloupnostioperacinsertadeletelinearnvzhledemkdelceposloupnosti. posloupnost,kterajeprotiprkladem.protosedoporucujehodnotab=2a+2proparaleln implementaci(a;b)-stromu.propropojovane(a;b)-stromyplatsilnejsverze.

14 14Veta.Predpokladejme,zeb2aaa2.Mejmepropojovany(a;b)-stromsprstemT, kteryreprezentujen-prvkovoumnozinu.pakposloupnostpoperacmember,insert, DELETEaPRSTaplikovananaTvyzadujecas Vysvetlen:Zacnamevlibovolnempropojovanem(a;b)-stromeT,protojehostruktura muzebytnevyhodnaproposloupnostoperacp.abychomsedostalidovhodnehorezimu, muzebytpotrebaazlog(n)vyvazovacchoperac.casnavyhledavannemuzemeovlivnit, VyvazovanprioperaciINSERTlzeprovadettak,zeoperaceStepen(t)seprovede,jen tenmusovlivnituzivatel. O(log(n)+casnavyhledanprvku): Zadanulohy:MamepodmnozinuSlinearneusporadanehouniverzaaSjeulozenavpoli kdyzobabratrivrcholutmajbsynu.jinakseprovadoperacepresun.nevmozadnem serioznmpokusutytoalternativyporovnat. A[1::jSj]tak,zeproi<jjeA(i)<A(j).Prodanex2Umamezjistit,zdax2S(operace dvehodnotydahtakove,ze1d<d+1<hjsjaa(d)<x<a(h).pakzskame MEMBER(x)). Resen:Pokudx<A(1)neboA(jSj)<x,pakxnenprvkemS.Vopacnemprpademame Vyhledavanvusporadanempoli hodnotuntakovou,zed<n<h,adotazemzjistme,zdax=a(n)(pakkoncmeax2s), Koncme,kdyzdh,pakx=2S.Nazacatkupolozmed=1ah=jSj.Formalnzapis nebox<a(n)(polozmeh=n)nebox>a(n)(pakpolozmed=n)aprocesopakujeme. algoritmu: ifx=a(n)thenx2sstopelse ifx<a(1)thenx=2sstopelsed=1endif,endif whiled+1<hdon:=next(d;h) ifx=a(jsj)thenx2sstopelse ifx<a(n)thenh:=nelsed:=nendif,endif ifx>a(jsj)thenx=2sstopelseh=jsjendif,endif MEMBER(x)ifx=A(1)thenx2Sstopelse neexistujeitakove,zex=a(i),atedyx=2s.efektivitaalgoritmuzaleznafukcinext. Vtomtometaalgoritmujenext(d;h)funkce,kteranaleznehodnotuntakovou,zed<n<h. enddo x=2sstop Korektnostplynezpozorovan,zekdyzd+1=h,pakA(d)<x<A(h)implikuje,ze Poznamka:Dualnprstupje,kdyznext(d;h)=h 1,vysledkysenezmen.Priaplikacch jenekdyvyhodnepouztfunkcinext(d;h)=minfd+c;h 1g,kdecjenejakakonstanta Unarnvyhledavan:next(d;h)=d+1,pakkazdydotazzvetsdo1,atedynejvetspocet ZpracovandotazuvyzadujecasO(1)apocetdotazujepocetvolanfunkcenext. dotazujejsj.algoritmusvnejhorsmprpadevyzadujecaso(jsj)aocekavanypocetdotazu prirovnomernemrozlozenmnozinysaprvkuxjejsj 2(tedyocekavanycasjeO(jSj)).

15 Binarnvyhledavan:next(d;h)=dd+h unarnvyhledavan. vyzadujecaso(logjsj)aocekavanycasprirovnomernemrozlozenmnozinysax2uje (pakkroknen1,alec).jakuvidmepozdeji,jsousituace,kdyjevyhodnepouzttakoveto napolovinu.pocetdotazujenejvyse3+log(jsj 2),algoritmustedyvnejhorsmprpade 2e,pakkazdydotazzmensrozdlh dpriblizne 15 zehodnotanextzavisinavelikostix.kdyzxjevelke,takhodnotanextjeposunutado takeo(logjsj). Interpolacnvyhledavan:next(d;h)=d+dx A(d) polozitvcenezjsj Poznamka:Kdyzrozlozenprvkunenrovnomerne,alejezname,pakpodletohomusme vetschhodnot,kdyzxjemale,pakjeposunutadomenschhodnot. rozlozenmnozinysax2ujeocekavanycaso(loglogjsj).totojezalozenonafaktu, 2dotazu,aprotocasvnejhorsmprpadejeO(jSj),aleprirovnomernem A(h) A(d)(h d)e.vnejhorsmprpademusme upravitfunkcinextaocekavanycasalgoritmusenezmen. Pronasledujcdenicifunkcenextbudejednodussspoctatocekavanypocetdotazunezu interpolacnhovyhledavan,alevysledekjeasymptotickystejny.

16 16 blokuklesnepribliznenaodmocninuvelikostikrokuvtomtobloku.procedurapouzva dotazyvblocch.prvndotazvblokujeinterpolacnaprocedurapritomzjistvelikost hledavan.blokkonc,kdyzrozdlmezihadjenejvysevelikostkroku.krokvnasledujcm boolskepromenneblok,typ,smer.promennablokjeinicializovanahodnotoufalseaurcuje, krokuazdaxjepodprvnmdotazemvblokunebonadnm.pakstrdaunarnabinarnvy- Zobecnenekvadratickevyhledavan.Funkcenextjezdedenovanaslozitejsprocedurou, jejzvysledekzavisinapredchozchsituacchanavysledkudotazu.procedurazadava seneinicializujvolanmprocedurynext). typuinteger,kteraobsahujevelikostkrokuvramcibloku.hodnotytechtopromennychse zdasedotazzadavavramciblokunebonikoliv.promennatypurcuje,zdaprstdotazje predavajzjednohovolanprocedurydodalshovolan(tj.jsoutoglobalnpromenne,ktere dotazenvbloku(smer=true)nebonadnm.daleprocedurapouzvapromennoukrok unarn(kdyztyp=true)nebobinarn.promennasmerurcuje,zdadotazyjsoupodprvnm ifa(next(d;h))>xthenblok:=falseendif elsenext(d;h):=d+krok ifblokthen iftypthen ifsmerthennext(d;h):=h krok ifa(next(d;h))<xthenblok:=falseendif Podvoudotazechklesneh dbudpodph dnebopodh+d elsekrok:=bph dc,next(d;h):=d+dx A(d) typ:=falseendif elsenext(d;h):=dd+h elsesmer:=falseendifblok:=trueendif ifa(next(d;h))>xthensmer:=true 2e,typ:=trueendifA(h) A(d)(h d)e, zevramciblokusepolozalesponidotazu.pakocekavanypocetdotazuvramciblokuje caso(logjsj). Nynspoctameocekavanypocetdotazubehemjednohobloku.Nechtpijepravdepodobnost, horsmprpadepouzijenejvyse5+2logjsjdotazu,atedyvnejhorsmprpadevyzaduje 2.Protoproceduravnej- sevblokupolozalesponidotazuproi>2,pakjx njbi 2 zacatkubloku,pakxjenahodnapromennazavislanaargumentuoperaceabloku.kdyz vramciblokuanechtkrok=kvramcibloku.oznacmex=jfiji>d;a(i)xgjna Nynodhadnemepi.Oznacmen+dargumentprvnhodotazu(interpolacnvyhledavan) C=Xi1i(pi pi+1)=xi1pi: Tedy dotaz,pojehozpolozensenezmenilblok,musbytvrozdlujx njpravekhodnoti. promennasocekavanou(stredn)hodnotouarozptylem2,pakcebysevovanerovnost NynpouzijemeCebysevovunerovnostpronahodnoupromennouX.KdyzYjenahodna piprob(jx njbi 2 2kc): 2kc,protozezakazdyunarn

17 rka,ze Uvazujmeokamzik,kdyjsmenazacatkunejakehobloku.ProtozeSjevybranasrovnomernymrozdelenm,jepravdepodobnost,zeA(i)<xprod<i<h,rovnap=x A(d) Prob(jY jt)2 t2prokazdet>0: 17 pakpravdepodobnost,zex=j,je h d velicinasbinomickymrozdelenm,atedyjejocekavanahodnotaje =h d Xj=0h d jpj(1 p)h d j=p(h d) jpj(1 p)h d j.toznamena,zexjenahodna A(h) A(d),a Kdyzsiuvedomme,zek=bph dcan=p(h d),pakdostavame ajejrozptylmahodnotu pi;pi+1prob(jx njbi 2 2=h d Xj=0(j )2h d 2kc)4p(1 p)(h d) jpj(1 p)h d j=p(1 p)(h d): protozep(1 p)14.kdyzshrnemetatopozorovan,dostavame,ze C=Xi1pi2+2Xi31 (i 2)2=2+2Xi11i2=2+22 (i 2)2k24p(1 p) 6=2+2 (i 2)21 63:6 (i 2)2; KdyzT(n)jeocekavanypocetdotazuprooperaciMEMBERakdyzjSj=n,pakplat Zaver:ocekavanypocetdotazuvblokujemensnez4. Veta.OcekavanycasoperaceMEMBERvusporadanempolidelkynpriimplementaci ProtozeT(1)=1aT(2)2,dostavamezrekurentnhovzorce,ze T(n)2+Cloglognpron2: T(n)C+T(pn): avyhledavanodpovdacestevestrome.formalndenice: Binarnvyhledavacstromjebinarnvyhledavanvusporadanempoliroztazenedoroviny alizacnchoperac.tentoproblemresbinarnvyhledavacstromy. Nevyhodadatovestrukturyusporadanehopolejenemoznostefektivnimplementaceaktulozenvstupnchdat. zobecnenehokvadratickehovyhledavanjeo(loglogn)zapredpokladurovnomernehoroz-

18 18 stromutakova,ze nebomadvasyny,levehoapraveho)aexistujebijekcemezimnozinousavnitrnmivrcholy stromtreprezentujcmnozinusjeuplnybinarnstrom(tj.kazdyvrcholjebudlistem Predpokladame,zeUjelinearneusporadaneuniverzumaSU.Binarnvyhledavac kdyzvjevnitrnvrcholstromut,kteremujeprirazenprveks2s,pakkazdemu Binarnvyhledavacstromy ukazatellevy(v)nalevehosynavrcholuv, ukazatelotec(v)naotcevrcholuv, Strukturavnitrnhovrcholuv: vnitrnmuvrcholuuvpodstromulevehosynavrcholuvjeprirazenprvekzsmens ukazatelpravy(v)napravehosynavrcholuv, prvekzsvetsnezs. nezsakazdemuvnitrnmuvrcholuwvpodstromupravehosynavrcholuvjeprirazen neexistuje,pakureprezentujeinterval( 1;key(v))aprvekkey(v)jenejmensprvekvS. atributkey(v){prvekzsprirazenyvrcholuv.kdyzvjekorenstromu,pakhodnota ukazateleotec(v)jenil.listmaukazatelepouzenaotce. pravymsynemvrcholuw,pakureprezentujeinterval(key(w);key(v))akdyztakovyvrchol KazdylistreprezentujeintervalmezidvemasousednmiprvkyzS{presne,kdyzujelista prvekvs. utakovy,zejelevymsynemvrcholuw,pakureprezentujeinterval(key(v);key(w))akdyz takovyvrcholneexistuje,pakureprezentujeinterval(key(v);+1)aprvekkey(v)jenejvets Kdyzujelistajepravymsynemvrcholuv,naleznemevrcholnacestezudokorenenejblze jelevymsynemvrcholuv,naleznemevrcholnacestezudokorenenejblzeutakovy,zeje Priimplementacibinarnchvyhledavacchstromujevyhodnevynechatlisty(pakbude ukazatelnil).prinavrhualgoritmujevsakvyhodnepracovatslisty(jetologictejs). whiletnenlistakey(t)6=xdo t:=korenstromu valy. Navrhalgoritmu: Protoprinavrhualgoritmubudemepredpokladat,zestromymajlistyreprezentujcinter- ifkey(t)>xthent:=levy(t)elset:=pravy(t)endifenddo iftnenlistthenx2selsex=2sendif Vyhledej(x) Vyhledej(x) MEMBER(x)

19 levy(t)apravy(t)jsounovelisty,jejichzotcemjet key(t):=x, iftjelistthentsezmennavnitrnvrchol Vyhledej(x) INSERT(x) 19 ift=levy(otec(t))thenlevy(otec(t)):=pravy(t) iftnenlisttheniflevy(t)jelistthen Vyhledej(x) endif odstranmevrcholt odstranmevrchollevy(t),otec(pravy(t)):=otec(t) elsepravy(otec(t)):=pravy(t)endif DELETE(x) ifu=levy(otec(u))thenlevy(otec(u)):=levy(u) elsepravy(otec(u)):=levy(u)endif otec(levy(u)):=otec(u) elseu:=levy(t) whilepravy(u)nenlistdou:=pravy(u) enddokey(t):=key(u),odstranmevrcholpravy(u), endifendif HlavnproblemjekorektnostalgoritmuVyhledejazdesejednaomodikacivyhledavan odstranmevrcholu podstromreprezentujeintervalvmnozines.zvlastnostbinarnchvyhledavacchstromu plyne,zetototvrzenplatiprosynyvrcholuv.nynuzsnadnouindukcdostavame pozadovanelemma. Lemma.KazdypodstromreprezentujeintervalvmnozineS. Dukaz.Tvrzenplatprokoren.Predpokladejme,zeprovnitrnvrcholvplat,zejeho vusporadanychpoli.nejprvedokazeme Dokazemenasledujcinvariant:Kdyzvysetrujemevrcholstromuv,jehozpodstromreprezentujeinterval<s1;s2>vS,akdyzs01jepredchudces1vSas02jenaslednks2vS,pak s01<x<s02. Prvndvatestyzarucuj,zeplatmin(S)<x<max(S).Kdyztvrzenplatprovrcholv, podstromvrcholuvreprezentujeinterval<s1;s2>vsakey(v)=s,pakpodstromleveho synavrcholuvreprezentujeinterval<s1;s0>,kdes0jepredchudcesvs,apodstrom hledej(x)budnaleznevrcholvtakovy,zekey(v)=x,neboskoncvlistu,kteryreprezentuje pravehosynareprezentujeinterval<s00;s2>,kdes00jenaslednksvs.protozedals pravekdyzs<x,dostavame,zeinvariantplativnasledujcmkroku.protooperacevy- vysetrovanyvrcholjelevy(v),pravekdyzx<s,adalsvysetrovanyvrcholjepravy(v), listu.pakdostavame Korektnostostatnchoperacjetedzrejma. interval(t0;t00)aplatt0<x<t00a(t0;t00)\s=;.tedyoperacevyhledejjekorektn. korenedonejakeholistu.oznacmehloubka(t)delkunejdelscestyzkorenedonejakeho ZpracovanjednohovrcholuvyzadujecasO(1)aalgoritmussepohybujepojednecestez

20 Tentovysledekmotivujepouzvanbinarnchvyhledavacchstromu,kteresplnujdals vyzadujcaso(hloubka(t)). 20Veta.OperaceMEMBER,INSERTaDELETEvbinarnmvyhledavacmstromeT binarnchvyhledavacchstromech.jevsaknutnepridatkoperacminsertadelete PrinahodneposloupnostioperacINSERTaDELETEjevelkapravdepodobnost,ze podmnku,kteramazajistit,zehloubka(t)=o(logjsj).pakmluvmeovyvazenych Tovedekpozadavku,abyvyvazovacoperacebylyrychleaprovadelosejichmalo. dalskroky,kterezaruc,zepojejichprovedenstromzasesplnujepozadovanepodmnky. Studujsetzv.samoupravujcstruktury.Zdesepracujesdatovoustrukturoubezdodatecnychinformac,aleoperacenaddatovoustrukturouprovadvyvazovanvzavislosti studuje.velkapozornostjevenovanapravdepodobnostnmdatovymstrukturam.hledaj hloubka(t)jeo(logjsj).protozesenepouzvajvyvazovacoperace,muzemedostatleps dostanemenahodnybinarnvyhledavacstrom.jeznamo,zeocekavanahodnotapromenne sevsakidalsmoznosti. vysledeknezprovyvazenebinarnvyhledavacstromy.tentoproblemsetedintenzivne chovanbezohledunavstupndata.dalsstrategieje,zesejenzjistuje,zdadatovastruktura nemavyraznespatnechovan,apokudhomanebopodlouheradeuspesnychaktualizacnch naargumentuoperace.dokazalose,zeexistujestrategievyvazovan,kterazajistujedobre operac,sevybudujenovadatovastruktura(soptimalnmchovanm).tret,pomernestara, PakRotace(v;u)jeznazornenanaobrazkuaprovadjinasledujcalgoritmus. MejmevrcholvbinarnhovyhledavachostromuTajehosynau,kteryjevnitrnvrchol. upravujeprototorozdelen.ukazujese,zetytostrategiemajuspech.dalspodrobnostiv vyhledavacstromy. Nynsiukazmeoperacesestromy,nanichzjsouzalozenyvyvazovacoperaceprobinarn strategiejezalozenanaznalostirozdelenvstupnchdat.zdesedatovastrukturapredem letnmsemestru. A vo B uc Av uo Obr.1 B C