Optimální po částech lineární aproximace chaotických systémů s polynomiálním vektorovým polem

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Optimální po částech lineární aproximace chaotických systémů s polynomiálním vektorovým polem Optimal piecewise-linear approximation of chaotic systems with polynomial vector field Jiří Petržela, Tomáš Gotthans petrzelj@feec.vutbr.cz, xgotth@stud.feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Abstrakt: Tento článek přináší možné řešení otázek týkajících se přesných po částech lineárních (PČL) aproximací komplikovaných nelineárních vektorových polí. Navrhovaný postup může být označen za univerzální, inovativní a je založen na využití stochastické optimalizace, konkrétně genetického algoritmu (GA) kombinovaného s metodou roje částic (RČ). Jádrem algoritmu je nalezení a aplikace výpočetně nenáročného a přesného kvantifikátoru dynamického chování. Jednotlivé výhody a nevýhody představené procedury jsou detailně prodiskutovány a kriticky vyhodnoceny. Celý navržený algoritmus je ověřen pomocí čtyř autonomních deterministických dynamických systémů třetího řádu, které mají reálný fyzikální podklad. Abstract: This paper brings possible answers to the questions about accurate piecewise-linear approximations of the complicated nonlinear vector fields. Suggested method can be marked as universal, inovative and is based on the utilization of stochastic optimization; namely genetic algorithm combined with particle swarm. The core engine is to develop quick-to-calculate but still precise dynamical motion quantifier. The individual advantages and drawbacks are discussed in detail and critically summarized. The correct function of algorithm is proved by means of four autonomous deterministic dynamical systems with real physical background.

2 Optimální po částech lineární aproximace chaotických systémů s polynomiálním vektorovým polem Jiří Petržela, Tomáš Gotthans Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně petrzelj@feec.vutbr.cz, xgotth@stud.feec.vutbr.cz Abstrakt Tento článek přináší možné řešení otázek týkajících se přesných po částech lineárních (PČL) aproximací komplikovaných nelineárních vektorových polí. Navrhovaný postup může být označen za univerzální, inovativní a je založen na využití stochastické optimalizace, konkrétně genetického algoritmu (GA) kombinovaného s metodou roje částic (RČ). Jádrem algoritmu je nalezení a aplikace výpočetně nenáročného a přesného kvantifikátoru dynamického chování. Jednotlivé výhody a nevýhody představené procedury jsou detailně prodiskutovány a kriticky vyhodnoceny. Celý navržený algoritmus je ověřen pomocí čtyř autonomních deterministických dynamických systémů třetího řádu, které mají reálný fyzikální podklad. 1 Úvod Studium autonomních nelineárních dynamických systémů je vzhledem ke své důležitosti dlouhodobě středem pozornosti matematiků, chemiků, fyziků a v neposlední řadě elektroniků. Odpovídající řešení mají celou řadu specifických vlastností, kterých lze využít i pro čistě praktické účely. Uvažujeme-li systémy od třetího řádu výše, může se pak jednat například o tzv. chaotický signál, který se vyznačuje širokým a spojitým kmitočtovým spektrem a v časové oblasti je podobný šumu, s kterým bývá často zaměňován. Řešení chaotického systému je extrémně citlivé na počáteční podmínky a strukturální stabilita odpovídajícího podivného atraktoru (stavový obrazec je hustý s neceločíselnou geometrickou dimenzí) je většinou citlivá na parametry matematického modelu. Pravděpodobnost výskytu chaotického nebo hyperchaotického řešení narůstá s rostoucím počtem stupňů volnosti analyzovaného systému. Vznik tohoto článku byl primárně motivován následující úvahou. Je známo, že drtivá většina reálných jevů v přírodě je popsatelná konečnou soustavou obecně nelineárních diferenciálních rovnic. Jedná se samozřejmě vždy o aproximaci skutečnosti, avšak tato je při dodržení určitých podmínek dostatečně přesná. Analýza možných řešení soustavy bezrozměrných rovnic je navíc interdisciplinární vědou. Je to proto, že jeden matematický model může popisovat hned několik naprosto odlišných jevů, například od optiky přes chemickou reakci až po ekonomickou situaci. Na konkrétní fyzikální interpretaci stavových veličin ani interních parametrů systému tedy nezáleží. Postupy při analýze lineárních nebo linearizovaných jsou univerzální a jsou již dlouho známy. V řadě případů je však nelze použít. Procesem linearizace pracovní charakteristiky nelineárního prvku totiž ztrácíme přehled o globálním řešení systému. V případě konvenčních analogových elektronických obvodů typu dvojbranu se jedná o časový průběh výstupního signálu při působení velkého vstupního signálu, u generátoru signálu nepostihneme stabilizaci amplitudy a zkreslení signálu a obvody modulátorů, směšovačů nebo násobičů kmitočtu přestanou pracovat úplně. Řešení lineárních systémů lze získat v uzavřeném analytickém tvaru, u PČL nechaotických systémů lze aplikovat princip sešívání dílčích řešení, tedy řešení v jednotlivých segmentech vektorového pole. Odtud je zřejmý význam PČL aproximací nelineárních výrazů v diferenciálních rovnicích, a to funkcí zadaných jak implicitně [1], [2] tak explicitně [3]. Máme možnost získat ucelenější přehled o globálním chování nelineárních dynamických systémů, lokální dynamice v okolí pevných bodů toku a vlivu parametrů na stavovou trajektorii. 2 Stručná formulace problému S využitím konceptu lineární algebry a PČL aproximací spojitých vektorových polí je mnohem snazší získat představu o globálním chování, oblastech přitažlivosti a bifurkacích. Vektorové pole s několika afinními segmenty reprezentuje mnohem jednodušší předlohu rovněž pro obvodovou realizaci systému formou analogového oscilátoru, kde PČL funkce je realizována diodami, externími a řízenými zdroji napětí nebo proudu. Laboratorní experimenty ukazují, že tato metoda syntézy se vyznačuje větší dynamikou (můžeme modelovat větší stavové atraktory) a zpracuje signál obsahující vyšší harmonické složky [4]. Je to tím, že limitujícím faktorem v obvodě bývá právě analogová násobička. Všechny výše zmiňované pozitivní vlastnosti předurčují využití chaotických oscilátorů s PČL zpětnovazební funkcí pro praktické aplikace. Na tomto místě by mohl pozorný čtenář namítnout: proč pro aproximaci nevyužít známou metodu nejmenších čtverců. Minimalizována by přitom byla absolutní (nebo kvadratická) odchylka nové PČL funkce od originálního polynomiálního průběhu, a to v několika předem vybraných bodech funkce. Zde je však potřeba si uvědomit, že numerické hodnoty koeficientů nové PČL funkce nemají přímou souvislost s chaotickou povahou řešení zadaného dynamického systému. Skutečnost bývá i taková, že velmi přesná PČL aproximace často může znamenat destrukci geometrické struktury chaotického atraktoru a naopak, i velmi prostá a svým způsobem nepřesná PČL funkce s jedním zlomovým bodem může znamenat věrohodnou náhradu polynomiální funkce. Dále je třeba poukázat na fakt, že v evoluci chaotických atraktorů hraje nelineární funkce klíčovou roli, zakřivuje totiž vektorové pole tak, aby výsledné řešení bylo současně citlivé na počáteční podmínky a ohraničené v konečném objemu stavového prostoru. 25

3 Před spuštěním vlastního cyklu optimalizace je tedy nezbytné zabývat se stanovením intervalu pro aproximaci, přesněji řečeno velikostí stavového atraktoru, a počtem zlomových bodů PČL charakteristiky, tedy počtem lineárních segmentů vektorového pole. V praxi je samozřejmě snaha získat PČL funkci co možná nejjednodušší, a to z hlediska budoucí teoretické analýzy nebo experimentální realizace. Tyto poznatky nás vedou k závěru, že dosud neexistuje metoda beroucí v úvahu shodnost řešení polynomiálního systému a jeho PČL ekvivalentu. Některé ideje byly nastíněny v [5], kde však byly aproximaci podrobeny pouze algebraicky velmi prosté systémy třetího řádu s kvadratickou nelinearitou jedné stavové proměnné. Univerzalita vylepšeného algoritmu bude testována na dynamických systémech s vícerozměrnými polynomiálními funkcemi. Předpokládejme, že matematický model obsahuje značné množství polynomiálních nelineárních výrazů, které přímo ovlivňují počet a polohu pevných bodů dynamického toku, hodnoty vlastních čísel a vlastní vektory, tedy geometrii. Požadavkem je, aby tyto lokální vlastnosti vektorového pole nebyly PČL aproximací narušeny nebo, jinými slovy, aby byla geometrie vektorového pole zachována. Naším úkolem je zajistit, aby chaotický atraktor generovaný systémem s PČL funkcí byl topologicky ekvivalentní s atraktorem originálního systému. Bohužel, tento požadavek nejsme schopni postihnout žádnou analytickou funkcí. To je důvodem, proč jsme nuceni upustit od gradientních optimalizačních metod a přejít k metodám stochastickým, tedy s prvkem nahodilosti. V této souvislosti musíme definovat vhodný kvantifikátor dynamického toku. Jedním z nejpoužívanějších je výpočet spektra tzv. jednorozměrných Ljapunovských exponentů (LE), a to pomocí předpisu [6] LE( x, y T x( t) 3 1 DxΦ( t, x) y R ) = lim t t y, (1) kde T x(t) označuje tečný prostor vyšetřovaný v konkrétním bodě na stavové trajektorii, D x Φ(t,x )y je řešení dynamického systému linearizovaného v témže bodě a dvojité závorky představují Euklidovskou normu. V každém iteračním kroku (1) je prováděna Gram-Smithova orthogonalizace tak, aby nedocházelo k deformaci (natáčení divergenci velikostí) báze vektorů nutné pro výpočet LE. Proces obnovení báze vektorů je důležitý především u dynamických systémů, u kterých může nastat exponenciální divergence dvou sousedních trajektorií. Studiem vztahu (1) zjistíme, že počet LE odpovídá řádu analyzovaného systému, jedná se o reálná čísla, která jsou jednoznačně dána soustavou diferenciálních rovnic, konkrétně Jakobiho maticí. Prezence nebo absence podivného atraktoru je indikována hodnotou největšího LE, tedy jeho kladnou nebo zápornou hodnotou. Ani nyní však nemáme vyhráno. Po provedení množství testů se ukázalo, že předpis (1) je zdrojem vážných problémů, jejichž odstranění musíme věnovat zvýšenou pozornost [7]. Pokud shrneme těžkosti, pak největší z nich je ta, že oblasti chaotického řešení v hyperprostoru parametrů systému jsou často velmi malé a obklopené neohraničeným řešením. Tento jev koresponduje s představou mnoha lidí o chaosu, a sice že chaotický nebo hyperchaotický signál je generován perfektně vyváženým systémem. Procedura daná (1) je rovněž subjektem numerických chyb a s tím souvisejících nesprávných výsledků v případě nespojitých [8] nebo pomalu divergentních dynamických toků. Pro přesné hodnoty LE musí být navíc celá délka přechodného děje z výpočtu eliminována, což je komplikované, protože přechodný děj trvá u každého systému jinou dobu a tento čas souvisí i s hodnotami parametrů. Hlavním cyklem v navrhovaném algoritmu je Runge- Kuttova numerická integrace čtvrtého řádu, přičemž výpočetní náročnost je přímo úměrná s délkou integrace. Účelné je integrovat studovaný systém co možná nejkratší dobu. Hodnota největšího LE může být sama o sobě použita jako kvantifikátor dynamického chování, z fyzikálního hlediska by se však jednalo o nesprávný přístup. Máme-li LE numericky stanoveny, pak pouhým dosazením vypočteme tzv. Kaplan-Yorkeho metrickou dimenzi (KYD) systému jako T + 1 D 1 T D KY = DT + LE D D i (2) i= 1 kde D i jsou jednotlivé LE seřazené od největšího po nejmenší a D T představuje topologickou dimenzi. Pro studovanou třídu dynamických systémů třetího řádu je D T =2. Účelovou funkcí v hlavní smyčce optimalizace bude porovnání (absolutní rozdíl) mezi D KY systému s polynomiálním a PČL vektorovým polem. Autoři článku věří, že počáteční odhad parametrů PČL funkce v blízkosti PČL aproximace vzniklé metodou nejmenších čtverců bude dostatečně blízko správnému řešení, že lze tento princip považovat za univerzální. Stop kriteriem naší optimalizace bude shodnost originálního a nového podivného atraktoru, která bude vyjádřena minimálním rozdílem metrických dimenzí obou systémů. Komplikovaný dynamický pohyb může být kvantifikován i jinými způsoby než je KYD. Nejpřirozenější metodou je implementovat účelovou funkci jako absolutní rozdíl mezi numerickou integrací originálního a PČL dynamického systému. Kladné rozdíly jsou v každém iteračním kroku sečítány a konečný výsledek je minimalizován. Zkušenosti ukazují, že pro malé časové úseky je tento postup sice méně časově náročný než srovnávání KYD ale často poskytuje zmatené výsledky. Jako slibná se jevila srovnávací metoda výpočtu normovaného kmitočtového spektra chaotického signálu výchozího signálu. Toto spektrum bylo v každém iteračním kroku porovnáváno s kmitočtovým spektrem PČL systému. Hlavní nevýhoda tohoto postupu bohužel plyne přímo z definice diskrétní Fourierovy transformace (DFT), tedy ze zápisu X ( k) = N j= 1 x( j) e ( 2πi) N ( j 1)( k 1), (3) kde analyzovaná stavová trajektorie je reprezentována vektorem x(j) a k je přirozené číslo menší než N (pro tuto hodnotu byla použita délka numerické integrace). Rozlišovací schopnost jednotlivých spektrálních komponent má spodní hranici danou délkou integrace a zároveň horní meze omezené integračním krokem. Pro běžné hodnoty integračních konstant tak, aby výpočet DFT trval rozumnou dobu, je rozlišovací schopnost nedostatečná a podobnost mezi jednotlivými stavovými atraktory nemůže být rozpoznána. Pro získání potřebných dat 26

4 pro porovnání atraktorů by bylo nutné pro několik délek numerické integrace provést hned několik převzorkování. Výhodou je, že DFT patří mezi rychlé algoritmy, které jsou formou jediného příkazu vestavěny do téměř všech matematických prostředí nebo programů určených ke zpracování signálů. Není zcela lhostejné, který z kvantifikátorů bude nakonec použit ve výpočtu účelové funkce. Hlavním kriteriem využití je rychlost jeho výpočtu a přesnost. V každém případě ale musí být v průběhu optimalizace zachován počet a poloha pevných bodů v rámci jednotlivých PČL segmentů a rovněž také geometrie vektorového pole v jejich okolí taková, jakou měl původní dynamický systém. V opačném případě by nově nalezený chaotický atraktor nebyl geometricky konjugovaný k originálu a s největší pravděpodobností by se nejednalo ani o atraktor chaotický. Pro splnění těchto striktních podmínek je nutné je odpovídajícím způsobem zohlednit při výpočtu účelové funkce. Prakticky je toho docíleno tak, že pokud se změní nějaká vlastnost, která měla zůstat nezměněna, tak se provede penalizace účelové funkce. V případě GA poté následovalo odstranění příslušného jedince z populace, u metody RČ byl využit koncept mrtvé včely. Délka numerické integrace pro výchozí a aproximovaný dynamický systém musí být stejná pro výpočet DKY případně kvantifikaci signálů v časové oblasti. Před startem vyhledávací procedury musíme specifikovat, v jakém rozsahu vstupních veličin budou nelineární funkce aproximovány. Spodní hranice těchto rozsahů jsou dány nejmenším objemem stavového prostoru nutným k tomu, aby zcela pokryl očekávaný stavový atraktor. Při aplikaci navrženého postupu je potřeba si současně uvědomit i jeho stinné stránky. Jedná se například o to, že rozlišovací schopnost pro nejrůznější limitní cykly, kvaziperiodické a podobné uzavřené orbity je značně omezena, protože každá z těchto křivek je charakterizována dvěma nulovými LE. Tato nevýhoda je ještě prohloubena při využití kvantifikace na základě kmitočtového spektra, tedy operacemi v kmitočtové oblasti. Ukazuje se, že není nutné počítat jednotlivé parametry PČL funkce na více než jedno desetinné místo. Tento poznatek může urychlit proces hledání, a to obzvláště v případech, kdy jsou neznámé zakódovány a řazeny jako chromozomy, tedy při optimalizaci využívající jakoukoliv podobu GA. Jako vhodná náhrada GA a RČ se jeví výkonná metoda známá jako simulované žíhání, její využití v prostředí Matlab je naznačeno v [9]. V dalším textu byla pro vizualizaci a numerické ověření dosažených výsledků použit Mathcad a vestavěná Runge-Kuttova metoda čtvrtého řádu a to s časovým krokem,1 a počtem bodů 1 5. V jádru optimalizační procedury dělané pro program Matlab byl konečný čas integrace z časových důvodů snížen na 5 s automatickou volbou velikosti integračního kroku. Předpokládá se, že počáteční podmínky, ze kterých vychází numerická integrace v optimalizační proceduře, jsou v oblasti přitažlivosti stavového traktoru, který je středem naší pozornosti. Navržený algoritmus pro aproximaci může být rozšířen na matematické modely vyšších řádů a pro libovolné nelineární výrazy vektorového typu. V poslední době začíná hrát při výběru vhodné optimalizační techniky významnou roli nový aspekt. Jedná se o možnost efektivního využití vícejádrových osobních počítačů a paralelních procesů. Jak je ukázáno například v [1] může být potřebný výpočetní čas významně redukován. 3 Praktické ověření algoritmu Pro experimentální ověření navrženého algoritmu bude tento testován prostřednictvím několika známých a v praxi využívaných dynamických systémů. První z nich je zadán oblíbenými tzv. Chuovými rovnicemi [11] x& = 1 z& = 16y 3 ( y +.143x x ) y& = x y + z, (4) kde tečky označují derivace podle nezávislé proměnné, tedy času a x 3 je kubickou skalární nelinearitou, kterou se budeme snažit nahradit n-segmentovou PČL funkcí. Za povšimnutí stojí, že nelineární funkce má lichou symetrii, což povede na analogické zjednodušení hledané PČL funkce. Lineární část vektorového pole je dána numericky a tyto hodnoty nebudou součástí hyperprostoru, ve kterém bude naše procedura hledat optimální parametry. Hlavním úkolem je nalézt co nejjednodušší PČL aproximaci. Pokud vyhledávání parametrů PČL funkce selže (bude dosaženo maximálního počtu iterací bez uspokojivého výsledku) PČL funkce bude modifikována přidáním dvou zlomových bodů symetricky vzhledem k vertikální ose. Tím se současně zvýší počet lineárních segmentů a rozměr hyperprostoru neznámých parametrů se zvýší o jedna, přičemž tento parametr bude mít význam směrnice úsečky. Hledaná PČL bude jednorozměrná a lze ji vyjádřit v následujícím kompaktním tvaru f x) = β + α x + α N i=1 i x β (, (5) kde f(x) je skalární funkce vstupní stavové proměnné x, α i a β i jsou parametry aproximační funkce a N je celkový počet zlomových bodů. Výsledek optimalizace s využitím GA je takový, že pro zachování tvaru chaotického atraktoru systému (4) může mít PČL funkce jednoduchý tvar s lichou symetrií f 5 1 ( α α ) ( x + β β ) ( x) = α x +. x, (6) kde numerické hodnoty parametrů PČL funkce budou α =.4, α 1 =-.5, β=.4. Je zřejmé, že bude-li v hlavním cyklu programu přidávání zlomových bodů automatizováno, optimalizace vždy správné řešení nalezne. Je to tím, že pro velký počet zlomových bodů a správným nastavením směrnic lineárních segmentů přechází PČL funkce pozvolna do kubického nelineárního průběhu. Srovnání výchozího a nového chaotického atraktoru známého jako double-scroll (dvojitá spirála) je na Obrázku 1. Oba chaotické atraktory mají shodnou KYD rovnou 2,15. Rutinní lineární analýza dynamického systému s PČL vektorovým polem bychom snadno zjistili, že celkový počet pevných bodů, jejich index stability a přibližná poloha zůstala nezměněna. K demonstraci shodnosti obou geometrických útvarů nám může posloužit sférický kvantifikátor dynamického pohybu tak, jak byl zaveden v [12]. Jeho principem je transformace trojrozměrného obrazce na povrch krychle, čímž usnadníme vyhodnocení jeho geometrické povahy. Shodnost metrické dimenze chaotického atraktoru od původního a aproximovaného dynamického systému je zřejmá z Obrázku 2. i 27

5 První graf na Obrázku 3 reprezentuje topograficky barevně škálovaný povrchový-konturový graf největšího LE jako funkce dvou koeficientů polynomiální funkce a x 3 +b x v intervalu a (-12, -8) s krokem.1 a b (1.2, 1.6) s krokem.1 v rovnicích dynamického systému (4). Druhou závislostí je největší LE jako funkce parametrů PČL funkce (6) s intervalem koeficientu α (-4, -2) s krokem.1 a α 1 -α (4, 6) s krokem.1. Pro objasnění, bílá a žlutá barva označuje oblasti s chaotickým řešením, zelená odpovídá limitním cyklům (bez ohledu na jejich tvar) a modrá indikuje triviální řešení typu pevný bod. Tento typ zobrazení může být pro výchozí a aproximovaný dynamický systém mírně odlišný, a to jednak co do velikosti jednotlivých barevných oblastí tak i jejich tvaru. Pro praktické aplikace by však měla být množina všech parametrů chaotického oscilátoru nastavena do prostřed nejsvětlejší oblasti, pokud tato neoznačuje neohraničené řešení, což se u některých dynamických systémů může snadno stát. Obrázek 1: 3D zobrazení typického chaotického atraktoru generovaného originálními Chuovými rovnicemi (nahoře) a PČL aproximací (dole) spolu s průměty do jednotlivých rovin Obrázek 2: Ilustrace fraktální povahy chaotického atraktoru Chuova systému transformací na povrch koule 28

6 kde α i, β i, γ i a δ i jsou parametry, které musí být nalezeny v průběhu optimalizace. Navržená vyhledávací procedura slavila úspěch s množinou N=2, α =, β =-1, γ =-3, α 1 =-9, β 1 =18, γ 1 =3, δ 1 =3, α 2 =-.8, β 2 =6, γ 2 =-1 a δ 2 =-8. Numerické ověření těchto koeficientů je uvedeno na Obrázku 4, zavedení sférické transformace ukazuje Obrázek 5 a vlastní výsledek optimalizace, tedy aproximaci, je na Obrázku 6. Je vidět, že tato PČL aproximace je méně přesná, což se projeví deformací očekávaného podivného atraktoru. Nicméně chaotická povaha časových průběhů signálů zůstala zachována, oba dynamické systémy mají téměř stejnou hodnotu největšího LE, a to 2,6. Obrázek 3: Závislost největšího LE na koeficientech kubického polynomu (nahoře) a nalezené PČL funkce (dole), viz text Druhým příkladem vhodným k demonstraci aproximační optimalizace je známý Rosslerův dynamický systém [13]. Opět je popsán soustavou tří obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, konkrétně x& = y z y& = x +.1y. (7) z& =.1+ xy 14z Jsou-li numerické hodnoty parametrů takto zvoleny, pak tento dynamický systém generuje atraktor, pro který vžilo označení funnel (trychtýř). Tento geometrický útvar musí být zachován i po aproximaci součinu xy+.1 dvourozměrnou PČL funkcí. Hledanou funkci je potřeba předefinovat, a to následujícím způsobem f ( x, y) = α + β x + γ y + δ β x + γ y + α, (8) N i= 1 i i i i Obrázek 4: 3D zobrazení typického chaotického atraktoru produkovaného originálním Rosslerovým systému (nahoře) a jeho PČL aproximací (dole) spolu s průměty do všech rovin 29

7 Obrázek 6: Grafické zobrazení původní a aproximované nelineární funkce u Rosslerova dynamického systému Obrázek 5: Demonstrace fraktální povahy chaotického atraktoru originálního (nahoře) a aproximovaného (dole) Rosslerova systému transformací na povrch koule Třetí dynamický systém podrobený aproximaci je jedním z nejstarších matematických modelů, ve kterých byl chaos pozorován. Tato soustava diferenciálních rovnic byla později pojmenována podle svého objevitele jako Lorenzův systém [14], kde typický podivný atraktor připomíná motýlí křídla x& = 1 ( y x) z& = xy 2.667z y& = 28x xz y. (9) Situace pro náhradu vektorového pole PČL ekvivalentem je nyní poněkud komplikovaná. Matematický model totiž obsahuje dvě rovinné nelineární funkce. V průběhu optimalizace se naštěstí ukázalo, že aproximace bude dostatečná, budou-li mít obě PČL funkce N=2. Výsledky, ke kterým optimalizační proces konvergoval, jsou pro násobek stavových proměnných x a y α =-5, β =, γ =, α 1 =-2.5, β 1 =-4, γ 1 =4, δ 1 =-2.5, α 2 =, β 2 =4, γ 2 =4 a δ 2 =2.5. Podobně pro součin stavových proměnných x a z bude α =, β =2, γ =1, α 1 =-1, β 1 =8, γ 1 =3, δ 1 =2.5, α 2 =, β 2 =4, γ 2 =-1.5 a δ 2 =-5. Uvážíme-li tyto hodnoty PČL aproximačních funkcí pak můžeme provést ověření numerickou integrací, viz Obrázek 7. Geometrickou strukturu chaotických atraktorů obou dynamických systémů můžeme posoudit opět po jejich transformaci na povrch koule, viz Obrázek 8. Graficky je vlastní výsledek optimalizační procedury uveden na Obrázek 9. Chaotický atraktor generovaný aproximovaným systémem je mnohem větší než stavový atraktor originálního systému. Tato odlišnost nemůže být vyhledávací procedurou detekována, protože oba atraktory mají stejnou hodnotu DKY a, jako přímý důsledek, i stejnou metrickou dimenzi. Lze to interpretovat i tak, že numerické výsledky poskytované základním vzorcem (1) se nezmění ani po zavedení lineární transformace souřadnic. Posledním testovaným dynamickým systémem třetího řádu je Hindmarch-Rose model [15], který zjednodušeně modeluje chování singulárního neuronu. Odpovídající soustava popisujících diferenciálních rovnic je x& = y x y& = 1 5x 2 2 y x 3 z z& =.1 4 [ ( x + 1.6) z]. (1) V tomto případě je vektorové pole silně nelineární, přičemž subjektem náhrady PČL funkcí jsou hned tři polynomiální funkce jedné stavové proměnné. Tento matematický model byl vybrán s ohledem na svou stěžejní vlastnost, a to velmi dlouhý přechodný děj v případě, že počáteční podmínky pro numerickou integraci jsou v blízkosti nuly. Tvar tohoto přechodného 3

8 děje je navíc velice podobný limitnímu cyklu, se kterým však nesmí být zaměněn. Na Obrázku 1 je ověření platnosti nalezené PČL aproximace vektorového pole, tedy numerická integrace referenčního a nového chaotického atraktoru. Je zřejmé, že posunutí stejného geometrického obrazce na jiné místo ve stavovém prostoru nemá vliv na hodnotu žádného LE a tím ani na KYD. První kvadratickou nelinearitu lze nahradit PČL funkcí ve tvaru (6) s hodnotami N=2, α =, β =-8.3, α 1 =1.5, β 1 =, α 2 =2, β 2 =1.8, α 3 =2, β 3 =-1.8. Druhá hledaná PČL aproximace má formálně stejný zápis ale s hodnotami parametrů N=2, α =, β =-8, α 1 =1.12, β 1 =, α 2 =2, β 2 =1.8, α 3 =2, β 3 =-1.8. Nakonec kubický polynom může být beze změny globální dynamiky nahrazen funkcí s lichou symetrií (6) s hodnotami α =1, α 1 =.9, β=1.2. Rozdíly v geometrických strukturách výchozího a nově nalezeného podivného atraktoru zvýrazníme průmětem stavů systémů na povrch obepínající koule tak, jak to ukazuje Obrázek 11. Průběhy originálních polynomiálních a nově nalezených PČL funkcí jsou zřejmé z Obrázku 12. Za povšimnutí stojí, že PČL funkce vykazují záporný absolutní člen, což může mít obecně za následek navýšení počtu pevných bodů dynamického toku. Obrázek 7: 3D zobrazení typického chaotického atraktoru generovaného originálního Lorenzova systému (nahoře) a jeho PČL aproximací (dole) spolu s průměty do jednotlivých rovin Obrázek 8: Demonstrace fraktální povahy chaotického atraktoru Lorenzova systému transformací na povrch koule 31

9 Obrázek 9: Grafické porovnání nelineárních funkcí v původním a aproximovaném Lorenzově systému Rozdělíme-li povrch koule na dílčí segmenty, můžeme tak zjistit celkový počet těchto segmentů obsazených atraktorem. Dáme-li toto číslo následně do kontextu s celkovým počtem segmentů, nejedná se o výpočet kapacitní dimenze atraktoru. V programu Matlab byly implementovány optimalizační metody GA i RČ. V prvním případě stačila k úspěšnému nalezení i základní konfigurace metody, spočívající v decimaci populace s 1% mutací všech jedinců. Lze tak předpokládat, že nalezení vhodné PČL aproximace vektorových polí vybraných systémů není náročným úkolem, alespoň tedy u testovaných dynamických systémů. V případě, že by GA opakovaně selhal, bude vhodnější přejít na metodu RČ. Experimenty zde naznačují, že počáteční odhad hodnot PČL funkce musí být dostatečně blízko hledaným optimálním hodnotám. Vzhledem k požadované podobnosti vektorových polí výchozího a PČL systému pak nemá smysl využívat velkých hodnot mutací či jiným způsobem výrazně degenerovat jedince v populaci. Pro úspěšné nalezení řešení se RČ se spokojí i s menším rojem. Obrázek 1: 3D zobrazení typického chaotického atraktoru produkovaného originálním modelem neuronu (nahoře) a jeho PČL aproximací (dole) spolu s průměty do jednotlivých rovin Proti představenému principu lze namítnout, že v současné době existují rovněž alternativní definice metrických dimenzí atraktorů respektive kvantifikátorů dynamického pohybu. Tato myšlenka je správná, avšak kapacitní dimenze je velmi časově náročná, a to zejména proces sumarizace elementárních krychlových objemů, který se uskutečňuje až po vlastní numerické integraci stavové trajektorie. Čas potřebný k výpočtu enormně zvyšuje čas potřebný k optimalizaci, a to obzvláště v případě velkých stavových atraktorů. Tento problém bychom například zaznamenali v případě tzv. labyrintového chaosu, jehož detailní představení můžeme nalézt v [16]. Uvědomme si, že i u navrhované aproximační optimalizace je v každém iteračním kroku výpočet stavové trajektorie proveden mnohokrát a 32

10 urychlení procesu kvantifikace je klíčové. Generátor labyrintového chaosu je příkladem dynamického systému třetího řádu s cyklicky symetrickým vektorovým polem a obsahuje tedy tři nelineární funkce. Tyto funkce jsou navíc goniometrické (±sinus a ±kosinus), jejich periodicitu lze však v okolí počátku aproximovat polynomiální řadou, v níž se vyskytují pouze liché (±sinus) nebo sudé (±kosinus) mocniny vstupní veličiny. Velikost stavového atraktoru zde bývá z důvodu velmi malé disipace (rozptylnosti) dynamického systému značná a určuje rozsah, ve kterém je nutné provést aproximaci PČL funkcí. Lze si přitom snadno představit, že existuje přímá úměra mezi počtem členů řady (a tím i řádem výsledného polynomu) a rozsahem aproximace. Vzhledem k očividné symetrii goniometrických funkcí bude mít aproximující PČL funkce tvar periodického sledu trojúhelníků, takže směrnice PČL funkce bude jedno číslo, jehož znaménko se bude v sousedících segmentech střídat. Zjistit právě toto číslo by bylo předmětem optimalizace. Ukázalo se však, že systém není extrémně citlivý na tvar PČL funkce a stavový atraktor bude zachován i při ručním odhadu. Obrázek 12: Grafické zobrazení původních (červená) a aproximovaných (černá) nelineárních funkcí u matematického modelu neuronu 4 Závěrečné zhodnocení Obrázek 11: Demonstrace fraktální povahy chaotického atraktoru modelu singulárního neuronu transformací na povrch koule, výchozí (nahoře) a PČL (dole) systém Hlavním úkolem tohoto článku je poukázat na možnosti využití stochastických optimalizačních postupů při aproximaci vektorových polí obecných dynamických systémů a rozšířit stávající vědomosti v této oblasti. Představenou metodu lze považovat za intuitivní, univerzální a může být přímo aplikována na dynamické systémy libovolného typu a počtu nelineárních výrazů. Úspěšná PČL aproximace je užitečná obzvláště k teoretickému studiu dynamického chování složitých soustav. Je to tím, že toto chování je v každé lineární oblasti vektorového pole popsatelné analyticky v uzavřeném tvaru. Nezanedbatelná výhoda PČL vektorových polí spočívá v tom, že inveriantní variety nejsou v jednotlivých segmentech vektorového pole zakřiveny. Má-li čtenář nějaké otázky či komentáře nechť neváhá a kontaktuje některého z autorů článku. 33

11 Problematika nelineární dynamiky a teorie chaosu je velmi rozsáhlá a pokrývá celou řadu na první pohled nesouvisejících vědních disciplin. I nyní, i přes významný pokrok dosažený v posledních letech, zde lze nalézt mnoho aktuálních témat k výzkumu a nevyřešených otázek. Některé z nich jsou zmiňovány například v zajímavé knize [17], která shrnuje poslední pokroky v oblasti zpracování chaotických signálů v medicíně, biologii a elektrotechnice. Některé vybrané matematické problémy zejména z oblasti řešení dynamických systémů s přímou analogií v klasické mechanice můžeme objevit v přehledovém článku [18]. Pro témata a motivaci k další práci v oblasti geometrie PČL vektorových polí doporučují autoři publikaci [19]. Nepřeberné množství zdrojů z velmi blízké oblasti automatizace a teorie řízení je dostupných prostřednictvím internetu. Zvláštní pozornost je v poslední době věnována využití chaotických dynamických systémů v komunikační technice [2]. Praktické návrhy vybraných hardwarových řešení systémů komunikačního řetězce můžeme nalézt v [21]. Největším problémem při využití chaosu ke kódování nebo modulaci užitečného signálu je synchronizace mezi vysílačem a přijímačem [22]. Aktuální koncepty synchronizace jsou detailně rozebrány v [23]. Dosti často je přitom jako zdroje chaotického signálu využíván Chuův dynamický systém [24]. Případný zájemce o problematiku synchronizace v případě využití Chuova oscilátoru doporučujeme k prostudování publikaci [25]. Poděkování Tato práce vznikla s finanční podporou projektu interního výzkumu VUT v Brně FEKT S a operačního programu SIX pod označením CZ.1.5/2.1./3.72. Literatura [1] CHUA, L. O., DENG, A. C. Canonical piecewise-linear modeling. IEEE Transactions on Circuit and Systems, vol. 33, no. 5, 1986, pp [2] POSPISIL, V., KOLKA, Z. The piecewise-linear approximation using genetic algorithm. In Proceedings of international conference Electronic Devices and Systems, 25, pp [3] LEENAERTS, D. M. W., BOKHOVEN, W. M. G. Piecewiselinear modeling and analysis. Kluwer Academic Publisher, Boston, [4] PETRZELA, J., HRUBOS, Z., GOTTHANS, T. Modeling deterministic chaos using electronic circuits. Radioengineering, vol. 2, no. 2, 211, pp [5] PETRZELA, J. Optimal piecewise-linear approximation of the quadratic chaotic dynamics. Radioengineering, vol. 21, no. 1, 212, pp [6] GRYGIEL, K., SZLACHETKA, P. Lyapunov exponent analysis of autonomous and nonautonomous set of ordinary differential equations. Acta Physica Polonica B, vol. 26, no. 8, 1995, pp [7] PETRZELA, J., GOTTHANS, T., HRUBOS, Z. Behavior identification in the real electronic circuits. In Proceedings of 18th international conference Mixdes, 211, pp [8] PETRZELA, J., GOTTHANS, T., HRUBOS, Z. Analog implementation of Gotthans-Petrzela oscillator with virtual equilibria. In Proceedings of 21st international conference Radioelektronika, 211, pp [9] SLEZAK, J., SOTNER, R., PETRZELA, J. On the derivation of piecewise-linear chaotic oscillators using simulated annealing method and hspice. Przeglad Electrotechniczny, vol. 87, no. 1, 211, pp [1] GOTTHANS, T., PETRZELA, J., HRUBOS, Z. Advanced paralel processing of Lyapunov exponents verified by practical circuit. In Proceedings of 21st international conference Radioelektronika, 211, pp [11] CHUA, L. O., KOMURO, M., MATSUMOTO, T. The double scroll family. IEEE Transactions on Circuits and Systems, col. 33, no. 11, 1986, pp [12] GOTTHANS, T., PETRZELA, J. Analysis and implementation of dynamical system with periodical discrete jumps. Przeglad Electrotechniczny, vol. 89, no. 1, 213, pp [13] ROSSLER, O. E. An equation for continuous chaos. Physics Letters A, vol. 57, no. 5, 1976, pp [14] LORENZ, E. N. Deterministic nonperiodic flow. Journal of Atmospheric Sciences, vol. 2, no. 1, 1963, pp [15] GOTTHANS, T., PETRZELA, J., HRUBOS, Z. Analysis of Hindmarch-Rose neuron model and novel circuitry implementation. In Proceedings of 18th international conference Mixdes, 211, pp [16] GOTTHANS, T., PETRZELA, J. Experimental study of sampled labyrinth chaos. Radioengineering, vol. 2, no. 4, 211, pp [17] ELHADJ, Z. Models and Applications of chaos theory in modern sciences. CRC Press, 211. [18] ELHADJ, Z. Some open problems in chaos theory and dynamics. International Journal of Open Problems in Computer Science and Mathematics, vol. 1, no. 4, 211, pp [19] SPANY, P., GALAJDA, P., GUZAN, M., PIVKA, L., OLEJAR, M. Chuas singularities: great miracle in circuit theory. International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 2, no. 1, 21, pp [2] ITOH, M. Spread spectrum communication via chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 9, no. 1, 1999, pp [21] CHEN, G., UETA, T. Chaos in circuits and systems. World Scientific Series on Nonlinear Science,

12 [22] POSPISIL, J., BRZOBOHATY, J., KOLKA, Z. Simple model of synchronized system for the chaotic-masked communication. Radioengineering, vol. 7, no. 3, 1998, pp [23] PECORA, L. M., CAROLL, T. L., JOHNSON, G. A., MAR, D. J. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts and applications. Chaos, vol. 7, no. 4, 1997, pp [24] GALAJDA, P., KOCUR, D. Chua s circuit in spread spectrum communication systems. Radioengineering, vol. 11, no. 2, 22, pp [25] YIN, Y. Experimental demonstration of chaotic synchronization in the modified Chua s oscillators. International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 7, no. 6, 1997, pp