Slovo chaos se používá nejčastěji ve třech různých souvislostech: v řecké mytologii, v běžném smyslu a ve spojení

Transkript

1 38 Determiistický chaos Determiistický chaos plod počítačové fyziky Pavel Pokorý Ústav matematiky, VŠCHT Praha, Techická 5, 66 8 Praha 6 Vysvětlíme tři hlaví výzamy slova chaos: v běžé řeči, v řecké mytologii a v teorii dyamických systémů. Dále se soustředíme a determiistický chaos jako typ chováí elieárích dyamických systémů. Uvedeme defiice a vysvětlíme základí pojmy a budeme diskutovat vlastosti a důsledky chaotických řešeí. Uvedeme kvatitativí kritérium pro odlišeí áhodých a determiistických systémů. Na závěr zmííme souvislosti mezi determiistickým chaosem a výtvarým uměím. Chaos je život, periodicita choroba, rovováha smrt. O čem je teto čláek? O determiistickém chaosu jako jedom typu chováí dyamických systémů. Proč je psá jako rozhovor? Protože rozhovor je jedím z ejstarších a ejpřirozeějších způsobů sdělováí myšleek. Také proto, že čteář z otázky rychle pozá, o čem je ásledující text, a může si jej přečíst, ebo přeskočit, a ví, kde pokračovat. Co to zameá chaos? Slovo chaos se používá ejčastěji ve třech růzých souvislostech: v řecké mytologii, v běžém smyslu a ve spojeí determiistický chaos. Co zameá chaos v řecké mytologii? Otevřeme-li studici české vzdělaosti Ottův slovík aučý z roku 897 [3], dočteme se pod heslem Chaos o jeho řeckém původu toto: Chaos (χάος od χαίνω, tedy zející prostor), u starých Řeků dle Hésioda prastav všehomíra, ež byl vlastě stvoře a uspořádá, když látka veškera ještě v temotách byla změtea. Potom vzikla Gaia (Země) a Erós (Láska), z Chaosu pak povstaly Erebos (Tma) a Nyx (Noc), jejichž dětmi byly Aithér a Hémerá. Dle učeí orfiků však a počátku byl Chroos (Čas), z toho teprve vzikly Chaos a Aithér. Jaký je běžý výzam slova chaos? Des slovo chaos v běžém výzamu zameá zmatek, epořádek, epřítomost řádu, jedoty či jedoticí síly. Tedy ěco epříjemého a ežádoucího. Určitým protipólem k chaosu v tomto výzamu bylo slovo kosmos (z řeckého κόσμοσ), které původě zamealo řád, des převážě prostor, vesmír. Ze slova chaos vytvořil vlámský lékař a chemik Joa-Baptista va Helmot ( ) slovo gas (ply). To byl přirozeý důsledek pozáí, že to, co des ozačujeme slovem ply, je výsledek složitého chováí jeho molekul. Co to zameá determiistický chaos? Teto zdálivý protimluv je des již ustáleý odborý termí ozačující určitý typ složitého chováí determiistického dyamického systému. Je to oproti běžému výzamu slova chaos dobrá zpráva v tom smyslu, že přívlastek determiistický říká, že jsme alezli určitý řád, determiistické souvislosti v ději, který se dříve jevil jako esrozumitelý. Dále budeme slova chaos a chaotický používat pouze v tomto výzamu, ezdůrazíme-li jiak. Co to zameá složité chováí? Volě řečeo, složitým chováím myslíme chováí, které je omezeé, eutuchající, eperiodické. Co to je dyamický systém? Uvažujme systém (apř. mechaický, elektrický, chemický či biologický), jehož stav lze za jistých zjedodušujících předpokladů popsat v každém časovém okamžiku t souborem reálých proměých xt () R, a echť teto jeho stav jedozačě vyplývá ze stavu v počátečím okamžiku. Ozačme symbolem φ t ( x) stav systému v čase t, jestliže jeho stav v čase byl x. Potom xt ( ) = φt ( ( t xt )) bude stav systému v čase t, jestliže jeho stav v čase t byl xt ( ). Možiu všech stavů systému azýváme stavový eboli fázový prostor. Zobrazeí φ: R R R se azývá dyamický systém a R, jestliže:. φ ( x) = x pro všecha x R. Volě řečeo: vývoj za ulový čas ic ezměí.

2 č. 6 Čs. čas. fyz. 58 (8) 39. Zobrazeí φ: t R R je difeomorfismus, tedy zobrazeí, které je vzájemě jedozačé, spojité a hladké, a to samé platí i o jeho iverzím zobrazeí. Volě řečeo: určitému stavu v současosti přísluší určitý a jediý stav v libovolém okamžiku v budoucosti i v miulosti (který ovšem závisí a čase). 3. φt o φs = φ t + s pro všecha t, s R. Tedy skládáí vývojů odpovídá sčítaí časů. V praxi se často místo se zobrazeím φ (azývaým také tok) pracuje s vektorovým polem f : R R a pravé straě soustavy obyčejých difereciálích rovic (ODR) dx f( x) dt =. () Ozačíme-li stav systému místo symbolem x slovem stav a azveme-li předpis, který stavu systému přiřazuje rychlost změy (hací sílu), místo symbolem f slovem fyzika, dostaeme s trochou adsázky d stav = fyzika (stav). dt Soustava ODR () defiuje dyamický systém se spojitým časem (spojitý dyamický systém), zatímco diferečí rovice x = + f( x) () defiuje dyamický systém s diskrétím časem (diskrétí dyamický systém). Hovoříme-li tedy o vlastostech dyamického systému, musíme vždy rozlišovat, máme-li a mysli systém s diskrétím či se spojitým časem. Z toku φ lze sado ajít pole f pro () derivováím dφt ( x) f( x) t= dt Obráceý postup je složitější. Je-li pole f v () Lipschitzovské, tj. k > x, y R f( x) f( y) k x y, pak k daému poli f existuje jedozačý lokálí tok φ (a tedy i jedozačé řešeí daé soustavy difereciálích rovic), ale až a výjimečě jedoduché případy jej elze vyjádřit aalyticky. Podobě jako dovedeme derivovat každou hladkou fukci, ale vyjádřit primitiví fukci aalyticky je, až a výjimečě jedoduché případy, emožé. Proč se zdůrazňuje, že jde o elieárí dyamický systém? Dyamické systémy, a to platí pro diskrétí i spojité, se dělí a dvě disjuktí třídy: lieárí a elieárí, podle toho, je-li zobrazeí f lieárí, či ikoliv. Připomeňme defiici lieárího zobrazeí. Defiice. Říkáme, že zobrazeí f z vektorového prostoru do vektorového prostoru je lieárí, jestliže platí. f( cx) = cf( x),. f( x+ y) = f( x) + f( y) pro všecha xy, Df ( ) a pro všecha c R. Lieárí systémy (koečé dimeze) jsou poměrě důkladě teoreticky prozkoumáy, ale jejich řešeí emohou vykazovat chaos. Naproti tomu elieárí systémy jsou pro aalytické zkoumáí obtížé a v řadě případů se musíme (zatím) spokojit pouze s umerickou aalýzou, která silě využívá moderí výpočetí techiku. Právě proto se této oblasti věuje tak velká pozorost až v posledí době. Zdůrazěme ještě, že z praktického pohledu rozdíl mezi lieárím a elieárím systémem může záviset a volbě rozsahu hodot. Např. elektrický zesilovač se pro malá vstupí apětí může chovat lieárě (výstupí apětí je přímo úměré vstupímu), zatímco pro velká vstupí apětí se bude chovat elieárě (výstupí apětí bude omezeé apájecím apětím). Oboru, který studuje elieárí dyamické systémy, se říká elieárí dyamika a zasahuje do aplikovaé a umerické matematiky, fyziky, chemie, chemického ižeýrství, biologie, ekoomie a dalších oborů. Kde se pojem determiistický chaos objevil poprvé? Poprvé byl pojem chaos v této souvislosti použit v práci [7] s des již legedárím ázvem Period three implies chaos. Volě řečeo: jestliže pro ějakou spojitou fukci f : R Rv () existuje bod x s periodou 3, tedy bod, pro který platí f( f( f( x))) = x, potom existují body s libovolou periodou. Neí bez zajímavosti, že teto výsledek plye z obecější věty, kterou dříve ež Li a Yorke dokázal Šarkovskij [8]. Český kometář k této práci vyšel v []. Jaká je defiice determiistického chaosu? Devaey [6] defiuje determiistický chaos (pro dyamický systém s diskrétím časem) třemi podmíkami:. citlivá závislost a počátečích podmíkách,. hustá možia periodických bodů, 3. trazitivost. Co to je citlivá závislost a počátečích podmíkách? Sledujme, co se stae, jestliže epatrě změíme počátečí podmíku x () pro ODR (), resp. x pro (). Je-li změa malá a je-li pravá straa ODR spojitá, bude i změa pravé stray malá, tedy trajektorie vycházející z ové počátečí podmíky bude zpočátku blízká původí trajektorii. Budou-li se všechy takto změěé trajektorie (vycházející z jistého okolí původí počátečí podmíky) držet blízko původí trajektorie, říkáme, že je původí trajektorie stabilí. Naopak citlivou závislostí a počátečích podmíkách azýváme stav, kdy se libovolě blízká trajektorie bude vzdalovat. V typickém případě se bude vzdalovat expoeciálě s časem. Chováí této blízké trajektorie závisí a směru, kterým se počátečí podmíka změí. Existuje-li jak směr, ve kterém je trajektorie stabilí, tak i směr, ve kterém je estabilí, pak takovou trajektorii azýváme sedlo. To je typický případ. Citlivá závislost a počátečích podmíkách má řadu závažých důsledků, jak pro umerické simulace, tak pro možost předpovídáí chováí systému. Závěrem tohoto odstavce bychom chtěli zdůrazit rozdíl mezi citlivou závislostí a počátečích podmíkách, která hovoří o rozbíháí trajektorií vycházejících ze dvou blízkých počátečích podmíek pro stejou volbu parametrů, a bifurkací, která zameá kvalitativí změu fázového portrétu, když vybraý parametr systému překročí kritickou, tzv. bifurkačí hodotu.

3 33 Determiistický chaos Co to je hustá možia periodických bodů? Periodickým bodem dyamického systému () rozumíme bod x, pro ějž existuje přirozeé číslo k takové, k že k-tá iterace bodu x je rova bodu x, tedy f ( x) = x. Nejmeší takové číslo k se azývá perioda bodu x. Bod s periodou se azývá pevý bod. Říkáme, že možia A je hustá v možiě B, jestliže pro každé > a každý bod y B existuje bod x A takový, že x y <. Příklad: Ukažme si systém s hustou možiou periodických bodů. Uvažujme dyamický systém (azývaý Beroulliho shift čili posu) x = f( x ), kde f( x) = + xmod (3) pro x < ) ;, viz obr.. f () x Obr. Beroulliho shift představuje elemetárí příklad systému s hustou možiou periodických bodů a také elemetárí příklad determiistického chaosu. Zapíšeme-li číslo x < ) ; ve dvojkové soustavě, potom s každou iterací fukce f se díky ásobeí dvěma všechy číslice posuou o jedo místo doleva. A díky operaci mod se vyulují všecha místa vlevo od desetié čárky. Ukážeme, že toto zobrazeí má hustou možiu periodických bodů. Ke každému y < ) ; a ke každému > vytvoříme x < ) ; tak, aby. x byl periodický bod systému (3), tedy aby určitá iterace fukce f a teto bod dala opět teto bod; to ale v případě Beroulliho shiftu vlastě zameá, že se určitá koečá posloupost číslic v dvojkovém zápisu čísla x musí periodicky opakovat, a. aby byl bod x bodu y blíže ež. K tomu je uté a stačí, aby se dvojkové zápisy čísel x a y shodovaly a prvích k místech, kde k je l zaokrouhleo ahoru. Takže číslo x vytvoříme tak, že opíšeme prvích k dvojkových číslic čísla y a za ě tuto stejou skupiku číslic periodicky stále opisujeme. Tak dostaeme bod x s periodou k, který se a prvích k místech shoduje s y, takže je od ěj vzdále méě ež. Teto dyamický systém je důležitý, protože je to také elemetárí příklad systému vykazující determiistický chaos. Co to zameá trazitivost? Defiice: Zobrazeí f : X X je (topologicky) trazitiví a ějaké ivariatí možiě Y, jestliže orbita {f (p)} ějakého bodu p je hustá v Y. x Birkhoff dokázal, že f je trazitiví a Y právě tehdy, když pro libovolé dvě možiy U, V otevřeé v Y existuje kladé takové, že f ( U) V. Volě řečeo, že se odkudkoliv (občas) dostaeme libovolě blízko kamkoliv. Co to zameá míchající systém? To je silější podmíka: f je míchající, když pro libovolé dvě otevřeé možiy U, V Yexistuje takové, že f ( U) V pro všecha >. Volě řečeo, obrazy U se jedou překryjí s V a už ji ikdy zcela eopustí. Jsou tyto tři podmíky v Devaeyho defiici chaosu ezávislé? Nejsou. Např. Baks et al. [4] dokázali, že z trazitivity a husté možiy periodických bodů plye citlivá závislost a počátečích podmíkách. Co to jsou Ljapuovovy expoety? Ljapuovovy expoety jsou čísla, která popisují rozbíhavost blízkých trajektorií. Zhruba řečeo, vzdáleost blízkých trajektorií je úměrá exp(λ) pro diskrétí čas a exp(λt) pro spojitý čas, kde λ je Ljapuovův expoet. Kladé λ začí rozbíháí, záporé λ začí přibližováí trajektorií. Je-li alespoň jede Ljapuovův expoet kladý, je to považováo za dostatečý sigál, že se studovaý systém chová chaoticky (pro zvoleé počátečí podmíky a zvoleé hodoty parametrů). Trochu přesěji, pro dyamický systém s diskrétím časem x+ = f( x) lze časový vývoj odchylky vyjádřit difereciálem dx = J ( x) + dx,kde fi Jij = x j je Jacobiho matice parciálích derivací zobrazeí f. Potom dx = J ( x ) dx i= je lieárí závislost dx a dx. Tedy obrazem jedotkové koule je elipsoid. Ljapuovovy expoety jsou středí hodoty logaritmu rychlosti růstu jeho poloos dx λ ( dx ) = lim l. dx Ty závisí a volbě dx. Pro růzé volby dx dostaeme tolik Ljapuovových expoetů, kolik je dimeze stavového prostoru (tolik poloos má výše zmíěý elipsoid). A ejvětší Ljapuovův expoet je λmax = sup λ( dx ). dx Tuto hodotu dostaeme pro skoro všechy volby dx. Pro dyamický systém se spojitým časem dx f( x) dt = lze časový vývoj odchylky yt () = δ xt () vyjádřit variačí rovicí dy J( x( t)) y( t) dt =. Zde závislost yt () a y () je opět lieárí a tedy obrazem jedotkové koule je opět elipsoid. Ljapuovovy expoety jsou opět středí hodoty logaritmu rychlosti růstu jeho poloos yt ( ) λ( y()) = lim l T T y() a ejvětší Ljapuovův expoet je opět λ = sup λ( y()). max y() i

4 č. 6 Čs. čas. fyz. 58 (8) 33 Tuto hodotu dostaeme opět pro skoro všechy volby y (). Určité hodoty Ljapuovových expoetů přísluší jedé kokrétí orbitě = (pro diskrétí čas), popř. jedé kokrétí trajektorii x(t) (pro spojitý čas), tedy určité počátečí podmíce a určité volbě hodot parametrů, pokud zobrazeí f závisí a parametrech. Vyšetřováí závislosti Ljapuovových expoetů a počátečích podmíkách a a parametrech patří mezi časté úlohy, které odhalí o systému důležité iformace využitelé i z praktického hlediska. Jak se Ljapuovovy expoety počítají? Hledáí Ljapuovových expoetů se provádí dvěma zcela rozdílými způsoby podle toho, je-li zám dyamický systém, ebo e:. Je-li zám model, můžeme použít postup uvedeý v předchozí části, tedy umerickou itegrací variačích rovic spolu s původí soustavou ODR v případě spojitého času, ebo ásobeí Jacobiho matic v případě diskrétího času.. Neí-li zám model a máme k dispozici pouze experimetálí data apř. v podobě časové řady, musíme ejprve použít metodu zpožděí pro rekostrukci atraktoru a potom počítat Ljapuovovy expoety porováím změ vzdáleostí blízkých bodů a jejich ásledovíků. Zde se budeme zabývat pouze případem, kdy je model zám. Můžeme si uvést ějaký příklad? Spočtěme Ljapuovův expoet pro systém (3). Protože se jedá o jedorozměrý systém, má jediý Ljapuovův expoet. A protože f ( x) =, je Ljapuovův expoet λ= λ l ezávisle a počátečí podmíce. Teto systém emá parametry, takže elze vyšetřovat závislost Ljapuovových expoetů a parametrech. Ještě jede příklad? Uvažujme ply při pokojové teplotě za ormálího tlaku uzavřeý v ádobě tvaru kvádru, viz [8]. Jeho molekuly vzájemými srážkami eustále měí své polohy a rychlosti. Odhaděme ejvětší Ljapuovův expoet λ max odpovídající dyamice jejich vzájemých srážek. Předpokládejme pro jedoduchost, že molekuly plyu jsou idetické koule. Bylo by sice zajímavější uvažovat dvouatomárí ply, protože to je blíže vzduchu, ve kterém žijeme, ale ám zde bude stačit toto hrubé přiblížeí pro alespoň řádový odhad Ljapuovova expoetu. Srážku dvou molekul popíšeme v takové souřadé soustavě, kde je jejich společé těžiště v klidu a v počátku soustavy. Z obr. lze odvodit závislost úhlu α, ve kterém je zalomea dráha molekuly, a vzdáleosti b středu molekuly od přímky procházející počátkem a rovoběžé s rychlostmi molekul před srážkou α = π arcsi b, d kde d je průměr molekuly. Malá změa δα α směru dráhy jedé molekuly se 6 po středí volé dráze l m molekuly mezi dvěma srážkami projeví jako δb lδαα, a tato změa se po srážce projeví jako ová změa úhlu 4 4 4l δαα = δb δb δαα, d siα / d d takže po srážkách bude odchylka a Obr. Dvě molekuly (a) před srážkou, (b) při srážce, (c) po srážce. 4l δα δα. d Ozačíme-li středí dobu mezi dvěma srážkami l T =, v kde 3kBT v = m je středí kvadratická rychlost molekul, k B 38, 3 J/K je Boltzmaova kostata, T 3 K je absolutí teplota, m 5 kg je hmotost jedé molekuly, 6 5 d m je průměr molekuly, ρ 3 m 3 je počet částic a jedotku objemu, bude ejvětší Ljapuovův expoet δαα v 4l 9 λmax = lim l l 5 at/s. / s. T δαα l d Jedotka at začí, že jsme použili přirozeý logaritmus kdybychom použili dekadický logaritmus, byl by výsledek v digits/s. Jaký je rozdíl mezi disipativím a kozervativím systémem? Máme-li determiistický dyamický systém, apř. soustavu obyčejých difereciálích rovic, potom je-li pravá straa ODR Lipschitzovská, z každé počátečí podmíky z každého bodu ve fázovém prostoru vychází právě jeda trajektorie křivka ve fázovém prostoru. Uvažujme yí malou kouli počátečích podmíek a její vývoj v čase. Teto útvar, původě koule v čase, se bude s časem deformovat. Důležitá otázka je, jak se měí s časem t objem V(t) tohoto útvaru dv = o f ds= div f dv. dt St () Vt () Dyamické systémy, pro které je teto objem v čase kostatí, tedy pro které je div f =, se ěkdy azývají kozervativí. Sem patří apř. hamiltoovské systémy. Tyto systémy se objevují jako modely mechaických systémů, kde euvažujeme disipaci eergie třeím (eergie je tedy zachováa, agl. coserved odtud ázev kozervativí), a používají se při popisu mikroskopických systémů a také při studiu ebeské mechaiky. Ve skutečosti vždy k disipaci eergie dochází (apř. v případě ebeské mechaiky slapové síly vyvolávají příliv a odliv, čímž je část mechaické eergie disipováa). Naproti tomu u modelů, které popisují systémy s lidskými měřítky, bývá div f <. Takovéto systémy se azývají disipativí a objem sledovaé oblasti fázového prostoru s časem klesá k ule. b c

5 33 Determiistický chaos» Pro chaotické chováí je typická citlivá závislost a počátečích podmíkách. «Co to je atraktor? Zhruba řečeo, atraktor je možia ve fázovém prostoru, ke které jsou přitahováy (atrahováy) trajektorie. Přesěji: je to možia, která splňuje tyto tři podmíky: Je ivariatí, tz. že trajektorie, která v této možiě začíá, ji eopustí. Má oblast přitažlivosti, tj. otevřeou možiu takovou, že trajektorie, které v této možiě začíají, se přibližují k atraktoru. Je erozložitelá, tz. že emá vlastí podmožiu (tj. podmožiu, která se erová této možiě), která splňuje výše uvedeé dvě podmíky. Daý dyamický systém může mít jede ebo více koexistujících atraktorů. Každý atraktor pak má svoji oblast přitažlivosti. Ke kterému z možých atraktorů se určitá trajektorie bude přibližovat, závisí a počátečích podmíkách. Opakem atraktoru je repelor, tedy možia, od které se trajektorie vzdalují. Při iverzi času přejde atraktor a repelor a aopak. Pokud je ivariatí možia stabilí pouze v určitém směru a v jiém směru estabilí, pak se azývá sedlo. Co to je fraktál? Volě řečeo, fraktál je možia, která má velice čleitou hraici. Když se a tuto hraici podíváme v jemějším měřítku (des se říká, že provedeme zoom), tak objevíme další detaily, které mohou být podobé původímu obrazu. Proto se takovým možiám také říká samopodobé (self-similar). Jak souvisí fraktály a chaos? Při studiu dyamických systémů se často setkáme s fraktály ve dvou růzých případech: Atraktor chaotického dyamického systému může (ale emusí) být fraktálem. Při studiu závislosti typu chováí dyamického systému a vybraých parametrech systému ebo a počátečích podmíkách může možia v parametrickém prostoru, která odpovídá daému typu chováí, mít fraktálí strukturu. Jak vziká fraktálí atraktor? Pro chaotické chováí je typická citlivá závislost a počátečích podmíkách. Takže aše koule ve fázovém prostoru se bude v jedom (ebo více) směrech roztahovat a v jiých směrech aopak smršťovat. Počet směrů, ve kterých se roztahuje, je rove počtu kladých Ljapuovových expoetů. V případě modelů reálých fyzikálích systémů je vývoj omeze v jisté ohraičeé části fázového prostoru. Potom vedle roztahováí musí docházet ke skládáí (agl. stretchig ad foldig). To je schematicky zázorěo a obr. 3. Obr. 3 Schematické zázorěí roztahováí a skládáí ve fázovém prostoru. Malá koule počátečích podmíek se roztahuje v ěkterých směrech a současě smršťuje v jiých směrech. Přitom se teto útvar ohýbá a skládá tak, že vyplí podobou část fázového prostoru jako původí koule, ale řidčeji prostředí část chybí. Teto proces se eustále opakuje, čímž vziká fraktálí struktura. Při jedom takovém kroku dostaeme útvar, ve kterém v průřezu chybí prostředí část o relativí velikosti q, apř. 33 %. V dalším kroku ze zbývajících krajích častí opět zmizí jejich prostředí část o relativí velikosti q atd. Po ekoečě moha takovýchto krocích vzike útvar, který se azývá Catorova možia. Spočtěme si kapacití dimezi Catorovy možiy, kterou dostaeme z jedotkové úsečky tak, že při každém kroku odstraíme z každé souvislé části prostředí díl o relativí velikosti q. Dimezi lieárího vektorového prostoru lze defiovat jako počet prvků báze. Např. dimeze přímky je, dimeze roviy je. Kapacití dimeze (agl. capacity dimesio ebo také box coutig dimesio) daé možiy je zobecěím pojmu dimeze ásledujícím způsobem. Nechť N() je ejmeší počet hyperkrychliček o hraě utých pro pokrytí daé možiy. Např. pro pokrytí jedotkové úsečky úsečkami o délce je třeba alespoň N() = těchto malých úseček. Říkáme, že úsečka má dimezi. Pro pokrytí jedotkového čtverce malými čtverečky o délce hray je třeba alespoň N() = ( ) těchto malých čtverečků. Říkáme, že čtverec má dimezi. Pro pokrytí jedotkové krychle malými krychličkami o délce hray je třeba 3 alespoň N() = ( ) těchto malých krychliček. Říkáme, že krychle má dimezi 3. Kapacití dimeze je defiováa jako expoet ve vztahu mezi utým počtem N malých hyperkrychliček o délce hray a jejich hraou D N( ), tedy l N( ) D = lim. (4) + l Vraťme se zpět k aší Catorově možiě. Po děleích je třeba N = úseček o délce q =, takže její kapacití dimeze je l N l l D = lim = lim =. l q l l( q) l Např. pro q = / 3 dostaeme l D = =., l 3 Nabízí se otázka, jaká bude dimeze útvaru, který vzike z úsečky tak, že v každém kroku odstraíme část, která eí prostředí. Ještě obecěji můžeme uvažovat možiu, která se skládá z m podmoži, přičemž k-tá podmožia je r k -krát zmešeá verze původí možiy. Pro přiblížeí, v ašem předcházejícím příkladě Catorovy možiy jsme měli m = a poměry zmešeí byly r = r =. q Hledáme dimezi D, pro kterou platí (4). Pro pokrytí k-té podmožiy hyperkrychličkami o hraě je zapotřebí právě tolik hyperkrychliček jako pro pokrytí celé možiy hyperkrychličkami o hraě r k, tedy N k =. rk D

6 č. 6 Čs. čas. fyz. 58 (8) 333 Součet těchto čísel je počet hyperkrychliček utých pro pokrytí celé možiy, tedy a tak dostáváme vztah m Nk = N, k = D D m =, k = rk m =, k = rk z ěhož lze určit dimezi i v tomto obecém případě. Jak souvisí dyamika a fraktálí atraktor? Odvoďme kvalitativí vztah mezi časovým popisem chaotičosti dyamického systému, tedy Ljapuovovými expoety, a jedé straě a statickými geometrickými vlastostmi traktoru, tedy jeho kapacití dimezí, a straě druhé. Uvažujme pro jedoduchost trojrozměrý dyamický systém se spojitým časem se třemi Ljapuovovými expoety: λ > (te souvisí s citlivou závislostí a počátečích podmíkách); λ = (te odpovídá změě počátečí podmíky ve směru trajektorie); λ 3 < (te souvisí se smršťováím). Pro disipativí systém bude λ + λ 3 <. Uvažujme vývoj po takový čas T, aby exp(λ T) =, tedy aby se původí možia počátečích podmíek roztáhla dvakrát. Za tuto dobu se ve směru odpovídajícím smršťováí vytvoří skládáím uprostřed mezera o relativí šířce q a dvě postraí části o relativí šířce q = exp( λ3t ). Takže q = exp(λ 3 T) a kapacití dimeze atraktoru bude l l λ D = + = + = +. l l(exp( λ T)) λ T λ D Dvojka, kterou přidáváme, odpovídá dvěma dalším směrům (směr trajektorie a směr rozpíáí). Teto vztah se azývá Kaplaova-Yorkova doměka a uvádí do souvislosti statické vlastosti atraktoru vyjádřeé dimezí a dyamické vlastosti vyjádřeé Ljapuovovými expoety. Musí být podivý atraktor chaotický a aopak? Atraktory, které mají eceločíselou dimezi, se azývají podivé (agl. strage) atraktory. Atraktory dyamických systémů s citlivou závislostí a počátečích podmíkách se azývají chaotické atraktory. Protože je častý případ, kdy je atraktor jak podivý, tak chaotický, bývají tyto dva pojmy často zaměňováy. Přesto existují i podivé echaotické atraktory [4, 5]. Jak vzikají fraktály v parametrickém prostoru? Uvažujme apř. diskrétí dyamický systém se dvěma parametry x+ = fa, b( x), () kde f ( ) si( ) ab, x = a π x + b. Pro a = b = má teto systém jediý pevý bod x =, který je stabilí. Při rostoucím parametru a ztratí pevý 4 3 a 3 4 Obr. 4 Závislost Ljapuovova expoetu systému (5) a parametrech a a b bod x = stabilitu, když parametr a překročí kritickou hodotu a = π =., 383, a dojde k bifurkaci typu vidlička (pitchfork bifurcatio). Při í vlastí číslo liearizovaého systému (derivace fukce f) opustí jedotkovou kružici v bodě z =. Vzike dvojice ových pevých bodů, které jsou stabilí. Při dalším zvětšováí parametru a dojde k bifurkaci zdvojeí periody (period doublig bifurcatio) při překročeí kritické hodoty a =., Při této bifurkaci vlastí číslo liearizovaého systému opustí jedotkovou kružici v bodě z =, tyto dva pevé body ztratí stabilitu a z každého z ich se odvětví křivka dvouperiodických bodů.,8,6,4 a,,6,8,,4 Obr. 5 Výřez z obrázku ukazující fraktálí strukturu v parametrickém prostoru b b

7 334 Determiistický chaos» Na chaosu je krásé, že touto citlivou závislostí a počátečích podmíkách, tímto roztahováím ve fázovém prostoru příběh ekočí. Vzápětí astává skládáí a děj se opakuje, ale ikdy e stejě. «Následuje Feigebaumova kaskáda zdvojováí periody a oblast determiistického chaosu. Při dalším růstu parametru a se střídají oka s periodickým a chaotickým režimem. Pevý bod je řešeím rovice fab, ( x) = x. Je-li avíc f ab( x, ) =,azývá se takový pevý bod superstabilí. Jeho Ljapuovův expoet N λ = lim l f ( x ) N N = je λ =. Sado lze odvodit, že tyto superstabilí pevé body ašeho dyamického systému odpovídají parametrům, které splňují podmíku b± a = k+, k Z. Tato podmíka popisuje v parametrickém prostoru a b jakousi mřížku tvořeou dvěma soustavami rovoběžých přímek. Vyeseme-li závislost Ljapuovova expoetu a parametrech a a b, dostaeme obr. 4. Te má fraktálí strukturu, kterou lze pozorovat při zobrazeí detailu a obr. 5. Proč fraktály tak lahodí lidskému oku? Protože jsou časté v přírodě, zejméa v živé přírodě: koruy stromů, kořey rostli, cévy v lidském těle, struktura ašich plicích sklípků to jsou případy, kde příroda dociluje velkého povrchu při malém počtu stavebích kameů strukturou, kterou (a jistém rozsahu měřítek) lze považovat za fraktálí. Vyskytují se fraktály v uměí? Fraktálí struktura je lidskému oku příjemá tím, že když se podíváme zblízka, máme stále co objevovat. A proto se fraktály objevují s oblibou i ve výtvarém uměí. Jedím z ejzámějších malířů, který se vydal tímto směrem, je Maurits Corelis Escher (898 97) [7], viz obr. 6; z českých malířů Fratišek Kupka (87 957), viz obr. 7. Setkáme se s chaosem v běžém životě? S citlivou závislostí a počátečích podmíkách, typickou pro determiistický chaos, se setkáváme a každém kroku. Většiou je to výsledek kladé zpěté vazby, tedy děje, kdy jistá odchylka má za ásledek další růst této odchylky. Obr. 6 Obrazy M. C. Eschera připomíají fraktálí možiy. Obr. 7 Fratišek Kupka, rodák z Opoča, byl jedím z prvích českých malířů, v jejichž dílech se objevují fraktálí motivy. Např. podikatel, který má a začátku je o trochu větší kapitál ež jeho kokuret, si může dovolit akoupit dokoalejší techologii. Tím má větší produktivitu práce, větší zisk, tím si může dovolit ještě dokoalejší techologii, tím má ještě větší zisk atd. Nebo představte si polí cestu. Utvoří-li se a í maliká jamka, bude v í po dešti maliká kaluž. Projede po í automobil a tuto malikou kaluž vyšplouche. Tím prohloubí jamku. Při dalším dešti se v í vytvoří větší kaluž, další automobil vyšplouche více bláta, tím se jamka dále prohloubí atd. Něco podobého se odehrává i ve vztahu dvou lidí, apř. studeta a studetky. Vzike-li mezi imi ákloost maliko větší ež mezi ostatími, budou více vyhledávat společé chvíle. Tím se více pozají, prohloubí se jejich vzájemá ákloost atd. Podobou estabilitu vykazuje i lidská společost jako celek v otázce vyzbrojeí. Jede ávrh a řešeí problému ásilí a válek dává pacifismus: bylo by to krásé, kdybychom zičili všechy zbraě. Pak by koečě zavládl mír. Teto stav by ale byl estabilí: kdyby si ěkterý jediec či skupia lidí pořídili malou zbraň, získali by malou převahu ad okolím, moceskou i hmotou. Tím by si mohli dovolit pořídit větší zbraň a tím by získali větší převahu atd. Na chaosu je krásé, že touto citlivou závislostí a počátečích podmíkách, tímto roztahováím ve fázovém prostoru příběh ekočí. Vzápětí astává skládáí a děj se opakuje, ale ikdy e stejě. Jaké jsou důsledky chaosu a předpovídatelost? Citlivá závislost a počátečích podmíkách představuje omezeí možosti čiit předpovědi. Jestliže je ejvětší Ljapuovův expoet systému λmax > a záme-li současý stav systému s přesostí iitial, pak epřesost roste expoeciálě s časem exp( λ t). t iitial Požadujeme-li předpověď stavu systému s přesostí fial za čas t, emůže být teto čas větší ež t l max fial Ljap λmax. iitial To je zásadí omezeí, o kterém se v současosti míí, že je elze obejít.

8 č. 6 Čs. čas. fyz. 58 (8) 335 Co to je efekt motýlích křídel? Citlivá závislost a počátečích podmíkách má ještě další důsledky. Neježe malá chyba určeí počátečího stavu přeroste požadovaou chybu předpovědi, ale i sebemeší odchylka stavu se v koečé době projeví jako odchylka srovatelá s velikostí stavových veliči. Tomu se ěkdy říká efekt motýlích křídel. V literatuře to bývá ilustrováo a hypotetickém příkladě, kdy změa prouděí vzduchu způsobeá mávutím motýlích křídel se za koečou dobu může projevit ičivou bouří a druhém koci zeměkoule. Já si dovoluji abídout příjemější ilustraci: mávutí křídel jedé babočky (viz obr. 8) a druhém koci zeměkoule způsobilo, že des se ve vašem městě evyskytla ičivá bouře a vy si můžete v klidu číst teto čláek. Kde kočí determiismus (a začíá áhoda)? Úlohy z teorie elieárích dyamických systémů obvykle patří do jedé ze dvou velkých tříd: Máme k dispozici model ve tvaru difereciálích ebo diferečích rovic sestaveý pomocí fyzikálích a jiých zákoů a základě ašich zalostí o studovaém problému. Potom můžeme vyšetřovat vlastosti řešeí tohoto modelu apř. v závislosti a počátečích podmíkách či parametrech a porovávat umerické výsledky z modelu s experimetálě aměřeými údaji. Model ezáme, máme k dispozici pouze experimetálí data, apř. ve tvaru časové řady jedé ebo více fyzikálích veliči měřeých v závislosti a čase. V tomto druhém, obtížějším případě musíme ejprve rozhodout, lze-li časovou řadu považovat za výstup z ějakého determiistického dyamického systému, ebo zda jde o výsledek děje příliš složitého a to, abychom byli schopi jej popsat determiistickým systémem pak takový děj azýváme áhodým eboli stochastickým, ěkdy šumem. Zdůrazěme, že áhodost eí vlastost systému samotého, ale je to vlastost dvojice: systém a pozorovatel. Systém, který se jedomu pozorovateli může zdát áhodý, tedy překračující jeho schoposti detekovat determiistický původ, se může jiému pozorovateli jevit jako determiistický, apříklad proto, že má k dispozici více iformací. To lze doložit třeba dětskou hrou a rozpočítáváí. Jistě to záte: E-te-tý-ky dva špa-lí-ky, čert vy-le-těl z e-lek-tri-ky Je-li dá počet osob a počet slabik básičky, pak volbou osoby, a kterou pade prví slabika, je jedozačě dáa osoba, a kterou pade posledí slabika. To si děti euvědomují. Dospělí si to uvědomují, a proto hrají jié hry. Neí to tak dávo, kdy a téměř každém českém ádraží bylo možé spatřit skořápkáře muže s malým stolkem, a ěmž měl ěkolik kelímků dem vzhůru. Pod jedím z kelímků byla malá kulička. Na začátku kelímek obrátil, aby vám ukázal, kde je kulička. Pak kelímky chvíli rychle přemísťoval po stolku, a poté vás vyzval, abyste ukázali a kelímek, pod ímž je kulička. Před obráceím kelímku mu dáte ějakou velkou bakovku. Když je kulička pod kelímkem, který obrátíte, dostaeme dvojásobek své sázky. Když eí, edostaete ic. Do deška mi eí jasé, jestli jsem tekrát prohrál 5 koru, protože jsem edával dost pozor, ebo jestli skořápkář podváděl. Obr. 8 Vaessa virgiiesis (americká babočka), motýl, který vám možá zachráil život. Proč? Protože krátce před vyfotografováím Keethem Dwaiem Harrelsoem 4. červa 7 zamával křídly, a tím možá odvrátil ičivou bouři ve vašem městě právě des. Podívejme se podroběji a hraici mezi determiismem a ahodilostí. Zjedodušeě řečeo, o determiistické dyamice hovoříme, jestliže blízké stavy systému mají podobé ásledující vývoje. Abychom získali blízké stavy, musíme mít k dispozici dostatečý počet bodů. Např. abychom mezi body přibližě rovoměrě rozložeými a úsečce jedotkové délky získali dostatek dvojic bodů bližších ež, musíme mít alespoň N bodů. Teto počet roste s dimezí: abychom získali mezi body přibližě rovoměrě rozložeými a jedotkovém čtverci dostatek dvojic bodů bližších ež, musíme mít alespoň N bodů. Pro obecou dimezi D potřebujeme alespoň D N bodů. Kolik potřebujeme bodů, chceme-li odhalit determiistickou dyamiku systému s diskrétím časem s ejvětším Ljapuovovým expoetem λ, tedy systému, ve kterém se body vzdáleé při jedom kroku zobrazí a body vzdáleé exp λ? Potřebujeme tolik bodů, abychom získali dvojice bodů atolik blízké, že i po jedom kroku budou blízké, tedy exp λ <, > exp λ, D > exp( λd), N > exp( λd). (6) Toto je vztah zásadího výzamu při posuzováí mezi determiistickými a tzv. áhodými ději. Je-li dimeze D problému dostatečě ízká a je-li chaotičost systému (vyjádřeá ejvětším Ljapuovovým expoetem) dostatečě malá, pak lze pozorovat determiistic-

9 336 Determiistický chaos ký původ sigálu. Je-li však dimeze problému vysoká (jak je tomu v případě moha systémů z reálého světa) a je-li chaotičost vysoká, je emožé z malého počtu bodů vyčíst zákoitosti, které dávají vzikout studovaému sigálu. Např. pro λ = a D = je požadavek N > exp =. 43 zcela mimo současé (a asi i budoucí) možosti. Dokoce i v případě, že je D ízké, ale λ vysoké atolik, že jejich souči je vysoký, je emožé odhalit determiismus. To je případ běžých geerátorů pseudoáhodých čísel používaých a současých počítačích. Jaká je hraice, kdy se softwarový geerátor pseudoáhodých čísel běžící a determiistickém počítači bude již jevit jako determiistický? Např. geerátor drad 48, který je součástí stadardí kihovy fukcí jazyka C, používá algoritmus x = ( ax + + c)mod m, (7) kde m = 48 (odtud pochází ázev), a = 5DEECE66D 6 3, c =. Výstupem jsou pak hodoty x /m. Sado určíme Ljapuovův expoet λ= l a =. 4, a tedy počet bodů utý pro odhaleí determiistického algoritmu je podle (6) N > exp( λ D) = a =. 3. Takže pokud teto geerátor použijeme pro geerováí méě ež řádově bodů, elze jej považovat za determiistický, což v praxi bohatě stačí. Teto příklad lze použít ještě pro grafické vysvětleí podmíky (6). Budeme-li vyášet do grafu body v roviě o souřadicích (x + /m, x /m), potom pro (7) dostaeme body, které budou přibližě rovoměrě rozložey v jedotkovém čtverci. Při malém počtu bodů ebude patrá žádá struktura v tomto grafu. Teprve při počtu bodů větším ež řádově bude vidět, že body leží a úsečkách, které tvoří graf fukce (7). Tyto úsečky však mají velkou směrici, a tudíž leží blízko u sebe, proto jsou při malém počtu bodů epozorovatelé. Pozameejme ještě, že podmíka (6) je utá, ale e postačující. Např. pro λ =, a D = 3 tato podmíka dává N > exp, 3 =. 3,, což rozhodě ezameá, že ze dvou bodů lze usuzovat a determiistický původ sigálu. Podmíku (6) lze částečě obejít, pokud máme možost volby počátečích podmíek a můžeme pozorovat vývoj z růzých blízkých počátečích podmíek, které máme možost astavovat tak, abychom vytvořili blízké body. Potom epotřebujeme tak vysoký počet bodů. Pozameejme ještě, že i jedoduchá dyamika se zače jevit jako složitá, pokud máme k dispozici e všechy body časové řady, ale pouze každou apř. k-tou hodotu. Potom je Ljapuovův expoet k ásobkem původího Ljapuovova expoetu. =. Co to zameá pro kauzalitu a svobodou vůli? Mohlo by se zdát, že rozdíl mezi determiismem a áhodou tedy spočívá pouze v možství dat, která máme k dispozici. Že kdybychom měli dostatek měřeí, tak bychom mohli každý sigál odhalit jako výsledek determiistického dyamického systému. Tato myšleka se v dějiách lidského pozáí v růzých podobách opakovaě vrací, ejčastěji jako spor mezi kauzalitou (příčiostí) a svobodou vůlí. Nejstarší zprávou o tomto sporu je jediý dochovaý zlomek z díla řeckého filozofa Leukippa (5. st. př.. l.): Ai jeda věc evziká bez příčiy, ale vše vziká z ějakého důvodu (logos) a utosti (aaké). Původí výzam slova aaké byla smyčka a krku otroka, tedy ěco, co omezuje pohyb a svobodu. Aaké byla také řecká bohyě osudu a utosti. Její povaha byla velmi eměá, a tak eměla moho chrámů, protože lidé se domívali, že by si její přízeň takto ezískali. Představa absolutí determiovaosti veškerého děí a světě ale byla těžko přijatelá (a je dodes [3, ]). To se pokouší řešit již řecký filozof Epikúros ze Samu (34 7 př.. l.) tím, že zavádí pareklizi, malou odchylku od řádu utosti, kterou atomy projevují svoji svobodou vůli. Opět, a ve vyostřeější podobě, se otázka determiismu vyořuje po úspěších ewtoovské mechaiky, kdy se zdálo, že Newtoův gravitačí záko spolu s Newtoovými pohybovými zákoy umožňují vysvětlit pohyb plaet aší sluečí soustavy. Fracouzský matematik a astroom Pierre Laplace (749 87) přichází s představou bytosti (později azvaou Laplaceův démo), která obdařea dokoalými výpočetími možostmi a dokoalou zalostí počátečích podmíek (zde poloha a rychlost všech hmotých bodů v daém časovém okamžiku) by byla schopa určit stav systému v libovolém okamžiku v budoucosti i v miulosti. Fyzika počátku. století ám k otázce determiismu podala další důležité příspěvky: teorii relativity a kvatovou mechaiku. Albert Eistei ( ) ve speciálí teorii relativity ukázal, že pojem současosti eí absolutí, ale závisí a rychlosti pohybu pozorovatele. A v obecé teorii relativity ukázal, že Newtoův gravitačí záko, který přivedl Laplace k myšlece démoa, platí je přibližě. Dále des víme, že silové působeí a dálku se eděje okamžitě, ale s určitým zpožděím, které z koečě dimezioálího dyamického systému dělá ekoečě dimezioáí systém. Werer Karl Heiseberg (9 976) odvodil relace eurčitosti, které vylučují současou přesou zalost polohy a hybosti (tedy rychlosti) částice. Podívejme se teď a otázku determiismu z jistého adhledu. Především každý člověk má zkušeost své vlastí svobodé vůle. Tu elze sice dokázat ai odvodit, ale tato vlastí zkušeost je silá. Kromě jiého by bylo epraktické svobodou vůli vylučovat také proto, že by tím padal celý práví řád, a kterém stojí současá lidská civilizace. Protože jak by bylo možé trestat zloděje, kdybychom tvrdili, že tak jedal e z vlastí vůle, ale podle determiistických zákoů, které řídí veškeré děí tohoto světa? Jak je to tedy s platostí fyzikálích zákoů? Platí, ebo eplatí? Je příroda determiistická, ebo e? Je áš osud urče stavem vesmíru těsě po velkém třesku, ebo jsme my, lidé, svobodé bytosti? Tyto otázky jsou výsledkem velkého edorozuměí. To spočívá v přeceňováí fyziky a toho, co azýváme přírodími zákoy. Přírodí zákoy totiž eplatí v absolutí míře. Máme tři druhy zákoů: boží, práví a fyzikálí. A žádé z těchto zákoů epředstavují absolutí omezeí. Boží zákoy, aiž bychom zde řešili otázku, kdo je jejich autorem, představují velice dobrá doporučeí. Např. ezabiješ, epokradeš. Ale člověk má svobodu tato doporučeí porušit s tím, že poese ásledky svých čiů. Podobě je to s právími zákoy. Ale co fyzikálí zákoy? Když říkáme, že ai fyzikálí zákoy eplatí absolutě, emáme tím a mysli, že by se člověk mohl apř. rozhodout, že se vzese a proletí se vzduchem,

10 č. 6 Čs. čas. fyz. 58 (8) 337 sluečí soustavou či časem. Ai svobodá vůle člověka eí absolutí. Většia fyzikálích tvrzeí je doprovázea velkým možstvím evysloveých předpokladů. A determiistický chaos ám dává dobrou příležitost jede důležitý evysloveý předpoklad si připomeout. Je to přesost. Neje každý aměřeý výsledek má svoji koečou přesost, ale i každý fyzikálí záko má svoji koečou oblast platosti. Dokoce i každý fyzikálí pojem má svoji koečou oblast, kde má smysl. Přesost aměřeého výsledku je dáa metodou měřeí, zejméa měřicím přístrojem. Oblast platosti fyzikálího zákoa je obvykle tak široká, že ji eí třeba v běžé praxi brát v úvahu. Nicméě přesost tu hraje roli jakéhosi horizotu. Tak jako horizot v běžém slova smyslu je pomyslá čára kolem ás ěkde a blízkých pahorcích, která odděluje tu část krajiy, jež z ašeho staoviště vidíme, od té, kterou evidíme, tak horizot daý přesostí představuje hraici, kam až platí aše tvrzeí. Uvažujme apř. Ohmův záko U = RI. Platí absolutě přesě? Nikoliv. Např. platí je pro malé proudy I, protože při velkém proudu se uvolňovaým Joulovým teplem mohou zásadě změit vlastosti vodiče. Platí pro libovolě malé proudy? Nikoliv. Je-li apř. elektrický proud v kovovém vodiči tvoře proudem elektroů o áboji e po dobu t s, pak emá smysl uvažovat proud meší ež e 9 Imi =., 6 A. t A tato hodota představuje eje miimálí proud, který má smysl uvažovat, ale i přesost, do jaké má smysl vůbec uvažovat elektrický proud po dobu jedé sekudy jako fyzikálí veličiu. To je samozřejmě pro moho aplikací zcela dostačující přesost. Teto horizot přesosti zače být důležitý, potřebujeme-li uvažovat o přesém určeí počátečích podmíek, apř. pro předpovídáí chováí chaotického dyamického systému. Nezapomíejme, že i samotý pojem elemetárí částice je pouze model lidská myšleková kostrukce, která velice dobře popisuje malou část světa v ěkterých situacích. Stará otázka Je elektro vla, ebo částice? emá odpověď ai vla ai částice. Jak vla, tak částice jsou je lidské modely. Skutečost je mohem složitější a pouze a určitém stupi přesosti (tedy do jistého horizotu) je rozumé používat tyto modely. A jak to vypadá za horizotem? Můžeme si říci za horizotem může být cokoliv (jako Homérův Odysseus) a ebo co se aučím tady, to použiji i za horizotem (jako Kryštof Kolumbus). Dějiy lidského pozáí jsou eustálé posouváí horizotu směrem k větším přesostem a eustálé objevováí ových zákoitostí. Každý teto záko a každý pojem, který se v ěm vyskytuje, má svoji omezeou oblast platosti a smyslu. Neí důvod domívat se, že to, co jsme objevili dodes, bude platit i daleko za současým horizotem. Neí ai důvod domívat se, že současé ástroje pro popis skutečosti (apř. difereciálí a diferečí rovice) budou stále tím ejlepším ástrojem. Tím méě je důvod domívat se, že ěkdy člověk objeví defiitiví záko veškerého děí a světě. Protože čím dál jdeme v tomto posouváí horizotu přesosti, tím máme sice dokoalejší výpočetí i měřicí techiku, ale tím jsme také dále od aší běžé lidské zkušeosti. A tak, jako jsme si vyvrátili pojem elektrického proudu coby fyzikálí veličiy s absolutí platostí, tak podobě můžeme u každé fyzikálí veličiy ajít omezeou oblast, kde má smysl ji uvažovat. Podobě apříklad teplota a tlak, tak důležité veličiy pro staoveí současého stavu a tedy i pro předpovídáí počasí, jsou pouze středí hodoty souboru velkého počtu částic. To však lze říci o všech fyzikálích veličiách, apř. i času. Čas eexistuje v přírodě jako ějaká objektiví realita. Je to pouze lidská myšleková kostrukce. To ás vede k závěru, že fyzikálí zákoy jsou sice velice užitečé a i krásé, ale jsou to pouze lidské myšlekové výtvory vhodé pro přibližý popis skutečosti. Teto popis je často atolik blízký skutečosti samé, že s í bývá ztotožňová. Právě ta vysoká míra přesosti je ebezpečá, protože vytváří toto pokušeí. Takže odpověď a otázku, je-li svět determiistický, či ikoliv, eí ai ao ai e. Odpověď zí: svět existuje, svět se vyvíjí, my jej pozorujeme, jsme součástí světa, jedotlivé části světa se avzájem ovlivňují. Člověk pozoruje děí kolem sebe (a i děí v sobě) a vytváří si modely myšlekové kostrukce, které jsou krásé a užitečé pro tříděí těchto pozorováí a pro částečé předpovídáí dějů. Tyto modely mohou být determiistické ebo stochastické, ale jsou to je přibližé modely. Kde se lze dozvědět více? O chaosu bylo apsáo epřeberé možství kih i čláků v časopisech jak odborých, tak populárích. Vyvážeostí mezi srozumitelostí a hloubkou se vyzačuje []. Vztahem mezi elieárí dyamikou a statistickou mechaikou se zabývá [8]. Zpracováí experimetálích dat se věuje [, 4]. Populárí pohled přiáší [9]. Rozsahem citovaé literatury vyiká [8]. Většia prací je v agličtiě, přesto i v češtiě ajdeme zajímavé práce [9, 3,, 5, 6]. Teto čláek je shrutím předášek [6] a [7] a rozšířeím příspěvku do sboríku [] ze semiáře Matematika a vysokých školách. Vedle papírových prameů des existuje bohatá literatura v elektroické podobě. Občas to jsou díla rozsahem a hloubkou plě srovatelá s papírovými, apř. [5]. Často to jsou však krátké texty mající růzou úroveň. Díky vyhledávacím ástrojům jako Google [] v ich lze sado hledat. Mezi užitečé zdroje iformací rozhodě patří UK Noliear News (Nelieárí»...fyzikálí zákoy jsou sice velice užitečé a i krásé, ale jsou to pouze lidské myšlekové výtvory vhodé pro přibližý popis skutečosti. «

11 338 Determiistický chaos»...ezastupitelou úlohu při studiu determiistického chaosu hraje vlastí prožitek. «zprávy Spojeého království) [9] a Noliear Sciece FAQ (Frequetly Asked Questios Často kladeé otázky) []. Archiv arxiv [3] založeý v roce 99 v Los Alamos Natioal Laboratory původě pro čláky z fyziky vysokých eergií, který v roce přešel do správy Corell Uiversity, des obsahuje plé texty publikací z fyziky, matematiky, eliárích věd, počítačových věd a kvatitativí biologie a představuje rychlý a pohodlý způsob pro sdíleí ových matematických a fyzikálích výsledků. Užitečým zdrojem odborých iformací je Wikipedie otevřeá ecyklopedie [3]. Otevřeá zde zameá, že každý uživatel může kdykoliv a zadarmo číst její obsah, ale také, že každý může její obsah opravovat, upravovat a přispívat. Tím je dosažeo, že jejími spoluautory se mohou stát všichi gramotí obyvatelé této plaety a společě tak vytvořit dílo ebývalého rozsahu a výzamu. Co říci závěrem? Číst literaturu, papírovou či elektroickou, je užitečé, ale podle mé osobí zkušeosti ezastupitelou úlohu při studiu determiistického chaosu hraje vlastí prožitek. Je velice důležité zvolit si ějaký elieárí model, apř. logistické zobrazeí ebo Lorezův model, vybrat si ějaký softwarový ástroj (ějaký programovací jazyk, apř. C, Fortra, Pascal ebo ještě lépe ějaký vyšší prostředek, apř. Mathematica, Maple, Matlab) a hrát si. Volit si růzé počátečí podmíky, růzé hodoty parametrů a iterovat, itegrovat, simulovat, kotiuovat a kreslit si obrázky a v klidu se a ě dlouze dívat. Je to ispirující a krásé. Přeji vám, milí čteáři, hodě takových krásých zážitků s determiistickým chaosem. Tato práce je podporováa projektem MSM a vzikla díky přístupu k výpočetím zdrojům META- Cetrum v rámci MSM LITERATURA [] H. D. I. Abarbael: Aalysis of Observed Chaotic Data. Spriger-Verlag 996. [] J. Adres: Šarkovského věta a difereciálí rovice, Pokroky matematiky, fyziky a astroomie 49, 5 (4). [3] Archiv čláků arxiv: původě lal.gov. [4] J. Baks, J. Brooks, G. Cairs, G. Davis, P. Stachy: O Devaey s defiitio of chaos, Amer. Math. Mothly 99, 33 (99). [5] P. Cvitaović, R. Artuso, R. Maiieri, G. Taer, G. Vattay: Chaos: Classical ad Quatum; Book.org (Niels Bohr Istitute, Copehage 5). [6] R. Devaey: A Itroductio to Chaotic Dyamical Systems. Addiso-Wesley, New York 989. [7] M. C. Escher: [8] P. Gaspard: Chaos, Scatterig ad Statistical Mechaics. Cambridge Uiversity Press 998. [9] J. Gleick: Chaos, vzik ové vědy. Ado Publ., Praha 996. [] Vyhledávač Google. [] L. Herrma (Ed.): Matematika a vysokých školách. Sborík semiáře Determiismus a chaos. Herbertov [] M. Holodiok, A. Klíč, M. Kubíček, M. Marek: Metody aalýzy elieárích dyamických modelů. Academia, Praha 986. [3] J. Horák, L. Krlí, A. Raidl: Determiistický chaos a jeho fyzikálí aplikace. Academia, Praha 3. [4] H. Katz, T. Schreiber: Noliear time series aalysis. Cambridge Uiversity Press 997. [5] P. Kůrka: Chaotická dyamika. MFF UK Praha 993; [6] V. Kůrková: Fraktálí geometrie, Pokroky matematiky, fyziky a astroomie 34, 67 (989). [7] T. Y. Li, J. Yorke: Period three implies chaos, Amer. Math. Mothly 8, 985 (975). [8] M. Marek, I. Schreiber: Chaotic Behaviour of Determiistic Dissipative Systems. Academia, Praha 99. [9] M. Marek, I. Schreiber: Stochastické chováí determiistických systémů. Academia, Praha 984. [] J. Meiss (Ed.): Noliear Sciece Frequetly Asked Questios; SIAM Dyamical Systems Web: org. [] J. Nosek (Ed.): Chaos, věda a filosofie. FILOSOFIA, akl. Filosofického ústavu AVČR, Praha 999. [] E. Ott: Chaos i Dyamical Systems. Cambridge Uiversity Press. [3] Ottův slovík aučý. J. Otto, Praha 897. [4] P. Pokorý, M. Marek: Origi ad dimesio of strage ochaotic attractors, v: Chaos ad Noliear Mechaics (Eds.: T. Kapitaiak, J. Bridley). World Scietific Series o Noliear Sciece B, 4 (994). [5] P. Pokorý, I. Schreiber, M. Marek: O the route to strageess without chaos i the quasiperiodically forced va der Pol oscillator, Chaos, Solitos ad Fractals 7, 49 (996). [6] P. Pokorý: Chaos je krásý. Zvaá předáška a KMOP MFF UK Praha,. 5.. [7] P. Pokorý: Determiistický chaos a matematické, fyzikálí a filozofické souvislosti. Zvaá předáška JČMF, MFF UK Praha, [8] A. N. Šarkovskij: Sosuščestvovaije ciklov epreryvogo otobražeija v sebja, Ukrai. Matem. Žur., 6 (964). [9] UK Noliear News; [3] Wikipedia: [3] P. Zamarovský: Svobodá vůle, determiismus a fyzika. FEL ČVUT v Praze, ;