DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY"

Transkript

1 DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST OPATŘENÍ: 7.2 ČÍSLO OBLASTI PODPORY: INOVACE VÝUKY INFORMATICKÝCH PŘEDMĚTŮ VE STUDIJNÍCH PROGRAMECH OSTRAVSKÉ UNIVERZITY REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU: CZ..07/2.2.00/ OSTRAVA 202

2

3 Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky Recezet: Doc. Ig. Fratišek Huňka, CSc. Název: Diskrétí matematika pro iformatiky Autor: Prof. RNDr. Ig. Iva Křivý, CSc. Vydáí: prví, 202 Počet stra: 9 Jazyková korektura ebyla provedea, za jazykovou stráku odpovídá autor. Iva Křivý Ostravská uiverzita v Ostravě

4 ANOTACE Předkládaá distačí opora představuje úvod do diskrétí matematiky. Je určea především studetům kombiovaého a distačího studia v ásledujících bakalářských studijích programech akreditovaých a Přírodovědecké fakultě Ostravské uiverzity v Ostravě: Iformatika a Aplikovaá iformatika. Zahruje ásledující témata: základí pojmy (možiy, relace, fukce, matematická idukce), kombiatorika a její aplikace, logické fukce, Booleova algebra a její vlastosti, úvod do teorie grafů.

5

6 ÚVOD ZÁKLADNÍ POJMY 5. Možiy 5.2 Relace 7.3 Fukce 2.4 Matematická idukce 3 2 KOMBINATORIKA 7 2. Variace Permutace Kombiace Kombiatorické pricipy 23 A. Kombiatorický pricip součtu 23 B. Kombiatorický pricip součiu 24 C. Kombiatorické pricip ikluze a exkluze Kombiačí čísla Kombiatorické počítáí 29 3 LOGICKÉ FUNKCE Základí pojmy Formule logiky Ekvivalece formulí Pricip duality Rozklad logických fukcí podle proměých Fukcioálí úplost Fukcioálí uzavřeost Třída logických fukcí zachovávajících kostatu Třída logických fukcí zachovávajících kostatu Třída samoduálích fukcí Třída mootóích fukcí Třída lieárích fukcí 57 Korespodečí úkol pro studety XDIMA 6 Korespodečí úkol prostudety 2DIMA 63 4 USPOŘÁDANÉ STRUKTURY Uspořádaé možiy Svazy Booleova algebra Booleovské fukce Algebraická metoda Karaughova mapa Metoda Quieova - McCluskeiova 79 5 ÚVOD DO TEORIE GRAFŮ Pojem grafu Isomorfismus grafů Reprezetace grafu Souvislost grafu 96

7 5.5 Podgrafy Eulerovské grafy 05 Autotest 3 Výsledky autotestu 5 LITERATURA 7 Doporučeá a rozšiřující literatura 9

8

9 ÚVOD Předkládaá distačí opora (modul), která se Vám dostává do ruky, byla vytvořea iovací původí opory v rámci projektu Iovace výuky iformatických předmětů ve studijích programech Ostravské uiverzity, reg. číslo CZ..07/2.2.00/ V souvislosti s iovací byly provedey ásledující změy: upravea struktura celé distačí opory, ově zařazey řešeé úlohy, úkoly k procvičeí učiva, kotrolí otázky do všech kapitol, ově zařazeý korespodečí úkoly, autotest a výsledky autotestu. Iovace modulu Iovovaá opora plě pokrývá požadavky učebích osov poviých předmětů 2DIMA a XDIMA pro posluchače distačího a kombiovaého studia ve studijích programech Iformatika a Aplikovaá iformatika a Přírodovědecké fakultě Ostravské uiverzity. Tato opora může být samozřejmě použita jako vhodý studijí materiál i pro studety prezečí formy studia v rámci předmětu DIMAN. Posláí modulu Cíle modulu: Po prostudováí tohoto modulu: rozšíříte své středoškolské zalosti o možiách, relacích a fukcích, osvojíte si základí pricipy kombiatoriky a schopost řešit kombiatorické úlohy, pochopíte základy teorie logických fukcí a aučíte se využívat je při řešeí praktických úloh, sezámíte se s Booleovou algebrou a jejími vlastostmi, pochopíte základí pojmy z teorie grafů a osvojíte si postupy k řešeí jedodušších úloh z této oblasti. Celý modul je rozčleě do ásledujících lekcí: základí pojmy diskrétí matematiky a matematická ídukce, variace, permutace, kombiace, kombiatorické pricipy, kombiačí čísla a kombiatorické počítáí, logické fukce a formule, ekvivalece formulí, Obsah modulu

10 pricip duality a rozklad booleovských fukcí podle proměých, fukcioálí úplost a uzavřeost, uspořádaé možiy, svazy, Booleova algebra a booleovské fukce, základí pojmy teorie grafů, isomorfismus grafů a reprezetace grafů, souvislost grafu a základí typy podgrafů, eulerovské grafy. opakováí učiva a příprava ke zkoušce. Struktura modulu U jedotlivých lekcí jsou dodržea ásledující pravidla: specifikace cílů lekce (tedy toho, co by měl studet po jejím prostudováí umět, zát, pochopit), vlastí výklad učiva, řešeé příklady, kotrolí úkoly (otázky, příklady) k procvičeí učiva, korespodečí úkoly. Zařazeé korespodečí úkoly jsou určey k ověřeí Vašich schopostí aplikovat získaé teoretické zalosti a aalýzu řešeí kokrétích úloh. Nutou součástí Vašich studijích poviostí je odevzdáí korespodečích úkolů; jejich hodoceí bude započteo do celkového hodoceí kurzu. V každé kapitole je uvedeo vše potřebé pro samostaté studium, počíaje defiicemi základích pojmů a koče využitím teoretických pozatků v praxi. V zájmu správého pochopeí probíraé látky jsou jedotlivá témata doplěa řešeím typových příkladů. Doporučujeme čteáři, aby se ad každým příkladem důkladě zamyslel. Pochopeí pricipů řešeí je totiž ezbytým předpokladem pro porozuměí dalšímu výkladu. Čas potřebý k prostudováí a procvičeí učiva jedotlivých lekcí euvádíme, eboť z ašich zkušeostí vyplývá, že rychlost studia začě záleží a Vašich schopostech a studijích ávycích. Předpokládáme, že si mozí z Vás budou chtít doplit a rozšířit pozatky studiem dalších literárích prameů (učebic a skript), jež se zabývají jak teorií, tak i aplikacemi. Při výkladu jsme vycházeli především z moografie J. Matouška a J. Nešetřila [5], moografie S. V. 2

11 Jabloského [6] a vysokoškolských skript kolegyě Koečé [7, 8]. Některé řešeé příklady a úkoly k procvičeí učiva jsou převzaty z vysokoškolských skript orietovaých a diskrétí matematiku [, 2, 3, 5, 0,, 2, 4 a 8]. Publikace použité v textu této distačí opory uvádíme v části azvaé Literatura. Další publikace a uvedeé v části Doporučeá a rozšiřující literatura, jsou určey k doplěí Vašich základích zalosti z diskrétí matematiky. Věříme, že předkládaý studijí materiál pomůže pochopit základy diskrétí matematiky, a přejeme Vám hodě úspěchů ve studiu. Autor Autor děkuje touto cestou recezetovi za pečlivé pročteí rukopisu a řadu ceých připomíek směřujících ke zkvalitěí předkládaého učebího textu. 3

12 4

13 ZÁKLADNÍ POJMY Po prostudováí této kapitoly: si rozšíříte a doplíte své středoškolské zalosti v oblasti moži, relací a fukcí, pochopíte výzam matematické idukce a aučíte se jí využívat při dokazováí vlastostí přirozeých čísel. Klíčová slova: možia, prázdá možia, mohutost možiy, potečí možia, podmožia, skládáí moži, průik moži, rozdíl moži, doplěk možiy, kartézský souči moži, biárí relace, relace z možiy do možiy, relace a možiě, iverzí relace, komplemetárí relace, skládáí relací, kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf, matice sousedosti, relace reflexiví, relace symetrická, relace asymetrická, relace atisymetrická, relace trazitiví, ekvivalece, částečé uspořádáí, ostré uspořádáí, fukce jako relace, skládáí fukcí, fukce ijektiví, fukce surjektiví, fukce bijektiví, matematická idukce. V prví části této kapitoly si doplíte své zalosti z teorie moži, relací a fukcí. Zvláští pozorost věujte relacím, zejméa relacím ekvivalece a částečého uspořádáí, protože získaé pozatky budeme využívat jak při výkladu teorie booleovských (logických) fukcí, tak v úvodu do teorie grafů. Druhá část kapitoly bude věováa problematice matematické idukce. Je velmi důležité, abyste pochopili pricip matematické idukce a aučili se ji využívat k dokazováí vlastostí přirozeých čísel.. Možiy Pod pojmem možiy se ituitivě rozumí soubor ějakých objektů (prvků možiy). Ve skutečosti pojem možiy patří k tzv. primitivím pojmům, jež se edefiují pomocí jiých, dříve zavedeých pojmů. Možiy se obvykle ozačují písmey velké abecedy (apř. A, B, C,...) a skutečost, že prvek a patří (epatří) do možiy A se zapisuje jako a A ( a A ). V diskrétí matematice se zpravidla pracuje se třemi číselými možiami: možiou čísel přirozeých (), čísel celých ( ) a reálých (). Možia 5

14 Možiy se zapisují dvěma způsoby: výčtem prvků (apř. {, 4, 9,...}) ebo vyzačeím vlastosti, kterou mají všechy prvky daé možiy (apř. { 2 ; } ). Prázdá možia Mohutost možiy Potečí možia Vztahy mezi možiami Operace s možiami Zvláští postaveí má možia prázdá, tj. možia eobsahující žádý prvek. Taková možia existuje pouze jediá a ozačuje se. Důležitou charakteristikou každé možiy je její mohutost eboli kardialita, která udává počet prvků daé možiy. Mohutost možiy X se zpravidla ozačuje X. Tato charakteristika se defiuje i pro ekoečé možiy. Často se uvažují i možiy, jejichž prvky jsou samy o sobě také možiami. Typickým příkladem takové možiy je možia všech podmoži ějaké možiy X, tzv. potečí možia možiy X, jež se ozačuje ( X ). Dvě libovolé možiy A a B jsou si rovy, právě když obsahují idetické prvky. Takový vztah se azývá rovost moži a ozačuje A = B. Jestliže každý prvek možiy A je také prvkem možiy B, pak říkáme, že možia A je podmožiou možiy B, což začíme A B. Teto vztah (relace) se azývá možiová ikluze. Pokud platí A B, je A vlastí podmožiou B a píšeme A B. Každá eprázdá možia má právě dvě triviálí podmožiy: sebe samu a prázdou možiu. Pro libovolé dvě možiy A a B můžeme defiovat řadu biárích operací. Jejich průik A B je možia všech prvků áležejících současě do A i B. Sjedoceím A B těchto moži je možia všech prvků, které áležejí do A ebo do B ebo obou současě. Rozdíl A\ B uvažovaých moži je možia všech prvků ležících v A, ale ikoliv v B. Doplňkem možiy B v možiě A je právě možia A\ B, tj. možia všech prvků možiy A, které epatří do možiy B. Symetrický rozdíl obou uvažovaých moži je defiová jako ( A B) ( B A) \ \. Obě tyto operace mohou být defiováy pro libovolý (i ekoečý) počet operadů. Tak apř. sjedoceí (průik) moži A, A2,..., A se zapisuje U Ai ( I Ai ).Pro operace průiku a sjedoceí platí mimo jié zákoy i= i= komutativí i asociativí. Navíc jsou obě zmíěé operace provázáy distributivím zákoem, takže platí: A ( B C) = ( A B) ( A C), A ( B C) = ( A B) ( A C). 6

15 Platost uvedeých vztahů lze ověřit pomocí Veova diagramu. Neuspořádaá dvojice prvků a, b se začí { a, b } a představuje obyčejou dvouprvkovou možiu, v íž a pořadí prvků samozřejmě ezáleží. Naproti tomu v uspořádaé dvojici těchto prvků, která se ozačuje ( a, b ), a tomto pořadí záleží: prvek a je prvím prvkem, kdežto prvek b prvkem druhým.platí: ( ) ( ) a, b = c, d, právě když a = c a b = d. Tuto uspořádaou dvojici však můžeme zapsat pomocí euspořádaé { } dvojice takto: ( a b) { a} { a b} -tice prvků., =,,. Aalogicky se defiuje i uspořádaá Defiice.. Kartézský souči A B moži A a B je možia všech uspořádaých dvojic ( a, b ), kde a A a b B, tedy {( ) } A B = a, b ; a A, b B. Uspořádaá dvojice prvků Kartézský souči moži Kartézský souči se zavádí eje pro číselé možiy, ale pro libovolé koečé možiy. Pojem kartézského součiu můžeme rozšířit a libovolých moži takto: {( ) } A A... A = a, a,..., a ; a A, i =,2,...,. 2 2 i i Speciálím případem je -tá kartézská mocia možiy A, která se zapisuje ve tvaru Úkoly. {( 2 ) i } A = A A... A = a, a,... a, a A, i =, 2,...,.. Za jakých podmíek platí pro možiy ásledující rovosti: a) A B = A, b) A B C = A, c) A B = A. 2. Zjedodušte výraz ( A B) ( B C). 3. Dokažte platost možiové rovosti ( A B) ( A C) ( B C) = ( A B) ( A C) ( B C). 4. Vztah ( A B) \ B obecě eplatí. Vyšetřete, za jakých podmíek skutečě platí..2 Relace S využitím pojmu kartézského součiu můžeme defiovat jede ze základích pojmů matematiky, pojem relace. 7

16 Relace z možiy A do možiy B Relace a možiě A Defiice.2.. Nechť A, B jsou možiy. Pak libovolá podmožia R kartézského součiu A B se azývá (biárí relace) z možiy A do možiy B. Skutečost, že uspořádaá dvojice ( a, b ) je prvkem relace R se zapisuje obvykle ve tvaru ( a b) (biárí) relace a možiě A, tedy, R. Je-li A = B, pak R se azývá R A A = A 2. Vedle biárí relace existuje i -árí relace a možiě A defiovaá vztahem R A. Speciálí případy relace: relace prázdá, která eobsahuje žádé uspořádaé dvojice ( R = ), relace uiverzálí, která aopak obsahuje všechy uspořádaé 2 dvojice ( R = A B, resp. R = A ), relace idetická (ozačeí id) je taková relace a možiě A, která a, a A. obsahuje všechy uspořádaé dvojice typu ( ) 2 Iverzí relace Komplemetárí relace Skládáí relací Nechť R A B. Pak iverzí relace ( R ) k relaci R je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( b, a ) takovými, že uspořádaé dvojice ( a b), R. Podobě komplemetárí relace (R ) k relaci R je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( a, b ) takovými, že uspořádaé dvojice ( a b), R. Úkol. Je dáa relace ( ) komplemetárí. { 2 } R = m, ; m =. Určete relaci iverzí a Nechť R A B a S B C jsou ějaké relace. Pak složeím ( Ro S ) relací R a S v tomto pořadí je relace tvořeá všemi uspořádaými dvojicemi ( a, c ), pro které existuje ějaké b B takové, že uspořádaé dvojice ( a, b) R a uspořádaé dvojice ( b, c) S. Úkol. Určete relaci {( ) } S =, p ; p =. R S o, jestliže ( ) {, ; 2 } R = m m = a Pozámka. Pro skládáí relací eplatí obecě komutativí záko. Složeí relací eí defiováo pro každé dvě relace; vždy musí existovat 8

17 společá prostředí možia (v ašem případě B). Jsou-li obě relace R i S a téže možiě, je jejich složeí vždy defiováo. Existuje ěkolik způsobů, jak reprezetovat relace: grafické (kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf), algebraický (matice sousedosti). Nechť je dáa relace R A B. { } B b b2 b m, kde A { a a a } =, 2..., a =,,...,. Při kostrukci kartézského grafu vycházíme z mřížky (v kartézské soustavě souřadic) defiovaé vertikálími přímkami x = a, i =,2,...,, a horizotálími přímkami y = b, j =, 2,..., m. i i Všechy možé uspořádaé dvojice jsou reprezetováy průsečíky těchto přímek. Ty dvojice, které áležejí do daé relace R, se ozačí apř. malými kroužky. V případě šachovicového grafu se vychází ze šachovice, jejíž sloupce odpovídají hodotám a i a řady hodotám b j. Pak čtvercová pole acházející se v i-tém sloupci a j-té řadě reprezetují uspořádaé dvojice ( ai, b j ) ebo vybarví.. Pro dvojice áležející daé relaci R se příslušá pole vyšrafují, Uzlový graf se používá k reprezetaci relace R a možiě { } A = a, a2..., a. Jedotlivé prvky možiy A se reprezetují malými kroužky ebo putíky. Pokud ějaká uspořádaé dvojice ( i, j ) relaci R, vyzačí se tato skutečost šipkou směřující V případě ai = a j se zakreslí smyčka od a i do Relaci R a možiě A { a a a } a i. j j a a áleží od a i do a j. =, 2..., lze vhodě reprezetovat tzv. maticí sousedosti. Je to čtvercová matice A = ( ), pro jejíž prvky platí: a ij Kartézský graf Šachovicový graf Uzlový graf Matice sousedosti a ij ( ai a j ) ( ai a j ), jestliže, R, = 0, jestliže, R. Příklad.2.. Pro ilustraci určíme matici sousedosti pro relaci {(,2 ),(,3 ),( 2, ),( 2, 4 ),( 3, 4 ),( 4,2 ),( 4, 4) } A = {,2,3, 4 }. Tato matice má tvar R = a možiě 9

18 Úkol. Vytvořte kartézský, šachovicový i uzlový graf odpovídající relaci R z předcházejícího příkladu. Vlastosti relace Ekvivalece Defiice.2.2. Relace R a možiě A je: reflexiví, jestliže pro každé a A irreflexiví, jestliže pro každé a A symetrická, jestliže pro každá a, a2 (, ) a a R, 2 platí ( a a) asymetrická, jestliže pro každá a, a2 pak (, ) a a R, 2, R, platí ( a a) atisymetrická, jestliže pro každá a, a2 a současě (, ) a a R, pak a = a, 2 2 trazitiví, jestliže pro každá a, a2, a3 A současě ( a, a ) R, pak ( a a ) 2 3, R. 3, R, A platí: pokud ( a, a ) R, pak 2 A platí: pokud ( a, a ) R, 2 A platí: pokud ( a, a ) R 2 platí: pokud ( a, a ) 2 R a Defiice.2.3. Relace R a možiě A je ekvivalece, jestliže je reflexiví, symetrická a trazitiví. Uvažujme relaci R a možiě defiovaou předpisem: ( a b) R ( a b),, právě když, kde je přirozeé číslo. Říkáme, že prvek a je kogruetí s prvkem b modulo, když rozdíl ( a b) je dělitelý číslem. Tato relace se azývá kogruece a zapisuje se ve tvaru a b ( ) mod ulo. Příklad.2.2. Dokážeme, že takto defiovaá relace je ekvivalece, tj. je reflexiví, symetrická a trazitiví. Nechť, a, rozdíl ( a a) je dělitelý, tj. platí ( a a). To zameá, že prvek a je kogruetí sám se sebou modulo. Relace R je tedy reflexiví. 0

19 Nechť a, b. a rozdíl( a b) je dělitelý číslem, tj. ( a b). To však platí právě tehdy, když ( a b), což je totéž jako ( b a). Relace R je proto symetrická. Nechť,, a b c.. Nechť dále platí ( a b) a současě ( b c). Pak existují ějaká k, l taková, že platí a k b k l c ( k l) c, = + = + + = + + a tudíž ( a c). Odtud plye trazitivita relace R. Úkoly.. Uvažujte relaci R a možiě defiovaou předpisem a, b R, právě když a = b (rovost reálých čísel). Dokažte, že tato ( ) relace je ekvivalece. 2. Nechť ( X ) je možia všech podmoži eprázdé možiy X. Uvažujte a této možiě relaci R defiovaou předpisem A, B R, právě když A = B (možiová rovost). Dokažte, že tato ( ) relace je ekvivalece. Defiice.2.4. Relace R a možiě A je částečé uspořádáí (uspořádáí), jestliže je reflexiví, atisymetrická a trazitiví. Částečé uspořádáí Příklad.2.3. Budeme uvažovat relaci R a možiě daou předpisem ( ) a, b R, právě když a b ("eostrá" erovost).,. Dokážeme, že tato relace je částečé uspořádáí. Pro libovolé a zřejmě platí a a, takže daá relace je reflexiví, Nechť jsou dáa libovolá a, b taková, že a b. Jestliže zároveň platí také b a, pak utě musí platit a = b. Odtud plye, že uvažovaá relace je atisymetrická. Zvolme libovolá a, b, c tak, aby platilo a b a současě b c. To ovšem zameá, že platí a b c, eboli a c. Tím je dokázáo, že daá relace je trazitiví. Úkoly.. Uvažujte relaci R a možiě všech podmoži eprázdé možiy X daou takto: ( ) A, B R, právě když A B (možiová ikluze). Dokažte, že uvedeá relace je částečé uspořádáí. 2. Nechť je dáa relace R a možiě všech eulových celých čísel předpisem ( ) a, b R, právě když a b (" a dělí b").,. Dokažte, že tato relace je částečé uspořádáí.

20 Defiice.2.5. Relace R a možiě A je ostré uspořádáí, jestliže je reflexiví, asymetrická a trazitiví. Úkol. Je dáa relace R a možiě defiovaá předpisem a, b R, právě když a < b. Dokažte, že jde o ostré uspořádáí. ( ).3 Fukce Fukce Fukce (zobrazeí) je jedím ze základích pojmů matematiky. Pojem fukce zde zavedeme etradičě, a to jako speciálí typ relace. Defiice.3.. Fukce f z možiy X do možiy Y ( f : X Y ) je biárí relace f X Y, která splňuje dodatečou podmíku, že pro každý prvek x X existuje právě jede prvek y Y, pro ějž platí ( x y), f. Fukce se zpravidla zobrazují obyčejým grafem y vs. x v kartézské soustavě souřadic, ale v případě diskrétího defiičího oboru X lze s výhodou používat stejých prostředků jako při zobrazováí relací. Skládáí fukcí Fukce prostá Fukce surjektiví Fukce bijektiví Skládáí fukcí se provádí stejě jako u relací, přitom se ovšem používá jié začeí. Jestliže jsou dáy dvě fukce f : X Y a g : Y Z, pak můžeme pro každé x X defiovat ovou (složeou) fukci h : X fukce se zapisuje ve tvaru ( go f )( x). Z předpisem h( x) = g ( f ( x) ). Tato složeá Pro skládáí fukcí platí záko asociativí, ale ikoliv komutativí. Jeli apř. defiováa fukce go f, pak fukce f o g emusí být vůbec defiováa. Defiice.3.2. Fukce f : X Y se azývá: prostá (ijektiví), jestliže pro každá x x2 platí f ( x ) f ( x ) 2, fukce a (surjektiví), jestliže pro každé y Y existuje x X takové, že f ( x) = y, vzájemě jedozačá (bijektiví), jestliže je zároveň prostá a a. Pro skládáí fukcí platí ásledující tvrzeí. Věta.3.. Nechť f : X Y a g : Y Z jsou fukce. Pak platí: jestliže f i g jsou prosté fukce, je také f o g prostá fukce; jestliže f i g jsou surjektiví fukce a, je také f o g surjektiví; 2

21 jestliže f i g jsou vzájemě jedozačé fukce, je také f o g vzájemě jedozačá fukce. Příklad.3.. Důkazy uvedeých tvrzeí jsou jedoduché; vycházejí přímo z defiice. Pro ilustraci dokážeme druhé z ich. Zvolíme tedy ějaké z Z a hledáme x X, pro které platí ( g f )( x) = z. o Protože g je fukce surjektiví, musí existovat y Y takové, že g ( y) = z. Ale f je také fukce surjektiví, proto musí existovat x X, které splňuje f ( x) = y. Takové x je pak hledaý prvek, pro ějž platí ( go f )( x) = z. Úkoly.. Dokažte obě zbývající tvrzeí. 2. Nechť X je koečá možia. Pak fukce f : X X je prostá, právě když je surjektiví. Dokažte. 3. Najděte příklad prosté fukce f :,, která eí surjektiví. Další úlohy k procvičeí středoškolských zalostí o možiách, relacích a fukcích lze alézt v učebích textech [, 3, 5, 0, 2]..4 Matematická idukce Matematická idukce se užívá pro důkazy vět typu,, : ( ), kde ( ) x V 0 V je výroková forma proměé a 0 pevě zvoleé přirozeé číslo. Tato metoda důkazu vychází z tzv. pricipu matematické idukce, který je jedím z Peaových axiomů teorie přirozeých čísel. Peaovy axiomy lze (poěkud zjedodušeě) formulovat takto:. Číslo 0 je přirozeé číslo. 2. Ke každému přirozeému číslu existuje přirozeé číslo, které je jeho ásledovíkem. 3. Číslo 0 eí ásledovíkem žádého přirozeého čísla. 4. Růzá přirozeá čísla mají růzé ásledovíky. 5. Nechť platí, že ějakou vlastost má číslo 0 a avíc z toho, že ji má přirozeé číslo, plye, že ji má také jeho ásledovík, pak tuto vlastost mají všecha přirozeá čísla. 3

22 Pricip mat. idukce Pricip matematické idukce (viz [5]). Nechť X je možia přirozeých čísel, pro kterou platí: X. Je-li X, pak také + X. Potom X je možia všech přirozeých čísel, tj. X =.. Důkaz matematickou idukcí se provádí ve dvou krocích:. krok. Daá vlastost se dokáže pro ejmeší přirozeé číslo, které přichází v úvahu, zpravidla pro. = 2. krok (idukčí krok). Vychází se z předpokladu (idukčího předpokladu), že tato vlastost platí pro ějaké = 0, a ásledě se dokáže, že platí též pro = 0 +. Matematická idukce je jedím ze základích důkazových prostředků v matematice. Použití matematické idukce ilustrujeme a ěkolika jedoduchých příkladech. i= Příklad 4... Dokážeme, že pro všecha ( ) i = = + / 2. platí V. kroku ověříme platost vztahu pro =. Dostaeme =.2 / 2, tj. vztah platí.. Předpokládáme, že vztah platí pro ějaké 0 0 =, takže i = ( + ) Dokážeme jeho platost i pro = 0 +. Postupě dostaeme: i= i= i= 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) i = i + + = + / = / Tímto je platost vztahu dokázáa pro všecha,. / 2. Příklad Dokážeme, že pro všecha přirozeá čísla je číslo dělitelé. Pro = platí platí = = 66 = 6, takže uvedeé tvrzeí Nechť toto tvrzeí platí pro ějaké = 0. Potom ( + ) + + ( + ) = = Výsledé číslo je skutečě dělitelé, protože oba sčítace jsou dělitelé. 4

23 Úkoly.. Dokažte matematickou idukcí i= i 2 = ( + )( + ) Dokažte mat. idukcí ( + ) = ( + )( + ) 3. Dokažte matematickou idukcí, že pro 3 platí 2 > 2 +. Někdy se může stát, že ve formulaci vlastosti, kterou je třeba dokázat, vystupují dvě proměé pro přirozeá čísla. V takových případech jedu proměou zafixujeme (přidělíme jí pevou hodotu) a důkaz provedeme pro druhou. Kotrolí otázky. Kolik prvků má potečí možia možiy X, jestliže X? 2. Jaký je rozdíl mezí euspořádaou a uspořádaou -ticí prvků? 3. Ukažte, že pro skládáí biárích relací eplatí obecě komutativí záko. 4. Jaké jsou základí způsoby grafické reprezetace relace? 5. Je možé reprezetovat relaci z možiy do možiy pomocí matice sousedosti? 6. Jaké jsou základí vlastosti relací a možiě? 7. Srovejte klasickou (středoškolskou) defiici fukce s defiicí Vysvětlete pricip matematické idukce. 9. Jaký je postup při důkazu matematickou idukcí? Pojmy k zapamatováí: možia, prázdá možia, mohutost možiy, potečí možia, podmožia, sjedoceí moži, průik moži, rozdíl moži, doplěk možiy, uspořádaá dvojice prvků, kartézský souči, relace z možiy do možiy, relace a možiě, 5

24 iverzí relace, komplemetárí relace, skládáí relací, kartézský graf, šachovicový graf, uzlový graf, matice sousedosti pro relaci a možiě, relace reflexiví, relace symetrická, relace asymetrická, relace atisymetrická, relace trazitiví, ekvivalece, částečé uspořádáí, ostré uspořádáí, fukce jako relace, skládáí fukcí, fukce prostá (ijektiví), fukce a (surjektiví), fukce vzájemě jedozačá (bijektiví), matematické idukce. Shrutí V této úvodí kapitole jsou rozšířey a doplěy středoškolské zalosti o možiách, relacích i fukcích. Zvláští pozorost je věováa pricipu matematické idukce a jejímu využití při dokazováí vlastostí přirozeých čísel. Je velmi důležité, abyste vše správě pochopili. Věujte této části mimořádou pozorost a teprve, až se ujistíte, že jste všemu porozuměli, přistupte ke studiu dalších kapitol. 6

25 2 KOMBINATORIKA Po prostudováí této kapitoly: si doplíte zalosti o variacích, permutacích a kombiacích (bez opakováí i s opakováím) a aučíte se těchto zalostí využívat při výpočtech klasické pravděpodobosti jevů, pochopíte základí kombiatorické pricipy (pricip součtu, pricip součiu, pricip ikluze a exkluze) a osvojíte si jejich aplikaci a řešeí kombiatorických úloh, pozáte základí vlastosti biomických koeficietů a jejich výzam v diskrétí matematice. Klíčová slova: variace s opakováím, variace bez opakováí, permutace bez opakováí, permutace s opakováím, kombiačí číslo, kombiace bez opakováí, kombiace s opakováím, pricip součtu, pricip součiu, pricip ikluze a exkluze, Dirichletův pricip, Pascalův trojúhelík, biomická věta, pravděpodobost jevu. Tato kapitola je věováa kombiatorice v širším slova smyslu. Naučíte se pracovat s variacemi, permutacemi, kombiacemi a osvojíte si základí kombiatorické pricipy. Získaé zalosti a praktické dovedosti pak oceíte při studiu ásledujících kapitol věovaých především logickým fukcím a základům teorie grafů. 2. Variace Základí pojmy variace, permutace a kombiace zavedeme etradičě, s využitím pojmu zobrazeí (fukce). Nejprve dokážeme matematickou idukcí ásledující větu. Věta 2... Libovolá -prvková možia X má právě 2 podmoži. Důkaz. Nejprve dokážeme, že věta platí pro = 0. Pro X = skutečě existuje jediá podmožia (prázdá možia), tj. Nechť pro -prvkovou možiu X platí, že má 2 ( ) 0 2 =. podmoži. Uvažujme + prvkovou možiu X { a}. V takovém případě se počet podmoži zvětší o počet všech podmoži typu ξ { a}, kde ξ je libovolá podmožia možiy X. Dostaeme tedy: + { a} X = = 2.2 = 2. 7

26 Věta Nechť X a Y jsou koečé možiy takové, že X = k a Y =. Pak počet všech možých zobrazeí f : X Y je rove k. Variace s opakováím Důkaz. Dokážeme matematickou idukcí vzhledem ke k (při pevě zvoleém ). Nechť X je jedoprvková možia, tedy k =. Z defiice zobrazeí plye, že uvažovaý prvek má právě jediý obraz v možiě Y. Existuje tedy právě růzých zobrazeí, tj. =. Nechť uvedeá věta platí pro ějakou k-prvkovou možiu X. Přidáme prvek a, tím vytvoříme ( ) k + prvkovou možiu X { a}. Přidáím prvku a se počet zobrazeí pro každé původě uvažovaé zobrazeí f : X Y zvětší -krát, takže celkový počet zobrazeí bude Uvedeá věta tedy platí pro každé,. + k k. =. Defiice 2... Nechť X a Y jsou koečé možiy takové, že X = k a Y =. Pak každé zobrazeí f : X Y se azývá variace k-té třídy z prvků s opakováím. Počet všech variací k-té třídy z prvků s opakováím je podle předcházející věty rove * k ( ) V = k. Pozámka. Variace s opakováím jsou v podstatě uspořádaé k-tice prvků (s opakováím) z možiy Y, které jsou obrazem prvků možiy X v daém zobrazeí f. Příklad 2... Vypočteme, kolik existuje růzých třímístých čísel zapsaých v desítkové soustavě. Je zřejmé, že se číslice mohou opakovat, tj. a každé pozici může být obecě libovolá číslice z možiy { 0,, 2,...,9}. Proto použijeme vzorce pro variace třetí třídy z 0 prvků: ( ) V = Vyloučíme-li čísla začíající číslicí 0 a prví pozici, * dostaeme = 9.0. Úkoly.. Výtah s r pasažéry zastavuje postupě v podlažích. Kolika růzými způsoby mohou pasažéři vystoupit? 2. Kolik existuje růzých matic typu s prvky z možiy { 0,, 2,...,9}? Věta Nechť X a Y jsou koečé možiy, přičemž X = k a Y =. Potom počet všech možých prostých (ijektivích) zobrazeí f : X Y 2..., -. je rove ( )( ) ( k + ) Důkaz se provádí aalogicky jako u věty

27 Defiice Nechť X a Y jsou koečé možiy, přičemž X = k a Y =. Pak každé prosté zobrazeí f : X Y se azývá variace k-té třídy z prvků bez opakováí. Počet všech variací k-té třídy z prvků bez opakováí je podle předcházející věty rove ( ) = ( )( ) ( + ) V 2..., - k. k Pozámka. Variace bez opakováí jsou v podstatě uspořádaé k-tice prvků (bez opakováí) z možiy Y, které jsou obrazem prvků možiy X v daém zobrazeí f. Příklad Určíme počet růzých třímístých čísel (zapsaých v desítkové soustavě) takových, že se žádá z číslic emůže opakovat. Jde zřejmě opět o variace třetí třídy z 0 prvků, ale s podmíkou, že se číslice esmí opakovat. Obecě platí: V 3 ( 0) = = 720. Jestliže vyloučíme čísla začíající číslicí 0 a prví pozici, dostaeme = 646. Variace bez opakováí Úkoly.. Dokažte větu 2..3 matematickou idukcí. 2. Výtah s r pasažéry zastavuje postupě v podlažích. Kolika růzými způsoby mohou pasažéři vystoupit za předpokladu, že žádí dva z ich evystoupí ve stejém podlaží? 2.2 Permutace Pojem permutace zavedeme jako speciálí případ variací pro k =. Defiice Variace -té třídy z prvků možiy X bez opakováí se azývá permutace možiy prvků bez opakováí. Jejich počet je P = =!, (podle věty 2..3) rove ( ) ( )( ) Permutace bez opakováí kde! je fukce defiovaá a možiě.,, přičemž 0! =. Pozámka. Permutace je vlastě prosté zobrazeí možiy X a sebe. Předpokládejme, že jsou prvky možiy X srováy v ějakém pořadí. Potom permutace představuje pouhé přerováí prvků. Uvažujme apř. možiu X { a b c d} zapsat takto: =,,,. Jedu z jejich možých permutací můžeme a b c d π =, b d c a kde v prví řádku jsou seřazey prvky možiy X zpravidla v ějakém přirozeém pořadí a ve druhém řádku jejich obrazy v zobrazeí π : X X.. V ašem případě platí: ( ) ( ) ( ) ( ) π a = b, π b = d, π c = c, π d = a. 9

28 Zajímavá je grafická reprezetace permutace pomocí cyklů [5]. V tomto případě se postupuje tak, že prvky možiy X zázoríme jako body v roviě a pak zakreslíme šipky od každého prvku x k prvku π ( x). Příklad Uvažujme skupiu 2 osob stojících v řadě ebo v zástupu. Kolik existuje růzých způsobů jejich rozmístěí? Je zřejmé, že jde o permutace, přitom a pořadí samozřejmě záleží. Podle defiice 2.2. je počet růzých rozmístěí rove P ( 2) = 2! = Příklad Vyřešme yí úlohu rozmístěí 2 osob kolem kulatého stolu za doplňující podmíky, že rozmístěí jsou růzá, pokud má každá z osob růzé sousedy. V tomto případě musíme uvážit, že vždy 2 rozmístěí, které se liší je posuutím v kruhu, lze považovat za stejá. Proto bude celkový počet růzých rozmístěí podstatě meší, rový 2!! = = Úkoly.. Kolika způsoby lze rozmístit 6 lvů v kruhové maéží, pokud se šelmy pohybují po obvodu maéže? 2. Kolik slov (včetě esmyslých ) lze vytvořit z 0 růzých písme abecedy, pokud je seřadíme za sebou? Permutace s opakováím V řadě kombiatorických úloh se pracuje s pojmem permutace s opakováím, přesěji permutace skupiy (eí to možia!) objektů, z ichž ěkteré jsou stejé (erozlišitelé). Předpokládejme, že z těchto objektů je objektů. druhu, 2 objektů 2. druhu,..., k objektů k-tého druhu. Každé z možých, vzájemě růzých rozmístěí těchto objektů azveme permutace objektů s opakováím. Jejich celkový počet je dá formulí: kde k i= i =.! P ( ;, 2,..., k ) =,!!...! 2 k Důkaz. Představme si, že objekty téhož druhu ějakým způsobem rozlišíme (apř. barvou ebo idexováím). Pak by byl počet permutací (vzájemě růzých rozmístěí) rove!. Ve skutečosti bude podstatě meší. Uvážíme-li, že i objektů i-tého druhu lze rozmístit i! způsoby, i =, 2,.., k, dostaeme pro celkový počet vzájemě růzých rozmístěí výše uvedeý vzorec. 20

29 Příklad Vyřešíme ásledující úlohu: Kolik růzých slov (včetě esmyslých) je možo vytvořit z písme slova MATEMATIKA? Uvedeé slovo sestává z 0 písme, přitom obsahuje tři písmea A, dvě písmea M, dvě písmea T a po jedom písmea E, I, K. Proto dostaeme 0! P ( 0;3, 2, 2,,, ) =. 3!2!2!!!! Úkol. Kolik růzých slov (včetě esmyslých) je možo vytvořit z písme ásledujících slov: INFORMATIKA, PODPROGRAM a PROCEDURA. 2.3 Kombiace Také kombiace zavedeme etradičě, vyjdeme přitom z defiice pojmu kombiačí číslo. Defiice Nechť, k jsou ezáporá celá čísla, k. Potom fukce obou proměých, k defiovaá vztahem k ( i) ( )( ) ( + ) k i= 0! = = = k k! k! ( k )! k! Kombiačí číslo se azývá kombiačí číslo ebo biomický koeficiet. Obě defiice jsou přirozeě ekvivaletí. Prví z ich je ovšem pro praxi vhodější, protože při výpočtu poskytuje meší mezivýsledky. Kombiačím číslům a jejich vlastostem se budeme věovat později. Věta Nechť X je libovolá -prvková možia. Pak počet všech jejích k-prvkových podmoži je rove kombiačímu číslu. k Důkaz (podle [5]). Spočítáme dvěma způsoby všechy uspořádaé k-tice, které lze vytvořit z prvků možiy X (bez opakováí). Na jedé straě je teto počet dá počtem variací k-té třídy z prvků bez opakováí, je tedy ( ) 2) Na straě druhé můžeme z jedé k- rove ( ) ( k ) prvkové podmožiy možiy X (takových podmoži je ) vytvořit k! k růzých uspořádaých k-tic a každou takovou uspořádaou k-tici dostaeme z jedé podmožiy právě jedou. Proto musí platit: ( )( 2 )... ( - k + ) = k!. k 2

30 Kombiace bez opakováí Kombiace s opakováím Defiice Každá k-prvková podmožia -prvkové možiy X se azývá kombiace k-té třídy z prvků bez opakováí. Pro jejich celkový počet Ck ( ) platí: C ( ). k = k Pozámka. Při vytvářeí k-prvkových podmoži zřejmě ezáleží a pořadí, ve kterém prvky vybíráme Příklad Kolika způsoby lze a čtvercové šachovici (o 64 polích) vybrat tři pole tak, aby všecha vybraá pole eměla stejou barvu (viz [7])? Je zřejmé, že libovolá tři pole můžeme vybrat celkem 64 C3 ( 64) = = způsoby. Nyí určíme počet všech trojic 3 složeých jeom z bílých polí. Takových trojic bude C = = ( ) z čerých polí. Proto řešeím úlohy bude: Právě tolik bude i trojic vytvořeých pouze = Příklad Při oslavě se připíjelo a zdraví. Pozorovatel zaregistroval právě 66 ťukutí. Kolik bylo přítomých za předpokladu, že si každý účastík přiťukul se všemi ostatími? Nechť x je počet x účastíků. Potom musíme řešit rovici = 2 66 eboli x x 32 = 0. 2 Uvedeá kvadratická rovice má dva reálé kořey: 2 a -. Druhý z kořeů emá ovšem smysl, takže účastíků bylo 2. Úkol. Z balíčku 32 karet se áhodě vyberou tři karty. Kolika způsoby lze vybrat: a) právě jedo eso. b) ejméě jedo eso, c) ejvýše jedo eso? V ěkterých kombiatorických úlohách se vyskytuje pojem kombiace s opakováím. Jde o vytvářeí kombiací k-té třídy (k prvků) z prvků za předpokladu, že se každý prvek může ve výběru vyskytovat vícekrát. Defiice Kombiace k-té třídy z prvků s opakováím je libovolý výběr k prvků z růzých druhů prvků, ve kterém ezáleží a pořadí vybíraých prvků. Přitom se předpokládá, že prvky daého druhu jsou erozlišitelé. Věta Počet kombiací k-té třídy z prvků s opakováím urče vztahem 22

31 * + k + k Ck ( ) = =. k Důkaz. Každý výběr k prvků z růzých druhů zakódujeme řetězcem ul (reprezetují rozhraí mezi objekty růzých druhů) a jediček (reprezetují prvky). Tak apř. řetězec 00 reprezetuje výběr, jež zahruje dva prvky prvího druhu, tři prvky druhého a jede prvek třetího druhu. V obecém případě má takový řetězec délku + k, protože obsahuje právě k jediček a rozhraí. Každý řetězec je jedozačě urče tím, a kterých pozicích jsou jedičky, resp. a kterých pozicích jsou uly. Úlohu je tedy možo převést a problém určit, kolika způsoby lze vybrat k pozic pro jedičky (ebo pozic pro uly) z celkového počtu + k. Tím je vztah ve větě dokázá. Příklad Představme si, že v cukrárě mají tři druhy zákusků: věečky, trubičky a marokáky. Spočteme, kolika růzými způsoby je možo zakoupit celkem 7 zákusků. V ašem případě je = 3 a k = 7. * Řešeím daé úlohy je proto C ( ) = = = Úkol. Kolik existuje růzých trojúhelíků, jejichž délky stra jsou přirozeá čísla z možiy { 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 }. Každý trojúhelík je jedozačě urče délkami svých stra, tj. třemi čísly, které musí splňovat trojúhelíkovou erovost. 2.4 Kombiatorické pricipy V této části se budeme věovat třem základím kombiatorickým pricipům: A) pricipu součtu, B) pricipu součiu, C) pricipu ikluze a exkluze. Navíc se sezámíte s tzv. Dirichletovým pricipem a jeho využitím v kombiatorických úvahách. A. Kombiatorický pricip součtu Teto pricip se zakládá a ásledující větě. 23

32 Pricip součtu Věta Nechť A, A2,..., A k jsou koečé možiy s mohutostí postupě, 2,..., k. Jsou-li tyto možiy po dvou disjuktí, pak je mohutost možiy U Ai rova k i= k i=. i Důkaz této věty je elemetárí, proto jej poechávám čteáři. Při aplikaci uvedeého pricipu se ejprve celek (možia všech možostí realizace uvažovaého jevu) rozloží a disjuktí podmožiy a ásledě se určí mohutosti jedotlivých podmoži. Řešeím úlohy je pak součet mohutostí všech podmoži. Příklad Určíme počet všech přirozeých čísel meších ež 200 takových, že kočí číslicí 3. Nechť A ozačuje možiu všech jedociferých čísel kočících trojkou, A 2 možiu všech dvouciferých čísel kočících trojkou a koečě A 3 možiu všech trojciferých čísel meších ež 200 a kočících trojkou. Pak zřejmě dostaeme: { } A { } A = 3, = 3,23,33, 43,53,63,73,83,93, 2 A 3 = { 03,3,23,33,43,53,63,73,83,93 }. Pro mohutosti těchto moži platí: =, 2 = 9, 3 = 0. Počet všech přirozeých čísel meších ež 200 a kočících trojkou je rove 3 i= = 20. i Úkoly.. Morseovka. Uvažujte čtyřmístý kód s abecedou {., }. Kolik růzých zaků (písme, číslic, pomocých zaků) lze takto zakódovat? 2. Brailleovo písmo. Představte si, že jedotlivé zaky jsou reprezetováy zvýrazěím růzých kombiací růzého počtu výstupků a šestibodové matrici. Určete kolik růzých zaků lze vyjádřit v Brailleově 6-bodovém systému. Návod: všechy možé zaky ejprve rozdělte do disjuktích moži A,..., A 6, kde A k ozačuje možiu všech možých zaků s právě k zvýrazěými výstupky. B. Kombiatorický pricip součiu Pricip součiu Toto kombiatorické pravidlo je založeo a ásledujícím tvrzeí: Počet všech uspořádaých k-tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby a 24

33 každý další čle postupě 2, 3,..., k způsoby, je rove k i= =.. L.. i 2 k Příklad Kolik trojciferých čísel lze vytvořit z číslic 0,, 2, 3 bez opakováí za předpokladu, že číslo esmí začíat ulou? Je zřejmé, že číslici ejvyššího (druhého) řádu můžeme vybrat 3 způsoby (, 2 ebo 3), číslici prvího řádu také 3 způsoby (esmí to být číslice již vybraá) a číslici ultého řádu 2 způsoby (esmí to být dvě číslice již vybraé). Celkový počet možostí je tedy = 8. Úkoly.. Vyjděte z řešeí předcházejícího ilustrativího příkladu a určete: a) kolik z těchto 8 možých trojciferých čísel je dělitelých 0, b) kolik z těchto 8 čísel je sudých. 2. Určete, kolika způsoby lze sestavit trojčleou posádku raketopláu (velitel, pilot, výzkumík), jestliže jsou k dispozici 5 kadidátů a fukci velitele, 3 kadidáti a fukci pilota a 4 kadidáti a fukci výzkumíka. 3. Krotitel má přivést do aréy 5 lvů a 4 tygry. Kolika způsoby to lze zařídit za předpokladu, že a pořadí tygrů i lvů záleží a přitom žádí 2 tygři emohou jít bezprostředě za sebou (musí být mezi imi lev). Návod: ejprve rozmístěte lvy a pak do 6 zbývajících míst (a počátku, mezi lvy a a koci) umístěte tygry. C. Kombiatorické pricip ikluze a exkluze Teto pricip se používá v případech, kdy chceme spočítat mohutost sjedoceí koečého počtu koečých moži, jestliže záme mohutosti všech jejich průiků. Vychází se přitom z ásledující věty. Věta Nechť A, A2,..., A je ějaký systém koečých moži. Pak platí: Pricip ikluze a exkluze U i= ( ) 2 A = A A A + A A A... + A A... A. i i i j i j k i= i< j i< j< k Důkaz této věty, dokoce ěkolika růzými metodami, alezete v moografii [5]. Příklad Určíme počet přirozeých čísel od do 00, které ejsou dělitelé 3 ai 5. Nechť fukce x začí celou část reálého čísla x, t.j. 25

34 Dirichletův pricip ejvětší celé číslo, pro ějž x < x. Možiy, s imiž budeme pracovat, si ozačíme takto: { } { } { } A =,2,..., 00, A = A; 3, A = A; 5. Pro jejich 3 5 mohutosti zřejmě platí: A = 00, A3 = 00 / 3 = 33, A5 = 00 / 5 = 20 a A3 A5 = 00 /5 = 6. Hledaý počet přirozeých čísel splňujících zadáí je tedy A3 A5 = A A3 A5 + A3 A5 = = 53. Úkoly.. Eratostheovo síto. Kolik čísel zbude z možiy {,2,..., 000 }, když vyloučíme všechy ásobky čísel 2, 3, 5, 7 a? 2. Kolik existuje přirozeých čísel meších ež 00, která ejsou dělitelá druhou mociou žádého přirozeého čísla většího ež? Jestliže ezáme mohutosti všech průiků, emůžeme určit mohutost sjedoceí všech moži přesě. Představte si, že záte mohutosti všech průiků až do k-ásobých včetě, ale mohutosti průiků většího počtu moži ikoliv. V takovém případě se k odhadu chyby, které se dopustíte vyecháím čleů, jejichž velikost ezáte, používají tzv. Boferroiho erovosti. Podle těchto erovostí bude mít uvažovaá chyba stejé zaméko jako prví vyechaý čle. Na závěr této části uvedeme jedoduchou formulaci tzv. Dirichletova pricipu (přihrádkového pricipu). Jestliže umístíme m objektů do přihrádek za předpokladu m >, pak musí existovat alespoň jeda přihrádka, v íž budou ejméě dva objekty. Příklad Mějme krabicí, jež obsahuje 0 čerých a 20 bílých poožek. Z této krabice budeme aslepo po jedé vytahovat poožky s cílem získat alespoň jede pár stejé barvy. Kolik poožek budeme muset ejméě vytáhout? V tomto případě máme dvě přihrádky (jedu s čerými a druhou s bílými poožkami), tedy = 2. Abychom dosáhli staoveého cíle, stačí vytáhout tři poožky ( m = 3 ). Podobě lze dokázat, že v Praze existují ejméě dva lidé, kteří mají přesě stejý počet vlasů. Stačí totiž uvážit, že počet vlasů u člověka epřevyšuje Kombiačí čísla Pojem kombiačího čísla (biomického koeficietu) byl již zavede defiicí Tuto defiici je možo rozšířit takto. 26

35 Defiice Nechť x je reálé číslo a k ezáporé celé číslo. Pak x kombiačí číslo je fukce proměých x a k defiovaé vztahem k Pomocí této defiice lze psát apř.: x = x x 3 6 ( )( ) ( + ) x x x x 2... x k =. k k! ( )( x 2) ( ) ( ) ( ) ebo = =. Nyí si dokážeme ěkteré výzamé vlastosti kombiačích čísel. Pro celá ezáporá čísla, k ( k ) platí =. k k (2.) Důkaz tohoto tvrzeí je triviálí. Z hlediska kombiatoriky to zameá, že počet k-prvkových podmoži -prvkové možiy je stejý jako počet podmoži obsahujících k prvků. Stačí uvážit, že každé k-prvkové podmožiě lze jedozačě přiřadit její doplěk. V praxi se často používá vzorec pro součet kombiačích čísel + =. (2.2) k k k Důkaz (viz [5]). Pravá straa (2.2) udává počet k-prvkových podmoži -prvkové možiy X. Vybereme libovolý prvek a X a všechy k-prvkové podmožiy X rozdělíme do dvou skupi podle toho, zda obsahují či eobsahují prvek a. Podmožiy eobsahující prvek a jsou a, a je jich celkem. k Je-li A ějaká k-prvková podmožia X obsahující prvek a, můžeme jí právě všechy k-prvkové podmožiy X \{ } zřejmě jedozačě přiřadit ( ) = \. Proto * k -prvkovou možiu A A { a} počet k-prvkových podmoži X obsahujících prvek a je celkem. k Odtud už dostaeme pro celkový počet k-prvkových podmoži možiy X výraz +. k k 27

36 Pascalův trojúhelík Biomická věta Se vztahem (2.2) souvisí tzv. Pascalův trojúhelík: M M 0 Vrcholem tohoto trojúhelíku ke kombiačí číslo =. Každý 0 ásledující řádek schématu se vytváří tak, že pod dvojici čísel předcházejícího řádku se zapíše jejich součet a a okrajích (zleva i zprava) se doplí jedičky. Idetita (2.2) je vhodá i k důkazu biomické věty + = ( x) k x (2.3) k = 0 k matematickou idukcí podle proměé. Důkaz. Pro = vztah (2.3) zřejmě platí, eboť + x = + x = + x. Předpokládáme, že vztah platí pro libovolé 0 ( ) 0., a dokážeme jeho platost i pro = + + = + = k = 0 k k 0 k 0 + k 0 l = x x x x k = 0 k + k = 0 k = + = k = 0 k l= l ( ) ( ) ( ) k x x x x ( x) l 0 0 l 0 + = x + = x. l= 0 l l= l l= 0 l Tím je biomická věta dokázáa. Z biomické věty lze odvodit celou řadu vztahů pro biomické koeficiety. Nejjedodušší z ich dostaeme dosazeím x = = Celkový počet podmoži -prvkové možiy je rove součtu počtů prvků podmoži s mohutostí 0,, 2,...,. Z dalších idetit platých pro biomické koeficiety uvedeme 28

37 k = =. k Důkaz. Nejprve sumu a levé straě upravíme s použitím idetity (2.) a tvar k = 0. k k Tato suma je rova počtu -prvkových podmoži možiy obsahující 2 prvků. Uvažme 2-prvkovou možiu X takovou, že prvků je obarveo červeě a zbývajících prvků modře. Chceme-li vybrat libovolou podmožiu X, pak stačí vybrat ějakou k-prvkovou podmožiu červeých prvků a ějakou ( k ) { } -prvkovou podmožiu modrých prvků, k 0,,...,. Při pevě zvoleém k máme pro výběr červeé podmožiy k možostí a pro výběr modré podmožiy k možostí, celkem tedy k = 0 k k možostí. 2.6 Kombiatorické počítáí V této části ukážeme, jak aplikovat základí pozatky z kombiatoriky při výpočtu klasické pravděpodobosti jevů a základě Laplaceovy defiice. Defiice (Laplaceova defiice pravděpodobosti). Nechť určitý áhodý pokus může vykázat celkem růzých, vzájemě se vylučujících výsledků, které jsou a podkladě symetrie a homogeity stejě možé. Jestliže m z těchto výsledků má evyhutelě za ásledek astoupeí určitého jevu A, kdežto zbývajících m výsledků jej vylučuje, pak pravděpodobost jevu A je dáa vztahem Pravděpodobost jevu m ( ) =. P A Pozámka. Na středí škole se tato klasická defiice pravděpodobosti formuluje takto. Pravděpodobost daého áhodého jevu A je dáa poměrem počtu výsledků přízivých astoupeí jevu A a počtu všech možých výsledků áhodého pokusu. V souladu s Lapalaceovou defiicí můžeme pravděpodobost P ( A ) považovat za fukci jevu A. Tato fukce má ásledující vlastosti. Pro každý jev platí P ( A) 0. 29

38 . Pravděpodobost jistého jevu Ω je jedotková, tj. P ( Ω ) =. 2. Jestliže se ějaký jev A skládá z dílčích jevů A, A2,..., A, pak Vlastosti pravděpodobosti = i= ( ) P( A ) P A 4. Pravděpodobost jevu A (jevu opačého k A) je P ( A) = P( A) i.. 5. Pravděpodobost jevu emožého je rova ule, tj. P ( ) = Jestliže z jevu A plye jev B, pak platí P ( A) P ( B) Pro pravděpodobost libovolého jevu platí P( A) Pozámka. Na základě uvedeých vlastostí pravděpodobosti můžeme řešit jedoduché kombiatorické úlohy. Další vlastosti klasické pravděpodobosti jsou popsáy apř. ve skriptech [3]. Příklad Někdo má v kapse N růzých klíčů a chce potmě otevřít dveře svého bytu. Vyjímá aslepo z kapsy jede klíč po druhém a zkouší jimi otevřít dveře. Určíme pravděpodobost, že pří k-tém pokusu zvolí správý klíč? Počet všech možých pořadí, jak vyjímat klíče, je zřejmě rove počtu permutací možiy N prvků, tedy N!. Předpokládejme, že všechy permutace jsou stejě možé. Musíme tedy určit, kolik je takových permutací, při ichž stojí správý klíč a k-tém místě. Odpověď je jedoduchá. Existuje právě ( N )! takových permutací, takže hledaá pravděpodobost je ( N )! =. N! N Pravděpodobosti toho, že správý klíč pade do ruky při prvím, druhém,..., posledím N-tém pokusu, jsou stejé a rovají se. N Příklad Výtah s M pasažéry zastavuje postupě v N patrech ( M < N ). Určíme pravděpodobost jevu A, který spočívá v tom, že v žádém patře evystoupí více ež jede pasažér. Celkový počet růzých rozmístěí pasažérů do pater je zřejmě rove počtu M variací M-té třídy z N prvků s opakováím, tj. výrazu N. Kolik je však způsobů rozmístěí přízivých jevu A? Hledaý počet je tetokrát dá počtem variací M-té třídy z N prvků bez opakováí, tj. výrazem ( )...( ). ( ) ( + ) P ( A) N N N M + Pro hledaou pravděpodobost tedy platí N N... N M N! = = M M N N N M ( ).! 30

39 Příklad Z hromádky 32 karet (4 barvy po 8 kartách) se áhodě vybere k karet ( k > ). Určíme pravděpodobost toho, že mezi vybraými kartami bude alespoň jedo eso. Ozačme symbolem k vybraými kartami ( i m mi { k, 4} A i jev, který spočívá v alezeí právě i es mezi = ) a symbolem A jev spočívající v tom, že mezi k vybraými kartami bude alezeo alespoň jedo eso. Možia všech možých výsledků áhodého pokusu je tvořea všemi kombiacemi k-té třídy z 32 prvků, počet těchto kombiací je rove kombiačímu číslu 32. k takto. Jedo eso lze vybrat Počet výsledků přízivých jevu A určíme 4 růzými způsoby a zbývající karty 28 v počtu k celkem způsoby, takže počet přízivých případů je k (podle pricipu součiu) rove součiu obou uvedeých kombiačích čísel. Pro hledaou pravděpodobost tedy platí ( ) P A 4 28 k =. 32 k Aalogicky staovíme i pravděpodobosti jevů A, i = 2, 3,..., m. Zřejmě platí: ( ) P ( A ) P A k 2 m k m =,..., m = k k Jev A se ovšem skládá ze vzájemě eslučitelých jevů A, A2,..., A m, proto m = i= ( ) P( A ) P A i. i Příklad Dítě si hraje s písmey M, M, A, A, A, T, T, E, I, K. Jaká je pravděpodobost, že se mu podaří při áhodém řazeí písme za sebou vytvořit slovo MATEMATIKA? 3

40 Ozačme uvažovaý jev symbolem A. Kdyby byla všecha písmea rozlišitelá (apř. velikostí, typem ebo barvou), pak by byl počet všech možých výsledků pokusu rove počtu permutací možiy těchto 0 písme, tj. 0!. Přirozeě se předpokládá, že mezi uvažovaými písmey jsou dvě avzájem erozlišitelá písmea M, tři erozlišitelá písmea A a dvě erozlišitelá písmea T. Proto permutace, které se liší traspozicí (záměou) písme M (takových je celkem 2!) a/ebo traspozicí písme A (celkem 3!) a/ebo traspozicí písme T (celkem 2!) představují jede a tetýž výsledek pokusu. Z uvedeého je zřejmé, že počet všech vzájemě růzých výsledků pokusu je 0!. ( 2! 3! 2! ) Pouze jediá z těchto permutací je přízivá jevu A, takže pro hledaou pravděpodobost dostaeme 2! 3! 2! P ( A ) = 0, ! Metodám řečeí kombiatorických úloh jsou věováy speciálí moografie, apř. [9]. Úkoly.. Číslice, 2,..., jsou áhodě uspořádáy do poslouposti (řetězce). Jaká je pravděpodobost toho, že číslice a 2 stojí vedle sebe právě v tomto pořadí? 2. Ve studijí skupiě je celkem 30 studetů. Jaká je pravděpodobost jevu, že žádí dva studeti (popř. více studetů) eslaví arozeiy téhož de? Předpokládejte, že rok má přesě 365 dů. 3. V sérii výrobků je k zmetků. Určete pravděpodobost jevu, že mezi m áhodě vybraými výrobky bude právě r zmetků. 4. Z deseti losů vyhrávají dva. Určete pravděpodobost toho, že z pěti áhodě vybraých losů a) vyhrává právě jede, b) vyhrává ejméě jede, c) vyhrává ejvýše jede. 5. V krabici se achází 5 červeých, 9 modrých a 6 zeleých kuliček. Jaká je pravděpodobost toho, že mezi šesti áhodě vybraými kuličkami bude jeda zeleá, dvě modré a tři červeé? 6. Určete pravděpodobost výhry prví, druhé, třetí a čtvrté cey v Sazce. Sázkař tipuje výsledky 2 utkáí ( - výhra domácích, 0 erozhodě, 2 výhry hostí). Prví ceu vyhraje te, kdo uhode výsledky všech 32

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář

TEORIE GRAFŮ. Petr Kovář TEORIE GRAFŮ Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud

Více