1.4.1 Výroky. Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pravdivé

Transkript

1 1.4.1 Výroky Předpoklady: Výrok je sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je či není pradié Číslo π je iracionální. pradiý ýrok Ach jo, zase matika. není ýrok V rozrhu máme deset hodin matematiky týdně. nepradiý ýrok Matematika je nejlepší předmět. není ýrok, jde o ěc kusu Pozor: formule a + b = c není ýrok, neíme, co znamenají písmena a, b, c musíme ýznam písmen specifikoat. Různá specifikace ede k různým ýsledkům: Pro šechny praoúhlé trojúhelníky s oděsnami a, b a přeponou c platí pradiý ýrok (Pythagoroa ěta) Pro šechny trojúhelníky se stranami a, b, c platí: a + b = c a + b = c. nepradiý ýrok. Poznámka: Bohužel ani matematických učebnicích se šechny ěty ždy neformulují zcela kompletně (jsou pak často příliš dlouhé) a předpokládá se, že neuedené informace jsou jasné z kontextu Př. 1: U následujících ět rozhodni, zda jsou nebo nejsou ýroky a urči jejich pradiost (často se také říká pradiostní hodnotu). a) Těžnice trojúhelníků se protínají jednom bodě. b) Všechna reálná čísla jsou kladná. c) Některá reálná čísla jsou kladná. d) Kyš, kyš. e) Hlaním městem Indie je Karáčí. f) Máš úkol? g) ( ) a b = a ab + b h) Tabule je praoúhlý trojúhelník. ch) Jana je nejhezčí holka e škole. a) Těžnice trojúhelníků se protínají jednom bodě. pradiý ýrok b) Všechna reálná čísla jsou kladná. nepradiý ýrok c) Některá reálná čísla jsou kladná. pradiý ýrok d) Kiš, kiš. není ýrok e) Hlaním městem Indie je Karáčí. nepradiý ýrok f) Máš úkol? není ýrok (jde o otázku, smyslem ěty není něco sdělit o skutečném stau, ale něco zjistit nejde ýrok. Naopak ěta: Máš dnešní úkol z matematiky by byla ýrokem) g) ( ) a b a ab b = + není ýrok (neíme, co znamenají proměnné a, b, c) h) Tabule je praoúhlý trojúhelník. není ýrok (jde zjeně o nesmyslné trzení. Na druhou stranu při troše dobré ůle by bylo možné ětu za ýrok poažoat) ch) Jana je nejhezčí holka e škole. není ýrok (jde o ěc kusu, který má každý 1

2 jiný. Věta Jana je nejyšší holka e škole. by šak ýrokem byla, protože by bylo možné šechny holky přeměřit a zjistit zda je Janina ýška nejětší) Pedagogická poznámka: (rada od oktáy 01) Jméno Jana posledním bodě by mělo být nahrazeno jménem díky ze třídy, která se látku učí. Pak by se ukázalo, zda je jí bližší matematická spránost nebo ješitnost. Př. : Doplň ětu: ( ) a b a ab b = + tak, aby z ní byl pradiý ýrok. Pro šechna reálná čísla a, b platí: ( ) a b a ab b Negace ýroku (značíme = +. ) je trzení, které má opačnou pradiostní hodnotu. Př. 3: Doplň ěty: a) Je-li ýrok pradiý, je ýrok b) Je-li ýrok nepradiý, je ýrok a) Je-li ýrok pradiý, je ýrok nepradiý. b) Je-li ýrok nepradiý, je ýrok pradiý. Jak yrobit negaci ýroku? : Číslo 5 je liché. Dě možnosti: : Není prada, že číslo 5 je liché. : Číslo 5 je sudé. Prní možnost je zcela mechanická k ničemu, protože nepřináší nic noého. Druhá možnost se může hodit, ale někdy je problém yrobit ji spráně. Př. 4: Vytoř negaci ýroku : Číslo je záporné. Chybná negace: Číslo je kladné. Spráná negace: Číslo je kladné nebo nula. kromě kladných a záporných čísel, existuje také nule a tu musím zahrnout. negace musí obsahoat šechny možnosti, nezahrnuté půodním ýroku. Pedagogická poznámka: Chybu předchozím příkladě udělají nejdříe šichni. Tepre, když studentům řeknete, že negaci sestaili špatně, někteří chybu najdou a odstraní. Můžeme si situaci znázornit. Máme tři skupiny čísel záporná čísla nula kladná čísla půodní ýrok: Číslo je záporné. patří do modré skupiny negace: Číslo není záporné. nepatří do modré skupiny patří do zelené nebo čerené Číslo je kladné nebo nula.

3 Pedagogická poznámka: Vzhledem k tomu, že studenti mají tendenci snažit se zapamatoat šechno, je dobré jim zdůraznit, že z dnešní hodiny je toto prní informace, která si zaslouží zapamatoání. Všechno předchozí bylo totiž asi jasné. Pedagogická poznámka: Studentům připadá často zcela absurdní ěta Číslo je kladné nebo nula. Je dobré jim zdůraznit, že mají pradu, ýrok je nepradiý, ale z pohledu logiky je úplně jedno, zda je ýrok pradiý nebo ne. Př. 5: Najdi negace následujících ýroků (takoé, aby neobsahoaly zápor): a) Trojúhelník ABC je ostroúhlý. b) Daný trojúhelník ABC nemá šechny strany stejné. c) Přímky p, q mají společný práě jeden bod. d) Kořen ronice x 3 = 3 je záporné číslo. e) + π > 4 Daný trojúhelník ABC je ostroúhlý. Daný trojúhelník ABC nemá šechny strany stejné. Přímky p, q mají společný práě jeden bod. Daný trojúhelník ABC je tupoúhlý nebo praoúhlý. Daný trojúhelník ABC je ronostranný. Přímky p, q mají alespoň da nebo žádný společný bod. Kořen ronice x 3 = 3 je záporné číslo. Kořen ronice x 3 = 3 je buď kladné nebo 0. + π > 4 + π 4 Výroky o počtu Př. 6: Student musí průběhu jednoho školního pololetí získat z každého předmětu alespoň tři známky. Urči šechny počty známek, které yhoují této podmínce. Alespoň tři student může mít 3, 4, 5. 3 nebo íc známek Př. 7: Množina M má alespoň k prků. Urči jakým číslům může být roen počet jejich prků. Počet prků je ětší nebo roen k. Př. 8: Student musí průběhu jednoho školního pololetí získat z každého předmětu alespoň tři známky. Urči šechny počty známek, které neyhoují této podmínce. Má mít alespoň tři student nesmí mít 0, 1,. student má smůlu, pokud má nejýše známky 3

4 Př. 9: Množina M má alespoň k prků. Urči jakým číslům nemůže být roen počet jeho prků. Počet prků nesmí být menší než k. Kdybychom chtěli použít spojení se sloem nejýše, řekli bychom, že neyhoují množiny, jejichž počet prků je nejýše k-1. Př. 10: Student smí průběhu jednoho školního pololetí zameškat nejýše tři písemky. Urči šechny počty zameškaných písemek, které yhoují této podmínce. Nejýše tři student může zameškat 3,, 1 nebo 0 3 nebo míň Př. 11: Množina N má nejýše k prků. Urči jakým číslům může být roen počet jejich prků. Počet prků je menší nebo roen k. Př. 1: Student smí průběhu jednoho školního pololetí zameškat nejýše tři písemky. Urči šechny počty zameškaných písemek, které neyhoují této podmínce. Smí zameškat nejýše tři nesmí zameškat 4, 5, 6, 4 nebo íc Př. 13: Množina N má nejýše k prků. Urči jakým číslům nemůže být roen počet jeho prků. Počet prků nesmí být ětší než k. Kdybychom chtěli použít spojení se sloem alespoň, řekli bychom, že neyhoují množiny, jejichž počet prků je alespoň k+1. Tím jsme se lastně naučili negoat ýroky o počtu. Př. 14: Doplň tabulku negací ýroků o počtu: Množina M má alespoň k prků. Množina M má nejýše k prků. Množina M má alespoň k prků. Množina M má nejýše k prků. Množina M má nejýše k-1 prků. Množina M má alespoň k+1 prků. Pedagogická poznámka: Opět studentům říkám, že lepší než si pamatoat tabulku negací ýroků o počtu je pamatoat si, že negace snadno ododí pomocí přemýšlení o konkrétním příkladě. Vytoříme negaci ýroku: Konexní šestiúhelník má 9 úhlopříček. Půodní ýrok:,, má 9 úhlopříček Negace: nemá 9 úhlopříček. musím popsat šechna nečerená čísla 4

5 má nejýše 8 nebo nejméně 10 Konexní šestiúhelník má nejýše 8 nebo nejméně 10 úhlopříček. Př. 15: Vytoř negace následujících ýroků bez použití záporu: a) Ronice x x 3 = 0 má alespoň dě řešení. b) Číslo 1 má nejýše 5 dělitelů. c) Krychle má nejýše 8 rcholů. d) Existují práě 4 pročísla menší než 10. e) n bodů rozdělí přímku na nejýše n + 1částí. f) Množina M má práě n 1 prků. Ronice x řešení. x 3 = 0 má alespoň dě Číslo 1 má nejýše 5 dělitelů. Krychle má nejýše 8 rcholů. Ronice x řešení. x 3 = 0 má nejýše jedno Číslo 1 má alespoň 6 dělitelů. Krychle má alespoň 9 rcholů. Existují práě 4 pročísla menší než 10. Existují práě nejýše 3 nebo alespoň 5 pročísel menších než 10. n bodů rozdělí přímku na nejýše n + 1částí. n bodů rozdělí přímku na alespoň n + částí. Množina M má práě n 1 prků. Množina M má nejýše n prků nebo alespoň n prků. Př. 16: Petákoá: strana 11/cičení 1 strana 11/cičení strana 11/cičení 1 strana 11/cičení 15 a) b) c) Shrnutí: Do negace ýroku musíme zahrnout šechny možnosti, které neobsahuje půodní ýrok. 5