1. Posloupnosti a řady funkcí

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Posloupnosti a řady funkcí"

Transkript

1 1. Posloupnosti a řady funkcí 1.1. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí Definice. Nechť je množina, f : R je funkce a pro n N je f n : R funkce. Řekneme, že posloupnost {f n } konverguje bodově na k funkci f, pokud pro každé x platí f(x) = lim n f n (x). Značíme f n f. Řekneme, že posloupnost {f n } konverguje stejnoměrně na k funkci f, pokud Značíme f n f. ε > k N x n k : f n (x) f(x) < ε. Definice. Nechť je množina, f : R je funkce a pro n N je f n : R funkce. Řekneme, že j=1 f j konverguje bodově na k funkci f, pokud posloupnost částečných součtů { N j=1 f j} N=1 konverguje bodově na k funkci f. Řekneme, že řada f n konverguje stejnoměrně na k funkci f, pokud posloupnost částečných součtů { N f n} N=1 konverguje stejnoměrně k f. Značíme f n f. Fakt 1.1. Stejnoměrně konvergentní posloupnost (resp. řada) funkcí je bodově konvergentní. Tvrzení 1.2 (Kritérium stejnoměrné konvergence). Nechť je množina, f : R funkce a pro n N je f n : R funkce. Pro každé x označme σ n := sup x f n (x) f(x). Pak f n f právě když lim n σ n =. Lemma 1.3 (BC podmnínka pro stejnoměrnou konvergenci). Nechť je množina a pro n N je f n : R funkce. Pak f n právě když platí ε > n n n x : f n (x) f m (x) < ε Tvrzení 1.4 (Weierstrassovo kritérium, M-test). Nechť f n je řada reálných funkcí definovaných na neprázdné množině. Označme σ n := sup x f n (x). Jestliže σ n <, pak f n na. Tvrzení 1.5 (Zachování spojitosti). Nechť {f n } je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdné podmnožině R a f : R je funkce. (i) Pokud f n f na, pak f je spojitá. (ii) Pokud f n f na, pak f je spojitá. Tvrzení 1.6 (Prohození limit). Nechť {f n } je posloupnost reálných funkcí definovaných na omezeném intervalu (a, b) R, která stejnoměrně konverguje na (a, b). Nechť pro každé n N existuje vlastní lim x a + f n (x) (resp. lim x b f n (x)). Pak lim n lim f n (x) = lim x a + x a + lim f n(x) n (resp. lim n lim f n (x) = lim x b x b lim f n(x)). n Speciálně, je li f n je řada spojitých reálných funkcí definovaných na omezeném intervalu (a, b) R, která stejnoměrně konverguje na (a, b) a pro každé n N existuje vlastní lim x a + f n (x), pak lim f n(x) = lim f n (x). x a + x a + Tvrzení 1.7 (Záměna sumy a derivace). Nechť {f n } je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu (a, b) R splňující (i) f n má vlastní derivaci na (a, b), n N, (ii) existuje x (a, b) takové, že číselná řada f n(x ) je konvergentní, (iii) f n na (a, b). 1

2 Pak f n na (a, b) a pro každé x (a, b) platí ( ) f n (x) = f n(x). Tvrzení 1.8 (Záměna sumy a integrálu). Nechť {f n } je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu (a, b) R splňující (i) f n má na (a, b) konvergentní Newtonův integrál, n N; (ii) řada f n konverguje stejnoměrně k funkci f na (a, b). Pak f má na (a, b) konvergentní Newtonův integrál a platí 1.2. Mocninné řady (N) b a b f n = (N) Definice. Mocninnou řadou o středu a R rozumíme řadu a n (x a) n, kde a n R pro každé n N {} a x R. n= a f n. Věta 1.9 (o poloměru konvergence mocninné řady). Nechť n= a n(x a) n je mocninná řada. Pak existuje právě jeden nezáporný prvek ϱ R { } takový, že pro každé x R, x a < ϱ, je uvedená řada absolutně konvergentní, pro každé x R, x a > ϱ, je uvedená řada divergentní. Prvek ϱ splňuje ϱ = 1 lim sup n n a n, kde výrazem 1 rozumíme a výrazem 1 rozumíme. Prvek ϱ nazýváme poloměrem konvergence uvedené řady. Navíc, uvedená řada je stejnoměrně konvergentní na [a c, a + c] pro každé c < R. Věta 1.1. Nechť (a n ) a je posloupnost nezáporných čísel a nechť existuje lim n+1 n a n. Potom existuje také lim n n a n a limity se rovnají. Věta 1.11 (derivace a integrace mocninné řady). Nechť ϱ je poloměr konvergence mocninné řady n= a n(x a) n. Potom poloměr konvergence řad na n(x a) n 1 a a n n= n+1 (x a)n+1 je také roven ϱ. Pro x R splňující x a < ϱ označme f(x) = n= a n(x a) n. Potom (i) funkce f má v každém takovém bodě vlastní derivaci a platí f (x) = na n(x a) n 1 ; (ii) a n n= n+1 (x a)n+1 je primitivní funkce k f na (a ϱ, a + ϱ). Speciálně, dostáváme následující vzorec pro výpočet n-té derivace funkce f: f (n) (a) = n!a n, n. Věta 1.12 (Abelova). Nechť ϱ je poloměr konvergence mocninné řady n= a n(x a) n a ϱ (, ). (a) Jestliže je řada n= a nϱ n konvergentní, potom lim x (a+ϱ) n= a n (x a) n = a n ϱ n. (b) Jestliže je řada n= a n( ϱ) n konvergentní, potom lim x (a ϱ) + n= n= a n (x a) n = a n ( ϱ) n. n= 2

3 2. Teorie míry a integrálu 2.1. Pojem míry, abstraktní Lebesgueův integrál Základní pojmy Definice. Nechť I R je interval s krajními body a, b R. Pak délkou intervalu I rozumíme číslo b a. Značíme l(i) := b a. Dále definujeme l(j) :=, pokud J je neomezený interval. Nechť I 1,..., I n R jsou intervaly a Q = I 1... I n R n. Pak objemem n-rozměrného intervalu Q rozumíme číslo l(i 1 ) l(i n ). Značíme l n (Q) := l(i 1 ) l(i n ). Konečné disjunktní sjednocení omezených n-rozměrných intervalů nazveme figurou. Objem figury definujeme jako součet objemů intervalů, z nichž se skládá. Horní Jordan-Peanův objem množiny je infimum objemů figur, které ji obsahují. Dolní Jordan-Peanův objem množiny je supremum objemů figur, které jsou v ní obsaženy. Pokud horní a dolní Jordan-Peanův objem množiny se rovnají a jsou konečné, řekneme, že množina je Jordan-Peanovovsky měřitelná a společnou hodnotu nazveme jejím Jordan-Peanovým (J.P.) objemem. Definice. Nechť X je množina. Systém A podmnožin X se nazývá algebra, pokud (i) A, X A; (ii) A = X \ A; (iii) 1, 2 A = 1 2 A. Pokud navíc A splňuje (iv) n A, n = 1, 2,... = n A, pak říkáme, že A je σ-algebra. Je li A σ-algebra, dvojice (X, A) se nazývá měřitelný prostor a prvky A se nazývají měřitelné množiny. Fakt 2.1. Každá algebra (resp. σ-algebra) je uzavřená i na konečné (resp. spočetné) průniky. Poznámka. Množina všech J.P.-měřitelných množin není σ-algebra. Definice. Definujeme B(R n ) jako nejmenší σ-algebru obsahující otevřené množiny v R n. B(R n ) se nazývá borelovská σ-albebra a jejím prvkům se říká borelovské množiny. Definice. Nechť (X, A) je měřitelný prostor. Funkce µ : A [, ] se nazývá míra, pokud splňuje (i) µ( ) =, (ii) jestliže n A, n = 1, 2,... jsou po dvou disjunktní, pak µ( n ) = µ( n ). Trojice (X, A, µ) se nazývá prostor s mírou. Poznámka. J.P.-objem není podle naší definice míra, neboť není definována na σ-algebře. Příkladem míry je například tzv. počítací míra, která každé množině A X přiřadí počet jejích prvků. Tvrzení 2.2 (Vlastnosti míry). Nechť (X, A, µ) je prostor s mírou. (i) Je-li A, B A a A B, je µ(a) µ(b). Navíc, pokud µ(b \ A) <, pak µ(a) = µ(b) µ(b \ A). (ii) Je-li {A n } posloupnost z A, je µ ( (iii) Je-li {A n } rostoucí posloupnost z A, je µ ( ) A n µ(a n ) A n ) = limn µ(a n ). (iv) Je-li {A n } klesající posloupnost z A a µ(a 1 ) <, je µ ( A n ) = limn µ(a n ). Definice. Nechť (X, A, µ) je prostor s mírou. Řekneme, že míra µ je úplná, pokud každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná. 3

4 2.1.2 Konstrukce úplných měr, Lebesgueova míra Definice. Vnější míra na množině X je zobrazení ν : P(X) [, ] splňující 1. ν( ) = ; 2. A B = ν(a) ν(b); ( ) 3. Je-li {A n } posloupnost podmnožin X, pak ν A n ν(a n ). Příklad. Definujme funkci λ : P(R n ) [, ] předpisem λ (A) := inf{ l n (Q j ); Q j jsou n-rozměrné intervaly, Q j A}. j=1 Pak λ je vnější míra na R n, které říkáme Lebesgueova vnější míra na R n. Definice. Nechť ν je vnější míra na množině X. Množinu M X nazveme ν-měřitelnou (podle Carathéodoryho), jestliže pro každou testovací množinu T X platí ν(t ) = ν(t M) + ν(t \ M). Systém všech (carathéodoryovsky) měřitelných množin značíme M(ν). Věta 2.3. Nechť ν je vnější míra na množině X. Pak M(ν) je σ-algebra a funkce M(ν) A ν(a) je úplná míra. Definice. Nechť λ je Lebesgueova vnější míra na R n. Funkci M(λ ) A λ (A) říkáme Lebesgueova míra na R n a značíme ji λ n. Množiny z M(λ ) se nazývají Lebesgueovsky měřitelné. Tvrzení 2.4. Každá borelovská množina je Lebesgueovsky měřitelná, Lebesgueova míra je úplná a pro každý n-rozměrný interval Q R n platí l n (Q) = λ n (Q). Navíc, Lebesgueova míra je translačně invariantní, tj. pro každou měřitelnou množinu A a každý vektor c R n máme λ n (A + c) = λ n (A), kde A + c = {a + c : a A} Měřitelná zobrazení Značení. Je li X množina a A X, pak charakteristická funkce množiny A je funkce χ A : X R definovaná předpisem { 1, x A χ A (x) :=, x / A Je li f : D R {± } funkce a M R, značíme {f M} := {x D; f(x) M}, podobně zavádíme značení jako {f > a}, {f = a}. V celé této subsekci je (X, A) měřitelný prostor. Definice. Nechť (Y, A 2 ) je měřitelný prostor. Zobrazení f : X Y je (A, A 2 )-měřitelné, pokud pro každou A 2 je {f } A. Úmluva. Pokud je z kontextu jasné co je A a A 2, pak říkáme, že funkce je měřitelná místo (A, A 2 )-měřitelná Tvrzení 2.5. Nechť f : X R {± } je funkce splňující, že pro každý otevřený interval I R {± } máme f 1 (I) A. Pak f je měřitelná funkce. Tvrzení 2.6. (i) Kdykoliv G R n a f : G R je spojitá funkce, pak f je měřitelná. (ii) Funkce χ A : X R je měřitelná pro každou A A. (iii) Složení měřitelných funkcí je měřitelná funkce. (iv) Součet, součin, podíl, maximum a minimum konečně mnoha reálných měřitelných funkcí jsou opět měřitelné funkce. (v) Je-li {f n } posloupnost měřitelných funkcí, jsou i sup f n, inf f n, lim sup f n, lim inf f n (a tedy i lim f n, existuje-li) měřitelné funkce. j=1 4

5 2.1.4 Lebesgueův integrál V celé této subsekci je (X, A, µ) prostor s mírou. Značení. Je li f : R {± } funkce, definujeme f + := max{f, } a f := max{ f, }. (Maximum/minimum funkcí definujeme bodově.) Tedy f = f + f a f = f + + f. Definice. Konečný soubor množin {A 1,..., A m } A nazveme rozkladem množiny A, jestliže množiny A j jsou po dvou disjunktní a m j=1 A j =. Fráze skoro všude nebo µ-skoro všude se používá ve spojení s vlastností bodů množiny X. Řekneme-li, že taková vlastnost platí skoro všude (nebo ve skoro všech bodech), znamená to, že je splněna až na množinu míry nula, neboli, že existuje množina N A míry nula tak, že vlastnost je splněna ve všech bodech množiny X \ N. Definice. Nechť f je měřitelná funkce (s hodnotami v R {± }). 1. Je li f, definujeme m f dµ := sup a j µ(a j ); {A j } m j=1 je rozklad X, a j f na A j, j = 1,..., m, X j=1 kde používáme konvenci že =. 2. V obecném případě definujeme pokud má tento rozdíl smysl. X f dµ := X f + dµ f dµ, X 3. Je li X, A a funkce f je definovaná skoro všude na, pak definujeme f dµ := f χ D(f) dµ. X Je-li integrál f dµ defiován, říkáme též, že má smysl, nebo že funkce f má integrál. Je-li navíc tento integrál konečné číslo, říkáme, že f dµ konverguje, nebo že f je integrovatelná a tento fakt značíme symbolem f L 1 (, A, µ), nebo zkráceně f L 1 (). Věta 2.7 (Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu). Nechť f a g jsou měřitelné funkce, α R a A. Pak (i) X χ dµ = µ(); (ii) f dµ =, pokud µ() = nebo pokud f = skoro všude na ; (iii) Pokud f dµ konverguje, pak f < skoro všude na ; (iv) Pokud je µ() < a f je omezená, pak f dµ konverguje a f dµ sup x f(x) µ(); (v) Je li {D 1, D 2 } A rozklad množiny, pak f dµ = f dµ + D 1 f dµ; D 2 (vi) má li pravá strana smysl; αf + g dµ = α f dµ + g dµ, (vii) f dµ konverguje právě tehdy, když f dµ konverguje; (viii) Jestliže f, g mají integrál a f g skoro všude na, pak f dµ g dµ; (ix) f dµ f dµ. 5

6 2.1.5 Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu integrálu a Riemannovu integrálu V moderní matematické literatuře se integrálem bez přívlastku rozumí vždy integrál Lebesgueův. Význam Newtonova a Riemannova integrálu zůstává ve sféře didaktiky. Věta 2.8 (Vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je nezáporná spojitá funkce na intervalu (a, b). Potom (N) b f(x) dx konverguje, právě když konverguje Lebesgueův a integrál funkce f. V tom případě mají oba integrály společnou hodnotu. Věta 2.9 (Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem). Nechť f je Riemannovsky integrovatelná funkce na [a, b]. Potom Lebesgueův integrál funkce f od a do b konverguje a je roven integrálu Riemannovu Fubiniova věta Lemma 2.1. Nechť n, m N a R n, F R m jsou Lebesgueovsky měřitelné množiny. Pak F je Lebesgueovsky měřitelná množina a λ n+m ( F ) = λ n () λ m (F ), kde definujeme =. Definice. Nechť X Y. Značíme Tyto množiny se nazývají řezy. x, := {y Y ; (x, y) }, x X,,y := {x X; (x, y) }, y Y. Věta 2.11 (Fubiniova věta). Nechť n, m N, R n+m je Lebesgueovsky měřitelná množina a f : R je Lebesgueovsky měřitelná funkce. Předpokládejme, že integrál f(x, y) dλ n+m M má smysl. Potom všechny integrály níže mají smysl a platí ( ) ( ) f dλ n+m = f(x, y) dλ m (y) dλ n (x) = f(x, y) dλ n (x) dλ m (y). (2.1) R n x, R m,y Speciálně, je li f nebo je jeden z integrálů ( ) f dλ n+m, f(x, y) dλ m (y) dλ n (x), R n x, konečný, pak platí (2.1) Věta o substituci R m ( ) f(x, y) dλ n (x) dλ m (y),y Definice. Nechť G R n je otevřená množina a ϕ i C 1 (G), i = 1,..., n. Uvažujme funkci ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ) : G R n. Pak Jacobiho matice zobrazení ϕ v bodě t je matice ( ) n ϕi (t). x j i,j=1 Pokud má Jacobiho matice zobrazení ϕ v každém bodě t G hodnost n, pak řekneme, že ϕ je regulární a determinant Jacobiho matice nazýváme jakobiánem zobrazení ϕ v bodě t a značíme jej J ϕ (t). Věta 2.12 (O substituci). Nechť G R n je otevřená množina a ϕ : G R n je prosté regulární zobrazení. Nechť f je funkce na ϕ(g). Potom f(x) dλ n (x) = f(ϕ(t)) J ϕ (t) dλ n (t), pokud alespoň jedna strana má smysl. ϕ 1 () 6

7 Věta 2.13 (o polárních souřadnicích). Nechť G = {(r, α) R 2 ; r >, α ( π, π)} a zobrazení ϕ : G R 2 je dáno předpisem ϕ(r, α) := (r cos α, r sin α), (r, α) G. Pak ϕ je prosté regulární zobrazení a J ϕ (r, α) = r pro (r, α) G. Je li R 2 a f funkce na, pak f(x, y) dλ 2 (x, y) = r f(r cos α, r sin α) dλ 2 (r, α), má li alespoň jedna strana rovnosti smysl. G ϕ 1 () Věta 2.14 (o válcových souřadnicích). Nechť G = {(r, α, z) R 3 ; r >, α ( π, π)} a zobrazení ϕ : G R 3 je dáno předpisem ϕ(r, α, z) := (r cos α, r sin α, z), (r, α, z) G. Pak ϕ je prosté regulární zobrazení a J ϕ (r, α) = r pro (r, α, z) G. Je li R 3 a f funkce na, pak f(x, y, z) dλ 3 (x, y, z) = r f(r cos α, r sin α, z) dλ 3 (r, α, z), má li alespoň jedna strana rovnosti smysl. G ϕ 1 () Věta 2.15 (o sférických souřadnicích). Nechť G = {(r, α, β) R 3 ; r >, α ( π, π), β ( π/2, π/2)} a zobrazení ϕ : G R 3 je dáno předpisem ϕ(r, α, β) := (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β), (r, α, β) G. Pak ϕ je prosté regulární zobrazení a J ϕ (r, α, β) = r 2 cos β pro (r, α, β) G. Je li R 3 a f funkce na, pak f(x, y, z) dλ 3 (x, y, z) = r 2 cos β (r cos α cos β, r sin α cos β, r sin β) dλ 3 (r, α, β), G ϕ 1 () má li alespoň jedna strana rovnosti smysl Prohození integrálu a limity, integrálu a řady V celé této sekci je (X, A, µ) prostor s mírou. Definice. Nechť je množina a pro j N je f j : R funkce. Řekneme, že posloupnost {f j } j=1 konverguje skoro všude na k funkci f : R, pokud A a existuje F taková, že f j F f F a λ n ( \ F ) =. Řekneme, že j=1 f j konverguje skoro všude na, pokud posloupnost částečných součtů { N j=1 f j} N=1 konverguje skoro všude na. Věta 2.16 (Leviho věta). Nechť A a pro j N je f j : R měřitelná funkce. Nechť posloupnost funkcí {f j } j=1 bodově konverguje na a splňuje f 1 dµ > a f 1 f Pak lim f j dµ = lim f j dµ. j j Věta 2.17 (Lebesgueova věta). Nechť A a pro j N je f j : R měřitelná funkce. Nechť posloupnost funkcí {f j } j=1 konverguje bodově skoro všude na. Nechť existuje integrovatelná funkce g : R (takzvaná majoranta) taková, že Pak f j (x) g(x), j N, x. lim f j dµ = lim f j dµ. j j Důsledek 2.18 (Lebesgueova věta pro řady). Nechť A a pro j N je f j : R měřitelná funkce. Nechť j=1 f j konverguje skoro všude na. Nechť existuje integrovatelná funkce g : R (takzvaná majoranta) taková, že N f j (x) g(x), N N, x. j=1 Pak f j dµ = f j dµ. j=1 j=1 7

8 Důsledek Nechť A a pro j N je f j : R měřitelná funkce. Nechť je splněna jedna z následujících podmínek (i) f j = aq j, kde a, q jsou měřitelné funkce, q < 1 a a 1 q dµ konverguje (ii) j f j dµ < nebo j f j dµ <, (iii) f j = ( 1) j h j, h j, h 1 h 2 h 3... a h 1 dµ < Pak řada j=1 f j konverguje skoro všude a platí f j dµ = j= Integrály závislé na parametru V celé této sekci je (X, A, µ) prostor s mírou. j=1 f j dµ. Věta 2.2 (Spojitost integrálu závislého na parametru). Nechť A, a R n a nechť U je otevřená množina obsahující bod a. Nechť funkce f : U R má následující vlastnosti: (i) Pro skoro všechna x je funkce U t f(t, x) spojitá v a, (ii) pro všechna t U je funkce x f(t, x) měřitelná, (iii) existuje integrovatelná funkce g na tak, že pro všechna t U a x je f(t, x) g(x). Potom pro všechna t U je x f(t, x) integrovatelná a funkce F (t) := f(t, x) dµ(x), t U je spojitá v bodě a. Věta 2.21 (Derivace integrálu závislého na parametru). Nechť A a I R je otevřený interval. Nechť funkce f : I R má následující vlastnosti: (i) Pro skoro všechna x má funkce I t f(t, x) vlastní derivaci na celém intervalu I, (ii) pro všechna t I je funkce x f(t, x) měřitelná, (iii) existuje integrovatelná funkce g na tak, že pro všechna t I a x je f t (t, x) g(x), (iv) existuje t I tak, že funkce x f(t, x) je integrovatelná. Pak pro všechna t I je funkce x f(t, x) integrovatelná, funkce F (t) := f(t, x) dµ(x), t I má vlastní derivaci na celém intervalu I a platí F f (t) = (t, x) dµ(x), t I. t Definice. Funkci Gamma definujeme na intervalu (, ) předpisem Γ(s) := e x x s 1 dx, s (, ). Funkci Beta definujeme na (, ) (, ) předpisem B(p, q) := 1 x p 1 (1 x) q 1 dx, (p, q) (, ). Tvrzení 2.22 (Vlastnosti funkce Gamma). (i) Γ(s) (, ), s (, ); 8

9 (ii) Γ(1) = 1 a pro každé s (, ) platí Γ(s + 1) = sγ(s). Speciálně, Γ(n + 1) = n! pro každé n N; (iii) Γ C k (, ), k N; (iv) Γ je ryze konvexní na (, ); (v) lim s + Γ(s) = lim s Γ(s) = + ; (vi) Γ( 1 2 ) = π. Tvrzení 2.23 (Vlastnosti funkce Beta). (i) Pro každé p, q (, ) máme B(p, q) (, ); (ii) pro každé p, q (, ) máme pb(p, q + 1) = qb(p + 1, q); (iii) pro každé p, q (, ) máme B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) (speciálně B(p, q) = B(q, p)); (iv) B C k ((, ) (, )), k N; (v) B(1 s, s) = Γ(s)Γ(1 s) = π sin πs, s (, 1). Tvrzení 2.24 (objem n-rozmerne koule). Nechť je dána n-rozměrná koule B(, R) R n. Pak λ n (B(, R)) = πn/2 Γ(1+n/2) Rn. Tvrzení 2.25 (Stirlingův vzorec). lim s 1 s ( e s) s Γ(s + 1) = 2π. 9

10 3. Fourierovy řady Definice. Funkce k n= (a n cos(nx) + b n sin(nx)) se nazývá trigonometrický polynom. Řada n= (a n cos(nx) + b n sin(nx)) se nazývá trigonometrická řada. Tvrzení 3.1. (ii) π 1 1 dx = 2π, π (i) Jsou li f, g {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x...} a f g, pak π π π π cos(nx) cos(nx) dx = π sin(nx) sin(nx) dx = π, n N. π fg =. Značení. Množinu všech 2π-periodických reálných funkcí, které jsou integrovatelné na intervalu [, 2π] budeme značit P([, 2π]). Definice. Nechť f je reálná funkce definovaná na ( π, π). Čísla a n = 1 π b n = 1 π π π π π f(x) cos(nx) dx pro n =, 1, 2,... f(x) sin(nx) dx pro n = 1, 2,... se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. Řada Sf(x) := a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)), x R se nazývá Fourierova řada funkce f. Budeme tuto skutečnost značit f(x) a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). Pro N N {} dále definujeme částečný součet Fourierovy řady funkce f předpisem S N f(x) := a N 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)), x R. Tvrzení 3.2. Nechť f P([, 2π]) a máme posloupnosti (a n ) n=, (b n ) splňující, že a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = f(x), x R, přičemž řada nalevo je stejnoměrně konvergentní. Pak a, a n, b n (n N) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Poznámka. Je-li funkce f P([, 2π]) lichá (resp. sudá), platí totéž o každé z funkcí f(x) cos(nx), zatímco všechny funkce f(x) sin(nx) jsou sudé (resp. liché). Vidíme tedy, že pokud je funkce f lichá, pak a n =, n a b n = 2 π π f(x) sin(nx). Pokud je funkce f sudá, pak b n =, n 1 a a n = 2 π π f(x) cos(nx), n. Pokud je a n =, n (resp. b n =, n 1), hovoříme někdy o liché nebo sinové (resp. sudé nebo cosinové) Fourierově řadě funkce f. Poznámka. Každou funkci f definovanou na intervalu I délky 2π splňující f < lze periodicky I rozšířit na f P([, 2π]); Fourierovu řadu takto rozšířené funkce někdy nazýváme Fourierovou řadou funkce f v intervalu I. Podobně lze každou funkci f definovanou v intervalu (, π) splňující π f < rozšířit jak na lichou, tak i na sudou funkci z P([, 2π]). Příslušnou Fourierovu řadu nazýváme lichou resp. sudou Fourierovou řadou funkce f. Analogickou terminologii můžeme použít pro funkce definované na intervalu ( π, ). 1

11 Poznámka. Z výsledků o 2π-periodických funkcích dostáváme automaticky výsledky o C-periodických funkcích (C > ). Vskutku, máme li C-periodickou funkci f(x), pak předpis g(x) := f(cx/2π) definuje funkci 2π-periodickou a teorii můžeme aplikovat na funkci g. Fourierovy koeficienty funkce f jsou pak definovány jako a n = 2 C C/2 Fourierova řada funkce f je řada C/2 f(x) cos(2πnx/c) dx, b n = 2 C C/2 C/2 a 2 + ( an cos(2πnx/c) + b n sin(2πnx/c) ). f(x) sin(2πnx/c) dx. Definice. Ať [a, b] R je interval. Funkce f : [a, b] R se nazývá po částech hladká, jestliže existují body a = p < p 1 <... < p n = b takové, že f C 1 ([p i 1, p i ]) (tj. pro každé i = 1,..., n je f C([p i 1, p i ]), derivace funkce f je spojitá funkce na (p i 1, p i ) a má v krajních bodech vlastní jednostranné limity). Funkce f : [a, b] R se nazývá po částech monotónní, jestliže existují body a = p < p 1 <... < p n = b takové, že f je na každém intervalu [p i 1, p i ] monotonní. Značení. Nechť a R a f je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu a. Značíme pokud tyto limity existují. f(a+) := lim x a + f(x), f(a ) := lim x a f(x), Věta 3.3 (Konvergence Fourierovy řady). Nechť f P([, 2π]), (a, b) R a f [a,b] je po částech hladká nebo po částech monotonní. Pak pro každé x (a, b) platí Sf(x) = f(x+)+f(x ) 2. Navíc, pokud je tato funkce spojitá na (a, b), pak Fourierova řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném intervalu ležícím uvnitř (a, b). Speciálně, je li b a > 2π, pak Fourierova řada funkce f stejnoměrně konverguje v celém R. Věta 3.4 (Parsevalova rovnost). Nechť π π f 2 (x) dx konverguje. Pak 1 π f 2 (x) dx = a2 π π 2 + (a 2 n + b 2 n), kde a, a n, b n (n N) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Věta 3.5 (Primitivní funkce pomocí Fourierových koeficientů). Nechť f P([, 2π]) a nechť f(x) a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). Uvažume funkci F (x) = x f(t) dt 1 2 a x, x R. Pak F P([, 2π]), Fourierova řada funkce F je určena jako b F (x) nn b n cos(nx) + a n sin(nx) +. n a tato řada stejnoměrně konverguje k funkci F na (, ). Speciálně, (i) pokud jsou všechny Fourierovy koeficienty funkce f nulové, pak f = skoro všude; (ii) platí x f(t) dt = b nn + b n cos(nx) + (a n + ( 1) n+1 a ) sin(nx), x R (3.1) n a Fourierova řada funkce [ π, π] x x f(t) dt konverguje a je určena vzorcem (3.1). (iii) pokud je funkce f spojitá na intervalu (a, b) [ π, π], pak funkce (a, b) x x f(t) dt (popsaná dvěma různými vzorci výše) je primitivní funkce k f na (a, b). Věta 3.6 (Derivace Fourierovy řady). Nechť f P([, 2π]) a f C 1 ( π, π) a nechť f(x) a 2 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)). Nechť π π f (x) dx <. Pak Fourierova řada pro f se získá z Fourierovy řady pro f derivací člen po členu, tj. f (x) ( na n sin(nx) + nb n cos(nx)). 11

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3

Lebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3 Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny.

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1. Posloupnosti čísel

1. Posloupnosti čísel 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15

Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Posloupnosti a jejich konvergence

Posloupnosti a jejich konvergence a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.

Více

Matematická analýza 4

Matematická analýza 4 Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

9. cvičení z Matematické analýzy 2

9. cvičení z Matematické analýzy 2 9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra

Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra KAPITOLA 1: Míra a měřitelné funkce P(X) = {A A X} potenční možina množiny X 1.1 Měřitelné množiny dále předpokládáme X Systém S podmnožin množiny X se nazývá algebra, jestliže (A1) S, (A2) (A3) A S X\A

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz

MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz 1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

a = a 0.a 1 a 2 a 3...

a = a 0.a 1 a 2 a 3... Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA

MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá

Více

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady

Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady 1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n

Více

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí

Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí 1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1. Matematická analýza definice (MP leden 2010)

1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) 1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) Základní pojmy a definice 1. Definujte metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, hraniční bod množiny. Metrickýprostor jedvojice(m, d),kde M jemnožinabodů

Více