Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
|
|
|
- Hana Křížová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM 00/00 CIFRIK
2 Záí: Vyšetřete všem probrým prostřeky polyom 0 0 Vyprcováí: Pole věty: Rcoálí kořey. Nechť p Q je koře polyomu 0 K. Pk p, q q 0. určíme možu M všech rcoálích čísel, které mohou být kořey: V šem přípě je p ±, ±, ±, ±, ± 0, ± 0 proto q { } { ± } { ±, ±, ±, ±, ± 0, ± 0} M. Tuto možu M ještě omezíme, eboť pltí vět: Nechť p Q je koře polyomu 0 K, echť c Z. q Pk qc p c, qc p c používá se ejčstěj pro c, ky ostáváme pro koře p q pomíky p, q p q. Nejprve zjstíme, že 0, p q q p q p 0 výsleek. Dlší výpočet zpíšeme o tbulky: p q q p q p 0 výsleek - o - - e - - o 0-9 e - e -0-9 e - - o 0-9 e - e -0-9 e Zjstl jsme, že M {,, }. Horerovým schémtem vyšetříme, které prvky z jsou kořey polyomu : M Z vypočítých hoot plye závěr polyom 0 0 emá rcoálí kořey.
3 Oh počtu reálých kořeů jejch polohy Descrtesov vět: Počet klých kořeů polyomu 0 K je buď rove počtu zmékových změ v posloupost 0,, K, jeho koecetů, ebo je o suý počet meší. 0 V polyomu 0 jsou zmékové změy. Počet klých kořeů je tey buď ebo. Všechy reálé kořey polyomu A, A 0 K leží v tervlu A, m 0,, K, ke V šem přípě je A m,,, 0, 0 0 proto všechy reálé kořey polyomu 0 0 v tervlu ; Dlší ohy polohy reálých kořeů polyomu leží 0 K. Přepokláejme, že spoň jee z koecetů polyomu je záporý. Ozčme ejmeší záporý koecet, r prví záporý koecet s ejvětší klý koecet pře prvím záporým koecetem, B ejvětší z bsolutích hoot záporých koecetů. Pk pro kžý reálý koře α polyomu 0 K pltí: Mclurov vět Lgrgeov vět Tllotov vět α <, 0 r α < B, α < rs s Pro áš polyom 0 0 r s 0 B 0 0 pltí:
4 Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < α < α < α < α < α < r 0 0 B 0 Tllotov vět: Použtí těchto vět ám půvoí oh ; ezlepšlo. Dolí ohy kořeů polyomu polyom g, pro který pltí α < α < α < rs 0 získáme opkováím postupu pro g je sué, kyby bylo lché, pltlo by g protože Polyom g tey je. 0 0 s 0 g protože má jeeu zmékovou změu, má jee klý koře. Proto má polyom jee záporý koře. Pro polyom g 0 pltí: 0 r s B Mclurov vět: Lgrgeov vět: α < 0 α < α < r α < B 0 Tllotov vět: α < α < α < rs s 0 0 α < 0 <, Zjstl jsme, že reálé kořey polyomu 0 0 v tervlu ; leží. Jee koře je záporý buď tř ebo jee je klý.
5 Seprovt kořey polyomu koře polyomu. Seprce kořeů zmeá určt tervly, v chž leží právě jee Sturmův řetězec: Nechť R[]. Sturmovým řetězcem polyomu zýváme koečou posloupost polyomů,,, K, m, eových tkto:,, q j j j, q j j, K, m m m m polyom je zbytek př ěleí polyomu polyomem, je, D. j j Sturmov vět: Buď R[]. Nechť je α < β α β 0. Pk počet vzájem růzých kořeů polyomu 0 ležících v tervlu α, β je rove číslu σ α σ β, ke K σ je počet zmékových změ ve Sturmově řetězc polyomu 0 K. Pomocí této věty můžeme určt přesý počet kořeů ého polyomu v ém tervlu. Sturmův řetězec polyomu 0 0 má tyto čley: jeotlvé výpočty čleů posloupost jsou uveey v otku. D 0 0 Protože je st,, emá polyom 0 víceásobé kořey tj. má pouze jeouché kořey. j m
6 Sestrojme yí tbulku zméek polyomu ze Sturmov řetězce v tervlu ;, k výpočtu zméek hoot v jeotlvých boech můžeme využít tké Horerovo schém ukázk v otku: σ Z tbulky víme, že polyom 0 jee jeouchý koře v tervlu má jee jeouchý koře v tervlu,,.
7 Iterkčí metoy hleáí reálých kořeů polyomu R[ ] Meto půleí tervlu: Hleáme koře α polyomu s přesostí ε > 0. Buď c,c tkový tervl, že zmék čísel c, c jsou růzá pk v tervlu c,c leží spoň jee koře polyomu. Ozčme c c c. Pk buď c 0 α c, ebo c 0. Ke kostrukc bou c použjeme te z tervlů c,c, c,c, pro který pltí c c < 0 tj. te tervl, v jehož krjích boech má ukce opčá zmék. Popsým způsobem pokrčujeme tk louho, ž lezeme buď přímo koře α, ebo ž pltí c c < ε. Meto teče Newtoov meto: R má jeouché kořey. Nechť α, β je Přepokláejme, že polyom [ ] tkový tervl, uvtř kterého leží jeý koře α polyomu, echť celém tervlu α, β je 0, 0. Ozčme c to z čísel α, β, pro ěž pltí c c > 0, ruhé z čísel α, β, tj. číslo, pro ěž pltí < 0. Utvořme posloupost c c c, c c, c c, K, c c c c,,, K. Potom je z posloupostí je klesjící, ruhá rostoucí obě posloupost kovergují ke kořeu α polyomu. Meto seče meto regul ls: R má jeouché kořey. Nechť α, β je Přepokláejme, že polyom [ ] tkový tervl, uvtř kterého leží jeý koře α polyomu celém tervlu α, β je 0, 0. Ozčme α c Sestrojme posloupost { c } přepsem c β β c β c Pk posloupost { } β β α β α. c,,,k. c koverguje ke kořeu α polyomu., echť
8 Apromce kořeů Pltí 0,. Uvžujme ejprve tervl,. Protože > 0, < 0, < 0, > 0, můžeme použít kteroukol z uveeých terkčích meto. Použjme příkl Newtoovu metou: c c c c c c -,87 c c 8,98 c c c c -,97 c c,00 c c c c -,7 c c 0,0907 c c c c -,07 c -,8779 c -,8 c -,0 c - -,09 -,99-0,099 Víme, že posloupost { je rostoucí, posloupost lm c lm. Proto c } { } c,07,,0, -70-9,8-0,008-9,7 klesjící 7
9 0 I v ruhém tervlu, můžeme použít Newtoovu metou, protože < 0, > 0, > 0, >. c c 8 c c c c,8 c c 8,098 c c c c,0 c c,07 c c c c,0 c c 0,07 c c c c,08 c,08808 c,8977 c,0 c,0 c - -9,70 -, ,078 Víme, že posloupost { je klesjící, posloupost lm c lm. Proto c } { } c,0;,08, 8 9,98 7,889 9, rostoucí Závěr: Polyom 0 0 má v reálé jeouché kořey. Prví z ch v tervlu,07,, 0 ruhý v tervlu, 0;,08. Polyom je stupě, proto má lší v kompleí kořey. Progrm DERIVE všechy kořey vypočetl tkto: 8
10 DODATKY Horerovo schém ve vybrých boech Výpočty polyomů Sturmov řetězce : : : : :
11 : 9 8 : LITERATURA NOVOTNÁ, J. TRCH, M.: Algebr teoretcká rtmetk. Polyomcká lgebr. Uverzt Krlov v Prze Pegogcká kult, Prh 000. ŠISLER, M. ANDRYS, J.: O řešeí lgebrckých rovc. Mlá rot, Prh 9. OBSAH Rcoálí kořey... Oh počtu reálých kořeů jejch polohy... Seprce kořeů... Iterkčí metoy hleáí reálých kořeů polyomu R[ ]... DODATKY... 9 LITERATURA... 0 OBSAH
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Ž é ě ť č č é š ť é ě č č ť č é č É é ý č Ž č úč é Ú Ž Ž č Ž ý ť ť ů ě é ú č ě ť ť č é ť č č é č č Ž ě ě č é š Ž š ě ě ě é Ž ě ě é ě č ýš č ě č é ě é ě ýš ů ě é Ý č é é é ý é č ě é ě ě č é ý ů é ě ě č
č ž ó ý č š á é řá á á ý á á á á ř é řá ěž é ě č á ř Ž ž ý ěž ý é ů ě á á ě ý ěř ř ě ů á ě é á á á ř ě á á Ť ó ů ř š á Ž ř ý ř ř řá Š é á á á č Č á á á ř ž Ť ý á á š ř ě č á č ř ů č š á á ž š é á č á ě
Á š š ý É Ř ě Í ý ý Í š ě ý š ý Ů š ý Í ž ý š ý ě Ž š ě ý ě ý ě ě ý Í Ž ě Í ÁŤ Ž š Í ý ěž ý Ů ý Ů ě Ž š Ť ě ěž ěž ěž ě ě Í ý š ý Í š ý Ž ý Ř š ň š Í ě ý ý ě š ě ý ý ě Ž ý ý ě ý Í ý ě Ž ý Ž ě ě Ž ý Ž ý
Č ž Á ě ž Č Č Ú ž ň Č Ř Ě ě ž Á Á ě š Á Č ě Š ě š š ě Ů Á ě ň Č Č Š ž Š ž ě ě ě ň ó ů ě Á ž ě š ů Ř ž Ť É Š Ť ž ě Č ů ž ů ž ě š Ž ž Ž ž ě ě ú Ě š Á Č ě ů ů š Č ě ů ě Ť Č ě š ě ž š ž Š Ž ě ů ě ó ě š ě ě
Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný
Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod
ÚŘ ť Ř ě ů ú ů ě ú ě ůž ň ú ú ě ď ě ÚŘ Ř É Ú Š ú Š ě ú é ě ě ě ě ú Ú ě ě ě ě ě ť é é ú ě ú é ě ú ú é Ú š Ó é ě š š ú Ú ú ú ú ú ú Ú ú ú ň é É é ě ě ě é Ů Ž é ě Ů ú ě ů ú ť ť é é ů é ň é Ú é ě Š Ě É Ř Á
š ý ě éří Č Íý ň Ř Š Í É ř é ý ě é ř ý ě é Í š éú Ž Č Š ř ř ý ě Š Š Ž ý ř ě Ý ě é ř ř ě ý ě é ř č ý ě ř š é ř ě ý ě é ř č ý ý č ý é č ž ě ý ě é ř ň ě ř č ř ý č ě ě š č ř š é ě Š ř ř é š ý ř ř ě ř ě é č
é é ž é é ěž é é ž é ž š ý ž ě š ý ž ž é ž ž éž ě é é ěž é ž ě é é é é ž ý ž š ě ý ž ý é é ě Š š š š ě é š ě ě ěš š é š Á Š Í ě Š Í ň š Í ď Š é Š Í ý š š ň š š š ň ý ň ú ň Š Í š Š ě é Š ď ň ý Š Í ýš Í
Ú ř Ý ě ě š ř ů Ý Í ř ě Ú ý ě ř ě Ú ú ř ě ž ř é ě é ě ř ž é ě Ř Ě ř ě é ů ý ů é é Í ř é ř ř é š ě é ř ý ú ýš ý ř ě ř š ě ž ý é ř ě ň é ó š ž ž ř ě ž ř ý ž š é ř ý ů ě ě š ž ž ý ř Ů ř é ř é ř é é é ě ž
ý ž é é é ýš Í Č Á Ž ě é ěž ý ý Ž ěž ý ú ě é ý ě ý ý Ž Ž ěž é é Ž é é ě ěš ě ýš é é ý ý ě š š ě ě Č é ě ú ěš ě é Ž ě š ů ě Ů Ř Č Ž Ý ů é é Ž é Ž é ě Ž ň ů ý Ú Č Ž ý š Ž š ě é é Ú é ů ý ě Ž ě ů Ž Ž ě Ú
1. Základy měření neelektrických veličin
. Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost
Vlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
š é é š é é Ť Ž Š é é é š é š Ž é Ť Ť š é š š š ž Ť š š š é é é ž š Ť š é ž š Ťš é Ž ž ž ž Ť š é Ť ž Ž ť ž Ť ž ď Ť š é š č é é Ťš ž é Ť é ň ň ž é č š Ťš é Ťš č Í éíš š č é Í ž Š é Í š ž č š Ť ž é ž š é
Ř Š Á Ú š ě Ů Ď Ř Ň ý É ó Ú ý č Ů Ó Ú š Ú Š č ó ýš ó Ýš ý š č ž ú ň úš ý ě ú ď ý ě ě č Ž Š Á ě č Č ž ž č Š č ž ó Ť ž č č Ž ýš č č Š č č ě č Č ó ů Ž ž ý č č č ě ý ě š ě ě ú š č ý ý ů č č ž ů ě č Š č ž č
č ů š Š ú č ř č č č ř ř č ý ř ž č Ú Č ů Ú ř ř ř ý ů ř Ý Á É č ý Ý Á Í Ř Á Á ý č č ř č ý ů č ý ý ř ý ř Ť č ý ž č ř č ů ž ý ý ř č č č ž č ř č č ýš ý ó š ž ř ž ý ť Ť č š ř Ď ýš ř ý ú ů š ž č ý č ž ť ř š ň
Ú Í č č ď ú ů ů ě ú ě č ě Í ě Ž š ž ž úč Ř Í É ď ěň č ů š ě ď š ě ě ž ě č ě ů ů č č ě ěž č ů č ě č ů ě š ů Č ě ě č ě š ě ž ě ě ě š ď ě č úč ú ČÚ Č úč úč ž č úč úč ě Ť č č č ě úč úč úč Í Ž č č ě ě ě ů š
é é é Í ý é Č ě é ě ě ě ý ů ě Ý é ž ů ý ž Í é ý ý š Č š Č é ě é é é é Š ěč Č Ů ě é ě ý ú ž ž ů é ě ě ě ý ý ě š ť š ě Š ě ý ě é š ě ů ú ě ý ě é é é ú Š ě é é é ě š š ý ž ů ě ý ž ů ě ý ý ě é ú ž š ě š ý
:6pt;font-style:normal;color:grey;font-family:Verdana,Geneva,Kalimati,sans-serif;text-decoration:none;text-align:center;font-variant:no = = < p s t y l e = " p a d d i n g : 0 ; b o r d e r : 0 ; t e
é ú ď é é ó ú é é ě é ě é č č ě ě ě ý ů š ě č ď ě é é Ž š š ě Ž é ě ě ů ý č š ů é č é ě Ě Ř Ě Ř É ž Ž ž ě é é é ů ý ě č Ž č ý š é č ě é ý č é éž č čů ý ý Ž é č ý ě é č Ě ě ý ž ě č ě ě ž ý ů ů ě ž é ž
ť Č á ě š é é ú á ň á á ě ě ě á ě é Č á é á á é š á š á á á š á á ž áš ž á é á ž á á é é ů á Ž á é ě á ž é ě ž ů ý ě ý ý é á ú ý á š ě á ě é ý á ý á ý ě ě á á Í ů Ž š á é á ú ý á š ě á ú š ě žá é š é é
ý Á Ť ó ú Ě Á Á Ř Á Í š ě é ý ě ž Š ě é ě éž éž ě ž é ě ý ě ě š ů ý Ř Ě Ě ý é ě ů ů š ý ý é ě ě é é ě ě é ě ě é š ž ě ě ě ý ž Š ý ž ě ě ě ě ú é éž ě ě ě ě ě ěž š é é é ž ě Ě Á Í ě ě ý é ě ý ý ě é é é ů
POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
É Ř ÉÚ š Ž š š š š É šř Ů Ě š š Ý Ř Ý š Ž š š Ě Ř Ě š š Ř É É ť š ť š š š š ť š š š š ť Ý š š ť š ť Ž š Ř É ť š š É É ť ť š ť ť Ž Ž Ř š š š Ž Ž Ř Ý š š š š š š š š š š Ž š š š š Ú š š š š š š š š Ř š š
ž ž ě Ý Ý ž ě ě ě Š É Ý Á ě ě ů ž ě ě ě ě Š ě ž ž ě ě ň ě ž ž ě ě ž ů ě ž ž ů ů ě ě ž ě ě ž ě ž ě ň Á ě ů ů ě ž ě ě ž ě ě ů ů ě ů ě Ž ž ž ň ž ž ě ž ž ů ž ž ě ě ž ž ž ž ě ů ž ž Ů ž Č ů ž ž ž Ů ž ě Č Ž Č
Š Ě ř ý ů ů Č Č š š š š ú
š Č Č ň š š Š Ě ř ý ů ů Č Č š š š š ú š Č Č Č Č Č Č ý ý ů ý ý š ř Ý ů ů š ř š ý Ř Ý É É ý ý ý ý ř š š ň ř ň ň Ř š Ů š Č ť ť š š š Ý ť š š ť š š š Á Á ň š š Ů š š Á ň š š Ň É š š ň š ň ň ň ú ť Ů Č ú
í é ě é é é ř é í í ř ř é í í é š ř í ý í ř í ěž ý ř ě é č ř í é ř ž ě ě ý é š ř í ř é í í ž š í í í ý é ý í í č Í ř š ý ý í č ššíč é č í ě é ž ř č ěž ý ř ě é í é Í é í č ý í í é š č í ř í é ě šíř í í
ž Š ť ú ň ě Š ůž Á ň ó ť ó ú Ť ě ú Š Ť Š ó ó ó ť Ď Ý ó é Ť Ť É ŤĎ Ť Ú É Ť ě ú Ť ó ůž ě ě ě é ě é Ú é ě é é é é ě ě š ě é é ě Ť é š ě é é Ť ž ě ě é ě ě š ů ě ž ě ě Ť ě é é é ž ó ě é ě ú ě ě é ě ě š ů ě
É Á Ě ř š š š Ž Ě ŽÁ Á š É š É Ř Ř Á Š Á Ě Š Ž š É Á Ě Á š š Š É Á ď Š Ž Ž š Ž Á É É Š Ě Ž Ó Á Ú Ž Ž Á Ď Ž ť Ň Á šš š Š Á Ř Ž Ž Á Á Ř Š Ó Ň ť Š Ž š ď Ě š š š É É Á š š ť Ě Ě Ú Ž Á Ž Ó Á Ě É Ž Ž Ě Ž Á Ř
Á Č Č Š Ě Ý Š Ě Č Ý Ú Š Š Š Š Š É Š Č Š Š Č Š Č Š Č ď Č Š Š Š Š Ď Š Š Š Č Š Š Ť Š Š ď Š ž Š ž Š Š Š Š Ř Š Ť Š Š Š Š Ú Š Ť Š Š Č Č Č Š Š Č ž Š Č Č Ú ď Š Š Ý Š ď Č Ď ž ž Á ď Č Č Ú Č Š Ř Č Š Š ď ž Č Č Š Š
Á ý Ř Ů ó Í ř ř ě é Í ž óý Í š Č ň ř ř é ě ž ó Í ř ě ř ě é ř ž é ž ž ů ž ř ů é é ú ř ě é ř Í é é š ě ě ý ý žé ě ž ř é ě ř Í ž é ů ě ž ý ě é ů ý ů ň ů ú ú é ú Í ř ů ú é é ú ú ú ú ě ú ř ř ě ú ú ž š ě ú é
Ž ý Ď ů ů ě ě ý ú ě ě Ž ý ň Ž Š š ě Č ú ě ů ů š ý š ě Ž Ž ě ž ý ň Ž š š ě ě Č ě ě ů Ž ž ú ý ž š š Ž ý Ě ž š ž š Ť š Ž š ě ě šý ž ž ě š ž ě ý š ť ť šť š Ť ýš ž ý ě Á ů ů É ě ý ě Ž ě ý Ž š š ě ú Č ě Ů ů
a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.
Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot
ý ě ř ý ř ě ň ý ř ě ž ý ř ó Č Č ě ě ý ě ý ř ý ř ě ý ň Č Č ú ě ó ó ě ě ě ó ě ý ě ý Ř Ě ř ě ř ř ř ž ž ř ď Ě ě ě ó ř ř ě ýš ř š ě ó ř š ě ý ú ýš ě ě ě ř ě ě š ř ů Á Č ě ý ý ě ý ř ě ř ý ě ě ň ý ú ě ř ě ě š
š ě ě š ů ů ó ě ť ě é Š Č ú ň ň ě ě ě ť ě é Č Č Č Č é ě ú ň ú ě ě ě é Ú Č éž ě ž ý ž ýš ý ě ý é ž é Ž š é é é é ž ý ý é é ž ě ý ý ť š ů š ž Ž ó é š ě ů é š é ě é ě ě ě ý š ě š ú ý ě ě ů ě Š é é é ě ž é
ú Ý É Ě ň ú ó Ř Á ň ň ň ú ť ó ň ú ň ň ň Č ň ú ú ť ň ú ú Ý ú Ú Ó Č ď ó Žň ó Š Ť ó ď ť Č ú Ž ú ú ú Č ď ó ň ú Ú Č ň ú ď Č ď ď ú ó ť ť Ň ň ť ú ú ú ú ó ú ó Č ú ň ň Ž Ú ú ú ň ť ň ú ň ú ň ň Č ň ň ó ú ň ó ú ň
Ú É Ě ý ž ý ž ú ú ú ů ů ý ú Ř Á Ě ú ů š ů Č ý ú ů š ů Č ý ý ž š ů Č Á Ř Ě É ý ž Ú Ř Ě ú Ú ž ž ž ů ň ů ý š š ý ž ý ý ú ů ú ž Ň Á ň ý ů ů ú ň ň ž ž ž ů ň ň ž ú ň ň ý ý ž ň ň ý ň ý ž ý ň ň ý š ů ý ů ý ň ž
ú ú ň Ú č ú ú š ě ú ě ě š ů ú ž ž ě ě ž ě éů š č ě šú ě ú ú ě š č š úě ť é é š ě ě č š š é ú ě š ě ě š ě č č é š č é č š ě é š ž ů š ě ě č é ú ě é ž ě ě ů é ě ě č ň č ě é č š ů éš ě ě ě š š ě ó č ě ě é
ě ě ě ř ě Ý ď ý ě ř ž ě š ě Ř Ě Á Ř Ř É Á Ě Á É Ř Ř É Á Ě Á Ř Ř ů Á É ž Á ů Á Á ů š Á Á ú ě ě ě ř ě ě ě ř ě ý ý ě ř ž ě š ě Ř Ě Á Ř Ř ú Á ř ř ě ř ř ř ě Ť ř ž ý ě ř ž š ř ě ě ěř ř Ě Á Ř Á ř ý Ě Á Ř Ř É
ť Ď š Č Č č š č č š ď ď ó Š š Š š č č
š ť ť Š Ůď ď Č Č Ř ď Ů š ť Ď š Č Č č š č č š ď ď ó Š š Š š č č Ů ď ď ď č š č ň Č č š č č č č úč č ť č č č č č š č č č Š č Č ň č č š ň č č š č Š č č Č Š č č č č č Š č ú š č č ď š š š č š ú č š č š Á Á ú
ě č č ě ť Í Ř Á ř č Úř ě é č úř ř š č Í ř ě ě Š ř ť ě ě č š č ě ě š é ň ů ř ř Ž ž č š č š řé ě ř š ě š č š é ú ú ř ř ě ú č é é ě ů č š č ú ů Ú ř š ě ř é ě š ě ů ř Ú č ť ř ó é ť č é ř ř čů é Ž ř ř š ě Ž
ú Ž ž Č Č í í í í ě é í ě Ž í í ú í ů ů í í í í í í Ž í ě í í í í Ž í ú í ě í ě í í ú é í í í í í í í ě ě ů í ě í í í ú ů í ě í í ů ě í ú Č í í ú Ý í í í š ě é í í í í í í Ú í í Ó í í ů í í í Ů Š í ě í
ě úř úř ř Í č ě Úř úř úř ř š č ú ř ě ó šř ř ů č é ú ř ř ě žó Ž ž ě Ú Č Ú ě ř š ó ě šú ě ú ř ř ú ř ě ř ě ř é š Ú ř č ú Ú š ě ě ě ě ř ř ě ř é š Ú ř č ú Ú ŠÍř ř é š ř ř é š ř š ř ž é ě ě Ú ě ř č é ěř ž ě
Č Ň ď Č É ž Ť Ý Ó ě ť ě ň ě Ě é Ť ě Č Ť Ť ď é ž ÚÚ ť ě ě Ť ě Ť é Ě Ť Ť é Ť ě Ť é ž Ť ř é Č Ě Ý ě Ť é é é é ě Ě ť é é ž Ě Č é ěť é ě é ě é ť ě ž é ž ě Ě é ť Ě Ý ě ě Ť Ě Č Á É Ť é ě é ě ě ě ú ě ě Ě ě Ě Ě
Ř Á Í š ě š Ť Ť ě š ě ě š Ť š ž č é é č č ď ě Ď č Ť č ěď č ě č é š š č é ě š Ť ěž ěť š ě é ě š Ť ř é š é ě č Ť ž š ě é ž ž č ěžč č š č ž č š š é š š é Ř ě é č Ť é ť Ť Ž ě é é ň Ť š Ž é ěňž ň ěž č é é ň
ý ř ř Ř ř ř ř ř ú ř é ř ř é é ď é ě ř ř ý ů ý ů é ě š ř ů ř é ř ě ř ř ř ěř ý ř ř Č ý š ú ěř ř žú ě Ú š é ě š ř ů ř é úř ť é ř ě ř é ě ě Š ř ů ú ř ú ř ě Č é Č é ě š ř ů ě ř ů ý ů ě ě ěž ý Č ý ů ý ěž ů ý
ě úř Í Í Á Ř ě úř úř ř ú ř ě ě ř ů é ú ř ř ů ž ě Ž ě ě ř ě ě ú ě ř ř ú ř ú ě ů ú ř ř ó ú ě ě ě ř ů ó ú ř ř ú é ř ě ř ů Í ě Á ě Š ř ť é ř ř ú é ě ě ř ř ě ů ň ř ř ř ú ď ě ř ř ň ň Ž ř ě é ě é ž ě ě ú ř ž
Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko
Č é š Č é ě Č é é Š Č é ě Č Č Á éú ě éú é é é Š Č é ě š š ě é ě ě ž ú š ě Ž Ž é é š ě éž Ž é é Č é ě Š Č Č š ě ú ě Č Č é é Č é ě Š Č Č š é Č Č ú ě Č é ě ě ě Č é ě Ú ě Ř ě ě é ě ě Ž ě ěž é ě Ž ě š ú é Ú
Č ů Í é ý ě ý ž ě é ě ú ý ě ý ž é é é é é ú Č ě š ž ž ě é ě ěž é ž ů ž é ě ě ž ě ý ě ý ý ý ů Č ž ý ž é é é ó ů ž ý é ž ž ě ě é ýš ýš ě ě ě ě ý éů š é é ž š ě ž ýš ě é ž é Í Ů é ě é é é ž ě ě ý ě ý é é
é ě Á áž ý á ě á ž áš ý ý ě ň ý é é é á ě ě á é á ý ů á ů ě š ě ý č á č ý ý ů ř é ě š ř é é á é á ř ž á ž á á Í á ř é ř é Ó é á á á ýš é á ě ř ř ý ě ýš é ž é ř š č é ýš č ř áč ý ý ř ý ž č ř ž č ěř ř ů
Á Ě ň Í Á Ě Á Ý Í Ř Á Í Ř Í ú é ú ů ů ě é ě Š Ě ň ě Ž ě ů é Č ě é ě ě ě ě ď ú ů ů ě ů ě ůč é Í ž š ě š ě ů ě ů ů ú ů ú Ž ě ě é ě ů ě é Í é ů š ů é ů š ů ěž ů ú Ž Í ě ú ěš Ž é é š ě š ě é ď š ě ž ž ěž ů
Á ú Ě š Í ě ď š ň Ú Í Í ý ě ú ú š ý é ú ě ě š ů ď ú ž ž ě Ť ě ó ě é š é é š ě šú ě ú ú ě Í ú úě ť é ž ž é ž é ý ů ú ě ý ý Č š ě Ť ž ě ů é é ě ě Ž ě ě ě ž ú é ě ě ý é ú ě Ť ž ý ě ů é Í Ó ť š ě Í ě é é Ú
É É ŤÝ Á Ř Ž Ž ť Ř ň ň Š Č Ó Ó Č ť Ů É Ř Ó ň ť Ž Ů Ž Ó Ž ĚÁ Á Ž Ů Č ň Ů Ý Ý Ů Ů ň ť Ř Ů Ů Č Ř Ž Ů ň Ů Ž Ř ň Č Ů Ů Ř Ů Ů Ý Ů Ř Ý Á ň Ř Ů Ů Ř ť Ž Ů Ů Ř ň Ř Ď ť Ž Ů ň Ř É Ů Ó Ů ň Áň ň Ž ň ň Ř ň Ř Ů ť Á Ý
Á Á ú ž ě ů ú ž Ě ú ě ý ě ě ě ě ě Ě É ě ě ť ý ě ý Š Ž Š Ž ě Č ě ó ě ě Ž ů ů ě ě ť ž ě ě ě ě ť Ž ť ě Š ě ž Ž ě ě Ž ě ž Ž ý ď ě ž Ú Ž Ž ó Ž Ž ů Ž ě ě Ž ž Ž ž ů ý ý Ž ě ě ě ý ě ě ě ů ó ě ě óó ě ž ě ě ě Ž
ž ě č ů é é úč Ů úč ž ě č ý ž ě Í Č Ů úč Ž ě é ů ž é é ž ě š ý č ý č ý š ž ě úč ý é ž ů ě Ž ě Í ž é ě ě é č ě é ž ý ě ýš ý Ů Č ě ž ě ž ů ž ě š é ý é Ž Š Č é ě ž ě ý ž ě Ů Í ě ž ě ý ý ž ě ý ž ě š ž ě č
š ó š ó ů š ó ů ú ó ů š Ž Á Č Ž Í Ž š Í Í ÁČÁ Á É š ó š ó ů ó š ťí ó ů ó š š š ó Í Í ď ň Á ů š ů ů Ň Ž š ů Í š ú ů š š ď š ů š ů Ž Č Í ČÍ Í ů Ž ů ó Ý Í ň š Í Š š ť Ž Ž š Í Ž š ů ÁČ š Ž š Ž š Ž Ž ů Ě š
Ž Á Á é čá č č é ě é ě é áť Ž š é á é Ž č á á á ž ě ě ě Ť Ť Ž š á š é Ť é é ě ě é č č Ď á Ť é é áť á ě ě Ů č č Ž á é Í ě Ž é á ě ě é Ž ě Ž ě é Ž á é š é ě ě ŽÍ Ť ě š č ě Ž ě á é Ž Ť é á ě ŮŽ č ě š á ě
ň ě ň Ú ě Ť Ť ě ě ě Ť ě ě Ť ž ž ě ě ť Ť ž Ť ě ž Í ě Ť č ž ě Ť ž ě ě ě ě Á ž Ť ě ě ě ě Ó ě ě ě ě ě ž ě ě ž ě ž Ó ž Ó ě Ť č č ť ě ě ě Ť ě Ř ě č ě č ě ě ě Ť ž č Ť ě Ť Ť ě Š ě Í ě ě ě Ť Ě Ť ě ž ž č ěž Ť ž
Ú ě ý Ú š ě é ě Ú Á ý ě é š ě ú ě ý ž é Č é ě ě š ů š ň ž ý š ž ě ě š ů ě š ý š ý ě é éž Ř é Č é ý ý ě ů ž ů ě ě ý ů ú šť ý ú Ú ý š ě ý ě é ů ý ů ý ě ý ó ě š ž Ú úó ý Ú ý ě é Ú ě ý ý Č Ř ý é š ů é ú Ů
Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.
Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:
ú Š ú é é é ú ě ú ž é ě Ý Č ú ů ě ú ú ž ž ě é ů š ě ž ě é š ě é é ď ě ž ů é ě ú ů ů ů ž ě ů ů ěž é é š ň ě é ž é é ž žá éš é ň ě š Ú ž é é ě ď ú é é ůž é ž ú é Ž é ě é š ž ž ž ú š ů Í ě é ě ě ě ů é Ň Č
ť žň ť é Ů ý Ř é é ě ú ý ů ý ů é ě š ů é ě ě ý ž ú ú ú ě š é ě š ů é ě é ú é ě ě ě ě š ů ú ú é é ú ě ě š ů ě ů ý ů ě ěž ý ý ů ý ž ěž ů ý é ú éž ý ž ý ů ý ě ě ú ě ý ý ý ý ů ů ú ý š ý é ďé ú ů ů ů ý ů ů
Á Á Á ě ě Ó ž ě š ě ž Ť ě ě šť Ť ě š ě Ž ěž Ť ž Ž ě Ť ě ž Ť Ť ž Ť Ž Ó ě ď ě Ť ž Ž ž ě ě š ě ž Ž ě ž š ě š ě ě ž ě Ť ž ě Ž ě ě ň Ž ě ě É ž ž Ť ž ž ě ě ž Ť ě ě ě š ě ž ž ě Ú Ť Ť ě ž ě ž Ť Ď Ž š ž ž ž š ž
ů É Č Ň Ó Ž ě ž ž š ě Ž ž Ó Í ž Í ů ů Č š ú ě Í ů ž ě š ě š Í Í ň Í ů ů š ú ě ž ě š ě š Í š ú ů ž ů ě ú Í ů ů š ě š ě ňů š ú ě ú ě š š ě ť ž ď ě ž ě ž Í ů ě Í š ú ě š ě ě ě ě ú ž ž ů ůž ě Ú ů ů š ě Í
Ý é Ý ž ě é ě š Č ě š š é ě Ž š ě é ť Ť ř š é š ě ě Ž Í Ť ň ě é Ť ě Í š č ž Č é Ž š š š Ť ě š ě Č é Ž Ť é č č ě š č š é Ť č š ž ě ě é Ť ž ě š ž š Ž Ž Ž Ž č Ž ě š Ť ěž ě ě š Č é Č ěž ě č é ěž Ť ÍŽ ě é ě
Ě Á Á Í ř Č Č ú ř é é Č ý ě ý Š ě ř ů š ď é ř ř ě ř ě é ě ů š ě ř ý Š ř ř š ř ě Ě Á Í ů Ř ú ó ú ó ý é ř ý Ť é é ě ř é é ě ů ě ř Ťů š ř ý ý ů ě Ě Ě Á Í ě ě ř ř ř ě é ň ě ě ř ě ě ě ě ř ě ě ř š ě é ě é é
é á á š ů ů á Řá é é é é ň é ž řá é é áž ů é é á é á é š é é á é á ů á ů á ššú é ž ž ž žů Ž Č á á ž é š š Ý ů é é é á ď é á é á á é á é š é š é ř ů á ž é é š á á á ú ů á ů á á ú é é Ž é á ď ř á ž š ů ů
Š ů Š Á š ů ů Ú Č š ů š ů ů ť ť ů ů Č š ů ů ů š ú Ú š ú Č ů ů š ň š Ú ů ů Á Í ť ú š Ě ů ů š ů š ň ň š ú ň š Í ň Č Í Ý Š Š Í Á š ú Ů Ž Ú š š š ú Č š š ů ů š ť ů ů ů š š š ů š ň š š š Ň ň š š š š ň ú ú Č
Ž ž éč é ř Ž č ž ý ř ž š ř é é é ý ř Š č ý é Ž č ý š Ž é č ř ž ý ř ý é ý ř č ý ý ý Ž ř é ž š ž č š Ž ý Ž Ž ř š š č Ž Š Ž č Ž ň š ř š š ž Ž é č é Ž é ň Ž é é é Ž ž ý ý ř č ú č é é ř é é Ž č é ř Č é é š
Ý Á Á Ě ř é č ř ě ě š ř ů ř Í ě ř ř é ř Ž ž é ř é ě ě č ÍÚ é č Č Ř Ě Ř Á ř ř ř ě ř é ř ě ř é ú Č ř č ů č č č č Č ě é ě é č ř é ě č ě Č é Ž ž ů č ě Č Č ě č ě ň č č ť ř ž ň č Č ú ě š ůč ě č ú ě č ř ů ě ř
ř ř á á ý é ř é á ň ž ý á ý č ř á ů ř á ř á á ň řá ý á ý č ň ř č ý ř á š č á é ň á ů á ý á á š é č ů š č ů š č é á č š č é ž š á ř ý ř ý š á ř á ř ř ř ř ř á ý č Č ř ř é ý č ž ů á ů á ř é á č č á ý ž ž
Í Í ÁŘ É Á Ý Á ě ě č ě č ě č č č ě ě š ř ů ř ý Ý Á ř é ě č ř ů ř é ř ý ó ě é ó ě č č ú ó é ř ě ě č ó š ě ě č č č é ř ě ř é ó ř é ó ÁŘ Ý Ě É ě č č ý ý ř é ó ř é č š č č ř é ř ě ě ř é ý ě ě č ř ó ý ó č ů
ř é ú í Ď Ú í í š é í ú Ř ř é ř š ě ú í š ě š ě í ě í é ě í í č ř é ř š ě í ú í č é í ř í í ý ů ů ř í ý č é í í ř š ěú ř ý ř í ř ě í í ý ř ů ž í í š ý ů š í ř í ř é š ě ú í š ú č ý ó ř é ř š ě í ř é ř
Á Á Ž íš É Ú ě š š ó ří Ú í é ř ší ž í š ě ř ěž é ž í ří í ž í š é ž ří í ží ř í ě í í í ž ší ř í é ří í ě š é ú ě é š é Ř Ě í í ě š í ú ž é ž íš é ží í í í í é í í ž í í ř é ž í é í é í í é é í é ě ží
11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
![11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel](/thumbs/94/121764039.jpg "11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel")
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
ř ž ý ě é ž ě ú ř č ž š ý ž ě é ř ě ě ě č ý ě ě ž ř ý ř ž ž ž ý ě é ž ý ř ě Ž ř ž ž ž ž ě ý Ž é ý ř ž éč ý ř š č ě ř é é é ě ý ě ě Š ž ř ž ě ý é ě č č š ý š ý ě ř é ř ž ě š ě ě ý ř š ř ž ř ř ě ý ř é š
á á á á é ě Ů ú ě á ě ý á á ě ý Č ú ř Č Č á é á ě ř áš á Č ý ý ú Š á á á řá ř á ě ý š Č ú Č Č ř ě é é á á é é á é ř ě é á ě ě Ů ů ů š ě Č é é ú ý Ž ý á á ý Č é ř á é á ě ě ů é á é ý ř é ř é ů á ř ř á ě
Š ď é ě ěř é š ř ř Ž é ř é ě ď ěř é ď Ú ě ý ú ř ř Á ř ě é ř ě ř ě úř ř ý é ě ř Ž ř š é ř é ě Í Í ý ř ě ú ě š ěř š ěř ěř š Ž ř š ě š ě Ú ř Ú é ě š ě Ú ě é ě Ú ř ř ě é ř é ě š ě é ě ě š ý é úř ý ř ř ť é
Ý Í Á ž ú ú é é é Ú ů éž ú é é ň ú ú ž é Ž Íž ň Í ň É š é é Í ž ů Č ž ž é é Í é Í Š Í Í Š é Š éš Í é š é š é ů é Š š ů Í é é É é É Í é ž š é Í Š Š Š Íš Í Š Š š é ž É Í Š é É é é Í Í š ú ň Ž é Ž ů ů Ý
Ň ř é é Č é š ř é ř Ř ř ž Í žá žá ú ř š ř É žá žá Á ŽÁ Í Á š ž ž é š é é žá é ř é é ř ž ú Ú é ř é é Á ó é žó ž š Č ř é é š ř Ů é ž ž ž ř ř ž é ř ž ř ó ř ř žň ř ř é ř Ů ž ó Ů ž ú é é š ž ř š š š Ž Í žá
ý ň ý ř Ž Í šť č č ň ř ň ř č ú ý ě ř ž ž ě Í Č č č č ú ě ý ř ž ž ě č ě é ě ž š ž ě ř ř ě ž é ř ě ě ý ž ě š ž š ý ý ě ž ý ř č é ž ě ů é ě Í š é é é é Í ý é é ě ěž ě ě ř ě š ž ě é ř ř ě ž é ý č č é ě ě š
éú ě á á č ě ř é á ě ě á čá ř é Ř ř á ě á á ě ě á áčá ě á á á ě ě ř é á ě ě ě š ř ů á á č á ě áš é čá ř é č ř ř ý ř ěř ř š á úě ž ů é č ů é č á á č á á ř é á á á č á ř č á ý ř ř á ž ů ř ů ř é ě á á č ř
ě ú ě ř ý ř ě ř ž ý ě ě ž ý ě ť ě Ě ú ý ý Š ě ž ť ř ř ť ř ř ř ž ť ř ž ě ě Ř Ý Ě Ž Š Ě ú ě ž ě ú ě ř Ž ě ž ýž ě ř ž ě ú ř ě ě ě ř ř ý ě ý ř ú Ť ě Ž ř ě ý ý ř ě ě ř ě ř ě ý ě ř ý ř ů ý ř ě ě ě ř ú ě Š ý
Č Á Í ř Č č é é Č č Č č š ď ť čí ěí ě Íď čí Ř É Č ěí č É É ÚŘ Á č Á Ů Ů Č É č č ů ů ů é Ú Č é č ů ů č Ž č ů ř č č č é ž Ž ú Č é ř ř š Ž ů č ů é ě č Ž š ú Č é Ž ř ř č ú é ž ů č č é ř č č ě é é ů ě č é Ž
ě Í ú É Á ě Ž ě ě š ů ě ě š ů ž ť ě ě ů š ž ě ě ú Š Ž ž ě ě ů ů ě ů ť ě ž ě Ů ž ž ě ě ž ž ů ť ě š ě ě ž š ě ě ů ě ů š ě ě ž ě ů ě ě ů Íš ě ú ž ě ú ž ě ě š ů ě ě š ě ň ě ě ě ě ť Š Ž Ž ě ě ť ó ť ě ů ě ť
ú ř ů š Ň Ž š š ř ř é ř š ř ů ú ř š ú ř Č ř ř ř ř é ř é š é é é š ř ů Č é ú Ť Č Č ú éř ť š ú é é ř é ř ř é ř é ř ř ř ř é é é ř é é š Ž ů ú Ž ř é ř ř é š Č ř é ř Č š ř ř Č ř ň é ř é ř ř ř Ů ř é é Č é š
ř ý š ě š ř ř ř č ř ý š é š ř č Ě ý ů é š ř č é ě é ř ř ý š é š ř š š ř č ý é é é é č č ě ý č é č é č š ř ř ž ý ř Á é č š ř ř Ž ý ř ý č š ý ž ú Í ý č š ý Ž Ú é č č ě ý ý ý Ž é č č ě ý ý ý ý Ž ý ť ý ě ě
š š Á ň ť Á ň ň š š ř š ť Á š ň ň Ž ú ť š š š ú š Ý ť ť š š š Á š š Č š š š Ě š Ů É Á š ť ú Š š ú š š ú š É Ý ú Ě ť š Ž ť š š É ň É Á ú š š ť š š š ť š ř ť ú š Ů š Ú ú š ř ť Ů ú Š Č š š Ů š š š ř š šý
š é Č č č č Š č Ž ž Ě é š š é Ž é ť é Ť š Í é é Ť š Ť é š Ů Ť Ř é Ť Ž Ť č ť é Ó š é ž ž Š ž š š š Ů č Ť č Č š č š š š Ť Ť é š ž ž ť ž ď Í ž š é Ž Ž š é ž č ž éšť ž Ť č š Ť š Ů Ť Ó Ť č š é é š é č č ž š
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Ť Č ť Š ě ě Ž Í ď ž ěů ě ě Č ú ě Ú É ů ě Ž Ž ó ě š ž ě Ť ď ě ž š ž Ž ě š ě ě š ů ě š ě ž š ě ž ž ě ě ě ě ě ě ů ě Č ů Š ě Ť ě ů ť ž š ě Ž ň ě ň ě ň ě ě ůž Ť Á ěů Á š ě ž Ť š ě ž Ť ě ě š ě ě Ť Č Š ě Í ě
č ÉÓ á ž á ěž ě ě č ž č š ě ž á ď á č é Ť ě é č č č é á Ť é á č Ó č č č ž č ě é á š ň é ú á Ť ě é ň ě ě á Ť é ě Í č á éň ěš á é Ť áš Ť á ž é ž š ě á ě á ť č š ň á á á é ě ě ě á é á č ě á á Ťá ě ě š á ě
úř Ř ř ů ě ř ů ě úř ř č É ž ž ž ž ř č Ž ř ě ů é ř ů é ů ž ř č É é ů č ě Ů é č č ř ě é ě č ř É ě č Ě ř ě ě ů Ě ů é č ž ř ž ř šž ř ž é ž ř ž š ě ř šž ž č ř ů ř ě ž ě é ř ž Ě ř é č ě ě ů éž š ě ě Ě ů ě ú