MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY"

Transkript

1 MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje na teoretický výklad látky z této knihy. Zároveň jsem se ale snažila uvést do této sbírky všechny důležité vzorce, které při řešení příkladů využívám, abyste po prostudování příslušných kapitol z knihy Matematika mohli sbírku používat i samostatně. Je zde řada příkladů řešených detailně, u dalších jsou uvedené výsledky, případně rady a návody. Studijní jednotky jsou navrženy tak, aby obsahovaly látku, která spolu úzce souvisí, a je možné je pochopit a nastudovat najednou jako celek. Předpokládám, že jste už úspěšně zvládli předmět Matematika, ovládáte základy diferenciálního a integrálního počtu funkce jedné proměnné, diferenciální počet funkce více proměnných a máte základní poznatky o řadách.

4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah Diferenciální počet funkcí více proměnných 3. Parciálníderivacefunkcevíceproměnných Lokálníextrémyfunkcedvouproměnných... 9 Diferenciální rovnice prvního řádu 4. Základnípojmy Separovatelnédiferenciálnírovnice Lineárnídiferenciálnírovniceprvníhořádu Diferenciální rovnice vyššího řádu 3 3. Homogennídiferenciálnírovnicevyššíhořádu Nehomogennídiferenciálnírovnicevyššíhořádu Funkce komplexní proměnné Komplexníčísla Funkcekomplexníproměnné Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky Integrál funkce komplexní proměnné 4 5. Integrálkomplexnífunkcepomocíparametrizacekřivky CauchyůvvzorecaCauchyovavěta Teorie reziduí 5 6. Laurentovařada Singulárníbodykomplexnífunkce,reziduovávěta Laplaceova integrální transformace DefiniceavlastnostiLaplaceovytransformace ZpětnáLaplaceovatransformace ŘešenídiferenciálníchrovnicLaplaceovoutransformaci Laplaceovyobrazykonečnýchimpulsů Fourierovy řady DefiniceavlastnostiFourierovyřady Z-transformace DefiniceavlastnostiZ-transformace ZpětnáZ-transformace ŘešenídiferenčníchrovnicpomocíZ-transformace

5 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 STUDIJNÍ JEDNOTKA FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Cíle studijní jednotky. K zvládnutí této studijní jednotky potřebujete znát diferenciální počet funkce jedné proměnné. Zavedeme pojem funkce více proměnných a ukážeme, jak se počítají parciální derivace prvního, ale i vyššího řádu. Potom soustředíme naši pozornost na funkci dvou proměnných a naučíme se počítat rovnici tečné roviny k ploše. Na konci této jednotky najdete metodu na hledání lokálních extrémů funkcí dvou proměnných. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Parciální derivace funkce více proměnných Funkcenproměnných funkce f: R n R,kterázobrazujebod(x,...,x n ) R n dobodu y R.Značíme y= f(x,...,x n ). Definičníoborfunkcenproměnných množina A R n bodů,prokterémádefiniční předpis funkce smysl. Funkcedvouproměnných funkce f : R R.Značíme z=f(x,y).definičním oborem takové funkce je část roviny. Grafem je zpravidla plocha. Parciálníderivacefunkcenproměnnýchpodle x i jederivacefunkcejednéproměnné g(x)=f(x,...,x i,x,x i+,...,x n ).Značíme f x i nebotaké f x i. Parciálníderivacedruhéhořádu f x i x j (x,...,x n )=(f x i (x,...,x n )) x j.jetoparciálníderivacefunkce f x f i (x,...,x n ),podleproměnné x j.značímetaké. x i x j Gradientfunkce fvbodě A vektor gradf(a)=(f x (A),...,f x n (A)).Značíme také f(a). Je to směr, ve kterém funkce nejrychleji roste.

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Poznámka.Připočítáníparciálníchderivací f x i považujemezaproměnnoupouze x i, na ostatní proměnné se díváme jako na konstanty. Pro výpočet parciálních derivací platí pravidla o derivování součtu, součinu a podílu funkcí. Poznámka. Můžeme počítat i parciální derivace vyšších řádů. Parciální derivace n- tého řádu je parciální derivace funkce, která sama vznikla jako(n )-ní derivace. Při počítání parciálních derivací vyšších řádů nezáleží na pořadí, v jakém počítáme derivace podle jednotlivých proměnných, jsou-li tyto derivace spojité. Tečná rovina k ploše Takjakoufunkcejednéproměnnéjsmemohlivyužítderivacivboděkzapsánítečnyv tomto bodě, můžeme využít parciálních derivací při hledání tečné roviny k ploše. Někdy sejednáoplochu,kterájegrafemfunkcedvouproměnných z= f(x,y).vtomtopřípadě říkáme, že plocha je daná explicitně. Někdy z rovnice plochy neumíme vyjádřit proměnnou z, například u kulové plochy. V tomto případě říkáme, že plocha je daná implicitně. Rovnicetečnéroviny ρkploše z= f(x,y)vbodě T=[x,y,z = f(x,y )]: ρ: f x (T)(x x )+ f y (T)(y y ) (z z )=. Tečnárovinakplošedanéimplicitněrovnicí F(x,y,z)=vbodě T=[x,y,z ], prokterýplatí F(x,y,z )=,márovnici: ρ: F x (T)(x x )+ F y (T)(y y )+ F z (T)(z z )=. Příklad... Najděte definiční obor funkce: a) f(x,y)= 4 x y b) f(x,y)=arcsin x + y 6 3 Řešení: a) Přirozený definiční obor této funkce tvoří body, pro které platí 4 x y,tedy D f = {[x,y] R x + y 4},cožje uzavřenýkruh sestředemvpočátkuaspoloměrem. Grafemfunkcejehornípolovinakulovéplochy x + y + z =4, z. b)zdemusíplatit x + y 6 a x + y 6.Poúpravědostaneme 3 3 definičníobor D f = {[x,y] R x + y 3ax + y 9},což je mezikružíohraničenékružnicemispoloměry 3a3sestředemvpočátku.

7 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 Příklad...Najděteparciálníderivacifunkce z= y x+y. Řešení: Nejdřívespočítáme z.připočítánípovažujeme yzakonstantua x derivujeme z jako funkci jedné proměnné x. z x = (x+y) y (x+y) y = (x+y). z Podobně při počítání y funkci jedné proměnné y. považujeme xzakonstantuaderivujeme zjako z y = (x+y) y (x+y) = x (x+y). Příklad..3. Najděte parciální derivace funkce z podle jednotlivých proměnných a) z= x + y 3xy+4x+5y 7 b) z= ysin(x y) c) z= x cos(x+3y) d) z= x y, x > e) z=arccos y x f) z=arctg x+y x y g) z=lnsin(x y) h) z=ln(x+ x + y ) Řešení: a) z x=x 3y+4, z y=y 3x+5; b) z x=ycos(x y), z y=sin(x y) ycos(x y); c) z x=xcos(x+3y) x sin(x+3y), z y= 3x sin(x+3y); d) z x= yx y, z y= x y ln x; e) z x= y z y= x y ; f) z x= y x +y, z y= x x +y ; g) z x=cotg(x y), z y= cotg(x y); h) z x= x +y, z y= y x +y +x x +y. x x y, Příklad..4.Dokažte,žefunkce z= e x y vyhovujerovnici x z x + y z y =. Řešení: z x = e x y y ; z y = e x y ( x y 3 ). Dosadíme do rovnice: ( ) x e x y y xy e x y 3 y = e x y x y x =. y

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..5.Dokažte,žefunkce z=ln( x+ y)vyhovujerovnici x z z +y x y =. Příklad..6.Dokažte,žefunkce z= e x y ln yvyhovujerovnici x z x + y z y = z ln y. Příklad..7.Dokažte,žefunkce z=ln(x +xy+y )vyhovujerovnici x z z +y x y =. Příklad..8. Najděte parciální derivace funkce u podle jednotlivých proměnných a) u=x y yz 4xy+6xz b) u=ze x3 cos(x y ) c) u=e sin(z xy) d) u=arctg( x y ) z y e) u=ln f) u=x 3 y w z w +5yzw x + z Řešení: a) u x=xy 4y+6z, u y=x y z 4x, u z= yz+6x; b) u x= x z e x3 cos(x y ) [3cos(x y ) xsin(x y )], u z= e x3 cos(x y ), u y=x 3 yzsin(x y ) e x3 cos(x y ) ; c) u x= y e sin(z xy) cos(z xy), u y= x e sin(z xy) cos(z xy), u z= e sin(z xy) cos(z xy); d) u x= z, x +y +z xy u z y =, x +y +z xy u y x z = ; e) x +y +z xy u x= x, x +z u y=, y u z= z ; f) u x +z x=6x, u y= yw+5zw, u z= zw +5yw, u w= y z w+5yz. Příklad..9.Dokažte,žefunkce u=x+ x y y z vyhovujerovnici u x + u y + u z =. Příklad... Najděte parciální derivace funkce f v bodě A podle všech proměnných a) f(x,y)= x+y x y, A=[3,] b) f(x,y,z)=ln(x + y + z ), A=[3,,] c) f(x,y)= x y + y x, A=[,] d) f(x,y,z)= x y + y z z x, A=[,,] Řešení: a) f x(a)= 4, f y(a)=6; b) f x(a)= 3 7, f y(a)= 7, f z(a)= 7 ; c) f x(a)=, f y(a)=; d) f x(a)=, f y(a)=, f z(a)=. Příklad...Najdětehodnotusoučtu u x + u y + u z f(x,y,z)=ln(+x+y + z 3 ). vbodě A=[,,]profunkci Řešení: u x + u y + u z A = +x+y + z 3+ y +x+y + z 3+ 3z +x+y + z 3 A = 3.

9 MATEMATIKA Sbírka úloh 7 Příklad... Najděte gradient funkce f v bodě A a) f(x,y)=x 3 + y 3 3xy, A=[,] b) f(x,y,z)=x e z+y, A=[,,] x c) f(x,y,z)= x + y + z, A=[,,] d) f(x,y,z)=xyz, A=[,,3] Řešení: a) f =3x f 3y =9, =3y 3x = 3. x A A y A A Ztohogradientfunkcevbodě Ajevektor gradf(a)=(9, 3). b) f(a)=(,,); c) f(a)= (7, 4, 4); d) f(a)=(6,3,). 8 Příklad..3.Napišterovnicitečnérovinyknásledujícímplochámvbodě T=[x,y,z ]: (a) z= x y, T=[,,?] (b) x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6=, T=[,, ] (c) z= x + y xy, (d) 3x 4 4y 3 z+4xyz 4z 3 x+=, (e) z=x 4y, T=[3,4,?] T=[?,,] T=[,,?] Řešení: a) Nejdříve spočítáme třetí souřadnici bodu T. Bod leží na ploše, a proto z = f(, )=.Dále z x = x, z x (T)=; z y = y, z y (T)=. Rovnicetečnéroviny ρkploše z= x y vbodět=[,-,]: ρ:(x )+(y+) (z )=. Poúpravědostanemerovnicitečnéroviny ρ:x+y z =. b) Plocha je daná implicitně. Bod T leží na dané ploše, protože souřadnice tohotobodusplňujírovniciplochy:+8 6=.Spočítámeparciální derivacefunkce F(x,y,z)=x 3 + y 3 + z 3 + xyz 6: F x=3x +yz, F y=3y +xz, F z=3z +xy; F x(t)=, F y(t)=, F z(t)=5. Potom ρ:(x )+(y )+5(z+)=. Poúpravědostanemerovnicitečnéroviny ρ: x+y+5z 8=. c)t=[3,4, 7]aρ:7x+y+5z 6=; d)3x 4 4+4x 4x+= 3x 4 =3 x= anebo x= T =[,,]a ρ : 3x y z+=ataké T =[,,]a ρ : 3x+4y =; e) T =[,,4]a ρ:8x 8y z 4=.

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..4. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f podle jednotlivých proměnných a) f(x,y)=xe y b) f(x,y)=x+y+ xy x y c) f(x,y)=xy+cos(x y) d) f(x,y)=ln(x + y ) e) f(x,y,z)=xyz 3x+7y+5z ( ) y z f) f(x,y,z)=ln x Řešení: a) Nejdříve spočítáme parciální derivace prvního řádu dané funkce: f x = ey, Potom f x =, f y = x ey, f y = x ey. f x y = f y x = ey. b) f xx = y, f (x y) 3 xy = xy, f (x y) 3 yy = x ; c) f (x y) 3 xx = cos(x y), f xy=+cos(x y), f yy= cos(x y); d) f xx= y x, f (x +y ) xy= 4xy, (x +y ) f yy= x y ; e) f (x +y ) xx=, f yy=, f zz=, f xy= z, f xz= y, f f) f xx=, f x yy=, f y zz=, f z xy=, f xz=, f yz=. yz= x; Příklad..5.Dokažte,žefunkce z= e x (xcos y ysin y)vyhovujediferenciálnírovnici z xx+ z yy=. Příklad..6. Dokažte, že funkce z = arctg(x y) vyhovuje diferenciální rovnici z xx+z xy=. Příklad..7. Dokažte, že funkce f(x,y) = xy x y f xx+f xy+ f yy= x y. Příklad..8. Dokažte, že funkce u = u xx+ u yy+ u zz=. Příklad..9.Najděte z (4) xxxykde z= yln(xy). Řešení: z x= y xy y= y x, z xx= y x, Příklad...Najděte z xyykde z=ln(x + y ). Řešení: z xyy= 4x(3y x ) (x +y ). vyhovuje diferenciální rovnici x + y + z vyhovujediferenciálnírovnici z xxx= y z x xxxy= (4) 3 x 3. Příklad... Dokažte, že funkce z = xe y + y e x vyhovuje diferenciální rovnici z xxx+ z yyy= xz xyy+ yz xxy.

11 MATEMATIKA Sbírka úloh 9. Lokální extrémy funkce dvou proměnných Lokálnímaximum(resp.minimum)funkce z= f(x,y)jehodnota z = f(x,y )vbodě T=[x,y ],jestliževlibovolnémboděnějakéhookolíbodu Tjsoufunkčníhodnotyfunkce fmenší(resp.větší)než z. Při hledání bodu extrému funkce proměnných postupujeme podobně jako při hledání extrému funkce jedné proměnné: Najdeme stacionární bod funkce f(bod ve kterém je gradient funkce rovný ), potom pomocí druhých parciálních derivaci zjistíme, zda v tomto bodě existuje maximum nebo minimum, ev. že v stacionárním bodě nemá funkce extrém. Hledáníextrémufunkce z= f(x,y):.spočítáme f x a f y apoložímejerovnynule..najdemestacionárníbod T=[x,y ],vekterém f f (T)=azároveň x y (T)=. 3.Spočítáme f x (T), f y (T), f x y (T)aztěchtotříderivacívytvořímejednočíslo: D(T)= f x (T) f y (T) ( ) f x y (T). 4.Podleznaménka D(T)rozhodnemeoexistenciextrémuvbodě T=[x,y ]. (a)pokud D(T) <,funkcenemávtomtobodělokálníextrém. (b)pokud D(T) >,funkcemávbodě Textrém.Vtomtopřípaděještěmusíme rozhodnout, zda jde o maximum nebo minimum: (i)je-li f x (T) >,funkce fmávbodě Tlokálníminimum z = f(x,y ). (ii)je-li f x (T) <,funkce fmávbodě Tlokálnímaximum z = f(x,y ). (c)pokud D(T)=,nemůžemenazákladětétometodyrozhodnoutoexistenci extrémuvbodě T. Poznámka.Rovnice f f (T)=a x y (T)=vlastnětvrdí,žegradf(T)=. Příklad...Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 + y 3 3xy. Řešení: Hledáme stacionární body body, ve kterých má funkce nulový gradient: gradf=(3x 3y,3y 3x)= { 3x 3y= y= x, 3y 3x= x=y.

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Podosazeníza ydodruhérovnicemáme x=x 4 x(x 3 )=. Potom x=nebo x=.dopočítámepříslušnéhodnoty yadostávámedva stacionárníbody A=[,], B=[,]. Vypočítáme druhé parciální derivace funkce: f x =6x, f x y = 3, f y =6y. Vbodě A=[,]máme f x (A)=, f x y (A)= 3, f y (A)=. Potom D(A)= ( 3) = 9 <.Funkcenemávbodě Alokálníextrém. Teďvyšetřímebod B=[,]: f x (B)=6, f x y (B)= 3, f y (B)=6. Ztoho D(B)=6 6 ( 3) =7 >,afunkcemávbodě Blokálníextrém. Vidíme,že f x(b)=6>.vbodě Bnastaneminimum. Ještěspočítámehodnotufunkcevtomtobodě: f(b)=+ 3=. Příklad...Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e x y. Řešení: gradf = ( ) e x y ( x), e x y ( y) =(,) { x=, y=. Bod A =[, ] je jediný stacionární bod. Vypočítáme druhé parciální derivace: f y (x ), =e x x f x y y =4xy e x, f y (y ). =e x y Vbodě A=[,]máme f x (A)=, D(A)= ( )=4> azároveň f x=. Funkcemávbodě A=[,] lokálnímaximum; f(a)=. f x y (A)=, f y (A)=. Naobrázkujegraffunkcev okolí stacinárního bodu. f(x,y)=e x y

13 MATEMATIKA Sbírka úloh Příklad..3.Zjistěte,zdafunkce z= x 4 + y 4 x 4xy y málokálníextrémyv bodech A=[, ]ab=[, ]. Řešení: z x =4x3 4x 4y, Dosadímebod A=[, ]: z y =4y3 4x 4y. z x (A)=4 4 4 =, a z y (A)=4 4 4 =.Bod A=[, ]jestacinárníbod. Podobněmůžemedosaditibod B=[, ]doprvníchparciálníchderivacíaukázat,žeibod Bjestacionárníbod. Druhéparciálníderivacefunkcejsou z 4, x =x z x y = 4.Tedy D=(x 4)(y 4) ( 4). z y =y 4, Vbodě A=[, ]máme z x(a)= a D(A)=4 6 >.Funkce mávbodě A=[, ]lokálníminimum. Vbodě B=[, ]mámetaké z x(b)= a D(B)=4 6 >. Funkcemáivbodě B=[, ]lokálníminimum. Příklad..4. Najděte lokální extrémy následujících funkcí z = f(x, y) (a) z= x xy+ y y+ (b) z= x+y+ xy (c) z=x 3 +3x + y 3 3y x (d) z=x 3 + xy 6x (e) z= x xy+y +4x (f) z= 8 x + x y + y (g) z= x 4 +8x + y 4y (h) z=xy x 3 y 3 (i) z= x + xy 3y + y+ x (j) z=5xy+ 5 x +8 y Řešení: (a)gradf=(x y, x+y )=(,) T=[ 3,4]stacionární 3 bod.dále f xx=, f yy=, f xy= a D(T)= ( ) =3>. Funkcemávbodě T lokálníminimum. 3 (b)gradf=( x y, xy )=(,) T=[,]jedinýstacionárníbod. f xx= x 3 y, f yy= xy 3, f xy= x y ; D(T)= =3>, f xx(t)=>. Funkcemávbodě T=[,]lokálníminimum3.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně (c)gradf =(6x +6x,3y 3)=(,) Potom x= nebo x=a y= nebo y=. { (x+)(x )=, y =. Stacionárníbodyjsou A=[,], B=[, ], C=[,]a D=[, ]. f xx=x+6, f yy=6y, f xy= a D(x,y)=36y(x+). D(A)=36( 3) < neexistujeextrémvbodě A=[,]. D(B)= 36( 3) >, f xx(b) < v B=[, ]lokálnímaximum. D(C)=36(3) >, f xx(c) > v C=[,]lokálníminimum. D(D)= 36(3) < neexistujeextrémvbodě D=[, ]. (d)gradf=(6x +y 6,xy)=(,).Zdruhérovnice x=nebo y=. Je-li x= y= ± 6=±6 6.Je-li y= x=±6. Stacionárníbodyjsou A=[,6 6], B=[, 6 6], C=[6,]a D=[ 6,]. f xx=x, f yy=x, f xy=y a D(x,y)=4(3x y ). D(A)=4( 6) < neexistujeextrémvbodě A=[,6 6]. D(B)=4( 6) < neexistujeextrémvbodě B=[, 6 6]. D(C)=4(3 36) >, f xx(c) > v C=[6,]lokálníminimum. D(D)=4(3 36) >, f xx(d) < v D=[ 6,]lokálnímaximum. e)minimum 8v[ 4, ], f)minimum5v[4,], g)minimum 4v[,], h)minimum64v[4,4], i)nemáextrémy, j)minimum3v[ 5,4 5 ]. Příklad..5. Najděte rozměry balíku tak, aby jeho kombinovaná délka, tzn. obvod podstavy plus výška, byla nanajvýš 8 cm a zároveň měl maximální objem. Řešení: Rozměry podstavy balíku označíme x, y a výšku z. Chceme aby objem byl maximální, a tak můžeme předpokládat, že kombinovaná délka je x+y+ z=8.ztoho z=8 x y.balíkjekvádraprotojeho objemje V= xyz= xy(8 x y).navícmusíplatit,že x,y,z >. Hledámemaximumfunkce f(x,y)=xy(8 x y)=8xy x y y x. gradf=(8y 4xy y,8x x 4xy)=(,) x=y. Stacionárníbodyřešírovnici8x 6x =. Máme6x(8 x)= x=nebo x=8.aledélkapodstavynemůžebýt. Zajímá nás jediný stacionární bod A =[8, 8]. Vypočítáme druhé parciální derivace: f x= 4y, f x y =8 4x 4y, f y= 4x.

15 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 Vbodě A=[8,8]máme f xx(a)= 4 8, f xy(a)= 36, f yy(a)= 4 8. D(A)= >.Funkcemávbodě Alokálnímaximum. Rozměryhledanéhobalíkubudou x=8cm, y=8cmavýška z=36cm. Příklad..6.Najděterozměryotevřenéobdélníkovékrabiceoobjemum 3 tak,abyjejí povrch byl minimální. Řešení: Hledámeminimumfunkce f(x,y)=xy+x xy +y xy = xy+ y + x, kde x,yjsourozměrypodstavcebalíkuaz= xy jejehovýška. Tatofunkcemálokálníminimumvbodě A=[ 3, 3 ]. Rozměryhledanékrabicejsou x= 3 m, y= 3 mavýška z= 3 m.

16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně STUDIJNÍ JEDNOTKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU Cíle studijní jednotky. K této studijní jednotce potřebujete znát diferenciální a integrální počet funkce jedné proměnné. Začátek je krátký úvod do teorie diferenciálních rovnic. Procvičíte si základní pojmy jako diferenciální rovnice, obecné řešení, partikulární řešení. Potom se naučíte řešit dva typy rovnic prvního řádu: separovatelnou a lineární. Na konci této jednotky najdete různé úlohy, kde si můžete vyzkoušet, zda dokážete jednotlivé typy rovnic nejen řešit, ale také od sebe rozlišit. Diferenciální rovnice prvního řádu. Základní pojmy Obyčejná diferenciální rovnice rovnice, v níž se vyskytuje derivace neznámé funkce jedné proměnné. Řád diferenciální rovnice řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Řešit diferenciální rovnici najít všechny funkce, které vyhovují dané rovnici. Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu řešení, které závisí na n různých parametrech takovým způsobem, že všechna řešení rovnice můžeme získat vhodnou volbou těchto konstant. Partikulární řešení diferenciální rovnice n-tého řádu řešení, které dostaneme z obecního řešení konkrétní volbou všech n parametrů. Integrální křivka řešení diferenciální rovnice, graf řešení diferenciální rovnice. Počáteční úloha problém najít partikulární řešení diferenciální rovnice, které splňuje tzv. počáteční podmínky. Může se stát, že diferenciální rovnice nemá žádné řešení. Diferenciální rovnice, s nimiž se zde setkáte, řešení mají. Obecné podmínky pro existenci řešení najdete v Matematice.

17 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 Příklad...Najděteobecnéřešenídiferenciálnírovnice y =8 e 3x +sin x. Řešení: Je to obyčejná diferenciální rovnice třetího řádu, velmi speciální, protože pravá strana závisí pouze na x. Řešení dostaneme postupným integrováním. y =8 e 3x +sinx y = (8 e 3x +sinx)dx=6e 3x cos x+c, y = (6 e 3x cos x+c )dx=e 3x sin x+c x+c. A konečně obecné řešení bude y= ( e 3x sin x+c x+c )dx= 3 e3x +cosx+ C x + C x+c 3. Protože šlo o rovnici třetího řádu, jsou v obecném řešení tři parametry. Dosazenímkonkrétníchhodnotzakonstanty C,C,C 3 sedostanoupartikulární řešení této rovnice. Příklad...Najdětepartikulárnířešenídiferenciálnírovnice y =x 3 +8,které splňujepočátečnípodmínky y()=, y ()=. Řešení: Jeli y = x 3 +8,potom y = ( x 3 +8)dx=3x 4 +8 x+c. Obecnéřešeníbude y= (3 x 4 +8x+C )dx= 3 5 x5 +4 x + C x+c. Konstantybudemepočítatdosazenímpočátečníchpodmínekdo ya y : =y()= C +C = C ; =y ()= C = C. Ztétosoustavyrovnicdostaneme C =, C =. Hledanépartikulárnířešeníje y= 3 5 x5 +4x + x. Příklad..3.Najděteintegrálníkřivkurovnice y = tg x,kteráprocházíbodem[,]. Řešení: Integrální křivka procházející daným bodem je partikulární řešení splňující počáteční podmínku y() =. sin x ( sin x) y = tg x y= tg xdx= cos x dx= dx= cos x (cos x) = dx= ln cos x +C. cos x Obecnéřešeníje y= ln cos x +C, x π + kπ, kcelé. Dále=y()= ln cos +C=+C. Dostalijsme,že C=. Potomhledanéřešeníje y= ln cos x.

18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..4. Ukažte,žefunkce y = C + C x+c 3 e 3x jeobecnéřešenírovnice y 3 y =,anajdětepartikulárnířešení,prokteré y()=3, y ()=6, y ()=8. Řešení: y = C +3 C 3 e 3x, y =9C 3 e 3x, y =7 C 3 e 3x. Podosazení y 3 y =7 C 3 e 3x 3 9 C 3 e 3x =. Dále 3=y()=C + C 3, 6=y ()=C +3 C 3, 8=y ()=9C 3. Řešímesoustavurovnic: C + C 3 =3, C +3 C 3 =6, 9 C 3 =8. Ztoho C =, C =, C 3 =.Hledanépartikulárnířešeníje y=+ e 3x. Příklad..5.Ukažte,žefunkce y= C (x +)+C (x+(x +)arctg x)jeobecné řešenírovnice(x +) y y=,anajdětepartikulárnířešenítétorovnice,prokteré platí y()=, y ()=. ) Řešení: y = C x+c (+xarctg x+ x + = C x + x+c (+xarctg x), y =C + C ( arctg x+ x x +). Po dosazení dostaneme: (x +) y y= (x +)C +C ( ( x + ) arctg x+x ) C (x +) C ( x+ ( x + ) arctg x ) =. Funkce řeší diferenciální rovnici. Dále dosadíme počáteční podmínky =y()=c + C = C =, =y ()= C + C =C C =. Hledanépartikulárnířešeníje y= x +. Příklad..6.Ukažte,žefunkce y= C cos x+c sin x+e x jeobecnéřešenírovnice y + y=5e x,anajdětepartikulárnířešení,prokteráplatí a) y()=6, y ()=6 b) y()=, y ()= c) y()= 3, y ()= 5 d) y( π )=eπ, y ( π )=eπ Řešení: a) y=5cosx+4sin x+e x ; b) y= e x 3sin x; c) y= cos x+ sin x+ex ; d) y=cosx+e x. Příklad..7.Ukažte,žefunkce y=c e x + C xe x + C 3 e x jeobecnéřešenírovnice y 3y +y=,anajdětepartikulárnířešenírovnice,kterésplňujepočátečnípodmínky y()=, y ()=, y ()=. Řešení: y= e x +4xe x + e x Další část této jednotky bude věnovaná diferenciálním rovnicím prvního řádu. Naučíte se řešit dva typy rovnic prvního řádu.

19 MATEMATIKA Sbírka úloh 7. Separovatelné diferenciální rovnice Separovatelná diferenciální rovnice rovnice, která se dá upravit na tvar y = f(x) g(y). Pokud rozpoznáte separovatelnou rovnici postupujte při řešení následovně:. y nahraďtevýrazem dy dx ;. celou rovnici vynásobte dx; 3. odseparujte proměnné, tzn. členy, které obsahují y, převeďte na levou stranu rovnice spolus dyačleny,kteréobsahují x,převeďtenapravoustranuspolus dx; 4. integrujte obě strany poslední rovnice. Příklad...Řešteseparovatelnoudiferenciálnírovnici y = x y 3. Řešení: Postupujemepodlenávodu:.) dy dx = x y 3.) dy= x y 3 dx 3.) y 3 dy=( x)dx 4.) y 3 dy= ( x)dx Ztohopointegrovánídostaneme y4 + C = x 4 x + K,kde C a K jsou integrační konstanty. Převedeme-li konstantu C na pravou stranu, dostaneme řešenívetvaru y4 = x x + K C.Označímekonstantu K C = ca 4 dostaneme obecné řešení rovnice y 4 4 = x x + c. Tuto úpravu s konstantami můžete udělat pokaždé, a proto stačí psát integrační konstantu pouze jednou(obyčejně ji píšeme do pravé strany). Řešení, která se dostanou při řešení separovatelné rovnice, jsou obvykle v implicitním tvaru. Úpravou se někdy podaří získat explicitní tvar řešení y = ϕ(x). Příklad...Řešteseparovatelnoudiferenciálnírovnici (+y )dx+(+x )dy=. Řešení: Upravímena (+x )dy= (+y )dxapokračujeme3.krokem: (+y ) dy= (+x ) dx; (+y ) dy= (+x ) dx; arctg y= arctg x+c. Obecnéřešeníbude arctg x+arctg y= C.

20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad..3.Řešteseparovatelnoudiferenciálnírovnici y tg x=y. Řešení:.)tg x dy dx = y;.)tg x dy= ydx; 3.) y dy=cos x sin x dx; cos x (sin x) 4.) y dy= sin x dx; y dy= sin x dx. Po integrování dostaneme ln y =ln sin x +c. Získanéřešeníupravíme: y =e ln sin x +c = e ln sin x e c = e c sin x. Označíme C= ±e c.obecnětakové C.NěkdymůžemepřipustitiC=, jako v tomto příkladě. Můžeme tedy napsat obecné řešení naši rovnice ve tvaru y= C sin x. Příklad..4. Najděte partikulární řešení separovatelné diferenciální rovnice (+e x ) y y = e x, y()=. Řešení:.)(+e x ) y dy dx = ex ;.)(+e x ) ydy= e x dx; e x e x 3.) ydy= dx; 4.) ydy= (+e x ) (+e x ) dx. Dostalijsmeobecnéřešenívetvaru y =ln(+ex )+C. Hledámepartikulárnířešení: Partikulárnířešeníje y =ln(+ex )+ ln. Poúpravě y= ln(+e x )+ ln4. =ln(+e )+C. Potom C= ln. Příklad..5. Řešte separovatelné diferenciální rovnice a) x y y = x b) y = ytg x c) y y + x = d) y =(y )(y ) e) y = e x+y f)(xy + x)dx+(y x y)dy= Řešení: a) y x =ln x + c, poúpravě x + y =lncx, C >; b) y= C ; c) C=arcsin x+arcsiny, y=, y= ; cos x d) integrál dle dy počítejte rozkladem na parciální zlomky. Řešeníje ln y =x+c.poúpravě y y =Cex (y ). Dalšířešeníje y=; e)využijtevztah e x+y = e x e y a e y =.Řešeníbude e x + e y = C; e y f) ln(y +)= ln x +c. Poúpravě y +=C(x ).

21 MATEMATIKA Sbírka úloh 9.3 Lineární diferenciální rovnice prvního řádu Lineární diferenciální rovnice prvního řádu rovnice, která se dá upravit na tvar y + f(x) y= g(x). (LR) Homogennílineárnídif.rovniceprvníhořádu rovnicetvaru y + f(x) y=. Metoda variace konstanty metoda na řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice. řádu, při které se nejdřív metodou separace proměnných najde řešení homogenní rovnice y + f(x) y=. Totořešeníseupravínatvar y= C F(x).Potomsepředpokládá,že C= C(x),tj. konstanta závisí na x, a řešení lineární rovnice hledáme ve tvaru y= C(x) F(x). Předpokládaný tvar řešení se dosadí do diferenciální rovnice(lr). Vznikne rovnice typu C (x)=φ(x).ztohosevypočítákonkrétnífunkce C(x). Příklad.3..Řeštelineárnídiferenciálnírovnici y +xy= e x. Řešení: Nejdřívvyřešímehomogennírovnici y +xy=: y dy = xy; dx = xy; dy= xdx; y y dy= xdx; ln y = x +c. Potřebujeme vyjádřit y, a proto musíme dál upravovat: y =e x +c ; y =e x e c ; y= C e x, kde C= ±e c. Našlijsmeobecnéřešenílineárníhomogennírovnice y +xy=.obecné řešenílineárnínehomogennírovnicebudemehledatvetvaru y= C(x) e x. Abychom mohli určit C(x), musíme dosadit do diferenciální rovnice, a k tomu musíme nejdřív y derivovat. y= C(x) e x ; y = C (x) e x + C(x) e x ( x). Podosazenídostanemepodmínkupro C (x): C (x) e x + C(x) e x ( x)+x C(x) e x = e x. C (x) e x = e x ; C (x)=. Ztohointegrovánímdostaneme,že C(x)= dx=x+k. Zbývá už jenom dosadit za C(x). Hledané obecné řešení bude y= C(x) e x =(x+k) e x = K e x + x e x.

22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.3..Řeštelineárnídiferenciálnírovnici y Řešení: y = xy +x ; y dy= x +x dx. xy +x= x, y()=. ln y = ln(+x )+c=ln +x + c, potom y= C +x. Variacekonstanty: y= C(x) +x ; y = C (x) +x x +C(x). +x Podosazení: C (x) +x = x; C (x)= x ; C(x)= +x Substituce+x = t vedena C(x)= +x + K. Obecnéřešenídanérovniceje y= K +x + x +. Dosadímepočátečnípodmínku: =y()=k +=K+. x +x dx. Ztoho K= ahledanépartikulárnířešeníbude y= +x + x +. Příklad.3.3.Najděteobecnéřešenírovnice xy + y e x =. Řešení: Rovnice není ve tvaru lineární diferenciální rovnice. Nejdřív ji musímeupravit.převedeme e x napravoustranuapakcelourovnicivydělíme x. Dostaneme y + y x = ex x. Tato rovnice už je ve tvaru(lr) a vyřešíme ji metodou variace konstanty. y + y x =; y = y x ; y dy= x dx; ln y = ln x +c; y= C x. Variacekonstanty: y= C(x) x ; y = C (x) x C(x). x C (x) Po dosazení: = ex x x ; C (x)=e x ; C(x)=e x +K. Pak y= ex + K x Příklad.3.4. Je dán elektrický RL obvod s cívkou o samoindukčnosti L, ohmickým odporem R a napětím E. Dle Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t vyjadřuje diferenciální rovnice L di dt + IR=E. Najděte vzorec pro řešení I(t), jestliže víte, že na počátku byl proud nulový. Řešení: Rovnici upravíme na tvar di dt + R L I=, di dt + R L I=E L ařešímejako(lr): di dt = IR L, R I di= R L dt, I di= L dt. Řešeníhomogennírovnicebude ln I = R L t+c I= C e R L t..

23 MATEMATIKA Sbírka úloh Variacekonstanty: I= C(t) e R L t, I = C (t) e R L t C(t) R L e R L t. Podosazení C (t) e R L t = E L, C (t)= E L e R L t, C(t)= E R e R L t + K. ( ) E Obecnéřešeníjetedy I= R e R L t + K e R L t = K e R L t + E R. Zpočátečnípodmínky I()=dostaneme,že K= E R. HledanývzorecproproudvelektrickémRLobvoduje I= E R ( e R L t ). Příklad.3.5. Kondenzátor o kapacitě C = 3 F je zapojen do série s odporem R = Ωanabíjenzesériovězapojenéhozdrojeonapětí E = V.Určetenapětí nakondenzátorujednusekundupozapojenízdrojezapředpokladu,ževčase t=byl kondenzátor vybit. Řešení: Podle druhého Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t vyjadřuje integrální rovnice C t I(τ)dτ+ RI= E. Podosazenívztahu I(t)= dq dt do této rovnice dostaneme rovnici pro náboj na kondenzátoru R dq dt + C Q=E. Dosadíme hodnoty za konstanty a dostaneme lineární diferenciální rovnici Q +5Q=,6. Obecnéřešenítétorovniceje Q(t)=K e 5t +,. ) Partikulárnířešeníspočátečnípodmínkou Q()=je Q(t)=, ( e 5t. Napětínakondenzátoruvčase tserovná E C (t)= ( C Q(t)= e ). 5t Ztoho E C ()=( e 5 )=,9. Kondenzátor je během jedné sekundy nabit téměř na maximální hodnotu V. Příklad.3.6. Řešte lineární diferenciální rovnice a) y + y x =6x b) y + ytg x= cos x c) y +xy= xe x d) xy y x+ = x e)(+x )y xy=(+x ) f) y + ycosx=sin xcos x

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Řešení: a) y= C x +x ; b) y= Ccosx+sin x; c) y= e x ( x+ C); d)dostanete dy= dx. Použijterozkladnaparciálnízlomky. y x(x+) Výsledek: y= x x+ (C+ x+ln x ); e) y=(+x )(C+ x); f)dostanete C(x)= e sin x sin xcos xdx.použijtenejdřívsubstituciapotom perpartes.výsledek: y= Ce sin x +sin x. Příklad.3.7. Najděte řešení y(x) počáteční úlohy ( π a) y cos x ysin x=x, y()= b) y =6y 4e 6x cos5x+4, y = 4 ) c) y y x+ = x, y()= d) y = y +5x 5, y(6)=4 x 5 Řešení: a) y= x cos x ; b) y= ( sin5x 4e 6x) e 6x ; c) y=(x+)(x ln x+ ); d) y=(5x 6)(x 5)=5x 4x+8. Příklad.3.8. Řešte následující rovnice prvního řádu a) y ytg x= cos 3 x b) xy + y= y c) y xln x y=3x 3 ln x d) y = x x y tg x+k Řešení: a) lineární,řešení: y= cos x ; b) separovatelná,řešení: y= a y=; Kx c) lineární,řešení: y=(x 3 + K)ln x; d) lineárníatakéseparovatelná,řešení: y=+k e x3 3.

25 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 STUDIJNÍ JEDNOTKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU Cíle studijní jednotky. Naučíte se řešit diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty. Nejdřív to budou homogenní rovnice, které se budou řešit pomoci charakteristické rovnice. Nehomogenní rovnice budeme řešit pouze v případě, je-li funkce na pravé straně ve speciálním tvaru. Budete využívat diferenciální počet funkce jedné proměnné a vzorec na řešení kvadratické rovnice. 3 Diferenciální rovnice vyššího řádu 3. Homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Homogenní lineární dif. rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty rovnice, která má tvar a n y (n) + a n y (n ) +...+a y + a y=, a,...,a n R, a n. Fundamentální systém řešení homogenní dif. rovnice n-tého řádu n lineárně nezávislých partikulárních řešení příslušné rovnice Charakteristická rovnice rovnice, která vznikne při hledání partikulárních řešení homogennírovnicevetvaru e λx K nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty je třeba vyřešit příslušnou charakteristickou rovnici a n λ n + a n λ n +...+a λ+a =. Jde o algebraickou rovnici, která má n kořenů. Ke každému nalezenému kořenu se přiřadí jedno partikulární řešení a tak se dostane celý fundamentální systém. Na příkladu rovnice druhého řádu ukážeme jak toto přiřazení provést. Charakteristickárovnicehomogennílineárnídiferenciálnírovnice.řádujerovnice a λ + a λ+a =.Tutorovnicivyřešíme(pomocívzorceprokvadratickourovnici).Mohou nastat tři případy(v závislosti na diskriminantu):

26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně.Diskriminantjekladný,rovnicemádvanavzájemrůznéreálnékořeny λ λ. Potom fundamentální systém rovnice je y = e λ x, y = e λ x..diskriminantjenulový,rovnicemádvojnásobnýreálnýkořen λ=λ = λ. Potom fundamentální systém rovnice je y = e λx, y = xe λx. 3.Diskriminantjezáporný,rovnicemádvakomplexněsdruženékořeny λ, = α+iβ, kde i označuje komplexní jednotku. Hledá se reálné řešení, a proto se zvolí(vzhledem kplatnostieulerovyidentity e iβx =cos βx+isin βx)fundamentálnísystém: y = e αx cos βx, y = e αx sin βx. Obecnéřešenípakbude(vevšechtřechpřípadech): y= C y + C y. V případě rovnic třetího a vyššího řádu k řešením charakteristické rovnice přiřazujeme fundamentální systém stejným způsobem jako v případě rovnice druhého řádu. Příklad 3... Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu a) y y y= b)4y 4y + y= c) y +4y= d) y 4y +3y= Řešení: a) Napíšemecharakteristickourovnici λ λ =.Tuvyřešíme λ, = ± +8, =. Potom y = e x, y = e x, azevztahu y= C y + C y dostanemeobecné řešení y= C e x + C e x. b) Charakteristickárovniceje4λ 4λ+=; λ, = 4 ± =. Charakteristickárovnicemádvojnásobnýkořen,aproto y = e x, y = xe x. Obecné řešení této rovnice je y= C e x + C x e x.

27 MATEMATIKA Sbírka úloh 5 c) Charakteristickárovniceje λ +4= amákomplexníkořeny λ, = ±i. Potom y =cosx, y =sinx. Obecnéřešeníbude y= C cosx+c sinx. d) Charakteristickárovniceje λ 4λ+3=. Dostanemezasekomplexníkořeny λ, = 4± 6 5 = 4± 36 = ±3i. Ztoho y = e x cos3x, y = e x sin3x aobecnéřešeníje y= C e x cos3x+c e x sin3x. Příklad 3... Najděte řešení Cauchyho úlohy a) y 4y =, y()=3, y ()=8 b) y y +y=, y()=, y ()= Řešení: a) Charakteristickárovnice λ 4λ=máreálnékořeny λ = a λ =4. Potom y = e x =, y = e 4x a y= C + C e 4x. Spočítáme y =4C e 4x adosadímepočátečnípodmínky 3=y()=C + C,8=y ()=4C. Řešenímtétosoustavyrovnicje C =, C =. Ztohopartikulárnířešeníbude y=+ e 4x. b) Charakteristickárovnice λ λ+= mákomplexníkořeny λ, =±i. Potom y = e x cos x, y = e x sin x a y= C e x cos x+c e x sin x. Ztoho y = C e x cos x C e x sin x+c e x sin x+c e x cos x. Podosazenípodmínekdostanemesoustavu C =, C + C =. Pak C =, C = ahledanéřešeníbude y=e x sin x. Příklad Najděte obecné řešení rovnic druhého řádu a) y 5y +6y= b) y 4y +4y= c) y y= d) y 4y +5y= e) y +y +y= f) y +y= Řešení: a) y= C e x + C e 3x ; b) y= C e x + C xe x ; c) y= C e x + C e x ; d) y= C e x cos x+c e x sin x; e) y= C e x cos3x+c e x sin3x; f) y= C cos x+c sin x. Příklad Najděte řešení Cauchyho úlohy a) y 4y +3y=, y()=6, y ()= b)4y + y=, y()=, y ()= c) y 6y +3y=, y()=, y ()=6 Řešení: a) y=4e x + e 3x ; b) y=cos x +sin x ; c) y=e3x cosx.

28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3. Nehomogenní diferenciální rovnice vyššího řádu Obecné řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a n y (n) + a n y (n ) +...+a y + a y= f(x) jesoučtemobecnéhořešeníhomogennírovnice(budemehoznačit y h )ajednohopartikulárního řešení nehomogenní rovnice(budeme ho značit Y), y= y h + Y. Metoda, pomocí které se dá určit jedno partikulární řešení Y v případě speciální pravé strany, se nazývá metoda neurčitých koeficientů. Tvar partikulárního řešení se odhadne z tvaru pravé strany diferenciální rovnice: Pravá strana f(x) f(x)=e αx P n (x) kde P n (x)jepolynom n-téhostupně Partikulární řešení Y Y= e αx x k Q n (x) αje k-násobnýkořenchar.rovnice Q n (x)jeobecnýpolynom n-téhostupně f(x)=e αx (Mcos βx+nsin βx) Y= e αx x k (Acos βx+bsin βx) α+iβje k-násobnýkořenchar.rovnice A,Bjsoureálnáčísla Poznámka.Vpřípadě,že α (resp. α+iβ)neníkořencharakteristickérovnice, k=. Princip superpozice. Jestliže funkce na pravé straně je součtem speciálních pravých stran f(x)=f (x)+...+f m (x), potom i partikulární řešení nehomogenní rovnice bude součtem partikulárních řešení pro jednotlivé speciální pravé strany, Y= Y +...+Y m. Příklad 3... Najděte obecné řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se speciální pravou stranou a) y 4y=e 3x b) y +4y=8x 3x+4 c) y +y 3y=(4x 3)e x d)3y y =cosx Řešení: a) Vyřešímehomogennírovnici y 4y=. Máme λ 4=.

29 MATEMATIKA Sbírka úloh 7 Kořenycharakteristickérovnicejsou λ, = ± a y h = C e x + C e x. Pravá strana je tvaru f(x)= e 3x = e 3x P (x). Zde α=3neníkořencharakteristickérovnice(3 ±),aproto k =. Obecný polynom nultého stupně je konstanta, označíme ji A. Potom partikulární řešení bude mít tvar Y= e 3x x A = A e 3x amusísplňovatrovnici Y 4Y= e 3x. Musíme Y dvakrátderivovata dosaditdorovnice: Y= A e 3x, Y =3A e 3x, Y =9A e 3x. Podosazení 9A e 3x 4A e 3x = e 3x. Rovnicinejdřívvydělíme e 3x adostaneme 9A 4A=; 5A=; A=. Mámejednopartikulárnířešení Y = e 3x aobecnéřešenínehomogenní rovnice je y= y h + Y= C e x + C e x + e 3x. b) Vyřešímehomogennírovnici y +4y=.Charakteristickárovniceje λ +4= ajejíkořenyjsou λ, = ±i a y h = C cosx+c sinx. Pravá strana je tvaru f(x)=8x 3x+4=e x (8x 3x+4)=e x P (x). Zde α=neníkořencharakteristickérovnice( ±i),aproto k=. Obecnýpolynomdruhéhostupněje Ax + Bx+C.Potompartikulárnířešení bude mít tvar Y= e x x (Ax + Bx+C)=Ax + Bx+C amusísplňovatrovnici Y +4Y=8x 3x+4.Musíme Ydvakrátderivovat Y= Ax + Bx+C, Y =Ax+B, Y =A, apodosazení A+4Ax +4Bx+4C=8x 3x+4. Na obou stranách rovnice jsou polynomy druhého stupně. Aby platila rovnost musí se rovnat koeficienty u jednotlivých mocnin(odtud pochází také název metoda neurčitých koeficientů). x : 4A=8 x : 4B= 3 x : A+4C=4

30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Dostalijsmesoustavurovnic.Povyřešenímáme A=, B= 8, C=. Získalijsmejednopartikulárnířešenínehomogennírovnice Y=x 8 x. Potom obecné řešení nehomogenní rovnice bude y= y h + Y= C cosx+c sinx+ x 8 x. c) Vyřešímehomogennírovnici y +y 3y=.Charakteristickárovnice je λ +λ 3= ajejíkořenyjsou λ =, λ = 3 a y h = C e x +C e 3x. Pravá strana je tvaru f(x)=(4x 3)e x = e x P (x). Zde α=jejednonásobnýkořencharakteristickérovnice,aproto k=. Obecnýpolynomprvníhostupněje Ax+B,apartikulárnířešeníbudemít tvar Y= e x x (Ax+B)=e x (Ax + Bx) amusísplňovatrovnici Y +Y 3Y=(4x 3)e x. Musíme Y dvakrátderivovat(jakosoučin): Y= e x (Ax + Bx), Y = e x (Ax + Bx)+e x (Ax+B)=e x (Ax + Bx+Ax+B), Y = e x (Ax + Bx+Ax+B)+e x (Ax+B+A)= = e x (Ax +Bx+Ax+B+Ax+B+A)=e x (Ax +Bx+4Ax+B+A), a po dosazení e x (Ax +Bx+4Ax+B+A)+e x (Ax +Bx+Ax+B) 3e x (A x +Bx)= =(4x 3)e x. Rovnicinejdřívvydělíme e x adostaneme Ax +Bx+4Ax+B+A+Ax +Bx+4Ax+B 3Ax 3Bx=4x 3. Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin. x : A+A 3A= x : B+4A+B+4A 3B=4 x : B+A+B= 3 Dostalijsmesoustavu 8A=4, A+4B= 3. Potom A=, B=. ( ) x Partikulárnířešeníje Y= e x x. Potom obecné řešení bude ( ) x y= y h + Y= C e x + C e 3x + e x x.

31 MATEMATIKA Sbírka úloh 9 d) Vyřešímehomogennírovnici 3y y =.Charakteristickárovniceje 3λ λ= ajejíkořenyjsou λ =, λ = 3 a y h= C + C e 3 x. Pravá strana je tvaru f(x)=cosx=e x (cosx+sinx). Zde α+iβ =+ineníkořencharakteristickérovnice,aproto k =. Partikulární řešení bude mít tvar Y= e x x (Acosx+Bsinx)=Acosx+Bsinx amusísplňovatrovnici 3Y Y =cosx.musíme Y dvakrátderivovat: Y = Asinx+Bcosx, Y = 4Acosx 4Bsinx. Dosadíme 3( 4Acosx 4Bsinx) ( Asinx+Bcosx)=cosx, Acosx Bsinx+4Asinx 4Bcosx=cosx. Abyrovniceplatila,musíserovnatkoeficientypři cosx a sinx naobou stranách: cosx: A 4B= sinx: B+4A= Zasejsmedostalisoustavurovnic: A 4B=, Odtud A= 3 4, A 3B=. B= 4. Partikulárnířešeníje Y= 3 4 cosx 4 sinx, Obecné řešení nehomogenní rovnice bude y= y h + Y= C + C e 3 x 3 4 cosx 4 sinx. Příklad 3... Najděte partikulární řešení lineární diferenciální rovnice druhého řádu se speciální pravou stranou a) y +y + y=x, y()=3, y ()= 4 b) y + y=8sin x, y()=, y ()= 3 Řešení: a) Vyřešímehomogennírovnici y +y +=.Máme λ +λ+=. Kořenycharakteristickérovnicejsou λ = λ = a y h = C e x +C x e x. Pravá strana je tvaru f(x)=x =e x (x )=e x P (x). Zde α=neníkořencharakteristickérovnice,aproto k=.potom

32 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Y= e x x (Ax+B) = Ax+B, Y = A, Y = apodosazení +A+Ax+B=x. Porovnámekoeficienty: x : A= x : A+B= adostaneme A=a B= 5. Potom Y=x 5 aobecnéřešení y= y h + Y= C e x + C x e x +x 5. Spočítámeještě y,abychommohlidosaditpočátečnípodmínky, y = C e x + C e x C x e x +. Ztoho3=y()=C 5, 4=y ()= C +C +.Pak C =8, C =. Hledanépartikulárnířešeníbude y=8e x + x e x +x 5. b) Vyřešímehomogennírovnici y + y=. Máme λ +=. Kořenycharakteristickérovnicejsou λ, = ±i a y h = C cos x+c sin x. Pravá strana je tvaru f(x)=8sin x=e x (cosx+8sin x). Zde α+iβ=+ijekořencharakteristickérovnice,aproto k= a Y= e x x (Acos x+bsin x)=x(acos x+bsin x). Spočítáme derivace a dosadíme do rovnice: Y = Acos x+bsin x+x( Asin x+bcosx)=(a+bx)cosx+(b Ax)sinx, Y =(B Ax)cos x+( A Bx)sin x, (B Ax)cos x+( A Bx)sin x+axcos x+bxsin x=8sin x. Musíserovnatkoeficientypři cosx a sinx naoboustranách: cos x: B Ax+Ax= sin x: A Bx+Bx=8 Potom A= 4, B=, Y= 4xcos x a y= C cos x+c sin x 4xcos x. Spočítáme y = C sin x+c cosx 4cos x+4xsin x adosadímepočáteční podmínky: =y()=c, 3=y ()=C 4 C =, C =. Hledanéřešeníje y= cos x+ sinx 4xcos x.

33 MATEMATIKA Sbírka úloh 3 Příklad3..3.JedánelektrickýLCobvod,kdecívkaoindukčnosti L=Hmávelmi malýohmickýodpor.dosériekníjezařazenkondenzátorokapacitě C=.Fazdroj, jehož napětí lineárně roste s časem podle vztahu E = t. Určete závislost proudu tekoucíhoobvodemnačase,je-li I()=akondenzátorbylvčase t=vybit. Řešení: Pro tento obvod platí L di dt + C t I(τ)dτ= E. Po derivování a dosazení dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu d I dt +I=. Obecnéřešenítétorovniceje I(t)=C cos t+c sin t+. Partikulárnířešenísplňujícídanépočátečnípodmínky I()=aI ()= určímez I()=C +=, I (t)= C sin t+c cos tai ()=C =. Řešení úlohy tedy je I(t)= cos t. Přestože napětí neomezeně roste, zůstává proud v takovém obvodu omezený. Příklad Principem superpozice vyřešte lineární diferenciální rovnici druhého řádu y + y =5x+e x. Řešení: Kořenycharakteristickérovnice λ + λ= jsou λ =, λ = a y h = C + C e x. Partikulární řešení dostaneme jako součet partikulárních řešení dvou rovnic, kterémajíspeciálnípravéstrany: y + y =5x a y + y =e x. U první rovnice je pravá strana tvaru f (x)=5x=e x 5x=e x P (x). Zde α=jejednoduchýkořencharakteristickérovnice,aproto k =. Potom Y = e x x (Ax+B) = Ax +Bx, Y =Ax+B, Y =A apodosazení dorovnice Y + Y =5x máme A+Ax+B=5x. Porovnámekoeficienty: x : A=5 x : A+B= Ztoho A= 5 a B= 5. Dostalijsme Y = 5 x 5x. U druhé rovnice je pravá strana tvaru f (x)=e x = e x =e x P (x).

34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Zde α= neníkořencharakteristickérovnice,aproto k=. Potompíšeme Y = e x x A=Ae x, Y = Ae x, Y = Ae x apodosazenído Y +Y =e x, Ae x + Ae x =e x, Ae x =e x, A=, A=. Potom Y = e x ajednopartikulárnířešenípůvodnírovnicedostanemejako Y= Y + Y = 5 x 5x+e x. Hledanéobecnéřešeníje y= C + C e x + 5 x 5x+e x. Příklad Najděte obecné řešení rovnic druhého řádu metodou neurčitých koeficientů a)y 5y 7y=8e x b) y y 3y= x c) y +3y=9x d) y +6y +9y=36xe 3x e) y +y +5y=7sinx f)3y 4y =5sin x Řešení: a) y= C e 7 x +C e x e x ; b) y= C e x +C e 3x + 9 (3x 5); c) y=c cos 3x+C sin 3x+3x ; d) y=c e 3x + C xe 3x + e 3x (x 3 ); e) y= C e x cosx+c e x sinx 4cosx+sinx; f) y= C + C e 4 3 x +4cosx 3sin x. Příklad Najděte partikulární řešení rovnic metodou neurčitých koeficientů a) y y =x e x, y()=, y ()=5 b) y y=(x ), y()=, y ()= c) y 7y +y=6sinx, y()=3, y ()= Řešení: a) y= +9 ex +e x ( x 4); b) y= e x +e x x +x 5 ; c) y= 4e x +7cosx+3sinx.

35 MATEMATIKA Sbírka úloh 33 STUDIJNÍ JEDNOTKA FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Cíle studijní jednotky. V první části si můžete osvěžit své znalosti o komplexních číslech, které máte ze střední školy. Ke zvládnutí dalších kapitol je nutné, abyste uměli pracovat s komplexními čísly a zobrazovat je v komplexní rovině. Dále se seznámíte s pojmem komplexní funkce a holomorfní funkce, naučíte se tyto funkce derivovat. Předpokládám, že už umíte derivovat funkci jedné reálné proměnné a počítat parciální derivace funkce více proměnných. 4 Funkce komplexní proměnné 4. Komplexní čísla Komplexníjednotka čísloj,prokteréplatíj =,někdyseoznačujetakéjako i. Algebraický tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z= a+j b, a,b R, a=re z, b=im z. Číslo a nazýváme reálnou částí z, číslo b nazýváme imaginární částí z. Číslokomplexněsdružené kčíslu z= a+j b jetočíslo z= a j b. Absolutníhodnotakomplexníhočísla pro z= a+j b jetoreálnéčíslo z = a + b. Argumentkomplexníhočísla Arg z= ϕjeúhelmezikladnou x-ovoupoloosoua polopřímkou, spojující bod z s počátkem. Uvažujeme-li pouze ϕ, π), píšeme arg z= ϕ.proargument ϕkomplexníhočísla z= a+j b platí cos ϕ= a a + b, sin ϕ= b a + b.

36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Gaussovarovina rovina xy,vekterékomplexníčíslo z=a+j b jeznázorněno bodem[a,b].absolutníhodnotačísla zsepotomrovnávzdálenostibodu[a,b]od počátku. Absolutní hodnota rozdílu dvou komplexních čísel se rovná jejich vzdálenosti v komplexní rovině. Goniometrický tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z= z (cos ϕ+jsin ϕ), kde z je absolutní hodnota komplexního čísla a ϕ je argument čísla z. Eulerův tvar komplexního čísla komplexní číslo zapsané ve tvaru z= z e j ϕ, kde z a ϕ mají stejný význam jako u goniometrického tvaru. Pro a+j bac+j dlibovolnákomplexníčíslasedefinujesčítáníanásobenítakto: (a+jb)+(c+j d)=(a+c)+j(b+d), (a+j b) (c+j d)=(ac bd)+j(ad+bc). Při dělení komplexních čísel se využívá komplexně sdružené číslo jmenovatele: a+jb c+jd = a+j b c+j d c jd c jd = ac+bd bc ad c + d+j c + d; a+jb,c+j d C; c+j d. Komplexní čísla se zjednodušují podle pravidel(k Z): j =,j 3 = j,j 4 =,j 5 =j,...,j 4k =,j 4k+ =j,j 4k+ =,j 4k+3 = j. Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru: uv= u v (cos(α+β)+jsin(α+β)); u v = u (cos(α β)+jsin(α β)), v kde u= u (cosα+jsin α)a v= v (cosβ+jsin β)jsoudvěnenulovákomplexníčísla. Pro umocňování platí Moivreova věta: z n =( z (cos ϕ+jsin ϕ)) n = z n (cos nϕ+jsin nϕ), n N. Příklad 4... Vypočítejte komplexní číslo a) z=(+j)(5+j) b) z=j +j 3 +j 5 +j 9 c) z= +j 3 4j Řešení: a)(+j)(5+j)=+5j+j =( )+j(5+)=9+7j; b)j +j 3 +j 5 +j 9 =j+j 3 +j 3 +j=j j j+j=; c) +j 3 4j =(+j)(3+4j) = 3+4j+6j+8j 3 (4j) 9 ( 6) = 5+j 5 = j.

37 MATEMATIKA Sbírka úloh 35 Příklad 4... Určete absolutní hodnotu a argument komplexních čísel a) +j b)j c) d)+j Řešení: a) +j = ( ) + = ; sin ϕ=, cos ϕ=. Potom ϕ= 3 π+kπ, kcelé. 4 b) j = + =; sin ϕ=, cos ϕ=. Ztoho ϕ= π+kπ. c) = ( ) +=; sin ϕ=, cos ϕ=. Ztoho ϕ=π+kπ., cosϕ= = 8 d) +j = + = 8, sin ϕ= 8 = = Potom ϕ= π 4 +kπ.. Příklad Najděte v Gaussově rovině čísla z, pro něž platí dané rovnice a) z+3 5j =3 b) z j = c)< z+j < d) z = j e) Re z= Im z f) Im z= j Řešení: a) z+3 5j = z ( 3+5j) =3. VGaussověrovině z+3 5j vyjadřujevzdálenostbodů za 3+5j atatovzdálenostmusíbýtprokaždé zrovnatřem.množinavšechtakových zjetedykružnicesestředemvbodě 3+5j apoloměrem3. b) Kružnicesestředemvboděj apoloměrem. c) Vzdálenostbodu zod j musíbýtvrozmezíoddo.množinavšech takových zjetedyvnitřekmezikružísestředemvbodě j. Poloměryhraničníchkružnicjsoua. d) Absolutní hodnota komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice nemá řešení. e) Vzdálenost čísla z od reálné osy musí být stejná jako vzdálenost čísla z od imaginární osy. Množina všech takových z je osa prvního a třetího kvadrantu. f) Imaginární část komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice nemá řešení. Příklad4..4.ZapištevEulerovětvaru z= z e j ϕ komplexníčísla a) j 3 b) j c) d) Řešení: a)e ( 3 +k)πj ; b) e (3 +k)πj ; c) e (+k)πj ; d) e kπj.

38 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4. Funkce komplexní proměnné Funkce w=f(z)definovanánaoblastiω Csfunkčnímihodnotamivoborukomplexních čísel se nazývá funkce komplexní proměnné. Je-li ke každému z Ω přiřazeno právě jedno komplexní číslo w, pak říkáme, že funkce je jednoznačná, v opačném případě říkáme, že je mnohoznačná. Komplexní funkci w = f(z) můžeme napsat i v algebraickém tvaru f(z)=u(x,y)+jv(x,y), kde z= x+jy a u(x,y), v(x,y) jsoureálnéfunkcedvouproměnných.funkci u(x,y) nazýváme reálnou částí f, píšeme Re f a v(x, y) nazýváme imaginární částí funkce f, značíme Im f. Přehled některých důležitých komplexních funkcí Název komplexní funkce Vzorec pro komplexní funkci Podmínky platnosti vzorce Exponenciálnífunkce e z = e x (cosy+jsin y) z= x+j y,z C Kosinus cosz= ej z +e j z z C Sinus Tangens sin z= ej z e j z j tg z= sin z cos z z C z (k+)π, k celé Kotangens cotz= cos z sin z z kπ, k celé Kosinushyperbolický Sinushyperbolický cosh z= ez +e z z C sinh z= ez e z z C Logaritmickáfunkce Lnz=ln z +j Arg z z C, z Mocninnáfunkce z α = e αln z z,α C, z Funkce e z,sinh zacosh zjsouperiodickésperiodouπj,funkcesin zacos zsperiodou π.funkcelnzaz α jsouvíceznačné,kekaždémučíslujepřiřazenovícekomplexních čísel.omezíme-lisena arg z,π)dostanemetzv.hlavnívětevlogaritmu resp. hlavní hodnotu mocninné funkce.

39 MATEMATIKA Sbírka úloh 37 Příklad 4... Určete reálnou a imaginární část funkce f(z) a) f(z)=(z+j) b) f(z)=e j z Řešení: a) f(x+jy)=(x+j y+j) =(x+j(y+)) = x +j x(y+) (y+) = x y y +j(xy+ x). Ztohopíšeme,že Re f(z)=x y y a Im f(z)=xy+x. b) f(x+jy)=e j(x+j y) = e (y j x) = e y (cos( x)+jsin( x))=e y (cosx jsin x). Potom Re f(z)=e y cos x a Im f(z)= e y sin x. Příklad 4... Vypočítejte hodnoty následujících výrazů, v části d) až h) hlavní hodnoty výrazů a) e +j π b) e j π c)ln(e j π 3) d)ln(+j) e)ln( ) f)( ) j g)j j h)j π Řešení: a) e +j π = e(cos π+jsin π)= e. b) e j π =(cos π +jsin π )=j. c) ln(e j π 3 )=ln+j π 3 =jπ 3. d)+j= (cos( π 4 +kπ)+jsin(π 4 +kπ)). Pak ln(+j)=ln( )+j π 4. e) =(cos(π+kπ)+jsin(π+kπ)). Omezíme-lisenahlavnívětev logaritmu,bereme k= adostaneme,že ln( )=ln+jπ=j π. f)( ) j = e j ln( ) = e jln(cos π+jsin π) = e jjπ = e π. g)j j = e j lnj = e j(ln+j π ) = e π. h)j π = e π lnj = e πj π = e j π =cos π π +jsin. Příklad4..3. Vyjádřete cos ϕa sin ϕ pomocíkomplexníchgoniometrickýchfunkcí argumentu ϕ. Řešení: Nejdřívspočítáme cos ϕ: ( e j ϕ cos + e j ϕ) ϕ= = ej ϕ ++e j ϕ 4 4 Podobně sin ϕ= cosϕ. = + ej ϕ +e j ϕ = +cosϕ.

40 38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4.3 Derivace funkce komplexní proměnné, Cauchy-Riemannovy podmínky Analogicky jako u funkcí reálné proměnné se definuje limita komplexní funkce w = f(z) vbodě z aderivace f (z ), jako f (z )=lim z z f(z) f(z ) z z. Pro komplexní funkci platí stejná pravidla pro derivování součtu, rozdílu, součinu a podílu jako pro reálné funkce. Stejně tak platí i pravidlo pro derivování složené funkce. Jestliže f (z ) existuje,říkáme,žefunkce fjediferencovatelnávbodě z. Jestliže f existujevbodě z avnějakémjehookolí,nazývásefunkce fanalytická nebotakéholomorfní v z. Funkce f(x+j y)=u(x,y)+jv(x,y) jeholomorfnívbodě z, právěkdyžvnějakém okolí tohoto bodu splňuje tzv. Cauchy-Riemannovy podmínky: u x = v y, u y = v x. Příklad Zjistěte z Cauchy-Riemannových podmínek, na které oblasti jsou následující funkce holomorfní, a na této oblasti spočítejte jejích derivace a) f(z)=e z b) f(z)= z c) f(z)=im z d) f(z)= z e) f(z)=z Řešení: a) Nejdřív musíme určit reálnou a imaginární část funkce. f(x+jy)=e x+j y = e x e j y = e x (cosy+jsin y)=e x cos y+j e x sin y. Potom Rovnice u x = ex cos y= v y, u(x,y)=e x cos y a v(x,y)=e x sin y. u y = ex ( sin y)= v x Funkce f(z)=e z jeholomorfníprovšechna z Ca f (z)=e z. b) f(x+jy)= x+jy = x j y x x + y = x + y j y x + y. Potom x u(x,y)= x + y a v(x,y)= y x + y. platínacelém C. u x = x + y xx (x + y ) = y x (x + y ), v y = x + y yy (x + y ) = y x (x + y ), u y = xy (x + y ), v x = xy (x + y ).

41 MATEMATIKA Sbírka úloh 39 Cauchy-Riemannovypodmínkyplatíprovšechna z C\{}.Funkce f(z)= z jeholomorfnívkaždémboděkroměnulya f (z)= zpro z. c)pro f(z)=im zmáme f(x+j y)=y. Potom u(x,y)=y a v(x,y)= a u x == v y, u y =, v x =,. Rovniceneplatívžádném bodě.funkceneníholomorfnívžádnémbodě,aproto f (z)neexistuje. d)pro f(z)= z máme f(x+j y)= x + y. Potom u(x,y)= x + y a v(x,y)= a u x = x x + y = v y pouze pro x=.podobně u y = v pro y=.alevbodě z=+jpříslušné x derivace nejsou definované. Rovnice neplatí v žádném bodě. Funkceneníholomorfnívžádnémboděaproto f (z)neexistuje. e) f(x+j y)=(x+j y) = x +xyj y = x y +jxy. Potom u(x,y)=x y a v(x,y)=xy. Rovnice u x =x= v y, u y = y= v x platínacelém C. Funkce f(z)=z jeholomorfníprovšechna z Caf (z)=z. Příklad4.3..Zjistěteoblastnakteréjefunkce f(z)= j z j f ( j),jestližederivacevtomtoboděexistuje. holomorfní, a vypočítejte Řešení: f(x+j y)= Potom u(x,y)= u x = (y )x (x +(y ) ), v y j x+j y j = j j(y ) x+j(y ) x x j(y ) (y ) x +(y ) a v(x,y)= x x +(y ). = x(y ) (x +(y ) ) u x = v y = (y )+jx x +(y ). u y = x (y ) (x +(y ) ), v x = (y ) x (x +(y ) ) u y = v x Cauchy-Riemannovypodmínkyplatívšudekroměbodu x=, y=. Funkcejeholomorfníprovšechna z C {j }. f (z)= j (z j), f ( j)= j j ( j j) = 8j = 8.

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika.

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54

x y +30x, 12x+30 18y 18y 18x+54 MA Řešené příklady 3 c phabala 00 MA: Řešené příklady Funkce více proměnných: Extrémy.Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y)=x 3 +9xy +5x +7y..Najděteaklasifikujtelokálníextrémyfunkce f(x,y,z)=x

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Zadání I. série. Obr. 1

Zadání I. série. Obr. 1 Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Základy podmíněné matematické optimalizace

Základy podmíněné matematické optimalizace Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u, 4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v,

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více