SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE Josef MAŠEK Plzeň 993

2 3 P ř e d m l u v a K úspěšnému studiu této sbírky úloh je třeba dobře znát řadu metod a výsledků z teorie funkcí komplexní proměnné V uvedeném smyslu je tento učební text pokračováním předcházející sbírky úloh [ 4 ] ( seznam literatury na str 4 ) a zachovává také podobný způsob zpracování Na začátku každé kapitoly jsem opět uvedl stručný přehled základních definic a důležitých teoretických výsledků Snažil jsem se vybrat nejdůležitější typy příkladů a uspořádat je podle obtížnosti Bezprostředně za zadáním každého příkladu je uvedeno řešení, návod nebo výsledek K tomu, aby práce se sbírkou přinesla dobré výsledky, je třeba co nejvíce pracovat samostatně a nedat se ovlivnit uvedeným řešením Teprve v případě neúspěšných pokusů nebo po vyřešení úlohy prohlédnout postup řešení a zkontrolovat výsledek Z mnoha integrálních transformací se v této sbírce budeme zabývat dvěma nejčastěji používanými : jednostrannou Laplaceovou transformací a Fourierovou transformací Podle historického hlediska jsem volil postup od Fourierovy k Laplaceově transformaci Ale pro ty, kteří se nebudou chtít podrobně zabývat Fourierovou transformaci, je možné bez problémů samostatně studovat Laplaceovu transformaci ( kap 4-8 ) a pouze informativně se seznámit s Fourierovou transformací Takový postup odpovídá také sylabům předmětů MAA4, MAE3, MB ( viz [ 3 ] ) K označení základních číselných množin se používá obvyklé označení N - množina všech přirozených čísel, Z - množina všech celých čísel, R - množina všech reálných čísel, R + - množina všech nezáporných reálných čísel C - množina všech komplexních čísel Děkuji srdečně všem, kteří se přičinili o to, aby se počet nedopatření a chyb omezil na co nejmenší míru Především děkuji kolegovi docjosefu Polákovi a vedoucímu katedry prof Pavlu Drábkovi, kteří přispěli mnoha radami ke zlepšení výsledného textu Plzeň, 3 října 993 A u t o r

3 4 Integrální transformace O b s a h Fourierova transformace 5 Vlastnosti Fourierovy transformace 9 3 Použití fourierovy transformace 33 4 Laplaceova transformace 43 5 Vlastnosti Laplaceovy transformace 49 6 Zpětná Laplaceova transformace 7 7 Konvolutorní součin 85 8 Použití Laplaceovy transformace 95 Rejstřík 8 L i t e r a t u r a [] Veit Jan : Integrální transformace (Matematika pro VST), Praha 983 [] Pírko Z,Veit J : Laplaceova transformace (SNTL / ALFA), Praha 97 [3] Polák Josef : Integrální a diskrétní transformace (skripta ZU),Plzeň 99 [4] Mašek Josef : Sbírka úloh z matematiky - Funkce komplexní proměnné (skripta ZU), Plzeň 99

4 Fourierova transformace 5 Fourierova transformace Myšlenka integrálních transformací využívá možnosti vyjádření funkce reálné proměnné pomocí dvojnásobného integrálu, ve kterém se vyskytuje pomocná proměnná ( parametr ) Jsou známé různé typy postačujících podmínek pro takové vyjádření Poměrně jednoduché jsou různé varianty podmínek, které se často nazývají Dirichletovy Jeden z jejich možných tvarů je vyjádřen v následující definici ( viz [ ] odst9 a 95; [ 3 ] str ) Definice : Budeme říkat, že funkce f reálné proměnné t splňuje v intervalu (a, b) Dirichletovy podmínky, jestliže platí funkce f je po částech spojitá v intervalu (a, b), její derivace f je po částech spojitá v intervalu (a, b), 3 pro každé t (a, b) platí f(t) = [ ] lim f(τ) + lim f(τ) τ t τ t+ Další definice a věta uvádí výsledný zápis funkce f reálné proměnné t pomocí tzv Fourierova integrálu ( viz např [ ] odst 97 ) Definice : Jestliže existuje vlastní limita a a lim f(t) dt, potom se na- a f(t) dt zývá hlavní hodnota nevlastního integrálu Pro hlavní hodnotu se používá označení Vp ( z francouzského valeur principal ) f(t) dt Věta : Jestliže pro funkci f reálné proměnné t platí: funkce f je definována pro všechna t R, splňuje Dirichletovy podmínky v každém konečném intervalu, 3 f(t) dt absolutně konverguje (tj f(t) dt konverguje), potom platí pro všechna t R rovnost mezi hodnotou funkce f(t) a tzv Fourierovým integrálem této funkce f(t) = π Vp du = π Vp [ f(τ)e iu(t τ) dτ = ] f(τ)e iuτ dτ e iut du

5 6 Integrální transformace Je třeba znovu zdůraznit, že předcházející věta uvádí postačující podmínky pro možnost vyjádření f(t) Fourierovým integrálem Nadále se budeme vědomě omezovat na takové funkce, které splňují podmínky této věty a dohodneme se na následující definici Definice : Funkci f, která splňuje podmínky předcházející věty, budeme nazývat zobrazitelnou funkcí ve Fourierově transformaci Protože integrál f(t) dt konverguje ( podle předpokladu věty ) a platí rovnost e iut =, musí vnitřní integrál ve Fourierově integrálu stejnoměrně a absolutně konvergovat v R vzhledem k parametru u Proto je tímto integrálem definována spojitá funkce F reálné proměnné ( parametru ) u Definice : Funkce F definovaná vnitřním integrálem ve Fourierově integrálu se nazývá Fourierův obraz ( zobrazitelné ) funkce f Označuje se F (u) nebo F [f(t)] a platí F (u) = F [f(t)] = f(t) e iut dt, u R Pro definování Fourierova obrazu nebyla potřeba třetí Dirichletova podmínka, protože výpočet hodnoty integrálu není závislý na hodnotě funkce f(t) v bodech nespojitosti Přímo z definice obrazu pomocí integrálu je zřejmé, že Fourierova transformace je lineární, tj platí : Jestliže funkce f a f jsou zobrazitelné ve Fourierově transformaci, potom platí F[c f (t) + c f (t)] = c F[f (t)] + c F[f (t)], c R, c R Poznámka : V literatuře se často používá vzhledem k aplikacím jako parametr ω a pro obecný zápis obrazu F (iω) Dal jsem přednost jednoduššímu zápisu u a F (u) Definovat obraz funkce f by bylo možné také jiným stejnoměrně a absolutně konvergentním integrálem závislým na parametru Důležité však je, že Fourierův integrál umožňuje také jednoznačně vyjádřit původní funkci f pomocí obrazu F Zde je potřebná třetí Dirichletova podmínka, protože zaručuje tuto jednoznačnost

6 Fourierova transformace 7 Jestliže je tedy funkce F Fourierovým obrazem funkce f, potom se nazývá funkce f originál ( vzor ) funkce F ve Fourierově transformaci a pro výpočet originálu platí Jestliže integrál f(t) = F [F (u)] = π Vp F (u)e iut du F (u) du absolutně konverguje, potom ( vzhledem k rovnosti e iut = ) není třeba při výpočtu originálu používat hlavní hodnotu integrálu, integrál stejnoměrně konverguje v R vzhledem k parametru t a originál f(t) musí být spojitá funkce parametru t V příkladech - rozhodněte, zda jsou dané funkce zobrazitelné ve Fourierově transformaci ( ve smyslu naší definice ) V kladném případě stanovte podle definice jejich Fourierův obraz pro t <, f(t) = pro t =, e t pro t > Řešení : Funkce a její derivace mají jediný bod nespojitosti t =, ve kterém existují limity zprava a zleva Funkce tedy splňuje první dvě Dirichletovy podmínky Protože lim f(t) = a t lim f(t) =, je t + splněna i třetí podmínka Výpočtem zjistíme, že F (u) = f(t)e iut dt = f(t) dt = e t e iut dt = e t dt konverguje e (+iu)t dt = + iu pro t < t >, f(t) = pro t = t =, pro t (, )

7 8 Integrální transformace Řešení : Daná funkce splňuje stejně jako v předcházejícím případě Dirichletovy podmínky Protože funkce je nenulová pouze v konečném intervalu, nevlastní integrál který má konečnou hodnotu ( rovná se ) f(t) dt se redukuje na určitý integrál, F (u) = f(t) e iut dt = e iut dt = iu (e iu e ) = e iu iu 3 f(t) = e t pro t R Řešení : Při výpočtu e t dt = lim t + et lim t et je první limita nevlastní Nevlastní integrál tedy nekonverguje a daná funkce není zobrazitelná funkce 4 pro t < a t > b f(t) = pro t = a t = b pro t (a, b) (a < b) Výsledek : Daná funkce je zobrazitelná a platí F (u) = e iau e ibu iu 5 f(t) = t t + pro t R Řešení : Daná funkce není zobrazitelná, protože = ln(t + ) + nekonverguje t t + dt =

8 Fourierova transformace 9 6 f(t) = pro t R, a R + t + a Řešení : Daná funkce i její derivace jsou spojité funkce pro všechna t R, takže Dirichletovy podmínky jsou splněny Snadným výpočtem se dá zjistit, že nevlastní integrál t + a dt konverguje, takže funkce je zobrazitelná a její obraz se dá určit pro u = přímým výpočtem F () = π a Pro u < pomocí reziduové věty (viz [ 4 ] - podobně jako v př 48) vyjde F (u) = π e au a Pro u > se nevlastní integrál počítá také pomocí reziduové věty, ale e iuz pro funkci po záporně orientované křivce (viz [ 4 ],př 39 ) z + a a vyjde F (u) = π eau Výsledek se dá také stručněji zapsat ve tvaru a F (u) = π e a u a 7 f(t) = t + t + pro t R Řešení : Daná funkce i její derivace jsou spojité funkce pro všechna t R, takže Dirichletovy podmínky jsou splněny Nevlastní integrál dt konverguje, takže funkce je zobrazitelná a její obraz t + t + se dá vypočítat pomocí reziduí ( viz [ 4 ] př 44 ) 8 f(t) = F (u) = π e u (cos u + i sin u) pro u ; F (u) = π e u (cos u + i sin u) pro u < (t + a ) pro t R, a R + Řešení : Daná funkce i její derivace jsou spojité funkce pro všechna t R, takže Dirichletovy podmínky jsou splněny Nevlastní integrál dt konverguje, takže funkce je zobrazitelná a její obraz (t + a ) se dá vypočítat pomocí reziduí ( viz [ 4 ] př 55 ) F (u) = π e au ( + au) a 3 pro u ; F (u) = π eau ( + au) a 3 pro u <

9 Integrální transformace 9 f(t) = cos t pro t R Řešení : nekonverguje Daná funkce není zobrazitelná, protože cos t dt f(t) = e t pro t R Řešení : Daná funkce i její derivace jsou spojité funkce pro všechna t R, takže Dirichletovy podmínky jsou splněny Nevlastní integrál e t dt konverguje (má hodnotu π ), takže funkce je zobrazitelná F (u) = = e u 4 e t e iut dt = e τ dτ = π e u 4 e (t +iut) dt = e u 4 ( po substituci τ = t + iu e (t +iut u 4 ) dt = ) V příkladech - 3 vypočítejte Fourierův obraz daných funkcí a prověřte spojitost obrazu F (u) a souvislost spojitosti originálu s absolutní konvergencí integrálu Pro a R + F (u) du pro t < f (t) = pro t = e at pro t >

10 Fourierova transformace Řešení : F[f (t)] = e at e iut dt = e (at+iut) dt = a + iu Výsledek platí i pro a C Obraz je zřejmě spojitá funkce; originál du není spojitá funkce a integrál a + iu nekonverguje Pro a R + e at pro t < f (t) = pro t = pro t > Řešení : F[f (t)] = e at e iut dt = e (at iut) dt = a iu Výsledek platí i pro a C Obraz je zřejmě spojitá funkce; originál du není spojitá funkce a integrál a iu nekonverguje 3 Pro a R + : f 3 (t) = e a t Řešení : Danou funkci můžeme vyjádřit pomocí předcházejících funkcí; zřejmě platí f 3 (t) = f (t)+f (t), takže F[f 3 (t)] = F[f (t)]+f[f (t)] = = a + iu + a iu = a Obraz je zřejmě spojitá funkce; originál a + u a du je spojitá funkce a integrál absolutně konverguje a + u 4 Pro a R + e at pro t < f 4 (t) = pro t = e at pro t > Řešení : Zřejmě platí f 4 (t) = f (t) f (t), takže F[f 4 (t)] = F[f (t)] F[f (t)] = a iu a + iu = ui Obraz je zřejmě spojitá a + u ui du funkce; originál není spojitá funkce a integrál a + u nekonverguje

11 Integrální transformace 5 Pro a R + pro t < t > a a g (t) = pro t = a t pro t (, a) Řešení : Pro u vypočítáme F[g (t)] = (a t)e iut dt = (a t) e iut a a e iut iau + e iau = + dt = Obraz je spojitá iu iu u a funkce, protože F () = (a t) dt = (at t a ) = a a = a iau + e iau ia + ia e iau a e iau a lim = lim = lim = a u u u u u a du Originál není spojitá funkce a integrál nekonverguje iu 6 Pro a R + a + t pro t ( a, ) a g (t) = pro t = pro t a t > a Řešení : Pro u vypočítáme podle definice F (u) = F[g (t)] = (a + t)e iut iau + eiau dt = a u Obraz je spojitá funkce, protože F () = (a + t) dt = (at + t a ) lim u a = a + a = a a iau + e iau ia ia e iau a e iau = lim = lim = a u u u u + a du Originál není spojitá funkce a integrál nekonverguje iu 7 Pro a R + { a t pro t < a g 3 (t) = pro t a

12 Fourierova transformace 3 Řešení : Danou funkci můžeme zřejmě vytvořit jako součet předcházejících : g 3 (t) = g (t) + g (t), takže pro u vypočítáme F[g 3 (t)] = F[g (t)] + F[g (t)] = e iau + eiau ( cos au) = u u u Jako součet spojitých funkcí je tento obraz také spojitá funkce Originál je spojitá funkce a ( cos au) du u absolutně konverguje 8 Pro a R + a t pro t ( a, ) g 4 (t) = a t pro t (, a) pro t = t a Řešení : Danou funkci můžeme zřejmě vytvořit jako rozdíl : g 4 (t) = g (t) g (t), takže pro u vypočítáme F[g 3 (t)] = F[g (t)] F[g (t)] = e iau eiau i sin au = u u u Jako rozdíl spojitých funkcí je tento obraz také spojitá funkce Originál i sin au du je spojitá funkce a integrál absolutně konverguje u 9 Pro a R + pro t < t > a h (t) = pro t = t = a pro t (, a) Výsledek : Pro u : F[h (t)] = e iau iu Spojitost obrazu pro u = je třeba ověřit Originál není spojitá e iau du funkce a integrál nekonverguje iu

13 4 Integrální transformace Pro a R + pro t ( a, ) h (t) = pro t = a t = pro t < a t > Výsledek: Pro u : F[h (t)] = eiau iu Spojitost obrazu pro u = je třeba ověřit Originál není spojitá e iau du funkce a integrál nekonverguje iu Pro a R + pro t < a h 3 (t) = pro t = a pro t > a sin au Výsledek : Pro u : F[h 3 (t)] = u Spojitost obrazu pro u = je třeba ověřit Originál není spojitá sin au du funkce a integrál nekonverguje u Pro a R + pro t > a t = pro t = a h 4 (t) = pro t ( a, ) pro t (, a) pro t = a ( cos au) Výsledek : Pro u : F[h 4 (t)] = iu Spojitost obrazu pro u = je třeba ověřit Originál není spojitá funkce a integrál ( cos au) du iu nekonverguje

14 Fourierova transformace 5 3 Pro a R + pro t t > a a k (t) = pro t = a t pro t (, a) Výsledek : Pro u : F[k (t)] = a e iau + e iau iu u + a e iau du Originál není spojitá funkce a integrál nekonverguje iu Všimněte si, že platí k (t) = a h (t) g (t) ; tím je také zaručena spojitost obrazu pro u = 4 Pro a R + pro t < a t a k (t) = pro t = a t pro t ( a, ) Výsledek : Pro u : F[k (t)] = a eiau iu + eiau u Originál není spojitá funkce a integrál a e iau du iu nekonverguje Všimněte si, že platí k (t) = a h (t) g (t) ; tím je také zaručena spojitost obrazu pro u = 5 Pro a R + t pro t < a a k 3 (t) = pro t = a pro t > a a sin au ( cos au) Výsledek : Pro u : F[k 3 (t)] = u u a sin au du Originál není spojitá funkce a nekonverguje u

15 6 Integrální transformace Všimněte si, že platí k 3 (t) = a h 3 (t) g 3 (t) ; tím je také zaručena spojitost obrazu pro u = 6 Pro a R + t pro t < a a pro t = a k 4 (t) = a pro t = a pro t > a a cos au Výsledek : Pro u : F[k 4 (t)] = iu a cos au du Originál není spojitá funkce a u i sin au u nekonverguje Všimněte si, že platí k 4 (t) = a h 4 (t) g 4 (t) ; tím je také zaručena spojitost obrazu pro u = 7 Funkce { sin t pro t (, π) r (t) = pro t t π Řešení : Pro u vypočítáme podle definice [ π e R (u) = F[r (t)] = sin t e iut iut ] π ( iu sin t cos t) dt = = u = e iπu cos π + e cos = + eiπu u u Při výpočtu byl použit vzorec e at sin bt dt = eat (a sin bt b cos bt), a + b který se dá odvodit dvojnásobným použitím metody per partes Obraz je spojitá funkce, protože R () = sin t e it dt = = π (e it e it )e it dt = π ( e it )dt = i i i t e it i ) π π = π i

16 Fourierova transformace 7 + e iπu πi e iπu a také lim = lim u u u u = πi e iπ = πi( ) = π i Podobně ověříme spojitost obrazu pro u = Originál je spojitá funkce a integrál ( + e iπu ) du u absolutně konverguje 8 Funkce { sin t pro t < π r (t) = pro t π i sin πu Výsledek : Pro u : F[r (t)] = u Spojitost obrazu pro u = a u = je třeba ověřit Originál je spojitá funkce a integrál 9 Funkce s (t) = { cos t pro t < π pro t π i sin πu du u Řešení : Pro u vypočítáme podle definice S (u) = F[s (t)] = = e i π π π absolutně konverguje cos t e iut dt = e iut ( iu cos t + sin t) u u sin π ei π u sin( π) = cos π u u u Při výpočtu byl použit vzorec e at cos bt dt = eat (a cos bt + b sin bt), a + b který se dá odvodit dvojnásobným použitím metody per partes Obraz je spojitá funkce, protože S () = π π π = (e it + e it )e it dt = ( + e it )dt = π π cos π a také lim u π sin π = lim u = π u u u u π cos t e it dt = [ t + e it i π π ] π π = = π

17 8 Integrální transformace Podobně ověříme spojitost obrazu pro u = Originál je spojitá funkce a integrál cos π u du u absolutně konverguje 3 Funkce s (t) = { cos t pro t < π pro t π Výsledek : Pro u : F[s 4 cos πu (t)] = 4u Spojitost obrazu pro u = a u = je třeba ověřit Originál je + 4 cos πu du spojitá funkce a integrál absolutně konverguje 4u

18 Vlastnosti Fourierovy transformace 9 Vlastnosti Fourierovy transformace Složitější obrazy již nebudeme určovat podle definice, ale na základě vlastností, které budou v této kapitole odvozeny ve formě řešených úloh V ostatních úlohách se potom tyto vlastnosti používají k nalezení dalších obrazů Dokažte, že pro a > platí : Jestliže F[f(t)] = F (u), potom F[f(at)] = ( ) u a F a Řešení : Funkce f(at) musí také splňovat Dirichletovy podmínky, protože je splňuje funkce f(t) V definičním integrálu provedeme substituci at = τ, a dt = dτ Přitom se nezmění meze ( vzhledem k tomu, že a > ) a nemůže se změnit konvergence integrálu Dostaneme tedy F[f(at)] = f(at) e iut dt = f(τ) e i u a τ dτ a = a F ( u a Pro a > najděte Fourierův obraz funkce f(t) = e a t Řešení : V př jsme našli Fourierův obraz F[e t ] = π e u 4, takže F[e (at) ] = π e u 4a a 3 Dokažte, že platí : Jestliže F[f(t)] = F (u), potom F[f( t)] = F ( u) ) Řešení : Funkce f( t) musí být zřejmě také zobrazitelná funkce V definičním integrálu provedeme substituci t = τ, dt = dτ, takže dostaneme F[f( t)] = = f( t) e iut dt = + f(τ) e i( u)τ dτ = F ( u) f(τ) e i( u)τ ( dτ) =

19 Integrální transformace 4 Dokažte, že Fourierovým obrazem sudé funkce je sudá funkce a Fourierovým obrazem liché funkce je lichá funkce Návod : Tvrzení je přímým důsledkem předcházejícího výsledku a definice sudé a liché funkce Ověřte toto tvrzení pro funkce f 3 (t), f 4 (t), g 3 (t), g 4 (t), h 3 (t), h 4 (t), k 3 (t), k 4 (t) z kapitoly 5 Dokažte, že pro a R platí : Jestliže F[f(t)] = F (u), potom F[e iat f(t)] = F (u a) Řešení : V těchto případech zobrazujeme komplexní funkci reálné proměnné Dirichletovy podmínky pro reálnou část ( f(t) cos at ) a také pro imaginární část ( f(t) sin at ) funkce e iat f(t) jsou splněny a vzhledem k podmínce e iat = se nemůže změnit absolutní konvergence integrálu Fourierův obraz funkce e iat f(t) tedy existuje a vypočítá se podle definice F[e iat f(t)] = f(t) e iat e iut dt = f(t) e i(u a)t dt = F (u a) 6 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz pro t < p (t) = pro t = e at (cos bt + i sin bt) pro t > Řešení : Pro t > můžeme zapsat funkci p (t) v exponenciálním tvaru p (t) = e ibt e at Protože podle př je F[f (t)] = a + iu, dostaneme podle vlastnosti z př 5 F[p (t)] = F[e ibt f (t)] = a + i(u b)

20 Vlastnosti Fourierovy transformace 7 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz e at e ibt pro t < p (t) = pro t = pro t > Výsledek : F[ p (t) ] = F[e ibt f (t)] = a i(u b) 8 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz pro t < p 3 (t) = pro t = e at (cos bt i sin bt) pro t > Řešení : Pro t > můžeme zapsat funkci p 3 (t) v exponenciálním tvaru g 3 (t) = e ibt e at Protože podle př je F[f (t)] = a + iu, dostaneme podle vlastnosti z př5 F[p 3 (t)] = F[e ibt f (t)] = a + i(u + b) 9 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz e at e ibt pro t < p 4 (t) = pro t = pro t > Výsledek : F[ p 4 (t) ] = F[ e ibt f (t) ] = a i(u + b) Použijte pravidlo z př 5 a najděte Fourierův obraz funkce (z př7) r (t) = { pro t t π sin t pro t (, π) Řešení : Danou funkci můžeme chápat jako součin funkce sin t a funkce h (t) z př 9 ( pro a = π )

21 Integrální transformace Ze znalosti obrazu F[ h (t) ] = e iπu dostaneme iu [ F[ r (t) ] = F[ h (t) sin t ] = F h (t) eit e it ] = i = [ e iπ(u ) ] e iπ(u+) = u u + = [ e iπu e iπ + e iπu e iπ ] = u u + = iue iπu sin π e iπu cos π u = + e iπu u Výsledek musí souhlasit s výsledkem př 7 = + e iπu u Použijte pravidlo z př 5 a najděte Fourierův obraz funkce ( viz př 8 ) { pro t π r (t) = sin t pro t < π Návod : Danou funkci můžete chápat jako součin sin t a funkce h 3 (t) z př pro a = π i sin πu Výsledek : F[ r (t) ] = u Použijte pravidlo z př 5 a najděte Fourierův obraz funkce ( viz př 9 ) { pro t π s (t) = cos t pro t < π Řešení : Danou funkci můžeme chápat jako součin funkce cos t a funkce h 3 (t) z př ( pro a = π ) Ze znalosti obrazu F[ h 3 (t) ] = sin π u dostaneme u F[ s (t) ] = F[ h 3 (t) cos t ] = F [ h 3 (t) eit + e it ] =

22 Vlastnosti Fourierovy transformace 3 = sin π (u ) sin π(u + ) u u + = cos πu u + = sin( π u π ) u cos πu u + = cos π u u + u u Výsledek musí souhlasit s výsledkem př9 + sin( π u + π ) u + = = cos π u u 3 Najděte Fourierův obraz funkce { pro t π f(t) = sin pro t < π Návod : Danou funkci můžete chápat jako součin funkce cos t a funkce h 3 (t) z př ( pro a = π ) Výsledek musí souhlasit s výsledkem př 3 4 Najděte Fourierův obraz funkce f(t) = e t cos t Řešení : Protože podle př 3 ( pro a = ) známe obraz F[ f 3 (t) ] = F[ e t ] = + u, dostaneme F[ f(t) ] = F[ f 3 (t) cos t ] = F = [ f 3 (t) eit + e it + (u ) + + (u + ) = u u + + u + u + = = u u + + u + u + (u + u)(u + + u) = (u + ) u Najděte Fourierův obraz funkce f(t) = e t sin t Výsledek : F[ e t sin t ] = 4u i(u 4 + 4) ] =

23 4 Integrální transformace 6 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz f(t) = cos bt t + a Návod : Použijte výsledek př 6 a př 5 Výsledek : F[ f(t) ] = [ ] F t + a cos bt = π(e a u b + e a u+b ) a 7 Pro a R + a b R najděte Fourierův obraz f(t) = Výsledek : F [ sin bt t + a ] = π(e a u b e a u+b ) ai sin bt t + a 8 Dokažte, že pro a R platí : Jestliže F[f(t)] = F (u), potom F[f(t a)] = e iau F (u) Řešení : Funkce f(t a) znamená pouze posunutí a tím se nemohou změnit podmínky zobrazitelnosti funkce V definičním integrálu provedeme substituci t a = τ, dt = dτ F[f(t a)] = f(t a) e iut dt = = e iau f(τ)e iuτ d τ = e iau F (u) f(τ) e iu(a+τ) dτ = 9 Použijte pravidlo z př 8 a najděte Fourierův obraz funkce (z př9) s (t) = { pro t π cos t pro t < π Řešení : Danou funkci můžeme chápat jako posunutí funkce r (t) z př, protože platí cos t = sin(t + π ) Podle pravidla z př 8

24 Vlastnosti Fourierovy transformace 5 dostaneme F[s (t)] = F[r (t+ π u )] = π e i( )u + e iπ = ei π u + e i π u = cos πu u u u Použijte pravidlo z př 8 a najděte Fourierův obraz funkce k (t) z př 3 pomocí obrazu funkce g (t) z př 6 Řešení : Mezi funkcemi k (t) a g (t) zřejmě platí k (t) = g (t a) Podle pravidla z př 8 dostaneme F[k (t)] = e iau iau iau + eiau F[g (t)] = e = iau e iau + e iau u u Použijte pravidlo z př 8 a najděte Fourierův obraz funkce k (t) z př 4 pomocí obrazu funkce g (t) z př 5 Návod : Zřejmě platí g (t) = k (t a) Jestliže funkce f(t) a t f(t) jsou zobrazitelné ve Fourierově transformaci a F[f(t)] = F (u), potom dokažte, že platí : F[t f(t)] = i d F (u) du Řešení : Zobrazitelnost funkcí f(t) a t f(t) zaručuje stejnoměrnou konvergenci obrazu a jeho derivace Proto můžeme při derivování definičního integrálu podle parametru u derivovat uvnitř integrálu a d F (u) + dostaneme = it f(t) e iut dt = if[t f(t)] du Po vynásobení rovnice imaginární jednotkou i dostaneme dokazovaný vzorec 3 Použijte pravidlo z př a najděte Fourierův obraz funkce k (t) z př3 pomocí obrazu funkce h (t) z př 9 Řešení : Pro funkce k (t) a h (t) zřejmě platí k (t) = t h (t) Podle pravidla z př dostaneme F[ k (t) ] = i d ( ) e iau = ia e iau u ( e iau ) du i u u

25 6 Integrální transformace Výsledek je v souladu s výsledkem př 9 4 Použijte pravidlo z př a najděte Fourierův obraz funkce k (t) z př 4 pomocí obrazu funkce h (t) z př Návod : Zřejmě platí k (t) = t h (t) 5 Použijte pravidlo z př a najděte Fourierův obraz funkce k 3 (t) z př5 pomocí obrazu funkce h 4 (t) z př Návod : Ověřte, že platí k 3 (t) = t h 4 (t) 6 Najděte Fourierův obraz funkce g(t) = t e t Řešení : Pro funkci f 3 (t) z př3 ( pro a = ) použijeme pravidlo ( ) z př, takže dostaneme F[ t e t d ] = i = 4iu du + u ( + u ) 7 Pro a R + najděte Fourierův obraz funkce g(t) = t e a t Řešení : Danou funkci můžeme vyjádřit jako součet funkce t f (t) ( viz př ) a funkce t f (t) ( viz př ) Podle pravidla z př dostaneme F[ t e a t ] = F[t f (t)] F[t f (t)] = i d du = i ( ) i d ( ) = a + iu du a iu i (a + iu) i ( i) (a iu( = (a + iu) + (a iu) = = a iau u + a + iau u (a + u ) = (a u ) (a + u )

26 Vlastnosti Fourierovy transformace 7 8 Najděte Fourierův obraz funkce f(t) = t f (t) ( f (t) z př ) Výsledek : F[ g(t) ] = F[ t f (t) ] = (a + iu) 9 Najděte Fourierův obraz funkce g(t) = t f 4 (t) ( f 4 (t) z př 4 ) Výsledek : F[ g(t) ] = F[ t f 4 (t) ] = (a u ) (a + u ) Poznámka : Všimněte si, že platí rovnost t f 3 (t) = t f 4 (t) 3 Jestliže a) funkce f(t) je spojitá v R, b) funkce f(t) a f (t) jsou zobrazitelné ve Fourierově transformaci, c) lim f(t) = lim f(t) = t t +, potom dokažte, že platí : F[f (t)] = iu F[f(t)] Řešení : Definiční integrál pro Fourierův obraz funkce f (t) můžeme vzhledem ke spojitosti funkce f(t) počítat metodou per partes, takže dostaneme F[f (t)] = f (t) e iut dt = [ f(t) e iut] iu f(t) e iut dt = = i u F[f(t)] 3 Použijte pravidlo z př 3 a najděte Fourierův obraz funkce f 4 (t) z př 4 pomocí derivace obrazu spojité funkce f 3 (t) z př 3 Řešení : Funkce f 3 (t) splňuje všechny předpoklady pro použití pravidla z př 3 a zřejmě platí f 3(t) = a f 4 (t) Skutečně podle tohoto pravidla dostaneme F[ f 3(t) ] = i u F[ f 3 (t) ] = iu a a + u = a ui a + u = a F[ f 4(t) ]

27 8 Integrální transformace 3 Použijte pravidlo z př 3 a najděte Fourierův obraz funkce h 4 (t) z př pomocí derivace obrazu spojité funkce g 3 (t) z př 7 Návod : Ověřte, že platí g 3(t) = h 4 (t) 33 Najděte Fourierův obraz funkce f(t) = t (t + a ) Řešení : Danou funkci můžeme dostat pomocí derivace funkce t + a, protože d ( ) t = Podle pravidla z př 3 a výsledku dt t + a (t + a ) př 6 dostaneme F[ f(t) ] = [ ] i u F iu e a u = t + a a 34 Najděte Fourierův obraz derivace funkce f (t) z př Řešení : Daná funkce není spojitá, takže nemůžeme použít pravidlo z př 3 Definiční integrál pro Fourierův obraz funkce f (t) musíme počítat metodou per partes v intervalu (, ) a dostaneme F[f (t)] = f (t)e iut dt = [ f (t) e iut] = lim f (t) + iu F[f (t)] = + iu t a iu + iu = a iu + iu a iu f (t) e iut dt = (= a F[f (t)]) 35 Najděte Fourierův obraz derivace funkce f (t) z př Návod : Daná funkce není spojitá, takže se nedá použít pravidlo z př 3, ale je třeba integrovat v intervalu (, ) Pro kontrolu výsledku použijte toho, že platí f (t) = a f (t) 36 Najděte Fourierův obraz derivace funkce f 4 (t) z př 4

28 Vlastnosti Fourierovy transformace 9 Řešení : Daná funkce není spojitá, takže nemůžeme použít pravidlo z př 3 Definiční integrál pro Fourierův obraz funkce f 4(t) musíme počítat metodou per partes nejprve v intervalu (, ) a potom v intervalu (, ) Dostaneme F[ f 4(t) ] = = [ f 4 (t) e iut ] f 4(t) e iut dt + + iu + [ f 4 (t) e ] iut + + iu f 4(t) e iut dt = f 4 (t) e iut dt + f 4 (t) e iut dt = = lim f 4 (t) + iu F[f (t)] lim f 4 (t) + iu F[ f (t)] = t t + = + iu a iu + iu a + iu = = a a iu + a a + iu = a a a + u ( = a F[ f 3(t) ] ) t t 37 Jestliže F[f(t)] = F (u) a lim f(τ) dτ = lim f(τ) dτ =, t t + potom dokažte, že platí : [ t F ] f(τ) dτ = F (u) iu Řešení : Integrál t f(τ) dτ ( jako funkce horní meze ) je spojitá funkce a splňuje limitní podmínky z př 3 Obraz jeho derivace d t f(τ) dτ = f(t) je podle předpokladu známá funkce dt Proto dostaneme [ d ] t [ t ] F f(τ) dτ = F[f(t)] = iu F f(τ) dτ dt

29 3 Integrální transformace 38 Pro a R + najděte Fourierův obraz funkce I(t) = t (aτ )f (τ) dτ podle předcházejícího pravidla Řešení : Daný integrál vzhledem k definici funkce f (t) z př má nenulovou hodnotu pouze pro t > Jeho hodnotu můžeme vypočítat metodou per partes I(t) = t (aτ )f (τ) dτ = te at Je to spojitá funkce a má všechny požadované vlastnosti Podle pravidla z př 37 F[I(t)] = iu F[atf (t) f (t)] = [ iu a iu a (a + iu) ] a + iu = = iu a a iu (a + iu) = iu iu (a + iu) = ( = F[t f (a + iu) (t)] ) Pro obraz konvolutorního součinu dvou zobrazitelných funkcí, který je definován integrálem f(t) g(t) = F[f(t) g(t)] = F[f(t)] F[g(t)] f(τ) g(t τ) dτ, platí 39 Vypočítejte konvolutorní součin f 3 (t) f 3 (t) ( viz př 3 ) a najděte jeho Fourierův obraz Řešení : Výpočet je třeba rozdělit na několik případů Pro t > dostaneme f 3 (t) f 3 (t) = e a τ e a t τ dτ =

30 Vlastnosti Fourierovy transformace 3 = = e at [ e aτ e aτ e at+aτ dτ + a ] t e aτ e at+aτ dτ + + e at [τ] t + e at [ e aτ a = e at a + te at + e at a = e at a + teat Pro t < dostaneme f 3 (t) f 3 (t) = = t = e at [ e aτ e aτ e at+aτ dτ + a ] t e a τ e a t τ dτ = t e aτ e at aτ dτ + + e at [τ] t + e at [ e aτ = eat a teat + eat a = eat a teat a ] + t t = ] + = e aτ e at aτ dτ = e aτ e at aτ dτ = Pro t = vyjde f 3 (t) f 3 (t) = [ ] e aτ infty e a τ dτ = e aτ dτ = = a a Výsledek můžeme zapsat ve tvaru f 3 (t) f 3 (t) = e a t a Obrazem této funkce je ( viz př 3 a př 4 ) + t e a t F[ f 3 (t) f 3 (t) ] = a a a + u + (a u ) (a + u ) = 4a (a + u ) Protože známe obraz funkce f 3 (t), můžeme podle výsledku př 3 snadno ověřit platnost pravidla pro obraz konvolutorního součinu [ ] a F[ f 3 (t) f 3 (t) ] = = a + u 4a (a + u )

31 3 Integrální transformace 4 Vypočítejte konvolutorní součin f (t) f (t) ( viz př ) a najděte jeho Fourierův obraz Řešení : V tomto případě se výpočet podstatně zjednoduší Platí : f (τ) = pro τ < a f(t τ) = pro τ > t Takže definiční integrál má nenulovou hodnotu pouze pro t > a dostaneme f (t) f (t) = t t e aτ e at+aτ dτ = e at dτ = t e at ( = t f (t) ) Obraz této funkce mňčeme vypočítat podle pravidla z př F[ f (t) f (t) ] = i d F[f (t)] du = i i (a + iu) = (a + iu) Stejný výsledek dostaneme podle pravidla pro obraz konvolutorního součinu F[ f (t) f (t) ] = F[ f (t) ] F[ f (t) ] = a + iu a + iu

32 3Použití Fourierovy transformace 33 3 Použití Fourierovy transformace Dohoda o označení : V této kapitole budeme označovat proměnnou v zobrazované funkci písmenem x, protože v aplikacích často znamená polohovou souřadnici Použití Fourierovy transformace při řešení obyčejných diferenciálních rovnic je založeno na vlastnosti obrazu derivace, která byla odvozena v př 3 Podle této vlastnosti zobrazená rovnice již neobsahuje derivace a obraz hledané funkce můžeme vyjádřit Problémem ovšem je nalezení originálu Při řešení parciálních diferenciálních rovnic je možné najít Fourierův obraz vzhledem k jedné proměnné a druhou proměnnou chápat jako parametr Pro obraz derivace funkce f(x, s) podle parametru s platí [ ] f(x, s) F = s F (u, s) s Po zobrazení parciální diferenciální rovnice dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro proměnnou s, kde naopak proměnnou u chápeme jako parametr Bohužel podmínky zobrazitelnosti ( předpoklady věty na str 5, především požadavek absolutní konvergence integrálu ) značně omezují použitelnost Fourierovy transformace 3 Najděte originál k funkci F (u) = cos u u + a, a R+ Řešení : Nejprve rozložíme racionální lomenou funkci na parciální zlomky a upravíme u + a = ( ai u ai ) = ( u + ai a a + iu ) a ui K těmto jednoduchým funkcím najdeme originály na základě známých obrazů ( viz př a ) f (x) = a [f (x) + f (x)] = a e a x

33 34 Integrální transformace Daný obraz je však ještě vynásobený funkcí cos u = (eui + e ui ), takže podle př 8 dostaneme ve výsledku posunuté funkce f(x) = 4a ( e a x+ + e a x ) 3 Pro a R +, b R +, a b najděte originál k funkci F (u) = (u + a )(u + b ) Řešení : Můžeme využít znalost obrazu z př 3 a rozložit daný zlomek na rozdíl zlomků ( ) (u + a )(u + b ) = b a u + a u + b K oběma zlomkům najdeme snadno podle př 3 originály, takže f(x) = ( ) e a x b a a e b x b 33 Pro b R + najděte originál k funkci F (u) = e b u Řešení : Můžeme využít znalost obrazu z př, kde položíme b = neboli a = Platí tedy 4a b ] F [e t 4b = b π e b u e b u = [ ] b π F e t 4b Odtud již dostaneme výsledek F [e b u ] = b π e t 4b

34 3Použití Fourierovy transformace Pomocí Fourierovy transformace řešte diferenciální rovnici y (4) + 4 a 4 y = h 3 (x), a R +, která popisuje průhyb nekonečného nosníku na pružném podkladě při zatížení, které je popsáno funkcí h 3 (x) ( viz př s hodnotou konstanty a = ) Nezávisle proměnná x označuje polohovou souřadnici bodu a hodnota y(x) označuje výchylku v tomto bodě Výchylka y(x) musí být spojitá i s derivacemi do 3 řádu a blížit se k nule pro x + Řešení : Za uvedených podmínek je možné danou diferenciální rovnici zobrazit ve Fourierově transformaci Obraz hledané funkce y(x) označíme F[y(x)] = Y (u) a obraz funkce h 3 (x) je podle př F[h 3 (x)] = sin u u Pro obraz derivace platí podle př 3 F[y (4) ] = (iu) 4 Y (u) = u 4 Y (u) Po zobrazení dané diferenciální rovnice dostaneme (u 4 + 4a 4 ) Y (u) = sin u u Y (u) = sin u u(u 4 + 4a 4 ) Nejprve rozložíme funkci Y (u) = na parciální zlomky u(u 4 + 4a 4 ) Kořeny jmenovatele označíme u =, u = a + ia, u = a ia, u 3 = a + ia, u 4 = a ia a odpovídající koeficienty v rozkladu můžeme vypočítat pomocí reziduí a použitím l Hospitalova pravidla u u k c k = lim u u k u(u 4 + 4a 4 ) = lim u u k 5 u 4 + 4a = 4 5u 4 k + 4a4 Dosazením dostaneme c = 4a, c 4 = c = c 3 = c 4 = 5( 4a 4 ) + 4a = 4 6 a 4 Pro první zlomek najdeme originál podle výsledku př ( i s násobkem sin u ) F [ 4a 4 ] sin u = u 4a h 3(x) 4

35 36 Integrální transformace Pro zbývající zlomky najdeme originály ( bez koeficientů a bez násobku sin u ) [ ] [ ] F = F i = i e iax f (x) viz př 6, u a ia iu ia + a [ ] [ ] F = F i = i e iax f (x) viz př 7, u a + ia iu + ia + a [ ] [ ] F = F i = i e iax f (x) viz př 8, u + a ia iu + ia + a [ ] [ ] F = F i = i e iax f (x) viz př 9 u + a + ia iu ia + a Sečtením a 3 originálu dostaneme i f (x) cos ax, sečtením a 4 originálu dostaneme i f (x) cos ax Původní obraz je však ještě vynásobený konstantou a funkcí 6 a 4 sin u = i (eiu e iu ), takže podle př 8 jsou v konečném výsledku posunuté funkce : y(x) = 8a 4 [ h 3(x) f (x + ) cos a(x + ) + f (x + ) cos a(x + )+ +f (x ) cos a(x ) f (x ) cos a(x )] Vzhledem k definicím funkcí f (x) a f (x) platí x < h 3 (x) = f (x ) = f (x + ) =, takže y(x) = 8a 4 [f (x + ) cos a(x + ) f (x ) cos a(x )] ; x > h 3 (x) = f (x ) = f (x + ) =, takže y(x) = 8a 4 [f (x ) cos a(x ) f (x + ) cos a(x + )] ; x < h 3 (x) = f (x ) = f (x + ) =, takže y(x) = 8a 4 [ f (x + ) cos a(x + ) f (x ) cos a(x )]

36 3Použití Fourierovy transformace Pomocí Fourierovy transformace řešte diferenciální rovnici y (4) + 4 a 4 y = f 3 (x), a R +, která popisuje jako v předcházejícím příkladě průhyb nekonečného nosníku na pružném podkladě při zatížení, které je popsáno funkcí typu f 3 (x) ( viz př 3 s dosazenou konstantou a = ) Řešení : Danou diferenciální rovnici zobrazíme ve Fourierově transformaci a dostaneme podobně jako v minulém příkladě (u 4 + 4a 4 ) Y (u) = u + Y (u) = (u + )(u 4 + 4a 4 ) Nejprve rozložíme funkci Y (u) = zlomky (u + )(u 4 + 4a 4 ) na parciální Kořeny jmenovatele označíme u = a + ia, u = a ia, u 3 = a + ia, u 4 = a ia, u 5 = i, u 6 = i a odpovídající koeficienty v rozkladu můžeme vypočítat pomocí reziduí a použitím l Hospitalova pravidla c k = lim u u k (u u k ) (u + )(u 4 + 4a 4 ) = lim u u k 6 u 5 + 4u 3 + 8a 4 u = u k 6 u 6 k + 4u4 k + 8a4 u k Dosazením dostaneme c = a( + i) 4a 6 i 6a 4 + 8a 6 i = + i 8a 3 ( + a i) = + a + i( a ), 8a 3 ( + 4a 4 ) c = c 3 = c 4 = c 5 = a( i) 4a 6 i 6a 4 8a 6 i = i 8a 3 ( a i) = + a i( a ), 8a 3 ( + 4a 4 ) a( + i) 4a 6 i 6a 4 8a 6 i = a( + i) 4a 6 i 6a 4 + 8a 6 i = i a 4 = + i 8a 3 ( a i) = + a i( a ) 8a 3 ( + 4a 4 ) + i 8a 3 ( + a i) = + a + i( a ) 8a 3 ( + 4a 4 ) i + 4a 4, c 6 = i a 4 =, i + 4a 4,

37 38 Integrální transformace Pro první čtyři zlomky najdeme originály jako v předcházejícím příkladě a zbývající dva podle výsledku př 3 y(x) = 8a 3 + 4a 4 { [ ( + a ) i( a )]i e iat f (x)+ +[( + a ) i( a )]( i) e iat f (x)+ +[( + a ) i( a )]i e iat f (x)+ +[ ( + a ) i( a )]( i) e iat f (x) + 8a 3 e x } = = 8a 3 + 4a 4 { [( a ) i( + a )] e iat f (x)+ +[( a ) + i( + a )] e iat f (x)+ +[( a ) + i( + a )] e iat f (x)+ +[( a ) i( + a )] e iat f (x) + 8a 3 e x } Spojením a 3 části a a 4 části dostaneme y(x) = 4a 3 + 4a 4 { ( a ) cos ax [f (x) + f (x)]+ +( + a ) sin ax [f (x) f (x)] + 4a 3 e } x = { e a x [ = ( a ) cos ax + ( + a ) sin a x ] } + e x + 4a 4 4a 3 36 Pomocí Fourierovy transformace řešte diferenciální rovnici y (4) + 4 a 4 y = f(x), a R +, která popisuje jako v př 34 průhyb nekonečného nosníku na pružném podkladě při zatížení, které je popsáno zobrazitelnou funkcí f(x) Řešení : Po zobrazení ve Fourierově transformaci dostaneme (u 4 + 4a 4 ) Y (u) = F (u) Y (u) = F (u), F (u) = F[f(x)] u 4 + 4a4

38 3Použití Fourierovy transformace 39 Nejprve rozložíme funkci Y (u) = na parciální zlomky u 4 + 4a 4 Kořeny jmenovatele označíme u = a + ia, u = a ia, u 3 = a + ia, u 4 = a ia a odpovídající koeficienty v rozkladu můžeme vypočítat pomocí reziduí a použitím l Hospitalova pravidla u u k c k = lim u u k u 4 + 4a = lim 4 u u k 4u = 3 u k 4 u 4 k = u k 6a 4 Pro jednotlivé zlomky vyjádříme originály ( bez koeficientů ) stejně jako v př 34 Pro originál y (x) ( který je řešením homogenní lineární rovnice ) dostaneme y (x) = 6a 3 [ ( + i)i e iax f (x) ( i)i e iax f (x)+ +( + i)i e iax f (x) ( i)i e iax f (x) ] = = 6a 3 [ ( i) e iax f (x) + ( + i) e iax f (x)+ +( + i) e iax f (x) + ( i) e iax f (x) ] = = 8a 3 [(cos ax + sin ax) f (x) + (cos ax sin ax) f (x)] = = e a x 8a 3 ( cos ax + sin a x ) Výsledné řešení můžeme zapsat pomocí konvolutorního součinu y(x) = y (x) f(x) = y (t) f(x t) dt = = e a t (cos at + sin a t ) f(x t) dt 8a 3

39 4 Integrální transformace 37 Pomocí Fourierovy transformace řešte Cauchyovu úlohu, tj najděte funkci y(t, x), která pro t (, + ) a x (, + ) splňuje parciální diferenciální rovnici a počáteční podmínky y(t, x) t = a y(t, x) x, a R +, y(t, x) lim y(t, x) = y (x) a lim t + t + t Funkce y(t, x) musí být spojitá a i se svou parciální derivací = y (x) y x zobrazitelná vzhledem k proměnné x Rovněž funkce y (x) a y (x) musí být zobrazitelné Kromě toho musí být splněny některé další požadavky nutné k existenci řešení dané úlohy Řešení této úlohy například popisuje proud nebo napětí v ideálním nekonečně dlouhém vedení Nezávisle proměnná t označuje čas a nezávisle proměnná x je polohová souřadnice ve zkoumaném místě Řešení : Danou diferenciální rovnici zobrazíme ve Fourierově transformaci vzhledem k proměnné x, kde proměnnou t budeme chápat jako parametr Označíme F[y(t, x)] = Y (t, u) obraz hledané funkce [ ] y(t, x) Protože podle př 3 F = u Y (t, u), dostaneme pro x obraz Y (t, u) vzhledem k proměnné t obyčejnou homogenní lineární diferenciální rovnici řádu s konstantními koeficienty ( kde u chápeme jako parametr ): s počátečními podmínkami d Y (t, u) dt + a u Y (t, u) = Y (, u) = F[y (x)] = Y (u), Y (, u) = F[y (x)] = Y (u) Obecné řešení této rovnice v exponenciálním tvaru je Y (t, u) = C e iaut + C e iaut a z počátečních podmínek vyjde Y (u) = C + C, Y (u) = iau(c C )

40 3Použití Fourierovy transformace 4 Odtud dostaneme C = [ Y (u) + Y ] (u), C = iau Y (t, u) = [ Y (u) e iaut + Y (u) e iaut] + a [ Y (u) Y (u) iau [ Y (u) iu ], eiaut Y (u) iu e iaut ] Originál k této funkci dostaneme podle vlastností v př 8 a 37 y(t, x) = [y (x + at) + y (x at)]+ [ x+at x at ] f (ξ) dξ f (ξ)dξ = a = [y (x + at) + y (x at)] + a x+at x at Tento výsledek se nazývá d Alembertův vzorec f (ξ) dξ 38 Pomocí Fourierovy transformace řešte Cauchyovu úlohu, tj najděte funkci y(t, x), která pro t (, + ) a x (, + ) splňuje parciální diferenciální rovnici y(t, x) t = a y(t, x) x ( a R + ) a splňuje počáteční podmínku lim y(t, x) = y (x) t + Funkce y(t, x) musí být spojitá a i se svou parciální derivací zobrazitelná vzhledem k proměnné x Rovněž funkce y (x) musí být zobrazitelná Kromě toho musí být splněny některé další požadavky nutné k existenci řešení dané úlohy Tato úloha popisuje například teplotní pole nekonečně dlouhé tepelně izolované tyče zanedbatelného průměru Nezávisle proměnná t označuje čas, nezávisle proměnná x je polohová souřadnice ve zkoumaném místě a hodnota funkce y(t, x) znamená teplotu v daném místě a v daném čase y x Řešení : Danou diferenciální rovnici zobrazíme ve Fourierově transformaci vzhledem k proměnné x, kde proměnnou t budeme chápat

41 4 Integrální transformace jako parametr Označíme [ F[y(t, x)] = Y (t, u) obraz hledané funkce ] y(t, x) Protože podle př 3 F = u Y (t, u), dostaneme pro x obraz Y (t, u) obyčejnou lineární diferenciální rovnici řádu vzhledem k proměnné t ( s parametrem u ) d Y (t, u) dt = a u Y (t, u) s počáteční podmínkou Y (, u) = F[y (x)] = Y (u) Snadno vypočítáme řešení této rovnice Y (t, u) = Y (u) e a u t Nejprve podle výsledku př 33 ( pro b = a t ) najdeme originál F[e a t u ] = a π t e x 4a t Výsledné řešení vyjádříme konvolutorním součinem y(t, x) = + a π t y (ξ) e (x ξ) 4a t dξ

42 4Laplaceova transformace 43 4 Laplaceova transformace V této a v následujících kapitolách budeme názvem Laplaceova transformace rozumět jednostrannou Laplaceovu integrální transformaci a budeme vycházet z určitých dohodnutých omezení pro zobrazované funkce f Definice : Funkce f reálné proměnné t, která pro t < splňuje podmínku f(t) =, se nazývá jednostranná funkce Definice : Jestliže jednostranná funkce f neroste rychleji než exponenciální funkce, tj jestliže existuje x R a M R +, aby pro všechna t platilo f(t) < M e xt, potom se funkce f nazývá funkce exponenciálního řádu Jestliže existuje reálné číslo x v uvedené definici, potom požadovanou podmínku splňuje také každé x > x, protože pro tato x platí e xt < e xt Jestliže existuje infimum množiny reálných čísel x z předcházející definice, budeme je označovat ξ Definice : Jednostranná funkce f reálné proměnné t, která je exponenciálního řádu a splňuje Dirichletovy podmínky v libovolném intervalu (a, b) ( viz kap, str 5 ) se nazývá ( v této sbírce ) zobrazitelná funkce v Laplaceově transformaci Tato definice zdůrazňuje souvislost s Fourierovou transformací, ale uvádí zbytečně silné podmínky, takže se poněkud zužuje třída zobrazitelných funkcí - nebylo by třeba požadovat splnění Dirichletovy podmínky Definice : Jestliže funkce f je zobrazitelná v Laplaceově transformaci, potom se funkce F komplexní proměnné p, definovaná integrálem F (p) = f(t) e pt dt nazývá Laplaceův obraz funkce f a označuje se L[f(t)] nebo Lf Definici je možné snadno zobecnit na komplexní funkci reálné proměnné; zobrazujeme samostatně reálnou a imaginární část a požadované podmínky potom musí splňovat reálná i imaginární část funkce Protože pro jednostrannou funkci exponenciálního řádu existuje aspoň jedno reálné číslo x, které splňuje podmínku definice, musí pro nevlastní

43 44 Integrální transformace integrál definující Laplaceňv obraz platit f(t) e pt dt = M f(t) e Re p t e i Im p t dt e x t e Re p t dt = M e (x Re p)t dt Podle srovnávacího kritéria definiční integrál konverguje stejnoměrně a absolutně vzhledem k parametru p pro Re p x Jestliže existuje infimum ξ, definiční integrál konverguje stejnoměrně a absolutně pro Re p > ξ V této oblasti ( polorovině ) je tedy Laplaceův obraz F (p) holomorfní funkce komplexní proměnné p a číslo ξ se nazývá úsečka konvergence Jestliže infimum ξ neexistuje, je obraz F (p) holomorfní funkce v celé Gaussově rovině Pro x > ξ můžeme Laplaceův obraz chápat také jako Fourierův obraz jednostranné funkce f(t) e xt, kde položíme x + iu = p Jestliže f(t) splňuje Dirichletovy podmínky, potom také funkce f(t) e xt splňuje Dirichletovy podmínky Platí tedy F[f(t) e xt ] = f(t) e xt e iut dt = f(t)e (x+iu)t dt = f(t)e pt dt Úmluva : Pro jednoduchost budeme v Laplaceově transformaci všechny zobrazované funkce f(t) zapisovat obvyklým způsobem, ale budeme je vždy chápat jako jednostranné funkce, které splňují třetí Dirichletovu podmínku Např zápisem funkce f(t) = e t budeme rozumět funkci pro t <, f(t) = pro t =, e t pro t > Zvláště zápisem (t) budeme rozumět funkci pro t <, (t) = pro t =, pro t > V příkladech rozhodněte, zda jsou dané funkce zobrazitelné v Laplaceově transformaci V kladném případě vypočítejte podle definice jejich Laplaceovy obrazy a určete jejich úsečku absolutní konvergence

44 4Laplaceova transformace pro t <, f(t) = (t) = pro t =, pro t > Jednostranná funkce a její derivace mají jediný bod ne- t =, ve kterém existují limity zprava a zleva Protože f(t) =, jsou splněny všechny Dirichletovy Řešení : spojitosti lim t f(t) = a lim t + podmínky Výpočtem se snadno zjistí, že f(t) e xt dt = e xt dt absolutně konverguje pro libovolné x >, takže úsečka konvergence je ξ = [ ] + e F (p) = f(t)e pt pt + dt = = p p pro t < t >, f(t) = pro t = t =, pro t (, ) Řešení : Daná funkce splňuje stejně jako v předcházejícím případě Dirichletovy podmínky Podmínka pro funkci exponenciálního řádu je splněna pro libovolné x R Laplaceův obraz se redukuje na určitý integrál, který pro p snadno vypočítáme F (p) = f(t) e pt dt = e pt dt = p (e p e ) = e p p Pro p = vyjde F () = dt = a současně platí lim F (p) =, p takže definiční integrál konverguje v celé Gaussově rovině 43 f(t) = e at, kde a C

45 46 Integrální transformace Řešení : Funkci chápeme podle úmluvy jako jednostrannou, takže má jediný bod nespojitosti a splňuje Dirichletovy podmínky Je zřejmě exponenciálního řádu ( stačí volit x > Re a = ξ ) Snadno vypočítáme 44 f(t) = t e at e pt dt = e at pt dt = e (p a)t dt = p a Řešení : Daná funkce není zobrazitelná, protože nesplňuje první Dirichletovu podmínku (neexistuje vlastní limita lim t + t ) 45 f(t) = e t Řešení : Funkce není zobrazitelná, protože není exponenciálního řádu Muselo by existovat x R a M R +, aby platilo e t M e x t = e ln M+x t, neboli t ln M + x t Tato nerovnost není splněna pro t > t, kde t je kladný kořen kvadratické rovnice t x t ln M = 46 f(t) = t n, kde n N Řešení : Daná funkce i její derivace jsou spojité funkce Ukážeme, že funkce f(t) = t n je exponenciálního řádu Pro t > má platit t n M e x t M tn e x t = g(t) Funkce g(t) je spojitá, g() = a (n + )-násobným použitím l Hospitalova pravidla dostaneme g(t) = Přitom derivace lim t + g (t) = nt n e x t t n x e x t = t n e x t (n tx ) = pro t = n x V tomto bodě tedy nastává maximum funkce g(t) a pro libovolné x > stačí volit za M tuto maximální hodnotu Zřejmě úsečka konvergence je ξ = Výpočet obrazu pro Re p > provedeme opakovaně metodou per partes [ L[t n ] = t n e pt dt = p tn e pt ] + n p t n e pt dt = n p L[tn ]

46 4Laplaceova transformace 47 Odtud L[t n ] = n! p n Jestliže funkce f (t) a f (t) jsou zobrazitelné v Laplaceově transformaci, potom pro libovolné c C, c C platí L [ c f (t) + c f (t) ] = = c L[ f (t) ] + c L[ f (t) ] Říkáme, že Laplaceova transformace je lineární 47 f(t) = cos t Řešení : Zobrazovaná jednostranná funkce spiňuje všechny Dirichletovy podmínky a je exponenciálního řádu ( M =, x > ) Zřejmě úsečka konvergence je ξ = Podle vyjádření funkce cos t = eit + e it najdeme podle výsledku příkladu 4 3 L[ cos t ] = (L[ eit ] + L[ e it ]) = ( p i + ) = p p + i p + 48 f(t) = sin t Výsledek : Funkce je zobrazitelná, úsečka konvergence je ξ = a L[ sin t ] = p + 49 f(t) = cos t Výsledek : Funkce je zobrazitelná, úsečka konvergence je ξ = a L[ cos t ] = p p f(t) = sin t Výsledek : Funkce je zobrazitelná, úsečka konvergence je ξ = a L[ sin t ] = 4p +

47 48 Integrální transformace 4 f(t) = cos t Řešení : Použijeme vyjádření cos t = (+cos t) Podle předcházejících příkladů jsou obě funkce zobrazitelné a úsečka konvergence je ξ = L[ cos t ] = (L[ (t) ] + L[ cos t ]) = 4 f(t) = sin t ( p + p ) = p + p + 4 p(p + 4) Výsledek : Funkce je zobrazitelná, úsečka konvergence je ξ = a L[ sin t ] = p(p + 4) 43 f(t) = sinh t Řešení : Použijeme vyjádření sinh t = (et e t ) Obě exponenciální funkce splňují Dirichletovy podmínky a jsou exponenciálního řádu Zřejmě úsečka konvergence je ξ = L[ sinh t ] = (L[ et ] L[ e t ]) = 44 f(t) = cosh t ( p ) = p + p Výsledek : Funkce je zobrazitelná, úsečka konvergence je ξ = a L[ cosh t ] = p p

48 5Vlastnosti Laplaceovy transformace 49 5 Vlastnosti Laplaceovy transformace Složitější obrazy již nebudeme určovat podle definice, ale na základě vlastností, které budou v této kapitole odvozeny ve formě úloh V ostatních úlohách se potom tyto vlastnosti používají k nalezení dalších obrazů Vzhledem k příbuznosti Laplaceovy a Fourierovy transformace má pochopitelně Laplaceova i Fourierova transformace velmi podobné vlastností Protože vycházíme z obrazů funkcí, které jsme ve 4 kapitole vypočítali a nalezli jsme pro ně úsečku konvergence, nebudeme již podmínky konvergence obrazů zapisovat Kromě toho z teorie funkcí komplexní proměnné je známo, že definiční obor každé funkce, která je holomorfní v určité oblasti, lze rozšiřovat Takže všechny nalezené obrazy ( pokud nemají složitější singulární body než poly ) můžeme chápat jako holomorfní funkce komplexní proměnné definované v celé Gaussově rovině s výjimkou těchto singulárních bodů 5 Dokažte, že pro a R + platí : Jestliže L[f(t)] = F (p), potom L[f(at)] = ( ) p a F a Řešení : V definičním integrálu provedeme substituci at = τ, dt = dτ, takže dostaneme a L[f(at)] = f(at) e pt dt = f(τ) e p a τ dτ a = ( ) p a F a V příkladech 5-58 vypočítejte na základě vlastnosti z př 5 Laplaceovy obrazy daných funkcí 5 f(t) = cos ωt, ω R + Řešení : Na základě výsledku př 47 L[ cos t ] = p p + L[ cos ωt ] = ω p ω ( p ω ) + = p p + ω

49 5 Integrální transformace 53 f(t) = sinh at, a R + Řešení : Na základě výsledku př 43 L[ sinh t ] = p L[ sinh at ] = a ( p a) = a p a 54 f(t) = sin ωt, ω R + Výsledek : Podle výsledku př 49 platí L[ sin ωt ] = 55 f(t) = cosh at, a R + Výsledek : Podle výsledku př 44 platí L[ cosh at ] = 56 f(t) = cos ωt, ω R + ω p + ω p p a Výsledek : Na základě výsledku př 4 dostanete L[ cos ωt ] = p + ω p(p + 4 ω ) 58 f(t) = sin ωt, ω R + Výsledek : Na základě výsledku př 4 dostanete L[ sin ω ωt ] = p(p + 4 ω ) 59 Dokažte, že pro a C platí : Jestliže L[f(t)] = F (p), potom L[ e at f(t) ] = F (p a) Řešení : Počítáme Laplaceův obraz podle definice L[e at f(t)] = f(t) e at e pt dt = f(t) e (p a)t dt = F (p a)

50 5Vlastnosti Laplaceovy transformace 5 V příkladech 5-57 vypočítejte na základě vlastnosti z př 59 Laplaceovy obrazy daných funkcí 5 f(t) = e t cos t Řešení : Na základě výsledku př 47 dostaneme L[ cos t ] = p p + 5 f(t) = e 3t sinh t L[ e t cos t ] = Řešení : Na základě výsledku př 43 dostaneme L[ sinh t ] = p 5 f(t) = e t sin t L[ e 3t sinh t ] = Výsledek : Na základě výsledku př 54 dostanete L[ e t sin t ] = p + p f(t) = e t cosh t Výsledek : Na základě výsledku př 55 dostanete L[ e t p + cosh t ] = p + p 3 54 f(t) = e at cos ωt, a C, ω R + Řešení : Na základě výsledku př 5 dostaneme L[cos ωt] = p p + ω L[e at cos ωt] = 55 f(t) = e at sinh bt, a C, b R + Řešení : Na základě výsledku př 53 dostaneme L[sinh bt] = b p b L[eat sinh bt] = p + (p + ) + = p + p + 4p + 5 (p 3) = p 6p + 8 p + a (p + a) + ω = p + a p + ap + a + ω b (p a) b = b p ap + a b Poznámka : Ověřte, že výsledek je správný i pro případ a = b