Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo"

Natálie Kadlecová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Analýza spolehlivosti tlakové nádoby metodou Monte Carlo Jakub Nedbálek Abstrakt: Cílem práce je ukázat možnost využití Monte Carlo simulace pro studium úloh z oblasti spolehlivosti. V našem případě máme k dispozici systém, ve kterém se deterministicky vyvíjí procesní proměnná tlak. Časový průběh proměnné vychází z diferenciálních rovnic, jejichž řešení je nám známé. Všechny změny, resp. poruchy komponent považujeme za stochastické události. Vzhledem k dynamice procesu se snažíme vyčíslit pravděpodobnost poruchy vztaženou ke vstupním parametrům a vytvořit funkci pravděpodobnosti poruchy v čase. Pro komplikovanější typy úloh se numerické řešení pomocí metody Monte Carlo zdá být efektivní, nicméně jistou nevýhodou může být časová náročnost řešení díky výpočetní době a konstruování příslušného algoritmu. V naší konkrétní úloze byl čas, potřebný k modelování simulací, menší než 1000 s, což je zanedbatelná hodnota. 1. Úvod V této úloze je konkrétně nasimulováno a vyšetřeno chování uzavřeného systému, ve kterém se mění tlak v závislosti na čase. Cílem modelování je určit spolehlivost této soustavy vzhledem ke komponentám, jenž mají za úkol udržet tlak v patřičných mezích. Prostředkem k řešení je metoda Monte Carlo (MC), jako alternativa k analytickému postupu v [1].

Všechny změny, resp. poruchy komponent považujeme za stochastické události.

2 2. Popis benchmark procesu Mějme k dispozici systém, v němž je hlavní procesní proměnou x tlak. Předpokládejme, že její počáteční hodnota v čase t 0 je x 0 a dále že se x vyvíjí exponenciálně. Dosáhle-li tlak úrovně x = l, začne působit komponenta C1, která může s pravděpodobností p 0 selhat, s pravd. 1- p 0 p 1 pracovat korektně, nebo se spustit částečně chybně s pravd. p 1. Poslední dva případy vedou ke snížení x v systému k počáteční hodnotě x 0. V případě, že x > L > l, systém považujeme za porouchaný. Situace odpovídá případu, kdy tlak v nádobě je regulován ventilem, který se při hodnotě tlaku l má otevřít, jinak dojde k roztržení nádoby - tlak vzroste nad bezpečnou mez L. Systém je doplněn komponentou C2, která akceleruje růst x, díky čemuž se systém dostane rychleji na úroveň x = l s následným zapojením komponenty C1 podle scénáře podobného předchozímu. Stavovou veličinu je možno popsat následujícími dif. rovnicemi: dx aix, i = 1,4,6 = { ai > 0 i, (1) dt aix, i = 2,3, 5 kdy platí a 2 > a 3, a 4 = a 1 + b, a 5 = a 2 - b, a 6 = - a 3 + b, a b = 0.15 Intenzitu poruch λ považujme konstantní v celém zledovaném rozmezí < x 0,L>. Pro koeficienty dosazujeme následující numerické hodnoty: x 0 1 p a a l 3 p a a L 4 λ a a Pro řešení úlohy předpokládáme, že pro danou možnost se stavová proměnná vyvíjí deterministicky a k případným změnám v průběhu vývoje dochází stochasticky. Protože naším úkolem není rozebírat postup výpočtu (1), podívejme se rovnou, jak vypadá řešení diferenciálních rovnic s příslušnými konstantními koeficienty a 1 a 6 :

V případě, že x > L > l, systém považujeme za porouchaný.

3 Obr. 1. Řešení (1) vývoj stavové proměnné pro jednotlivé koeficienty 3. Řešení Monte Carlo metodou Úkolem je nalézt funkci pravděpodobnosti poruchy systému. Základem řešení naší testovací studie bude sestavení optimálního algoritmu MC metody. Za prostředí, v němž budeme případ simulovat, zvolme Matlab. Při sestavování algoritmického řešení vycházíme z následujících informací: - vzrůst x nad L - porucha - pokles x na x 0 - úspěch - vzrůst x nad l - změna koeficientu a, změna hraničních časů a úrovní - hraniční úrovně x=x f, resp. časy t=t f zjistíme z rovnice x (t) =x e.exp(a e.(t-t e )) řešení vztahu (1) kde x e a t e jsou počáteční (inicializační) hodnoty v simulačním cyklu - uvažujeme, že při jedné simulaci můžou nastat obě poruchy u C1 i C2 vybíráme dřívější čas

Při sestavování algoritmického řešení vycházíme z následujících informací: - vzrůst x nad L - porucha - pokles x na x 0 - úspěch - vzrůst x nad l - změna koeficientu a, změna hraničních časů a

4 - čas T1 je náhodně generován z exponenciálního rozložení s parametrem λ - odpovídá přechodu C2 do poruchy a změně a i o b. - pravděpodobnosti p jsou generovány náhodně a platí: s pravděpodobností p 0 přejde vývoj do stavu a 1, 1- p 0 p 1 do stavu a 2 a p 1 do a 3. - počáteční hodnoty pro každý cyklus simulace jsou dány t e = 0, x e = x 0 = 1 a a i = a 1 = 0.2 Algoritmus v Matlabu vypadá následovně: function simstav_x global X por usp m globalni promenne lambda = 0.04; beta = 0.15; vstupni koeficienty ze zadani X1 = 1; X2 = 3; X3 = 4; A = [ ]; p0 = 0.02; p1 = 0.04; ms = input('pocet milionu simulaci = '); if isempty(ms),error('neudano'), if ms~=round(ms) ms<1,error('neprirozene'), doba = zeros(ms* ,1) ; doby trvani odpredu porucha odzadu uspech MS = length(doba) ; pocet simulaci usp = 0 ; pocet uspechu por = 0 ; pocet poruch while usp+por < MS cyklus pres pocet simulaci provedeni jedne simulace T1 = -log(rand)/lambda ; doba fungovani prvku C2, generovano nahodne

- počáteční hodnoty pro každý cyklus simulace jsou dány t e = 0, x e = x 0 = 1 a a i = a 1 = 0.

5 nah = rand ; if nah < p0, an = A(1) ; elseif nah < p1, an = A(3) ; else, an = A(2) ; funkce prvku C1 provadeni dilcich prechodu pocinaje pocatecnim stavem tf = 0; xf = X1; af = A(1); pocatecni inicializace while 1 dokud neskonci jedna simulace te = tf ; xe = xf ; ae = af ; dosazeni "hranicniho" casu if T1>te, tf_t = T1 ; else, tf_t = Inf ; kdyby pokles vzrust pres "hranicni" uroven L if ae>0 nalezeni nejblizsi vyssi urovne pro akci "vzrust" if xe < X2, xf_x = X2 ; CO = 2 ; else, xf_x = X3 ; CO = 3 ; else nalezeni nejblizsi nizsi urovne pro akci "pokles" xf_x = X1 ; CO = 1 ; vypocet odpovidajiciho casu pro prislusny stav x tf_x = te + log(xf_x/xe)/ae ; rozliseni co nastane drive (porucha od C2/zasah C1) if tf_t < tf_x realizace "prechodove" akce == porucha C2 dojde k akceleraci rustu tf = tf_t ; an = an + beta ; xf = xe*exp(ae*(tf-te)) ; af = ae + beta ; else realizace "vzrustove poklesove" akce switch CO case 1 konec- uspech jak = +1 ; cas = tf_x ; break case 2 akce zasah C1 tf = tf_x ; xf = xf_x ; af = an ;

ae>0 nalezeni nejblizsi vyssi urovne pro akci "vzrust" if xe < X2, xf_x = X2 ; CO = 2 ; else, xf_x = X3 ; CO = 3 ; else nalezeni nejblizsi nizsi urovne pro akci "pokles" xf_x = X1 ; CO = 1 ; vypocet

6 case 3 konec- porucha jak = -1 ; cas = tf_x ; break rozliseni co nastane provadeni dilcich prechodu (while 1) dosazeni vysledku jedne simulace zapis cas uspechu/poruchy if jak>0, usp = usp + 1 ; doba(ms+1-usp) = cas ; else, por = por + 1 ; doba( por) = cas ; provadeni vsech simulaci prezentace simulacniho reseni X = sort(doba(1:por)) ; m = length(x) ; delka vektoru Y = (por/(por+usp))*(0:m)/m ; pro kazde m vypocti pravdepodobnost plot([0 X'],Y,'r-' ) title([num2str(por) '+' num2str(usp) ' histories']) popisy os a grafu ylabel('failure probability') xlabel('time') Výsledkem je graf pravděpodobnosti poruchy systému histories failure probability time Obr. 2. Grafický výstup pro simulací MC. (nahoře poč.poruch + poč.úspěchů)

(por/(por+usp))*(0:m)/m ; pro kazde m vypocti pravdepodobnost plot([0 X'],Y,'r-' ) title([num2str(por) '+' num2str(usp) ' histories']) popisy os a grafu ylabel('failure probability') xlabel('time')

7 4. Závěr Testovací studie byla provedena pro simulací MC metodou. Pro jiný počet simulací v daném řádu se tvar výsledné funkce příliš nemění. Výstup byl konfrontován s výsledkem [1], kde bylo uvažováno řešení analyticky. Matematický průběh pravděpodobnostní funkce zjištěné MC metodou je v dobré shodě s analytickým výsledkem - MC simulaci můžeme tedy považovat za dostatečně spolehlivou pro naši benchmarkovou studii. Pro cyklů zabralo modelování na počítači PII 0,5GHz, 256 MB RAM čas t<1000s, což je zanedbatelná hodnota. Literatura [1] Labeau, E.P.: Pressurisation test-cases for dynamic reliability, Université Libre de Bruxelles, Brussels, 2002 [2] Virius, M.:Základy výpočetní techniky (Metoda Monte Carlo), ČVUT, Praha, 1985 [3] Briš R., Praks P.: Special Case of Dynamic Reliability Analysis Based on Time Depent Acyclic Graph, The International Symposium on STOCHASTIC MODELS in RELIABILITY, SAFETY, SECURITY and LOGISTICS, February 15-17, Beer Sheva, Israel, ISBN , str Adresa autora: Ing. Jakub Nedbálek, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, fakulta elektrotechniky a informatiky, katedra aplikované matematiky, Tř.17.listopadu 15, Ostrava-Poruba. radim.bris@vsb.cz Tato práce byla vytvořena v rámci projektu MŠMT 1M CQR.

Matematický průběh pravděpodobnostní funkce zjištěné MC metodou je v dobré shodě s analytickým výsledkem - MC simulaci můžeme tedy považovat za dostatečně spolehlivou pro naši benchmarkovou studii.

Podobné dokumenty

cyklus s daným počtem opakování cyklus s podmínkou na začátku (cyklus bez udání počtu opakování)

Řídící příkazy: if podmíněný příkaz switch přepínač for while cyklus s daným počtem opakování cyklus s podmínkou na začátku (cyklus bez udání počtu opakování) if logický_výraz příkaz; příkaz; příkaz; Podmínka