Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ::

Transkript

1 DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1.

2 diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2.

3 Literatura Berka, M., Teorie grafů a úlohy na grafech, ( Demel, J., Grafy a jejich aplikace, Academia, Praha Duží, M., Matematická logika, FEI VŠB, TU Ostrava, skripta. Fábry, J., Matematické modelování, Nakladatelství Oeconomica, VŠE FIS, Praha Hliněný, P., Diskrétní matematika, FEI VŠB, TU Ostrava 2005, ( Konopík, M., Abstraktní datový typ graf Úvod do teorie grafů, KIV, ZČU. ( Kovár, M., Diskrétní matematika, FIT VUT, Brno ( Kovár, M., Cvičení z diskrétní matematiky, FIT VUT, Brno 2003, ( Kovář, P., Diskrétní matematika, FAM VŠB, TU Ostrava ( Křemen, J.,Modely a systémy,academia a ČMT, Praha Matoušek, J. a Nešetřil,J., Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum, Praha Muhamma, R., Algorithmic Graph Theory, ( Raclavský, J., Logika, MU Brno, ( Roberts, F.S., Discrete Mathematical Models with Applications to Social, Biological and Environmentals Problems, Prentice-Hall,Inc., New Jersey Ryjáček, Z., Teorie grafů a diskrétní optimalizace, KMA ZCU 2005, ( 3.

4 1 Matematická logika 1.1 Výroky a úsudky 1.2 Výroková logika 1.3 Predikátová logika 4.

5 1. Matematická logika 1.1 Úsudky a výroky 1/4 Definice. Výrokem je jakékoli tvrzení, o kterém lze říci, že je pravdivé nebo, že je nepravdivé. Úsudkem nazýváme duševní postup, při němž usuzujeme na pravdivost výroku A na základě pravdivosti výroků B 1, B 2,, B n. Výroky B 1, B 2,, B n nazýváme předpoklady neboli premisy a výrok A nazýváme závěr. Píšeme B 1, B 2,, B n A. Definice. Úsudek B 1, B 2,, B n A je platný, jestliže závěr A logicky vyplývá z předpokladů B 1, B 2,, B n. Platný úsudek značíme B 1, B 2,, B n = A. 5.

6 1. Matematická logika 1.1 Úsudky a výroky 2/4 Několik platných úsudků. Všichni psi štěkají. Pudl je pes. Pudl štěká. V seznamu novodobých římských císařů není žádná žena. Marie Terezie byla žena. Marie Terezie nebyla římská císařovna. Je doma nebo odešel do kavárny. Je-li doma, pak nás očekává. Jestliže nás neočekává, pak odešel do kavárny. Je-li tento kurz dobrý, pak je užitečný. Buď je přednášející shovívavý, nebo je tento kurz neužitečný. Ale přednášející není shovívavý. Tento kurz je špatný. 6.

7 1. Matematická logika 1.1 Úsudky a výroky 3/4 Definice. Jestliže je výrok A pravdivý za všech okolností, říkáme, že je platný, nebo že je tautologií a značíme = A. Jestliže předpoklady v množině {B 1,B 2,..., B n } nemohou být současně všechny splněny, říkáme, že množina {B 1,B 2,..., B n } je kontradiktorická (sporná, nesplnitelná). Kontradikci značíme {B 1,B 2,..., B n} =. Z kontradiktorické množiny premis plyne jakýkoli závěr. 7.

8 1. Matematická logika 1.1 Úsudky a výroky 4/4 Vlastnosti deduktivních úsudků. Logicky správný úsudek může mít nepravdivý závěr (např.: Všechny kobry jsou jedovaté. Tato hůl je kobra. Tato hůl je jedovatá.) V takovém případě však musí být některý z předpokladů nepravdivý. Jestliže platí B 1, B 2,, B n = A, platí i B 1, B 2,, B n, B n+1 = A pro libovolný další předpoklad B n+1. Tato vlastnost závěru se nazývá monotónnost. Jestliže platí B 1, B 2,, B n = A a C 1, C 2,, C n = A, pak platí B 1, B 2,, B n, C 1, C 2,,C n = A a zároveň B 1, B 2,, B n, C 1, C 2,, C n = A. Tato vlastnost se nazývá tranzitivita. Jestliže je A rovno jedné z premis B 1, B 2,, B n, pak platí B 1, B 2,, Bn = A. Tato vlastnost se nazývá reflexivita. 8.

9 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 1/7 Definice jazyka výrokové logiky Abeceda jazyka výrokové logiky je množina následujících symbolů: Výrokové symboly p, q, r, A, B,. Symboly logických spojek (funktorů),,,,. Pomocné symboly (závorky) ( ),[ ],{ },... Symboly,,,, nazýváme po řadě funktory negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence. 9.

10 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 2/7 Definice jazyka výrokové logiky - pokračování Gramatika jazyka výrokové logiky rekurzivně definuje formule: 1. Výrokové symboly jsou formule. 2. Jsou-li A, B formule, pak jsou formulemi i výrazy ( A), (A B), (A B), (A B), (A B). 3. Jiných formulí výrokové logiky než těch, které vzniknou aplikací podle bodů 1. a 2., není. Jazyk výrokové logiky je množina všech formulí výrokové logiky. 10.

11 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 3/7 Definice logických funktorů Negace výroku A se značí A a znamená není pravda, že. Konjunkce výroků A a B se značí A B a znamená, že platí zároveň A a zároveň B. Disjunkce (alternativa) výroků A a B se značí A B a znamená, že platí buď A nebo B (nebo obojí). Implikace: Vyplývá-li z výroku A výrok B, říkáme, že z A plyne B nebo že A implikuje B nebo jestliže A, pak B nebo když A, tak B, a píšeme A B. Ekvivalence nastane, platí-li zároveň A B a B A a říkáme, že výroky A a B jsou ekvivalentní, a značíme A B. Ekvivalenci čteme také: B platí právě, když platí A nebo B platí tehdy a jen tehdy, platí-li A. 11.

12 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 4/7 Definice sémantiky výrokové logiky Interpretace pravdivostní ohodnocení (valuace) J přiřazuje každé formuli pravdivostní hodnotu z množiny {1,0}, která kóduje množinu {pravda, nepravda}. Tautologie je formule, která nabývá hodnoty pravda při každé interpretaci. Kontradikce je formule, která nabývá hodnoty nepravda při každé interpretaci. Pravdivostní tabulka A B A B A B A B A B

13 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 5/7 Zjistěme, zda množina formulí M ={p r, q r, p q} je splnitelná, tj zda platí p r, q r, p q = r p q r p r q r p q

14 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 6/7 Seznam některých tautologií A) Tautologie s jediným výrokovým symbolem: ( p p) zákon sporu ( p p) zákon vyloučeného třetího p p zákon totožnosti p p zákon dvojí negace p ( p p) zákon idempotence p ( p p) zákon idempotence B) ( p p) q zákon Dunse Scota p (q p) zákon simplifikace ( p q) ( q p) zákon kontrapozice C) De Morganovy zákony: ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) 14.

15 1. Matematická logika 1.2 Výroková logika 7/7 Převod z přirozeného jazyka do jazyka výrokové logiky Je doma (p) nebo odešel do kavárny ( p). Je-li doma, pak nás očekává (q). Jestliže nás neočekává, pak odešel do kavárny. ( p q) ( q p) Převod z přirozeného do symbolického jazyka nemusí být vždy zcela jednoznačný. Jestliže má člověk vysoký tlak (p) a špatně se mu dýchá (q) nebo má zvýšenou teplotu (r), pak je nemocen (s). Můžeme převádět jako 1. možnost: [(p q) r] s 2. možnost: [p (q r)] s. Obě formule jsou různé, obě vyhovují zadání, ale ze zadání nepoznáme, jak bylo tvrzení myšleno. 15.

16 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 1/6 Definice jazyka predikátové logiky I) Abeceda predikátové logiky (následující symboly): a. Logické symboly i. individuové proměnné x,y,z, individuové konstanty a,b,c,. ii. symboly pro spojky,,,,, iii. symboly pro kvantifikátory,, iv. případně binární predikátový symbol = (predikátová logika s rovností). b. Speciální symboly i. predikátové symboly p,q,r,, ii. funkční symboly f,g,h,. c. Pomocné symboly závorky. 16.

17 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 2/6 Definice jazyka predikátové logiky - pokračování II) Gramatika, která udává, jak tvořit a. termy: jsou proměnné nebo konstanty b. atomické formule: i. je-li p n-ární predikátový symbol a jsou-li t 1,,t n termy, pak výraz p(t 1,,t n ) je atomická formule, ii. jsou-li t 1 a t 2 termy, pak výraz (t 1 = t 2 ) je atomická formule. c. formule: i. každá atomická formule je formule, ii. je-li výraz A formule, pak A je formule, iii. jsou-li A a B formule, pak výrazy (A B),(A B),(A B), (A B) jsou formule, iv. je-li x proměnná a A formule, pak výrazy xa a xa jsou formule, v. jen výrazy dle i. iv. jsou formule. 17.

18 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 3/6 Kvantifikátory. Kvantifikátor nazýváme obecným (velkým) kvantifikátorem a vyjadřuje každý; žádný; všechna; kterýkoli; libovolný; Kvantifikátor je existenčním (malým) kvantifikátorem a vyjadřuje existuje; některé; lze nalézt; alespoň jeden;. Někdy se používá! pro vyjádření existuje právě jeden 18.

19 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 4/6 Univerzum. Univerzum je množina individuí, která spadají do našeho uvažování. Máme- li na mysli např. tři dívky, Annu, Báru a Gabrielu, pak tyto tři dívky tvoří naše univerzum U. Dívky po řadě označíme α,β,γ, tedy U ={α,β,γ}. Predikát. Predikátový symbol je výraz označující predikát, tedy vlastnost nebo vztah, který lze vypovědět (predikovat) o individuu. Vlastnost být dívka je predikovatelná o třech individuích námi uvažovaného univerza a píšeme P(x). 19.

20 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 5/6 Příklady převodu z přirozeného jazyka do symbolického jazyka predikátové logiky 1) Nikdo, kdo není zapracován (P), nepracuje samostatně (S). x[ P(x) S(x)] 2) Ne každý talentovaný (T) spisovatel (Sp) je slavný (Sl). x{[t(x) Sp(x)] Sl(x)} 3) Pouze zaměstnanci (Z) používají výtah (V). x[v (x) Z(x)] 20.

21 1. Matematická logika 1.3 Predikátová logika 6/6 Příklady převodu z přirozeného jazyka do symbolického jazyka predikátové logiky - pokračování 4) Ne každý člověk (C), který hodně mluví (M), nemá co říci (R). x{[c(x) M(x)] R(x)} 5) Někdo je spokojen (Sn) a někdo není spokojen. xsn(x) y Sn( y) 6) Někteří chytří lidé (Ch) jsou líní (L). x[ch(x) L(x)] 7) Všichni zaměstnanci (Z) používají výtah (V). x[z(x) V(x)] 21.

22 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.1 Stavba matematiky 2.2 Matematické důkazy 22.

23 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.1 Stavba matematiky Ucelenou matematickou teorii tvoří: - axiomy, - definice, - věty neboli tvrzení, - lemmata, - matematické důkazy. 23.

24 Axiomy množiny přirozených čísel Giuseppe Peano 1891 P1. Existuje přirozené číslo, které není následníkem žádného přirozeného čísla. Nazveme ho 1. P2. Každé přirozené číslo má právě jednoho následníka. P3. Každé přirozené číslo je následníkem nejvýše jednoho přirozeného čísla. P4. Každá množina, která obsahuje přirozené číslo 1 a s každým přirozeným číslem obsahuje i jeho následníka, je množinou přirozených čísel. 24.

25 Eukleidovy axiomy Konec 4. stol. před n.l. E1. Od každého bodu ke každému lze vést přímou spojnici. E2. Ohraničenou spojnici lze libovolně prodloužit. E3. Z každého středu a poloměru lze narýsovat kružnici. E4. Všechny pravé úhly jsou navzájem shodné. E5. Daným bodem lze s danou přímkou vést právě jednu rovnoběžku. 25.

26 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.2 Matematické důkazy 1/5 Důkaz je posloupnost ověřitelných elementárních kroků, které pomocí již dokázaných faktů (popř. axiomů) podle logických pravidel dospějí k požadovanému tvrzení (větě). Rozlišujeme: a) důkaz převedením na známé (již dokázané) tvrzení, b) nepřímý důkaz, c) důkaz sporem, d) důkaz matematickou (tzv. úplnou) indukcí, e) důkaz konstrukcí nebo počítáním. 26.

27 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.2 Matematické důkazy 2/5 Důkaz převedením na známé tvrzení provádíme postupnými implikacemi z předpokladu A (jednoho nebo více) A B, B C,,Y Z až dojdeme k žádanému tvrzení Z. Tvrzení: Úhlopříčky v kosočtverci se navzájem půlí a jsou k sobě kolmé. Důkaz: Z definice kosočtverce plyne, že strany jsou stejně dlouhé a po dvou rovnoběžné. Úhlopříčky vytvoří se stranami čtyři trojúhelníky. Dva protilehlé trojúhelníky vytvoří mezi úhlopříčkami a stranami kosočtverce dvě dvojice stejných střídavých úhlů. Podle věty úsú jsou tyto trojúhelníky shodné. Pak podle věty sss jsou s nimi shodné i zbývající trojúhelníky. Z toho plyne, že se úhlopříčky půlí. V průsečíku úhlopříček se stýkají čtyři shodné úhly, musí tedy být pravé. 27.

28 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.2 Matematické důkazy 3/5 Důkaz sporem. Místo implikace A B dokazujeme (A B) C, kde C je jasně nepravdivý výrok nebo je ve sporu s předpokladem. Tím jsme došli ke sporu a tudíž A B. Tvrzení: Mezi přirozenými čísly menšími než 8 je nejvýš 5 prvočísel. Důkaz: Předpokládejme pro spor, že je jich 6. Pak mezi nimi musí být nejméně dvě čísla sudá, jedno rovné dvěma a druhé tedy různé od dvou, které tudíž není prvočíslo, a to je spor s předpokladem o šesti prvočíslech. Tím je tvrzení dokázáno. 28.

29 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.2 Matematické důkazy 4/5 Matematická indukce. Mějme tvrzení P(n) s přirozeným (nebo celočíselným) parametrem n. Nechť platí: 1) Tvrzení P(n) je pravdivé pro nejmenší přípustné n. Toto tvrzení nazýváme základ indukce. 2) Pro libovolné přirozené (či celé) n 0 plyne z platnosti P(n 0 ) také platnost tvrzení P(n 0 + 1). Pak P(n) platí pro všechna přirozená (či celá) n. 29.

30 2 Dokazování v diskrétní matematice 2.2 Matematické důkazy 5/5 Tvrzení: Vztah n i= n = i = n( n + 1) 2 platí pro libovolné n. Důkaz: Nejprve ukážeme dosazením, že vztah platí pro nejmenší uvažované n, v našem případě n = 1. V druhém kroku vyjdeme z platnosti vztahu pro nějaké n 0 a dokážeme, že platí i pro n = n Tedy n ( n + 0 1) ( n0 + 1)( 0 + ( n 1) n 0 + = ) což je původní výraz pro n a tvrzení je dokázáno. 30.

31 3 Množiny 3.1 Základní množinové operace 3.2 Čísla a číselné množiny 3.3 Princip inkluze a exkluze 3.4 Kartézský součin 31.

32 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 1/7 Definice Označíme X = {x} množinu X obsahující prvky x; také píšeme x X. Množinu, která nemá žádný prvek, nazýváme prázdnou množinou a značíme ji Ø. Podmnožina X množiny Y je její částí: X Y ( x X x Y) Rovnost množin X a Y nastane, mají-li stejné prvky: X = Y X Y Y X Sjednocení množin je množina Z obsahující X prvky, které jsou buď prvky X X nebo prvky Y (nebo obou): X Y ={ (x X y Y)} 32.

33 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 2/7 Definice - pokračování Průnik množin X a Y je množina Z obsahující prvky, které jsou prvky X a zároveň prvky Y: X Y ={ a (a X a Y)} Množiny, jejichž průnik je prázdná množina, nazýváme disjunktní. Rozdíl množin X a Y je množina Z obsahující prvky, které jsou prvky X a nejsou prvky Y : X \Y ={ a X a Y} Jestliže je Y X, pak Y = X \Y nazýváme doplňkem množiny Y v množině X. 33.

34 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 3/7 Vennův diagram: a) A B b) A B c) A \ B d) doplněk B v A 34.

35 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 4/7 Vlastnosti množinových operací. Nechť A, B, C jsou množiny. Pak platí: 1. A B = B A komutativní zákony 2. A B = B A 3. (A B) C = A (B C) asociativní zákony 4. (A B) C = A (B C) 5. (A B) C =(A C) (B C) distributivní zákony 6. (A B) C =(A C) (B C) 35.

36 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 5/7 Pro konečnou množinu X budeme symbolem X označovat její mohutnost neboli počet prvků. Je-li mohutnost X sudá, říkáme, že množina X je sudé velikosti, je-li lichá, říkáme, že X je liché velikosti. 36.

37 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 6/7 Počet podmnožin - 1 Tvrzení: Nechť množina X má n prvků. Pak X má 2 n podmnožin. Důkaz: 1. Pro n = 0 tvrzení platí, neboť prázdná množina má jedinou, opět prázdnou, podmnožinu. 2. Nechť platí dokazované tvrzení pro n 0. Vezmeme libovolný prvek a X, kde X = n +1. Utvoříme množinu X = X \{a}, takže X = n, pro níž podle předpokladu tvrzení platí. Uvažujme libovolnou, pevně zvolenou podmnožinu P X a máme dvě možnosti: buď je a P nebo je a P. Není-li a P, je P podmnožinou X a takových P je podle indukčního předpokladu 2 n. Je-li a P, je P = P \{a} podmnožinou X a takových P je opět 2 n. Dohromady je tedy 2 n+1 možností volby P X. 37.

38 3. Množiny 3.1 Základní množinové operace 7/7 Počet podmnožin - 2 Tvrzení: Každá n-prvková ( n 1) množina má právě 2 n-1 podmnožin sudé velikosti a 2 n-1 podmnožin liché velikosti. Důkaz: Opět pomocí matematické indukce. 1. Pro n = 1 tvrzení platí, neboť jednoprvková množina má jednu podmnožinu liché velikosti (prázdnou) a jednu sudé velikosti (prázdnou a s jedním prvkem). 2. Nechť množina X má libovolně zvolený počet prvků n a platí pro ni dokazované tvrzení. předchozí tvrzení. 38.

39 3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 1/5 Množina přirozených čísel je {1,2,3,4,5,...} a značíme ji N. Interval přirozených čísel a < b značíme [a,b] = {a,a +1,...,b 1,b}. Celá část čísla x se značí takto: x. Znamená to, že např. 3,14159 = 3. Množina celých čísel se značí Z = {,-3,-2,-1,0,1,2,3, } V diskrétní matematice se pracuje s přirozenými čísly rozšířenými o nulu, tj. {0,1,2,3,4,5,...} 39.

40 3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 2/5 Racionální čísla Q jsou čísla, která vzniknou podílem dvou celých čísel (kromě dělení nulou). Jejich desetinné vyjádření má konečný počet nenulových desetinných míst nebo je ukončeno opakující se skupinou číslic - periodou. Iracionální čísla jsou ta čísla, která nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Mají nekonečně mnoho číslic za desetinou čárkou, jež se neopakují. Iracionální je většina odmocnin, hodnot goniometrických funkcí, logaritmů apod. Racionální a iracionální čísla dohromady tvoří reálná čísla R. 40.

41 3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 3/5 Spočetná množina je množina, jejíž prvky dokážeme seřadit do pořadí očíslovaného přirozenými čísly. Množiny, které nejsou spočetné, označujeme jako nespočetné. Množina přirozených čísel, ač nekonečná, je spočetná. Její mohutnost označujeme prvním kardinálním číslem 0 (alef nula). Tvrzení: Racionálních čísel je spočetně mnoho. Důkaz: Racionální čísla seřadíme takto: 0, 1/1, -1/1, 1/2,-1/2, 2/1,- 2/1, 1/3, -1/3, 2/3,-3/2, 3/1,-3/1,. Tato seřazená racionální čísla se dají očíslovat. 41.

42 3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 4/5 Tvrzení. Reálných čísel je nespočetně mnoho. Důkaz: Dokážeme, že i v intervalu (0,1) je nespočetně mnoho reálných čísel. K důkazu sporem vyjdeme z předpokladu, že reálných čísel v (0,1) je spočetně mnoho. Pak existuje způsob, jak je seřadit za sebou jako přirozená čísla. Nechť je to toto uspořádání a = 0, a, a,..., a,... a k = 0, a 21, a 22,..., a 2 2 k a = l..., 0, al, al 2,..., a 1 lk,...,... kde a ij jsou čísla 0, 1, 2,,9 a k,l jsou přirozená čísla. 42.

43 3. Množiny 3.2 Čísla a číselné množiny 5/5 Pokračování důkazu: Budeme uvažovat následující číslo b = 0,b 1,b 2, podle pravidla: Je-li na m-tém desetinném místě čísla a m číslo 5, bude b m = 4, není-li na m-tém desetinném místě čísla a m číslo 5, bude b m = 5. Takto utvořené číslo b se nutně liší od čísla a m na m-tém desetinném místě pro libovolné m. Liší se tedy od všech čísel, které jsou v předpokládaném uspořádání, to znamená že předpoklad o spočetnosti reálných čísel intervalu (0,1) byl nesprávný. Správné je tedy dokazované tvrzení tj., že reálných čísel je nespočetně mnoho. 43.

44 3 Množiny 3.3 Princip inkluze a exkluze Tvrzení (Princip inkluze a exkluze). Mějme množiny A i, i = 1,,n a uvažujme všechny neprázdné podmnožiny I {1,,n}. Pak pro mohutnost sjednocení množin platí A 1 A 2 = A 1 + A 2 - A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 - A 1 A 2 - A 1 A 3 - A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3..atd. 44.

45 3. Množiny 3.4 Kartézský součin Uspořádaná dvojice, je dvojice prvků (x,y), u níž záleží na pořadí x a y. Kartézský součin množin X a Y, X Y, je množina všech uspořádaných dvojic (x,y), kde x X a y Y. 45.

46 4 Relace 4.1 Binární relace 4.2 Ekvivalence 4.3 Zobrazení 4.4 Skládání zobrazení 4.5 Relace uspořádání 46.

47 4 Relace 4.1 Binární relace Definice. Binární relace R mezi dvěma množinami X a Y je množina uspořádaných dvojic (x,y), kde x X a y Y. R je tedy podmnožinou kartézského součinu. Vznikne-li dvojice (x,y) relací R, říkáme, že (x,y) náleží R a píšeme (x,y) R nebo jednoduše xry. Definice. Relace na množině X je množina dvojic prvků X. Matice sousednosti relace R na množině X o n prvcích je n n matice A = (a ij ), kde a ij = 1 jestliže (x i,y j ) R, a ij = 0 jestliže (x i,y j ) R. 47.

48 4 Relace 4.2 Ekvivalence 1/2 Definice. Relace R na množině X je reflexivní, jestliže pro každé x X platí xrx, je symetrická, jestliže kdykoliv platí xry, platí i yrx, je transitivní, jestliže ze vztahů xry a yrz plyne xrz. Relace R na X, která je reflexivní, symetrická a transitivní se nazývá ekvivalence na X. Nechť R je ekvivalence na množině X, nechť x je libovolný prvek X. Označme symbolem R[x] množinu všech prvků y, které jsou ekvivalentní s x. R[x] se nazývá třída ekvivalence R určená prvkem x. 48.

49 4 Relace 4.2 Ekvivalence 2/2 Tvrzení. Pro každou ekvivalenci R na množině X platí: 1) R[x] je neprázdná množina pro každý prvek x X. 2) Pro každé dva prvky x,y množiny X je buď R[x] = R[y] nebo je R[x] R[y] = (prázdná množina). 3) Třídy ekvivalence jednoznačně určují R. Důkaz: Plyne z definice ekvivalence. 49.

50 4 Relace 4.3 Zobrazení Definice. Zobrazení f množiny X do množiny Y je relace f X Y, pro kterou platí, že pro každý prvek x X existuje právě jediný prvek y Y tak, že xfy; píšeme y = f(x), nebo také f : X Y. Definice. Zobrazení nazýváme a) prosté (neboli injektivní), jestliže pro x y je f(x) f(y), b) zobrazení na (neboli surjektivní), jestliže pro každé y Y existuje x X splňující rovnost f(x) = y a c) vzájemně jednoznačné zobrazení (neboli bijektivní), jestliže f je prosté a na a píšeme f : X Y. 50.

51 4 Relace 4.4 Skládání zobrazení Definice. Jsou-li f : X Y a g : Y Z zobrazení, pak lze pro všechna x X definovat zobrazení h : X Z takto h(x) = g(f(x)). Zobrazení h nazýváme složením zobrazení f a g a budeme ho značit g f. Tvrzení. Nechť f : X Y a g : Y Z jsou zobrazení. Pak platí: 1. Jsou-li f, g prostá zobrazení, je rovněž g f prosté zobrazení. 2. Jsou-li f, g zobrazení na, je rovněž g f zobrazení na. 3. Jsou-li f, g zobrazení vzájemně jednoznačná, je rovněž g f zobrazení vzájemně jednoznačné. 4. Pro každé zobrazení f : X Y existují množina Z, prosté zobrazení h : Z Y a zobrazení na g : X Z tak, že f = h g. 51.

52 4 Relace 4.5 Relace uspořádání 1/4 Definice. Relace R na množině X se nazývá slabě antisymetrická, jestliže pro každé x, y X platí, že pokud xry a zároveň yrx, potom musí být x = y. Relace R na množině X se nazývá (silně) antisymetrická, jestliže pro každé platí, že pokud xry, pak musí být (yrx). Relace R na množině X se nazývá antireflexivní, jestliže pro každé je (xrx). Definice. Uspořádání (slabé) na nějaké množině X je každá relace na X, která je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní. Upořádaná množina je dvojice (X,R), kde X je množina a R je uspořádání na X. Ostré uspořádání je relace, která je antireflexivní, tranzitivní a antisymetrická. 52.

53 4 Relace 4.5 Relace uspořádání 2/4 Pro relace uspořádání se používají symboly <,,,, popřípadě ostré nebo obrácené. Dobře známé uspořádané množiny: (N, ), (R, ). Definice. Pokud můžeme každé dva prvky z uspořádané množiny porovnat, tj. pro každé dva prvky x a y platí např. buď x y nebo y x, mluvíme o lineárním nebo úplném uspořádání. Nemůžeme-li porovnat každé dva prvky, mluvíme o částečném uspořádání a částečně uspořádané množině. Úplně uspořádané množiny jsou podmnožinou částečně uspořádaných množin. 53.

54 4 Relace 4.5 Relace uspořádání 3/4 Definice. Říkáme, že prvky a, b v částečném uspořádání jsou neporovnatelné, pokud neplatí ani jedno z a b a b a. Říkáme, že posloupnost tvoří řetězec v částečném uspořádání pokud. Říkáme, že prvek m je nejmenší v částečném uspořádání množiny A, pokud každý jiný prvek je větší než m, tj.. Největší prvek v částečném uspořádání definujeme analogicky k nejmenšímu prvku. Definice. Nechť (X, ) je uspořádaná množina. Řekneme, že prvek x je bezprostředním předchůdcem prvku y a budeme značit x y, jestliže a neexistuje žádný prvek z X takový, že x z y. 54.

55 4 Relace 4.5 Relace uspořádání 4/4 Tvrzení. Nechť (X, ) je konečná uspořádaná množina a je příslušná relace bezprostředního předchůdce. Potom pro libovolné dva prvky x,y X a k N platí, že x y právě, když existují prvky x 1, x k X takové, že x x 1 x k y Je-li k = 0, je přímo x y. Důkaz: Jedna implikace je zřejmá: máme-li x x 1 x k y, pak podle definice je i x x 1 x k y. Opačnou implikaci dokážeme indukcí podle k. 55.

56 5 Kombinatorické počítání 5.1 Podmnožiny 5.2 Permutace 5.3 Kombinační čísla 5.4 Binomická věta 56.

57 5 Kombinatorické počítání 5.1 Podmnožiny 1/2 Tvrzení. Nechť N je nějaká n-prvková množina n 0 a M je m- prvková množina m 1. Pak počet všech zobrazení f : N M je m n. Důkaz: Provedeme jej indukcí podle n. Pro n = 0 se jedná o zobrazení (relaci) prázdné množiny. Taková relace je jedna, totiž prázdná. Tvrzení tedy platí pro n = 0. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechna n n 0 a pro každé m. Mějme nyní n = n prvkovou množinu N a m-prvkovou množinu M. Zvolíme libovolně jeden prvek a N. Zadat zobrazení f : N M znamená zadat hodnotu f(a) M a f : N\{a} M zobrazení zbývajících prvků. Hodnotu f(a) můžeme zvolit m způsoby a pro volbu f máme podle indukčního předpokladu m n-1 možností. Každou volbu f(a) můžeme kombinovat s f, takže máme celkem m. m n-1 - m n možností pro f. 57.

58 5 Kombinatorické počítání 5.1 Podmnožiny 2/2 Tvrzení. Pro m,n 0 existuje právě m ( m 1) ( m 2)... ( m n+ 1) = n 1 i=0= ( m i) prostých zobrazení n-prvkové množiny do m-prvkové množiny. Důkaz: Tvrzení se jednoduše dokáže indukcí. Zkusme n = 0: prázdné zobrazení je prosté. Mějme nyní n-prvkovou množinu N, n 0 a m- prvkovou množinu M, m n. Vybereme prvek a N a zvolíme jeho funkční hodnotu f(a) M libovolně, jedním z m způsobů. Zbývá zobrazit prostým zobrazením prvky množiny N\{a} do množiny M\{f(a)}. Takových prostých zobrazení je podle indukčního předpokladu ( m 1)( m 2)...( m n+ 1). Celkem tedy je m prostých zobrazení m ( m 1)( m 2)...( m n + 1). 58.

59 5 Kombinatorické počítání 5.2 Permutace Definice. Prostá zobrazení konečné množiny X do sebe se nazývají permutace množiny X. p : {a,b,c,d,e,f} {d,f,e,b,a,c} Tvrzení. Zobrazení podle předchozí definice jsou zároveň na. 59.

60 5 Kombinatorické počítání 5.3 Kombinační čísla 1/5 Definice. Nechť n a k jsou nezáporná čísla. Binomický koeficient neboli kombinační číslo je funkce proměnných n, k definovaná vzorcem. Takové kombinační číslo čteme n nad k. k 1 i 0 n n( n 1)( n 2)...( n k + 1) ( n i) = n! = = = k k k! k!( n k )! Definice. Nechť X je množina a k celé nezáporné číslo. Symbolem X budeme značit množinu všech k-prvkových podmnožin množiny X. k Specielně X 2 budeme označovat množinu všech dvouprvkových podmnožin množiny X. 60.

61 5 Kombinatorické počítání 5.3 Kombinační čísla 2/5 Tvrzení. Pro každou konečnou množinu X je počet jejích k- X X X n prvkových podmnožin roven. Čili = n, anebo je počet k k k k všech k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny. Důkaz: Označme n = X. Budeme dvěma způsoby počítat všechny uspořádané k-tice, které lze utvořit z prvků množiny X (bez opakování). Na jedné straně tento počet podle tvrzení je n(n -1) (n k + 1). Na X druhé straně z jedné k-prvkové podmnožiny M můžeme vytvořit k! k různých uspořádaných k-tic a každou uspořádanou k-tici dostaneme z nějaké podmnožiny právě jednou. Takže X n ( n 1)...( n k + 1) = k! k 61.

62 5 Kombinatorické počítání 5.3 Kombinační čísla 3/5 Definice. O permutacích s opakováním mluvíme v případě, že seřazujeme dané prvky do posloupnosti, ve které prvky mají předepsaný nenulový počet identických kopií (tzn. prvky se opakují ). Tvrzení. Počet všech permutací s opakováním z k prvků, kde se i-tý prvek opakuje m i -krát pro i = 1,,k, je ( m + m m )! 1 2 k m 1! m 2!... m k! 62.

63 5 Kombinatorické počítání 5.3 Kombinační čísla 4/5 Příklad. Kolika různými způsoby můžeme seřadit do posloupnosti písmena sousloví DISKRETNIMATEMATIKA? Řešení: Použijeme metodu dvojího počítání. Počet všech seřazení bez ohledu na to zda se některá písmena opakují (jako bychom si je očíslovali): Označme x výsledný počet různých seřazení daných písmen, (v tomto počtu se nesmí odrazit skutečnost, že se některá písmena vyskytují více než jednou). Abychom tedy dostali hledaný počet seřazení, vynásobíme číslo x ještě 3! za permutace písmen A,.3!. za permutace písmen I, atd. Zároveň však stejný počet dostaneme jako počet permutací 19-ti čísel. Máme tedy 3 3 x( (3!) (2!) = 19! z toho 3 3 x = (3!) 19! (2!) 63.

64 5 Kombinatorické počítání 5.3 Kombinační čísla 4/4 Z kombinačních čísel můžeme tvořit Pascalův trojúhelník = =1 0 = = = 2 2 = =3 0 = =3 3 = 1 64.

65 5 Kombinatorické počítání 5.4 Binomická věta Tvrzení (Binomická věta) Binomická věta (ve specielním tvaru) říká, že pro n 0 platí (1+ + x ) n n n = x k= 0 k. Důkaz: Při algebraickém součinu binomů využíváme pravidlo násobit každý člen s každým. To znamená, že v rozvoji ( 1 + x )(1 + x )...(1 + x ) n nám člen x k vyjde tolikrát, kolikrát lze vybrat (neuspořádanou) k- n k tici z n členů. To je právě krát. k 65.

66 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.1 Konečné pravděpodobnostní prostory 6.2 Nezávislé jevy 6.3 Náhodné výběry 6.4 Střední hodnoty 66.

67 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.1 Konečné pravděpodobnostní prostory 1/2 Definice. Pod pojmem konečný pravděpodobnostní prostor rozumíme dvojici (Ω,P), kde Ω je konečná množina a P je zobrazení přiřazující každé podmnožině množiny Ω číslo z intervalu <0,1>, takové, že 1. P(Ø) = 0, 2. P(Ω) = 1, 3. P(A B) = P(A) + P(B) pro libovolné množiny A, B Ω a A B =. Prvky množiny Ω se nazývají elementární jevy a P se nazývá funkce pravděpodobnosti. 67.

68 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.1 Konečné pravděpodobnostní prostory 2/2 Tvrzení. Pro libovolné množiny A, B Ω má funkce pravděpodobnosti tyto další vlastnosti: 1. P( A) =1 P( A) A B ( ) ( ) 2. je-li pak je P A P B, P ( A B) = P( A) + P( B) P( A B)

69 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.2 Nezávislé jevy 1/2 Definice. Podmíněná pravděpodobnost, že nastane jev A za předpokladu, že jev B nastal je (předpokládáme, že ) P ( A B ) P( B) 0 = P ( A B ) P ( B ) Definice. Nechť. Potom jevy A a B jsou nezávislé tehdy a jen tehdy, když P(A B) = P(A), tj. pravděpodobnost jevu A není ovlivněna tím, že jev B nastal. 69.

70 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.2 Nezávislé jevy 2/2 Tvrzení. Jevy A, B jsou nezávislé právě tehdy, když platí P ( A B) = P( A). P( B). Jev B je nezávislý na jevu A, pokud. je pravděpodobnost P(B) při nastalém jevu A stejná, jako pravděpodobnost P(B) jevu B samotného. Tedy P ( A B ) P ( B ) = P( A) Ω 70.

71 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.3 Náhodné výběry Náhodná podmnožina. Z dané n-prvkové množiny vybíráme libovolnou z 2 n jejích podmnožin, každou s pravděpodobností 2 -n. Náhodná permutace. Ze všech n! permutací n-prvkové množiny vybíráme libovolnou jednu s pravděpodobností 1/n!. Náhodná kombinace. Ze všech k-prvkových kombinací dané n k n-prvkové množiny vybíráme jednu s pravděpodobností 1/. Náhodná posloupnost bitů. Vybíráme libovolně dlouhou posloupnost z 0 a 1 tak, že každý další bit je vybírán s pravděpodobností ½ zcela nezávisle na všech předchozích bitech. Tzn. každá vybraná podposloupnost této náhodné posloupnosti má stejnou šanci se objevit. 71.

72 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.4 Střední hodnota 1/2 Definice. Nechť náhodná proměnná X nabývá k možných hodnot z číselné množiny X {h 1,,h k }, kde jev [X=h i ], tj. X nabývá hodnoty h i nastává s pravděpodobností p i a p 1 + p 2 + +p k = 1. Střední hodnotou proměnné X je pak číslo E(X) = p 1.h 1 + p 2.h pkhk. Definice. Dvě náhodné proměnné X = {x 1,,x k } a Y = {y 1,,y l } jsou nezávislé, jestliže jevy [X=x i ] a [Y=y j ] jsou nezávislé pro každé i = 1,,k a každé j = 1,,l. 72.

73 6 Diskrétní pravděpodobnost 6.4 Střední hodnota 2/2 Tvrzení. Pro libovolné dvě náhodné proměnné X, Y platí E(X + Y) = E(X) + E(Y). Tvrzení. Pro libovolné dvě nezávislé náhodné proměnné X, Y platí E(X.Y) = E(X).E(Y). Střední hodnota čísel padlých na hrací kostce je E(X) = (1/6)( ) = 3,5. Střední hodnota součinu čísel padlých na dvou hracích kostkách je E(X1.X2) = E(X1).E(X2) = 3,5.3,5 = 12,

74 7 Neorientovaný graf 7.1 Pojem grafu 7.2 Důležité grafy 7.3 Isomorfismus grafů 7.4 Podgrafy 7.5 Souvislost, komponenty 7.6 Matice sousednosti 74.

75 7 Neorientovaný graf 7.1 Pojem grafu 1/2 Graf je útvar, který se skládá z bodů, které nazýváme vrcholy nebo uzly, a čar, které tyto body spojují, ty nazýváme hrany nebo oblouky. 75.

76 7 Neorientovaný graf 7.1 Pojem grafu 2/2 Definice. Říkáme, že graf G je uspořádaná dvojice (V,E), kde V je neprázdná množina vrcholů a E množina dvoubodových podmnožin množiny V, tzn. množina hran. Abychom vyznačili, že se jedná o množiny V a E příslušející grafu G, značíme také V(G) nebo E(G). Graf G zapíšeme G = (V,E). Hranu, kterou je připojen vrchol v nazýváme incidentní hranou s vrcholem v. Počet incidentních hran s vrcholem v nazýváme stupeň vrcholu v. 76.

77 7 Neorientovaný graf 7.2 Důležité grafy 1/4 Úplný graf. Úplný graf je graf, v němž každé dva různé vrcholy jsou spojeny právě jednou hranou. Úplný graf o n vrcholech značíme K n. Pro n 1 platí E ( K n V ) = 2. K 3 K 4 K 5 K 6 77.

78 7 Neorientovaný graf 7.2 Důležité grafy 2/4 Cesta. Cesta je graf, jenž je posloupností navzájem různých vrcholů, které jsou spojeny hranami. Tedy pro P n, ( n 0) má hrany E = {{i 1, i}, i = 1,,n}.. { i 1, i } ; i = 1 n } E =,..., 78.

79 7 Neorientovaný graf 7.2 Důležité grafy 3/4 Kružnice. Kružnice je cesta, jejíž oba konce splynuly. Tedy má hrany E =,. { i, i + 1 } ; i = 1,..., n 1 } { 1 n } C n,( n 3) C 3 C 4 C 5 C 6 79.

80 7 Neorientovaný graf 7.2 Důležité grafy 4/4 Úplný bipartitní graf. Úplný bipartitní graf je graf, jehož vrcholy jsou rozděleny do dvou množin a hrany vždy vedou přes hranici těchto množin. Tedy K n,m, (n,m 1) má vrcholy V = U W = {u 1,,u n } {w 1, w m } a hrany E = {{u i,w j }, i = 1,,n, j = 1,,m} a U W =. K 1,1 K 1,2 K 1,3 K 2,3 K 3,3 80.

81 7 Neorientovaný graf 7.3 Izomorfismus grafů 1/2 Definice. Dva grafy G = (V,E) a G = (V,E ) nazveme isomorfní, jestliže existuje vzájemně jednoznačné zobrazení f : V V tak, že platí {, y } E f ( x), f ( y) } x { E Zobrazení f se nazývá isomorfismus a značíme G G Označíme-li na dvou grafech vrcholy čísly 1,,n, jsou tyto grafy isomorfní tehdy a jen tehdy, jestliže můžeme převést vrcholy na sebe tak, že zůstanou zachována spojení hranami mezi příslušnými vrcholy. Jinak řečeno, jestliže můžeme posouváním vrcholů a prodlužováním, zkracováním a ohýbáním hran převést druhý graf na tvar stejný s prvním grafem. 81.

82 7 Neorientovaný graf 7.3 Izomorfismus grafů 2/2 Tvrzení. Relace být isomorfní na množině všech grafů je ekvivalencí. 82.

83 7 Neorientovaný graf 7.4 Podgrafy 1/3 Definice. Graf H je podgrafem grafu G jestliže množiny vrcholů a hran grafu H jsou podmnožinami množin vrcholů a hran grafu G. 83.

84 7 Neorientovaný graf 7.4 Podgrafy 2/3 Cesta P t v grafu G je podgraf grafu G tvořený posloupností (v 0,e 1,v 1.e 2,,e t-1,e t,v t ), kde v i jsou navzájem různé vrcholy grafu G a e i = {v i-1,v i } jsou hrany grafu G. Říkáme, že cesta z v 0 do v t má délku t. Kružnice C t (t 3) v grafu G je podgraf grafu G tvořený posloupností (v 0,e 1,v 1.e 2,,e t-1,e t,v 0 ), kde v 0,v 1,,v t-1 jsou navzájem různé vrcholy grafu G. 84.

85 7 Neorientovaný graf 7.4 Podgrafy 3/3 Definice. Graf G nazýváme faktorem grafu G, vznikne-li z grafu G pouhým vynecháním některých hran a přitom množina vrcholů zůstává zachována, tedy V(G) = V(G ).. Definice. Graf G nazýváme podgrafem indukovaným množinou vrcholů, A V(G), jestliže podgraf G má množinu vrcholů A a obsahuje všechny hrany grafu G, jejichž oba vrcholy jsou z množiny A. Podgraf indukovaný množinou {a,c,d,e,f} 85.

86 7 Neorientovaný graf 7.5 Souvislost, komponenty grafu Definice. Graf G je souvislý, jestliže pro každé dva jeho vrcholy x a y v něm existuje cesta z x do y. Definice. Relaci ~ (cesta) na množině vrcholů grafu G definujeme vztahem: x ~ y právě, když v grafu G existuje cesta z x do y. Tvrzení. Relace ~ je ekvivalence. Důkaz: Relace ~ je reflexivní, protože z x do x vede nulová cesta. Je symetrická, protože existuje-li cesta z x do y, lze jít i opačně z y do x. Tranzitivitu dokážeme následujícím způsobem: Nechť posloupnost (x=v 0,e 1,v 1,,e r,v r =y) je cesta z x do y a posloupnost y = v e v e v z 0, 1, 1,..., s, s = je cesta z y do z. Označme t maximální index, pro který je v t { v0,..., v r } a označme ještě v t = v i Potom hledaná posloupnost z x do z je ( x v e, v,.., e = v, e, v,..., e v z ) ( ) = 0, 1 1 i t t + 1 t + 1 s, s = 86.

87 7 Neorientovaný graf 7.6 Matice sousednosti v grafu Definice. Nechť G = (V,E) je graf bez smyček s n vrcholy. Označme v nějakém libovolném pořadí vrcholy v 1,...,v n. Matice sousednosti grafu G je čtvercová n n maticea G = (a ij ) n i,j=1 definovaná předpisem a ij = 1 pro {v i, v j } E a ij = 0 jinak. 87.

88 8 Sledy a délky cest 8.1 Sled 8.2 Ohodnocený graf a vzdálenosti v grafu 8.3 Hledání nejkratší cesty 8.4 Párování 88.

89 8 Sledy a délky cest 8.1 Sled v grafu Definice. Sled délky n v grafu G = (V,E) je posloupnost (v 0,e 1,v 1,e 2,,e n,v n ), kde pro i = 1,,n jsou e i = {v i-1,v i } E a v 0,,v n V. Tvrzení. Nechť G = (V,E) je graf s množinou vrcholů V = {v 1,,v n } a maticí sousednosti A. Označme A k k-tou mocninu matice A a a (k) ij prvek matice A k v pozici (i,j). Pak a (k) ij je počet sledů délky k z vrcholu v i do vrcholu v j. 89.

90 8 Sledy a délky cest 8.2 Ohodnocený graf a vzdálenost v grafu 1/2 Definice. Grafem s ohodnocenými hranami rozumíme graf G = (V,E), jehož každé hraně e E(G) je přiřazeno reálné číslo w(e), které můžeme chápat např. jako délku hrany e. Délka cesty v ohodnoceném grafu je rovna součtu délek jejích hran. Nejkratší vzdálenost vrcholů u a v označíme d G,w (u,v) a ta je rovna nejkratší z délek všech cest spojujících u a v. Grafem s ohodnocenými vrcholy rozumíme graf G = (V,E), jehož každému vrcholu v V(G) je přiřazeno reálné číslo w(v), které můžeme chápat např. jako prostupnost vrcholu. 90.

91 8 Sledy a délky cest 8.2 Ohodnocený graf a vzdálenost v grafu 2/2 Definice (vzdálenost v grafu). Nechť G = (V,E) je souvislý graf. Pro vrcholy v, v definujeme číslo d G (v,v ) jako délku nejkratší cesty z v do v v grafu G. Číslo d G (v,v ) se nazývá vzdálenost vrcholů v a v v grafu G. Tvrzení ( trojúhelníková nerovnost ). Zobrazení d G : V V R, které nazýváme metrika grafu G má tyto vlastnosti: 1. d G (v,v ) 0 a d G (v,v ) = 0 právě, když v = v, 2. (symetrie) d G (v,v ) = d G (v,v) pro každou dvojici vrcholů v, v, 3. (trojúhelníková nerovnost) d G (v,v ) d G (v,v ) + d G (v,v ) pro každou trojici v, v,v vrcholů z V. 91.

92 8 Sledy a délky cest 8.3 Hledání nejkratší cesty 1/2 Dijkstrův (Dijkstra) algoritmus. Je dán graf G = (V,E), ohodnocení jeho hran w : E (0, ) a počáteční vrchol s V. Pro každý vrchol v V se vypočítá číslo d G,w (s,v), čili nejkratší vzdálenost z s do v: Pro každý vrchol v zavedeme proměnnou d(v) jako momentální odhad k d G,w (s,v). Počáteční odhady jsou d(v) = 0 pro v = s a d(v) = pro v s. Množina A (A V) je na začátku A = V\{s}, tj. všechny vrcholy, které budeme teprve zkoumat patří do A. Vrcholy, pro které je d(v) nejmenší, utvoří množinu N a vyjmou se z množiny A. Přepočtou se hodnoty d(x) pro sousedy vrcholů z N. Pro každou hranu {v,y}, kde v N a y A se porovnají d(y) a d(v) + w({v,y}). Pokud je d(v) + w({v,y}) < d(y), znamená to, že z s do y vede přes v kratší cesta a dosavadní d(y) se nahradí hodnotou d(v) + w({v,y}). Algoritmus končí, jestliže A je buď prázdná množina, nebo obsahuje jen vrcholy nedosažitelné z vrcholu s. 92.

93 8 Sledy a délky cest 8.3 Hledání nejkratší cesty 2/2 krok a b c d e f N A δ 0. 0 a,b,c,d,e,f b b,c,d,e,f c c,d,e,f d d,e,f e e,f f f f 7 93.

94 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 1/9 Definice. Buď dán graf G = (V,E). Párování v grafu G je taková množina hran P E(G) že žádné dvě hrany z množiny P nemají společný vrchol. O vrcholech, které jsou incidentní s některou hranou párování P říkáme, že jsou párováním P nasyceny nebo též pokryty. O ostatních vrcholech říkáme, že jsou volné. Párování, které nasycuje všechny vrcholy grafu, nazýváme perfektním párováním. 94.

95 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 2/9 Úlohy o párování. Praktické úlohy vedoucí na párování lze zpravidla zařadit do některé z následujících kategorií: 1. V daném grafu najít maximální párování, tj. párování, které obsahuje největší počet hran. 2. V grafu, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami, najít nejlevnější maximální párování, tj. nejlevnější párování ze všech, která jsou maximální. 3. V ohodnoceném grafu najít nejdražší párování, tj. párování s největším součtem cen. 95.

96 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 3/9 Definice. Buď dán graf G a v něm párování P. Střídavá cesta vzhledem k párování P je taková neorientovaná cesta, že její hrany střídavě leží a neleží v P a je-li krajní vrchol cesty nasycen v párování P, pak hrana, která jej nasycuje, je částí cesty. Střídavá kružnice vzhledem k párování P je kružnice, jejíž hrany střídavě leží a neleží v párování P. 96.

97 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 4/9 Definice (změna podél střídavé cesty/kružnice). Pomocí střídavých cest a kružnic lze párování snadno měnit tím, že u hran, které leží na cestě nebo kružnici, změníme příslušnost k párování. Je-li H množina hran tvořících střídavou cestu nebo kružnici vzhledem k párování P, vytvoříme nové párování P takto:. jestliže e H, pak e P e P jestliže e H, pak e P e P. Takovou změnu párování budeme nazývat změnou podél střídavé cesty nebo kružnice. 97.

98 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 5/9 Tvrzení. Buď dán prostý graf G a v něm libovolné párování P 1. Pak pro každé párování P 2 v grafu G existuje soustava vrcholově disjunktních střídavých cest a střídavých kružnic taková, že změnami podél všech těchto cest a kružnic lze z párování P 1 získat párování P 2. Důkaz: Uvažujme faktor G grafu G s množinou hran (P 1 \P 2 ) (P 2 \P 1 ). Graf G obsahuje právě ty hrany, které leží přesně v jednom párování. Pro každý vrchol x V(G ) = V(G) nastane jedna ze čtyř možností: 1. Není-li vrchol x nasycen v ani P 1 ani v P 2, je izolovaným v G. 2. Je-li x nasycen v jednom z P 1 a P 2, má v grafu G stupeň Je-li x nasycen v P 1 i v P 2 touž hranou, pak tato hrana neleží v G a vrchol x je v G izolovaným vrcholem. 4. Je-li x nasycen v P 1 i v P 2 různými hranami e 1 P 1, e 2 P 2, pak obě tyto hrany leží v G a stupeň vrcholu x je

99 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 6/9 Pokračování důkazu Každý vrchol má tedy v grafu G stupeň nejvýše 2. Z toho plyne, že graf G má komponenty souvislosti tří typů: 1. izolovaný vrchol, 2. kružnice sudé délky, jejíž hrany leží střídavě v P 1 a P 2, 3. cesta, jejíž hrany střídavě leží v P 1 a P 2 a jejíž krajní vrcholy jsou různé, přičemž každý z nich je nasycen v jednom z obou párování P 1, P 2. Komponenty souvislosti grafu G přímo určují střídavé cesty a kružnice. Provedením změn párování P 1 podél všech těchto cest a kružnic dostaneme párování P

100 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 7/9 Tvrzení. Párování P v grafu G je maximální právě tehdy, když v grafu G vzhledem k párování P neexistuje střídavá cesta spojující dva volné vrcholy. Důkaz: Je-li párování maximální, pak vzhledem k němu nemůže existovat střídavá cesta spojující dva volné vrcholy. Kdyby existovala, mohli bychom podél ní párování zvětšit. Není-li naopak párování P maximální, vezmeme nějaké maximální párování P 1. Podle předchozího tvrzení existuje soustava střídavých cest a kružnic taková, že změnami podél nich dostaneme párování P 1 z párování P. Poněvadž je P < P 1, musí některá z těchto změn zvětšovat párování, musí tedy být změnou podél střídavé cesty s volnými krajními vrcholy (jiné změny nezvětšují počet hran v párování). 100.

101 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 8/9 Definice. Buď graf G, jehož hrany jsou ohodnoceny cenami c : E(G) R. Dále buď v grafu G párování P a vzhledem k němu střídavá cesta, popř. kružnice. Množinu hran této cesty, popř. kružnice označme H. Cenu střídavé cesty, popř. kružnice stanovíme jako e H O P C = c( e) c( e) e H P Tvrzení. Má-li střídavá cesta, popř. kružnice cenu C a provedeme-li podél ní změnu, pak cena párování vzroste o hodnotu C. Tvrzení. Párování P v grafu G je nejdražší právě tehdy, když v grafu G vzhledem k párování P neexistuje ani střídavá cesta, ani střídavá kružnice s kladnou cenou. 101.

102 8 Sledy a délky cest 8.4 Párování 9/9 Střídavá cesta a změna párování 102.

103 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Skóre grafu 9.2 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 9.3 Algoritmus kreslení grafu jedním tahem 9.4 Stupně souvislosti 9.5 Grafové operace 103.

104 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Skóre grafu 1/3 Definice. Nechť v V je vrchol grafu G = (V,E). Počet hran obsahujících v označíme deg G (v) a nazveme stupněm vrcholu v v grafu G. Nechť v 1,,v n jsou vrcholy grafu G v libovolném pořadí. Posloupnost (deg G (v 1 ),,deg G (v n )) se nazývá skóre grafu G. 104.

105 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Skóre grafu 2/3 Tvrzení (princip sudosti v grafech bez smyček). Pro každý graf G = (V,E) bez smyček platí deg G ( v ) = 2 E v V Důkaz: Při sčítání stupňů vrcholů v grafu započítáme každou hranu dvakrát za každý její konec. Důsledek. Každý graf bez smyček má sudý počet vrcholů lichého stupně 105.

106 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Skóre grafu 3/3 Tvrzení. Nechť D = d 1,,d n je posloupnost přirozených čísel. Předpokládejme, že d 1 d 2 d n, a označme symbolem D posloupnost (d 1,,d n ), kde d i = d i pro i < n d n, d i = d i 1 pro i n d n. Potom D je skóre grafu právě když D je skóre grafu. Příklad. Existuje graf se stupni vrcholů (1,1,1,1,2,3,4,6,7)? Řešení: Upravíme na (1,0,0,0,1,2,3,5) a uspořádáme (0,0,0,1,1,2,3,5), znovu upravíme (0,0,-1,0,0,1,2) a to už není skóre grafu, protože stupeň vrcholu nemůže být záporný. 106.

107 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 1/7 Definice. Uzavřeným) eulerovským tahem rozumíme takový uzavřený sled (v 0,e 1,v 1,,e m-1,v m-1,e m,v 0 ), v němž se každá hrana vyskytuje právě jednou a každý vrchol alespoň jednou. Definice. Eulerovský graf je takový, který má alespoň jeden (uzavřený) eulerovský tah. Tvrzení. Graf G je eulerovský tehdy a jen tehdy, když je souvislý a každý jeho vrchol má sudý stupeň. 107.

108 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 2/7 Předchozí tvrzení představuje nutnou a postačující podmínku pro existenci eulerovského tahu a představuje silné kritérium. Nutná podmínka: je-li G eulerovský, pak každý vrchol G má sudý stupeň. Postačující podmínka je: Jestliže každý vrchol má sudý stupeň, pak G je eulerovský. 108.

109 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 3/7 Definice. Hamiltonovská cesta v grafu G je cesta obsahující všechny vrcholy grafu G. Hamiltonovská kružnice v grafu G je kružnice obsahující všechny vrcholy grafu G. Graf obsahující hamiltonovskou kružnici se nazývá hamiltonovský graf. Nutná podmínka pro existenci hamiltonovské kružnice nebyla zatím nalezena. Jsou nalezeny pouze některé postačující podmínky. 109.

110 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 4/7 Úloha čínského pošťáka. Pošťák má projít všechny ulice města a vrátit se do výchozího místa a přitom ujít co nejméně kilometrů. Jinými slovy: je dán neorientovaný souvislý graf, jehož hrany jsou ohodnoceny kladnými čísly a úkolem je najít nejkratší uzavřený sled, který obsahuje všechny hrany grafu. Řešení: Je-li graf eulerovský, tj. existuje-li v něm uzavřený eulerovský graf. je úloha tímto tahem již vyřešena. Pokud v grafu eulerovský tah neexistuje, pak sled, který obsahuje všechny hrany, musí projít některými hranami dvakrát nebo vícekrát. Lze však dokázat, že nejkratší sled prochází každou hranou pouze jedenkrát nebo nejvýše dvakrát. V nejkratším sledu, který obsahuje všechny hrany grafu, tvoří opakovaně procházené hrany soustavu cest spojujících vždy dva vrcholy lichého stupně. Lze ukázat, že takové cesty jsou disjunktní (žádná hrana grafu neleží ve dvou takových cestách). 110.

111 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 5/7 Řešení úlohy čínského pošťáka - pokračování Při řešení úlohy čínského pošťáka je možné postupovat takto: 1. V daném grafu G najdeme množinu L vrcholů s lichým stupněm. 2. Pro všechny dvojice (x,y) vrcholů množiny L vypočteme délku d(x,y) nejkratší cesty z x do y. 3. Na množině vrcholů L definujeme úplný graf K, jehož hrany jsou ohodnoceny délkami nejkratších cest d(x,y). 4. V grafu K najdeme nejlevnější perfektní párování P. 5. Pro každou hranu (x,y) grafu K, která leží v párování P, vezmeme všechny hrany původního grafu G, které tvoří nejkratší cestu z x do y a ke grafu G přidáme kopie těchto hran (dostaneme násobné hrany). V grafu G, který takto získáme, mají všechny hrany sudý stupeň. 6. V grafu G sestrojíme eulerovský tah. Tento tah prochází také všemi přidanými hranami, což odpovídá opakovaným průchodům hranami původního grafu. 7. V eulerovském tahu nahradíme všechny přidané hrany jim odpovídajícími hranami grafu původního. Tak získáme hledaný nejkratší sled, který prochází všemi hranami grafu G. 111.

112 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 6/7 112.

113 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.1 Eulerovské tahy a grafy a hamiltonovské kružnice a cesty 7/7 Problém obchodního cestujícího. Obchodní cestující má povinnost navštívit n měst v libovolném pořadí a vrátit se do výchozího bodu tak, aby jeho cesta byla co nejkratší. Přitom předpokládáme, že jsou známy vzdálenosti mezi všemi jednotlivými městy ohodnocení grafu. Řešení spočívá v nalezení nejkratší hamiltonovské kružnice v úplném ohodnoceném grafu. 113.

114 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.3 Algoritmus kreslení grafu jedním tahem 1/3 Definice. Hranu e E v grafu G = (V,E) nazveme mostem, jestliže graf G = (V,E\{e}) má větší počet komponent než graf G. 114.

115 9 Eulerovské grafy a k-souvislost 9.3 Algoritmus kreslení grafu jedním tahem 2/3 Tvrzení. Nechť G = (V,E) je graf, jehož stupně všech vrcholů jsou sudé. Potom graf G neobsahuje most. Důkaz provedeme sporem: Nechť hrana {v,v } = e je most grafu G. Nechť V 1,,V n jsou všechny komponenty grafu G označené tak, že V 1 {v,v } V 1. Uvažujme graf G 1 = (V 1,E 1 ) = V1, E 2 Graf G 1 je souvislou komponentou grafu G, má tedy všechny stupně sudé a hrana e je mostem grafu G 1. Zřejmě graf (V 1,E 1 \{e}) je nesouvislý a má dvě komponenty. Jedna obsahuje vrchol v a druhá vrchol v a tyto dva vrcholy jsou lichého stupně. To je spor s předpokladem sudosti. 115.