REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI

Transkript

1 REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI J. Jkovský 1, M. Hofete 2 1 Humusoft s..o., Paha 2 Ústav Přístojové a řídcí technky, Fakulta stojní, ČVUT v Paze Abstakt Příspěvek se věnuje poblematce detekce a lokalzace pouch technckých systémů s využtím pavděpodobnostního modelu založeného na bayesovském přístupu k pavděpodobnost. Přístup je vhodný k nasazení detekce a lokalzace pouch u lneáních nelneáních systémů. Poblémem po eálné nasazení je však ozměnost modelu a z toho plynoucí náočnost na výpočetní zdoje. Poto byla navžena edukce dmensonalty, kteá ozkládá dentfkovaný pavděpodobnostní model na několk submodelů. Výsledky dílčích modelů jsou pak skládány opět za využtí bayesovského přístupu k pavděpodobnost. 1 Dagnostka pouch využívající pavděpodobnostní model Systémy detekce a lokalzace pouch (FDI) slouží k tomu, abychom na základě měřtelných velčn systému ozhodl o tom, zda systém pacuje v bezpouchovém ežmu nebo došlo k pouše, případně o jakou pouchu se jedná [1, 2, 3, 4]. V případě pavděpodobnostního přístupu zakládáme své ozhodování na učení pavděpodobnost výskytu dané pouchy v čase t za podmínky znalost současných a mnulých hodnot měřtelných velčn. vstupy Systém výstupy Tvoba ezdua ezduum Rozhodovací poces Ob 1: Pncp dagnostky pouch Realzace FDI je obvykle pováděna ve dvou kocích. Pvním kokem je tvoba ezdua. Jejím účelem je vytvořt sgnál, kteý ndkuje vznk pouchy z dostupných vstupů a výstupů daného systému. Duhým kokem je ozhodovací poces. V této část se na základě esdua ozhodne, zda se jedná o danou pouchu, č nkol. Obecně vzato se však většna pozonost soustředí na tvobu ezdua, potože s dobře postaveným ezduem je ozhodování o vznku pouchy v zásadě jednoduchou záležtostí. Pavděpodobnostní model, kteý je předmětem dsetační páce, představuje geneáto esdua. Na jeho základě pak ozhodovací poces pouze volí pouchový stav soustavy podle maxmání hodnoty pavděpodobnost. Detekc a lokalzac pouch ozdělíme do dvou fází. V pvní fáz dochází k dentfkac pavděpodobnostního modelu. Tuto fáz nazveme fáze učení. Tento poces může pobíhat jen po dobu, kdy máme komě měřených velčn D t k dspozc explctně učený pouchový stav f t. Fáze učení pobíhá do času. Př následném povozu systému jž hodnotu pouchového stavu k dspozc

2 nemáme, naopak hlavním cílem je odhad pavděpodobnostního ozdělení pouchových stavů v systému v daném časovém okamžku. Tuto fáz nazveme fází dagnostky. Pavděpodobnost pouchového stavu soustavy f t = φ v čase t, za předpokladu aktuální hodnoty R egesního vektou z t = ζ dat D tr t získaných ve fáz učení a platnost hypotézy H, učující tva egesního vektou, je dána pvkem matce pavděpodobnost pouch, kteý leží v řádku příslušném hodnotě egesního vektou ζ a sloupc příslušném pouchovému stavu φ [5, 6]. Hodnota tohoto pvku je učena vztahem p f t = z t =, D, H = n, n, kde hodnota n je defnována jako počet výskytů dvojce [ζ, φ] ve fáz učení navýšený o počet těchto událostí v časech před fází učení předpokládaný aponě. Počet hypotéz o tvau egesního vektou není obecně omezen a společně tvoří množnu ϕ H. Učíme aposteoní pavděpodobnost těchto hypotéz po ověření eálným daty ve fáz učení [7]. Můžeme j vypočítat dle půběžného vztahu p H D = j : H j H p H D 1 1 p n z j H D 1 1 n z, j n z j 1 j 1 n z j, 1 Výsledné ozdělení pavděpodobnost po všechny pouchové stavy soustavy učuje vztah p f t z t, D = p f t, j z t, D, jh p j H D (3) j : j H H Kde z t představuje sjednocení hodnot z t po všechny hypotézy H z ϕ H. V případě, že někteý model má o několk řádů nžší aposteoní pavděpodobnost než ostatní, můžeme tento model z výpočtu vynechat. Výsledkem je tedy znalost pavděpodobnost, kteá není závslá na volbě konkétního pavděpodobnostního modelu. 2 Redukce dmensonalty Největší překážkou eálného nasazení těchto modelů je přílšná ozměnost sufcentní statstky. Rozmě sufcentní statstky oste exponencálně s délkou egesního vektou. Po výaznou edukc velkost pavděpodobnostního modelu je tedy třeba sáhnout do jeho stuktuy [8]. Každý pavděpodobnostní model využtý v předchozím vztahu, kteý je dán egesním vektoem z t učeným hypotézou H, dekomponujeme na m M dílčích pavděpodobnostních modelů s egesním vektoy učeným hypotézam Hs. Délka egesních vektoů dílčích modelů je stejná a jejch pvky jsou dány výběem z pvků původního egesního vektou. Počet dílčích modelů je dán počtem všech kombnací, kteé lze z pvků původního egesního vektou vytvořt. Výsledky dílčích modelů jsou následně agegovány do výsledného ozdělení pavděpodobnost pouchových stavů soustavy. Matce pavděpodobnost pouch dílčích pavděpodobnostních modelů jsou dány vztahem p f t = z t =, D, Hs = n, n, Mnmální délka egesních vektoů dílčích modelů je ovna 2. Tato délka přnáší největší edukc ozměnost. Ke zvýšení této délky přstupujeme až v případě, že výsledný systém modelů poskytuje výazně hoší přesnost než původní model. (1) (2) (4)

3 Př agegac předpokládáme, že jednoduchý dílčí pavděpodobnostní model umožní spávně dentfkovat pouze jedný pouchový stav soustavy, po kteý je chaaktestcké odlšné chování pávě těch velčn, kteé jsou obsaženy v jeho egesním vektou. Př učování ostatních pouchových stavů soustavy poskytuje model neučté výsledky a nedokáže je navzájem odlšt. Zavedeme předpoklad, že po učení aposteoní pavděpodobnost hypotézy Hs využté př odhadu pavděpodobnost pouchového stavu soustavy f t má smysl uvažovat pouze schopnost příslušného dílčího pavděpodobnostního modelu spávně učovat, zda soustava JE č NENÍ v daném čase τ v pouchovém stavu f τ = f t. Tento předpoklad označíme As(f t ). Odhad pavděpodobnost daného pouchového stavu soustavy f t učíme dle vztahu p Hs D, As f t = p Hs D, As f t = : Hs : Hs p Hs Hs p Hs D 1 1, As f t n z t D 1 1, As f t p Hs D 1 1, As f t 1 n z 1, n z 1 t n z po 1, n z t Hs p Hs D 1 1, As f t 1 n z 1, n z t n z f = f t po 1 Výpočet celkového ozdělení pavděpodobnost pouchových stavů soustavy povedeme spojením pavděpodobností jednotlvých stavů f t. Potože jsou tyto pavděpodobnost podmíněny odlšným položkam vyplývajícím z odlšných předpokladů As(f t ) po ůzná f t, musíme povést úpavu měřítka těchto výsledků. Celkový výsledek pak budeme považovat za odhad pavděpodobnostního ozdělení pouchových stavů soustavy dle původního modelu a vypočteme jej dle vztahu, D, H, As f t p f t z t 3 Ilustatvní příklad, D t t R R, H = p f z t t f t f p f t z t, D, H,, As f t Detekce a lokalzace pouch byla aplkována na soustavu Batyskaf s PI egulací [9]. (5) f f t (6) (7)

4 Ob 2: Laboatoní soustava Batyskaf Soustava byla naučena a následně testována na dagnostku tří pouch, kteé se lší zdojem pouchy a její velkostí. Jednotlvé pouchy byly vždy vyvolány v ovnovážném stavu bez pouchy, kdy plováček setvával v zadané pozc. Ob 3: Půběh měřených velčn a pouch ve fáz učení Měřeným velčnam byla poloha plováčku y, akční zásah sevomotou u a tlak v systému p. Hodnoty velčn byly následně kvantovány. Kvantzační ntevaly lneáně ozdělovaly ozsah hodnot dané velčny do 20 úovní.

5 Ob 4: Půběhy kvantzovaných hodnot měřených velčn soustavy Dagnostka pouch byla nejpve testována s modely 3. řádu. 1H: 1 z t = [y t, y t-1, y t-2 ] 2H: 2 z t = [p t, p t-1, p t-2 ] 3H: 3 z t = [u t, u t-1, u t-2 ] 4H: 4 z t = [y t, p t, u t ] Aposteoní pavděpodobnost 4. modelu byla o několk řádů vyšší než u ostatních, poto byly v dalších výpočtech zanedbány. Ob 5: Půběh pavděpodobnost hypotéz ve fáz učení v lneáních souřadncích (nahoře) a logatmckých souřadncích (dole) Model byl následně ozložen na 3 modely 2. řádu, jejchž egesní vektoy obsahovaly ůzné kombnace velčn původního egesního vektou 4.modelu: 4 1 H: 41 z t = [y t, p t ] 4 2 H: 42 z t = [y t, u t ] 4 3 H: 43 z t = [p t, u t ]

6 Ob 6: Vývoj aposteoních pavděpodobností dílčích modelů ve fáz učení Výsledky byly agegovány na základě navžené metody. Pouchový stav soustavy byl volen na základě maxma pavděpodobnost z pavděpodobnostního ozdělení po všechny pouchové stavy soustavy. Ob 7: Výstup po agegac dílčích pavděpodobnostních modelů dává stejně dobé výsledky, jako původní model Po sovnání je na následujícím obázku obazen výsledek s plného pavděpodobnostnho modleu učeného hypotézou 4 H.

7 Ob 8: Výstup plného pavděpodobnostního modelu Z výsledků je vdět, že edukovaný model dosáhl stejně dobých výsledků, jako původní model třetího řádu. Počet pvků sufcentní statstky plně dentfkovaného pavděpodobnostního modelu učeného hypotézou 4 H je pvků. Napot tomu počet pvků všech sufcentních statstk plně dentfkovaných dílčích pavděpodobnostních modelů učených hypotézam 41 Hs, 42 Hs, 43 Hs je pvků, což je hodnota více než 6x nžší. 4 Závě Zavedení systematcké edukce dmensonalty pavděpodobnostních modelů po FDI, kteá využívá dekompozc původního pavděpodobnostního modelu na skupnu dílčích modelů nízkých řádů, poskytuje značnou edukc ozměnost a s tím souvsející snížení požadavků na výpočetní zdoje, což usnadňuje eálné nasazení. Metoda využívá agegace výsledků dílčích pavděpodobnostních modelů, kteá byla navžena s využtím bayesovského přístupu k pavděpodobnost a vychází ze specfckých předpokladů vycházejících z FDI. Refeences [1] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat I: Quanttatve model-based methods. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s [2] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat II: Qualtatve models and seach stateges. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s [3] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat III: Pocess hstoy based methods. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s [4] J. Chen, R.J. Patton: Robust model-based fault dagnoss fo dynamc systems. Nowel (Massachusetts) : Kluwe Academc Publshes, s. ISBN [5] G. Gaajayewa: Bayesan appoach to eal-tme fault detecton and solaton wth supevsed tanng. Paha, s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Vedoucí dsetační páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc. [6] M. Hofete, G. Gaajayewa: Real-tme fault detecton and solaton wth supevsed tanng. In IFAC. [s.l.] : [s.n.], s [7] M. Hofete: Bayesovská dentfkace technologckých pocesů. Paha, s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Habltační páce. [8] J. Jkovský: Detekce a lokalzace pouch s využtím pavděpodobnostních modelů a edukce jejch dmensonalty. Paha, s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Vedoucí dsetační páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc.

8 [9] J. Jkovský: Počítačové modelování a řízení laboatoního modelu Batyskaf. Paha, s. ČVUT v Paze, Fakulta stojní. Vedoucí dplomové páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc.