ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2014 Sandra PÁNKOVÁ

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE HODNOCENÍ VYBRANÝCH VYROVNÁVACÍCH ZOBRAZENÍ PRO MAPU SVĚTA Vedoucí práce: Ing. Karel BENDA, CSc. Katedra geomatiky červen 2014 Sandra PÁNKOVÁ

3 Č É É č í É í Í í í ý é é é ň í á í ář é á í íř é í ář é é á á í ý á í š í ý ář é š á á í Í á í ÚÉ ý ě ý Ú É é ě ď Ě ě á í é é á í ď ě ď ě Í é á í ř é á í á ň ď í ý ří š é ř á č é ě ř í ě ů ě á ě á í á í ď é š í ě ě Í í ůž ář é ř é á ď á č é í ě řá ě ě č ď ď í Šč Ř Č č ě ž ář á ě á ý ý é ý ů ťů ř é ář á í éč íř é á í ď é í ř á ě ý ý ď í ě í á ú ůý í í á á á ě ý ě ž ě ů Č ň č

4 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je zhodnocení vybraných vyrovnávacích kartografických zobrazení vhodných pro mapu světa. S vedoucím bakalářské práce bylo vybráno zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové zobrazení Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. zobrazení. Zhodnocení bylo provedeno pomocí Airyho a komplexního kritéria, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení. K výpočtům zkreslení byl použit program Projection. KLÍČOVÁ SLOVA Matematická kartografie, referenční plocha, kartografické zobrazení, kartografické zkreslení, mapa světa, Projection, kritéria pro hodnocení zobrazení. ABSTRACT Purpose of bachelor s thesis is assessment of selected compensated cartographic projections suitable for world map. With leader of the bachelor s thesis were chosen simple cylindrical Gall Projection and Miller Projection, pseudo cylindrical Robinson Projection, Eckert III and Eckert V Projection and modified azimuthal Winkel III Projection. The assessment was done using Airy and komplex criterion using extreme values of scale error. Software Projection was used to calculate. KEYWORDS Mathematical cartography, reference surface, map projection, kartographic distortion, world map, Projection, criteria for evaluation of projections.

5 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa jsem vypracovala samostatně. Použitou literaturu a další zdroje uvádím v seznamu zdrojů. V Praze dne Sandra Pánková

6 PODĚKOVÁNÍ Především bych ráda poděkovala vedoucímu bakalářské práce panu Ing. Karlu Bendovi, CSc. za připomínky, cenné rady a také za čas, který mi věnoval.

7 Obsah Úvod 8 1 Kartograf ie Definice kartografie Dělení kartografie Matematická kartograf ie Referenční plochy Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině Kartografická zobrazení Kartografické zkreslení Délkové zkreslení Úhlové zkreslení Plošné zkreslení Klasifikace zobrazení Podle vlastností kartografických zkreslení Podle vzhledu zobrazovací plochy Kritéria pro hodnocení zobrazení Kritéria extrémní a minimaximální Kritéria variační (součtová, integrální) Vybraná vyrovnávací zobrazení Zařazení vybraných zobrazení Jednoduchá zobrazení Nepravá zobrazení Gallovo zobrazení (Gall Projection) Millerovo zobrazení (Miller Projection) Robinsonovo zobrazení (Robinson Projection)

8 4.5 Eckertovo III. zobrazení (Eckert III Projection) Eckertovo V. zobrazení (Eckert V Projection) Winkelovo III. zobrazení (Winkel Tripel Projection) Hodnocení vybraných zobrazení Hodnocení zobrazení podle kritérií Extrémní hodnoty délkových zkreslení Výpočet lokálních kritérií Výpočet globálních kritérií Hodnocení zobrazení po vizuální stránce Použitý program PROJ - příkazy PROJ - ukázkový vstup/výstup Závěr 47 Použité zdroje 49 Seznam příloh 53 A Extrémní hodnoty délkových zkreslení 54 B Lokální kritéria - Airyho a komplexní 61 C PROJ - předdef inovaná zobrazení 68

9 ÚVOD Úvod Bakalářská práce se především zabývá kartografickými zobrazeními, která jsou vhodná pro tvorbu map světa. Mapa světa je důležitý kartografický produkt, je využívána v mnoha oborech a přináší jejím uživatelům důležité informace. Na jedné straně je reálný svět a na druhé jeho zmenšený, zjednodušený a zkreslený obraz, mapa. Aby bylo možné získat tento obraz, je nutné využít matematicky definovaných vztahů, tzv. kartografických zobrazení (dále jen zobrazení). Zobrazení se tedy používá při přechodu z referenční plochy, kterou je nahrazován zobrazovaný skutečný zemský povrch, do roviny mapy. Hlavním cílem této práce je zhodnotit vybraná zobrazení vhodná pro mapu světa na jednom listě pomocí kritérií, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení v diskrétních bodech. S vedoucím bakalářské práce byla pro zhodnocení vybrána zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. (tzv. Winkel Tripel). Všechna jsou zařazena do skupiny vyrovnávacích zobrazení. Bakalářská práce je rozdělena do několika kapitol. Nejprve se věnuje obecně kartografii, dále navazuje tematikou matematické kartografie, kde je mimo jiné uvedeno rozdělení zobrazení do skupin. Dále jsou popsány možnosti, podle kterých lze provést hodnocení a uvádí se poznatky o vybraných zobrazeních. Hodnoty extrémních délkových zkreslení jsou určeny v diskrétních bodech rovnoměrně rozložených na zvolené referenční ploše za podpory programu Projection. Jako referenční plocha je vybrána referenční koule, která postačuje pro aproximaci zemského povrchu při tvorbě map světa. Zjištěné hodnoty zkreslení jsou základem pro výpočet vybraných kritérií pro hodnocení zobrazení, pro výpočet Airyho a komplexního lokálního kritéria, z nichž jsou dále určeny globální kritéria. Výpočty a výsledky jsou uvedeny v páté kapitole. 8

10 1. KARTOGRAFIE 1 Kartografie Slovo kartografie pochází z řečtiny. Jak plyne z definic, hlavním cílem kartografie je tvorba kartografických děl. Mezi tato díla nepatří jen mapy, ale i plány, mapové soubory, mapová díla, atlasy a glóbusy. V současné době to jsou polohově přesné, skvěle technicky a esteticky provedené produkty. Kartografie se zařazuje mezi vědy o Zemi a vesmíru a souvisí s celou řadou vědních oborů. 1.1 Definice kartografie Definic kartografie je k nalezení několik. Některé z nich jsou uvedeny v následujícím textu. Definice OSN. Kartografie je věda o sestavování map všech druhů a zahrnuje veškeré operace od počátečního vyměřování až po vydání hotové produkce. Def inice Mezinárodní kartograf ické asociace (ICA). Kartografie je umění, věda a technologie vytváření map, včetně jejich studia jako vědeckých dokumentů a uměleckých prací. [1, str.5] Národní def inice, podle české technické normy. Kartografie je vědní a technický obor zabývající se zobrazením Země, kosmu, kosmických těles a jejich částí, objektů a jevů na nich a jejich vztahů ve formě kartografického díla a dále soubor činností při zpracování a využívání kartografických děl. [2, str.24] 1.2 Dělení kartografie Kartografie je poměrně složitý vědní obor, proto je nutné ho rozčlenit. Hledisek, podle kterých lze členění provést, může být mnoho. Mezi nejužívanější členění patří členění klasické a podle přívlastků. 9

11 1. KARTOGRAFIE Klasické členění. V klasickém členění se jedná o vymezení téměř samostatných částí. Provést se může například takto: Všeobecná kartografie, tzv. nauka o mapách. Zahrnuje především studium map, výklad mapové symboliky, způsoby třídění map, historii kartografie. Matematická kartografie. Zajímá se o kartografické zobrazování referenční plochy Země do referenční plochy mapy, vysvětluje a vymezuje vlastnosti jednotlivých druhů zobrazení. Kartografická tvorba. Jedná se o vlastní kartografickou činnost, tedy o sestavování mapy, výběr obsahových prvků mapy, návrh grafického zobrazení a generalizaci mapy. Kartografická polygrafie a reprografie. Náplní jsou technické úkoly tvorby map. Kartometrie a morfometrie. Jedná se o měření na mapách a určování charakteristik terénu z map. Kartografické metody výzkumu. Zahrnují vědeckou analýzu a syntézu kartografických informací v mapách, řeší problémy matematického a logického zpracování s ohledem na potřeby kartografie a uživatelů. Kartografická informatika. Týká se nahrazení mapy (jako grafického obrazu) matematicko logickým modelem. Členění podle přívlastků. V tomto členění se využívá vazby kartografie na ostatní obory, obsahu kartografických děl, postupů vzniku map. Dělení lze provést několika způsoby. Vybrané dělení je uvedeno v následujícím textu. 10

12 1. KARTOGRAFIE Teoretická a praktická kartografie. Základní rozdělení, kde teoretická kartografie se zabývá hlavně obecnými teoretickými a metodologickými otázkami a praktická neboli užitná se zabývá výrobními technologiemi. Geodetická a geografická kartografie. Často užívaný přístup dělení, při kterém je geodetická kartografie vázána na tvorbu základních státních mapových děl a geografická se váže na tvorbu odvozených obecně zeměpisných map malých měřítek. Klasická a digitální kartografie. Jedná se o dělení z hlediska vzniku mapy. Klasická kartografie zahrnuje mapy analogové, proti tomu stojí digitální, která zahrnuje kartografické výstupy pomocí počítače. Topografická a tematická kartografie. Rozdělení podle obsahu mapy. Topografická kartografie pojednává o výrobě a užívání topografických map a tematická užívá mapy s dvěma základními složkami, topografickým podkladem a tematickým obsahem. Při dělení podle obsahu mapy, lze využít i přístup obecnější, dělení na velkoměřítkové, topografické, tematické, námořní, městské, atlasové mapy a mapy obyvatelstva. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [1], [2], [3] a [4]. 11

13 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE 2 Matematická kartografie Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí uvádí definici matematické kartografie: Matematická kartografie je část kartografie, jejíž hlavní úlohou je převod údajů z referenční plochy do roviny pomocí kartografických zobrazení. [5] Nejvíce se využívá převodu údajů z referenční plochy nahrazující Zemi do roviny mapy. Země je fyzikální těleso udržované ve svém tvaru silou tíže, která je výslednicí přitažlivé a odstředivé síly. 2.1 Referenční plochy Zemský povrch je nepravidelný, proto se celý nebo jeho části aproximují matematicky definovatelnými plochami. Jsou li vhodné pro kartografické práce, jsou nazývány referenční plochy. Nejmenším zjednodušením Země je nahrazení tzv. geoidem, který představuje střední hladinu moří. Avšak pro úlohy matematické kartografie má geoid příliš složitý tvar, není tedy užíván jako referenční plocha. Využívá se ploch referenční elipsoid, referenční koule a referenční rovina, o výběru plochy rozhoduje velikost zobrazovaného území a požadovaná přesnost. Referenční elipsoid. V matematické kartografii je uvažována jako základní plocha rotační elipsoid, který nahrazuje geoid. Rotační elipsoid vzniká otáčením elipsy kolem vedlejší osy. Jeho tvar a velikost je určena dvěma veličinami, jedná se o různé kombinace: a - hlavní (velká) poloosa elipsoidu, b vedlejší (malá) poloosa elipsoidu, e excentricita (numerická výstřednost) elipsoidu, i zploštění elipsoidu, které je případně označováno f. Referenční koule. Pokud zmenšená přesnost vyhovuje daným účelům, lze provést zjednodušení referenčního elipsoidu na referenční kouli. Kulová plocha má konstantní křivost a je dána jednoduššími vztahy. Velikost koule určuje pouze jeden parametr, 12

14 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE poloměr - R. Referenční kouli je možné využít pro účely geodetické a mapovací, nejedná li se o rozsáhlé zobrazované území (přibližně pro vymezenou kruhovou část zemského povrchu asi o poloměru do 200 km). Povrch uvažované části elipsoidu se zobrazí na kouli a ta je následně zobrazována do roviny. Jedná se o dvojitá zobrazení. Referenční koule je použita i pro méně náročné úkoly, kde celý zemský elipsoid je nahrazen koulí, především pro tvorbu map velmi malých měřítek (například map světa). Při tomto úkonu jsou hodnoty zeměpisných souřadnic platných pro elipsoid užity beze změn i pro kouli. Referenční rovina. Při zobrazení malé části zemského povrchu (kruhová část o průměru do 20 km) je používána referenční rovina. Jedná se o nejjednodušší referenční plochu. 2.2 Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy umožňují jednoznačně určit polohu bodu na referenční ploše a v jejím kartografickém obraze, v rovině mapy Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu Zde je používáno zeměpisných, kartografických, případně prostorových pravoúhlých souřadnic. Zeměpisné souřadnice. Nejčastěji využívané udání polohy na referenční kouli či elipsoidu je pomocí zeměpisných souřadnic, patří sem zeměpisná šířka a zeměpisná délka (obr. 2.1). Zeměpisná šířka je úhel, který svírá normála n v uvažovaném bodě P na referenční ploše a rovina zemského rovníku. Zeměpisná délka je úhel, který svírá rovina určená zemskou osou SJ a uvažovaným bodem P s obdobnou rovinou procházející zvoleným základním bodem. [6, str.8] Zeměpisná šířka je v rozsahu 0 až 90 a měří se od rovníku k pólům. Severní zeměpisná šířka se nachází na severní polokouli (s.š. nebo kladné znaménko), oproti tomu na jižní je jižní zeměpisná šířka (j.š. nebo záporné znaménko). Pro 13

15 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE značení je užíváno φ pro elipsoid a U pro kouli. Zeměpisná délka je měřena od základní roviny k východu i k západu až k rovině protilehlé, je v rozsahu 0 až 180. Označuje se jako východní (v.d. či kladné znaménko) a západní zeměpisná délka (z.d. či záporné znaménko). Na elipsoidu se označuje λ a V na kouli (např. V = 90 z.d. nebo V = 90 ). Základní rovinou je rovina procházející astronomickou observatoří v Greenwich. λ = 0 dλ λ S ds p dλ P ds r n M dφ φ dλ β 0 β ψ N φ J Zdroj: [6, str.8] Obr. 2.1: Zeměpisné souřadnice Kartograf ické souřadnice. Často není volena osa referenční plochy totožně se zemskou osou. Je to z důvodu lepšího přimknutí dané oblasti k zobrazovací ploše. Proto se na výchozí ploše (zde pro kulovou plochu) definuje nový souřadnicový systém, kartografický. Kartografické souřadnice, D - kartografická délka a Š - kartografická 14

16 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE šířka, jsou definovány obdobně jako zeměpisné, ale jsou vztaženy k pólu kartografickému - K (obr. 2.2). S V 90 U K 90 U P 90 Š D K a Š D h J Zdroj: [6, str.12] Obr. 2.2: Kartografické souřadnice Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině V zobrazovací rovině se nejčastěji užívá pravoúhlých souřadnic a poté i polárních souřadnic. Jedná se o rovinné souřadnice. Pravoúhlé souřadnice Pravoúhlé souřadnice se označují X a Y. Tato soustava souřadnic je definovaná pomocí polohy počátku - O a směrem souřadnicových os - x, y. Polární souřadnice Polární souřadnice jsou značeny ρ a ε. V polární rovinné souřadnicové soustavě je uvažován počátek soustavy souřadnic - V, průvodič daného bodu od počátku 15

17 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE - ρ a úhel průvodiče - ε (polární úhel). Vztahy mezi polárními a pravoúhlými souřadnicemi jsou definovány (obr. 2.3) ρ = X 2 + Y 2, ε = arctg ( Y X ), X = ρ cos ε, Y = ρ sin ε. y V 0 ε X ρ Y M x Obr. 2.3: Souřadnicový systém v rovině 2.3 Kartografická zobrazení Vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách je nazýváno kartografické zobrazení. Pokud je možné vztah provést geometrickou cestou označuje se jako kartografická projekce. Zobrazovací rovnice definují zobrazovací (převodní) vztahy mezi souřadnicovými systémy na obou referenčních plochách. Vztahy mohou být definovány analyticky nebo geometricky. Obvykle první soustavou jsou zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu φ, λ, popř. souřadnice na referenční kouli U, V, a druhou pravoúhlé rovinné souřadnice X, Y. Rovnice kartografického zobrazení při užití referenčního elipsoidu mají obecný tvar X = f(φ, λ), Y = g(φ, λ), nebo φ = F (X, Y ), λ = G(X, Y ). Popřípadě při užití referenční koule mají zobrazovací rovnice tvar X = f(u, V ), Y = g(u, V ), nebo U = F (X, Y ), V = G(X, Y ). (2.1) V uvedených rovnicích se užívá funkcí f, g, F a G, které jsou v určitých místech spojité, na sobě nezávislé, diferencovatelné atd. Z tohoto vyplývá, že jednomu bodu na první referenční ploše odpovídá jediný bod na druhé referenční, zobrazovací ploše. Existují však výjimky, kde tato vlastnost nemusí být splněna, jedná se 16

18 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE o tzv. singulární body, póly. Jejich zobrazovací rovnice mají tvar X = f(±90, V ), Y = g(±90, V ), což jsou rovnice křivky, která určuje obraz pólu v rovině. Pokud je požadováno, aby byl pól zobrazen jako bod, nesmí být rovinné pravoúhlé souřadnice závislé na zeměpisné délce. 2.4 Kartografické zkreslení Zobrazovaná plocha (referenční plocha, originál) i plocha zobrazovací (kopie) mají rozdílnou křivost, tudíž při kartografickém zobrazení dochází ke kartografickému zkreslení (dále jen zkreslení). Zkreslení se projevuje změnou délek, úhlů a ploch v kopii oproti originálu Délkové zkreslení Délkové zkreslení - m se definuje jako poměr nekonečně malé délky v obraze a originále, uvažují se skutečné délky (nikoliv délky zmenšené do měřítka mapy, obrazu). Často se užívá hodnoty m 1, což značí vliv délkového zkreslení v jednotkách cm/km či dm/km. Vzorec (2.11) pro délkové zkreslení ukazuje skutečnost, že délkové zkreslení je závislé na poloze bodu a na směru délkového elementu, který se udává jeho azimutem na originále. V odborné literatuře [6] bylo nalezeno odvození tohoto vzorce, které předpokládá zobrazení z referenčního elipsoidu (originál) do roviny (obraz). Ve zde uvedeném odvození bude ale předpokládáno zobrazení z referenční koule do roviny, které je dáno obecnými rovnicemi (2.1). Tento předpoklad je aplikován, neboť v páté kapitole při zhodnocení zobrazení bude využito extrémních délkových zkreslení při zobrazení referenční koule do roviny. Obr. 2.4 znázorňuje, že bodu P d o souřadnicích U +du, V +dv, který je diferenciálně blízky bodu P, odpovídá obraz v rovině P d o souřadnicích X + dx, Y + dy. Pro vyvození délkového zkreslení se vychází z již zmíněné definice m A = ds ds = nekonečně malá délka v obraze nekonečně malá délka v originále. 17

19 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE P S dv A P d D ds +X ds P d dx P dy J O +Y originál obraz Obr. 2.4: Délkové zkreslení - délkový element na referenční kouli a v rovině Nekonečně malá délka se nahradí tzv. elementy (diferenciály). Využijí se elementy poledníkového oblouku - ds p a rovnoběžkového - ds r. Pro referenční kouli jsou v této podobě ds p = R du, ds r = R cos U dv. Pro kvadrát délkového zkreslení platí Poté podle (2.1) je m 2 A = ds2 ds 2 = dx 2 + dy 2 R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.2) dx = f f du + U V dv, g g dy = du + U V dv. Označíme li jednotlivé parciální derivace f U = f u, f V = f v, g U = g u, g V = g v. Poté lze psát dx = f u du + f v dv, dy = g u du + g v dv. Po úpravě na kvadrát je získáno dx 2 = f 2 u du f u du f v dv + f 2 v dv 2. (2.3) dy 2 = g 2 u du g u du g v dv + g 2 v dv 2. (2.4) Dosazením rovnic (2.3) a (2.4) do (2.2) a upravením je získána rovnice m 2 A = (f 2 u + g 2 u) du 2 + (f 2 v + g 2 v) dv (f u f v + g u g v ) du dv R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.5) 18

20 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Rovnice (2.5) se vydělí členem du 2 m 2 A = (f u 2 + gu) 2 + (fv 2 + gv) ( ) 2 2 dv du + 2 (fu f v + g u g v ) dv du R 2 + R 2 cos 2 U ( ) 2 dv du. (2.6) Podle obr. 2.4 lze vyjádřit tangens azimutu (směru) jako Z čehož je určeno tg A = ds r ds p = dv du R cos U dv R du = tg A cos U = = cos U dv du. sin A cos A cos U. (2.7) Dosazením rovnice (2.7) do (2.6) a vynásobením členem cos 2 A je m 2 A = (f 2 u + g 2 u) R 2 cos 2 A + (f v 2 + gv) 2 R 2 cos 2 U sin2 A + 2 (f u f v + g u g v ) sin A cos A. (2.8) R 2 cos U Délkové zkreslení v poledníkovém elementu - m p je získáno, pokud do rovnice (2.8) dosadíme hodnotu A = 0, je li dosazeno A = 90 je získáno délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu - m r. f 2 u + gu 2 m p =, m r = R Položí li se p = 2 (f u f v + g u g v ) R 2 cos U f 2 v + g 2 v R cos U. (2.9). (2.10) Výsledná rovnice pro kvadrát délkové zkreslení se získá po dosazení rovnic (2.9) a (2.10) do (2.8) m 2 A = m 2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A + p sin A cos A. (2.11) Elipsa zkreslení, též Tissotova indikatrix, je velice důležitý prvek v matematické kartografii, poskytuje informace o průběhu délkového zkreslení v daném bodě. Tato elipsa je obrazem nekonečně malé kružnice opsané danému bodu. Podle rovnice (2.11) platí, že pokud je měněn azimut, je měněna i hodnota délkového zkreslení. Pomocí matematického určení extrému funkce lze určit hodnotu azimutu - A ε, při kterém dochází k extrémní hodnotě délkového zkreslení v daném bodě. Při vyřešení jsou pokaždé získány dva azimuty - A ε1, A ε2, které jsou navzájem kolmé. V těchto směrech jsou hodnoty délkového zkreslení extrémní (tj. maximální a minimální), nazýváme je hlavní paprsky - a, b. Hlavní paprsky jsou jak v originále, tak v obraze na sebe kolmé a v obraze udávají osy elipsy zkreslení. 19

21 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Úhlové zkreslení Úhlové zkreslení - ω se definuje jako rozdíl velikosti úhlu či směrníku, v obraze - ω a originále - ω, tedy ω = ω ω. (2.12) Toto zkreslení je také možné určit pomocí zkreslení azimutu. Zkreslení azimutu je rozdíl azimutu - A v obraze a odpovídajícího azimutu - A v originále A = A A. (2.13) Úhlové zkreslení pomocí (2.12) a (2.13) lze vyjádřit ω = A 1 A 2 = (A 1 A 1 ) (A 2 A 2 ) = (A 1 A 2) (A 1 A 2 ) Plošné zkreslení Poměr dvou sobě odpovídajících nekonečně malých obrazců v obraze a originále je definicí plošného zkreslení - P. Toto zkreslení je možné vyvodit pomocí délkových elementů v poledníku - ds p a v rovnoběžce - ds r a jejich obrazů - ds p, - ds r. Při zobrazení z referenční koule je úhel, který svírá rovnoběžka a poledník pravým úhlem. Avšak tento úhel v obraze pravý být nemusí, značí se θ (obr. 2.5). Vzorec pro plošné zkreslení je Platí P = 1 2 ds r ds p sin θ 1 ds = m r m p sin θ. (2.14) 2 r ds p sin θ = f u g v f v g u (f 2 u + g 2 u) (f 2 v + g 2 v). (2.15) Pokud je do (2.14) dosazeno za délkové zkreslení v rovnoběžce a délkové zkreslení v poledníku z (2.9) a za sin θ z rovnice (2.15) je získán výsledný tvar rovnice pro plošné zkreslení P = f u g v f v g u R 2 cos U. 20

22 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE p P 1 +X p P 1 r P 2 ds r 90 ds p P r P 2 ds r θ ds p P +Y elipsoid rovina Obr. 2.5: Plošné zkreslení 2.5 Klasifikace zobrazení Existuje mnoho kartografických zobrazení, pro přehlednost je snaha je roztřiďovat do skupin, ve kterých jsou zobrazení se shodnými vlastnostmi. Klasifikace (třídění) je náročným úkolem a je možné jej provádět více způsoby. Zde je uvedeno třídění podle vlastností kartografických zkreslení a podle vzhledu zobrazovací plochy Podle vlastností kartografických zkreslení Rozhodující pro tuto klasifikaci je, zda se v zobrazení nezkreslují některé prvky, tedy délky, plochy či úhly. Konformní (stejnoúhlá, úhlojevná). Konformní zobrazení jsou taková, u nichž nedochází ke zkreslení úhlů. Ekvidistantní (stejnodélná, délkojevná). V zobrazeních ekvidistantních nedochází ke zkreslení délek určitých soustav čar. Ekvivalentní (stejnoplochá, plochojevná). U zobrazení ekvivalentních není zaznamenáno zkreslení ploch. Tyto zobrazení mají však větší zkreslení v úhlech. 21

23 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Kompenzační (vyrovnávací). Zobrazení vyrovnávací jsou podle hodnot udávající zkreslení přibližně uprostřed mezi ekvivalentními a konformními. Dochází zde u úhlového a plošného zkreslení ke snížení hodnot zkreslení na střední míru. V některých případech vyhovují pro toto zařazení určitá ekvidistantní zobrazení Podle vzhledu zobrazovací plochy Zde je přistoupeno k třídění podle užité zobrazovací plochy, pomocí které je možné představit si vznik obrazu referenční plochy. Zobrazení na kulovou plochu. Jedná se o zobrazení elipsoidu na kouli. Jednoduchá zobrazení. Zobrazení na rozvinutelné plochy. Dále je možné jednoduchá zobrazení dělit na kuželová, válcová a azimutální. Nepravá zobrazení. Nepravá zobrazení jsou rozdělovány obdobně jako jednoduchá, tj. na nepravá kuželová, nepravá azimutální a nepravá válcová zobrazení. Mnohokuželová zobrazení (polykónická). Ve skupině mnohokuželových zobrazení jsou takové, kde se zobrazuje na nekonečný počet plášťů kuželů. Na každý z plášťů se zobrazí jen jeho dotyková křivka s referenční plochou. Zobrazení po vymezených částech (mnohostěnová, polyedrická). Ve většině případů se nejedná o nový způsob zobrazení, ale o násobné opakování již existujícího způsobu pro části, na které je referenční plocha rozdělena. Obecná zobrazení. Do obecných zobrazení jsou zařazena taková, která nevyhovují svými vlastnostmi k žádným z výše uvedených skupin klasifikace. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3], [4], [5], [6] a [7]. 22

24 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3 Kritéria pro hodnocení zobrazení Při posuzování kartografických zobrazení je nejjednodušším způsobem pouhé vizuální zkoumání. Je li požadováno podrobnější zhodnocení, je zapotřebí již posuzovat hodnoty a průběh různých zkreslení. Zkreslení je možné hodnotit podle několika možností. Podle tabulek hodnot zkreslení. Zpravidla se vyhotovují v určitém intervalu zeměpisné sítě. Podle zákresu ekvideformát. Ekvideformáty jsou křivky spojující místa stejných hodnot kartografického zkreslení délkového, plošného či úhlového. Podle zákresu elips zkreslení. Elipsy zkreslení jsou vyhotovovány ve vybraných bodech zeměpisné sítě. Podle kritérií. Tato kritéria umožňují provést hodnocení zobrazení na základě kartografických zkreslení. Nejužívanějšími jsou kritéria ze skupiny kritérií extrémních a minimaximálních a ze skupiny kritérií variačních. 3.1 Kritéria extrémní a minimaximální V kritériích extrémních a minimaximálních je uvažováno extrémní zkreslení, popřípadě interval, kde se hodnoty pohybují mezi minimální a maximální hodnotou. V extrémních kritériích se hodnotí zobrazení kupříkladu podle maximální hodnoty u délkového, plošného či úhlového zkreslení. V kritériích minimaximálních se pro hodnocení užívá například podílu maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení, jindy rozdíl jejich logaritmických hodnot. Jiná možnost je založena na stanovení mezních hodnot příslušného zkreslení a následném určení velikosti ploch, u kterých nepřesahuje zkreslení stanovenou mezní hodnotu. 23

25 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3.2 Kritéria variační (součtová, integrální) V těchto kritériích je podstatným znakem zobrazení hodnota zkreslení, která se získá metodou integrace (někdy jen přibližným výpočtem) zkreslení v celé zobrazované oblasti. Do skupiny patří celá řada kritérií, některé jsou dále uvedeny. Lokální kritéria. Tato kritéria se určují pro jednotlivé body geografické sítě. Airyho kritérium. Kritérium Airyho uvažuje v určitém bodě o souřadnicích - U, V střední kvadratické zkreslení délek - h 2. Výpočet využívá extrémních hodnot délkového zkreslení - a, b. Vzorec má tvar h 2 (U, V ) = 1 2 [ (a 1) 2 + (b 1) 2]. (3.1) Kavrajského kritérium. Toto kritérium vzniklo upravením Airyho kritéria, vzorec pro něj je h 2 (U, V ) = 1 2 (ln2 a + ln 2 b). Komplexní kritérium. Zde je uvažován vliv délkového a úhlového zkreslení. Výpočet kritéria pro daný bod podle (3.2) využívá také extrémních hodnot délkového zkreslení a, b h 2 (U, V ) = 1 ( ) a 2 ( a 1 + b 1 ) + b 1. (3.2) Globální kritéria. Pro spolehlivější posouzení zobrazení je nutné určit globální kritéria. Globální kritéria využívají hodnot lokálních kritérií v uzlových bodech zeměpisné sítě, existuje vážená a nevážená varianta. Globální vážené kritérium, tedy charakteristická hodnota zobrazení z hlediska zkreslení pro celou zobrazovanou plochu (pro referenční plochu kulovou), je udáno integrálem (3.3), je li splněna podmínka, že hodnoty zkreslení stanovené v uzlových bodech zeměpisné sítě jsou váženy plochou příslušného sférického lichoběžníka. 24

26 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ I = h 2 cos U du dv. (3.3) Složitý vztah (3.3) je nahrazován přibližným. Váhy - p i jsou pro i tý uzlový bod z celkového počtu - n dány p i = cos U i.globální vážené kritérium je poté dáno pomocí váženého průměru I = ni=1 p i h 2 i ni=1 p i. (3.4) Vážená varianta eliminuje extrémní hodnoty lokálních kritérií v pólových oblastech, oproti tomu nevážená varianta je ovlivněna hodnotami bodů v blízkosti pólů. Nevážená varianta v přibližném vztahu je dána aritmetickým průměrem I = 1 n n i=1 h2 i. (3.5) Globální kritéria (3.4) a (3.5), která využívají lokálních kritérií Airyho a komplexního, jsou užity v páté kapitole této bakalářské práce při hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3] a [6]. 25

27 4. VYBRANÁ VYROVNÁVACÍ ZOBRAZENÍ 4 Vybraná vyrovnávací zobrazení Pro zhodnocení zobrazení byla vybrána zobrazení Gallovo, Millerovo, Robinsonovo, Eckertovo III., Eckertovo V. a Winkelovo III. zobrazení. U všech vybraných zobrazení je obraz geografické sítě symetrický vzhledem k rovníku (tj. rovnoběžka o zeměpisné šířce 0 ) a k základnímu poledníku (tj. poledník o zeměpisné délce 0 ), póly se zobrazují jako úsečky. 4.1 Zařazení vybraných zobrazení Vybraná zobrazení jsou podle vlastností kartografických zkreslení ze skupiny vyrovnávacích zobrazení. Podle vzhledu zobrazovací plochy jsou ze skupin jednoduchých a nepravých zobrazení Jednoduchá zobrazení (a) (b) (c) Zdroj: [8, str.26] Obr. 4.1: Jednoduché zobrazení a) válcové, b) kuželové, c) azimutální Do této třídy patří jednoduchá zobrazení válcová, kuželová a azimutální. Při jednoduchém azimutálním zobrazení se zobrazuje přímo na rovinu, u jednoduchého 26

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Téma: Geografické a kartografické základy map

Téma: Geografické a kartografické základy map Topografická příprava Téma: Geografické a kartografické základy map Osnova : 1. Topografické mapy, měřítko mapy 2. Mapové značky 3. Souřadnicové systémy 2 3 1. Topografické mapy, měřítko mapy Topografická

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy SRS (Spatial reference system) CRS (Coordinate Reference system) Kapitola 1: Základní pojmy Základní prostorové pojmy Geografický prostor Prostorové vztahy (geometrie,

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE

TECHNICKÁ DOKUMENTACE VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra elektrických strojů a přístrojů KAT 453 TECHNICKÁ DOKUMENTACE (přednášky pro hodiny cvičení) Zobrazování Petr Šňupárek, Martin Marek 1 Co je

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Souřadnicov. Cassini Soldnerovo zobrazení. Cassini-Soldnerovo. b) Evropský terestrický referenční systém m (ETRS), adnicové systémy

Souřadnicov. Cassini Soldnerovo zobrazení. Cassini-Soldnerovo. b) Evropský terestrický referenční systém m (ETRS), adnicové systémy Závazné referenční systémy dle 430/2006 Sb. Souřadnicov adnicové systémy na území Nařízen zení vlády o stanovení geodetických referenčních systémů a státn tních mapových děl d l závazných z na území státu

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

Kartometrická analýza starých map část 2

Kartometrická analýza starých map část 2 Podpora tvorby národní sítě kartografie nové generace Kartometrická analýza starých map část 2 Seminář NeoCartoLink, Olomouc, 29. 11. 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1

PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY. Maturitní otázka č. 1 PLANETA ZEMĚ A JEJÍ POHYBY Maturitní otázka č. 1 TVAR ZEMĚ Geoid = skutečný tvar Země Nelze vyjádřit matematicky Rotační elipsoid rovníkový poloměr = 6 378 km vzdálenost od středu Země k pólu = 6 358 km

Více

VY_06_Vla5E_45. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Inovativní metody v prvouce, vlastivědě a zeměpisu

VY_06_Vla5E_45. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Inovativní metody v prvouce, vlastivědě a zeměpisu Materiál pro domácí přípravu žáků: Název programu: Název projektu: Registrační číslo projektu: Předmět: Ročník: Autor: Téma učivo: Učební pomůcky: Zápis z vyučovací hodiny: VY_06_Vla5E_45 Operační program

Více

DĚJINY ZEMĚMĚŘICTVÍ A POZEMKOVÝCH ÚPRAV V ČECHÁCH A NA MORAVĚ V KONTEXTU SVĚTOVÉHO VÝVOJE MAGDALENA MARŠÍKOVÁ ZBYNĚK MARŠÍK

DĚJINY ZEMĚMĚŘICTVÍ A POZEMKOVÝCH ÚPRAV V ČECHÁCH A NA MORAVĚ V KONTEXTU SVĚTOVÉHO VÝVOJE MAGDALENA MARŠÍKOVÁ ZBYNĚK MARŠÍK DĚJINY ZEMĚMĚŘICTVÍ A POZEMKOVÝCH ÚPRAV V ČECHÁCH A NA MORAVĚ V KONTEXTU SVĚTOVÉHO VÝVOJE MAGDALENA MARŠÍKOVÁ ZBYNĚK MARŠÍK NAKLADATELSTVÍ LIBRI PRAHA 2007 Ing. Magdalena Maršíková, Prof. Ing. Zbyněk Maršík,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI

ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI ZOBRAZOVÁNÍ A NORMALIZACE V TECHNICKÉ DOKUMENTACI Pravoúhlé rovnoběžné promítání na několik vzájemně kolmých průměten Použití pomocné průmětny Čistě ploché předměty Souměrné součásti Čistě rotační součásti

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy

Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy Mapy - rozdělení podle obsahu, měřítka a způsobu vyhotovení Plán Účelové mapy Kartografie přednáška 2 Mapy a jejich měřítka, plán výsledkem většiny mapovacích prací je mapa nebo plán Mapa zmenšený generalizovaný

Více

GEODÉZIE. Co je vlastně geodézie?

GEODÉZIE. Co je vlastně geodézie? Co je vlastně geodézie? Doslovný význam řeckého slova GEODESIE je dělení půdy, země. Geodesie se zabývá měřením, výpočtem a zobrazením částí povrchu zemského, určením tvaru a velikosti země. Základní úlohou

Více

Mapa zdroj informací

Mapa zdroj informací Nejpřesnějším modelem Země je glóbus. Všechny tvary na glóbu odpovídají tvarům na Zemi a jsou zmenšeny v poměru, který udává měřítko glóbu. Mapa je zmenšený a zjednodušený rovinný obraz zemského povrchu.

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Tvorba technická dokumentace

Tvorba technická dokumentace Tvorba technická dokumentace Základy zobrazování na technických výkresech Zobrazování na technických výkresech se provádí dle normy ČSN 01 3121. Promítací metoda - je soubor pravidel, pro dvourozměrné

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Grafy v MS Excel Obsah Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Funkce grafu Je nejčastěji vizualizací při zpracování dat z různých statistik

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Zeměpis - 6. ročník (Standard)

Zeměpis - 6. ročník (Standard) Zeměpis - 6. ročník (Standard) Školní výstupy Učivo Vztahy má základní představu o vesmíru a sluneční soustavě získává základní poznatky o Slunci jako hvězdě, o jeho vlivu na planetu Zemi objasní mechanismus

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU. Veronika Berková 1

GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU. Veronika Berková 1 GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU Veronika Berková 1 1 Katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT, Thákurova 7, 166 29, Praha, ČR veronika.berkova@fsv.cvut.cz Abstrakt. Metody

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Zkrácený obsah učiva a hodinová dotace

Zkrácený obsah učiva a hodinová dotace Zkrácený obsah učiva a hodinová dotace Prima - 2 hod. týdně, 66 hod. ročně Planeta Země Vesmír Slunce a sluneční soustava Země jako vesmírné těleso Glóbus a mapa. Glóbus, měřítko globusu, poledníky a rovnoběžky,

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika Čočky Zobrazování čočkami je založeno na lomu světla Obvykle budeme předpokládat, že čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n 2

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: ZEMĚPIS Ročník: 6. Časová dotace: 2 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby organizuje a přiměřeně hodnotí geografické informace a zdroje dat z dostupných kartografických

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

V tomto předmětu budou učitelé pro utváření a rozvoj klíčových kompetencí využívat zejména tyto strategie:

V tomto předmětu budou učitelé pro utváření a rozvoj klíčových kompetencí využívat zejména tyto strategie: Vyučovací předmět: ZEMĚPISNÁ PRAKTIKA Učební osnovy 2. stupně 5.3.2. ná praktika A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Časové vymezení vyučovacího

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více