ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE PRAHA 2014 Sandra PÁNKOVÁ

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE STUDIJNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE HODNOCENÍ VYBRANÝCH VYROVNÁVACÍCH ZOBRAZENÍ PRO MAPU SVĚTA Vedoucí práce: Ing. Karel BENDA, CSc. Katedra geomatiky červen 2014 Sandra PÁNKOVÁ

3 Č É É č í É í Í í í ý é é é ň í á í ář é á í íř é í ář é é á á í ý á í š í ý ář é š á á í Í á í ÚÉ ý ě ý Ú É é ě ď Ě ě á í é é á í ď ě ď ě Í é á í ř é á í á ň ď í ý ří š é ř á č é ě ř í ě ů ě á ě á í á í ď é š í ě ě Í í ůž ář é ř é á ď á č é í ě řá ě ě č ď ď í Šč Ř Č č ě ž ář á ě á ý ý é ý ů ťů ř é ář á í éč íř é á í ď é í ř á ě ý ý ď í ě í á ú ůý í í á á á ě ý ě ž ě ů Č ň č

4 ABSTRAKT Cílem bakalářské práce je zhodnocení vybraných vyrovnávacích kartografických zobrazení vhodných pro mapu světa. S vedoucím bakalářské práce bylo vybráno zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové zobrazení Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. zobrazení. Zhodnocení bylo provedeno pomocí Airyho a komplexního kritéria, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení. K výpočtům zkreslení byl použit program Projection. KLÍČOVÁ SLOVA Matematická kartografie, referenční plocha, kartografické zobrazení, kartografické zkreslení, mapa světa, Projection, kritéria pro hodnocení zobrazení. ABSTRACT Purpose of bachelor s thesis is assessment of selected compensated cartographic projections suitable for world map. With leader of the bachelor s thesis were chosen simple cylindrical Gall Projection and Miller Projection, pseudo cylindrical Robinson Projection, Eckert III and Eckert V Projection and modified azimuthal Winkel III Projection. The assessment was done using Airy and komplex criterion using extreme values of scale error. Software Projection was used to calculate. KEYWORDS Mathematical cartography, reference surface, map projection, kartographic distortion, world map, Projection, criteria for evaluation of projections.

5 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma Hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa jsem vypracovala samostatně. Použitou literaturu a další zdroje uvádím v seznamu zdrojů. V Praze dne Sandra Pánková

6 PODĚKOVÁNÍ Především bych ráda poděkovala vedoucímu bakalářské práce panu Ing. Karlu Bendovi, CSc. za připomínky, cenné rady a také za čas, který mi věnoval.

7 Obsah Úvod 8 1 Kartograf ie Definice kartografie Dělení kartografie Matematická kartograf ie Referenční plochy Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině Kartografická zobrazení Kartografické zkreslení Délkové zkreslení Úhlové zkreslení Plošné zkreslení Klasifikace zobrazení Podle vlastností kartografických zkreslení Podle vzhledu zobrazovací plochy Kritéria pro hodnocení zobrazení Kritéria extrémní a minimaximální Kritéria variační (součtová, integrální) Vybraná vyrovnávací zobrazení Zařazení vybraných zobrazení Jednoduchá zobrazení Nepravá zobrazení Gallovo zobrazení (Gall Projection) Millerovo zobrazení (Miller Projection) Robinsonovo zobrazení (Robinson Projection)

8 4.5 Eckertovo III. zobrazení (Eckert III Projection) Eckertovo V. zobrazení (Eckert V Projection) Winkelovo III. zobrazení (Winkel Tripel Projection) Hodnocení vybraných zobrazení Hodnocení zobrazení podle kritérií Extrémní hodnoty délkových zkreslení Výpočet lokálních kritérií Výpočet globálních kritérií Hodnocení zobrazení po vizuální stránce Použitý program PROJ - příkazy PROJ - ukázkový vstup/výstup Závěr 47 Použité zdroje 49 Seznam příloh 53 A Extrémní hodnoty délkových zkreslení 54 B Lokální kritéria - Airyho a komplexní 61 C PROJ - předdef inovaná zobrazení 68

9 ÚVOD Úvod Bakalářská práce se především zabývá kartografickými zobrazeními, která jsou vhodná pro tvorbu map světa. Mapa světa je důležitý kartografický produkt, je využívána v mnoha oborech a přináší jejím uživatelům důležité informace. Na jedné straně je reálný svět a na druhé jeho zmenšený, zjednodušený a zkreslený obraz, mapa. Aby bylo možné získat tento obraz, je nutné využít matematicky definovaných vztahů, tzv. kartografických zobrazení (dále jen zobrazení). Zobrazení se tedy používá při přechodu z referenční plochy, kterou je nahrazován zobrazovaný skutečný zemský povrch, do roviny mapy. Hlavním cílem této práce je zhodnotit vybraná zobrazení vhodná pro mapu světa na jednom listě pomocí kritérií, která využívají hodnot extrémního délkového zkreslení v diskrétních bodech. S vedoucím bakalářské práce byla pro zhodnocení vybrána zobrazení jednoduché válcové Gallovo a Millerovo, nepravé válcové Robinsonovo, Eckertovo III. a Eckertovo V. a modifikované azimutální Winkelovo III. (tzv. Winkel Tripel). Všechna jsou zařazena do skupiny vyrovnávacích zobrazení. Bakalářská práce je rozdělena do několika kapitol. Nejprve se věnuje obecně kartografii, dále navazuje tematikou matematické kartografie, kde je mimo jiné uvedeno rozdělení zobrazení do skupin. Dále jsou popsány možnosti, podle kterých lze provést hodnocení a uvádí se poznatky o vybraných zobrazeních. Hodnoty extrémních délkových zkreslení jsou určeny v diskrétních bodech rovnoměrně rozložených na zvolené referenční ploše za podpory programu Projection. Jako referenční plocha je vybrána referenční koule, která postačuje pro aproximaci zemského povrchu při tvorbě map světa. Zjištěné hodnoty zkreslení jsou základem pro výpočet vybraných kritérií pro hodnocení zobrazení, pro výpočet Airyho a komplexního lokálního kritéria, z nichž jsou dále určeny globální kritéria. Výpočty a výsledky jsou uvedeny v páté kapitole. 8

10 1. KARTOGRAFIE 1 Kartografie Slovo kartografie pochází z řečtiny. Jak plyne z definic, hlavním cílem kartografie je tvorba kartografických děl. Mezi tato díla nepatří jen mapy, ale i plány, mapové soubory, mapová díla, atlasy a glóbusy. V současné době to jsou polohově přesné, skvěle technicky a esteticky provedené produkty. Kartografie se zařazuje mezi vědy o Zemi a vesmíru a souvisí s celou řadou vědních oborů. 1.1 Definice kartografie Definic kartografie je k nalezení několik. Některé z nich jsou uvedeny v následujícím textu. Definice OSN. Kartografie je věda o sestavování map všech druhů a zahrnuje veškeré operace od počátečního vyměřování až po vydání hotové produkce. Def inice Mezinárodní kartograf ické asociace (ICA). Kartografie je umění, věda a technologie vytváření map, včetně jejich studia jako vědeckých dokumentů a uměleckých prací. [1, str.5] Národní def inice, podle české technické normy. Kartografie je vědní a technický obor zabývající se zobrazením Země, kosmu, kosmických těles a jejich částí, objektů a jevů na nich a jejich vztahů ve formě kartografického díla a dále soubor činností při zpracování a využívání kartografických děl. [2, str.24] 1.2 Dělení kartografie Kartografie je poměrně složitý vědní obor, proto je nutné ho rozčlenit. Hledisek, podle kterých lze členění provést, může být mnoho. Mezi nejužívanější členění patří členění klasické a podle přívlastků. 9

11 1. KARTOGRAFIE Klasické členění. V klasickém členění se jedná o vymezení téměř samostatných částí. Provést se může například takto: Všeobecná kartografie, tzv. nauka o mapách. Zahrnuje především studium map, výklad mapové symboliky, způsoby třídění map, historii kartografie. Matematická kartografie. Zajímá se o kartografické zobrazování referenční plochy Země do referenční plochy mapy, vysvětluje a vymezuje vlastnosti jednotlivých druhů zobrazení. Kartografická tvorba. Jedná se o vlastní kartografickou činnost, tedy o sestavování mapy, výběr obsahových prvků mapy, návrh grafického zobrazení a generalizaci mapy. Kartografická polygrafie a reprografie. Náplní jsou technické úkoly tvorby map. Kartometrie a morfometrie. Jedná se o měření na mapách a určování charakteristik terénu z map. Kartografické metody výzkumu. Zahrnují vědeckou analýzu a syntézu kartografických informací v mapách, řeší problémy matematického a logického zpracování s ohledem na potřeby kartografie a uživatelů. Kartografická informatika. Týká se nahrazení mapy (jako grafického obrazu) matematicko logickým modelem. Členění podle přívlastků. V tomto členění se využívá vazby kartografie na ostatní obory, obsahu kartografických děl, postupů vzniku map. Dělení lze provést několika způsoby. Vybrané dělení je uvedeno v následujícím textu. 10

12 1. KARTOGRAFIE Teoretická a praktická kartografie. Základní rozdělení, kde teoretická kartografie se zabývá hlavně obecnými teoretickými a metodologickými otázkami a praktická neboli užitná se zabývá výrobními technologiemi. Geodetická a geografická kartografie. Často užívaný přístup dělení, při kterém je geodetická kartografie vázána na tvorbu základních státních mapových děl a geografická se váže na tvorbu odvozených obecně zeměpisných map malých měřítek. Klasická a digitální kartografie. Jedná se o dělení z hlediska vzniku mapy. Klasická kartografie zahrnuje mapy analogové, proti tomu stojí digitální, která zahrnuje kartografické výstupy pomocí počítače. Topografická a tematická kartografie. Rozdělení podle obsahu mapy. Topografická kartografie pojednává o výrobě a užívání topografických map a tematická užívá mapy s dvěma základními složkami, topografickým podkladem a tematickým obsahem. Při dělení podle obsahu mapy, lze využít i přístup obecnější, dělení na velkoměřítkové, topografické, tematické, námořní, městské, atlasové mapy a mapy obyvatelstva. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [1], [2], [3] a [4]. 11

13 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE 2 Matematická kartografie Terminologický slovník zeměměřictví a katastru nemovitostí uvádí definici matematické kartografie: Matematická kartografie je část kartografie, jejíž hlavní úlohou je převod údajů z referenční plochy do roviny pomocí kartografických zobrazení. [5] Nejvíce se využívá převodu údajů z referenční plochy nahrazující Zemi do roviny mapy. Země je fyzikální těleso udržované ve svém tvaru silou tíže, která je výslednicí přitažlivé a odstředivé síly. 2.1 Referenční plochy Zemský povrch je nepravidelný, proto se celý nebo jeho části aproximují matematicky definovatelnými plochami. Jsou li vhodné pro kartografické práce, jsou nazývány referenční plochy. Nejmenším zjednodušením Země je nahrazení tzv. geoidem, který představuje střední hladinu moří. Avšak pro úlohy matematické kartografie má geoid příliš složitý tvar, není tedy užíván jako referenční plocha. Využívá se ploch referenční elipsoid, referenční koule a referenční rovina, o výběru plochy rozhoduje velikost zobrazovaného území a požadovaná přesnost. Referenční elipsoid. V matematické kartografii je uvažována jako základní plocha rotační elipsoid, který nahrazuje geoid. Rotační elipsoid vzniká otáčením elipsy kolem vedlejší osy. Jeho tvar a velikost je určena dvěma veličinami, jedná se o různé kombinace: a - hlavní (velká) poloosa elipsoidu, b vedlejší (malá) poloosa elipsoidu, e excentricita (numerická výstřednost) elipsoidu, i zploštění elipsoidu, které je případně označováno f. Referenční koule. Pokud zmenšená přesnost vyhovuje daným účelům, lze provést zjednodušení referenčního elipsoidu na referenční kouli. Kulová plocha má konstantní křivost a je dána jednoduššími vztahy. Velikost koule určuje pouze jeden parametr, 12

14 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE poloměr - R. Referenční kouli je možné využít pro účely geodetické a mapovací, nejedná li se o rozsáhlé zobrazované území (přibližně pro vymezenou kruhovou část zemského povrchu asi o poloměru do 200 km). Povrch uvažované části elipsoidu se zobrazí na kouli a ta je následně zobrazována do roviny. Jedná se o dvojitá zobrazení. Referenční koule je použita i pro méně náročné úkoly, kde celý zemský elipsoid je nahrazen koulí, především pro tvorbu map velmi malých měřítek (například map světa). Při tomto úkonu jsou hodnoty zeměpisných souřadnic platných pro elipsoid užity beze změn i pro kouli. Referenční rovina. Při zobrazení malé části zemského povrchu (kruhová část o průměru do 20 km) je používána referenční rovina. Jedná se o nejjednodušší referenční plochu. 2.2 Souřadnicové soustavy Souřadnicové soustavy umožňují jednoznačně určit polohu bodu na referenční ploše a v jejím kartografickém obraze, v rovině mapy Souřadnicové soustavy na kouli, elipsoidu Zde je používáno zeměpisných, kartografických, případně prostorových pravoúhlých souřadnic. Zeměpisné souřadnice. Nejčastěji využívané udání polohy na referenční kouli či elipsoidu je pomocí zeměpisných souřadnic, patří sem zeměpisná šířka a zeměpisná délka (obr. 2.1). Zeměpisná šířka je úhel, který svírá normála n v uvažovaném bodě P na referenční ploše a rovina zemského rovníku. Zeměpisná délka je úhel, který svírá rovina určená zemskou osou SJ a uvažovaným bodem P s obdobnou rovinou procházející zvoleným základním bodem. [6, str.8] Zeměpisná šířka je v rozsahu 0 až 90 a měří se od rovníku k pólům. Severní zeměpisná šířka se nachází na severní polokouli (s.š. nebo kladné znaménko), oproti tomu na jižní je jižní zeměpisná šířka (j.š. nebo záporné znaménko). Pro 13

15 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE značení je užíváno φ pro elipsoid a U pro kouli. Zeměpisná délka je měřena od základní roviny k východu i k západu až k rovině protilehlé, je v rozsahu 0 až 180. Označuje se jako východní (v.d. či kladné znaménko) a západní zeměpisná délka (z.d. či záporné znaménko). Na elipsoidu se označuje λ a V na kouli (např. V = 90 z.d. nebo V = 90 ). Základní rovinou je rovina procházející astronomickou observatoří v Greenwich. λ = 0 dλ λ S ds p dλ P ds r n M dφ φ dλ β 0 β ψ N φ J Zdroj: [6, str.8] Obr. 2.1: Zeměpisné souřadnice Kartograf ické souřadnice. Často není volena osa referenční plochy totožně se zemskou osou. Je to z důvodu lepšího přimknutí dané oblasti k zobrazovací ploše. Proto se na výchozí ploše (zde pro kulovou plochu) definuje nový souřadnicový systém, kartografický. Kartografické souřadnice, D - kartografická délka a Š - kartografická 14

16 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE šířka, jsou definovány obdobně jako zeměpisné, ale jsou vztaženy k pólu kartografickému - K (obr. 2.2). S V 90 U K 90 U P 90 Š D K a Š D h J Zdroj: [6, str.12] Obr. 2.2: Kartografické souřadnice Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině V zobrazovací rovině se nejčastěji užívá pravoúhlých souřadnic a poté i polárních souřadnic. Jedná se o rovinné souřadnice. Pravoúhlé souřadnice Pravoúhlé souřadnice se označují X a Y. Tato soustava souřadnic je definovaná pomocí polohy počátku - O a směrem souřadnicových os - x, y. Polární souřadnice Polární souřadnice jsou značeny ρ a ε. V polární rovinné souřadnicové soustavě je uvažován počátek soustavy souřadnic - V, průvodič daného bodu od počátku 15

17 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE - ρ a úhel průvodiče - ε (polární úhel). Vztahy mezi polárními a pravoúhlými souřadnicemi jsou definovány (obr. 2.3) ρ = X 2 + Y 2, ε = arctg ( Y X ), X = ρ cos ε, Y = ρ sin ε. y V 0 ε X ρ Y M x Obr. 2.3: Souřadnicový systém v rovině 2.3 Kartografická zobrazení Vzájemné přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách je nazýváno kartografické zobrazení. Pokud je možné vztah provést geometrickou cestou označuje se jako kartografická projekce. Zobrazovací rovnice definují zobrazovací (převodní) vztahy mezi souřadnicovými systémy na obou referenčních plochách. Vztahy mohou být definovány analyticky nebo geometricky. Obvykle první soustavou jsou zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu φ, λ, popř. souřadnice na referenční kouli U, V, a druhou pravoúhlé rovinné souřadnice X, Y. Rovnice kartografického zobrazení při užití referenčního elipsoidu mají obecný tvar X = f(φ, λ), Y = g(φ, λ), nebo φ = F (X, Y ), λ = G(X, Y ). Popřípadě při užití referenční koule mají zobrazovací rovnice tvar X = f(u, V ), Y = g(u, V ), nebo U = F (X, Y ), V = G(X, Y ). (2.1) V uvedených rovnicích se užívá funkcí f, g, F a G, které jsou v určitých místech spojité, na sobě nezávislé, diferencovatelné atd. Z tohoto vyplývá, že jednomu bodu na první referenční ploše odpovídá jediný bod na druhé referenční, zobrazovací ploše. Existují však výjimky, kde tato vlastnost nemusí být splněna, jedná se 16

18 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE o tzv. singulární body, póly. Jejich zobrazovací rovnice mají tvar X = f(±90, V ), Y = g(±90, V ), což jsou rovnice křivky, která určuje obraz pólu v rovině. Pokud je požadováno, aby byl pól zobrazen jako bod, nesmí být rovinné pravoúhlé souřadnice závislé na zeměpisné délce. 2.4 Kartografické zkreslení Zobrazovaná plocha (referenční plocha, originál) i plocha zobrazovací (kopie) mají rozdílnou křivost, tudíž při kartografickém zobrazení dochází ke kartografickému zkreslení (dále jen zkreslení). Zkreslení se projevuje změnou délek, úhlů a ploch v kopii oproti originálu Délkové zkreslení Délkové zkreslení - m se definuje jako poměr nekonečně malé délky v obraze a originále, uvažují se skutečné délky (nikoliv délky zmenšené do měřítka mapy, obrazu). Často se užívá hodnoty m 1, což značí vliv délkového zkreslení v jednotkách cm/km či dm/km. Vzorec (2.11) pro délkové zkreslení ukazuje skutečnost, že délkové zkreslení je závislé na poloze bodu a na směru délkového elementu, který se udává jeho azimutem na originále. V odborné literatuře [6] bylo nalezeno odvození tohoto vzorce, které předpokládá zobrazení z referenčního elipsoidu (originál) do roviny (obraz). Ve zde uvedeném odvození bude ale předpokládáno zobrazení z referenční koule do roviny, které je dáno obecnými rovnicemi (2.1). Tento předpoklad je aplikován, neboť v páté kapitole při zhodnocení zobrazení bude využito extrémních délkových zkreslení při zobrazení referenční koule do roviny. Obr. 2.4 znázorňuje, že bodu P d o souřadnicích U +du, V +dv, který je diferenciálně blízky bodu P, odpovídá obraz v rovině P d o souřadnicích X + dx, Y + dy. Pro vyvození délkového zkreslení se vychází z již zmíněné definice m A = ds ds = nekonečně malá délka v obraze nekonečně malá délka v originále. 17

19 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE P S dv A P d D ds +X ds P d dx P dy J O +Y originál obraz Obr. 2.4: Délkové zkreslení - délkový element na referenční kouli a v rovině Nekonečně malá délka se nahradí tzv. elementy (diferenciály). Využijí se elementy poledníkového oblouku - ds p a rovnoběžkového - ds r. Pro referenční kouli jsou v této podobě ds p = R du, ds r = R cos U dv. Pro kvadrát délkového zkreslení platí Poté podle (2.1) je m 2 A = ds2 ds 2 = dx 2 + dy 2 R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.2) dx = f f du + U V dv, g g dy = du + U V dv. Označíme li jednotlivé parciální derivace f U = f u, f V = f v, g U = g u, g V = g v. Poté lze psát dx = f u du + f v dv, dy = g u du + g v dv. Po úpravě na kvadrát je získáno dx 2 = f 2 u du f u du f v dv + f 2 v dv 2. (2.3) dy 2 = g 2 u du g u du g v dv + g 2 v dv 2. (2.4) Dosazením rovnic (2.3) a (2.4) do (2.2) a upravením je získána rovnice m 2 A = (f 2 u + g 2 u) du 2 + (f 2 v + g 2 v) dv (f u f v + g u g v ) du dv R 2 du 2 + R 2 cos 2 U dv 2. (2.5) 18

20 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Rovnice (2.5) se vydělí členem du 2 m 2 A = (f u 2 + gu) 2 + (fv 2 + gv) ( ) 2 2 dv du + 2 (fu f v + g u g v ) dv du R 2 + R 2 cos 2 U ( ) 2 dv du. (2.6) Podle obr. 2.4 lze vyjádřit tangens azimutu (směru) jako Z čehož je určeno tg A = ds r ds p = dv du R cos U dv R du = tg A cos U = = cos U dv du. sin A cos A cos U. (2.7) Dosazením rovnice (2.7) do (2.6) a vynásobením členem cos 2 A je m 2 A = (f 2 u + g 2 u) R 2 cos 2 A + (f v 2 + gv) 2 R 2 cos 2 U sin2 A + 2 (f u f v + g u g v ) sin A cos A. (2.8) R 2 cos U Délkové zkreslení v poledníkovém elementu - m p je získáno, pokud do rovnice (2.8) dosadíme hodnotu A = 0, je li dosazeno A = 90 je získáno délkové zkreslení v rovnoběžkovém elementu - m r. f 2 u + gu 2 m p =, m r = R Položí li se p = 2 (f u f v + g u g v ) R 2 cos U f 2 v + g 2 v R cos U. (2.9). (2.10) Výsledná rovnice pro kvadrát délkové zkreslení se získá po dosazení rovnic (2.9) a (2.10) do (2.8) m 2 A = m 2 p cos 2 A + m 2 r sin 2 A + p sin A cos A. (2.11) Elipsa zkreslení, též Tissotova indikatrix, je velice důležitý prvek v matematické kartografii, poskytuje informace o průběhu délkového zkreslení v daném bodě. Tato elipsa je obrazem nekonečně malé kružnice opsané danému bodu. Podle rovnice (2.11) platí, že pokud je měněn azimut, je měněna i hodnota délkového zkreslení. Pomocí matematického určení extrému funkce lze určit hodnotu azimutu - A ε, při kterém dochází k extrémní hodnotě délkového zkreslení v daném bodě. Při vyřešení jsou pokaždé získány dva azimuty - A ε1, A ε2, které jsou navzájem kolmé. V těchto směrech jsou hodnoty délkového zkreslení extrémní (tj. maximální a minimální), nazýváme je hlavní paprsky - a, b. Hlavní paprsky jsou jak v originále, tak v obraze na sebe kolmé a v obraze udávají osy elipsy zkreslení. 19

21 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Úhlové zkreslení Úhlové zkreslení - ω se definuje jako rozdíl velikosti úhlu či směrníku, v obraze - ω a originále - ω, tedy ω = ω ω. (2.12) Toto zkreslení je také možné určit pomocí zkreslení azimutu. Zkreslení azimutu je rozdíl azimutu - A v obraze a odpovídajícího azimutu - A v originále A = A A. (2.13) Úhlové zkreslení pomocí (2.12) a (2.13) lze vyjádřit ω = A 1 A 2 = (A 1 A 1 ) (A 2 A 2 ) = (A 1 A 2) (A 1 A 2 ) Plošné zkreslení Poměr dvou sobě odpovídajících nekonečně malých obrazců v obraze a originále je definicí plošného zkreslení - P. Toto zkreslení je možné vyvodit pomocí délkových elementů v poledníku - ds p a v rovnoběžce - ds r a jejich obrazů - ds p, - ds r. Při zobrazení z referenční koule je úhel, který svírá rovnoběžka a poledník pravým úhlem. Avšak tento úhel v obraze pravý být nemusí, značí se θ (obr. 2.5). Vzorec pro plošné zkreslení je Platí P = 1 2 ds r ds p sin θ 1 ds = m r m p sin θ. (2.14) 2 r ds p sin θ = f u g v f v g u (f 2 u + g 2 u) (f 2 v + g 2 v). (2.15) Pokud je do (2.14) dosazeno za délkové zkreslení v rovnoběžce a délkové zkreslení v poledníku z (2.9) a za sin θ z rovnice (2.15) je získán výsledný tvar rovnice pro plošné zkreslení P = f u g v f v g u R 2 cos U. 20

22 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE p P 1 +X p P 1 r P 2 ds r 90 ds p P r P 2 ds r θ ds p P +Y elipsoid rovina Obr. 2.5: Plošné zkreslení 2.5 Klasifikace zobrazení Existuje mnoho kartografických zobrazení, pro přehlednost je snaha je roztřiďovat do skupin, ve kterých jsou zobrazení se shodnými vlastnostmi. Klasifikace (třídění) je náročným úkolem a je možné jej provádět více způsoby. Zde je uvedeno třídění podle vlastností kartografických zkreslení a podle vzhledu zobrazovací plochy Podle vlastností kartografických zkreslení Rozhodující pro tuto klasifikaci je, zda se v zobrazení nezkreslují některé prvky, tedy délky, plochy či úhly. Konformní (stejnoúhlá, úhlojevná). Konformní zobrazení jsou taková, u nichž nedochází ke zkreslení úhlů. Ekvidistantní (stejnodélná, délkojevná). V zobrazeních ekvidistantních nedochází ke zkreslení délek určitých soustav čar. Ekvivalentní (stejnoplochá, plochojevná). U zobrazení ekvivalentních není zaznamenáno zkreslení ploch. Tyto zobrazení mají však větší zkreslení v úhlech. 21

23 2. MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE Kompenzační (vyrovnávací). Zobrazení vyrovnávací jsou podle hodnot udávající zkreslení přibližně uprostřed mezi ekvivalentními a konformními. Dochází zde u úhlového a plošného zkreslení ke snížení hodnot zkreslení na střední míru. V některých případech vyhovují pro toto zařazení určitá ekvidistantní zobrazení Podle vzhledu zobrazovací plochy Zde je přistoupeno k třídění podle užité zobrazovací plochy, pomocí které je možné představit si vznik obrazu referenční plochy. Zobrazení na kulovou plochu. Jedná se o zobrazení elipsoidu na kouli. Jednoduchá zobrazení. Zobrazení na rozvinutelné plochy. Dále je možné jednoduchá zobrazení dělit na kuželová, válcová a azimutální. Nepravá zobrazení. Nepravá zobrazení jsou rozdělovány obdobně jako jednoduchá, tj. na nepravá kuželová, nepravá azimutální a nepravá válcová zobrazení. Mnohokuželová zobrazení (polykónická). Ve skupině mnohokuželových zobrazení jsou takové, kde se zobrazuje na nekonečný počet plášťů kuželů. Na každý z plášťů se zobrazí jen jeho dotyková křivka s referenční plochou. Zobrazení po vymezených částech (mnohostěnová, polyedrická). Ve většině případů se nejedná o nový způsob zobrazení, ale o násobné opakování již existujícího způsobu pro části, na které je referenční plocha rozdělena. Obecná zobrazení. Do obecných zobrazení jsou zařazena taková, která nevyhovují svými vlastnostmi k žádným z výše uvedených skupin klasifikace. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3], [4], [5], [6] a [7]. 22

24 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3 Kritéria pro hodnocení zobrazení Při posuzování kartografických zobrazení je nejjednodušším způsobem pouhé vizuální zkoumání. Je li požadováno podrobnější zhodnocení, je zapotřebí již posuzovat hodnoty a průběh různých zkreslení. Zkreslení je možné hodnotit podle několika možností. Podle tabulek hodnot zkreslení. Zpravidla se vyhotovují v určitém intervalu zeměpisné sítě. Podle zákresu ekvideformát. Ekvideformáty jsou křivky spojující místa stejných hodnot kartografického zkreslení délkového, plošného či úhlového. Podle zákresu elips zkreslení. Elipsy zkreslení jsou vyhotovovány ve vybraných bodech zeměpisné sítě. Podle kritérií. Tato kritéria umožňují provést hodnocení zobrazení na základě kartografických zkreslení. Nejužívanějšími jsou kritéria ze skupiny kritérií extrémních a minimaximálních a ze skupiny kritérií variačních. 3.1 Kritéria extrémní a minimaximální V kritériích extrémních a minimaximálních je uvažováno extrémní zkreslení, popřípadě interval, kde se hodnoty pohybují mezi minimální a maximální hodnotou. V extrémních kritériích se hodnotí zobrazení kupříkladu podle maximální hodnoty u délkového, plošného či úhlového zkreslení. V kritériích minimaximálních se pro hodnocení užívá například podílu maximální a minimální hodnoty délkového zkreslení, jindy rozdíl jejich logaritmických hodnot. Jiná možnost je založena na stanovení mezních hodnot příslušného zkreslení a následném určení velikosti ploch, u kterých nepřesahuje zkreslení stanovenou mezní hodnotu. 23

25 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ 3.2 Kritéria variační (součtová, integrální) V těchto kritériích je podstatným znakem zobrazení hodnota zkreslení, která se získá metodou integrace (někdy jen přibližným výpočtem) zkreslení v celé zobrazované oblasti. Do skupiny patří celá řada kritérií, některé jsou dále uvedeny. Lokální kritéria. Tato kritéria se určují pro jednotlivé body geografické sítě. Airyho kritérium. Kritérium Airyho uvažuje v určitém bodě o souřadnicích - U, V střední kvadratické zkreslení délek - h 2. Výpočet využívá extrémních hodnot délkového zkreslení - a, b. Vzorec má tvar h 2 (U, V ) = 1 2 [ (a 1) 2 + (b 1) 2]. (3.1) Kavrajského kritérium. Toto kritérium vzniklo upravením Airyho kritéria, vzorec pro něj je h 2 (U, V ) = 1 2 (ln2 a + ln 2 b). Komplexní kritérium. Zde je uvažován vliv délkového a úhlového zkreslení. Výpočet kritéria pro daný bod podle (3.2) využívá také extrémních hodnot délkového zkreslení a, b h 2 (U, V ) = 1 ( ) a 2 ( a 1 + b 1 ) + b 1. (3.2) Globální kritéria. Pro spolehlivější posouzení zobrazení je nutné určit globální kritéria. Globální kritéria využívají hodnot lokálních kritérií v uzlových bodech zeměpisné sítě, existuje vážená a nevážená varianta. Globální vážené kritérium, tedy charakteristická hodnota zobrazení z hlediska zkreslení pro celou zobrazovanou plochu (pro referenční plochu kulovou), je udáno integrálem (3.3), je li splněna podmínka, že hodnoty zkreslení stanovené v uzlových bodech zeměpisné sítě jsou váženy plochou příslušného sférického lichoběžníka. 24

26 3. KRITÉRIA PRO HODNOCENÍ ZOBRAZENÍ I = h 2 cos U du dv. (3.3) Složitý vztah (3.3) je nahrazován přibližným. Váhy - p i jsou pro i tý uzlový bod z celkového počtu - n dány p i = cos U i.globální vážené kritérium je poté dáno pomocí váženého průměru I = ni=1 p i h 2 i ni=1 p i. (3.4) Vážená varianta eliminuje extrémní hodnoty lokálních kritérií v pólových oblastech, oproti tomu nevážená varianta je ovlivněna hodnotami bodů v blízkosti pólů. Nevážená varianta v přibližném vztahu je dána aritmetickým průměrem I = 1 n n i=1 h2 i. (3.5) Globální kritéria (3.4) a (3.5), která využívají lokálních kritérií Airyho a komplexního, jsou užity v páté kapitole této bakalářské práce při hodnocení vybraných vyrovnávacích zobrazení pro mapu světa. Zdroje pro tuto kapitolu jsou [3] a [6]. 25

27 4. VYBRANÁ VYROVNÁVACÍ ZOBRAZENÍ 4 Vybraná vyrovnávací zobrazení Pro zhodnocení zobrazení byla vybrána zobrazení Gallovo, Millerovo, Robinsonovo, Eckertovo III., Eckertovo V. a Winkelovo III. zobrazení. U všech vybraných zobrazení je obraz geografické sítě symetrický vzhledem k rovníku (tj. rovnoběžka o zeměpisné šířce 0 ) a k základnímu poledníku (tj. poledník o zeměpisné délce 0 ), póly se zobrazují jako úsečky. 4.1 Zařazení vybraných zobrazení Vybraná zobrazení jsou podle vlastností kartografických zkreslení ze skupiny vyrovnávacích zobrazení. Podle vzhledu zobrazovací plochy jsou ze skupin jednoduchých a nepravých zobrazení Jednoduchá zobrazení (a) (b) (c) Zdroj: [8, str.26] Obr. 4.1: Jednoduché zobrazení a) válcové, b) kuželové, c) azimutální Do této třídy patří jednoduchá zobrazení válcová, kuželová a azimutální. Při jednoduchém azimutálním zobrazení se zobrazuje přímo na rovinu, u jednoduchého 26

Geodézie a pozemková evidence

Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.2 - Kartografická zobrazení, souřadnicové soustavy Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Více

Matematické metody v kartografii. Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.)

Matematické metody v kartografii. Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.) Matematické metody v kartografii Členění kartografických zobrazení. Zobrazení z elipsoidu na kouli (5.) 1. Členění kartografických zobrazení: Existuje velkémnožstvíkarografických zobrazení. Lze je členit

Více

Matematické metody v kartografii. Volba a identifikace zobrazení. Zobrazení použitá v ČR. Kritéria pro hodnocení kartografických zobrazení(13)

Matematické metody v kartografii. Volba a identifikace zobrazení. Zobrazení použitá v ČR. Kritéria pro hodnocení kartografických zobrazení(13) Matematické metody v kartografii Volba a identifikace zobrazení. Zobrazení použitá v ČR. Kritéria pro hodnocení kartografických zobrazení(3) Volba kartografického zobrazení Parametry ovlivňující volbu

Více

Základy kartografie. RNDr. Petra Surynková, Ph.D.

Základy kartografie. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta RNDr., Ph.D. petra.surynkova@mff.cuni.cz www.surynkova.info Kartografie Vědní obor zabývající se znázorněním zemského povrchu a nebeských těles

Více

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice Kartografie přednáška 5 Referenční plochy souřadnicových soustav slouží k lokalizaci bodů, objektů

Více

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Seminář z geoinformatiky Úvod do geodézie Seminář z geo oinform matiky Přednášející: Ing. M. Čábelka cabelka@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze Úvod do geodézie

Více

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015 Kartografie 1 - přednáška 8 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Nepravá zobrazení zachovávají některé charakteristiky jednoduchých zobrazení (tvar rovnoběžek) některé

Více

4. Matematická kartografie

4. Matematická kartografie 4. Země má nepravidelný tvar, který je dán půsoením mnoha sil, zejména gravitační a odstředivé (vzhledem k rotaci Země). Odstředivá síla způsouje, že tvar Země je zploštělý, tj. zemský rovník je dále od

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Matematické metody v kartografii. Kruhová zobrazení. Polyedrická a neklasifikovaná zobrazení (12)

Matematické metody v kartografii. Kruhová zobrazení. Polyedrická a neklasifikovaná zobrazení (12) Matematické metody v kartografii Kruhová zobrazení. Polyedrická a neklasifikovaná zobrazení (12) Kruhová zobrazení Společné vlastnosti: Síť poledníků/rovnoběžek tvořena pouze kruhovými oblouky Středy rovnoběžkových

Více

Geodézie pro architekty. Úvod do geodézie

Geodézie pro architekty. Úvod do geodézie Geodézie pro architekty Úvod do geodézie Geodézie pro architekty Ing. Tomáš Křemen, Ph.D. B905 http://k154.fsv.cvut.cz/~kremen/ tomas.kremen@fsv.cvut.cz Doporučená literatura: Hánek, P. a kol.: Stavební

Více

APROXIMACE KŘOVÁKOVA ZOBRAZENÍ PRO GEOGRAFICKÉ ÚČELY

APROXIMACE KŘOVÁKOVA ZOBRAZENÍ PRO GEOGRAFICKÉ ÚČELY APROXIMACE KŘOVÁKOVA ZOBRAZENÍ PRO GEOGRAFICKÉ ÚČELY Radek Dušek, Jan Mach Katedra fyzické geografie a geoekologie, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita, Ostrava Gymnázium Omská, Praha Abstrakt

Více

Úvod do předmětu geodézie

Úvod do předmětu geodézie 1/1 Úvod do předmětu geodézie Ing. Hana Staňková, Ph.D. IGDM, HGF, VŠB-TU Ostrava hana.stankova@vsb.cz A911, 5269 1 Geodézie 1/2 vědní obor o měření části zemského povrchu, o určování vzájemných vztahů

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Transformace dat mezi různými datovými zdroji

Transformace dat mezi různými datovými zdroji Transformace dat mezi různými datovými zdroji Zpracovali: Datum prezentace: BUČKOVÁ Dagmar, BUC061 MINÁŘ Lukáš, MIN075 09. 04. 2008 Obsah Základní pojmy Souřadnicové systémy Co to jsou transformace Transformace

Více

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL KARTOGRAFICKÁ ZKRESLENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Matematická kartografie

Více

Základy kartografie, topografické plochy

Základy kartografie, topografické plochy Základy kartografie, topografické plochy morava@karlin.mff.cuni.cz Katedra didaktiky matematiky MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele, 3. ledna 2012 Základní pojmy Kartografie věda zabývající se

Více

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů:

Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY Pro mapování na našem území bylo použito následujících souřadnicových systémů: 1. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY STABILNÍHO KATASTRU V první polovině 19. století bylo na našem území mapováno

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

GIS Geografické informační systémy. Daniela Ďuráková, Jan Gaura Katedra informatiky, FEI

GIS Geografické informační systémy. Daniela Ďuráková, Jan Gaura Katedra informatiky, FEI GIS Geografické informační systémy Daniela Ďuráková, Jan Gaura Katedra informatiky, FEI jan.gaura@vsb.cz http://mrl.cs.vsb.cz/people/gaura Kartografie Stojí na pomezí geografie a geodezie. Poskytuje vizualizaci

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku 4 ZÁKLADY SFÉRICKÉ ASTRONOMIE K posouzení proslunění budovy nebo oslunění pozemku je vždy nutné stanovit polohu slunce na obloze. K tomu slouží vztahy sférické astronomie slunce. Pro sledování změn slunečního

Více

System Projection Aplikace pro souřadnicové přepočty a základní geodetické úlohy (Uživatelský manuál) Jan Ježek, Radek Sklenička červen 2004

System Projection Aplikace pro souřadnicové přepočty a základní geodetické úlohy (Uživatelský manuál) Jan Ježek, Radek Sklenička červen 2004 System Projection Aplikace pro souřadnicové přepočty a základní geodetické úlohy (Uživatelský manuál) Jan Ježek, Radek Sklenička červen 2004 1 Obsah Úvod 3 1 Základní ovládání 4 1.1 Výběr zobrazení a jeho

Více

Kartografie - úvod, historie a rozdělení Matematická kartografie Kartografická zobrazení

Kartografie - úvod, historie a rozdělení Matematická kartografie Kartografická zobrazení Kartografie - úvod, historie a rozdělení Matematická kartografie Kartografická zobrazení Kartografie přednáška 1 Kartografie obor zabývající se zobrazováním zakřivené části Zemského povrchu do rovinné

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 4/003 Průběh geoidu z altimetrických měření

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 2 2/6 Transformace souřadnic z ETRF2000 do

Více

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56

Topografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Topografické plochy KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Obsah 1 Úvod 2 Křivky a body na topografické ploše 3 Řez topografické plochy rovinou 4 Příčný a podélný profil KG - L (MENDELU)

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

GIS a pozemkové úpravy. Data pro využití území (DPZ)

GIS a pozemkové úpravy. Data pro využití území (DPZ) GIS a pozemkové úpravy Data pro využití území (DPZ) Josef Krása Katedra hydromeliorací a krajinného inženýrství, Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Papírová mapa Nevymizela v době GIS systémů (Stále základní

Více

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY

GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY GEOGRAFICKÁ SLUŽBA ARMÁDY ČESKÉ REPUBLIKY VOJENSKÝ GEOGRAFICKÝ A HYDROMETEOROLOGICKÝ ÚŘAD Popis a zásady používání světového geodetického referenčního systému 1984 v AČR POPIS A ZÁSADY POUŽÍVÁNÍ V AČR

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL 5 NEPRAVÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Matematická kartografie Modul

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Fyzikální geodézie 2/7 Gravitační potenciál a jeho derivace

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek.

Celkem existuje asi 300 zobrazení, používá se jen několik desítek. ÁKLADY KARTOGRAFIE RO SŠ KARTOGRAFICKÉ OBRAENÍ Kartografické zobrazení je způsob, který každému bodu na referenčním elipsoidu resp. referenční kouli přiřazuje body v rovině. Určení věrných obrazů bodů

Více

Zeměpisné souřadnice Zeměpisná šířka rovnoběžce poledníky Zeměpisná délka

Zeměpisné souřadnice Zeměpisná šířka rovnoběžce poledníky Zeměpisná délka Zeměpisné souřadnice Pro určení polohy na zemském povrchu používáme souřadnicovou soustavu. Počátek souřadnic leží ve středu Země S. Rovina proložená středem Země kolmo na osu otáčení je rovina rovníku

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766 Klíčová aktivita: V/2

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766 Klíčová aktivita: V/2 Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec CZ.1.07/1.5.00/34.0766 Klíčová aktivita: V/2 Číslo dokumentu: VY_52_INOVACE_ZE.S4.04 Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka Název

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy SRS (Spatial reference system) CRS (Coordinate Reference system) Kapitola 1: Základní pojmy Základní prostorové pojmy Geografický prostor Prostorové vztahy (geometrie,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Kartografické projekce

Kartografické projekce GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 2/3 GPS - Výpočet drah družic školní rok

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Téma / kapitola ZŠ Dělnická žáky 6. a 7. ročníků

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Téma: Geografické a kartografické základy map

Téma: Geografické a kartografické základy map Topografická příprava Téma: Geografické a kartografické základy map Osnova : 1. Topografické mapy, měřítko mapy 2. Mapové značky 3. Souřadnicové systémy 2 3 1. Topografické mapy, měřítko mapy Topografická

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

2. Zeměpisná síť Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2. Zeměpisná síť Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Planeta Země 2. Zeměpisná síť Planeta Země ZEMĚPISNÁ SÍŤ Autor: Mgr. Irena Doležalová Datum (období) tvorby: únor 2012 červen 2013 Ročník: šestý Vzdělávací oblast: zeměpis Anotace: Žáci se seznámí se základními

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Úlohy nad rastrovými daty Daniela

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse ÚTFA,Přírodovědecká fakulta MU, Brno, CZ březen 2005 březnového tématu Březnové téma je věnováno klasické sférické astronomii. Úkol se skládá z měření, výpočtu a porovnání výsledků získaných v obou částech.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE

TECHNICKÁ DOKUMENTACE TECHNICKÁ DOKUMENTACE Jan Petřík 2013 Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace didaktických metod a inovace výuky technických předmětů. Obsah přednášek 1. Úvod do problematiky tvorby technické dokumentace

Více

DRUHY VÝŠEK A JEJICH TEORETICKÝ PRINCIP. Hynčicová Tereza, H2IGE1 2014

DRUHY VÝŠEK A JEJICH TEORETICKÝ PRINCIP. Hynčicová Tereza, H2IGE1 2014 DRUHY VÝŠEK A JEJICH TEORETICKÝ PRINCIP Hynčicová Tereza, H2IGE1 2014 ÚVOD o Pro určení výšky bodu na zemském povrchu je nutné definovat vztažnou (nulovou) plochu a jeho výškovou polohu nad touto plochou

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Kosmická geodézie 1/99 Výpočet zeměpisné šířky z měřených

Více

Nová topografická mapování období 1952 až 1968

Nová topografická mapování období 1952 až 1968 Nová topografická mapování období 1952 až 1968 Miroslav Mikšovský 1. Topografické mapování v měřítku 1:25 000 V souladu s usnesením vlády ČSR č.35/1953 Sb. bylo v roce 1952 zahájeno nové topografické mapování

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více