6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty"

Ladislav Doležal
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici tvaru ay + a1y + ay = f ( ) de a a 1 a jsou onstanty a funce f ( ) je spojitá v jistém intervalu I Je-li f ( ) = mluvíme o zrácené lineární diferenciální rovnici druhého řádu s onstantními oeficienty 63 Řešení zrácené LDR II řádu s onstantními oeficienty Dá se doázat že partiulární řešení zrácené lineární rovnice a y + a y + a y = má tvar 1 y = e de je reálné nebo omplení číslo Tato funce a její derivace y = e y = musí danou rovnici splňovat a e + a1e + ae = a + a1 + a = Číslo teré určuje partiulární řešení je ořen zísané rovnice Definice Algebraicou rovnici a diferenciální rovnice Věta e + a + a = nazýváme charateristicou rovnicí zrácené lineární 1 Nechť zrácená lineární diferenciální rovnice ay + a1y + ay = má charateristicou rovnici a + a1 + a = jejíž ořeny jsou 1 Pa obecné řešení diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 1 a 1 a) y = C e + C e jestliže jsou reálné různé ořeny 1 b) y = C e + C e jestliže = = je dvojnásobný ořen 1 c) y = e ( C1cosb+ C sin b) jestliže 1 jsou ompleně sdružená čísla 1 = a± ib Přílad 13: Určete obecné řešení diferenciální rovnice y 5y + 6y = Řešení: Charateristicá rovnice 5 + 6= má dva reálné různé ořeny = = 3 Proto obecné řešení dané rovnice má tvar 1 e e y = C + C

oeficienty 63 Řešení zrácené LDR II řádu s onstantními oeficienty Dá se doázat že partiulární řešení zrácené lineární rovnice a y + a y + a y = má tvar 1 y = e de je reálné nebo omplení číslo Tato

2 Zálady matematiy pro baaláře II Přílad 14: Řešte rovnici y 4y + 4y = Řešení: Charateristicá rovnice 1 y = C e + C e 4 + 4= má dvojnásobný ořen = Obecné řešení je Přílad 15: Řešte rovnici y + y + 5y = Řešení: Charateristicá rovnice + + 5= Obecné řešení rovnice má tvar y = e ( C cos+ C sin ) 1 má ompleně sdružené ořeny 1 = 1± i 63 Řešení úplné lineární diferenciální rovnice II řádu Řešíme rovnici ay + a1y + ay = f ( ) K dané rovnici přiřadíme její zrácenou a určíme řešení teré označíme y Podle tvaru funce f ( ) na pravé straně rovnice můžeme u něterých speciálních případů určit tvar partiulárního řešení ( ) nezrácené rovnice Věta Obecné řešení rovnice ay + ay 1 + ay = f( ) lze psát ve tvaru y = y + y de y je řešení zrácené rovnice a y ( ) je nějaé partiulární řešení úplné rovnice Tvar partiulárního řešení ( ) závisí nejen na funci f ( ) ale i na ořenech charateristicé p rovnice Speciální tvar pravé strany je f ( ) = e ( Pn( )cos q + Qm( )sin q) de Pn( ) Qm( ) jsou polynomy n-tého a m-tého stupně Partiulární řešení má tvar r p y = e ( As ( )cos q + Bs ( )sin q) de As ( ) Bs ( )jsou polynomy s-tého stupně číslo s je větší z čísel m n a r je násobnost ořene 1 = p± qi ( r = 1 ) Nás budou převážně zajímat jednodušší speciální případy: I Funce f ( ) = P( ) je polynom n-tého stupně a) Číslo p = není ořenem charateristicé rovnice pa partiulární řešení je y = Q( ) b) Je-li číslo p = r-násobným ( r = 1 ) ořenem charateristicé rovnice ( r = 1 ) pa partiulární řešení je = Q( ) r n n 1 n V obou případech je funce Q ( ) = A + B + C + polynom n-tého stupně Koeficienty A B C vypočteme po dosazení partiulárního řešení ŷ a jeho derivací y do dané rovnice a porovnáním oeficientů u mocnin II Funce f ( ) = e m p de m p jsou onstanty a) Není-li číslo p ořenem charateristicé rovnice pa partiulární řešení má tvar = Ae b) Je-li číslo p ořenem charateristicé rovnice s násobností r = 1 pa partiulární řešení má r p tvar = A e Konstantu A v obou případech vypočteme po dosazení funcí y do dané rovnice p

ay + a1y + ay = f ( ) K dané rovnici přiřadíme její zrácenou a určíme řešení teré označíme y Podle tvaru funce f ( ) na pravé straně rovnice můžeme u něterých speciálních případů určit tvar

3 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ III Funce f ( ) = mcosq+ nsinq de m n q jsou onstanty a) Není-li číslo qi omplením ořenem charateristicé rovnice pa = Acos q + B sin q b) Je-li číslo qi omplením ořenem charateristicé rovnice pa y = ( Acos q + Bsin q) Po vypočtení neznámých onstant A B v jednotlivých případech máme určeno partiulární řešení ( ) a obecné řešení napíšeme ve tvaru y = y + de y je řešení zrácené diferenciální rovnice Přílad 16: Řešte rovnici y + 4y + 5y + 5 Řešení: Zrácená rovnice je y + 4y + 5y = charateristicá rovnice je = a její ořeny = ± i Řešení zrácené rovnice je 1 y = e ( C1cos+ C sin) Charateristicá rovnice nemá nulový ořen proto partiulární řešení má tvar = A + B + C = A + B = A Dosazením funce ŷ a jejích derivací do dané úplné rovnice dostaneme rovnost dvou polynomů A+ 8A+ 4B + 5A + 5B + 5C + 5 Porovnáním oeficientů u stejných mocnin dostaneme rovnice 5A 8A+ 5B = 3 A+ 4B+ 5C Odtud určíme A= 1 B = 8 C = 7 Partiulární řešení je y = Obecné řešení dané diferenciální rovnice je y = e ( C1cos+ C sin ) Přílad 17: Vyřešte rovnici y y = + 3 Řešení: Zrácená rovnice: y y = charateristicá rovnice: = ( 1) = = = 1 1 Řešení zrácené rovnice: y = C1 + C e Číslo p = je jednoduchý ořen charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar y = ( A + B + C) 3 y = A + B + C = 3A + B + C = 6A + B Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: 6A + B 3A B C =

řešení zrácené diferenciální rovnice Přílad 16: Řešte rovnici y + 4y + 5y + 5 Řešení: Zrácená rovnice je y + 4y + 5y = charateristicá rovnice je + 4 + 5= a její ořeny = ± i Řešení zrácené rovnice je

4 Zálady matematiy pro baaláře II 3A = 3 6A B = B C = 3 A = 1 B = 4 C Partiulární řešení: = Obecné řešení: y = C1 + C e Přílad 18: Řešte rovnici y y = 6e Řešení: Zrácená rovnice: y y = charateristicá rovnice: = ( ) = = = 1 Řešení zrácené rovnice: y = C + C e 1 Číslo p = 3 není ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: 9Ae 6Ae = 6e Rovnici zrátíme e : 3A = 6 A = Partiulární řešení: = e 1 e e Obecné řešení: y = C + C + = Ae y = 3Ae y = 9Ae Přílad 19: Řešte rovnici + + = y 4y 4y e Řešení: Zrácená rovnice: y + 4y + 4y = Charateristicá rovnice: = 1 = Řešení zrácené rovnice: y = C1e + C e Číslo p = je dvojnásobným ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = A e y = A e A e = e (A A ) y = e (A A ) + e (A 4A) = e Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: (4A 8A + A) e ( 4A 8A + A) + e ( 8A + 8A) + 4A e = e Rovnici zrátíme e a určíme A = 1 Partiulární řešení: e = 1 Obecné řešení: y C 1 = 1 e + C e + e

9Ae 6Ae = 6e Rovnici zrátíme e : 3A = 6 A = Partiulární řešení: = e 1 e e Obecné řešení: y = C + C + = Ae y = 3Ae y = 9Ae Přílad 19: Řešte rovnici + + = y 4y 4y e Řešení: Zrácená rovnice: y + 4y + 4y

5 Přílad : Řešte rovnici y 3y + y sin Řešení: Zrácená rovnice: y 3y + y = = 1e + Charateristicá rovnice: 3 + = = 1 = 1 Řešení y C C e Číslo q = i není ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = Asin + B cos = Acos Bsin = 4Asin 4B cos 4Asin 4B cos 6Acos + 6B sin + Asin + B cos sin Porovnáme oeficienty teré jsou u funce sin a u funce cos: 4A+ 6B+ A 4B 6A+ B = A+ 6B 6A B = A A = B = Partiulární řešení: = sin + cos Obecné řešení: y C = 1e + C e sin+ cos Přílad 1: Vyřešte rovnici y + y = 4sin Řešení: Zrácená rovnice: y + y = Charateristicá rovnice: + 1= = ± i 1 Řešení y = C1cos + C sin Číslo q = i je ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = ( Asin + B cos ) = Asin + B cos + ( Acos Bsin ) = Acos Bsin + Acos Bsin + ( Asin B cos ) Acos B sin A sin B cos + A sin + B cos = 4sin Porovnáme oeficienty teré jsou u funce sin a u funce cos : A = B = Partiulární řešení: = cos Obecné řešení: y = C cos + C sin cos 1 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ

= B = Partiulární řešení: = sin + cos Obecné řešení: y C = 1e + C e sin+ cos Přílad 1: Vyřešte rovnici y + y = 4sin Řešení: Zrácená rovnice: y + y = Charateristicá rovnice: + 1= = ± i 1 Řešení y =

Podobné dokumenty

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití