6.3. Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty
|
|
- Ladislav Doležal
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ 63 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s onstantními oeficienty 631 Definice Definice Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s onstantními oeficienty nazýváme rovnici tvaru ay + a1y + ay = f ( ) de a a 1 a jsou onstanty a funce f ( ) je spojitá v jistém intervalu I Je-li f ( ) = mluvíme o zrácené lineární diferenciální rovnici druhého řádu s onstantními oeficienty 63 Řešení zrácené LDR II řádu s onstantními oeficienty Dá se doázat že partiulární řešení zrácené lineární rovnice a y + a y + a y = má tvar 1 y = e de je reálné nebo omplení číslo Tato funce a její derivace y = e y = musí danou rovnici splňovat a e + a1e + ae = a + a1 + a = Číslo teré určuje partiulární řešení je ořen zísané rovnice Definice Algebraicou rovnici a diferenciální rovnice Věta e + a + a = nazýváme charateristicou rovnicí zrácené lineární 1 Nechť zrácená lineární diferenciální rovnice ay + a1y + ay = má charateristicou rovnici a + a1 + a = jejíž ořeny jsou 1 Pa obecné řešení diferenciální rovnice je ve tvaru: 1 1 a 1 a) y = C e + C e jestliže jsou reálné různé ořeny 1 b) y = C e + C e jestliže = = je dvojnásobný ořen 1 c) y = e ( C1cosb+ C sin b) jestliže 1 jsou ompleně sdružená čísla 1 = a± ib Přílad 13: Určete obecné řešení diferenciální rovnice y 5y + 6y = Řešení: Charateristicá rovnice 5 + 6= má dva reálné různé ořeny = = 3 Proto obecné řešení dané rovnice má tvar 1 e e y = C + C
2 Zálady matematiy pro baaláře II Přílad 14: Řešte rovnici y 4y + 4y = Řešení: Charateristicá rovnice 1 y = C e + C e 4 + 4= má dvojnásobný ořen = Obecné řešení je Přílad 15: Řešte rovnici y + y + 5y = Řešení: Charateristicá rovnice + + 5= Obecné řešení rovnice má tvar y = e ( C cos+ C sin ) 1 má ompleně sdružené ořeny 1 = 1± i 63 Řešení úplné lineární diferenciální rovnice II řádu Řešíme rovnici ay + a1y + ay = f ( ) K dané rovnici přiřadíme její zrácenou a určíme řešení teré označíme y Podle tvaru funce f ( ) na pravé straně rovnice můžeme u něterých speciálních případů určit tvar partiulárního řešení ( ) nezrácené rovnice Věta Obecné řešení rovnice ay + ay 1 + ay = f( ) lze psát ve tvaru y = y + y de y je řešení zrácené rovnice a y ( ) je nějaé partiulární řešení úplné rovnice Tvar partiulárního řešení ( ) závisí nejen na funci f ( ) ale i na ořenech charateristicé p rovnice Speciální tvar pravé strany je f ( ) = e ( Pn( )cos q + Qm( )sin q) de Pn( ) Qm( ) jsou polynomy n-tého a m-tého stupně Partiulární řešení má tvar r p y = e ( As ( )cos q + Bs ( )sin q) de As ( ) Bs ( )jsou polynomy s-tého stupně číslo s je větší z čísel m n a r je násobnost ořene 1 = p± qi ( r = 1 ) Nás budou převážně zajímat jednodušší speciální případy: I Funce f ( ) = P( ) je polynom n-tého stupně a) Číslo p = není ořenem charateristicé rovnice pa partiulární řešení je y = Q( ) b) Je-li číslo p = r-násobným ( r = 1 ) ořenem charateristicé rovnice ( r = 1 ) pa partiulární řešení je = Q( ) r n n 1 n V obou případech je funce Q ( ) = A + B + C + polynom n-tého stupně Koeficienty A B C vypočteme po dosazení partiulárního řešení ŷ a jeho derivací y do dané rovnice a porovnáním oeficientů u mocnin II Funce f ( ) = e m p de m p jsou onstanty a) Není-li číslo p ořenem charateristicé rovnice pa partiulární řešení má tvar = Ae b) Je-li číslo p ořenem charateristicé rovnice s násobností r = 1 pa partiulární řešení má r p tvar = A e Konstantu A v obou případech vypočteme po dosazení funcí y do dané rovnice p
3 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ III Funce f ( ) = mcosq+ nsinq de m n q jsou onstanty a) Není-li číslo qi omplením ořenem charateristicé rovnice pa = Acos q + B sin q b) Je-li číslo qi omplením ořenem charateristicé rovnice pa y = ( Acos q + Bsin q) Po vypočtení neznámých onstant A B v jednotlivých případech máme určeno partiulární řešení ( ) a obecné řešení napíšeme ve tvaru y = y + de y je řešení zrácené diferenciální rovnice Přílad 16: Řešte rovnici y + 4y + 5y + 5 Řešení: Zrácená rovnice je y + 4y + 5y = charateristicá rovnice je = a její ořeny = ± i Řešení zrácené rovnice je 1 y = e ( C1cos+ C sin) Charateristicá rovnice nemá nulový ořen proto partiulární řešení má tvar = A + B + C = A + B = A Dosazením funce ŷ a jejích derivací do dané úplné rovnice dostaneme rovnost dvou polynomů A+ 8A+ 4B + 5A + 5B + 5C + 5 Porovnáním oeficientů u stejných mocnin dostaneme rovnice 5A 8A+ 5B = 3 A+ 4B+ 5C Odtud určíme A= 1 B = 8 C = 7 Partiulární řešení je y = Obecné řešení dané diferenciální rovnice je y = e ( C1cos+ C sin ) Přílad 17: Vyřešte rovnici y y = + 3 Řešení: Zrácená rovnice: y y = charateristicá rovnice: = ( 1) = = = 1 1 Řešení zrácené rovnice: y = C1 + C e Číslo p = je jednoduchý ořen charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar y = ( A + B + C) 3 y = A + B + C = 3A + B + C = 6A + B Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: 6A + B 3A B C =
4 Zálady matematiy pro baaláře II 3A = 3 6A B = B C = 3 A = 1 B = 4 C Partiulární řešení: = Obecné řešení: y = C1 + C e Přílad 18: Řešte rovnici y y = 6e Řešení: Zrácená rovnice: y y = charateristicá rovnice: = ( ) = = = 1 Řešení zrácené rovnice: y = C + C e 1 Číslo p = 3 není ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: 9Ae 6Ae = 6e Rovnici zrátíme e : 3A = 6 A = Partiulární řešení: = e 1 e e Obecné řešení: y = C + C + = Ae y = 3Ae y = 9Ae Přílad 19: Řešte rovnici + + = y 4y 4y e Řešení: Zrácená rovnice: y + 4y + 4y = Charateristicá rovnice: = 1 = Řešení zrácené rovnice: y = C1e + C e Číslo p = je dvojnásobným ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = A e y = A e A e = e (A A ) y = e (A A ) + e (A 4A) = e Dosadíme do zadání a určíme oeficienty: (4A 8A + A) e ( 4A 8A + A) + e ( 8A + 8A) + 4A e = e Rovnici zrátíme e a určíme A = 1 Partiulární řešení: e = 1 Obecné řešení: y C 1 = 1 e + C e + e
5 Přílad : Řešte rovnici y 3y + y sin Řešení: Zrácená rovnice: y 3y + y = = 1e + Charateristicá rovnice: 3 + = = 1 = 1 Řešení y C C e Číslo q = i není ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = Asin + B cos = Acos Bsin = 4Asin 4B cos 4Asin 4B cos 6Acos + 6B sin + Asin + B cos sin Porovnáme oeficienty teré jsou u funce sin a u funce cos: 4A+ 6B+ A 4B 6A+ B = A+ 6B 6A B = A A = B = Partiulární řešení: = sin + cos Obecné řešení: y C = 1e + C e sin+ cos Přílad 1: Vyřešte rovnici y + y = 4sin Řešení: Zrácená rovnice: y + y = Charateristicá rovnice: + 1= = ± i 1 Řešení y = C1cos + C sin Číslo q = i je ořenem charateristicé rovnice proto partiulární řešení má tvar = ( Asin + B cos ) = Asin + B cos + ( Acos Bsin ) = Acos Bsin + Acos Bsin + ( Asin B cos ) Acos B sin A sin B cos + A sin + B cos = 4sin Porovnáme oeficienty teré jsou u funce sin a u funce cos : A = B = Partiulární řešení: = cos Obecné řešení: y = C cos + C sin cos 1 H VRBENSKÁ J BĚLOHLÁVKOVÁ
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
Více7.3. Diferenciální rovnice II. řádu
Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceMetoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka
Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný
VíceDiamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VícePOČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD
Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD Mathcad návody do cvičení Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Ostrava 2011 Tyto studijní
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceMoravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování Ročník 2. Datum
VíceŘešení: 20. ročník, 2. série
Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme
Více2.8 Zobecnění vztahů mezi zatížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovině) df x =f x.ds df z =f z.ds. M+dM x. ds=r.dϕ.
.8 Zobecnění vtahů mei atížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut atížený v rovině) µ x N V M dm µ df df x =R. MdM x NdN VdV Náhradní břemena: df x = x. df =. dm µ =µ. Obecný rovinný prut: spojité
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceSBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE Josef MAŠEK Plzeň 993 3 P ř e d m l u v a K úspěšnému studiu této sbírky úloh
VíceMĚŘENÍ IMPEDANCE. Ing. Leoš Koupý 2012
MĚŘENÍ IMPEDANCE PORUCHOVÉ SMYČKY Ing. Leoš Koupý 2012 Impedance poruchové smyčky Význam impedance poruchové smyčky v systému ochrany samočinným odpojením od zdroje Princip měření impedance poruchové smyčky
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
Více6 Extrémy funkcí dvou proměnných
Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....
VíceNÁVOD NA POUŽITÍ INSTAT 8
NÁVOD NA POUŽITÍ INSTAT 8 OBSAH: I II III Diagram teplota-čas Tabulka časových pásem Ovládací prvky-zobrazení 1 Ovládání přístroje 1.1 Ručně C 1.2 Týdenní program. A 1.3 Denní program. B 1.4 Party..D 1.5
VíceCVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,
Více( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty
Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,
Více48. Pro RC oscilátor na obrázku určete hodnotu R tak, aby kmitočet oscilací byl 200Hz
1. Který ideální obvodový prvek lze použít jako základ modelu napěťového zesilovače? 2. Jaké obvodové prvky tvoří reprezentaci nesetrvačných vlastností reálného zesilovače? 3. Jak lze uspořádat sčítací
Více1 Předmět úpravy Tato vyhláška zapracovává příslušné předpisy Evropské unie 1 ) a stanoví:
Částka 72 Sbírka zákonů č. 207 / 2012 Strana 2893 207 VYHLÁŠKA ze dne 6. června 2012 o profesionálních zařízeních pro aplikaci přípravků a o změně vyhlášky č. 384/2011 Sb., o technických zařízeních a o
VíceSTŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ PŘEDEPISOVÁNÍ PŘESNOSTI ROZMĚRŮ,
Vícea n (z z 0 ) n, z C, (1) n=0
Mocniné řady Nechť 0, a 0, a, a 2,... jsou konečná komplexní čísla. Pak řadu funkcí a n ( 0 ) n, C, () naýváme mocninou řadou. Číslo 0 koeficienty mocniné řady. Onačme dále: se naývá střed mocniné řady,
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
VíceDifrakce na mřížce. Úkoly měření: Použité přístroje a pomůcky: Základní pojmy, teoretický úvod: Úloha č. 7
Úloha č. 7 Difrakce na mřížce Úkoly měření: 1. Prostudujte difrakci na mřížce, štěrbině a dvojštěrbině. 2. Na základě měření určete: a) Vzdálenost štěrbin u zvolených mřížek. b) Změřte a vypočítejte úhlovou
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava
VíceZákladní zapojení operačních zesilovačů
ákladní zapojení operačních zesilovačů ) Navrhněte a zapojte stejnosměrný zesilovač s operačním zesilovačem v invertjícím zapojení se zadanými parametry. ) Navrhněte a zapojte stejnosměrný zesilovač s
Vícena tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:
Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace
VíceIzolační odpor (R izo ) galvanicky neoddělených FV systémů
Izolační odpor (R izo ) galvanicky neoddělených FV systémů se zařízením SUNNY MINI CENTRAL 9000TL/10000TL/11000TL Obsah FV systémy s beztransformátorovými střídači nejsou v režimu napájení galvanicky odpojeny
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo
VíceMatematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net. kategorie Benjamín
Matematický KLOKAN 2009 www.matematickyklokan.net kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Hodnota kterého výrazu je sudé číslo? (A) 200 + 9 (B) 200 9 (C) 200 9 (D) 2 + 0 + 0 + 9 (E) 2 0 + 0 + 9 2. Kolik
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceZapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III
- 1 - Zapojení horního spína e pro dlouhé doby sepnutí III (c) Ing. Ladislav Kopecký, srpen 2015 V p edchozí ásti tohoto lánku jsme dosp li k zapojení horního spína e se dv ma transformátory, které najdete
VíceVýzva k podání nabídek do výběrového řízení Zadávací dokumentace
Výzva k podání nabídek do výběrového řízení Zadávací dokumentace Identifikační údaje zadavatele Název zadavatele: EDUKOL vzdělávací a poradenské sdružení s.r.o. Sídlo: 17. listopadu 43, 772 00 IČ: 268
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
VíceŘešené příklady z OPTIKY II
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Řešené příklady z OPTIKY II V následujícím článku uvádíme několik vybraných příkladů z tématu Optika i s uvedením
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceJak prochází světlo soustavou částečně propustných zrcadel?
Jak rochází světlo soustavou částečně roustných zrcadel? Když světlo rochází oloroustným zrcadlem, olovina světla rojde a olovina se odrazí. Co se však stane, když takových zrcadel máme víc za sebou a
VíceMgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,
VíceElektromagnetický oscilátor
125 Pomůcky: Sytém ISES, moduly: ampérmetr, capacity-meter, kondenzátor na detičce, dvě cívky na uzavřeném jádře, zdroj elektrického napětí (např. PS 302A), ada rezitorů, přepínač, 7 pojovacích vodičů,
Více4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle
VíceČást 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn
Více1.2.7 Druhá odmocnina
..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž
Více7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná
VíceMatematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace
VíceMetodický list č. 10
Metodický list č. 10 Postupy při odvolání dle zákona č. 280/2009 Sb., daňový řád Obsah Obsah... 1 1. Základní pojmy... 2 2. Odvolání a jeho náležitosti... 3 3. Autoremedura... 4 4. Postoupení odvolání...
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více22 Cdo 2694/2015 ze dne 25.08.2015. Výběr NS 4840/2015
22 Cdo 2694/2015 ze dne 25.08.2015 Výběr NS 4840/2015 22 Cdo 209/2012 ze dne 04.07.2013 C 12684 Bezúplatné nabytí členského podílu v bytovém družstvu jedním z manželů od jeho rodičů nepředstavuje investici
Víceúř ř Á Ř Í É Á Í é ď ž é Í ř ďé ř ů é ý ř ů ů Íé ý ý ú Í éý ý ů ď ý ý ř é ú ž ř ř ň é ý ň é ý ř ř ř ř ř ř ř é Ž ó é é ř é ů ž ů ž ú Á Ú Ú É ť Ť Ř ÁÉ Ť ň Ý úř Ú Ťř ó ú ú ž ř ý ý Á ú ý ř úť Ě Ě Ť Ť Ý ŘÁ
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Více(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)
Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )
VícePříloha Průběžné zprávy. Shrnutí návrhu algoritmu
Příloha Průběžné zprávy Shrnutí návrhu algoritmu Obsah 1. Zadání a definice 2. Předpoklady použitíalgoritmu 3. Ocenění lesní půdy Ocenění zemědělské půdy Oceněníbudov a zastavěných ploch Ocenění vodních
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceMatematika II Aplikace derivací
Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce.
VíceP OSTUP V PŘÍPAD Ě I N S OLV E N C E
Vypracoval/a: Lenka Midlochová Vydáno dne: 4.12.2014 Předmět stanoviska: Insolvence Datum schválení předsednictvem TA ČR: 4.12.2014 Pořadí zasedání předsednictva TA ČR: 235. S TAN OVISKO TECHNOLOGICKÉ
Více1. a) Přirozená čísla
jednotky desítky stovky tisíce desetitisíce statisíce miliony 1. a) Přirozená čísla Přirozená čísla jsou nejčastějšími čísly, se kterými se setkáváme v běžném životě. Jejich pomocí zapisujeme počet věcí
VíceFinanční matematika pro každého
Novinky nakladatelství GRADA Publishing Investice do akcií běh na dlouhou trat JEME AVU PŘIPR Jeremy Siegel výnosy finančních aktiv za posledních 2 let úspěšnost finančních strategií faktory ovlivňující
VícePříklad 1.3: Mocnina matice
Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních
VíceVlastnosti IIR filtrů:
IIR filtry Vlastnosti IIR filtrů: Výhody: jsou výrazně nižšího řádu než Fir filtry se stejnými vlastnostmi a z toho vyplývá že mají: Nevýhody: nižší výpočetní složitost v porovnání s Fir filtrem kratší
VíceCyklické redundantní součty a generátory
Cyklické redundantní součty a generátory pseudonáhodných čísel Rostislav Horčík: Y01DMA 20. dubna 2010: CRC a pseudonáhodná čísla 1/17 Definice Řekneme, že polynomy a(x), b(x) jsou kongruentní modulo m(x),
VíceMožnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin
Jaub Vágner, Aleš Hába Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Klíčová slova: vypružení, flexi-coil, příčná tuhost, MKP, šroubovitá pružina. Úvod Vinuté pružiny typu flexi-coil jsou dnes jedním
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. VZPĚR VZPĚR
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. ZÁŘÍ 2013 Název zpracovaného celku: VZPĚR VZPĚR U všech předcházejících druhů namáhání byla funkce součásti ohroţena překročením
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceVYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička
VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou
VíceRegresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceMETODICKÝ POKYN NÁRODNÍHO ORGÁNU
Ministerstvo pro místní rozvoj METODICKÝ POKYN NÁRODNÍHO ORGÁNU Program přeshraniční spolupráce Cíl 3 Česká republika Svobodný stát Bavorsko 2007-2013 MP číslo: 2/Příručka pro české žadatele, 5. vydání
VíceVeřejná zakázka malého rozsahu
Zadávací dokumentace je v elektronické podobě přístupná na profilu zadavatele http://www.stavebnionline.cz/profil/starez Identifikátor profilu zadavatele: 60061027, po celou dobu trvání lhůty pro podání
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Víceř úř úř ř Č ř Ž ř ř Č ú ú ú ú Ž ř Č ř ó ř úř ř ř ř ř ř ř ú ř ř ú ř ř ř ř ú ú ř Č ř ř ř Č ú ř ú ř ú ú ú ú ř ú ř ř ř ř ř ó ř ř ř ř Ř ř ř úř ř ř ř ř ř Ž Ý Š Š ř ř ř ř ú ř ř ř ř Ý ř ř ř ú Ú Š ř É Ú ú ť ř úř
VíceÚ ř Č ř ů ř ř ů ř ř ů ú ú ú ř ú ř ř ů Č Ž ř ř ů ř ř úř ř ř ů ů ú ú ř ř ú ú ú ř ů ř ř ď ů ú ů ú ú ú ř úř ů ř ů ř ů ř Č ř ř ř ř ř ř ř ů ř ř ř ř ú ř ř ř ř Č ř ů ř ř ř ř ř ř ř ů ť ů ř úř ř ř ů ř ř ř Ž ř ř
Více21. Číslicový měřicí systém se sběrnicí IEEE 488 (základní seznámení)
21. Číslicový měřicí systém se sběrnicí IEEE 488 1/5 21. Číslicový měřicí systém se sběrnicí IEEE 488 (základní seznámení) Úkol měření : 1. Seznamte se s propojením přístrojů při měření předloženého převodníku
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
Více10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
VícePavel Burda Jarmila Doležalová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory
Více5 - Stanovení teoretické a experimentální hodnoty koeficientu prostupu tepla
5 - Stanovení teoretické a experimentální hodnoty koeficientu prostupu tepla I Základní vztahy a definice Sdílením tepla rozumíme převod energie z místa s vyšší teplotou na místo s nižší teplotou vlivem
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
VíceZATÍŽENÍ SNĚHEM A VĚTREM
II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Cesta k pravděpodobnostnímu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí 21.3.2001 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-01410-3
Vícea) Jaká je hodnota polytropického exponentu? ( 1,5257 )
Ponorka se potopí do 50 m. Na dně ponorky je výstupní tunel o průměru 70 cm a délce, m. Tunel je napojen na uzavřenou komoru o objemu 4 m. Po otevření vnějšího poklopu vnikne z části voda tunelem do komory.
Více6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi
6. přednáška z předmětu GIS1 Souřadnicové systémy a transformace mezi nimi Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky od Ing. Magdaleny Čepičkové
VíceSP-CAU-001 - W. Název: Metodika stanovení maximální ceny posuzovaného léčivého přípravku/potraviny pro zvláštní lékařské účely
str. 1 z 5 1. CÍL Stanovit metodiku pro stanovení maximální ceny posuzovaného léčivého přípravku / potraviny pro zvláštní lékařské účely (dále jen přípravky ) v řízení o stanovení ceny, nebo ceny a úhrady
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceMatematika I Reálná funkce jedné promìnné
Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceZávěr: Je potřeba vytvořit simulaci a propočítat, zda krácení dle rozpočtu a člověkohodin bude spravedlivé.
Zápis ze schůze pracovní skupiny projektu NNO a neformální vzdělávání v JMK konané dne 28. 5. od 17.00. Zúčastnili se: Roman Dvořák (Junák, ANNO JMK), Jana Heřmanová (SVČ Ivančice), Miloslav Hlaváček (Sdružení
VíceFiche opatření (dále jen Fiche)
Název MAS Platnost Fiche pro: 1 kolo příjmu Místní akční skupina Pobeskydí - zájmové sdružení právnických osob Fiche opatření (dále jen Fiche) Číslo Fiche 3.Název Fiche 4 Cestovní ruch Vymezení Fiche Podpora
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
Více