Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
|
|
- Oldřich Růžička
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo zítra je neděle C: Dnes je úterý nebo zítra není neděle D: Dnes není úterý nebo zítra není neděle Kdo z nich měl pravdu, jestliže toho dne byl ve skutečnosti pátek? dnes je úterý..p zítra je neděle q A: p q B: ( p) q C: p ( q) D: ( p) ( q) Pravdu měli B, C a D. Kdo z nich neměl pravdu jestliže toho dne bylo úterý? Pravdu neměl B. Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Příklad Error! No text of specified style in document.-1 Ivana ví, co jí sluší a proto se při oblékání řídí jistými vlastními zásadami: 1) K tmavé sukni neoblékne barevnou halenku 2) Když si oblékne barevnou halenku, potom si natáhne tmavé punčochy 3) Žádný kabát nenosí bez tmavých punčoch. V sobotu, jak sama řekla, si vzala tmavou sukni. Vzala si Ivana v sobotu do kina kabát? Řešení: Stanovme nejdříve elementární výroky obsažené v zadání: Má oblečenou tmavou sukni... p Má oblečenou barevnou halenku... q Má oblečené tmavé punčochy... r Má oblečený kabát... s Potom můžeme složené výroky v zadání formulovat následovně: 1. p q 2. q r 3. s r Jestliže má mít kabát, potom musí platit následující vztah: (p q) (q r) (s r) s Platnost této formule můžeme prověřit pomocí pravdivostní tabulky nebo prostou úvahou. a. Kdyby byla premisa neplatná, potom je možno vyvodit pravdivý nebo nepravdivý závěr. To ale nevede k prověření, že má na sobě kabát. Tedy premisa musí být pravdivá. b. Pravdivost premisy je zaručena jen tenkrát, když je každý člen pravdivý. Je jasné, že p = 1 (vzala si tmavou sukni.prohlásila sama)
2 o (p q) = 1 má-li být implikace správná musí být typu 1 1, tedy q = 0. Ivana nemá oblečenou barevnou halenku. o (q r) = 1, po dosazení je implikace typu 0 r, řešení je r = 0,1 o (s r) = 1 dosadíme hodnoty za r (nejprve r = 1, tj. má oblečené tmavé punčochy). Potom je implikace typu s 1 nebo typu s 0. Vzhledem k tomu, že oba typy musí být pravdivé, je řešením s = 0,1. Jelikož premisa musí být pravdivá, tak tomu vyhovuje řešení p =1, q = 0 a r = 1. Tedy musí mít i kabát, tj. s = 1 (protože černé punčochy nenosí bez kabátu). Případ p =1, q = 0 a r = 0 vede na s = 0. Nemá-li tedy tmavé punčochy, nemá ani kabát. Tedy jen v případě p =1, q = 0 a r = 1 má zcela jistě kabát. Příklad Error! No text of specified style in document.-2 Dokažte že platí [(u ) ((u ) (m n)) (m n)]. Řešení: Cílem je najít si známou výchozí tautologii z níž po následných substitucích dosáhnou cílovou formuli. Takovou je např. tautologie p (p q) q (jak to víme???). Stačí dále, když provedeme následující substituce: p u q m n a dostaneme cílovou formuli. Podle věty o substitucích do tautologie je také cílová formule tautologií. Příklad Error! No text of specified style in document.-3 Zjednodušte zápis formule [r (s t)]. Řešení: Bude zajímavé z čeho vyjdeme. Je to zcela triviální tautologie (s t) (s t), která vznikla z tautologie ( p) p.. Zákon dvojí negace substitucí p (s t). Takže zjednodušení je r (s t). Příklad Error! No text of specified style in document.-4 Dokažte, že : 1. Je-li (X Y), potom také platí X, Y. Z předpokladu plyne, že pravdivostní funkce formule (X Y) musí mít jen hodnotu 1. To není ale možné jinak než pravdivostní funkce pro X a Y mají hodnotu 1. Tedy musí to být tautologie. 2. Je-li X tautologie, jsou rovněž X Y a Y X tautologie. Víme, že X Y = Y X, X (X Y) a Y (X Y) disjunkce je implikovaná každým ze svých členů. Jestliže platí X, potom aby byla implikace pravdivá musí být (X Y). Zákony výrokového počtu
3 Uveďme teď některé tautologie, které mají bohaté použití. V logice teorie jsme je nazvali logickými teorémy. Tautologie s jedinou výrokovou proměnnou 1. [ (p p) ]... Zákon sporu: Dva výroky, z nichž jeden je negací druhého nemohou být najednou pravdivé. 2. [(p p) ]... Zákon vyloučení třetího: Ze dvou výroků, z nichž jeden je negací druhého, je právě jeden pravdivý a druhý nepravdivý a třetí možnost není. 3. (p p)... Zákon totožnosti: Každý výrok implikuje sám sebe. 4. [ p p) ]... Zákon dvojí negace: Dvojí negace každého výroku je s tímto výrokem ekvivalentní. 5. [( p p) p], [(p p) p]..zákon Claviův (reductio ad absurdum) Je-li výrok implikován svou vlastní negací, pak je pravdivý. Poznámka: Buď p q základní tvar výroku implikace (podmíněný výrok). V dalších tautologiích budeme často potřebovat jisté obměny zmíněného výroku. Zavedeme rovněž jejich názvy: q p...konversní výrok p q...inversní výrok..konjugované výroky q p...kontrapositivní výrok Tautologie s více výrokovými proměnnými 6. (p q) ( q p)... Zákon kontraposice: Kdykoliv je implikace pravdivá, je pravdivý i odpovídající kontrapositivní výrok. 7. ( q p) (p q)...varianty zákona kontrapozice ( p q) ( q p) 8. ((p q) (q r)) (p r)... Zákon hypotetického sylogismu: Tranzitivita implikace. Je to schéma často používaného myšlenkového postupu. 9. ((p q) (q r)) (p r)... Tranzitivita ekvivalence: Jsou-li dva výroky ekvivalentní
4 třetímu, pak jsou ekvivalentní. 10. (p p) q... Zákon Dunse Scota: Z nepravdy vyplývá cokoli (přijmeme-li nesprávný předpoklad, jsme nuceni přijmout i důsledky, které z něj vyplývají, ať už jsou jakékoliv). 11. (p q) p, (p q) q... Konjunkce implikuje každý ze svých členů. 12. p (p q) q (p q)... Disjunkce je implikována každým ze svých členů. 13. Další tautologie tvaru implikace 14. (p q) (q p), (p q) (q p)... Komutativita konjunkce a disjunkce. Platí též pro ekvivalenci. 15. ((p q) r) (p (q r))... Asociativita konjunkce a platí též pro disjunkci. 16. (p (q r)) ((p q) (p r))... Distributivita konjunkce vzhledem k disjunkci. Platí i pro distributivitu disjunkce vzhledem ke konjunkci. 17. [ (p q) p q ]... de Morganovy zákony. Dualita konjunkce a disjunkce. 18. (p (q r)) ((p q) r... V postupné implikaci lze premisy sloučit v konjunkci. 19. (p q) ((p q) (q p))... Ekvivalenci lze rozložit na konjunkci dvou obrácených implikací. 20. (p q) (p q)... Od ekvivalence lze přejít k implikaci. 21. Libovolný pravdivý výrok je zvláštním prvkem vůči a 22. Některé další tautologie tvaru ekvivalence. p (p q) q 23. Tautologie zachycující vzájemné vztahy logických spojek. To umožní pochopit "Úplný systém logických spojek" sestavený jen z,, (p q) ( p q)... Převod implikace do a. (p q) ((p q) (q p))... Převod ekvivalence na implikaci a konjunkci.
5 VZTAHY MEZI LOGICKÝMI SPOJKAMI V této části půjde o klasifikaci tzv. "Úplného systému" logických spojek, který je postaven jen na,,. Důležitá je následující věta. Věta Error! No text of specified style in document.-1 Ke každé formuli existuje formule obsahující pouze spojky,, taková, že. Důkaz lze provést několika způsoby. Např. ukázáním, že v každé formuli lze ostatní spojky nahradit spojkami z Úplného systému. Dokonce lze definovat Úplné systémy spojek jen z dvojic,,. Výzkum v matematické logice objevil dvě zvláštní spojky: Peirceova spojka p q ( p q) (p q) Schefferova spojka p q ( p q) (p q) Pomocí každé z nich lze definovat Úplný systém logických spojek. Jak převedeme,, na nebo? Např. převody: p q převedeme na ( p q) ( p q) systém, p q převedeme na ( p q) ( p q) systém, NEGACE SLOŽENÝCH VÝROKŮ Negace složitých výroků se dá vyřešit pomocí tzv. principu duality. K tomu slouží následující věta. Věta Error! No text of specified style in document.-2 Nechť X je formule obsahující pouze spojky,, a proměnné x 1, x 2,, x n. Sestrojme formuli Y tak, že: a) každou ze spojek, nahradíme druhou ze dvojice, b) každou proměnnou nahradíme její negací. Potom platí, že ( X Y). Důkaz se dá provést indukcí. Příklad Error! No text of specified style in document.-5 Podle principu duality negujte následující formule (žlutě jsou označeny výsledky): p q... p q p q... p q p q... ( p q) p q.t23 p q... ((p q) (q p)). ( p q) (q p) (p q) ( p q)
6 DEDUKTIVNÍ SOUSTAVA Následující skupinová věta dává možnosti rozhodnout, zda je úsudek/důsledek správný, ale nedokáže odvozovat. Rozhodnutí, zda je úsudek správný je převedeno na problém zda daná formule je nebo není tautologie (viz červeně označený důsledek). Věta Error! No text of specified style in document.-3 a) Nechť P 1, P 2,, P m jsou formule a p 1, p 2,, p k jejich výrokové proměnné. Říkáme, že platí P 1, P 2,, P m Z právě když: pro libovolnou k-tici pravdivostních hodnot přiřazenou argumentům pravdivostních funkcí formulí P 1, P 2,, P m, Z tj. p 1, p 2,, p k platí: Nabývají-li pravdivostní funkce definované formulemi P 1, P 2,, P m současně hodnoty 1 a nabývá i pravdivostní funkce definovaná formulí Z hodnoty 1. b) Nechť P 1, P 2,, P m, Z a P jsou formule. Potom P 1, P 2,, P m Z platí právě když P 1 P 2 P m Z P Z platí právě když (P Z ) c) Nechť P 1, P 2,, P m a Z jsou formule. Pak P 1, P 2,, P m Z právě když P 1,, P r-1 (P r ( (P m Z), r m Důsledek: Nechť P 1, P 2,, P m, Z jsou formule. P 1, P 2,, P m (P 1 P 2 P m Z) Z právě když Toto je nejcennější výsledek, protože je již snadné prověřit zda implikace důsledku z konjunkce formulí premisy je tautologie. Příklad Error! No text of specified style in document.-6 a) Prověřte na základě části a) Věty 4-7, zda je následující úsudek správný: p q, q p (jestliže prší pak je mokro), (není pravda, že je mokro) (není pravda, že prší) p q p q q p Úsudek je správný, viz Věta 4-7 a b) Na základě důsledku Věty 4-7 ukažte, zda úsudek z případu a) je správný: p q, q p Aby tento úsudek byl správný, musí platit [(p q) q] p což se pomocí pravdivostní tabulky jistě podaří. p q p q q (p q) q p [(p q) q] p Odvození důsledku
7 Část a) následující skupinové věty vedou na způsob jak odvodit z dané premisy důsledek pomocí pravidla odloučení, které je nazýváno "Modus ponens". Věta Error! No text of specified style in document.-4 a) Nechť X, Y jsou formule. Potom platí (X, X Y) Y To znamená, že z formulí X a X Y můžeme odvodit důsledek Y. Důkaz se provede úpravou T22 (substituce p X, q Y) a tak dostaneme Věty 4-7 platí (X, X Y) Y. X (X Y) Y a podle důsledku Pomocná pravidla odvození: Buď X formule, x j její proměnná. Jestliže do X za x j dosadíme formuli A, pak X S(A/x j, X) SUBSTITUČNÍ PRAVIDLO PRO PROMĚNNOU. Formuli S, kterou získáme nahrazením části A formule X formulí B, můžeme považovat za důsledek daný následujícím zápisem: X S(B/A, X).SUBSTITUČNÍ PRAVIDLO PRO FORMULI b) Formule Z je důsledkem formulí P 1, P 2,, P m tehdy a jen tehdy, když existuje posloupnost formulí X 1, X 2,, X n taková, že X n = Z a pro každé X i je buď 1. X i premisa, tj. X i = P j pro vhodné j, nebo 2. X i vznikne z libovolné tautologie Y aplikací některého z pomocných pravidel odvození, tj. X i = S(A/y, Y) nebo Xi = S(B/A, Y), nebo 3. X i je důsledkem aplikace pravidla modus ponens na některé z formulí X 1, X 2,, X i-1, tj. X r, X s X i, r,s i, X r X s X i Posloupnost X 1, X 2,, X n se nazývá odvozením formule Z z formulí P 1, P 2,, P m. Příklad Error! No text of specified style in document.-7 Dokažte odvozením, že platí a b, a c, b d c d Bude provedeno ve cvičení jako ukázka. Cvičící Další jednoduché vlastnosti odvozování Buď a ' množiny formulí, a,b,c formule. Pak a) jestli a, ' b potom, ' a b... konjunkce důsledků b) jestli a b, potom a nebo b... c) jestli, a b, potom a b... d) a, ' a b, potom, ' b... e), a c, ',b c, potom, ', a b c... disjunkce premis f) a, potom a b... b, potom a b g) a, b, a, ' b, potom, ' a... h) a, potom a... i),a, ' c, potom, ', a c... pořadí premis lze změnit Příklad Error! No text of specified style in document.-8 Mrzne jsou zhoršené jízdní podmínky prší je nebezpečí smyku Pak snadno uvedeme, že mrzne, prší jsou zhoršené jízdní podmínky a je nebezpečí smyku Poznámka: Buď množinou formulí P 1, P 2,, P m. Jestliže máme dokázat odvození
8 P 1, P 2,, P m a b, tak místo toho často dokazujeme P 1, P 2,, P m, a b. (nehledáme důsledek a b, ale jen důsledek b, viz jednoduchá vlastnost c). Této techniky můžeme použít i v případě, že důsledek není ve tvaru implikace, protože jsme schopni ho na implikaci převést [(a b) ( a b)]. Definice Error! No text of specified style in document.-1 Buď množinou formulí P 1, P 2,, P m, p 1, p 2,, p k jejich výrokové proměnné. je splnitelnou množinou formulí, právě když existuje alespoň jedna k-tice hodnot proměnných p 1, p 2,, p k pro kterou nabývají všechny formule z najednou pravdivostní hodnotu 1. Jestliže taková k-tice neexistuje, je nesplnitelnou množinou formulí. j) je-li nesplnitelná, pak platí a, kde a je libovolná formule. Příklad Error! No text of specified style in document.-9 Je následující úsudek správný? Dnes je zima, dnes není zima Dnes jdu do kina Formálně je toto odvození ve tvaru p, p q Množina formulí v premise je nesplnitelná, proto je jejich důsledkem libovolná formule. (Použitím důsledku Věty 4-7 se dostaneme k T10 zákon Dunse Scota). Zmíněný úsudek je správný. Věta Error! No text of specified style in document.-5 Buď množinou formulí P 1, P 2,, P m. Jestliže důsledkem je kontradikce, je nesplnitelná. k) Jestliže a, pak platí b a... tautologie je důsledkem libovolné formule b l) Jestliže a, a b, pak platí b... důsledkem tautologie je opět tautologie m) Jestliže a, pak také, b a... správnost úsudku zůstane zachována i když k premisám přidáme libovolnou formuli b Příklad Error! No text of specified style in document.-10 V hospodě u stolu se sešli tři neznámí muži. Když se představili, tak vyšlo najevo, že se jmenují Hrobař, Stolař a Zámečník a přitom jejich povoláními jsou hrobař, stolař a zámečník. Je zajímavé, řekl ten, který byl hrobařem, "že žádný z nás nemá povolání podle svého jména". "Máte pravdu" odpověděl Zámečník "a přitom ještě můj dědeček byl zámečníkem". Jaké povolání vlastně každý z mužů má? Řešení: Označme symbolem Xp obecný výrok, že muž, který se jmenuje X má povolání p. Jelikož každý z nich nemá povolání totožné se svým jménem, tak pro každého z nich existují jen dvě možnosti zapsané v disjunkci, která musí být pravdivá: Hs Hz, Sh Sz, Zh Zs. Vedle těchto disjunkcí máme k dispozici jen výroky z dialogu Zámečník hrobař. Z dialogu plyne, že Zámečník nemůže být hrobařem. Tedy Zh = 0. Jaké povolání má Zámečník? Musíme najít důsledek formule Zh Zs: 1. Zh Zs...výchozí 2. (Zh Zs) ( Zh Zs)...S(Zh/p, Zs/q), dostaneme (p q) ( p q)
9 3. Zh Zs...(1), (2) (3) 4. Zh...přidáme premisu Zh 5. Zs...(4), (3) (5) Zh, Zh Zs Zs Jelikož Zh = 0 je výsledek tvaru Zh Zs, Zh Zs Zámečník je stolařem. Zbytek povolání: Hrobař je zámečník, Stolař je hrobař.
KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura
Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceLogika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceJak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora
Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
VíceSložené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.
Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceMatematická logika. 1
Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceVysoká škola ekonomická v Praze
Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceZáklady informatiky. Výroková logika
Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceCvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
Více09. seminář logika (úvod, výroková).notebook. November 30, 2011. Logika
Logika 1 Logika Slovo logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vedla k daným závěrům. Logika je formální věda, zkoumající právě onen způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce,
VíceVÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..
VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá
VíceLogika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceÚvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží
Úvod do TI - logika Výroková logika (2.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok?
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceVysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceLogika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
VíceRejstřík. anotace 167 krok 167 nepřímý 169 podmiňovaný 181 rezolucí 210 rozborem případů 170 sporem 170 z hypotéz 167 z předpokladů 167 Duns Scotus 79
Rejstřík Rejstřík A antecedent 27 Aristotelés 13 axiom 163 nezávislá množina 164 axiomatické systémy 163 axiom distributivity 222 axiomová schémata 164 B Beth 197 bezesporný 171 Bolzano 14 booleovské funktory
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceNormální formy. (provizorní text)
Normální formy (provizorní text) Výrokový počet Definice. Jazyk výrokového počtu obsahuje výrokové proměnné p, q, r, s,..., spojky,,,.. a závorky (,). Výrokové proměnné jsou formule. Jestliže a jsou formule,
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceDiskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::
DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,
VíceVýroková logika. p, q, r...
Výroková logika Výroková logika je logika, která zkoumá pravdivostní podmínky tvrzení a vztah vyplývání v úsudcích na základě vztahů mezi celými větami. Můžeme též říci, že se jedná o logiku spojek, protože
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Vícepřednáška 2 Marie Duží
Logika v praxi přednáška 2 Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 1 Výroková logika Analyzuje způsoby skládání jednoduchých výroků do výroků složených pomocí logických spojek. Co je to výrok? Výrok je tvrzení,
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
VíceÚvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VícePravda jako funkce - ano, nebo ne?
Pravda jako funkce - ano, nebo ne? Nehledě na to, jestli jsou pravidla pro logickou platnost zabudována v našem myšlení, nebo nikoliv, máme velmi silné intuice o platnosti a neplatnosti nejrůznějších úsudků.
VíceLogika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceSémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23
Výroková logika Alena Gollová Výroková logika 1/23 Obsah 1 Formule výrokové logiky 2 Alena Gollová Výroková logika 2/23 Formule výrokové logiky Výrok je oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze rozhodnout.
VíceVY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky. Prezentace určena pro první ročník maturitních oborů, ve které je vysvětlení učiva výroky.
Číslo projektu Číslo materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_42_Inovace_12_MA_2.01_ Výroky Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Autor Tematický celek Mgr.
VíceDisjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška
Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je
VíceSpojování výroků (podmínek) logickými spojkami
Spojování výroků (podmínek) logickými spojkami Spojování výroků logickými spojkami a) Konjunkce - spojení A B; Pravdivostní tabulka konjunkce A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND; A a současně B Konjunkce
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VícePřednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku
Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky Úsudky Úsudek je platný, jestliže nutně, za všech okolností, tj. při všech interpretacích, ve kterých
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM
VíceImplikace letitá, ale stále atraktivní dáma
Implikace letitá, ale stále atraktivní dáma Jan Kábrt Proč se zajímat o logiku a v ní právě o implikaci? Mimo jiné pro souvislost s takovými oblastmi lidského myšlení, jako jsou matematika, ostatní přírodní
VíceÚvod do logiky (VL): 8. Negace výroků
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
Více6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
Více1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VícePredikátová logika [Predicate logic]
Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza.
VíceÚvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický čtverec
VíceÚvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 2. Uvedení do výrokové logiky doc. PhDr. Jiří
VícePřevyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
Více1 Výrok a jeho negace
1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
Víceverze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.
1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění
VíceVýroková a predikátová logika - XI
Výroková a predikátová logika - XI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XI ZS 2014/2015 1 / 21 Další dokazovací systémy PL Hilbertovský kalkul
VíceÚvod do logiky (VL): 14. Důkazové systémy
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 14. Důkazové systémy doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Více