Obecnou rovnici musíme upravit na středovou leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní."

Jindřich Liška
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 75 Hledání kružnic I Předpklady: 750, kružnice z gemetrie Př : Kružnice je dána becnu rvnicí x y x y plměr Rzhdni, zda na kružnici leží bd A[ ; ] = 0 Najdi její střed a Obecnu rvnici musíme upravit na středvu x + y + x + 6y + = x + x + + y + y = ( x + ) + ( y + 3) 8 = 0 ( x + ) + ( y + 3) = 8 Kružnice má střed v bdě S [ ; 3] a plměr r = 8 = Pkud bd A[ ; ] leží na kružnici musí vyhvvat její rvnici dsadíme h d ní x + y + x + 6y + = + ( ) ( ) + = 0 Bd A[ ; ] leží na zadané kružnici Př : Pr které hdnty parametru p je rvnice x + y + x 6y + p = 0 becnu rvnicí kružnice? Urči suřadnice jejíh středu a její plměr Rvnici se pkusíme převést na středvý tvar, ze kteréh můžeme činit závěry x + y + x 6y + p = x + x + + y y p = x + + y 3 + p 0 = 0 x + + y 3 = 0 p Pravá strana středvé rvnice kružnice má význam druhé mcniny plměru musí být kladná 0 p > 0 p < 0 Pr tyt hdnty parametru p je zadaná rvnice, becnu rvnicí kružnice se středem v bdě [ ;3] S a plměrem r = 0 p Ve zbytku hdiny budeme hledat kružnice (jejich středy a plměry), tak aby splňvaly zadané pdmínky musíme si zpakvat pravidla, která pr kružnice platí Kružnice je mnžina bdů stejně vzdálených d jejíh středu (tét vzdálensti říkáme plměr) pkud kružnice prchází dvěma bdy, její střed leží na se úsečky určené těmit bdy Střed kružnice psané trjúhelníku (kružnice prcházející třemi bdy) leží na průsečíku s libvlných dvu stran Mnžina všech bdů, ze kterých je úsečka vidět pd úhlem 90, je kružnice, jejíž průměr je daná úsečka (bez krajních bdů úsečky) - Thaletva kružnice

vyhvvat její rvnici dsadíme h d ní x + y + x + 6y + = + ( ) + + 6 ( ) + = 0 Bd A[ ; ] leží na zadané kružnici Př : Pr které hdnty parametru p je rvnice x + y + x 6y + p = 0 becnu rvnicí kružnice?

2 Úsečka spjující tečný bd se středem kružnice je klmá na svu tut tečnu T p S Střed kružnice, která se dtýká dvu různběžek, leží na se jejich úhlu Pedaggická pznámka: Následující příklady pět dpručuji řešit tak, že nejdříve necháte studentům pět, deset minut na rzmyšlenu, prjdete si řešení jedntlivých příkladů, a pak je necháte pčítat Ti nejlepší nemusí na splečné pvídání čekat a mhu pčítat rvnu Př 3: Napiš středvu rvnici kružnice, která má střed v bdě S [ ;3] a prchází bdem A [ ;] Na sestavení rvnice ptřebujeme střed a plměr musíme zjistit plměr, který je rven vzdálenst libvlnéh bdu kružnice d jejíh středu r = SA = + 3 = 8 = Hledaná kružnice má plměr r = a středvu rvnici ( x ) ( y ) = 8 Pedaggická pznámka: Studenti čast využívají středvu rvnici kružnice, d které A ; a určí tak plměr dsadí bd [ ] Př 4: Najdi středvý tvar rvnice kružnice k, jestliže úsečka, A[ ;3], B [ 4;] je jedním z jejích průměrů Zjisti, zda na kružnici leží bd C [ ;5] Najdi všechny bdy, které leží na kružnici a jejichž x-vá suřadnice je rvna 0 Ještě před vyřešením psledníh části příkladu rzhdni, klik takvých bdů může být Musíme určit střed a plměr kružnice S = S S ; Střed kružnice = střed úsečky : [ ] Plměr kružnice = vzdálenst středu úsečky d jednh z krajních bdů r AS ( [ ]) ( ) = = + 3 = 0 Středvá rvnice: ( x ) ( y ) + = 0 Bd C [ ;5] leží na kružnici k, pkud vyhvuje její rvnici dsadíme h d dvzené rvnice ( x ) ( y ) + = = 0

Př 3: Napiš středvu rvnici kružnice, která má střed v bdě S [ ;3] a prchází bdem A [ ;] Na sestavení rvnice ptřebujeme střed a plměr musíme zjistit plměr, který je rven vzdálenst libvlnéh bdu

3 + = Bd [ ;5] 3 0 C leží na kružnici k Hledáme bdy s nulvu x-vu suřadnicí ležící na kružnici k vlastně hledáme průsečíky přímky (sy y) s kružnicí k 0, neb řešení Tent knkrétní příklad: sa y se prtíná s přímku prchází vnitřkem kružnice měli bychm najít dvě řešení Dsadíme bdy [ 0; ] ( 0 ) ( y ) 0 X y d rvnice ( x ) ( y ) + = 0 + = kvadratická rvnice 0, neb řešení + y 4y + 4 = 0 y 4y 5 = 0 ( y 5)( y + ) = 0 y = 5 bd X [ 0;5] y = bd X [ ] 0; Na kružnici leží dva bdy s nulvu x-vu suřadnicí Př 5: Najdi kružnici, která prchází bdy A[ ;], [ 4;0] p : x y + = 0 B a jejíž střed leží na přímce Hledáme střed kružnice (plměr snadn dpčítáme p jeh nalezení) ptřebujeme určit dvě suřadnice ptřebujeme dvě rvnice rvnice: Střed leží na přímce p musí vyhvvat její rvnici ; B 4;0 její střed je d bu stejně dalek rvnice: Kružnice prchází bdy A[ ], [ ] střed kružnice leží na se úsečky Střed úsečky : S ; S [ ; ] Směrvý vektr úsečky je nrmálvý vektr sy: = B A = ( 6; ) = ( 3; ) Rvnice sy: 3x y + c = 0 Osa prchází bdem [ ;] S 3 + c = 0 c = Rvnice sy: 3x y = 0 x y + = 0 y = x + Řešíme sustavu: 3x y = 0 y = 3x Srvnávací metda: x + = 3x x = 4 x = y = x + = + = 4 u n 3

+ ) = 0 y = 5 bd X [ 0;5] y = bd X [ ] 0; Na kružnici leží dva bdy s nulvu x-vu suřadnicí Př 5: Najdi kružnici, která prchází bdy A[ ;], [ 4;0] p : x y + = 0 B a jejíž střed leží na přímce Hledáme

4 Hledaná kružnice má střed v bdě S [ ;4] Plměr: r SA ( s a ) ( s a ) ( [ ]) ( ) = = + = + 4 = 5 Středvá rvnice hledané kružnice je ( x ) ( y ) + 4 = 0 Pznámka: Příklad je samzřejmě mžné řešit tak, že krmě rvnice přímky pužijeme jak druhu rvnici pdmínku stejné vzdálensti bdů A, B d středu S: SA = SB, p dsazení: ( 4) x + + y = x + y Př 6: Najdi kružnici, která prchází bdy A [ 0;0], B [ ;3], C [ 4;] plměr Urči její střed a Dva mžné pstupy řešení: napdbení gemetrické knstrukce Hledáme průsečík sy úsečky a sy úsečky AC (jde nalezení kružnice psané trjúhelníku) 3 S ; u = ;3 n = ;3, Rvnice sy: x + 3y + c = 0, prchází bdem Osa úsečky : x + 3y 5 = 0 S S AC [ ;], uac = ( 4; ) n = ( ;) + + =, prchází bdem [ ;] Rvnice sy: x y c 0 Osa úsečky AC: x + y 5 = 0 x + 3y 5 = 0 Řešíme sustavu: x + y 5 = 0 y = 5 x Dsadíme d první rvnice: x ( x) x + 5 6x 5 = 0 5x = 0 x = y = 5 x = 5 = Kružnice má střed v bdě S [ ;] AC = 0 Plměr: r SA ( s a ) ( s a ) 3 ; c = c = S + + c = 0 c = 5 = = + = = 5 Středvá rvnice hledané kružnice: ( x ) ( y ) + = 5 Dsazení d becné rvnice kružnice Rvnici je mžné napsat v becném tvaru: x + y mx ny + p = 0 Rvnice bsahuje tři neznámé ptřebujeme tři rvnice Každý ze tří bdů musí rvnici vyhvvat pstupně dsazujeme: A 0;0 : m 0 n 0 + p = 0 p= 0 ( p = 0 budeme ihned dsazvat i d dalších [ ] rvnic) B ;3 : + 3 m n = 0 m + 6n = 0 [ ] 4

plměr Urči její střed a Dva mžné pstupy řešení: napdbení gemetrické knstrukce Hledáme průsečík sy úsečky a sy úsečky AC (jde nalezení kružnice psané trjúhelníku) 3 S ; u = ;3 n = ;3, Rvnice sy: x +

5 C [ 4;] : 4 + m 4 n + 0 = 0 8m + 4n = 0 Řešíme sustavu: m + 3n = 5 m + n = 5 n = 5 m m n = 5 Dsadíme d první rvnice: ( ) m + 5 6m = 5 m = n = 5 m = 5 = Kružnice má becnu rvnici: Upravíme na středvý tvar: x y x y = 0 x x y y ( x ) ( y ) ( x ) + ( y ) = 5 Kružnice má střed v bdě [ ;] (stejná sustava jak u předchzíh pstupu) = + 5 = 0 S a plměr r = 5 Ddatek: Oba způsby jsu důležité, pět ilustrují dva základní přístupy v analytické gemetrii Př 7: Rzhdni a zdůvdni, kdy je který z bu pstupu na řešení předchzíh příkladu výhdnější Druhý pstup je jedndušší, když nezískáme slžitu sustavu rvnic v případě, že velká část suřadnic je nulvá Př 8: Petákvá: strana 4/cvičení 5 a) d) strana 4/cvičení 7 a) Shrnutí: Kd hledá, najde I kružnice 5

Ddatek: Oba způsby jsu důležité, pět ilustrují dva základní přístupy v analytické gemetrii Př 7: Rzhdni a zdůvdni, kdy je který z bu pstupu na řešení předchzíh příkladu výhdnější Druhý

Podobné dokumenty

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady:

1.5.6 Osa úhlu. Předpoklady: 1.5.6 Osa úhlu Předpklady: 010505 Pedaggická pznámka: Následující příklad je pakvání, které pužívám jak cvičení dhadu. Nechám žáky dhadnut veliksti a při kntrle si pčítají bdy (chyba d 5-3 bdy, d 10-2