Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Transkript

1 Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity). Lidské oko vnímá množství světelné energie zářícího tělesa dopadnuvší za časovou jednotku na jednotku plochy povrchu jako jasnost objektu. Ve speciálních polohách pozorovatele může dojít k případu, kdy jedno nebeské těleso je zastíněno druhým a jeho jasnost výrazně klesá. Popisem zmíněných jevů, stejně jako upřesněním pojmu jasnost objektů, se budeme zabývat v tomto tématu. Zatmění nebeských těles Zatmění nebeského tělesa vzniká jako geometrický jev, jenž může mít dvě příčiny: stínící těleso se dostane mezi zdroj světla a oko pozorovatele, zdroj odraženého světla se dostane do stínu tělesa, na kterém se nachází pozorovatel. A 1 B 3 B, 1 B 2 A 2 A 3 S 1, A 1 B 1 C B 2, S 2, A 2 S 3 D Obrázek 1: Budeme předpokládat, že zdroj světla(ať už vlastního nebo odraženého) je koule poloměru r 1 sestředem S 1 (obr.1)astínícítělesojerovněžkoulepoloměru r 2 sestředem S 2.Středytělesnechťjsouvzdáleny R=S 1 S 2.Zastínícímtělesemvznikákuželový stín, jenž je na řezu rovinou procházející středy obou těles ohraničen vnějšími tečnami kpovrchutělessdotykovýmibody A 1 (A 1)aA 2 (A 2)(obr.1).Zapředpokladu r 1 > r 2 se tečny protínají v bodě D, jenž je vrcholem kužele tvořícího prostor plného stínu. Vzdálenost d=s 2 Dpakoznačujemejakodélkustínu.Jestližesepozorovatelnachází ve vnitřku tohoto kužele(na obr.1 šrafován vodorovně), zdroj světla vůbec nevidí a nastává pro něho tzv. úplné zatmění zdroje. Jestliže do tohoto prostoru pronikne 1

2 třetí těleso celým svým objemem, dojde pro pozorovatele na přilehlé polokouli tělesa 2 rovněž k úplnému zatmění třetího tělesa. Popsané vnější tečny vytvoří za bodem D středově symetrický kužel(na obr.1 šrafováno svisle). Jestliže se pozorovatel nachází v tomto prostoru, celé stínící těleso se promítá na zářící kotouč zdroje. Situace vypadá jako na obr.2 a říkáme, že došlo k prstencovému zatmění zdroje. Obrázek 2: Obrázek 3: Zkonstruujeme-li ke zdroji i stínícímu tělesu vnitřní společné tečny s body dotyku B 1 (B 1)aB 2 (B 2)(obr.1),vzniknouopětdvastředověsymetrickékuželesespolečným vrcholem C. Část jednoho z těchto kuželů za stínícím tělesem, ze které vyjmeme už výše popsané množiny úplného a prstencového zatmění, je na obr.1 šrafována šikmo. Pozorovateli v tomto prostoru se stínící těleso promítá pouze svojí částí na část svítícího kotouče zdroje světla. Situace vypadá jako na obr.3 a říkáme, že došlo k částečnému zatmění zdroje. Popsaný šikmo šrafovaný prostor se nazývá prostor polostínu. Jestliže se do tohoto prostoru dostane(byť částečně) třetí těleso, dojde pro pozorovatele na přilehlé polokouli tělesa 2 rovněž k částečnému zatmění třetího tělesa. Uvažujmenaspojnici S 1 S 2 bod S 3 za bodem S 2 (obr.1).vzdálenost S 2 S 3 označme ρapředpokládejme,že ρ < d.veďmebodem S 3 kolmicekhranicímstínuipolostínu. Patytěchtokolmicoznačme(pořadě) A 3 a B 3 (obr.1).délkuúsečky h S = S 3 A 3 nazývámešířkoustínuvmístě S 3 adélkuúsečky h P = S 3 B 3 nazývámešířkoupolostínu vmístě S 3.Přiznalostiparametrů r 1, r 2, Raρnyníurčímeparametry d, h S a h P. Protožetrojúhelníky S 1 A 1 DaS 2 A 2 Dmajíshodnéodpovídajícíúhly,jsoupodobné. Platí tedy, že poměry odpovídajících stran jsou shodné, tedy např. odkud r 1 = R+d, r 2 d d= r 2 r 1 r 2 R. (1) Protožeplatí r 1 > r 2,vychází d >0.Pokudbytatorelaceneplatila,vyšloby d <0. Geometricky by tato relace vyjadřovala reálnou situaci, neboť kužel omezený vnějšími tečnami by měl svůj vrchol v opačné polorovině. Fyzikálně by se ovšem nejednalo o stínový kužel. V takovém případě by stínem byl kužel se zvětšující se šířkou, jehož délka by byla nekonečná. Trojúhelníky S 2 A 2 DaS 3 A 3 Djsou(zestejnéhodůvodujakovýše)rovněžpodobné. Proto např. platí h S = d ρ, r 2 d 2

3 odkud ( h S = r 2 1 ρ ). d Po dosazení za d z(1) dostaneme h S = r 2 ρ R (r 1 r 2 ). (2) Pro určení šířky polostínu musíme nejprve pomocným výpočtem určit polohu bodu C (obr.1).označmedélkuúsečky CS 2 = c.protožetrojúhelníky S 1 B 1 C a S 2 B 2 C jsou podobné, platí odkud r 1 = R c, r 2 c c= r 2 r 1 + r 2 R. (3) Vneposlednířaděitrojúhelníky S 2 B 2 Ca S 3 B 3 Cjsoupodobné,pročežplatí odkud h P = ρ+c, r 2 c ( h P = r 2 1+ ρ ). c Po dosazení z(3) vznikne h P = r 2 + ρ R (r 1+ r 2 ). (4) Uvedené poznatky nyní aplikujeme na případ, kdy zdrojem světla je Slunce a pozorovatel se nachází na povrchu Země. Je-li stínícím tělesem Měsíc, dochází k zatmění Slunce. Je-li stínícím tělesem Země(a Měsíc se dostane do jejího stínu), dochází k zatmění Měsíce. Zatmění Měsíce Slunce Obrázek 4: Zeme Mesic K tomuto jevu dochází, když se Měsíc dostane do stínu nebo polostínu Země(obr.4). Zobrázkujepatrno,žekzatměnímůžedojítpouzevokolíopoziceMěsíceseSluncem, tedyvdobě,kdyjestměsícvúplňku.zdrojemsvětlajeslunce,takže r 1 =697.1[Mm]. 3

4 StínícímtělesemjeZemě,takže r 2 =6.4[Mm].VzdálenoststředůZeměaSluncesemění. Berme ji proto jako střední, tedy R = [Mm](astronomická jednotka). Místem, kde budeme zkoumat šířku stínu a polostínu Země, bude místo, kde se bude nacházet střed S 3 Měsícevúplňku.ProtoževzdálenoststředůZeměaMěsíceseopětmění,bereme ji jako střední, tedy ρ = 384.4[Mm]. Dosazením daných číselných hodnot do(1) vyjde d=1386.2[mm].délkastínuzemějetedyvícenež3.5krátvětšínežvzdálenostměsíce od Země. Dosazením číselných hodnot do(2), dostáváme pro šířku stínu Země v místě Měsíce h S =4.6[Mm].Konečnědosazenímdo(4),dostávámeprošířkupolostínuZemě vmístěměsíce h P =8.2[Mm].ProtožepoloměrMěsíce r 3 =1.7[Mm],jeišířkastínu Země cirka 2.7 krát větší. Kdyby byla rovina dráhy Měsíce shodná s rovinou ekliptiky, dostával by se Měsíc v každém úplňku celý přesně do středu stínu Země. Každý synodický měsíc by tedy docházelo k úplnému zatmění Měsíce. Ze zkušenosti víme, že to není pravda. Na vině je nenulový sklon roviny měsíční dráhy s ekliptikou. Tento úhel i je asi 5 stupňů. Měsíc se proto dostává svým středem až do vzdálenosti ρ tgi = 33.6[Mm] mimo spojnici středů Slunce a Země(obr.5). Tento rozměr více než čtyřikrát převyšuje i šířku polostínu Země v místě Měsíce v úplňku. Proto k zatmění Měsíce nedochází zdaleka tak často. K základní podmínce Měsíce v úplňku se jako podmínka jeho zatmění přidružuje ještě podmínka blízkosti Měsíce k uzlům(výstupnímu nebo sestupnému) svojí dráhy. K této poloze dochází dvakrát za(přibližně) siderický měsíc. i ρ. Mesic ρ tg i Slunce Zeme Obrázek 5: Poznámka: Vlivem rušivého gravitačního působení Slunce na soustavu Země-Měsíc dochází k natáčení spojnice uzlů měsíční dráhy(tzv. uzlové přímky). Ke zmíněnému natáčení dochází proti smyslu pohybu Měsíce kolem Země s periodou 18.6 roku. V důsledku tohoto jevu je doba mezi dvěma sousedními průchody Měsíce uzlem své dráhy stejnéhotypukratšínežsiderickýměsíc.tétoperiodě T dr seříkádrakonickýměsíc. Jejívztahkdélcesiderickéhoměsíce T si je T dr T si =0.996.Drakonickýměsícmátedy dní. K zatmění Měsíce proto dojde znovu tehdy, když celý násobek periody synodického měsíce se rovná celému násobku periody drakonického(nepřesně siderického) měsíce. Nejmenší perioda, kdy se toto s dostatečnou přesností děje, je perioda 223 synodických měsíců(= dní) a 242 drakonických měsíců(= dní). Této periodě říkáme perioda saros a byla z praktických pozorování známa už ve starověku. Perioda saros jedlouhá18leta10a1/3dnenebo11a1/3dne(podletoho,jestlisevjejímprůběhu nachází čtyři nebo pět přestupných roků.) Zmíněná třetina dne(8 hodin) způsobuje, žesejednotlivázatměníposouvajívčase.některásemohoudostatidoobdobí,kdyv dané lokalitě Měsíc není nad obzorem viditelný. V jiné lokalitě ovšem viditelný bude. Vzhledem k relaci mezi rozměrem Měsíce a šířkou stínu Země je zatmění Měsíce ve většině případů viditelné na celé Zemi, kde jest momentálně Měsíc nad obzorem. Pozorný čtenář si jistě všiml malého rozdílu mezi 223 synodickými měsíci a 242 drakonickými 4

5 měsíci. Tento rozdíl 0.04 dne(necelá hodina) způsobuje, že po periodě saros sice zatmění znovu nastane, ovšem ne zcela stejného charakteru. Z úplného zatmění se po několika periodách saros stane zatmění částečné, které pak úplně vymizí a nakonec je nahrazeno dalším částečným zatměním. Poznámka: Ani při úplném zatmění Měsíce tento oku pozorovatele zcela nezmizí. Stane se pouze podstatně méně jasný a červenohnědě zbarvený. Jev je způsoben atmosférou Země. Sluneční paprsky blízké k tečnému směru k povrchu Země procházejí zemskou atmosférou. Protože se jedná o prostředí optický hustší, lámou se k normále, tedy do stínu a slabě Měsíc ozařují. Při průchodu těchto paprsků atmosférou Země je modrá část spektra(krátké vlnové délky) atmosférou pohlcena. Měsíc je částečně ozařován pouze červenou částí viditelného spektra slunečního záření. K tomuto jevu by nedošlo, pokud stínícím tělesem by bylo těleso bez atmosféry. Zatmění Slunce Mesic Zeme Slunce Obrázek 6: K tomuto jevu dochází, když se pozorovatel na Zemi dostane do stínu nebo polostínu Měsíce(obr.6).Zobrázkujepatrno,žekzatměnímůžedojítpouzevokolíkonjunkce MěsíceseSluncem,tedyvdobě,kdyjestMěsícvnovu.ZdrojemsvětlajeSlunce,takže jeopět r 1 =697.1[Mm].StínícímtělesemjetentokráteMěsíc,takže r 2 =1.7[Mm].ProtožeMěsícjevtomtopřípaděmeziSluncemaZemí,jevzdálenost Rstředůzdrojea stínícího tělesa rovna rozdílu vzdálenosti Země-Slunce a Země-Měsíc(obr.6). Užijeme-li opět středních vzdáleností, je R = [Mm]. Dosadíme-li tyto číselné hodnoty do (1), vyjde d = 373.4[Mm]. Srovnáním tohoto výsledku se střední vzdáleností Země- Měsíc zjišťujeme, že stín Měsíce nedosahuje ani k Měsíci přivrácenému povrchu Země. Zatmění v takovém případě(i při splnění dodatkové podmínky blízkosti Měsíce k uzlům svédráhy)budepouzeprstencovéanikolivúplné.zvýrazu(1)plyne,žedélkastínu přímo závisí na vzdálenosti stínícího tělesa od zdroje. Proto délka stínu se významněji prodlouží, bude-li se Země současně nacházet v okolí afelia. V tom případě(pro střední vzdálenostzemě-měsíc)bude R=151756[Mm]az(1)plyne d=379.7[mm].vtom případě už vrchol stínu zasahuje k Měsíci přivrácený povrch Země. Určíme ještě šířku polostínu Měsíce v místě Země pro případ obou středních vzdáleností. Dosadíme-li do (4) ρ=378[mm],vyjde h P =3.5[Mm].AničástečnézatměníSluncetedynezasáhne celý povrch Země, na kterém Slunce momentálně svítí. V příznivém případě, kdy se(při splnění výše popsaných dvou podmínek zatmění Slunce) Země navíc nachází v afeliu, určíme ještě šířku stínu v místě zemského povrchu přivráceného k Měsíci. Do(2) dosazujeme R=151756[Mm]aρ=378[Mm].Vyjdepak h s =0.01[Mm]=10[km].Vtomto případě tvoří část povrchu Země, kde je viditelné úplné zatmění Slunce, kruh o průměru 20km. Vlivem otáčení Země kolem osy dochází k zasažení tímto kruhem postupně i 5

6 dalších míst zemského povrchu(dokud jsou splněny ostatní podmínky zatmění). Vzniká tak tzv. pás totality. Kdyby sklon roviny měsíční dráhy s rovinou ekliptiky byl nulový, docházelo by(alespoň k prstencovému) zatmění Slunce na jisté části zemského povrchu každé období měsíčního novoluní(tedy jedenkrát za synodický měsíc). Protože popisovaný úhel sklonu rovinje i=5 o,dostávásestředzeměažoρtg i=33.6[mm]mimospojnicistředů SlunceaMěsíce.Tentorozměrvícenež2.5krátpřevyšujeprůměrZemě.ProtokZatmění Slunce(byť na omezené části zemského povrchu) tak často nedochází. Stejně jako v případě zatmění Měsíce, je třeba splnit ještě dodatkovou podmínku polohy Měsíce v blízkostiuzlůsvédráhykolemzemě.izdesetedyzatměníopakujípoperioděsaros. Třetina dne, vyskytující se v přesném vyjádření periody saros, způsobí(vzhledem k omezenosti rozsahu území, kde je zatmění viditelné) územní posuv příslušného zatmění po periodě saros o 120 stupňů západně od minulého zatmění. Necelý počet let periody saroszpůsobujetéžposuvvpolozezeměvůčisvémuafeliu.protosepoperioděsaros (kromě územní změny viditelnosti) mění i jeho kvalita. Úplné zatmění se mění na prstencové, poté na částečné, v některých případech může zatmění po několika periodách saros zcela vymizet, a poté se objeví zase jako částečné, prstencové a úplné. Vzhledem k velikosti průměru Země je možnost jejího zasažení stínem nebo polostínem Měsíce příznivější než možnost incidence Měsíce se stínem Země. Zatmění Slunce je proto(alespoň nějakého typu a někde na povrchu Země) častější než zatmění Měsíce. Uvádí se poměr čtyři zatmění Slunce na tři zatmění Měsíce. Za periodu saros dojde průměrněk70zatměním.ztohoje40slunečnícha30měsíčních. Úplné zatmění Slunce na konkrétním místě zemského povrchu je z výše popsaných důvodů jev velmi řídký. V České republice bylo poměrně velké zatmění Slunce 11. srpna 1999, kdy na jihu republiky bylo zakryto 98% slunečního kotouče(v Rakousku už bylo toto zatmění viditelné jako úplné). Nejbližší úplné zatmění Slunce viditelné v České republicebudeažvroce2125. Jasnost nebeských těles Jasnost nebeských těles(speciálně hvězd) je pojem intuitivně zavedený na základě pozorování už ve starověku. Tehdy astronomové pozorovali oblohu pouhým okem a hvězdy podle subjektivního vnímání jasnosti rozdělili do šesti tříd jasnosti. Nejjasnější hvězdy byly třídy 1 a nejslabší(pouhým okem viditelné) pak třídy 6. Dnes víme, že vnímání jasnosti světelných zdrojů má na svědomí intenzita světelného výkonu I. Jedná se o fyzikální veličinu definovanou jako výkon záření ve viditelném rozsahu vlnových délek(tedy jeho energie za časovou jednotku), dopadnuvší na jednotku plochy. Jednotkouveličiny IjeprotoW/m 2 (Wattnačtverečnímetr).Lidskéokovnímázměny výšepopsanéveličinylogaritmicky.jestližesetedyveličina Izměnína I 2,lidskéoko to vnímá jako dvojnásobné zjasnění zdroje. Ukazuje se, že poměr intenzity zářivého výkonu nejjasnějších hvězd a hvězd sotva pouhým okem viditelných je přibližně 100:1. Aby byl tento poznatek zohledněn a zároveň se zachovalo starověké roztřídění hvězd podle jasnosti,bylyprodvazdrojesintenzitamizářivéhovýkonu I 1 a I 2 přiřazeny(pořadě) třídyjasnosti m 1 a m 2 tak,abyplatilo m 1 m 2 =2.5log I 2 I 1. (5) Třídu jasnosti zdroje m často označujeme latinským slovem magnitudo(překlad je velikost ). Rovnici(5) říkáme Pogsonova rovnice. Jestliže do této rovnice dosadíme 6

7 poměr I 2 I 1 =100:1,obdržímerozdílmagnitud m 1 m 2 =5.Jesttímzachovánrozdíl ve starověku určených tříd jasnosti pouhým okem viditelných hvězd, včetně faktu, že jasnější hvězdy mají magnitudo menší. Pogsonova rovnice srovnává magnituda dvou zdrojů na základě poměrů jejich intenzit zářivých výkonů. Nic neříká o třídě jasnosti jediného zdroje. Za standard byla vzata nejjasnější hvězda severní oblohy(části nebeské sféry s kladnou deklinací) Vega(nejjasnější hvězda souhvězdí Lyry), jíž bylo přiřazeno magnitudo m = 0. Logicky tedy jasnější zdroje než Vega mají magnitudo záporné. Sluncemásohledemnavýšeřečenémagnitudo m= 26.8,Měsícvúplňku m= Planety svoji třídu jasnosti v čase mění(viz níže). V období maximální jasnosti je pro Merkur m= 1.2,proVenuši m= 4.3,proMars m= 2.8,proJupiter m= 2.5, prosaturn m= 0.1,proUran m=5.7akonečněproneptun m=9.6.nejjasnější hvězdou celé oblohy je Sirius(nejjasnější hvězda souhvězdí Velkého psa), jenž má magnitudo m = 1.6. Lidé s dobrým zrakem za ideálních pozorovacích podmínek(bezměsíčná astronomická noc, dokonale průhledná atmosféra, bez rušivých vlivů městského osvětlení)jsouschopnividětpouhýmokemzdrojeomagnitududo m=6.nejslabšíobjekty, které je možno pozorovat Hubbleovým teleskopem z oběžné dráhy kolem Země(tedy bez rušivé přítomnosti atmosféry), mají magnitudo cca 27. Poznámka: Pojem magnitudo byl definován pro vlnové délky ve viditelném spektru záření. Jestliže výkon uvažujeme v celém rozsahu vlnových délek(tedy od radiových vln až po gamma záření), hovoříme o tzv. bolometrickém magnitudu. Poznámka:Označíme-li m=m 1 m 2,vyplývázPogsonovyrovnice,že I 2 I 1 = m = ( ) m = m. Odtud tedy plyne, že přibližně 2.5 hvězdy magnituda m svítí stejně jasně jako jedna hvězdamagnituda m 1. Z názoru je zřejmé, že magnitudo stejného zdroje závisí na vzdálenosti od pozorovatele. Tento vztah nyní kvantifikujeme. Nechť zdroj vysílá světlo o výkonu P všemi směry.zářenítohotovýkonudopadánapovrchkoulípořaděopoloměrech R 1 a R 2 se středy v popsaném zdroji světla. Příslušné intenzity výkonu jsou pak podle definice I i = P, i=1,2.protoplatí 4πRi 2 ( ) I 2 1 R2 =. (6) I 2 R 1 Intenzity zářivého výkonu zdroje tedy ubývá s kvadrátem vzdálenosti pozorovatele od zdroje. Protože hvězdy se nacházejí od Země v různých vzdálenostech, jejich třída jasnosti vůbec nic neříká o skutečném zářivém výkonu příslušné hvězdy. O skutečném zářivém výkonu hvězdy(ve viditelném rozsahu vlnových délek) vypovídá tzv. absolutní magnitudo M.Jednáseotřídujasnosti,kteroubyhvězdazářilapojejímfiktivnímpřemístění dosmluvenévzdálenosti R =10Pc.Je-li Rskutečnávzdálenosthvězdyomagnitudu modzemě(udanávpc),pakdosazením(6)do(5)provzdálenosti RaR apříslušná magnituda m a M dostaneme M m=2.5log ( ) 10 2 =5log 10 R R =5(1 log R). (7) Protože R[Pc]= 1 π r[ ],kde π rjeročníparalaxahvězdyvobloukovýchsekundách,dostáváme odtud 7

8 M= m+5(1 log R)=m+5(1+log π r ). (8) Poznámka: Určíme nyní absolutní magnitudo Slunce. Z tématu o jednotkách vzdálenostivíme,že10pc= au.podle(8)pakjest M S = log =4.77. Kdybychom se tedy přemístili do vzdálenosti 10Pc, Slunce bychom mezi hvězdami pouhým okem stěží uviděli. Poznámka: Známé objekty mají absolutní magnitudo M v rozsahu od-9 pro vzplanuvší supernovy až po 19 pro hasnoucí červené trpaslíky. Z tohoto hlediska je Slunce hvězdou se zářivým výkonem přibližně v polovině rozsahu známých objektů(tedy hvězdou z hlediska světelného výkonu průměrnou). Příklad:PřiznalostimagnitudaSlunce m S0 přijehopozorovánízezemě,určetemagnitudoslunce m S přijehopozorovánízostatníchplanetslunečnísoustavy. Řešení:Známe-li(střední)vzdálenosti R planetodsluncevastronomickýchjednotkách, dostáváme dosazením(6) do(5) m S = m S0 +5log R. Dosazenímpříslušnýchhodnot R dostávámenásledujícítabulkumagnitud. planeta Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun R [AU] m S Planety(ani planetky či měsíce planet) nezáří vlastním světlem, nýbrž odraženým slunečním světlem. Povrch každého takového objektu část zářivého výkonu pohltí a část odrazí. Tento jev kvantifikujeme zavedením tzv. koeficientu odrazivosti povrchu čili albeda a.veličinudefinujemejakopoměr a= I I 0,kde IjeintenzitaodraženéhoaI 0 intenzita dopadnuvšího zářivého výkonu. Zřejmě a je bezrozměrný parametr z intervalu (0,1).Povynásobenístemsemůžeuvádětvprocentech.Nízkéalbedomajítělesabez vody a bez atmosféry(merkur, Měsíc), zatímco tělesa s hustými atmosférami(venuše a velké vnější planety) mají albedo podstatně vyšší. Přesné hodnoty pro nejdůležitější tělesa jsou uvedeny v následující tabulce. těleso Měsíc Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun albedo Zatímco hvězdy jsou bodovými zdroji, tělesa sluneční soustavy jsou kotoučky různých poloměrů, jež k pozorovateli na Zemi přivracejí pouze svoji část určenou fází tělesa. Intenzita zářivého výkonu odraženého světla pak přímo závisí na albedu povrchu a složitěji na fázi a poloměru kotoučku(protože dopad není vždycky kolmý). Blíže tyto poměry rozebírat nebudeme. Užvýšebylokonstatováno,žetřídajasnostiplanetsesčasemmění.Souvisítos faktem,žesesčasemměnífázeplanetyijejívzdálenostodpozorovatelenazemi.vnitřní planety(merkuravenuše)měnísvoufáziodnovudoúplňku.vobdobínovunení planeta vůbec viditelná, má tedy teoreticky nekonečnou třídu jasnosti. U vnějších planet je fáze přibližně konstantní, rovna jedné(stále úplněk). Časové rozdíly jasnosti vnějších planet tedy souvisejí pouze s jejich měnící se vzdáleností od Země. Planeta je nejjasnější, 8

9 je-li v opozici se Sluncem, kdy její vzdálenost od Země je minimální. Označme třídu jejíjasnostivtétopoloze m 0.Uvažujmeprojednoduchost,ževšechnyvnějšíplanety se pohybují po kruhových drahách v rovině ekliptiky. Vzdálenost planety od Slunce je (trvale) RaZeměodSluncepak R Z.NechťplanetajevobecnépolozeP(obr.7).Úhlová odchylka vůči poloze opozice se Sluncem je určena úhlem ϕ. V trojúhelníku SZP(obr.7) mástranaszdélku R Z astranasppakdélku R.Aplikacíkosínovévětyzískámepro vzdálenost d planety od Země vztah ϕ S P Z Obrázek 7: d= R 2 + R 2 Z 2RR Z cosϕ. (9) Označíme-li magnitudo planety v obecné poloze ϕ jako m(ϕ), dostaneme dosazením(6) do(5)provzdálenosti d 0 a damagnituda(pořadě) m 0 a m(ϕ) ( ) 2 d m(ϕ)=m(ϕ) m 0 =2.5log, Vzhledem k tomu, že minimální vzdálenost planety od Země(v referenční poloze opozice sesluncem)je d 0 = R R Z,dostávámedosazenímz(9) m(ϕ)=2.5log R2 + R 2 Z 2RR Z cos ϕ (R R Z ) 2. d 0 Rozšířenímzlomkuvýrazem 1 azavedením R = R RZ 2 R Z astronomických jednotkách) dostaneme (vzdálenostplanetyodsluncev m(ϕ)=2.5log 1+R 2 2R cos ϕ (R 1) 2. (10) Tytozávislostipro ϕ 0;2π jsouprovnějšíplanety(marsažneptun)znázorněny naobr.8(hodnoty R jsouuvedenyvtabulcenapředešléstraně).zřejměnejvětšírozdíl magnitudbudepro ϕ=π(kdyvnějšíplanetajevkonjunkcisesluncem).propříslušný maximální rozdíl magnitud platí 9

10 3.5 3 Zmena magnituda planet v zavislosti na odchylce od opozice se Sluncem Mars Jupiter Saturn Uran Neptun m φ[rad] Obrázek 8: m(π)=2.5log ( R ) 2 +1 =5log R +1 R 1 R 1. Číselné výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. planeta Mars Jupiter Saturn Uran Neptun R [AU] m S Protože maximální jasnost Marsu je vyjádřena magnitudou-2.8, je jeho minimální jasnost vyjádřená magnitudou =0.6. Podobně pro ostatní planety. Je zřejmé, že v jasnosti nejvíce kolísá planeta, jejíž dráha je nejbližší k ekliptice, tedy Marsu. 10