Finan ní matematika pro kaºdého[1] - vzore ky

Transkript

1 Fnan ní matematka ro kaºdého[1] - vzore ky Jtka Vachtová 17. kv tna Abstrakt Uvedené vzorce nan ní matematky vychází eváºn z knhy Fnan ní matematka ro kaºdého od Jarmly Radové, Petra Dvo áka a Jí ího Málka. Pouºívám okud moºno shodná ozna ení. N které vzore ky jsem v²ak ro zjednodu²ení trochu uravla dokonce dolnla. Nejde zde zatím o úlný výb r z knhy. Zracovány jsou vzorce aº o úro ení. Dal²í vzore ky budou ostun asem dol ovány... Jde o výtah ro studjní ú ely. 1 Základní ojmy 1.1 Procentový o et 1 % = 1 % = 1 celek = celý základ x = z z = x = x z x rocenotová ást z základ o et rocent 1.2 Funkce y = f(x) x nezávsle rom nná y závsle rom nná Lneární funkce y = k x + q k, q konstanty x nezávsle rom nná y závsle rom nná P ímá úm rnost y = k x Ne ímá úm rnost y = k x Rovnoosá hyerbola okud k = 1, jde o rovnoosou hyerbolu 1

2 1.2.3 Exonencální funkce y = a x a > 0, x R Secální íad y = e x e je Eulerovo ( íslo ) e = lm n n n Logartmcká funkce y = log a x x (0, ) a > 0, a 1 y logartmus latí a y = x P rozený logartmus a = e e je Eulerovo íslo, e = 2, y = log e x =ln x Dekadcký logartmus a = 10 y = log 10 x = log x 1.3 Pr m ry Artmetcký r m r n m a = a1+a2+...+an n = =1 n a Váºený artmetcký r m r m a = n1 a1+n2 a2+...+nr ar n = n 1 + n n r n 1+n n r = a mají etnost n (a se oakuje n -krát) r n a =1 n Geometrcký r m r m g = n a 1 a 2... a n Váºený geometrcký r m r m g = n a n1 1 + an anr r n = n 1 + n n r a mají etnost n (a se oakuje n -krát) 1.4 Poslounost a ady a 1, a 2,... oslounost ísel 2

3 1.4.1 Poslounost artmetcká a k+1 = a k + d a k = a 1 + (k 1) d a k = a k 1+a k+1 2 a r = a s + (r s) d s n = n 2 (a 1 + a n ) a 1 rvní len ady a n oslední n-tý len ady n o et len d dference, d R Poslounost geometrcká a k+1 = a k q a k = a 1 q (k 1) a k = a k 1 a k+1 a r = a s q (r s) ro q 1 q s n = a n 1 1 q 1 = a 1 1 qn 1 q ro q = 1 s n = n a 1 a 1 rvní len ady a n oslední n-tý len ady n o et len d (kvocent), q R 2 Úro ení 2.1 Základní ojmy Úroková doba n = doba slatnost (doba exstence smluvního vztahu) Úrokové období = doba, za kterou se sují úroky Úroková míra (sazba): Nomnální úroková míra Efektvní úroková míra Zvaºovaná úroková míra, oºadovaná výnosnost Vnt ní výnosové rocento Nomnální úroková míra (sazba):. a. (er annum) - ro ní. s. (er semestre) - ololetní. q. (er quartale) - tvrtletní. m. (er mensem) - m sí ní. d. (er dem) - denní 3

4 2.1.1 Z sob o ítání asu od ítací metodou Z krajních dn se obvykle rvní den neo ítá. Vzorec ro výo et dn toto e²í automatcky. t = D 2 D 1 + (M 2 M 1 ) 30 t o et dní standardu 30E/360 D 1 M 1 datum o átku (na. uloºení en z), D je den, M je m síc D 2 M 2 datum konce (na. vrácení en z), D je den, M je m síc 2.2 Jednoduché úro ení olh tní t 360 = K t u = K 360 u = K n K en ºní ástka (katál), obvykle dále zna eno jako K 0 ro ní úroková sazba v rocentech t doba slatnost katálu ve dnech (obvykle 0 < t < 360) u úrok = úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo n = doba slatnost vyjád ená v letech t 360 Po et dní: ACT - zao ítává skute ný o et dní (obvykle neuvaºuje rvní den) 30E - celé m síce = 30 dn 30A - jako 30E, ale okud konec adne na 31. den v m síc a za átek není dne v m síc, o ítá se 31. Od 30 E se l²í max. o jeden den. Standardy: ACT/365 (anglcká metoda) - (res. 366) ACT/360 (francouzská meznárodní metoda) 30E/360 (n mecká obchodní metoda) Úrokové íslo (UC) UC = K t Úrokový d ltel () = 360 Úrok u = K t 360 = K t 360 = UC u = UC Jestlºe je ástka K 1 uloºena (úro ena) t 1 dní, ástka K 2 uloºena t 2 dní,..., ástka K r uloºena t r dní v²e úrokové mí e, ak: UC 1 = K1 t1, UC 2 = K2 t2,..., UC r = Kr tr r u = UC j j=1 4

5 2.2.1 Základní rovnce ro jednoduché olh tní úro ení u = K 0 n K n = K 0 + u K n = K 0 + K 0 n = K 0 (1 + n) K n = K 0 (1 + n) K 0 o áte ní en ºní ástka (katál), sou asná hodnota katálu = ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo t 360 n = doba slatnost katálu v letech K n stav katálu za dobu n, budoucí hodnota katálu u úrok Odvozené rovnce Po áte ní (základní) katál K 0 = Kn 1+ n = u n Doba slatnost (úro ení) n = Kn K0 K 0 = u K 0 Úroková sazba (výnostnost) = Kn K0 K 0 n = u K 0 n 2.3 Dskont ( edlh tní úro ení) D ob = K n d n K ob = K n D ob = K n K n d n = K n (1 d n) K ob = K n (1 d n) D ob obchodní dskont K n nomnální hodnota ohledávky slatná za dobu n, budoucí hodnota d dskontní sazba jako desetnné íslo.a. K ob vylacená ástka, sou asná hodnota 2.4 Vztah mez olh tní úrokovou sazbou a dskontní sazbou Aby olh tní úro ení (úroková sazba ) a edlh tní úro ení (dskontní sazba d) bylo shodné, musí latt: = d 1 d n d = 1+ n obecn = d < 3 Sloºené úro ení Jde o íad, kdy n > úrokové období. Po ítají se úroky z úrok... N rozené íslo (kladné celé íslo) 3.1 Základní rovnce ro sloºené úro ení olh tní Úroky sovány 1-krát ro n, n N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + ) n K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu K n budoucí hodnota katálu n doba slatnost (úroková doba) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo (1 + ) n úro tel 5

6 3.1.2 Úroky sovány m-krát ro n, n N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + )m n m K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu K n budoucí hodnota katálu n doba slatnost (úroková doba) m o et úrokových období za rok ( etnost sování úrok, frekvence úro ení) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo m úroková sazba za m-tnu roku vyjád ená jako desetnné íslo 3.2 Kombnace jednoduchého a sloºeného úro ení smí²ené úro ení Úroky sovány 1-krát ro n, n / N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n / N K n0 = K 0 (1 + ) n0 K n = K n0 (1 + l ) K n = K 0 (1 + ) n0 (1 + l ) n = n 0 + l n 0 celá ást n (nebo-l [n]), celý o et ukon ených let, rozené íslo l necelá ást roku (nebo-l (n [n])), íslo < 1 K 0 o áte ní katál K n0 katál o n 0 letech (úro í se sloºen ) K n kone ná vý²e katálu v dob slatnost n (o dobu n 0 úro eno sloºen, o dobu l úro eno jednodu²e) ro ní úroková sazba Úroky sovány m-krát ro n, n / N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n / N K n0 = K 0 (1 + m )n0 K n = K n0 (1 + l ) K n = K 0 (1 + m (1 + l ) )n0 n = n 0 + l n 0 = m [n] + očet celých úrokových období v osledním roce, rozené íslo, o et celých ukon ených úrokových období (o et ukon ených m-tn roku) l íslo men²í neº m-tna roku vyjád ené jako ást roku K 0 o áte ní katál K n0 katál o n 0 úrokových obdobích (úro í se sloºen ) K n kone ná vý²e katálu v dob slatnost n (o dobu n 0 úro eno sloºen, o dobu l úro eno jednodu²e) ro ní úroková sazba m o et úrokových období za rok 3.3 Výo et doby slatnost Úroky sovány 1-krát ro n, n N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + ) n zlogartmujeme ln K n = ln K 0 + n ln(1 + ) ln Kn ln K0 ln(1+) n = Pozn: Tento vzorec ouºjeme, okud n / N. Výsledek je sce trochu ne esný, ale nestojí to za tu rác. Srávn by ²lo totº o smí²ené úro ení. 6

7 3.3.2 Úroky sovány m-krát ro n, n N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + )m n m zlogartmujeme ln K n = ln K 0 + m n ln(1 + m ) ln Kn ln K0 m ln(1+ m ) n = Pozn: Tento vzorec ouºjeme, okud n / N. Výsledek je sce trochu ne esný, ale nestojí to za tu rác. Srávn by ²lo totº o smí²ené úro ení. 3.4 Sou asná hodnota sloºeném úro ení Úroky sovány 1-krát ro n, n N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + ) n K 0 = Kn (1+) = K n n (1 + ) n ( ) n = ν n 1 (1+) n = 1 1+ ν = 1 1+ = (1 + ) 1 ν dskontní faktor K 0 =K n ν n K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu, SH, PV K n budoucí hodnota katálu, BH, FV n doba slatnost (úroková doba) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo Úroky sovány m-krát ro n, n N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + )m n m K 0 = K n (1+ m )m n K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu, SH, PV K n budoucí hodnota katálu, BH, FV n doba slatnost (úroková doba) m o et úrokových období za rok ( etnost sování úrok, frekvence úro ení) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo m úroková sazba za m-tnu roku vyjád ená jako desetnné íslo 3.5 Sou asná hodnota smí²eném úro ení Úroky sovány 1-krát ro n, n / N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n / N K n = K 0 (1 + ) n0 (1 + l ) K K 0 = n (1+) n 0 (1+l ) n = n 0 + l n 0 celá ást n (nebo-l [n]), celý o et ukon ených let, rozené íslo l necelá ást roku (nebo-l (n [n])), íslo < 1 K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu, SH, PV K n0 katál o n 0 letech (úro í se sloºen ) K n budoucí hodnota katálu, BH, FV v dob slatnost n (o dobu n 0 úro eno sloºen, o dobu l úro eno jednodu²e) ro ní úroková sazba 7

8 3.5.2 ƒstá sou asná hodnota P eo ítáme en ºní toky K 1, K 2,..., K n na sou asnou hodnotu K 0 K 0 = K1 (1+) + K2 1 (1+) Kn 2 (1+) n ČSH = K 0 očáteční nvestce ČSH stá sou asná hodnota (NPV net resent value) Vnt ní míra výnosu (vnt ní výnosové rocento ) K = u1 (1+) + u2 1 (1+) un 2 (1+) n K vynaloºený katál n doba ºvotnost nvestce, doba na kterou o ítáme míru výnosu u 1... u n en ºní toky sojené s nvestcí v jednotlvých letech vnt ní míra výnosu (vnt ní výnosové rocento) Výo et není snadný, ouºívají se o íta e Výo et výnosnost (úrokové sazby) Úroky sovány 1-krát ro n, n N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + ) n = n K n K 0 1 K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu K n budoucí hodnota katálu n doba slatnost (úroková doba) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo Úroky sovány m-krát ro n, n N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n N K n = K 0 (1 + m )m n = m ( m n K n K 0 1) K 0 sou asná hodnota ( vodní hodnota) katálu, SH, PV K n budoucí hodnota katálu, BH, FV n doba slatnost (úroková doba) m o et úrokových období za rok ( etnost sování úrok, frekvence úro ení) ro ní úroková sazba vyjád ená jako desetnné íslo m úroková sazba za m-tnu roku vyjád ená jako desetnné íslo 3.7 Výo et úroku Úroky sovány 1-krát ro n, n N Úrokové období ro ní, úroky sovány ravdeln na konc roku, doba slatnost je n let, n N u = K n K 0 = K 0 (1 + ) n K 0 = K 0 [(1 + ) n 1] Úroky sovány m-krát ro n, n N Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky sovány m-krát ro n ravdeln na konc úrokového období, doba slatnost je n let, n N u = K n K 0 = K 0 (1 + m )m n K 0 = K 0 [(1 + m )m n 1 ] 8

9 3.8 Efektvní úroková sazba 1 + e = (1 + m )m e deální efektvní úroková sazba ro ní úroková sazba m o et úrokových období, m-krát za rok sovány úroky e = (1 + m )m Úroková ntenzta sojté úro ení [ ] 1 + e = lm (1 + m m )m = lm (1 + 1 m ) m = e m e = lm (1 + 1 m m )m e je Eulerovo íslo, e = 2, e = e 1 = ln(1 + e ) e úroková ntenzta ro ní úroková sazba m o et úrokových období v roce Sojté úro ení K n = K 0 e n Sojté dskontování K 0 = K n e n K 0 o áte ní katál K n hodnota katálu za dobu n ro ní úroková sazba Nomnální a reálná úroková sazba K r reálná vý²e katálu K 0 katál na o átku úrokového období nomnální úroková míra vyjád ená jako desetnné íslo r reálná úroková míra vyjád ená jako desetnné íslo míra nace Úrokové období ro ní K r = K 0 (1 + ) 1 1+ K r = K 0 (1 + r ) Fsherova rovnce = r + + r rotoºe r je malé zjednodu²en : r = 3.10 Hrubý a stý výnos K 0 o áte ní katál uč stý výnos (úrok) nomnální úroková míra vyjád ená jako desetnné íslo (hrubá výnosnost), n kdy zna eno h č stá výnosnost ( stá úroková sazba) d da ová sazba vyjád ená jako desetnné íslo n doba slatnost vyjád ená v letech (obvykle 0 < n < 1) čk n stá kone ná vý²e katálu Hrubý výnos u = K n 9

10 ƒstý výnos uč = K 0 n d K 0 n = K 0 (1 d) n ƒstá kone ná vý²e katálu čk n = K 0 + uč = K 0 + K 0 (1 d) n = K 0 [1 + (1 d) n] ƒstá ro ní výnosnost č = (1 d) h = č (1 d) č = čkn K0 K 0 n = uč K 0 n 4 B ºné ú ty 4.1 Z statkový z sob Úrok se o ítá z úro ení z statk ú tu. Úrokové íslo (UC) UC = K t K vý²e katálu (z statku na ú tu) t úrokové období ve dnech Úrokový d ltel () = 360 Úrok u = UC Z statek ú tu K 1 je úro en t 1 dní, z statek K 2 je úro en t 2 dní,..., z statek K r je úro en t r dní v²e úrokové mí e, ak: UC 1 = K1 t1, UC 2 = K2 t2,..., UC r = Kr tr r u = UC j j=1 4.2 Postuný z sob Úrok se o ítá z úro ení jednotlvých íjm a výdaj. Úrok se o ítá ze zm n na ú tu (z íjm a výdaj ), a to od data zm ny aº do konce období. Po áte ní stav a íjmy mají kladné UC, výdaje mají záorné UC. Úroková ísla se se tou a vyd lí úrokovým d ltelem. r u = UC j j=1 Reference [1] RADOVÁ, Jarmla; DVO ÁK, Petr; MÁLEK, J í. Fnan ní matematka ro kaºdého. 7. vydání. Praha 7 : GRADA Publshng, a.s., s. ISBN [knha] 10