LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ
|
|
- Stanislav Říha
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící podmínk sou vádřen lneárním vztah s konstantním koefcent u ednotlvých proměnných s konstantním pravým stranam soustav omezení. Základní pom Vektor řešení (,,... n ) označue řešení optmalzačního prolému. Př určování optmální výroní struktur podnku složk vektoru řešení představuí např. množství ednotlvých druhů výroků. Optmální e taková struktura výro, př které rozhoduící velčna (např.zsk, náklad ) naývá etrémní hodnot (mamální neo mnmální). Tuto rozhoduící velčnu vadřueme pomocí účelové funkce. Účelová funkce z f ( ) e funkce vektoru řešení. Př hledání optmální výroní struktur představue účelová funkce např. závslost zsku na množství ednotlvých výroků, přčemž hledáme taková množství výroků, která zaručuí mamální zsk. Mamum neo mnmum etrém účelové funkce hledáme za určtých omezuících podmínek, které ovlvňuí velkost složek vektoru řešení. Jednou z omezuících podmínek př hledání optmální struktur e vztah mez dsponlním zdro nutných k výroě a spotřeou na ednotlvé výrok. Tto omezuící podmínk nazýváme omezuící podmínk vlastní a oecně e lze zapsat ako g, g neo g, kde g e daná funkce vadřuící např. závslost ( ) ( ) ( ) ( ) spotře ednotlvého zdroe na vroeném množství výroků, a sou dané konstant představuící např. dsponlní množství surovn. Další omezuící podmínk sou podmínk nezápornost a platí pro všechn složk vektoru řešení. Matematcká formulace oecné úloh lneárního programování (LP) Na množně nezáporných řešení soustav lneárních rovnc a a a M m a a a M m... a n... a n M... a mn n n n M naděte etrém lneární funkce z c c... c n n kde, m a (,,..., m;,,..., n) sou strukturní koefcent (,,..., m c (,,..., n ) ) sou požadavková čísla sou cen Zednodušený záps matematckého modelu úloh LP T A, o, z c etrém Jana Freelová
2 A matce tpu ( m n), eíž prvk tvoří koefcent a (,,..., m;,,..., n) m-členný vektor požadavků c n-členný vektor cen n-členný vektor neznámých (proměnných) o n-členný nulový vektor Postup př sestavování modelu. určt, co e výsledkem výpočtu (co představuí složk vektoru a v akých měrných ednotkách sou uváděn). rozhodnout, z akého hledska řešení dané úloh optmalzovat, tzn. zformulovat účelovou funkc. věcně a matematck formulovat vlastní omezuící podmínk Příklad Výroce čaů má k dspozc kg sušené mát a,5 kg sušené třezalk. Má možnost vráět dva druh lnných čaů, a to čstý mátový ča neo směs mát a třezalk v poměru :. Bln sou plněn do nálevových sáčků po g. Př výroě e nutné počítat s odpadem u mát 5% a u třezalk 8%. Čstého mátového čae prodá mamálně sáčků. Zsk z ednoho sáčku čsté mát e Kč a z ednoho sáčku směs Kč. Kolk sáčků každého druhu má výroce vrot, a zsk l mamální. počet sáčků čsté mát (ks) počet sáčků směs (ks) Dsponlní množství čstých ln e: máta g 5g 85g třezalka 5 g g 8g Vlastní omezuící podmínk: Podmínk nezápornost: Účelová funkce: z ma Model LP s nárním proměnným Bnární proměnné naývaí pouze hodnot neo. Vadřuí skutečnost, že něaký ev nastal č nkolv; umožňuí matematck vádřt některé logcké vztah v modelovaném sstému. Příklad Stavení podnk s může vrat z 5 stave nevýše tak, a měsíční náklad na tto stav nepřekročl ml. Kč. Předpokládané měsíční náklad na tto stav a roční výnos z nch sou uveden v ta. (v ml. Kč). Jana Freelová
3 Ta. Stava S S S S 4 S 5 Náklad Výnos Pro které stav se má podnk rozhodnout, a předpokládané celkové roční výnos ze stave l co nevětší, estlže nemůže současně vrat stav S a S 4, ale má záem alespoň na edné stavě ze stave S, S, S 4., proměnné, které ndkuí výěr stave S, S, S, S 4 a S 5. Jsou to nární,, 4, 5 proměnné, které naývaí hodnot, pokud stava ude realzována a hodnot pokud neude realzována {,} pro,,,4,5 Vlastní omezuící podmínk Podmínk nezápornost nesou uveden, neoť nární proměnná naývá hodnot a. Účelová funkce z ma. Oecné vlastnost řešení úloh LP Úloha LP e tvořena omezuícím podmínkam vlastním, podmínkam nezápornost a účelovou funkcí. Př řešení úloh LP e soustava omezuících podmínek převedena na soustavu m rovnc o n neznámých (n>m). A la soustava m rovnc řeštelná, e nutno n-m neznámých zvolt. Tto volené neznámé sou nezákladní a neznámé, podle kterých e soustava řešena, sou základní (ázcké) neznámé. Pokud za n-m volíme, dostaneme základní (ázcké) řešení, které osahue nevýše m nenulových položek. Nedegenerované řešení počet nenulových složek základního řešení se rovná počtu nezávslých rovnc. Pokud e počet nenulových položek menší než než počet nezávslých rovnc, edná se o degenerované řešení. V úlohách LP přchází v úvahu pouze nezáporné řešení soustav přípustné řešení. Množna přípustných řešení úloh LP e množna konvení, ted konvení komnace přípustných řešení e zase přípustné řešení. Základní přípustné řešení osahue nevýše m kladných složek a vektor koefcentů těchto neznámých musí ýt lneárně nezávslé. Počet základních přípustných řešení se rovná nevýše Jana Freelová
4 ( )!!! m m n n m n - tolka způso lze zvolt n-m nulových složek, a vznkla soustava m rovnc. Optmální řešení úloh přípustné řešení, které mamalzue neo mnmalzue účelovou funkc. Základní věta lneárního programování: Má-l úloha LP optmální řešení, má nutně též základní optmální řešení. Pokud má úloha LP více základních optmálních řešení, pak každá ech konvení komnace představue též optmální řešení, úloha má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení. Příklad : řešení nemá zvolíme, zvolíme 6, zvolíme V prvních dvou případech sou sumatce koefcentů základních neznámých regulární a řešení sou základní, přípustná a nedegenerovaná. Ve třetím případě e matce sngulární, úloha nemá řešení. Příklad 4: 6, 6 6, tato řešení sou základní, nepřípustná, nedegenerovaná Příklad 5:, 6, tato řešení sou základní, přípustná, degenerovaná Vektorová nterpretace řešení soustav m rovnc o n neznámých 4 Jana Freelová
5 Vektor koefcentů základních neznámých tvoří áz m-rozměrného vektorového prostoru. Pokud základním neznámým e prvních m neznámých, vektor koefcentů těchto neznámých značíme a, a,..., a m a vektor pravých stran smolem, pak určení základního řešení e hledání koefcentů lneární komnace a a... m a m, neol hledání souřadnc vektoru v áz (a,a,,a m ). Různému výěru základních řešení odpovídaí různé áze. Hledání souřadnc vektoru v lovolné áz se provádí uď pomocí vektorové rovnce neo podle vzorce B. B Grafcké řešení úloh LP se dvěma neznámým Model úloh lneárního programování, který osahue pouze dvě neznámé, lze řešt grafck v rovně pravoúhlých souřadných os. V této rovně se neprve zorazí všechn omezuící podmínk (nerovnce a rovnce), potom se nade ech průnk v I. kvadrantu. Průnk představue množnu všech přípustných řešení, na které se vhledá etrém účelové funkce. Postup lustrueme na úloze s ča (vz příklad ). Matematcký model úloh: počet sáčků čsté mát (ks) počet sáčků směs (ks) Vlastní omezuící podmínk: a) ) c) Podmínk nezápornost: Účelová funkce: z ma Grafcké řešení úloh 5 Jana Freelová
6 Každá nerovnce se dvěma proměnným e geometrck zorazena polorovnou. Hranční přímka této polorovn e určena rovncí získanou z příslušné nerovnce použtím znaménka rovnost. Která z opačných polorovn vťatých hranční přímkou vhovue dané nerovnc zstíme tak, že dosadíme do nerovnce souřadnce lovolného odu. Pokud nerovnce platí, pak e to polorovna, ve které tento od leží. Pokud neplatí, e to polorovna opačná. Neprve znázorníme všechn omezuící podmínk v rovně souřadných pravoúhlých os. 6 Jana Freelová
7 Společnému řešení všech nerovnc tvořících soustavu omezuících podmínek odpovídá průnk příslušných polorovn a I. kvadrantu. Podmínk sou v našem příkladu označen písmenk a,, c. Pokud l tento průnk prázdný, úloha nemá přípustné řešení. Neprázdný průnk všech polorovn a přímek, které sou konvení útvar, e opět konvení útvar, který má konečný počet kraních odů (vrcholů) a který e uď omezený neo neomezený. Tento průnk označueme ako množnu κ. Souřadnce akéhokolv odu z množn κ představuí přípustné řešení úloh. Kraní od množn κ (v našem příkladu sou tto vrchol označen písmen A, B, C, D, E) představuí základní přípustná řešení. Pokud má úloha optmální řešení, e to eden z vrcholů představuících základní přípustná řešení. Pro nalezení etrému účelové funkce na množně přípustných řešení sestroíme graf této funkce pro eí dvě lovolně zvolené hodnot. V našem příkladu sme zvoll neprve hodnotu 7 Jana Freelová
8 6 a potom hodnotu. Tím získáme dvě rovnoěžné přímk. Ze vzáemné poloh těchto dvou přímek můžeme určt směr, který odpovídá růstu, popř. poklesu hodnot účelové funkce. Přímka znázorňuící účelovou funkc pak posouváme rovnoěžně příslušným směrem až do posledního odu, který e společný s množnou κ. Pokud e množna κ neomezená, účelová funkce naývá neomezeně velkých neo neomezeně malých hodnot. Grafckým řešení úloh sme zstl, že optmální řešení se nachází v odě B. Toto lze prověřt postupným dosazením souřadnc všech kraních odů do účelové funkce. Bod A má souřadnce [; 45] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 5. Bod B má souřadnce [78; 45] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 9. Bod C má souřadnce [; 8,] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu 5. Bod D má souřadnce [; ] a po dosazení do účelové funkce získáme hodnotu. Bod E má oě souřadnce nulové, ted hodnota účelové funkce e nulová. V odě B e hodnota účelové funkce nevětší. Znamená to, že nevšší zsk (9 Kč) dosáhneme př výroě 78 sáčků čsté mát a 45 sáčků směs. Zvláštní případ řešení úloh LP a) podmínk s odporuí úloha nemá přípustné řešení ) úloha má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení graf účelové funkce e rovnoěžný s některou z přímek, které omezuí množnu κ c) množna přípustných řešení e neomezená hodnota z neomezeně roste č klesá 8 Jana Freelová
9 d) hledání celočíselného řešení na množně přípustných řešení nás zaímaí en řešení ležící na průsečících svslých a vodorovných přímek, mez nmž e ednotková vzdálenost SIMPLEXOVÁ METODA Je to unverzální, terační metoda, k optmálnímu řešení se dostaneme v krocích. Přecházíme podle určtých pravdel od výchozího základního přípustného řešení dané úloh k ným základním přípustným řešením, která dávaí lepší hodnotu účelové funkce, až do dosažení optma. Algortmus smpleové metod:. získání výchozího základního přípustného řešení. provedení testu optma; estlže řešení není optmální, následue další krok. přechod k novému základnímu přípustnému řešení s lepší hodnotou účelové funkce 4. opakování. a.kroku až do nalezení optma, popř. až do zštění, že hodnota účelové funkce e neomezená Stanovení výchozího přípustného řešení úloh LP Proměnné, které sou osažen v původních omezuících podmínkách, se nazývaí strukturní proměnné. Omezuící podmínk ve tvaru nerovnc e nutné neprve převést na rovnce pomocí doplňkových proměnných. Matce soustav musí osahovat ednotkovou sumatc, kterou tvoří koefcent základních proměnných (kanoncký tvar). Nerovnce tpu - přčítáme doplňkové proměnné d, které představuí nevužtí horní hrance příslušného omezení, v účelové funkc maí tto doplňkové proměnné nulové koefcent. Nerovnce tpu - odečítáme doplňkové proměnné d, které představuí překročení dolní hrance příslušného omezení; v účelové funkc maí opět nulové koefcent a zároveň přčítáme k levým stranám eště tzv. umělé proměnné u. Pokud e omezení ve tvaru rovnce, též přčítáme umělé proměnné Zavedením umělých proměnných získáme rozšířenou úlohu k dané úloze, která e s původní ekvvalentní, pokud se umělé proměnné rovnaí nule. Pokud neestue přípustné řešení 9 Jana Freelová
10 rozšířené úloh s nulovým hodnotam umělých proměnných, nemá původní úloha řešení. Umělé proměnné se snažíme ze základního řešení vloučt, a to následuícím způso:.umělým proměnným přřazueme prohtvní cenu (u mamalzačních úloh nízké záporné číslo M a u mnmalzačních úloh vsoké kladné číslo M). Mnmalzueme součet umělých proměnných, který e vžd nezáporný (pokud součet, estue přípustné řešení úloh a pak řešíme dále ěžným způsoem; pokud součet >, původní úloha nemá přípustné řešení) Příklad:, 4 7 z 5,, ma Nerovnce převedeme na rovnce pomocí doplňkových proměnných:, d 9. 7 d 5 4,5 d Pro získání rovnc v kanonckém tvaru musíme přčíst eště umělé proměnné:, 4 7 z 5,5 d d u 8 d 9 u d 5 d d Mu Mu ma Pokud u u, oě soustav sou ekvvalentní. SIMPLEXOVÁ TABULKA Mamalzační úloh Příklad 6 Podnk vráí výrok V a V, přčemž má k dspozc omezené množství surovn S t a S 9 t. Cena výroku V e 5 ts.kč a cena výroku V e 8 ts.kč. Kolk kterých výroků Jana Freelová
11 má podnk vráět, a měl mamální trž? Spotřea oou surovn na výrok V a V sou uveden v následuící taulce. V V S,,5 S Matematcký model úloh: počet výroků V (ks) počet výroků V (ks), z 5,,5 9 8 ma, z 5,5 d 8 d 9 Koefcent strukturních a doplňkových proměnných zapíšeme do následuící taulk. První sloupec taulk osahue proměnné, které sou v áz (struktura áze). V áz sou proměnné, echž vektor tvoří ednotkovou matc. Další sloupce sou nadepsán smol všech proměnných, které se v úloze vsktuí. Hodnot ázckých proměnných zstíme v posledním sloupc taulk ( - vektor pravých stran). Poslední řádek taulk (ndení řádek označený písmenkem z ) osahue anulovanou rovnc účelové funkce. Hodnotu účelové funkce v ednotlvých krocích zstíme na průsečíku sloupce a ndeního řádku z. áze d d d,,5 d 9 z -5-8 Uvedené řešení e optmální, pokud neestue né základní přípustné řešení, které dávalo všší hodnotu účelové funkce (u mamalzačních úloh se v ndením řádku už nevsktue záporné číslo). V našem případě sou u výchozího řešení základní neznámé (osažené ve sloupc áze) d a d (d a d 9). Nezákladní proměnné sou zde a ( a ). Jana Freelová
12 Účelová funkce z 5* 8* * *9. Protože se v ndením řádku vsktuí záporná čísla, lze řešení zlepšt. Postup př řešení smpleovou metodou: V ndením řádku nademe nenžší číslo tento sloupeček označíme ako klíčový. Proměnná, která e nadepsaná v záhlaví klíčového sloupce se stane v dalším kroku základní, ted vstoupí do áze. Pak dělíme postupně pravou stranu kladným číslem v klíčovém sloupc pro všechn základní neznámé (pokud v klíčovém sloupc není kladné číslo, z e neomezená). Tam, kde vde podíl nenžší, to pole označíme ako klíčové (v naší taulce označené žlutě). Proměnná v řádku, ke kterému přísluší nenžší podíl z áze vstoupí. Úpravam musíme dostat do klíčového pole a nad a pod ně, pomocí Gauss-Jordanov elmnační metod. Novou základní proměnnou zapíšeme do sloupce áze namísto vloučené proměnné áze d d d,,5 d 9 z /5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 Základní neznámé sou nní a d ( 8 a d ) Nezákladní neznámé sou a d ( a d ) Účelová funkce z 5* 8*8 * * 64. V ndením řádku se ž nevsktue záporné číslo, řešení e optmální. Mnmalzační úloh Do řešení vstupue neznámá, která má v ndením řádku nevšší kladné číslo, vlučovanou proměnnou určueme steným způsoem ako u mamalzačních úloh. Optma e dosaženo tehd, pokud sou v ndením řádku pouze nekladná čísla. Zadání vz příklad 6. Matematcký model úloh: počet výroků V (ks) počet výroků V (ks) INTERPRETACE VÝSLEDNÉ SIMPLEXOVÉ TABULKY Jana Freelová
13 , z 5,,5 9 8 ma áze d d d,,5 d 9 z /5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 V úloze sou dvě strukturní proměnné (, ) a dvě doplňkové proměnné (d, d ). Ve výsledné taulce, ke které sme došl hned po prvním kroku smpleového algortmu, sou v áz proměnné a d (struktura áze se zšťue v prvním sloupečku taulk a postupně se mění). Hodnot těchto proměnných se zšťuí v příslušném řádku vžd v posledním sloupc ( 8 a d ). Hodnota účelové funkce se zstí v pravém dolním rohu výsledné taulk (z 64). Ostatní proměnné ( a d ) se v áz nevsktuí a maí ted nulovou hodnotu. V ndením řádku v konečné taulce sou pod ázckým proměnným nul a pod neázckým proměnným 7/5 a 6/. V našem příkladu to znamená, že mamální možný zsk 64 ts.kč nám zastí výroa 8 ks výroku V (výrok V se neudou vráět vůec). Surovnu S spotřeueme eze ztku a surovn S nám zůstane t. (druhá omezuící podmínka není splněna ako rovnce, neoť d, proto ztek S e t. Číslo 7/5 pod strukturní neázckou proměnnou nám ukazue, o kolk se zhoršla hodnota účelové funkce př zařazení edné ednotk proměnné do áze. V našem případě to znamená, že pokud chom do výroního programu zařadl výroek V (vrol chom ks tohoto výroku za původních podmínek), klesl trž na 6,6 ts.kč (64 7/5). Zároveň klesl počet vroených výroků V na 7, ks (8 4/5) a zlo méně surovn S ( /5), ted,8 t. Číslo 6/ pod doplňkovou neázckou proměnnou d se vztahue k první omezuící podmínce. Pokud chom první omezuící podmínku zmírnl (namísto t surovn chom měl k dspozc t této surovn), hodnota účelové funkce se zvýšla na 69, ts.kč (64 6/). Počet vroených výroků V se zvýšl na 8,66 ks (8 /) a ztek surovn se snížl na, t ( /). Př zpřísnění první omezuící podmínk se hodnota účelové funkce naopak snížla, počet vroených výroků V rovněž a naopak ztek surovn S se zvýšl. A, o, z c A matce tpu ( m n) MATICOVÝ ZÁPIS SIMPLEXOVÉ TABULKY T etrém m-členný vektor požadavků c n-členný vektor cen, eíž prvk tvoří koefcent a (,,..., m;,,..., n) Jana Freelová
14 n-členný vektor neznámých (proměnných) o n-členný nulový vektor Kanoncký tvar A E -c T o T E ednotková matce m-tého řádu o T m-členný řádkový nulový vektor V každém kroku smpleové taulk se původní soustava transformue do ného kanonckého tvaru s ednotkovou matcí na ném místě, tomu odpovídá změna áze. áze d d d,,5 d 9 z -5-8,,5 T A,, c ( 5, 8), 9 B d d d / B,5, B / / 8 B / 9 áze d d d,,5 d 9 z /5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 Struktura matce áze B se určue v ednotlvých krocích ve sloupečku áze (v našem případě e struktura matce áze po prvním kroku - proto BB - a d ). Hodnot v matc se vezmou vžd z výchozí smpleové taulk ve sloupečku proměnné, která e zařazena v příslušném kroku do áze (v našem příkladu ve výchozí taulce ve sloupečku pod a d ). Inverzní matce áze po prvním kroku se značí B. V taulce sou oě matce označen arevně. B A vektor koefcentů u strukturních proměnných ve výsledné smpleové taulce 4 Jana Freelová
15 /,,5 4/5 / /5 Hodnot základních proměnných ve výsledné taulce se spočítaí takto: / 8 B / 9 Struktura áze výsledné smpleové taulk e a d. Ve výchozí taulce v ndením řádku nademe ech cen. T c 8; ( ) ( ) B Jednotlvé část ndeního řádku lze určt takto: T 4/5 ( cb ) B A c ( 8;) ( 5;8) ( 7 /5; /5 T / ( cb ) B ( 8;) ( 6/;) / T 8 ( cb ) B ( 8;) 64 T ) ANALÝZA CITLIVOSTI Rozor ctlvost optmálního řešení na změn (stalta optmálního řešení). Změn se mohou týkat vstupních dat (vektor požadavků, vektor cen a matce strukturních koefcentů), dále počtu proměnných a počtu omezuících podmínek. Změní se uď údae ve výsledné smpleové taulce př zachování optmální áze, neo se změní struktura optmální áze. Změna vektoru požadavků Jakákolv změna ve vektoru požadavků se proeví v hodnotách základních proměnných a v hodnotě účelové funkce B Δ B B Δ ( ) o 8 / / Δ Δ Změna v. omezuící podmínce: Δ Δ 8 / Δ / 8 / Δ / Δ Δ, / Δ Δ / 5 Jana Freelová
16 Pokud pravá strana omezuící podmínk ude v ntervalu ;, 5, nezmění se struktura áze. Pokud ude pravá strana menší než, úloha nemá přípustné řešení; pokud e větší než,5, změní se struktura áze. Změna v. omezuící podmínce: Δ Δ 8 / / 8 Δ Δ Δ, Δ Δ Δ může ýt lovolné Pokud pravá strana. omezuící podmínk ude v ntervalu 8,, struktura áze se nezmění. Změna ve vektoru cen Př změně vektoru cen se změní údae pouze v ndením řádku: a) změna cen nezákladních proměnných se neproeví v hodnotě účelové funkce, zšťueme, ak velká změna cen zvolené nezákladní proměnné musí ýt, a se stala základní proměnnou ) změna cen základních proměnných ovlvní hodnotu účelové funkce; změna cen musí ýt v určtém ntervalu, a nenastala změna áze; pokud se cena základní proměnné rovná edné z mezí tohoto ntervalu, udou estovat rovnocenná optmální řešení Dualta v úlohách LP Ke každé úloze LP můžeme formulovat úlohu duálně sdruženou, která e k původní (tzv.prmární) úloze v ednoznačném vztahu. Oecné vztah mez duálně sdruženým smetrckým úloham prmár duál Počet proměnných n m Počet vlastních omezení m n Matce strukturních koefcentů A A T Vektor požadavků c Vektor cen c Tp omezení Nezápornost proměnných ano ano Tp etrému účelové funkce Ma. Mn. 6 Jana Freelová
17 Pokud sou některá vlastní omezení prmární mamalzační úloh tpu, musíme e převést na omezení tpu vnásoením (-). Podoně pokud sou v prmární mnmalzační úloze omezení tpu, musíme e převést na omezení tpu vnásoením (-). Příklad 7:, PRIMÁR z 5,,5 9 8 ma.,,5 8 DUÁL f 9, 5 mn. Příklad 8: PRIMÁR z, ma. 6 4 DUÁL f 85 8,, mn. Nesmetrcké duální úloh Pokud soustava omezuících podmínek osahue omezení ve tvaru rovnc, u duálních proměnných není požadovaná nezápornost. Příklad 9: PRIMÁR 5 z 4, 5 5 ma. DUÁL,, f mn. nemusí ýt nezáporné Vztah mez řešením duálně sdružených úloh. Pokud má prmár konečné optmální řešení, pak duál má konečné optmální řešení optmální hodnot se soě rovnaí z ma f mn 7 Jana Freelová
18 . Pokud v prmáru e hodnota účelové funkce neomezená, pak v duálu neestue přípustné řešení. Pokud v prmáru neestue přípustné řešení, v duálu účelová funkce neomezeně roste neo klesá neo neestue přípustné řešení Řešením edné ze sdružených úloh získáme řešení druhé úloh a naopak. Řešení nademe ve výsledné smpleové taulce, a to v ndením řádku. Optmální hodnot duálních strukturních proměnných nademe v ndením řádku výsledné smpleové taulk, a to pod přčítaným prmárním doplňkovým proměnným a naopak. Ve sloupečku pod strukturním proměnným v ndením řádku konečné smple. taulk prmární úloh nademe hodnot doplňkových proměnných duálu. Příklad : PRIMÁR DUÁL, z 5,,5 9 8 ma f,,5, mn.,,5 d d 9,,5 g g 5 8 áze d d d,,5 d 9 z /5 / 8 d /5 -/ z 7/5 6/ 64 g 6/ 8 g 7/5 d 8 Jana Freelová
19 g d f mn 64 z ma 64 ( ) ( ) ( ) f c z T B T B mn ma ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), B c B c T B T B T B T B Pokud edna z úloh má nekonečně mnoho rovnocenných optmálních řešení, pak druhá úloha má degenerované řešení. Pokud e prmární úloha mnmalzační, ndení řádek ve výsledné smpleové taulce osahue pouze nekladná čísla. Optmální hodnot duálních proměnných se rovnaí asolutním hodnotám příslušných ndeních čísel. Podle stených pravdel určíme optmální řešení prmární úloh, pokud známe výslednou taulku příslušné duální úloh. Můžeme se rozhodnout, kterou úlohu udeme řešt, která e pro nás z výpočetního hledska výhodněší. Věta o komplementárnost doplňkových proměnných Pokud některé omezení v optmálním řešení ednoho ze sdružených prolémů e splněno ako ostrá nerovnost, odpovídaící duální proměnná se rovná nule. > > > > < > m m n n c a g c a g a d a d Ekonomcká nterpretace dualt Duální proměnné představuí ocenění ednotkového rozsahu daných výroních zdroů ( ) ( ) ( )... m m z. Nní předpokládeme změnu požadavkového čísla k o hodnotu Δ k, kde. k m Pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k m m k k k z z z Δ Δ Δ Δ ( ), neol ( ) k k z Δ Δ. 9 Jana Freelová
20 Optmální hodnota duální proměnné udává změnu optmální hodnot účelové funkce přpadaící na ednotkovou změnu pravé stran příslušného omezení v prmáru. Duálně smpleová metoda Optmální áze úloh LP musí splňovat dva požadavk:. hodnota základních proměnných musí ýt nezáporná. ndení řádek musí splňovat test optma Je-l splněn pouze. od, áze e prmárně přípustná, př splnění pouze odu e duálně přípustná. Algortmus smple. metod spočívá ve stanovení výchozí prmárně přípustné áze a v postupné transformac této áze v áz, která e přípustná duálně prmárně smpleový algortmus. V některých případech e nutné přeít od áze duálně přípustné, ale prmárně nepřípustné, k áz přípustné prmárně. Tento algortmus se nazývá duálně smpleová metoda. Př ní určueme neprve vloučenou základní proměnnou a potom teprve proměnnou zařazenou do řešení. Z řešení vstoupí proměnná s nenžším záporným číslem ve sloupc a zařazená proměnná se určí tak, že ndení čísla nezákladních proměnných dělíme asolutním hodnotam odpovídaících záporných koefcentů v klíčovém řádku ( u mnmalzačních úloh ereme tato čísla v asolutní hodnotě). Jana Freelová
2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VícePOKYNY. k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012
dz_12dpfo5405_19_pok.pdf - Adobe Acrobat Professional POKYNY k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických osob za zdaňovací období (kalendářní rok) 2012 Pokyny k vyplnění přiznání k dani z příjmů fyzických
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
Více1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
VíceVýzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA NOVÁ ROLE Školní 9, Nová Role, PSČ: 362 25, Tel: 353 851 179 Dodavatel: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina 1. Zadavatel Výchovný
VícePracovní návrh. VYHLÁŠKA Ministerstva práce a sociálních věcí. ze dne.2013. o hygienických požadavcích na prostory a provoz dětské skupiny do 12 dětí
Pracovní návrh VYHLÁŠKA Ministerstva práce a sociálních věcí ze dne.2013 o hygienických požadavcích na prostory a provoz dětské skupiny do 12 dětí Ministerstvo práce a sociálních věcí stanoví podle 26
Více1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204
.2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceVyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích
Změny 1 vyhláška č. 294/2015 Sb. Vyhláška č. 294/2015 Sb., kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a která s účinností od 1. ledna 2016 nahradí vyhlášku č. 30/2001 Sb. Umístění svislých
VíceMETODY SKUPINOVÉ SP I.
METODY SKUPINOVÉ SP I. Jitka N. Sinecká MSSP. 2 Druhy skupin Typologie pojetí skupin Podle velikosti -rozhodující je způsob kontaktu Malé skupiny umožňují bezprostřední kontakt "tváří v tvář" ( 20-40 osob)
VíceVěc: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce s názvem: VÚ a ŠJ PŠOV, Nákup nového osmimístného vozidla
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA PŠOV PŠOV 1 Podbořany 441 01 Tel. ředit: 415 211 297, Mobil ředit.: 736 633 595, Tel. ústředna: 415 214 615, e - mail: a.sava@seznam.cz, Fax: 415 211529, www.vupsov.cz Věc:
VíceŽáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,
VíceKategorizace zákazníků
Kategorizace zákazníků Obsah: 1. Úvodní ustanovení... 1 2. Kategorie zákazníků... 1 2.1 Neprofesionální zákazník... 1 2.2 Profesionální zákazník... 2 2.3 Způsobilá protistrana... 3 3. Přestupy mezi kategoriemi
VíceNávrh rozměrů plošného základu
Inženýrský manuál č. 9 Aktualizace: 02/2016 Návrh rozměrů plošného základu Program: Soubor: Patk Demo_manual_09.gpa V tomto inženýrském manuálu je představeno, jak lze jednoduše a ektivně navrhnout železobetonovou
VícePŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ Strana Vyhledávání textu - přidržte klávesu Ctrl, kurzor umístěte na příslušný řádek a klikněte levým tlačítkem myši. 1. Právní předpisy upravující přijímací řízení ke studiu ve střední
VíceVYHLÁŠKA. ze dne 7. ledna 2015, kterou se mění vyhláška č. 177/1995 Sb., kterou se vydává stavební a technický řád drah, ve znění pozdějších předpisů
8 VYHLÁŠKA ze dne 7. ledna 2015, kterou se mění vyhláška č. 177/1995 Sb., kterou se vydává stavební a technický řád drah, ve znění pozdějších předpisů Ministerstvo dopravy stanoví podle 66 odst. 1 zákona
VíceVýběrové řízení zakázka na dodávku ZADÁVACÍ DOKUMENTACE
Výběrové řízení zakázka na dodávku ZADÁVACÍ DOKUMENTACE k veřejné zakázce: ZAKÁZKA NA DODÁNÍ NOTEBOOKŮ A PŘÍSLUŠNÉHO SOFTWARE NA SŠP, OLOMOUC, ROOSEVELTOVA 79 Název zakázky: Zakázka na dodání notebooků
VíceVyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio
Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3
VíceSvážíme bioodpad z obce Veselý Žďár malé komunální vozidlo s hákovým nosičem, kontejnery a sítě na kontejnery
Výzva a zadávací dokumentace k podání nabídky a k prokázání kvalifikace a zadávací podmínky pro vypracování nabídky na podlimitní veřejnou zakázku na dodávku malého komunálního vozidla s hákovým nosičem
VíceKAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2
KAPITOLA 6.3 POŽADAVKY NA KONSTRUKCI A ZKOUŠENÍ OBALŮ PRO INFEKČNÍ LÁTKY KATEGORIE A TŘÍDY 6.2 POZNÁMKA: Požadavky této kapitoly neplatí pro obaly, které budou používány dle 4.1.4.1, pokynu pro balení
VíceM Ě S T O I V A N Č I C E Palackého náměstí 196/6, 664 91 Ivančice
M Ě S T O I V A N Č I C E Palackého náměstí 196/6, 664 91 Ivančice Vaše značka/dopis ze dne: Č.j.: Vyřizuje/linka: V Ivančicích dne: OTI Ing. Josef Janíček 4. 6. 2010 Věc: Výzva k podání nabídky-veřejná
VíceManažerské koučování/mentoring pro zaměstnance SZIF
Výzva k podání nabídky a k prokázání splnění kvalifikace do zadávacího řízení na zadání veřejné zakázky malého rozsahu na služby s názvem: Manažerské koučování/mentoring pro zaměstnance SZIF Tato výzva
VíceSystém sběru vytříděných složek odpadu v Telči a jejich evidence software
Výzva a zadávací dokumentace k podání nabídky a k prokázání kvalifikace a zadávací podmínky pro vypracování nabídky na podlimitní veřejnou zakázku na dodávky s názvem: Systém sběru vytříděných složek odpadu
VícePŘÍLOHA 1.6 SMLOUVY O PŘÍSTUPU K VEŘEJNÉ PEVNÉ KOMUNIKAČNÍ SÍTI LOGISTIKA KONCOVÝCH ZAŘÍZENÍ
PŘÍLOHA 1.6 SMLOUVY O PŘÍSTUPU K VEŘEJNÉ PEVNÉ KOMUNIKAČNÍ SÍTI LOGISTIKA KONCOVÝCH ZAŘÍZENÍ Obsah 1 Koncová zařízení... 3 2 Charakteristika typů služeb logistika KZ Dodání KZ, Instalace KZ... 3 3 Další
VíceNÚOV Kvalifikační potřeby trhu práce
Zadavatel: Národní ústav odborného vzdělávání v Praze se sídlem: Weilova 1271/6, 102 00 Praha 10, IČ: 00022179 zastoupený : RNDr. Miroslavem Procházkou, CSc. prostřednictvím osoby pověřené výkonem zadavatelských
VíceRychnov nad Kněžnou. Trutnov VÝVOJ BYTOVÉ VÝSTAVBY V KRÁLOVÉHRADECKÉM KRAJI V LETECH 1998 AŽ 2007 29
3. Bytová výstavba v okresech Královéhradeckého kraje podle fází (bez promítnutí územních změn) Ekonomická transformace zasáhla bytovou výstavbu velmi negativně, v 1. polovině 90. let nastal rapidní pokles
VíceSoutěž o návrh. dle ustanovení 103 a násl. zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen ZVZ )
Soutěž o návrh dle ustanovení 103 a násl. zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen ZVZ ) Kontaktní osoba: Filip Cabaj Tel.: 267 994 287 Fax: 272 936 597 E-mail: Filip.Cabaj@sfzp.cz Název
VíceObchodní podmínky pro spolupráci se společností Iweol EU s.r.o.
Obchodní podmínky pro spolupráci se společností Iweol EU s.r.o. 1. ÚVODNÍ USTANOVENÍ 1.1. Tyto obchodní podmínky (dále jen obchodní podmínky ) obchodní společnosti Iweol EU s.r.o., se sídlem Kovářská 140/10,
VíceKótování na strojnických výkresech 1.část
Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceNařizování exekuce a pověření exekutora
POZMĚŇOVACÍ NÁVRH k vládnímu návrhu zákona, kterým se mění zákon č. 99/1963 Sb., občanský soudní řád, ve znění pozdějších předpisů, a další související zákony (tisk 537) Nařizování exekuce a pověření exekutora
VícePALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ
PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ Charakteristika a použití Příhradový regál SUPERBUILD je určen pro zakládání všech druhů palet, přepravek a beden všech rozměrů a pro ukládání kusového, volně
VíceDaniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ
PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
VíceSnímače tlaku a síly. Snímače síly
Snímače tlaku a síly Základní pojmy Síla Moment síly Tlak F [N] M= F.r [Nm] F p = S [ Pa; N / m 2 ] 1 bar = 10 5 Nm -2 1 torr = 133,322 Nm -2 (hydrostatický tlak rtuťového sloupce 1 mm) Atmosférický (barometrický)
Více269/2015 Sb. VYHLÁŠKA
269/2015 Sb. - rozúčtování nákladů na vytápění a příprava teplé vody pro dům - poslední stav textu 269/2015 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. září 2015 o rozúčtování nákladů na vytápění a společnou přípravu teplé
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE. k zakázce malého rozsahu: ZAKÁZKA MALÉHO ROZSAHU NA DODÁNÍ NÁBYTKU V RÁMCI PROJEKTU KVALITNÍ A EFEKTIVNÍ VÝUKA.
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE k zakázce malého rozsahu: ZAKÁZKA MALÉHO ROZSAHU NA DODÁNÍ NÁBYTKU V RÁMCI PROJEKTU KVALITNÍ A EFEKTIVNÍ VÝUKA Stránka 1 z 15 Název zakázky: Zakázka malého rozsahu na dodání nábytku
VíceOvoce do škol Příručka pro žadatele
Ve smečkách 33, 110 00 Praha 1 tel.: 222 871 556 fax: 296 326 111 e-mail: info@szif.cz Ovoce do škol Příručka pro žadatele OBSAH 1. Základní informace 2. Schválení pro dodávání produktů 3. Stanovení limitu
VíceDRAŽEBNÍ ŘÁD PRO DRAŽBU NEMOVITOSTÍ
DRAŽEBNÍ ŘÁD PRO DRAŽBU NEMOVITOSTÍ Článek 1. Základní ustanovení Tento Dražební řád stanoví organizaci a průběh dražby nemovitostí (dále jen dražba) realizované soudním exekutorem při provádění exekucí
VíceMETODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA
METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA Získávání tepla ze vzduchu Tepelná čerpadla odebírající teplo ze vzduchu jsou označovaná jako vzduch-voda" případně vzduch-vzduch". Teplo obsažené
VíceČÁST II. POPLATEK ZE PSŮ
OBEC PŘÍBRAM NAMORAVĚ Obecně závazná vyhláška č. 2/2010, o místním poplatku ze psů, za užívání veřejného prostranství a poplatku ze vstupného Zastupitelstvo obce Příbram na Moravě se na svém zasedání dne
VíceVýzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu
Výzva k podání nabídky a k prokázání kvalifikace pro VZ malého rozsahu Název veřejné zakázky: Ušití stejnokrojových součástí pro OLO v letech 2015-2018 Identifikace zadavatele: Zadavatel: Řízení letového
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceMezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.
Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceS t r á n k a 1 I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í
S t r á n k a 1 Zadavatel: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, příspěvková organizace Jeruzalémská 957/12 110 06 Praha 1 IČ: 72029455 DIČ: CZ72029455 Zastoupený: Mgr. Martinem Machem, ředitelem
VíceNovinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25
Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceKVALIFIKAČNÍ DOKUMENTACE k veřejné zakázce zadávané podle zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů
KVALIFIKAČNÍ DOKUMENTACE k veřejné zakázce zadávané podle zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů název veřejné zakázky: Regenerace zeleně vybraných lokalit města Dvůr
VíceDohoda o složení základní zálohy na koupi nebytové jednotky
Dohoda o složení základní zálohy na koupi nebytové jednotky číslo smlouvy: SLÁDEK GROUP, a.s. se sídlem Benešov, Jana Nohy 1441,PSČ 256 01 IČ: 46356886, DIČ: CZ46356886 zapsaná v obchodním rejstříku vedeném
VíceZadávací dokumentace k veřejné zakázce
Zadávací dokumentace k veřejné zakázce Otevřené řízení Tato veřejná zakázka na stejnokroj pánský a dámský je zadávána v otevřeném zadávacím řízení podle 21 odst. 1 písm. a) zákona č. 137/2006 Sb. o veřejných
VícePokyn D - 293. Sdělení Ministerstva financí k rozsahu dokumentace způsobu tvorby cen mezi spojenými osobami
PŘEVZATO Z MINISTERSTVA FINANCÍ ČESKÉ REPUBLIKY Ministerstvo financí Odbor 39 Č.j.: 39/116 682/2005-393 Referent: Mgr. Lucie Vojáčková, tel. 257 044 157 Ing. Michal Roháček, tel. 257 044 162 Pokyn D -
VíceOBEC PETKOVY, okres Mladá Boleslav. Obecně závazná vyhláška obce Petkovy č. 1/2013
OBEC PETKOVY, okres Mladá Boleslav Obecně závazná vyhláška obce Petkovy č. 1/2013 o systému shromažďování, sběru, přepravy, třídění, využívání a odstraňování komunálních odpadů a o místním poplatku za
VíceSpecifikace pravidel hodnocení pro vzdělávací obor: český jazyk a literatura
Specifikace pravidel hodnocení pro vzdělávací obor: český jazyk a literatura Na základě 69 zákona 561/2004 Sb., na základě 3, 4 vyhlášky MŠMT 13/2005 (o středním vzdělávání), 14, 15 a 16 vyhlášky MŠMT
VícePředmětem zakázky je dodávka a instalace výpočetní techniky včetně software.
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE K VEŘEJNÉ ZAKÁZCE 1. NÁZEV VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Název veřejné zakázky na služby: Dodávka a instalace výpočetní techniky pro SOŠ SE Velešín 2. IDENTIFIKAČNÍ ÚDAJE ZADAVATELE Obchodní firma
VíceSMĚRNICE EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY 2009/76/ES
L 201/18 Úřední věstník Evropské unie 1.8.2009 SMĚRNICE EVROPSKÉHO PARLAMENTU A RADY 2009/76/ES ze dne 13. července 2009 o hladině akustického tlaku kolových zemědělských a lesnických traktorů působícího
VíceSTATUT NÁRODNÍ SOUTĚŽ VÍN. Velkopavlovická vinařská podoblast
STATUT NÁRODNÍ SOUTĚŽ VÍN Velkopavlovická vinařská podoblast 1. Úvodní ustanovení 2012 Posláním soutěže je zvýšení odborné úrovně a porovnání vín s původem ve Velkopavlovické vinařské podoblasti. Cílem
Více1. LINEÁRNÍ APLIKACE OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
1. LNEÁNÍ APLKACE OPEAČNÍCH ZESLOVAČŮ 1.1 ÚVOD Cílem laboratorní úlohy je seznámit se se základními vlastnostmi a zapojeními operačních zesilovačů. Pro získání teoretických znalostí k úloze je možno doporučit
VíceVYHLÁŠKA ČÁST PRVNÍ STÁTNÍ ZKOUŠKY Z GRAFICKÝCH DISCIPLÍN. Předmět úpravy
58 VYHLÁŠKA ze dne 10. února 2016 o státních zkouškách z grafických disciplín a o změně vyhlášky č. 3/2015 Sb., o některých dokladech o vzdělání Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy stanoví podle
VíceC) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR
Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,
VíceFraktální analýza tiskových struktur
Fraktální analýza tiskových struktur O. Zmeškal, M. Nežádal, M. Buchníček, J. Fedák * Ústav fyzikální a spotřební chemie, FCH VUT Brno, Purkyňova 118, 612 00 Brno * Katedra polygrafie a aplikované fotochemie,
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE k veřejné zakázce: SOUHRNNÁ ZAKÁZKA NA DODÁNÍ DROBNÉHO HMOTNÉHO MAJETKU A NÁŘADÍ NA VÝUKU NA SŠT PŘEROV, KOUŘÍLKOVA 8 PRO OBOR AUTOMECHANIK 1 Vymezení předmětu veřejné zakázky...4
VícePříloha č. 3 VÝKONOVÉ UKAZATELE
Příloha č. 3 VÝKONOVÉ UKAZATELE OBSAH 0. ÚVODNÍ USTANOVENÍ... 3 0.1. Vymezení obsahu přílohy... 3 0.2. Způsob vedení evidencí... 3 0.3. Hodnocené období... 4 1. VÝKONOVÉ UKAZATELE ODPADNÍ VODA... 5 1.1.
VíceTALISMAN. (dále také jen TAL 5.0 )
ZVLÁŠTNÍ POJISTNÉ PODMÍNKY PRO INVESTIČNÍ ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ AVIVA ŽIVOTNÍ POJIŠŤOVNY, A.S. TALISMAN (dále také jen TAL 5.0 ) Článek 1 Úvodní ustanovení 1. Tyto Zvláštní pojistné podmínky (dále také jen
VíceČeský úřad zeměměřický a katastrální vydává podle 3 písm. d) zákona č. 359/1992 Sb., o zeměměřických a katastrálních orgánech, tyto pokyny:
Český úřad zeměměřický a katastrální POKYNY Č. 44 Českého úřadu zeměměřického a katastrálního ze dne 20.12.2013 č.j. ČÚZK- 25637/2013-22, k zápisu vlastnictví jednotek vymezených podle zákona č. 72/1994
VíceŘÁD UPRAVUJÍCÍ POSTUP DO DALŠÍHO ROČNÍKU
1. Oblast použití Řád upravující postup do dalšího ročníku ŘÁD UPRAVUJÍCÍ POSTUP DO DALŠÍHO ROČNÍKU na Německé škole v Praze 1.1. Ve školském systému s třináctiletým studijním cyklem zahrnuje nižší stupeň
VícePrincip bydlení v bytech zvláštního určení pro seniory a osoby se zdravotním postižením
STATUTÁRNÍ MĚSTO JABLONEC NAD NISOU Magistrát města Jablonec nad Nisou Odbor sociálních věcí a zdravotnictví Oddělení sociálních služeb Mírové náměstí 19, 467 51 - Jablonec nad Nisou Zpracovatel: oddělení
VíceN á v r h ZÁKON. kterým se mění zákon č. 40/1964 Sb., občanský zákoník, ve znění pozdějších předpisů, a další související zákony ČÁST PRVNÍ
N á v r h III ZÁKON ze dne 2010, kterým se mění zákon č. 40/1964 Sb., občanský zákoník, ve znění pozdějších předpisů, a další související zákony Parlament se usnesl na tomto zákoně České republiky: ČÁST
VíceVýzva k podání nabídek na. Dodávka notebooků pro cílovou skupinu
Výzva k podání nabídek na dodávku notebooků pro cílovou skupinu Číslo zakázky: 020/2009 Název programu: Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.3.09/02.0015
VíceOBEC VRCOVICE Obecně závazná vyhláška č. 3/2010 o místních poplatcích ČÁST I. ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ
OBEC VRCOVICE Obecně závazná vyhláška č. 3/2010 o místních poplatcích Zastupitelstvo obce Vrcovice se na svém zasedání dne 29.12.2010 usnesením č. 4 usneslo vydat na základě 14 odst. 2 zákona č. 565/1990
VícePloché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky
Ploché výrobky z konstrukčních ocelí s vyšší mezí kluzu po zušlechťování technické dodací podmínky Způsob výroby Dodávaný stav Podle ČSN EN 10025-6 září 2005 Způsob výroby oceli volí výrobce Pokud je to
Více2. Vymezení předmětu veřejné zakázky
K čj :372-4/2012/DP - ÚVN V Praze dne: 19.07.2012 Výtisk číslo: 1 Počet listů: 11 Počet příloh: 2 ZADÁVACÍ DOKUMENTACE pro otevřené, podlimitní zadávací řízení na zakázku zadávanou dle zákona č. 137/2006
VíceSBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy
VíceČást I. Projektová dokumentace Regenerace sídliště Špičák parkoviště ul. Bardějovská:
Příloha č. 1 Smlouvy o dílo Příloha č. 1.1 Výzvy k podání nabídky Požadavky na zpracování projektové dokumentace 1. části VZ Regenerace sídliště Špičák parkoviště ul. Bardějovská, Česká Lípa 1. Rozdělení
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE V JEDNACÍM ŘÍZENÍ S UVEŘEJNĚNÍM podle ust. 44 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, v platném znění (dále jen zákon ) NA PODLIMITNÍ VEŘEJNOU ZAKÁZKU NA DODÁVKY S NÁZVEM Rekonstrukce
VíceNázev veřejné zakázky: Sdružené služby dodávky zemního plynu pro Mikroregion Střední Haná na rok 2013
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE nadlimitní veřejné zakázky zadávané druhem otevřeného řízení dle 27 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách (dále jen zákon ) Název veřejné zakázky: Sdružené služby dodávky zemního
VíceZadávací dokumentace k výběrovému řízení na Dodávku nábytku
Zadávací dokumentace k výběrovému řízení na Dodávku nábytku Obecné zadání: Střední škola technická, Most Velebudice, Dělnická 21, příspěvková organizace vypisuje výběrové řízení na Dodávku nábytku pro
VíceUložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí
Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S0740/2015/KS-40547/2015/840/MWi Brno 23. 11. 2015
*UOHSX007UAGF* UOHSX007UAGF ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S0740/2015/KS-40547/2015/840/MWi Brno 23. 11. 2015 Úřad pro ochranu hospodářské soutěže ve správním řízení sp. zn.
VíceGEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny
GEOMETRICKÁ TĚLESA Geometrické těleso je prostorový geometrický útvar, který je omezený (ohraničený), tato hranice mu náleží. Jeho povrch tvoří rovinné útvary a také různé složitější plochy. Geometrická
VíceModul Řízení objednávek. www.money.cz
Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství
VíceVymezení poloz ek způ sobily ch ná kládů meziná rodní ch projektů ná principů LA pro rok 2017
Vymezení poloz ek způ sobily ch ná kládů meziná rodní ch projektů ná principů LA pro rok 2017 1.1. Vymezení způsobilých nákladů obecná část (1) Účelová podpora může být poskytnuta pouze na činnosti definované
VíceÚŘAD PRO CIVILNÍ LETECTVÍ
ÚŘAD PRO CIVILNÍ LETECTVÍ Letiště Ruzyně 160 08 PRAHA 6 Sp. zn.: 11/730/0041/ŘLP/03/13 Č. j.: 6239-13-701 V Praze dne 21. 10. 2013 VEŘEJNÁ VYHLÁŠKA OPATŘENÍ OBECNÉ POVAHY Úřad pro civilní letectví jako
VíceZásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5
Zásady pro prodej bytových domů Městské části Praha 5 Základní pojmy Pro účely těchto Zásad pro prodej nemovitostí (pozemků, jejichž součástí jsou bytové domy) Městské části Praha 5 (dále jen Zásady )
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,
VíceSO 01 STAVEBNÍ ÚPRAVY A INTER.ŘEŠENÍ PŘEDPROSTORU,ŠATEN,UMÝVÁREN A WC PRO MUŽE A ŽENY V BUDOVĚ 25M BAZÉNU
STAVEBNÍ ÚPRAVY A INTER.ŘEŠENÍ PŘEDPROSTORU,ŠATEN,UMÝVÁREN A WC PRO MUŽE A ŽENY V BUDOVĚ 25M BAZÉNU Stav.úpravy části 2.np Krytý bazén 25m Zlín, Hradská 888, Zlín SO 01 STAVEBNÍ ÚPRAVY A INTER.ŘEŠENÍ PŘEDPROSTORU,ŠATEN,UMÝVÁREN
VíceDOPRAVNÍ ZNAČENÍ do 30/2001: změna / doplnění nový název
"Stezka pro chodce" (č. C 7a), která přikazuje chodcům užít v daném směru takto označeného pruhu nebo stezky; jiným účastníkům provozu na pozemních komunikacích, než pro které je tento pruh nebo stezka
VíceObec Ždánov Ždánov 49, 344 01Domažlice osoba oprávněná k podpisu smlouvy: JUDr. Václav Pflug, starosta IČ: 00572594
Plzeňský kraj sídlo: Škroupova 18, 306 13 Plzeň k podpisu smlouvy oprávněn: Ivo Grüner, náměstek hejtmana pro oblast regionálního rozvoje, fondů EU, informatiky, na základě usnesení ZPK č. 857/15 ze dne
Více51/2006 Sb. ze dne 17. února 2006. o podmínkách připojení k elektrizační soustavě
51/2006 Sb. ze dne 17. února 2006 o podmínkách připojení k elektrizační soustavě Změna: 81/2010 Sb. Energetický regulační úřad stanoví podle 98 odst. 7 zákona č. 458/2000 Sb., o podmínkách podnikání a
VíceStanovy společenství vlastníků
Stanovy společenství vlastníků I. Název Společenství vlastníků Pod Lihovarem 2232 II. Sídlo: Pod lihovarem 2231, Benešov, PSČ: 256 01 III. Předmět činnosti Zajišťování správy domu a pozemku IV. Členská
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceČÁST A01 PRŮVODNÍ ČÁST PRŮVODNÍ A TECHNICKÁ ZPRÁVA Projekt pro ohlášení stavby OPRAVA MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ V OBCI CHLUMEK
ČÁST A01 PRŮVODNÍ ČÁST PRŮVODNÍ A TECHNICKÁ ZPRÁVA Projekt pro ohlášení stavby OPRAVA MÍSTNÍCH KOMUNIKACÍ V OBCI CHLUMEK 11.7.2011 1 z 13 Dle Vyhl. 146/2008 Sb. o Rozsahu a obsahu projektové dokumentace
Více58/2016 Sb. VYHLÁKA ČÁST PRVNÍ STÁTNÍ ZKOUKY Z GRAFICKÝCH DISCIPLÍN
58/2016 Sb. VYHLÁKA ze dne 10. února 2016 o státních zkoukách z grafických disciplín a o změně vyhláky č. 3/2015 Sb., o některých dokladech o vzdělání Ministerstvo kolství, mládeže a tělovýchovy stanoví
VíceV Černošicích dne 30. 9. 2014. Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ.
Město Černošice IČ: 00241121 Riegrova 1209 252 28 Černošice V Černošicích dne 30. 9. 2014 Výzva k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu s názvem: Nákup a pokládka koberců OŽÚ. Město Černošice
VíceOBEC PERNINK Obecně závazná vyhláška č. 1/2013, o místních poplatcích ČÁST I. ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ
OBEC PERNINK Obecně závazná vyhláška č. 1/2013, o místních poplatcích Zastupitelstvo obce Pernink se na svém zasedání dne 20.5.2013 usnesením č. 4/28/13 usneslo vydat na základě 14 odst. 2 zákona č. 565/1990
VíceObec Nová Ves I. Výzva k podání nabídky
Obec Nová Ves I Václavské náměstí 22, 280 02 Kolín --------------------------------------------------------------------------- Věc: Výběrové řízení Výzva k podání nabídky na zakázku malého rozsahu "OPRAVA
Více