Různé přístupy k propedeutice algebry

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Různé přístupy k propedeutice algebry"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakalářská práce Lucie Prášilová Různé přístupy k propedeutice algebry Olomouc 2014 vedoucí práce: doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc.

2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně na základě uvedených pramenů a literatury. V Olomouci dne podpis autora práce

3 Děkuji doc. PhDr. Bohumilu Novákovi, CSc. za odborné vedení bakalářské práce, kvalitní spolupráci a poskytování cenných rad. Dále děkuji Bc. Lucii Ovčáčkové za anglický překlad anotace, Mgr. Lucii Rychtové za její kontrolu a v neposlední řadě celé své rodině za psychickou podporu.

4 OBSAH ÚVOD Historická reminiscence Počátky algebry Matematika v Egyptě Matematika v Mezopotámii Matematika v Řecku Arabská matematika Al-Chvárizmího rovnice Algebra jako součást kurikula ZŠ Kurikulární dokumenty Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v RVP ZV Algebraická propedeutika na 1. a 2. stupni ZŠ Algebraické učivo ve Standardu základního vzdělávání Algebraické pojmy v 8. a 9. ročníku ZŠ Vymezení vybraných algebraických pojmů Mnohočleny Algebraické výrazy Lineární rovnice Soustavy lineárních rovnic Zavedení algebraických pojmů v učebnicích matematiky Učebnice pedagogického nakladatelství Fraus Struktura učebnic Výrazy Lineární rovnice Lomené výrazy Rovnice s neznámou ve jmenovateli... 44

5 3.1.6 Soustavy lineárních rovnic Učebnice pedagogického nakladatelství Prodos Struktura učebnic Výrazy Lineární rovnice Lomené výrazy Rovnice s neznámou ve jmenovateli Soustavy lineárních rovnic ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM TABULEK... 73

6 ÚVOD Tématem bakalářské práce je hledání různých přístupů k propedeutice algebry ve školské matematice. Dané téma je aktuální zejména z toho důvodu, že se dnes často setkáváme s žáky, pro něž je matematika zbytečným a tím nejméně oblíbeným předmětem. Matematika je však věda, která nás provází celým životem, a proto je nezbytnou součástí základního vzdělávání. Každá učebnice matematiky se vyznačuje odlišným způsobem zavedení matematického učiva. Velmi obtížné je nalézt takový způsob, jenž by otevřel žákům poutavou cestu do všech tajů matematiky, naučil je matematické vědomosti tak, aby byly uchovány trvale, a rozvíjel jejich schopnost využít nově získané vědomosti v praxi. Hlavním cílem bakalářské práce je charakterizovat algebraické učivo v podmínkách základní školy a demonstrovat odlišné přístupy ve dvou zpracovaných vybraných učebnicových řadách. V práci budeme porovnávat učebnice matematiky pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos, které lze považovat za určité reprezentanty dvou odlišných přístupů k dané problematice. Prvním dílčím cílem je na základě prostudované literatury na pozadí vývoje matematiky jako vědní disciplíny ukázat počátky algebry. Druhým dílčím cílem je s oporou o současné kurikulum vymezit algebraické pojmy v učivu základní školy. Třetím dílčím cílem je pokusit se analyzovat algebraické učivo ve dvou učebnicových řadách, zdůraznit a popsat rozdíly v jednotlivých učebnicích. Pro dosažení cílů bakalářské práce je třeba přijmout následující strukturu. V teoreticky zaměřené části práce považujeme za potřebné připomenout podstatné momenty z historie algebry. Dále na základě podrobné analýzy Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání je nutné vymezit stěžejní algebraické učivo a očekávané výstupy žáků a s odkazem na Standard pro základní vzdělávání dokumentovat algebraické učivo na příkladech. Pro zvýšení přehlednosti textu vymezíme základní algebraické pojmy, které se stanou předmětem následné analýzy v učebnicích. V empirické části předložíme způsob zavedení vybraných algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Fraus a následně jej porovnáme se způsobem zavedení týchž algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Prodos. V první, historické části práce se budeme převážně odkazovat na příspěvky skotské webové stránky autorů Johna J. O'Connora a Edmunda F. Robertsona, kteří poskytují přehledný historický vývoj matematické vědy. K vyjádření korektních informací, vymezující matematické učivo a očekávané výstupy žáků na druhém stupni základní školy, využijeme Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, platný od , a Standard pro základní vzdělávání Matematika a její aplikace, účinný od Při definování 6

7 základních algebraických pojmů nám bude nápomocná publikace od Josefa Poláka - Přehled středoškolské matematiky. Stěžejní součástí bakalářské práce budou učebnice matematiky pro 8. a 9. ročník základní školy pedagogického nakladatelství Fraus a Prodos. 7

8 1 Historická reminiscence 1.1 Počátky algebry Kořeny prvních matematických úvah sahají přibližně do roku 2000 před naším letopočtem. V rámci utváření čísel a řešení základních aritmetických výpočtů a geometrických úloh se studovaly lineární rovnice, soustavy lineárních rovnic a také kvadratické rovnice, které daly počátek vzniku tzv. numerické algebry (O'Connor, Robertson, 1997). Podle Větrovcové (2010) je však nutné si uvědomit, že algebra před 19. stoletím nebyla vnímána jako samostatná disciplína, ale v historickém pojetí se převážně vyznačovala řešením úloh z praktického života s využitím geometrické představivosti a základních aritmetických znalostí. První zmínky o algebraických rovnicích se objevily po řadě v egyptské, mezopotamské a řecké kultuře. Základy babylonské matematiky se staly východiskem pro řecký nezávislý vývoj, který začal již kolem roku 450 před n. l. a udržel se do roku 200 n. l. Neodmyslitelnými pokračovateli řecké matematiky byly islámské země po dobu více než tisíc let. Zejména se matematice dařilo v dnešním Íránu, Sýrii a Indii. Kolem 11. století anglický filozof Adelard z Bathu a později Fibonacci přinesli islámskou matematiku a své znalosti o řecké matematice zpět do Evropy. Na počátku 16. století matematika v Evropě značně pokročila díky významným italským matematikům, jako byli Luca Pacioli, Girolamo Cardano, Nicolo Tartaglia a Lodovico Ferrari, kteří se proslavili algebraickým řešením kvadratických a kubických rovnic. Pokrok v algebře měl obrovský psychologický účinek a přinesl nadšení pro matematický výzkum, který se dále šířil do Francie, kde se proslavil francouzský matematik François Viète svým zavedením symboliky pro zjednodušení matematických výpočtů (O'Connor, Robertson, 1997). Svízelné počítání Teymour a Osler (2007) píší, že většina základních matematických symbolů je záležitostí přibližně 500 let starou, a proto v nejstarších dobách symbolické zápisy algebraických rovnic téměř neexistovaly. Úlohy, včetně čísel a neznámých, byly vyjádřeny slovně. Pracovalo se pouze s konkrétními čísly, nikoliv s koeficienty, které se dnes ve většině příkladů symbolizují písmeny z počátku abecedy. O'Connor a Robertson (1997) konstatují, že se neužíval symbol =, který byl až v roce 1557 představen velšským matematikem a fyzikem Robertem Recordem. Podle Bečváře (1999) se dlouhou dobu počítalo pouze s kladnými čísly. Úlohy vedoucí na algebraické rovnice byly řešeny v oboru přirozených, 8

9 resp. racionálních čísel, tudíž o záporném řešení algebraických rovnic nebylo vůbec uvažováno. Jediný možný důvod, který vedl k zavedení záporných čísel, byl podle O'Connora a Robertsona (1997) řešit lineární rovnici ve tvaru. 1.2 Matematika v Egyptě Většina znalostí egyptské matematiky je převzata ze dvou starobylých dokumentů: Rhindův papyrus ze 17. století před n. l., který je dnes uložen v Britském muzeu v Londýně a obsahuje 87 příkladů, a Moskevský papyrus z 19. století před n. l., který je uložen v Muzeu výtvarného umění v Moskvě a obsahuje 25 příkladů. Právě Rhindův papyrus nám mimo jiné nabízí úlohy vedoucí na dnešní lineární rovnice. Než však přistoupíme k vzorové úloze, je třeba si připomenout, že Egypťané nepoužívali poziční zápis čísel. Pracovali s několika znaky symbolizující jednotku, desítku, stovku apod., takže si každý umí představit, jak těžké bylo násobení nebo dělení čísel v tomto zápisu (O'Connor, Robertson, 2000a). Podle Bečváře (1999, s ), ve snaze vyhnout se operaci dělení, staří Egypťané řešili lineární rovnice pomocí metody chybného předpokladu, která spočívala ve volbě neznámé, jež by mohla být řešením rovnice. Lineární rovnici ve tvaru bychom podle této metody řešili následovně: Za neznámou se nejprve dosadí vhodné číslo ; porovnáním součinu s číslem pak zjistíme, čím musíme číslo vynásobit, aby místo čísla vyšlo číslo. Egyptský matematik jménem Ahmes, žijící okolo roku 1650 před n. l., předložil v Rhindově papyru úlohu vedoucí na lineární rovnici: Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 15 kusů. Kolik kusů je v celé hromadě? Úlohu zapíšeme následovně: Položíme-li, abychom se zbavili zlomku jedné čtvrtiny, dostaneme místo čísla 15 číslo 5. Je tedy třeba vzít třikrát tolik, než jsme volili, abychom dostali číslo 15. Proto hledaná hromada bude kusů. 9

10 1.3 Matematika v Mezopotámii Podle Juškeviče (1989) se ve středověké Mezopotámii vrcholným matematickým výsledkem stala šedesátková poziční soustava pro celá čísla i zlomky, jejichž základ numerační soustavy představující čísla 1 až 59 byl symbolizován dvěma speciálními znaky. Vyjádříme-li si např. číslo 1542 v šedesátkové soustavě, dostaneme: Zápis čísla 1542 by byl tvořen ze znaků symbolizující čísla 25 a 42. Na základě rozdělení dne do 24 hodin, každé hodiny do 60 minut a každé minuty do 60 sekund si lze uvědomit počítání v šedesátkové soustavě. Například číslo zapíšeme jako 0; 40; 00 (2/3 z 60 minut je 40 minut, tedy na místě nuly zvažujeme počet hodin, 40 znamená počet minut a 00 počet sekund). V rámci matematických úvah Babylóňané řešili problémy vedoucí na dnešní lineární, kvadratické a kubické rovnice. Ukažme si, jak řešili rovnice lineární. O'Connor a Robertson (2000c) uvádí příklad a jeho řešení. Vezměme z celkového množství ječmene. Přidejme jednotek ječmene a dostaneme původní množství. Jaké bylo celkové množství ječmene? Úlohu lze zapsat ve tvaru: Číslo 2/3 odpovídá zápisu 0; 40. Dále počítáme 0; 40 krát 0; 40 a dostaneme 0; 26; 40 (2/3 2/3 = 4/9 60 = 26, , tedy 26 minut a 0, = 40 sekund, proto 0; 26; 40). Od 1 (60 minutám, proto 1; 00 hodina) odečteme 0; 26; 40. Dostaneme 0; 33; 20. Převrácená hodnota čísla 0; 33; 20 je podle babylonských tabulek 1; 48 (dokažme si následovně: 9/5 60 = 108, tedy 108 = , proto 1; 48). Nakonec číslo 1; 48 znásobíme číslem 1; 40 (60 minut + 40 minut = 100 minut) a obdržíme číslo 3 zapsané v šedesátkové soustavě (tedy 9/5 100 = 180 minut, což jsou 3 hodiny) (O'Connor, Robertson, 2000c). Dnešní výpočet je snadnější. Při řešení lineárních rovnic využíváme tzv. ekvivalentní úpravy: 10

11 1.4 Matematika v Řecku Významným řeckým matematikem byl Diofantos z Alexandrie. O jeho životě příliš nevíme. Dodnes se například diskutuje o době, ve které Diofantos žil. Datuje se přibližně od roku 150 před n. l. až do roku 350 n. l., což je rozpětí přibližně 500 let. Byl známý svými matematickými úvahami v oblasti teorie čísel a řešením algebraických rovnic. Proto je někdy označován za otce algebry. Jeho příspěvky se pravděpodobně staly východiskem pro arabskou, čínskou a indickou matematiku. Diofantovým ústředním dílem je Aritmetika ve 13 knihách, z níž se dochovalo pouze šest knih. Dalších sedm bylo nejspíše hned po vzniku ztraceno. V arabském překladu dochovaných šesti knih se dozvídáme, že pro Diofanta bylo negativní nebo iracionální řešení rovnice naprosto zbytečné. Uvažoval o třech typech kvadratických rovnic,, a které řešil na základě geometrických úvah o přeměňování obsahů. Je tedy oprávněné říci, že antická matematika dala vznik tzv. geometrické algebře. Důvod stanovení těchto tří typů rovnic namísto jedné, jak ji známe dnes, byl prostý. Diofantos neměl žádnou představu o nule (O'Connor, Robertson, 1999a). Vzhledem k tomu, že řešení kvadratických rovnic bylo obdobným a rozšířeným řešením kvadratických rovnic v arabské matematice, budeme se jím zabývat v následující kapitole. Ukážeme jiný typ problému vedoucí na soustavy lineárních rovnic, které Diofantos řešil vytvořením jediné kvadratické rovnice o neznámé x. Mějme stále na paměti, že úlohy byly zadávány a řešeny slovně. O'Connor a Robertson (1999a) ukazují, jak Diofantos řešil soustavu dvou lineárních rovnic: Položíme a vyjádříme si z rovnice neznámou,, což dosadíme do rovnice a dostaneme. Aby byl dodržen vztah musí platit Dále tedy 11

12 1.5 Arabská matematika Existuje názor, že období poté, kdy Řekové položili základy moderní matematiky, je považováno za období ustrnutí matematického myšlení do té doby, než Evropané v 16. století navázali tam, kde Řekové skončili. Mnoho historiků matematiky si myslí, že arabská matematika pouze přetvářela již vynalezené řecké matematické učení, jiní téhož názoru nejsou (O'Connor, Robertson, 1999b). Baštinec a Kubištová (1998) uvádí, že arabská matematika navazuje do jisté míry na řeckou a mezopotamskou matematiku. Nicméně i přes arabské studie věnované překladům antických děl do arabštiny se vytvořila osobitá arabská matematika. V 7. a 8. století nastal zlatý věk arabské kultury a vědy. V hlavním městě chalífátu, Bagdádu, založil chalífa Al-Mamún Dům moudrosti, na základě kterého vznikla bagdádská matematická škola. Zde se proslavil Abú Abdalláh Muhammad ibn Músá al-chwárizmí al-mádžúsí 1, významný perský matematik žijící na konci 8. a v první polovině 9. století. Podle Větrovcové (2010) se zasloužil o pozdější vývoj evropské matematiky a vzdělanosti právě svými spisy: Algebraický traktát a Aritmetický traktát. Aritmetický traktát, v originále Al-Kitab al-jam wa-t-tafriq bi-hisab al-hind, se často uvádí jako Traktát o indickém počítání, proto není divu, že ve středu jeho zájmu stojí popis algoritmu, jak počítat a pracovat s čísly a to vše promítnout do praktického života každého arabského člověka. Slovo algoritmus se zrodilo z latinského překladu jména Al-Chvárizmí jako Algorizmi. Algebraický traktát, v originále Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabal, je doplňkem Aritmetického traktátu a také jeho předchůdcem, což dokazují výpočty spojené s operacemi násobení, zvětšování, zmenšování nebo hledání kořene (odmocňování). V překladu jej chápeme jako knihu o počítání algebry a almukabaly. Podobá se učebnici lineárních a kvadratických rovnic doplněné aritmetickými a geometrickými výpočty. Veškeré úlohy, které nalezneme ve spise, jsou vyjádřeny slovně a zaznamenávají problémy praktického života v Islámské říši té doby (Větrovcová, 2010). Podle Teymoura a Oslera (2007) se Algebraický traktát stal první algebraickou knihou, starou více než 1200 let, která kdy byla napsána a považována za nejlepší základ algebry až do dob francouzského matematika Vièta, jenž dále v 16. století algebraické poznatky rozšířil. O'Connor a Robertson (2000) se domnívají, že v jistém smyslu je Al-Chvárizmí považován za otce algebry spíše než řecký matematik Diofantos, který se primárně zabýval teorií čísel. Navíc Větrovcová (2010) uvádí, že Algebraický traktát 1 Dále budeme užívat jména Al-Chvárizmí, které je uvedené v překladu díla Algebraický traktát z roku

13 společně s Aritmetickým traktátem stál na počátku vzniku symbolického počítání a byl důkazem možné proměny geometrického způsobu vyjadřování v jazyk algebry a aritmetiky Al-Chvárizmího rovnice Dříve než se Al-Chvárizmí ve svém spise začal zabývat otázkou řešení algebraických rovnic, popisoval přirozená čísla. Podle Al-Chvárizmího se každé číslo skládalo z jednotek. Vyjádřil si čísla od jedné do desíti a domníval se, že číslo 10 lze zdvojnásobit nebo ztrojnásobit na čísla 20, 30 apod. Analogicky uvažoval při zdvojnásobení a ztrojnásobení čísla 100. Tímto způsobem došel až k číslu 1000 a nadefinoval systém přirozených čísel (O'Connor, Robertson, 1999c). Právě tato čísla jsou podle arabského matematika trojího typu: kořen (x), což je číslo větší nebo rovno jedné, nebo zlomek menší než jedna, kvadrát ( ), což je kořen znásobený sám sebou a číslo, které se nevztahuje ani ke kořenu, ani ke kvadrátu, často označené písmenem z počátku abecedy (Al-Chvárizmí, 2008, str. 113). Bez ohledu na to, zda řešil Al-Chvárizmí lineární nebo kvadratické rovnice, kořenem rovnice byl kvadrát, který představoval vypočítané části půdy nebo pole, jež by měly být rozděleny mezi dědice (Větrovcová, 2010). Přestože arabský matematik Al-Chvárizmí nepoužíval žádnou symboliku, většina autorů, kteří se ve svých pracích dotýkají jeho způsobů řešení rovnic, používá ve svých výpočtech pro snadnější pochopení symboly pro kořen, koeficienty a umocňování včetně zápisu čísel v desítkové poziční soustavě. Baštinec a Kubištová (1998, s. 128) předkládají šest typů úloh vedoucích na lineární a kvadratické rovnice, jejichž postupy řešení jsou uvedeny v Algebraickém traktátu. 1) Kvadrát roven kořenu 2) Kvadrát roven číslu 3) Kořen roven číslu 4) Kvadrát a kořen roven číslu 5) Kvadrát a číslo rovno kořenu 6) Kvadrát roven kořenu a číslu Protože práce arabského matematika byla omezena tím, že ve svých výpočtech pracoval pouze s kladnými čísly, obecný tvar rovnice nebyl uvažován. Tedy každá úloha, která obsahovala záporný člen, musela být převedena na jeden z uvedených základních šesti typů rovnic. K převodu na základní typ rovnice sloužila operace algebra a almukabala (Juškevič, 1977). 13

14 Operace al-džeber a al-muqábala Větrovcová (2010, s. 102) uvádí latinský překlad Algebraického traktátu podle Roberta z Chesteru jako Liber al-gebræ et almucabalæ continens demontrationes aequationum regularum Al-gebræ. Zároveň demonstruje, že arabské slovo al-džebr nám v latinském překladu přináší pojem algebra, který se udržel v matematice až dodnes, i když již v obecnějším a posunutém významu. Podobně překládá arabský výraz al-muqábala jako almucabala neboli krácení. Podle Bečváře (1999, s. 164) tehdejší význam slova al-džebr znamenal převedení odečítaného členu na druhou stranu rovnice, tj. přičtení stejného členu k oběma stranám rovnice a arabské slovo al-muqábala představovalo slučování členů stejného typu, stejného řádu. Al-džeber a al-muqábala se tak považovaly za způsoby práce s rovnicemi, které vytvořily teorii řešení rovnic. Kvadrát a kořen roven číslu Pro ilustraci výpočtů Al-Chvárizmího rovnic si předložíme jednu z úloh uvedenou v Algebraickém traktátu. Ve čtvrtém oddílu je psáno: Co se týče kvadrátu a kořenu rovných číslu; to pokud například řekneš: Kvadrát a deset jeho kořenů je roven třiceti devíti dirhamům, to znamená, jestliže přidáš k některému kvadrátu to, co je rovno deseti kořenům, obdržíš třicet devět. Pravidlo je následující: Rozpul počet kořenů a obdržíš při tomto zadání pět, násob ho sebou samým a máš dvacet pět. Výsledek přidej k třiceti devíti a máš šedesát čtyři. Nalezni z toho kořen, máš osm a odečti od tohoto polovinu [počtu] kořenů, což jest pět a zbydou tři a toto bude kořen kvadrátu, který jsi hledal. A kvadrát je devět. Takto postupuj vždy, když se setkáš s kvadráty a kořeny rovnajícími se číslu, bude-li to Alláhovým přáním. (Al-Chvárizmí, 2008, s ) Úloha vede na kvadratickou rovnici ve tvaru, tedy: Protože se v rovnici koeficient rovná jedné, dále budeme pracovat se zápisem rovnice ve tvaru. Podle Juškeviče (1977) jsou Al-Chvárizmího úlohy řešeny pomocí dvou geometrických postupů, které spočívají v metodě doplnění obrazce na čtverec. Navzdory tomu, že jsou Al-Chvárizmího výpočty provedeny na konkrétních číselných příkladech, Juškevič (1977, s. 205) představuje první metodu řešení obecně zapsané rovnice. 14

15 Nejdříve je třeba sestrojit čtverec o obsahu. Dále ke každé straně čtverce musíme sestrojit obdélník o výšce. Nakonec doplnit konstrukci na jeden velký čtverec tak, že zkonstruujeme čtyři menší čtverce o obsahu, viz obr. 1. Pak právě řečené geometrické úpravy lze zapsat následovně: Obrázek 1: Čtverec, 1. metoda řešení Obrázek 2: Konkrétní čtverec, 1. metoda řešení Konkrétní úlohu ze čtvrtého oddílu Al-Chvárizmího traktátu zapsanou pomocí rovnice řešíme analogicky, viz obr. 2: 15

16 Juškevič (1977) uvádí také druhý postup řešení, při kterém sestrojíme opět čtverec o obsahu, který rozšíříme o dva obdélníky o délce strany. Nakonec konstrukci doplníme na velký čtverec tak, že zkonstruujeme menší čtverec o obsahu, viz obr. 3. Pak geometrické úpravy můžeme zapsat následovně: Obrázek 3: Čtverec, 2. metoda řešení Obrázek 4: Konkrétní čtverec, 2. metoda řešení Rovnici řešíme podle druhého postupu řešení, viz obr. 4: Al-Chvárizmí nepovažoval za neznámou pouze kořen, ale také jeho násobek, tedy kvadrát. Proto řešením úlohy je číslo 9 (Juškevič, 1977). 16

17 2 Algebra jako součást kurikula ZŠ 2.1 Kurikulární dokumenty Kurikulární dokumenty jsou rozděleny do dvou úrovní. První úroveň je státní a zahrnuje Národní program vzdělávání a rámcové vzdělávací programy 2. Druhá úroveň je školní a zahrnuje školní vzdělávací programy 3. Národní program vzdělávání vymezuje počáteční vzdělávání jako celek. RVP vymezují závazné rámce vzdělávání pro jeho jednotlivé etapy předškolní, základní a střední vzdělávání. Ústřední myšlenkou všech RVP je celoživotní učení. RVP se vyznačují novou koncepcí ve vzdělávání, která zdůrazňuje osvojení si klíčových kompetencí v souladu se vzdělávacím obsahem a uplatnění dosažených vědomostí a dovedností v praktickém životě. ŠVP si jednotlivé školy vypracovávají v souladu s RVP a podle nich realizují vzdělávání (RVP ZV, 2013). Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání 4, platný od , charakterizuje a stanovuje pojetí a cíle základního vzdělávání. Představuje devět vzdělávacích oblastí, které jsou tvořeny jedním, případně více vzdělávacími obory. Každý vzdělávací obor je typický svým vzdělávacím obsahem, který je tvořen soupisem učiva a očekávanými výstupy žáků. Přijetím vzdělávacího obsahu, jenž je jednotný a nutný v povinném základním vzdělávání žáků, žák získává tzv. klíčové kompetence. Klíčové kompetence reprezentují souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena ve společnosti. RVP ZV je též doplněn o tzv. Standardy pro základní vzdělávání. Standardy vznikly jako opora pro všechny učitele. Nalezneme v nich podrobněji rozebrané vzdělávací obsahy jednotlivých vzdělávacích oborů. Staly se minimální úrovní základního vzdělávání, kterou by každý žák během devítileté povinné docházky měl zvládnout (RVP ZV, 2013). 2.2 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v RVP ZV Jednou z devíti vzdělávacích oblastí v RVP ZV je oblast Matematika a její aplikace, která prolíná celým povinným devítiletým základním vzděláváním. V jádru vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace stojí práce s matematickými objekty a její možné promítnutí do praktického života. Základní úlohou každého žáka je osvojit si základní matematické pojmy a myšlenkové postupy a nalézt souvislosti mezi nimi. Vzdělávací obsah 2 Dále jen RVP. 3 Dále jen ŠVP. 4 Dále jen RVP ZV stanoven pro třídu a také odpovídající ročníky šestiletých a osmiletých gymnázií 17

18 je rozvržen do čtyř tematických okruhů, přičemž první je Číslo a početní operace a patří na první stupeň základní školy 5. Na něj navazuje druhý tematický okruh Číslo a proměnná, který náleží druhému stupni ZŠ. V těchto dvou okruzích si žáci osvojují aritmetické operace v jejich třech složkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění a významové propojení a seznamují se s pojmem proměnná a s její rolí při matematizaci reálných situací. Třetí tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty a čtvrtý tematický okruh Geometrie v rovině a v prostoru jsou součástí prvního a také druhého stupně ZŠ. Čtyři tematické okruhy jsou doplněny o tzv. Nestandardní aplikační úlohy a problémy, které vedou žáka k logickému myšlení. Způsob a nalezení řešení těchto úloh do jisté míry závisí na rozumové vyspělosti každého žáka, tedy nejsou zcela jen podmíněny získanými vědomostmi žáků ze všech čtyř tematických okruhů. Žáci se taktéž učí používat technické prostředky, jako jsou kalkulátory a programové využití počítačů (RVP ZV, 2013) Algebraická propedeutika na 1. a 2. stupni ZŠ Na základě osvojení si učiva elementární aritmetiky spadající do okruhu Číslo a početní operace a zároveň osvojení si geometrických výpočtů patřících do okruhu Geometrie v rovině a prostoru na prvním stupni ZŠ se v úzké souvislosti s okruhem Číslo a proměnná zavádějí základní algebraické pojmy. V rámci okruhu Číslo a početní operace se žák na 1. stupni seznamuje s přirozenými, celými a racionálními čísly. Čte a zapisuje čísla v desítkové soustavě. Provádí základní aritmetické operace v oboru přirozených čísel a také sčítá a odčítá zlomky se stejným jmenovatelem v oboru kladných čísel. Porovnává přirozená a také racionální čísla, čímž si uvědomuje vztahy rovnosti a nerovnosti daných čísel. Tedy intuitivní představu o rovnosti, která se stává základem pro definování pojmu lineární rovnice vyučovaného na druhém stupni ZŠ v rámci okruhu Číslo a proměnná, žák má již na prvním stupni ZŠ. Stejně tak se žák na 1. stupni v rámci okruhu Geometrie v rovině a prostoru setkává s výrazy s proměnnými, které jsou zařazeny do základního vzdělávání až na 2. stupni v okruhu Číslo a proměnná. Výrazy se například objevují ve vzorcích pro obsahy a obvody základních rovinných obrazců (RVP ZV, 2013). Tematický okruh Číslo a proměnná uvádí žáka do elementární algebry. Žáci si během 6. až 7. ročníku ZŠ prohlubují své znalosti o přirozeném, celém a racionálním číslu včetně operací s těmito čísly. V 8. ročníku ZŠ se zavádí nový pojem proměnná. Ústředním 5 Dále jen ZŠ. 18

19 algebraickým učivem v okruhu Číslo a proměnná je práce s výrazy, mnohočleny, lineárními rovnicemi a soustavami dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Po prostudování vymezeného algebraického učiva se od žáka očekává, že umí matematizovat jednoduché reálné situace s využitím proměnných, určit hodnotu výrazu, sčítat a násobit mnohočleny, provádět rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním, formulovat a řešit reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav (RVP ZV, 2013). 2.3 Algebraické učivo ve Standardu základního vzdělávání Standard pro ZV - Matematika a její aplikace, platný též od , člení očekávané výstupy žáka v oblasti algebraického učiva na dílčí výstupy. Po prostudování učiva výrazy s proměnnou žák vypočte hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných, využívá při úpravě výrazů vytýkání a vzorce, a a vybere odpovídající výraz, který popisuje jednoduchou reálnou situaci (Standard pro ZV, 2013). Tato pasáž je ve Standardu doplněna neřešeným ilustrativním příkladem: Úkolem žáka je zapsat obvod rovnoramenného lichoběžníku pomocí výrazu s proměnnými, a, viz obr. 5., dosadit za proměnné konkrétní hodnoty,, a vypočítat číselnou hodnotu výrazu. Obrázek 5: Lichoběžník Standard rovněž uvádí dílčí výstupy žáků v oblasti učiva lineární rovnice a soustavy dvou lineárních rovnic. Žák umí vyřešit rovnici a soustavu dvou jednoduchých lineárních rovnic pomocí ekvivalentních úprav a ověřit si správnost řešení slovní úlohy. Součástí Standardu je neřešený ilustrativní příklad: Rohlík stojí 2,50 Kč a houska 3,20 Kč. Eva zaplatila za nákup 26 Kč. Housek koupila o jeden kus více než rohlíků. Mohla si Eva koupit 4 rohlíky a 5 housek? (Standard pro ZV, 2013). 19

20 2.4 Algebraické pojmy v 8. a 9. ročníku ZŠ Z doporučené učební osnovy pro matematiku z roku 2011 se pojem výrazy s proměnnou a mnohočleny maximálně druhého stupně zařazují do 8. ročníku ZŠ. Učivo lineární rovnice a výpočet neznámé ze vzorce se taktéž řadí do 8. ročníku ZŠ a učivo soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých do 9., posledního povinného ročníku ZŠ. Dílčí výstupy žáka v oblasti řešení lineárních rovnic, které ještě nebyly uvedeny, jsou: Rozhodovat, zda má rovnice jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá řešení. V oblasti řešení soustav lineárních rovnic o dvou neznámých žák využívá metodu dosazovací a sčítací. V rozšiřujícím učivu lineární rovnice se do výuky může zařadit také propedeutika využití parametru v matematice. V rámci rozšiřujícího učiva o soustavách rovnic se žáci mohou seznámit s grafickým řešením soustavy dvou rovnic (Doporučené učební osnovy, 2011). 2.5 Vymezení vybraných algebraických pojmů Definice základních pojmů, které budou analyzovány v kapitole 3, jsou převzaty z publikace POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky, s , s , s , s Mnohočleny Nechť je dané přirozené číslo nebo nula, daná reálná čísla (konstanty), proměnná (písmeno ve významu libovolného reálného čísla), pak součet se nazývá mnohočlen (polynom) proměnné s koeficienty z číselného oboru R. Sčítanci se nazývají členy mnohočlenu, jejich stupeň. Číslo se nazývá absolutní člen mnohočlenu. Číslo se nazývá stupeň mnohočlenu. Mnohočlen nultého stupně je zřejmě každé číslo různé od nuly. Číslu nula se říká nulový mnohočlen; jeho stupeň se nedefinuje. Mnohočleny lze uspořádat vzestupně nebo sestupně (Vošický, 2007). Za jednočlen považujeme mnohočlen, jenž obsahuje jeden člen. Jednočlenem může být také každé číslo různé od nuly nebo samotná nula. Dvojčlen obsahuje dva členy, trojčlen tři členy apod. Tedy například mnohočlen je čtyřčlen 3. stupně s proměnnou a koeficienty, jenž patří do oboru celých čísel (Z) a je uspořádán sestupně. 20

21 Rovnost mnohočlenů Dva mnohočleny v týchž proměnných jsou si rovny, právě když se sobě rovnají všechny koeficienty odpovídajících si členů obou mnohočlenů (tj. členů obsahujících stejné mocniny proměnných). Operace s mnohočleny Součtem (rozdílem) mnohočlenů je mnohočlen, jehož členy mají koeficienty rovné součtu (rozdílu) koeficientů odpovídajících si členů daných mnohočlenů. Než však začneme sčítat nebo odčítat mnohočleny, je třeba odstranit případné závorky. Při odčítání se v závorce u jednotlivých členů mnohočlenu zamění znaménka. Příklad: Mnohočlen násobíme jednočlenem tak, že jednočlenem vynásobíme každý člen mnohočlenu. Mnohočlen násobíme mnohočlenem tak, že každý člen jednoho mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu. Takto získané součiny jsou členy mnohočlenu, který nazýváme součinem mnohočlenů. Příklad: V rámci operace násobení mnohočlenů často využíváme vzorce pro druhou mocninu součtu, druhou mocninu rozdílu nebo vzorec pro rozdíl druhých mocnin. Umocnit mnohočlen na -tou znamená (podle definice mocniny) znásobit vzájemně mnohočlenů vesměs rovných danému mnohočlenu. Umocňovat mnohočlen můžeme také na třetí. Na základní škole se však setkáme se vzorci umocněnými pouze na druhou: Mnohdy se vzorci říká binomický vzorec, z latiny binom znamená dvojčlen. Obecný vzorec, kde,, formulujeme pomocí binomické věty: neboli 21

22 Příklad: Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem dělíme každý člen mnohočlenu. Příklad: Rozklady mnohočlenů v oboru R Ve svých výpočtech můžeme narazit na mnohočleny, které lze upravit na součin jednodušších mnohočlenů, obvykle mnohočlenů nižšího stupně. Této úpravě říkáme rozklad mnohočlenu v součin. Setkáme se s třemi způsoby rozkladů. 1. V prvním případě se jedná o vytýkání společného činitele před závorku. Příklad: Někdy nemusíme najít společného činitele všech členů mnohočlenu. Můžeme však seskupit dohromady takové členy mnohočlenu, jež mají společného činitele. Příklad: 2. V druhém případě lze rozklad provést užitím binomických vzorců nebo vzorců pro. Příklad: 3. V třetím případě rozkládáme kvadratický trojčlen v součin dvou lineárních dvojčlenů tvaru v oboru R, který se můžeme pokusit najít dvěma způsoby: a) Protože, musí platit 22

23 Jsou-li celá čísla, lze čísla určit mnohdy zpaměti a to tak, že rozložíme číslo různými způsoby na součin dvou celočíselných činitelů (je-li, jsou obě kladná nebo obě záporná, je-li, mají opačná znaménka a určíme, která dvojice činitelů má součet roven. Příklad: Máme-li rozložit, musí být a. Součin kladný a součet záporný budou jen tehdy, jsou-li obě čísla záporná. Rozložíme tedy ; součet dává dvojice,, a proto. b) Může se ale stát, že čísla jsou příliš velká nebo nejsou celočíselná. Pak je třeba určit pomocí kořenů kvadratické rovnice, platí a. Příklad: Vraťme se k předchozímu příkladu a rozložme kvadratický trojčlen : Algebraické výrazy Algebraický výraz je výraz (zápis) skládající se z čísel a z písmen označujících proměnné, jež jsou spojeny znaky operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování, popř. obsahuje též závorky, které určují pořadí provádění naznačených operací. Rozlišujeme algebraické výrazy racionální a iracionální. Racionální algebraické výrazy neobsahují odmocniny z proměnných a dělí se na racionální celistvé výrazy neboli mnohočleny a racionální lomené výrazy, které existují ve tvaru zlomku, přičemž čitatel i jmenovatel je vyjádřen mnohočlenem. Vyskytují-li se ve výraze odmocniny z jedné nebo více proměnných, hovoříme o iracionálních algebraických výrazech. Každá proměnná symbolizuje v algebraickém výraze číslo, které náleží určitému číselnému oboru, tzv. oboru proměnné. Čísla náležící jistému oboru hodnot nazýváme hodnoty proměnné. V případě, že není obor stanovený, často pracujeme s množinou reálných čísel (R). 23

24 Podle Poláka si označíme algebraický výraz s proměnnou symbolem a algebraický výraz s proměnnými symbolem. Každý algebraický výraz má svůj definiční obor, což je množina všech hodnot proměnných, pro něž má daný výraz smysl, a označujeme ho D. V případě lomeného výrazu musí být jmenovatel různý od nuly a v případě iracionálního výrazu v oboru R musí být výraz pod odmocninou nezáporný. Podívejme se na příklady algebraických výrazů a jejich definiční obory. Podle Poláka za racionální celistvý výraz (mnohočlen) považujeme např. výraz racionálním lomeným výrazem myslíme výraz ve tvaru: a iracionálním algebraickým výrazem rozumíme výraz ve tvaru: Definujeme hodnotu algebraického výrazu pro dané hodnoty jeho proměnných jako číslo, které dostaneme dosazením těchto hodnot proměnných do daného algebraického výrazu. Pro má následující algebraický výraz hodnotu: Rovnost algebraických výrazů Dva algebraické výrazy jsou si rovny (značíme ), právě když pro ně platí: 1. mají společný definiční obor 2. po dosazení libovolných stejných hodnot proměnných do výrazů jsou si rovny hodnoty výrazů. Úpravy racionálních lomených výrazů Algebraickou úpravou výrazu rozumíme provedení sledu operací, jimiž se od daného výrazu přejde k jinému výrazu, pro který platí na společném definičním oboru D obou výrazů Tento společný definiční obor se dostane z podmínek, za nichž daný výraz a jeho provedené úpravy mají smysl. Při úpravách racionálních lomených výrazů využíváme výše uvedených vzorců pro počítání s mnohočleny a znalostí součtu, rozdílu, součinu, podílu, krácení, rozšiřování a rovnosti zlomků. Předložme si příklad, který zavádí Polák do své publikace: 24

25 2.5.3 Lineární rovnice Jsou dány výrazy a s proměnnou. Mají se určit hodnoty této proměnné z daného číselného oboru M, pro něž jsou si rovny hodnoty obou výrazů. Zápis této úlohy ve tvaru se nazývá rovnice. Výrazu se říká levá strana rovnice, výrazu pravá strana rovnice. Proměnná v rovnici se nazývá neznámá. Speciálně může být jedna strana rovnice konstanta; je-li jí nula, mluvíme o anulovaném tvaru rovnice. Hodnoty neznámé (určitá čísla), pro něž je rovnice splněna, tj. platí rovnost se nazývají kořeny (řešení) rovnice. Číselný obor M, ve kterém hledáme kořeny (řešení) rovnice, nazýváme oborem řešení rovnice. Podmnožina množiny M, v níž jsou definovány oba výrazy, neboli průnik definičních oborů těchto výrazů, se nazývá definiční obor rovnice a značí se D. Polák označuje množinu všech kořenů (řešení) rovnice písmenem a uvádí příklad: Rovnice Oborem řešení této rovnice s neznámou je množina reálných čísel ( ). Jak jsme si mohli všimnout, levá a pravá stran rovnice se rovnají. Proto kořenem rovnice je libovolné číslo, rovnice má nekonečně mnoho řešení, Lineární rovnicí s neznámou nazýváme každou rovnici tvaru kde jsou libovolná reálná čísla. Pro řešení lineární rovnice v oboru R mohou nastat právě tři případy: a) Je-li, je ekvivalentní s rovnicí, takže má právě jeden kořen b) Je-li, má nekonečně mnoho řešení, jejím řešením je každé reálné číslo. c) Je-li,, nemá žádné řešení. 25

26 Postup řešení lineární rovnice je rozdělen do tří částí. Rozbor, závěr rozboru a zkouška. V rámci rozboru využíváme důsledkové (implikační) úpravy. Úpravy, jimiž získáme rovnici, ze které jsou zřejmé kořeny nebo je lze snadno vypočítat. Mezi nejzákladnější důsledkové úpravy patří ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy dané rovnice, které ji převádějí na rovnici, jejíž množina všech kořenů je rovna množině všech kořenů dané rovnice; obě tyto rovnice se nazývají navzájem ekvivalentní rovnice. Mezi základní ekvivalentní úpravy lineární rovnice řadíme: 1. Vzájemnou výměnu stran rovnice. 2. Nahrazení libovolné strany rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení rovnice. 3. Přičtení téhož čísla nebo výrazu s neznámou, který je definován v celém oboru řešení rovnice, k oběma stranám rovnice. 4. Vynásobení obou stran rovnice týmž číslem různým od nuly nebo výrazem s neznámou, který je definován a různý od nuly v celém oboru řešení rovnice. V závěru rozboru určíme množinu všech kořenů vyřešené rovnice. Zkouška je nezbytnou součástí postupu řešení rovnice. Získané kořeny rovnice po řadě dosadíme za neznámou do levé a pravé strany rovnice. V případě, že, je kořenem rovnice. Výsledná množina všech kořen je. Polák uvádí příklad a postup řešení lineární rovnice. Řešte rovnici s neznámou : Zkouška: Výsledek:. 26

27 2.5.4 Soustavy lineárních rovnic Podle Poláka soustava rovnic se dvěma, resp. více neznámými je několik rovnic, které mají být splněny zároveň. Řešením soustavy rovnic o neznámých se rozumí každá uspořádaná -tice čísel z daného číselného oboru M, která splňují zároveň všechny rovnice soustavy, tj. po dosazení do každé z rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). Množina všech řešení soustavy rovnic je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy. Rozlišujeme soustavy lineárních algebraických rovnic, soustavy algebraických rovnic vyšších řádů a soustavy nealgebraických rovnic (exponenciální, logaritmické nebo goniometrické rovnice). Na ZŠ se setkáme se soustavami dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, které lze řešit pomocí metody sčítací, dosazovací a srovnávací. Metoda sčítací spočívá ve vynásobení rovnic takovým číslem, které by po sečtení vynásobených rovnic zajistilo vyloučení jedné neznámé. Metoda dosazovací si žádá vyjádření jedné neznámé z první rovnice a dosazení této neznámé do druhé rovnice. V rámci metody srovnávací z obou rovnic vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena. Podívejme se, jak řeší Polák soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých všemi třemi metodami: Metoda sčítací První rovnici vynásobíme třemi: Nyní sečteme vynásobenou rovnici s druhou rovnicí zadané soustavy, čímž vyloučíme neznámou y: Analogicky lze vynásobit druhou rovnici mínus dvěma. Sečtením s první rovnicí se zbavíme proměnné x a dostaneme rovnici: Metoda dosazovací Vyjádříme si z první rovnice neznámou y: 27

28 a dosadíme ji do druhé rovnice, dostaneme: Analogicky vyjádříme z druhé rovnice proměnnou : dosazením do první rovnice, dostaneme: Metoda srovnávací Z první i druhé rovnice vyjádříme neznámou, dostaneme: Porovnáme-li tyto dvě rovnice, obdržíme rovnici: Dosazením proměnné do rovnice, zjistíme, že. Soustavy má v množině právě jedno řešení. Zkouška: Soustavy lineárních rovnic lze řešit graficky. Grafickým řešením lineární rovnice je přímka, množina všech bodů, jež vyhovují lineární rovnici. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může mít právě jedno řešení, jsou-li přímky obou lineárních rovnic různoběžné, viz obr. 6. Žádné řešení v případě, že jsou přímky rovnoběžné, viz obr. 7. Nekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky splývají, viz obr

29 Obrázek 6: Graf - jedno řešení Obrázek 7: Graf - žádné řešení Obrázek 8: Graf - nekonečně mnoho řešení 29

30 3 Zavedení algebraických pojmů v učebnicích matematiky 3.1 Učebnice pedagogického nakladatelství Fraus Ukázky matematických příkladů, které spadají pod kapitolu 3.1, budou převzaty z učebnice: BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P.: Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2009, s a učebnice: BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P.: Matematika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. Plzeň: Fraus, 2010, s Pedagogické nakladatelství Fraus vydalo učebnice matematiky pro ročníky ZŠ a víceletá gymnázia. Jejich autory jsou Helena Binterová, Eduard Fuchs a Pavel Tlustý. Učebnice jsou vytvořeny v souladu s RVP ZV a opírají se o Standard základního vzdělávání. Ve výuce je lze využít v elektronické podobě jako interaktivní učebnice. K učebnicím existují pracovní sešity, příručky pro učitele a on-line opora, která poskytuje učitelům a žákům další materiály k procvičení učiva. Učebnice jsou charakteristické svou strukturou, pojetím a vizualizací učiva. Geometrické a aritmetické, později algebraické učivo je v každém ročníku zvláště rozděleno do dvou dílů. Učebnice nakladatelství Fraus dávají možnost žákovi samostatně odhalit podstatu učiva, bez předběžného definování pojmů, na základě jeho znalostí a zkušeností z předchozího učiva. Podle autorů je tento přístup časově náročný, ale efektivní. Učebnice motivují žáka k aktivní činnosti, rozvíjí žákovo logické myšlení a osvěžují mezipředmětové vazby. Cílem učebnic je vtáhnout žáka do problematiky tak, aby jí snadno porozuměl, uchoval si své znalosti trvale a uměl je využít v praktickém životě Struktura učebnic Pojmy výraz s proměnnou a lineární rovnice jsou zařazeny do učebnice Matematika pro 8. ročník základní školy a víceletá gymnázia - aritmetika 6. Lomené výrazy, lineární rovnice a jejich soustavy jsou obsaženy v učebnici Matematika pro 9. ročník základní školy a víceletá gymnázia algebra 7. Název učebnice je stanoven podle učiva, jež v učebnici převažuje. V úvodu učebnice Aritmetika se žáci seznamují s šedesátkovou poziční soustavou a zápisem čísla římskými číslicemi a egyptskými hieroglyfy. V úvodu učebnice Algebra si žáci mají uvědomit smysl matematické vědy a důležitost její znalosti v životě každého člověka. V závěru je vždy učebnice doplněna složitějšími úlohami a několika stránkami 6 Dále jen Aritmetika nakladatelství Fraus nebo jen Aritmetika. 7 Dále jen Algebra nakladatelství Fraus nebo jen Algebra. 30

31 probraných matematických pojmů přeložených do anglického jazyka. Poslední stránky učebnice jsou věnovány výstupům a kompetencím, vycházejícím z RVP ZV, kterých by měl žák po prostudování učebnice dosáhnout. Každé tematické učivo je označeno logem umístěným v levém a pravém horním rohu učebnice. Po vnějších stranách učebnice se nacházejí lišty, v nichž se žák setkává s dalšími informacemi a otázkami vztahujícími se k ostatním předmětům, úkoly k zamyšlení a navrženými tématy k referátům. Pro lepší orientaci v učebnici žák využívá symbolů, které ho upozorňují na to, co jej čeká. Bude-li se muset zamyslet, hledat souvislosti mezi pojmy, dát si pozor na vybrané pojmy, řešit praktické a zajímavé úkoly nebo úkoly pro chytré hlavy, či jej čeká chvíle oddechu nebo práce s počítačem. Většina kapitol je uvedena v duchu typových úloh, které jsou završeny oddílem Jak na to?, kde je žákům vyložen základní princip problematiky. Poté, co si žáci osvojí tuto část, následuje slovníček, který definuje základní pojmy a postupy pomocí nové matematické symboliky a terminologie Výrazy Zavedení pojmu proměnná a výraz Pojem proměnná se v učebnici Aritmetika zavádí v kapitole Výrazy. Žáci se v této kapitole seznamují s pojmem číselný výraz a výraz s proměnnou. Objevují rozdíly mezi těmito pojmy, učí se počítat s výrazy v symbolickém zápise a formulovat slovní úlohy pomocí výrazů. V úvodu kapitoly autoři nedefinují výrazy, ale společně s žáky vzpomínají, kde už se s nimi setkali. Uvádí dva geometrické příklady, jejichž postup řešení je žákům dobře znám. Jen netuší, že jsou v příkladech skryté výrazy. Prvním úkolem žáků je vypočítat obsah modře ohraničeného čtverce na obr. 9 a svůj výpočet zdůvodnit. Druhým úkolem je určit obsah modře ohraničeného čtverce na obr. 10, když x je a) 3 dm, b) 5 dm, c) 10 dm. V první úloze lze obsah čtverce zapsat pomocí číselného výrazu. Tedy,, : nebo sečteme-li jednotlivé obsahy čtverců, dostaneme: Žáci obdrží dva číselné výrazy. Aby získali obsah čtverce, musí vypočítat hodnotu číselného výrazu. Jelikož se hodnoty číselných výrazů sobě rovnají, rovnají se také samotné číselné výrazy: 31

32 V druhém případě lze obsah čtverce zapsat pomocí výrazu s proměnnou x. Podobně jako u předchozího příkladu zapíšeme obsah čtverce: nebo pomocí součtu jednotlivých obsahů čtverců: Žáci dostanou dva výrazy s proměnnou výrazu s proměnnou x tak, že za x dosadí například za a) 3 dm: Aby získali obsah čtverce, musí vypočítat hodnotu Obrázek 9: Konkrétní čtverec Obrázek 10: Čtverec obsahující proměnnou x Aniž by učebnice definovala pojem číselný výraz, výraz s proměnnou, hodnotu výrazu a rovnost dvou výrazů, žák si pojmy, v souvislosti s již probraným geometrickým učivem a učivem o mocninách a odmocninách, osvojí sám. Neopomenutelnou součástí učebnice jsou též početní příklady. Jak správně upravovat závorky a provádět pořadí operací ve výrazech si žáci mohou prostudovat na vzorových příkladech ve slovníčku a vyzkoušet na několika dalších příkladech. Role proměnné ve výrazu S výrazy s proměnnou se žáci setkali již v nižších ročnících, právě když se učili vzorce pro obsahy a obvody základních rovinných útvarů. A proto autoři uvádí příklad, ve kterém využívají Heronova vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku. Záměrně předkládají složitější vzorec. Ne proto, aby si žáci vzorec zapamatovali, ale proto, aby si uvědomili, že k výpočtu obsahu trojúhelníku existuje i jiný vzorec. Vyřešením příkladu žáci pochopí, jakou roli zastává proměnná ve výrazu. Současně si žáci uvědomí rozdíl mezi pojmem výraz s jednou 32

33 proměnnou a výraz s více proměnnými. Z příkladu můžeme vycházet při následném definování dalšího pojmu, jako je mnohočlen. Úloha zní: Když známe v trojúhelníku velikosti všech tří stran můžeme pro výpočet jeho obsahu použít Heronův vzorec:, kde Vypočtěte obsah trojúhelníku, jestliže, Určete velikosti všech výšek. Zadaný trojúhelník je pravoúhlý. Je-li si žák vědom této vlastnosti, může jeho obsah spočítat jednodušeji. Řešení: nebo Autoři upevňují roli proměnně tím, že popisují situaci, ve které potřebujeme pomocí proměnné vyjádřit určitou veličinu. Vybírá-li pokladník ve třídě od svých spolužáků peníze na divadelní představení, neví ještě, kolik jeho spolužáků půjde. Vstupenka stojí 120 Kč. Pokladník si napíše, že vybere 120, přičemž proměnnou si označil počet spolužáků, kteří se zúčastní divadelního představení. V podkapitole o výrazech v praxi nebo při řešení soustav lineárních rovnic se autoři společně s žáky vracejí k využití uvedeného postupu. Počítáme s mnohočleny Operace sčítání a odčítání Pro lepší představu při počítání s výrazy autoři využívají místo proměnných hrušky a jablka. Obecně nezáleží na tom, jak si označíme proměnné, nicméně pokud je sčítáme nebo odečítáme, musíme vědět, že není možné sčítat hrušky dohromady s jablky. Součástí příkladů jsou též součty a rozdíly proměnných umocněných na druhou nebo na třetí, viz obr. 11. Aniž by autoři uváděli, že struktura je grupa, postupně ve slovníčku zavádějí jazykem ZŠ pravidla, která platí pro operaci sčítání s celými čísly. Připomínají komutativní 33

34 a asociativní zákon, jejž žáci znají už od dob, kdy provádějí operace s čísly. Uvádějí příklady, na kterých dokazují platnost zákonů při sčítání mnohočlenů. Informují žáky o neutrálním prvku a opačném prvku, resp. opačném mnohočlenu. Odečíst mnohočlen totiž znamená přičíst opačný mnohočlen. Obrázek 11: Sčítání a odčítání mnohočlenů Operace násobení Autoři se vrací zpět ke geometrickým příkladům a usilují o to, aby žáci zcela porozuměli mechanickému způsobu roznásobení mnohočlenu jednočlenem a mnohočlenu mnohočlenem. Úkolem každého žáka je vyjádřit a spočítat obsah zadaného útvaru na obr. 12 pomocí výrazu a rozhodnout o tom, zda jde o číselný výraz nebo výraz s proměnnou. Obrázek 12: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (a) Obrázek 13: Násobení mnohočlenu mnohočlenem (b) Ve schématu Jak na to? obsah celého obdélníku na obr. 13 vystihují autoři výrazem Podobně sečtou obsahy všech obrazců v obdélníku, tedy obsah jednoho čtverce a tří obdélníků, a. Musí platit rovnost těchto dvou výrazů s proměnnou : 34

35 Analogicky řeší příklad na obr. 14. Obsah obdélníku lze zapsat jako: Obrázek 14: Násobení mnohočlenu jednočlenem Až po této zkušenosti interpretují způsoby roznásobení závorek (distributivnost násobení ke sčítání) pomocí šipek a barevného rozlišení, viz obr. 15. Obrázek 15: Násobení mnohočlenů V rámci výkladu učiva o vytýkání si žáci připomínají, co je to největší společný dělitel a jak jej určujeme. Mějme daný výraz 5-5. Číslo 5 je společným dělitelem obou členů výrazu. 5 : 5 =, 5 : 5 = 1. Společného dělitele (5) napíšeme před závorku, říkáme, že jsme 5 vytkli. Výraz 5 5 napíšeme jako součin 5 ( - 1). V závorce zůstal podíl původního výrazu a čísla 5. Vzorce pro úpravy mnohočlenu Často se setkáváme s výrazy, které nelze rozložit v součin vytknutím před závorku. Můžeme však využít vzorců pro úpravy mnohočlenů. Úkolem žáků je vyjádřit obsah čtverců na obr. 16 a 17 a porovnat oba obrázky i výsledky výpočtů. Navíc rozhodnout o tom, zda platí vztah, své tvrzení zdůvodnit a dokázat. Podobně musí dokázat vztah a též rovnost dvou výrazů. Podstatou úlohy je porozumění vzorcům pro úpravy mnohočlenů na základě geometrické interpretace. 35

36 Obrázek 16: Druhá mocnina součtu (a) Obrázek 17: Druhá mocnina součtu (b) Výrazy v praxi Výpočty spojené s výrazy se mnohdy promítají do úloh, kterými se matematizují reálné životní situace. Autoři v průběhu celé kapitoly několika takovými úlohami přispívají. Vybereme jednu: V domě je pět bytů, v nichž bydlí: Márovi: 4 osoby, plocha 105, Chlaňovi: 3 osoby, plocha 85, Síťalovi: 2 osoby, plocha 56, Novotní: 4 osoby, plocha 97 a Papouškovi: 5 osob, plocha 125. Navrhněte takový matematický výraz, aby domovník Fiala mohl rychle spočítat, kolik peněz měsíčně má od každého majitele bytu vybrat do společného fondu. Připravte přehlednou tabulku (můžete využít Excel). Vybrané částky měsíčně: 12 Kč za plochy bytu do fondu oprav, 100 Kč na osobu jako záloha na vodu a 45 Kč na byt jako záloha na elektřinu na osvětlení společných prostor domu. n S Fond oprav (Kč) S 12 Záloha na vodu (Kč) n 100 Záloha na osvětlení spol. prostor (Kč) Celkem (Kč) Márovi Chlaňovi Šítalovi Novotní Papouškovi Tabulka 1: Výrazy v praxi Žáci mohou při řešení slovní úlohy postupovat analogickým způsobem, jejž si osvojili v příkladu o divadelním představení, viz str. 33. Počet osob lze označit proměnnou n, plošné rozpoložení bytu proměnnou S. Tedy hledaný výraz je 12 S n + 45, výraz se dvěma proměnnými S a n. Pokud by domovník Fiala chtěl spočítat, kolik peněz má měsíčně vybrat od každého majitele do společného fondu, v případě rodiny Márovy by dosadil za proměnné: n = 4, S =

37 3.1.3 Lineární rovnice V úvodu kapitoly Rovnice autoři záměrně předkládají tři slovně zadané příklady, které mají žáci vyřešit svým způsobem. Poté, co se naučí počítat s rovnicemi, pochopí, jak velkým pomocníkem mohou být rovnice při řešení podobných příkladů. Zmíníme alespoň jeden. Určete dvě po sobě jdoucí přirozená čísla, jejichž součet je 15. Napište, jak jste postupovali při výpočtu. Výsledkem jsou čísla 7 a 8. Příklad lze vyřešit pomocí rovnice. V rámečku Jak na to? se žáci seznamují s definicí pojmu rovnice. Rovnice není nic jiného než rovnost dvou výrazů. Ale pozor! V takové rovnici musí být aspoň jedna neznámá (někdy ji také nazýváme proměnná). A co znamená řešit rovnici? Najít všechna taková čísla, jejichž dosazením za neznámé dostaneme na obou stranách rovnice stejná čísla! Než se autoři přesunou k objasnění podstaty ekvivalentních úprav, uvádí jednoduché slovní úlohy, které lze vyřešit zpaměti a bez rovnic. Na těchto příkladech předvádí, jak se pracuje s rovnicemi. Pro představu si jednu z úloh uvedeme. Ve finálovém zápasu basketbalové ligy NBA hráli Lakers proti Bostonu. Bryant zaznamenal 36 bodů, což bylo o 16 více než dosáhl Vujačič. Kolik bodů nastřílel Vujačič? Snadno přijdeme na to, že Vujačic nastřílel 20 bodů. Jak si to můžeme znázornit? Obrázek 18: Rovnice Obrázek 19: Úprava rovnice Při řešení této úlohy se autoři odkazují na obr. 18 a 19. Obr. 18 lze vystihnout rovnicí: Nyní musíme oběma hráčům škrtnout 16 bodů, viz obr. 19. Jednoduchou rovnici pak řešíme následovně: 37

38 Vujačič nastřílel 20 bodů. Provedeme-li zkoušku dosazením výsledku za proměnnou, dostaneme rovnost. Za nejnázornější způsob řešení lineárních rovnic autoři považují úlohy s váhami. Každý žák si při tomto typu úloh uvědomí levou a pravou stranu rovnice, které může libovolně zaměnit. Každé závaží představuje číslo. Je-li váha v rovnováze, obě strany rovnice se sobě rovnají. Žáci tak mohou přidávat a odebírat totéž závaží na obou stranách váhy, resp. přičítat a odečítat totéž číslo na obou stranách rovnice. Předložme si konkrétní typ úlohy: Zjistěte z obrázku, kolik kilogramů (kg) váží hnědá bedna se železem; její hmotnost je na obr. 20 označena neznámou. Zapište matematicky situaci na obrázku, když víte, že číselné hodnoty uvedené na jednotlivých závažích jsou hmotnosti v kilogramech. Obrázek 20: Váha Obrázek 21: Váha po odebrání kil Chceme-li matematicky popsat obr. 20, zapíšeme situaci rovnicí: Odebereme-li na každé straně váhy 7 kg závaží, viz obr. 21, dostaneme:. Tedy bedna s železem váží 10 kg. Nutná je zkouška jako zpětná kontrola pro žáky,, což platí. Autoři využívají geometrickou interpretaci také při řešení lineárních rovnic. Úkolem žáků je si pozorně prohlédnout obrázky, pokusit se situaci na obr. 22 a 23 vyjádřit pomocí rovnice a rovnici vyřešit. Obrázek 22: Obdélník (a) Obrázek 23: Obdélník (b) 38

39 V případě obr. 22 lze zapsat situaci podle vzorce pro obsah obdélníku pomocí rovnice. Žáci obdrží rovnost dvou výrazů. V našem případě rovnost splňuje rovnici, neboť se v ní nachází alespoň jedna neznámá neboli proměnná. Levou i pravou stranu rovnice vydělíme osmi a dostaneme. V případě obr. 23 situaci zapíšeme rovnicí, kterou lze vyřešit způsobem, jenž je vysvětlený na vzorovém příkladě v rámečku Jak na to?: Jak poznat, zda má rovnice jedno řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení, se žáci naučí skrze příklad, který vyžaduje grafické řešení lineárních rovnic. Řešte rovnice: a) b) c) Prohlédněte si obr. 24a, 24b a přiřaďte je k rovnicím. U jedné rovnice není graf uveden. Odhadněte, jak by tento graf vypadal. Kolik řešení mají uvedené lineární rovnice? Obrázek 24: Grafické řešení lineárních rovnic, zleva (a), (b), (c) 39

40 Na obr. 24a vidíme, že se přímky protínají v jednom bodě, který je řešením rovnice (a). Na obr. 24b jsou přímky rovnoběžné a nemají žádný společný bod, rovnice (b) tedy nemá žádné řešení. V případě poslední lineární rovnice by přímky splývaly, viz obr. 24c, rovnice (c) má nekonečně mnoho řešení. Částečně slouží tento příklad jako příprava ke grafickému řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Slovní úlohy Učebnice rovněž zavádí složitější rovnice obsahující zlomek. Neznámá se v tomto případě nachází pouze v čitateli zlomku. Autoři učí žáky dvojímu způsobu řešení. V případě rovnice : 1. Číslo 10 převedeme na druhou stranu rovnice a rovnici vynásobíme číslem V rovnici vynásobíme všechny členy dvěma. Zkouška: Složitější výpočet lineární rovnice se zlomky si žáci mohou vyzkoušet ve slovní úloze o řeckém matematikovi Diofantovi. Úloha zní: O životě slavného matematika Diofanta se nedochovalo mnoho zpráv. Známá je však hádanka týkající se délky jeho života. Diofantovo mládí trvalo jeho života. Vousy mu narostly po další jeho života. Po následující života se Diofantos oženil. Po pěti letech se mu narodil syn, který žil přesně délky života svého otce. Diofantos zemřel 4 roky po smrti svého syna. Jak dlouho žil? Zjistěte, kdy a kde žil Diofantos. Kterými čísly musí být dělitelný Diofantův věk? Sestavte rovnici a vyřešte ji. Zkuste úlohu vyřešit i bez rovnice a vysvětlete svůj postup. 40

41 Diofantův věk musí být dělitelný dvěma, šesti, sedmi a dvanácti, což je evidentní ze zadání. Chceme-li sestavit rovnici, označíme si Diofantův věk proměnnou. Dostaneme rovnici: Rovnici vyřešíme prvním, výše uvedeným způsobem: Nejmenší společný násobek čísel, které dělí Diofantův věk, je 84. Diofantos se musel dožít nejméně 84 let. Další společný násobek čísel je 164. Protože se Diofantos reálně nemohl dožít 164 let, dožil se právě 84 let. Vedle příkladů, ve kterých žáci řeší rovnice v symbolickém zápise, se objevují na mnohých stránkách učebnice zajímavé a z reálného života vytvořené slovní úlohy - o pohybu, o společné práci aj Lomené výrazy V 9. ročníku ZŠ se žáci vrací zpět k algebraickému učivu a prohlubují vše, co už se naučili o výrazech a rovnicích v 8. třídě. Přehled probraných algebraických pojmů je zmapován v pyramidě na obr. 25. Pyramida na obr. 26 obsahuje přehled základních operací s uvedenými pojmy. Každá pyramida je rozložena do čtyř vrstev, které se stupňují od nejnižší vrstvy po nejvyšší. Pojmy náležící vždy nižší vrstvě je třeba znát k zavedení pojmů náležících vždy vyšší vrstvě. Na vrcholku pyramid se zavádí pro žáky nový pojem lomený výraz. Žáci se učí lomené výrazy poznávat a provádět s nimi základní operace. Protože s lomenými výrazy pracujeme podobně jako se zlomky, autoři často odkazují na již osvojené učivo o zlomcích. V učebnici Algebra si v počátku kapitoly o lomených výrazech žáci společně s autory opakují pojmy číselný výraz a výraz s proměnnou. Seznamují se s novým, komplikovanějším výrazem, jenž je definován jako výraz ve tvaru zlomku, v jehož jmenovateli je proměnná. Pozor! V čitateli lomeného výrazu se proměnná vyskytovat může, avšak nemusí. Komplikací při počítání s lomenými výrazy se stává případ, kdy se jmenovatel rovná 0. 41

42 Autoři uvádí zlomek, který nemá smysl, neboť jmenovatel musí být různý od nuly. Zároveň předkládají lomený výraz, který existuje za podmínky. V následujícím cvičení se žáci učí, jak hledat podmínky, za kterých má daný výraz smysl. Určete, pro která čísla se daný výraz rovná nule: a) b) c) Obrázek 25: Pyramida pojmů Obrázek 26: Pyramida operací s pojmy V učebnici jsou zavedeny čtyři charakteristické typy lomených výrazů, se kterými se mohou žáci setkat v příkladech. Lomené výrazy jsou: 42

43 V prvním případě. V druhém případě, tedy. Ve třetím případě a zároveň, tj.. Poslední lomený výraz musíme rozložit na součin. Vytknutím proměnné dostaneme součin. Pak a, tedy. Dostatečný prostor autoři věnují také krácení a rozšiřování lomených výrazů, ve kterých se nachází proměnné s exponenty nejvýše rovno 3. Autoři volí dva postupy krácení. 1. Rozložíme čitatele i jmenovatele na součiny a krátíme, co krátit lze. 2. Postupovat však můžeme i jinak. Pokud počítáme správně, dostaneme stejný výsledek. Než se autoři dostanou k vysvětlení operace sčítání, odčítání, násobení a dělení lomených výrazů, připomínají, jak se provádí tyto čtyři základní operace se zlomky. Jakým způsobem se žáci naučí sčítat a odčítat, můžeme zhlédnout na obr. 27 a 28. Obrázek 27: Součet lomených výrazů Obrázek 28: Rozdíl lomených výrazů Ke složeným výrazům autoři přistupují jako k podílu dvou lomených výrazů. Následující výraz upravují tak, že hlavní zlomkovou čáru nahrazují symbolem pro dělení: 43

44 3.1.5 Rovnice s neznámou ve jmenovateli V kapitole o rovnicích s neznámou ve jmenovateli jsou pro snadnější orientaci též uvedeny pyramidy, viz obr. 29 a 30. Dosud se žáci setkávali s jednoduchými lineárními rovnicemi, popřípadě s rovnicemi obsahujícími zlomek, v jehož čitateli se objevovala neznámá. Mezi rovnice také řadíme rovnice s neznámou ve jmenovateli. Úspěšnost řešení těchto rovnic závisí na úrovni získaných vědomostí z předchozí kapitoly o lomených výrazech. Autoři nabízí tři způsoby řešení rovnic s neznámou ve jmenovateli. Obrázek 29: Pyramida pojmů Obrázek 30: Pyramida operací s pojmy 44

45 K využití první metody řešení si žáci musí zopakovat učivo týkající se porovnávání zlomků. Rovnice jež má smysl za podmínky, obsahuje dva zlomky. Úkolem žáků je nalézt společného jmenovatele zlomků. Zlomky se stejným jmenovatelem se rovnají, rovnají-li se sobě jejich čitatelé. Společný jmenovatel zlomků je. Obdržíme rovnici musí platit, tedy. Druhou metodou řešení rovnice s neznámou ve jmenovateli je úprava odstraněním zlomků. V této úpravě můžeme zvolit dva postupy. 1. postup: 2. postup: Kořen vyhovuje podmínce a v obou postupech vyšel stejně. Provedeme-li zkoušku, dostaneme, že. 45

46 Ve třetí metodě autoři využívají vlastnosti poměru. Při této úpravě rovnice je třeba vědět, že součin vnitřních členů poměrů je roven součinu vnějších členů poměrů. Ověříme-li si výsledek zkouškou, dostaneme Složitější rovnice s neznámou ve jmenovateli, jež je zakomponována do vzorců pro úpravy mnohočlenů, autoři vysvětlují též na vzorových příkladech. 46

47 3.1.6 Soustavy lineárních rovnic Než se autoři dostanou k vysvětlení pojmu soustavy lineárních rovnic, uvádí tři typy rovnic, jejichž zápisy musí žáci rozpoznat. Jedná se o lineární rovnice s jednou neznámou, lineární rovnice se dvěma neznámými a soustavy několika lineárních rovnic o dvou a více neznámých. Následující úloha připravuje žáky na jeden z možných způsobů řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, a to řešení grafické. Na obr. 31 jsou grafy následujících funkcí (1) (2) (3) (4) (5) Z obrázků určete společné řešení rovnice a) 1 a 4, B) 1 a 2, c) 3 a 5. Obrázek 31: Grafické řešení více lineárních funkcí Z grafu lze vyčíst, že rovnice 1 a 4 mají společné řešení v bodě. Rovnice 1 a 2 mají společné řešení v též v bodě. A bod je řešením rovnice 3 a 5. Před vysvětlením tzv. sčítací a dosazovací metody mají žáci doplnit do oválu a do kruhu tolik červených koleček, aby byly splněny současně obě rovnosti, viz obr. 32. Po této zkušenosti dostávají za úkol přepsat obrázky pomocí rovnic, přičemž jim autoři radí, že kolečka v oválu si lze označit proměnnou a kolečka v kruhu proměnnou. 47

48 Následně se autoři ptají, zda můžeme situaci z předchozího příkladu překreslit tak, jak ukazuje obr. 33. Žáci mají přepsat obr. 33 pomocí rovnice a zápisy rovnic obr. 32 a 33 porovnat. Obrázek 32: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Obrázek 33: Lineární rovnice o jedné neznámé V rámečku Jak na to? můžeme zhlédnout celý postup řešení v symbolickém zápise. Abychom se dostali k zápisu rovnice, která je znázorněna na obr. 33, obě rovnice sečteme. Této metodě říkáme sčítací metoda. Zkouška:. Řešením této soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je uspořádaná dvojice. Metodu dosazovací autoři zavádí do učebnice v rámci slovní úlohy: Zdenka chodí na brigádu na zříceninu hradu Dračí kámen, kde vybírá vstupné. Za dítě vybere 20 Kč a za dospělou osobu 50 Kč. Kolik přišlo v sobotu dětí, když Zdenka napočítala celkem 326 návštěvníků a na vstupném vybrala Kč? 48

49 Situaci lze zapsat pomocí obr. 34. Získáváme první rovnici. Druhou rovnici vytvoříme na základě přehledného zápisu, který symbolizuje, kolik od každého dospělého a dítěte Zdenka vybrala a kolik vybrala od dospělých a dětí. Aplikujeme postup, který jsme využili v úloze o divadelním představení na str. 33. Nakonec částky sečteme a sestavíme druhou rovnici. Úlohu vyřešíme pomocí soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých a zvolíme dosazovací metodu. Obrázek 34: Lineární rovnice o dvou neznámých Od každého dospělého vybrala Kč Od dospělých vybrala Kč Od každého dítěte vybrala Kč Od dětí teda vybrala Kč Celkem od všech vybrala Kč Celkem vybrala Kč Zkouška: Soustava má jediné řešení v sobotu 225 dospělých a 101 dětí.. Na zříceninu hradu Dívčí kámen přišlo 49

50 3.2 Učebnice pedagogického nakladatelství Prodos Ukázky matematických příkladů, které spadají pod kapitolu 3.2, budou převzaty z učebnice: MOLNÁR, J., EMANOVSKÝ, P., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA. J. Matematika 8: učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos, 2000, s a učebnice: MOLNÁR, J., LEPÍK, L., LIŠKOVÁ, H., SLOUKA, J., RŮŽIČKOVÁ, B. Matematika 9: učebnice s komentářem pro učitele. Olomouc: Prodos, 2001, s Pro 2. stupeň ZŠ byla vydána pedagogickým nakladatelstvím Prodos ucelená řada Matematika 6 9, která zahrnuje učebnice a pracovní sešity obsahující učivo od 6. do 9. ročníku ZŠ. Existuje tzv. učitelská podoba učebnic, tedy s komentářem pro učitele, a žákovská podoba učebnic bez komentáře. Ve srovnání s učebnicemi nakladatelství Fraus, ke kterým je zvlášťe vytvořena metodická příručka pro učitele, poskytují učitelské podoby učebnic nakladatelství Prodos učitelům více prostoru pro přímou pedagogickou činnost se žáky. Na rozdíl od učebnic nakladatelství Fraus existuje pro každý ročník 2. stupně ZŠ jedna učebnice matematiky obsahující vždy geometrické učivo a aritmetické nebo později algebraické učivo. Učebnice 6. až 9. ročníku na sebe vzájemně navazují a tvoří jeden celek. Jsou pomocníkem nejen pro učitele, ale také pro rodiče žáků. Vyznačují se přehledným zavedením učiva a jeho odlišnou prezentací ve srovnání s učebnicemi nakladatelství Fraus. Autoři na začátku téměř každé nově probírané látky vysvětlují pojmy a postupy řešení matematických úloh a předkládají několik typových úloh pro procvičení právě naučených způsobů řešení. Pedagogické nakladatelství Prodos také vydalo sbírky příkladů Benjamín a Kadet vycházející z mezinárodní soutěže Matematický klokan Struktura učebnic Pojmy výrazy a lineární rovnice se nachází v učebnici Matematika 8. Lomené výrazy a soustavy rovnic jsou obsaženy v učebnici Matematika 9. Učebnice nakladatelství Fraus a Prodos se liší uspořádáním jejich obsahu. V učebnici Aritmetika pedagogického nakladatelství Fraus jsou po řadě kapitoly Výrazy a Rovnice zařazeny až po kapitole Mocniny a odmocniny. V učebnici Matematika 8 pedagogického nakladatelství Prodos jsou nejdříve předloženy po řadě kapitoly Výrazy a Lineární rovnice a teprve poté kapitola Mocniny a odmocniny. Vzhledem k této diferenci každá z učebnic definuje algebraické pojmy odlišně. Co se týče obsahů učebnice Algebra pedagogického nakladatelství Fraus a učebnice Matematika 9 pedagogického nakladatelství Prodos, nenajdeme zde rozdíly. Každá z učebnic 50

51 začíná kapitolou o lomených výrazech a dále pokračuje s učivem o rovnicích s neznámou ve jmenovateli a soustavách lineárních rovnic. Uspořádání obsahu Učebnice Matematika pro 8. ročník základní školy a víceletá gymnázia aritmetika nakladatelství Fraus 1. Mocniny a odmocniny 2. Výrazy s proměnnou 3. Lineární rovnice Učebnice Matematika pro 9. ročník základní školy a víceletá gymnázia algebra nakladatelství Fraus 1. Lomené výrazy 2. Soustavy lineárních rovnic Učebnice Matematika 8 nakladatelství Prodos 1. Výrazy s proměnnou 2. Lineární rovnice 3. Mocniny a odmocniny Učebnice Matematika 9 nakladatelství Prodos 1. Lomené výrazy 2. Soustavy lineárních rovnic Tabulka 2: Uspořádání obsahu Podobně jako tomu je v učebnicích nakladatelství Fraus, učebnice nakladatelství Prodos obsahují též postranní lišty, ve kterých žáci nacházejí nové informace, mezipředmětové otázky a úkoly, hádanky, náměty pro zájmové činnosti (uspořádání ankety) a v neposlední řadě historické souvislosti s probíranými pojmy. Učivo je doplněno ilustracemi. Pravidelně se objevují žluté rámečky, ve kterých jsou definovány nejzákladnější pojmy, které by si žáci měli zapamatovat Výrazy Zavedení pojmu proměnná a výraz Prvním algebraickým pojmem v kapitole Výrazy je pojem proměnná. Záměrně autoři předkládají po řadě pojem číselný výraz, výraz s proměnnou a mnohočlen. Pojem číselný výraz definují ve žlutém rámečku hned z počátku. Následně uvádí početní úlohy, pomocí kterých se žáci učí poznávat, tvořit, číst a zapisovat číselné výrazy. Tuto část lze považovat za předběžné studium před zavedením pojmu proměnná. Podívejme se na některé z úloh: Zjistěte, která dvě různá čísla dávají největší a) součet, b) součin, c) rozdíl a d) podíl, a vypočtěte jej. Nabídka čísel je 12, 4, -4, -3, -12, -1, 6, -6. Žáci sestaví největší součet a určí jeho číselnou hodnotu, která je rovna číslu 18. Podobně provedou u součinu (-12) (-6) = 72 nebo 12 6 = 72, rozdílu 12 - (-12) = 24 a podílu (-12) : (-1) =

52 Umíte zapsat? a) součin čísel 5, 17 a (-2) 5 17 (-2) = -170 b) rozdíl čísel 12 a (-1) 12 - (-1) = 13 c) dvojnásobek součtu čísel 4 a 7 2 (4 + 7) = 22 Doplňte znaky početních operací a závorky tak, aby platilo: a) 12 : (-4) + 5 = 2 b) 12 (-4) 5 = 11 c) 12 : (-4) 5 = -15 Až po této zkušenosti se žáci seznamují s pojmem proměnná. Pojem výraz s proměnnou autoři zavádí formou jednoduché úvahy: Všimněme si číselných výrazů: Umíme pokračovat dál? Věříme, že ano. Všechny tyto číselné výrazy mají tvar a za jsme dosazovali čísla 2, 3, 4, Číselnou hodnotu písmena proměňujeme, proto se nazývá proměnná. Z toho důvodu se výraz, ve kterém některé z čísel nahradíme proměnnou, nazývá výraz s proměnnou. Pojem proměnná autoři budují na znalosti pojmu číselný výraz. Pozornost bychom měli věnovat také postranním lištám, protože se právě zde objevují odkazy na významné historické osobnosti, jako byl perský matematik Al-Chvárizmí a francouzský matematik François Viète. Role proměnné ve výrazu Porovnáme-li vymezení algebraických pojmů v učebnicích nakladatelství Fraus a Prodos, musíme konstatovat, že učebnice nakladatelství Fraus se nesou v duchu spíše geometrických a slovně zadaných úloh a učebnice nakladatelství Prodos v duchu aritmetických neboli numerických příkladů. Vzpomeňme si na úlohu z učebnice Aritmetika, kde jsme řešili obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce. Smyslem této úlohy bylo porozumět roli proměnné ve výrazu a především si uvědomit, kde a jak lze proměnnou využít k zjednodušení našeho počítání. S podobnou úlohou se žáci v učebnici Matematika 8 mohou setkat až v souhrnném opakování. Učebnice se spíše zaměřuje na aplikaci mechanických 52

53 pravidel pro počítání s výrazy. Jak si žáci osvojí roli proměnné ve výrazu, odhaluje následující příklad: Vypočtěte číselnou hodnotu výrazů s proměnnou, kde za dosazujeme čísla (zapisujeme ). a) b) c) Překreslete si následující dvouřádkové tabulky. Další tvořte samostatně. t t Tabulka 3: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (a) t t Tabulka 4: Číselná hodnota výrazu s proměnnou (b) Počítáme s mnohočleny Vedle sčítání, odčítání a násobení mnohočlenů se autoři věnují také dělení mnohočlenu jednočlenem. Vzhledem k neprobrané kapitole o mocninách a odmocninách je veškeré počítání s mnohočleny prováděno s proměnnými s exponenty nejvýše rovno 1. Operace sčítání a odčítání Na místo jablek a hrušek při sčítání a odčítání mnohočlenů využívají autoři symboly hracích karet, viz obr. 35 a 36. Obrázek 35: Operace sčítání (a) Obrázek 36: Operace sčítání (b) 53

54 Operace násobení Oproti učebnici Aritmetika, kde jsme roznásobení mnohočlenů dokládali na geometrických obrazcích, v učebnici Matematika 8 autoři znázorňují roznásobení mnohočlenu jednočlenem pouze pomocí šipek, viz obr. 37. V rámci roznásobení mnohočlenu číslem -1 se žáci seznamují s opačným mnohočlenem. Při roznásobení mnohočlenu dvojčlenem používají dvakrát distributivní zákon. Ukažme si vzorový příklad: nebo Na obr. 38 autoři demonstrují zkrácený zápis provedené operace. Obrázek 37: Násobení mnohočlenu jednočlenem Obrázek 38: Násobení mnohočlenu mnohočlenem Než se autoři dostanou k samotnému vytýkání, předkládají žákům úlohu: Jakým číslem (je ukryto pod ) roznásobil Matěj výraz? a) (2) b) (3) c) (4) Následně se ve žlutém rámečku vracejí zpět k příkladu (a) a informují žáky o tom, že z výrazu musíme vytknout číslo 2. Tento způsob zavedení operace vytýkání je odlišný od způsobu zavedení operace vytýkání v učebnici Aritmetika. Tam autoři s žáky opakovali, jak nalézt největší společný dělitel, který vytkneme před závorku. 54

55 Operace dělení Provádí-li žák operaci dělení mnohočlenu jednočlenem, může podle autorů využít dvou postupů. Dělte dvojčlen: Postup 1. Vydělíme každý člen dvojčlenu. Postup 2. Dělení zapíšeme ve tvaru zlomku, a pokud to lze, vytkneme a krátíme. Vzorce pro úpravy mnohočlenů Vzorce pro úpravy mnohočlenů jsou zařazeny až v kapitole Mocniny a odmocniny. Podobně jako v učebnici Aritmetika vysvětlují autoři druhou mocninu součtu pomocí geometrického nákresu, viz obr. 39. Obrázek 39: Druhá mocnina součtu Obrázek 40: Rozdíl druhých mocnin Dále následuje žlutý rámeček s tvrzením Pamatujte si! a v něm jsou vypsány vzorce pro druhou mocninu součtu, rozdílu a také rozdílu druhých mocnin. Pokud by někoho z žáků zajímalo, jak si lze dokázat vzorec pro rozdíl druhých mocnin, může zhlédnout geometrický nákres v postranní liště učebnice, viz obr

56 3.2.3 Lineární rovnice Pojem lineární rovnice autoři budují na základě znalostí pojmů číselný výraz a výraz s proměnnou. Podobně jako v učebnici Aritmetika autoři učebnice Matematika 8 porovnávají formuli (rovnost číselných výrazů) s formulí (rovnice). Ve žlutém rámečku pak vysvětlují, že rovnice je rovnost výrazů, z nichž alespoň jeden obsahuje proměnnou, která se v rovnici stává hledanou neznámou. Řešit rovnici znamená najít takové číslo (tzv. kořen rovnice), po jehož dosazení se z rovnice stane rovnost číselných výrazů. K úplnému pochopení rozdílu mezi rovností a rovnicí se v učebnici zavádí úloha: Rozlišujte, kdy se jedná o rovnost a kdy o rovnici. a) rovnost b) rovnice c) rovnice V prvé řadě nechávají autoři žáky řešit rovnice metodou pokus omyl. V druhém případě žáci vybírají z možností při hledání kořene rovnice. Dosazují tak číselné hodnoty za proměnnou a posuzují, zda se jim rovná levá a pravá strana rovnice. Příklad je zároveň přípravou pro zvládnutí zkoušky, kterou se žák musí vždy přesvědčit o správnosti svého řešení. V třetím případě využívají nákresu dvou os, které znázorňují levou a pravou stranu rovnice, viz obr. 41: Řešte rovnici Řešení: Obrázek 41: Grafické řešení lineární rovnice Podobně jako v učebnici Aritmetika ekvivalentní úpravy autoři vysvětlují pomocí rovnoramenné váhy. Poté, co si žáci důkladně prohlédnou obr. 42, se mohou přesunout k vzorovým, již vyřešeným příkladům a dále si své vědomosti o ekvivalentních úpravách vyzkoušet na mnoha dalších příkladech. Součástí těchto příkladů jsou také rovnice se zlomky obsahující proměnnou v čitateli. 56

57 Řešte rovnici Ověříme zkouškou: L = P = L = P Rovnice má jedno řešení. Rovnice, které nemají žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení, si žáci také mohou osvojit v propočítaných vzorových příkladech. Nicméně ve srovnání s učebnicí Aritmetika, autoři nenabízí grafické řešení. Obrázek 42: Ekvivalentní úpravy 57

58 Slovní úlohy Neopomenutelnou součástí učebnici Matematika 8 jsou slovní úlohy v poslední části kapitoly o lineárních rovnicích. Autoři předkládají několik vyřešených slovních úloh a následně několik nevyřešených úloh. Podívejme se, jak řeší úlohu o pohybu: Tonda a Hynek bydlí 11,5 km od sebe, každý opačným směrem od bazénu. Proto se telefonicky domluvili, že se jako vždy sejdou až před bazénem. Oba vyjíždějí na bruslích současně, Hynek rychlostí 13 km/h a Tonda rychlostí 10 km/h. Za jak dlouho se sejdou před bazénem za předpokladu, že jako obvykle dojedou současně? Jak daleko má Hynek na bazén? Zvolíme neznámou: x doba jízdy (obou chlapců) Nyní si sestavíme a doplníme tabulku: Obrázek 43: Úloha o pohybu v (km/h) t (h) s (km) H 13 x 13x T 10 x 10x Tabulka 5: Úloha o pohybu (a) Z tabulky dosadíme do rovnice: zkouška 13 0,5 = 6,5 10 0,5 = 5,0 11,5 Tabulka 6: Úloha o pohybu (b) Zkouška: Vypočítali jsme, že doba jízdy obou chlapců trvala 0,5 hodin. Dosadíme do tabulky a provedeme zkoušku. Tím také vypočítáme, jak daleko to má Hynek na bazén. Odpověď: Hynek má na bazén 6,5 km, s Tondou se sejde za 0,5 hodiny. 58

59 Součástí kapitoly Rovnice je podkapitola o lineárních nerovnicích s jednou neznámou, s čímž se v učebnici Aritmetika ani Algebra pedagogického nakladatelství Fraus nesetkáme. Žáci se učí zapisovat a řešit jednoduché nerovnice. Jsou poučeni pravidlem o obrácení znaménka nerovnosti při vynásobení nerovnice záporným číslem. Ukázkovým příkladem autorů je: Řešte nerovnici: Lomené výrazy Pro vytvoření si představy o pojmu lomený výraz je v učebnici Matematika 9 zavedena následující úloha: Napište dané výrazy ve tvaru zlomků: a) b) c) Podle autorů je lomeným výrazem výraz zapsaný ve tvaru zlomku, obvykle s proměnnou ve jmenovateli. Zatímco autoři učebnice Algebra by výraz považovali za výraz s proměnnou a výraz za číselný výraz, autoři učebnice Matematika 9 všechny z předložených výrazů považují za lomené výrazy. Oproti autorům učebnice Algebra autoři učebnice Matematika 9 přesně neinformují žáky o tom, zda se v lomeném výrazu může nebo nemusí vyskytovat proměnná v čitateli. Potvrzením těchto nesrovnalostí je úloha, jejíž zadání zní: Určete, které z lomených výrazů na okraji učebnice mají smysl vždy a které jen za určitých podmínek. Pokuste se tyto podmínky stanovit. Mezi výrazy, které jsou předloženy v postranní liště, se mimo jiné objevují výrazy mající smysl vždy, avšak obecně je nepovažujeme za lomené výrazy, např., nebo také aj. 59

60 Podmínky, za kterých má výraz smysl, žáci podle autorů učebnice určují pomocí lineární rovnice v základním tvaru. V případě lomeného výrazu nesmí platit výraz smysl.. Vyřešením této jednoduché lineární rovnice žák zjistí, pro která nemá lomený Podmínka, za které má lomený výraz smysl, je. Ve srovnání s učebnicí Algebra je učebnice Matematika 9 v kapitole o lomených výrazech strožejší. Autoři přistupují ke sčítání, odčítání, násobení a dělení jako k zcela analogickému postupu při sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků. Tudíž s podrobným vysvětlováním na vzorových příkladech, jak se která operace provádí, se nesetkáme. Před sčítáním a odčítáním lomených výrazů si žáci opakují znalosti o nejmenším společném násobku. Dále následuje jednoduchý vzorový příklad na součet a rozdíl lomených výrazů. Složitější součty, jako je třeba součet lomených výrazů: již autoři učebnice nevysvětlují. Určení nejmenšího společného násobku výrazů a není jednoduché a vyžaduje dobré znalosti vzorců pro počítání s mnohočleny. V tomto případě je nejmenším společným násobkem výraz. Správnost řešení si žáci ověřují dosazením čísla 1 za proměnnou. Výsledkem uvedeného součtu lomených výrazu je V rámci podkapitoly o operaci násobení a dělení s lomenými výrazy se žáci seznamují s pojmem složený výraz. Podobně, jako je tomu v učebnici Algebra, je složený výraz upravován prostřednictvím podílu dvou lomených výrazů. Ve snaze vyhnout se přímé operaci dělení autoři učebnice Matematika 9 uvádí pomůcku, kterou lze při úpravě složeného zlomku využít tak, že do čitatele nově upraveného zlomku zapíšeme součin vnějších složek složeného výrazu a do jmenovatele součin vnitřních složek složeného výrazu, viz obr. 44. S tímto zjednodušením se v učebnici Algebra nesetkáme. Obrázek 44: Složený výraz 60

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

6.1 I.stupeň. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 6.1.3. Vyučovací předmět: MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 1.

6.1 I.stupeň. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 6.1.3. Vyučovací předmět: MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 1. 6.1 I.stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 6.1.3. Vyučovací předmět: MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň Vzdělávací obsah je rozdělen na čtyři tematické okruhy : čísla

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 4. Časová dotace: 4 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Provádí písemné početní operace Zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 8. MARKUP Druhá mocnina a odmocnina FY Tabulky, kalkulátor Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Učební materiály (využívány průběžně): Poznámky Umí provádět operace

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ

vzdělávací oblast vyučovací předmět ročník zodpovídá MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA 4. BÁRTOVÁ, VOJTÍŠKOVÁ Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Učivo obsah Mezipředmětové vztahy Metody + formy práce, projekty, pomůcky a učební materiály ad. Poznámky 4. ročník OPAKOVÁNÍ UČIVA 3. ROČNÍKU Rozvíjí dovednosti s danými

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 4. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace využívá při pamětném a písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 6. úprava 26.8.2013 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1 ÚPRAVY UČEBNÍHO PLÁNU A VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA Projednáno pedagogickou radou dne: 26. 8. 2013 Schválila ředitelka

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATIKA. 1. 5. ročník

MATEMATIKA. 1. 5. ročník Charakteristika předmětu MATEMATIKA 1. 5. ročník Obsahové, časové a organizační vymezení Vyučovací předmět matematika má časovou dotaci 4 hodiny týdně v 1. ročníku, 5 hodin týdně ve 2. až 5. ročníku. Časová

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata)

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Číslo a početní operace - využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MATEMATIKA II. období (4. 5. ročník)

MATEMATIKA II. období (4. 5. ročník) MATEMATIKA II. období (4. 5. ročník) Charakteristika předmětu Při vyučování matematice v druhém období základního vzdělávání při probírání určitého učiva: - využíváme matematické poznatky a dovednosti

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011

MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011 MANUÁL K DIDAKTICKÉMU TESTU Z MATEMATIKY PŘIJÍMAČKY MSK 2011 Didaktickým testem z matematiky budou ověřovány matematické dovednosti, které nepřesahují rámec dřívějších osnov ZŠ a jsou definované v Rámcovém

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Matematika-průřezová témata 6. ročník

Matematika-průřezová témata 6. ročník Matematika-průřezová témata 6. ročník OSV 1: OSV 2 žák umí správně zapsat desetinnou čárku, orientuje se na číselné ose celých čísel, dovede rozpoznat základní geometrické tvary a tělesa, žák správně používá

Více

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky

Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace 1. ročník Měsíc Tematický okruh Učivo Očekávané výstupy Poznámky Září Obor přirozených čísel Počítá předměty v daném souboru do 5 Vytváří soubory s daným počtem

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová

Tematický plán učiva. Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová Tematický plán učiva Předmět : Matematika a její aplikace Školní rok : 2012-2013 Třída-ročník : 4. Vyučující : Věra Ondrová 1. Používá čtení a psaní v číselném oboru 0 1 000 000. 2. Rozumí lineárnímu uspořádání

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7.

Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7. Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: 7. Výstupy dle RVP Školní výstupy Učivo žák: v oboru celých a racionálních čísel; využívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více