STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

2 OBSAH 1 Informace o objektu Metadata objektu Další informace o objektu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Mocniny Mocniny s přirozeným exponentem Mocniny s celočíselným exponentem Pravidla pro počítání s mocninami Odmocniny Pravidla pro počítání s odmocninami Usměrňování zlomků Algebraické výrazy Úpravy algebraických výrazů Kontrolní otázky Příklady k procvičení Závěrem objektu Shrnutí objektu Literatura Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

3 1 INFORMACE O OBJEKTU 1.1 METADATA OBJEKTU Název Podnázev Autor Jazyk Klíčová slova Popis Disciplína Datum aktualizace Platnost Ano Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Český n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. Matematika 1. DALŠÍ INFORMACE O OBJEKTU PODÌKOVÁNå Ráda bych poděkovala RNDr. Davidu Bartlovi, Ph.D. za šablony pro distanční text a za pomoc se sazbou v programu TEX. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

4 KOMU JE OBJEKT URÈEN Objekt je určen zejména těm, kteří se chystají ke studiu na vysoké škole a chtějí si zopakovat středoškolskou matematiku. A to zejména při přípravě na přijímací zkoušku z matematiky na všechny typy vysokých škol a dále při studiu vysokoškolské matematiky, pokud studenti mají nějaké neznalosti středoškolské matematiky a chtějí si danou látku nastudovat. Objekt je napsán distanční formou, což umožňuje studujícím samostatné prostudování bez výkladu pedagoga. RYCHLÝ NÁHLED DO PROBLEMATIKY OBJEKTU V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. CÍL OBJEKTU Po úspěšném a aktivním absolvování tohoto objektu Budete umět: Znalosti definovat n-tou mocninu, uvést pravidla pro počítání s mocninami, definovat n-tou odmocninu, uvést pravidla pro počítání s odmocninami, vysvětlit usměrňování zlomků, definovat algebraický výraz, definovat polynom (mnohočlen), popsat operace s mnohočleny, uvést základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

5 Budete schopni: Dovednosti upravovat výrazy s mocninami, upravovat výrazy s odmocninami, upravovat algebraické výrazy. Získáte: Návyky základní znalosti o mocninách, odmocninách a úpravách algebraických výrazů. KLÍÈOVÁ SLOVA OBJEKTU n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen ÈAS POTØEBNÝ KE STUDIU Předpokládám, že studium této kapitoly vám zabere 4 hodiny učivo plus 8 hodin výpočet příkladů k procvičení. PRÙVODCE STUDIEM: PUSńTE SE DO TOHO Právě jste se prokousali úvodními informacemi a teď vás čeká část matematická. Možná se vám do toho nechce, ale začít musíte. Vše jsem podrobně vysvětlila na řešených příkladech, takže by vám to mělo jít bez větších problémů. Přeji mnoho zdaru. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

6 MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY.1 MOCNINY.1.1 MOCNINY S PØIROZENÝM EXPONENTEM DEFINICE {1: N-TÁ MOCNINA Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina..1. MOCNINY S CELOÈÍSELNÝM EXPONENTEM DEFINICE { Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

7 ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Vypočtěte 7 0, 5, 1 3. Řešení příkladu 7 0 1, , SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 Vypočtěte 3, 0, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI , 0 1, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

8 .1.3 PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S MOCNINAMI Pro každé r, s R a každé a > 0, b > 0, nebo pro každé r, s Z a každé reálné a 0, b 0 platí Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem exponentů. a r a s a r+s. Mocniny se stejným základem různým od nuly dělíme tak, že základ umocníme rozdílem exponentů dělence a dělitele. a r : a s a r s pro a 0. Mocninu umocníme tak, že její základ umocníme součinem exponentů. (a r ) s a rs. Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. (a b) r a r b r. Podíl umocníme tak, že umocníme dělence i dělitele. ( a b ) r a r b r pro b 0. ØEľENÝ PØÍKLAD { Podle pravidel pro počítání s mocninami upravte 3 5, 3 7 : 3 5, (4 5 ) 6, (5 6) 4, ( 5 ) 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

9 Řešení příkladu , 3 7 : , (4 5 ) , (5 6) , ( ) ODMOCNINY DEFINICE {3: N-TÁ ODMOCNINA Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. POZNÁMKA {1 Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

10 ØEľENÝ PØÍKLAD {3 Vypočtěte 5 3. Řešení příkladu PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S ODMOCNINAMI Odmocniny se stejnými odmocniteli násobíme tak, že součin základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b 0. Odmocniny se stejnými odmocniteli dělíme tak, že podíl základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b > 0. Odmocninu umocníme tak, že umocníme základ a získanou mocninu odmocníme. ( n a ) m n a m pro a 0. Odmocninu odmocníme tak, že její základ odmocníme součinem odmocnitelů. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 10

11 ØEľENÝ PØÍKLAD {4 Podle pravidel pro počítání s odmocninami upravte , ( 3 5) 5, 3. 8, Řešení příkladu , , ( 3 5) , ( 5 ) POZNÁMKA { Pro a > 0, m Z, n N lze odmocniny psát ve tvaru mocniny s racionálním exponentem n a m a m n. ØEľENÝ PØÍKLAD {5 Upravte 3 5, (danou odmocninu přepište jako mocninu). Řešení příkladu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 11

12 SAMOSTATNÝ ÚKOL Podle pravidel pro počítání s mocninami a odmocninami upravte 3 ( ) 4, 5 : ( 5) 3, ( 4 16) 3 5 5, 10. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI ( ) , 3 5 : ( 5) , ( 4 16) 3 3 8, USMÌRÒOVÁNÍ ZLOMKÙ Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b c a+ b c a b b b a b b, c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Toto rozšiřování daného zlomku a následné odstranění odmocniny ze jmenovatele funguje na základě známého vzorce (a b)(a + b) a b. Pozor, vzorec funguje jen pro druhé odmocniny. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

13 ØEľENÝ PØÍKLAD {6 Usměrněte zlomky 1, 3 1, 4 + 5, Řešení příkladu 1 1, (1 + ) , ( 5) , Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 13

14 1 + 3 (1 + ) ( 3) (1 + ) ( 3) (1 + ) + ( 3) (1 + ) + ( 3) ( ) (1 + ) ( 3) SAMOSTATNÝ ÚKOL 3 Usměrněte zlomky 3, 3 7, 3 5. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 3 3 3, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 14

15 3 7 7, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY DEFINICE {4: ALGEBRAICKÝ VÝRAZ Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. DEFINICE {5: POLYNOM (MNOHOÈLEN) Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné nebo sestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. Operace s mnohočleny Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 15

16 Sčítání provádíme tak, že sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Odečítání provádíme tak, že odstraníme závorky (v menšiteli změníme znaménka na opačná) a sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Násobení provádíme tak, že násobíme každý člen s každým. Dělení provádíme takto dělence i dělitele uspořádáme sestupně, vydělíme první člen dělence prvním členem dělitele, dostaneme první člen podílu, vynásobíme tímto členem dělitele a výsledný polynom odečteme od dělence a získáme dělence pro další postup, opakujeme tento postup vždy s novým dělencem tak dlouho, až je zbylý polynom nižšího stupně než dělitel, uvedeme předpoklady (dělitel musí být různý od nuly). Rozklad, tj. vyjádření mnohočlenu jako součin mnohočlenů nižšího stupně provádíme často některými z těchto způsobů využitím binomických vzorců atd. (a + b) a + ab + b, (a b) a ab + b, a b (a + b)(a b), (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3, (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3, a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ), a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ), rozkladem kvadratického trojčlenu v součin kořenových činitelů jsou-li x 1, x kořeny kvadratického trojčlenu ax + bx + c pak platí ax + bx + c a(x x 1 )(x x ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 16

17 ØEľENÝ PØÍKLAD {7 Vypočtěte (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1), (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1), (3x + x 1) (5x 3), (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1), (x 3 5x + 5x ) : (x 4). Řešení příkladu (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x x x 1 4x x 7x +, (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x + 3 7x + x + 1 4x 3 4x 3x + 4, (3x + x 1) (5x 3) 15x 3 9x + 10x 6x 5x x 3 + x 11x + 3, (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1) x 3x 1, (x 3 5x + 5x ) : (x 4) x x x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 17

18 SAMOSTATNÝ ÚKOL 4 Vypočtěte (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ), (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1), (x x + 3) (3x 5), (x 3 5x + 3x + ) : (x 4). ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ) 3x 3 + x 4x 1, (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1) 3x 3 + 4x 5x + 6, (x x + 3) (3x 5) 6x 3 13x + 14x 15, (x 3 5x + 3x + ) : (x 4) x + 3x x 4. ØEľENÝ PØÍKLAD {8 Pomocí vzorců rozložte na součin polynomy x x + 1, x 9, 5x 16y, 15a 3 7b 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 18

19 Řešení příkladu x x + 1 (x 1) (x 1)(x 1), x 9 x 3 (x 3)(x + 3), 5x 16y (5x) (4y) (5x 4y)(5x + 4y), 15a 3 7b 3 (5a) 3 (3b) 3 (5a 3b)(5a + 15ab + 9b ). ØEľENÝ PØÍKLAD {9 Rozložte na součin kořenových činitelů polynomy x + 11x + 4, x + x 15, 4x + 8x 1. Řešení příkladu protože x + 11x + 4 (x + 3)(x + 8), x + x 15 (x 3)(x + 5), ( 4x + 8x 1 4 x 3 ) ( x + 7 ) (x 3)(x + 7), x 1, 8 ± ( 1) 8 8 ± ± ± 0, 8 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 19

20 x 1 x , SAMOSTATNÝ ÚKOL 5 Rozložte na součin polynomy 9x 5y, a 8a + 16, x + x 3, x 3 + 5x + 4x, 8a 3 1. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 9x 5y (3x 5y)(3x + 5y), a 8a + 16 (a 4), x + x 3 (x 1)(x + 3), x 3 + 5x + 4x x(x + 1)(x + 4), 8a 3 1 (a 1)(4a + a + 1)..3.1 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZÙ Při úpravách výrazů využíváme poznatků o mocninách, odmocninách, zlomcích a mnohočlenech tak, abychom výraz převedli na co nejjednodušší tvar. Podmínky, které stanovují kdy jsou výrazy definovány, jsou nutnou součástí řešení. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 0

21 ØEľENÝ PØÍKLAD {10 Upravte racionální výraz ((x + y) (y 3x) ) 4xy. Řešení příkladu ((x + y) (y 3x) ) 4xy (4x + 4xy + y (y 6xy + 9x )) 4xy (4x + 4xy + y y + 6xy 9x ) 4xy ( 5x + 10xy) 4xy 0x 3 y + 40x y 40x y 0x 3 y, pro x R, y R. ØEľENÝ PØÍKLAD {11 Upravte racionální výraz ab+1 a b b+c bc 1. Řešení příkladu ab + 1 a b b + c bc 1 ab b + 1 a b bc + c 1 b(a 1) + 1 a b(1 c) + c 1 b(a 1) (a 1) b(1 c) (1 c) (a 1)(b 1) (1 c)(b 1) a 1 1 c, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

22 pro b 1, c 1. ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Upravte racionální výraz 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a. 1 a+a + 1+a 1+a+a Řešení příkladu pro a 1. 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a 1 a+a + 1+a 1+a+a (1+a)(1 a+a ) (1 a)(1+a+a ) (1+a+a )(1 a+a ) (1 a)(1+a+a )+(1+a)(1 a+a ) (1 a+a )(1+a+a ) (1 + a)(1 a + a ) (1 a)(1 + a + a ) (1 a)(1 + a + a ) + (1 + a)(1 a + a ) 1 a + a + a a + a 3 (1 + a + a a a a 3 ) 1 + a + a a a a a + a + a a + a 3 1 a + a + a a + a 3 1 a a + a + a + a a + a a a a a + a + a a + a 3 a3 a3, ØEľENÝ PØÍKLAD {13 Upravte iracionální výraz 5 x 4 y 1 3 x 1 x y 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

23 Řešení příkladu 5 x x4 y x y 3 x 4 5 y 1 3 x 1 x 3 5 y 3 4 x y x 3 10 y 13 1 y 13 1 x 3 10 y 1 y 10 x 3, pro x > 0, y > 0. ØEľENÝ PØÍKLAD {14 Upravte iracionální výraz x 0 x 1 +y 1. Řešení příkladu x 0 x 1 + y 1 1 x + y 1 x y x + y x y x y, x y pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

24 ØEľENÝ PØÍKLAD {15 Upravte iracionální výraz x x+y y x+ y xy x y + y x+ y. Řešení příkladu x x+y y x+ y x y xy + y x + y x x+y y x xy y xy x+ y x y x x+y y x y y x x+ y x y x x + y y x y y x ( x + y)(x y) x x x y + y y y x ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y x( x y) y( y + x) ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y + y x + y x( x y) y( x y) ( x + + y y)(x y) x + y ( x y)(x y) ( x + y)(x y) + y x + y x y + y x + y x + y x y + y x + y x + y x + y 1, pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

25 SAMOSTATNÝ ÚKOL 6 Upravte iracionální výraz x x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy x xy, pro x > 0, y > 0. NEZAPOMEÒTE NA ODMÌNU A ODPOÈINEK Právě jste prostudovali kapitolu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy. Seznámili jste se se základními pojmy a naučili jste se pracovat s mocninami, odmocninami a mnohočleny. Nyní si odpočiňte a pak se pusťte do příkladů k procvičení. Pokud jste probranému učivu porozuměli, neměli byste mít při výpočtu příkladů žádné problémy. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

26 3 KONTROLNÍ OTÁZKY KONTROLNÍ OTÁZKA 1 Vyslovte definici n-té mocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA Uveďte pravidla pro počítání s mocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 3 Vyslovte definici n-té odmocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA 4 Uveďte pravidla pro počítání s odmocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 5 Vysvětlete, co je to usměrňování zlomků. KONTROLNÍ OTÁZKA 6 Vysvětlete postup, jak usměrňujeme zlomky. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

27 KONTROLNÍ OTÁZKA 7 Vyslovte definici algebraického výrazu. KONTROLNÍ OTÁZKA 8 Vyslovte definici polynomu (mnohočlenu). KONTROLNÍ OTÁZKA 9 Popište operace s mnohočleny. KONTROLNÍ OTÁZKA 10 Uveďte základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

28 4 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 1. Vypočtěte a. (x y z 4 )(3x 3 yz ), b. (xy z)(x 3 y z), c. (xy ) 3 (xy 0 ).. Za předpokladu, že jsou výrazy definovány, zjednodušte a. b. c. x y 3 z 4 x y z, 8x 5 y 3 z 6x y 4 z, (x y) 3 (3xyz ) 4 8(xy z) Vypočtěte a. b. ( 0 + ) ( 3) 5 ( ) +, ( 3 ) ( 6 4 ( 3 7 )) + ( 3 ( 1 5 ) ) 0, c. ( 1 ) 1 +( 1 ) 4 ( ) +( 3 4) 0 1 ( 1 10) ( 1 5) Vypočtěte a. 3 7, b. ( 5 )( 5 + ), c. (3 ) ( 1) + (1 + ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

29 5. Usměrněte a. 3 6, b. 5 5, c Zjednodušte a. b. c , , Vypočtěte a. (3x 4 + x + 5x 1) + (x 3 3x + x + 5), b. (3x + x 3) (x 3 + 4x 3x ), c. (x + 3x + 4) (4x + 3). 8. Dělte polynom polynomem a. (x 3 5x + x + ) : (x 1), b. (x 3 + 1) : (x + 1), c. (3x 3 7x 10) : (x ). 9. Rozložte na součin polynomy a. 18xy 1x y, b. 3a + 3b + ax + bx, c. 9a + 4ab + 49b. 10. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

30 a. b. c. 1 x x 9 3+x, 3x x y + y x y x x y, 1 1 x+1 1 x x+1 1 x. 11. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. ( 1+x + x) : 1 x 1 x3, ( ) ) 1 + x x+1 : ((1 + x 3x 1 ) 1 x 1 x, ( ) c. x x 3 x+1 x +3 x x x+1 x3 +1 x x. 1. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte (( ( )) a. xy x) y : (x + y) + x 1y x 1 : 1+x y, b. ( ) ( ) x y +xy x+y + y x +xy : y x + x y, c. 1 x : (1 + x 1 ) (x 1 1) : x Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. c. 1+ x+1 1+ x 1 : 1 x 1 1 x+1, ( ) x ( 1+x 1 x ) 1 1+x (1 + x), x+ x x x + x x x+ x. 14. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. y 3 x 3 x y x 1, x 3 y, x y 3 c. x3 3 x x 3 3 x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 30

31 15. Za předpokladu, že mají výrazy smysl, zjednodušte a. b. c. a+b a b a b a+b + a 1 a +b b, a b x y x (x y) y x +y xy x x y xy+1 x(x y) xy : x y, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 1. a. 3x 5 y 3 z 6, b. x z, c. 8x 5 y 6.. a. yz 3, b. 4x 3 z 3 3y, c. (81x 5 z 3 3y a. 1, b , c a. 9, b. 3, c a. 6, b. 5 5, c. ( 3 ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 31

32 6. a , b. 10, c.. 7. a. 3x 4 + x 3 x + 6x + 4, b. x 3 x + 4x 1, c. 8x x + 5x a. x 3x, b. x + x+1 x +1, c. 3x + 6x a. 3xy(6y 7x), b. (a + b)(3 + x), c. (3a + 7b). 3 x 10. a. 3, x 0, x 3, b. x +y y x, x 0, y 0, c. x, x 1, x a., x 1, x 1, b. 1, x 1, x 1, x 1, x 1, x c. x, x 1, x a. x y x, x 0, y 0, x 1, x y, b. 1 x+y, x 0, y 0, x y, x y, c. x(x 1), x 0, x a. x x, x 1, ) (, ), Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

33 b. 1 x 4(1 x), x ( 1, 1), c. x, x (,, ). 14. a. b. c. 3 y, x > 0, y 0, 1 x 4 y, x > 0, y > 0, 3 x 5, x a. 0, b. 1, c. y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 33

34 5 ZÁVĚREM OBJEKTU 5.1 SHRNUTÍ OBJEKTU SHRNUTÍ Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina. Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. a r a s a r+s. a r : a s a r s pro a 0. (a r ) s a rs. (a b) r a r b r. ( ab ) r a r b pro b 0. r Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 34

35 n a n b n a b pro a 0 b 0. n a n n a b b pro a 0 b > 0. ( n a) m n a m pro a 0. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. n a m a m n pro a > 0, m Z, n N. Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b b b a b b, c a+ b c a b c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 35

36 nebo sestupné a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. (a + b) a + ab + b. (a b) a ab + b. a b (a + b)(a b). (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3. (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3. a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ). a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ). 5. LITERATURA DALŠÍ ZDROJE Běloun, F., Sbírka úloh z matematiky pro základní školu, Prometheus, 1998, ISBN Vošický, Z., Matematika v kostce pro střední školy, Fragment, 1996, ISBN Vošický, Z., Cvičení k matematice v kostce pro střední školy, Fragment, 1999, ISBN kniha kniha kniha Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 36

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

64-41-L/51 Podnikání,

64-41-L/51 Podnikání, Informace nástavbového studia oboru vzdělání 64-41-L/51 Podnikání, dálková formy vzdělávání Vážení studenti, zasíláme Vám základní informace, které se týkají materiálního zabezpečení nástavbového studia

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

VY_42_INOVACE_MA3_01-36

VY_42_INOVACE_MA3_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity VY_42_INOVACE_MA3_01-36 Inovace a zkvalitnění

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast (předmět) Autor ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr CZ.1.07/1.5.00/34.0705 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

69-41-L/52 Vlasová kosmetika,

69-41-L/52 Vlasová kosmetika, Informace nástavbového studia oboru vzdělání 69-41-L/52 Vlasová kosmetika, denní formy vzdělávání Vážení rodiče, Vážení studenti, zasíláme Vám základní informace, které se týkají materiálního zabezpečení

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel . Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zopakujte si co to je násobek a dělitel čísla co je to prvočíslo jak se hledá rozklad složeného čísla na prvočinitele největší společný dělitel, nejmenší společný

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL

OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL VY_32_INOVACE_M_186 OPAKOVACÍ TEST: NÁSOBENÍ A DĚLENÍ V OBORU NÁSOBILKY, PÍSEMNÉ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ DVOJCIFERNÝCH ČÍSEL Autor: Mgr. Irena Štěpánová Použití: 3. třída Datum vypracování: 29. 9. 2012 Datum

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Pořadové číslo Název materiálu Autor Použitá literatura a zdroje Metodika

Pořadové číslo Název materiálu Autor Použitá literatura a zdroje Metodika IV-2-M-I-1-9.r. Lineární funkce Mgr. Zdeňka Žejdlíková PhDr.Ivan Bušek, RNDr. Marie Kubínová,CSc.,doc. RNDr. Jarmila Novotná, Sbírka úloh z matematiky,csc.,nakladatelství Prometheus 1995, ISBN 80-7196-132-9

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou Algebraické výrazy výrazy s promnnou S výrazy jsme se setkali v matematice a fyzice již mnohokrát. Pomocí výraz zapisujeme napíklad matematické vzorce. Vyskytují se v nich jednak ísla, kterým íkáme konstanty

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Smart Counter 2 Systém počítačové algebry

Smart Counter 2 Systém počítačové algebry SOČ 2005 2006 Středoškolská odborná činnost Matematika a matematická informatika Softwarové zpracování úloh matematiky a matematické informatiky Smart Counter 2 Systém počítačové algebry Štěpán Kozák 3.

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 11 Nejmenší společný násobek Největší společný dělitel O čem budeme hovořit: Nejmenší společný násobek a jeho vlastnosti Největší

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Násobení přirozených čísel. a) Násobení v oboru násobilek

Násobení přirozených čísel. a) Násobení v oboru násobilek Násobení přirozených čísel a) Násobení v oboru násobilek Zvládnutí operace násobení a základních spojů násobilky je pro děti dobrým východiskem pro zvládání dalšího učiva, kterým je dělení, dělení se zbytkem,

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více