STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

2 OBSAH 1 Informace o objektu Metadata objektu Další informace o objektu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Mocniny Mocniny s přirozeným exponentem Mocniny s celočíselným exponentem Pravidla pro počítání s mocninami Odmocniny Pravidla pro počítání s odmocninami Usměrňování zlomků Algebraické výrazy Úpravy algebraických výrazů Kontrolní otázky Příklady k procvičení Závěrem objektu Shrnutí objektu Literatura Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

3 1 INFORMACE O OBJEKTU 1.1 METADATA OBJEKTU Název Podnázev Autor Jazyk Klíčová slova Popis Disciplína Datum aktualizace Platnost Ano Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Český n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. Matematika 1. DALŠÍ INFORMACE O OBJEKTU PODÌKOVÁNå Ráda bych poděkovala RNDr. Davidu Bartlovi, Ph.D. za šablony pro distanční text a za pomoc se sazbou v programu TEX. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

4 KOMU JE OBJEKT URÈEN Objekt je určen zejména těm, kteří se chystají ke studiu na vysoké škole a chtějí si zopakovat středoškolskou matematiku. A to zejména při přípravě na přijímací zkoušku z matematiky na všechny typy vysokých škol a dále při studiu vysokoškolské matematiky, pokud studenti mají nějaké neznalosti středoškolské matematiky a chtějí si danou látku nastudovat. Objekt je napsán distanční formou, což umožňuje studujícím samostatné prostudování bez výkladu pedagoga. RYCHLÝ NÁHLED DO PROBLEMATIKY OBJEKTU V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. CÍL OBJEKTU Po úspěšném a aktivním absolvování tohoto objektu Budete umět: Znalosti definovat n-tou mocninu, uvést pravidla pro počítání s mocninami, definovat n-tou odmocninu, uvést pravidla pro počítání s odmocninami, vysvětlit usměrňování zlomků, definovat algebraický výraz, definovat polynom (mnohočlen), popsat operace s mnohočleny, uvést základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

5 Budete schopni: Dovednosti upravovat výrazy s mocninami, upravovat výrazy s odmocninami, upravovat algebraické výrazy. Získáte: Návyky základní znalosti o mocninách, odmocninách a úpravách algebraických výrazů. KLÍÈOVÁ SLOVA OBJEKTU n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen ÈAS POTØEBNÝ KE STUDIU Předpokládám, že studium této kapitoly vám zabere 4 hodiny učivo plus 8 hodin výpočet příkladů k procvičení. PRÙVODCE STUDIEM: PUSńTE SE DO TOHO Právě jste se prokousali úvodními informacemi a teď vás čeká část matematická. Možná se vám do toho nechce, ale začít musíte. Vše jsem podrobně vysvětlila na řešených příkladech, takže by vám to mělo jít bez větších problémů. Přeji mnoho zdaru. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

6 MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY.1 MOCNINY.1.1 MOCNINY S PØIROZENÝM EXPONENTEM DEFINICE {1: N-TÁ MOCNINA Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina..1. MOCNINY S CELOÈÍSELNÝM EXPONENTEM DEFINICE { Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

7 ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Vypočtěte 7 0, 5, 1 3. Řešení příkladu 7 0 1, , SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 Vypočtěte 3, 0, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI , 0 1, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

8 .1.3 PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S MOCNINAMI Pro každé r, s R a každé a > 0, b > 0, nebo pro každé r, s Z a každé reálné a 0, b 0 platí Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem exponentů. a r a s a r+s. Mocniny se stejným základem různým od nuly dělíme tak, že základ umocníme rozdílem exponentů dělence a dělitele. a r : a s a r s pro a 0. Mocninu umocníme tak, že její základ umocníme součinem exponentů. (a r ) s a rs. Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. (a b) r a r b r. Podíl umocníme tak, že umocníme dělence i dělitele. ( a b ) r a r b r pro b 0. ØEľENÝ PØÍKLAD { Podle pravidel pro počítání s mocninami upravte 3 5, 3 7 : 3 5, (4 5 ) 6, (5 6) 4, ( 5 ) 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

9 Řešení příkladu , 3 7 : , (4 5 ) , (5 6) , ( ) ODMOCNINY DEFINICE {3: N-TÁ ODMOCNINA Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. POZNÁMKA {1 Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

10 ØEľENÝ PØÍKLAD {3 Vypočtěte 5 3. Řešení příkladu PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S ODMOCNINAMI Odmocniny se stejnými odmocniteli násobíme tak, že součin základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b 0. Odmocniny se stejnými odmocniteli dělíme tak, že podíl základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b > 0. Odmocninu umocníme tak, že umocníme základ a získanou mocninu odmocníme. ( n a ) m n a m pro a 0. Odmocninu odmocníme tak, že její základ odmocníme součinem odmocnitelů. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 10

11 ØEľENÝ PØÍKLAD {4 Podle pravidel pro počítání s odmocninami upravte , ( 3 5) 5, 3. 8, Řešení příkladu , , ( 3 5) , ( 5 ) POZNÁMKA { Pro a > 0, m Z, n N lze odmocniny psát ve tvaru mocniny s racionálním exponentem n a m a m n. ØEľENÝ PØÍKLAD {5 Upravte 3 5, (danou odmocninu přepište jako mocninu). Řešení příkladu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 11

12 SAMOSTATNÝ ÚKOL Podle pravidel pro počítání s mocninami a odmocninami upravte 3 ( ) 4, 5 : ( 5) 3, ( 4 16) 3 5 5, 10. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI ( ) , 3 5 : ( 5) , ( 4 16) 3 3 8, USMÌRÒOVÁNÍ ZLOMKÙ Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b c a+ b c a b b b a b b, c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Toto rozšiřování daného zlomku a následné odstranění odmocniny ze jmenovatele funguje na základě známého vzorce (a b)(a + b) a b. Pozor, vzorec funguje jen pro druhé odmocniny. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

13 ØEľENÝ PØÍKLAD {6 Usměrněte zlomky 1, 3 1, 4 + 5, Řešení příkladu 1 1, (1 + ) , ( 5) , Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 13

14 1 + 3 (1 + ) ( 3) (1 + ) ( 3) (1 + ) + ( 3) (1 + ) + ( 3) ( ) (1 + ) ( 3) SAMOSTATNÝ ÚKOL 3 Usměrněte zlomky 3, 3 7, 3 5. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 3 3 3, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 14

15 3 7 7, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY DEFINICE {4: ALGEBRAICKÝ VÝRAZ Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. DEFINICE {5: POLYNOM (MNOHOÈLEN) Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné nebo sestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. Operace s mnohočleny Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 15

16 Sčítání provádíme tak, že sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Odečítání provádíme tak, že odstraníme závorky (v menšiteli změníme znaménka na opačná) a sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Násobení provádíme tak, že násobíme každý člen s každým. Dělení provádíme takto dělence i dělitele uspořádáme sestupně, vydělíme první člen dělence prvním členem dělitele, dostaneme první člen podílu, vynásobíme tímto členem dělitele a výsledný polynom odečteme od dělence a získáme dělence pro další postup, opakujeme tento postup vždy s novým dělencem tak dlouho, až je zbylý polynom nižšího stupně než dělitel, uvedeme předpoklady (dělitel musí být různý od nuly). Rozklad, tj. vyjádření mnohočlenu jako součin mnohočlenů nižšího stupně provádíme často některými z těchto způsobů využitím binomických vzorců atd. (a + b) a + ab + b, (a b) a ab + b, a b (a + b)(a b), (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3, (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3, a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ), a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ), rozkladem kvadratického trojčlenu v součin kořenových činitelů jsou-li x 1, x kořeny kvadratického trojčlenu ax + bx + c pak platí ax + bx + c a(x x 1 )(x x ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 16

17 ØEľENÝ PØÍKLAD {7 Vypočtěte (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1), (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1), (3x + x 1) (5x 3), (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1), (x 3 5x + 5x ) : (x 4). Řešení příkladu (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x x x 1 4x x 7x +, (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x + 3 7x + x + 1 4x 3 4x 3x + 4, (3x + x 1) (5x 3) 15x 3 9x + 10x 6x 5x x 3 + x 11x + 3, (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1) x 3x 1, (x 3 5x + 5x ) : (x 4) x x x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 17

18 SAMOSTATNÝ ÚKOL 4 Vypočtěte (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ), (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1), (x x + 3) (3x 5), (x 3 5x + 3x + ) : (x 4). ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ) 3x 3 + x 4x 1, (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1) 3x 3 + 4x 5x + 6, (x x + 3) (3x 5) 6x 3 13x + 14x 15, (x 3 5x + 3x + ) : (x 4) x + 3x x 4. ØEľENÝ PØÍKLAD {8 Pomocí vzorců rozložte na součin polynomy x x + 1, x 9, 5x 16y, 15a 3 7b 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 18

19 Řešení příkladu x x + 1 (x 1) (x 1)(x 1), x 9 x 3 (x 3)(x + 3), 5x 16y (5x) (4y) (5x 4y)(5x + 4y), 15a 3 7b 3 (5a) 3 (3b) 3 (5a 3b)(5a + 15ab + 9b ). ØEľENÝ PØÍKLAD {9 Rozložte na součin kořenových činitelů polynomy x + 11x + 4, x + x 15, 4x + 8x 1. Řešení příkladu protože x + 11x + 4 (x + 3)(x + 8), x + x 15 (x 3)(x + 5), ( 4x + 8x 1 4 x 3 ) ( x + 7 ) (x 3)(x + 7), x 1, 8 ± ( 1) 8 8 ± ± ± 0, 8 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 19

20 x 1 x , SAMOSTATNÝ ÚKOL 5 Rozložte na součin polynomy 9x 5y, a 8a + 16, x + x 3, x 3 + 5x + 4x, 8a 3 1. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 9x 5y (3x 5y)(3x + 5y), a 8a + 16 (a 4), x + x 3 (x 1)(x + 3), x 3 + 5x + 4x x(x + 1)(x + 4), 8a 3 1 (a 1)(4a + a + 1)..3.1 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZÙ Při úpravách výrazů využíváme poznatků o mocninách, odmocninách, zlomcích a mnohočlenech tak, abychom výraz převedli na co nejjednodušší tvar. Podmínky, které stanovují kdy jsou výrazy definovány, jsou nutnou součástí řešení. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 0

21 ØEľENÝ PØÍKLAD {10 Upravte racionální výraz ((x + y) (y 3x) ) 4xy. Řešení příkladu ((x + y) (y 3x) ) 4xy (4x + 4xy + y (y 6xy + 9x )) 4xy (4x + 4xy + y y + 6xy 9x ) 4xy ( 5x + 10xy) 4xy 0x 3 y + 40x y 40x y 0x 3 y, pro x R, y R. ØEľENÝ PØÍKLAD {11 Upravte racionální výraz ab+1 a b b+c bc 1. Řešení příkladu ab + 1 a b b + c bc 1 ab b + 1 a b bc + c 1 b(a 1) + 1 a b(1 c) + c 1 b(a 1) (a 1) b(1 c) (1 c) (a 1)(b 1) (1 c)(b 1) a 1 1 c, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

22 pro b 1, c 1. ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Upravte racionální výraz 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a. 1 a+a + 1+a 1+a+a Řešení příkladu pro a 1. 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a 1 a+a + 1+a 1+a+a (1+a)(1 a+a ) (1 a)(1+a+a ) (1+a+a )(1 a+a ) (1 a)(1+a+a )+(1+a)(1 a+a ) (1 a+a )(1+a+a ) (1 + a)(1 a + a ) (1 a)(1 + a + a ) (1 a)(1 + a + a ) + (1 + a)(1 a + a ) 1 a + a + a a + a 3 (1 + a + a a a a 3 ) 1 + a + a a a a a + a + a a + a 3 1 a + a + a a + a 3 1 a a + a + a + a a + a a a a a + a + a a + a 3 a3 a3, ØEľENÝ PØÍKLAD {13 Upravte iracionální výraz 5 x 4 y 1 3 x 1 x y 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

23 Řešení příkladu 5 x x4 y x y 3 x 4 5 y 1 3 x 1 x 3 5 y 3 4 x y x 3 10 y 13 1 y 13 1 x 3 10 y 1 y 10 x 3, pro x > 0, y > 0. ØEľENÝ PØÍKLAD {14 Upravte iracionální výraz x 0 x 1 +y 1. Řešení příkladu x 0 x 1 + y 1 1 x + y 1 x y x + y x y x y, x y pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

24 ØEľENÝ PØÍKLAD {15 Upravte iracionální výraz x x+y y x+ y xy x y + y x+ y. Řešení příkladu x x+y y x+ y x y xy + y x + y x x+y y x xy y xy x+ y x y x x+y y x y y x x+ y x y x x + y y x y y x ( x + y)(x y) x x x y + y y y x ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y x( x y) y( y + x) ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y + y x + y x( x y) y( x y) ( x + + y y)(x y) x + y ( x y)(x y) ( x + y)(x y) + y x + y x y + y x + y x + y x y + y x + y x + y x + y 1, pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

25 SAMOSTATNÝ ÚKOL 6 Upravte iracionální výraz x x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy x xy, pro x > 0, y > 0. NEZAPOMEÒTE NA ODMÌNU A ODPOÈINEK Právě jste prostudovali kapitolu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy. Seznámili jste se se základními pojmy a naučili jste se pracovat s mocninami, odmocninami a mnohočleny. Nyní si odpočiňte a pak se pusťte do příkladů k procvičení. Pokud jste probranému učivu porozuměli, neměli byste mít při výpočtu příkladů žádné problémy. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

26 3 KONTROLNÍ OTÁZKY KONTROLNÍ OTÁZKA 1 Vyslovte definici n-té mocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA Uveďte pravidla pro počítání s mocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 3 Vyslovte definici n-té odmocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA 4 Uveďte pravidla pro počítání s odmocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 5 Vysvětlete, co je to usměrňování zlomků. KONTROLNÍ OTÁZKA 6 Vysvětlete postup, jak usměrňujeme zlomky. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

27 KONTROLNÍ OTÁZKA 7 Vyslovte definici algebraického výrazu. KONTROLNÍ OTÁZKA 8 Vyslovte definici polynomu (mnohočlenu). KONTROLNÍ OTÁZKA 9 Popište operace s mnohočleny. KONTROLNÍ OTÁZKA 10 Uveďte základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

28 4 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 1. Vypočtěte a. (x y z 4 )(3x 3 yz ), b. (xy z)(x 3 y z), c. (xy ) 3 (xy 0 ).. Za předpokladu, že jsou výrazy definovány, zjednodušte a. b. c. x y 3 z 4 x y z, 8x 5 y 3 z 6x y 4 z, (x y) 3 (3xyz ) 4 8(xy z) Vypočtěte a. b. ( 0 + ) ( 3) 5 ( ) +, ( 3 ) ( 6 4 ( 3 7 )) + ( 3 ( 1 5 ) ) 0, c. ( 1 ) 1 +( 1 ) 4 ( ) +( 3 4) 0 1 ( 1 10) ( 1 5) Vypočtěte a. 3 7, b. ( 5 )( 5 + ), c. (3 ) ( 1) + (1 + ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

29 5. Usměrněte a. 3 6, b. 5 5, c Zjednodušte a. b. c , , Vypočtěte a. (3x 4 + x + 5x 1) + (x 3 3x + x + 5), b. (3x + x 3) (x 3 + 4x 3x ), c. (x + 3x + 4) (4x + 3). 8. Dělte polynom polynomem a. (x 3 5x + x + ) : (x 1), b. (x 3 + 1) : (x + 1), c. (3x 3 7x 10) : (x ). 9. Rozložte na součin polynomy a. 18xy 1x y, b. 3a + 3b + ax + bx, c. 9a + 4ab + 49b. 10. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

30 a. b. c. 1 x x 9 3+x, 3x x y + y x y x x y, 1 1 x+1 1 x x+1 1 x. 11. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. ( 1+x + x) : 1 x 1 x3, ( ) ) 1 + x x+1 : ((1 + x 3x 1 ) 1 x 1 x, ( ) c. x x 3 x+1 x +3 x x x+1 x3 +1 x x. 1. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte (( ( )) a. xy x) y : (x + y) + x 1y x 1 : 1+x y, b. ( ) ( ) x y +xy x+y + y x +xy : y x + x y, c. 1 x : (1 + x 1 ) (x 1 1) : x Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. c. 1+ x+1 1+ x 1 : 1 x 1 1 x+1, ( ) x ( 1+x 1 x ) 1 1+x (1 + x), x+ x x x + x x x+ x. 14. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. y 3 x 3 x y x 1, x 3 y, x y 3 c. x3 3 x x 3 3 x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 30

31 15. Za předpokladu, že mají výrazy smysl, zjednodušte a. b. c. a+b a b a b a+b + a 1 a +b b, a b x y x (x y) y x +y xy x x y xy+1 x(x y) xy : x y, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 1. a. 3x 5 y 3 z 6, b. x z, c. 8x 5 y 6.. a. yz 3, b. 4x 3 z 3 3y, c. (81x 5 z 3 3y a. 1, b , c a. 9, b. 3, c a. 6, b. 5 5, c. ( 3 ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 31

32 6. a , b. 10, c.. 7. a. 3x 4 + x 3 x + 6x + 4, b. x 3 x + 4x 1, c. 8x x + 5x a. x 3x, b. x + x+1 x +1, c. 3x + 6x a. 3xy(6y 7x), b. (a + b)(3 + x), c. (3a + 7b). 3 x 10. a. 3, x 0, x 3, b. x +y y x, x 0, y 0, c. x, x 1, x a., x 1, x 1, b. 1, x 1, x 1, x 1, x 1, x c. x, x 1, x a. x y x, x 0, y 0, x 1, x y, b. 1 x+y, x 0, y 0, x y, x y, c. x(x 1), x 0, x a. x x, x 1, ) (, ), Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

33 b. 1 x 4(1 x), x ( 1, 1), c. x, x (,, ). 14. a. b. c. 3 y, x > 0, y 0, 1 x 4 y, x > 0, y > 0, 3 x 5, x a. 0, b. 1, c. y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 33

34 5 ZÁVĚREM OBJEKTU 5.1 SHRNUTÍ OBJEKTU SHRNUTÍ Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina. Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. a r a s a r+s. a r : a s a r s pro a 0. (a r ) s a rs. (a b) r a r b r. ( ab ) r a r b pro b 0. r Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 34

35 n a n b n a b pro a 0 b 0. n a n n a b b pro a 0 b > 0. ( n a) m n a m pro a 0. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. n a m a m n pro a > 0, m Z, n N. Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b b b a b b, c a+ b c a b c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 35

36 nebo sestupné a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. (a + b) a + ab + b. (a b) a ab + b. a b (a + b)(a b). (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3. (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3. a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ). a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ). 5. LITERATURA DALŠÍ ZDROJE Běloun, F., Sbírka úloh z matematiky pro základní školu, Prometheus, 1998, ISBN Vošický, Z., Matematika v kostce pro střední školy, Fragment, 1996, ISBN Vošický, Z., Cvičení k matematice v kostce pro střední školy, Fragment, 1999, ISBN kniha kniha kniha Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 36

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností. Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_04 1 M1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_02 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: Anotace: Vzdělávací oblast: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA15 Sčítání,

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

D DE = = + [ + D[ [ D = - - XY = = + -

D DE = = + [ + D[ [ D = - - XY = = + - Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1)

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1) Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_05_1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží k

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

a ar - --... Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele.

a ar - --... Zlomek umocnime tak, že umocnime zvlášt citatele ijmenovatele. 30 4 Mocniny a odmocniny 41 Mocninv s piozeným exponentem S mocninami s piozeným exponentem jste se již sesnámili na základní škole V této kapitole si zopakujeme definici a základní pavidla po pocítání

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr

ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast (předmět) Autor ANOTACE K VÝUKOVÉ SADĚ č. VY_32_INOVACE_01_03_MAT_Pr CZ.1.07/1.5.00/34.0705 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více