STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

2 OBSAH 1 Informace o objektu Metadata objektu Další informace o objektu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Mocniny Mocniny s přirozeným exponentem Mocniny s celočíselným exponentem Pravidla pro počítání s mocninami Odmocniny Pravidla pro počítání s odmocninami Usměrňování zlomků Algebraické výrazy Úpravy algebraických výrazů Kontrolní otázky Příklady k procvičení Závěrem objektu Shrnutí objektu Literatura Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

3 1 INFORMACE O OBJEKTU 1.1 METADATA OBJEKTU Název Podnázev Autor Jazyk Klíčová slova Popis Disciplína Datum aktualizace Platnost Ano Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy Český n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. Matematika 1. DALŠÍ INFORMACE O OBJEKTU PODÌKOVÁNå Ráda bych poděkovala RNDr. Davidu Bartlovi, Ph.D. za šablony pro distanční text a za pomoc se sazbou v programu TEX. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

4 KOMU JE OBJEKT URÈEN Objekt je určen zejména těm, kteří se chystají ke studiu na vysoké škole a chtějí si zopakovat středoškolskou matematiku. A to zejména při přípravě na přijímací zkoušku z matematiky na všechny typy vysokých škol a dále při studiu vysokoškolské matematiky, pokud studenti mají nějaké neznalosti středoškolské matematiky a chtějí si danou látku nastudovat. Objekt je napsán distanční formou, což umožňuje studujícím samostatné prostudování bez výkladu pedagoga. RYCHLÝ NÁHLED DO PROBLEMATIKY OBJEKTU V tomto objektu se seznámíte s algebraickými výrazy. Postupně si uvedeme pravidla pro počítání s mocninami a s odmocninami. Naučíte se upravovat algebraické výrazy, což je velmi důležité. CÍL OBJEKTU Po úspěšném a aktivním absolvování tohoto objektu Budete umět: Znalosti definovat n-tou mocninu, uvést pravidla pro počítání s mocninami, definovat n-tou odmocninu, uvést pravidla pro počítání s odmocninami, vysvětlit usměrňování zlomků, definovat algebraický výraz, definovat polynom (mnohočlen), popsat operace s mnohočleny, uvést základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

5 Budete schopni: Dovednosti upravovat výrazy s mocninami, upravovat výrazy s odmocninami, upravovat algebraické výrazy. Získáte: Návyky základní znalosti o mocninách, odmocninách a úpravách algebraických výrazů. KLÍÈOVÁ SLOVA OBJEKTU n-tá mocnina, mocněnec, exponent, mocnitel, mocnina, n-tá odmocnina, odmocněnec, odmocnitel, usměrňování zlomku, algebraický výraz, polynom, mnohočlen ÈAS POTØEBNÝ KE STUDIU Předpokládám, že studium této kapitoly vám zabere 4 hodiny učivo plus 8 hodin výpočet příkladů k procvičení. PRÙVODCE STUDIEM: PUSńTE SE DO TOHO Právě jste se prokousali úvodními informacemi a teď vás čeká část matematická. Možná se vám do toho nechce, ale začít musíte. Vše jsem podrobně vysvětlila na řešených příkladech, takže by vám to mělo jít bez větších problémů. Přeji mnoho zdaru. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

6 MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY.1 MOCNINY.1.1 MOCNINY S PØIROZENÝM EXPONENTEM DEFINICE {1: N-TÁ MOCNINA Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina..1. MOCNINY S CELOÈÍSELNÝM EXPONENTEM DEFINICE { Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

7 ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Vypočtěte 7 0, 5, 1 3. Řešení příkladu 7 0 1, , SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 Vypočtěte 3, 0, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI , 0 1, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

8 .1.3 PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S MOCNINAMI Pro každé r, s R a každé a > 0, b > 0, nebo pro každé r, s Z a každé reálné a 0, b 0 platí Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem exponentů. a r a s a r+s. Mocniny se stejným základem různým od nuly dělíme tak, že základ umocníme rozdílem exponentů dělence a dělitele. a r : a s a r s pro a 0. Mocninu umocníme tak, že její základ umocníme součinem exponentů. (a r ) s a rs. Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. (a b) r a r b r. Podíl umocníme tak, že umocníme dělence i dělitele. ( a b ) r a r b r pro b 0. ØEľENÝ PØÍKLAD { Podle pravidel pro počítání s mocninami upravte 3 5, 3 7 : 3 5, (4 5 ) 6, (5 6) 4, ( 5 ) 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

9 Řešení příkladu , 3 7 : , (4 5 ) , (5 6) , ( ) ODMOCNINY DEFINICE {3: N-TÁ ODMOCNINA Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. POZNÁMKA {1 Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

10 ØEľENÝ PØÍKLAD {3 Vypočtěte 5 3. Řešení příkladu PRAVIDLA PRO POÈÍTÁNÍ S ODMOCNINAMI Odmocniny se stejnými odmocniteli násobíme tak, že součin základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b 0. Odmocniny se stejnými odmocniteli dělíme tak, že podíl základů odmocníme společným odmocnitelem. n a n b n a b pro a 0 b > 0. Odmocninu umocníme tak, že umocníme základ a získanou mocninu odmocníme. ( n a ) m n a m pro a 0. Odmocninu odmocníme tak, že její základ odmocníme součinem odmocnitelů. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 10

11 ØEľENÝ PØÍKLAD {4 Podle pravidel pro počítání s odmocninami upravte , ( 3 5) 5, 3. 8, Řešení příkladu , , ( 3 5) , ( 5 ) POZNÁMKA { Pro a > 0, m Z, n N lze odmocniny psát ve tvaru mocniny s racionálním exponentem n a m a m n. ØEľENÝ PØÍKLAD {5 Upravte 3 5, (danou odmocninu přepište jako mocninu). Řešení příkladu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 11

12 SAMOSTATNÝ ÚKOL Podle pravidel pro počítání s mocninami a odmocninami upravte 3 ( ) 4, 5 : ( 5) 3, ( 4 16) 3 5 5, 10. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI ( ) , 3 5 : ( 5) , ( 4 16) 3 3 8, USMÌRÒOVÁNÍ ZLOMKÙ Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b c a+ b c a b b b a b b, c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Toto rozšiřování daného zlomku a následné odstranění odmocniny ze jmenovatele funguje na základě známého vzorce (a b)(a + b) a b. Pozor, vzorec funguje jen pro druhé odmocniny. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

13 ØEľENÝ PØÍKLAD {6 Usměrněte zlomky 1, 3 1, 4 + 5, Řešení příkladu 1 1, (1 + ) , ( 5) , Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 13

14 1 + 3 (1 + ) ( 3) (1 + ) ( 3) (1 + ) + ( 3) (1 + ) + ( 3) ( ) (1 + ) ( 3) SAMOSTATNÝ ÚKOL 3 Usměrněte zlomky 3, 3 7, 3 5. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 3 3 3, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 14

15 3 7 7, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY DEFINICE {4: ALGEBRAICKÝ VÝRAZ Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. DEFINICE {5: POLYNOM (MNOHOÈLEN) Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné nebo sestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. Operace s mnohočleny Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 15

16 Sčítání provádíme tak, že sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Odečítání provádíme tak, že odstraníme závorky (v menšiteli změníme znaménka na opačná) a sečteme koeficienty u členů se stejnými exponenty. Násobení provádíme tak, že násobíme každý člen s každým. Dělení provádíme takto dělence i dělitele uspořádáme sestupně, vydělíme první člen dělence prvním členem dělitele, dostaneme první člen podílu, vynásobíme tímto členem dělitele a výsledný polynom odečteme od dělence a získáme dělence pro další postup, opakujeme tento postup vždy s novým dělencem tak dlouho, až je zbylý polynom nižšího stupně než dělitel, uvedeme předpoklady (dělitel musí být různý od nuly). Rozklad, tj. vyjádření mnohočlenu jako součin mnohočlenů nižšího stupně provádíme často některými z těchto způsobů využitím binomických vzorců atd. (a + b) a + ab + b, (a b) a ab + b, a b (a + b)(a b), (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3, (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3, a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ), a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ), rozkladem kvadratického trojčlenu v součin kořenových činitelů jsou-li x 1, x kořeny kvadratického trojčlenu ax + bx + c pak platí ax + bx + c a(x x 1 )(x x ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 16

17 ØEľENÝ PØÍKLAD {7 Vypočtěte (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1), (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1), (3x + x 1) (5x 3), (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1), (x 3 5x + 5x ) : (x 4). Řešení příkladu (4x 3 + 3x 5x + 3) + (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x x x 1 4x x 7x +, (4x 3 + 3x 5x + 3) (7x x 1) 4x 3 + 3x 5x + 3 7x + x + 1 4x 3 4x 3x + 4, (3x + x 1) (5x 3) 15x 3 9x + 10x 6x 5x x 3 + x 11x + 3, (x 4 3x 3 + x 3x 1) : (x + 1) x 3x 1, (x 3 5x + 5x ) : (x 4) x x x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 17

18 SAMOSTATNÝ ÚKOL 4 Vypočtěte (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ), (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1), (x x + 3) (3x 5), (x 3 5x + 3x + ) : (x 4). ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI (x 3 3x + x 3) + (x 3 + 5x 6x + ) 3x 3 + x 4x 1, (5x 3 + x 3x + 5) (x 3 3x + x 1) 3x 3 + 4x 5x + 6, (x x + 3) (3x 5) 6x 3 13x + 14x 15, (x 3 5x + 3x + ) : (x 4) x + 3x x 4. ØEľENÝ PØÍKLAD {8 Pomocí vzorců rozložte na součin polynomy x x + 1, x 9, 5x 16y, 15a 3 7b 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 18

19 Řešení příkladu x x + 1 (x 1) (x 1)(x 1), x 9 x 3 (x 3)(x + 3), 5x 16y (5x) (4y) (5x 4y)(5x + 4y), 15a 3 7b 3 (5a) 3 (3b) 3 (5a 3b)(5a + 15ab + 9b ). ØEľENÝ PØÍKLAD {9 Rozložte na součin kořenových činitelů polynomy x + 11x + 4, x + x 15, 4x + 8x 1. Řešení příkladu protože x + 11x + 4 (x + 3)(x + 8), x + x 15 (x 3)(x + 5), ( 4x + 8x 1 4 x 3 ) ( x + 7 ) (x 3)(x + 7), x 1, 8 ± ( 1) 8 8 ± ± ± 0, 8 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 19

20 x 1 x , SAMOSTATNÝ ÚKOL 5 Rozložte na součin polynomy 9x 5y, a 8a + 16, x + x 3, x 3 + 5x + 4x, 8a 3 1. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 9x 5y (3x 5y)(3x + 5y), a 8a + 16 (a 4), x + x 3 (x 1)(x + 3), x 3 + 5x + 4x x(x + 1)(x + 4), 8a 3 1 (a 1)(4a + a + 1)..3.1 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZÙ Při úpravách výrazů využíváme poznatků o mocninách, odmocninách, zlomcích a mnohočlenech tak, abychom výraz převedli na co nejjednodušší tvar. Podmínky, které stanovují kdy jsou výrazy definovány, jsou nutnou součástí řešení. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 0

21 ØEľENÝ PØÍKLAD {10 Upravte racionální výraz ((x + y) (y 3x) ) 4xy. Řešení příkladu ((x + y) (y 3x) ) 4xy (4x + 4xy + y (y 6xy + 9x )) 4xy (4x + 4xy + y y + 6xy 9x ) 4xy ( 5x + 10xy) 4xy 0x 3 y + 40x y 40x y 0x 3 y, pro x R, y R. ØEľENÝ PØÍKLAD {11 Upravte racionální výraz ab+1 a b b+c bc 1. Řešení příkladu ab + 1 a b b + c bc 1 ab b + 1 a b bc + c 1 b(a 1) + 1 a b(1 c) + c 1 b(a 1) (a 1) b(1 c) (1 c) (a 1)(b 1) (1 c)(b 1) a 1 1 c, Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 1

22 pro b 1, c 1. ØEľENÝ PØÍKLAD {1 Upravte racionální výraz 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a. 1 a+a + 1+a 1+a+a Řešení příkladu pro a 1. 1+a 1+a+a 1 a 1 a+a 1 a 1 a+a + 1+a 1+a+a (1+a)(1 a+a ) (1 a)(1+a+a ) (1+a+a )(1 a+a ) (1 a)(1+a+a )+(1+a)(1 a+a ) (1 a+a )(1+a+a ) (1 + a)(1 a + a ) (1 a)(1 + a + a ) (1 a)(1 + a + a ) + (1 + a)(1 a + a ) 1 a + a + a a + a 3 (1 + a + a a a a 3 ) 1 + a + a a a a a + a + a a + a 3 1 a + a + a a + a 3 1 a a + a + a + a a + a a a a a + a + a a + a 3 a3 a3, ØEľENÝ PØÍKLAD {13 Upravte iracionální výraz 5 x 4 y 1 3 x 1 x y 3. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

23 Řešení příkladu 5 x x4 y x y 3 x 4 5 y 1 3 x 1 x 3 5 y 3 4 x y x 3 10 y 13 1 y 13 1 x 3 10 y 1 y 10 x 3, pro x > 0, y > 0. ØEľENÝ PØÍKLAD {14 Upravte iracionální výraz x 0 x 1 +y 1. Řešení příkladu x 0 x 1 + y 1 1 x + y 1 x y x + y x y x y, x y pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

24 ØEľENÝ PØÍKLAD {15 Upravte iracionální výraz x x+y y x+ y xy x y + y x+ y. Řešení příkladu x x+y y x+ y x y xy + y x + y x x+y y x xy y xy x+ y x y x x+y y x y y x x+ y x y x x + y y x y y x ( x + y)(x y) x x x y + y y y x ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y x( x y) y( y + x) ( x + y)(x y) + y x + y + y x + y + y x + y x( x y) y( x y) ( x + + y y)(x y) x + y ( x y)(x y) ( x + y)(x y) + y x + y x y + y x + y x + y x y + y x + y x + y x + y 1, pro x > 0, y > 0, x y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 4

25 SAMOSTATNÝ ÚKOL 6 Upravte iracionální výraz x x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy. ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI x+ y 1+y x+ 1 y y x x y xy x+ + xy xy y+ xy x xy, pro x > 0, y > 0. NEZAPOMEÒTE NA ODMÌNU A ODPOÈINEK Právě jste prostudovali kapitolu Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy. Seznámili jste se se základními pojmy a naučili jste se pracovat s mocninami, odmocninami a mnohočleny. Nyní si odpočiňte a pak se pusťte do příkladů k procvičení. Pokud jste probranému učivu porozuměli, neměli byste mít při výpočtu příkladů žádné problémy. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 5

26 3 KONTROLNÍ OTÁZKY KONTROLNÍ OTÁZKA 1 Vyslovte definici n-té mocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA Uveďte pravidla pro počítání s mocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 3 Vyslovte definici n-té odmocniny. KONTROLNÍ OTÁZKA 4 Uveďte pravidla pro počítání s odmocninami. KONTROLNÍ OTÁZKA 5 Vysvětlete, co je to usměrňování zlomků. KONTROLNÍ OTÁZKA 6 Vysvětlete postup, jak usměrňujeme zlomky. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 6

27 KONTROLNÍ OTÁZKA 7 Vyslovte definici algebraického výrazu. KONTROLNÍ OTÁZKA 8 Vyslovte definici polynomu (mnohočlenu). KONTROLNÍ OTÁZKA 9 Popište operace s mnohočleny. KONTROLNÍ OTÁZKA 10 Uveďte základní vzorce pro rozklad mnohočlenu na součin. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 7

28 4 PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ SAMOSTATNÝ ÚKOL 1 1. Vypočtěte a. (x y z 4 )(3x 3 yz ), b. (xy z)(x 3 y z), c. (xy ) 3 (xy 0 ).. Za předpokladu, že jsou výrazy definovány, zjednodušte a. b. c. x y 3 z 4 x y z, 8x 5 y 3 z 6x y 4 z, (x y) 3 (3xyz ) 4 8(xy z) Vypočtěte a. b. ( 0 + ) ( 3) 5 ( ) +, ( 3 ) ( 6 4 ( 3 7 )) + ( 3 ( 1 5 ) ) 0, c. ( 1 ) 1 +( 1 ) 4 ( ) +( 3 4) 0 1 ( 1 10) ( 1 5) Vypočtěte a. 3 7, b. ( 5 )( 5 + ), c. (3 ) ( 1) + (1 + ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 8

29 5. Usměrněte a. 3 6, b. 5 5, c Zjednodušte a. b. c , , Vypočtěte a. (3x 4 + x + 5x 1) + (x 3 3x + x + 5), b. (3x + x 3) (x 3 + 4x 3x ), c. (x + 3x + 4) (4x + 3). 8. Dělte polynom polynomem a. (x 3 5x + x + ) : (x 1), b. (x 3 + 1) : (x + 1), c. (3x 3 7x 10) : (x ). 9. Rozložte na součin polynomy a. 18xy 1x y, b. 3a + 3b + ax + bx, c. 9a + 4ab + 49b. 10. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 9

30 a. b. c. 1 x x 9 3+x, 3x x y + y x y x x y, 1 1 x+1 1 x x+1 1 x. 11. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. ( 1+x + x) : 1 x 1 x3, ( ) ) 1 + x x+1 : ((1 + x 3x 1 ) 1 x 1 x, ( ) c. x x 3 x+1 x +3 x x x+1 x3 +1 x x. 1. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte (( ( )) a. xy x) y : (x + y) + x 1y x 1 : 1+x y, b. ( ) ( ) x y +xy x+y + y x +xy : y x + x y, c. 1 x : (1 + x 1 ) (x 1 1) : x Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. c. 1+ x+1 1+ x 1 : 1 x 1 1 x+1, ( ) x ( 1+x 1 x ) 1 1+x (1 + x), x+ x x x + x x x+ x. 14. Uveďte, kdy mají výrazy smysl, pak je zjednodušte a. b. y 3 x 3 x y x 1, x 3 y, x y 3 c. x3 3 x x 3 3 x 4. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 30

31 15. Za předpokladu, že mají výrazy smysl, zjednodušte a. b. c. a+b a b a b a+b + a 1 a +b b, a b x y x (x y) y x +y xy x x y xy+1 x(x y) xy : x y, ŘEŠENÍ A ODPOVĚDI 1. a. 3x 5 y 3 z 6, b. x z, c. 8x 5 y 6.. a. yz 3, b. 4x 3 z 3 3y, c. (81x 5 z 3 3y a. 1, b , c a. 9, b. 3, c a. 6, b. 5 5, c. ( 3 ). Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 31

32 6. a , b. 10, c.. 7. a. 3x 4 + x 3 x + 6x + 4, b. x 3 x + 4x 1, c. 8x x + 5x a. x 3x, b. x + x+1 x +1, c. 3x + 6x a. 3xy(6y 7x), b. (a + b)(3 + x), c. (3a + 7b). 3 x 10. a. 3, x 0, x 3, b. x +y y x, x 0, y 0, c. x, x 1, x a., x 1, x 1, b. 1, x 1, x 1, x 1, x 1, x c. x, x 1, x a. x y x, x 0, y 0, x 1, x y, b. 1 x+y, x 0, y 0, x y, x y, c. x(x 1), x 0, x a. x x, x 1, ) (, ), Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 3

33 b. 1 x 4(1 x), x ( 1, 1), c. x, x (,, ). 14. a. b. c. 3 y, x > 0, y 0, 1 x 4 y, x > 0, y > 0, 3 x 5, x a. 0, b. 1, c. y. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 33

34 5 ZÁVĚREM OBJEKTU 5.1 SHRNUTÍ OBJEKTU SHRNUTÍ Pro libovolné reálné číslo a a pro každé přirozené číslo n je definována v množině reálných čísel n-tá mocnina a n } a a a {{... a}. n krát a je mocněnec (základ mocniny), n je exponent (mocnitel), a n je mocnina. Pro každé reálné číslo a 0 a pro každé celé číslo n definujeme a 0 1, a n 1 a n. a r a s a r+s. a r : a s a r s pro a 0. (a r ) s a rs. (a b) r a r b r. ( ab ) r a r b pro b 0. r Ke každému nezápornému číslu a a ke každému přirozenému číslu n existuje právě jedno nezáporné číslo x, pro které platí x n a. Píšeme x n a, kde x je n-tá odmocnina z čísla a, a je odmocněnec (základ odmocniny), n je odmocnitel. Je-li n liché přirozené číslo, pak je definována n-tá odmocnina i ze záporného reálného čísla n a n a. Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 34

35 n a n b n a b pro a 0 b 0. n a n n a b b pro a 0 b > 0. ( n a) m n a m pro a 0. m n a mn a pro a 0. n a kn a k pro a 0 k N. n a m a m n pro a > 0, m Z, n N. Odstranění odmocniny ze jmenovatele neboli usměrňování zlomku provádíme tak, že daný zlomek násobíme zlomkem, jehož čitatel i jmenovatel jsou stejní a obsahují výraz s odmocninou. Návod na usměrňování zlomků a b a b b b a b b, c a+ b c a b c a b c( a b) a+ b a b a b, c a+ b c( a+ b) a b a+ b a b. Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořený z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Neobsahuje-li algebraický výraz odmocniny, nazývá se racionální algebraický výraz, obsahuje-li odmocniny, nazývá se iracionální algebraický výraz. Racionální celistvé výrazy nazýváme polynomy (mnohočleny). a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, kde n N, a n 0, a 0, a 1,..., a n jsou reálná čísla, x je proměnná, n je stupeň polynomu, jednotliví sčítanci se nazývají členy polynomu. Uspořádání mnohočlenu může být vzestupné a 0 + a 1 x + a x + + a n 1 x n 1 + a n x n Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 35

36 nebo sestupné a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0. (a + b) a + ab + b. (a b) a ab + b. a b (a + b)(a b). (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3. (a b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3. a 3 b 3 (a b)(a + ab + b ). a 3 + b 3 (a + b)(a ab + b ). 5. LITERATURA DALŠÍ ZDROJE Běloun, F., Sbírka úloh z matematiky pro základní školu, Prometheus, 1998, ISBN Vošický, Z., Matematika v kostce pro střední školy, Fragment, 1996, ISBN Vošický, Z., Cvičení k matematice v kostce pro střední školy, Fragment, 1999, ISBN kniha kniha kniha Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy 36

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit MATEMATIKA Výrazy a rovnice pracovní sešit Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzentky: Mgr. Barbora Stušová; doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D. OBSAH

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti: Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz? Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla

Více

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností. Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_04 1 M1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/01 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 1. Počet hodin 4 Počet hodin celkem: 136 týdně: Tento plán vychází z Rámcového vzdělávacího programu

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_02 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých

Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1

Více

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. učebnice

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. učebnice MATEMATIKA Výrazy a rovnice učebnice OBSAH NĚKDY NÁSOBÍME STEJNÉ ČINITELE Mocnina... 2 2 S MOCNINAMI MUSÍME POČÍTAT Přednost operací, pravidla pro počítání s mocninami... 8 3 KTERÉ ČÍSLO MÁME UMOCNIT,

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918

Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Jednoroční učební kurs (JUK) In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích

Více

Logaritmy a věty o logaritmech

Logaritmy a věty o logaritmech Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: Anotace: Vzdělávací oblast: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA15 Sčítání,

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB

M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB M - Příprava na pololetku č. - 1KŘA, 1KŘB Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Úvod do programování 7. hodina

Úvod do programování 7. hodina Úvod do programování 7. hodina RNDr. Jan Lánský, Ph.D. Katedra informatiky a matematiky Fakulta ekonomických studií Vysoká škola finanční a správní 2015 Umíme z minulé hodiny Syntax Znaky Vlastní implementace

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vladimíra Pavlicová

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Vladimíra Pavlicová Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimíra Pavlicová Webová aplikace pro výuku základních poznatků z matematiky na střední škole Katedra didaktiky matematiky Vedoucí

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0 Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více