MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

Transkript

1 MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková

2 RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN:

3 Vážení studenti, dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána zjednodušenou formou bez důkazů. Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným. Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli připomínky k jejich zlepšení. M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková V Jihlavě, červen 2014

4

5 Přehled základních pojmů a označení množina všech přirozených čísel množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body a, nenulové reálné číslo { } otevřený interval, { }, graficky vyjadřujeme pomocí prázdných kroužků u krajních bodů uzavřený interval, { }, graficky vyjadřujeme pomocí vyplněných kroužků u krajních bodů ) polouzavřený (polootevřený) interval, ) { }, grafické znázornění ( polouzavřený (polootevřený) interval, ( { }, grafické znázornění otevřený interval, { } otevřený interval, { } ( polouzavřený interval, ( { } ) polouzavřený interval, ) { }

6 OBSAH 1. FUNKCE (Krejčová) Reálná funkce reálné proměnné Vlastnosti funkcí Inverzní funkce Přehled elementárních funkcí jedné proměnné Lineární funkce Lineární funkce s absolutní hodnotou Kvadratické funkce Mocninné funkce Lineární lomené funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Definiční obor Cvičení LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová) Limita funkce Spojitost funkce Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce na intervalu Výpočet limit Limity polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů ve vlastním bodě Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě... 52

7 Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě Cvičení DERIVACE FUNKCÍ (Zámková) Definice a geometrický význam derivace Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí Derivace složených funkcí Derivace vyšších řádů Cvičení UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková) Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo Neurčitý výraz typu Neurčitý výraz typu Neurčité výrazy typu,, Asymptoty grafu funkce Cvičení VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová) Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce Cvičení EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová) Lokální extrémy Globální extrémy Vyšetření průběhu funkce Cvičení APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová) Co je aproximace? Aproximace pomocí diferenciálu Taylorův a Maclaurinův polynom

8 7.4. Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu Důležité Maclaurinovy polynomy Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma Aproximace funkce v intervalu Cvičení ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová) Motivační příklad, vektorový prostor Cvičení MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová) Typy matic Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Maticové rovnice Cvičení DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová) Pojem determinantu Základní vlastnosti determinantu Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu Výpočet inverzní matice pomocí determinantů Cvičení ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová) Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice Jordanova metoda úplné eliminace Cvičení SEZNAM LITERATURY

9 1. FUNKCE V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ DEFINICE: FUNKCE Buďte, neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci jedné reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic, kde,, splňující podmínku: ke každému existuje nejvýše jedno tak, že. Zapisujeme. Skutečnost zapisujeme. Množina všech přípustných se nazývá definiční obor funkce a značíme ji. Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce množinu všech, pro která má pravá strana rovnice smysl. Množina příslušných se nazývá obor hodnot funkce a značíme ji. Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu přiřadí jediné, přesně definované číslo. Uvažujme následující funkci, zadanou tabulkou: x y Definiční obor této funkce je { } a obor hodnot je { }. Naopak následující tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu existují dvě různé hodnoty. x y DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce je množina všech uspořádaných dvojic bodů { } zobrazených v rovině s kartézskou soustavou souřadnic. Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině stejnými jednotkami na obou osách. s osami souřadnic na sebe kolmými a se Kapitola: FUNKCE 1

10 Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce. Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna reálná čísla, tj.. Obrázek 1 Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce, jejíž definiční obor je omezen na interval 3;2 Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot, pro které daný graf existuje, je zúžen také na interval 2;3.. Obrázek 2 Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce. a) b) c) 2

11 d) e) f) g) h) i) Řešení: a) Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu existuje nejvýše jedna hodnota neboli jeden bod v grafu, viz obrázek. Definiční obor funkce je množina čísel na ose, pro která existuje, že bod leží na grafu dané funkce. Tedy { }. Obor hodnot funkce je množina hodnot, pro které existuje, že bod leží na grafu dané funkce. Tedy { }. Kapitola: FUNKCE 3

12 b) Na tomto obrázku je opět graf funkce. Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje. Hodnota hodnota Tedy do definičního oboru patří a do definičního oboru nepatří. 2;2. Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body. 1;3. c) 3 2;, 4;4. d) 2 3;. Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy {2}. e) 4;4, 3;2. f) Na tomto obrázku není graf funkce. Je patrné, že např. pro hodnotu dvě různé hodnoty,,. lze nalézt Tedy pro jednu hodnotu existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce. g) Jedná se o graf funkce, která má. Obor hodnot je ale pouze interval 1 ;. 4

13 Pro hodnoty na ose menší nebo rovno odpovídající bod na grafu funkce neexistuje. h) Toto není graf funkce. Pro hodnotu existují dvě hodnoty, a, což je v rozporu s definicí funkce. i) Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro existuje již pouze jedna hodnota, a to. Nyní se tedy jedná o graf funkce. Definiční obor je 3;3. Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy {-1;2} VLASTNOSTI FUNKCÍ DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE Nechť je funkce a interval je podmnožinou. Řekneme, že funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro každé taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu klesající, jestliže pro každé, taková, že, platí. Poznámka: Řekneme, že funkce je na intervalu nerostoucí, jestliže pro každé taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu neklesající, jestliže pro každé, taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na. Řekneme, že funkce je na intervalu ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na. Dále se budeme zabývat pouze Kapitola: FUNKCE 5

14 ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce. Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu ( a rostoucí na intervalu ). Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru. Obrázek 3 Funkce na obrázku 4 je neklesající. Je tedy monotónní na celém definičním oboru. Obrázek 4 Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu a také na intervalu. Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro je a pro je. Tedy neplatí. Obrázek 5 6

15 DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE Řekneme, že funkce je periodická, existuje-li kladné číslo takové, že platí, je-li, je i a platí. Nejmenší číslo s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce. Má-li funkce periodu, pak také čísla,, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce. Tato funkce má primitivní periodu Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně. Obrázek 6 Na obrázku 7 je funkce. Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu. Obrázek 7 VĚTA Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu. DEFINICE: PARITA FUNKCE Řekneme, že funkce je sudá, jestliže pro každé platí a platí. Řekneme, že funkce je lichá, pokud pro každé platí a platí. Kapitola: FUNKCE 7

16 Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu. Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu. Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný podle počátku. lichá funkce sudá funkce Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor,. Pokud bychom definiční obor zúžili na interval, pak by takto definovaná funkce sudá byla. Obrázek 8 Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty. Určeme paritu následujících funkcí: Řešení: a) na b) na c) na d) na a) Definiční obor není symetrický podle, proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá. 8

17 b) Definiční obor této funkce je symetrický podle, funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme výpočtem. Vyjádříme hodnotu. To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo hodnotu. Tedy:. Tedy platí, což znamená, že je funkce podle definice sudá. c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle, tedy provedeme výpočet. Nyní neplatí, že ani. Tedy funkce není ani sudá, ani lichá. d) Definiční obor je opět symetrický podle a Tedy, z čehož plyne, že funkce je lichá.. DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE Nechť je funkce a množina je podmnožinou definičního oboru funkce. Řekneme, že funkce je na množině zdola omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí pro všechna. Řekneme, že funkce je na množině shora omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí pro všechna. Pokud je funkce na množině omezená zdola i shora, potom je funkce na množině omezená. Poznámka: Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená. Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou, která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce). Funkce omezená zdola hodnotou -1. Funkce omezená hodnotou 1 shora. Kapitola: FUNKCE 9

18 Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou. Tato funkce není omezená. DEFINICE: PROSTOST FUNKCE Řekneme, že funkce je prostá, právě když pro všechna platí: Je-li, pak. Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty nevyjde stejná hodnota. Například funkce (obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty a vyjde stejná funkční hodnota. Naopak funkce (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu vyjde jiná hodnota. V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu odpovídající bod. nalezneme na grafu funkce pouze jeden Obrázek 9 Obrázek 10 VĚTA: Je-li funkce na intervalu monotónní, je na tomto intervalu také prostá. 10

19 Poznámka: Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci INVERZNÍ FUNKCE DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE Nechť funkce je prostá. Pravidlo, které každému z množiny přiřadí jediné z množiny, pro které platí, se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci. Označujeme ji. Graf funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci a funkci k ní inverzní platí: Inverzní funkci k funkci určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné a, máme tedy. Z této rovnice vyjádříme proměnnou. Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že inverzní funkce neexistuje, protože funkce není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci. Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost být inverzní funkcí je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní funkce si ukážeme v následující kapitole. VĚTA: Je-li funkce rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní. Poznámka: Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí LINEÁRNÍ FUNKCE Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru, kde. Grafem této funkce je přímka. Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy tvoří obor hodnot všechna reálná čísla. Pokud obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. { }. Kapitola: FUNKCE 11

20 Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je, tj. funkce, které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou. Na obrázku 11 je graf konstantní funkce Obrázek 11 Nakresleme graf funkce. Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou zjistíme tak, že dosadíme do rovnice za nulu. Tedy [ ]. Průsečík s osou vypočítáme tak, že do rovnice dosadíme za nulu. Tedy je přímkou.. Nyní nakreslíme oba body a spojíme Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá. Načrtněme graf funkce, jejíž (. 12

21 Opět určíme průsečíky s osami [ ],. Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů:,. Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a prostá. Není sudá ani lichá. (. Určeme inverzní funkci k funkci. Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce za a naopak. Poté z rovnice vyjádříme. Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce. Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla platí: je číslo, pro které je-li, je, je-li, je. Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny Načrtněme graf funkce. Kapitola: FUNKCE 13

22 Pro všechna, pro která je, tj., je. Naopak pro, pro která je, tj., je. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: pro ) pro Dopočítáme průsečíky s osami. Když za dosadíme 0, získáme průsečík s osou, Pokud do rovnice dosadíme 0 za průsečíky s osou., získáme dva nebo. Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. a ). Načrtněme graf funkce. Pro všechna, pro která je, tj., je. Naopak, pro, pro která je, tj., je. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: pro ) pro Dopočítáme průsečíky s osami. Když za dosadíme 0, získáme průsečík s osou, Pokud do rovnice dosadíme 0 za, získáme dva průsečíky s osou. nebo. 14

23 KVADRATICKÉ FUNKCE Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem, kde { },. Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem. Pokud je, je parabola rozevřená nahoru, pokud je, je parabola rozevřená dolů. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě interval ), v případě interval (. Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu : Nebo ve tvaru, z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce. Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou Kapitola: FUNKCE 15

24 Načrtněme graf funkce. Vrchol paraboly má tedy souřadnice. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou : Průsečíky s osou : nebo tedy Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora (např. hodnotou 1). a (. Načrtněme graf funkce. Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy, souřadnici lze vypočítat také pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit do zadání funkce, tedy. Tedy. Průsečíky s osami jsou: 16

25 Určeme inverzní funkci k funkci pro ). Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru, tedy v, funkce není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu ) je ale funkce prostá, tedy můžeme určit inverzní funkci: Inverzní funkce tedy je: její ). Grafy funkcí jsou symetrické podle osy. Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce. a červený Kapitola: FUNKCE 17

26 MOCNINNÉ FUNKCE Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem, kde. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na. Graf funkce je také závislý na tom, jestli je liché, či sudé. Pro liché je, funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená. Mezi tyto funkce patří i lineární funkce. Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro. Pro sudé je ), funkce je sudá, klesající na (, rostoucí na ), není prostá a je omezená zdola. Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce. Obrázek 12 Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro. Obrázek LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem, kde, a navíc platí, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např.. Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem. Definiční obor funkce je { }. Obor hodnot funkce je { }. 18

27 Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce neomezeně přibližuje v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu a její rovnice je, druhá asymptota je kolmá na osu a její rovnice je. Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu:, kde. Nebo ve tvaru: který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto:,,. Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly je bod, ve kterém funkce není definována, neboli nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy. Souřadnice středu je funkční hodnota, ke které se blíží graf svými konci v a, což zapisujeme pomocí limity Uvedený výpočet provedeme v odstavci o limitách Načrtněme graf funkce. Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly. Spočítáme průsečíky s osami [ ] Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky Kapitola: FUNKCE 19

28 s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným asymptotám. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu a na intervalu. { } a { }. Načrtněme graf funkce. Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme a. Dále spočítáme průsečíky s osami: [ ] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí na intervalu a na intervalu. { } a { }. Načrtněme graf funkce. 20

29 Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme a. Dále spočítáme průsečíky s osami: [ ] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu a na intervalu. { } a { }. Určeme inverzní funkci k funkci. Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme : Graf funkce je na obrázku znázorněn modře, graf funkce je znázorněn červeně. { } { } Kapitola: FUNKCE 21

30 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem, kde je kladné číslo různé od 1. Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro, nebo klesající (obrázek 15) pro. Obrázek 14 Obrázek 15 Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je ( omezená zdola 0. Osa je asymptota grafu exponenciální funkce. ). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou:,,. Příkladem klesající exponenciální funkce jsou:,, LOGARITMICKÉ FUNKCE Logaritmická funkce o základu je funkce definovaná předpisem, kde je kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. Proto je definičním oborem této funkce interval a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla. Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu nebo klesající (obrázek 17) pro. buď rostoucí (obrázek 16) pro 22

31 Obrázek 16 Obrázek 17 Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou:,,. Příkladem klesající logaritmické funkce jsou:,,. Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa funkce. je asymptota grafu logaritmické Určeme inverzní funkci k funkci. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme za a naopak a vyjádříme. Určíme ještě definiční obory a obory hodnot:. Na obrázku je graf funkce funkce červeně. vyznačen modře a graf Určeme inverzní funkci k funkci. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme za a naopak a vyjádříme. Kapitola: FUNKCE 23

32 Určíme ještě definiční obory a obory hodnot:. Na obrázku je graf funkce funkce červeně. vyznačen modře a graf V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy GONIOMETRICKÉ FUNKCE Elementární goniometrické funkce jsou čtyři:. Na obrázku 18 je funkce. Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Funkce je znázorněna na obrázku 19. Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek 18 24

33 Obrázek 19 Na obrázku 20 je funkce. Tato funkce je definována jako. { } kde. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek 20 Funkce je znázorněna na obrázku 21. Tato funkce je definována jako. { } kde. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci omezíme pouze na interval, u funkce na interval, u funkce na interval a u funkce na interval. Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které mají jako svůj vnitřní nebo krajní bod. Kapitola: FUNKCE 25

34 Inverzní funkce k funkci se značí: (čteme: [arkussinus]) Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22). Obrázek 22 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkuskosinus]) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23). Obrázek 23 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkustangens]) Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24). Obrázek 24 26

35 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkuskotangens]) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25). Obrázek 25 Určeme inverzní funkci k funkci. Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce: Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto. Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto Na obrázku vidíme modrý graf funkce a červený graf funkce a je patrná jejich symetrie podle osy. Kapitola: FUNKCE 27

36 Určeme inverzní funkci k funkci. Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce: Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto. Argument funkce může být jakékoliv reálné číslo, tedy Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce. a červený 1.5. GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět. Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro ty, na kterých to zde názorně aplikujeme. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY : Pokud argument funkce bude místo hodnota, posunujeme graf funkce ve směru osy o hodnotu. 28

37 Graf funkce, získáme tedy tak, že graf funkce posuneme o jedničku doprava. Graf funkce, získáme tak, že graf funkce posuneme o jedničku doleva. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY : Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce o hodnotu. Graf funkce získáme posunutím grafu funkce o hodnotu dolu. Graf funkce funkce získáme posunutím grafu o jedna nahoru. OTOČENÍ KOLEM OSY : Pokud je funkce vynásobená konstantou, pak se otáčí graf funkce kolem osy. Neboli část grafu funkce, která je pod osou, se otočí kolem osy nahoru a ta část grafu, která je nad osou, se otočí kolem osy dolů. Kapitola: FUNKCE 29

38 Graf funkce tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce kolem osy. Graf funkce vznikne otočením grafu funkce kolem osy. OTOČENÍ KOLEM OSY Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou, pak se otáčí graf funkce kolem osy. Graf funkce tedy vznikne otočením grafu funkce kolem osy. Graf funkce vznikne otočením grafu funkce kolem osy. ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem neboli všechny body funkce pod osou se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce, která je nad osou, se neotáčí nikam. 30

39 Graf funkce získáme otočením záporné části grafu funkce (tj. části která je pod osou ) kolem osy nahoru. Graf funkce získáme otočením záporné části grafu funkce nad osu DEFINIČNÍ OBOR Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot, které lze dosazovat do funkčního předpisu. Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární. Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce. DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE Nechť a jsou funkce. Pak funkce daná předpisem ( ) se nazývá složená funkce. Funkce se nazývá vnitřní složkou, funkce vnější složkou složené funkce. Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl vyšetřované složené funkce. Kapitola: FUNKCE 31

40 Určeme definiční obor. Definiční obor funkce je množina všech reálných, pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro kladná reálná čísla, proto musí platit, arkussinus je definován na množině, proto musí platit. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic. Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy (. Určeme definiční obor funkce. Ze zadání funkce plynou tyto podmínky:,,. ( Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy (. Určeme definiční obor funkce. Stanovíme podmínky:,. 32

41 Tedy. Určeme definiční obor funkce Stanovíme podmínky:,,. První nerovnici splňují hodnoty. Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy 1.7. CVIČENÍ 1) Určete definiční obor funkce: a) b) Kapitola: FUNKCE 33

42 c) d) e) [a) ), b), c) (, d) (, e) ] 2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: a) b) c) d) e) [a) { }, b), c), 3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené. d), e) ] a) b) c) d) e) [a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora a zdola 0, c) prostá, lichá, neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a zdola ] a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 34