MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch"

Transkript

1 MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková

2 RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN:

3 Vážení studenti, dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána zjednodušenou formou bez důkazů. Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným. Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli připomínky k jejich zlepšení. M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková V Jihlavě, červen 2014

4

5 Přehled základních pojmů a označení množina všech přirozených čísel množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body a, nenulové reálné číslo { } otevřený interval, { }, graficky vyjadřujeme pomocí prázdných kroužků u krajních bodů uzavřený interval, { }, graficky vyjadřujeme pomocí vyplněných kroužků u krajních bodů ) polouzavřený (polootevřený) interval, ) { }, grafické znázornění ( polouzavřený (polootevřený) interval, ( { }, grafické znázornění otevřený interval, { } otevřený interval, { } ( polouzavřený interval, ( { } ) polouzavřený interval, ) { }

6 OBSAH 1. FUNKCE (Krejčová) Reálná funkce reálné proměnné Vlastnosti funkcí Inverzní funkce Přehled elementárních funkcí jedné proměnné Lineární funkce Lineární funkce s absolutní hodnotou Kvadratické funkce Mocninné funkce Lineární lomené funkce Exponenciální funkce Logaritmické funkce Goniometrické funkce Cyklometrické funkce Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Definiční obor Cvičení LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová) Limita funkce Spojitost funkce Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce na intervalu Výpočet limit Limity polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů v nevlastním bodě Limity podílu polynomů ve vlastním bodě Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě... 52

7 Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě Cvičení DERIVACE FUNKCÍ (Zámková) Definice a geometrický význam derivace Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí Derivace složených funkcí Derivace vyšších řádů Cvičení UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková) Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo Neurčitý výraz typu Neurčitý výraz typu Neurčité výrazy typu,, Asymptoty grafu funkce Cvičení VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová) Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce Cvičení EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová) Lokální extrémy Globální extrémy Vyšetření průběhu funkce Cvičení APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová) Co je aproximace? Aproximace pomocí diferenciálu Taylorův a Maclaurinův polynom

8 7.4. Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu Důležité Maclaurinovy polynomy Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma Aproximace funkce v intervalu Cvičení ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová) Motivační příklad, vektorový prostor Cvičení MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová) Typy matic Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Maticové rovnice Cvičení DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová) Pojem determinantu Základní vlastnosti determinantu Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu Výpočet inverzní matice pomocí determinantů Cvičení ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová) Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice Jordanova metoda úplné eliminace Cvičení SEZNAM LITERATURY

9 1. FUNKCE V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ DEFINICE: FUNKCE Buďte, neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci jedné reálné proměnné považujeme neprázdnou množinu uspořádaných dvojic, kde,, splňující podmínku: ke každému existuje nejvýše jedno tak, že. Zapisujeme. Skutečnost zapisujeme. Množina všech přípustných se nazývá definiční obor funkce a značíme ji. Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce množinu všech, pro která má pravá strana rovnice smysl. Množina příslušných se nazývá obor hodnot funkce a značíme ji. Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu přiřadí jediné, přesně definované číslo. Uvažujme následující funkci, zadanou tabulkou: x y Definiční obor této funkce je { } a obor hodnot je { }. Naopak následující tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu existují dvě různé hodnoty. x y DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce je množina všech uspořádaných dvojic bodů { } zobrazených v rovině s kartézskou soustavou souřadnic. Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině stejnými jednotkami na obou osách. s osami souřadnic na sebe kolmými a se Kapitola: FUNKCE 1

10 Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce. Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna reálná čísla, tj.. Obrázek 1 Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce, jejíž definiční obor je omezen na interval 3;2 Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot, pro které daný graf existuje, je zúžen také na interval 2;3.. Obrázek 2 Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot znázorněné funkce. a) b) c) 2

11 d) e) f) g) h) i) Řešení: a) Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu existuje nejvýše jedna hodnota neboli jeden bod v grafu, viz obrázek. Definiční obor funkce je množina čísel na ose, pro která existuje, že bod leží na grafu dané funkce. Tedy { }. Obor hodnot funkce je množina hodnot, pro které existuje, že bod leží na grafu dané funkce. Tedy { }. Kapitola: FUNKCE 3

12 b) Na tomto obrázku je opět graf funkce. Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje. Hodnota hodnota Tedy do definičního oboru patří a do definičního oboru nepatří. 2;2. Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body. 1;3. c) 3 2;, 4;4. d) 2 3;. Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy {2}. e) 4;4, 3;2. f) Na tomto obrázku není graf funkce. Je patrné, že např. pro hodnotu dvě různé hodnoty,,. lze nalézt Tedy pro jednu hodnotu existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce. g) Jedná se o graf funkce, která má. Obor hodnot je ale pouze interval 1 ;. 4

13 Pro hodnoty na ose menší nebo rovno odpovídající bod na grafu funkce neexistuje. h) Toto není graf funkce. Pro hodnotu existují dvě hodnoty, a, což je v rozporu s definicí funkce. i) Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro existuje již pouze jedna hodnota, a to. Nyní se tedy jedná o graf funkce. Definiční obor je 3;3. Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy {-1;2} VLASTNOSTI FUNKCÍ DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE Nechť je funkce a interval je podmnožinou. Řekneme, že funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro každé taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu klesající, jestliže pro každé, taková, že, platí. Poznámka: Řekneme, že funkce je na intervalu nerostoucí, jestliže pro každé taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu neklesající, jestliže pro každé, taková, že, platí. Řekneme, že funkce je na intervalu monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na. Řekneme, že funkce je na intervalu ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na. Dále se budeme zabývat pouze Kapitola: FUNKCE 5

14 ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce. Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu ( a rostoucí na intervalu ). Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru. Obrázek 3 Funkce na obrázku 4 je neklesající. Je tedy monotónní na celém definičním oboru. Obrázek 4 Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu a také na intervalu. Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro je a pro je. Tedy neplatí. Obrázek 5 6

15 DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE Řekneme, že funkce je periodická, existuje-li kladné číslo takové, že platí, je-li, je i a platí. Nejmenší číslo s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce. Má-li funkce periodu, pak také čísla,, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce. Tato funkce má primitivní periodu Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně. Obrázek 6 Na obrázku 7 je funkce. Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu. Obrázek 7 VĚTA Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu. DEFINICE: PARITA FUNKCE Řekneme, že funkce je sudá, jestliže pro každé platí a platí. Řekneme, že funkce je lichá, pokud pro každé platí a platí. Kapitola: FUNKCE 7

16 Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu. Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu. Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé, jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný podle počátku. lichá funkce sudá funkce Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor,. Pokud bychom definiční obor zúžili na interval, pak by takto definovaná funkce sudá byla. Obrázek 8 Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty. Určeme paritu následujících funkcí: Řešení: a) na b) na c) na d) na a) Definiční obor není symetrický podle, proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá. 8

17 b) Definiční obor této funkce je symetrický podle, funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme výpočtem. Vyjádříme hodnotu. To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo hodnotu. Tedy:. Tedy platí, což znamená, že je funkce podle definice sudá. c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle, tedy provedeme výpočet. Nyní neplatí, že ani. Tedy funkce není ani sudá, ani lichá. d) Definiční obor je opět symetrický podle a Tedy, z čehož plyne, že funkce je lichá.. DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE Nechť je funkce a množina je podmnožinou definičního oboru funkce. Řekneme, že funkce je na množině zdola omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí pro všechna. Řekneme, že funkce je na množině shora omezená, existuje-li reálné číslo takové, že platí pro všechna. Pokud je funkce na množině omezená zdola i shora, potom je funkce na množině omezená. Poznámka: Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená. Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou, která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce). Funkce omezená zdola hodnotou -1. Funkce omezená hodnotou 1 shora. Kapitola: FUNKCE 9

18 Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou. Tato funkce není omezená. DEFINICE: PROSTOST FUNKCE Řekneme, že funkce je prostá, právě když pro všechna platí: Je-li, pak. Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty nevyjde stejná hodnota. Například funkce (obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty a vyjde stejná funkční hodnota. Naopak funkce (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu vyjde jiná hodnota. V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu odpovídající bod. nalezneme na grafu funkce pouze jeden Obrázek 9 Obrázek 10 VĚTA: Je-li funkce na intervalu monotónní, je na tomto intervalu také prostá. 10

19 Poznámka: Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci INVERZNÍ FUNKCE DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE Nechť funkce je prostá. Pravidlo, které každému z množiny přiřadí jediné z množiny, pro které platí, se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci. Označujeme ji. Graf funkce a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci a funkci k ní inverzní platí: Inverzní funkci k funkci určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné a, máme tedy. Z této rovnice vyjádříme proměnnou. Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že inverzní funkce neexistuje, protože funkce není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci. Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost být inverzní funkcí je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní funkce si ukážeme v následující kapitole. VĚTA: Je-li funkce rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní. Poznámka: Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí LINEÁRNÍ FUNKCE Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru, kde. Grafem této funkce je přímka. Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy tvoří obor hodnot všechna reálná čísla. Pokud obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. { }. Kapitola: FUNKCE 11

20 Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je, tj. funkce, které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou. Na obrázku 11 je graf konstantní funkce Obrázek 11 Nakresleme graf funkce. Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou zjistíme tak, že dosadíme do rovnice za nulu. Tedy [ ]. Průsečík s osou vypočítáme tak, že do rovnice dosadíme za nulu. Tedy je přímkou.. Nyní nakreslíme oba body a spojíme Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá. Načrtněme graf funkce, jejíž (. 12

21 Opět určíme průsečíky s osami [ ],. Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů:,. Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a prostá. Není sudá ani lichá. (. Určeme inverzní funkci k funkci. Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce za a naopak. Poté z rovnice vyjádříme. Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce. Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla platí: je číslo, pro které je-li, je, je-li, je. Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny Načrtněme graf funkce. Kapitola: FUNKCE 13

22 Pro všechna, pro která je, tj., je. Naopak pro, pro která je, tj., je. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: pro ) pro Dopočítáme průsečíky s osami. Když za dosadíme 0, získáme průsečík s osou, Pokud do rovnice dosadíme 0 za průsečíky s osou., získáme dva nebo. Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. a ). Načrtněme graf funkce. Pro všechna, pro která je, tj., je. Naopak, pro, pro která je, tj., je. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí: pro ) pro Dopočítáme průsečíky s osami. Když za dosadíme 0, získáme průsečík s osou, Pokud do rovnice dosadíme 0 za, získáme dva průsečíky s osou. nebo. 14

23 KVADRATICKÉ FUNKCE Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem, kde { },. Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem. Pokud je, je parabola rozevřená nahoru, pokud je, je parabola rozevřená dolů. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě interval ), v případě interval (. Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu : Nebo ve tvaru, z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce. Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou Kapitola: FUNKCE 15

24 Načrtněme graf funkce. Vrchol paraboly má tedy souřadnice. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou : Průsečíky s osou : nebo tedy Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora (např. hodnotou 1). a (. Načrtněme graf funkce. Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy, souřadnici lze vypočítat také pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit do zadání funkce, tedy. Tedy. Průsečíky s osami jsou: 16

25 Určeme inverzní funkci k funkci pro ). Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru, tedy v, funkce není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu ) je ale funkce prostá, tedy můžeme určit inverzní funkci: Inverzní funkce tedy je: její ). Grafy funkcí jsou symetrické podle osy. Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce. a červený Kapitola: FUNKCE 17

26 MOCNINNÉ FUNKCE Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem, kde. Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na. Graf funkce je také závislý na tom, jestli je liché, či sudé. Pro liché je, funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená. Mezi tyto funkce patří i lineární funkce. Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro. Pro sudé je ), funkce je sudá, klesající na (, rostoucí na ), není prostá a je omezená zdola. Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce. Obrázek 12 Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro. Obrázek LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem, kde, a navíc platí, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např.. Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem. Definiční obor funkce je { }. Obor hodnot funkce je { }. 18

27 Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce neomezeně přibližuje v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu a její rovnice je, druhá asymptota je kolmá na osu a její rovnice je. Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu:, kde. Nebo ve tvaru: který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto:,,. Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly je bod, ve kterém funkce není definována, neboli nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy. Souřadnice středu je funkční hodnota, ke které se blíží graf svými konci v a, což zapisujeme pomocí limity Uvedený výpočet provedeme v odstavci o limitách Načrtněme graf funkce. Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly. Spočítáme průsečíky s osami [ ] Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky Kapitola: FUNKCE 19

28 s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným asymptotám. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu a na intervalu. { } a { }. Načrtněme graf funkce. Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme a. Dále spočítáme průsečíky s osami: [ ] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí na intervalu a na intervalu. { } a { }. Načrtněme graf funkce. 20

29 Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme a. Dále spočítáme průsečíky s osami: [ ] Nyní můžeme načrtnout graf funkce. Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající na intervalu a na intervalu. { } a { }. Určeme inverzní funkci k funkci. Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme : Graf funkce je na obrázku znázorněn modře, graf funkce je znázorněn červeně. { } { } Kapitola: FUNKCE 21

30 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem, kde je kladné číslo různé od 1. Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro, nebo klesající (obrázek 15) pro. Obrázek 14 Obrázek 15 Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je ( omezená zdola 0. Osa je asymptota grafu exponenciální funkce. ). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou:,,. Příkladem klesající exponenciální funkce jsou:,, LOGARITMICKÉ FUNKCE Logaritmická funkce o základu je funkce definovaná předpisem, kde je kladné číslo různé od 1. Logaritmická funkce je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci. Proto je definičním oborem této funkce interval a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla. Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu nebo klesající (obrázek 17) pro. buď rostoucí (obrázek 16) pro 22

31 Obrázek 16 Obrázek 17 Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou:,,. Příkladem klesající logaritmické funkce jsou:,,. Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa funkce. je asymptota grafu logaritmické Určeme inverzní funkci k funkci. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme za a naopak a vyjádříme. Určíme ještě definiční obory a obory hodnot:. Na obrázku je graf funkce funkce červeně. vyznačen modře a graf Určeme inverzní funkci k funkci. Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme za a naopak a vyjádříme. Kapitola: FUNKCE 23

32 Určíme ještě definiční obory a obory hodnot:. Na obrázku je graf funkce funkce červeně. vyznačen modře a graf V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy GONIOMETRICKÉ FUNKCE Elementární goniometrické funkce jsou čtyři:. Na obrázku 18 je funkce. Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Funkce je znázorněna na obrázku 19. Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek 18 24

33 Obrázek 19 Na obrázku 20 je funkce. Tato funkce je definována jako. { } kde. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek 20 Funkce je znázorněna na obrázku 21. Tato funkce je definována jako. { } kde. Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou. Obrázek CYKLOMETRICKÉ FUNKCE Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci omezíme pouze na interval, u funkce na interval, u funkce na interval a u funkce na interval. Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které mají jako svůj vnitřní nebo krajní bod. Kapitola: FUNKCE 25

34 Inverzní funkce k funkci se značí: (čteme: [arkussinus]) Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22). Obrázek 22 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkuskosinus]) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23). Obrázek 23 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkustangens]) Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24). Obrázek 24 26

35 Inverzní funkce k funkci se nazývá: (čteme: [arkuskotangens]) Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25). Obrázek 25 Určeme inverzní funkci k funkci. Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce: Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto. Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto Na obrázku vidíme modrý graf funkce a červený graf funkce a je patrná jejich symetrie podle osy. Kapitola: FUNKCE 27

36 Určeme inverzní funkci k funkci. Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce: Argument funkce musí být z intervalu, tedy: Proto. Argument funkce může být jakékoliv reálné číslo, tedy Na obrázku vidíme modrý graf funkce graf funkce. a červený 1.5. GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět. Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro ty, na kterých to zde názorně aplikujeme. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY : Pokud argument funkce bude místo hodnota, posunujeme graf funkce ve směru osy o hodnotu. 28

37 Graf funkce, získáme tedy tak, že graf funkce posuneme o jedničku doprava. Graf funkce, získáme tak, že graf funkce posuneme o jedničku doleva. POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY : Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce o hodnotu. Graf funkce získáme posunutím grafu funkce o hodnotu dolu. Graf funkce funkce získáme posunutím grafu o jedna nahoru. OTOČENÍ KOLEM OSY : Pokud je funkce vynásobená konstantou, pak se otáčí graf funkce kolem osy. Neboli část grafu funkce, která je pod osou, se otočí kolem osy nahoru a ta část grafu, která je nad osou, se otočí kolem osy dolů. Kapitola: FUNKCE 29

38 Graf funkce tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce kolem osy. Graf funkce vznikne otočením grafu funkce kolem osy. OTOČENÍ KOLEM OSY Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou, pak se otáčí graf funkce kolem osy. Graf funkce tedy vznikne otočením grafu funkce kolem osy. Graf funkce vznikne otočením grafu funkce kolem osy. ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem neboli všechny body funkce pod osou se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce, která je nad osou, se neotáčí nikam. 30

39 Graf funkce získáme otočením záporné části grafu funkce (tj. části která je pod osou ) kolem osy nahoru. Graf funkce získáme otočením záporné části grafu funkce nad osu DEFINIČNÍ OBOR Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot, které lze dosazovat do funkčního předpisu. Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární. Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce. DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE Nechť a jsou funkce. Pak funkce daná předpisem ( ) se nazývá složená funkce. Funkce se nazývá vnitřní složkou, funkce vnější složkou složené funkce. Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl vyšetřované složené funkce. Kapitola: FUNKCE 31

40 Určeme definiční obor. Definiční obor funkce je množina všech reálných, pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro kladná reálná čísla, proto musí platit, arkussinus je definován na množině, proto musí platit. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic. Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy (. Určeme definiční obor funkce. Ze zadání funkce plynou tyto podmínky:,,. ( Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy (. Určeme definiční obor funkce. Stanovíme podmínky:,. 32

41 Tedy. Určeme definiční obor funkce Stanovíme podmínky:,,. První nerovnici splňují hodnoty. Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy 1.7. CVIČENÍ 1) Určete definiční obor funkce: a) b) Kapitola: FUNKCE 33

42 c) d) e) [a) ), b), c) (, d) (, e) ] 2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí: a) b) c) d) e) [a) { }, b), c), 3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené. d), e) ] a) b) c) d) e) [a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora a zdola 0, c) prostá, lichá, neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora 4) Načrtněte grafy těchto funkcí: a zdola ] a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 34

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více