Maturitní témata z matematiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maturitní témata z matematiky"

Transkript

1 IGMEN

2 Mrií ém memi ) Výrooá logi ) Moži - oere, ierl ) lgerié ýr - ráe s mohočle, lgerié ore ) Lomeé ýr ) Moi odmoi ) Lieárí fe, lieárí roie 7) Lieárí roie s rmerem, s solí hodoo ) Sos lieáríh roi 9) Lieárí eroie, sos lieáríh eroi o jedé eámé ) Mioý oče, oere s miemi, hodos, deermi ) Kdrié fe ) Kdriá roie - meod řešeí ) Kdrié eroie ) Irioálí roie ) Shodá oreí - osrčí úloh ) Podoá oreí - osrčí úloh 7) Phgoro Eleido ě - osrčí úloh ) Ood osh roiýh orů 9) Polohoé merié h áldíh geomeriýh úrů rosor ) Porh ojem ěles ) Goiomerié fe ) Řešeí roúhlého rojúhelí ) Úr ýrů s goiomerio fí žiím orů ) Goiomerié roie ) Řešeí oeého rojúhelí ) Komleí číslo - ojem, lgeriý r, oere 7) Komleí číslo - goiomeriý eoeioálí r, oere ) Moireo ě, iomié roie 9) Lieárí lomeá fe ) Moié fe ) Eoeiálí fe, eoeioálí roie ) Logrimié fe, logrims, lsosi ) Logrimié roie ) Veor, oere s eor ) liá geomerie - řím roiě rosor ) liá geomerie - roi 7) liá geomerie - ájemá oloh řím roi, do roi ) liá geomerie - ájemá oloh do říme roiě rosor 9) liá geomerie - merié úloh meodo sořdi ) liá geomerie želoseče - ržie ) liá geomerie želoseče - elis ) liá geomerie želoseče - herol ) liá geomerie želoseče - rol ) liá geomerie - ájemá oloh želoseč řím ) Limi sojios fe ) Derie fe 7) Fiálí geomeriý ým derie ) Všeřoáí růěh fe 9) lie erémů fí úloháh ) Nerčiý iegrál - meod iegre ) Určiý iegrál - žií ) Posloos - lsosi, limi osloosi ) rimeiá osloos ) Geomeriá osloos ) Neoečá geomeriá řd ) Vrie, erme, omie 7) Komičí číslo - lsosi, roie s omičími čísl ) Prděodoos 9) Sisi ) Dů memie

3 . Výrooá logi Výro: Sděleí, o erém má smsl ří, d je či eí rdié. Hoé: Výro, ěhož jsme dém omži erčili jedočě rdios. (Domě) rdiý ýro erdiý ýro ZÁKLDNÍ LOGICKÉ SPOJKY: ege (eí rd, že ) oje ( sočsě ároeň ) disje ( eo ) imlie (jesliže dž je-li ) eilee ( ráě dž ráě ehd ) : Des rší. B: Ve je láo. : Neí rd, že des rší. : Des erší. B: Neí rd, že je e láo. B: Ve eí láo. B: Des rší e je láo. B: Des rší eo je e láo. B: Jesliže rší je e láo. B: Ve je láo ráě dž rší. Jedodhý ýro: Složeý ýro: Výrooá formle: Tologie: Kordie: ; q ; q; q; q; q; ( q) ( q) Viá omií íe logiýh oerí (řídě ýroů). Oere ih mjí dřeos omo ořdí:,,,, ; od eí jejih dřeos měě áoro. Výrooá formle, erá je žd rdiá. Výrooá formle, erá je žd erdiá. IGMEN

4 Tl rdiosíh hodo ýrooýh formlí áldíh složeýh ýroů: q q q q q q ( B) (B ) B B B B ( B) (B ) ( B) ( B ) B B B B ( B) ( B ) ologie (C ) ( B C) B C B C B C (C ) ( B C) IGMEN

5 KVNTIFIKOVNÉ VÝROKY V oeý ifiáor eisečí ifiáor / eeisečí ifiáor drhá moi ždého reálého čísl je ldá V R : > eisje řiroeé číslo, eré je ořeem roie: 9 N : 9 V N : l ro šeh řiroeá čísl lí, že jesliže je dé číslo sdé, je jeho drhá moi sdá IGMEN

6 . Moži oere, ierl Moži je sohr rů, eré háeme jo ele. Záis moži:, B, C moži ) ýče rů: {; ; } ) ierl: B ; ) ) hrerisiá lsos: { N; } B { N; < } Oere s možimi: C { N; } dolě roos B odmoži (ile) B sjedoeí B růi B rodíl -B; B- IGMEN

7 Číselé moži: N... řiroeá čísl N { ;;;K} N... eáorá řiroeá čísl N { ;;;;K} Z... elá čísl Z { K ; ; ;;;;;K} Q... rioálí čísl Q { K ;,; ;,7;,;;,;,7;;,;;K} R... reálá čísl R { π; } C... omleí čísl C { } Plí: N N Z Q R C BSOLUTNÍ HODNOT REÁLNÉHO ČÍSL solí hodoo reálého čísl romíme číslo, eré má o lsosi: <,, solí hodo ždého reálého čísl je ro dáleosi ohoo čísl od očá číselé os. IGMEN

8 INTERVLY Moži reálýh čísel, ero můžeme áori číselé ose úsečo, ýáme omeeý ierl. T moži, eré le áori olořímo eo římo ýáme eomeeé ierl. Omeeé ierl se dělí :. řeý. oeřeý. olořeý Omeeé ierl: moži áorěí ose áis ierl áe ierl R; ; řeý ierl ; R; < ( ; olořeý ierl ; R; < ; ) olořeý ierl ; R; < < ; oeřeý ierl ; R; ; ) le řeý ierl ; R; > ( ) ; le oeřeý ierl ; R; ( ; r řeý ierl - ; R; < ( ;) r oeřeý ierl - ; B { R; } ( 7;) B B B B ( 7; ( ;) ; ) ( ; 7 ; ) ( ;) IGMEN

9 . lgerié ýr ráe s mohočle, lgerié ore Výr oeě: možioý ( I B) U C π číselý ; ; ; ýr s roměo ; lomeý ýr ; Leged: ; ; ; ; π...os ;...roměé ; B; C...moži U lomeýh ýrů ýrů s odmoio je é d odmí ro roměo, měl ýr smsl. Nř.: Mohočle oeě: m m m m m m K MNOHOČLENY Nř.: ; ; Sčíáí odčíáí mohočleů: Sčí odčí se moho oe mohočle se sejo roměo sejo moio dé roměé. ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) [ ( ) ] [ ] Násoeí mohočleů: ( ) ( ) ( ) 7 IGMEN

10 Děleí mohočleů jedočleem: Čísl se dělí, eoe odčíjí. ( 7 9 9) : ( 9) odmí: Děleí mohočleů mohočleem: IGMEN

11 LGEBRICKÉ ROVNICE Sočoé ore: ( B) B B ( B) B B ( B C) B ( B) B ( B) B B ( B) ( B) B B C ( B) ( B B ) ( B) ( B B ) B B B BC C B B ( ) ( ) 7,,,, (,, ) Vieo ore: q ( ) ( ) q ( ) ( ) ; 9 IGMEN

12 Rold ýr soči:. ýáím. omoí orů. roldem driého rojčle omoí Vieoýh orů ( [ ] m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ) ; IGMEN

13 . Lomeé ýr Rošiřoáí lomeýh ýrů: Lomeý ýr se rošiřje, že se čiel i jmeoel ásoí sejým ýrem. r Rošířeí ýr ýrem r: ;, r r Rošiř ýr ýrem ( ). ( ) ( ) Kráeí lomeýh ýrů: Lomeý ýr se ráí, že se čiel i jmeoel dělí sejým ýrem. : r Kráeí ýr ýrem r: ;, r : r ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Záldí r lom: Je o oý r lom, erý ele dále rái. IGMEN

14 Sčíáí odčíáí lomeýh ýrů: 7 ± ± Násoeí lomeýh ýrů: Lomeé ýr se ásoí, že se ásoí čiel s čielem jmeoel se jmeoelem. IGMEN

15 Děleí lomeýh ýrů: Děli lomeé lom meá ásoi dělee řeráeo hodoo děliele (dělee/děliel odíl): d d d 7 7 [ ] IGMEN

16 . Moi odmoi MOCNINY rá K s r s r s r s r s r s r r r r r r r s r s r : ODMOCNINY m m s s m m ) ) ) 9 d) π π ) ) 7 9 ) 7 7 d d d d d d d d IGMEN

17 IGMEN

18 . Lieárí fe, lieárí roie LINEÁRNÍ FUNKCE Fe f defioá možiě moži M řiřdí ráě jedo. f... je fí M R je ridlo, eré ždém r Lieárí fe - fe ( směrie, úse), de jso reálá čísl, se ýá lieárí fe. Grfem lieárí fe je řím eo její čás (úseč, olořím). Grf fe - grfem fe f romíme moži šeh odů ; roiě. [ ] Vlsosi fe: defiičí oor...d(f)... moži šeh oor hodo...h(f)... moži šeh je o moži šeh, e erým eisje soň jedo defiičího oor sdos...f() f(-)... grf fe je soměrý odle os lihos...f() -f(-)... grf fe je soměrý odle očá sos sořdi rosoí... < f < f ( ) lesjíí... > f ( ) > f ( ) rosá... f ( ) f ( )...jýmoli děm eáleží oéž omeeos dol shor miimm mimm IGMEN

19 Zláší říd lieárí fe:,... grfem je os,... grfem je rooěž s oso - osí fe ( úse ose ),... grfem je řím roháejíí očáem římá úměros ( směrie řím) směrie gϕ ; D() f ; H() f ; i sdá, i lihá rosoí rosá, lihá lesjíí rosá -, - -, -,,, ,,,, - -, - -,-,,, -, -, -, - 7 IGMEN

20 Eileí úr: LINEÁRNÍ ROVNICE Lieárí roií o jedé eámé ýáme roii e r, de jso reálá čísl je eámá. řičeí eo odečeí sejého ýr oěm srám roie ásoeí eo děleí oo sr sejým eloým ýrem Řešeí lieáríh roi: ; roie má jedié řešeí ; roie má eoečě moho řešeí ; roie emá řešeí ( ) ( ), ( ) ( ) 7 7 roie emá řešeí IGMEN

21 ( ) ( ) ( ) ( ) roie emá řešeí 9 IGMEN

22 7. Lieárí roie s rmerem, s solí hodoo LINEÁRNÍ ROVNICE S PRMETREM Roie s rmerem oshje romě eámýh dlší roměé, erým se říá rmer. Je o áis moži šeh roi, eré le ís doseím šeh hodo, jihž moho rmer ý. Řešeí roi s rmer sočíá rčeí jejih ořeů áislosi řísýh hodoáh rmerů. Při řešeí lieárí roie s rmerem se roie osě rje áislosi hodoáh rmer. eámá; rmer ( )( ) ( )( ) P o/ ( ) P R P o / P ( ) ( ) IGMEN

23 loý od: LINEÁRNÍ ROVNICE S BSOLUTNÍ HODNOTOU ( ; ; ) ( ) ( ) P 9 { 9} P P P U P { 9;} 7 loé od: 7 7 ; ;7 7; ) P P U P U P 7 7 P ; ; 7 7 P { } 7 7 P IGMEN

24 . Sos lieáríh roi Meod řešeí: ) sčíí ) dosoí ) sroáí (omrčí) ) grfiá ROVNICE O NEZNÁMÝCH ) ) ) ( ) ) ( ) IGMEN

25 FROBENIOV VĚT mie sos rošířeá mie sos sos lieáríh roi (m roi o eámýh) homogeí ré sr šeh roi sos jso ro ehomogeí lesoň jed roie sos emá ro sr ro sos lieáríh roi má řešeí ráě ehd, jesliže hodos mie rošířeé se roá hodosi mie sos h h h h sos má jedié řešeí (riiálí) h h < sos má eoečě moho řešeí h h sos má jedié řešeí (Crmero meod) h h < sos má eoečě moho řešeí IGMEN

26 h h h h ehomogeí sos emá řešeí ) h h h h < homogeí sos má eoečě moho řešeí h h h h ehomogeí sos má řešeí IGMEN

27 Požíá se oe řídě roi o eámýh. mie sos D deermi mie sos D de sos emá řešeí CRMEROV METOD sos má ráě jedo řešeí [ ; ; ; K ], de: Di i D i { ;;; K} D ; D D ; D D ; K D D D D i deermi, erý ie deermi sos hreím i-ého sloe sloem rýh sr sos. i. roie o eámýh IGMEN

28 Meod řešeí: ) dosoí ) sčíí ) Crmero ) Gsso elimičí ROVNICE O NEZNÁMÝCH ) - ) 7 ( ) ( ) 9 (- ) (- ) IGMEN

29 ) D D D D D D 99 D D D 7 D ) IGMEN

30 9. Lieárí eroie, sos lieáríh eroi o jedé eámé Lieárí eroie je ždá eroie e r: > < LINEÁRNÍ NEROVNICE Eileí úr: řičeí eo odečeí sejého ýr oěm srám eroie ásoeí eo děleí oo sr sejým eloým ýrem (áorý ýr orí méo eroosi) Řešeí lieáríh eroi ierl 9 ( ) ( 9) ( ) ( ) ( ) P ( ; P R > 7 ( ) ( ) > 7( > 7 7 > 7 > ) emá řešeí IGMEN

31 Lieárí eroie sočioém r: ( )( ) 7 P ; P ; P 7 > 7 > 7 > ( ; ) 7 < 7 < 7 < P 7 ;- P P ; U ; P U P U P ;- ( ; ) 7 P U < < ( ) < < < < < > < > > < > < ( ; ) P ( ;) P U P ( ;) ( ) P U P ; 9 IGMEN

32 Lieárí eroie s solí hodoo: < 7 loý od: ( ; ; ) < 7 < 7 P P U P < P ( ; ( ;) < P ;) - loé od: - ( ; ; ; ) - P ( ; ( ; ) P U P U P U P ; P ; P ; ) IGMEN

33 SOUSTV LINEÁRNÍCH NEROVNIC O JEDNÉ NEZNÁMÉ ( ) ( ) > ( ) ( ) < ( ) > > > > P ; < < < < P P P > P P ( ; ) I P ( ; ) ; > 7 ; 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7( ) 7 P ; > > > 7 7 P 7 P > ; 7 ; P P I P ) I P > ; P P I P o/ IGMEN

34 . Mioý oče, oere s miemi, hodos, deermi ( m; ) M Mie (m;) je moži řádíh sloíh. m M m m re mie M m L L L M m m čísel sořádýh do odelíoého r o m ( ; ) mie (;) 7 7 TYPY MTIC Nloá mie - ždý její re je roe le L L ( m; ) M M M M L Čeroá mie -ého sě - má sejý oče řádů i sloů L L ( ) M M M L Digoálí mie - čeroá mie, erá má, romě digoál ( ( ) M M L L L M ), šeh r loé. IGMEN

35 Jedooá mie - digoálí mie, de šeh r digoál jso ro. E L M M M L L Trsoroá mie mii (m;) - je mie T (m;) měí se řád sloe o. T OPERCE S MTICEMI Roos mi: Mie [ ] [ ] ij m, ij m, B, jso si ro, jesliže ij ij. B, B Sčíáí odčíáí mi: ij ij ij C B ± ± B C B C B, IGMEN

36 Násoeí mi oso: Mie se ásoí číslem R, že se ímo číslem ásoí ždý čle mie. ; Násoeí mie mií: Mii můžeme ásoi oe mií, j. mie B má oli řádů, oli má mie sloů. Sočiem oýh do mi ( m; ) ) ( B ; B je mie C. m; 7 C 7 ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; B C - B ; - - Násoeí mi eí oeě omií - B B HODNOST MTICE Hodosí mie romíme mimálí oče lieárě áislýh řádů mie :. m h m; Lieárě áislé řád - jede řáde je ásoem drhého. IGMEN

37 Hodos mie se eměí, ři: áměě ořdí řádů ásoeí řád číslem růým od l řičeí eo odečeí řád jiém řád řidáí eo eháí řád, erý je ásoem řád jiého Reglárí siglárí mie: Čeroá mie se ýá reglárí, jesliže hodos -é mie je ro m, ji se ýá siglárí. Trojúhelíoý r mie: Říáme, že mie má rojúhelíoý r, jesliže ždý její eloý řáde číá ěším očem l, ež řáde ředháejíí. Má-li mie rojúhelíoý r, oče jejih eloýh řádů je roe hodosi mie. h h IGMEN

38 DETERMINNTY L Nehť je dá čeroá mie L ( ) M M M L Deermiem řád mie ýáme číslo D číme D de, eré defijeme o: je-li D je-li D je-li se D očíá Srrsoým ridlem je-li se D očíá omoí rooje odle lioolého řád či sloe Deermi. řád: Deermi. řád: Deermi. řád: D IGMEN

39 Deermi. řád: hodo deermi se eměí měěím řádů sloe jesliže deermi jede řáde oří smé l, roá se deermi le jesliže se deermi měí d řád, deermi měí mé jesliže má deermi d řád sejé, roá se deermi le je-li ěerý řáde deermi ásoem řád jiého, roá se deermi le ásoí-li se ěerý řáde deermi D reálým číslem růým od l, ie deermi D, ro erý lí D -D řiče-li se ěerém řád deermi ásoe jiého řád, deermi se eměí () () D 7 IGMEN

40 . Kdrié fe Kdrio fí se ýá ždá fe e r ;,,, R;....driý rojčle...driý čle...lieárí čle...solí čle Grf drié fe rol. Vrhol rol: V ; Průsečí rol s oso : Vlsosi fe:... áldí rol >... rol oeřeá hor <... rol oeřeá dolů... růsečí rol s oso V [ ;] V [ ;] ±, ± ±, ± ± ± IGMEN

41 Roie r r : Vlsosi fe: Pos rhol rol e směr os : >... hor <... dolů Pos rhol rol e směr os : r >... dole r <... dor - V - ( ) ( 9 9) ( 9) ( ) [ ;] 9 9 IGMEN

42 . Kdrié roie meod řešeí Kdriá roie o jedé eámé se ýá ždá roie, ero le eileími úrmi řeés r: ; ;,, R...driý rojčle...driý čle...lieárí čle...solí čle Neúlé drié roie: Re driá roie Řešeí: ± ( ) ± ± ( )( ) ( ) ± ± ( ) ( ) IGMEN

43 Kdriá roie e solího čle Řešeí: ( 9) ( - )( ) ( )( - )( ) ( )( - )( ) ( )( ) ( )( - ) ( 7 ) 7 7 (-) 7 Podmí ro lom: IGMEN

44 Úlá driá roie:,, Meod řešeí: ), ± ± D D... disrimi D > D D < řešeí (oře) řešeí (dojásoý oře) řešeí (omleě sdržeá čísl) ) q... ormlioý r ( ) q Roie emá ormlioý r: : ) grfiá meod: IGMEN

45 ) 9, ± ± ± ± ) : ) IGMEN

46 KVDRTICKÁ ROVNICE S BSOLUTNÍ HODNOTOU loé od:, ± ± ± ± ± ± ( ; ; ) ; 9, ± ± ± 9, ± ± ± hojíí oře (odle ierlů) o P / { } P {} P { } ;; P P P P U U IGMEN

47 . Kdrié eroie Meod řešeí: ) očeě ) grfi ) ( ) ( )( ) ( )( ) P ; ) P ( ; P P U P ( ; U ; ) ), ± ± ± >... rol oeřeá hor ( ; ) P U P U P ; IGMEN

48 KVDRTICKÉ NEROVNICE S BSOLUTNÍ HODNOTOU < loé od:, ± (- ) ( ) ± ± ± ( ; ; ; ) - <, < < ± 9 ± ± < <, < > ± ± 9 ± <, < < ± 9 ± ± hojíí oře (odle ierlů) ( ; ( ; ) o P I / I P ; (( ; ) U ( ; ) ) (; I P ; ) I ( ; ) ;) P P U P U P ( ;) IGMEN

49 . Irioálí roie Roie s eámo od odmoio. Pos řešeí:. odmí. řešeí (eí se odmoi). oš ( ) odmí: řešeí: ( ( ) ) ( ) ( ) 9 9, ± ± O ýsled hojí odmíe. ± ± oš: ( ) ( ) ( ) Zoše hoje oe jede ýslede. P {} 7 IGMEN

50 odmí: - - řešeí: , ± ± ± ± O ýsled hojí odmíe. oš: Zoše hoje oe jede ýslede. { } P IGMEN

51 řešeí: ± ± ± oš: NŘ 9 Zoše hoje oe jede ýslede. - P 9 IGMEN

52 . Shodá oreí osrčí úloh Shodé oreí (shodos) roiě je ždé oreí roiě, eré má lsos, že ro lioolé od,b éo roi jejih or, B lí, že: B B. Smodržý od od, erý se orí sám see ( ). Smodržý úr ždý úr, jehož or dém oreí je ýž úr. Klsifie shodosi: Idei Sředoá soměros Zoreí, e erém se ždý od orí sám see. Zoreí roiě, ěmž ždý její od X se omoí dého od S (sřed), ležíího éo roiě orí sůj or X o:. X S X S X. X S X je ooý od úseč XX, de od S je jejím sředem IGMEN

53 Osoá soměros Zoreí roiě, ěmž ždý její od X je omoí dé řím o (os) ležíí éo roiě ore sůj or X o:. X o X X. X o X je ooý od úseč XX, jejíž oso je řím o Posí (rsle) Je dá orieoá úseč B. Posí je shodé oreí, eré ždém X řiřdí X oé, že orieoé úseč XX B mjí sejo dél i směr (jso sohlsě orieoá). Oočeí (roe) Oočeí je shodé oreí, eré řiřje ždém od X S od X oý, že elios XS X S orieoý úhel XSX má elios ϕ. IGMEN

54 SHODNOST TROJÚHELNÍKU BC B C ě sss B B BC B C C C ě ss B B C C BC B C ě s B B BC B C BC B C ě Ss C C BC B C BC > C BC B C D rojúhelí jso shodé ráě ehd, dž se shodjí ě sss e šeh řeh sráh ě ss e do sráh úhl jimi seřeém ě s e srě úhleh í řilehlýh ě Ss e do sráh úhl roi ěší ih Kosrčí úloh:. roor. ois osre. osre IGMEN

55 . Podoá oreí osrčí úloh Podoosí ýáme ždé oreí roiě oé, že eisje reálé číslo >, že ro lioolé od,b dé roi jejih or, B lí: B B.... oměr odoosi... shodé oreí B B D geomerié úr jso odoé ráě ehd, dž eisje odoé oreí, ěmž jede úr je orem drhého. PODOBNOST TROJÚHELNÍKU BC ~ B C B BC C ě sss B B C C ě ss B B C C BC B C ě BC B C BC B C D rojúhelí jso odoé ráě ehd, dž se shodjí ě sss e šeh oměreh eliosí soě odoídjííh sr ě ss jedom úhl oměr eliosí soě odoídjííh sr ležííh jeho rmeeh ě e do úhleh 7 Je dá rojúhelí BC m; m; γ rojúhelí B C 7 m; m; γ. Jso o d rojúhelí odoé? Příld se řeší odle ě ss. γ γ Trojúhelí jso odoé. IGMEN

56 Je dá rojúhelí BC ( m; 7,m; m) rojúhelí B C (,mm;,7mm; 7,mm). Jso o d rojúhelí odoé? Příld se řeší odle ě sss., 7,7 7, Trojúhelí jso odoé. STEJNOLEHLOST Je dá od S reálé číslo λ. Sejolehlos se sředem S oefiieem λ je oreí, eré řiřje: ) X S X, že SX λ SX λ > X leží oloříme SX λ < X leží oloříme očé oloříme SX ) S X X X S H S;λ : X X H S;λ - : B B IGMEN

57 7. Phgoro Eleido ě osrčí úloh Plí oe roúhlém rojúhelí.,...oděs...řeo,...úse řeo EUKLEIDOV VĚT O VÝŠCE Osh čere sesrojeého d ýšo roúhlého rojúhelí je roe osh odélí sesrojeého oo úseů řeo. IGMEN

58 EUKLEIDOV VĚT O ODVĚSNĚ Osh čere sesrojeého d oděso roúhlého rojúhelí je roe osh odélí sesrojeého řeo úse řeo éo oděsě řilehlé. IGMEN

59 PYTHGOROV VĚT Osh čere sesrojeého d řeoo roúhlého rojúhelí se roá soč oshů čerů sesrojeýh d oěm oděsmi. 7 IGMEN

60 . Ood osh roiýh orů o... ood S... osh... úhloříč...ýš...sředí říč r...oloměr ržie osé ρ... oloměr ržie esé O r... sřed ržie osé O ρ... sřed ržie esé Trojúhelí růosrý Trojúhelí roúhlý o S S s s o ( s )( s )( s ) S siγ siα siβ Trojúhelí roormeý o S Trojúhelí roosrý o S o S IGMEN

61 Čere Odélí o Kosočere S ( ) S o Kosodélí o S siα o ( ) S siα Lihoěží Lihoěží roormeý o d S ( ) o S ( ) 9 IGMEN

62 Lihoěží roúhlý Růoěží Deloid o d S ( ) ( ) d růoěží: o d S deloid: o ( ) S ( ) Kržie Meirží o π r π d S π r ( r r )( r r S π ) Krhoá ýseč Pridelý ěiúhelí πr S α o S ρ IGMEN

63 Pridelý šesiúhelí Pridelý osmiúhelí o S r o S ρ Pridelý -úhelí o S oρ IGMEN

64 9. Polohoé merié h áldíh geomeriýh úrů rosor STEREOMETRIE Čás geomerie, erá se ýá sdiem geomeriýh úrů rosor. Záldí geomerié úr: Přím je rče děm růými od. Roi je rče řemi růými od eležíími jedé říme. Lioolá roi rodělje rosor d ájem očé olorosor je jejih hričí roio. Těles: Krhle Kádr Pridelý -oý hrol Hrol s odso ridelého - úhelí (ř. ádr s odso čere eo hrol s odso ridelého osmiúhelí). Kádr s odso čere Ročí ále Čřsě IGMEN

65 Jehl Ročí žel Komolý žel Komolý jehl Kole Záldí h mei od, římmi roimi:,... je iideí (leží ),... eí iideí (eleží ) POLOHOVÉ VZTHY ;q;r ρ B B q;r B ρ C ;q;r C ρ ;r ρ q ρ Přím leží roiě, leží-li roiě lesoň d její od. IGMEN

66 Urči sodí roi rhle. Pomoí odů: BC; BCD; CD; DB; BD; BC; CDB; DC Pomoí říme: B, CD; BC, D; B, BC; BC, CD; CD, D; D, B; B, BD; B, C; BC, C; BC, BD; CD, C; CD, DB; D, C; D, BD Pomoí řím od: B, C; B, D; BC, D; BC, ; CD, ; CD, B; D, B; D, C; C, B; C, D; BD, ; BD, C Vájemá oloh do říme: Rooěžé růé (B, GH) slýjíí (oožé; B, B) Růoěžé (CG, GH) Mimoěžé eleží jedé roiě emjí žádý solečý od (B, CG). Příč mimoěže řím, erá oě mimoěž roíá je ě olmá (BC). růoěžé (solečá roi EFG) mimoěžé růoěžé (solečá roi BCE) IGMEN

67 rooěžé (solečá roi BGX) mimoěžé Vájemá oloh do roi: O do růýh roiáh, eré mjí solečo řím říáme, že jso růoěžé o řím je jejih růsečie. Nemjí-li dě roi žádý solečý od, ýáme je rooěžé. Mjí-li roi šeh od solečé, ýáme je slýjíí (oožé). ρ BF;α BG;β CDG X ρ;s α;m β B růsečie roi ρ α GH růsečie α β ρ β rooěžé rs růi olorosor ρ β šíř (lošť) rs dáleos hričíh roi ρ β ( BC ) lí růi olorosor ρ α hr lí růsečie hričíh roi ρ α (B) Vájemá oloh řím roi: Rooěžé růé (EX, ρ) emjí žádý solečý od slýjíí (oožé; B, ρ) mjí šeh od solečé Růoěžé (EX, ρ) mjí solečý jediý od (růsečí; X) IGMEN

68 Urči šeh řím, eré roháejí odem H jso s roio BC: ) rooěžé rúé ) růoěžé ) HE, HF, HG ) H, HB, HC, HD Vájemá oloh ří roi: rooěžé rooěžé, řeí růoěžá růoěžé ( růsečie) růoěžé ( růsečie) růoěžé ( od) Rooěžos řím roi: Dým odem le és dé říme jedio rooěž. Kriérim rooěžos řím roi: ρ Přím je rooěžá s roio ρ, oshje-li roi ρ lesoň jed řím, erá je s římo rooěžá. Je-li řím rooěžá se děm růoěžými roimi, je rooěžá i s jejih růsečií. IGMEN

69 Rooěžos do roi: Kriérim rooěžosi do roi:, r ρ;,r σ Dě roi jso rooěžé, jesliže jed ih oshje dě růoěžé řím, eré jso rooěžé s drho roio. Dým odem le dé roiě és jedio roi s í rooěžo. ŘEZY Ře je růi ěles roi. Ře je roiý úr, jehož hrie oří růsečie roi ře sě ěles. Vlsosi ožíé ři osri řeů: M, N BE Leží-li d růé od ře roiě sě ěles, leží éo sěě i jejih sojie. Průi sojie sě je jedo sro ře. BE CDG;BCF DE;MN M N ;MM NN Jso-li roi do sě rooěžé řiom růoěžé s roio ře, jso růsečie roi ře s ěmio sěmi rooěžé. 7 IGMEN

70 Průsečie roi do sosedíh sě s roio ře řím íž leží solečá hr do sě se roíjí jediém odě. Sesroj ře BX. Sesroj ře BEM. Sesroj ře MNO IGMEN

71 PRŮSEČNICE ROVIN Sesroj růsečii roi FH CE. Sesroj růsečii roi BC MN. Odhl do říme: METRICKÉ VZTHY Odhl do růoěžýh říme je elios ždého osrýh úhlů eo rýh úhlů, eré řím sírjí. Odhl do rooěžýh říme je. Odhl do mimoěžýh říme je odhl růoěžýh říme edeýh lioolým odem rosor, rooěžě s dými mimoěžmi. ) odhl H E je ) odhl H C je ) odhl H CF ( DE CF ) je 9 d) odhl CF C je 9 IGMEN

72 Kolmos říme roi: Dě řím jso see olmé ráě dž je jejih odhl 9. Přím roi jso soě olmé ráě dž je řím olmá e děm římám roi. Kriérim olmosi řím roi: Je-li řím olmá e děm růoěžým římám roi, je olmá roiě. Kolmos do roi: Dě roi jso soě olmé ráě dž jed ih oshje řím olmo drhé roiě. Odhl do roi: Odhl do roi je odhl růseči s roio, erá je oěm roiám olmá. Urči odhl roi BC BCV ( B ; BC ; V 7 ). X je oloi D. Y je oloi BC. Vhodá olmá roi ro roložeí je XYV. Průsečie roi BC XYV je XY roi BCV XYV je YV. XY B BV Pomoí Phgoro ě se očíá dél YV: α 7 BC YV BV 9,, Pomoí osiso ě se očíá elios úhl α: XY osα, YV, (Výsled l orohle. Přesý ýslede je 7,.) 7 IGMEN

73 Odhl řím roi: Odhl řím roi je ejmeší odhle řím lioolé řím roi. Urči odhl řím BH roi BC ( B BC E ). Vhodá olmá roi ro roložeí je BDH. Průsečie roi BC BDH je řím BD. Odhl řím BH roi BC je ro odhle řím BH růsečie BD. Pomoí Phgoro ě se sočíá dél BD: BD BD BD Pomoí geo ě se sočíá úhel α: gα BD α, 7 IGMEN

74 . Porh ojem ěles S... orh V... ojem S... osh ods S l... osh lášě...úhloříč sě ěles...hloříč ěles...ýš ěles w... ýš sě ěles h... očí hr s... sr (ále eo žele) Kádr ods odélí Kádr ods čere ( ) V S Krhle S ( ) V Kolmý hrol S V S S S l V S Ročí ále Čřsě S πr V πr ( r ) πd d πd s S K BC S l K BV BCV CV S S S l S V 7 IGMEN

75 Jehl ods čere Jehl ods odélí S w V Ročí žel S w w V Komolý jehl ods čere S πr ( r s) πd d s πr πd V s r S S w S ( ) V ( ) S l w ( ) Ročí omolý žel, Komolý jehl S S S Sl V S S S S Komolý žel Kole S πr π V πr ( r r ) ( r r r r ) π s S πr V πr πd πd 7 IGMEN

76 . Goiomerié fe ORIENTOVNÝ ÚHEL Kldý úhel oáčí se roi směr hodioýh rčiče. Záorý úhel oáčí se o směr hodioýh rčiče. Záldí úhel (ϕ) je žd ldý úhel ýjíí hodo ;. sňoá mír ( )... ω ϕ ; ϕ ;, Z olooá mír (rd)... ω ϕ π; ϕ ;π, Z ϕ 9 ; ;ω? ω ω ϕ ω 9, ω ω ϕ ϕ - ϕ ϕ 7 IGMEN

77 DEFINICE GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ siα osα siα gα osα osα ogα siα Fe sis lioolého úhl α je sořdie růsečí ooého rmee úhl s jedooo ržií. Fe osis lioolého úhl α je sořdie růsečí ooého rmee úhl s jedooo ržií. Fe ges lioolého úhl α se ýá fe dá hem Fe oges lioolého úhl α se ýá fe dá hem siα gα. osα osα ogα. siα I II III IV π π ; ; ( ;9 ) ; π; ( 9 ; ) π; ( ;7 ) π;π; 7 ; si α - - os α - - g α - - og α - - π; 7 IGMEN

78 HODNOTY GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ ZÁKLDNÍCH ÚHLŮ POMOCÍ ÚHLU OSTRÉHO áldí úhel... osrý úhel... α ;9 ϕ ; II. dr α ϕ siϕ siα osϕ osα gϕ gα ogϕ ogα I. dr α ϕ siϕ siα osϕ osα gϕ gα ogϕ ogα III. dr α ϕ IV. dr α ϕ siϕ siα osϕ osα gϕ gα ogϕ ogα siϕ siα osϕ osα gϕ gα ogϕ ogα π/ π/ π/ 9 π/ si ϕ os ϕ g ϕ - og ϕ - si si II. dr ( 9) si si si I. dr g g IV. dr 7 g π g π III. dr os os II. dr og og II. dr 7 IGMEN

79 URČENÍ GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ LIBOVOLNÉHO ORIENTOVNÉHO ÚHLU lioolý orieoý úhel... ω áldí úhel... ϕ osrý úhel... α siω si osω os gω g ogω ( ϕ ) siϕ ( ϕ ) osϕ ( ϕ ) gϕ og( ϕ ) ogϕ 7 si π si π π si π si π 7 og π ogπ π og π os os os si( ) si( ( ) ) si( ) g7 g ( ) g g os os og og si os os si ( ) og( ) og si os ( os )( si ) 7 og π og7π π og π og π 77 IGMEN

80 fe si GRFY GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ fe os fe g 7 IGMEN

81 fe og VLSTNOSTI GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ si os g og D(f) R R-{π/π} R-{π} H(f) <-;> R sdos, lihos lihá sdá lihá eriodičos T π eriodiá T π eriodiá omeeos omeeá eomeeá rosoí lesjíí rosoí Z <-π/π; π/π> lesjíí Z <π/π; π/π> m. odě π/π mi. odě - -π/π loé od π rosoí Z <ππ; ππ> lesjíí Z <π; ππ> π - ππ π/π rosoí π eeisje Defiičí oor D(f) moži šeh, ro eré má dá fe smsl. Oor hodo H(f) moži šeh, ro eré má dá fe smsl. Sdá fe grf fe je soměrý odle os. f f ( ) ; D( f ) Lihá fe grf fe je soměrý odle očá. f f ; D f lesjíí π/π 79 IGMEN

82 ( ± ± ) d ± si ± HRMONICKÁ FUNKCE ±... rdlí grf olem os... oliňje mlid ±... rdlí grf olem os... oliňje eriod ± ±... os grf o ose (os se jisí oroáím áor s ) ±d... os grf o ose os IGMEN

83 . Řešeí roúhlého rojúhelí,...oděs...řeo,...úse řeo Při řešeí roúhlého rojúhelí se žíá Phgoro ě, Eleido ě, goiomeriá jedič goiomerié fe osrého úhl (i ém 7, ). Phgoro ě... Eleido ě o ýše... Eleido ě o oděsě... Goiomeriá jedič... si ; os Goiomerié fe osrého úhl lýjíí roúhlého rojúhelí: siα ; osα ; gα ; ogα siβ ; osβ ; gβ ; ogβ Oeé h ro úhl roúhlém rojúhelí: γ 9 α β 9 α β γ Jé jso dél ýjííh sr eliosi ýjííh iříh úhlů roúhlém rojúhelí, je-li dáo: m;α 7 γ 9 α β 9 β 9 α siα siα si7,7m,7,,,m Silie soá rooměrě o m m. Jý je úhel jejího soáí? m siα, α m IGMEN

84 . Úr ýrů s goiomerio fí žiím orů Goiomeriá jedič... si Záldí ore: g og si os os si og og Sočoé ore: si si os si os si os os ( ) si os si os ( ) os os si si ( ) os os si si os Vore ro dojásoý oloičí úhel: si si os os os si si os os os Vore ro soče rodíl goiomeriýh fí: si si si os si si os si os os os os os os si si IGMEN

85 Jo hodo mjí osí goiomerié fe, je-li dáo: π;π. dr os ; π;π si os si ± g og si os g / / os 9 g Zjedodši ýr: g si si g si os os os g si os si os os si os os os si os si os si os os os si os os ( os ) Dů: si( ) si( ) si si ; R si ( ) si( ) ( si os si os) ( si os si os) si os si si os os si si os os si os si os si os si ( si ) si ( si ) si si si si si si si si π π Zjedodši ýr: si si π π π si si si os si os π si os si os π si π π os si os π π si os si os π π si os si9 si( ) si( ) si os si ( os ) si si IGMEN

86 Dů: R ; si si si si si si si si si si si si os si si os si os si si os si os os si os si os si si si Dů: R os; os os os os os os os os os os os os os os os si os si os si os si os si os si si os os os os os si os 9 si 7 os 7 si si si7 IGMEN

87 . Goiomerié roie. - goiomerié roii se sje jediá goiomeriá fe.. - goiomerié roii se sje íe goiomeriýh fí éhož rgme.. - goiomerié roii se sje íe goiomeriýh fí růýh rgmeů eo jed goiomeriá fe s růými rgme. Goiomerié roie. : si si si si si si si si si odmí: si si os( ) ( ) os os fe osis je áorá e II. III. dr : 9 : IGMEN

88 os os os, ± ± ± ± ± emá smsl os os Goiomerié roie. : si si si si si si si si os, ± ± ± ± ± si 99 9 si g os si os si os si odmí: 9 os IGMEN

89 si si si os si os si si si g si os si si ( si os ) ( si os ) ( si ) si si si si 7 IGMEN

90 Goiomerié roie. - seiálí říd: 9 os si ) roie se řeede oloičí úhel si os os si 9os 9si si os os si 9os 9si si os os si os si 9 si os os si 9 os si ) roie se řeede fi ges g g g - g g g g os si os si os si os os os os si os : si os os si, ± ± ± g 7 7 g IGMEN

91 Goiomerié roie. : si os si si os si si ( os) si( ) si( 7 ) ( ) os( ) ( ) os( ) ( ) si( ) ( ) 9 si si os 9 si os si si si os os 9 IGMEN

92 . Řešeí oeého rojúhelí SINOV VĚT Nehť BC je rojúhelí, jehož iří úhl mjí eliosi α, β, γ sr dél,,, lí: siα siβ siλ : : siα ; siβ siα ; siγ Užií sio ě: siα : siβ : siγ siβ siγ ss Poměr dél sr hodo si roilehlého úhl je rojúhelí osí. sr úhel s sr úhl m;α ; γ α β γ β siα siβ siγ siβ siα siβ siγ siβ ( α β) ( ) si,m si si,m si 7 9 IGMEN

93 ; ; α 7 siα siβ siβ siα si7,7 β 9 7 fe sis je sdá I. II.dr β γ β γ 9 7 siα siγ siα siγ ( α β ) 9 ( α β ) siγ si9 9, siα si7 9 7 siγ siα si 7, si7 KOSINOV VĚT Nehť BC je rojúhelí, jehož iří úhl mjí eliosi α, β, γ sr dél,,, lí: osα osβ osγ Užií osio ě: sss sr ss sr úhel jimi seřeý 9 IGMEN

94 γ α β γ β α 9 7 α,9,,97,, osα osα, os os osγ osγ γ ; ; γ α β λ β α 7 α, 9,7 7 7,9, 7,,9 7,,9 osα osα 7 γ, 7, 7,9, 7,9 7,,9 osγ osλ 7,,9; ; 9 IGMEN

95 . Komleí číslo ojem, lgeriý r, oere Komleím číslem ýáme sořádo dojii reálýh čísel,, de je reálá čás je imgiárí čás omleího čísl. LGEBRICKÝ TVR KOMPLEXNÍHO ČÍSL i... reálí čás omleího čísl... imgiárí čás omleího čísl i i... imgiárí jedo Reálé číslo je omleí číslo, eré má imgiárí čás ro le. Re imgiárí číslo je omleí číslo, eré má reálo čás ro le. Moi imgiárí jedo: i i i i i i i i i i i i i i Oere s omleími čísl: roos i di d soče ( i) ( di) ( ) ( d) i rodíl ( i) ( di) ( ) ( d) i i di di i soči odíl i di di d i... omleí číslo i... očé číslo čísl i... omleě sdržeé číslo čísl Komleí čísl se dělí rošířeím lom omleě sdržeým číslem e jmeoeli. i; i i i i i i 9 i i 9 i i i ( i) ( i) i i i i i i i{ i i - 9 IGMEN

96 i i i i i i i i i i i i i i i i i B B GEOMETRICKÝ MODEL KOMPLEXNÍCH ČÍSEL Kždé omleí číslo le ori jo eor Gssoě roiě. Sčíáí omleíh čísel odoídá sčíáí eorů, odčíáí omleíh čísel odčíáí eorů. 9 IGMEN

97 BSOLUTNÍ HODNOT KOMPLEXNÍHO ČÍSL Geomeriý ým solí hodo omleího čísl: Vdáleos or omleího čísl od očá Gssoě roiě. Komleí jedo omleí číslo, jehož solí hodo se roá jedé. i ( ) ( i) i i i ( ) 9 i i 9 7i 7i i 7i i i i i i i i 7i i i i i 7 i 7 7 i 7 i 9 IGMEN

98 ZOBRZOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL V GUSSOVĚ ROVINĚ 9 IGMEN

99 97 IGMEN

100 7. Komleí číslo goiomeriý eoeiálí r, oere GONIOMETRICKÝ TVR KOMPLEXNÍHO ČÍSL ( osϕ i ϕ) si...solí hodo omleího čísl ϕ...rgme omleího čísl ; i osϕ siϕ osϕ siϕ i i osϕ ϕ siϕ sis i osis jso ldé, ož meá, že se jedá o. dr ϕ osϕ ϕ siϕ jedá se o. dr, eoť je sis áorý osis ldý ϕ ( os i ) si ( os i ) si Oere s omleími čísl goiomeriém r: ( osα i siα) ( osβ i siβ) soči ( os( α β) i si( α β) ) odíl ( os( α β) i si( α β) ) 9 IGMEN

101 π si i π os π si i π os π π si i π π os π π si i π π os π si i π os π si i π os π π si i π π os π π si i π π os π si i π os π si i π os EXPONENCIÁLNÍ TVR KOMPLEXNÍHO ČÍSL ϕ i e...solí hodo omleího čísl e...eleroo číslo,7 e ϕ...rgme omleího čísl (žd rdiáeh ;π ) 99 IGMEN

102 i i si si os os si si os os π e π si i π os π i ϕ ϕ ϕ ϕ Oere s omleími čísl goiomeriém r: iβ iα e e soči β α i e odíl β α i e π i π i π π i π π i π i π i π π i π π i π i π i e e e e e e e e e e IGMEN

103 . Moireo ě, iomié roie MOIVREOV VĚT Pro šeh řiroeá čísl ro lioolé reálé číslo ϕ lí: osϕ i siϕ os ϕ i si ϕ. Pro šeh řiroeá čísl ro šeh omleí čísl e r ( osϕ i siϕ) lí: ( osϕ i siϕ) [ ] os( ϕ) i si( ϕ). π π os i si π π os i si 7 π os i si π π os 7π 7π os i si i si π os π π π os i si i i { π i si π os i si π π úhel se háí e. dr, ož meá, že áldím úhl de osis áorý sis ldý π π os i si i { Pos řešeí: BINOMICKÉ ROVNICE se ýá omleí číslo, ro eré lí, že. Roie se ýá iomiá roie, de je ždý oře iomié roie. ) ) omleí čísl se jádří goiomeriém r [ ( os i si) ] ( osα i siα) ) moi odle Moireo ě ( os i si ) ( osα i siα) ) oro omleí čísl oo sráh α π α π ) sáí šeh ořeů goiomeriém r ) or šeh ořeů iomié roie leží ržii se sředem očá oloměrem r oří rhol ridelého -úhelí IGMEN

104 i ) i i ) ( ) osα siα. dr α [ ( os i si) ] ( os i si ) ) ( os i si) ( os i si ) ) 9 ) ( os i si ) ( os i si ) ( os i si ) ( os i si ) ) IGMEN

105 9. Lieárí lomeá fe LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE Lieárí lomeá fe je ždá fe e r:,,,d R; ;d., de d Grf fe...rooosá herol, jež má sřed odě Záldí grf: d ; > D( f ) R { } H() f R {} lihá lesjíí rosá eomeeá i mimm, i miimm < D( f ) R { } H() f R {} lihá rosoí rosá eomeeá i mimm, i miimm Pos řešeí: ) ýr, erým je fe rče se odělí (děleí mohočle mohočleem, i ém číslo ) d ) ie ýr, de dáá áldí grf fe, je os o ose roie jde os o ose ) grf fe IGMEN

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů:

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů: Algeicé ýz Výz = ždý zápis, eý je spáě oře podle zásd o zápisech čísel, poěých, ýsledů opecí, hodo fcí. Npř. π,,... Výz číselé s poěo Výzo spi oří loeé ýz s ezáo e jeoeli ( sí ý ede podí, ýz á ssl poze

Více

1.2 KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY Obecný kvantifikátor ( ): V každém, Pro každé např. 2 2. Existenční kvantifikátor ( ): Existuje např. x

1.2 KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY Obecný kvantifikátor ( ): V každém, Pro každé např. 2 2. Existenční kvantifikátor ( ): Existuje např. x MTEMTIK OBSH: ZÁKLDNÍ POZNTKY Z MTEMTICKÉ LOGIKY TEORIE MNOŽIN... MTEMTICKÉ DŮKZY... MOCNINY ODMOCNINY MOCNINNÉ FUNKCE... ÚPRVY LGEBRICKÝCH VÝRZŮ... 5 FUNKCE JEJICH ZÁKLDNÍ VLSTNOSTI... LINEÁRNÍ KVDRTICKÉ

Více

ď ň Á Ř Č É ř ě ř Ú Č č ě Ž ě ř ě ň ň ř ů ň Ž ě ň š Ň ě ř ř ř č Ž Ž č ř ř ň Ž ň ň ž Í ě š ř ř Č ř š Í ř Ž ó ř ě ů ž ň ř Č ě ř ř Í č ň ů č ř Í ů ů ě ň ů ů ě ň Á Á ů ů ě ň č Ž č ň ů č Ž ň ú Ž ň Ň ň Ž č š

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

í í ž á ů č ř í Íý ú ě é íč ě áčě ěř Í á ě čč áď ě á ý ý ěš é ú ě í é š ě í ž ří ě é šá ě ý á ě á é á ě é č Í í ě á ě ě é š Í á á Í Í ž á í á š š řě ě ř á Ž ě Í í í čí š á š ě ý ží č á ě í í š ě í ý á

Více

ůř Í ý Í Ť ý Á Ž Í Á ť Í ť ý ť Ť ě č ě Š ř ú ý š Č ř č ď ř Á Í Í ě ě ř ó ě č ř č ě ř š ě Á Í č ě Í Í Č É ě Š Í Č ě Í ě ů ů ů Č ý ú Ž ří Á Ý Í Á ÍČ ŽÍ Ý Ů ě č ě ě ě ř ě ě ó ž ž ě ýš ě ě ó ě ř ú ě ďý ě Ú

Více

Í é É í ó ž á ó ý Ž á á ó ý í š ú Ó ř Ýí č ý Ó ř Ú í Ť ř č Ó ý Č ý Ó Ó ý ě Ž á Ž Ú ř Ž š á ýě š ě š š í í ě š ř ě š Ó ě úč ě š ě é óř ř Ó Ř Ó ý ř ý Ó ú Ó ý í éř ř ř é řč ň šé á é ěřé ý Ó Ó ý Ó ří é š á

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

é ď ě č á říš ýž í ě š ří á ě á í š í é é ě ě Í ě č á ž Ř ř ěž í ý ř ďů ň č ý íč ý Žíš ý áž ž é é Í áž á ů Žíš ÍČ ĚŘÍŽ ý á ý á č é é í úř Í ář é Ž é š í í ř ě ž ř á í ě í ů ž á í ě ň ů ě ý á á ř í ř ž

Více

ý Ť Ú ř ť š ě é ě é ě ě ř ž ý ř ý ý š ý á ý ě Í š ť Ú ř ě Ó Ž ý ý ě ě ř ř Ó Ó ů ř ě ů ř ě č č Ó é ř č Í ě Í ř ř ě Ó č ě Ó Ó Ž é č ř ý ě é Ó Ó š ů Í Ž ř Ž é ý Ž é ě Ž é ř š ě ý Ó ě Ó é Ž é řó Ž Ý ě ě ěž

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Ť č č ó ó č č č ý č ď ý ď š ě ý ň ě ý ú Ó ý ě č ě č Š ě Ž ý ý ě č č Ú č ý Č ě ě Š ř ěťž ě č É ť Č č ř Ž ě š č č ě ě ú č ó ó č č ů ě ř ě š Ž š ě Ž č š ď č ěž ž č ň š ň ň ř č ň č ý š ě ý Č Ó č É Á Ý Š č

Více

Ý Á Ř é á ší ě ý ů á é ří á í á í í ěří ř á á í á ř č áš ý ý é á í Š ší é ů ř č ý ří Ž ě ý í á ý ó é č ý ý ó ý á í š čá í á Ž é á í Ž á í Í š ě ší ě ž í ě ě ě éř é žř č ó žč ě ěř ž á í ě é óž ý é ř í é

Více

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal Oecá chee J Sedláče rolv Šěpáe Per Šel Sechoercé výpoč Aoové ádro 3 Eleroový ol ou 4 Checá v 5 Opcé vlo láe 6 Speroope 7 Supeé v láe 8. vě erod: erochee 9. vě erod: rér rovováh 0 Checé rovováh Fáové rovováh

Více

čí ř ý č ř ě č ů ý ý ů Ž Í íř é Ž ý ř Ž ž é ě ů ý č Ž Ž Š ě č Ž č ý ěď Ž ž ě ť Í ř ů ř Ť ří ž ř ř š č ř í í ň í Č ě é ř š í ů é í Ž ů í ů č š ř í ě é í í é ž é ě í í ě ž ů í č é ří ž ý é č í ží ž í é ž

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Přehled vzorců z matematiky

Přehled vzorců z matematiky ) Výz: Přehled vzoů z tetik ( + ) + + ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + + + ( ) + ( ) ( ) + + + ( ) ( ) + + ) Moi:....... s + s (. ). s ( ) s s.s ) Odoi: ( ).p... p ( ). 4) Kvdtiká ovie: 5) Kopleí čísl: + + 0 kde

Více

é á í ů ů ů ů ž š áž š í ě ě ěž Ž ěž é ě č ě Ří í ří ý á ď ě Í Ý ó í řá á í é í é é ň č č á ň í é ý á ř ě č á ě š ř á é ďá ř ř á ý š á í ý ří ý Ž ď ř ě ý ů ží ě ú ě ú ů ř í Íá í í ú é í š ř ě ř ě á ř úř

Více

Ú š šť ž Č Č Č Ž ž š š ž ž š š ď ď Č š š ž š š š Ú š š š š ď š š ď ž š š ď š ů ď ď š Í Ž ů ů ů ů ů š š Ú Í Í ť š š š š ž ů š š š š Ž ž ďš š š Íš Ž š Č š ž Ý ď š Ž š ď ť ž É š š Í š Ž š Č ž ď š Ň ž š óó

Více

á š Ý á ČŠ á ř á á ř š á ř šš é é á á š ý á ě š ř ů á á ě ě š ř ů á ř Íé á ě ě ě Íý á ů ě ě š Ť ů á á ř é á řá á ý ř á š ř á š ř ě á Ř ň ř ř ž é š ř ě ř á ž áí ř ů á ý š á š ý ř ř ý ó ó á ř š Í á ř ď šš

Více

Č Á ý á é í í é ú á ě ž é ř á Ž ě é ř š é ž ý ří ý ž ě ň ě í ř ř í ž ý á ů á é í é í ů ě ě í ž é ů í ěž éú í ú ě ž ů á ě Ž řú ň ň áž ž ě é ě ř éů é í í ž ů ř í í é é í ř é í í í ů í í ř í ž á é Ž Ť é ú

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Ř í č ň é á Í ů é ž é ú ý ř čá í ý í é ý ů í í ů á é č ý ý š ý ý ř í é ž š ý ý ž ý ý ů ý á Ž č š č ý č ř é ž é ší ý ý ř ý ý é ř é ř Ž í ě š ě í á í Ž ý č á ů ř ý š ý á é ý í ř ů ří é á á ů á ů á ů á ý

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1

14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok

Více

Š Ř Á Á Á Á Ě ď Šř Ů É Č Á Š Ú ů š é ř ý š ý é ý é ýř š š é ř š š šš ů ů ř ří ý ý š ý é Č Á ř Ž ř š ů š Ž é é ř Ž Ž Ů ř š ů ů Ž š š ř ř é ř ů š š ý ď ý é ř ř ý Í Ž ů ř š é š é Ž š ý š š Ž ř ý š Ž ř é ž

Více

ó Á Í ý ý š š ť š š š Ú Ý ř Ž š ř Í ř ř ě ř ě ě ř ě ř ř ň ř Š ř Í ť ú ýž ě š ý ů ú ňě Óř ú š ó É ýž ř ý ť ď ýý ť ř ěř ř ř ž ě ř ě ě ě ř š ž ý Ž ů Ž ě Ž Í Ó ů ř ž ů ě ě ů ř ě ř Í ě ř ý ř ý ž ý ě ž ž Éš

Více

Á Ú š ě ý ň šť ž ě Ž ý ě ě ť ý š ě š Í Í ý Í ě ž ý ž š ý Í ý ý š ď š š ž š š š ě ý š ě š š Í š ň ď š ě ě Í š ě Í ď š ě ý ž š ě ý ý ý ě ů ů ů ý ě ů ž ý ě ě ý ů ý ů ý ý Í š š ě ů š ě ě š ě Ú š ě ýš ě ě ý

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

ší č í á í ě ř ě ě š Í á í á ě š á á ř č é é ě é é é íí í ě í ý í áž í ž Í ť ě ý ě ě á í ý ů í ří éň ří é á Ó ž é í ž é ůž ý ě é é Ž é ř č ú ů ě ě š áš í í ř í ří í ó ý ý ů ý ů í č í Í ý í ý ý ů í á é

Více

é ž ý ížá é čí š ž é š Ó š ť š é é í í í í í ď ž ž ú á č áč č ř á ťá íč ý š ý š í š š ž š ř ý ó š č éž áž ž á á á šříš á š ř š é ú á ž ý š ý ř š í é í áč š í ú ú í š š č é š é ó é ž ž šš š ř ů é ř ř ř

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

š ř Č šť ň ř ž Č Č ř ž š š ď Č Č ť ř ř ž ř ř ž š ř ř ř ř š ř ď š ř š ř ž š š ř š š š š š ď š ď š š ř š ř Ž Á š ř ž ř ů š ř ů ř Ú ř Ú ů ů ň ř ů š ř š Ú ř š ď š š š š ůž ř ň ř ň š š š Č Ú š ž ř ž ř ř š š

Více

Ě Ý Í Č í ě ří í š í ý Ž ý ů ý í Ž Š Í Ř Ú Žď ý ů Ž ř ý č í ří ří š ú í š ý ř í ý ý ů Ží ď ě Ž č ů í í ř ě š í Ž ý ří š ě ý í í ů ě óř ě í ó Ž Ž ý ů ó Žď ý ů ě ý ď ě ř ší í íč ěř Ž í ší č ý ší ř í ě ů

Více

é é ř ý ě ž š é ž ě ť Ť ť Í ě Ď Ť Š Á Í Č ř Š ě Č ďě ě é é ě é é ů ý ý ů ň ě é ýů ě š é ě é ů ž ú šť ů ů ě ř ž é úř ý š ě é é ě ů é ý ř ň é ú ř ř é ů ý ů ě ůž ý ď ú ý ů é ř ž ž ý ě é ý ř ú ě é ú ě š ě

Více

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi.

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi. Tento dokument je obsahově identický s oficiáln tištěnou verz. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném přpadě nenahrazuje tištěnou verzi. á Í Ý Í Í ů ýš ž ž ž ý á Č á č ě úč ář č Tento dokument je

Více

é Í č Š Í ě í ě š í í í š í ří ří í ě č ý š š í í ě ÍÍí í ž š ó í ž ý é í Í Í Ž ý ř Í š í é Í í č éč é í ř Í čí š é é é ů í é ý ť Í Í š í říž ý ý Í Ž ě é ě íž ň ž éš ší š í í ŽÍ ě é š í é í í š ř é é ř

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06.

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06. VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ ODMÍNKY č CTS..r.., IČ: 272 10 651 : Brc, N Vý 370, SČ 293 06 (á VO ) 1. Vý jů M 1 1.1. y j bch č C S..r.., rc, ý37,s 293 06, IČ: 72 0 51, á ch rjř é ě ý r,, 1 4718. y j á ě ěč Č h čh

Více

í á á é é á š é ě é á č Í Í á á ě ě íč Í Íá Í é ř á ů ů í ě é ě Í í é í ě í í ř Ž ě é Í í Ž Á É Ř Í ů é é ř č č éé ř í í í č í č š ě í í č é ř é ř í ě í ř ší í é Ž é ě š č í ř á ý ů í é í é ě é í ž č ý

Více

ý á ó íž á ýř č Č á ě č ř ú é ě é é ó ý ž ý ďúč ý á ě ý ž í ó ě ě š á áš í ý í ř á é á š á ó ě čí č ě á í ž á á Ž š á ě ž ř á č é š ě é ě ř ř š ší É š ěž ý ří ý ř š ý š ý ěý š ý ý ý ž č ř č ó ř ě í ř í

Více

š ů Á Ě Ž Í Ř Í ě ř ě ř Ž š š ě ě úť š Č ě Ř ÁŠ ě ž ř ě ě ř š úř ě ě ě ů ě ě š ř ů ě ř š úř ř ě ďě š ř ů ů úř ú ř ě ř ž ď ě Č ě ě š Č ě ě ě ú ě ě ě ě ú ě ě ú ě ě ú ě ě ú ě ě ě ě ú ě ě ú ě ě ě ě ě ě Í ú

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

OBSAH 1 Důležité pokyny a upozornění týkající 5 Používání varné desky se bezpečnosti a životního prostředí 6 Obsluha trouby 2 Obecné informace

OBSAH 1 Důležité pokyny a upozornění týkající 5 Používání varné desky se bezpečnosti a životního prostředí 6 Obsluha trouby 2 Obecné informace T r o u b a C S M 6 9 3 0 0 G P r o s í m, 2 t U t e n e j p r v e t e n t o n á v o d C h e r c l i e n t, D U k u j e m e z a v ý b U r p r o d u k t u B e k o D o u f á m e, ž e s t í m t o p r o d

Více

Ú č ší ž čá ů í í č í á á ší á š í ž š ž žá éž é á š ý ší ř ě čá š í ě í í á í š šíč á ř í é ý ž í í í á ž ří ě ž ýč ýč ě á ě ý á í íš ž ř í á ší á í ě é ů ě í ší é í í š šíí ě é ž Š í ý č ý ý ě é ří š

Více

Í ř Á ě ř é ř š ř ř ž ď ě Š ž ř ř ý ř ř é ř ě ě Ú ř žž ř ší ě š š šš š Ť š š ř Ú ě ý ě É Í Í š ř ý ř ý ž š ěš é é šš š ě ř ů ý š š ě é ř ě é ě ě ž ý é é ý ě ěř ý ěř ž ě ž ž ý ě ř ě é é é š ř ž šš ě š ř

Více

Ť ě ý úř ý š úř é á ý š ě Ú ý Č Ú ý ý š ě Í á ě á úř á á Í Í ě ý úř ý š úř úř ř š ý á č ú á á řá á ě ě š ř ů á á ě žá á č é ú é č ě ř é ý Í ř ý ě é é č á ů á ů á ů ú š á á áš č ě š ú ě ú á ú ř řá ě ě š

Více

š ř ý é č ú ý ř Ó ó ř í ř ě Ž á Í á ší á é ý ě á ň ě ý í ř ě á á í ŘÍ Í Á Ž É Ř É ŘÍŠ ěž á á ě ě ů š ž á í ž ž ě ř č é á ě í ř ž ý í ášé ú ý íž š é í š á ů é é ř é ří ř ž ý á ž ý á é í ý ě á é ž é éž ě

Více

ď Ě Ý ÚŘ Í ú ž š ě á ř Ť á ě ý úř ú ž á úř ě ř ř ě ý ú ý ř š ý é ě é ě á á á ě ú á á řá á á é žá á é ě ě á ř ř á é ě ý úř ý úř ě ř á éžá ř ý ů ř ž á á áš á ě ě á á ě řá á áš á á Í ý ě ě Č Í ú Š á ě é ý

Více

ů š š Č Ě Í ř ě á ě ý š é ž ý é ú ů é á ě č ě š é Ž ý ý ť č š ý Ž á ě é š ě ě á ř é é ó ó Í Ďá é ý á Ž é é Í Ž á ř á á ť á Í é ř é é ř é á Í Í ř ó é Ó ř č é č ě č č é ě éť ř Í Í á Í á ř á á É š Í š ř á

Více

Š ŘÁ É É Š ŘÁ É É Ú š ř ř ř ř ý š ě ě ě š ů ý š ě ě š ř ů ý ň ě ě ý ěř ě ů ý ý ě ů ě ě ý ř ě ů ý ř ý ů ý ř ř š ů ř ř ě š ř ě š ů š ř ý ě š ř ý ř ů ř ř ůž ě ě ů ř ě ř ř ě ř Žš ů ř š ů ř ý ý Ž ě ý ř ř Ž

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Ť Ú Ž Ý Ý ě ě ě ý ů ě ů ů ě ů ů ř č ě č ď č ň ý š ě ž ř ě ý ě š ř š ž ý ý š š ý ě Ú ř ž ď ě ř ž ý ř š ý ČČ Č č ý ČČ Č Č Č Č ý Č Č Č Č Č Č Č ý č Ř š ř č ě ě Á ž Ž ě ě ě Šý ě ž ř ě ů č ž ě š š ý č ý ČČ

Více

ý á ř é é č ř á ě Č é á ž é é čě á í é čě říš ý á é á á číš ě ú ú á á ý ýš í Ž čě é č é á í áš ýš ý ř ř á ě ě é ž í á š ě č ž é ú š ě úž é í ě á á ý ó í ýš ďé ěě řá říš ý á ó š žá š ý ř ú ř ú á š í ě ď

Více

Ó Ť Ý š ř š ř ě ě šť ě ť ó Ú š š ý ž ý ž ý ž ý ž ž ý ý ě ý ý ý ý ě š ý ý ť ě Ť ý ů ů ř ě ž ž ý É Í É Ě É ž É Ý Ě Ý ó ď ď ť ř ů ž ž ě ž ř ž ž ž ě ě ý ě ř ž š ž ž ýš ř ý ž ý ó ýš ýš ž óž ě ě ě ý ú ž ž ž

Více

Ě í ě ýúř é ý á ě Í Í é ř í Í Ý ň ůř Ží á í í ř ř á á ě áúř ř ý ě é úř é íúř ří š ý í á ú á á řá é ě á íá íúř ě ří š ý í á Íá řá í é ě í á á řáí é ú í í ř ř žá ř é é í é á ě é é é í á Íú í í ě í ě é ří

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

ů ý É Á Á č ý ěž ě š š ě ěč ě š č š š ý ůž šť ě ě š ě č ž ž ě šť ů ž ý ř ó ó ř š ě ž ě š ě ř žň šť ě Íš ž ě ý žó Í ř šť žď ó ž ó ř ě ě ó ž žň ž ó šť ň š ž ř ř ó č ě ý ý ů ř Ů Í ý ž ž ó ř š ř ž ř ř š ž

Více

Ě Ý Ě í í é ě í ý š ě í Ó Č Á Ě Ý ÚČ é í ě í ý řé Ů í ě ř č ý ú í č ů ě í ý ř ú ý š ě Í í ť í Í č í Ěš í éří Ú é ě í ří ů ý ů Ž č é Ž é ý š ě é ý Ů Í č ú ř é é é Ž ě Ťý š ě í í Ž Č č ě řú Ů ý ů ň é ř

Více

Č Á ý é í íč í é ě Ž é ř Ž ří í í ě é ř š é ž ý ří Í í í ď ý Ž ě ě í ž é ř ě š é č Ž š ý ě é č Ž é ě š í ý é č Ž ý č é é ú ř ě Ž š é š ú ů ě Ž ů Ž ú ů ř é é ě č ě í Ž é ů í ěž é ú ď í é š í ů ř í ž í é

Více

Í Č Ý ě ě ř é š Š š ó Í ř ř š š Í ř ř ý ř é ř ě ě Ú ř ž ž ř š Í ě š Šť ý ž Ť ěž š ř ř š ř ú ě ú ý ě Í Á Á Í Ý Ě ŠÁ Ř Ě ŘÍ Á ÚĚ Č Ě Ů Á Á Č Ě Š Ě É Á Á Ř Ě ÁŽ ÚČ Ě ÁŘŮ Ě Š Ř Ř úš ř ř š Í Í Í ř é ř š é ý

Více

á ř é á ů ň Š á Š ě Š ř ř á á á á Ť é á ů á Ť ř é ě š ř ý ů áš á ř é á á á é ř á ř á ú á é á á ú á é á ú á é ý ů á ý ů á ú á ú é ř ě é ř á ý ě á ř á ý ůě é ř á ť é á ě á á ú é á á ě ě ů á á Š Ť á ěř á

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

ž ý é Ú ž ý é č ř ř Í ý é ú ř ž ý é ý ž é ř ů ý ý é ž ý é č š ý é é ř é é ž é ě č ř ý é ů é č é ůč č ř š ý ř é č é ě ý ě ě ě š é č ě ž š ů Í š č é ý ě Š č é ě č é ě ě š ť ř ě ů ý ř ý ů ě ý ý ř ě ů éč š

Více

Sbírka obrazů Galerie Klatovy / Klenová v letech 1963-1989

Sbírka obrazů Galerie Klatovy / Klenová v letech 1963-1989 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI FILOZOFICKÁ FAKULTA KATEDRA DĚJIN UMĚNÍ OBOR: DĚJINY VÝTVARNÝCH UMĚNÍ Sbírka obrazů Galerie Klatovy / Klenová v letech 1963-1989 BAKALÁŘSKÁ DIPLOMOVÁ PRÁCE Veronika Bártová

Více

ą ý ú ý ý ýš Á é š ě é ž ř é é é é ý ú ý ý š ř é é é ě ř ě ů ý é é ý Ž é ř ý Í é ů ů ř ěž é ů š ě ě é š é š é é ř ž Č Č é ř é ě Ę ě ý é š ř é ě ě š ř ů é ě é ę ę ý ý ř ě ř ř é ř ý ů ě ě ě ě ě š ě ě ý ý

Více

ů ů ů ď č ř ě š ž ď ž ř ž ř ě ů ě ů ř ř ě ě č ž ž š ž ž ř Ú ř ř ě č ž ď ž ú ů ů ú ž ě ř ě ě ř ě ě Ž ě ů ů ě ě ř ěř ř č ů ů č č ž Ř Š ř ě š š ř š řů ě ž č š ě š ř ě š ě ž ř ě ř ř Í š ě ž š ů ů č ě ř ž ěť

Více

Á Š ř á ář Á É Í á š Ř ÁŘ á é ř č á ž é ř š ů ř á é ě š ď ř š šč Č á ě ý č ář é ď ý ý ř ě č ě ý Č Á Ě Ý Č ř ě ý č á š ž áš ě ž š ž č ě é č ě č éř ř š ý š ž á é áš č á ů á š š ř éž ř ý č á á ě ř á á ý ř

Více

o d e vz d á v e j t ek o m p l e t n í, / n e r o z e b r a n é /, a b y s e t y t o

o d e vz d á v e j t ek o m p l e t n í, / n e r o z e b r a n é /, a b y s e t y t o o b d o b í : X e r v e n e c s r p e n z á í 2 0 1 1 U S N E S E N Í Z A S T U P I T E L S T V A Z v e e j n é h o z a s e d á n í Z a s t u p i t e l s t v a o b c e d n e 3 0. 6. 2 0 1 1 p r o s t e

Více

ž íč é á í Ž ř š á í é ů é í ř á á é ý á í ř ě š í ř ř ě á Ří ř í ř Š č í íč íš Ž éř á á é ě á ž í ď á á í í Ť ř é ý š íáš ě ě ů á ý ý í ě ý é č ť ý íč ř á ý ší ů ž é í ě ě íč íž á Íš ž í ýš í é é é ří

Více

Ý é ř á ě á č é í ř ě ší í é í í ó ř á í ý č é á í č í ř ě í ů í í ě í á š áží í ň í í á ý ž ě ší á é á č é ěšéá é č á ě ú í ř é č ý ň ě é ý ž é í í í á é á é í é ž ě í ř á í č é ý é í á á ý ó í á é íř

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Ú vod... I 7. In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19

Ú vod... I 7. In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19 11 OBSAH Ú vod... I 7 In te rd is c ip lin á rn í p řís tu p k p ro b le m a tic e u m ír á n í a s m r t i...19 T h a n a to lo g ie...19 T h a n a to p s y c h o lo g ie...20 T hanatosociologie... 22

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

šé š Č ř ý Ť Í Í Ý ý Ž Í Ů Á ý Ú Í Úř ě é ý ř ř š ý ě ú ř ě ě š Ť ů š ě ú ě ě š ř ů Í ř ž ž ý ý Ž ů ý ě ě ďý ó ž ž ě ř ě š Í Ť ř Í ý ý ý ž ý ú ě ě Š ě Í ú Š ě é ú š é ř é ě ýš šš ý ě ý ýš ř ú ýř Í éě ě

Více

ů ý é š ž ý ě ř ý ý ý Š Ž ú Č ě Í Ž ř Ž ů Ž é č ř ě ř é ř č č š é ů š é é ě ř Ž ý š ě ř é ě ě é é ě Ž ý ř ř č éí Ž ý ů š ý é č ř ě ř é ř ý ů ě ě č ý Ž ř ý ň ý Í ý ř Ž é ě é Ž é ý ý ě ý š ě Ž ů Ž ř š ů

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

Ě Ý ÚŘ Ě č ý ž ř ě č ěž ě ž ř ř č ů ó č ř ě Úč ř ě š ě ě Úč ř ě č ř ě š ě ř ěč ů ř č ě ý ě š č é ě Ú úř é é š ě ě ě č ý ý é é ěž ě š ě ě ý úř ěž ý ě ř š ý úř ž ř ě ě č ř ř ě ě ě ý ž ů ě ě š ř ů č ě ě ě

Více

á ž í žší é í ň í á ě í ý á ů ů ř í á ř é í ť í á é á ů á ě ý úř š ň í ů Ž č é á ů é í á ý č ý Ží á í ý š ý á á ě ý Šť ří í á ý á á á á Ž í žší é í ň í ě í Ž ř í á ří é á Í é ť í á í í ž í ť Ž á ě ž ý

Více

Č š ý č ČŠ Č í í š Í íš ř š č ří ě Ž č Ž č Ž č ó Ú ř Ú ř ě č íč í í ě ý ů ě í é ř š í Á č ř š í í í ř í šší é é ě í š ý ě í ě ší ř ů š í í ě ý ů ě ří š ý š í ě š í í í ě íš í ě ů ř ý ě í Š é í í ě í ě

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Á Á Ř Á Í í ě í í í é í ý é ř í é ž í ž ě í é ř č é ť í í ý ý č é é é ě é í ě ů í ý č íč Ř č í í í é ť Ž ý í í ů íž ě í ř ší ž í ů ř ě ý í ý ž ě ý ů ú ů ř í í čí í ř í ší č é ř ě í í ý ý ť é ý ú é éř íž

Více

Á Í Ř á ó ř š ú ě ú Í Í č ř ě éčá ě ř š íúř íť ě ě ří š ý í á č ú í á á í ířá é ě í á í ď í ěří š ý á č á ířá é ě ú í ří žá ďí íú í á í í ě í ý á ý á á ě é í ů ž ú ý á ž é á ě á á ý í á ú í Ť í í ě í áž

Více

Ý ÚŘ ŽĎÁ Á Ě ÁČ á ě á š č ě áč é úř Žďá á á ě á š ěř ý á ě ř č ý é é ě ý ú č é ě ý úř č á é ř Ž ě ý úř č ý á é úř é č ý á á á ě é ě é á č č é áš á á Č č ř š á á ř ž á ž áš ř ž á á ř é é ž ž á é Ž á é ž

Více

Ř Á č Ř Á Í Á Č ó ř ý é ýš ý é é šó ý ž ň Á ý Ž Ě Ě Ř Ř ó Í ř é Ž ó ř Ř Č Ý Č ó ú Ř Č Ř Č Á Č Ů Ě Í Á Č ř ó ř č Ů Í Á Č Í Ě Í Í Í Ě Í Ň Í Í Ř Č Ě Í Ě Á Í šť Č Ě Í Ů Á Ř ň Í Ů Ě Í ó ř Ř Š Ů Í Á Ů Ě É Č

Více

ý š ý á á ě ý š říť í á ý á ě á ěř žší é í ň í í á ě é š ř á ů í ů Ž č ů ží á í ě ť ů í Ž č ů í í ý í á č á ř ě Í í ž ř ě ů á ů ě é á í ů í á č ů í č ř á ý š í ý éž í ř š í ů ů í ů ěř á ěř í í á ř á ěř

Více

Č É Č É č É č é č éř š é č ř č ě ě š ř ů č ř ř ěř č ý ů ž é é ď ř ěř ý ů ů ě š š ý š ř ě ů é ž é é é é č é é ě č ě ů ř č č Ž ů ě ď ň é ě č ě ů é š é č ě řč ř é é é ů ě ř č č ř č é ě ř Ž ý é ě ě ě č ě č

Více

Š é ě ěř é ě é ř ě ř Ž é č ř é č Í č ř ě é ř ě č č č ý ý ř č é é ř č é ď ě ř ř ě ň Žď č ř Ž é č š é ú č é č é ř ě ř ě úř úř ý é ě ř ř č š é ř é ý č ř Ž é č š é Ž Ž č é č ě ý ě ň š ěř ěř é ě ěř é ě ď ě

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í 2 0 0 9 / 2 0 1 0 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í r o k 2 0 0 9 / 2 0 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d, o vm ág r. D a g m a r V l a d y k o v á D o k u m

Více

Ý š ě ů ĺ ě ř Š ř ř ĺ Č Č ř ě Ú ř ě Č Č Č Ú ř ř ě ě š ěž ř Ö ý ě Ú Ú š ě Š ě ě ý ý ů ě ř ĺ ě Ž ĺ Ž ý ř řĺ ý ý ě š ě ý ů ĺ ě ě ĺ ý š ě Š ě ů Í ě ě ŕ ě ý ů řĺ ř š ě ý ů řě ě ř ĺ ĺ ř ě ě ĺ ř ŕ Ž ř ě ĺ ř ě

Více

ý ů ř š é í ř ň é ř ý ť Í á í ý ý š Í í č ýč ý Í ďí á ý í ý ý é í á ř í č č ýž Ř ŠŤ é í íří ě é é ř é é ří čá é í ř šť ž é í é ří ě ů čí ů í é ří ž ř šé í ř á é é é ř ží ř šť í é š ě á í ě ší ý ří č é

Více

Ě Ý Í Č ě ř Í Í Á Č ř č Č é č č šř Č é č ě é ř č č š ě ř č ď ě š ř ě č é ř ďů ž ě š š Č é éú ě ě ž éč Í ř ě éú ů č ů ř č ů č ř ř šť é řč Žď ž ú ů ř š ř éž ů ů é ž ú č ř č ř šť č ž č ě ř č č č ů ř é ř č

Více

Světlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla, Odraz a lom světla Disperze světla

Světlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla, Odraz a lom světla Disperze světla Paprskoá optika Sětlo jako elektromagetiké lěí Šířeí sětla, Odraz a lom sětla Disperze sětla Sětlo jako elektromagetiké lěí James Clerk Maxwell (83 879) agliký fyzik autorem teorie, podle íž elektro-magetiké

Více

í é ří ří ý é íř Ú í í í šíř é Í ř í ý ů ě ý í ě ó ó í ě ýó ó í ě ýó ří í í í ří ď í š í é ů ěř ů Ť ěř í ě é ě í ů é ďí í ž í ů ě í í ý ů é í ě ý ů é ů ž ří ř í ý ěř ě ď é ú í ž Í í ž é ě ě ý ř ě ů ř š

Více