ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU. 9. cvičení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ODHADY PARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU. 9. cvičení"

Transkript

1 ODHADY ARAMETRŮ ZÁKLADNÍHO SOUBORU 9. cvičeí

2 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Statitická idukce Metody tatitické idukce jou zaměřey a řešeí dvou základích úloh: odhady oulačích arametrů - oužíváme, chceme-li určit velikot arametru NV, re. velikot efektu (rozdílu, re. oměru arametrů dvou NV). tetováí tatitických hyotéz o oulačích arametrech a rozděleích oulace - oužíváme, chceme-li ověřit latot ředem defiovaé hyotézy ( ředem daou hladiou výzamotí). 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

3 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Tyy odhadů arametrů oulace Bodový odhad - číelá hodota, která aroximuje hledaý arametr základího ouboru. oužití - okud otřebujeme vyjádřit hledaý arametr jediou hodotou ař. ro další výočty. Itervalový odhad - číelý iterval, který ředem daou olehlivotí vymezí rotor obahující hledaý arametr. oužití - okud otřebujeme zát řeot alezeého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

4 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Základí ojmy z teorie odhadu odhad arametru θ oz. T, je výběrová charakteritika (tatitika), která abývá hodot blízkých ezámému arametru θ arametrický rotor možia všech hodot, kterých může arametr θ abývat 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

5 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Vlatoti dobrého bodového odhadu Netraot (evychýleot, ezkreleot) - tředí hodota odhadu je rova hledaému arametru. E( T ) θ Vydatot (eficiece) vydatý je takový etraý odhad, jehož roztyl je ejmeší mezi roztyly všech etraých odhadů. (ejleší etraý odhad) Kozitece rotoucím rozahem výběru e odhad TT zřeňuje lim ET θ lim ( ) ( ) 0 DT Dotatečot odhad obahuje iformaci z co ejvíce rvků výběrového ouboru (ař. mediá x růměr) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

6 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Chyba bodového odhadu Bodový odhad áhodá veličia Výběrová chyba odchylka bodového odhadu od kutečé hodoty arametru (T-θ) určuje velikot chyby, které e doouštíme ři odhadu a základě jedoho výběrového ouboru. Středí kvadratická chyba měrodatá odchylka ezkreleého bodového odhadu ( ) E( ) DT T θ T udává růměrou kvadratickou chybu odhadů určeých z růzých výběrových ouborů daého rozahu 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

7 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Nejleší bodové odhady Bodovým odhadem: tředí hodoty µ je růměr x, roztylu je výběrový roztyl, měrodaté odchylky je výběrová měrodatá odchylka, relativí četoti π je výběrová relativí četot. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

8 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Itervalové odhady iterval olehlivoti (kofidečí iterval) ro arametr Θ e olehlivotí - (kde 0, ) je taková dvojice tatitik (T D ; T H ), že( T D θ TH) itervalový odhad arametru Θ e olehlivotí - je iterval t D, t H, kde t D, t H jou hodoty tatitik T D, T H a daém tatitickém ouboru (x,, x ). Itervalový odhad je tedy jedou z realizací itervalu olehlivoti olehlivot odhadu (-) ředem určeá ravděodobot (ař. ro růmylové alikace většiou 95 %, ro biomedicíké 99 %) hladia výzamoti 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

9 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Itervalové odhady ( T D θ TH) hladia výzamoti dolí mez itervalu olehlivoti hledaý arametr (kotata, kterou ejme choi řeě určit) (áhodé veličiy) horí mez itervalu olehlivoti olehlivot odhadu tj. ravděodobot íž hledaý arametr Θ leží v itervalu t, D t H 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

10 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Solehlivot odhadu - ři oakovaých výběrech kotatím rozahem z daé oulace řibližě 00( -)% itervalových odhadů obahuje kutečou hodotu odhadovaého arametru θ a aoak 00 % itervalových odhadů kutečou hodotu odhadovaého arametru θ eobahuje. Simulace itervalových odhadů tředí hodoty (olehlivot 0,95) zíkaých a základě oakovaých výběrů o rozahu 30 z oulace e tředí hodotou itervalů ze 00 eobahuje kutečou tředí hodou. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

11 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Solehlivot odhadu - čím vyšší olehlivot odhadu ožadujeme, tím širší itervalový odhad zíkáme (hledaá hodota e v ěm muí acházet vyšší ravděodobotí) > komromi mezi olehlivotí a výzamotí odhadu itervaly jou ymetrické odle růměru (oražová úečka) java alet: itervalové odhady htt://mi.vb.cz/modul/uvod-dotatitiky rotoucím rozahem výběru e itervalový odhad oulačích charakteritik zřeňuje, tz. šířka řílušých itervalových odhadů e zmešuje a to úměrě 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

12 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Tyy itervalových odhadů Dvoutraé ( T, T D H) ( T θ H) D T ( θ T ) ( θ T ) D H Jedotraé ( ) Levotraé T D ;, ( θ ) T D ravotraé ( ) ;T H T H ( θ ) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

13 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Grafová rezetace itervalového odhadu Nechť iterval olehlivoti obahuje hledaý arametr 95%-í olehlivotí řiouštíme 5%-í chybu odhadu ( 0,05) Dvoutraý iterval ( T D θ T ) H 0,95,5% T,5% f(t) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

14 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Grafová rezetace itervalového odhadu Nechť iterval olehlivoti obahuje hledaý arametr 95%-í olehlivotí řiouštíme 5%-í chybu odhadu ( 0,05) Jedotraý iterval (rav.) ( T ) 0, 95 θ H 5% f(t) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA T

15 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Kotrukce itervalových odhadů Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku, jejíž rozděleí záme (tetová tatitika) T() RAVOSTRANNÉ ODHADY: Nechť: T ) x otom: F( x H x ) H x ( ) F ( x) T ( ) ( H Závěr: ( ) x ) T ( θ 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

16 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Kotrukce itervalových odhadů Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku, jejíž rozděleí záme (tetová tatitika) T() LEVOSTRANNÉ ODHADY: Nechť: x T() ( ) F ( x) T ( ) D otom: Závěr: F( x D F( x D x ) ) D x ( x T() ) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

17 Zvolíme vhodou výběrovou charakteritiku, jejíž rozděleí záme (tetová tatitika) T() DVOUSTRANNÉ ODHADY: Nechť: otom: Závěr: Kotrukce itervalových odhadů ( ) ( ) x F T ( ) ) ( H D x T x ( ) ( ) ( ) ) ( H D x T x T ) ( ) ( x x x x x F x F H D H D ) ( x T x 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA / θ f(t) / T Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

18 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Odhady arametrů ormálího rozděleí Obecé metody jou začě áročé > omezíme e a itervaly olehlivoti ro arametry ormálího rozděleí. Jetliže základí oubor eochází z ormálího rozděleí > oužíváme earametrické (robutí) metody odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

19 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Odhad tředí hodoty -µ Nejleším bodovým odhadem tředí hodoty µ je růměr x. Itervalový odhad tředí hodoty µ očítáme jiak, jetliže záme roztyl základího ouboru a jiak, když oulačí roztyl ezáme. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

20 Odhad tředí hodoty -µ, záme Záme roztyl ( ) µ; N Volba vhodé tetové tatitiky: ( ) ; N 0; Z Z µ Levotraý iterval olehlivoti: ( ) µ z z Z µ µ > z z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA záme Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

21 Odhad tředí hodoty -µ, záme Záme roztyl ( ) µ; N Volba vhodé tetové tatitiky: ( ) ; N 0; Z Z µ ravotraý iterval olehlivoti: ( ) µ µ > > > - z z z Z µ µ - z z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA záme Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

22 Odhad tředí hodoty -µ, záme Záme roztyl ( ) µ; N Volba vhodé tetové tatitiky: ( ) ; N 0; Z Z µ Dvoutraý iterval olehlivoti: µ z z z Z z µ µ µ > > z z z z z z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA záme Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

23 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Odhad tředí hodoty -µ, ezáme Nezáme roztyl N( µ; ) ezáme Uvedeé itervalové odhady oužíváme eje v říadech, kdy záme měrodatou odchylku, ale i v říadech, kdy máme dotatečě velký výběr ( 30) a měrodatou odchylku ezáme. V těchto říadech lze ve výše uvedeých vzorcích ahradit měrodatou odchylku výběrovou měrodatou odchylkou, aiž by tím vzikla výzamá chyba. ro vzorky rozahem meším ež 30 rvků > 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

24 Odhad tředí hodoty -µ, ezáme Nezáme roztyl ( ) µ; N Volba vhodé tetové tatitiky: - ; t T µ T Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: µ, t µ, t µ,, t t 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA ezáme Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

25 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet. ři kotrole rychloti 4 vozidel ze 00 řekročilo rychlot 60 km/h, růměrá rychlot byla 65 km/h a řílušá výběrová měrodatá odchylka 7 km/h. Setrojte 95% iterval olehlivoti ro tředí hodotu rychloti vozidel. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

26 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Hledáme iterval olehlivoti ro tředí hodotu a ezáme roztyl. Ale máme rozah výběru větší ež 30 (00 > 30) > oložíme : Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 0,05, 0,975; z0,975,96 Výběrový oubor: 00 x 65 km/h 7 km/h z µ z viz. Tabulka 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

27 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Doadíme: ,96 µ 65, ,95 o úravě: ( 63,63 µ 66,37) 0, 95 Tz., že 95% olehlivotí můžeme tvrdit, že e tředí rychlot vozidel ohybuje v rozmezí 64 km/h až 66 km/h. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

28 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet. Obchodí řetězec TETO i v dubu 006 zadal tudii týkající e očtu zákazíků v rodejě TETO oruba v átek odolede (od :00 do 8:00) hodi. o jedom měíci ledováí rodejy jme zíkali tyto údaje: Datum očet zákazíků a) Zamylete e ad důvody, které výzkumíka vedly k aalýze výběru o malém rozahu (mohem méě ež 30 hodot) a jaké jou důledky volby výběru o malém rozahu. b) Určete ro maagemet řetězce TETO itervalový odhad tředího očtu zákazíků v rodejě TETO oruba v átek odolede (e olehlivotí 95%). 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

29 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: a) fiačí a čaová áročot (ro výběr o rozahu 30 hodot by ledováí trvalo déle ež ůl roku) b) hledáme odhad tředí hodoty a ezáme měrodatou odchylku: µ t t,, Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 0,05, 0,975; t 0,975;4,78 viz. Tabulka 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

30 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: b) Výběrový oubor: 5 x 5 x i i , ( x i x ) ,6 ( ,6 ) ( ,6 ) i L 4 69,3 Doadíme: 5, 5, 357,6,78 µ 357,6, ,95 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

31 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: b) o úravě: ( 88, µ 453,0 ) 0, 95 Tz., že 95%-í olehlivotí můžeme tvrdit, že ávštěvot TETO oruba e v libovolý átek v odoledích hodiách bude ohybovat v rozmezí 88 až 453 zákazíků. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

32 Odhad roztylu - Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) - ; χ χ χ ( ), x ( ), x ( ) ( ),, x x 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

33 Odhad měrodaté odchylky - Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) - ; χ χ χ ( ), χ ( ), χ ( ) ( ),, χ χ 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

34 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Automat vyrábí ítové kroužky o daém růměru. ři kotrole kvality bylo áhodě vybráo 80 kroužků a vyočtea měrodatá odchylka jejich růměru 0,04mm. Určete dolí hraici roztylu a měrodaté odchylky růměru ítových kroužků. (ředokládejte, že růměr ítových kroužků lze modelovat omocí ormálího rozděleí.) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

35 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Nejdříve hledáme levotraý itervalový odhad roztylu: ( ) χ, Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 χ 0,95;79 00,7 viz. Tabulka 3 Výběrový oubor: 80, 0,04 0,006mm ( ) Doadíme: 79 0,006 00,7 0,95 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

36 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: o úravě: ( 0,003 ) 0, 95 S 95% olehlivotí je roztyl růměru ítových kroužků větší ež 0,003 mm. ro itervalový odhad měrodaté odchylky: ( 0,003 ) 0, 95 ( 0,036 ) 0, 95 S 95% olehlivotí tedy můžeme tvrdit, že měrodatá odchylka růměru ítových kroužků je větší ež 0,036 mm. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

37 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Odhad relativí četoti -π Relativí četot π je z itervalu 0; Jetliže máme výběrový oubor, jehož rozah : je dotatečě velký (>30), je meší ež 5% rozahu základího ouboru (/N0,05), lňuje odmíku (-)>9, ak lze relativí četot π odhadout áledově: 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

38 Odhad relativí četoti -π Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) ( ) 0; ; N π π π ( ) π z ( ) ( ) π z z ( ) π z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

39 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 4. ři kotrole jakoti bylo ze érie 7000 televizorů vybráo áhodě 300 výrobků, z toho bylo 5 vadých. Odhaděte odíl vadých televizorů v érii. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

40 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Rozah výběru je dotatečě velký (>30, (-)>9) a eřevyšuje 5% rozahu oulace (/N0,05). Itervalový odhad odílu (relativí četoti) vadých televizorů v érii lze tedy taovit jako ( ) ( ) Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 Výběrový oubor: 300, 5 0, z π 0,05, 0,975; z 0,975,96 z viz. Tabulka 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

41 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Doadíme: ( 0,083) 0,083 ( 0,083) 0,083 0,083,96 π 0,083, ,95 ( 0,057 π 0,43) 0, 95 S 95% olehlivotí můžeme tvrdit, že e v daé érii achází mezi 5,% a,4% vadých televizorů. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

42 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Rozah výběru řeot odhadu x fiačí a čaová áročot > v raxi hledáme komromi, který ro ožadovaou řeot ovede a co ejmeší rozah výběru 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

43 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Rozah výběru řeot odhadu x fiačí a čaová áročot > v raxi hledáme komromi, který ro ožadovaou řeot ovede a co ejmeší rozah výběru říutá chyba odhadu - hodota, o kterou jme ochoti e zmýlit oroti kutečé hodotě odhadovaého arametru ři daé olehlivoti odhadu (hladiě výzamoti) 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

44 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet ředvýběr rovádíme, okud odhadujeme ožadovaý rozah výběru, který závií a rozatím ezámých výběrových charakteritikách (emáme rovede výběr). ro ředvýběr o rozahu vyočteme ožadovaé výběrové charakteritiky, omocí ich zjitíme rozah výběru, který ak dolíme o dalších - hodot. Itervalové odhady otom rovádíme a výběru rozahu. Iteračí heuritická metoda. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

45 Rozah výběru ři odhadu tředí hod. Záme roztyl Oboutraý itervalový odhad: µ z z řílušý itervalový odhad tedy můžeme vyjádřit ve tvaru: ± ; z z z říutá chyba odhadu : z z z ožadujeme: 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

46 Rozah výběru ři odhadu tředí hod. Nezáme roztyl říutá chyba odhadu : ŘEDVÝBĚR:, t,, t t 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

47 Rozah výběru ři odhadu relativí čet. Oboutraý itervalový odhad : říutá chyba odhadu : Nejhorší možot (0,5): ( ) ( ) ; z z ŘEDVÝBĚR ( ) ( ) z z 4 z ( ) z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

48 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 5. Výběrovým šetřeím bychom chtěli odhadout růměrou výši úor ovomaželů. Žádáme olehlivot 95% a maximálí chybu 00 Kč. Směrodatá odchylka byla ředběžě odhaduta a 500 Kč. Kolika árů e muíme zetat, abychom zajitili ožadovaou řeot a olehlivot? 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

49 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Záme měrodatou odchylku oulace z Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 0,05, 0,975; z 0,975,96 Výběrový oubor: 500 Kč, 00 Kč viz. Tabulka Doadíme: 500,96 600, 5 00 Chceme-li doáhout říuté chyby ve výši maximálě 00 Kč, muíme ro alezeí itervalového odhadu růměré výše úor e olehlivotí 95% rovét výběrové šetřeí a výběrovém ouboru o rozahu miimálě 60 ovomaželkých árů. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

50 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 6. Odhadujeme odíl rvotřídích výrobků. Kolik jich je třeba řezkoušet, aby e olehlivotí 95% chyba eřekročila ±3%? Co když víme, že hledaý odíl rvotřídích výrobků bude ře 80%? 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

51 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: a) Výběrová relativí četot eí odhaduta omocí ředvýběru, muíme očítat ejhorší variatou > 0,5 4 z Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 0,05, 0,975; z 0,975,96 viz. Tabulka 3 % Chceme-li doáhout říuté chyby ve výši maximálě 3 %, muíme ro alezeí itervalového odhadu relativí četoti rvotřídích výrobků e olehlivotí 95% rovét výběrové šetřeí a výběrovém ouboru o rozahu miimálě 068 výrobků. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA 4, 96 0,03 067,

52 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: b) Výběrová relativí četot je odhaduta a 80 %, > 0,8 Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 viz. Tabulka ( ) 0,05, 0,975; z z 0,975,96 3 % ( 0,8 ) 0,8, 96 0,03 68,95 Chceme-li doáhout říuté chyby ve výši maximálě 3 %, muíme ro alezeí itervalového odhadu relativí četoti rvotřídích výrobků e olehlivotí 95% rovét výběrové šetřeí a výběrovém ouboru o rozahu miimálě 683 výrobků. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

53 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Dvouvýběrové itervalové odhady Nátroj o orováí oulačích charakteritik dvou výběrů ocházejících z ezávilých základích ouborů ormálím rozděleím. Itervalový odhad oměru roztylů ormálích rozděleí okud iterval zahruje i hodotu jeda, ak můžou být oba oulačí roztyly hodé! Itervalový odhad rozdílu tředích hodot okud iterval zahruje i hodotu ula, ak můžou být oba oulačí růměry hodé! Itervalový odhad rozdílu relativích četotí okud iterval zahruje i hodotu ula, ak můžou být obě oulačí relativí četoti hodé! 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

54 Itervaly olehlivoti ro oměr dvou roztylů ormálích rozděleí ), ( µ N ), ( µ N 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ; ; F F F f f f f Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

55 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Itervaly olehlivoti ro rozdíl dvou arametrů ormálích rozděleí N( µ, ) N( µ, ) Itervalový odhad rozdílu tředích hodot dvou oulací ormálím rozděleím, z ichž byly ořízey áhodé výběry, lze rovádět okud: Záme roztyly a obou oulací. Nezáme roztyly obou oulací, ale lze ředokládat, že jou hodé. Nezáme roztyly obou oulací a elze ředokládat, že jou hodé. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

56 Odhad rozdílu tředích hodot Záme roztyly Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) ( ) ( ) 0; Z ; N Z µ µ ( ) ( ) µ µ z ( ) ( ) µ µ z ( ) ( ) ( ) µ µ z z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

57 Odhad rozdílu tředích hodot Nezáme roztyly a lze ředokládat, že jou hodé Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) ( ) T ; t T µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ, t ( ) ( ) µ µ, t ( ) ( ) ( ) µ µ,, t t 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

58 Odhad rozdílu tředích hodot Nezáme roztyly a elze ředokládat, že jou hodé Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) ( ) ν µ µ t T T ; ( ) ( ) µ µ ν t ( ) ( ) µ µ ν, t ( ) ( ) ( ) µ µ ν ν,, t t 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA ν Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

59 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Odhad rozdílu relativích četotí Jetliže máme výběrové oubory rozahy, které: jou dotatečě velký ( >30; >30), jou meší ež 5% rozahu základího ouboru ( /N 0,05; /N 0,05), lňuje odmíku (- )>9; (- )>9, ak lze rozdíl relativích četotíπ -π odhadout áledově: 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

60 Odhad rozdílu relativích četotí Volba vhodé tetové tatitiky: Levotraý iterval olehlivoti: Dvoutraý iterval olehlivoti: ravotraý iterval olehlivoti: ( ) ( ) ( ) ( ) 0; ; N π π x x ( ) ( ) ( ) π π z ( ) ( ) ( ) π π z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π z z 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet

61 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 7. V Otravě byla zjištěa hmotot 7 ovorozeců růměrou hmototí 870 g a výběrovou měrodatou odchylkou 840 g. V Oavě bylo ledováo 0 ovorozeců, růměrou hmototí 3 05 g a měrodatou odchylkou 875 g. Jou za ředokladu ormálího rozděleí obou základích ouborů růměré hmototi v obou mětech tejé? Zjitěte oužitím hladiy olehlivoti 0,05. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

62 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Záme výběrové charakteritiky: x 870 g x 305 g 840 g 875 g 7 0 To, že e oba výběrové růměry liší ezameá, že e liší i tředí hodoty (µ µ?). ro etrojeí itervalu olehlivoti ro rozdíl růměrů je otřeba vědět, jetli e oulačí roztyly rovají ebo e. 95% iterval olehlivoti ro odíl roztylů: f,, f,, 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

63 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Doadíme:, , ,95 0,36,49 rotože je iterval v rozmezí (0,36;,49), obahuje i hodotu jeda > elze uoudit, že oulačí roztyly ebyly hodé > ro výočet itervalu olehlivoti rozdílu tředích hodot oužijeme: Doočítáme charakteritiku : 0,95 ( ) t ( µ ) ( ) t, µ, ( 7 ) 840 ( 0 ) Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

64 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Doadíme: ( ) ( µ µ ) ( ) ,03,03 ( ( µ µ ) 340) 0, ,95 S ravděodobotí 95 % e bude rozdíl tředích hodot hmototí ohybovat v itervalu (-80; 340). Iterval obahuje i hodotu ula. Rozdíl mezi tředími hodotami tedy eí výzamý. Nelze říci, že by růměrá orodí hmotot v Otravě a Oavě byla rozdílá. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

65 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: V říadě, že by rozdíl mezi tředími hodotami hmototi v Otravě a Oavě byl záorý (µ -µ 0), zamealo by to, že ovorozeci v Otravě mají ižší hmotot ež ovorozeci v Oavě (µ µ ). Aalogicky v říadě, když by byl rozdíl mezi tředími hodotami hmototi v Otravě a Oavě kladý (µ -µ > 0), zamealo by to, že ovorozeci v Otravě mají vyšší hmotot ež ovorozeci v Oavě (µ >µ ). 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

66 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 8. Dikety dvou velkých výrobců - Soik a 5M byly odrobey zkoušce kvality. Dikety obou výrobců jou baley o 0-ti kuech. Ve 40-ti balíčcích fy Soik bylo alezeo 4 vadých diket, ve 30-ti balíčcích 5M bylo alezeo 4 vadých diket. Určete 95%-í iterval olehlivoti ro rozdíl v rocetu vadých diket v celkové rodukci firem Soik a 5M. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

67 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: ( ) ( ) z ( π π ) ( ) ( ) z Hladia výzamoti ze zadáí: - 0,950,05 0,05, 0,975; z0,975,96 Výběrové oubory: Soik: 5M: x výběrový odíl vadých diket fy Soik 800 0, x 0,07 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA výběrový odíl vadých diket fy 5M 600 0,03

68 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: Doadíme: (( 0,007) 0,07 ( π π ) ( 0,007) 0,07) 0, 95 (,00 ( π π ) 0,04) 0, 95 0 (,0 % ( π π ),4 %) 0, 95 S 95%-í olehlivotí můžeme tvrdit, že rozdíl mezi odílem vadých diket firmy Soik a odílem vadých diket firmy 5M je v rozmezí,0 % a,4%. Tz., že emůžeme říci, které dikety jou kvalitější. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

69 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Řešeí: V říadě, že by rozdíl mezi odílem vadých diket firmy Soik a odílem vadých diket firmy 5M byl záorý (π - π 0), zamealo by to, že dikety firmy Soik jou kvalitější (obahují meší odíl vadých) ež dikety firmy 5M (π π ). Obdobě v říadě, že by rozdíl mezi odílem vadých diket firmy Soik a odílem vadých diket firmy 5M byl kladý (π - π >0), zamealo by to, že dikety firmy Soik mají horší kvalitu (obahují větší odíl vadých) ež dikety firmy 5M (π > π ). 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

70 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet Tet 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

71 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet.Chceme-li ajít ejleší možý odhad měrodaté odchylky vybraé vlatoti ekoečé oulace, měli bychom a) oužít co možá ejvětší výběrový oubor,, b) oužít co možá ejmeší výběrový oubor, c) zjitit hodotu ledovaé vlatoti u všech rvků oulace, d) oužít výběrový oubor o rozahu ejvýše rvků oulace. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

72 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet.Chceme-li ajít ejleší možý odhad měrodaté odchylky vybraé vlatoti ekoečé oulace, měli bychom a) oužít co možá ejvětší výběrový oubor,, b) oužít co možá ejmeší výběrový oubor, c) zjitit hodotu ledovaé vlatoti u všech rvků oulace, d) oužít výběrový oubor o rozahu ejvýše rvků oulace. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

73 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet.Chceme-li ajít ejleší možý odhad měrodaté odchylky vybraé vlatoti oulace o rozahu jedotek (rvků), ak by rozah výběru eměl řekročit a) jedotek, b) jedotek, c) jedotek, d) 500 jedotek, e) 000 jedotek. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

74 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet.Chceme-li ajít ejleší možý odhad měrodaté odchylky vybraé vlatoti oulace o rozahu jedotek (rvků), ak by rozah výběru eměl řekročit a) jedotek, b) jedotek, c) jedotek, d) 500 jedotek, e) 000 jedotek. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

75 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: a) růměr je (áhodá veličia, kotata). b) Středí hodota je (výběrová, oulačí) charakteritika. c) Odhadujeme-li oulačí charakteritiku jedím čílem, hovoříme o (bodovém, itervalovém) odhadu. d) Řekeme, že odhad je (etraý, vydatý, kozitetí), jetliže e jeho tředí hodota rová hledaému arametru. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

76 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: a) růměr je áhodá veličia (áhodá veličia, kotata). b) Středí hodota je (výběrová, oulačí) charakteritika. c) Odhadujeme-li oulačí charakteritiku jedím čílem, hovoříme o (bodovém, itervalovém) odhadu. d) Řekeme, že odhad je (etraý, vydatý, kozitetí), jetliže e jeho tředí hodota rová hledaému arametru. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

77 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: a) růměr je áhodá veličia (áhodá veličia, kotata). b) Středí hodota je oulačí (výběrová, oulačí) charakteritika. c) Odhadujeme-li oulačí charakteritiku jedím čílem, hovoříme o (bodovém, itervalovém) odhadu. d) Řekeme, že odhad je (etraý, vydatý, kozitetí), jetliže e jeho tředí hodota rová hledaému arametru. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

78 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: a) růměr je áhodá veličia (áhodá veličia, kotata). b) Středí hodota je oulačí (výběrová, oulačí) charakteritika. c) Odhadujeme-li oulačí charakteritiku jedím čílem, hovoříme o bodovém (bodovém, itervalovém) odhadu. d) Řekeme, že odhad je (etraý, vydatý, kozitetí), jetliže e jeho tředí hodota rová hledaému arametru. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

79 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: a) růměr je áhodá veličia (áhodá veličia, kotata). b) Středí hodota je oulačí (výběrová, oulačí) charakteritika. c) Odhadujeme-li oulačí charakteritiku jedím čílem, hovoříme o bodovém (bodovém, itervalovém) odhadu. d) Řekeme, že odhad je etraý (etraý, vydatý, kozitetí), jetliže e jeho tředí hodota rová hledaému arametru. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

80 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: e) Netraý odhad, jehož roztyl je (ejmeší, ejvětší) mezi roztyly všech etraých odhadů řílušého arametru, e azývá ejleší etraý (vydatý, eficietí) odhad. f) Mějme áhodý výběr. S rotoucí olehlivotí odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů (zužují, rozšiřují). g) S rotoucí olehlivotí odhadu -.. (rote, kleá) hladia výzamoti. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

81 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: e) Netraý odhad, jehož roztyl je ejmeší (ejmeší, ejvětší) mezi roztyly všech etraých odhadů řílušého arametru, e azývá ejleší etraý (vydatý, eficietí) odhad. f) Mějme áhodý výběr. S rotoucí olehlivotí odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů (zužují, rozšiřují). g) S rotoucí olehlivotí odhadu -.. (rote, kleá) hladia výzamoti. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

82 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: e) Netraý odhad, jehož roztyl je ejmeší (ejmeší, ejvětší) mezi roztyly všech etraých odhadů řílušého arametru, e azývá ejleší etraý (vydatý, eficietí) odhad. f) Mějme áhodý výběr. S rotoucí olehlivotí odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rozšiřují (zužují, rozšiřují). g) S rotoucí olehlivotí odhadu -.. (rote, kleá) hladia výzamoti. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

83 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: e) Netraý odhad, jehož roztyl je ejmeší (ejmeší, ejvětší) mezi roztyly všech etraých odhadů řílušého arametru, e azývá ejleší etraý (vydatý, eficietí) odhad. f) Mějme áhodý výběr. S rotoucí olehlivotí odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rozšiřují (zužují, rozšiřují). g) S rotoucí olehlivotí odhadu -.. kleá (rote, kleá) hladia výzamoti. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

84 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: h) ři daé olehlivoti odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rotoucím rozahem výběru (zužují, rozšiřují). i) V techické raxi e obvykle volí olehlivot odhadu rova (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). j) V techické raxi e obvykle volí hladia výzamoti rova (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). k) Horí mez ravotraého itervalového odhadu je (tejá jako, meší ež, větší ež) horí mez řílušého oboutraého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

85 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: h) ři daé olehlivoti odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rotoucím rozahem výběru zužují (zužují, rozšiřují). i) V techické raxi e obvykle volí olehlivot odhadu rova (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). j) V techické raxi e obvykle volí hladia výzamoti rova (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). k) Horí mez ravotraého itervalového odhadu je (tejá jako, meší ež, větší ež) horí mez řílušého oboutraého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

86 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: h) ři daé olehlivoti odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rotoucím rozahem výběru zužují (zužují, rozšiřují). i) V techické raxi e obvykle volí olehlivot odhadu rova 0,95 (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). j) V techické raxi e obvykle volí hladia výzamoti rova (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). k) Horí mez ravotraého itervalového odhadu je (tejá jako, meší ež, větší ež) horí mez řílušého oboutraého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

87 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: h) ři daé olehlivoti odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rotoucím rozahem výběru zužují (zužují, rozšiřují). i) V techické raxi e obvykle volí olehlivot odhadu rova 0,95 (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). j) V techické raxi e obvykle volí hladia výzamoti rova 0,05 (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). k) Horí mez ravotraého itervalového odhadu je (tejá jako, meší ež, větší ež) horí mez řílušého oboutraého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

88 Základí ojmy Bodové odhady Itervalové odhady:ormálí r., velikot výběru, orováí arametrů Tet 3. Dolňte: h) ři daé olehlivoti odhadu e obvykle itervalové odhady oulačích arametrů rotoucím rozahem výběru zužují (zužují, rozšiřují). i) V techické raxi e obvykle volí olehlivot odhadu rova 0,95 (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). j) V techické raxi e obvykle volí hladia výzamoti rova 0,05 (0,80; 0,90; 0,95; 0,99; 0,0; 0,0; 0,05; 0,0). k) Horí mez ravotraého itervalového odhadu je meší ež (tejá jako, meší ež, větší ež) horí mez řílušého oboutraého odhadu. 0 Ig. Jaurová Kateřia, FEI VŠB-TU Otrava, STATISTIKA

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu Směrce /0 Stattcké vyhodocováí dat, verze 4 Verze 4 e hodá e Směrcí /0 verze 3, ouze byla rozšířea o robutí aalýzu. Stattcké metody ro zkoušeí zůoblot Cílem tattcké aalýzy výledků zkoušek ř zkouškách zůoblot

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

EKONOMETRIE 8. přednáška Klasický lineární regresní model

EKONOMETRIE 8. přednáška Klasický lineární regresní model EKONOMETRIE 8. předáška Klasický lieárí regresí model Formulace a podmíky (pozor a ozačeí parametrů) Základí edorovicový model: zobrazue ekoomickou hypotézu o vztahu mezi edou vysvětlovaou ekoomickou veličiou

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

17 t. Analytická geometrie přímky rovnice přímky, vzájemná poloha přímek, odchylka přímek, průsečík přímek, vzdálenost přímky od roviny

17 t. Analytická geometrie přímky rovnice přímky, vzájemná poloha přímek, odchylka přímek, průsečík přímek, vzdálenost přímky od roviny 7 t Aaltická geometrie přímk rovice přímk, vzájemá poloha přímek, odchlka přímek, průsečík přímek, vzdáleost přímk od rovi Parametrické vjádřeí přímk v roviě Přímka je jedozačě určea dvěma růzými bod.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz Pravděodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

Třetí Dušan Hložanka 16. 12. 2013. Název zpracovaného celku: Řetězové převody. Řetězové převody

Třetí Dušan Hložanka 16. 12. 2013. Název zpracovaného celku: Řetězové převody. Řetězové převody Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: Stavba a rovoz strojů Třetí Dušan Hložanka 6.. 03 Název zracovaného celku: Řetězové řevody Řetězové řevody A. Pois řevodů Převody jsou mechanismy s tuhými členy, které

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

p 1 n zp p p 25 25 100 100 100 100 2,5 z 2,5 1 x x 21 p p 25 25 100 100 100 100 7,5 z 7,5 1 x x 24 Obecný vzorec pro výpočet kvantilů sudé n:

p 1 n zp p p 25 25 100 100 100 100 2,5 z 2,5 1 x x 21 p p 25 25 100 100 100 100 7,5 z 7,5 1 x x 24 Obecný vzorec pro výpočet kvantilů sudé n: Věk 1. 20 2. 20 3. 21 4. 22 5. 22 6. 23 7. 23 8. 24 9. 24 10. 24 Obecý vzorec pro výpočet kvatlů sudé : Dolí kvartl: p z 100 p p 1 100 p p 25 25 zp 1 10 zp 10 1 100 100 100 100 2,5 z 2,5 1 21 p 0,25 (3)

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY

6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY 6 VYBRANÁ ROZDLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Rozdleí áhodé veliiy je edis, terým defiujeme ravdodobost jev, jež lze touto áhodou veliiou osat. Záladím rozdleím oisujícím výbry bez vraceí je hyergeometricé

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST ... m n RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout rocesy, ovlivěé áhodou. Náhodé okusy:

Více

Á Č ŘÍ ň Í ň ý ě ň ý ň ň ů Í Í ý Í ů Í ě š ě š ě ů š ě Ě Ě Í Í ý š ě Í ý Í ý Í ý š ě š ě Ž ě ý ý ů Ř Í Á Ž ý ó š ý ě š ě š ě š ě š ě ý š ě š ě ě š ě ú ů š ě š ě Í ú ú ě Á Á Í Ě Í Í ÁŘ Í ě ý š ě š ě Ý ý

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evroský sociálí od Praha & EU: Ivestujeme do vaší budoucosti eto materiál vzikl díky Oeračímu rogramu Praha Adatabilita CZ..7/3../3354 Maažerské kvatitativí metody II - ředáška č.3 - Queuig theory teorie

Více

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y Virtuálí vět geetiky 1 Základy kvatitativí geetiky Zá k l a d y k v a t i t a t i v í g e e t i k y Doud byly základí geetické procey (přeo geetické iformace) ledováy a zacích a vlatotech dikrétími hodotami

Více

Metodika hodnocení způsobilosti v řízení procesů a dopravních systémů v rámci normality rozdělení dominantního znaku jakosti

Metodika hodnocení způsobilosti v řízení procesů a dopravních systémů v rámci normality rozdělení dominantního znaku jakosti Jiří Zmatlík, Otto Pator Metodika hodoeí zůobiloti v řízeí roeů a doravíh ytémů v rámi ormality rozděleí domiatího zaku jakoti Klíčová lova: zůobilot roeu, doraví roey, idexy zůobiloti a jejih bodové a

Více

2. Úvod do indexní analýzy

2. Úvod do indexní analýzy 2. Úvod do idexí aalýzy 2.. Motivace Tato kaitola se zabývá srováváím ukazatelů v datových souborech, které se liší buď časově ebo rostorově ebo věcě. Nejdůležitější je srováváí ukazatelů z časového hlediska.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Úvod do metody MonteCarlo. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Úvod do metody MonteCarlo. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvod do metody MoteCarlo Ig. Michal Dorda, Ph.D. Metoda MoteCarlo Historicky rvím říkladem oužití riciu metody MoteCarloje tzv. Buffoovaúloha, jež je úlohou vztahující se ke geometrické ravděodobosti:

Více

Doba rozběhu asynchronního motoru.

Doba rozběhu asynchronního motoru. 1 Doba rozběhu asychroího motoru. 1. Doba rozběhu. Pro prví orietaci ke staoveí doby rozběhu asychroího motoru stačí provést přibližý výpočet ze středího urychlovacího mometu a a daých setrvačých hmot

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět:

5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. Čas ke studiu kapitoly: 120 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umět: 5 DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ RAVDĚODOBNOSTI Čas e sudiu aioly: 0 miu Cíl: o rosudováí ohoo odsavce budee umě: charaerizova hyergeomericé rozděleí charaerizova Beroulliho ousy a z ich odvozeé jedolivé yy disréích

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

6. SLEDOVÁNÍ STATISTICKÉHO CHARAKTERU RADIOAKTIVNÍHO ROZPADU

6. SLEDOVÁNÍ STATISTICKÉHO CHARAKTERU RADIOAKTIVNÍHO ROZPADU 6. SLEDOVÁÍ STATSTCKÉHO CHARAKTERU RADOAKTVÍHO ROZPADU Jedá e o základí úlohu, demotrující tattcký charakter radoaktího rozadu a rcy tattckého ou ýledků měřeí oujícího zářeí. Měřeí je roáděo e ctlačím

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1.

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava ENERGETIKA U ŘÍZENÝCH ELEKTRICKÝCH POHONŮ. 1. Katedra obecé eletrotechiy Faulta eletrotechiy a iformatiy, VŠB - TU Ostrava EERGETIKA U ŘÍZEÝCH EEKTRICKÝCH POHOŮ Předmět : Rozvody eletricé eergie v dolech a lomech. Úvod: Světový tred z hledisa eletricé

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

Úloha č. 4 Kapacitní posouzení neřízené průsečné úrovňové křižovatky

Úloha č. 4 Kapacitní posouzení neřízené průsečné úrovňové křižovatky Úloha č. 4 Kaacitní osouzení neřízené růsečné úrovňové křižovatky Pro zjednodušení budeme v úloze očítat s narosto symetrickým zatížením křižovatky, které by v raxi nastalo zřídka. Jelikož zatížení je

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení

Kapitola 3.: Úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení Kapitola 3.: Úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí Cíl kapitoly Po protudováí této kapitoly budete - zát vlatoti pivotových tatitik odvozeých z áhodého výběru z ormálího rozložeí a budete je

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

ň š Ý É Č Í Š Ž Č Á Ě ŘÍ ň ň ď ň ů ň ň ň Á Á ň Á ň ú ů ů ú ů Ťť ň š Ť Ť Ž ú ů ů ú ů š Č ů ů Ě Í Í Í Á Í ů š š Š ň š š ů ů ů Ž Š Á ů ď Ť Ú ď ú š ů Í ú ů Í Í ú š š Ž ů ů ů ů ů ů Ž Í Ž ů ú ů ď š š š ď š Ž

Více

10 ODHADY PARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ

10 ODHADY PARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ Ig. Martia Litschmaová tatistika I., cvieí 0 ODHADY ARAMETR NORMÁLNÍHO ROZDLENÍ V raktických íadech vtšiou edokážeme es urit arametry ákladího souboru (oulace). K jejich odhadu oužíváme charakteristiky

Více

Vícekanálové čekací systémy

Vícekanálové čekací systémy Vícekaálové čekací systémy taice obsluhy sestává z ěkolika kaálů obsluhy, racujících aralelě a avzájem ezávisle. Vstuy i výstuy systému mají oissoovský charakter. Jedotky vstuující do systému obsadí ejrve

Více

Í Í Ř ď Í Á É Á Í Í Ě Í Í Á Í Á Ú Ť É Ě Í É Í ť Ě ŠÍ Í É ř ř ů ř ý ý é é ý ý é ý ý ř ů ý ý ý ř ý ů é ř ý řďů ý é é ř é ř ř ů ď ů ů ů ů é ý ý ť é ř Ť é é ý é é é é ď ď ňů ý ů ů é ř ř é ý ý ř é ď ý ý ů

Více

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. Pedagogická fakulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Radka Glücksmannová Jihočesá uiverzita v Česých Budějovicích Pedagogicá faulta PRAVDĚPODOBNOSTNÍ MODELY KOLEM NÁS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rada Glücsmaová Česé Budějovice, rosiec 7 Na tomto místě bych ráda oděovala vedoucímu baalářsé

Více

( ) 2 2 2. 7.4.8 Výpočty odchylek. Předpoklady: 7406

( ) 2 2 2. 7.4.8 Výpočty odchylek. Předpoklady: 7406 7.4.8 Výočty odchylek Předoklady: 7406 Pedagogická ozámka: Na octié robráí této hodiy otřebje běžý stdet tak jede a ůl hodiy yčoací. Defiici odchylek ro římky, roiy atd. ž záme ze stereometrie, teď jeom

Více

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok.

V následující tabulce jsou uvedeny jednotky pro objemový a hmotnostní průtok. 8. Měření růtoků V následující tabulce jsou uvedeny jednotky ro objemový a hmotnostní růtok. Základní vztahy ro stacionární růtok Q M V t S w M V QV ρ ρ S w ρ t t kde V [ m 3 ] - objem t ( s ] - čas, S

Více

VYUŽITÍ TEORIE HROMADNÉ OBSLUHY PŘI SIMULOVÁNÍ MIMOŘÁDNÝCH UDÁLOSTÍ

VYUŽITÍ TEORIE HROMADNÉ OBSLUHY PŘI SIMULOVÁNÍ MIMOŘÁDNÝCH UDÁLOSTÍ 16. medziárodá vedecká koerecia Riešeie krízových situácií v šeciickom rostredí, Fakulta šeciáleho ižiierstva ŽU, Žilia, 1. - 2. jú 211 VYUŽITÍ TEORIE HROMADNÉ OBSLUHY PŘI SIMULOVÁNÍ MIMOŘÁDNÝCH UDÁLOSTÍ

Více

8.3.6 Nekonečná geometrická řada

8.3.6 Nekonečná geometrická řada 8..6 Nekoečá geometrická řd Předpokldy: 80, 805 Máme lit ppíru. Roztřiheme ho dvě poloviy, jedu dáme hromádku druhou opět roztřiheme poloviy (tedy čtvrtiy původího litu). Jedu z těchto polovi opět položíme

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZIT PLCKÉHO V OLOMOUCI PŘÍROOVĚECKÁ FKULT KTER LGEBRY GEOMETRIE OSVĚTLENÍ VE STŘEOVÉM PROMÍTÁNÍ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářká práce Vedoucí práce: RNr. Leka Juklová, Ph.. Rok odevdáí 202 Vypracovala:

Více

STATISTIKA A PRAVD PODOBNOST - P EHLED VZORC A POZNATK. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ing. Josef Bedná, Ph.D.

STATISTIKA A PRAVD PODOBNOST - P EHLED VZORC A POZNATK. Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ing. Josef Bedná, Ph.D. Vysoké ueí techické v Br Fakulta stroího ižeýrství Ústav matematiky Doc. RNDr. Zdek Karpíšek, CSc. RNDr. Pavel Popela, Ph.D. Ig. Josef Bedá, Ph.D. STATISTIKA A PRAVDPODOBNOST - PEHLED VZORC A POZNATK uebí

Více

ě ě š é Č ě ě š Š š Č ú ě ě ě ě ó š ě ě š é ě é š ě é é é ě é é ěž ě Ž ě ě ě ů ě š ů ů é Ž ňů ňů Ž Ž é ňů ů ď é ů ď é ů Ý ď é é ňů ňů ě ů ňů ů ů ě é ňů Ý ě Ý ď é é š Ž š š Ž ě Ž ů ě š ě Ž Ž š ě é Ž Ž š

Více

JEDNOROZMĚRNÁ POPISNÁ STATISTIKA

JEDNOROZMĚRNÁ POPISNÁ STATISTIKA JEDNOROZMĚRNÁ POPISNÁ STATISTIKA Záladí tattcé ojmy Statta - teto ojem lze cháat v záadě ve třech ojetích: ) číelé ebo loví údaje (data) a jejch ouhry o hromadých jevech ) ratcá čot očívající ve běru,

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

Základy elektrických pohonů, oteplování,ochlazování motorů

Základy elektrických pohonů, oteplování,ochlazování motorů Základy elektrických ohonů, otelování,ochlazování motorů Určeno ro studenty kombinované formy FS, ředmětu Elektrotechnika II an Dudek únor 2007 Elektrický ohon Definice (dle ČSN 34 5170): Elektrický ohon

Více

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201

1.2.2 Síly II. Předpoklady: 1201 1.. Síly II Předoklady: 101 Oakování z minulé hodiny: Pohyb a jeho změny zůobují íly. Pro každou ravou ílu můžeme najít: ůvodce (těleo, které ji zůobuje), cíl (těleo, na které íla ůobí), artnerkou ílu

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd.

1. Ukazatele primární: - jsou přímo zjišťované, neodvozené - např. stav zásob, počet pracovníků k 31. 12., atd. SROVNÁVÁNÍ HODNOT STATSTCÝCH UKAZATELŮ - oisem a analýzou ekonomikýh jevů a roesů omoí statistikýh ukazatelů se zabývá hosodářská statistika - ílem je nalézt zůsoby měření ekonomiké skutečnosti (ve formě

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA

Fakulta elektrotechniky a informatiky Statistika STATISTIKA Fakulta elektrotechky a formatky TATITIKA. ZÁKLADNÍ OJMY. Náhodý pokus a áhodý jev NÁHODNÝ OKU proces realzace souboru podmíek kde výsledek emůžeme předem ovlvt. - výsledek áhodého pokusu. - jev, který

Více

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy

6. Vliv způsobu provozu uzlu transformátoru na zemní poruchy 6. Vliv zůsobu rovozu uzlu transformátoru na zemní oruchy Zemní oruchou se rozumí sojení jedné nebo více fází se zemí. Zemní orucha může být zůsobena řeskokem na izolátoru, růrazem evné izolace, ádem řetrženého

Více

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání

Elektrické přístroje. Přechodné děje při vypínání VŠB - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky Katedra elektrických strojů a řístrojů Předmět: Elektrické řístroje Protokol č.5 Přechodé děje ři vyíáí Skuia: Datum: Vyracoval: - -

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A.

můžeme toto číslo považovat za pravděpodobnost jevu A. RVDĚODONOST - matematická discilía, která se zabývá studiem zákoitostí, jimiž se řídí hromadé áhodé jevy - vytváří ravděodobostí modely, omocí ichž se saží ostihout áhodé rocesy. Náhodé okusy: rocesy,

Více

Kvadratické rovnice pro učební obory

Kvadratické rovnice pro učební obory Variace 1 Kvadratické rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jkaékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratické

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Matematická statistika I přednášky

Matematická statistika I přednášky Statitika (004) - Kába, Svatošová Cvičeí ze tatitiky - Prášilová, Svatošová Matematická tatitika I předášky SAS (Statitical Aalyi Sytem) - tatitický oftware (v dalším emetru) Základí tatitické pojmy -

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Mteriál louží ouze jko růvodce k mteriálu odrobějšímu, který je dotuý trákách htt:mi.vb.cz Tm jou

Více

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.)

Aktivita 1 Seminář základů statistiky a workshop (Prof. Ing. Milan Palát, CSc., Ing. Kristina Somerlíková, Ph.D.) Aktvta Semář základů tattky a workhop (Prof. Ig. Mla Palát, CSc., Ig. Krta Somerlíková, Ph.D.) Stattcké tříděí Základí metoda tattckého zpracováí. Sekupováí hodot proměé, které jou z hledka klafkačího

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování

8.3.1 Vklady, jednoduché a složené úrokování 8..1 Vklady, jedoduché a složeé úrokováí Předoklady: 81 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží

Více

REE 11/12Z - Elektromechanická přeměna energie. Stud. skupina: 2E/95 Hodnocení: FSI, ÚMTMB - ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY

REE 11/12Z - Elektromechanická přeměna energie. Stud. skupina: 2E/95 Hodnocení: FSI, ÚMTMB - ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Předmět: REE /Z - Elektromechanická řeměna energie Jméno: Ročník: Měřeno dne: 5.0.0 Stud. kuina: E/95 Hodnocení: Útav: FSI, ÚMTMB - ÚSTAV MECHAIKY TĚLES, MECHATROIKY A BIOMECHAIKY Soluracovali: ázev úlohy:

Více

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI

PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI PŘÍKLAD NA VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Z INTERVALOVÉHO ROZDĚLENÍ ČETNOSTI Přílad 0.6 Pracoví, terý spravuje podovou databáz, eportoval do tabulového procesoru všechy pracovíy podu Alfa Blatá s ěterým sledovaým

Více

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D.

HYDROMECHANICKÉ PROCESY. Doprava tekutin Čerpadla a kompresory (přednáška) Doc. Ing. Tomáš Jirout, Ph.D. HROMECHANICKÉ PROCES orava tekti Čeradla a komresory (ředáška) oc. Ig. Tomáš Jirot, Ph.. (e-mail: Tomas.Jirot@fs.cvt.cz, tel.: 435 68) ČERPALA Základy teorie čeradel Základí rozděleí čeradel Hydrostatická

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více