2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem

Transkript

1 .7. Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: K následujícím třem hodinám je možné přistoupit dvěma způsob. Já osobně doporučuji postupovat podle učebnice. V takovém případě zabere polovinu prvních dvou hodin výuka sstému násobení grafu funkce, která sice nefiguruje nikde v osnovách, ale znatelně zlepšuje orientaci studentů v grafech obecně a skýtá i některé další možnosti, jak řešit některé příklad. Čas který tímto způsobem ztratíme pak chbí ve zbtku hodin a je nutné většinu příkladů nechat do hodin 70. Druhou možností je studentům graf funkcí nakreslit, čímž se polovina hodin ušetří a příklad z hodin 70 se proberou již v hodině 70 (respektive 70). Postup je rchlejší, ale ztrácí velkou část kouzla. Pedagogická poznámka: Násobení grafu číslem nepromítám z počítače, ale ukazuji ho na tabuli. Mám připravený dnamický obrázek v Cabri, ale používám ho spíše pro potvrzení než pro výklad, který je u tabule pro student stravitelnější. Už při kreslení grafu funkce = se snažím nechávat studentům prostor, ab zkoušeli pro interval 0; a ;0 kreslit sami a já je mohl kontrolovat. Jinak následující postup je tpickou ukázkou toho, kd sebelepší tet v učebnici a model v počítači nemůže nahradit živou práci učitele. Další způsob jak přibližně nakreslit graf funkce = tentokrát pomocí funkce =, bez pomoci tabulk. Funkci = můžeme vjádřit pomocí funkce = takto: = = - ted hodnot funkce =, násobíme v každém bodě ještě jednou hodnotou. Pro = je hodnota = (svislá plná modrá čára). Násobíme hodnotou = (vodorovná přerušovaná modrá čára), platí =, nová hodnota = pro = se hodnota nezmění (červený křížek o souřadnicích [ ; ] - první bod nového grafu) =, napravo od bodu [ ; ]. Hodnot v každém místě (svislá Další bod grafu plná zelená čára) násobíme hodnotou > (vodorovná přerušovaná zelená čára). Při násobení číslem větším než jedna se hodnota zvětší (proto jsou červené křížk výš než původní černé). Čím je číslo, kterým násobíme, větší, tím víc se hodnota zvětší (červené křížk jsou čím více napravo tím výše nad původními černými). n

2 Pokračujeme vlevo od bodu [ ; ]. Hodnot v každém místě (svislá plná žlutá čára) násobíme hodnotou < (vodorovná přerušovaná žlutá čára). Při násobení číslem menším než jedna se hodnota zmenší (proto jsou červené křížk níž než původní černé). Čím je číslo, kterým násobíme, menší, tím víc se hodnota zmenší (červené křížk jsou čím více vlevo tím níže pod původními černými). V bodě [ 0;0 ] násobíme nulu nulou i nová hodnota bude nula a bod zůstane na místě.

3 Máme první polovinu grafu hotovou. Nní sestrojujeme levou část grafu: Pro = je hodnota = (svislá plná modrá čára). Násobíme hodnotou = (vodorovná přerušovaná modrá čára), platí ( ) n = se hodnota změní na opačné číslo (červený křížek o souřadnicích [ ] bod levé stran nového grafu). Bod grafu =, nalevo od bodu [ ; ] = nová hodnota =. Pro ; - první. Hodnot v každém místě (svislá plná zelená čára) násobíme hodnotou < (vodorovná přerušovaná zelená čára). Při násobení číslem menším než mínus jedna se hodnota v absolutní hodnotě zvětší (proto jsou růžové křížk níž a dál od os než původní černé), ale protože jsou obě čísla v součinu záporná, výsledek má kladné znaménko, takže se překlopí nad osu (červený křížek). Čím je číslo, kterým násobíme, menší (a v absolutní hodnotě větší), tím víc se hodnota v absolutní hodnotě zvětší (růžové křížk jsou čím více nalevo tím níže pod původními černými), po převrácení pak zvětší (červené jsou čím více nalevo tím výše). ;. Hodnot v každém místě (svislá plná žlutá Pokračujeme vpravo od bodu [ ] čára) násobíme hodnotou < < 0 (vodorovná přerušovaná žlutá čára). Při násobení číslem v absolutní hodnotě menším než jedna se hodnota v absolutní hodnotě zmenší (proto jsou růžové křížk výš než původní černé a blíže k ose ). Protože jsou obě čísla v součinu záporná, výsledek je kladný a křížek se převrátí nad osu. Čím je číslo, kterým násobíme, v absolutní hodnotě menší, tím víc se hodnota v absolutní hodnotě zmenší (růžové křížk jsou čím více vpravo tím výše nad původními černými a blíže k ose ).

4 Spojením získaných bodů získám graf funkce =.

5 Pedagogická poznámka: Ačkoliv je kreslení grafu = uvedeno jako příklad. Hlavně z počátku v jednotlivých intervalech po chvilce třídě pomáhám. Na konci tohoto příkladu b však už studenti měli být schopni kreslit další graf samostatně. Př. : Pomocí předchozího postupu sestroj z grafu funkce = graf funkce =. Platí = = vezmeme graf funkce hodnotami. = a všechn bod budeme násobit

6 Pro = je hodnota = (svislá plná modrá čára). Násobíme hodnotou = (vodorovná přerušovaná modrá čára), platí = nová hodnota =. Pro = se hodnota nezmění (červený křížek o souřadnicích [ ; ] - první bod nového grafu). = napravo od bodu [ ; ]. Hodnot v každém místě (svislá Další bod grafu plná zelená čára) násobíme hodnotou > (vodorovná přerušovaná zelená čára). Při násobení číslem větším než jedna se hodnota zvětší (proto jsou červené křížk výš než původní černé), čím je číslo, kterým násobím větší, tím víc se hodnota zvětší (červené křížk jsou čím více napravo tím výše nad původními černými). ;. Hodnot v každém místě (svislá plná žlutá čára), Pokračujeme vlevo od bodu [ ] násobíme hodnotou < (vodorovná přerušovaná žlutá čára). Při násobení číslem menším než jedna se hodnota zmenší (proto jsou červené křížk níž než původní černé). Čím je číslo, kterým násobíme, menší, tím víc se hodnota zmenší (červené křížk jsou čím více vlevo tím níže pod původními černými). V bodě [ 0;0 ] násobíme nulu nulou i nová hodnota bude nula a bod zůstane na místě. Pro = je hodnota = (svislá plná modrá čára). Násobíme hodnotou = (vodorovná přerušovaná modrá čára), platí ( ) = nová hodnota =. Pro n n

7 = se hodnota změní na opačné číslo (červený křížek o souřadnicích [ ; ] - první bod levé stran nového grafu). Bod grafu ;. Hodnot v každém místě (svislá plná = nalevo od bodu [ ] zelená čára) násobíme hodnotou < (vodorovná přerušovaná zelená čára). Při násobení číslem menším než mínus jedna se hodnota v absolutní hodnotě zvětší (proto jsou růžové křížk výš a dál od os než původní černé), ale protože je jedno číslo v součinu záporné, výsledek má záporné znaménko, takže se překlopí pod osu (červený křížek). Čím je číslo, kterým násobíme, menší (a v absolutní hodnotě větší), tím víc se hodnota v absolutní hodnotě zvětší (růžové křížk jsou čím více nalevo tím výše pod původními černými), po převrácení pak zmenší (červené jsou čím více nalevo tím níže). ;. Hodnot v každém místě (svislá plná žlutá Pokračujeme vpravo od bodu [ ] čára) násobíme hodnotou < < 0 (vodorovná přerušovaná žlutá čára). Při násobení číslem v absolutní hodnotě menším než jedna se hodnota v absolutní hodnotě zmenší (proto jsou růžové křížk níž než původní černé a blíže k ose ). Protože jedno číslo v součinu je záporné, výsledek je záporný a křížek se převrátí pod osu. Čím je číslo, kterým násobíme, v absolutní hodnotě menší, tím víc se hodnota v absolutní hodnotě zmenší (růžové křížk jsou čím více vpravo tím níže pod původními černými a blíže k ose ). Spojením bodů získáme graf funkce =

8 Pro nakreslení grafu není nutné kreslit jednotlivé bod, pokud si uvědomujeme postup popsané výše. Př. : Pomocí postupů popsaných v této kapitole nakresli do jednoho obrázku graf funkcí: =, =, =, =, = a =. Graf požadovaných funkcí jsou nakreslen stejnými barvami jako jejich předpis: =, =, =, =, = a =. Protože nejzajímavější je situace v okolí nul uděláme si detail obrázku: =, =, =, =, = a = 8

9 Z obrázku je zřejmé, že graf s všší mocninou postupně kolem nul čím dál více naléhají na osu a ve větší vzdálenosti od ní jsou čím dál strmější. Všechn graf prochází bodem [, ]. Pedagogická poznámka: Ještě než studenti začnou kreslit předchozí příklad, je dobré jim připomenout, že funkce budou sice čím dál strmější, ale nikd se nesmí vracet zpátk. Musí ted kreslit první funkce tak, ab měli ještě místo pro další. Př. : Podle obrázků roztřiď mocninné funkce s přirozeným mocnitelem do dvou skupin a H f, rostoucí, klesající, urči vlastnosti všech funkcí v každé skupině ( D( f ), ( ) sudá, lichá, omezená). Z obrázků je zřejmé, že jednu skupinu tvoří funkce: =, =, =, druhou funkce: =, =, =. Pro zařazení do skupin je rozhodující, zda je mocnitel sudý nebo lichý. n Vlastnosti mocninných funkcí s přirozeným mocnitelem ( = ; n N ) N je liché n je sudé 9

10 D ( f ) = R D ( f ) = R H ( f ) = R H ( f ) = 0; ) Funkce není omezená. Funkce zdola omezená, minimum [ 0;0 ]. Funkce je lichá. Funkce je sudá. Funkce je rostoucí v R. Funkce je rostoucí v intervalu 0; ). Funkce není nikd klesající. Funkce je klesající v intervalu ( ;0. tvar otočené a převrácené S tvar U Teď už víme, proč se říká sudá a lichá funkce. Př. : Nakresli do jednoho obrázku graf funkcí 7 =, =, =. Graf funkcí jsou nakreslen stejnými barvami jako jejich předpis: 7 =, =, = 0

11 Poznámka: Z obrázku je vidět, že u vsokých mocnin graf téměř splývají. V takových případech je budeme kreslit pouze schematick tak, abchom mohli navzájem porovnat hodnot obou funkcí. Př. : Nakresli do jednoho obrázku graf funkcí 77 =, 79 =, 90 =. Graf požadovaných funkcí jsou nakreslen stejnými barvami jako jejich předpis: =, =, =. Z počítačového obrázku není bohužel nic vidět Zkusíme si přiblížit počátek: =, =, 90 =.

12 Ani to příliš nepomáhá. Nezbývá, než si nakreslit schématický obrázek obrázek nebude zachcovat přesně tvar funkcí, ale znázorní rozdíl mezi nimi =, =, =

13 Pedagogická poznámka: Studenti vřeší poslední příklad, pokud se jim podaří nakreslit obrázek tak, ab na něm nechbělo nic podstatného, co odlišuje jednotlivé funkce od sebe navzájem. V opačném případě je nechám opravovat. Shrnutí: Pomocí grafického násobení v grafu můžeme snadno odhadnout tvar funkcí = n, n N.