8 Průzkumová analýza dat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8 Průzkumová analýza dat"

Transkript

1 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro ásledé statistické zpracováí (MELOUN - MILIT- KÝ 1994). Proč tyto vlastosti potřebujeme zkoumat? Většia běžě používaých statistických metod předpokládá určité vlastosti zpracovávaých souborů ebo výběrů, ejdůležitější z ich jsou ásledující: miimálí rozsah výběru, ormalita (tj. splěí předpokladu, že výběr pochází ze základího souboru s ormálím rozděleím), abseci silě vychýleých hodot, vzájemá ezávislost prvků výběru. Splěí těchto podmíek podmiňuje použití ejzámějších a ejpoužívaějších statistických charakteristik, tzv. mometových aritmetického průměru, rozptylu, směrodaté odchylky, koeficietů špičatosti a šikmosti. Pouhé okulárí posouzeí - zvláště u velkých souborů dat - eí průkazé a mohdy ai techicky možé. Grafické a početí metody průzkumové aalýzy dat mohou rozhodováí o splěí růzých předpokladů objektivizovat. Mohé soubory měřeých dat jsou zcela uikátí a často elze (jak z techických, tak i z ekoomických důvodů) měřeí opakovat ebo doplit. V těchto případech ám průzkumová aalýza dat může poskytout velmi ceé iformace ještě před provedeím vlastí statistické aalýzy, upozorit a možé problémy a pomoci při volbě ejvhodějších metod zpracováí (eboť i statistická aalýza stojí čas a peíze - a v eposledí řadě začou práci - a chybě staoveé metody aalýzy ebo její esprávé provedeí může mohdy zcela zehodotit důležitý a ákladý výzkumý ebo komerčí projekt). Průzkumová aalýza dat je relativě moderí statistickou disciplíou, jejíž rozvoj je spoje s rozšířeím výpočetí techiky. Většia postupů průzkumové aalýzy dat je totiž založea a grafických metodách, které je možé efektivě provádět je s použitím speciálích statistických programů. Výhodou těchto metod (oproti metodám početím) je jejich ázorost, relativí evýhodou je utost určité zkušeosti při jejich iterpretaci. Proto je ejvhodější kombiovat početí (testy) a grafické metody. Průzkumová aalýza dat využívá především robustích kvatilových charakteristik (o ich podroběji v kapitole 4.1 v I. dílu). Základem pro kostrukci kvatilových charakteristik je pořádková statistika, což jsou vzestupě uspořádaé prvky souboru x (1) x () x (). Pokud budou v dalším textu idexy ozačující jedotlivé prvky v závorce - x (1) - bude se jedat o pořádkovou statistiku. Z takto upraveého souboru je možé kostruovat kvatilové charakteristiky. Obecě platí, že středí hodota i-té pořádkové statistiky je rova 100P i procetímu kvatilu, což je hodota pod kterou leží 100P i procet prvků souboru. Určitým kvatilem je tedy každý prvek souboru. Hodota P i se azývá pořadová pravděpodobost. Obecě se P i staoví takto 1

2 i P i. 1 Pro účely průzkumové aalýzy dat se obvykle P i volí (MELOUN - MILITKÝ 1994) 1 i P 3 i 1 3 V průzkumové aalýze dat se používá vybraých kvatilů pro pořadové pravděpodobosti P i = -i pro i = 1,, 3, 4. Vzhledem k tomu, že se tyto vybraé kvatily obvykle ozačují písmey, azývají se písmeové hodoty. Jejich přehled je v tabulce 8.1. i i-tý kvatil P i Písmeo 1 mediá -1 = 1/ M kvartily - = 1/4 F 3 oktily -3 = 1/8 E 4 sedecily -4 = 1/16 D Tabulka Přehled základích kvatilů používaých v průzkumové aalýze dat a jejich písmeové ekvivalety Pro odhad písmeových hodot se používá techika pořadí a hloubek. Každá z uspořádaých hodot x (i) je určea trojicí {K i, R i, H i }, kde je K i = i rostoucí pořadí (pořadové číslo pořádkové statistiky počítaé od ejmešího prvku); R i = i klesající pořadí (kde je celkový počet prvků); H i = mi{ K i, R i } hloubka pořádkové statistiky (je to meší z hodot K i, R i ). Potom platí, že hloubka mediáu je 1 H M. Pokud tato hodota eí celé číslo, provádí se lieárí iterpolace mezi dvěma prostředími prvky souboru. Hloubky dolích písmeových hodot jsou 1 it(hl1) HL, kde L je obecé ozačeí kvatilu (L = M, F, E, D), it (x) je celočíselá část x. Ozačeí L - 1 začí vždy předchozí kvatil, tj. D - 1 = E, E - 1 = F, F - 1 = M. Pokud je H L celé číslo, potom platí, že dolí kvatil se rová LD x(h L ) a horí kvatil L x H ( 1H L )

3 Příklad 8.1 Vyčíslete písmeové hodoty pro zadaou číselou řadu o 19 prvcích. x (i) R i K i H i Tabulka 8. - Metoda pořadí a hloubek V tabulce 8. jsou vyčísley hodoty pořádkové statistiky, rostoucího a klesajícího pořadí a hloubky pro jedoduchou číselou řadu čísel Vidíme, že ejvětší hloubku (10) má prostředí prvek souboru - mediá. Jeho hloubka je (19 + 1)/ = 10. Ostatí kvatily se získají podle výše uvedeých vzorců. Např. pro kvartil platí - (1 + 10)/ = 5,5, tj. musíme iterpolovat mezi 5. a 6. prvkem. To je hodota dolího kvartilu, horí kvartil je rove ,5 = 14,5, tj. iterpolujeme mezi 14. a 15. prvkem. Podobě vypočítáme oktil s použitím hloubky kvartilu a sedecil s využitím hloubky oktilu. Tabulka 8.3 uvádí příslušé písmeové hodoty. Kvatil Dolí kvatil Horí kvatil Mediá - M Kvartil - F Oktil - E Sedecil - D Tabulka Hodoty písmeových hodot pro zadaou číselou řadu 8.1 Základí grafické metody průzkumové aalýzy dat Mezi základí úkoly průzkumové aalýzy dat patří posouzeí: stupě symetrie a špičatosti rozděleí, lokálích kocetrací dat, vybočujících měřeí, shody s teoretickým rozděleím (zpravidla s ormálím). Nejběžějšími prostředky pro splěí těchto úkolů jsou speciálí grafické metody, především diagram rozptýleí, rozmítutý diagram rozptýleí, krabicový graf, vrubový krabicový graf, graf hustoty pravděpodobosti, graf rozptýleí s kvatily. 3

4 Grafické metody mají oproti početím testům (apř. testům ormality, ezávislosti, apod.) určité výhody i evýhody. Na jedé straě edávají jedozačé rozhodutí o přijetí ebo odmítutí určité hypotézy jako testy, o míře esouladu s teoretickým rozděleím musí rozhodout aalytik a základě svých zalostí, ale a druhé straě jejich rozborem je možé postihout příčiy esouladu s určitým rozděleím (apř. vliv šikmosti, špičatosti, odlehlých hodot, je možé i detekovat směs více rozděleí apod.). Například při posuzováí ormality je statistický test a daé hladiě výzamosti průkazý, ale pouze ám zamíte ebo ezamíte ulovou hypotézu (tj. že výběr pochází ebo epochází z ormálího rozděleí), ale eaalyzuje příčiy. Vhodá grafická metoda průzkumové aalýzy dat - v tomto případě apř. kvatilový ebo rakitový graf - takto jedozačou iformaci eposkyte (o míře ormality musí rozhodout hodotitel), ale a druhé straě poskyte moho iformací o možých příčiách eormality (apř. vybočující měřeí, šikmost apod.).uvádí se také (ME- LOUN - MILITKÝ 1994), že grafické metody jsou citlivější, přísější, ež obvykle používaé testy, kde jejich schopost detekce závisí především a síle testu. Proto se doporučuje při posuzováí výběrů pomocí grafických metod průzkumové aalýzy dat obě skupiy metod kombiovat a závěry dělat až a základě posouzeí výsledků obou skupi Graf rozptýleí je v podstatě vyeseí hodot souboru a číselou osu. I takto jedoduché grafické zázorěí má daleko vyšší vypovídací hodotu ež pouhá řada čísel. Je možé rychle odhalit lokálí kocetrace dat (velké akupeí hodot v určitém úseku číselé osy) a podezřelé vybočující hodoty (extrémě ízké ebo vysoké). Grafické schéma je a obrázku 8.1. Rozmítutý graf rozptýleí je podobý jako předchozí a má i stejé použití. Body jsou však pomocí geerátoru áhodých čísel ve vhodém měřítku rozhozey ve směru osy Y, aby v místech s velkou kocetrací hodot edocházelo k jejich splýváí. Grafické schéma je a obrázku 8.1. Obrázek 8.1 Schéma grafu rozptýleí a rozmítutého grafu rozptýleí. 4

5 8.1. Krabicový graf je jedím z ejběžějších způsobů grafického zázorěí dat. Je součástí většiy moderích statistických programů. Také se ěkdy můžeme setkat s ázvem vousatá krabička (z agl. ázvu box ad whisker plot ). Umožňuje především zázorěí robustího odhadu polohy mediáu, posouzeí symetrie rozděleí, idetifikaci podezřelých odlehlých měřeí. Jeho základem je obdélík s vhodě zvoleou šířkou a délkou rovou iterkvartilovému rozpětí R F = F H - F D (tj. rozdílu horího a dolího kvartilu). Uvitř obdélíku ( krabičky ) je čára představující polohu mediáu M. Od obou protilehlých stra obdélíku pokračují úsečky ( vousy ), které jsou ukočey přilehlými hodotami - horí B PH a dolí B PD. Přilehlé hodoty jsou ty prvky souboru, které leží ejblíže vitřích hradeb souboru - dolí hraice hradby B D a horí hraice B H. Tyto hodoty se vypočítají B H = F H + 1.5R F, resp. B D = F D - 1.5R F. Samoté vitří hradby ejsou v grafu zpravidla zázorěy. Kocové body úseček jsou tedy ejmeší a ejvyšší bezproblémové hodoty souboru. Body ležící mimo vitří hradby jsou považováy za podezřelé (odlehlé, vybočující) a jsou graficky zázorěy (křížky, kolečky apod.) v příslušých vzdáleostech. Grafické schéma je a obrázku Vrubový krabicový graf je variatou předchozího grafu. Na krabičce se vytvoří zářez, jehož šířka je rova itervalu spolehlivosti mediáu (dolí hraice I D, horí hraice I H ). Hraice se vypočítají podle vzorců 1,57 R F 1,57 R F IH M ID M Ostatí charakteristiky jsou stejé jako u krabicového grafu. Grafické schéma je a obrázku 8.. Obrázek 8. - Obecé schéma krabicového (a) a vrubového krabicového grafu. (b). Nahoře je pro srováí diagram rozptýleí s vyzačeými důležitými body pro kostrukci krabicových grafů. Prázdými kolečky jsou vyzačea vybočující měřeí. Symboly: M- mediá, F D(H) dolí 5

6 (horí) kvartil, I D(H) dolí (horí) hraice itervalu spolehlivosti mediáu, B D(H) dolí(horí) vitří hradba souboru (podle MELOUN - MILITKÝ 1994) Graf rozptýleí s kvatily je jede z ejuiverzálějších a také ejpoužívaějších průzkumových grafů. Na ose X se vyáší pořadová pravděpodobost, a ose Y pořádková statistika. Základí tvar grafu vzike spojeím bodů {P i, x (i) }lieárími úseky. Základí tvar pro ormálí rozděleí je sigmoidálí, ejprve kokáví, potom kovexí. Ke zvýšeí přehledosti a vypovídací schoposti grafu se zakreslují kvatilové obdélíky (pro kvartil, oktil a sedecil) a poloha mediáu. Každý obdélík má a ose X souřadice daé hodotami dolího a horího příslušého kvatilu (kvartil 0.5 a 0.75; oktil 0.15 a a sedecil a ). Na ose Y jsou vyášey příslušé pořádkové statistiky (tedy vzestupě uspořádaé hodoty). Vodorové hray kvatilových obdélíků ám tedy a ose Y ukáží hodoty příslušých kvatilů. Bývá zde též zakresle mediá M včetě svého itervalu spolehlivosti. Pomocí grafu rozptýleí s kvatily se posuzuje zejméa: sešikmeost rozděleí, modalita (uimodálí - vícemodálí rozděleí), odlehlé hodoty. Sešikmeost rozděleí se posuzuje podle vzájemé polohy kvatilových obdélíků. Symetrické rozděleí je charakterizováo tím, že jedotlivé obdélíky jsou symetricky jede uvitř druhého. Nejlepší kotrola je podle vzdáleosti dolích a horích stra příslušých obdélíků. Pokud se jedá o výrazě levostraé rozděleí (sešikmeé k ižším hodotám), potom jsou vzdáleosti mezi dolími straami výrazě meší ež mezi horími straami. Je to způsobeo tím, že relativě stejý úsek souboru - apř. 5% hodot mezi dolím kvartilem a mediáem - je kocetrová do mešího rozpětí hodot a ose Y. U pravostraého rozděleí je situace opačá - meší vzdáleosti jsou mezi horími straami obdélíků. Modus (ejčastěji se vyskytující hodota v souboru) se pozá podle toho, že a kvatilové fukci je vytvoře schod - úsek rovoběžý s osou X. Je to způsobeo tím, že je zde kocetrováo více stejých hodot. Vícemodálí rozděleí mají takových stejých schodů ěkolik (ejpočetější výskyt v souboru má více hodot). Odlehlé hodoty idetifikujeme tak, že a kvatilové fukci se projeví a pravém koci áhlý vzrůst (ebo pokles a levém koci). Grafické schéma je a obrázku

7 Obrázek Obecé schéma grafu rozptýleí s kvatily a jeho srováí s grafem rozptýleí a krabicovým grafem. Vysvětleí symbolů viz v textu (podle MELOUN - MILITKÝ 1994) Kvatil kvatilový graf (Q-Q graf), ormálí pravděpodobostí graf Teto typ grafu porovává kvatily experimetálího a vybraého teoretického rozděleí (tedy vlastě vzestupě uspořádaé aměřeé hodoty a odpovídající hodoty staoveé pomocí příslušé pravděpodobostí fukce daého rozděleí). Jsou kostruováy tak, že pokud experimetálí rozděleí plě odpovídá teoretickému, potom je grafem přímka. Jakékoli odchylky od tohoto ideálího tvaru idikují odchylky od předpokládaého teoretického rozděleí. Q-Q graf lze sestrojit pro růzá rozděleí, pouze se jiak staovují příslušé hodoty a osách X a Y. Podroběji ke kostrukci Q-Q grafů pro vybraá zámá rozděleí viz apř. MELOUN - MILITKÝ Speciálím případem Q-Q grafu pro ormálí rozděleí je rakitový graf. Rakitový graf je kostruová tak, že a jedé ose jsou vyášey kvatily ormovaého ormálího rozděleí u Pi (to jsou tabelovaé hodoty ebo je možé je získat apř. v Excelu pomocí fukce NORMSINV) a a druhé ose pořádkové statistiky x (i). Pokud zkoumaé rozděleí skutečě odpovídá ormálímu, potom je grafem přímka. Ve statistických programech je obvykle pro srováí vykreslea srovávací přímka, a které by ležely všechy body v případě ideálí shody s ormálím rozděleím. Na základě typických tvarů sestrojeého grafu, které jsou schématicky uvedey a obrázku 8.4, je možé soudit a hlaví příčiy odchylky od ormality. Kromě těchto základích vzorů je možé také detekovat i jié případy, apř. silě odlehlá měřeí (odlehlý bod je daleko od ostatích, zpravidla mimo srovávací přímku) Graf hustoty pravděpodobosti Pojem hustoty pravděpodobosti záme již z I. dílu, z kapitoly o 5.3 o fukcích áhodých proměých. Víme tedy, že pro teoretická rozděleí je možé kostruovat tzv. frekvečí fukci, která se také azývá (v případě spojitých veliči) hustota pravděpodobosti. Tato fukce je velmi užitečá pro posouzeí rozložeí dat, pro detekci ehomogeity (výskyt více oblastí s vyšší kocetrací dat ebo odlehlých hodot) e- 7

8 bo sešikmeí (esouměrost) rozděleí. Z toho vyplývá, že kdybychom byli schopi sestrojit graf hustoty pravděpodobosti pro empirická data, porovat jej s příslušým teoretickým (obvykle ormálím) rozděleím, získali bychom velmi dobrý prostředek pro posouzeí odchylek od příslušého teoretického rozděleí. Sestrojit frekvečí fukci teoretického rozděleí je možé jako derivaci distribučí fukce. Jak ale tuto fukci sestrojit pro empirická data, u ichž žádou teoretickou fukci ezáme? Řešeí abízí techika azývaá jádrový odhad hustoty. Obrázek 8.4 Základí tvary odchylek od ormálího rozděleí v rakitovém grafu rozděleí ploché (a), špičaté (b), levostraě esouměré (c) a pravostraě esouměré (d). POZOR! Tato iterpretace platí pro uspořádáí os, které je uvedeo a obrázku. Pokud jsou osy přehozey (tj. a ose X jsou měřeé hodoty a a ose Y jsou očekávaé kvatily ormálího rozděleí) je iterpretace opačá!! Pricip metody je poměrě jedoduchý, matematické provedeí ale dost komplikovaé a její rutií užití je možé pouze s využitím specializovaých statistických programů. Vycházíme z ásledující myšleky: pro každou z N empirických hodot se sestrojí elemetárí křivka hustoty pravděpodobosti s plochou pod křivkou 1/N, která se azývá jádro. Toto jádro může mít teoreticky jakýkoli tvar, obvykle se používá frekvečí fukce ormálího rozděleí (Gaussova křivka). Tyto elemetárí křivky se sečtou a výsledkem je křivka, která určitým způsobem modeluje rozložeí empirických hodot. Pricip kostrukce je schématicky zázorě a obrázku 8.5. Je uté zdůrazit, že se jedá o odhad rozložeí hodot, eí to jedozačě determiovaá 8

9 křivka, kterou by bylo možé vyjádřit ějakým jedoduchým vzorcem. Výsledý tvar závisí především a dvou faktorech: tvaru jádra, šířce jádra. Tvar jádra může být v podstatě libovolý, obvykle se používá ormálí rozděleí. Velmi důležitá je šířka jádra (tj. šířka elemetárích fukcí sestrojeých kolem datových bodů). Pokud je šířka malá, vypadá výsledá křivka jako pohoří s moha štíty a eposkytuje iformaci o podstatých vlastostech daého rozděleí. Naopak velká šířka způsobí, že křivka je velmi hladká a výsledek z hlediska iterpretace je stejý ebo ještě horší ež v případě malého (úzkého) jádra. Správý odhad šířky jádra vyžaduje určitou zkušeost, a v případě, že máme možost šířku jádra volit, tak i experimetováí. Některé programy umožňují tuto volbu, jié se saží o optimálí odhad jádra a základě vestavěých (zpravidla iteračích) algoritmů, ale v obou případech si musíme uvědomit, že se jedá o odhad a výsledek eí zcela objektiví. I přes uvedeé edostatky je graf hustoty pravděpodobosti velmi oblíbeým diagostickým ástrojem, především pro možost rychlého a ázorého porováí empirických hodot s teoretickým rozděleím. Uvádí se empirické pravidlo (KUPKA 1997), že při dostatečé velikosti výběru (N > 50) dvě výrazá maxima a grafu hustoty pravděpodobosti svědčí o pravděpodobé ehomogeitě výběru a lze uvažovat o jeho rozděleí a dvě části. Výskyt velkého možství lokálích maxim svědčí obvykle o příliš úzkém jádru. Naproti tomu použití tohoto grafu má také svá omezeí. Nelze jej použít k odhadu kvatilů ebo ke kostrukci distribučí fukce. Statistické programy, pokud teto graf mají ve své výbavě, obvykle jej vykreslují ve srováí s ormálím rozděleím. Zájemci o matematickou formulaci kostrukce grafu, o postupy k vedoucí k určeí šířky jádra ajdou ejpoužívaější techiky apř. v MELOUN-MILITKÝ hustota pravděpodobosti jádra data empirické (aměřeé) hodoty Obrázek 8.5 Schéma kostrukce grafu hustoty pravděpodobosti. Výsledá součtová křivka je zázorěa tučě. 9

10 Proveďte průzkumovou aalýzu dat pro zadaé soubory pomocí grafických metod. Příklad 8. Pro ilustraci provedeí a iterpretace průzkumové aalýzy dat pomocí základích grafických metod byly geerováy 3 výběry - podle rovoměrého, ormálího a expoeciálího rozděleí. Rozděleí byla vybráa tak, že kromě základího statistického rozděleí (ormálího) se zde vyskytuje i rozděleí výrazě esymetrické (expoeciálí) a aopak rozděleí s velmi pravidelým rozložeím hodot v daém itervalu (rovoměré). Základí zadáí je v tabulce 8.4. Pro aplikaci průzkumové aalýzy dat je uté z prvotího zápisu udělat pořádkovou statistiku, tj. vzestupě uspořádaý výběr. Poté můžeme aplikovat výše popsaé základí grafické metody. Výsledek pro ormálí rozděleí je a obrázcích 8.6, 8.7, 8.8 a 8.9. Z grafu rozptýleí (tečkového grafu) a obrázku 8.6 vidíme, že daý výběr vykazuje určité lokálí kocetrace dat (skupiy ahloučeých bodů). V oblasti dolích hodot jsou dvě poměrě izolovaé hodoty, ale z krabicového grafu je zřejmé, že se zřejmě ejedá o vybočující (extrémí) hodoty, eboť pouze jeda vybočuje z vitřích hradeb souboru, a to velmi těsě. Srováí polohy mediáu a aritmetického průměru idikuje velmi dobrou shodu, což je typické právě pro ormálí rozděleí ebo symetrická rozděleí blízká ormálímu. Aalýza kvartilů ( krabičky ) azačuje, že daý výběr bude zřejmě velmi mírě pravostraý, eboť dolí část krabičky je o ěco delší ež horí, což zameá, že v úseku mezi mediáem a horím kvartilem (horí část krabičky) jsou data více kocetrováa ež v dolí části (tj. mezi mediáem a dolím kvartilem). Hodoty Krabicový graf pro ormálí rozděleí ormálí Obrázek 8.6 Krabicový graf a graf rozptýleí pro geerovaá data ormálího rozděleí. Popis jedotlivých prvků grafu je v textu. Krátká čárka ozačuje polohu aritmetického průměru. 10

11 K podobým závěrům můžeme dojít pomocí grafu rozptýleí s kvatily. Jedotlivé kvatilové obdélíky jsou v podstatě symetrické, což idikuje prakticky symetrické rozložeí bodů mezi jedotlivými výzamými kvatily. Čára spojující jedotlivé hodoty vykazuje určitou stupňovitost daou právě lokálími kocetracemi dat. Další dva grafy a obrázcích 8.8 a 8.9 umožňují kvalitě posoudit shodu s ormálím rozděleím. Kvatil-kvatilový graf vykazuje dobrou shodu, která je idikováa tím, že jedotlivé body (kvatily) leží velmi těsě kolem srovávací liie. Je uté si uvědomit, že ideálí shodu s přímkou edosáheme prakticky ikdy, jde v podstatě o míru těsosti, s jakou se měřeé (ebo v tomto případě geerovaé) hodoty přimykají srovávací liii. Větší odchylku vykazují pouze dvě ejižší hodoty, ale vzhledem k tomu, že výběr je dostatečě velký (50 hodot), zřejmě tato odchylka ebude mít větší vliv. Teto závěr potvrzuje i graf hustoty pravděpodobosti, kdy jádrový odhad hustoty empirické křivky (čárkovaě) se téměř shoduje s teoretickým průběhem ormálího rozděleí vypočítaého pomocí aritmetického průměru a směrodaté odchylky výběru. Potvrzuje předpoklad velmi míré špičatosti (empirická křivka je vyšší ež teoretická, což idikuje vyšší kocetraci hodot v oblasti tohoto vrcholu) a pravostraé esouměrosti (vrchol empirické křivky je mírě vpravo od teoretické křivky). Stejé výstupy byly vytvořey pro rovoměré rozděleí a obrázcích 8.10, 8.11, 8.1 a Pro rovoměré rozděleí je typické to, jak již ázev apovídá, že data jsou v podstatě stejoměrě rozdělea v daém itervalu (je to také symetrické rozděleí, od ormálího se liší tím, že v oblasti kolem středí hodoty edochází k vyšší kocetraci dat ež a okrajích rozděleí, jejich hustota je stále stejá). 11

12 Původí hodoty Pořádkové statistiky Rozděleí Norálí Expoeciálí Rovoměré Číslo prvku ormálí expoeciálí rovoměré Číslo prvku Hodota Číslo prvku Hodota Číslo prvku Hodota Tabulka 8.4- Geerovaá rozděleí pro ilustraci použití grafických metod průzkumové aalýzy dat 1

13 Obrázek 8.7 Graf rozptýleí s kvatily pro ormálí rozděleí Obrázek 8.8 Kvatil-kvatilový graf pro ormálí rozděleí 13

14 Obrázek 8.9 Graf hustoty pravděpodobosti pro ormálí rozděleí. Čárkovaá čára je jádrový odhad hustoty empirických hodot, plá čára je frekvečí fukce ormálího rozděleí. Tyto vlastosti jsou potvrzey také příslušými grafy. Na grafu rozptýleí (tečkovém) a krabicovém vidíme, že krabička je ve srováí s ormálím rozděleím poměrě dlouhá (to je právě idikace skutečosti, že kolem středí hodoty edochází k větší kocetraci dat, to potvrzuje i tečkový graf vedle). Také aritmetický průměr se velmi dobře shoduje s mediáem (hodoty prakticky splývají). Vzhledem ke začému iterkvartilovému rozpětí žádá hodota eleží mimo vitří hradby souboru. Teto typ krabicového grafu je typický pro plochá rozděleí, tj. pro taková, která evykazují výzamější kocetrace hodot. Výše uvedeé typické vlastosti rovoměrého rozděleí se a grafu rozptýleí s kvatily projeví tím, že kvatilové obdélíky a jsou skoro čtvercového tvaru a spojice empirických hodot je téměř přímka (oproti esovitému tvaru u ormálího rozděleí). Kvatil-kvatilový graf a graf hustoty pravděpodobosti také potvrzují typické vlastosti rovoměrého rozděleí a Q-Q grafu (obrázek 8.1 ) je patrý typický tvar pro ploché rozděleí (viz schématická zázorěí a obrázku 8.4 ). Také empirická křivka grafu hustoty pravděpodobosti ukazuje a ploché a víceméě souměré rozděleí (křivka je plošší ižší a širší, tj. má vyšší variabilitu, ež křivka ormálího rozděleí). Z obou obrázků je zřejmé, že rozdíly mezi rovoměrým a ormálím rozděleím ejsou velké a že modelováí takového rozděleí pomocí obvyklého ormálího rozděleí ve většiě případů vyhoví. 14

15 Krabicový graf pro rovomeré rozdeleí Hodoty Obrázek 8.10 Krabicový graf a diagram rozptýleí pro geerovaé rovoměré rozděleí Obrázek Graf rozptýleí s kvatily pro geerovaé rovoměré rozděleí 15

16 Obrázek 8.1 Kvatil-kvatilový graf pro rovoměré rozděleí Obrázek 8.13 Graf hustoty pravděpodobosti pro rovoměré rozděleí Posledím příkladem je expoeciálí rozděleí. Jeho grafické iterpretace jsou a obrázcích 8.14, 8.15, 8.16 a Je to typicky výrazě esouměré rozděleí, 16

17 což je ihed ázorě vidět z grafického zobrazeí a obrázcích 8.14 a Na diagramu rozptýleí (tečkový graf) vidíme, že většia hodot je kocetrováa v dolí části (oblast ižších hodot), jedá se tedy o výrazě levostraě esouměré rozděleí. O této skutečosti také svědčí výrazý rozdíl mezi mediáem a aritmetickým průměrem (krátká čárka). Na horí straě (vyšší hodoty) vidíme ěkolik hodot výrazě přesahujících vitří hradby souboru, přičemž by tyto hodoty musely být v případě kokrétích měřeí velmi pozorě posuzováy z hlediska jejich správosti a vypovídací schoposti. Na grafu rozptýleí s kvatily je levostraé sešikmeí vidět velmi ázorě: vzdáleosti mezi dolími a horími straami kvatilových obdélíků jsou začě odlišé - velká kocetrace ízkých hodot způsobuje, že dolí stray jsou u sebe velmi blízko, což je typické právě pro levostraou esouměrost. Také spojice empirických hodot vykazuje tvar typický pro levostraé rozděleí stejý jako a Q-Q grafu. Hodoty Krabicový graf pro expoeciálí rozdeleí Obrázek 8.14 Krabicový graf expoeciálího rozděleí Obrázek 8.15 Graf rozptýleí s kvatily pro expoeciálí rozděleí 17

18 Obrázek 8.16 Kvatil-kvatilový graf expoeciálího rozděleí Obrázek 8.17 Graf hustoty pravděpodobosti expoeciálího rozděleí Grafy shody s ormálím rozděleím potvrzují výrazou odchylku od ormálího rozděleí. Na kvatil-kvatilovém grafu sado rozezáme výrazé levostraé rozděleí (podle typického tvaru z obrázku 8.4 c). Stejý závěr potvrzuje obrázek 8.17, kde můžeme potvrdit levostraost a špičatost rozděleí. Tabulka 8.5 uvádí pro srováí základí statistické charakteristiky všech tří výběrů. Vidíme, že statistické charakteristiky dobře odpovídají předběžým závěrům, které jsme učiili a základě rozboru průzkumových grafů (ormálí rozděleí je mír- 18

19 ě pravostraé, rovoměré má vyšší variabilitu a je souměré, expoeciálí je silě levostraé s ejvyšší variabilitou daou odlehlými hodotami). Je to potvrzeí faktu, že z těchto relativě jedoduchých exploratorích grafů můžeme poměrě rychle a spolehlivě aalyzovat základí vlastosti posuzovaých výběrů. Charakteristika (bodové odhady základího souboru) Rozděleí ormálí rovoměré expoeciálí aritmetický průměr mediá rozptyl směrodatá odchylka koeficiet esouměrosti koeficiet špičatosti Tabulka 8.5 Statistické charakteristiky tří geerovaých rozděleí (koeficiet špičatosti pro ormálí rozděleí je rove 3, koeficiet esouměrosti ule) 8. Ověřeí předpokladů o datech Při použití obvyklých metod matematické statistiky (tedy pokud pracujeme s výběry) se zpravidla předpokládá, že se jedá o ezávislé áhodé veličiy pocházející z ormálího rozděleí a že výběr má dostatečý rozsah pro spolehlivý odhad parametrů a testováí hypotéz. Před provedeím vlastí statistické aalýzy bychom tedy měli ověřit ásledující vlastosti: dostatečý rozsah výběru, ezávislost prvků výběru, ormalitu výběru, homogeitu výběru Určeí miimálí velikosti výběru Základí postupy týkající se potřebé velikosti výběru byly uvedey v I. dílu, v kapitole a str Ověřeí ormality výběru Normalita výběrového rozděleí je jedím z ejdůležitějších předpokladů aalýzy dat, je a ěm založea většia obvykle používaých statistických metod, apř. 19

20 metody korelačí a regresí aalýzy, mohé testy apod. Pokud eí ormalita výběru prokázáa, je uto hlouběji aalyzovat data a pokusit se zjistit příčiy. Data, u kterých se ormalita eprokázala, je možé také aalyzovat (zpravidla speciálími ebo modifikovaými metodami) ebo je možé data přiblížit ormalitě pomocí tzv. trasformace. Grafické metody posouzeí ormality jsme probrali v předchozí kapitole (je to především kvatil-kvatilový, resp. rakitový graf a dále graf hustoty pravděpodobosti). Kromě toho existuje ještě celá řada testů ormality. Jede z ich je uvede v 1. dílu a straě 115 (kapitola ). Kromě ěho se často používají apř. Shapiro- Wilkův, D Agostiův omibus test, dále Aderso Darligův, Jarque Berův, Kolmogorov- Smirovův test a další. Uvedeme ještě dva testy, které jsou často používáy ve statistických programech, a to D Agostiův omibus test a Shapiro-Wilkův test.. D Agostiův omibus test (test kombiace výběrové šikmosti a špičatosti) (MELOUN - MILITKÝ 1994) Pro reálé velikosti výběrů se používá testovací statistika C Z (g1) Z (g ) kde hodoty Z ( g 1 ) a Z ( g ) jsou ormálí aproximace výběrové šikmosti, resp. špičatosti. Pro výpočet Z ( g 1 ) potřebujeme vypočítat ásledující pomocé veličiy: Y g ( ) G 3( 7 70)( 1)( 3) ( )( 5)( 7)( 9) W 1 G 1 A W 1 Z těchto pomocých veliči se určí aproximace 1 Y Y Z(g 1 ) l 1 l W A A Pro výpočet ormálí aproximace špičatosti vypočítáme veličiu S pomocí vztahu g E(g ) S D(g ) kde je g vypočítaá výběrová špičatost 0

21 E(g ) středí hodota výběrové špičatosti, která se pro ormálí rozděleí vypočítá podle vzorce 6 E(g ) 3 1 D(g ) je rozptyl výběrové špičatosti vypočítaý podle vzorce 4( )( 3) D(g ). ( 1) ( 3)( 5) Dále se vypočítá šikmost veličiy S 6( 5 ) 6( 3)( 5) g1(s) ( 7)( 9) ( )( 3) a pomocá hodota 8 4 A 6 1, g1(s) g1(s) g1 (S) Aproximace špičatosti se vypočítá 1 Z(g ) 9A 3 1 A 1 S A 4 Pokud zkoumaý výběr pochází z ormálího rozděleí, potom statistika C má rozděleí se dvěma stupi volosti. Teto test je považová za velmi silý. Má výhodu v tom, že pomocí ěho lze odděleě testovat samostaté hypotézy o vlivu šikmosti ebo špičatosti a ormalitu, resp. eormalitu výběru. Aproximace Z ( g 1 ) a Z ( g ) tedy lze použít jako samostaté testovací statistiky. V těchto případech mají obě aproximace ormovaé ormálí rozděleí N (0,1). Vzhledem k relativě zdlouhavému výpočtu se doporučuje pro použití tohoto testu vypracovat jedoduchý program, který vypočítá hodotu C i hodoty obou aproximací. Pokud alespoň jeda z aproximací evyhovuje ormalitě, je celé rozděleí považováo za statisticky výzamě odlišé od ormálího. Shapiro Wilkův test Teto test byl odvoze pro meší výběry (doporučeý rozsah výběru 3 50 prvků). Testové kritérium je W N i1 9A xi x i1 a i x (i) 1

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005

Patří slovo BUSINESS do zdravotnictví?. 23. 6. 2005 Patří slovo BUSINESS do zdravotictví?. 23. 6. 2005 Společost Deloitte Společost Deloitte v České republice má více ež 550 zaměstaců a kaceláře v Praze a Olomouci. Naše česká pobočka je součástí aší regioálí

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I

Metodika implementace Průřezového tématu Environmentální výchova I Elektroická publikace Metodika implemetace Průřezového tématu Evirometálí výchova I Zpracovaly: Bc. Jaroslava Rozprýmová a Mgr. Milica Sedláčková Témata: 1. Zemědělství a životí prostředí 2. Ekologické

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře.

Symptomatická léčba urgentní inkontinence a/nebo zvýšené frekvence močení a urgence u pacientů se syndromem hyperaktivního močového měchýře. Sp.z.sukls118965/2013 a k sukls118966/2013 SOUHRN ÚDAJŮ O PŘÍPRAVKU 1. NÁZEV PŘÍPRAVKU Solifeaci Actavis 5 mg Solifeaci Actavis 10 mg potahovaé tablety 2. KVALITATIVNÍ A KVANTITATIVNÍ SLOŽENÍ Solifeaci

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013 KMB systems, s.r.o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 30 34, fax +420 482 736 896 email : kmb@kmb.cz, iteret : www.kmb.cz SML33 / SMM33 / SMN3 Multifukčí měřící přístroje

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročík LVII 28 Číslo 5, 2009 ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ L. Papírík

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Model péče o duševně nemocné

Model péče o duševně nemocné Model péče o duševě emocé v regiou hlavího města Prahy Zázam jedáí závěrečé koferece projektu Vzděláváí odboríků, státí správy a samosprávy v oblasti trasformace istitucioálí péče o duševě emocé Praha,

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více