8 Průzkumová analýza dat

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "8 Průzkumová analýza dat"

Transkript

1 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro ásledé statistické zpracováí (MELOUN - MILIT- KÝ 1994). Proč tyto vlastosti potřebujeme zkoumat? Většia běžě používaých statistických metod předpokládá určité vlastosti zpracovávaých souborů ebo výběrů, ejdůležitější z ich jsou ásledující: miimálí rozsah výběru, ormalita (tj. splěí předpokladu, že výběr pochází ze základího souboru s ormálím rozděleím), abseci silě vychýleých hodot, vzájemá ezávislost prvků výběru. Splěí těchto podmíek podmiňuje použití ejzámějších a ejpoužívaějších statistických charakteristik, tzv. mometových aritmetického průměru, rozptylu, směrodaté odchylky, koeficietů špičatosti a šikmosti. Pouhé okulárí posouzeí - zvláště u velkých souborů dat - eí průkazé a mohdy ai techicky možé. Grafické a početí metody průzkumové aalýzy dat mohou rozhodováí o splěí růzých předpokladů objektivizovat. Mohé soubory měřeých dat jsou zcela uikátí a často elze (jak z techických, tak i z ekoomických důvodů) měřeí opakovat ebo doplit. V těchto případech ám průzkumová aalýza dat může poskytout velmi ceé iformace ještě před provedeím vlastí statistické aalýzy, upozorit a možé problémy a pomoci při volbě ejvhodějších metod zpracováí (eboť i statistická aalýza stojí čas a peíze - a v eposledí řadě začou práci - a chybě staoveé metody aalýzy ebo její esprávé provedeí může mohdy zcela zehodotit důležitý a ákladý výzkumý ebo komerčí projekt). Průzkumová aalýza dat je relativě moderí statistickou disciplíou, jejíž rozvoj je spoje s rozšířeím výpočetí techiky. Většia postupů průzkumové aalýzy dat je totiž založea a grafických metodách, které je možé efektivě provádět je s použitím speciálích statistických programů. Výhodou těchto metod (oproti metodám početím) je jejich ázorost, relativí evýhodou je utost určité zkušeosti při jejich iterpretaci. Proto je ejvhodější kombiovat početí (testy) a grafické metody. Průzkumová aalýza dat využívá především robustích kvatilových charakteristik (o ich podroběji v kapitole 4.1 v I. dílu). Základem pro kostrukci kvatilových charakteristik je pořádková statistika, což jsou vzestupě uspořádaé prvky souboru x (1) x () x (). Pokud budou v dalším textu idexy ozačující jedotlivé prvky v závorce - x (1) - bude se jedat o pořádkovou statistiku. Z takto upraveého souboru je možé kostruovat kvatilové charakteristiky. Obecě platí, že středí hodota i-té pořádkové statistiky je rova 100P i procetímu kvatilu, což je hodota pod kterou leží 100P i procet prvků souboru. Určitým kvatilem je tedy každý prvek souboru. Hodota P i se azývá pořadová pravděpodobost. Obecě se P i staoví takto 1

2 i P i. 1 Pro účely průzkumové aalýzy dat se obvykle P i volí (MELOUN - MILITKÝ 1994) 1 i P 3 i 1 3 V průzkumové aalýze dat se používá vybraých kvatilů pro pořadové pravděpodobosti P i = -i pro i = 1,, 3, 4. Vzhledem k tomu, že se tyto vybraé kvatily obvykle ozačují písmey, azývají se písmeové hodoty. Jejich přehled je v tabulce 8.1. i i-tý kvatil P i Písmeo 1 mediá -1 = 1/ M kvartily - = 1/4 F 3 oktily -3 = 1/8 E 4 sedecily -4 = 1/16 D Tabulka Přehled základích kvatilů používaých v průzkumové aalýze dat a jejich písmeové ekvivalety Pro odhad písmeových hodot se používá techika pořadí a hloubek. Každá z uspořádaých hodot x (i) je určea trojicí {K i, R i, H i }, kde je K i = i rostoucí pořadí (pořadové číslo pořádkové statistiky počítaé od ejmešího prvku); R i = i klesající pořadí (kde je celkový počet prvků); H i = mi{ K i, R i } hloubka pořádkové statistiky (je to meší z hodot K i, R i ). Potom platí, že hloubka mediáu je 1 H M. Pokud tato hodota eí celé číslo, provádí se lieárí iterpolace mezi dvěma prostředími prvky souboru. Hloubky dolích písmeových hodot jsou 1 it(hl1) HL, kde L je obecé ozačeí kvatilu (L = M, F, E, D), it (x) je celočíselá část x. Ozačeí L - 1 začí vždy předchozí kvatil, tj. D - 1 = E, E - 1 = F, F - 1 = M. Pokud je H L celé číslo, potom platí, že dolí kvatil se rová LD x(h L ) a horí kvatil L x H ( 1H L )

3 Příklad 8.1 Vyčíslete písmeové hodoty pro zadaou číselou řadu o 19 prvcích. x (i) R i K i H i Tabulka 8. - Metoda pořadí a hloubek V tabulce 8. jsou vyčísley hodoty pořádkové statistiky, rostoucího a klesajícího pořadí a hloubky pro jedoduchou číselou řadu čísel Vidíme, že ejvětší hloubku (10) má prostředí prvek souboru - mediá. Jeho hloubka je (19 + 1)/ = 10. Ostatí kvatily se získají podle výše uvedeých vzorců. Např. pro kvartil platí - (1 + 10)/ = 5,5, tj. musíme iterpolovat mezi 5. a 6. prvkem. To je hodota dolího kvartilu, horí kvartil je rove ,5 = 14,5, tj. iterpolujeme mezi 14. a 15. prvkem. Podobě vypočítáme oktil s použitím hloubky kvartilu a sedecil s využitím hloubky oktilu. Tabulka 8.3 uvádí příslušé písmeové hodoty. Kvatil Dolí kvatil Horí kvatil Mediá - M Kvartil - F Oktil - E Sedecil - D Tabulka Hodoty písmeových hodot pro zadaou číselou řadu 8.1 Základí grafické metody průzkumové aalýzy dat Mezi základí úkoly průzkumové aalýzy dat patří posouzeí: stupě symetrie a špičatosti rozděleí, lokálích kocetrací dat, vybočujících měřeí, shody s teoretickým rozděleím (zpravidla s ormálím). Nejběžějšími prostředky pro splěí těchto úkolů jsou speciálí grafické metody, především diagram rozptýleí, rozmítutý diagram rozptýleí, krabicový graf, vrubový krabicový graf, graf hustoty pravděpodobosti, graf rozptýleí s kvatily. 3

4 Grafické metody mají oproti početím testům (apř. testům ormality, ezávislosti, apod.) určité výhody i evýhody. Na jedé straě edávají jedozačé rozhodutí o přijetí ebo odmítutí určité hypotézy jako testy, o míře esouladu s teoretickým rozděleím musí rozhodout aalytik a základě svých zalostí, ale a druhé straě jejich rozborem je možé postihout příčiy esouladu s určitým rozděleím (apř. vliv šikmosti, špičatosti, odlehlých hodot, je možé i detekovat směs více rozděleí apod.). Například při posuzováí ormality je statistický test a daé hladiě výzamosti průkazý, ale pouze ám zamíte ebo ezamíte ulovou hypotézu (tj. že výběr pochází ebo epochází z ormálího rozděleí), ale eaalyzuje příčiy. Vhodá grafická metoda průzkumové aalýzy dat - v tomto případě apř. kvatilový ebo rakitový graf - takto jedozačou iformaci eposkyte (o míře ormality musí rozhodout hodotitel), ale a druhé straě poskyte moho iformací o možých příčiách eormality (apř. vybočující měřeí, šikmost apod.).uvádí se také (ME- LOUN - MILITKÝ 1994), že grafické metody jsou citlivější, přísější, ež obvykle používaé testy, kde jejich schopost detekce závisí především a síle testu. Proto se doporučuje při posuzováí výběrů pomocí grafických metod průzkumové aalýzy dat obě skupiy metod kombiovat a závěry dělat až a základě posouzeí výsledků obou skupi Graf rozptýleí je v podstatě vyeseí hodot souboru a číselou osu. I takto jedoduché grafické zázorěí má daleko vyšší vypovídací hodotu ež pouhá řada čísel. Je možé rychle odhalit lokálí kocetrace dat (velké akupeí hodot v určitém úseku číselé osy) a podezřelé vybočující hodoty (extrémě ízké ebo vysoké). Grafické schéma je a obrázku 8.1. Rozmítutý graf rozptýleí je podobý jako předchozí a má i stejé použití. Body jsou však pomocí geerátoru áhodých čísel ve vhodém měřítku rozhozey ve směru osy Y, aby v místech s velkou kocetrací hodot edocházelo k jejich splýváí. Grafické schéma je a obrázku 8.1. Obrázek 8.1 Schéma grafu rozptýleí a rozmítutého grafu rozptýleí. 4

5 8.1. Krabicový graf je jedím z ejběžějších způsobů grafického zázorěí dat. Je součástí většiy moderích statistických programů. Také se ěkdy můžeme setkat s ázvem vousatá krabička (z agl. ázvu box ad whisker plot ). Umožňuje především zázorěí robustího odhadu polohy mediáu, posouzeí symetrie rozděleí, idetifikaci podezřelých odlehlých měřeí. Jeho základem je obdélík s vhodě zvoleou šířkou a délkou rovou iterkvartilovému rozpětí R F = F H - F D (tj. rozdílu horího a dolího kvartilu). Uvitř obdélíku ( krabičky ) je čára představující polohu mediáu M. Od obou protilehlých stra obdélíku pokračují úsečky ( vousy ), které jsou ukočey přilehlými hodotami - horí B PH a dolí B PD. Přilehlé hodoty jsou ty prvky souboru, které leží ejblíže vitřích hradeb souboru - dolí hraice hradby B D a horí hraice B H. Tyto hodoty se vypočítají B H = F H + 1.5R F, resp. B D = F D - 1.5R F. Samoté vitří hradby ejsou v grafu zpravidla zázorěy. Kocové body úseček jsou tedy ejmeší a ejvyšší bezproblémové hodoty souboru. Body ležící mimo vitří hradby jsou považováy za podezřelé (odlehlé, vybočující) a jsou graficky zázorěy (křížky, kolečky apod.) v příslušých vzdáleostech. Grafické schéma je a obrázku Vrubový krabicový graf je variatou předchozího grafu. Na krabičce se vytvoří zářez, jehož šířka je rova itervalu spolehlivosti mediáu (dolí hraice I D, horí hraice I H ). Hraice se vypočítají podle vzorců 1,57 R F 1,57 R F IH M ID M Ostatí charakteristiky jsou stejé jako u krabicového grafu. Grafické schéma je a obrázku 8.. Obrázek 8. - Obecé schéma krabicového (a) a vrubového krabicového grafu. (b). Nahoře je pro srováí diagram rozptýleí s vyzačeými důležitými body pro kostrukci krabicových grafů. Prázdými kolečky jsou vyzačea vybočující měřeí. Symboly: M- mediá, F D(H) dolí 5

6 (horí) kvartil, I D(H) dolí (horí) hraice itervalu spolehlivosti mediáu, B D(H) dolí(horí) vitří hradba souboru (podle MELOUN - MILITKÝ 1994) Graf rozptýleí s kvatily je jede z ejuiverzálějších a také ejpoužívaějších průzkumových grafů. Na ose X se vyáší pořadová pravděpodobost, a ose Y pořádková statistika. Základí tvar grafu vzike spojeím bodů {P i, x (i) }lieárími úseky. Základí tvar pro ormálí rozděleí je sigmoidálí, ejprve kokáví, potom kovexí. Ke zvýšeí přehledosti a vypovídací schoposti grafu se zakreslují kvatilové obdélíky (pro kvartil, oktil a sedecil) a poloha mediáu. Každý obdélík má a ose X souřadice daé hodotami dolího a horího příslušého kvatilu (kvartil 0.5 a 0.75; oktil 0.15 a a sedecil a ). Na ose Y jsou vyášey příslušé pořádkové statistiky (tedy vzestupě uspořádaé hodoty). Vodorové hray kvatilových obdélíků ám tedy a ose Y ukáží hodoty příslušých kvatilů. Bývá zde též zakresle mediá M včetě svého itervalu spolehlivosti. Pomocí grafu rozptýleí s kvatily se posuzuje zejméa: sešikmeost rozděleí, modalita (uimodálí - vícemodálí rozděleí), odlehlé hodoty. Sešikmeost rozděleí se posuzuje podle vzájemé polohy kvatilových obdélíků. Symetrické rozděleí je charakterizováo tím, že jedotlivé obdélíky jsou symetricky jede uvitř druhého. Nejlepší kotrola je podle vzdáleosti dolích a horích stra příslušých obdélíků. Pokud se jedá o výrazě levostraé rozděleí (sešikmeé k ižším hodotám), potom jsou vzdáleosti mezi dolími straami výrazě meší ež mezi horími straami. Je to způsobeo tím, že relativě stejý úsek souboru - apř. 5% hodot mezi dolím kvartilem a mediáem - je kocetrová do mešího rozpětí hodot a ose Y. U pravostraého rozděleí je situace opačá - meší vzdáleosti jsou mezi horími straami obdélíků. Modus (ejčastěji se vyskytující hodota v souboru) se pozá podle toho, že a kvatilové fukci je vytvoře schod - úsek rovoběžý s osou X. Je to způsobeo tím, že je zde kocetrováo více stejých hodot. Vícemodálí rozděleí mají takových stejých schodů ěkolik (ejpočetější výskyt v souboru má více hodot). Odlehlé hodoty idetifikujeme tak, že a kvatilové fukci se projeví a pravém koci áhlý vzrůst (ebo pokles a levém koci). Grafické schéma je a obrázku

7 Obrázek Obecé schéma grafu rozptýleí s kvatily a jeho srováí s grafem rozptýleí a krabicovým grafem. Vysvětleí symbolů viz v textu (podle MELOUN - MILITKÝ 1994) Kvatil kvatilový graf (Q-Q graf), ormálí pravděpodobostí graf Teto typ grafu porovává kvatily experimetálího a vybraého teoretického rozděleí (tedy vlastě vzestupě uspořádaé aměřeé hodoty a odpovídající hodoty staoveé pomocí příslušé pravděpodobostí fukce daého rozděleí). Jsou kostruováy tak, že pokud experimetálí rozděleí plě odpovídá teoretickému, potom je grafem přímka. Jakékoli odchylky od tohoto ideálího tvaru idikují odchylky od předpokládaého teoretického rozděleí. Q-Q graf lze sestrojit pro růzá rozděleí, pouze se jiak staovují příslušé hodoty a osách X a Y. Podroběji ke kostrukci Q-Q grafů pro vybraá zámá rozděleí viz apř. MELOUN - MILITKÝ Speciálím případem Q-Q grafu pro ormálí rozděleí je rakitový graf. Rakitový graf je kostruová tak, že a jedé ose jsou vyášey kvatily ormovaého ormálího rozděleí u Pi (to jsou tabelovaé hodoty ebo je možé je získat apř. v Excelu pomocí fukce NORMSINV) a a druhé ose pořádkové statistiky x (i). Pokud zkoumaé rozděleí skutečě odpovídá ormálímu, potom je grafem přímka. Ve statistických programech je obvykle pro srováí vykreslea srovávací přímka, a které by ležely všechy body v případě ideálí shody s ormálím rozděleím. Na základě typických tvarů sestrojeého grafu, které jsou schématicky uvedey a obrázku 8.4, je možé soudit a hlaví příčiy odchylky od ormality. Kromě těchto základích vzorů je možé také detekovat i jié případy, apř. silě odlehlá měřeí (odlehlý bod je daleko od ostatích, zpravidla mimo srovávací přímku) Graf hustoty pravděpodobosti Pojem hustoty pravděpodobosti záme již z I. dílu, z kapitoly o 5.3 o fukcích áhodých proměých. Víme tedy, že pro teoretická rozděleí je možé kostruovat tzv. frekvečí fukci, která se také azývá (v případě spojitých veliči) hustota pravděpodobosti. Tato fukce je velmi užitečá pro posouzeí rozložeí dat, pro detekci ehomogeity (výskyt více oblastí s vyšší kocetrací dat ebo odlehlých hodot) e- 7

8 bo sešikmeí (esouměrost) rozděleí. Z toho vyplývá, že kdybychom byli schopi sestrojit graf hustoty pravděpodobosti pro empirická data, porovat jej s příslušým teoretickým (obvykle ormálím) rozděleím, získali bychom velmi dobrý prostředek pro posouzeí odchylek od příslušého teoretického rozděleí. Sestrojit frekvečí fukci teoretického rozděleí je možé jako derivaci distribučí fukce. Jak ale tuto fukci sestrojit pro empirická data, u ichž žádou teoretickou fukci ezáme? Řešeí abízí techika azývaá jádrový odhad hustoty. Obrázek 8.4 Základí tvary odchylek od ormálího rozděleí v rakitovém grafu rozděleí ploché (a), špičaté (b), levostraě esouměré (c) a pravostraě esouměré (d). POZOR! Tato iterpretace platí pro uspořádáí os, které je uvedeo a obrázku. Pokud jsou osy přehozey (tj. a ose X jsou měřeé hodoty a a ose Y jsou očekávaé kvatily ormálího rozděleí) je iterpretace opačá!! Pricip metody je poměrě jedoduchý, matematické provedeí ale dost komplikovaé a její rutií užití je možé pouze s využitím specializovaých statistických programů. Vycházíme z ásledující myšleky: pro každou z N empirických hodot se sestrojí elemetárí křivka hustoty pravděpodobosti s plochou pod křivkou 1/N, která se azývá jádro. Toto jádro může mít teoreticky jakýkoli tvar, obvykle se používá frekvečí fukce ormálího rozděleí (Gaussova křivka). Tyto elemetárí křivky se sečtou a výsledkem je křivka, která určitým způsobem modeluje rozložeí empirických hodot. Pricip kostrukce je schématicky zázorě a obrázku 8.5. Je uté zdůrazit, že se jedá o odhad rozložeí hodot, eí to jedozačě determiovaá 8

9 křivka, kterou by bylo možé vyjádřit ějakým jedoduchým vzorcem. Výsledý tvar závisí především a dvou faktorech: tvaru jádra, šířce jádra. Tvar jádra může být v podstatě libovolý, obvykle se používá ormálí rozděleí. Velmi důležitá je šířka jádra (tj. šířka elemetárích fukcí sestrojeých kolem datových bodů). Pokud je šířka malá, vypadá výsledá křivka jako pohoří s moha štíty a eposkytuje iformaci o podstatých vlastostech daého rozděleí. Naopak velká šířka způsobí, že křivka je velmi hladká a výsledek z hlediska iterpretace je stejý ebo ještě horší ež v případě malého (úzkého) jádra. Správý odhad šířky jádra vyžaduje určitou zkušeost, a v případě, že máme možost šířku jádra volit, tak i experimetováí. Některé programy umožňují tuto volbu, jié se saží o optimálí odhad jádra a základě vestavěých (zpravidla iteračích) algoritmů, ale v obou případech si musíme uvědomit, že se jedá o odhad a výsledek eí zcela objektiví. I přes uvedeé edostatky je graf hustoty pravděpodobosti velmi oblíbeým diagostickým ástrojem, především pro možost rychlého a ázorého porováí empirických hodot s teoretickým rozděleím. Uvádí se empirické pravidlo (KUPKA 1997), že při dostatečé velikosti výběru (N > 50) dvě výrazá maxima a grafu hustoty pravděpodobosti svědčí o pravděpodobé ehomogeitě výběru a lze uvažovat o jeho rozděleí a dvě části. Výskyt velkého možství lokálích maxim svědčí obvykle o příliš úzkém jádru. Naproti tomu použití tohoto grafu má také svá omezeí. Nelze jej použít k odhadu kvatilů ebo ke kostrukci distribučí fukce. Statistické programy, pokud teto graf mají ve své výbavě, obvykle jej vykreslují ve srováí s ormálím rozděleím. Zájemci o matematickou formulaci kostrukce grafu, o postupy k vedoucí k určeí šířky jádra ajdou ejpoužívaější techiky apř. v MELOUN-MILITKÝ hustota pravděpodobosti jádra data empirické (aměřeé) hodoty Obrázek 8.5 Schéma kostrukce grafu hustoty pravděpodobosti. Výsledá součtová křivka je zázorěa tučě. 9

10 Proveďte průzkumovou aalýzu dat pro zadaé soubory pomocí grafických metod. Příklad 8. Pro ilustraci provedeí a iterpretace průzkumové aalýzy dat pomocí základích grafických metod byly geerováy 3 výběry - podle rovoměrého, ormálího a expoeciálího rozděleí. Rozděleí byla vybráa tak, že kromě základího statistického rozděleí (ormálího) se zde vyskytuje i rozděleí výrazě esymetrické (expoeciálí) a aopak rozděleí s velmi pravidelým rozložeím hodot v daém itervalu (rovoměré). Základí zadáí je v tabulce 8.4. Pro aplikaci průzkumové aalýzy dat je uté z prvotího zápisu udělat pořádkovou statistiku, tj. vzestupě uspořádaý výběr. Poté můžeme aplikovat výše popsaé základí grafické metody. Výsledek pro ormálí rozděleí je a obrázcích 8.6, 8.7, 8.8 a 8.9. Z grafu rozptýleí (tečkového grafu) a obrázku 8.6 vidíme, že daý výběr vykazuje určité lokálí kocetrace dat (skupiy ahloučeých bodů). V oblasti dolích hodot jsou dvě poměrě izolovaé hodoty, ale z krabicového grafu je zřejmé, že se zřejmě ejedá o vybočující (extrémí) hodoty, eboť pouze jeda vybočuje z vitřích hradeb souboru, a to velmi těsě. Srováí polohy mediáu a aritmetického průměru idikuje velmi dobrou shodu, což je typické právě pro ormálí rozděleí ebo symetrická rozděleí blízká ormálímu. Aalýza kvartilů ( krabičky ) azačuje, že daý výběr bude zřejmě velmi mírě pravostraý, eboť dolí část krabičky je o ěco delší ež horí, což zameá, že v úseku mezi mediáem a horím kvartilem (horí část krabičky) jsou data více kocetrováa ež v dolí části (tj. mezi mediáem a dolím kvartilem). Hodoty Krabicový graf pro ormálí rozděleí ormálí Obrázek 8.6 Krabicový graf a graf rozptýleí pro geerovaá data ormálího rozděleí. Popis jedotlivých prvků grafu je v textu. Krátká čárka ozačuje polohu aritmetického průměru. 10

11 K podobým závěrům můžeme dojít pomocí grafu rozptýleí s kvatily. Jedotlivé kvatilové obdélíky jsou v podstatě symetrické, což idikuje prakticky symetrické rozložeí bodů mezi jedotlivými výzamými kvatily. Čára spojující jedotlivé hodoty vykazuje určitou stupňovitost daou právě lokálími kocetracemi dat. Další dva grafy a obrázcích 8.8 a 8.9 umožňují kvalitě posoudit shodu s ormálím rozděleím. Kvatil-kvatilový graf vykazuje dobrou shodu, která je idikováa tím, že jedotlivé body (kvatily) leží velmi těsě kolem srovávací liie. Je uté si uvědomit, že ideálí shodu s přímkou edosáheme prakticky ikdy, jde v podstatě o míru těsosti, s jakou se měřeé (ebo v tomto případě geerovaé) hodoty přimykají srovávací liii. Větší odchylku vykazují pouze dvě ejižší hodoty, ale vzhledem k tomu, že výběr je dostatečě velký (50 hodot), zřejmě tato odchylka ebude mít větší vliv. Teto závěr potvrzuje i graf hustoty pravděpodobosti, kdy jádrový odhad hustoty empirické křivky (čárkovaě) se téměř shoduje s teoretickým průběhem ormálího rozděleí vypočítaého pomocí aritmetického průměru a směrodaté odchylky výběru. Potvrzuje předpoklad velmi míré špičatosti (empirická křivka je vyšší ež teoretická, což idikuje vyšší kocetraci hodot v oblasti tohoto vrcholu) a pravostraé esouměrosti (vrchol empirické křivky je mírě vpravo od teoretické křivky). Stejé výstupy byly vytvořey pro rovoměré rozděleí a obrázcích 8.10, 8.11, 8.1 a Pro rovoměré rozděleí je typické to, jak již ázev apovídá, že data jsou v podstatě stejoměrě rozdělea v daém itervalu (je to také symetrické rozděleí, od ormálího se liší tím, že v oblasti kolem středí hodoty edochází k vyšší kocetraci dat ež a okrajích rozděleí, jejich hustota je stále stejá). 11

12 Původí hodoty Pořádkové statistiky Rozděleí Norálí Expoeciálí Rovoměré Číslo prvku ormálí expoeciálí rovoměré Číslo prvku Hodota Číslo prvku Hodota Číslo prvku Hodota Tabulka 8.4- Geerovaá rozděleí pro ilustraci použití grafických metod průzkumové aalýzy dat 1

13 Obrázek 8.7 Graf rozptýleí s kvatily pro ormálí rozděleí Obrázek 8.8 Kvatil-kvatilový graf pro ormálí rozděleí 13

14 Obrázek 8.9 Graf hustoty pravděpodobosti pro ormálí rozděleí. Čárkovaá čára je jádrový odhad hustoty empirických hodot, plá čára je frekvečí fukce ormálího rozděleí. Tyto vlastosti jsou potvrzey také příslušými grafy. Na grafu rozptýleí (tečkovém) a krabicovém vidíme, že krabička je ve srováí s ormálím rozděleím poměrě dlouhá (to je právě idikace skutečosti, že kolem středí hodoty edochází k větší kocetraci dat, to potvrzuje i tečkový graf vedle). Také aritmetický průměr se velmi dobře shoduje s mediáem (hodoty prakticky splývají). Vzhledem ke začému iterkvartilovému rozpětí žádá hodota eleží mimo vitří hradby souboru. Teto typ krabicového grafu je typický pro plochá rozděleí, tj. pro taková, která evykazují výzamější kocetrace hodot. Výše uvedeé typické vlastosti rovoměrého rozděleí se a grafu rozptýleí s kvatily projeví tím, že kvatilové obdélíky a jsou skoro čtvercového tvaru a spojice empirických hodot je téměř přímka (oproti esovitému tvaru u ormálího rozděleí). Kvatil-kvatilový graf a graf hustoty pravděpodobosti také potvrzují typické vlastosti rovoměrého rozděleí a Q-Q grafu (obrázek 8.1 ) je patrý typický tvar pro ploché rozděleí (viz schématická zázorěí a obrázku 8.4 ). Také empirická křivka grafu hustoty pravděpodobosti ukazuje a ploché a víceméě souměré rozděleí (křivka je plošší ižší a širší, tj. má vyšší variabilitu, ež křivka ormálího rozděleí). Z obou obrázků je zřejmé, že rozdíly mezi rovoměrým a ormálím rozděleím ejsou velké a že modelováí takového rozděleí pomocí obvyklého ormálího rozděleí ve většiě případů vyhoví. 14

15 Krabicový graf pro rovomeré rozdeleí Hodoty Obrázek 8.10 Krabicový graf a diagram rozptýleí pro geerovaé rovoměré rozděleí Obrázek Graf rozptýleí s kvatily pro geerovaé rovoměré rozděleí 15

16 Obrázek 8.1 Kvatil-kvatilový graf pro rovoměré rozděleí Obrázek 8.13 Graf hustoty pravděpodobosti pro rovoměré rozděleí Posledím příkladem je expoeciálí rozděleí. Jeho grafické iterpretace jsou a obrázcích 8.14, 8.15, 8.16 a Je to typicky výrazě esouměré rozděleí, 16

17 což je ihed ázorě vidět z grafického zobrazeí a obrázcích 8.14 a Na diagramu rozptýleí (tečkový graf) vidíme, že většia hodot je kocetrováa v dolí části (oblast ižších hodot), jedá se tedy o výrazě levostraě esouměré rozděleí. O této skutečosti také svědčí výrazý rozdíl mezi mediáem a aritmetickým průměrem (krátká čárka). Na horí straě (vyšší hodoty) vidíme ěkolik hodot výrazě přesahujících vitří hradby souboru, přičemž by tyto hodoty musely být v případě kokrétích měřeí velmi pozorě posuzováy z hlediska jejich správosti a vypovídací schoposti. Na grafu rozptýleí s kvatily je levostraé sešikmeí vidět velmi ázorě: vzdáleosti mezi dolími a horími straami kvatilových obdélíků jsou začě odlišé - velká kocetrace ízkých hodot způsobuje, že dolí stray jsou u sebe velmi blízko, což je typické právě pro levostraou esouměrost. Také spojice empirických hodot vykazuje tvar typický pro levostraé rozděleí stejý jako a Q-Q grafu. Hodoty Krabicový graf pro expoeciálí rozdeleí Obrázek 8.14 Krabicový graf expoeciálího rozděleí Obrázek 8.15 Graf rozptýleí s kvatily pro expoeciálí rozděleí 17

18 Obrázek 8.16 Kvatil-kvatilový graf expoeciálího rozděleí Obrázek 8.17 Graf hustoty pravděpodobosti expoeciálího rozděleí Grafy shody s ormálím rozděleím potvrzují výrazou odchylku od ormálího rozděleí. Na kvatil-kvatilovém grafu sado rozezáme výrazé levostraé rozděleí (podle typického tvaru z obrázku 8.4 c). Stejý závěr potvrzuje obrázek 8.17, kde můžeme potvrdit levostraost a špičatost rozděleí. Tabulka 8.5 uvádí pro srováí základí statistické charakteristiky všech tří výběrů. Vidíme, že statistické charakteristiky dobře odpovídají předběžým závěrům, které jsme učiili a základě rozboru průzkumových grafů (ormálí rozděleí je mír- 18

19 ě pravostraé, rovoměré má vyšší variabilitu a je souměré, expoeciálí je silě levostraé s ejvyšší variabilitou daou odlehlými hodotami). Je to potvrzeí faktu, že z těchto relativě jedoduchých exploratorích grafů můžeme poměrě rychle a spolehlivě aalyzovat základí vlastosti posuzovaých výběrů. Charakteristika (bodové odhady základího souboru) Rozděleí ormálí rovoměré expoeciálí aritmetický průměr mediá rozptyl směrodatá odchylka koeficiet esouměrosti koeficiet špičatosti Tabulka 8.5 Statistické charakteristiky tří geerovaých rozděleí (koeficiet špičatosti pro ormálí rozděleí je rove 3, koeficiet esouměrosti ule) 8. Ověřeí předpokladů o datech Při použití obvyklých metod matematické statistiky (tedy pokud pracujeme s výběry) se zpravidla předpokládá, že se jedá o ezávislé áhodé veličiy pocházející z ormálího rozděleí a že výběr má dostatečý rozsah pro spolehlivý odhad parametrů a testováí hypotéz. Před provedeím vlastí statistické aalýzy bychom tedy měli ověřit ásledující vlastosti: dostatečý rozsah výběru, ezávislost prvků výběru, ormalitu výběru, homogeitu výběru Určeí miimálí velikosti výběru Základí postupy týkající se potřebé velikosti výběru byly uvedey v I. dílu, v kapitole a str Ověřeí ormality výběru Normalita výběrového rozděleí je jedím z ejdůležitějších předpokladů aalýzy dat, je a ěm založea většia obvykle používaých statistických metod, apř. 19

20 metody korelačí a regresí aalýzy, mohé testy apod. Pokud eí ormalita výběru prokázáa, je uto hlouběji aalyzovat data a pokusit se zjistit příčiy. Data, u kterých se ormalita eprokázala, je možé také aalyzovat (zpravidla speciálími ebo modifikovaými metodami) ebo je možé data přiblížit ormalitě pomocí tzv. trasformace. Grafické metody posouzeí ormality jsme probrali v předchozí kapitole (je to především kvatil-kvatilový, resp. rakitový graf a dále graf hustoty pravděpodobosti). Kromě toho existuje ještě celá řada testů ormality. Jede z ich je uvede v 1. dílu a straě 115 (kapitola ). Kromě ěho se často používají apř. Shapiro- Wilkův, D Agostiův omibus test, dále Aderso Darligův, Jarque Berův, Kolmogorov- Smirovův test a další. Uvedeme ještě dva testy, které jsou často používáy ve statistických programech, a to D Agostiův omibus test a Shapiro-Wilkův test.. D Agostiův omibus test (test kombiace výběrové šikmosti a špičatosti) (MELOUN - MILITKÝ 1994) Pro reálé velikosti výběrů se používá testovací statistika C Z (g1) Z (g ) kde hodoty Z ( g 1 ) a Z ( g ) jsou ormálí aproximace výběrové šikmosti, resp. špičatosti. Pro výpočet Z ( g 1 ) potřebujeme vypočítat ásledující pomocé veličiy: Y g ( ) G 3( 7 70)( 1)( 3) ( )( 5)( 7)( 9) W 1 G 1 A W 1 Z těchto pomocých veliči se určí aproximace 1 Y Y Z(g 1 ) l 1 l W A A Pro výpočet ormálí aproximace špičatosti vypočítáme veličiu S pomocí vztahu g E(g ) S D(g ) kde je g vypočítaá výběrová špičatost 0

21 E(g ) středí hodota výběrové špičatosti, která se pro ormálí rozděleí vypočítá podle vzorce 6 E(g ) 3 1 D(g ) je rozptyl výběrové špičatosti vypočítaý podle vzorce 4( )( 3) D(g ). ( 1) ( 3)( 5) Dále se vypočítá šikmost veličiy S 6( 5 ) 6( 3)( 5) g1(s) ( 7)( 9) ( )( 3) a pomocá hodota 8 4 A 6 1, g1(s) g1(s) g1 (S) Aproximace špičatosti se vypočítá 1 Z(g ) 9A 3 1 A 1 S A 4 Pokud zkoumaý výběr pochází z ormálího rozděleí, potom statistika C má rozděleí se dvěma stupi volosti. Teto test je považová za velmi silý. Má výhodu v tom, že pomocí ěho lze odděleě testovat samostaté hypotézy o vlivu šikmosti ebo špičatosti a ormalitu, resp. eormalitu výběru. Aproximace Z ( g 1 ) a Z ( g ) tedy lze použít jako samostaté testovací statistiky. V těchto případech mají obě aproximace ormovaé ormálí rozděleí N (0,1). Vzhledem k relativě zdlouhavému výpočtu se doporučuje pro použití tohoto testu vypracovat jedoduchý program, který vypočítá hodotu C i hodoty obou aproximací. Pokud alespoň jeda z aproximací evyhovuje ormalitě, je celé rozděleí považováo za statisticky výzamě odlišé od ormálího. Shapiro Wilkův test Teto test byl odvoze pro meší výběry (doporučeý rozsah výběru 3 50 prvků). Testové kritérium je W N i1 9A xi x i1 a i x (i) 1

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů

Prezentace maturitního projektu na předmět informatika Software pro tvorbu papírových modelů Prezetace maturitího projektu a předmět iformatika Software pro tvorbu papírových modelů Adam Domiec 22. květa 200 Abstrakt Teto dokumet je o počítačovém programu pro ávrh papírových modelů. Popisuje jej

Více

3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy

3. Sekvenční obvody. b) Minimalizujte budící funkce pomocí Karnaughovy mapy 3.1 Zadáí: 3. Sekvečí obvody 1. Navrhěte a realizujte obvod geerující zadaou sekveci. Postupujte ásledově: a) Vytvořte vývojovou tabulku pro zadaou sekveci b) Miimalizujte budící fukce pomocí Karaughovy

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb

Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měření kvality Služeb Příloha č. 7 Dodatku ke Smlouvě o službách Systém měřeí kvality Služeb Dodavatel a Objedatel se dohodli a ahrazeí Přílohy C - Systém měřeí kvality Služeb Obchodích podmíek Smlouvy o službách touto Přílohou

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Variabilita měření a statistická regulace procesu

Variabilita měření a statistická regulace procesu Variabilita měří a statistická rgulac procsu Ig. Darja Noskivičová, CSc. Katdra kotroly a řízí jakosti, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Efktivost využití statistických mtod pro aalýzu a řízí procsů j odvislá

Více

K čemu slouží regrese?

K čemu slouží regrese? REGRESE K čemu slouží regrese? C = Ca + c. Y C = 00 + 0,6. Y + e Budeme zjišťovat jak jeda proměá (ezávislá) Ovlivňuje jiou proměou (závislou) C Y 950 1000 910 150 1130 1500 1150 1750 1475 000 1550 50

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více