Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí

Transkript

1 Matematika 1 základy linea rnı algebry a funkcí Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2013 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

2 Determinanty a matice

3 Obsah kapitoly: Determinanty a matice Determinanty 1. Zavedení pojmu determinant 2. řádu 7 De inice Cvic enı Zavedení pojmu determinant 3. řádu 14 De inice Subdeterminant D ij Stanovenı determinantu 3. r a du rozvojem Sarrusovo pravidlo pro vy poc et determinantu 3. r a du Cvic enı Determinanty vyšších řádů Stanovenı determinantu k. r a du rozvojem U pravy determinantu Troju helnıḱovy tvar determinantu Matice 4. Matice Specia lnı typy matic C tvercova matice r a du n R a dkova matice

4 Sloupcova matice Nulova matice Jednotkova matice E Transponovana matice A T Matice ve schodovite m (stupn ove m, troju helnıḱove m) tvaru Regula rnı matice Hodnost matice Ekvivalentnı operace s maticemi Cvic enı Operace s maticemi 61 Rovnost matic: A = B Souc in matice s c ıślem: k. A Souc et a rozdıĺ matic: A + B, A B Na sobenı matic: A B Vlastnosti na sobenı matic Cvic enı Inverzní matice Stanovenı inverznı matice pomocı jednotkove matice Stanovenı inverznı matice pomocı adjungovane matice Pr ıḱlad Inverznı matice na za klade de inice Inverznı matice pomocı u prav jednotkove matice Inverznı matice pomocı adjungovane matice R es enı maticove rovnice

5 Historická poznámka Jak vyply va z nas ich souc asny ch znalostı 1 o matematicky ch ve domostech ve starove ku, mezi prvnı r es itele soustav linea rnıćh rovnic patr ili C ıń ane. V knize Aritmetika v devíti knihách ze 2. stoletı pr ed nas ıḿ letopoc tem je uveden algoritmus (nazvany van čen) r es enı soustav linea rnıćh rovnic, ktery je obdobou nas eho pr evodu na schodovitý (trojúhelníkový) tvar. Toto pravidlo, je sice vyloz eno na konkre tnıḿ pr ıḱladu soustavy tr ı rovnic o tr ech nezna my ch, ale je naznac eno dostatec ne obecne. Rozs ıŕ ilo se i v jiny ch zemıćh Vy chodu a vedlo nakonec k pojmu determinantu. 1 S, J., T, Z. Základy aplikované matematiky I. Praha : SNTL Nakladatelstvı technicke literatury, Praha Strana

6 1. Zavedení pojmu determinant 2. řádu R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch. Sc ı tacı metodou vylouc ıḿe nezna mou y. a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 a 11 x + a 12 y = b 1.a 22 a 21 x + a 22 y = b 2.( a 12 ) a 11 a 22 x + a 12 a 22 y = b 1 a 22 a 21 a 12 x a 12 a 22 y = b 2 a 12 (a 11 a 22 a 21 a 12 )x = b 1 a 22 b 2 a 12 Pokud bychom vylouc ili nezna mou x tak, z e prvnı rovnici vyna sobıḿe c lenem ( a 21 ), druhou rovnici c lenem a 11 a sec teme je, dostaneme: (a 11 a 22 a 21 a 12 )y = b 2 a 11 b 1 a 21 Vidıḿe, z e za vorka na leve strane je v obou pr ıṕadech stejna. Proto je namıśte na sledujıćı de inice kdy ke c tvercove mu sche matu, (tvor ene mu pouze barevny mi koe icienty u prome nny ch), ktere sesta va ze dvou r a dku a dvou sloupcu, pr ir azujeme urc ity vy raz tvor eny prvky zapsany mi do tohoto sche matu. A to rozdíl dvou součinů, ktery je barevne zapsa n do za vorek, ze ktery ch vytkneme jednotlive prome nne. Tento vy raz nazveme determinantem druhe ho r a du.

11 Definice Determinant 2. řádu je vy raz a 11 a 22 a 12 a 21 (hodnota, c ıślo), ktery oznac ujeme det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 nebo struc ne ji a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. Protoz e dle de inice je determinant 2. r a du rozdíl součinů vždy dvou prvků, mu z eme r ıći, z e vlastnı hodnota determinantu za visı na tom, ze ktery ch prvku a ij je sloz en. Tedy napr ıḱlad: jsou-li prvky čísla, je determinant číslo; jsou-li prvky mnohočleny, je determinant mnohočlen; jsou-li prvky goniometricke funkce, je determinant take funkcı sloz enou z goniometricky ch funkcı ; Nejc aste ji se budeme setka vat s determinanty, ktere majı ve sche matu pouze (rea lna ) c ıśla. Poznámka: Hodnotu determinantu 2. r a du urc ıḿe snadno pomocı na sledujıćı ho kr ıź ove ho pravidla: D = a 11+ a 12 a 21 a 22. Pokud ve sme ru shora dolů na sobıḿe zleva doprava (tak jak c teme), pr ir adıḿe souc inu kladné znaménko. V pr edchozıḿ pr ıḱladu znac eno modrou barvou. Na sobıḿe-li zprava doleva, opatr ıḿe souc in záporným znaménkem (c ervene ).

12 Cvičení = = 2 a b a c 2. a + c a + b = (a b) (a + b) (a c) (a + c) = a2 b 2 (a 2 c 2 ) = c 2 b 2 3. cos x sin x sin x cos x = (cos x)2 (sin x) 2 = cos 2 x sin 2 x = cos 2x 4. Urc ete x tak, aby platilo: x 2x = 2 Vyc ıślıḿe determinant: x 1 (2x 1) 3 = 2 x 6x + 3 = 2 3 5x = 5 ( 5) x = 1 5. R es te rovnici a proveďte zkous ku: x x = 20 Vyc ıślıḿe determinant: (x 2) ( x) 3 4 = 20.( 1) x (x 2) + 12 = x 2 2x 8 = 0

13 R es ıḿe kvadratickou rovnici dle vzorce: ( 2) ± ( 2) ( 8) 2 1 Zkous ka pro x = 4 = ± x 1;2 = b ± b2 4 a c 2 a = 2 ± 36 2 = 2 ± 6 2 = 2 ( 4) 3 4 = 8 12 = 20 x 1 = 4 x 2 = 2 Zkous ka pro x = = ( 4) = 8 12 = 20 Poznámka: Determinant je ve ts inou pouze jinak zapsane c ıślo. Napr ıḱlad platı : 2 = 2 = 2! = 4 = 2 1 = log 100 = (2x) = = C ıślo 2 mu z eme napr ıḱlad vyja dr it jako: absolutnı hodnotu z c ıśla minus dva; dve faktoria l; druhou odmocninu ze c tyr ; kombinac nı c ıślo dve nad jednou; logaritmus pr i za kladu deset z c ıśla sto; derivaci c lenu 2x (podle x); deteminant ; Ac koliv determinant 2. r a du je vy raz (c ıślo), hovor ı se c asto o r a dcıćh c i sloupcıćh determinantu a, takz e se termıńem determinant mıńı take sa m symbol a 11 a 12 a 21 a 22. a Spra vne bychom me li hovor it o r a dcıćh c i sloupcıćh sche matu pr ir azene mu k dane mu determinantu.

14 2. Zavedení pojmu determinant 3. řádu Podobne jako v pr edchozı kapitole r es me soustavu tr ı linea rnıćh rovnic o tr ech nezna my ch: a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3 Soustavu budeme r es it sc ı tacı metodou tak, z e osamostatnıḿe nezna mou 2 x. a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1.a 22.a 32 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2.( a 12 ) a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3.( a 12 ) (a 11 a 22 a 21 a 12 ) x + (a 13 a 22 a 23 a 12 ) z = b 1 a 22 b 2 a 12.(a 33 a 12 a 13 a 32 ) (a 11 a 32 a 31 a 12 ) x + (a 13 a 32 a 33 a 12 ) z = b 1 a 32 b 3 a 12.(a 13 a 22 a 23 a 12 ) Vzhledem ke skutec nosti, z e po souc tu vy s e uvedeny ch poslednıćh dvou rovnic bude vy sledna rovnice s jedinou nezna mou x jiz pone kud rozsa hla a nepr ehledna, omezıḿe se pouze na jejı levou stranu, kdyz jes te vytkneme nezna mou. (a 11 a 22 a 33 a 12 a 21 a 12 a 33 a 12 a 11 a 22 a 13 a 32 + a 21 a 12 a 13 a 32 + a 11 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 13 a 22 a 11 a 32 a 23 a 12 + a 31 a 12 a 23 a 12 ) x = Po vytknutı a sec tenı a 12 (a 11 a 22 a 33 a 21 a 12 a 33 + a 21 a 13 a 32 a 31 a 13 a 22 a 11 a 32 a 23 + a 31 a 23 a 12 ) x = 2 Obdobne mu z eme postupovat i pro nezna me y a z. Jen se zme nı prvek vytknuty pr ed za vorku, ale vlastnı za vorka zu stane stejna.

15 Nynı vzhledem k platnosti komutativnı ho za kona pr i na sobenı (moz nost za me ny c initelu pr i souc inu) pr eskla da me por adı c lenu v jednotlivy ch souc inech podle r a dkovy ch indexu a 12 (a 11 a 22 a 33 a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 ) x = Nynı vzhledem k platnosti komutativnı ho za kona pr i sc ı ta nı (moz nost za me ny sc ı tancu pr i souc tu) pr eskla da me por adı jednotlivy ch souc inu podle zname nek na sledovne : a 12 (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 ) x = Vzhledem k tvaru poslednı za vorky a symbolicky zapsane pu vodnı soustave je namıśte (analogicky jako u determinantu 2. r a du) na sledujıćı de inice, kdy ke c tvercove mu sche matu r a du tr i, nebo-li typu (3, 3) pr ir azujeme urc ity vy raz. Tento vy raz nazveme determinantem tr etı ho r a du.

16 Definice Determinant 3. řádu je vy raz (hodnota, c ıślo) a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33, ktery oznac ujeme det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 nebo struc ne ji a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Vyčíslení determinantu nebo-li stanovenı jeho hodnoty. Budeme postupovat na sledovne. Vezmeme vy raz (ktery m jsme de inovali determinant 3. r a du) D = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a pouze ho trochu pr eskla da me tıḿ zpu sobem, z e pr ed za vorky vytkneme postupne prvky prvnı ho r a dku. D = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 = = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 12 (a 23 a 31 a 21 a 33 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) = = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) a vyc ıślıḿe: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 (1)

17 Vidıḿe, z e pu vodne zadany determinant 3. r a du jsme nahradili tr emi determinanty 2. r a du, ktere jsme na sobili prvky prvnı ho r a dku opatr eny mi vhodny mi zname nky. Stejne tak jsme mohli pr eskla dat vy raz (ktery m jsme de inovali determinant 3. r a du) tak, z e bychom vytkli pr ed za vorku postupne prvky druhe ho r a dku, tr etı ho r a dku, prvnı ho sloupce, druhe ho sloupce nebo tr etı ho sloupce. Jen by se me nily pr ıślus ne determinanty 2. r a du ve vztazıćh analogicky ch ke vztahu (1). Proto zavedeme na sledujıćı de inici. Subdeterminant D ij vznikne tak, kdyz z pu vodnı ho determinantu D vypustıḿe (odstranıḿe) r a dek i a sloupec j. Nynı jiz mu z eme vztah (1) pr epsat obecne na sledujıćıḿ zpu sobem Stanovení determinantu 3. řádu rozvojem D = D = 3 ( 1) i+j a ij D ij rozvoj podle r a dku i (2) j=1 3 ( 1) i+j a ij D ij rozvoj podle sloupce j (3) i=1

18 Cvičení Urc ete hodnotu determinantu rozvojem podle nějakého řádku vzorec (2). Tedy řádkový index i bude pevne da n a sloupcovy index j se bude me nit = ( 1) i+j a i;j D i;j = 3 ( 1) i+j a i;j D i;j j j=1

19 Cvičení Determinant rozvineme /vzorec (2)/ podle 3. řádku r a dkovy index i se tedy rovna 3 a sloupcovy index j naby va postupne hodnot 1, 2, = 1. sc ı tanec: ( 1) 3+1 a 3;1 D 3;1 3. r a dek / 1. sloupec = ( 1) 3+1 ( 1) ( 1)3+2 ( 2) ( 1)3+3 (5) = = ( 1) [+( 1) (1) (3) (8) ] + [ ( 2)] [+(2) (1) (3) (1) ] + (5) [+(2) (8) ( 1) (1) ] = = ( 1) ( 1 24) + (+2) (2 3) + (5) (16 + 1) = ( 1) ( 25) + 2 ( 1) + 5 (17) = = 108

23 Poznámka: Zda nlive nezapamatovatelny vztah z de inice se da celkem snadno vyja dr it (ovs em pouze pro determinant 3. r a du) pomocı na sledujıćı ho 3 doplne ne ho sche matu Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu 3. řádu Hodnotu determinantu 3. r a du urc ıḿe snadno pomocı na sledujıćı ho sche matu: D = a 11+ a 12+ a 13+ a a a 21 a 22 a 23 a 21 a a 31 a 32 a 33 a 31 +a 32 kdy nejprve za determinat znovu opıś eme prvnı a druhy sloupec a potom na sobıḿe ve sme ru s ipek, stejne jako u determinantu 2. r a du. Pokud shora dolů na sobıḿe zleva doprava, pr ir adıḿe souc inu kladné znaménko. Na sobıḿe-li trojici c ıśel zprava doleva, opatr ıḿe souc in záporným znaménkem. Stejne ho vy sledku dosa hneme, jestliz e pod determinant znovu opıś eme prvnı a druhy r a dek (tr eba na papıŕ, ktery pr iloz ıḿe) a ope t shora dolů na sobıḿe trojici c ıśel zleva doprava s kladným znaménkem. Na sobıḿe-li zprava doleva, opatr ıḿe souc in záporným znaménkem. Zdůrazněme, že uvedené pravidlo neplatí pro determinanty jiného řádu než 3. řádu! 3 Francouzsky matematik Pierre Frideric Sarrus ( ). D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23

24 2.3. Cvičení 1. Urc ete hodnotu determinantu D = Řešení: 1. Sarrusovo pravidlo D = 3 5 ( 3) + ( 2) ( 1) ( 4) ( 4) ( 2) ( 1) ( 3) = = = Rozvoj podle prvnı ho r a dku D = ( 1) ( 1)1+2 ( 2) ( 1)1+3 4 = 3 ( ) + 2 (3 6) + 4 (4 10) = = = 3. Rozvoj podle druhe ho r a dku D = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2+3 3 = 1 (6 + 16) + 5 ( 9 8) 3 ( ) = = = 4. Rozvoj podle tr etı ho r a dku D = ( 1) ( 1)3+2 ( 4) ( 1)3+3 ( 3) = 2 ( 6 20) + 4 (9 + 4) 3 (15 2) = = =

25 5. Rozvoj podle prvnı ho sloupce D = ( 1) ( 1)2+1 ( 1) ( 1)3+1 2 = 3 ( ) + 1 (6 + 16) + 2 ( 6 20) = = Rozvoj podle druhe ho sloupce D = ( 1) 1+2 ( ( 1) ( 1)3+2 ( 4) = 2 (3 6) + 5 ( 9 8) + 4 (9 + 4) = = Rozvoj podle tr etı ho sloupce D = ( 1) ( 1) ( 1)3+3 ( 3) = 4 (4 10) 3 ( ) 3 (15 2) = = = = =

26 2. Urc ete hodnotu determinantu D = Řešení Sarrusovy m pravidlem D = = Urc ete hodnotu determinantu D = Řešení rozvojem podle tr etı ho (obsahuje dve nuly) sloupce D = ( 1) = 3 (2 + 4) = Urc ete hodnotu nezna me x tak, aby platilo: Řešení Sarrusovy m pravidlem x 1 x 0 x 1 x 1 x = 2x x 3 x + x 3 x = 2x 2x = 2x + 2x 0 = 0 Dany vztah platı pro libovolne x.

27 3. Determinanty vyšších řádů Pr ipomen me, z e dr ı ve jsme zavedli pojem subdeterminant D ij a na sledne uka zali vy poc et determinantu 3. r a du rozvojem podle libovolne jeho r ady (vhodne ho r a dku c i vhodne ho sloupce). Tyto vztahy platı i pro determinanty vys s ıćh r a du. Hodnotu determinantu vys s ıćh r a du urc ıḿe analogicky se vztahy (2) a (3) Stanovení determinantu k. řádu rozvojem D = D = k ( 1) i+j a ij D ij rozvoj podle r a dku i (4) j=1 k ( 1) i+j a ij D ij rozvoj podle sloupce j (5) i=1 Oproti vztahu m (2) a (3) dos lo k jedine zme ne. Hornı mez symbolu suma nenı c ıślo TR I ale konstanta k, ktera je řádem determinantu.

28 Cvičení Urc ete hodnotu determinantu rozvojem podle nějakého řádku vzorec (4). Tedy řádkový index i bude pevne da n a sloupcovy index j se bude me nit = ( 1) i+j a i;j D i;j = 4 ( 1) i+j a i;j D i;j j j=1

29 Cvičení Determinant rozvineme /vzorec (4)/ podle 4. řádku r a dkovy index i se tedy rovna 4 a sloupcovy index j naby va postupne hodnot 1, 2, 3, = 1. sc ı tanec: ( 1) 4+1 a 4;1 D 4;1 4. r a dek / 1. sloupec = ( 1) 4+1 ( 1) ( 1) 4+2 ( 2) ( 1) 4+3 (0) ( 1) 4+4 (5) = = (1) [+( 1) (1) ( 1) + (8) (0) (3) + ( 3) (0) (1) (3) (1) ( 3) (1) (0) ( 1) ( 1) (0) (8) ]+ +( 2) [+(2) (1) ( 1) + (1) (0) (3) + ( 4) (0) (1) (3) (1) ( 4) (1) (0) (2) ( 1) (0) (1) ] (5) [+(2) (8) (0) + (1) ( 3) (0) + ( 4) ( 1) (1) (0) (8) ( 4) (1) ( 3) (2) (0) ( 1) (1) ] = = (1) ( ) + ( 2) ( ) + (5) ( ) = = 1 (10) 2 (10) + 5 (10) = = 40 Vidıḿe, z e v por adı tr etı subdeterminant jsme vu bec nemuseli sestavovat a vyc ıślovat, protoz e prvek a 4;3 = 0 a tıḿ pa dem cely souc in je take roven NULE. Proto je nejvy hodne js ı, zvolit si rozvoj podle toho r a dku c i sloupce, ktery obsahuje nejvıće nul. V tomto pr ıṕade poc ı tat rozvoj podle tr etı ho sloupce (viz dals ı strana).

34 Cvičení Urc ete hodnotu determinantu rozvojem podle 3. sloupce = 0+( 1) 2+3 (1) = ( 1) ( ) = 40

35 Cvičení Urc ete determinant D = Řešení: dany determinant rozvineme napr ıḱlad podle 1. sloupce. D = 6 D D D D D 51 (6) kde D 11 = = = 40 A B C D = = 40 A 13 B + 48 C 37 D = ( 55) 37 ( 40) = 27

36 D 21 = = = 28 A E F G = = 28 A 13 E + 48 F 37 G = ( 26) = 270 D 31 = = = 28 B E H I = = 28 B 40 E + 48 H 37 I = ( 57) = 602

37 D 41 = = = 28 C F H J = = 28 C 40 F + 13 H 37 J = 28 ( 55) 40 ( 26) + 13 ( 57) 37 ( 30) = 131 D 51 = = = 28 D G I J = = 28 D 40 G + 13 I 48 J = 28 ( 40) ( 30) = 110 a po dosazenı do (6) dostaneme: D = ( 131) + 8 ( 110) = 40

38 Vidıḿe, z e vyc ıślenı determinantu 5. r a du nenı zrovna jednoduche ; vede na pe t determinantu 4. r a du a kaz dy determinant 4. r a du vede na c tyr i determinanty 3. r a du. Celkem musıḿe urc it 10 determinantu 3. r a du, protoz e kaz dy z determinantu 3. r a du se vyskytuje pr i vy poc tu dvou ru zny ch determinantu 4. r a du, jak bylo uka za no v pr edchozıḿ pr ıḱladu. Napr ıḱlad subdeterminant F byl pouz it pr i vy poc tu subdeterminantu D 21 i subdeterminantu D 41. Proto je vy hodne pouz ı t ne ktery ch operacı s determinanty, ktere neme nı jejich hodnotu 4 a pokud moz no zjednodus ujı vyc ıślenı determinantu Úpravy determinantů Za vs echny jmenujme alespon tuto nejpouz ı vane js ı. Determinant se nezmění, pr ic teme-li k jedne jeho r ade libovolny nenulový na sobek r ady s nı rovnobe z ne. Nynı si pomocı te to vlastnosti zkusme znovu spoc ı tat pr edchozı pr ıḱlad. Urc ete determinant D = Pr ıṕadne pouze me nı zname nko determinantu, c i umoz n ujı za urc ity ch podmıńek vytknout vy raz pr ed determinant.

39 Řešení: prova de ne u pravy budeme znac it ZA a NAD determinantem, kdy r ıḿske c ıślice oznac ujı pr ı slus nou r adu (r a dek c i sloupec). D = = = ( 1) ii + ( 3).iii = rozvoj 2.r. = ( 1) ii i iv i i iii 3i v + i rozvoj 3.s. = ( 1) ( 1) i 2ii ii iii 4ii iv 3ii = 2 ( 3) 5 + ( 1) ( 1) ( 1) + 3 ( 4) ( 2) 3 ( 3) ( 1) 2 ( 1) ( 2) ( 1) ( 4) 5 = = 40 Je zr ejme, z e tento postup je mnohem me ne pracny, nez pr edchozı. = = =

40 Dolní trojúhelníkový tvar determinantu pod hlavní diagonálou jsou pouze NULY! Vs echny ostatnı prvky mohou by t naprosto libovolne = ( 1) = [1] ( 1) = Hlavnı diagona la: a 1;1, a 2;2, a 3;3,, a n;n Vedlejs ı diagona la Hodnotu determinantu 4. r a du urc ıḿe rozvojem podle 1. sloupce ma nejvıće nul (nebo mu z eme poc ı tat rozvojem podle 4. řádku ma take hodne nul). Hodnotu determinantu 3. r a du urc ıḿe ope t rozvojem opět podle 1. sloupce (nebo 3. r a dku). Hodnotu determinantu 2. r a du urc ıḿe křížovým pravidlem. = [1] [5] [ ] =

48 Dolní trojúhelníkový tvar determinantu pod hlavní diagonálou jsou pouze NULY! Vs echny ostatnı prvky mohou by t naprosto libovolne = ( 1) = [1] ( 1) = Hlavnı diagona la: a 1;1, a 2;2, a 3;3,, a n;n Vedlejs ı diagona la Hodnotu determinantu 4. r a du urc ıḿe rozvojem podle 1. sloupce ma nejvıće nul (nebo mu z eme poc ı tat rozvojem podle 4. řádku ma take hodne nul). Hodnotu determinantu 3. r a du urc ıḿe ope t rozvojem opět podle 1. sloupce (nebo 3. r a dku). Hodnotu determinantu 2. r a du urc ıḿe křížovým pravidlem. = [1] [5] [ ] = [1] [5] [8 10] = Hodnotu determinantu (ve schodovite m tvaru), který má pod hlavní diagonálou pouze nuly, vypočteme jako součin prvků stojících v hlavní diagonále.

49 4. Matice Matice typu (m,n) je uspor a dana soustava m n c lenu zapsany ch ve tvaru tabulky do m r a dku a n sloupcu. Obecne jde o prvky zapsane do obde lnıḱove ho sche matu. Znac ıḿe ji A(m, n) = a 1;1 a 1;2 a 1;j a 1;n a 2;1 a 2;2 a 2;j a 2;n a i;1 a i;2 a i;j a i;n a m;1 a m;2 a m;j a m;n C ıśla a i;j nazy va me prvky matice A, i nazy va me řádkovým indexem, j nazy va me sloupcovým indexem. Spojnice prvku s ty mz r a dkovy m indexem, tedy a 1;1, a 2;2, a 3;3,, a r;r kde r = min(m, n) nazy va me hlavní úhlopříčkou (diagona lou) matice A 5. Ne kdy se pro matici A(a i;j ) typu (m, n) pouz ı va i oznac enı A(a i;j ) n m nebo jenom (a i;j ) n m, pr ıṕadne pouze A. Poznámka: Pojem matice lze de inovat i pro prvky jine ho charakteru, nez jsou c ıśla. Jsou-li vs ak a ij c ıśla, hovor ıḿe o číselné matici. A to buď rea lne matici nebo komplexnı matici podle toho, je-li a ij R nebo a ij K. Da le se budeme zaby vat jen rea lny mi maticemi. (7) 5 U hlopr ıć ka ve vlastnıḿ slova smyslu je to ovs em jen pr i m = n.

50 4.1. Speciální typy matic Čtvercová matice řádu n ma stejny poc et r a dku a sloupcu. Napr ıḱlad matice je c tvercova. Pokud je m n, hovor ıḿe o obdélníkové matici, nebo jen o matici. Řádková matice typu (1, n) je tvor ena pouze jednıḿ r a dkem. Napr ıḱlad r a dkova matice [ 1 2 ] je typu (1, 2). Sloupcová matice typu (m, 1) je tvor ena pouze jednıḿ sloupcem. Napr ıḱlad matice x y a matice 3 jsou sloupcove matice typu (2, 1). 6

51 Nulová matice 0 ma vs echny prvky rovny nule. 0 = Jednotková matice E je c tvercova matice, ktera ma v hlavní úhlopříčce (diagona le) pouze jedničky a mimo ni nuly. E = Transponovaná matice A T k matici A vznikne tak, kdyz r a dky matice A napıś eme do sloupcu matice A T. Napr ıḱlad prvnı matice T = je transponovana vzhledem ke druhe matici. Stejne tak platı : = 2 5 Je zr ejme, z e (A T ) T = A. 3 6 R ıḱa me, z e jedna matice vznikla vznikla transpozicı matice druhe. T

52 Matice ve schodovitém (stupňovém, trojúhelníkovém) tvaru ma vz dy pod prvnıḿ nenulovy m prvkem (bra no zleva) v dane m sloupci a vs ech pr edchozıćh same nuly. Napr ıḱlad je matice ve schodovite m tvaru. Regulární matice A je c tvercova matice r a du n takova, z e determinant k nı pr ir azeny (det A) je ru zny od nuly det A 0. Matice, ktera ma pr ir azeny determinant roven nule, se nazy va singulární Hodnost matice Hodnost matice je poc et nenulovy ch r a dku (tj. r a dku, ve ktery se vyskytuje alespon jeden prvek ru zny od nuly) matice ve schodovite m tvaru. Tedy na sledujıćı matice ma hodnost: h = 3. Coz pro matici A zapisujeme jako h (A) = 3 nebo jenom h A = 3.

53 Ekvivalentní operace s maticemi jsou takove, pr i ktery ch se neme nı hodnost matice. Ekvivalentnı operace s maticemi nazy va me te z Elementární úpravy matice. Jsou analogicke s u pravami prova de ny mi pr i r es enı soustavy rovnic sc ı tacı (souc tovou) metodou. Hodnost matice se nemění: 1. vyme nıḿe-li v matici r a dky za sloupce transponova nı matice; 2. vyme nıḿe-li navza jem dva r a dky, vyměníme-li navzájem dva sloupce; 3. vyna sobıḿe-li ktery koliv r a dek nenulovy m c ıślem k 0, vynásobíme-li kterýkoliv sloupec nenulovým číslem k 0 ; 4. pr ic teme-li nenulovy k na sobek (k 0) libovolne ho r a dku k jine mu r a dku, přičteme-li nenulový k násobek (k 0) libovolného sloupce k jinému sloupci; 5. pr ida me-li novy r a dek, ktery je nenulovy m na sobkem libovolne ho r a dku, přidáme-li nový sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; 6. vynecha me-li r a dek, ktery je nenulovy m na sobkem libovolne ho r a dku, vynecháme-li sloupec, který je nenulovým násobkem libovolného sloupce; Provedeme-li s maticı A libovolnou ekvivalentnı (elementa rnı ) u pravu, dostaneme novou matici B, coz zapıś eme A B.

54 Pr ic ı ta nı nenulove ho na sobku libovolne ho r a dku k jine mu r a dku mu z eme zobecnit na sledujıćıḿ zpu - sobem. Vezmeme nenulové násobky libovolných řádků (každý řádek může být násoben jiným nenulovým číslem). Jejich součet, který nazýváme lineární kombinací těchto řádků vytvoří nový řádek, který teprve přičteme k jinému řádku. Poznámka: Ve smyslu pr edchozı ho zobecne nı, mu z eme ne ktere z uvedeny ch elementa rnıćh operacı rozs ıŕ it na sledovne : 4. pr ic teme-li k libovolne mu r a dku linea rnı kombinaci ostatnıćh r a dku, přičteme-li k libovolnému sloupci lineární kombinaci ostatních sloupců; 5. pr ida me-li novy r a dek, ktery je linea rnı kombinacı libovolny ch r a dku, přidáme-li nový sloupec, který je lineární kombinací libovolných sloupců; 6. vynecha me-li r a dek, ktery je linea rnı kombinacı ostatnıćh r a dku, vynecháme-li sloupec, který je lineární kombinací ostatních sloupců; Pr i urc ova nı hodnosti matice A postupujeme tak, z e matici A za pouz itı elementa rnıćh u prav s r a dky pr evedeme na matici B (A B), ktera je ve stupn ove m (schodovite m) tvaru. Vypustıḿe r a dky obsahujıćı same nuly a poc et zbyly ch r a dku pak odpovı da hodnosti matice A. 1. pozn. Na r a dky se dobrovolne omezıḿe pouze z du vodu analogie r es enı soustavy linea rnıćh rovnic sc ı tacı (souc tovou) metodou. Pr i urc ova nı hodnosti matice mu z eme samozr ejme pracovat i s jejıḿi sloupci, coz ale pr ina s ı zvy s ene riziko zavlec enı chyb pr i vy poc tu.

55 2. pozn. Zobecne nı na linea rnı kombinace lze nahradit ne kolika postupny mi kroky, kdy budeme na sobit pouze jediny r a dek. Pro ve ts ı pr ehlednost na prave strane matice budeme zaznamena vat prova de ne operace, kdy r ıḿske c ıślice oznac ujı pr ıślus ny r a dek. Za pis ii + ( 2).i potom znamena, z e od druhe ho (ii) r a dku odec teme dvojna sobek ( 2) prvnı ho (i) r a dku. Cvičení 1. Vypoc te te hodnost matice A = Řešení: ii + ( 2).i iii + ( 1).i iv + ( 5).i h (A) = 2. iii + ii iv + ( 1).ii

56 2. Stanovte hodnost matice B = Řešení: ii + ( 2).i iii + 2.i iv + ( 1).i iii ii iv + ( 1).iii h (B) = Pr ıṕadne mu z eme pouz ı t take na sledujıćı naznac enı prova de ny ch operacı : ii + ( 2).i iii + 2.i iv + ( 1).i ( 2) (2) ( 1)

57 3. Urc ete hodnost matice C = Řešení: ii + ( 2).i iii + ( 3).i iv + ( 1).i iii + ( 2).ii iv + ( 3).ii h (C) = 2.

58 4. Urc ete hodnost matice D = Řešení: iii ii i ii + ( 1).i iii + ( 2).i iii + 3.ii h (D) = Urc ete hodnost matice A = Řešení: ii + ( 3).i iii + ( 4).ii iv + ( 5).ii

59 ii + ( 1).iii iv ( 45) ii + ( 30).iv iii + 8.ii iii iv ii + ( 2).iii iv + ( 67).iii

60 h (A) = Urc ete hodnost matice B = λ Řešení: λ iii + ( 1).i λ 1 iii + ( 2).ii λ 5 λ = 5 h (B) = 2 λ 5 h (B) = 3

61 5. Operace s maticemi Podobne jako s c ıśly zava dıḿe i s maticemi poc etnı operace s pr ıślus ny mi pravidly. Rovnost matic: A = B Dve matice A = (a i,j ), B = (b i,j ) te hoz typu (m, n) jsou si rovny (pıś eme A = B), pra ve kdyz platı : a i,j = b i,j, i = 1, 2,, m ; j = 1, 2,, n, nebo-li a i,j = b i,j ; i, j. Symbol i, j c teme pro každé i, j. Z te to de inice a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı tyto vlastnosti 6 rovnosti matic: 1. A = A re lexivnost 2. A = B B = A symetrie 3. A = B B = C A = C tranzitivnost Poznámka: Kaz da rovnost mezi maticemi je struc ny m za pisem pra ve jedne soustavy rovnostı mezi pr ıślus ny mi prvky (c ıśly). Napr ıḱlad: x 1 x 2 x 3 = 1 + t t 3 4t x 1 = 1 + t x 2 = t x 3 = 3 4t 6 Relace, ktera je re lexivnı, symetricka a tranzitivnı, se nazy va ekvivalence.

62 Součin matice s číslem: k. A prvky jsou tıḿto c ıślem na sobeny. je matice stejne ho typu jako na sobena matice, jejıź vs echny Napr ıḱlad ( 2) = ( 2) 1 ( 2) ( 3) ( 2) 6 ( 2) 2 ( 2) 1 ( 2) 0 = Součet a rozdíl matic: A + B, A B. Součtem matic A = (a i,j ), B = (b i,j ) te hoz typu (m, n) rozumıḿe matici C = (c i,j ) stejne ho typu, jejıź prvky jsou: c i,j = a i,j + b i,j, i, j (pıś eme: C = A + B ). Analogicky rozdílem matic A a B te hoz typu rozumıḿe matici C = A B, pro kterou platı : c i,j = a i,j b i,j, i, j. Jinak r ec eno: rozdıĺ dvou matic urc ıḿe jako souc et te chto matic, z nichz druha je vyna sobena c ıślem 1. Napr ıḱlad =

63 Poznámka: Z uvedeny ch de inic a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı na sledujıćı vlastnosti 7 pro libovolne matice A, B, C te hoz typu a libovolna c ıśla k, k 1, k 2 : pro sc ı ta nı matic (kde 0 je nulova matice stejne ho typu jako matice A ) 1. A + B = B + A komutativnı za kon 2. A + (B + C) = (A + B) + C asociativnı za kon pro souc et matic 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A ( A) A + ( A) = ( A) + A = 0 Vztah c.4 c teme: Ke kaz de ( ) matici A existuje ( ) matice, kterou nazy va me maticı opac nou k matici A a oznac ujeme A, pro kterou platı (:), z e jejich souc et je nulova matice (0). pro na sobenı matic c ıślem: 5. 1 A = A 6. k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 ) A asociativnı za kon pro na sobenı matice c ıślem 7. (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A distributivnı za kony pro 8. k(a + B) = k A + k B na sobenı matice c ıślem 7 Struktura vyhovujıćı poz adavku m se nazy va komutativní grupa vzhledem ke sčítání. Struktura vyhovujıćı vs em poz adavku m se nazy va vektorový prostor.

64 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a 11 a 12 a 21 a 22 x y = b 1 b 2 a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Nynı zaveďme na sobenı matic A X tak, aby platilo: a 11 a 12 x a 21 a 22 y = a 11x + a 12 y a 21 x + a 22 y

67 R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koe icientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a 11 a 12 x a 21 a 22 y = b 1 a 11 x + a 12 y = b 1 b 2 a 21 x + a 22 y = b 2 Nynı zaveďme na sobenı matic A X tak, aby platilo: a 11 a 12 x a 21 a 22 y = a 11x + a 12 y a 21 x + a 22 y Násobení matic: A B. Souc inem matice A = (a i,j ) n m a matice B = (b i,j ) p n v daném pořadí je matice C = (c i,j ) p m, pro jejıź prvky platı : c ij = n i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p. k=1 a i,k b k,j pro kaz de De inice r ıḱa, z e chceme-li urc it prvek souc inu dvou matic c i,j, musıḿe každý c len i. řádku první matice (vlevo levy index) vynásobit c lenem j. sloupce druhé matice (vpravo pravy index) se stejným pořadím ( prvnı prvnı + druhy druhy + + poslednı poslednı ) a tyto součiny sečíst. Pr ıḱlad na sobenı dvou matic: x y = x + 2y 4x + 5y Pomu z eme si napr ıḱlad takto zapsany m postupem: x y x + 2y 4x + 5y

68 Příklad: Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A. Řešení: A B = = (3) (1)+(1) ( 1)+( 2) (2)+(4) ( 2) (3) (3)+(1) (2)+( 2) ( 1)+(4) ( 2) (2) (1)+(1) ( 1)+(0) (2)+( 1) ( 2) (2) (3)+(1) (2)+(0) ( 1)+( 1) ( 2)

75 Příklad: Jsou da ny matice A = a B = Urc ete A B a B A. Řešení: A B = = (3) (1)+(1) ( 1)+( 2) (2)+(4) ( 2) (3) (3)+(1) (2)+( 2) ( 1)+(4) ( 2) (2) (1)+(1) ( 1)+(0) (2)+( 1) ( 2) (2) (3)+(1) (2)+(0) ( 1)+( 1) ( 2) B A = = (1) (3)+(3) (2) (1) (1)+(3) (1) (1) ( 2)+(3) (0) (1) (4)+(3) ( 1) ( 1) (3)+(2) (2) ( 1) (1)+(2) (1) ( 1) ( 2)+(2) (0) ( 1) (4)+(2) ( 1) (2) (3)+( 1) (2) (2) (1)+( 1) (1) (2) ( 2)+( 1) (0) (2) (4)+( 1) ( 1) ( 2) (3)+( 2) (2) ( 2) (1)+( 2) (1) ( 2) ( 2)+( 2) (0) ( 2) (4)+( 2) ( 1)

76 Poznámky k násobení matic: 1. Jiz z uvedene ho pr ıḱladu vidıḿe, z e pro na sobenı matic obecne neplatı komutativnı za kon (o za me ne c initelu ). Matice A je typu (2, 4), matice B je typu (4, 2). Proto: prvnı vypoc ı tany souc in A B je typu (2, 4)(4, 2) = (2, 2), kdez to druhy vypoc ı tany souc in B A je typu (4, 2)(2, 4) = (4, 4). 2. Je-li napr ıḱlad A typu (2, 4) a matice B je typu (4, 5), pak souc in A B existuje a je to matice typu (2, 4)(4, 5) = (2, 5), kdez to souc in B A vu bec nenı de inova n (neexistuje). 3. Násobení matic tedy nemá naprosto stejné vlastnosti, jako násobení čísel. Dals ı odlis nosti si uka z eme ve cvic enı k te to kapitole. 4. Jsou-li matice A, 0 (nulova ) a E (jednotkova ) čtvercové matice stejného řádu, platı : A 0 = 0 A = 0 a A E = E A = A, jak snadno zjistıḿe vyna sobenıḿ.

77 Vlastnosti násobení matic Na sobenı matic da va pone kud odlis ne vy sledky, nez ktere dosta va me pr i na sobenı c ıśel, jak bylo naznac eno v pr edchozı pozna mce. Nechť A, B a C jsou matice a k c ıślo. Potom: 1. Obecně neplatí komutativní zákon o za me ne c initelu. Tedy nelze předpokládat (viz prvnı a druhy bod pr edchozı pozna mky), z e vz dy platı A B = B A. Toto funguje pouze u c tvercovy ch matic. A navıć pouze u ne ktery ch. Tyto pak nazveme zaměnitelné. Spıś e platı : A B B A 2. Z rovnosti A B = 0 nemu z eme usuzovat, z e A = 0 nebo B = 0. Pokud souc in dvou matic je roven nulove matici, nutne z toho neplyne, z e alespon jedna z nich je take nulova, jak je uka za no v pr ıḱladech 2. a) a Z rovnosti A 2 = A nemu z eme usuzovat, z e A = E nebo A = 0, jak je uka za no v pr ıḱladu 2. b) i kdyz r es enıḿ kvadraticke rovnice x 2 = x je pra ve jednička a nula. 4. Při násobení matic nelze krátit, jak je uka za no v pr ıḱladu (A B) C = A (B C) asociativnı za kon (o sdruz ova nı c initelu ). 6. k (A B) = (k A) B = A (k B) asociativnı za kon pro na sobenı souc inu matic c ıślem. 7. (A + B) C = A C + B C distributivnı za kon, kdy za vorka je vlevo. 8. A (B + C) = A B + A C distributivnı za kon, kdy za vorka je vpravo.

78 Cvičení 1. Jsou da ny matice A = , B = Urc ete A B a B A. Řešení: A B = = B A = = A B = B A Matice A a B jsou zame nitelne.

79 2. Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te: a) A B b) A 2 Řešení a) A B = = = 0 Z rovnosti A B = 0 nevyply va, z e by alespon jedna z matic A nebo B musela by t nulova. Nebo jinak: souc inem dvou nenulovy ch matic mu z e by t nulova matice. Řešení b) A 2 = A A = = = A Z rovnosti A A = A ( A 2 = A ) nevyply va, z e by matice A musela by t jednotkova nebo nulova.

80 3. Jsou da ny matice A = , B = , C = Vypoc te te A B a A C. Řešení: A B = = A C = = Z rovnosti A B = A C nelze c init za ve r, z e B = C. Při násobení matic proto nemůžeme krátit.

81 4. Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te 2 A B a 1 2 A + 3 B. Řešení: 2 A B = = = = A + 3 B = = = =

82 5. Jsou da ny matice A = , B = Vypoc te te A B. Řešení: A B = = = Jsou da ny matice C = , D = Vypoc te te C D. Řešení: C D = =

83 7. Je da na matice A = Vypoc te te A5. Řešení: A 5 = A A A A A = (A A) {(A A) A} = = = = = Jsou da ny matice B = , C = Vypoc te te B C C B. Řešení: B C C B = = = =

84 6. Inverzní matice Nejprve r es me rovnici a x = b, kde a 0, b jsou rea lna c ıśla. a x = b a 1 (na sobıḿe zleva) a 1 (a x) = a 1 b (a 1 a) x = a 1 b ( 1 a a) x = a 1 b 1 (asociativnı za kon) x = a 1 b (protoz e: 1 x = x) Analogicka situace nasta va i pr i r es enı maticove rovnice A X = B, kde A, B jsou dane matice a X je matice s nezna my mi prvky. Pokud by existovala matice A 1 s vlastnostı A 1 A = E, kde E je jednotkova matice, mohli bychom danou maticovou rovnici, za vyuz itı vy sledku uvedeny ch v kapitole Operace s maticemi (a to 5. vlastnosti na strane 77 a 4. pozna mky na strane 76) r es it takto: A X = B A 1 (na sobıḿe zleva) A 1 (A X) = A 1 B (A 1 A) X = A 1 B (asociativnı za kon) 5. vlastnost E X = A 1 B (protoz e: E X = X) 4. poznámka Je proto pr irozena na sledujıćı de inice:

85 Inverzní matice A 1 k (regulární) matici A je matice spln ujıćı na sledujıćı vztah: A A 1 = A 1 A = E = Z uvedene ho vztahu je zr ejme, z e inverznı matice existuje jenom k regula rnı 8 c tvercove matici. Pro urc enı inverznı matice k matici A existuje ne kolik ru zny ch metod, z nichz jedna je na sledujıćı. Napıś eme matici [ A E ] takto: do leve ho pole napıś eme matici A, ke ktere hleda me inverznı matici A 1 ; do prostr ednı ho pole napıś eme jednotkovou matici E; do prave ho pole pr ipojıḿe kontrolnı sloupec, ve ktere m je souc et vs ech c ıśel dane ho r a dku. Takto zapsanou matici upravujeme za pomoci pouze řádkových elementa rnıćh u prav 9 (ktere jsou analogicke s u pravami prova de ny mi pr i r es enı soustavy rovnic souc tovou metodou) tak dlouho, az v leve m poli dostaneme jednotkovou matici E. V prostr ednıḿ poli pak bude hledana inverznı matice A 1. Vztah mezi pu vodnı maticı a upravenou budeme (tak jako dr ı ve) oznac ovat. Provedeme-li pr ıślus nou r a dkovou elementa rnı u pravu i v kontrolnıḿ sloupci, musı se ope t souc et v pr ıślus ne m r a dku shodovat s nove vznikly m c ıślem v kontrolnıḿ sloupci. 8 K singula rnı matici inverznı matice neexistuje. 9 Elementa rnı u pravy (ekvivalentnı u pravy matice) byly zavedeny na strane 53 v kapitole nazvane Hodnost matice.

86 Pro ve ts ı pr ehlednost na prave strane matice budeme zaznamena vat prova de ne operace s tıḿ, z e maly mi r ıḿsky mi c ıślicemi oznac ıḿe pr ıślus ny r a dek. Za pis ii + ( 3).i tedy vyjadr uje, z e: každý prvek prvního řádku vynásobíme mínus třemi a přičteme k odpovídajícímu prvku druhého řádku. Příklad: = Vypoc te te inverznı matici A 1 k matici A = ii i iii iii ii ii + iii ( 1).iii i + ii = [ E A 1 ] A 1 = [ A E ] = ii + ( 2).i iii + i iii + ( 4).ii = [ E A 1 ]

87 Zkous ku, to jest vy poc et souc inu matic A 1 A = Další způsob určení inverzní matice A A 1 = = E ponecha va me c tena r i = E a souc inu Jestliz e c tvercova matice A je tvor ena prvky a i;j, coz jsme dr ı ve oznac ovali A(a i;j ), pak jejı matice algebraických doplňků D A je tvor ena determinanty det D i;j, tedy D A (det D i;j ), ktere sestrojıḿe na sledujıćıḿ zpu sobem: Postup sestavení matice algebraických doplňků D A Z pu vodnı matice vynecha me r a dek i a sloupec j a z toho co zbude sestavıḿe determinant, ktery navıć opatr ıḿe zname nkem ( 1) i+j. Potom platı na sledujıćı vztah, ktery nebudeme dokazovat: A 1 = 1 det A DT A = 1 det A adj D Hodnota determinantu tvor ene ho jediny m prvkem (determinant ma jeden r a dek a jeden sloupec) je rovna pra ve tomuto prvku. Transponovanou matici algebraicky ch dopln ku nazy va me adjungovaná matice, tedy D T A = adj D

88 Příklad: Vypoc te te inverznı matici A 1 k matici A = pomocı adjungovane matice. Řešení: det A = (0) (2) (2) (1) (2) (1) = = 1 = +(2) ( 1) (1)+(1) (2) (3)+( 1) (2) (0) (3) ( 1) ( 1) D 1;1 = ( 1) = 1 D 1;2 = ( 1) = 1 D 1;3 = ( 1) = 1 D 2;1 = ( 1) = 4 D 2;2 = ( 1) = 5 D 2;3 = ( 1) = 6 D 3;1 = ( 1) = 3 D 3;2 = ( 1) = 3 D 3;3 = ( 1) = 4 A 1 = det A T = A 1 =

89 6.3. Příklad Urc ete inverznı matici B 1 k matici B = 1. Řešení dle definice B B 1 = E. Oznac me B 1 = Potom po rozepsa nı a u prave vy s e uvedene ho vztahu = E = B B 1 = x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 u 1 u 2 u 3 u 4 v 1 v 2 v 3 v 4. x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 u 1 u 2 u 3 u 4 v 1 v 2 v 3 v 4 dostaneme na sledujıćı soustavu linea rnıćh algebraicky ch rovnic: 2x 1 + y 1 = 1 (1) 2x 2 + y 2 = 0 (2) 2x 3 + y 3 = 0 (3) 2x 4 + y 4 = 0 (4) 3x 1 + 2y 1 = 0 (5) 3x 2 + 2y 2 = 1 (6) 3x 3 + 2y 3 = 0 (7) 3x 4 + 2y 4 = 0 (8)

90 kde napr ıḱlad z: x 1 + y 1 + 3u 1 + 4v 1 = 0 (9) x 2 + y 2 + 3u 2 + 4v 2 = 0 (10) x 3 + y 3 + 3u 3 + 4v 3 = 1 (11) x 4 + y 4 + 3u 4 + 4v 4 = 0 (12) 2x 1 y 1 + 2u 1 + 3v 1 = 0 (13) 2x 2 y 2 + 2u 2 + 3v 2 = 0 (14) 2x 3 y 3 + 2u 3 + 3v 3 = 0 (15) 2x 4 y 4 + 2u 4 + 3v 4 = 1 (16) (1) a (5) dostaneme x 1 = 2 a y 1 = 3 (2) a (6) dostaneme x 2 = 1 a y 2 = 2 (3) a (7) dostaneme x 3 = 0 a y 3 = 0 (4) a (8) dostaneme x 4 = 0 a y 4 = 0 a po dosazenı te chto hodnot do zby vajıćıćh rovnic pokrac ujeme v urc ova nı ostatnıćh nezna my ch. 3u 1 + 4v 1 = 1 (9) 3u 2 + 4v 2 = 1 (10) 3u 3 + 4v 3 = 1 (11) 3u 4 + 4v 4 = 0 (12) 2u 1 + 3v 1 = 7 (13) 2u 2 + 3v 2 = 4 (14) 2u 3 + 3v 3 = 0 (15) 2u 4 + 3v 4 = 1 (16)

91 pak z: B 1 = (9) a (13) dostaneme u 1 = 31 a v 1 = 23 (10) a (14) dostaneme u 2 = 19 a v 2 = 14 (11) a (15) dostaneme u 3 = 3 a v 3 = 2 (12) a (16) dostaneme u 4 = 4 a v 4 = Řešení úpravami jednotkové matice [ B E ] [ E B 1 ] iii i + ( 2).iii ii + ( 3).iii iv + ( 2).iii ( 1).ii iii + ( 1).ii iv + ( 3).ii iv + 5.iii

92 ( 1).iv iii + ( 3).iv i + 4.iv ii + 8.iv iii + iv ( 1).iv i + ( 3).iii ii + ( 6).iii i + ( 1).ii B 1 =

93 Řešení pomocí determinantu a algebraických doplňků: B 1 = 1 det B DT B det B = rozv. 1. r. = ( 1) 1+1 (2) = 2 (18 16) (27 24) = 4 3 = ( 1) 1+2 (1) = D 1;1 = ( 1) 1+1 D 1;3 = ( 1) 1+3 D 2;1 = ( 1) 2+1 D 2;3 = ( 1) = 2 D 1;2 = ( 1) 1+2 = 31 D 1;4 = ( 1) 1+4 = 1 D 2;2 = ( 1) 2+2 = 19 D 2;4 = ( 1) = 3 = 2 = 23 = 14

94 D 3;1 = ( 1) 3+1 D 3;3 = ( 1) 3+3 D 4;1 = ( 1) 4+1 D 4;3 = ( 1) = 0 D 3;2 = ( 1) 3+2 = 3 D 3;4 = ( 1) 3+4 = 0 D 4;2 = ( 1) 4+2 = 4 D 4;4 = ( 1) = 0 = 2 = 0 = 3 B 1 = 1 det B T = =

95 Příklad: R es te maticovou rovnici A X B = C, kde A = , B = , C = Řešení jeden způsob Oznac me prvky nezna me matice X = x 1 y 1 x 2 y 2 jako v pr edchozıḿ pr ıḱladu 10. Potom po rozna sobenı zadane ho vztahu x 1 y 1 x 2 y x 1 + 1x 2 2y 1 + 1y 2 3x 1 + 2x 2 3y 1 + 2y = = x 1 3x y 1 + 5y 2 4x 1 + 2x 2 6y 1 3y 2 9x 1 6x y y 2 6x 1 + 4x 2 9y 1 6y 2 = dostaneme na sledujıćı soustavu linea rnıćh algebraicky ch rovnic 6x 1 3x y 1 + 5y 2 = 2 4x 1 + 2x 2 6y 1 3y 2 = 4 9x 1 6x y y 2 = 3 6x 1 + 4x 2 9y 1 6y 2 = 1 pr ic emz r es enı takovy ch soustav linea rnıćh rovnic bude probıŕa no pozde ji. 10 Pozorny c tena r zajiste zaznamenal, z e v pr edchozıḿ pr ıḱladu jsme x i zapisovali do r a dku a nynı je pıś eme do sloupcu. Je to za me r, abyste si uve domili, z e na vlastnı vy poc et nema volba znac enı vliv.

96 Řešení další způsob. Budeme r es it maticovou rovnici analogicky jako bychom postupovali pr i r es enı rovnice a x b = c, kde a, b, c jsou c ıśla a x nezna ma. A X B = C A 1 (zleva); B 1 (zprava) A 1 A X B B 1 = A 1 C B 1 (A 1 A) X (B B 1 ) = A 1 C B 1 E X E = A 1 C B 1 X = A 1 C B 1 Nynı urc ıḿe pr ıślus ne inverznı matice. Zopakujeme si a procvic ıḿe dva zpu soby. A 1 pomocı elementa rnıćh u prav matice A spolec ne s jednotkovou maticı E A i + ( 1).ii ( 1).i ii + 3.i i + ii ( 1).ii A 1 =

97 B 1 pomocı adjungovane matice, coz je transponovana matice algebraicky ch dopln ku (subdeterminantu s patr ic ny m zname nkem) matice B B 1 = = 1 1 Potom ( 1)1+1 ( 3) ( 1) 1+2 T (5) ( 1) 2+1 (2) ( 1) 2+2 ( 3) = B 1 = X = X = X = T = Ove r enı, z e A X B = C, tedy ponecha va me c tena r i =

98 Soustavy lineárních algebraických rovnic

99 Obsah kapitoly: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1. Soustavy lineárních algebraických rovnic Specia lnı typy soustav Nehomogennı soustava linea rnıćh algebraicky ch rovnic Homogennı soustava linea rnıćh algebraicky ch rovnic Ekvivalentnı soustavy linea rnıćh algebraicky ch rovnic Frobeniova ve ta o r es enı soustavy linea rnıćh rovnic Hledání kořenů soustavy lineárních algebraických rovnic Gaussova (Jordanova) eliminac nı metoda GEM Odvozenı metody Popis metody Cvic enı GEM, Jordan Cramerovo pravidlo Cvic enı Cramerovo pravidlo R es enı soustav linea rnıćh algebraicky ch rovnic pomocı inverznı matice Cvic enı Pomocı inverznı matice

100 1. Soustavy lineárních algebraických rovnic Ze str ednı s koly dovedeme r es it soustavu dvou rovnic o dvou nezna my ch. Vıḿe, z e napr ıḱlad r es enıḿ soustavy 3x + y = 5 (8) x y = 3 (a to jediny m) je x = 2 a y = 1. Toto r es enı najdeme napr ıḱlad tak, z e u pravou druhe rovnice osamostatnıḿe x (x = 3 + y) a dosadıḿe do prvnı rovnice. Soustava 2x y = 3 (9) 6x 3y = 7 nema z a dne r es enı. Spln ujı -li totiz c ıśla x, y prvnı z rovnic (9), nespln ujı druhou rovnici. Pokud platı prvnı z rovnic 2x y = 3, pak platı i jejı trojna sobek 6x 3y = 9. A v tom pr ıṕade nemu z e platit 6x 3y = 7. R ıḱa me, z e soustava (9) není řešitelná nebo z e nemá řešení. Soustava 2x y = 3 (10) 6x 3y = 9 je r es itelna. R es enıḿ je napr ıḱlad x = 2, y = 1, ale take napr ıḱlad x = 1, y = 1 nebo x = 3, y = 3. Tedy soustava (10) nenı r es itelna jednoznac ne.

101 Ota zky r es itelnosti linea rnıćh rovnic majı v matematice a jejıćh aplikacıćh velky vy znam. V pra ve uvedeny ch pr ıḱladech jsme o r es itelnosti dany ch soustav snadno rozhodli. V pr ıṕade soustav o ve ts ıḿ poc tu nezna my ch nenı jiz ota zka r es itelnosti zdaleka tak pr ehledna. Jednıḿ z hlavnıćh u kolu linea rnı algebry je najı t jednak jednoducha krite ria, na za klade ktery ch lze rozhodnout o r es itelnosti takovy ch soustav, jednak u c inne metody, jak tyto soustavy r es it. V pr edchozıćh kapitola ch jsme k tomuto proble mu vybudovali potr ebny apara t. Ten nynı vyuz ijeme pro r es enı soustavy m linea rnıćh rovnic o n nezna my ch. Pr ıṕadne zapsanou maticove a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (11) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m nebo a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m (12) Řešením soustavy (11) nazy va me kaz dy syste m k 1, k 2,, k n (mu z eme take r ıći kaz dou matici k T = [k 1, k 2,, k n ] ), takovy, z e kdyz c ıśla k 1, k 2,, k n dosadıḿe za nezna me x 1, x 2,, x n do levy ch stran rovnic (11), jsou vs echny tyto rovnice za roven splne ny. Řešit soustavu (11) znamena najı t všechna jejı r es enı.

102 1.1. Speciální typy soustav Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic Vztahem 11 jsme zavedli pojem soustavy linea rnıćh algebraicky ch rovnic. Pokud je soustava uvedena takto obecne, kdy nic nevıḿe o tvaru pravy ch stran b 1, b 2,, b m hovor ıḿe o nehomogennı soustave linea rnıćh algebraicky ch rovnic. Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic nule. Tedy b i = 0 pro i = 1, 2,, m nebo A X = 0 ma vs echny prave strany rovny kde A je matice soustavy, X je sloupcova matice (sloupcovy vektor) nezna my ch a 0 je nulova sloupcova matice (sloupcovy vektor) jejıź vs echny prvky (jehoz vs echny sour adnice) jsou rovny nule. Homogennı soustava a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 (13) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 ma vz dy alespon jedno r es enı, a to tzv. triviální řešení x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0. Řešit soustavu (13), znamena najı t všechna jejı netriviální r es enı.

103 Ekvivalentní soustavy lineárních algebraických rovnic o stejne m poc tu nezna my ch (nikoliv nutne o stejne m poc tu rovnic) mají stejné řešení. Jinak r ec eno: kaz de r es enı prvnı soustavy je za roven r es enıḿ druhe soustavy, a naopak, kaz de r es enı druhe soustavy je r es enıḿ prvnı soustavy Frobeniova věta o řešení soustavy lineárních rovnic Je-li n poc et nezna my ch v soustave (11) a oznac ıḿe-li h hodnost matice soustavy (matice zcela vlevo) ve vztahu (12) a h r hodnost matice rozs ıŕ ene (matice zcela vpravo), potom Nutnou a postac ujıćı podmıńkou, aby soustava linea rnıćh rovnic o n nezna my ch byla r es itelna, je, aby matice soustavy a rozs ıŕ ena matice me ly stejnou hodnost. Du sledek Frobeniovy věty: h h r h = h r = n h = h r < n soustava nemá r es enı ; soustava ma právě jedno r es enı ; soustava ma nekonečně mnoho r es enı (n h nezna my ch mu z eme vz dy vhodne zvolit a ostatnı pomocı nich vypoc ı tat). Ne kdy se tato vy s e uvedena ve ta 11 oznac uje take jako ve ta Kronecker Capelli. 11 V matematice se historicky usta lilo nazy vat podobne vy roky větou. Ovs em stejne dobr e bychom mohli pouz ı t napr ıḱlad: Frobenius řekl, tvrdil, napsal, dokázal že,

104 2. Hledání kořenů soustavy lineárních algebraických rovnic 2.1. Gaussova (Jordanova) eliminační metoda GEM Tento postup je nazva n po matematikovi, ktery ji poprve podrobne popsal ve dvou krocıćh (chodech). Jinak jiz c ıń ane hluboko pr ed nas ıḿ letopoc tem pouz ı vali podobny postup pro r es enı specia lnıćh (neuměli použít obecně na libovolnou soustavu) soustav rovnic. Zmıńe nou metodu si odvodıḿe na na sledujıćıḿ pr ıḱladu, kdy budeme r es it soustavu tr ı linea rnıćh algebraicky ch rovnic o tr ech nezna my ch sc ı tacı metodou, kterou zna te ze str ednı s koly. Jejı princip spoc ı va v tom, z e ne kterou z rovnic vyna sobıḿe vhodny m nenulovým c ıślem a pr ic teme ji k jine rovnici tak, aby se vyrus ila jedna prome nna. Kdyz to provedeme jes te jednou, pr evedeme soustavu tr ı linea rnıćh algebraicky ch rovnic o tr ech nezna my ch na soustavu dvou linea rnıćh algebraicky ch rovnic o dvou nezna my ch. Postup analogicky zopakujeme a zıśka me jednu rovnici o jedne nezna me. Tu vyr es ıḿe a hodnotu nezna me dosadıḿe zpe t do zbyly ch rovnic a tıḿ najdeme i ostatnı kor eny pu vodnı ho syste mu.

105 GEM Gaussova eliminační metoda x + 2y 2z = 0 ( 2) ( 3) 2x + 3y + 2z = 9 3x + 7y 8z = 1 x + 2y 2z = 0 y + 6z = 9 (1) y 2z = 1 x + 2y 2z = 0 /1 y + 6z = 9 /2 2z = 4 /3 z = 2 y = 9 /2 y = 3 x = 0 /1 x = 2 Pr i r es enı uvedene soustavy rovnic budeme prvnı rovnici pr ic ı tat k ostatnıḿ rovnicıḿ, proto ji opıś eme. Potom dvojna sobek prvnı rovnice odec teme od druhe rovnice a trojna sobek prvnı rovnice odec teme od tr etı rovnice. Prvnı a druhou rovnici ope t opıś eme a druhou rovnici pr ic teme ke tr etı rovnici. Nynı ze tr etı rovnice urc ıḿe hodnotu nezna me z a tuto hodnotu dosadıḿe do druhe rovnice. Vypoc ı ta me y a (vc etne z) dosadıḿe do prvnı rovnice. Potom jiz mu z eme urc it hodnotu zby vajıćı prome nne x. Prvnı c a st vy poc tu (ktera je psa na c erne přímý chod), mu z eme pomocı matic zapsat na sledovne ( 2) ( 3) (1) a pomocı Frobeniovy ve ty (o hodnostech matic) rozhodnout o existenci a poc tu r es enı. A pokud r es enı existuje, pak poslednı matici (odspodu nahoru) ope t pr epıś eme do rovnic (zpětný chod) a r es ıḿe tak, jak je to popsa no c ervenou barvou. Při provádění zpětného chodu také můžeme rozhodnout o existenci a počtu řešení.

121 Gaussova metoda postupných eliminací je postup, kdy rozs ıŕ enou matici soustavy pr eva dıḿe na stupn ovy tvar nazy va me přímý chod. Pote takto upravenou matici znovu pr epıś eme jako soustavu rovnic a postupne vyc ıślujeme jednotlive nezna me. Tento proces urc ova nı nezna my ch nazy va me zpětný chod. Pokud se nespokojıḿe se stupn ovity m tvarem rozs ıŕ ene matice soustavy, ale nejenom pod ale i nad prvnıḿ nenulovy m prvkem v kaz de m r a dku u pravou zıśka me nuly a navıć kaz dy r a dek vyde lıḿe jediny m nenulovy m prvkem dane ho r a dku v matici soustavy, nazy va me tento postup Jordanovou metodou. Jde vlastne o modi ikaci Gaussovy eliminac nı metody, kdy pr eva dıḿe matici soustavy pomocı elementa rnıćh u prav na matici jednotkovou. Je tr eba upozornit na fakt, z e u soustavy, ktera ma nekonec ne mnoho r es enı, ne vz dy mu z eme volit parametr za libovolnou nezna mou. Napr ıḱlad r es me soustavu 2x + y 3z = 4 4x + 3y + 6z = 7 (14) Přímý chod: Napis me rozs ıŕ enou matici soustavy (14), kterou ekvivalentnıḿi u pravami (ekvivalentnı soustavy majı stejna r es enı ) budeme pr eva de t na stupn ovy tvar. Chceme-li pr i vy poc tech souc asne prova de t i zkous ku spra vnosti prova de ny ch vy poc tu, pr ida me jes te dals ı sloupec obsahujıćı souc et dane ho r a dku. To ale v tomto jednoduche m pr ıṕade nenı nutne

122 Zpětný chod: Pr epıś eme-li tuto matici nazpe t jako soustavu rovnic 2x +y 3z = 4 5y = 15 pak ze druhe rovnice plyne y = 3. Tedy za y si nemu z eme volit parametr. Ale mu z eme volit napr ıḱlad x = 3p + 2. Dosadıḿe-li za x a y do prvnı rovnice, dostaneme 2 (3p + 2) + (3) 3z = 4 6p z = 4 6p + 7 3z = 4 + 3z 4 6p + 3 = 3z 3 2p + 1 = z Kor eny zadane soustavy rovnic jsou: x = 3p + 2 y = 3 z = 2p + 1 Řešení Pak pro kaz de rea lne p, ktere si zvolıḿe, dostaneme r es enı dane soustavy. p = 0 p = 1 x = 2 y = 3 z = 1 x = 5 y = 3 z = 3

123 Další příklad R es me soustavu x 2y 5z = 2 2x + 3y z = 1 8x 19y 5z = 7 (15) Přímý chod ii + ( 2).i iii + 8.i iii + 5.ii h = 2 < h r = 3 tedy podle Frobeniovy ve ty dana soustava nemá řešení.

124 Cvičení GEM, Jordan 1. Řešte soustavu lineárních rovnic x + 2y = 3 4x + 5y = 6 (16) Řešení 1. Gaussovou metodou postupny ch eliminacı Pr ıḿy chod ii 4.i Zpe tny chod x + 2y = 3 3y = 6 x = 1 y = 2 Řešení 2. Jordanovou metodou (modi ikace Gaussovy m.) ii 4.i ( 3) i 2.ii i 2.ii x = 1 y = 2

125 2. Řešte soustavu lineárních rovnic x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 5x 2 3x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 3 2x 4 = 9 2x 1 x 2 + 4x 3 + 9x 4 = 3 (17) Řešení 1. Gaussovou metodou postupny ch eliminacı Pr ıḿy chod: iii 3.ii iv 7.ii iv iii ii 2.i iii i iv 2.i

126 Zpe tny chod: x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 3 6x 4 = 9 6x 4 = 6 Z poslednı rovnice plyne x 4 = 1. Tuto hodnotu dosadıḿe do pr edposlednı rovnice: x 3 6 ( 1) = 9 x 3 = 3. Obe spoc ı tane hodnoty dosadıḿe do druhe rovnice: x 2 + (3) + ( 1) = 0 x 2 = 2. Vs echny hodnoty dosadıḿe do prvnı rovnice: x (2) 2 (3) + ( 1) = 0 x 1 = 1. X T = ( 1 ; 2 ; 3 ; 1 ) Řešení 2. Jordanova metoda Vy s e uvedeny zpe tny chod mu z eme prova de t pr ıḿo v jiz upravene matici, kterou pr evedeme na matici jednotkovou. Tento postup (modi ikaci Gaussovy metody) nazy va me jak jiz bylo dr ı ve uvedeno metodou Jordanovou iii + iv 6

127 i iv ii iv i + 2 iii ii iii i + 3 ii ( 1) X =

128 2.2. Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo mu z eme pouz ı t, jestliz e soustava n rovnic o n nezna my ch (soustava ma c tvercovou matici) ma determinant soustavy ru zny od nuly (D 0Rightarrow matice soustavy je regula rnı ). Potom ma tato soustava pra ve jedno r es enı, ktere lze psa t ve tvaru x i = D i D (i = 1, 2,, n) (8) kde D i jsou determinanty matice, ktera vznikne z matice soustavy tak, z e v nı sloupec i nahradıḿe sloupcem pravy ch stran soustavy. Poznámka: Dopr edu musıḿe pr i pouz itı te to metody rozhodnout (napr ıḱlad za vyuz itı Frobeniovy ve ty), zda dana soustava rovnic je jednoznac ne r es itelna. K tomu ve ts inou urc ujeme hodnost matice soustavy a hodnost rozs ıŕ ene matice soustavy Gaussovou eliminacı. Proto by va vy hodne js ı, pouz ı t i zpe tny chod Gaussovy metody postupny ch eliminacı a dohledat r es enı syste mu rovnic ve ts inou jednodus eji. Omezení metody: Lze pouz ı t pouze u soustav, ktere majı jedine r es enı a navıć poc et nezna my ch odpovı da poc tu rovnic. Typicke pouz itı metody je v pr ıṕade nehomogenních soustav s regulární maticí.

129 Cvičení Cramerovo pravidlo Řešte soustavu lineárních rovnic (16) x + 2y = 3 4x + 5y = 6 Řešení: x = y = = = 3 3 = 1 = = 6 3 = 2

130 2.3. Řešení soustav lineárních algebraických rovnic pomocí inverzní matice Jak se r es ı maticová rovnice bylo probıŕa no v te matu o maticıćh. Pr ıḱlad, kdy soustavu zapıś eme maticove a vyuz ijeme postupu diskutovane ho dr ı ve, bude uveden v na sledujıćıḿ cvic enı. Poznámka: Dopr edu musıḿe pr i pouz itı te to metody rozhodnout (napr ıḱlad za vyuz itı Frobeniovy ve ty), zda dana soustava rovnic je jednoznac ne r es itelna. K tomu ve ts inou urc ujeme hodnost matice soustavy a hodnost rozs ıŕ ene matice soustavy Gaussovou eliminacı. Proto by va vy hodne js ı, pouz ı t i zpe tny chod Gaussovy metody postupny ch eliminacı a dohledat r es enı syste mu rovnic ve ts inou jednodus eji. Omezení metody: Lze pouz ı t pouze u soustav, ktere majı jedine r es enı a navıć poc et nezna my ch odpovı da poc tu rovnic. Typicke pouz itı metody je v pr ıṕade nehomogenních soustav s regulární maticí.

131 Cvičení Pomocí inverzní matice Řešte soustavu lineárních rovnic (16) Řešení: Soustavu 16 zapıś eme maticove x + 2y = 3 4x + 5y = x y = 3 6 A X = B A 1 (zleva) A 1 A X = A 1 B (protoz e: A 1 A = E) x y X = A 1 B (protoz e: E X = X) = Nynı urc ıḿe inverznı matici A 1 k matici A (zopakujeme si dve metody). 1. postupem: [ A E ] [ E A 1 ] ii 4 i ( 3) i 2 ii A 1 =

132 2. pomocı adjungovane matice k matici A = A 1 = ( 1)1+1 (5) ( 1) 1+2 T (4) ( 1) 2+1 (2) ( 1) 2+2 (1) = T = = = Potom x y = = = = 1 2 x = 1 y = 2

133 Funkce, elementární funkce

134 Obsah kapitoly: Funkce, elementární funkce 1. Pojem funkce (jedné reálné proměnné) a způsoby jejího zadávání Analyticky Gra icky Tabulkou (vy c tem hodnot) Vlastnosti funkcí 140 Ohranic ena funkce Monoto nnı funkce Prosta funkce Suda a licha funkce Periodicka funkce Dals ı vlastnosti funkcı Kor en funkce Operace s funkcemi 156 Souc et funkcı f+g Rozdıĺ funkcı f g Souc in funkcı f g Podıĺ funkcı f/g Absolutnı hodnota funkce f Skla da nı funkcı Inverznı funkce Dvojice vza jemne inverznıćh funkcı Postup hleda nı inverznı funkce

135 4. Elementární funkce 171 Algebraické funkce Funkce mocninne (mocniny a odmocniny) Za kladnı pravidla pro poc ı ta nı s mocninami Za kladnı pravidla pro poc ı ta nı s odmocninami Transcendentní funkce Funkce exponencia lnı a logaritmicka Za kladnı pravidla pro poc ı ta nı s exponencia lnı funkcı Za kladnı pravidla pro poc ı ta nı s logaritmickou funkcı Funkce goniometricke Sinus: y = sin x Kosinus: y = cos x Za kladnı vztahy pro sinus a kosinus Tangens: y = tg x Kotangens: y = cotg x Funkce cyklometricke Arkussinus: y = arcsin x Arkuskosinus: y = arccos x Arkustangens: y = arctg x Arkuskotangens: y = arccotg x Mnohoc leny (polynomy) a raciona lnı lomene funkce

136 Historická poznámka Kaz dodennı skus enosti sve dc ı o tom, z e v pr ıŕode i spolec nosti neusta le probı hajı zme ny; jiz r ecky ilozof Hérakleitos z Efesu hla sal, z e se vs e me nı. Cıĺem lidske ho pozna nı je nalezenı pr ıć in te chto zme n a jejich vza jemnou souvislost. Jestliz e pr i studiu ne jake ho jevu ve nujeme pozornost dve ma velic ina m, c asto zjistıḿe, z e mezi nimi existuje za vislost na sledujıćı ho druhu: Pokud nabude jedna proměnná ( nezávisle proměnná, argument) určité hodnoty, nabude druhá proměnná (závisle proměnná, funkce) také určité hodnoty. 12 WikipediE Funkce je v matematice 13 na zev pro zobrazenı 14 z ne jake mnoz iny M do mnoz iny c ıśel (ve ts inou rea lny ch nebo komplexnıćh), nebo do vektoru (pak se mluvı o vektorove funkci). Funkci zapisujeme: y = f(x). Je to tedy pr edpis, ktery každému prvku x z mnoz iny M jednoznačně přiřadí ne jake číslo y nebo vektor (hodnotu funkce). M nazy va me de iničním oborem funkce. Pokud nenı pr i zada nı funkce uveden de inic nı obor, pak se za de inic nı obor obvykle povaz uje mnoz ina vs ech neza visle prome nny ch, pro ne z ma funkce smysl. Mnoz inu vs ech c ıśel f(x), takovy ch, z e x M, nazy va me oborem hodnot dane funkce. 12 V, J. Základy mathematiky. Jednota c esky ch mathematiku a fysiku 1916, Praha, str Zdroj citova no Zobrazenı je v matematice pr edpis, jak pr ir azovat prvku m ne jake mnoz iny jednoznac ne prvky obecne jine mnoz iny. Pojem zobrazenı ma ve ts inou stejny vy znam jako pojem funkce. Na zev funkce se vs ak c aste ji pouz ı va specia lne pro zobrazenı do c ıśelny ch mnoz in.

137 1. Pojem funkce (jedné reálné proměnné) a způsoby jejího zadávání Funkce y = f(x) je pr edpis, ktery kaz de mu c ıślu x D(f) jednoznac ne pr ir adı (tedy existuje pouze jedno) c ıślo y H(f). Vs echny body o sour adnicıćh [x; f(x)] tvor ı graf funkce. D(f) nazy va me de iniční obor funkce f; H(f) nazy va me obor hodnot funkce f. Poznámky. 1. De inic nı obor D(f) jsou tedy vs echna c ıśla (hodnoty argumentu, nebo te z nezávisle proměnné) x, ktera mu z eme do funkce y = f(x) dosadit a obor hodnot H(f) jsou vs echna c ıśla (hodnoty funkce, funkční hodnoty, nebo te z hodnoty závisle proměnné) y, ktera na m po dosazenı mohou vyjı t. 2. Je zvykem zapisovat funkce rovnostı y = f(x) 15 (c ti: y ef x ), c ıḿz se mıńı, z e y je to c ıślo, ktere je funkcı f pr ir azeno c ıślu x. Tr ebaz e je mezi symboly f, f(x) ve cny rozdıĺ 16, nebudeme se rozpakovat mluvit o funkci f(x) mıśto o funkci f. 15 Slovo funkce (lat. functio) pouz il ve smyslu za vislosti Gottfried Wilhelm von Leibniz koncem 17. stoletı. Johann Bernoulli a Leonhard Paul Euler de inovali poc a tkem 18. stoletı funkci jako analyticky vy raz sloz eny z neza visle prome nne a konstant; Euler poprve pouz il oznac enı f(x). Vy s e uvedeny m zpu sobem zavedl pojem funkce roku 1837 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. 16 f je funkce; f(x) je hodnota funkce v argumetu (c ıśle, bode ) x

138 3. U pr eva z ne ve ts iny funkcı zapisujeme hodnotu argumetu do kulaty ch za vorek, abychom odlis ili, z e se nejedna o na sobenı (fx = f x). Pouze u ne kolika specia lnıćh funkcı (napr.: sin x) se historicky usta lil zvyk psa t argument bez za vorek. Způsoby zadání funkce 1.1. Analyticky Příklad kvadratické funkce: y = 5 (x 3) 2 explicitní funkce implicitní funkce parametrická funkce y = x 2 + 6x 4 x 2 6x + y + 4 = 0 x = t + 3 y = 5 t 2 Nejobvyklejs ıḿ zpu sobem pro urc enı funkce je de inice funkce pomocı vzorce. Analyticky m pr edpisem (viz pr edchozı bıĺy obde lnıḱ) rozumıḿe zada nı funkce ve forme y = f(x). Pak r ıḱa me, z e funkce je zada na explicitním vyjádřením (explicitní funkce). Funkci mu z eme vyja dr it take v implicitním tvaru (implicitní funkce) jako F(x; y) = 0. Dals ıḿ zpu sobem je za pis v parametrickém tvaru (parametrická funkce) soustavou rovnic x = f 1 (t), y = f 2 (t), kde t je vhodny parametr. Výhody: Jednodus e zapıś eme funkc nı hodnoty. Napr ıḱlad symboly f(0), f(2), f( 3), f( 1 ), f( 2) 3 znamenajı hodnoty, ktery ch funkce f nabude v c ıślech 0, 2, 3, 1, 2. 3 Nevýhody: Mala na zornost. Ze vzorce bez poc ı ta nı v podstate jen obtıź ne pozna me, jak se me nı funkc nı hodnota pr i zme ne argumentu.

139 1.2. Graficky Příklad: y = x 2 + 6x 4, pro x 1; 6 Výhody: Velmi na zorne. Nevýhody: Hodnoty lze odec ı tat jen s chybou zpu sobenou nepr esnostı zar ıźenı, ktere graf vykreslilo, c i lidsky m okem Tabulkou (výčtem hodnot) Příklad: x y = x 2 + 6x Výhody: Ke kaz de hodnote argumentu, ktera je v tabulce uvedena, nale za me ihned pr ıślus nou hodnotu funkce (bez jake hokoliv vy poc tu c i me r enı ). Nevýhody: Funkci nelze urc it plne. Vyskytujı se hodnoty argumentu, ktere nejsou v tabulce uvedeny. Mala na zornost. Z tabulky pome rne te z ko pozna me, jak se me nı funkc nı hodnota pr i zme ne argumentu.

140 2. Vlastnosti funkcí Ohraničená funkce (omezena funkce). Funkce f je na intervalu I ohraničená zdola (obr. 1), kdyz existuje takove c ıślo K, z e pro kaz de x I platı f(x) K. Funkce f je na intervalu I ohraničená shora (obr. 1), kdyz existuje takove c ıślo L, z e pro kaz de x I platı f(x) L. Funkce f je na intervalu I ohraničená (obr. 2), je-li na intervalu I ohranic ena zdola i shora. Obra zek 1: Pr evzat z [5] Funkce ohranic ena zdola Funkce ohranic ena shora

141 Obra zek 2: Pr evzat z [5] Ohranic ena funkce Příklad: Urc ete, zda funkcde f y = x2 1, x R, je ohranic ena. x 2 +1 Zlomek nejprve upravıḿe na sledujıćıḿ zpu sobem. x 2 1 x = x2 + ( 1) x = x2 + (1 2) x = (x2 + 1) 2 x = x2 + 1 x x = x 2 + 1

142 Da le vyuz ijeme toho, z e pro kaz de x R platı : 1 x Potom 0 1 x ( 2) 0 2 x x = x2 1 x Vidıḿe tedy, z e funkce f je ohranic ena a navıć jsme urc ili hranice. Spodnı hranice K = 1, hornı hranice L = 1. Monotónní funkce Je-li funkce rostoucı, klesajıćı, neklesajıćı nebo nerostoucı, r ıḱa me, z e je monoto nnı (obr. 3). Specia lne je-li rostoucı nebo klesajıćı, r ıḱa me, z e je ryze monotónní. Funkce f je na intervalu I rostoucí, kdyz pro libovolne dva body x 1 ; x 2 I, kde x 1 < x 2, platı f(x 1 ) < f(x 2 ). Funkce f je na intervalu I neklesající, kdyz pro libovolne dva body x 1 ; x 2 I, kde x 1 < x 2, platı f(x 1 ) f(x 2 ). Funkce f je na intervalu I klesající, kdyz pro libovolne dva body x 1 ; x 2 I, kde x 1 < x 2, platı f(x 1 ) > f(x 2 ). Funkce f je na intervalu I nerostoucí, kdyz pro libovolne dva body x 1 ; x 2 I, kde x 1 < x 2, platı f(x 1 ) f(x 2 ).

143 Obra zek 3: Pr evzat z [5]

144 Zr ejme kaz da rostoucı funkce je i neklesajıćı a kaz da klesajıćı funkce je i nerostoucı (obr. 3). Opak ovs em neplatı (monoto nnı funkce mohou by t na ne jake m intervalu konstantnı ). Poznámka: Zatıḿ nema me vhodne prostr edky na ove r ova nı monotonie (ty budeme mı t k dispozici az budeme probıŕat pru be h funkce), proto si uvedeme pouze ne kolik velmi jednoduchy ch pr ıḱladu, kde situace bude zr ejma. Příklad: Vys etr ete monotonii na sledujıćıćh funkcı : a) f y = x 2, x 0; ) Řešení: Vyberme libovolne dva body x 1 ; x 2 0; ), x 1 < x 2. Pak (vzhledem k tomu, z e x 1, x 2 jsou neza porna c ıśla) je x 2 1 < x 2 2 ; pak take f(x 1 ) < f(x 2 ), a tedy f je rostoucı viz obr. 4 a). b) g y = x 2, x ( ; 0 Řešení: Nechť (vyberme libovolne dva body) x ( ; 0, x 1 < x 2. Pak je x1 2 > x2 2, a take g(x 1 ) > g(x 2 ), a tedy g je klesajıćı viz obr. 4 b). c) h y = x 2, x R Řešení: Vzhledem k pr edchozıḿ vy sledku m vıḿe, z e funkce h je klesajıćı na intervalu ( ; 0 a rostoucı na intervalu 0; ). Z toho vyply va, z e na intervalu ( ; ) funkce h nenı monoto nnı. Grafem funkce h je parabola viz obr. 4 c).

146 d) k y = 1, x (0; ) x Řešení: Nechť x 1 ; x 2 (0; ), x 1 < x 2. Pak je 1 x 1 > 1 x 2 ; tedy k(x 1 ) > k(x 2 ) a proto je funkce k je klesajıćı viz obr. 4 d). e) l y = 1, x ( ; 0) x Řešení: Nechť x 1 ; x 2 ( ; 0), x 1 < x 2. Pak je 1 x 1 > 1 x 2 ; tedy l(x 1 ) > l(x 2 ) a proto je funkce l je klesajıćı viz obr. 4 e). f) m y = 1, x ( ; 0) (0; ) coz take mu z eme zapsat na sledovne : x R {0} x Vzhledem k pr edchozıḿ vy sledku m vıḿe, z e funkce m je na intervalu ( ; 0) klesajıćı a na intervalu (0; ) take klesajıćı. Ve sve m de inic nıḿ oboru D(m) = ( ; 0) (0; ) vs ak nenı klesajıćı (napr ıḱlad dvojice bodu 3; 3 nespln uje podmıńku pro klesajıćı fnkce, neboť platı 3 < 3, ale 1 < 1 ). Grafem funkce m je rovnoosa hyperbola viz obr Prostá funkce je takova funkce, pro niz take ke každému y H(f) patr ı jediné x D(x). Poznámky: 1. Ove r ujeme-li, zda funkce f je prosta, vyuz ı va me c asto ekvivalentnı podmıńku: Jestliz e pro x 1 ; x 2 D(f) platı, z e f(x 1 ) = f(x 2 ), pak musı by t x 1 = x 2.

147 Obra zek 5: Pr evzat z [5] Rovnoosa hyperbola 2. Z dr ı ve uvedene ho vyply va, z e funkce f je prosta pra ve tehdy (a jen tehdy), kdyz libovolna rovnobe z ka s osou x protne graf funkce f nejvy s e jednou (tj. vu bec graf neprotne nebo protne pra ve jednou).

148 Vs imne te si, z e kaz da ryze monoto nnı funkce je prosta (nemu z e mı t v ru zny ch bodech stejnou funkc nı hodnotu), ale opak neplatı. Ne každá prosta funkce musı by t nutne monoto nnı. Toto tvrzenı demonstruje tr eba funkce m z pr edchozı ho pr ıḱladu. Zjistili jsme, z e funkce m nenı monoto nnı, ale oc ividne libovolna rovnobe z ka s osou x protne jejı graf nejvy s e jednou (osa x jej neprotne vu bec, kaz da jina rovnobe z ka jej protne pr esne v jednom bode viz bod A na obra zku 5) Příklad: Prokaz te, z e funkce f y = (x 1) 2 + 7, x (1; ) je prosta. Řešení: K du kazu pouz ijeme zmıńe nou ekvivalentnı podmıńku (tak zvany nepřímý důkaz): Jestliz e pro x 1 ; x 2 D(f) platı, z e f(x 1 ) = f(x 2 ), pak musı by t x 1 = x 2. Nechť x 1 ; x 2 (1; ) a za roven f(x 1 ) = f(x 2 ). Pak postupny mi u pravami dosta va me: (x 1 1) = (x 2 1) (x 1 1) 2 = (x 2 1) 2 (x 1 1) = (x 2 1) (protoz e x 1 1 > 0 a x 2 1 > 0) x 1 = x 2 Tıḿ jsme doka zali, z e funkce f je prosta. Pozor! Vezmeme-li funkci se stejny m pr edpisem a jiny m de inic nıḿ oborem, tak jiz nemusı by t prosta. Napr ıḱlad funkce g y = (x 1) 2 + 7, x R nenı prosta, protoz e lze nale zt alepon jednu dvojici hodnot x 1 x 2 takovy ch, z e g(x 1 ) = g(x 2 ). Jedna z (mnoha) moz nostı : x 1 = 0, x 2 = 2 g(0) = 8 = g(2).

149 Sudá a lichá funkce Tyto dve vlastnosti se ty kajı urc ite soume rnosti grafu funkce. Budeme uvaz ovat takovou funkci f, jejıź de inic nı obor D(f) je soume rny vzhledem k poc a tku (soustavy sour adnic). Tedy s každým číslem x souc asne obsahuje i opačné číslo x. Pak ma smysl porovna vat funkc nı hodnoty f(x) a f( x). Funkce f se nazy va sudá, jestliz e platı pokud x D(f), pak x D(f), f( x) = f(x) pro kaz de x D(f). Funkce f se nazy va lichá, jestliz e platı pokud x D(f), pak x D(f), f( x) = f(x) pro kaz de x D(f). Z uvedeny ch podmıńek vyply va : graf sudé funkce je souměrný podle osy y; graf liché funkce je souměrný podle počátku. Obecne funkce nemusı by t ani suda ani licha. Vs imne te si, z e funkce f y = 0 je za roven suda i licha na R.

150 Příklad: Ove r te sudost c i lichost na sledujıćıćh funkcı : a) g y = 1 x2, x R. 1 + x2 Řešení: Nechť x R. Pak g( x) = 1 ( x)2 1 + ( x) 2 = 1 x2 1 + x 2 = g(x). Tedy g je suda funkce. Graf funkce g je na na sledujıćıḿ obra zku, ktery je pr evzat z [5]. b) f y = x, x R. x Řešení: Nechť x R. Pak f( x) = ( x) ( x) = x x = x x = f(x). Tedy f je licha funkce. Graf funkce f je na na sledujıćıḿ obra zku, ktery je pr evzat z [5].

151 c) h y = 1 + x, x R. 1 + x2 Řešení: Nechť x R. Pak h( x) = 1 + ( x) 1 + ( x) 2 = 1 x 1 + x 2. Coz nenı rovno ani pr edpisu pu vodnı funkce h(x) = 1 + x 1 + x, ani vy razu h(x) = 1 + x2 1 + x, proto 2 h nenı ani suda ani licha funkce. Jejı graf je na na sledujıćıḿ obra zku, ktery je pr evzat z [5].

152 Periodická funkce Nechť f je funkce a p > 0 je rea lne c ıślo. Pr edpokla dejme, z e de inic nı obor D(f) s kaz dy m c ıślem x obsahuje i c ıślo x + p. Pak ovs em musı obsahovat i c ıślo (x + p) + p = x + 2p, (x + 2p) + p = x + 3p atd. R ekneme, z e funkce f je periodická s periodou p (p R + ), jestliz e platı pokud x D(f), pak take x + p D(f), f(x + p) = f(x) pro kaz de x D(f). Jiny mi slovy. V bodech majıćıćh od sebe vzda lenost p jsou stejne funkc nı hodnoty. Tedy stac ı zna t graf funkce f na ne jake m intervalu de lky p a graf cele funkce dostaneme kopıŕova nıḿ te to c a sti, kterou posouva me o de lku p vpravo nebo vlevo (vlevo jen pokud to de inic nı obor pr ipous tı ). Funkce periodicka s periodou p je te z periodicka s periodou k p, k N (k je pr irozene c ıślo). Pokud existuje nejmens ı perioda, nazy va se základní perioda viz obr. 6. Nejzna me js ı periodicke funkce jsou funkce goniometricke. Napr ıḱlad sinus a kosinus majı za kladnı periodu 2π; funkce f y = sin 3x ma za kladnı periodu 2 3 π; obecne funkce f sin ax, kde a > 0, ma za kladnı periodu 2 a π. Funkce f y = c, c R je periodicka funkce, ktera nema za kladnı periodu.

153 Obra zek 6: Periodicke funkce Za kladnı perioda p = 3 Za kladnı perioda p = 4 Příklad: Ove r te, zda funkce sin x ma periodu p = 2π. Řešení: f(x + p) = sin (x + 2π) = sin x cos 2π + cos x sin 2π = sin x 1 + cos x 0 = sin x = f(x) Tıḿ jsme proka zali, z e funkce sin x ma skutec ne periodu p = 2π.

154 Příklad: Nakreslete graf periodicke funkce f, jejıź perioda je p = 2 a de inic nı obor D(f) = R, jestliz e vı te, z e: 1 pro x ( 1; 0); f(x) = 0 pro x = 1 a x = 0; 1 pro x (0; 1). Obra zek je pr evzat z [5] Řešení: Protoz e funkce f ma mı t periodu 2 (vzda lenost 1 od 1 je 2), stac ı nakreslit jejı graf na intervalu 1; 1) a da le jej kopıŕovat vpravo a vlevo vz dy po posunutı o 2. Uve domte si, z e f(1) jiz nelze zadat libovolne, protoz e musı platit f( 1) = f(1), neboť vzda lenost 1 a 1 je pra ve 2.

155 Další vlastnosti funkcí Funkce f je na intervalu I kladná, kdyz pro kaz de x I, platı f(x) > 0. Viz obr. 4 d). Funkce f je na intervalu I nekladná, kdyz pro kaz de x I, platı f(x) 0. Funkce f je na intervalu I záporná, kdyz pro kaz de x I, platı f(x) < 0. Viz obr. 4 e). Funkce f je na intervalu I nezáporná, kdyz pro kaz de x I, platı f(x) 0. Viz obr. 4 a),b),c) Kořen funkce Kořen funkce je takove c ıślo a, pro ne z platı : f(a) = 0. Kor en funkce f(x), nebo take nulový bod funkce, je tedy takovy bod na ose x, ktery m graf funkce f(x) buď procha zı z jedne strany osy na druhou, nebo se osy v tomto bode doty ka (tec ny bod). Ma -li funkce tenty z kor en vıćekra t, hovor ıḿe o na sobne m kor enu. Vy raz x a nazy va me kořenovým činitelem.

156 3. Operace s funkcemi Součet funkcí f+g je takova funkce, pro kterou platı : [f+g](x) = f(x) + g(x) pro x D(f) D(g). Je tr eba si uve domit, z e ve vztahu [f+g](x) = f(x) + g(x) vystupuje symbol PLUS ve dvou ru zny ch vy znamech. Na leve strane rovnosti znamena operaci mezi funkcemi (funkcıḿ f a g je pr ir azena funkce f+g) a na prave strane rovnosti ma vy znam souc tu dvou rea lny ch c ıśel f(x) + g(x). V praxi ovs em ve ts inou pouz ı va me jeden stejny symbol (nerozlis ujeme + a +). Obdobne pro ostatnı operace. Rozdíl funkcí f g je takova funkce, pro kterou platı : [f g](x) = f(x) g(x) pro x D(f) D(g). Součin funkcí f g je takova funkce, pro kterou platı : [f g](x) = f(x) g(x) pro x D(f) D(g). V pr ıṕade souc inu dvou funkcı c asto mıśto f g pıś eme pouze f g. Specia lnıḿ pr ıṕadem souc inu dvou funkcı je souc in konstanty a funkce, tedy pro c R dosta va me [c f](x) = c f(x), x D(f). Podíl funkcí f/g je takova funkce, pro kterou platı : [f/g](x) = f(x) g(x) pro x D(f) D(g) {z R g(z) = 0}.

157 Absolutní hodnota funkce f je funkce, kterou zava dıḿe pr edpisem: f (x) = f(x) pro x D(f) Skládání funkcí Nynı probereme dals ı operaci s funkcemi, kterou je skla da nı funkcı. Uvaz ujme dve funkce f a g. Funkce f kaz de mu prvku x D(f) pr ir adı prvek y = f(x) H(f). Jestliz e tento prvek y na lez ı de inic nıḿu oboru funkce g (platı -li y D(g)), pak jej funkce g zobrazı na prvek z = g(y) H(g). Pr itom platı : z = g(y) = g[f(x)]. Dosta va me tedy novou funkci, ktera prvku x pr ir azuje prvek Složenou funkcí g f nazy va me funkci danou pr edpisem z = g[f(x)]. [g f](x) = g[f(x)], kde x D(f) f(x) D(g). Funkci f nazy va me vnitřní složka a funkci g nazy va me vnější složka sloz ene funkce g f. Za pis g f c teme: g f nebo g f nebo f g. Poznamenejme, z e mıśto obecne ho za pisu y = f(x) pouz ı va me v konkre tnıćh pr ıṕadech i jiny za pis. Napr ıḱlad: f y = 3 sin(2 x + 1) (kdy r ıḱa me, z e funkce f je dána předpisem) povaz ujeme (nepr esne ) za tote z, co f(x) = 3 sin(2 x + 1) i kdyz teď r ıḱa me, jak určit funkční hodnotu v konkre tnıḿ c ıśle x.

158 Příklad: Urc ete funkci g f = g[f(x)], ktera vznikne sloz enıḿ funkcı f y = 3 sin(2 x + 1) a g y = 4 x x + 2. Řešení: Je zr ejme, z e D(f) = R a H(f) = 3 ; 3 D(g) = R. Potom (jak jsme si ukazovali na pr edchozı strane v pozna mce) mu z eme funkc nı hodnotu funkce g v c ıśle oznac ene m [ ], vypoc ı tat: g([ ]) = 4[ ] 2 + 3[ ] + 2. Stejne tak mu z eme urc it funkc nı hodnotu funkce f v c ıśle x : f(x) = 3 sin(2 x + 1). Nynı stac ı, kdyz za c ıślo dosadıḿe funkc nı hodnotu f(x). g[ ] = g[f(x)] = 4 [3 sin(2 x+1)] 2 +3 [3 sin(2 x+1)]+2 = 36 [sin(2 x+1)] 2 +9 sin(2 x+1)]+2 Analogicky budeme postupovat i v pr ıṕade f[g(x)]. Je zr ejme, z e D(g) = R a H(g) = 3 ; ) D(f) = R. Potom f[ ] = 3 sin(2 [ ] + 1) a g(x) = 4 x x f[ ] = f[g(x)] = 3 sin(2 [4 x x + 2] + 1) = 3 sin(8 x x + 5) Příklad: Urc ete sloz enou funkci g f z funkcı g(t) y = 2t + 1 a f(x) t = x 5. Řešení: Je zr ejme, z e D(f) = H(f) = D(g) = H(g) = R. Potom [g f](x) = g[f(x)] = g(t) = g(x 5) = 2(x 5) + 1.

159 Jsou-li sloz ky sloz ene funkce samy o sobe sloz eny mi funkcemi, dosta va me vıćena sobne sloz enou funkci. Napr ıḱlad pro trojna sobne sloz enou funkci, jejıź sloz ky jsou f, g a h, platı : [h g f](x) = h {g [f(x)]}. Pr i urc ova nı D(g f), ktery je zr ejme obecne pouze c a stı D(f), musıḿe vz dy zva z it, která x je možno vzít, abychom mohli f(x) dosadit do předpisu pro funkci g. Příklad: Jsou da ny funkce f(x) y = 3 2x a g(y) z = ln y. Urc ete sloz enou funkci g f a jejı de inic nı obor. Řešení: [g f](x) = g[f(x)] = g(y) = g(3 2x) = ln(3 2x). Hledana funkce je tedy [g f](x) z = ln(3 2x). Nynı urc eme de inic nı obor funkce g f. Vıḿe, z e D(f) = R a D(g) = (0; ), protoz e pr irozeny logaritmus (platı pro kaz dy logaritmus) je de inova n pouze pro kladne hodnoty argumentu (neza visle prome nne ). Chceme najı t takova x D(f), aby platilo, z e f(x) D(g). Tedy hleda me c ıśla x R takova, z e: 3 2x (0; ). Tıḿ dosta va me jedinou podmıńku 3 2x > 0 3 > 2x 3 2 > x. Tudıź D(g f) = ; 3 2.

160 Poznámka: Platı, z e: sloz enıḿ dvou prosty ch funkcı dostaneme funkci prostou; sloz enıḿ dvou rostoucıćh funkcı dostaneme rostoucı funkci; sloz enıḿ dvou klesajıćıćh funkcı dostaneme rostoucı funkci; sloz enıḿ funkce rostoucı a klesajıćı (v libovolne m por adı ) dostaneme funkci klesajıćı ; sloz enıḿ dvou sudy ch funkcı dostaneme sudou funkci; sloz enıḿ dvou lichy ch funkcı dostaneme lichou funkci; sloz enıḿ funkce sude a liche (v libovolne m por adı ) dostaneme sudou funkci.

161 3.2. Inverzní funkce Funkce f a funkce g jsou k sobe inverznı, platı -li: f[g(x)] = g[f(x)] = x. Funkci g(x) obvykle oznac ujeme f 1 (x). Pr itom platı : D(f) = H(f 1 ) a D(f 1 ) = H(f). Poznámka: Jestliz e f 1 (x) = g(x), pak take f(x) = g 1 (x). Zdu razne me, z e f 1 (x) je oznac enı pro inverznı funkci. V z a dne m pr ıṕade nečteme ef. Nezame n ovat s mocninou za porne ho exponentu! Pozor: f 1 1 f, kde f oznac uje funkci! Kvu li prakticky m vy poc tu m hodnot inverznı funkce oznac ujeme neza visle prome nnou ve funkci f sta le x a za visle prome nnou ve funkci f 1 pıśmenem y. To ovs em samo o sobe nenı podstatne. Fakt, z e funkce f 1 je inverznı k funkci f, za visı na tvaru te chto funkcı a ne na pıśmenu, ktery m oznac ujeme neza visle prome nnou. K funkci f de inovane na intervalu I, existuje inverznı funkce f 1 pra ve tehdy, je-li f na I prostá. Jinak r ec eno: je-li f prosta, pak se lze jednoznac ne dostat nejen z bodu x do bodu y (funkce y = f(x) ), ale take naopak z bodu y do bodu x (funkce x = f 1 (y) ).

162 Poznámka: Není-li funkce f prostá, zúžíme její de iniční obor tak, aby na něm prostá byla.

163 Poznámka: Grafy funkce f a k ní inverzní funkce f 1 jsou navzájem souměrné podle přímky y = x (zmıńe nou pr ıḿku take nazy va me osou prvního a třetího kvadrantu). Graf funkce f je tvor en body v rovine tvaru [x; f(x)] = [x; y], kdez to graf f 1 je tvor en body [y; f 1 (y)] = [y; x]. Jestliz e napr ıḱlad graf funkce f obsahuje bod [2; 3] (tedy x = 2 a y = 3), coz zapıś eme f(2) = 3, bude graf funkce f 1 obsahovat bod [3; 2], (y = 3; x = 2), protoz e musı pro inverznı funkci platit f 1 (3) = 2. Vyneseme-li hodnotu x funkce f a funkce f 1 na osu x a hodnotu y obou funkcı na osu y, dostaneme vlastne dvakra t tote z. C asto ale chceme vyna s et prvnı sloz ku ve dvojici na vodorovnou osu (obvykle x) a druhou sloz ku ve dvojici na svislou osu (obvykle osu y). Za tıḿto u c elem ve ts inou prova dı me vzájemné přeznačení x a y. Mıśto x = f 1 (y) pak v nove m znac enı pıś eme y = f 1 (x). Coz je v podstate na vod na urc ova nı inverznı funkce. Protoz e body [x; y] a [y; x] jsou soume rne podle osy prvnı ho a tr etı ho kvadrantu (pr ıḿky y = x), jsou take grafy navza jem inverznıćh funkcı soume rne (symetricke ) podle te to pr ıḿky. Pr evzat z [5] Vza jemne inverznı funkce

164 Dvojice vzájemně inverzních funkcí vyuz ı va me napr ıḱlad pr i r es enı rovnic: souc et rozdıĺ f y = x + a f 1 y = x a x + a = b x = b a a, b jsou rea lna c ıśla souc in podıĺ f y = x a f 1 y = x a x a = b x = b a a 0 mocnina odmocnina f y = x a f 1 y = a x x a = b x = a b x 0 b 0 exponencia la logaritmus f y = a x f 1 y = log a x a x = b x = log a b x > 0 0 < a 1 b > 0 sinus arkussinus f y = sin x f 1 y = arcsin x sin a = b a = arcsin b π π x π a π b 1 kosinus arkuskosinus f y = cos x f 1 y = arccos x cos a = b a = arccos b 0 x π 0 a π 1 b 1 tangens arkustangens f y = tg x f 1 y = arctg x tg a = b a = arctg b π π x π a π kotangens arkuskotangens f y = cotg x f 1 y = arccotg x cotg a = b a = arccotg b 0 x π 0 a π

165 Inverzní funkci f 1 k funkci f mu z eme nale zt tak, z e v zadane m vztahu y = f(x) napr ed navza jem zaměníme písmena x a y a potom osamostatníme y. Pr esne ji dany schematický na vod vyjadr uje na sledujıćı postup: 1. Stanovıḿe de inic nı obor D(f) zadane funkce f. 2. Ove r ıḿe, z e je funkce prosta. Pr itom buď vyuz ijeme ekvivalentnı podmıńky v pozna mce na strane 146: Jestliz e pro x 1 ; x 2 D(f) platı, z e f(x 1 ) = f(x 2 ), pak musı by t x 1 = x 2. nebo vyjdeme z pozna mky na strane 160: Sloz enıḿ dvou prosty ch funkcı dostaneme funkci prostou. 3. Najdeme funkci f 1 vc etne jejı ho de inic nı ho oboru D(f 1 ). a) De inic nı obor D(f 1 ) inverznı funkce urc ıḿe pomocı oboru hodnot pu vodnı funkce, neboť platı : D(f 1 ) = H(f). b) Nalezneme pr edpis funkce f 1. Pr itom vyuz ijeme vztah f 1 (y) = x f(x) = y, ktery platı pro kaz de y D(f 1 ). Vyjdeme tedy z rovnice y = f(x) a podle schematicke ho na vodu popisovane ho vy s e zame nıḿe pıśmena oznac ujıćı neza visle a za visle prome nnou x = f(y) a pote osamostatnıḿe y (jak je zvykem) a dostaneme y = f 1 (x).

166 Příklad: Urc ete inverznı funkci k funkci f y = 2x 1. Řešení: 1. D(f) = H(f) = R 2. Nechť f(x 1 ) = f(x 2 ). Pak: 2x 1 1 = 2x x 1 = 2x 2 2 x 1 = x 2 a tedy funkce f je prosta na cele m sve m de inic nıḿ oboru. 3. a) D(f 1 ) = H(f) = R b) V pr edpisu funkce f y = 2x 1 zame nıḿe navza jem prome nne. Tedy: x = 2y 1 Pote z te to rovnice osamostatnıḿe y. x + 1 Dosta va me = y 2 a inverznı funkce ma tvar: f 1 y = 0,5x + 0,5 f y = 2x 1 f 1 y = 0,5x + 0,5

167 Příklad: Urc ete inverznı funkci k funkci f y = x 2. Řešení: 1. D(f) = R, H(f) = 0; ), 2. Nechť f(x 1 ) = f(x 2 ). Pak: x1 2 = x2 2 x 1 = x 2 (pro x 1 0 a x 2 0) Proto, aby funkce f byla prosta, musı platit podmıńky v za vorce. Zu z ıḿe proto de inic nı obor na D(f) = 0; ). Potom je funkce f prosta na intervalu 0; ). 3. a) D(f 1 ) = H(f) = 0; ) b) V pr edpisu funkce f y = x 2 zame nıḿe navza jem prome nne. Tedy x = y 2. Pote z te to rovnice osamostatnıḿe y. Dosta va me: x = y a inverznı funkce ma tvar: f 1 y = x. f y = x 2 f 1 y = x

168 Příklad: Ove r te, z e k funkci f y = x + 2 x 3 existuje inverznı funkce a najde te ji. Řešení: 1. Zr ejme ze zada nı D(f) = R {3}. 2. Nechť f(x 1 ) = f(x 2 ). Pak: x x 1 3 = x x 2 3 (x 1 3)(x 2 3) x 1 x 2 + 2x 2 3x 1 6 = x 1 x 2 + 2x 1 3x x 1 x 2 + 2x 2 3x 1 = x 1 x 2 + 2x 1 3x 2 x 1 x 2 2x 2 3x 1 = 2x 1 3x 2 + 3x 1 + 3x 2 5x 2 = 5x 1 5 x 2 = x 1 tedy funkce f je prosta na cele m sve m de inic nıḿ oboru a proto zde existuje funkce f 1 inverznı k funkci f. 3. a) Urc ıḿe de inic nı obor funkce inverznı D(f 1 ) = H(f), ktery je roven oboru hodnot pu vodnı funkce f. Nejprve si upravıḿe pr edpis funkce f. Platı : f(x) = x + 2 x 3 = x x 3 = x 3

169 Funkce f je de inova na pro kaz de x D(f) = R {3}. Da le platı : x R {3} x 3 R {0} 1 x 3 R {0} 5 x 3 R {0} x 3 R {1} x + 2 R {1} = H(f) x 3 Tedy D(f 1 ) = H(f) = R {1} b) V pr edpisu funkce f y = x + 2 x 3 zame nıḿe navza jem prome nne : x = y + 2 y 3. A z te to rovnice osamostatnıḿe y: x = y + 2 y 3 (y 3) xy 3x = y + 2 y + 3x xy y = 3x + 2 y (x 1) = 3x + 2 (x 1) Dosta va me: y = 3x + 2 x 1, coz je hledana inverznı funkce (viz na sledujıćı obra zek).

170 Poznámka: U podobny ch pr ıḱladu, kdy nalezenı oboru hodnot pu - vodnı funkce nenı pra ve trivia lnı za lez itostı, postupujeme ve ts inou tak, z e nejprve stanovıḿe inverznı funkci a pote pr ıḿo jejı de inic nı obor. Tedy nejprve provedeme bod 3. b) a teprve na sledne bod 3. a) dr ı ve uvedene ho postupu. f y = x + 2 x 3, x R {3} f 1 y = 3x + 2, x R {1} x 1

171 4. Elementární funkce Základními elementárními funkcemi budeme nazy vat tyto funkce: mocninné (mocniny a odmocniny prome nna je v za kladu/mantise mocniny); exponenciální (prome nna je v exponentu) a logatritmické; goniometrické (trigonometricke sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans (sec x = 1 ), kosekans cos x (csc x = 1 )) a cyklometrické (arkussinus, arkuskosinus, arkutangens, arkuskotanges); sin x hyperbolické (hyperbolicky sinus sinh x = ex e x, ) a hyperbolometrické (argument hyperbolicke ho sinu argsinh 2 x). Tyto funkce se velmi c asto vyskytujı v technicke praxi. Jejich hodnoty bez proble mu nalezneme skoro na kaz de trochu slušnější kalkulac ce. Elementárními funkcemi budeme nazy vat funkce, ktere lze vytvor it ze za kladnıćh elementa rnıćh funkcı pomocı operacı sc ı ta nı, odec ı ta nı, na sobenı, de lenı a skla da nı funkcı. Mezi nejvy znamne js ı takove patr ı mnohočleny (napr ıḱlad konstantnı, linea rnı, kvadraticka,, funkce) a racionální (lomene ) funkce (napr ıḱlad mocniny se za porny m cely m exponentem). Poznámka: Ve ts ina elementa rnıćh funkcı je probıŕa na na str ednı s kole, a proto lze tuto kapitolu povaz ovat z velke c a sti za opakova nı a souhrnne pr ipomenutı za kladnıćh vlastnostı te chto funkcı. Rozs ıŕ enıḿ oproti str ednı s kole budou zr ejme pro ve ts inu z va s pouze funkce cyklometricke a ne ktere mnohoc leny a raciona lnı (lomene ) funkce.

172 4.1. Funkce mocninné (mocniny a odmocniny) A. Mocninná funkce s přirozeným exponentem n N je pr irozene c ıślo. Funkci f y = x n, pro x R a n N, kde x n = x n-kra t nazy va me mocninnou funkcí s přirozeným exponentem. Vlastnosti mocninne funkce f y = x n s pr irozeny m exponentem n N. n je sudé Funkce f y = x n ma de inic nı obor D(f) = R a obor hodnot H(f) = 0; ). Je to suda funkce, zdola ohranic ena, klesajıćı na intervalu ( ; 0 a rostoucı na intervalu 0; ). Proto nenı prosta (viz obra zek 7 vlevo). Pokud vs ak omezıḿe jejı de inic nı obor na interval 0; ), pak je tato nova funkce prosta a existuje k nı funkce inverznı. n je liché Funkce f y = x n ma de inic nı obor D(f) = R a obor hodnot H(f) = R. Je to licha funkce, nenı zdola ani shora ohranic ena, je rostoucı na D(f). Proto je prosta na cele m sve m de inic nıḿ oboru (viz obra zek 8 vlevo) a existuje k nı funkce inverznı.

173 Funkci n-tá odmocnina pro n N, n 2 oznac ujeme f y = n x (c teme: n x) zava dıḿe 1. pro n sudé jako funkci inverznı k funkci f y = x n, x 0; ) ; 2. pro n liché jako funkci inverznı k funkci f y = x n, x R. Vlastnosti funkce f y = n x. n je sudé f y = n x ma de inic nı obor D(f) = 0; ) a obor hodnot H(f) = 0; ). Funkce nenı suda ani licha, je rostoucı na D(f) a je zdola ohranic ena (viz obra zek 7 vpravo). n je liché (n 3) f y = n x ma de inic nı obor D(f) = R a obor hodnot H(f) = R. Je to licha funkce, nenı zdola ani shora ohranic ena, je rostoucı na D(f) (viz obra zek 8 vpravo). Obra zek 7: Pr evzat z [5] Sudé n

174 Obra zek 8: Pr evzat z [5] Zapamatujte si: Liché n 1. Sudé odmocniny jsou de inova ny jen pro x 0; ). (!!! Nenı pravda, z e 4 = 2.) 2. Liché odmocniny jsou de inova ny pro vs echna x R. 3. Odmocnina je funkce, proto je da na jednoznac ne. (!!! Nenı pravda, z e 4 = ±2. Spra vne je pouze 4 = 2.) Uve domte si, z e pracujeme vy luc ne s rea lny mi c ıśly x. V mnoz ine komplexnıćh c ıśel bychom s mocninami i s odmocninami zacha zeli jinak.

175 B. Mocninná funkce se záporným celým exponentem n N je pr irozene c ıślo. Funkci f y = x n, pro x R {0} a n N, kde x n = 1 x n = 1 x x x nazy va me mocninnou funkcí se záporným celým exponentem. Vlastnosti mocninne funkce f y = x n se za porny m cely m exponentem (n N). n je liché f y = x n ma de inic nı obor D(f) = R {0} a obor hodnot H(f) = R {0}. Je to licha funkce, nenı zdola ani shora ohranic ena, je klesajıćı na D(f) (viz obra zek 9 vlevo). n je sudé f y = x n ma de inic nı obor D(f) = R {0} a obor hodnot H(f) = 0; ). Je to suda funkce, zdola ohranic ena, rostoucı na intervalu ( ; 0 a klesajıćı na intervalu 0; ) (viz obra zek 9 vpravo). Obra zek 9: Pr evzat z [5]

176 C. Mocninná funkce s racionálním exponentem p/q, kde (p 0 je cele c ıślo, q 2 je pr irozene c ıślo), je zlomek v za kladnıḿ tvaru (tj. p a q jsou nesoude lne nemajı spolec ne ho de litele). Funkci f y = x p q, kde x p q = q x p nazy va me mocninnou funkcí s racionálním exponentem p q Q Z. Pr itom de inic nı obor funkce f za visı na c ıślech p, q. Celkem mohou nastat tyto c tyr i pr ıṕady: Poznámka: q liche D(f) = R p > 0 q sude D(f) = 0; ) q liche D(f) = R {0} p < 0 q sude D(f) = (0; ) 1. Pokud nenı raciona lnı exponent v za kladnıḿ tvaru, musıḿe ho nejdr ı ve (kra cenıḿ) upravit na za kladnı tvar. 2. Pr edpoklad nesoude lnosti c ıśel p a q (ktery je podstatny ), na m umoz nı pracovat s lichy mi odmocninami ze za porny ch c ıśel. Napr ıḱlad ( 8) 2 6 = ( 8) 1 3 = 3 8 = 2, protoz e ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8. Pr i vynecha nı pr edpokladu nesoude lnosti c ıśel p, q by de inice funkce f y = x p q nebyla korektnı. Pro jedno zada nı bychom mohli obdrz et ne kolik vy sledku, coz nenı spra vne. Protoz e by bylo ( 8) 2 6 = 6 ( 8) 2 = 6 64 = 2 a za roven ( 8) 2 6 = ( 8) 1 3 = 3 8 = 2.

177 D. Mocninná funkce s reálným exponentem Zatıḿ nema me z a dne vhodne prostr edky pro zavedenı mocninne funkce s rea lny m exponentem. Proto se spokojıḿe s tıḿ, z e kaz de rea lne c ıślo lze s libovolnou a pr edem danou pr esnostı vyja dr it pomocı vhodne ho zlomku. Napr ıḱlad poz adujeme urc it 3 2 a stac ı na m, kdyz 2 1, vyja dr ıḿe s pr esnostı na jedno desetinne mıśto. Pak zvolıḿe 1,4 = = 7 a platı = Pokud chceme odmocninu vyja dr it s pr esnostı na dvě desetinna mıśta, volıḿe 1,41 = 141 a dostaneme leps ı aproximaci = Kdyz na tři desetinna mıśta, volıḿe 1,414 = = Obra zek 10: Pr evzat z [5] 100 Mocninna funkce s iraciona lnıḿ (rea lny m, ktery nenı raciona lnı ) exponentem

178 E. Mocninná funkce s nulovým exponentem Jestli jste pozorne studovali odstavce A), B), C) i D), jiste va m neuniklo, z e jsme doposud nezavedli mocninnou funkci s nulovy m exponentem. To nynı napravı me. Pro kaz de x R {0} poloz ıḿe x 0 = 1. Je-li tedy r = 0, pak mocninna funkce f y = x r, x R {0} je rovna konstantnı funkci f y = 1. Tıḿ ma me funkci f y = x r de inova nu pro vs echna ru zna r R. Z jednotlivy ch vztahu, ktery mi jsme zava de li mocninnou funkci pro ru zne exponenty vidıḿe, z e funkce f y = x r je ve vs ech pr ıṕadech de inova na na intervalu (0; + ) a v ne ktery ch pr ıṕadech i na s irs ıćh intervalech. Na tomto intervalu (0; + ) platı na sledujıćı vztah: x a = e a ln x, x (0; + ), a R pr ic emz funkce e x a ln x zavedeme v na sledujıćı kapitole 4.2.

179 Základní pravidla pro počítání s mocninami Pro c ıśla x, y (0; ), a, b R platı x a y a = (x y) a x a a y = x a y a 1 x = 1 a x x 0 = 1 x a x b = x a+b x a x b = xa b (x a ) b = x a b x a = 1 x a Základní pravidla pro počítání s odmocninami Pro c ıśla x, y (0; ), m, n N, m 2, n 2 platı n x y = n x n y n n x y = x n y n x n = n x n = x m n x = m n x n x k = n x k k je cele c ıślo Poznámka: Vs imne te si, z e vs echny vzorce uvedene v tomto ra mec ku platı za podmıńky x > 0, y > 0. Napr ıḱlad x 2 = x platı pouze pro kladna c ıśla x. Obecně pro x R platí x 2 = x.

180 4.2. Funkce exponenciální a logaritmická Exponenciální funkcí o základu a, kde a je kladne rea lne c ıślo a (0; ), nazy va me na sledujıćı pr edpis f y = a x Obra zek 11: Pr evzat z [5] Exponencia lnı funkce

181 Vlastnosti exponencia lnı funkce f y = a x (viz obra zek 11), pro a > 0: De iniční obor: D(f) = ( ; ). Obor hodnot (pro a 1): H(f) = (0; ). Funkce (pro a 1) není ani sudá ani lichá. Funkce (pro a 1) není periodická. Funkce je rostoucí (pro a > 1), klesající (pro 0 < a < 1), konstantní (pro a = 1). Základní pravidla pro počítání s exponenciální funkcí Pro c ıśla a (0; ), x, y R platı a x a y = a x+y a x = ax y (a ay x ) y = a x y Poznámka: 1. Velmi vy znamne mıśto mezi exponencia lnıḿi funkcemi zaujıḿa přirozená exponenciální funkce f y = e x, kde e se nazy va Eulerovo c ıślo 17 (e = 2, ). Ve ts inou de inujeme toto c ıślo e pomocı limity posloupnosti: e = lim n n n. 17 Oznac enı pro toto iraciona lnı c ıślo zavedl roku 1731 L. Euler. Vy znamem se Eulerovo c ıślo e vyrovna va Ludolfovu c ıślu π.

182 2. Funkci f y = e x lze de inovat pomocı souc tu nekonec ne mocninne r ady. Jen pro zajıḿavost tuto r adu uveďme: x n e x = n! = 1 + x1 1! + x2 2! + x3 3! +. n=0 3. Exponencia lnı funkci o za kladu deset (f y = 10 x ) se nazy va dekadická exponenciální funkce. 4. Exponencia lnı funkce je du lez ita pro modelova nı nejru zne js ıćh jevu, protoz e vyjadr uje zákon přirozeného růstu. Sem patr ı organicky ru st (napr. mnoz stvı dr eva v lese, poc et obyvatel), vyrovna va nı rozdıĺu (napr. ochlazova nı, rozpous te nı, vybı jenı kondenza toru), ne ktere chemicke reakce atd. Typicky m pr ıḱladem pr irozene ho ru stu je nepr etrz ite c i spojite (sloz ene ) u rokova nı. Exponencia lnı funkce f y = a x je pro kaz de rea lne c ıślo x a pro kaz de rea lne c ıślo a 0 < a 1 prostá, proto k nı existuje inverznı funkce. Logaritmická funkce Inverznı funkci f k funkci f 1 y = a x nazy va me logaritmickou funkcí o základu a, kde a je kladne rea lne c ıślo ru zne od jednic ky (0 < a 1), a oznac ujeme f y = log a x, 0 < a 1, x (0; ). Podle pr edchozı ho ra mec ku tedy pro rea lna c ıśla s na sledujıćıḿi vlastnostmi platı : y = log a x x = a y, 0 < a 1, x (0; ), y R. Vlastnosti logaritmicke funkce f y = log a x (viz obra zek 12), pro a > 0 :

183 Obra zek 12: Pr evzat z [5] Logaritmicke funkce De iniční obor: Obor hodnot: D(f) = (0; ). H(f) = ( ; ). Funkce není ani sudá ani lichá. Funkce není periodická. Funkce je rostoucí (pro a > 1) a klesající (pro 0 < a < 1).

184 Základní pravidla pro počítání s logaritmickou funkcí Pro rea lna c ıśla 0 < a 1, 0 < b 1, s R, x, y (0; ) platı log a (x y) = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x s = s log a x log ax = log b x log b a Poznámka: 1. Funkc nı hodnoty logaritmicke funkce se nazy vajı logaritmy. Symbol log a x c teme: x a. 2. Logaritmickou funkci o za kladu a = e (Eulerovo c ıślo) nazy va me přirozenou logaritmickou funkcí a oznac ujeme f y = ln x. Tedy mıśto log e x pıś eme ln x. Jejı funkc nı hodnoty se nazy vajı přirozené logaritmy. 3. Logaritmickou funkci o za kladu a = 10 nazy va me dekadickou (desı tkovou) logaritmickou funkcí a oznac ujeme f y = log 10 x Mıśto log 10 x pıś eme log x. Jejı funkc nı hodnoty se nazy vajı dekadické logaritmy (desı tkove logaritmy). 4. Vztah mezi exponencia lnı funkcı o za kladu a a o za kladu e je da n rovnostı a x = e x ln a pro 0 < a 1, x R.

185 5. Pokud oznac ıḿe f(x) y = a (x), 0 < a 1, D(f) = ( ; + ), H(f) = (0; + ) f 1 (x) y = log a (x), 0 < a 1, D(f 1 ) = (0; + ), H(f 1 ) = ( ; + ) pak platı : [f f 1 ](x) = f[f 1 (x)] = a [f 1(x)] = a log a x = x pro x (0; ), [f 1 f](x) = f 1 [f(x)] = log a [f(x)] = log a a x = x log a a = x 1 = x pro x R. 6. Logaritmus svého základu se rovná jedné log a a = 1 pro 0 < a Funkce goniometrické Goniometricke 18 funkce zna te ze str ednı s koly z jejich hlavnı ho uz itı pr i vy poc tu prvku troju helnıḱu (v trigonometrii). Pr ipomen me, z e umı te u hly me r it v mıŕ e stupn ove a v mıŕ e obloukove (v radia nech) 19. Vı te, z e 1 (jeden stupen ) v mıŕ e stupn ove je roven u hlu π/180 rad. Obecne π n = n 180 rad. A tedy: 1 rad = 180 π [ ] 57,3. 18 Mu z eme pr eloz it jako úhloměrné. 19 Existujı jes te i jine jednotky pro me r enı u hlu. Pravy u hel = 90 = π rad = 100 grad (gradia n dr ı ve ve Francii) = 6 hodin (v astronomii) 2

186 Sinus a kosinus V sour adne soustave nakresleme jednotkovou kruz nici (ma str ed v poc a tku soustavy sour adnic a jejı polome r je 1 jednotka) a orientovany u hel, ktery ma tmavoc ervenou barvu. Vrchol u hlu je ope t v poc a tku soustavy sour adnic, poc a tec nı rameno u hlu sply va s kladnou c a stı osy u a koncove rameno procha zı bodem A o sour adnicıćh A = [u A ; v A ], coz je pru sec ıḱ koncove ho ramena orientovane ho u hlu s jednotkovou kruz nicı viz obra zek 13. Obra zek 13: Sinus a kosinus sin x cos x

187 Sinus je funkce, jejıź hodnota je v kaz de m bode x R rovna svislé sour adnici v A bodu A. Kosinus je funkce, jejıź hodnota je v kaz de m bode x R rovna vodorovné sour adnici u A bodu A. Pro takto zavedene funkce plyne: Funkce sinus : y = sin x Graf (obra zek 14) funkce sinus se nazy va sinusoida. Obra zek 14: Pr evzat z [5] Sinusoida Poznámka: Podle de inice stac ı sestrojit graf sinusoidy v intervalu 0; 2π) a potom jej periodicky prodlouz it.

188 Vlastnosti funkce sinus: f y = sin x, x R De iniční obor funkce sinus: D(f) = ( ; + ) Obor hodnot funkce sinus: H(f) = 1; 1 Funkce sinus je lichá: sin( x) = sin x Funkce sinus je periodická se za kladnı periodou 2π sin(x + 2kπ) = sin x, k je cele c ıślo (k Z) Funkce sinus je rostoucí na intervalech klesající na intervalech π 2 + 2kπ; 3π 2 π + 2kπ; π + 2kπ, k Z kπ, k Z Tabulka hodnot funkce sinus ve vy znac ny ch bodech: x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π sin x coz je

189 Funkce kosinus : y = cos x Graf (obra zek 15) funkce kosinus se nazy va kosinusoida. Obra zek 15: Pr evzat z [5] Poznámka: Stejne jako u funkce sinus stac ı sestrojit graf kosinusoidy v intervalu 0; 2π) a potom jej periodicky prodlouz it. Vlastnosti funkce kosinus: f y = cos x, x R De iniční obor funkce kosinus: D(f) = ( ; + ) Obor hodnot funkce kosinus: H(f) = 1; 1 Funkce kosinus je sudá: cos( x) = cos x Funkce kosinus je periodická se za kladnı periodou 2π cos(x + 2kπ) = cos x, k Z (k je cele c ıślo) Funkce kosinus je rostoucí na intervalech π + 2kπ; 0 + 2kπ, k Z (k je cele c ıślo) klesající na intervalech 0 + 2kπ; π + 2kπ, k Z

190 Determ. Matice Soustavy LAR (element.) Funkce Raciona lnı (lom.) funkce Interpolace, MNC Posloupnosti (apl.) Tabulka hodnot funkce kosinus ve vy znac ny ch bodech: x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π cos x coz je Základní vztahy pro sinus a kosinus Vs echny da le uvedene rovnosti platı vs ude, kde je souc asne de inova na leva i prava strana rovnosti. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y (9) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y (10) sin(x y) = sin x cos y cos x sin y (11) cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y (12) sin 2 x + cos 2 x = 1 (13) Prvnıḿ c tyr em vztahu m r ıḱa me souc tove vzorce pro sinus a kosinus. Ze vztahu (9) a (10) lze odvodit r adu dals ıćh vztahu. Napr ıḱlad vzorec (11) dostaneme tak, z e ve vzorci (9) nahradıḿe symbol y symbolem y a vyuz ijeme lichosti funkce sinus a sudosti funkce kosinus. Vztah (12) zıśka me, kdyz v (10) nahradıḿe symbol y symbolem y a Vzorec (13) dostaneme tak, kdyz ve vzorci (10) poloz ıḿe y = x.

191 Vztah (13) se ne kdy nazy va goniometrická jednička. Pr ipomen me, z e sin 2 x je struc ny za pis vy razu [sin x] 2. Nezame n ovat se sin x 2, coz je naprosto ne co jine ho! sin x = cos π x (14) 2 cos x = sin π 2 x (15) Vzorec (14) dostaneme ihned ze vztahu (12) a vzorec (15) ze vztahu (11). sin 2x = 2 sin x cos x (16) cos 2x = cos 2 x sin 2 x (17) Vzorec (16) dostaneme tak, z e v souc tove m vzorci (9) poloz ıḿe y = x. Obdobne pro odvozenı vztahu (17) pouz ijeme vztah (10). Na sledujıćı vzorce (18) (19) pouz ı va me pr i integrova nı goniometricky ch funkcı, kdy integrovanou gon. funkci pomocı vhodne substituce a te chto vzorcu pr evedeme na raciona lnı lomenou funkci. sin x 2 = 1 cos x 2 (18) cos x 2 = 1 + cos x 2 (19)

192 Determ. Matice Soustavy LAR (element.) Funkce Raciona lnı (lom.) funkce Interpolace, MNC Posloupnosti (apl.) Ne kdy se hodı i na sledujıćı souc tove vzorce: sin x + sin y = 2 sin sin x sin y = 2 cos cos x + cos y = 2 cos cos x cos y = 2 sin x + y 2 x + y 2 x + y 2 x + y 2 cos sin cos sin x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 (20) (21) (22) (23) Tangens a kotangens V sour adne soustave nakresleme jednotkovou kruz nici (ma str ed v poc a tku soustavy sour adnic a jejı polome r je 1 jednotka) a orientovany u hel, ktery ma tmavoc ervenou barvu. Vrchol u hlu je ope t v poc a tku soustavy sour adnic, poc a tec nı rameno u hlu sply va s kladnou c a stı osy u a koncove rameno procha zı bodem B o sour adnicıćh B = [u B ; v B ], (coz je pru sec ıḱ koncove ho ramena orientovane ho u hlu s tec nou sestrojenou k jednotkove kruz nici v bode [1 ; 0]) a bodem C o sour adnicıćh C = [u C ; v C ], (coz je pru sec ıḱ koncove ho ramena orientovane ho u hlu s dals ı tec nou sestrojenou k jednotkove kruz nici nynı v bode [0 ; 1]) viz obra zek 16. Tangens je funkce, jejıź hodnota je v kaz de m bode x R, ktery nenı roven lichy m na sobku m π/2, rovna svislé sour adnici v B bodu B. Pro liche na sobky π/2 totiz z a dny pru sec ıḱ B nedostaneme, protoz e rameno u hlu a tec na ke kruz nici jsou navza jem rovnobe z ne.

193 Obra zek 16: Tangens a kotangens tg x cotg x Kotanges je funkce, jejıź hodnota je v kaz de m bode x R ktery nenı roven na sobku m π rovna vodorovné sour adnici u C bodu C. Pro na sobky π totiz z a dny pru sec ıḱ C nedostaneme, protoz e rameno u hlu a tec na ke kruz nici jsou navza jem rovnobe z ne. Pro takto zavedene funkce z podobnosti troju helnıḱu plyne tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x

194 Funkce tangens : y = tg x Obra zek 17: Pr evzat z [5] Vlastnosti funkce tangens: f y = tg x, x R mimo lichy ch na sobku π/2 (obra zek 17) De iniční obor funkce tangens: Obor hodnot funkce tangens: H(f) = ( ; ) Funkce tangens je lichá: tg ( x) = tg x Funkce tangens je periodická se za kladnı periodou π tg (x + kπ) = tg x, k Z Funkce tangens je rostoucí na intervalech D(f) = R π + kπ, k Z (k je cele c ıślo) 2 π + kπ; π + kπ, k Z 2 2

195 Tabulka hodnot funkce tangens ve vy znac ny ch bodech: x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π tg x Funkce kotangens : y = cotg x Vlastnosti funkce kotangens: f y = cotg x, x R mimo na sobku π (obra zek 18) De iniční obor funkce kotangens: Obor hodnot funkce kotangens: H(f) = ( ; ) D(f) = R {kπ, k Z} (k je cele c ıślo) Funkce kotangens je lichá: cotg ( x) = cotg x Funkce kotangens je periodická se za kladnı periodou π cotg (x + kπ) = cotg x, k Z Funkce kotangens je klesající na intervalech Tabulka hodnot funkce kotangens ve vy znac ny ch bodech: (0 + kπ; π + kπ), k Z x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π cotg x

197 4.4. Funkce cyklometrické Cyklometricke funkce budeme de inovat jako inverznı funkce k odpovı dajıćıḿ funkcıḿ goniometricky m. To je ovs em velmi nepr esne r ec eno, neboť ani jedna z goniometricky ch funkcı nenı prosta na cele m sve m de inic nıḿ oboru. Podı vejme se nejprve na funkci sinus. Funkce f y = sin x, x R, nenı prosta. Ale funkce f 1 y = sin x, x π 2 ; π 2 f 2 y = sin x, x π 2 ; 3π 2 f 3 y = sin x, x π; 3π 2 jiz proste jsou. Lze tedy mluvit o funkcıćh inverznıćh k te mto funkcıḿ. Pr itom jedna z te chto funkcı, konkre tne funkce f 1, je povaz ova na za za kladnı a funkce k nı inverznı se nazy va arkussinus. Obdobnou u vahu lze prove st i pro ostatnı goniometricke funkce. Funkce arkussinus : y = arcsin x Vlastnosti funkce arkussinus: f y = arcsin x, x 1; 1 (viz obra zek 19) De iniční obor funkce arkussinus: D(f) = 1; 1 Obor hodnot funkce arkussinus: H(f) = π ; π 2 2 Funkce arkussinus je lichá: arcsin( x) = arcsin x Funkce arkussinus nenı periodická Funkce arkussinus je rostoucí na cele m sve m de inic nıḿ oboru

198 Obra zek 19: Pr evzat z [5] Uvaz ujme funkci f y = sin x, x π ; π. Tato funkce je rostoucı, a tedy prosta. 2 2 Inverznı funkce k funkci f se nazy va arkussinus. Pr itom D(f 1 ) = H(f) = 1; 1. Funkce f y = sin x, x π 2 ; π 2 a funkce f 1 y = arcsin x, x 1; 1 jsou navza jem inverznı. Jejich grafy jsou tedy soume rne podle pr ıḿky y = x (osy prvnı ho a tr etı ho kvadrantu).

199 Funkce arkuskosinus : y = arccos x Obra zek 20: Pr evzat z [5] Uvaz ujme funkci f y = cos x, x 0; π. Tato funkce je klesajıćı, a tedy prosta. Inverznı funkce k funkci f se nazy va arkuskosinus. Pr itom D(f 1 ) = H(f) = 1; 1. Funkce f y = cos x, x 0; π a funkce f 1 y = arccos x, x 1; 1 jsou navza jem inverznı. Jejich grafy jsou tedy soume rne podle pr ıḿky y = x (osy prvnı ho a tr etı ho kvadrantu).

200 Vlastnosti funkce arkuskosinus: f y = arccos x, x 1; 1 (viz obra zek 20) De iniční obor funkce arkuskosinus: D(f) = 1; 1 Obor hodnot funkce arkuskosinus: H(f) = 0; π Funkce arkuskosinus není ani lichá, ani sudá Funkce arkuskosinus není periodická Funkce arkuskosinus je klesající na cele m sve m de inic nıḿ oboru Funkce arkustangens : y = arctg x Vlastnosti funkce arkustangens: f y = arctg x, x 1; 1 (viz obra zek 21) De iniční obor funkce arkustangens: D(f) = ( ; ) Obor hodnot funkce arkustangens: H(f) = ( π ; π ) 2 2 Funkce arkustangens je lichá: arctg ( x) = arctg x Funkce arkustangens není periodická Funkce arkustangens je rostoucí na cele m sve m de inic nıḿ oboru

201 Obra zek 21: Pr evzat z [5] Uvaz ujme funkci f y = tg x, x ( π 2 ; π 2 ). Tato funkce je rostoucı, a tedy prosta. Inverznı funkce k funkci f se nazy va arkustangens. Pr itom D(f 1 ) = H(f) = ( ; ). Funkce f y = tg x, x ( π 2 ; π 2 ) a funkce f 1 y = arctg x, x ( ; ) jsou navza jem inverznı. Jejich grafy jsou tedy soume rne podle pr ıḿky y = x (osy prvnı ho a tr etı ho kvadrantu).

202 Funkce arkuskotangens : y = arccotg x Obra zek 22: Pr evzat z [5] Uvaz ujme funkci f y = cotg x, x (0; π). Tato funkce je klesajıćı, a tedy prosta. Inverznı funkce k funkci f se nazy va arkuskotangens. Pr itom D(f 1 ) = H(f) = ( ; ). Funkce f y = cotg x, x (0; π) a funkce f 1 y = arccotg x, x ( ; ) jsou navza jem inverznı. Jejich grafy jsou tedy soume rne podle pr ıḿky y = x (osy prvnı ho a tr etı ho kvadrantu).

203 Vlastnosti funkce arkuskotangens: f y = arctg x, x 1; 1 (viz obra zek 22) Poznámka: De iniční obor funkce arkuskotangens: D(f) = ( ; ) Obor hodnot funkce arkuskotangens: H(f) = (0; π) Funkce arkuskotangens není ani lichá, ani sudá Funkce arkuskotangens není periodická Funkce arkuskotangens je klesající na cele m sve m de inic nıḿ oboru Protoz e pro vza jemne inverznı funkce platı dosta va me ihned na sledujıćı vztahy: [f 1 f] (x) = f 1 [f(x)] = x pro x D(f), [f f 1 ] (x) = f[f 1 (x)] = x pro x D(f 1 ), arcsin [sin x] = x pro x π 2 ; π 2, sin [arcsin x] = x pro x 1; 1. Pozor! Napr ıḱlad sloz ena funkce arcsin [sin x] je de inovana pro vs echna rea lna c ıśla x (x R), ale pr edchozı rovnost platı jen na vy s e uvedene m intervalu. Proto napr ıḱlad arcsin sin π 4 = π 4, ale arcsin [sin π] = 0. Ve ts ina kalkulac ek toto zvla dne, ale protoz e funkc nı hodnoty poc ı ta pomocı mocninny ch r ad, nemusıḿe obdrz et naprosto pr esny vy sledek, ale napr ıḱlad ne co takove ho: arcsin [sin π] 1,

204 Chceme-li spoc ı tat f(π) = arcsin [sin π], musıḿe si uve domit, z e π π ; π ve ktere m 2 2 (a pouze jenom v tomto intervalu) platı rovnost arcsin [sin x] = x. Proto musıḿe nejdr ı ve najı t takovy argument x funkce sin x, pro ktery platı sin x = sin π tak, aby argument x lez el ve zmıńe ne m intervalu: Tedy: x π ; π. 2 2 arcsin [sin π] = arcsin 0 = arcsin [sin 0] = 0 protoz e sin π = 0 = sin Mnohočleny (polynomy) a racionální lomené funkce Dals ı z elementa rnıćh funkcı jsou natolik du lez ite, z e jim ve nujeme celou na sledujıćı kapitolu.

205 Autorem obra zku je R. Mar ıḱ Funkce mocninné

206 Autorem obra zku je R. Mar ıḱ Funkce exponenciální Funkce logaritmické

207 Autorem obra zku je R. Mar ıḱ Funkce goniometrické

208 Autorem obra zku je R. Mar ıḱ Funkce cyklometrické

209 Mnohočleny a racionální lomená funkce

210 Obsah kapitoly: Mnohočleny a racionální lomená funkce 1. Mnohočleny polynomy Rozklad mnohoc lenu na souc in Nalezenı kor enu mnohoc lenu Linea rnı rovnice Kvadraticke rovnice Rovnice vys s ıćh stupn u Mnohoc leny s celoc ıśelny mi koe icienty Hornerovo sche ma Dals ı pr ıḱlad Racionální lomená funkce Parcia lnı zlomky Typy rozkladu na parcia lnı zlomky Postup rozkladu raciona lnı lomene funkce na parcia lnı zlomky Reálné jednonásobné kor eny jmenovatele Reálné vícenásobné kor eny jmenovatele Jednonásobné komplexně sdružené kor eny jmenovatele Vıćena sobne komplexne sdruz ene kor eny jmenovatele Pr ıḱlad Ryze lomena raciona lnı funkce Hleda nı kor enu jmenovatele Rozklad jmenovatele na souc in Typy parcia lnıćh zlomku

211 2.5. Pr ıḱlad Neryze lomena raciona lnı funkce De lenı mnohoc lenu mnohoc lenem Hornerovo sche ma Rozklad jmenovatele na souc in Typy parcia lnıćh zlomku Vy sledek Za ve rec na pozna mka k rozkladu na parcia lnı zlomky

212 1. Mnohočleny polynomy Me jme neza porne cele c ıślo n (n N 0 ) a rea lna c ıśla a 0, a 1,, a n 1 a nenulove rea lne c ıślo a n 0. Funkci P n y = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, nazy va me (rea lny ) mnohočlen (polynom). C ıśla a 0, a 1, a 2,, a n 1, a n nazy va me koe icienty mnohočlenu a c ıślo n nazy va me stupeň mnohočlenu (pıś eme: st P = n). Stupen mnohoc lenu je tedy nejvys s ı mocnina nezna me (prome nne ) s nenulovy m koe icientem. Poznámka: Mezi mnohoc leny poc ı ta me i tzv. nulový mnohočlen P y = 0, ktery nema z a dne nenulove koe icienty. Nulovy mnohoc len nema pr ir azen z a dny stupen. Je nutne du sledne rozlis ovat mezi mnohočlenem stupně nula coz je vlastne nenulova konstantnı funkce, jejıḿz grafem je rovnobe z ka s osou x ru zna od te to osy a nulovým mnohočlenem coz je nulova konstantnı funkce, jejıḿz grafem je pra ve osa x.

213 Napr ıḱlad: Mnohoc len R y = x 3 ma stupen 3. Pr itom a 3 = 1, a 2 = a 1 = a 0 = 0, protoz e platı y = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 x 0 = 1 x x x x 0 Mnohoc len P y = 3 x 2 4 x + 2 ma stupen 2. Pr itom a 2 = 3, a 1 = 4, a 0 = 2. Mnohoc len S y = 2 x 3 ma stupen 1. Pr itom a 1 = 2, a 0 = 3. Mnohoc len T y = 3 ma stupen 0. Pr itom a 0 = 3. Mnohoc leny jsou funkce. Lze je tedy: sčítat sec teme koe icienty u stejny ch mocnin, odčítat odec teme koe icienty u stejny ch mocnin a násobit na sobıḿe kaz dy c len jednoho mnohoc lenu s kaz dy m c lenem druhe ho mnohoc lenu a slouc ıḿe c leny se stejny mi mocninami a výsledkem je opět mnohočlen. Dělením dvou mnohoc lenu nemusıḿe dostat mnohoc len. Vy sledkem de lenı dvou mnohoc lenu je ve ts inou obecne js ı funkce, kterou zavedeme v kapitole Raciona lnı (lomena ) funkce.

214 1.1. Rozklad mnohočlenu na součin Smyslem rozkladu je napsat dany mnohoc len jako souc in co nejjednodus s ıćh mnohoc lenu. V rea lne m oboru jsou to c initele (to co se na sobı ) v rozkladu buď lineární tvaru: x α (= kor enovy c initel, pak α je kor enem dane ho mnohoc lenu) nebo kvadratické tvaru: x 2 + p x + q, kde p 2 4q < 0. Pro zopakova nı uvedeme na sledujıćı vzorce (zna me ze str ednı s koly), ktere vyuz ı va me pr i rozkladu mnohoc lenu na souc in kor enovy ch c initelu. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a b) 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b) (a b) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) 1.2. Nalezení kořenů mnohočlenu Nale zt (rea lne ) kor eny mnohoc lenu P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 s rea lny mi koe icienty a i, kde n 1, znamena vyr es it algebraickou rovnici P(x) = 0, tedy a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 (24) Hleda nı kor enu mnohoc lenu pr eva dıḿe na hleda nı kořenů rovnice (24) r es ıḿe rovnici. Vs imne me si, jak lze pro mala n algebraicke rovnice r es it.

215 Lineární rovnice Pro n = 1 jde o linea rnı rovnici a x + b = 0, a 0, jejıź jediny kor en je x 1 = b a Kvadratické rovnice Pro n = 2 jde o kvadratickou rovnici a x 2 + b x + c = 0, a 0, pro jejıź kor eny se na str ednı s kole odvozuje (doplne nıḿ na c tverec) vzorec x 1;2 = b ± b2 4ac 2a. O povaze kor enu rozhoduje diskriminant kvadratické rovnice D = b 2 4ac. Je-li D > 0, ma rovnice dva rea lne ru zne kor eny, je-li D = 0, ma jeden dvojna sobny rea lny kor en, a je-li D < 0, ma dvojici komplexne sdruz eny ch kor enu. Rovnice třetího (kubické) a čtvrtého stupně Pro n = 3 jde o kubickou rovnici a x 3 + b x 2 + c x + d = 0, a 0, pro jejıź kor eny sice existujı tzv. Cardanovy vzorce ktere vs ak vyjadr ujı rea lne kor eny pomocı tr etıćh odmocnin z komplexnıćh c ıśel. Pro rovnice c tvrte ho stupne existujı take obecne vztahy k vy poc tu kor enu (stejne jako Cardanovy vzorce byly nalezeny v prvnı polovine 16. stoletı ). Jejich r es enı je vs ak jes te obtıź ne js ı nez r es enı rovnic tr etı ho stupne.

216 Rovnice pátého stupně a vyšších stupňů Norsky matematik Abel doka zal, z e pro kor eny rovnic pa te ho stupne (a tudıź ani vys s ıćh stupn u ) neexistuje univerza lnı vzorec. To vs ak v z a dne m pr ıṕade neznamena, z e rovnice vys s ıćh stupn u nemajı kor eny. Tento Abelu v vy sledek pouze r ıḱa, z e tyto kor eny nelze vyja dr it jisty m vzorcem pr esne popsane ho typu. Na poc a tku 19. stoletı Gauss poprve pr esne doka zal ve tu, ktera je vzhledem k velke mu vy znamu pro tehdejs ı matematiku nazy va na základní větou algebry. Tato ve ta r ıḱa : Libovolný polynom (s reálnými nebo komplexními koe icienty) stupně alespoň jedna má v množině komplexních čísel alespoň jeden kořen. Důsledky za kladnı ve ty algebry: 1. Kaz dy polynom stupne n ma v komplexnıḿ oboru pra ve n kor enu, poc ı ta me-li kaz dy kor en tolikra t, kolik c inı jeho na sobnost. 2. Ma -li mnohoc len s rea lny mi koe icienty komplexnı kor en, potom ma i kor en komplexne sdruz eny, pr ic emz jejich na sobnosti jsou stejne. Poznámka: Z pr edchozı ho textu je jasne, z e neexistuje z a dny univerza lnı postup, ktery m bychom byli schopni zjistit vs echny kor eny dane ho polynomu. Existuje sice cela r ada numericky ch metod, ktery mi lze kor eny pr ibliz ne vyja dr it, ale to nenı na plnı tohoto kurzu.

217 Mnohočleny s celočíselnými koeficienty Me jme mnohoc len R s celoc ıśelny mi koe icienty: R n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, (25) kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a 0, a 1,, a n 1, a n jsou celá c ıśla, kdy a n 0, a 0 0. Pokud je α = p (kde p, q jsou nesoude lna cela c ıśla) kořenem mnohoc lenu R, pak q beze zbytku koe icient a 0 (pıś eme p a 0 ) a q de lı beze zbytku koe icient a n (q a n ). p de lı Pr i hleda nı raciona lnıćh kor enu mnohoc lenu R n (x) (25) postupujeme tak, z e urc ıḿe k-n-k kandidáty na kořen. Tedy: 1. Vypıś eme vs echna moz na raciona lnı c ıśla k-n-k = p (p, q nesoude lna pokud lze, tak kra tit) q spln ujıćı podmıńky p a 0 (p de lı bezezbytku koe icient a 0 ), q a n (q de lı bezezbytku a n ) 2. Dosazenıḿ kaz de ho kandida ta do mnohoc lenu ove r ıḿe, zda tento je kor enem: R n (k-n-k)? = 0 Pokud mezi takto urc eny mi kandida ty kor en nenı, pak dany mnohoc len vu bec raciona lnı kor en nema. Poznámka: Uve domte si, z e pr edchozı postup lze pouz ı t i pro mnohoc leny s raciona lnıḿi koe icienty. Stac ı totiz vytknout spolec ny jmenovatel vs ech koe icientu a 0,,a n.

218 Příklad: Najde te (raciona lnı ) kor eny mnohoc lenu P 3 (x) = 3 x 3 5 x x 4. Řešení: Koe icienty mnohoc lenu jsou celoc ıśelne, stejne jako v pr ıṕade (25), proto se pokusıḿe najı t p 4 ; 2 ; 4 kor en ve tvaru:. Kandida ty na kor eny jsou na sledujıćı c ıśla: k-n-k = ±1 q 3 1 ; 3, tedy ±1, ±2, ±4, ± 1, ± 2, ± Zby va ove r it, ktere z nich je skutec ne kor enem. Podle du sledku za kladnı ve ty algebry ma dany mnohoc len pra ve tr i kor eny v komplexnıḿ oboru, tedy z nas ich kandida tu mohou vyhovovat nejvy s e tr i c ıśla (pr esne ji: buď jedno, nebo tr i). Ove r enı provedeme dosazenıḿ, pr ic emz pro kor en mnohoc lenu platı : P(kořen) = 0. P(1) = 2, P( 1) = 20, P(2) = 16, P( 2) = 64, P(4) = 140, P( 4) = 308, P( 1 ) 1,778, P( 1 ) 7,333, P( 2 ) = 0 x = 2 je kor en. 3 Tady mu z eme dosazova nı ukonc it, protoz e jsme nas li jeden kor en a kaz dy mnohočlen lze vyjádřit jako součin svých kořenových činitelů. Proto provedeme na sledujıćı de lenı (3 x 3 5 x x 4) (x 2 3 ) = (3 x2 3 x + 6) 0 3 x x x a po rozkladu: 3 x 3 5 x x 4 = (x 2 ) 3 (3x2 3x + 6) na m zby va najı t kor eny druhe za vorky, coz je mnohoc len druhe ho stupne. Takz e vlastne r es ıḿe kvadratickou rovnici 3 x 2 3 x + 6 = 0, ktera ma komplexne sdruz ene kor eny. Zadany mnohoc len P 3 (x) = 3 x 3 5 x x 4 ma jediny rea lny kor en x 1 = 2 3.

219 Pro vy poc et funkc nı hodnoty mnohoc lenu mu z eme vyuz ı t na sledujıćı ho sche matu, ktere se nazy va Hornerovo schéma Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 Koe icienty mnohoc lenu jsou celoc ıśelne, stejne jako v pr ıṕade (25). Proto vyzkous ıḿe po r ade všechny dělitele c ıśla 6 (k-n-k = ±1; ±2; ±3; ±6), jestli nejsou kor enem. Ove r enı, zda konkre tnı kandida t je kor enem, budeme zapisovat takto. p 6 q 1 Do hlavic ky sche matu napıś eme postupne koe icienty u všech mocnin nezna me, ser azene podle mocnin sestupne (od koe icientu u nejvys s ı mocniny po absolutnı c len). Žádný koe icient nesmíme vynechat. Pokud ne ktera mocnina v mnohoc lenu nenı obsaz ena, pıś eme na patr ic ne mıśto sche matu nulu. Do prvnı ho sloupce vlevo budeme postupne vkla dat jednotlive (k-n-k) kandida ty na kor eny. x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 HS k-n-k 1 Dopln ova nı sche matu: c ıślo uvnitr sche matu (1) vynásobíme záhlavím řádku (k-n-k) a k souc inu přičteme přičteme záhlaví dalšího sloupce ( 1). Výsledek (k-n-k) (1) + ( 1) napıś eme v dane m r a dku do dals ı ho (volne ho) sloupce, mıśto c ervene ho obde lnıḱu. A s c ıślem uvnitr sche matu (vy sledkem) provedeme tute z operaci. Vyna sobıḿe za hlavıḿ r a dku

220 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x 1 = 1 je kořen Rozklad mnohoc lenu: x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 = (x 1) (x x 2 7 x 6) = (x 1) (x 3 7 x 6) Nynı hleda me kor eny mnohoc lenu x 3 7 x 6

231 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x 1 = 1 je kořen Rozklad mnohoc lenu: x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 = (x 1) (x x 2 7 x 6) = (x 1) (x 3 7 x 6) Nynı hleda me kor eny mnohoc lenu x 3 7 x 6 HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± x 1 podruhe jiz nenı kor en jednonásobný kor en x 2 = 1 je (druhy ) kořen, ope t jednona sobny Rozklad: P(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x 3 7x 6) = (x 1) [x ( 1)] (x 2 x 6) Hleda me kor eny mnohoc lenu x 2 x 6 (metody: rozklad, diskriminant, Hornerovo sche ma) HS Zkous ıḿe 1; ±2; ±3; ± x 2 jiz nenı kor en nenı kor en x 3 = 2 je (tr etı ) kořen, ope t jednona sobny Rozklad mnohoc lenu na souc in jeho kor enovy ch c initelu : P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) HS kde (c tvrty m) kor enem je x 4 = 3.

245 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x + 10 p 10 q 2 k-n-k = ± 1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 Zkous ıḿe postupne : ± 1 1 =±1, 2 1 =±2, ± 5 1 =±5, ± 10 1 =±10, ± 1 2, (± 2 2 = ±1), ± 5 2, (± 10 2 = ±5) x 3 x 2 x 1 x 0 HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) nenı kor en x 1 = 1 je kor en

250 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x + 10 p 10 q 2 k-n-k = ± 1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 Zkous ıḿe postupne : ± 1 1 =±1, 2 1 =±2, ± 5 1 =±5, ± 10 1 =±10, ± 1 2, (± 2 2 = ±1), ± 5 2, (± 10 2 = ±5) x 3 x 2 x 1 x 0 HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) nenı kor en x 1 = 1 je kor en Hledáme kořeny mnohoc lenu 2 x 2 9 x+10 (metody: rozklad, diskriminant, Hornerovo sch.) Zkous ıḿe postupne : 1, ±2, ±5, ±10, ± 1 2, ± 5 2, x 2 x 1 x 0 HS jiz nenı kor en x 2 = 2 je kor en Rozklad mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) (2 x 2 9 x + 10) 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) (x 2) (2x 5)

254 2. Racionální lomená funkce Funkci danou pr edpisem R(x) = P(x) Q(x), kde P, Q jsou mnohoc leny a Q je navıć nenulovy mnohoc len, nazy va me racionální (lomenou) funkcí. R ıḱa me, z e funkce R je ryze lomená jestliz e st P < st Q a neryze lomená jestliz e st P st Q. Napr ıḱlad 1. R 1 y = 3x2 + 2 x 2 2. R 2 y = 2x 5x 3 + 7x 2 + x 2 je neryze lomena raciona lnı funkce; je ryze lomena raciona lnı funkce. Je-li R neryze lomena raciona lnı funkce, pak lze prove st de lenı mnohoc lenu mnohoc lenem. Pr i de lenı P(x) Q(x) dostaneme podıĺ S(x) a zbytek T(x). Pr itom platı st T < st Q (de lıḿe proste tak dlouho, dokud to jde), tedy R(x) = P(x) Q(x) = S(x) + T(x) Q(x). (26)

255 U mnohoc lenu (v pr edchozı kapitole) hra l du lez itou roli rozklad na souc in (linea rnıćh c i kvadraticky ch c initelu ). Podobne u raciona lnıćh lomeny ch funkcı je v r ade aplikacı du lez ite ne co podobne ho. Na rozdıĺ od mnohoc lenu, kde jde o rozklad na souc in, pu jde zde o rozklad na součet jednodus s ıćh raciona lnıćh lomeny ch funkcı, ktere nazy va me parciální zlomky. Vlastne jde o opac ny postup, ktery m je sc ı ta nı zlomku po pr evodu na spolec ne ho jmenovatele Parciální zlomky jsou specia lnı raciona lnı lomene funkce. Rozlis ujeme dva typy parcia lnıćh zlomku : a A (x α) k kde k je pr irozene c ıślo, α, A jsou rea lna c ıśla Mx + N (x 2 + px + q) k kde k je pr irozene c ıślo, M, N, p, q jsou rea lna c ıśla a navıć p 2 4q < 0. U prvnı ho typu je ve jmenovateli ne jaka mocnina (tr eba i prvnı ) linea rnı ho dvojc lenu tvaru x α a v c itateli je konstanta. U druhe ho typu je jmenovateli ne jaka mocnina (tr eba i prvnı ) kvadraticke ho trojc lenu tvaru x 2 + px + q majıćı ho komplexnı kor eny (za porny diskriminant) a v c itateli je linea rnı dvojc len (nebo konstanta, pokud je M rovno nule). Parciální zlomky jsou vždy ryze lomené. A protoz e souc et ryze lomeny ch raciona lnıćh funkcı (parcia lnıćh zlomku ) nemu z e by t neryze lomena raciona lnı funkce, mu z eme na parcia lnı zlomky rozkla dat pouze ryzı raciona lnı funkce. V pr ıṕade neryzı raciona lnı funkce ji nejprve de lenıḿ pr evedeme na tvar (26) a rozkla da me funkci T(x). Q(x)

256 2.2. Typy rozkladů na parciální zlomky Nynı si uka z eme, jak lze napsat v konkre tnıćh pr ıṕadech rozklady ryze lomené raciona lnı funkce R(x) = P(x) Q(x). Reálný jednonásobný kořen jmenovatele Q(x), pak: R(x) = A x a kde a je kor en jmenovatele dane raciona lnı lomene funkce, x a (x mínus kořen) je pr ıślus ny kořenový činitel a A je c ıślo (parametr), ktery hleda me. Reálný n násobný kořen jmenovatele Q(x), pak: R(x) = A x a + B (x a) C (x a) n 1 + D (x a) n kde a je na sobny kor en jmenovatele (s na sobnostı n) dane raciona lnı lomene funkce, x a je pr ıślus ny kořenový činitel a A, B, C, D jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me. Dvojice jednonásobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: R(x) = Ax + B a x 2 + b x + c kde a, b, c jsou koefecienty kvadraticke ho dvojc lenu takove, z e a 0 a b 2 4ac < 0, A, B jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me.

257 Dvojice n násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele Q(x), pak: Ax + B R(x) = a x 2 + b x + c + Cx + D (a x 2 + b x + c) + + Ex + F 2 (a x 2 + b x + c) + Gx + H n 1 (a x 2 + b x + c) n kde a, b, c jsou koefecienty kvadraticke ho dvojc lenu takove, z e a 0 a b 2 4ac < 0, A, B, C, D jsou c ıśla (parametry), ktera hleda me Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost (25).

258 Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a 0, a 1,, a n 1, a n jsou celá c ıśla, (a n 0, a 0 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a 0 u prome nne x 0 která tam není!) Pro raciona lnı kor en α = p (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu q s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a 0 a q de lı a n. Tedy: α = p a 0 q a n 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

259 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x.

260 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem..

261 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem..

262 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Součin kořenových činitelů: x 3 x = x (x 2 1) = x (x + 1) (x 1).

263 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x = x (x 2 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! (x) 2 + 2(x) 1 Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x (x +1) (x 1) x 1 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty..

264 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x = x (x 2 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) 2 + 2(x) 1 (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x 1 x (x +1) (x 1) Určení parametrů: (x) 2 + 2(x) 1 = A [(x) + 1] [(x) 1] + B (x) [(x) 1] + C (x) [(x) + 1] x = 0 (0) (0) 1 = A [(0) + 1] [(0) 1] = A A = 1 x = 1 (1) (1) 1 = C (1) [(1) + 1] 2 = 2C C = 1 x = 1 ( 1) ( 1) 1 = 0 + B ( 1) [( 1) 1] = 2B B = 1

265 Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + 2 x 1 x 3 x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x = x (x 2 1) = x (x + 1) (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x) 2 + 2(x) 1 (x) [(x) + 1] [(x) 1] = A x + B x C x 1 x (x +1) (x 1) Výsledek: R(x) = x2 + 2x 1 x 3 x = 1 x + 1 x x 1 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e vs echny tr i parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

266 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x 2.

267 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

268 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem.

269 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Součin kořenových činitelů: x 3 x 2 = x 2 (x 1)

270 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x 2 = x 2 (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) 1 (x) 2 [(x) 1] = A x 1 + B x + C x 2 (x 1) x 2 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

271 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x 2 = x 2 (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) 1 (x) 2 [(x) 1] = A x 1 + B x + C x 2 x 2 (x 1) Určení parametrů: (x) 2 + (x) 1 = A (x) 2 + B (x) [(x) 1] + C [(x) 1] x = 0 (0) 2 + (0) 1 = C [(0) 1] 1 = C C = 1 x = 1 (1) 2 + (1) 1 = A (1) = A A = 1 x 2 1 = A + B A=1 1 = 1 + B B = 0

272 Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci: R(x) = x2 + x 1 x 3 x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 x 2 = x 2 (x 1) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) 1 (x) 2 [(x) 1] = A x 1 + B x + C x 2 x 2 (x 1) Výsledek: R(x) = x2 + x 1 x 3 x 2 = 1 x x + 1 x 2 = 1 x x 2 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

273 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x.

274 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem..

275 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem..

276 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Součin kořenových činitelů: x 3 + x = x (x 2 + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. Protoz e x 2 0 (pro kaz de rea lne c ıślo x ), musı platit x Tedy x a proto neexistuje rea lny kor en (kvadraticke ho dvojc lenu) mnohoc lenu v za vorce..

277 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 + x = x (x 2 + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) + 1 (x) [(x) 2 + 1] = A B x + C + x (x 2 + 1) x x Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty..

278 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí.. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 + x = x (x 2 + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) + 1 (x) [(x) 2 + 1] = A x + B x + C x x (x 2 + 1) Určení parametrů: (x) 2 + (x) + 1 = A [(x) 2 + 1] + [B (x) + C] (x) x = 0 (0) 2 + (0) + 1 = A [(0) 2 + 1] = A A = 1 x 2 1 = A + B A=1 1 = 1 + B B = 0 x 1 = C C = 1

279 Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (2) je mens ı nez stupen jmenovatele (3). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů: x 3 + x = x (x 2 + 1) Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!. Typy parciálních zlomků: R(x) = (x)2 + (x) + 1 (x) [(x) 2 + 1] = A x + B x + C x x (x 2 + 1) Výsledek: R(x) = x2 + x + 1 x 3 + x = 1 x + 0 x + 1 x = 1 x + 1 x Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

280 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x 3.

281 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

282 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem.

283 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Součin kořenových činitelů x 7 + 2x 5 + x 3 = x 3 (x 2 + 1) 2 Kor eny za vorky jsou komplexnı. Protoz e x 2 0 (pro kaz de rea lne c ıślo x ), musı platit x Tedy x a proto neexistuje rea lny kor en (kvadraticke ho dvojc lenu) mnohoc lenu v za vorce.

284 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů x 7 + 2x 5 + x 3 = x 3 (x 2 + 1) 2 Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E F x + G + + x 3 (x 2 + 1) 2 2 x3 x (x 2 + 1) 2 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

285 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x 3. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). Součin kořenových činitelů x 7 + 2x 5 + x 3 = x 3 (x 2 + 1) 2 Kor eny za vorky jsou komplexnı. Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E + 2 x3 x F x + G + x 3 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 Určení parametrů: x 4 + x 3 + 2x = = A x 2 (x 2 + 1) 2 + B x (x 2 + 1) 2 + C (x 2 + 1) 2 + (D x + E) x 3 (x 2 + 1) + (F x + G) x 3 = = A (x 6 +2x 4 +x 2 )+B (x 5 +2x 3 +x)+c (x 4 +2x 2 +1)+D (x 6 +x 4 )+E (x 5 +x 3 )+F x 4 +G x 3 x = 0 1 = C C = 1 x 0 = B B = 0 x 2 2 = A + 2C x 5 0 = B + E x 6 0 = A + D x 4 1 = 2A + C + D + F x 3 1 = 2B + E + G C=1 2 = A + 2 A = 0 B=0 0 = 0 + E E = 0 A=0 0 = 0 + D D = 0 A,C,D 1 = F F = 0 B,E 1 = G G = 1

286 Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x4 + x x x x 5 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (4) je mens ı nez stupen jmenovatele (7). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Součin kořenových činitelů x 7 + 2x 5 + x 3 = x 3 (x 2 + 1) 2 Kor eny za vorky jsou komplexnı. 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků R(x) = A x + B x + C D x + E + 2 x3 x F x + G + x 3 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1) 2 Výsledek R(x) = x4 + x 3 + 2x x 7 + 2x 5 + x 3 = 0 x + 0 x x x + 0 x x + 1 (x 2 + 1) 2 = 1 x (x 2 + 1) 2 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e oba dva vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x).

287 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x + 6

288 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

289 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4).

290 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost (25). Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a 0, a 1,, a n 1, a n jsou celá c ıśla, (a n 0, a 0 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a 0 u prome nne x 0 která tam není!) Pro raciona lnı kor en α = p (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu q s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a 0 a q de lı a n. Tedy: α = p a 0 q a n

291 Hledáme kořeny mnohoc lenu x 4 x 3 7 x 2 + x + 6.

292 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x 1 = 1 je kor en

299 Najděte kořeny mnohoc lenu P(x) = x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 p 6 q 1 k-n-k = ±1 ; 2 ; 3; 6 1 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ±6 1 (1) + ( 1)1 (0) + ( 7)1 ( 7) + (1)1 ( 6) + (6) P(1) = 0 x 1 = 1 je kor en HS Zkous ıḿe ±1; ±2; ±3; ± (prvnı ) kor en x 1 = 1 je jednonásobný x 2 = 1 je (druhy ) kor en: x 2 x 6 = 0 a b c r es ıḿe rozkladem, diskriminantem, Hornerovy m s. x 3;4 = b ± b2 4 a c 2 a = ( 1) ± ( 1)2 4 (1) ( 6) 2 (1) = 1 ± = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2 x 3 = = 3 x 4 = = 2 Rozklad: x 1 P(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x 3 7x 6) x 1;2 P(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) [x ( 1)] (x 2 x 6) x 1;2;3;4 P(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x 3) (x + 2)

311 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. R(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! x x 2 3x 24 Typy parciálních zlomků: x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

312 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. R(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: x x 2 3x 24 x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 Určení parametrů po vyna sobenı spolec ny m jmenovatelem (dosadıḿe postupne kor eny): x x 2 3x 24 = = A (x+1) (x+2) (x 3)+B (x 1) (x+2) (x 3)+C (x 1) (x+1) (x 3)+D (x 1) (x+1) (x+2) x = 1 (1) (1) 2 3 (1) 24 = A [(1)+1] [(1)+2] [(1) 3] = 12 A A = 1 x = 1 ( 1) ( 1) 2 3 ( 1) 24 = 0+B [( 1) 1] [( 1)+2] [( 1) 3] = 8 B B = 1 x = 2 ( 2) ( 2) 2 3 ( 2) 24 = 0+0+C [( 2) 1] [( 2)+1] [( 2) 3]+0 30 = 15 C C = 2 x = 3 (3) (3) 2 3 (3) 24 = D [(3) 1] [(3)+1] [(3)+2] 120 = 40D D = 3

313 Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky raciona lnı lomenou funkci R(x) = x x 2 3 x 24 x 4 x 3 7 x 2 + x + 6 ANO, je ryzí. Stupen c itatele (3) je mens ı nez stupen jmenovatele (4). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. R(x) = x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = (x 1) (x + 1) (x + 2) (x 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: x x 2 3x 24 x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = A x 1 + B x C x D x 3 do kterých dosadíme vypočtené parametry: A = 1 ; B = 1 ; C = 2 ; D = 3 Výsledek: R(x) = x3 + 14x 2 3x 24 x 4 x 3 7x 2 + x + 6 = 1 x x x x 3 Spra vnost vy poc tu mu z eme ove r it tak, z e vs echny c tyr i vy sledne parcia lnı zlomky sec teme (samozr ejme je pr i sc ı ta nı pr evedeme na spolec ne ho jmenovatele) a musıḿe dostat ope t zadanou funkci R(x)

314 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10

315 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem.

316 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde Q(x) = zbytek po de lenı 2 x 3 7 x 2 + x Proto pode lıḿe c itatel jmenovatelem.

317 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v c itateli nahoře zadane raciona lnı lomene funkce je mnohoc len stejne ho c i vys s ı ho r a du jako ma mnohoc len jmenovatele dole ), provedeme zlomkovou c arou naznac ene de lenı. Pr ıṕadny zbytek po tomto de lenı je jiz ryzí raciona lnı lomena funkce. Pokud JE ryzí, pokrac ujeme druhy m bodem. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde Q(x) = zbytek po de lenı 2 x 3 7 x 2 + x Proto pode lıḿe c itatel jmenovatelem. (2 x 5 7 x 4 x x 2 23 x+28) (2 x 3 7 x 2 + x + 10) = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 (2 x 5 7 x 4 + x x 2 ) 2 x x 2 23 x+28 ( 2 x x 2 x 10) 3 x 2 22 x+38 Nebo jinak: R(x) = P(x) + Q(x), kde P(x) = x 2 1 a Q(x) = 3 x2 22 x x 3 7 x 2 + x Tedy R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 Na parcia lnı zlomky budeme rozkla dat raciona lnı lomenou funkci Q(x).

318 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde P(x) = x 2 1 a Q(x) = 3 x2 22 x x 3 7 x 2 + x Tedy R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x + 28 = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x x 3 7 x 2 + x + 10 Na parcia lnı zlomky budeme rozkla dat raciona lnı lomenou funkci Q(x). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. Kor eny hleda me pouze reálné. Komplexne sdruz ene nevyc ıślujeme, ale nahradıḿe je kvadraticky m dvojc lenem. Pr itom vyuz ı va me na sledujıćı vlastnost (25). Celoc ıśelny kor en mnohoc lenu s celoc ıśelny mi koe icienty R n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R, kde n je pr irozene c ıślo (1 n N), a 0, a 1,, a n 1, a n jsou celá c ıśla, (a n 0, a 0 0) musı bezezbytku de lit (by t de litelem) jeho absolutnı c len (koe icient a 0 u prome nne x 0 která tam není!)

319 Pro raciona lnı kor en α = p (kde p, q jsou nesoudělná cela c ıśla pokrátit!) mnohoc lenu q s celoc ıśelny mi koe icienty platı, z e: p de lı bezezbytku koe icient a 0 a q de lı a n. Tedy: α = p a 0 q a n Hledáme kořeny mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x V nas em pr ıṕade a kandida ty na kor eny jsou potom α = p 10 q 2 = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 k-n-k = ±1 ; ±2 ; ±5 ; ±10 ; ± 1 2 ; ±2 2 = ±1 ± 5 2 ; ±10 2 = ±5 Zlomky, ktere jsou tvor eny soude lny mi c ıśly napr ed zkra tıḿe. Ktery ze vs ech uvedeny ch kandida tu na kor en je skutec ne kor enem, ove r ıḿe Hornerovy m sche matem. Z pr edchozı ho vıḿe (du sledky za kladnı ve ty algebry), z e mu z eme mı t buď jeden rea lny kor en nebo tr i rea lne kor eny, protoz e stupen rozkla dane ho mnohoc lenu je tr i.

320 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x p 10 q 2 x 3 x 2 x 1 x 0 zkous ıḿe: = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ± 1, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x 1 = 1 je kor en a b c

325 Najděte kořeny mnohoc lenu 2 x 3 7 x 2 + x p 10 q 2 x 3 x 2 x 1 x 0 zkous ıḿe: = ±1 ; 2 ; 5 ; 10 1 ; 2 HS (2) + ( 7) 1 ( 5) + (1) 1 ( 4) + (10) ±1, ±2, ±5, ±10, ± 1, ± P(1) = 6 0 nenı kor en x 1 = 1 je kor en a b c Další kořeny hleda me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sche ma, x 2; 3 = b ± b2 4 a c 2 a = ( 9) ± ( 9)2 4 (2) (10) 2 (2) = 9 ± = 9 ± 1 4 = 9 ± 1 4 x 2 = = 10 4 = 5 2 x 3 = = 8 4 = 2 Rozklad mnohoc lenu x 1 = 1 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = [x ( 1)] (2 x 2 9 x + 10) = (x + 1) [2 (x 2 9 x + 5)] 2 x 2; 3 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) [2 (x 5 ) (x 2)] = (x + 1) (2 x 5) (x 2) 2

328 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) (x 2) (2x 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! 3 x 2 22 x + 38 Typy parciálních zlomků: 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C (x + 1) (x 2) (2 x 5) 2 x 5 Pr i urc ova nı parametru vyuz ı va me na sledujıćı dve metody (pr ıṕadne je vhodne kombinujeme) pote, co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomku ) a tıḿ dostaneme rovnost dvou mnohoc lenu. Dosazujeme za x vhodná čísla, nejle pe kořeny jmenovatele. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne funkc nı hodnoty pro vs echna x. Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x. Protoz e majı -li se dva mnohoc leny rovnat, musejı mı t stejne pr ıślus ne koe icienty.

329 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) (x 2) (2x 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C (x + 1) (x 2) (2 x 5) 2 x 5 Určení parametrů: 3 x 2 22 x + 38 = A (x 2) (2 x 5) + B (x + 1) (2 x 5) + C (x + 1) (x 2) x = 1 3 ( 1) 2 22 ( 1)+38 = A [( 1) 2] [2 ( 1) 5] = 21A A = 3 x = 2 3 (2) 2 22 (2)+38 = 0+B [(2)+1] [2 (2) 5]+0 6 = 3B B = 2 x = 2,5 3 (2,5) 2 22 (2,5) + 38 = C [(2,5) + 1] [(2,5) 2] 1,75 = 1,75C C = 1 A po dosazenı

330 Př. 2. Rozložte na parc. zlomky rac. lomenou funkci R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 NE, není ryzí. Stupen c itatele (5) je ve ts ı nez stupen jmenovatele (3). Zadana funkce se da rozloz it: R(x) = P(x) + Q(x), kde P(x) = x 2 1 a Q(x) = 3 x2 22 x x 3 7 x 2 + x Tedy R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x + 28 = x x2 22 x x 3 7 x 2 + x x 3 7 x 2 + x + 10 Na parcia lnı zlomky budeme rozkla dat raciona lnı lomenou funkci Q(x). 2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vyty ka nıḿ pr ed za vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vs echny (vc etne jejich na sobnosti) kor eny, napr. Hornerovy m sche matem. 2 x 3 7 x 2 + x + 10 = (x + 1) (x 2) (2x 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Typy parciálních zlomků: 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C (x + 1) (x 2) (2 x 5) 2 x 5 Výsledek: R(x) = 2 x5 7 x 4 x x 2 23 x x 3 7 x 2 + x + 10 = x x x x 5

331 2.6. Závěrečná poznámka k rozkladu na parciální zlomky V pr ıḱladu, kdy jsme me li rozloz it NEryze lomenou raciona lnı funkci, jsme jako odhadovany rozklad na parcia lnı zlomky uvedli 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C 2 x 5 kde tr etı parcia lnı zlomek ma ve jmenovateli linea rnı dvojc len 2 x 5. Tedy tr etı kor en je x 3 = 5 2. Pr itom v u vodu jsme r ıḱali, z e parcia lnı zlomek pro rea lny kor en jmenovatele mu z e mı t pouze tvar Neme li bychom odhadovany rozklad tedy psa t A (x α) k 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C x 5 2? (27) Urc eme tento ohvězdičkovaný rozklad. Rozloz ıḿe jmenovatele na souc in jeho kor enovy ch c initelu a odhadneme parcia lnı zlomky takto upravene ho zlomku. Potom (zna my m zpu sobem) urc ıḿe nezna me parametry. Nejprve obe dve strany rovnice vyna sobıḿe spolec ny m jmenovatelem (odstranıḿe zlomky). Pak budeme postupne za x dosazovat hodnoty jednotlivy ch kor enu.

332 Rozloz ıḿe jmenovatele na souc in jeho kor enovy ch c initelu Odhadneme parcia lnı zlomky 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = 3 x 2 22 x (x + 1) (x 2) x x 2 22 x + 38 A = 2 (x + 1) (x 2) x 5 x B x 2 + C x Určíme neznámé parametry: Vyna sobıḿe obe strany rovnice c lenem 2 (x + 1) (x 2) x 5 2 (nejmens ıḿ spolec ny m jmenovatelem) 3 x 2 22 x + 38 = A 2 (x 2) (x 5 2 ) + B 2 (x + 1) (x 5 2 ) + C 2 (x + 1) (x 2) a upravıḿe: 3 x 2 22 x + 38 = A (x 2) (2 x 5) + B (x + 1) (2 x 5) + C 2 (x + 1) (x 2) Nynı dosadıḿe za x hodnoty celoc ıśelny ch kor enu a napr ıḱlad c ıślo NULA. x 1 = 1 3 ( 1) 2 22 ( 1)+38 = A [( 1) 2] [2 ( 1) 5] = 21 A A = 3 x 2 = 2 3 (2) 2 22 (2)+38 = 0+B [(2)+1] [2 (2) 5]+0 6 = 3 B B = 2 x = 0 3 (0) 2 22 (0)+38 = A [(0) 2] [2 (0) 5]+B [(0)+1] [2 (0) 5]+C 2 [(0)+1] [(0) 2] 38 = 10 A 5 B 4 C A, B 38 = 10 (3) 5 ( 2) 4 C 2 = 4 C C = 1 2

333 Vy sledny rozklad je a po u prave 3 x 2 22 x x 3 7 x 2 + x + 10 = A x B x 2 + C x 5 2 = 3 x x x x x x = 3 x x x 5 = 3 x x x 5 Vidıḿe, z e na m vys el stejny rozklad zlomku Q(x) jako pr edtıḿ, jenom jinak zapsany. To na s opravn uje odhadovat parcia lnı zlomky i ve tvaru A (βx α) k nebo Mx + N, kde β 0. (βx 2 + px + q) k

334 Interpolace a aproximace

335 Obsah kapitoly: Interpolace a aproximace 1. Interpolace diskrétních hodnot vhodnou funkcí Langrangeu v interpolac nı mnohoc len (polynom) Pr ıḱlad Pozna mka k interpolac nıḿ polynomu m Aproximace diskrétních hodnot vhodnou funkcí Metoda nejmens ıćh c tvercu Aproximace pr ıḿkou Pr ıḱlad Aproximace parabolou Pr ıḱlad Pozna mka k metode nejmens ıćh c tvercu

336 1. Interpolace diskrétních hodnot vhodnou funkcí Interpolaci mu z eme cha pat jako nalezenı pr ibliz ne hodnoty funkce uvnitř ne jake ho intervalu, je-li hodnota uvaz ovane funkce zna ma jen v ne ktery ch jiny ch bodech tohoto intervalu. Pouz ı va se v pr ıṕade, z e hodnoty funkce v urc ity ch bodech intervalu jsou buďto uvedeny v tabulce, anebo zıśka ny me r enıḿ. Podobne ho pu vodu je i slovo extrapolace, ktere oznac uje nale za nı pr ibliz ne hodnoty funkce mimo interval zna my ch hodnot, coz je me ne spolehlive. Uz ı va se nejc aste ji pro odhady tendencı do budoucnosti, napr ıḱlad cen v ekonomii. Interpolace se vyznac uje tıḿ, z e hledana kr ivka (graf uvaz ovane funkce) přesně prochází vs emi zna my mi (zme r eny mi) body. Na na sledujıćıḿ obra zku mu z eme odec tenıḿ zjistit napr ıḱlad hodnotu v c ıśle 1,5: Vlevo Uprostr ed Vpravo je 7 hodnot funkce sinus. jsme sestrojili lomenou c a ru, ktera vs emi zadany mi body procha zı. Nebo-li hledana funkce je sloz ena ze s esti u sec ek. jsme body proloz ili mnohoc lenem s este ho stupne.

337 Ne kdy se interpolacı rozumı proloz enı bodu f(x 1 ), f(x 2 ),, f(x n ) analytickou kr ivkou (grafem hledane funkce), ktera pak umoz n uje jednoduchy vy poc et funkc nıćh hodnot ve vs ech mezilehly ch bodech Langrangeův interpolační mnohočlen (polynom) je jednıḿ ze zna me js ıćh a take snadny ch zpu sobu interpolace funkce zadane pouze v diskre tnıćh bodech (nazy va me je uzlovými body v pr edchozıḿ obra zku byly znac eny c ervene ), po ktery ch poz adujeme, aby me ly ru zne hodnoty x i. kde L i = n L(x) = y i L i (x) (28) i=1 f(x) (x x 1 ) (x x 2 ) (x x i 1 ) (x x i+1 ) (x x n 1 ) (x x n ) (x i x 1 ) (x i x 2 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 ) (x i x n 1 ) (x i x n ) Vs imne te si, z e jak v c itateli, tak ve jmenovateli je pro i vynecha na za vorka, ve ktere bychom me li odec ı tat c len x i. Pouz itı zda nlive nezapamatovatelne ho vzorce si uka z eme na konkre tnıḿ pr ıḱladu. f(x i )

338 Příklad. Ma me da ny c tyr i body, jejichz hodnoty jsou v na sledujıćı tabulce. Na za klade te chto bodu ma me pomocı Lagrangeova interpolac nı ho mnohoc lenu odhadnout, jaka hodnota by asi v tomto pr ıṕade nastala pro x = 0. x y Tedy poz adujeme odhadnout doplnit sour adnici dane ho bodu [0;?]. Nebo jes te jinak r ec eno, poz adujeme doplnit tabulku o dals ı hodnotu. x y ? Řešení. Protoz e ma me zada ny c tyr i dvojice hodnot (c tyr i body), dosadıḿe do vzorce (28) za n = 4. Dostaneme: L(x) = y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + y 3 L 3 (x) + y 4 L 4 (x) Nynı urc ıḿe jednotlive zlomky L i (x), kde i = 1; 2; 3; 4.

339 Příklad. Ma me da ny c tyr i body x y ? a poz adujeme doplnit tabulku. Řešení. Pro n = 4 dostaneme: L(x) = y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + y 3 L 3 (x) + y 4 L 4 (x) Nynı urc ıḿe jednotlive zlomky L i (x). Obra zek 23: Konstrukce Lagrangeova interpolac nı ho polynomu (c erna kr ivka) x y 1 L 1 (x) 5 =(5) 1 0 =(5) 0 0 =(5) 0 0 =(5) 0 L 1 ( 9) = 1; L 1 ( 4) = 0; L 1 ( 1) = 0; L 1 (7) = 0 podmıńky vy sledna funkce L 1 ( 9) = 1 L 1 (x) = 1 L 1 ( 9) = 1 L 1 ( 4) = 0 L 1 = 1 L 1 ( 9) = 1 L 1 ( 4) = 0 L 1 = L 1 ( 1) = 0 L 1 ( 9) = 1 L 1 ( 4) = 0 L 1 ( 1) = 0 L 1 ( 7 ) = 0 L 1 = x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 4) ( 9) ( 4) x y 3 L 3 (x) x ( 1) ( 9) ( 1) x ( 4) ( 9) ( 4) x ( 1) ( 9) ( 1) x (7) ( 9) (7) x y 2 L 2 (x) x y 4 L 4 (x) x y L(x) = y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + y 3 L 3 (x) + y 4 L 4 (x)

340 x y ?? L(0) 0,021 (0) 3 + 0,204 (0) 2 0,757 (0) 2,94 = 2,94 Pro i = 1 je x 1 = 9, y 1 = 5 ; pro i = 2 je x 2 = 4, y 2 = 2 ; L 1 = L 2 = L 3 = L 4 = [x ( 4)] [x ( 1)] [x (7)] [( 9) ( 4)] [( 9) ( 1)] [( 9) (7)] = (x2 +5 x+4) (x 7) ( 5) ( 8) ( 16) [x ( 9)] [x ( 1)] [x (7)] [( 4) ( 9)] [( 4) ( 1)] [( 4) (7)] = (x2 +10 x+9) (x 7) (5) ( 3) ( 11) [x ( 9)] [x ( 4)] [x (7)] [( 1) ( 9)] [( 1) ( 4)] [( 1) (7)] = (x2 +13 x+36) (x 7) (8) (3) ( 8) [x ( 9)] [x ( 4)] [x ( 1)] [(7) ( 9)] [(7) ( 4)] [(7) ( 1)] = (x2 +13 x+36) (x+1) (16) (11) (8) = (x3 2 x 2 31 x 28) = (x3 + 3 x 2 61 x 63) = (x3 + 6 x 2 55 x 252) = (x x x + 36) Vy sledny Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je potom L(x) = y 1 L 1 (x) + y 2 L 2 (x) + y 3 L 3 (x) + y 4 L 4 (x) = (x3 2 x 2 31 x 28) (x3 +3 x 2 61 x 63)+( 2) (x3 +6 x 2 55 x 252) (x3 +14 x x+36) = = ( 2) x3 + [ ] x 2 + [ ] x + [ ] 0,021 x 3 + 0,204 x 2 0,757 x 2,94

351 1.2. Poznámka k interpolačním polynomům Interpolace. Interpolac nı polynom v Lagrangeove tvaru ma tu nevy hodu, z e chceme-li pr idat dals ı uzlovy bod, musıḿe cely polynom pr epoc ı tat znovu. Take vy poc et hodnoty tohoto polynomu pro ve ts ı poc et uzlovy ch bodu je dosti pracny. Proto je ne kdy vy hodne js ı hledat interpolac nı polynom v jine m tvaru 20. Aproximace. 21 V pr ıṕade, z e jsou funkc nı hodnoty zıśka ny experimenta lne, napr ıḱlad jako vy sledky ne jake ho me r enı, je interpolace nevhodna. Vy sledky jsou totiz zatıź eny chybami a interpolac nı funkce by tyto chyby kopıŕovala, coz je pr esne to, c eho se chceme vyvarovat. Krome toho povaha experimentu nevyluc uje moz nost ne kolika me r enı s ru zny mi vy sledky pr i nezme ne ne hodnote x 22. Vzhledem k te mto okolnostem nenı vz dy z a doucı, aby aproximac nı funkce naby vala v uzlovy ch bodech pr edem dany ch hodnot (aby kr ivka procha zela vs emi uzlovy mi body). 20 Napr ıḱlad Newtonu v interpolac nı polynom, Tayloru v rozvoj, apod. 21 Aproximace (přiblížení) je zna zorne nı ne c eho, co nenı naprosto pr esne, ale je to sta le dost blıźko na to, aby to bylo pouz itelne. Aproximaci je moz ne vyuz ı t, kdyz chybe jıćı informace znemoz n ujı zıśka nı pr esne ho vy sledku. 22 Ale funkce (a Lagrangeu v interpolac nı mnohoc len je funkcı, ktera procha zı vs emi uzlovy mi body) nemu z e mı t pro jednu hodnotu x ru zne funkc nı hodnoty!

352 2. Aproximace diskrétních hodnot vhodnou funkcí 2.1. Metoda nejmenších čtverců V mnoha pr ıṕadech ma me urc itou pr edstavu o povaze funkce, jejıź hodnoty jsme name r ili; napr ıḱlad se mu z e jednat o linea rnı nebo kvadratickou za vislost. Pak hleda me mezi vs emi funkcemi tohoto zna me ho typu takovou, ktera procha zı k zadany m (dr ı ve jsme je nazy valy uzlove a poz adovali jsme, aby jimi interpolac nı funkce procha zela) bodu m v jiste m smyslu co nejblíže Aproximace přímkou Nejprve podrobne rozebereme nejjednodus s ı pr ıṕad aproximaci pr ıḿkou. Vy chozı situace je tato: Je da no n bodu o sour adnicıćh [x 1 ; y 1 ], [x 2 ; y 2 ], [x 3 ; y 3 ],, [x n 1 ; y n 1 ], [x n ; y n ]. Budeme hledat pr ıḿku, jejıź rovnice je na sledujıćı y = a + b x, (29) ktera bude co nejlépe procha zet mezi body [x i ; y i ], kde i = 1, 2,, n. Pokud bychom uvaz ovali pouze odchylky pr ıḿky od zadany ch bodu, mohlo by se sta t (jako v leve c a sti obra zku 24), z e souc et chyb s kladny m zname nkem (vzda lenosti bodu lez ıćıćh pod pr ıḿkou od te to pr ıḿky) je stejny jako souc et chyb se za porny m zname nkem (vzda lenosti bodu lez ıćıćh nad pr ıḿkou od te to pr ıḿky), takz e se navza jem odec tou. A nulový souc et vs ech chyb znamena, z e chyby neexistujı a pr ıḿka procha zı pr esne vs emi body. Coz ovs em nenı pravda, jak je z obra zku 24 zr ejme. Abychom vylouc ili vza jemne odec ı ta nı chyb, musıḿe ze za porny ch hodnot chyb vyrobit jejich kladne prote js ky. K tomu mu z eme vyuz ı t buď absolutnı hodnoty ze za porny ch chyb nebo jejich druhy ch mocnin.

353 Obra zek 24: Pr ıḿky procha zejıćı blıźko zadany ch bodu. Autorem obra zku je Robert Mar ıḱ. A ktera z nich procha zı bodu m blıź eji? Jelikoz body [x i ; y i ] jsou da ny, chyba za visı pouze na koe icientech pr ıḿky a a b. Ukazuje se, z e vhodne krite rium pro urc enı onoho co nejleps ı ho procha zenı je, aby souc et druhy ch mocnin (neboli c tvercu ) chyb v jednotlivy ch bodech byl minima lnı. Tedy zapsa no symbolicky: n [(a + b x i ) y i ] 2 min. i=1 Ze str ednı s koly si moz na pamatujete (my to budeme probıŕat v dals ıḿ semestru), z e extre m (maximum c i minimum) funkce mu z e nastat pouze v bodech, kde prvnı derivace neexistuje, nebo se rovna nule. V tomto pr ıṕade ma me dva prome nne koe icienty pr ıḿky, proto se pr i vy poc tu pouz ı vajı parcia lnı

354 derivace. Ty poloz ıḿe rovny nule a obdrz ıḿe na sledujıćı soustavu linea rnıćh rovnic: a a n + b n x i + b i=1 n i=1 n xi 2 i=1 x i = n y i i=1 = n (30) x i y i i=1 Tuto soustavu pak vyr es ıḿe, coz si uka z eme na na sledujıćıḿ pr ıḱladu. R es it mu z eme napr ıḱlad Gaussovou eliminac nı metodou, Cramerovy m pravidlem c i jinak, protoz e c tvercova matice te to soustavy je vz dy regula rnı. Příklad: Urc ete rovnici pr ıḿky, ktera bude procha zet co nejblíže bodu m [ 1; 1] ; [0; 2] ; [2; 2] ; [3; 7]. Nejprve si zadane body pr epıś eme do tabulky, nejle pe SVISLE, jak si uka z eme na dals ı strane. Tuto tabulku pak budeme dopln ovat potr ebny mi sloupci.

355 x y Pro 4 body je ve vztazıćh (30) n = 4: a 4 a i + b i x i + b i Vy poc ty potr ebne pro nalezenı koe icientu soustavy provedeme v na sledujıćı tabulce: x i = y i i x 2 i = i x i y i i x i y i xi 2 x i y i a + 4 b = 6 ( 1) 4 a + 14 b = b = b = Po dosazenı za b = 2 do prvnı rovnice dosta va me 4 a + 4 ( 2) = 6 a odsud a =

365 x y Pro 4 body je ve vztazıćh (30) n = 4: a 4 a i + b i x i + b i Vy poc ty potr ebne pro nalezenı koe icientu soustavy provedeme v na sledujıćı tabulce: x i = y i i x 2 i = i x i y i i x i y i xi 2 x i y i a + 4 b = 6 ( 1) 4 a + 14 b = b = b = Po dosazenı za b = 2 do prvnı rovnice dosta va me 4 a + 4 ( 2) = 6 a odsud 2 a = 1 2. Aproximac nı pr ıḿka (29) ma rovnici: y = 0, 5 2 x.

366 Aproximace parabolou Budeme postupovat analogicky jako v pr ıṕade linea rnı ho vyrovna nı. Hleda me parabolu, ktera ma rovnici: y = a + b x + c x 2 nebo take y = a x 0 + b x + c x 2. (31) Jelikoz body [x i ; y i ] jsou da ny, chyba za visı pouze na koe icientech paraboly a, b a c. Stejne jako u linea rnı ho vyrovna nı se ukazuje, z e vhodne krite rium pro urc enı onoho co nejleps ı ho procha zenı je, aby souc et druhy ch mocnin (neboli c tvercu ) chyb v jednotlivy ch bodech byl minima lnı. Tedy: n [(a + b x i + c xi 2 ) y i ] 2 min. i=1 Parcia lnı derivace podle prome nny ch a, b a c poloz ıḿe rovny nule a dostaneme (kde a n x 0 = a n ): i=1 a a a n n i=1 n xi 2 i=1 + b x i + b + b Tuto soustavu linea rnıćh rovnic vyr es ıḿe. n i=1 n xi 2 i=1 n xi 3 i=1 x i + c + c + c n i=1 n x 2 i xi 3 i=1 n xi 4 i=1 = n y i i=1 = n x i y i i=1 = n xi 2 y i i=1 (32)

367 Příklad. Vezmeme stejne body, [ 1; 1] [0; 2] [2; 2] [3; 7] jako v minule m pr ıḱladu. Teď poz adujeme najı t mnohoc len druhe ho stupne (kvadraticky trojc len, jehoz grafem je parabola) tak, aby jeho graf procha zel co nejblíže zadany m bodu m. Tak jako v pr edchozıḿ budeme pomocne vy poc ty zapisovat do tabulky. A protoz e ma me zadane stejne body jako v pr edchozıḿ pr ıṕade, za klad tabulky jiz ma me hotov. Jenom ji doplnıḿe o dals ı potr ebne sloupce.

368 x y pr edchozı vy poc et a 4 a i a i + b i x i + b i x 2 i + b i x i + c xi 2 i x 2 i x 3 i + c i + c i x 3 i x 4 i = y i i = x i y i i = xi 2 y i i i x i y i x 2 i x i y i x 3 i x 4 i x 2 i y i a + 4 b + 14 c = 6 4 a + 14 b + 34 c = a + 34 b + 98 c = 70 Soustavu budeme r es it Cramerovy m pravidlem: a = = = 2; b = = = 0; c = = = 1

376 x y pr edchozı vy poc et a 4 a i a i + b i x i + b i x 2 i + b i x i + c xi 2 i x 2 i x 3 i + c i + c i x 3 i x 4 i = y i i = x i y i i = xi 2 y i i i x i y i x 2 i x i y i x 3 i x 4 i x 2 i y i a + 4 b + 14 c = 6 4 a + 14 b + 34 c = a + 34 b + 98 c = 70 Soustavu budeme r es it Cramerovy m pravidlem: a = = = 2; b = = = 0; c = = = 1 Aproximac nı parabola (31) ma rovnici: y = 2 x 2.

377 Obra zek 25: Metoda nejmens ıćh c tvercu Zadane body, aproximac nı pr ıḿka, aproximac nı parabola To, z e parabola procha zı vs emi zadany mi body, je jenom na hoda. Obecne nemusı procha zet ani jediny m, ale dostatec ne blıźko vs ech, tak jako modra pr ıḿka.

378 2.2. Poznámka k metodě nejmenších čtverců Uvedena metoda je v praxi natolik pouz ı va na, z e jak ne ktere komerc nı programy (napr ıḱlad Excel, Mathematica, Matlab, MathCad, ) tak jejich freewarove alternativy (napr ıḱlad GNUplot) hledajı aproximac nı funkce pouze na za klade na mi zadany ch diskre tnıćh bodu. Vs e ostatnı jiz prova de jı samostatne, bez nas eho pr ic ine nı. Konkre tne v programu Excel 2010 postupujeme na sledovne : 1. Zadane hodnoty oznac ıḿe jako blok. 2. Potom na karte [Vložení] v oblasti Grafy vybereme <Bodový> 3. Nakonec na karte [Nástroje grafu] v za loz ce Rozložení v oblasti <Analýza> a poloz ce Spojnice trendu vybereme [Další možnosti spojnice trendu]

379 Po pr ıṕadne m dals ıḿ upr esne nı (napr ıḱlad jaka ma by t barva c ar, zda poz adujeme v grafu vypisovat vy slednou rovnici /v leve m obra zku druha volba od spodu/, ) se jiz vykreslı poz adovany graf.

Zobrazit více