Úvod - jistota (nuda) x nejistota (riziko) 1 Malá exkurze do 17. století 2 Základní pojmy 2.1 Jev a pokus 2.2 Skládání a rozklad jevů 2.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod - jistota (nuda) x nejistota (riziko) 1 Malá exkurze do 17. století 2 Základní pojmy 2.1 Jev a pokus 2.2 Skládání a rozklad jevů 2."

Transkript

1 Úvod - jistota (nuda) x nejistota (riziko) 1 Malá exkurze do 17. století 2 Základní pojmy 2.1 Jev a pokus 2.2 Skládání a rozklad jevů 2.3 Jevy a čísla 2.4 Úloha o rozdělení sázky 2.5 Úlohy Chevaliera de Méré 3 Pravděpodobnost 3.1 Klasická pravděpodobnost Cardano: součet čísel při hodu dvěma kostkami Studentské dilema Problém nešťastné šatnářky 3.2 Geometrická pravděpodobnost Problém prvního rande Problém golfistky Alžběty a atomového fyzika Dalibora Problém nedoručené zprávy Problém Ludolfova čísla 3.3 Statistická pravděpodobnost Problém muže s vosami aneb brouk leze po krychli Problém námořníka Jima v Port Rack poprvé Problém námořníka Jima v Port Rack podruhé 3.4 Axiomatická definice pravděpodobnosti Problém dělení jablek Problém starého výtahu Problém jednosměrek Problém výstavby schodiště Problém krotitele dravé zvěře Problém sekretářky Evy 4 Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy 4.1 Podmíněnost, nezávislost a realita Problém návštěv krajských nemocnic Problém jakosti Problém lidské paměti Problém zaměstnavatele Problém roztržitého profesora a cestující Aničky Zvědavé 4.2 Úplná pravděpodobnost Problém kontrolora Františka Problém spotřebitele Problém vězně 4.3 Apriorní a aposteriorní pravděpodobnost, Bayesův vztah Princip automatické diagnostiky v medicíně Problém diagnostického testu (na rakovinu) Problém komisaře Nováka 5 Opakované pokusy 5.1 Bernoulliovo schema Problém hráčů v kostky Problém nákazy skotu 5.2 Geometrické schema

2 5.2.1 Problém nákupčího Problém potomků pana Procházky 6 Náhodná veličina, pravděpodobnostní rozdělení 6.1 Hledá se reprezentant Problém klíčů Problém střídavých tahů Problém hazardních her 6.2 Normální rozdělení Problém normální (Gaussovy) křivky Problém testů IQ - Mensa 6.3 Když normální rozdělení selhává 6.4 Poissonovo rozdělení Problém obchodníka s látkami Problém náhlého úmrtí Problém hodnocení podřízených Problémy sedmi trpaslíků 7 Co o sobě lidé (ne)vědí 7.1 Dotazníky a ankety 7.2 Grafické znázornění 7.3 Testování hypotéz 7.4 Kontingenční tabulky Problém vysokoškoláků Problém dědičnosti obezity Problém lidové předpovědi počasí Problém brusičů z povolání Problém ze střední školy Problém sběratelství 8 Jak se optimálně rozhodnout v konfliktní situaci 8.1 Katka a Matouš objevují Lapkův ráj 8.2 Hry se dvěma strategiemi Problém nudného odpoledne Problém setkání u divadla Problém narozenin Problém péče o nemocného Problém známý jako Dáma a tygr 9 Dodatek: kombinatorika 9.1 Co je to vlastně kombinatorika? 9.2 Kombinatorika intuitivní Problém dlouhého stolu Problém dvou oddělených stolů Problém čepiček 9.3 Nové symboly pro čísla Faktoriál Kombinační čísla Pascalův trojúhelník 9.4 Kombinatorika a výběry Typické příklady Kombinatorika čtená po druhé 10 Použitá literatura

3 1 Malá exkurze do 17. století Život člověka je plný nečekaných událostí, které nemůže ovlivnit. Některé jsou jen zpestřením běžného dne, jako třeba jestli najdeme v lese hříbek nebo jak dlouho budeme muset čekat na autobus. Jiné nám tvrdě zasahují do života a mnohdy jej zcela převrátí. S nečekanými událostmi se setkáváme denně. A denně určitou oblast našich životů režíruje nejistota, kterou podle jejích účinků nazýváme Náhoda či Osud. Osud, to jsou ty fatální převraty. Nedá se proti nim obvykle nic dělat, jen se s nimi smířit. V takových chvílích se obracíme k nějaké vyšší autoritě, na kterou se snažíme hodit zodpovědnost, a které v zájmu svého psychického klidu a míru věříme, že to s námi myslí dobře. To Náhodu bereme spíše jako kamarádku, která nám jde mnohokrát na nervy (když udělá něco pro nás nemilého), ale zase je s ní legrace a pomáhá nám plašit nudu. S Osudem si zahrávat nelze, ale s Náhodou ano. Často se ji snažíme využít a na její úkor si přilepšit, třeba v penězích. Voláme obvykle na pomoc Štěstěnu a doufáme, že ona Náhodu přemluví v náš prospěch. O existenci řady věcí mezi nebem a zemí má lidstvo povědomost od nepaměti. Podle starověké mytologie na počátku světa házeli tři bratři Zeus, Poseidon a Hádes kostky; první vyhrál nebesa, druhý moře a Hádes se musel usídlit v pekle. Hrací kostky skutečně archeologové v mnohých částech starověkého světa našli. Kostky nazývané astralagi byly vyřezávané z kloubů zvířat. Od nepaměti také platí snaha lidí si náhodu osedlat. Nejspíše každá dívka si někdy utrhla kopretinu a spoléhala na to, že jí odhalí pravdu o jejím vyvoleném. Jedna studentka vzpomínala, že měla vyzkoušeno, že pokud začne u prvního okvětního lístku slovíčky,,nemá mě rád, je odpověď u posledního lístku,,má mě rád, mnohem vyšší. Výjevy her s kostkami se objevují i na stěnách egyptských hrobek a na řeckých vázách. Ve starověké matematice však o náhodě nenajdeme žádnou zmínku. Příčinou byl zřejmě fakt, že jednoduše nevěřili, že se v těchto jevech dá najít nějaká zákonitost, výsledky podle nich byly nepředvídatelné. V jistém smyslu měli pravdu: v izolované náhodné události žádnou strukturu nenajdeme, musíme pozorovat a zkoumat událost opakovaně. Aspoň částečný pohled na podstatu pravděpodobnosti (náhoda a náhodný jev) ukázal Girolamo Cardano ( ) a svá pozorování shrnul v knize Liber de ludo aleae (Kniha o náhodných hrách). Ukázal, že při házení kostkou je možné jednotlivým výsledkům přiřadit číselné hodnoty a jakým zákonitostem při tom podléhají, jak s nimi pracovat. Nezávisle na Cardanovi dospěl ke stejným závěrům též Galileo Galilei ( ), který zkoumal chyby vznikající při fyzikálních měřeních a považoval je za výsledky náhodných pokusů. Avšak ani on nezkoumal, jak by se získané poznatky z pravděpodobnosti mohly více využít. Ve středověku se objevila úloha o rozdělení sázky. Některé práce uvádějí její původ v rukopise z roku 1380 a připouští se, že by mohla být arabského původu. Stručné zadání je toto: Dva stejně dobří hráči A (modrý) a B (červený) hrají spolu sérii partií (třeba šachu); nepřipouští se nerozhodně. Hráči hrají o milion, který získá ten, kdo první vyhraje celkem 6 partií. Hra musela být přerušena v okamžiku, kdy hráč A dosáhl 5 vítězství a hráč B 3 vítězství. Ve hře se již nemůže a nebude pokračovat. Určete, v jakém poměru si mají hráči celkovou částku spravedlivě rozdělit. Řešení z roku 1494 uvádí poměr dělení obnosu 2:1 ve prospěch hráče A. Autor vyšel z úvahy: Hráči A stačí jedna výhra a poměr vítězství bude 6:3.

4 Řešení z roku 1556 uvádí poměr dělení obnosu 3:1 ve prospěch hráče A. K výsledku se došlo nejspíš rozborem možných zakončení, kdyby se pokračovalo v turnaji dále. Jsou tyto možnosti: vyhraje hráč A a turnaj končí; (A) vyhraje hráč B a následující vyhraje A; (BA) 2x vyhraje B a nakonec opět A; (BBA) 3x vyhraje B a jen v tomto případě by získal milion on. (BBB) Obě řešení jsou mylná. Přelomový rok 1654 Za opravdový počátek teorie pravděpodobnosti je považována korespondence, kterou v roce 1654 vedli Blaise Pascal ( ) a Pierre de Fermat ( ) mimo jiné též o problémech, se kterými se na Pascala obrátil Chevalier de Méré ( ). Jedním z problémů byla již zmíněná úloha o rozdělení sázky (správné řešení uvedeme později). Antoine Gombaud, přezdívaný Chevalier de Méré, byl francouzský spisovatel, který vášnivě hrál v kostky a doufal, že tak zbohatne, že tak získá velký majetek. Domníval se, že stačí čtyřikrát opakovat hod kostkou a alespoň jednou šestka padne. Pokud v těchto čtyřech pokusech šestka nepadla, vyhrál soupeř. Ovšem místo výhry utrpěl značné finanční ztráty. V zoufalé snaze odhalit příčiny svého neúspěchu, se obrátil na svého přítele, vynikajícího francouzského matematika a fyzika, Blaise Pascala s touto úlohou: Kolik je třeba hodů jednou (dvěma) kostkami, aby šance, že padne aspoň jedna (dvě) šestka, byla nadpoloviční? I tuto úlohu vyřešíme později. Úspěchy Pascala a Fermata vyvolala otázku, zda je možné přenést vznikající teorii od hracích stolů do našeho neuspořádaného, skutečného světa. O odpověď se pokoušeli i členové Bernoulliho rodiny. Bernoulliovci byli obdobou Bachovců v hudbě. Nejslavnější z nich byli bratři Jakub a Jan a syn Jana Daniel. Slavné Bernoulliho schéma, které popisuje absolutní četnosti náhodné události v sérii nezávislých pokusů, je dílo Jakuba. Byl jedním z prvých analytiků, kteří postavili základy statistické hypotézy tj. z malého vzorku sebraných dat vyvozovat závěry, které by platili pro celou populaci. Objevil zákon o vztahu pravděpodobnosti a relativní četnosti. Ostatní jmenovaní se zasloužili v jiných oblastech matematiky a fyziky. Je pozoruhodné, že věda, která začínala úvahami o hazardních hrách, se nakonec mohla stát nejdůležitějším předmětem lidského poznání. (P. S. Laplace) A to ještě francouzský matematik, fyzik, astronom a politik Pierre Simon de Laplace ( ) nemohl tušit, k jak významným objevům se dojde ve 20. století v teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky a jak bude zasahovat do našich životů. Přesto školská výuka o pravděpodobnosti, pokud k ní vůbec dochází, je především založena na poplatnosti hrám a její přednostní aplikace se neuvádějí. Tím se jen šíří účelové nepravdy o její nedůležitosti v běžném životě. Cílem této knížky je ukázat, že teorie pravděpodobnosti je víc než jen hrátky s mincemi nebo kostkou. Přesto si i s nimi na začátku trochu pohrajeme.

5 3.2.1 Problém prvního rande Adam a Eva se potkali na diskotéce. Dobře si spolu zařádili, a tak se dohodli, že se druhý den znovu setkají u kašny na Centrálním náměstí. V kraválu tanečního sálu bylo však obtížné se domluvit a tak oba vědí jen to, že rande mají mezi 13 a 14 hodinou, ale nevědí přesně kdy. Vymezme nejprve základní prostor, ve kterém se celá událost odehrává. Označme x čas příchodu Adama a y čas příchodu Evy. Mezi 13 a 14 hodinou je celkem 60 minut. Náhodný příchod Adama a Evy, zde představují souřadnice [x;y] bodu ve čtverci 60 x 60. Body čtverce představují všechny možnosti jejich příchodu. Snadno určíme, že S( ) = 60 2 = A) Nejprve nás bude zajímat, jestli se setkání vůbec uskuteční. Tedy otázka zní: Jaká je pravděpodobnost, že se rande neuskuteční, protože ani jeden není ochoten na druhého čekat déle než 10 minut, a pak odchází? Aby ksetkání mohlo dojít, musí se časy příchodu lišit nejvýše o 10 minut. Matematicky to zapíšeme nerovností x y < 10 tj. x y < 10 a zároveň y x < 10 Tuto oblast představuje na obrázku tmavý pás. Rande se neuskuteční v případech, kdy bod příchodu [x;y] padne do některého ze dvou světlých trojúhelníků. Tyto trojúhelníky (přiraženy ksobě) tvoří čtverec o straně 50 a jeho obsah je S(A) = 50 2 = Pravděpodobnost, že se Adam s Evou nesejdou je P(A) = 50 2 /60 2 = 0,694, neboli sejdou se (opačný jev) s pravděpodobností P(A ) = 1 0,694 = 0,306. B) Řekněme, že Adam má daleko větší zájem na tom, aby k setkání došlo, což se projeví tím, že je ochotný čekat až půl hodiny? Jak se změní pravděpodobnost společně stráveného odpoledne, když Eva zůstane na čekací době deseti minut. Oblast uskutečněného setkání se nyní rozšiřuje v Adamově směru. Obsah tmavého pásu (příznivá oblast jevu B) vypočítáme jako obsah celého čtverce minus velký světlý trojúhelník minus malý světlý trojúhelník: S(B) = / /2 = Pravděpodobnost setkání se zvyšuje na P(B) = 1900/3600 = 0,528. C) Do třetice spočítejme pravděpodobnost setkání pro případ, že se Adam i Eva rozhodnou dodržet tradiční čtvrthodinku. Situace je znázorněna obrázkem k jevu ad A) stím rozdílem, že místo 10 minut je teď 15 minut. Hledaná pravděpodobnost proto je P(C) = /60 2 = 0,4375.

6 Jak je vidět, ani akademická čtvrthodinka nezaručuje úspěch. Ani čekat půl hodiny se v podstatě nevyplatí. Nejlepší je se domluvit na přesném čase a ten taky dodržet. 6.3 Když normální rozdělení selhává I když je normální rozdělení na pohled tak pěkné, a pro použití tak účelné, a může být proto často plným (nebo alespoň značným) právem použito, přes to nemůže zachytit všechny skutečnosti. Je mnoho věcí mezi nebem a zemí, o nichž se normální křivce ani nesní. Velmi jednoduchý a názorný příklad tohoto tvrzení je případ počtu dětí v rodinách. Rodiny bezdětné a s 1 a s 2 dětmi jsou téměř stejně četné; pak však křivka (polygon četnosti) padá na pravou stranu způsobem, který by mohl přibližně odpovídat normálnímu rozdělení: 3 děti jsou méně časté, 4 ještě méně atd., až v úseku 11 a více dětí se dosahuje extrémních hodnot. Co je naproti tomu na levé straně křivky? Nic, žádná žena nemůže mít méně než žádné dítě. Graf švýcarského statistického úřadu to ukazuje velmi názorně. Výrazně strmé rozdělení ukazuje mimo jiné počet dětí na vdanou ženu (nebo také na rodinu): značné četnosti při 0, 1 a 2 dětech jsou zhruba stejně vysoké a potom se silně snižují. Normální rozdělení se v tomto případě nehodí, protože naráží na nulové hranici na bariéru, která je obrazně řečeno - zešikmuje. Šikmost rozdělení je ostatně statistický vědecký termín, kterým se měří horizontální odchylka rozdělení od normálního rozdělení. Doplněk k tomu tvoří exces, jenž křiví zvonovitý tvar normální křivky ve svislém směru, to znamená, že zvon je příliš strmý nebo příliš plochý. Je-li šikmost tak výrazná, že křivka vykazuje při nejnižších hodnotách nejvyšší četnosti (bylo by tomu tak v případě, že bezdětná manželství by byla nejčastější), vzniká takzvaná křivka L. O rozdělení L, které se doprava zplošťuje, koluje melancholické rčení, že prý je charakteristickým rozdělením všech krásných věcí. Téměř každé rozdělení příjmů ukazuje - udává-li se výše příjmů na osu x a počet jejich příjemců na osu y - řídkost velkých příjmů a četnost příjmů malých. Chce-li někdo např. považovat vysoký věk za žádoucí příjemnost, udává grafické znázornění úmrtnosti rovněž klesající křivku. Cokoli je zvlášť cenné, vyskytuje se jen u mála osob. Kdyby se měl graficky znázornit počet barokních soch, případně počet knih připadajících na jednu domácnost, zase by vzniklo rozdělení L, rozdělení krásných věcí.

7 7.4.4 Problém lidové předpovědi počasí V rámci biometerologického výzkumu bylo zkoumáno 100 osob na citlivost na počasí. Skupinu A tvořili lidé s loupáním, revmatici, migrénisté, apod., kontrolní skupinu B osoby bez těchto příznaků. Sledovala se úspěšnost předpovědi počasí na lokální úrovni do 24 hodin. Nulová hypotéza: Úspěšnost předpovědi počasí nezávisí na tom, zda-li ji vysloví člověk s bolestmi kloubů a podobně nebo člověk bez těchto příznaků. Tyto vlastnosti, kdyby se prokázaly, by byly pro nás důležité a proto testování provedeme na 1 % úrovni. skupina předpověď vyšla nevyšla celkem A ( ) 2 B = celkem = 8,12 Protože 2 = 8,12 > citlivější na počasí. 6,63 = 2 (0,01), zamítáme nulovou hypotézu: osoby skupiny A jsou

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.

Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti. Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015) III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

23. Matematická statistika

23. Matematická statistika Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec

Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

S1P Příklady 01. Náhodné jevy S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček

Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014

Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

STATISTIKA jako vědní obor

STATISTIKA jako vědní obor STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika

Více

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?

5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů? 0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1. Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického

Více

Matematika - Historie - 1

Matematika - Historie - 1 Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte

Více

Diskrétní pravděpodobnost

Diskrétní pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

náhodný jev je podmnožinou

náhodný jev je podmnožinou Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY Studijní obor: 23-41 - M/1 Strojírenství Zaměření: Předmět: Matematika Ročník: 4. Počet hodin týdně: 4 Počet hodin celkem: Tento plán vychází z rámcového vzdělávacího programu pro

Více

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI 5.2 POČÁTKY MATEMATICKÉ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI Hry v kostky Podle archeologických nálezů se hrací kostky používaly již v době před 40 tisíci lety. Nejprve se jednalo o přírodní nepravidelné předměty,

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;

1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Základy biostatistiky

Základy biostatistiky Základy biostatistiky Veřejné zdravotnictví 3.LF UK Viktor Hynčica Úvod se statistikou se setkáváme denně ankety proč se statistika začala používat ve zdravotnictví skupinový přístup k léčení celé populace

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Obecné, centrální a normované momenty

Obecné, centrální a normované momenty Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí

Více

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

V tomto prostředí jsou postupně zaváděny různé typy úloh.

V tomto prostředí jsou postupně zaváděny různé typy úloh. Matematické prostředí Děda Lesoň umožňuje dětem pracovat s veličinou zapsanou ikonicky (nikoliv číslem). Uvedeno je příběhem o dědovi Lesoňovi, ochránci zvířátek. Nejprve jsou u Lesoně pouze tři druhy

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

"Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110)

Zajisté, odvětí strážce. (Str. 110) "Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110) Kapitola 17 Normální rozdělení Nejdůležitější pravděpodobnostní rozdělení se nazývá normální či Gaussovo. Má zajímavou historii. To druhé jméno dostalo na počest slavného

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Testy založené na χ 2 rozdělení V přehledu významných rozdělení jsme si uvedli, že Poissonovým rozdělením se modeluje počet událostí, které nastanou

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1

Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1 ? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.

Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D. Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor017 Vypracoval(a),

Více

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně

Fyzikální veličiny. - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny. Obecně Fyzikální veličiny - Obecně - Fyzikální veličiny - Zápis fyzikální veličiny - Rozměr fyzikální veličiny Obecně Fyzika zkoumá objektivní realitu - hmotu - z určité stránky. Zabývá se její látkovou formou

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Máte rádi kávu? Statistický výzkum o množství vypité kávy napříč věkovým spektrem.

Máte rádi kávu? Statistický výzkum o množství vypité kávy napříč věkovým spektrem. Máte rádi kávu? Statistický výzkum o množství vypité kávy napříč věkovým spektrem. SEMESTRÁLNÍ PRÁCE STATISTIKA VYPRACOVALA: IRENA VALÁŠKOVÁ A BARBORA SLAVÍKOVÁ DNE: 29. 12. 2012 SKUPINA: 2 36 Obsah Pár

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností

Pracovní list č. 4 Počítáme s pravděpodobností racovní list č. 4 očítáme s pravděpodobností Cíl cvičení: Tento pracovní list je určen pro cvičení předmětu Kvantitativní metody II (přednáška 3.1). Je zaměřen především pro práci s kalkulačkou, program

Více

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo

Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických

Více