Taky si zkuste promyslet, která zobrazení jsou afinní: to které zobrazí přímku jako rovinu? Nebo snad to které zobrazí rovinu jako přímku?

Transkript

1 Afinní zobrazenní Úmluva Symbolem V (popř V ) budu vždy značit nějaký vektorový prostor, symbolem A (popř A ) pak vždy afinní bodový prostor, zdvojená písmena (např A, B, C, ) značí vždy matice Definice 1 Zobrazení f afinního bodového prostoru A do afinního bodového prostoru A se nazývá afinní pokud každé tři různé kolineární body B, C, D zobrazuje bud do jediného bodu, nebo do tří různých kolineárních bodů f(b), f(c), f(d) tak, že (A, B, C) = (f(a), f(b), f(c)) 1 Věta 1 V afinním zobrazení je obrazem přímky přímka nebo bod Věta 2 Ke každému afinímu zobrazení f afinního bodového prostoru A do afinního bodového prostoru A je jednoznačně přiřazeno zobrazení ϕ, které zobrazuje zaměření V prostoru A do zaměření V prostoru A předpisem: u = D C ϕ( u) = f(d) f(c) Zobrazení ϕ se nazývá asociované zobrazení k zobrazení f Věta 3 Zobrazení ϕ asociované k afinnímu zobrazení f je lineární zobrazení vektorového prostoru V do V Poznámka 1 Je-li zadáno afinní zobrazení f, pak je určeno ϕ Obrácená implikace neplatí Věta 4 Necht je dáno zobrazení ϕ vektorového prostoru V do V Je-li bod B libovolný bod z A a bod B libovolný bod z A, pak existuje právě jedno afinní zobrazení f : A A, jehož asociovaným zobrazením je ϕ a B f(b) Platí: kde X je libovolný bod z A f(x) = f(b) + ϕ(x B), Poznámka 2 Afinní zobrazení je tedy dáno zobrazením zaměření a párem odpovídajících si bodů Mám-li tedy např nějaké afinní zobrazení, které zobrazuje přímku na jinou přímku, stačí mi, pokud budu mít zadaný bod a jeho obraz, a předpis jak zobrazit směrový vektor do jiného vektotu (směrového vektoru té druhé přímky) Mohlo by vám to být jasnější, pokud si uvědomíte, že pokud chci zobrazit přímku do jiné, nestačí mi znát pouze výsledný směr, ale i nějaký bod, kterým má procházet Taky si zkuste promyslet, která zobrazení jsou afinní: to které zobrazí přímku jako rovinu? Nebo snad to které zobrazí rovinu jako přímku? Věta 5 Při afinním zobrazení se dvě rovnoběžné přímky zobrazí do dvou rovnoběžných přímek nebo každá z nich do bodu 1 Tím (A, B, C) je samozřejmě myšlen dělící poměr, připomínám, že jsme si ho definovali jako nějaké číslo λ takto: λ = (A, B, C) = AC BC 1

2 Důkaz Mějme tedy dvě rovnoběžné přímky (musí mít tedy stený směrový vektor) a nějaké afinní zobrazení f: X = B + t(c B) Y = D + t(c B) Najděme jejich obrazy: ( ) f(x) = f(b) + ϕ t(c B) = f(b) + t ϕ(c B) = f(b) + t (f(c) f(b)) f(y ) = = f(d) + t (f(c) f(b)) Obrazy tedy mají stejné zaměření t(f(c) f(b)), pokud by f(c) f(b) = 0, obě by se zobrazili do bodu Věta 6 (o určenosti afinního zobrazení) Mějme dva afinní bodové prostory A n a A n Necht M 0, M 1,, M n je n + 1 bodů z A n a M 0, M 1,, M n je n + 1 bodů z A n Pak existuje právě jedno afinní zobrazení f : A A takové, že: M i = f(m i ) Analytické vyjádření afinního zobrazení Necht i 1,, n A n = {P, e 1, e 2,, e n } A m = {Q, d 1, d 2,, d m } Necht f : A n A m a ϕ je asociované zobrazení k f tak, že ϕ( e j ) = a ijdi j = 1,, n kde a ij jsou souřadnice vektoru ϕ( e j ) v bázi zaměření A n f(p ) = Q + b idi kde b i jsou souřadnice f(p ); X A n, X A m Víme tedy, že pro x a f(x) platí: X = P + x j e j f(x) = Q + x id i (1) zobrazíme tedy bod X: f(x) = f(p ) + x j ϕ( e j ) = Q + b idi + Maticový zápis je samozřejmě mnohem elegantnější: x 1 x 2 x m x j m X = AX + B a 11 a 12 a 1n = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij di = Q + x 1 x 2 x n + ( a ij x j + b i b 1 b 2 b m } {{ } x i z rovnice (1) ) d i 2

3 Věta 7 Složením dvou afinních zobrazení f 1 a f 2 vznikne zobrazení f, které je také afinní Navíc platí, že zobrazení ϕ asociované k f vznikne složením ϕ 1, ϕ 2, které jsou asociované k f 1, f 2 Věta 8 Necht f je prosté afinní zobrazení A n A n, které mají stejnou dimenzi Pak k němu existuje inverzní zobrazení f 1, které je rovněž afinní Je-li ϕ asociované k f, pak ϕ 1 je asociované k f 1 Definice 2 Vzájemně jednoznačné afinní zobrazení afinního bodového prostoru A n na sebe nazveme afinní transformací (afinitou) prostoru A n Věta 9 Všechny afinity prostoru A n tvoří afinní grupu 2 Věta 10 Necht M 0, M 1,, M n a M 0, M 1,, M n z A n, pak existuje jediná afinita f, taková, že: jsou dvě skupiny lineárně nezávislých bodů f : f(m i ) = M i i 0, 1,, n Rovnice afinity prostoru A n Jde tedy o speciální případ afinního zobrazení z A n do A n a X = AX + B Zobrazení f je vzájemně jednoznačné matice A je regulární Definice 3 Modulem afinity nazveme det A Příklad 1 Mějme tedy afinitu v A 2 definovanou vztahy: X = X, Y = κy Pak matice A a její determinant jsou: A = A = κ ( κ ) Věta 11 Modul afinity prostoru A n nezávisí na volbě báze zaměření V n Věta 12 Složením dvou afinit vznikne afinita, jejíž modul je roven součinu modulů skládaných afinit Definice 4 Afinity, jejichž modul je kladný (resp záporný) se nazývají přímé (resp nepřímé) afinity Afinity jejichž modul je roven ±1 se nazývají ekviafinity Věta 13 Objem (resp obsah) měřitelného útvaru a jeho ekviafinního obrazu jsou si rovny 3 2 Roli neutrálního prvku zde hraje identita 3 Pokud by to nebyla zrovna ekviafinita, pak platí: V = δ V, kde δ je modul té dané afinity Pro obsah platí anologický vztah 3

4 Samodružné body afinního zobrazení Mějme tedy nějakou afinitu v prostoru A n, která je definována: X = AX + B (2) a hledejme její samodružné body Má-li být bod X samodružný, musí pro něj platit: X = X Z vlastnosti X = EX (kde E je jednotková matice) a z rovnice (2) postupně dostáváme: X = AX + B X = AX + B EX = AX + B 0 = AX EX + B 0 = (A E)X + B (3) Z toho je vidět, že pokud nějaké samodružné body existují dim A = dim(a E) Poznámka 3 Vztah (3) není nic jiného než soustava n rovnic pro n souřadnic x 1,, x n Věta 14 Existuje-li v afinitě f prostoru A n k + 1 LNZ samodružných bodů, pak prostor A k generovaný těmito body, obsahuje pouze samodružné body Poznámka 4 Všechny samodružné body afinity jsou bud : žádný, jeden, přímka, rovina, prostor Samodružné směry afinit Definice 5 Směrem v afinním bodovém prostoru rozumíme jednorozměrný podprostor jeho zaměření V n Definice 6 Směr je při afinním zobrazení samodružný asociované zobrazení ϕ ho zobrazí tak, že obraz je totožný se vzorem 4 : ϕ( u) = λ u λ R (4) Hledejme tedy samodružné směry Z definice pro ně musí platit (4), označíme-li u = ϕ( u), a pokud si uvědomíme, že u = A u, a že platí identita 5 u = E u, pak musí platit: ϕ( u) = λ u ϕ( u) = A u λ u = A u Soustava rovnic (5) má netriviální řešení det(a λe) = 0 λe = A u 0 = A u λe u 0 = (A λe) u (5) Příklad 2 Je dána afinita v E 2 : X X, X = [x, y], X = [x, y ], vztahy: x = 2x 2 y = x + 3y + 2 Máme najít její samodružné body a samodružné směry 4 vektory (1, 2, 3), (2, 4, 6) udávají stejný směr 5 matice E je jednotková matice 4

5 1 Pro samodružné body musí platit: x = x a y = y, tedy: x = 2x 2 y = x + 3y = x 2 0 = x + 2y + 2 Řešením je bod [2; 2] Afinita má tedy jeden samodružný bod 2 Pro samodružné směry u = (u 1 ; u 2 ) platí: λu 1 = 2u 1 λu 2 = u 1 + 3u 2 0 = (2 λ)u 1 0 = u 1 + (3 λ)u 2 2 λ 0 { 1 3 λ = 0 (2 λ)(3 λ) = 0 λ1 = 2 λ 2 = 3 Každému vlastnímu číslu odpovídá jeden vlastní vektor Dopočítáme-li, pak pro λ 1 = 2 platí: 0 = u 1 + u 2 Tomu odpovídá například u (1) = (1; 1) je určen až na násobek jednoznačně Pro druhý vektor, tedy když λ 2 = 3, platí: 0 = u 1 Jsou to tedy takové vektory, které mají první složku nulovou, např u (2) = (0; 1) Definice 7 Afinitu prostoru A n nazveme základní afinitou, pokud není identitou a má nadrovinu samodružných bodů Věta 15 Základní afinita A n je určena nadrovinou samodružných bodů a vzorem a obrazem libovolného bodu, který v nadrovině neleží Věta 16 (o skládání základních afinit) Každá afinita prostoru A n se dá složit nejvýše z n + 1 základních afinit Analytické vyjádření základní afinity Je tedy dána rovnicí nadroviny v A n : ρ : c 1 x 1 + c 2 x c n x n + c = 0 i 1,, n : c i 0 a jeden bod spolu se svým obrazem: M[p 1,, p n ] M [q 1,, q n ] 5

6 Věta 17 Necht je dána nadrovina ρ a body M, M, M / ρ, afinita f : x i = a ij x j + b i i = 1,, n má nadrovinu samodružných bodů ρ každá z rovnic afinity je násobkem rovnice nadroviny ρ Rovnice nadroviny afinity pak mají tvar: ( ) x i = x i + λ i c j x j + c, kde λ i = q i p i c j x j + c za předpokladu, že M M Afinita je identitou, pokud i : λ i = 0 Osová afinita v rovině Základní afinitou v rovině je osová afinita Spojnice bodu a jeho obrazu se nazývá směr afinity Podle polohy směru afinity k ose afinity rozeznáváme tři typy osových afinit A s a a A o A s a a A o a A A a o s a) b) c) Obrázek 1: Tři typy osové afinity: a) pravoúhlá, b) kosoúhlá, c) nevlastní elace Věta 18 V osové afinitě odpovídají rovnoběžným přímkám zase rovnoběžné přímky Příklad 3 V osové afinitě, která je daná osou o a dvojicí odpovídajících si bodů A a A Máme najít obraz bodu B (viz Obrázek 2) Věta 19 Jsou-li A A odpovídající si body v osové afinitě, která není nevlastní elací, a bod X je průsečík přímky AA s osou afinity, pak dělící poměr k = (A, A, X) je konstantní a nezávisí na volbě odpovídajících si bodů Číslo k se nazývá charakteristika afinity Je-li k > 0, pak sobě odpovídající body leží v téže polorovině určené osou afinity Je-li k < 0 6, pak leží v opačných polorovinách Pravoúhlá afinita s charakteristikou k = 1 se nazývá osová souměrnost Věta 20 V každé osové afinitě kružnicci nebo elipse odpovídá opět kružnice nebo elipsa Věta 21 Ke každé elipse je možno najít kružnici, která ji odpovídá v jisté afinitě 6 To je tehdy, mají-li vektory AX a A X opačný směr 6

7 A B s m B m A o Obrázek 2: Hledání obrazu obrazu bodu B: užijeme příkmy rovnoběžné s s, která prochází B, a dále přímky m a jejího obrazu m Sdružené průměry elipsy V osové afinitě vzájemně kolmým průměrům p = AB a q = CD kružnice k z obrázku 3, odpovídají průměry p = A B a q = C D elipsy k Průměry p, q kružnice a průměry p, q elipsy mají jedno společné: tečny v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem Obrázek 3: Sdružené průměry kružnice a elipsy K danému průměru kružnice najdeme tedy sdružený tak, že v jeho krajním bodě sestrojíme tečnu, a pak už jen vedeme rovnoběžku s touto tečnou, která prochází středem prvního průměru Věta 22 Dva průměry kružnice nebo elipsy tvoří dvojici sdružených průměrů právě tehdy, když tětivy rovnoběžné s jedním průměrem jsou druhým půleny Trojúhelníková konstrukce elipsy Trojúhelníková konstrukce elipsy, je konstrukce ze dvou soustředných kružnic, které mají poloměry stejné s hlavní (resp vedlejší) poloosou elipsy Věta 23 Je tedy dána elipsa svými osami AB = 2a, CD = 2b, pak její bod M můžeme sestrojit pomocí kružnic k a k tak, že bodem M (M ) vedeme rovnoběžku s vedlejší (hlavní) osou Jejich průsečíkem je bod elipsy M 7

8 Obrázek 4: Trojúhelníková konstrukce elipsy Důkaz V pravoúhlé afinitě s osou o = AB a párem odpovídajících si bodů C, C si odpovídají elipsa k a kružnice k charakteristika této afinity je b Je-li M a 0 průsečík přímky M M a osou o, pak platí: MM 0 M M 0 = M S M S = CS AS = b a Bod M tedy odpovídá v dané afinitě bodu M, leží proto na elipse k 8