RLC obvody Jaroslav Reichl, 2006

Transkript

1 obvody Jaroslav eichl, 6 obvody obvody e název pro obvody, které sou pipoeny ke zdroi stídavého naptí a které sou obecn tvoeny rezistore o odporu, ideální cívkou s indukností a ideální kondenzátore s kapacitou Bude-li obvod tvoen en dvi z uvedených prvk, nebude se v ateatických vztazích popisuících chování obvodu vyskytovat len odpovídaící prvku, který v obvodu není zaazen Proto bude výklad proveden pro obecný pípad obvodu Sériový obvod Fyzikální popis Prvky obvodu (viz obr ) prochází stený proud, ale naptí na ednotlivých prvcích se liší ak hodnotou tak i vzáenou fází: naptí u na rezistoru á stenou fázi akou proud, naptí u na cívce pedbíhá proud a naptí u na kondenzátoru se za proude zpožue Stená fáze proudu a naptí na rezistoru e dána vlastností rezistoru Není žádný fyzikální dvod, pro by lo k fázovéu posunu docházet Na cívce a kondenzátoru e ale situace iná Zpoždní proudu vzhlede k naptí na cívce e zpsobeno elektroagnetickou indukcí naptí v cívce, kterou prochází stídavý proud Prchode tohoto proudu vzniká v cívce asov pronné (t nestacionární) agnetické pole, které e píinou indukce naptí v cívce Následke toho zaíná cívkou procházet proud, který á ovše ve srovnání s proude, který indukovaný proud svý agnetický pole vyvolal, opaný sr ívka si totiž snaží udržet pvodní agnetické pole, které v ní bylo pedtí, než zaalo docházet ke zná tohoto pole Práv uvedený poznatek e obsahe enzova zákona: NDKOVANÝ KTKÝ POD V ZAVNÉM OBVOD MÁ TAKOVÝ SM, Ž SVÝM MAGNTKÝM POM PSOBÍ POT ZMN MAGNTKÉHO NDK NÍHO TOK, KTÁ J JHO PÍ NO (SP KTÁ TNTO POD VYVOAA) Pedbíhání proudu vzhlede k naptí na kondenzátoru e zpsobeno periodický nabíení a vybíení kondenzátoru Ten se v první tvrtin periody stídavého naptí nabíí V okažiku, kdy dosáhne naptí na kondenzátoru axiální hodnoty, prochází kondenzátore nulový proud Pak se kondenzátor zaíná vybíet, což znaená, že postupn klesá naptí ezi eho deskai a roste proud, který í protéká Jakile proud dosáhne svého axia (v polovin periody), e kondenzátor vybit a zaíná se nabíet opan, než byl nabit pvodn Proud postupn klesá, až dosáhne opt nulové hodnoty V ten okažik e kondenzátor nabit na axiální naptí, které e ovše opané, než naptí, na které byl nabit na konci první tvrtiny periody V poslední tvrtin periody se kondenzátor opt vybíí a proud se zvtšue Práv popsaný d se periodicky opakue Vzhlede k práv popsaný fázový rozdíl ezi proude a naptí na cívce a kondenzátoru, nelze efektivní hodnotu výsledného naptí v celé obvodu získat prostý aritetický soute! obr obr Mateatický popis poocí reálných ísel S využití fázorového diagrau (viz obr ), který získáe zakreslení fázor naptí a proudu do kartézské soustavy souadnic, e ožné získat i výsledné naptí sériového zapoení rezistoru, cívky a kondezátoru Proud a naptí na rezistoru nesou fázov posunuté Vzhlede k tou, že v sériové obvodu prochází všei prvky stený proud (v obvodu nesou žádné uzly, takže se proud neá kde dlit do rzných vtví obvodu), znázorue se tento proud na vodorovnou osu fázorového diagrau Tento proud e spolený vše prvk v obvodu Na tutéž osu se nanáší i naptí na rezistoru Dvod e prostý: na rezistoru nedochází k žádnéu fázovéu posuvu, takže i fázory naptí a proudu nesou vi sob niak pootoené Naptí na cívce se nanáší na kladnou poloosu y To pln odpovídá fyzikálníu popisu chování cívky v obvodu stídavého proudu (resp stídavého naptí): naptí vrcholí (t dosahue svého axia) díve než proud, který í prochází (a který prochází celý obvode) Je nutné si uvdoit, že fázorový diagra znázorue rozložení fázor naptí a proudu en v urité asové okažiku: v ase t a pak vždy za periodu Fakt, že se okažité hodnoty proudu i naptí v obvodu ní, si lze pedstavit tak, že fázorový diagra bude rotovat kole svého poátku (kole poátku kartézské soustavy) proti sru hodinových ruiek (t

2 obvody Jaroslav eichl, 6 vlevo) Pak e asné, že naptí na cívce skuten dosahue svého axia v ase t, zatíco proud v ase t T A to e pln v souladu s fyzikální popise chování cívky pipoené ke zdroi stídavého naptí 4 Na základ podobných úvah e zeé, že naptí na kondenzátoru, které se za proude opožue (resp proud procházeící kondenzátore pedbíhá naptí), e nutné zakreslit na zápornou poloosu y Vyádit vztah ezi efektivníi hodnotai naptí, a na ednotlivých prvcích obvodu znaená vektorov (t se zapotení píslušného fázového posunu) seíst fázory odpovídaící uvedený naptí: = Poznáka: Fázory sou v textu oznaené tuný píse a na obrázcích (aby neohlo doít k zán se skalárníi veliinai) sou oznaené ako vektory Podle obr lze pro efektivní hodnotu výsledného naptí s využití Pythagorovy vty psát: Aby bylo ožné vzáen porovnat paraetry ednotlivých prvk obvodu, zavádí se i pro cívku a kondenzátor zdánlivé odpory Zdánlivý odpor cívky se nazývá induktance (induktivní reaktance) X a platí pro ni vztah: X Zdánlivý odpor kondenzátoru se nazývá kapacitance (kapacitní reaktance) X a e definována vztahe: X V obou uvedených vztazích e f, kde f e frekvence stídavého naptí resp proudu, a nazývá se úhlová frekvence Pro ednotky uvedených veliin platí: X X S využití tchto vztah lze vztah pro výsledné naptí obvodu dále rozepsat a poté upravit: X X Obvod ako celek e pak charakterizován ediný paraetre, který se nazývá ipedance Z pedance pedstavue zdánlivý odpor celého obvodu Proto pro ni platí: Z ; Z Pro fázový rozdíl naptí a proudu v obvodu pak e ožné podle obr psát:, ; Dále e ožné zavést poe reaktance X X X, která charakterizue vlastnosti té ásti obvodu stídavého proudu, v níž se elektroagnetická energie není v teplo, ale en v energii elektrického a agnetického pole eaktance tedy popisue chování cívky a kondenzátoru obr 3 obr 4

3 obvody Jaroslav eichl, 6 Zvláštní pípad nastává v obvodu v sérii, e-li pi dané frekvenci induktance obvodu stená ako eho kapacitance: X X pedance e pak dána en odpore rezistoru: Z Fázový rozdíl proudu a naptí e nulový a obvod á vlastnost rezistence (t obvod se chová ako kdyby v n byl zapoen en rezistor bez cívky a bez kondenzátoru) pedance e proto ze všech ožných stav daného obvodu neenší a proto obvode (pi dané naptí) prochází nevtší proud Tento stav se oznaue ako rezonance stídavého obvodu a píslušnou rezonanní frekvenci f lze urit z podínky, z níž vyplývá: f Skutenost, že pi rezonanci e ipedance obvodu iniální, dokuentue i obr 3, na které sou zobrazeny grafy závislosti odporu, induktance, kapacitance a ipedance na frekvenci proudu (resp naptí) Odpor rezistoru na frekvenci proudu nezávisí, induktance cívky se s rostoucí frekvencí proudu zvtšue a kapacitance kondenzátoru s rostoucí frekvencí proudu klesá pedance dosahue svého inia práv v pípad rezonance obvodu, kdy e eí hodnota totožná s odpore rezistoru a kapacitance a induktance sou stené Na obr 4 e zobrazen prbh fázového posunu proudu a naptí 3 Mateatický popis poocí koplexních ísel Peforulování ady fyzikálních problé do koplexních ísel se tyto probléy vtšinou ateaticky zednoduší S koplexníi ísly se totiž veli ednoduše pracue a pro každý typ úlohy (podle ateatického zápisu rovnic, podle povahy hledaného ešení, ) e vhodný iný zápis koplexních ísel Dležité e ovše na konci úlohy správn interpretovat získané ešení, t piadit koplexní ísl (resp eich iaginární áste) správný fyzikální sysl Na základ fyzikálního popisu obvodu (viz odstavec ), který e zobrazen na obr, e ožné zakreslit fázory proudu a naptí na ednotlivých prvcích obvodu i do Gaussovy roviny, do níž se zobrazuí koplexní ísla Z poátku bude postup stený ako v odstavci : proud procházeící obvode e na všech prvcích obvodu stený a á nulový fázový posun vi naptí na rezistoru Proto se ob tyto veliiny zobrazuí na reálnou osu (viz obr 5) Naptí na cívce, které se pedbíhá oproti proudu procházeícíu cívkou práv o 9, se zobrazue na kladnou iaginární poloosu Analogicky se naptí na kondenzátoru (které se za proude tekoucí kondenzátore o 9 opožue) obr 5 zobrazí na zápornou iaginární poloosu Grafická znázornní na obr a obr 5 sou tedy veli podobná Výpoet se ale liší Naptí na rezistoru o odporu e dáno vztahe Naptí na cívce o induknosti e dáno vztahe: kde e iaginární ednotka, pro kterou platí X, Poznáka: V ateatice se tatáž iaginární ednotka znaí sybole i Sybol e zde volen zárn, aby nedocházelo k zán s okažitou hodnotou proudu, která se znaí i Peznaení iaginární ednotky se ateatické definice a pravidla, kterýi se poítání s koplexníi ísly ídí, nezní! Analogicky lze definovat naptí na kondenzátoru vztahe X Na první pohled není asné, že naptí na kondenzátoru á fázový posun vi proudu, který á ít - t že se za proude v obvodu zpožue o tvrt periody To e ožné ukázat tak, že naptí vyádíe tak, ak se koplexní ísla bžn vyaduí, t iaginární ednotkou v itateli: Z tohoto vztahu e vidt, že naptí na kondenzátoru skuten á sysl nanášet v Gaussov rovin na zápornou iaginární poloosu Jiný zpsobe e ožné odvodit kapacitanci kondenzátoru poocí gonioetrického tvaru koplexních ísel Staí si uvdoit (a to e vysvtleno už v odstavci a zobrazeno na obr ), že naptí na kondenzátoru e vzhlede k proudu posunuto o Pak lze psát: 3

4 obvody Jaroslav eichl, 6 X cos sin Ve srovnání s popise obvodu poocí reálných ísel (viz odstavec ), se pi použití koplexních ísel zní i výpoet hodnoty celkového naptí Úvodní úvaha e stená: = Po dosazení: 4 íselná hodnota výsledného naptí e pak dána absolutní hodnotou koplexního ísla, ve které už nevystupue iaginární ednotka :, což e stený vztah ako vztah, který byl odvozen s použití reálných ísel (viz odstavec ) Pro ipedanci pak platí: Z a eí íselná hodnota e dána vztahe Z, což e opt stený vztah, který byl odvozen pi popisu poocí reálných ísel (viz odstavec ) Pro fázový rozdíl naptí a proudu v obvodu lze použít stený vztah ako v odstavci (viz obr 5):, ; Mateatický popis rezonance se neliší Pi rezonanci prochází obvode axiální proud a proto e tedy ipedance obvodu iniální To znaená, že X X, odkud pío vyplývá vztah pro rezonanní frekvenci f : f Paralelní obvod Fyzikální podstata Fyzikální podstata innosti paralelního (viz obr 6) obvodu vyplývá z chování rezistoru, cívky a kondenzátoru v obvodu stídavého proudu, které bylo popsáno v odstavci Odlišnost spoívá ve skutenosti, paraleln spoené prky obvodu aí stené naptí, ale procházeí ii rzné proudy Ty se liší se neen hodnotou, ale i fází: proud i procházeící rezistore á stenou fázi ako naptí na rezistoru, proud i procházeící cívkou se za naptí opožue o tvrtinu periody a proud i procházeící kondenzátore ho o stený fázový posun pedbíhá obr 6 obr 7 Mateatický popis poocí reálných ísel Vzhlede k rzný fází proud, není ožné získat celkový proud obvodu aritetický soute proud v ednotlivých vtvích, ale e nutné opt využít fázory: = + + kde, Pro efektivní hodnotu výsledného proudu dostanee (podle obr 7): a, sou efektivní hodnoty proud v ednotlivých vtvích obvodu Na základ skutenosti, že naptí e na všech tech prvcích obvodu stené a podle definice výpotu naptí (resp proudu) na rezistoru, cívce a kondenzátoru, lze psát: Obvod e opt charakterizován ediný paraetre - ipedancí Z, pro kterou platí:

5 obvody Jaroslav eichl, 6 Z Paralelní zapoení obvodu e vhodné popisovat poocí aditance Y, která e definovaná vztahe Y ; Y, Z z nhož po dosazení vztahu pro ipedanci dostanee Y Pro fázový rozdíl proudu a naptí lze podle obr 7 psát:, ; Záporné znaénko ped zloke e ve výrazu pro proto, aby bylo ožné vzáen srovnat fázové posunutí (viz obr 4 a obr 9) v sériové a paralelní obvodu V paralelní obvodu e totiž úhel orientován opan, než u sériového obvodu Na obr 7 e tedy tento úhel orientován od proudu k naptí u paralelního obvodu e ožné hovoit o rezonanci Ta nastává opt pi rezonanní frekvenci f, pi níž e fázový rozdíl proudu a naptí nulový - a tedy ipedance e axiální resp aditance e iniální a obvode prochází iniální proud Pro rezonanní frekvenci v to pípad platí:, odkud pro rezonanní frekvenci paralelního obvodu vyplývá stený vztah ako e ten, který popisue rezonanci sériového obvodu (viz odstavec a 3): f Závislost ipedance, kapacitance, induktance a odporu na frekvenci e zobrazena na obr 8 Poznáka: Zdánlivé odpory cívky a kondenzátoru sou v uvozovkách, že se needná o tytéž veliiny ako v pípad sériového obvodu, ale o eich pevrácené hodnoty obr 8 obr 9 3 Mateatický popis poocí koplexních ísel Popis paralelního obvodu poocí koplexních ísel e analogický popisu sériového obvodu (viz odstavec 3) Podle obr e vidt, že proud procházeící rezistore není vzhlede k naptí na rezistoru niak posunut Proto platí: Proud na cívce se zpožue za naptí, takže s využití koplexních ísel lze psát:, X obr odkud po vydlení koplexního ísla (t po rozšíení celého výrazu iaginární ednotkou ), vychází: 5

6 obvody Jaroslav eichl, 6 Pro proud na kondenzátoru, který se vzhlede naptí pedbíhá, lze analogicky psát: X Pro výsledný proud lze nyní psát: Hodnota výsledného proudu e dána absolutní hodnotou koplexního ísla: Aditanci obvodu e definovaná vztahe: Y a eí íselná hodnota e dána vztahe Y Jak e vidt, tak rovnice, které vyaduí celkový proud obvodu i eho aditanci sou totožné s ti, které byly odvozeny pi poítání s reálnýi ísly Stené výsledky lze odvodit i pro fázový posun ezi naptí a proude v obvodu a pro rezonanní frekvenci obr Píklad: rete rezonanní frekvenci obvodu, ehož schéa e na obr ešení: ešení lze provést na základ výpotu celkové aditance obvodu Ta e dána vztahe Postupnýi úpravai lze získat: Y Y Y X X X X X X Y X X X X X X ezonance obvodu nastává tehdy, když z ehož lze po úpravách postupn získat X X X X X X X X, 6

7 obvody Jaroslav eichl, 6 f 7 Ve srovnání s frekvencí sériového nebo paralelního obvodu (viz odstavce a ) e frekvence obvodu, ehož schéa e na obr, dána koplikovanší vztahe - liší se faktore, který e dán práv zapoení prvk v obvodu 3 Náhradní schéata V pedchozí textu bylo rozebíráno chování cívky a kondenzátoru ve stídavé obvodu Mlky se pedpokládalo, že de o ideální prvky To ale není ve skutenosti pravda 3 ívka ívky sou elektrotechnické souástky, které výrazný zpsobe zesiluí agnetické pole, pípadn na agnetické pole reaguí (nap indukcí naptí, ) Jsou tvoeny závity izolovaného vodie, který e navinut na ádru cívky Saotný vodi á ale sv (Ohický) odpor Proto e teba skutenou cívku chápat ako sériové spoení ideální cívky a rezistoru, který pedstavue odpor vinutí cívky obr (viz obr ) cívek, které aí podstatn vtší induktanci ve srovnání s odpore svého vinutí, e ožné odpor vinutí vi induktanci celé obr 3 cívky zanedbat Pro výslednou ipedanci takové cívky platí: Z Proud procházeící cívkou nebude posunut vi naptí o!!! Je nutné postupovat ako v obvodu ( obvod, ve které chybí kondenzátor) a poítat podle vztahu, který lze odvodit podle obr 3: Úhel se nazývá ztrátový úhel a e to doplnk fázového posunu do úhlu Hodnota se nazývá initel akosti cívky 3 Kondenzátor Kondenzátory sou souástky, které slouží pro kuulaci elektrické energie Neednodušší sou kondenzátory deskové, které sou tvoeny iniáln dvi vzáen rovnobžnýi deskai, ezi niiž e dielektriku (izolant) A práv izolant ezi deskai kondenzátoru e píinou vzniku ztrát, které ovlivuí celkovou ipedanci (už ne en kapacitanci) kondenzátoru zapoeného do obvodu stídavého proudu obr 4 obr 5 Skutený kondenzátor tedy lze nahradit paralelní zapoení ideálního kodnezátoru a rezistoru, který pedstavue ztráty v dielektriku (viz obr 4) Pro ipedanci skuteného kondenzátoru platí (podle odstavce 3): Z Je vidt, že ednodušší vztah lze získat s využití aditance:

8 obvody Jaroslav eichl, 6 Y = Z Fázový rozdíl ezi proude a naptí nebude, nebo ke kondenzátoru e paraleln pipoen rezistor Proto e teba fázový rozdíl urit na základ paralelního zapoení obvodu, ve které není zapoena cívka: Sten ako u náhradního schéatu cívky, i u kondenzátoru lze zavést ztrátový úhel tak, aby platilo Vztah definue ztrátový initel kondenzátoru 4 initel akosti obvodu initel akosti cívky, kondenzátoru a obvodu se definue vztahe Q, kde e axiální energie akuulovaná na dané prvku, ehož initel akosti e teba urit, a T e energie, která se na dané prvku pení na iné fory energie (energii agnetického pole, elektrickou energii kondenzátoru, ) V nebo obvodu e energie T dána souine prrného výkonu na rezistoru a periody T, tedy T 8 T T, f kde f e frekvence stídavého proudu V obvodu e axiální akuulovaná energie na této ásti obvodu dána energií agnetického pole cívky, tedy a proto pro initel akosti obvodu platí f Q T f V obvodu e axiální akuulovaná energie dána elektrickou energií kondenzátoru e X, na základ ehož e ožné pro initel akosti obvodu psát e f Q T f V sériové obvodu, který e v rezonanci, se akuulue konstantní nožství energie Je-li naptí na kondenzátoru axiální, neprochází cívkou proud Proto Pro initel akosti tak lze psát (s využití initele akosti pro a obvod) Q (resp Q ), protože pi rezonanci platí V paralelní obvodu, který e v rezonanci, se akuulue konstantní nožství energie Prochází-li cívkou axiální proud, e naptí na kondenzátoru nulové; obecn e

9 obvody Jaroslav eichl, 6 a tedy e Q (resp Q ) 9