Kapitola 2: Lineární zobrazení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 2: Lineární zobrazení"

Transkript

1 Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11

2 Lineární zobrazení Lineární zobrazení zên doêm Inverzní matice. p.2/11

3 LineárnízobrazenízÊn doêm Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 do Ê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Příklad Dokažte, že zobrazení L1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) Ț L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik p.3/11

4 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další.?. p.4/11

5 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Výsledek: A= , v = , L((0,0,0)T )= p.4/11

6 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Návod: MaticeAbude typu4 3 a musí splňovat L((x, y, z) T )=A(x, y, z) T. Z této rovnosti zjistíme prvky maticea. Protože L( u)=a u, je v =A u. Vektor bude jediný právě když je hodnost maticearovna dimenzi vektorového prostoru vzorů, v našem případě 3. Pokudh(A) <3, musíme další vektory určit jako řešení soustavy lineárních rovnic A(x, y, z) T = v.. p.4/11

7 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Řešení: L((x, y, z) T )=A = x y z = a 11 x+a 12 y+ a 13 z a 21 x+a 22 y+ a 23 z a 31 x+a 32 y+ a 33 z a 41 x+a 42 y+ a 43 z Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 = 4x+2y+ z 3x+ y 2x+2y+2z x y 2z x y z. = a 11 = 4 a 12 = 2 a 13 = 1 a 21 = 3 a 22 = 1 a 23 = 0 a 31 = 2 a 32 = 2 a 33 = 2 a 41 = 1 a 42 = 1 a 43 = 2 Další. p.4/11

8 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Řešení: Tedy A= MaticeAreprezentuje lineární zobrazení L, neboli L( u)=a u = v, A u = 3 = = v Protože L je lineární zobrazení prostoruê3 doê4, víme, že se nulový vektor (0,0,0) T Ê3 zobrazí na nulový vektor(0,0,0,0) T Ê4. Určitě tedy není vektor u jediný vektor, který se zobrazí na v. Máme-li tedy najít alespoň jeden další vektor, který se zobrazí na vektor v =(0,0,0,0) T Ê4 nemusíme už nic počítat a správná odpověd je, že na vektor v se zobrazí také vektor(0,0,0) T Ê3... p.4/11

9 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Maple: > with(linalg): > eqns:= {4*x+2*y+z=a1,3*x+y=a2,2*x+2*y+2*z=a3,x-y-2*z=a4}; eqns:= { 4 x+2 y+ z=a1,3 x+y=a2,2 x+2 y+2 z=a3, x y 2 z=a4 } > A := genmatrix(eqns, [x,y,z]); A:= > u:=vector([1,-3,2]); Další > v:=evalm(a&*u); u:=[1, 3,2] v:=[0,0,0,0]. p.4/11

10 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Maple: > linsolve (A,v); [t 1, 3 t 1,2 t 1 ] > uall:=t1->vector([t1,-3*t1,2*t1]); > uall(1); > uall(0); uall:=t1 [t1, 3t1,2t1] [1, 3,2] [0,0,0] > uall(5); [5, 15,10]. p.4/11

11 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Mathematica: A={Coefficient[4x+2y+ z, {x, y, z}], Coefficient[3x+y, {x, y, z}], Coefficient[x y 2z, {x, y, z}]}; MatrixForm[A] u={1, 3,2}; v=a.u {0,0,0} LinearSolve[A, v] {0,0,0}. p.4/11

12 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další.?. p.5/11

13 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Výsledek: v =(1,1,1) T, u je jediným vektorem zê3, který se na v zobrazí.. p.5/11

14 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Návod: Protože L je reprezentováno maticía, je L( u)=a u. Je-li zobrazení L prosté, je vektor u jediný. Protože zobrazení je prosté právě když hodnost maticeaje rovna dimenzi vektorového prostoru vzorů, tj. počtu sloupců maticea, stačí zjistith(a). Zjistíme-li, že zobrazení není prosté, najdeme všechny vektory x Ê3, které se zobrazí na vektor v jako řešení x soustavy lineárních rovnica x = v.. p.5/11

15 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Řešení: Lineární zobrazení L je reprezentováno maticía, tj. L( u)=a u = v. A u = = = v MaticeAje v horním trojúhelníkovém tvaru, její hodnost je tedy rovna počtu řádků, tj. h(a)=3= počtu sloupců maticeaazobrazení L je prosté. Vektor u je tedy jediným vektorem zê3, který se na vektor v zobrazí.. p.5/11

16 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Maple: > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[2,-1,0,0,4,-3,0,0,1]); A:= > u:=vector(3,[1,1,1]); > v:=evalm(a&*u); > allu:=linsolve(a,v); u:=[1,1,1] v:=[1,1,1] allu:=[1,1,1]. p.5/11

17 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Mathematica: A={{2, 1,0}, {0,4, 3}, {0,0,1}}; MatrixForm[A] u={1,1,1}; v=a.u {1,1,1} u1 = LinearSolve[A, v] {1,1,1}. p.5/11

18 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T.?. p.6/11

19 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Výsledek: A= p.6/11

20 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Návod: Úlohu řešte tak, že a) najdete tvar složeného zobrazení a pak sestavíte jeho matici b) sestavíte nejprve matice jednotlivých zobrazení. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Zobrazení zên doêm je lineární právě když je reprezentováno maticí. Stačí tedy ukázat, že existují maticea 1 aa 2, které reprezentují zobrazení L 1 a L 2. a) Na vektor x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T Ê4 aplikujeme zobrazení L 2 a na výsledný vektor z Ê3 aplikujeme zobrazení L 1. Výsledek složení je vektor zê4. Protože zobrazení L 1 a L 2 jsou lineární, je lineární i složené zobrazení L 1 (L 2 ( x)). Je reprezentováno maticía, kterou získáme z rovnicea x = L 1 (L 2 ( x)). b) Zobrazení L 1 je reprezentováno maticía 1, jejíž prvky získáme porovnáním vektorů A 1 y a L1 ( y), y Ê3. Obdobně získáme maticia 2. Výsledná maticea=a 1 A 2.. p.6/11

21 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: Zobrazení z konečnědimenzionálního prostoru do konečnědimenzionálního prostoru je lineární právě když je reprezentováno maticí. Najdeme-li tedy matice, které reprezentují zobrazení L 1 a L 2, dokážeme tím současně, že zobrazení jsou lineární. Necht y =(y1, y 2, y 3 ) T Ê3. Pak = L 1 ( y)=a 1 y = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 a 31 y 1 + a 32 y 2 + a 33 y 3 a 41 y 1 + a 42 y 2 + a 43 y 3 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 1 a 21 = 4 a 22 = 2 a 23 = 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 = a 31 = 1 a 32 = 5 a 33 = 3 y 1 y 2 y 3 = y 1 2y 2 + y 3 4y 1 +2y 2 y 3 y 1 5y 2 +3y 3 2y 1 3y 2 +8y 3 Tedy zobrazení L 1 je reprezentováno maticía 1, a je tedy lineární, Další. a 41 = 2 a 42 = 3 a 43 = 8. p.6/11

22 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: A 1 = Obdobně pro L 2. Necht y =(y 1, y 2, y 3, y 4 ) T Ê4. = L 2 ( y)=a 2 y = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 + a 14 y 4 a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 + a 24 y 4 a 31 y 1 + a 32 y 2 + a 33 y 3 + a 34 y 4 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme. a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = y 1 y 2 y 3 y 4 = y 1 2y 2 + y 3 y 4 y 1 7y 4 2y 1 y 3 + y 4. a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 1 a 14 = 1 a 21 = 1 a 22 = 0 a 23 = 0 a 24 = 7 a 31 = 2 a 32 = 0 a 33 = 1 a 34 = 1 Další. p.6/11

23 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: Tedy zobrazení L 2 je reprezentováno maticía 2, a je také lineární, A 2 = a) Složíme zobrazení L 1 L 2. Necht x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T Ê4. L 1 (L 2 ( x))=l 1 ((x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T )= =(x 1 2x 2 + x 3 x 4 2x 1 +14x 4 +2x 1 x 3 + x 4, 4x 1 8x 2 +4x 3 4x 4 +2x 1 14x 4 2x 1 + x 3 x 4, x 1 +2x 2 x 3 + x 4 5x 1 +35x 4 +6x 1 3x 3 +3x 4, 2x 1 4x 2 +2x 3 2x 4 3x 1 +21x 4 +16x 1 8x 3 +8x 4 ) T = (x 1 2x 2 +14x 4,4x 1 8x 2 +5x 3 19x 4,2x 2 4x 3 +39x 4,15x 1 4x 2 6x 3 +27x 4 ) T. Toto složené zobrazení je reprezentováno maticíatypu4 4 tak, žea x = L 1 (L 2 ( x)), tj. Další. p.6/11

24 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = x 1 2x 2 +14x 4 4x 1 8x 2 +5x 3 19x 4 2x 2 4x 3 +39x 4. a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme 15x 1 4x 2 6x 3 +27x 4 a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 0 a 14 = 14 a 21 = 4 a 22 = 8 a 23 = 5 a 24 = 19 a 31 = 0 a 32 = 2 a 33 = 4 a 34 = 39 a 41 = 15 a 42 = 4 a 43 = 5 a 44 = 27 Tedy lineární zobrazení L 1 L 2 je reprezentováno maticía, A= b) Matice jednotlivých zobrazení jsme už sestavili. Pro maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2, platía=a 1 A 2. Ověřte sami, že skutečně dostanete stejnou maticiajako v a).. p.6/11

25 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Maple: > with(linalg): > L1:=(x1,x2,x3)->(x1-2*x2+x3,4*x1+2*x2-x3,-x1-5*x2+3*x3, 2*x1-3*x2+8*x3 ); L1:=(x1,x2,x3) (x1 2x2+x3,4x1+2x2 x3, x1 5x2+3x3, 2x1 3x2+8x3) > L2:=(x1,x2,x3,x4)->(x1-2*x2+x3-x4,x1-7*x4,2*x1-x3+x4); L2:=(x1,x2,x3,x4) (x1 2x2+x3 x4,x1 7x4,2x1 x3+x4) > L1(L2(x1,x2,x3,x4)); x1 2x2+14x4,4x1 8x2+5x3 19x4,2x2 4x3+39x4, 15x1 4x2 6x3+27x4 > A1:=matrix(4,3,[1,-2,1,4,2,-1,-1,-5,3,2,-3,8]); A1:= Další. p.6/11

26 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Maple: > A2:=matrix(3,4,[1,-2,1,-1,1,0,0,-7,2,0,-1,1]); A2:= > A:=evalm(A1&*A2); A:= p.6/11

27 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Mathematica: L1[x1, x2,x3]=, {x1 2x2+x3,4x1+2x2 x3, x1 5x2+3x3,2x1 2x1 3x2+8x3}; A1={{1, 2,1}, {4,2, 1}, { 1, 5,3}, {2, 3,8}}; L2[x1, x2,x3,,x4]= {x1 2x2+x3 x4,x1 7x4,2x1 x3+x4}; A2={{1, 2,1, 1}, {1,0,0, 7}, {2,0, 1,1}}; sloz=apply[l1,l2[x1,x2,x3, L2[x1,x2,x3, x2,x3, x4]] {3x1 2x2 2(x1 7x4), 2x1+x3+2(x1 7x4)+4(x1 2x2+x3 x4) x4, x1+2x2 x3 5(x1 7x4)+x4+3(2x1 x3+x4), 3(x1 7x4)+2(x1 2x2+x3 x4)+8(2x1 x3+x4)} L[x1,x2,x3]=Expand[sloz] {x1 2x2+14x4,4x1 8x2+5x3 19x4,2x2 4x3+39x4,15x1 4x2 6x3+27x4} A={{1, 2,0,14}, {4, 8,5, 19}, {0,2, 4,39},{15, 4, 6,27}}; MatrixForm[A] Další. p.6/11

28 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Mathematica: MatrixForm[A1.A2] p.6/11

29 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik.?. p.7/11

30 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Výsledek: dim K=1, K= { x Ê3, x = α(1,1,5) T, α Ê}.. p.7/11

31 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Návod: Protože jádro lineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 je množina K= { x Ê3, L( x)= 0 }={ x Ê3, A x = 0 }, vyřešíme homogenní soustavu lineárních rovnica x =0. Jádro je rovno vektorovému prostoru všech řešení této homogenní soustavy.. p.7/11

32 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Řešení: Jádro lineárního zobrazení L z prostoruê3 doê4 je množina K= { x Ê3, L( x)= 0 }. Je-li toto zobrazení reprezentováno maticía, můžeme rovnost L( x)= 0 nahradit rovnostía x = 0. Abychom tedy našli jádro, musíme vyřešit homogenní soustavu lineárních rovnica x = 0. Jádro je množina všech řešení této homogenní soustavy. Matici soustavyapřevedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní trojúhelníkový tvar: ( K sedminásobku 2. řádku jsme přičetli( 3)násobek prvního, k sedminásobku 3. řádku jsme přičetli šestinásobek prvního a k sedminásobku 4. řádku jsme přičetli první řádek. Vznikla matice, ve které třetí a čtvrtý řádek jsou násobky druhého, proto je vynecháme. Hodnost matice jeh(a)=2, počet neznámých je n=3. Vektorový prostor všech řešení této homogenní soustavy (= hledané jádro K) má dimenzi Další dim K= n h(a)=3 2=1. ).. p.7/11

33 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Řešení: Pomocí zpětného chodu Gaussovy eliminace najdeme K. Hledáme všechny vektory x =(x, y, z) T Ê3, které řeší homogenní soustavu. Jednu neznámou volíme jako parametr. Dostaneme z=t, 5y z=0 y= 1 5 t, 7x+3y 2z=0 x=1 5 t, t Ê. Tedy K= { x Ê3, x = t ( ) 1 T 5,1 5,1, t Ê}={ x Ê3, x = α(1,1,5) T, α Ê}. Poznamenejme, že oba zápisy jsou správně. Použitím α jsme se jen zbavili zlomků. To lze, nebot je-li x = t ( 1 5, 1 5,1)T řešení naší homogenní soustavy, je jistě i x = α(1,1,5)t řešení této soustavy. Přesvědčte se o tom.. p.7/11

34 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Maple: > with(linalg): > A:=matrix(4,3,[7,3,-2,3,2,-1,-6,-4,2,-1,-4,1]); A:= > kernel(a, nulldim ); > nulldim; {[1,1,5]} 1. p.7/11

35 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Mathematica: A={{7,3, 2}, {3,2, 1},{ 6, 4,2}, { 1, 4,1}}; MatrixForm[A] K= NullSpace[A] {{1,1,5}} dim = MatrixRank[K] 1. p.7/11

36 Inverzní matice Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= p.8/11

37 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= ?. p.9/11

38 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Výsledek: A 1 = p.9/11

39 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Návod: Vypočteme determinant maticea. Je-lidetA 0, inverzní matice existuje. Najdeme ji Gaussovou-Jordanovou metodou, t.j. matici(a E) převedeme pomocí ekvivalentních úprav na matici(e A 1 ), kdeeje jednotková matice.. p.9/11

40 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: Inverzní maticea 1 k maticiaexistuje právě když maticeaje regulární, tj.deta 0. Vypočteme tedy determinant maticea. Počítáme rozvojem podle druhého sloupce: deta=1 ( 1) ( 1) = =1+2 ( 1) =1+2(1 2)= 1. Využili jsme toho, že determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu diagonálních prvků, druhý determinant matice3 3 jsme počítali rozvojem podle 1. řádku. Determinant maticeaje nenulový, tedy maticeaje regulární a inverzní matice existuje. Necht E je jednotková matice. Výpočet provedeme Gaussovou-Jordanovou metodou, tj. matici(a E) převedeme pomocí ekvivalentních úprav na matici(e A 1 ): Další. p.9/11

41 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: (A E) = K( 2)násobku druhého řádku jsme přičetli první řádek Od prvního a čtvrtého řádku jsme odečetli druhý. V dalším kroku jsme k prvnímu řádku přičetli dvojnásobek třetího řádku a ke čtvrtému řádku jsme přičetli( 2)násobek třetího. Zbývá upravit čtvrtý sloupec. Další. p.9/11

42 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: =(E A 1 ). K prvnímu řádku jsme přičetli dvojnásobek čtvrtého, k druhému řádku jsme přičetli ( 2)násobek čtvrtého, od třetího řádku jsme odečetli čtvrtý. Při poslední úpravě vydělíme každý řádek diagonálním prvkem. Dostaneme vlevo jednotkovou maticiea vpravo hledanou inverzní maticia 1.. p.9/11

43 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Maple: > with(linalg): > A:= matrix(4,4,[2,1,0,0,1,0,-1,2,0,0,1,-1,0,1,0,-1]); A:= > det(a); > inverse(a); p.9/11

44 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Mathematica: A={{2,1,0,0}, {1,0, 1,2}, {0,0,1, 1}, {0,1,0, 1}}; Det[A] 1 B= Inverse[A]; MatrixForm[B] p.9/11

45 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní.?. p.10/11

46 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Výsledek: A= , A 1 = p.10/11

47 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Návod: Porovnáním vektorů A x a L( x) získáme prvky maticea. Inverzní matici vypočteme Gaussovou-Jordanovou metodou nebo pomocí algebraických doplňků.. p.10/11

48 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Řešení: Protože L( x)=a x, dostaneme prvky a ij matice A typu3 3 porovnáním vektorů A x a L( x): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 2x 1 + x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = x 1 x 2 x 3. a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 x 1 +3x 2 +2x 3 Tedy maticeareprezentující lineární zobrazení L:Ê3 Ê3 je A= Nyní vypočteme Gaussovou-Jordanovou metodou inverzní matici, tj. pomocí ekvivalentních úprav převedeme matici(a E) na matici(e A 1 ): (A E) = Další. p.10/11

49 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Řešení: K( 2)násobku druhého řádku jsme přičetli první, ke dvojnásobku třetího řádku jsme přičetli první. Při další úpravě jsme k třetímu řádku přičetli( 3)násobek druhého Ke čtyřnásobku prvního řádku jsme přičetli třetí řádek, ke čtyřnásobku druhého řádku jsme přičetli trojnásobek třetího. Zbývá vydělit každý řádek diagonálním prvkem =(E A 1 ) = A 1 = p.10/11

50 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Maple: > with(linalg): > eqns := {2*x1+x3=y1,x1-x2-x3=y2,-x1+3*x2+2*x3=y3}; eqns:= {2x1+x3=y1,x1 x2 x3=y2, x1+3x2+2x3=y3 } > A := genmatrix(eqns, [x1,x2,x3]); > B:=inverse(A); A:= B:= p.10/11

51 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Mathematica: A={{2,0,1}, {1, 1, 1}, { 1,3,2}}; MatrixForm[A] B= Inverse[A]; MatrixForm[B] p.10/11

52 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= ?. p.11/11

53 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Výsledek: A= X:= p.11/11

54 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Návod: A= Nejprve vyjádříme maticixobecně z maticové rovnice, teprve potom dosadíme konkrétní maticia,a 2,A+E a inverzní matici ka+e.eje jednotková matice, matici A+E dostaneme vytknutím maticexamatici(a+e) 1 musíme spočítat (pozor, včas ověřte, že inverzní matice existuje), abychom mohli vypočítat výslednou maticix... p.11/11

55 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Řešení: A= Nejprve vyjádříme maticixobecně z maticové rovnice. Vytkneme v levé části rovnice maticixvpravo: AX+X=A 2 = (A+E)X=A 2, E je jednotková matice, E=diag(1,1,1) Ê3. Nyní bychom potřebovali celou rovnici vynásobit zleva maticí(a+e) 1. To ale musíme vědět, že inverzní matice existuje. Tedy musíme vypočítat maticia+e a ověřit, že je regulární, tj.det(a+e) 0. Determinant budeme počítat rozvojem podle třetího řádku.. A+E= = , det(a+e)= = 2+(4 1)=1. Celou rovnici tedy vynásobíme inverzní maticí(a+e) 1 zleva a použijeme definici inverzní matice, tj.(a+e) 1 (A+E)=E, a dále rovnostex=x. Další. p.11/11

56 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Řešení: A= (A+E) 1 (A+E)X=(A+E) 1 A 2 = X=(A+E) 1 A 2. Dostali jsme obecný předpis pro maticix. Vypočteme konkrétní matice: A 2 = , (A+E E)= Další =(E (A+E) 1 ).. p.11/11

57 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= Řešení: Zbývá vypočítatx: X=(A+E) 1 A 2 = = p.11/11

58 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Maple: Další > with(linalg): A= > A:= matrix(3,3,[1,1,1,1,1,0,1,0,0]); A:= > AA:=evalm(A&*A); > E:=diag(1,1,1); AA:= E:= p.11/11

59 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Maple: > evalm(a+e); > det(%); > B:=inverse(A+E); > X:=evalm(B&*AA); A= B:= X:= p.11/11

60 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Mathematica: A= A={{2,0,1}, {1, 1, 1}, { 1,3,2}}; MatrixForm[A] B= Inverse[A]; MatrixForm[B] A={{1,1,1}, {1,1,0}, {1,0,0}}; MatrixForm[A] Další p.11/11

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty 8 MATICE A DETERMINANTY 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 81 Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC UŽITÍM PSEUDOINVERZNÍCH MATIC

ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC UŽITÍM PSEUDOINVERZNÍCH MATIC Západočeská univerzita v Plzni Fakulta pedagogická Bakalářská práce ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC UŽITÍM PSEUDOINVERZNÍCH MATIC Martina Stehlíková Plzeň 2012 Prohlášení Prohlašuji, že jsem práci vypracovala

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Matematika I Lineární závislost a nezávislost

Matematika I Lineární závislost a nezávislost Matematika I Lineární závislost a nezávislost RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více