Kapitola 2: Lineární zobrazení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 2: Lineární zobrazení"

Transkript

1 Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11

2 Lineární zobrazení Lineární zobrazení zên doêm Inverzní matice. p.2/11

3 LineárnízobrazenízÊn doêm Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 do Ê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Příklad Dokažte, že zobrazení L1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) Ț L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik p.3/11

4 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další.?. p.4/11

5 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Výsledek: A= , v = , L((0,0,0)T )= p.4/11

6 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Návod: MaticeAbude typu4 3 a musí splňovat L((x, y, z) T )=A(x, y, z) T. Z této rovnosti zjistíme prvky maticea. Protože L( u)=a u, je v =A u. Vektor bude jediný právě když je hodnost maticearovna dimenzi vektorového prostoru vzorů, v našem případě 3. Pokudh(A) <3, musíme další vektory určit jako řešení soustavy lineárních rovnic A(x, y, z) T = v.. p.4/11

7 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Řešení: L((x, y, z) T )=A = x y z = a 11 x+a 12 y+ a 13 z a 21 x+a 22 y+ a 23 z a 31 x+a 32 y+ a 33 z a 41 x+a 42 y+ a 43 z Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 = 4x+2y+ z 3x+ y 2x+2y+2z x y 2z x y z. = a 11 = 4 a 12 = 2 a 13 = 1 a 21 = 3 a 22 = 1 a 23 = 0 a 31 = 2 a 32 = 2 a 33 = 2 a 41 = 1 a 42 = 1 a 43 = 2 Další. p.4/11

8 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Řešení: Tedy A= MaticeAreprezentuje lineární zobrazení L, neboli L( u)=a u = v, A u = 3 = = v Protože L je lineární zobrazení prostoruê3 doê4, víme, že se nulový vektor (0,0,0) T Ê3 zobrazí na nulový vektor(0,0,0,0) T Ê4. Určitě tedy není vektor u jediný vektor, který se zobrazí na v. Máme-li tedy najít alespoň jeden další vektor, který se zobrazí na vektor v =(0,0,0,0) T Ê4 nemusíme už nic počítat a správná odpověd je, že na vektor v se zobrazí také vektor(0,0,0) T Ê3... p.4/11

9 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Maple: > with(linalg): > eqns:= {4*x+2*y+z=a1,3*x+y=a2,2*x+2*y+2*z=a3,x-y-2*z=a4}; eqns:= { 4 x+2 y+ z=a1,3 x+y=a2,2 x+2 y+2 z=a3, x y 2 z=a4 } > A := genmatrix(eqns, [x,y,z]); A:= > u:=vector([1,-3,2]); Další > v:=evalm(a&*u); u:=[1, 3,2] v:=[0,0,0,0]. p.4/11

10 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Maple: > linsolve (A,v); [t 1, 3 t 1,2 t 1 ] > uall:=t1->vector([t1,-3*t1,2*t1]); > uall(1); > uall(0); uall:=t1 [t1, 3t1,2t1] [1, 3,2] [0,0,0] > uall(5); [5, 15,10]. p.4/11

11 Příklad Napište maticiareprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê4 definované vztahem L((x, y, z) T )=(4x+2y+ z,3x+y,2x+2y+2z, x y 2z) T. Najděte vektor v = L( u), který je obrazem vektoru u =(1, 3,2) T v tomto zobrazení. Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem, který se zobrazí na vektor v. Pokud není jediným, nalezněte alespoň jeden další. Mathematica: A={Coefficient[4x+2y+ z, {x, y, z}], Coefficient[3x+y, {x, y, z}], Coefficient[x y 2z, {x, y, z}]}; MatrixForm[A] u={1, 3,2}; v=a.u {0,0,0} LinearSolve[A, v] {0,0,0}. p.4/11

12 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další.?. p.5/11

13 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Výsledek: v =(1,1,1) T, u je jediným vektorem zê3, který se na v zobrazí.. p.5/11

14 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Návod: Protože L je reprezentováno maticía, je L( u)=a u. Je-li zobrazení L prosté, je vektor u jediný. Protože zobrazení je prosté právě když hodnost maticeaje rovna dimenzi vektorového prostoru vzorů, tj. počtu sloupců maticea, stačí zjistith(a). Zjistíme-li, že zobrazení není prosté, najdeme všechny vektory x Ê3, které se zobrazí na vektor v jako řešení x soustavy lineárních rovnica x = v.. p.5/11

15 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Řešení: Lineární zobrazení L je reprezentováno maticía, tj. L( u)=a u = v. A u = = = v MaticeAje v horním trojúhelníkovém tvaru, její hodnost je tedy rovna počtu řádků, tj. h(a)=3= počtu sloupců maticeaazobrazení L je prosté. Vektor u je tedy jediným vektorem zê3, který se na vektor v zobrazí.. p.5/11

16 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Maple: > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[2,-1,0,0,4,-3,0,0,1]); A:= > u:=vector(3,[1,1,1]); > v:=evalm(a&*u); > allu:=linsolve(a,v); u:=[1,1,1] v:=[1,1,1] allu:=[1,1,1]. p.5/11

17 Příklad Najděte vektor v, který je obrazem vektoru u =(1,1,1) T v lineárním zobrazení L prostoruê3 doê3 reprezentovaném maticí A= Zjistěte, zda vektor u je jediným vektorem z prostoruê3, který se na vektor v zobrazí. Pokud není jediný, najděte všechny další. Mathematica: A={{2, 1,0}, {0,4, 3}, {0,0,1}}; MatrixForm[A] u={1,1,1}; v=a.u {1,1,1} u1 = LinearSolve[A, v] {1,1,1}. p.5/11

18 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T.?. p.6/11

19 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Výsledek: A= p.6/11

20 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Návod: Úlohu řešte tak, že a) najdete tvar složeného zobrazení a pak sestavíte jeho matici b) sestavíte nejprve matice jednotlivých zobrazení. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Zobrazení zên doêm je lineární právě když je reprezentováno maticí. Stačí tedy ukázat, že existují maticea 1 aa 2, které reprezentují zobrazení L 1 a L 2. a) Na vektor x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T Ê4 aplikujeme zobrazení L 2 a na výsledný vektor z Ê3 aplikujeme zobrazení L 1. Výsledek složení je vektor zê4. Protože zobrazení L 1 a L 2 jsou lineární, je lineární i složené zobrazení L 1 (L 2 ( x)). Je reprezentováno maticía, kterou získáme z rovnicea x = L 1 (L 2 ( x)). b) Zobrazení L 1 je reprezentováno maticía 1, jejíž prvky získáme porovnáním vektorů A 1 y a L1 ( y), y Ê3. Obdobně získáme maticia 2. Výsledná maticea=a 1 A 2.. p.6/11

21 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: Zobrazení z konečnědimenzionálního prostoru do konečnědimenzionálního prostoru je lineární právě když je reprezentováno maticí. Najdeme-li tedy matice, které reprezentují zobrazení L 1 a L 2, dokážeme tím současně, že zobrazení jsou lineární. Necht y =(y1, y 2, y 3 ) T Ê3. Pak = L 1 ( y)=a 1 y = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 a 31 y 1 + a 32 y 2 + a 33 y 3 a 41 y 1 + a 42 y 2 + a 43 y 3 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 1 a 21 = 4 a 22 = 2 a 23 = 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 = a 31 = 1 a 32 = 5 a 33 = 3 y 1 y 2 y 3 = y 1 2y 2 + y 3 4y 1 +2y 2 y 3 y 1 5y 2 +3y 3 2y 1 3y 2 +8y 3 Tedy zobrazení L 1 je reprezentováno maticía 1, a je tedy lineární, Další. a 41 = 2 a 42 = 3 a 43 = 8. p.6/11

22 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: A 1 = Obdobně pro L 2. Necht y =(y 1, y 2, y 3, y 4 ) T Ê4. = L 2 ( y)=a 2 y = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 + a 14 y 4 a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 + a 24 y 4 a 31 y 1 + a 32 y 2 + a 33 y 3 + a 34 y 4 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme. a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = y 1 y 2 y 3 y 4 = y 1 2y 2 + y 3 y 4 y 1 7y 4 2y 1 y 3 + y 4. a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 1 a 14 = 1 a 21 = 1 a 22 = 0 a 23 = 0 a 24 = 7 a 31 = 2 a 32 = 0 a 33 = 1 a 34 = 1 Další. p.6/11

23 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: Tedy zobrazení L 2 je reprezentováno maticía 2, a je také lineární, A 2 = a) Složíme zobrazení L 1 L 2. Necht x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T Ê4. L 1 (L 2 ( x))=l 1 ((x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T )= =(x 1 2x 2 + x 3 x 4 2x 1 +14x 4 +2x 1 x 3 + x 4, 4x 1 8x 2 +4x 3 4x 4 +2x 1 14x 4 2x 1 + x 3 x 4, x 1 +2x 2 x 3 + x 4 5x 1 +35x 4 +6x 1 3x 3 +3x 4, 2x 1 4x 2 +2x 3 2x 4 3x 1 +21x 4 +16x 1 8x 3 +8x 4 ) T = (x 1 2x 2 +14x 4,4x 1 8x 2 +5x 3 19x 4,2x 2 4x 3 +39x 4,15x 1 4x 2 6x 3 +27x 4 ) T. Toto složené zobrazení je reprezentováno maticíatypu4 4 tak, žea x = L 1 (L 2 ( x)), tj. Další. p.6/11

24 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Řešení: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 = x 1 2x 2 +14x 4 4x 1 8x 2 +5x 3 19x 4 2x 2 4x 3 +39x 4. a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 + a 44 x 4 Porovnáme poslední dva vektory a dostaneme 15x 1 4x 2 6x 3 +27x 4 a 11 = 1 a 12 = 2 a 13 = 0 a 14 = 14 a 21 = 4 a 22 = 8 a 23 = 5 a 24 = 19 a 31 = 0 a 32 = 2 a 33 = 4 a 34 = 39 a 41 = 15 a 42 = 4 a 43 = 5 a 44 = 27 Tedy lineární zobrazení L 1 L 2 je reprezentováno maticía, A= b) Matice jednotlivých zobrazení jsme už sestavili. Pro maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2, platía=a 1 A 2. Ověřte sami, že skutečně dostanete stejnou maticiajako v a).. p.6/11

25 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Maple: > with(linalg): > L1:=(x1,x2,x3)->(x1-2*x2+x3,4*x1+2*x2-x3,-x1-5*x2+3*x3, 2*x1-3*x2+8*x3 ); L1:=(x1,x2,x3) (x1 2x2+x3,4x1+2x2 x3, x1 5x2+3x3, 2x1 3x2+8x3) > L2:=(x1,x2,x3,x4)->(x1-2*x2+x3-x4,x1-7*x4,2*x1-x3+x4); L2:=(x1,x2,x3,x4) (x1 2x2+x3 x4,x1 7x4,2x1 x3+x4) > L1(L2(x1,x2,x3,x4)); x1 2x2+14x4,4x1 8x2+5x3 19x4,2x2 4x3+39x4, 15x1 4x2 6x3+27x4 > A1:=matrix(4,3,[1,-2,1,4,2,-1,-1,-5,3,2,-3,8]); A1:= Další. p.6/11

26 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Maple: > A2:=matrix(3,4,[1,-2,1,-1,1,0,0,-7,2,0,-1,1]); A2:= > A:=evalm(A1&*A2); A:= p.6/11

27 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Mathematica: L1[x1, x2,x3]=, {x1 2x2+x3,4x1+2x2 x3, x1 5x2+3x3,2x1 2x1 3x2+8x3}; A1={{1, 2,1}, {4,2, 1}, { 1, 5,3}, {2, 3,8}}; L2[x1, x2,x3,,x4]= {x1 2x2+x3 x4,x1 7x4,2x1 x3+x4}; A2={{1, 2,1, 1}, {1,0,0, 7}, {2,0, 1,1}}; sloz=apply[l1,l2[x1,x2,x3, L2[x1,x2,x3, x2,x3, x4]] {3x1 2x2 2(x1 7x4), 2x1+x3+2(x1 7x4)+4(x1 2x2+x3 x4) x4, x1+2x2 x3 5(x1 7x4)+x4+3(2x1 x3+x4), 3(x1 7x4)+2(x1 2x2+x3 x4)+8(2x1 x3+x4)} L[x1,x2,x3]=Expand[sloz] {x1 2x2+14x4,4x1 8x2+5x3 19x4,2x2 4x3+39x4,15x1 4x2 6x3+27x4} A={{1, 2,0,14}, {4, 8,5, 19}, {0,2, 4,39},{15, 4, 6,27}}; MatrixForm[A] Další. p.6/11

28 Příklad Dokažte, že zobrazení L 1 :Ê3 Ê4 a zobrazení L 2 :Ê4 Ê3 jsou lineární, a najděte maticia, která reprezentuje složené zobrazení L 1 L 2. L 1 ((x 1, x 2, x 3 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3,4x 1 +2x 2 x 3, x 1 5x 2 +3x 3,2x 1 3x 2 +8x 3 ) T, L 2 ((x 1, x 2, x 3, x 4 ) T )=(x 1 2x 2 + x 3 x 4, x 1 7x 4,2x 1 x 3 + x 4 ) T. Mathematica: MatrixForm[A1.A2] p.6/11

29 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik.?. p.7/11

30 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Výsledek: dim K=1, K= { x Ê3, x = α(1,1,5) T, α Ê}.. p.7/11

31 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Návod: Protože jádro lineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 je množina K= { x Ê3, L( x)= 0 }={ x Ê3, A x = 0 }, vyřešíme homogenní soustavu lineárních rovnica x =0. Jádro je rovno vektorovému prostoru všech řešení této homogenní soustavy.. p.7/11

32 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Řešení: Jádro lineárního zobrazení L z prostoruê3 doê4 je množina K= { x Ê3, L( x)= 0 }. Je-li toto zobrazení reprezentováno maticía, můžeme rovnost L( x)= 0 nahradit rovnostía x = 0. Abychom tedy našli jádro, musíme vyřešit homogenní soustavu lineárních rovnica x = 0. Jádro je množina všech řešení této homogenní soustavy. Matici soustavyapřevedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní trojúhelníkový tvar: ( K sedminásobku 2. řádku jsme přičetli( 3)násobek prvního, k sedminásobku 3. řádku jsme přičetli šestinásobek prvního a k sedminásobku 4. řádku jsme přičetli první řádek. Vznikla matice, ve které třetí a čtvrtý řádek jsou násobky druhého, proto je vynecháme. Hodnost matice jeh(a)=2, počet neznámých je n=3. Vektorový prostor všech řešení této homogenní soustavy (= hledané jádro K) má dimenzi Další dim K= n h(a)=3 2=1. ).. p.7/11

33 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Řešení: Pomocí zpětného chodu Gaussovy eliminace najdeme K. Hledáme všechny vektory x =(x, y, z) T Ê3, které řeší homogenní soustavu. Jednu neznámou volíme jako parametr. Dostaneme z=t, 5y z=0 y= 1 5 t, 7x+3y 2z=0 x=1 5 t, t Ê. Tedy K= { x Ê3, x = t ( ) 1 T 5,1 5,1, t Ê}={ x Ê3, x = α(1,1,5) T, α Ê}. Poznamenejme, že oba zápisy jsou správně. Použitím α jsme se jen zbavili zlomků. To lze, nebot je-li x = t ( 1 5, 1 5,1)T řešení naší homogenní soustavy, je jistě i x = α(1,1,5)t řešení této soustavy. Přesvědčte se o tom.. p.7/11

34 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Maple: > with(linalg): > A:=matrix(4,3,[7,3,-2,3,2,-1,-6,-4,2,-1,-4,1]); A:= > kernel(a, nulldim ); > nulldim; {[1,1,5]} 1. p.7/11

35 Příklad Najděte jádroklineárního zobrazení L:Ê3 Ê4 reprezentovaného maticí A= Určete dimenzik. Mathematica: A={{7,3, 2}, {3,2, 1},{ 6, 4,2}, { 1, 4,1}}; MatrixForm[A] K= NullSpace[A] {{1,1,5}} dim = MatrixRank[K] 1. p.7/11

36 Inverzní matice Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= p.8/11

37 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= ?. p.9/11

38 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Výsledek: A 1 = p.9/11

39 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Návod: Vypočteme determinant maticea. Je-lidetA 0, inverzní matice existuje. Najdeme ji Gaussovou-Jordanovou metodou, t.j. matici(a E) převedeme pomocí ekvivalentních úprav na matici(e A 1 ), kdeeje jednotková matice.. p.9/11

40 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: Inverzní maticea 1 k maticiaexistuje právě když maticeaje regulární, tj.deta 0. Vypočteme tedy determinant maticea. Počítáme rozvojem podle druhého sloupce: deta=1 ( 1) ( 1) = =1+2 ( 1) =1+2(1 2)= 1. Využili jsme toho, že determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu diagonálních prvků, druhý determinant matice3 3 jsme počítali rozvojem podle 1. řádku. Determinant maticeaje nenulový, tedy maticeaje regulární a inverzní matice existuje. Necht E je jednotková matice. Výpočet provedeme Gaussovou-Jordanovou metodou, tj. matici(a E) převedeme pomocí ekvivalentních úprav na matici(e A 1 ): Další. p.9/11

41 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: (A E) = K( 2)násobku druhého řádku jsme přičetli první řádek Od prvního a čtvrtého řádku jsme odečetli druhý. V dalším kroku jsme k prvnímu řádku přičetli dvojnásobek třetího řádku a ke čtvrtému řádku jsme přičetli( 2)násobek třetího. Zbývá upravit čtvrtý sloupec. Další. p.9/11

42 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Řešení: =(E A 1 ). K prvnímu řádku jsme přičetli dvojnásobek čtvrtého, k druhému řádku jsme přičetli ( 2)násobek čtvrtého, od třetího řádku jsme odečetli čtvrtý. Při poslední úpravě vydělíme každý řádek diagonálním prvkem. Dostaneme vlevo jednotkovou maticiea vpravo hledanou inverzní maticia 1.. p.9/11

43 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Maple: > with(linalg): > A:= matrix(4,4,[2,1,0,0,1,0,-1,2,0,0,1,-1,0,1,0,-1]); A:= > det(a); > inverse(a); p.9/11

44 Příklad Zjistěte, zda k maticiaexistuje matice inverzní. Pokud ano, vypočtěte ji A= Mathematica: A={{2,1,0,0}, {1,0, 1,2}, {0,0,1, 1}, {0,1,0, 1}}; Det[A] 1 B= Inverse[A]; MatrixForm[B] p.9/11

45 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní.?. p.10/11

46 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Výsledek: A= , A 1 = p.10/11

47 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Návod: Porovnáním vektorů A x a L( x) získáme prvky maticea. Inverzní matici vypočteme Gaussovou-Jordanovou metodou nebo pomocí algebraických doplňků.. p.10/11

48 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Řešení: Protože L( x)=a x, dostaneme prvky a ij matice A typu3 3 porovnáním vektorů A x a L( x): a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 2x 1 + x 3 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = x 1 x 2 x 3. a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 x 1 +3x 2 +2x 3 Tedy maticeareprezentující lineární zobrazení L:Ê3 Ê3 je A= Nyní vypočteme Gaussovou-Jordanovou metodou inverzní matici, tj. pomocí ekvivalentních úprav převedeme matici(a E) na matici(e A 1 ): (A E) = Další. p.10/11

49 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Řešení: K( 2)násobku druhého řádku jsme přičetli první, ke dvojnásobku třetího řádku jsme přičetli první. Při další úpravě jsme k třetímu řádku přičetli( 3)násobek druhého Ke čtyřnásobku prvního řádku jsme přičetli třetí řádek, ke čtyřnásobku druhého řádku jsme přičetli trojnásobek třetího. Zbývá vydělit každý řádek diagonálním prvkem =(E A 1 ) = A 1 = p.10/11

50 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Maple: > with(linalg): > eqns := {2*x1+x3=y1,x1-x2-x3=y2,-x1+3*x2+2*x3=y3}; eqns:= {2x1+x3=y1,x1 x2 x3=y2, x1+3x2+2x3=y3 } > A := genmatrix(eqns, [x1,x2,x3]); > B:=inverse(A); A:= B:= p.10/11

51 Příklad Určete matici reprezentující lineární zobrazení L prostoruê3 doê3 definované vztahem L((x 1, x 2, x 3 ) T )=(2x 1 + x 3, x 1 x 2 x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) T a nalezněte k ní matici inverzní. Mathematica: A={{2,0,1}, {1, 1, 1}, { 1,3,2}}; MatrixForm[A] B= Inverse[A]; MatrixForm[B] p.10/11

52 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= ?. p.11/11

53 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Výsledek: A= X:= p.11/11

54 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Návod: A= Nejprve vyjádříme maticixobecně z maticové rovnice, teprve potom dosadíme konkrétní maticia,a 2,A+E a inverzní matici ka+e.eje jednotková matice, matici A+E dostaneme vytknutím maticexamatici(a+e) 1 musíme spočítat (pozor, včas ověřte, že inverzní matice existuje), abychom mohli vypočítat výslednou maticix... p.11/11

55 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Řešení: A= Nejprve vyjádříme maticixobecně z maticové rovnice. Vytkneme v levé části rovnice maticixvpravo: AX+X=A 2 = (A+E)X=A 2, E je jednotková matice, E=diag(1,1,1) Ê3. Nyní bychom potřebovali celou rovnici vynásobit zleva maticí(a+e) 1. To ale musíme vědět, že inverzní matice existuje. Tedy musíme vypočítat maticia+e a ověřit, že je regulární, tj.det(a+e) 0. Determinant budeme počítat rozvojem podle třetího řádku.. A+E= = , det(a+e)= = 2+(4 1)=1. Celou rovnici tedy vynásobíme inverzní maticí(a+e) 1 zleva a použijeme definici inverzní matice, tj.(a+e) 1 (A+E)=E, a dále rovnostex=x. Další. p.11/11

56 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Řešení: A= (A+E) 1 (A+E)X=(A+E) 1 A 2 = X=(A+E) 1 A 2. Dostali jsme obecný předpis pro maticix. Vypočteme konkrétní matice: A 2 = , (A+E E)= Další =(E (A+E) 1 ).. p.11/11

57 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde A= Řešení: Zbývá vypočítatx: X=(A+E) 1 A 2 = = p.11/11

58 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Maple: Další > with(linalg): A= > A:= matrix(3,3,[1,1,1,1,1,0,1,0,0]); A:= > AA:=evalm(A&*A); > E:=diag(1,1,1); AA:= E:= p.11/11

59 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Maple: > evalm(a+e); > det(%); > B:=inverse(A+E); > X:=evalm(B&*AA); A= B:= X:= p.11/11

60 Příklad Řešte maticovou rovniciax+x=a 2, kde Mathematica: A= A={{2,0,1}, {1, 1, 1}, { 1,3,2}}; MatrixForm[A] B= Inverse[A]; MatrixForm[B] A={{1,1,1}, {1,1,0}, {1,0,0}}; MatrixForm[A] Další p.11/11

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

16 - Pozorovatel a výstupní ZV

16 - Pozorovatel a výstupní ZV 16 - Pozorovatel a výstupní ZV Automatické řízení 2015 14-4-15 Hlavní problém stavové ZV Stavová zpětná vazba se zdá být nejúčinnějším nástrojem řízení, důvodem je síla pojmu stav, který v sobě obsahuje

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace

Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace Kapitola 8 Samoopravné kódy Teorie kódování se zabývá tím, jak rychle a spolehlivě přenášet informace z jednoho místa na druhé. Mezi její aplikace patří například minimalizace šumu při přehrávání kompaktních

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07

Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 var. 07, úloha č. 51 Úloha č. 51 Víme, že polovina trasy z A do B měří na

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Indexy, analýza HDP, neaditivnost

Indexy, analýza HDP, neaditivnost Indexy, analýza HDP, neaditivnost 1.) ŘETĚZOVÉ A BAZICKÉ INDEXY 1999 2000 2001 2002 Objem vkladů (mld. Kč) 80,8 83,7 91,5 79,4 a) určete bazické indexy objemu vkladů (1999=100) Rok 1999=100 báze. Pro rok

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Autor Mgr. Lenka Střelcová Tematický celek Posloupnosti Cílová skupina 3. ročník SŠ Anotace Materiál má podobu výkladového a pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci osvojí a procvičí využití geometrické

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA NUMERICKÉ METODY Radek Kučera Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 Studijní opory s převažujícími

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

10. Afinní a euklidovský prostor

10. Afinní a euklidovský prostor 10. Afinní a euklidovský prostor Definice 10.1. Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Relativní atomová hmotnost

Relativní atomová hmotnost Relativní atomová hmotnost 1. Jak se značí relativní atomová hmotnost? 2. Jaké jsou jednotky Ar? 3. Zpaměti urči a) Ar(N) b) Ar (C) 4. Bez kalkulačky urči, kolika atomy kyslíku bychom vyvážili jeden atom

Více

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz

Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Pracovní návod 1/5 www.expoz.cz Fyzika úloha č. 14 Zatěžovací charakteristika zdroje Cíle Autor: Jan Sigl Změřit zatěžovací charakteristiku různých zdrojů stejnosměrného napětí. Porovnat je, určit elektromotorické

Více

Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Analytická geometrie II: Geometrické transformace Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková,

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více