Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R. 2004. - J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta"

Transkript

1 KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Zdeněk Ryjáček, KMA UK , s přestávkou 15 minut Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika Skripta DMA: - R Literatura 2004 Čada, T Kaiser, Z Ryjáček: Diskrétní matematika Skripta ZČU Plzeň, - J Holenda, Z Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta ZČU Plzeň, Základní: Nejsou to skripta, jen pomocný text k přednášce - Další literatura: Úvod do diskrétní matematiky - L Kučera: Kombinatorické algoritmy SNTL, Praha J Demel: Grafy a jejich aplikace Academia, J Plesník: Grafové algoritmy Veda, Bratislava, Další jen v angličtině 1

2 Forma výuky - Folie z přednášek budou průběžně na www stránce předmětu - Cvičení - RNDr Jakub Teska, PhD, - RNDr Jan Ekstein, - K samostatnému procvičování a hraní jsou k disposici výukové programy (aplety), odkaz ze stránky předmětu Zkouška - Písemná - 3 příklady - Ústní - 2 otázky Dotazy? 2

3 Definice Graf je uspořádaná dvojice G = (U, H), kde U je konečná množina a H ( ) U 2 U 2 Graf G = (U, H) se nazývá neorientovaný graf, jestliže H ( U 2 orientovaný graf, jestliže H U 2 ), Definice Bud te G a G grafy Zobrazení f : U(G) U(G ) se nazývá homomorfismus grafu G do grafu G, jestliže (x, y) H(G) (f(x), f(y)) H(G ), a {x, y} H(G) {f(x), f(y)} H(G ) Značíme f : G G Definice Bud te G a G grafy a f : U(G) U(G ) zobrazení Pak zobrazení f : H(G) H(G ), definované vztahy f ({u, v}) = {f(u), f(v)}, a f ((u, v)) = (f(u), f(v)), se nazývá zobrazení indukované zobrazením f Tedy: f : U(G) U(G ) je homomorfismus právě když h H(G) f (h) H(G ) 3

4 Definice Bud te G, G grafy, f : G G homomorfismus Pak řekneme, že f je uzlový monomorfismus, je-li f prosté, uzlový epimorfismus, je-li f na, hranový monomorfismus, je-li f prosté, hranový epimorfismus, je-li f na, monomorfismus, je-li f i f prosté, epimorfismus, je-li f i f na, isomorfismus, je-li f i f prosté a na Poznámky 1 Ekvivalentně, f : U(G) U(G ) je isomorfismus, jestliže f je prosté a na (bijekce), a platí (x, y) H(G) (f(x), f(y)) H(G ), a {x, y} H(G) {f(x), f(y)} H(G ) 2 Značíme G G 3 Relace je ekvivalence 4

5 1 Které z těchto grafů jsou isomorfní? 2 Které z těchto grafů jsou isomorfní? (d cv) 5

6 Neorientované grafy Úplný graf: K n = 1, n, 1, n 2 Cesta délky n 0: P n = ( 0, n, {{i, i + 1} i 1, n 1 }}) Kružnice délky n 3: C n = ( 1, n, {{i, i + 1} i 1, n 1 } {{1, n}}) Úplný sudý (bipartitní) graf : K U,U = (U U, {{x, y}} x U, y U }) (U U = ) Speciálně, K p,q = K 1,p, p+1,p+q Definice Stupeň uzlu u v grafu G je počet hran grafu G, které obsahují uzel u Stupeň uzlu u v grafu G značíme d G (u) Věta Pro každý graf G platí u U(G) d G (u) = 2 H(G) 6

7 Definice Necht U(G) = n Očíslujeme uzly grafu G tak, že d G (x 1 ) d G (x 2 ) d G (x n ) Pak konečná nerostoucí posloupnost d G (x 1 ), d G (x 2 ),, d G (x n ) se nazývá soubor stupňů grafu G Věta Necht s 1 s 2 s n, n 2 Pak je posloupnost s 1, s 2,, s n grafová právě když je grafová posloupnost s 2 1, s 3 1,, s s1 +1 1, s s1 +2,, s n 7

8 Definice Bud te G 1, G grafy Řekneme, že G 1 je podgrafem grafu G, jestliže U(G 1 ) U(G) a H(G 1 ) H(G), G 1 je faktorem grafu G, jestliže U(G 1 ) = U(G) a H(G 1 ) H(G) Bud X U(G) Pak graf G 1 = ( X, H(G) ( )) X 2 se nazývá podgraf grafu G indukovaný na množině X Je-li G 1 podgrafem grafu G, značíme G 1 G Definice Necht f : G 1 G je homomorfismus Pak podgraf f(g 1 ) G, definovaný předpisem f(g 1 ) = (f(u(g 1 )), f (H(G 1 ))) se nazývá obraz grafu G 1 při homomorfismu f ( homomorfní obraz ) Definice 1 Bud G graf, u, v U(G), a necht f : P k G je homomorfismus takový, že f(0) = u a f(k) = v Pak se graf f(p k ) nazývá sled délky k z uzlu u do uzlu v v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá tah (délky k z u do v v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá cesta (délky k z u do v v G) 8

9 Definice Řekneme, že graf G je souvislý, jestliže pro každé u, v U(G) existuje v G sled z u do v Větička Graf G je souvislý právě když pro každé u, v U(G) existuje v G cesta z u do v Definice Bud G G Řekneme, že graf G je komponenta grafu G, jestliže 1 G je souvislý graf, 2 je-li G G G a G je souvislý, pak G = G (Tedy: komponenty grafu G jsou jeho maximální souvislé podgrafy) Označení Minimální stupeň grafu: δ(g) = min{d G (U) u U(G)} Maximální stupeň grafu: (G) = max{d G (U) u U(G)} Neřekneme-li jinak, pak vždy značíme U(G) = n a H(G) = m Větička Je-li δ(g) n 2, pak je G souvislý Tvrzení (Vlastnosti souvislých grafů) Necht G je souvislý graf Pak 1 existuje uzel u U(G) tak, že graf G u je souvislý, 2 m n 1 9

10 Definice 1 Bud f : C k G homomorfismus Pak se graf f(c k ) nazývá uzavřený sled v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f(c k ) nazývá uzavřený tah v G 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá kružnice v G Číslo k se nazývá délka (uzavřeného sledu, uzavřeného tahu, kružnice) Definice Souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf žádnou kružnici, se nazývá strom Věta Následující tvrzení jsou ekvivalentní 1 G je strom 2 Pro každé u, v U(G) existuje v G právě jedna cesta z u do v 3 G je souvislý a m = n 1 4 G je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní faktor Definice Bud G souvislý graf Graf T G se nazývá kostra grafu G, jestliže 1 T je strom, 2 T je faktor grafu G Větička V každém souvislém grafu existuje alespoň jedna jeho kostra 10

11 Ohodnocené grafy Definice Bud G graf Funkce w : H(G) (0, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Necht G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme w i,j = w({i, j}) jestliže {i, j} H(G), 0 jinak Matice W(G) = [w i,j ] n i,j=1 se nazývá vážená matice sousednosti grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Matice sousednosti: A(G) = [a i,j ] n i,j=1, kde a i,j = 1 jestliže {i, j} H(G), 0 jinak Matice incidence (uzlo-hranová): očíslujeme uzly u 1,, u n a hrany h 1,, h m a položíme I(G) = [b i,j ] n,m i,j=1, kde b i,j = 1 jestliže u i h j, 0 jinak Věta I(G)(I(G)) T = A(G) + S(G), kde S(G) = diag(d G (u 1 ),, d G (u n )) 11

12 Minimální kostra grafu Věta Bud G souvislý ohodnocený graf a K jeho souvislý faktor, pro který číslo nabývá minimální hodnotu Pak K je kostra grafu G {i,j} H(K) w Algoritmus 1 1 Polož G 0 = G, i := 0 2 Existuje v G i kružnice C i? - Ano: v C i najdi hranu h i s maximálním ohodnocením, polož G i+1 = (U(G i ), H(G i ) \ {h i }), i := i + 1 a opakuj 2 - Ne: G i je hledaná minimální kostra Algoritmus 2 1 Zvol u U(G) a polož G 0 = ({u}, ), i := 0 2 Je G i faktor grafu G? - Ne: mezi všemi hranami {x, y}, pro něž x U(G i ) a y / U(G i ) najdi tu, která má nejmenší ohodnocení, polož G i+1 = (U(G i ) {y}, H(G i ) {{x, y}}), i := i + 1 a opakuj 2 - Ano: G i je hledaná minimální kostra 12

13 Definice Nechť G je graf, u, v U(G) Vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d G (u, v)) rozumíme nejmenší délku cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistuje-li v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = Věta Nechť G je graf, x, y, z U(G) Pak platí: (i) d G (x, y) je celé číslo, (ii) d G (x, y) 0 a d G (x, y) = 0 x = y, (iii) d G (x, y) = d G (y, x), (iv) d G (x, y) + d G (y, z) d G (x, z), (v) je-li d G (x, z) > 1, pak existuje uzel y U(G) tak, že x y z a d G (x, y) + d G (y, z) = d G (x, z) Definice Nechť G je graf s ohodnocením w Pro každou cestu P G definujeme w-délku w(p ) cesty P předpisem w(p ) = h H(P ) w(h) Nechť u, v U(G) Pak w-vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d w G(u, v)) rozumíme nejmenší w-délku cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistujeli v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = Pro u, v U(G): cesta z u do v v G nejmenší délky: nejkratší cesta cesta z u do v v G nejmenší w-délky: minimální cesta 1

14 Funkce d w G má také vlastnosti metriky: Věta Nechť G je graf s ohodnocením w a nechť x, y, z U(G) Pak platí: (i) d w G(x, y) 0 a d w G(x, y) = 0 x = y, (ii) d w G(x, y) = d w G(y, x), (iii) d w G(x, y) + d w G(y, z) d w G(x, z), (iv) je-li d G (x, z) > 1, pak existuje uzel y U(G) tak, že x y z a d w G(x, y) + d w G(y, z) = d w G(x, z) Příklad Graf G železniční síť ČD ρ(x, y) cena jízdenky z x do y (obyčejné jízdné 2 třída) CENÍK OBYČEJNÉHO JÍZDNÉHO ČD Vzdálenost (km) Obyčejné jízdné 2 třída (Kč) , , , ,- Plzeň hl n Nezvěstice 16 km 28,- Kč Plzeň hl n Starý Plzenec 10 km 16,- Kč Starý Plzenec Nezvěstice 6 km 10,- Kč Funkce ρ(x, y) není metrika 2

15 Příklad: převozník, koza, vlk, zelí Převozník sám 1 hod Převozník se zelím 2 hod Převozník s kozou 3 hod Převozník s vlkem 4 hod Otázky: (i) Lze převoz uskutečnit? (ii) Jestliže ano, v jakém minimálním čase? (iii) Kolik má úloha minimálních řešení? PZ KV KZ PV, 1, 1 KV PZ Z PKV K,3 PKZ V u Z,2 PKVZ K,3 VZ PK, 1 V,4 PVZ K Z,2 K PVZ, 1 PK VZ K,3 PKVZ v V,4 Z,2 V,4 KZ PV V PKZ K,3 PKV Z, 1, 1 Odpovědi: PV KZ KV PZ (i) ANO (ii) 17 hodin (iii) 2 řešení 3

16 Nechť G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme d w i,j = d w G(i, j) Matice D w (G) = [d w i,j] n i,j=1 se nazývá matice w-vzdáleností (w-distanční matice) grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Distanční matice: D(G) = [d i,j ] n i,j=1, kde d i,j = d G (i, j) Definice Buď G graf, m = H(G) Řekneme, že G je eulerovský, jestliže v G existuje uzavřený tah délky m Věta Graf G je eulerovský právě když G je souvislý a všechny jeho uzly jsou sudého stupně EUL Vstup: graf G Úkol: je graf G eulerovský? Výstup: ANO / NE Důsledek Úloha EUL je řešitelná v polynomiálním čase 4

17 Definice Buď G graf, n = U(G) Řekneme, že G je hamiltonovský, jestliže v G existuje kružnice délky n Věta (Dirac) Nechť G je graf s n = U(G) 3 a Pak je G hamiltonovský δ(g) n 2 TSP (Problém obchodního cestujícího) Vstup: ohodnocený graf G Úkol: najít v G hamiltonovskou kružnici C s minimální hodnotou Výstup: kružnice C h H(C) w(h) A F 14 E G 7 H B 9 C D 5

18 Rozhodovací strom G H C D B C H E D C H C D B G B F E D H D E C D C G B H B C D A D F E H G F E D H D E C B C D G F F H E D E C G H E D H E F D B B G G B G C C B E G E D H E H C D C C F E E G F F F G G C G H B G D B D E E H C H C D F D G E G F H A A A A 6

19 Čas potřebný ke zpracování vstupních dat velikosti n, jestliže je nutno provést f(n) operací a provedení jedné operace trvá jednu mikrosekundu velikost vstupních dat n počet operací f(n) n 2 n 3 n 4 2 n n! 20 0,4 ms 8 ms 0,2 s 1 s let 40 1,6 ms 64 ms 2,6 s 12 dní 60 3,6 ms 0,2 s 13 s let 80 6,4 ms 0,5 s 41 s 3, let ms 1 s 100 s ms 8 s 27 min 500 0,25 s 125 s 17 hod s 17 min 12 dní 7

20 Předpokládáme, že jsme schopni daným algoritmem s časovou náročností f(n) zpracovat v daném časovém limitu vstupní data velikosti n = 100 a ptáme se, jak se zvětší velikost úloh, které jsme schopni zpracovat ve stejném časovém limitu, jestliže zvýšíme rychlost výpočtu 10, 100, 1000 zrychlení počet operací f(n) výpočtu n 2 n 3 n 4 2 n n!

21 Orientované grafy Orientovaný úplný graf: Kn = ( 1, n, 1, n 1, n ) Orientovaná cesta délky n 0: Pn = ( 0, n, {(i, i + 1) i 1, n 1 }}) Cyklus délky n 1: Cn = ( 1, n, {(i, i + 1) i 1, n 1 } {(n, 1)}) pro n 2; pro n = 1 dodefinujeme C 1 = ({1}, {(1, 1)}) Definice Nechť G je orientovaný graf, u U( G) Výstupní (polo)stupeň uzlu u v grafu G je číslo d G (u) = {(u, x) x U( G)} H( G) Vstupní (polo)stupeň uzlu u v grafu G je číslo d + G (u) = {(x, u) x U( G)} H( G) Věta Pro každý orientovaný graf G platí u U( G) d G (u) = u U( G) d + G (u) = H( G) 9

22 Definice 1 Buď G graf, u, v U( G), a nechť f : Pk G je homomorfismus takový, že f(0) = u a f(k) = v Pak se graf f( P k ) nazývá orientovaný sled délky k z uzlu u do uzlu v v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá orientovaný tah (délky k z u do v v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá orientovaná cesta (délky k z u do v v G) Definice 1 Nechť G je graf a f : C k G je homomorfismus Pak se graf f( C k ) nazývá uzavřený orientovaný sled délky k v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá uzavřený orientovaný tah (délky k v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá cyklus (délky k v G) Definice Řekneme, že orientovaný graf G je (slabě) souvislý, jestliže jeho symetrizace je souvislý neorientovaný graf Definice Řekneme, že orientovaný graf G je silně souvislý, jestliže pro každou dvojici uzlů u, v U( G) existuje v G orientovaný sled z u do v Větička Graf G je silně souvislý právě když pro každé u, v U( G) existuje v G orientovaná cesta z u do v 10

23 Věta Souvislý orientovaný graf G s alespoň 2 uzly je silně souvislý právě když každá jeho hrana leží v alespoň jednom cyklu Definice Buď G G Řekneme, že graf G je kvazikomponenta (silná komponenta) grafu G, jestliže 1 G je silně souvislý graf, 2 je-li G G G a G je silně souvislý, pak G = G (Tedy: kvazikomponenty grafu G jsou jeho maximální silně souvislé podgrafy) Definice Buď G graf Řekneme, že G je acyklický, jestliže G neobsahuje jako podgraf žádný cyklus Věta Je-li G acyklický a G G, pak G je acyklický Definice Uzel u U( G ) se nazývá (i) vstupní uzel grafu G, jestliže d + G = 0, (ii) výstupní uzel grafu G, jestliže d G = 0 Větička Každý acyklický graf má vstupní a výstupní uzel 11

24 Věta Buď G orientovaný graf a n = U( G) Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) G je acyklický, (ii) každý neprázdný podgraf grafu G má výstupní uzel, (iii) každý neprázdný podgraf grafu G má vstupní uzel, (iv) existuje takové očíslování uzlů grafu G čísly 1,, n, že (i, j) H( G) i < j ACYC Vstup: graf G Úkol: je graf G acyklický? Výstup: ANO / NE Důsledek Úloha ACYC je řešitelná v polynomiálním čase Definice Buď G orientovaný graf, G1,, G k jeho kvazikomponenty Orientovaný graf G C s U( G C ) = { G 1,, G k } a H( G C ) = {( G i, G j ) i j a existují x U( G i ) a y U( G j ) tak, že (x, y) H( G)} se nazývá kondenzace grafu G Věta Buď G orientovaný graf Platí: (i) G C je acyklický graf, (ii) G je silně souvislý právě když G C je graf s jediným uzlem, (iii) G je acyklický graf právě když G = G C 12

25 Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (0, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf s ohodnocením w Pro každou cestu P G definujeme w-délku w( P ) cesty P předpisem w( P ) = w(h) h H( P ) Nechť u, v U( G) Pak (i) vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d G (u, v)) rozumíme nejmenší délku orientované cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G, (ii) w-vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d w G (u, v)) rozumíme nejmenší w-délku orientované cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistuje-li v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = d w G (u, v) = 1

26 Nechť G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme w i,j = w((i, j)) jestliže (i, j) H( G), 0 jinak Matice W( G) = [w i,j ] n i,j=1 se nazývá vážená matice sousednosti grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Matice sousednosti grafu G: A( G) = [a i,j ] n i,j=1, kde a i,j = 1 jestliže (i, j) H( G), 0 jinak Matice w-vzdáleností (w-distanční matice) grafu G: D w ( G) = [d w i,j] n i,j=1, kde d w i,j = d w G (i, j) Distanční matice grafu G: D( G) = [d i,j ] n i,j=1, kde d i,j = d G (i, j) 2

27 Výpočet distanční matice D( G): Věta Nechť G je orientovaný graf a k 0 Prvek a (k) i,j matice (A( G)) k je roven počtu sledů délky (přesně) k z uzlu i do uzlu j v G Důsledek Prvek d i,j matice D( G) je roven nejmenší mocnině k, pro kterou je prvek a (k) i,j matice (A( G)) k nenulový Výpočet w-distanční matice D w ( G): Nechť G je ohodnocený orientovaný graf Definujeme matici C( G) = [c i,j ] n i,j=1 předpisem: c i,j = 0 jestliže i = j, jestliže i j a (i, j) / H( G), w i,j jestliže i j a (i, j) H( G) (Matice C( G) se někdy nazývá cenová matice grafu G0 Definujeme nové operace: a b = min{a, b}, a b = a + b, a k-tou mocninu matice C( G) při těchto operacích označíme D (k) ( G) Věta Buď G je ohodnocený orientovaný graf a r nejmenší číslo pro něž D (r) ( G) = D (r+1) ( G) Pak D (r) ( G) = D w ( G) 3

28 Algoritmus 31 (Floydův algoritmus) 1 Položíme D 0 = C( G) 2 Pro k = 1,, n postupně vypočítáváme matice D k = [d k i,j] n i,j=1, kde d k ij = min{d k 1 ij, d k 1 ik + d k 1 kj } 3 D n = D w ( G) Poznámka: d k ij je minimální w-délka cesty z uzlu i do uzlu j množinou uzlů {1,, k} Věta 31 Algoritmus 31 nalezne w-distanční matici D w ( G) grafu G v čase O(n 3 ) 4

29 Dijkstrův algoritmus (minimální cesta z uzlu u do uzlu v) 1 Uzlu u přiřaď trvalou hodnotu th(u) = 0, ostatním uzlům dočasnou hodnotu dh(u) = 2 Je-li x poslední uzel, jemuž byla přiřazena trvalá hodnota th(x), pak všem uzlům y, pro něž (x, y) H( G) a které ještě nemají trvalou hodnotu, přiřaď novou dočasnou hodnotu dh(y) := min{dh(y), th(x) + w(x, y)} 3 Pro uzel z s nejmenší dočasnou hodnotou polož th(z) := dh(z) 4 Má uzel v trvalou hodnotu? NE: vrať se na 2, ANO: th(v) je w-délka minimální cesty z u do v Poznámka: hrany (x, y), na nichž w(x, y) = th(y) th(x), určují minimální cestu z u do v 5

30 Definice Buď G acyklický ohodnocený orientovaný graf a u, v U( G) Orientovaná cesta z u do v maximální w-délky se nazývá kritická cesta (z u do v v G) Příklad Činnost Doba Bezprostředně trvání podmiňující činnosti A 4 B 2 C 1 D 7 A E 6 A F 1 A,B,C G 2 A,B,C H 4 C I 2 E,F,G,H J 8 G,H Uzly stavy hrany činnosti A,4 0 E,6 D,7 B,2 F,1 I,2 C,1 0 G,2 0 J,8 H,4 6

31 Uzly: i t(i) T (i) i: očíslování uzlů podle věty o acyklických grafech (zároveň ověření acykličnosti) t(i): minimální časové ohodnocení minimální doba, za kterou lze dosáhnout stavu i T (i): maximální časové ohodnocení čas, kdy je nutno stav i opustit, aby nedošlo ke zpoždění projektu A,4 0 E,6 D, B,2 4 6 F,1 I, C,1 0 G,2 0 J, H, Kritická cesta: 1, 2, 4, 5, 7 Kritické činnosti: A, G, J 7

32 Algoritmus (kritická cesta z u do v v G) 1 Očísluj uzly grafu G podle věty o acyklických grafech 2 Konstrukce minimálního časového ohodnocení t(i): a) uzlu 1 (tj u) přiřaď t(1) = 0, b) pro i = 2,, n uzlu i přiřaď t(i) = max{t(j) + w((j, i)) (j, i) H( G)}, c) t(n) je w-délka kritické cesty 3 Konstrukce maximálního časového ohodnocení T (i): a) uzlu n (tj v) přiřaď T (n) = t(n), b) pro i = n 1,, 1 uzlu i přiřaď T (i) = min{t (j) w((i, j)) (i, j) H( G)} 4 Kritická cesta prochází těmi uzly i, pro něž T (i) = t(i), a hranami (i, j) pro něž w((i, j)) = t(j) t(i) 8

33 2 Toky v sítích Definice 21 Síť je orientovaný graf G s ohodnocením hran r : H( G) (0, ) a ohodnocením uzlů a : U( G) R Značení: uzly G očíslujeme 1,, n, pro i U( G) budeme a(i) krátce značit a i, pro (i, j) E( G) budeme r((i, j)) krátce značit r ij, i, j = 1,, n Definice 22 Buď G síť s ohodnocením uzlů a i a s ohodnocením hran r ij Tok v síti G je nezáporné hranové ohodnocení x : H( G) 0, ), splňující následující podmínky: 1 pro každý uzel i U( G) platí x ij j;(i,j) H( G) j;(j,i) H( G) x ji = a i, 2 pro každou hranu (i, j) H( G) platí 0 x ij r ij a i : intenzita uzlu i U( G) r ij : propustnost hrany (i, j) H( G) Uzel i U( G) se nazývá zdroj, je-li a i > 0, stok, je-li a i < 0, neutrální uzel, je-li a i = 0 9

34 Definice 24 Nechť G je síť, A U( G) je množina uzlů, a položme Ā = U( G) \ A Množina hran (A, Ā) = {(x, y) x A, y Ā} se nazývá řez sítě G Označení Je-li f : U( G) R funkce na U( G), označíme f(a) = f i, je-li g : H( G) R funkce na H( G), označíme g(a, Ā) = i A (i,j) (A,Ā) g ij Tvrzení 21 Nechť G je síť, x je tok v G a nechť A U( G) je množina uzlů G Pak platí a(a) = x(a, Ā) x(ā, A) Věta 21 V síti G existuje tok právě když a(u( G)) = 0 a pro každou množinu uzlů A U( G) je a(a) r(a, Ā) 10

35 Síť s jedním zdrojem a jedním stokem Síť G s jedním zdrojem z a jedním stokem s, nechť x je tok v G Zdroj z má intenzitu a 0 stok má intenzitu a Číslo a se nazývá velikost toku x a značí se x Definice 25 Tok x je maximální tok v G, jestliže pro každý tok x v G platí x x Definice 26 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, a nechť (A, Ā) je řez sítě G Číslo r(a, Ā) se nazývá propustnost řezu (A, Ā) Řekneme, že řez (A, Ā) je minimální řez sítě G, jestliže pro každý řez (A, Ā ) sítě G platí r(a, Ā) r(a, Ā ) Jsou-li u, v U( G) dva uzly G, pak řekneme, že řez (A, Ā) odděluje uzly u, v, jestliže u A a v Ā Tvrzení 22 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, nechť (A, Ā) je řez sítě G, oddělující z a s, a nechť x je tok v G Pak platí: (i) x = x(a, Ā) x(ā, A), (ii) x r(a, Ā) 1

36 Definice 27 Nechť u, w U( G) Polocesta z u do w je posloupnost u = v 0, h 1, v 1, h 2,, h k, v k = w, kde v i jsou navzájem různé uzly, h i jsou hrany a pro každé i = 1,, k platí buď h i = v i 1 v i (pak jde o souhlasnou hranu dané polocesty) nebo h i = v i v i 1 nesouhlasná hrana) Nechť x je tok v síti G Rezerva polocesty P je nezáporné číslo Θ(P ) = min{θ s (P ), Θ n (P )}, kde Θ s (P ) = min{r ij x ij (i, j) je souhlasná hrana P } a Θ n (P ) = min{x ij (i, j) je nesouhlasná hrana P} Polocesta P je rezervní, jestliže Θ(P ) > 0 Tvrzení 23 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, a nechť x je tok v G Existuje-li v G rezervní polocesta ze z do s vzhledem k x, pak tok x není maximální Věta 22 (Ford, Fulkerson) Buď G síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s Velikost maximálního toku v G je rovna propustnosti minimálního řezu, oddělujícího z a s 2

37 Algoritmus 21 (Ford Fulkersonův algoritmus) 1 Jako výchozí tok x zvolme nulový tok: x ij := 0 pro každou hranu (i, j) H( G) 2 Jestliže v grafu G existuje nějaká rezervní polocesta P ze z do s, upravme podél ní tok x: x ij := x ij + Θ pokud (i, j) je souhlasná hrana polocesty P, x ij Θ pokud (i, j) je nesouhlasná hrana polocesty P, x ij pokud (i, j) neleží na P, a pokračujme bodem (2) 3 V případě, že rezervní polocesta ze z do s neexistuje, je tok x maximální Tvrzení 24 Jsou-li v síti G propustnosti všech hran celá čísla, pak Ford Fulkersonův algoritmus skončí po konečném počtu kroků 3

38 Edmonds Karpův algoritmus Myšlenka: zvolíme vždy nejkratší rezervní polocestu ze z do s Jedna z iterací kroku (2): máme nějaký tok x a hledáme nejkratší rezervní polocestu ze z do s (a) T je strom na jediném uzlu z, Seznam uzlů L obsahuje jedinou položku z, Zdroj je označený, Všechny ostatní uzly sítě G jsou neoznačené (b) Je-li L, pak nechť v je první uzel seznamu L Je-li v = s, algoritmus končí Jednoznačně určená polocesta spojující z a s ve stromu T je hledaná nejkratší polocesta Upravíme podél této polocesty tok x jako ve Ford Fulkersonově algoritmu Jinak označíme všechny neoznačené sousedy w uzlu v, pro něž (v, w) je nenasycená hrana nebo (w, v) je nenulová hrana, ve stromu T je připojíme hranami k v, a přidáme je na konec seznamu L Vyřadíme uzel v ze seznamu L a pokračujeme bodem (b) (c) je-li L =, pak rezervní polocesta ze z do s neexistuje a tok x je maximální 4

39 3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li ji do tohoto tvaru převést permutací řádků a stejnou permutací sloupců, Ekvivalentně: A je rozložitelná, jestliže existuje permutační matice P tak, že PAP T = A 11 A 12 0 A 22 1

40 Věta 32 Buď G ohodnocený orientovaný graf Platí: a) Je-li G silně souvislý, pak je matice W( G) nerozložitelná b) Jsou-li G 1,, G k kvazikomponenty grafu G, očíslované tak, že v kondenzaci G C jsou pouze hrany ( G k, G l ) pro k < l a očíslujeme-li uzly grafu G souhlasně s očíslováním kvazikomponent, tj tak, že je-li i G k a j G l pro k < l, pak i < j, pak matice W( G) má tvar W( G) = W 11 W 12 W 13 W 1k 0 W 22 W 23 W 2k 0 0 W 33 W 3k W kk, kde W ii = W( G) i, i = 1,, k, a tyto matice jsou již nerozložitelné Důsledek 31 Čtvercová matice A je nerozložitelná právě když její diagram G(A) je silně souvislý 2

41 Definice 33 Řekneme, že čtvercová matice A je slabě rozložitelná, jestliže existují permutační matice P a Q tak, že PAQ = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice Čtvercová matice, která není slabě rozložitelná, se nazývá úplně nerozložitelná, Definice 34 Bigraf je orientovaný graf G, jehož množinu uzlů lze rozložit na disjunktní neprázdné podmnožiny U 1, U 2 tak, že pro každou hranu (u, v) H( G) je u U 1 a v U 2 Definice 35 Buď A = [a ij ] čtvercová matice řádu n; označme U 1 množinu řádkových indexů a U 2 množinu sloupcových indexů matice A Bigraf matice A je orientovaný graf B(A) s množinou uzlů a množinou hran U = U 1 U 2 H = {(i, j) i U 1, j U 2, a ij 0} 3

42 Definice 36 Buď G bigraf s množinou uzlů U( G) = U 1 U 2 Množina V U 1, V U 1, se nazývá stabilní množina v G, jestliže pro množinu uzlů W = {j U 2 i V tak, že (i, j) H( G)} platí W V Věta 33 Čtvercová matice A je slabě rozložitelná právě když v jejím bigrafu B(A) existuje stabilní množina 4

43 Definice 37 Řekneme, že bigraf G je lineární, jestliže pro každý uzel u U 1 je d (u) = 1 a pro každý uzel v U 2 je d + (v) = 1 Definice 38 Je-li G bigraf a G1 G jeho lineární podbigraf, pak říkáme, že G 1 je párování v G Je-li G 1 G párování v G takové, že U( G 1 ) = U( G) (tj G 1 je faktorem bigrafu G), pak říkáme, že G 1 je perfektní párování v G Věta 34 1 Je-li A regulární matice, pak její bigraf B(A) má perfektní párování 2 Jestliže bigraf G má perfektní párování, pak existuje regulární matice A taková, že B(A) = G 5

44 Definice Strukturální matice řádu n 1 je čtvercová matice řádu n, u níž je dána pouze struktura nulových a nenulových prvků, ale nejsou určeny jejich konkrétní hodnoty (Poněkud přesněji: na strukturální matici lze pohlížet jako na funkci hodnot jejích nenulových prvků) Pro každou strukturální matici A nastává právě jedna z následujících možností: (i) polynom det(a) je nenulový, a při náhodné volbě nenulových prvků matice A je matice A regulární s pravděpodobností 1, (ii) polynom det(a) je nulový a matice A je singulární při každé volbě jejích nenulových prvků V prvním případě říkáme, že strukturální matice A je genericky regulární, ve druhém případě je A genericky singulární Věta 35 Nechť A je čtvercová strukturální matice Pak platí: A je genericky regulární B(A) má perfektní párování 6

45 Definice Nechť A je strukturální matice Největší přirozené číslo k, pro které v matici A existuje genericky regulární podmatice řádu k, se nazývá generická hodnost matice A a značí se gh(a) Definice Počet hran největšího párování v bigrafu B se nazývá párovací číslo bigrafu B a značí se ν( B) Věta 36 Nechť A je strukturální matice Pak gh(a) = ν( B(A)) 7

46 Největší párování v bigrafu je možno najít v polynomiálním čase převodem na úlohu maximálního toku: bigrafu B s U( B) = U 1 U 2 přiřadíme síť G tak, že k B přidáme nový uzel z (zdroj), nový uzel s (stok), hrany (z, u) pro všechny uzly u U 1, hrany (v, s) pro všechny uzly v U 2 Propustnosti všech hran jsou rovny jedné U 1 nové hrany nové hrany z bigraf B s U 2 Najdeme-li v G (celočíselný) maximální tok, pak hrany bigrafu B s nenulovým tokem určují největší párování v B 8

47 4 Míry souvislosti grafu Definice 41 Hrana {x, y} H(G) se nazývá most grafu G, jestliže v grafu G neexistuje žádná kružnice, která ji obsahuje Tvrzení 41 Je-li graf G souvislý a hrana {x, y} jeho most, pak graf G {x, y}, vzniklý odstraněním hrany {x, y} z G, je nesouvislý Věta 41 Má-li souvislý graf G most, pak má alespoň dva uzly lichého stupně Definice 42 Uzel x U(G) je artikulace grafu G, jestliže existují hrany {x, y 1 } a {x, y 2 }, které nepatří současně téže kružnici grafu G Definice 43 Buď G graf, G G jeho souvislý podgraf Řekneme, že G je blok grafu G, jestliže: a) G nemá artikulaci, b) jestliže G je souvislý graf bez artikulace takový, že G G G, pak G = G 1

48 Tvrzení 42 Buď G souvislý graf Pak G nemá artikulaci právě když pro každé dvě jeho hrany existuje kružnice, na níž obě leží Důsledek 41 Pro každé dvě hrany bloku, který není mostem, existuje kružnice, na níž obě leží Věta 42 Buďte G 1, G 2 dva bloky grafu G Pak buďto G 1 = G 2, nebo G 1 a G 2 nemají žádnou společnou hranu Definice 44 Buď G souvislý graf, B 1,, B r všechny jeho bloky a x 1,, x s všechny jeho artikulace Graf B(G), definovaný předpisem U(B(G)) = {x 1,, x s, B 1,, B r }, H(B(G)) = {{a, b} i, j tak, že a = x i, b = B j a x i U(B j )}, se nazývá blokový graf grafu G Věta 43 Pro každý souvislý graf G je blokový graf B(G) stromem 2

49 Definice 45 Buď G souvislý graf a x, y U(G) Množina B H(G) taková, že 1) každá cesta z uzlu x do uzlu y obsahuje alespoň jednu hranu množiny B, 2) žádná vlastní podmnožina množiny B nemá vlastnost 1), se nazývá hranový řez grafu G mezi uzly x a y Definice 46 Nejmenší počet prvků hranového řezu mezi uzly x a y se nazývá hranový stupeň souvislosti grafu G mezi uzly x a y a značí se h G (x, y) Definice 47 Buď G souvislý graf, x, y jeho uzly Množina A U(G) taková, že 1) každá cesta z x do y obsahuje alespoň jeden uzel z množiny A, 2) žádná vlastní podmnožina množiny A nemá vlastnost 1), se nazývá uzlový řez grafu G mezi uzly x a y Definice 48 Nejmenší počet prvků uzlového řezu, oddělujícího uzly x a y, se nazývá uzlový stupeň souvislosti grafu G mezi uzly x a y a značí se u G (x, y) Neexistuje-li uzlový řez mezi x a y, tj jsou-li uzly x a y sousední, klademe u G (x, y) = U(G) 1 3

50 Definice 49 (i) Nejmenší z čísel u G (x, y) nazveme uzlový stupeň souvislosti grafu G a budeme je značit u(g) (ii) Nejmenší z čísel h G (x, y) nazveme hranový stupeň souvislosti grafu G a budeme je značit h(g) Řekneme, že graf G je uzlově (resp hranově) k-souvislý, jestliže je u(g) k (resp h(g) k) Věta 44 Pro každý graf G platí u(g) h(g) δ(g) u(g) = 2, h(g) = 3, δ(g) = 4 u(g) = h(g) = δ(g) = 3 Věta 45 V každém grafu G platí h(g) 2 H(G) U(G) 4

51 Věta 46 (Ford, Fulkerson) Graf G je hranově k-souvislý mezi uzly a a b, a b, právě když v něm existuje k hranově disjunktních cest, vedoucích z a do b Věta 47 (Menger) Graf G je uzlově k-souvislý mezi nesousedními uzly a a b, právě když v něm existuje k uzlově disjunktních cest, vedoucích z a do b Konstrukce sítě G: U( G) = {(x, i) x U(G), i = 1, 2}, H( G) = {((x, 1), (x, 2)) x U(G)} {((x, 2), (y, 1)) {x, y} H(G)} Propustnosti hran: u hran typu ((x, 1) (x, 2)) položíme propustnost rovnu jedné, u hran druhého typu (tj ((x, 2), (y, 1)) ) bude propustnost nekonečná Zdrojem je uzel (a, 2), stokem je uzel (b, 1) G x G (x, 1) 1 (x, 2) a b (a, 1) 1 (a, 2) (b, 1) 1 (b, 2) y (y, 1) 1 (y, 2) 5

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Pracovní texty přednášek Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti Kapitoly 1 5 rozšiřují a prohlubují předchozí

Více

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a KMA/TGD1 Teorie grafů, diskrétní optimalizace a výpočetní složitost 1 Pracovní texty přednášek http://wwwkmazcucz/tgd1 Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus 1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

VYUŽITÍ NĚKTERÝCH METOD TEORIE GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ DOPRAVNÍCH PROBLÉMŮ

VYUŽITÍ NĚKTERÝCH METOD TEORIE GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ DOPRAVNÍCH PROBLÉMŮ VYUŽITÍ NĚKTERÝCH METOD TEORIE GRAFŮ PŘI ŘEŠENÍ DOPRAVNÍCH PROBLÉMŮ Markéta Brázdová 1 Anotace: Metody operačního výzkumu mají při řešení praktických problémů široké využití. Článek se zabývá problematikou

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Přednáška 1 Olga Majlingová Katedra matematiky, ČVUT v Praze 21. září 2009 Obsah Úvodní informace 1 Úvodní informace 2 3 4 Organizace předmětu Přednášky 1. 5. Základní

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář

Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Úvod do Teorie grafů Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická

Více

Kapitola 1. Grafy a podgrafy

Kapitola 1. Grafy a podgrafy Petr Kovář, 1. Grafy a podgrafy 25. února 2011 Kapitola 1. Grafy a podgrafy 1.1. Grafy a jednoduché grafy 1.1.1. Ukažte, že platí G = G, tj. doplněk doplňku grafu G je právě graf G. 1.1.2. Může být graf

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Teorie síťových modelů a síťové plánování

Teorie síťových modelů a síťové plánování KSI PEF ČZU Teorie síťových modelů a síťové plánování Část přednášky doc. Jaroslava Švasty z předmětu systémové analýzy a modelování. Zápis obsahuje základní vymezení projektu, časového plánování a popis

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Výpočetní složitost I

Výpočetní složitost I Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

9.Cosipočítstěžkýmproblémem

9.Cosipočítstěžkýmproblémem 9.Cosipočítstěžkýmproblémem V předchozí kapitole jsme zjistili, že leckteré rozhodovací problémy jsou NPúplné.Ztohoplyne,žejsouekvivalentní,alebohuželtaké,žeanijedenznichzatím neumíme vyřešit v polynomiálním

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Středoškolská odborná činnost. Sociální sítě z pohledu teorie grafů. Matěj Žídek

Středoškolská odborná činnost. Sociální sítě z pohledu teorie grafů. Matěj Žídek Středoškolská odborná činnost Sociální sítě z pohledu teorie grafů Matěj Žídek Malenovice 2015 Středoškolská odborná činnost Obor SOČ: 01. Matematika a statistika Sociální sítě z pohledu teorie grafů Autor:

Více