Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R. 2004. - J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta"

Transkript

1 KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Zdeněk Ryjáček, KMA UK , s přestávkou 15 minut Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika Skripta DMA: - R Literatura 2004 Čada, T Kaiser, Z Ryjáček: Diskrétní matematika Skripta ZČU Plzeň, - J Holenda, Z Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta ZČU Plzeň, Základní: Nejsou to skripta, jen pomocný text k přednášce - Další literatura: Úvod do diskrétní matematiky - L Kučera: Kombinatorické algoritmy SNTL, Praha J Demel: Grafy a jejich aplikace Academia, J Plesník: Grafové algoritmy Veda, Bratislava, Další jen v angličtině 1

2 Forma výuky - Folie z přednášek budou průběžně na www stránce předmětu - Cvičení - RNDr Jakub Teska, PhD, - RNDr Jan Ekstein, - K samostatnému procvičování a hraní jsou k disposici výukové programy (aplety), odkaz ze stránky předmětu Zkouška - Písemná - 3 příklady - Ústní - 2 otázky Dotazy? 2

3 Definice Graf je uspořádaná dvojice G = (U, H), kde U je konečná množina a H ( ) U 2 U 2 Graf G = (U, H) se nazývá neorientovaný graf, jestliže H ( U 2 orientovaný graf, jestliže H U 2 ), Definice Bud te G a G grafy Zobrazení f : U(G) U(G ) se nazývá homomorfismus grafu G do grafu G, jestliže (x, y) H(G) (f(x), f(y)) H(G ), a {x, y} H(G) {f(x), f(y)} H(G ) Značíme f : G G Definice Bud te G a G grafy a f : U(G) U(G ) zobrazení Pak zobrazení f : H(G) H(G ), definované vztahy f ({u, v}) = {f(u), f(v)}, a f ((u, v)) = (f(u), f(v)), se nazývá zobrazení indukované zobrazením f Tedy: f : U(G) U(G ) je homomorfismus právě když h H(G) f (h) H(G ) 3

4 Definice Bud te G, G grafy, f : G G homomorfismus Pak řekneme, že f je uzlový monomorfismus, je-li f prosté, uzlový epimorfismus, je-li f na, hranový monomorfismus, je-li f prosté, hranový epimorfismus, je-li f na, monomorfismus, je-li f i f prosté, epimorfismus, je-li f i f na, isomorfismus, je-li f i f prosté a na Poznámky 1 Ekvivalentně, f : U(G) U(G ) je isomorfismus, jestliže f je prosté a na (bijekce), a platí (x, y) H(G) (f(x), f(y)) H(G ), a {x, y} H(G) {f(x), f(y)} H(G ) 2 Značíme G G 3 Relace je ekvivalence 4

5 1 Které z těchto grafů jsou isomorfní? 2 Které z těchto grafů jsou isomorfní? (d cv) 5

6 Neorientované grafy Úplný graf: K n = 1, n, 1, n 2 Cesta délky n 0: P n = ( 0, n, {{i, i + 1} i 1, n 1 }}) Kružnice délky n 3: C n = ( 1, n, {{i, i + 1} i 1, n 1 } {{1, n}}) Úplný sudý (bipartitní) graf : K U,U = (U U, {{x, y}} x U, y U }) (U U = ) Speciálně, K p,q = K 1,p, p+1,p+q Definice Stupeň uzlu u v grafu G je počet hran grafu G, které obsahují uzel u Stupeň uzlu u v grafu G značíme d G (u) Věta Pro každý graf G platí u U(G) d G (u) = 2 H(G) 6

7 Definice Necht U(G) = n Očíslujeme uzly grafu G tak, že d G (x 1 ) d G (x 2 ) d G (x n ) Pak konečná nerostoucí posloupnost d G (x 1 ), d G (x 2 ),, d G (x n ) se nazývá soubor stupňů grafu G Věta Necht s 1 s 2 s n, n 2 Pak je posloupnost s 1, s 2,, s n grafová právě když je grafová posloupnost s 2 1, s 3 1,, s s1 +1 1, s s1 +2,, s n 7

8 Definice Bud te G 1, G grafy Řekneme, že G 1 je podgrafem grafu G, jestliže U(G 1 ) U(G) a H(G 1 ) H(G), G 1 je faktorem grafu G, jestliže U(G 1 ) = U(G) a H(G 1 ) H(G) Bud X U(G) Pak graf G 1 = ( X, H(G) ( )) X 2 se nazývá podgraf grafu G indukovaný na množině X Je-li G 1 podgrafem grafu G, značíme G 1 G Definice Necht f : G 1 G je homomorfismus Pak podgraf f(g 1 ) G, definovaný předpisem f(g 1 ) = (f(u(g 1 )), f (H(G 1 ))) se nazývá obraz grafu G 1 při homomorfismu f ( homomorfní obraz ) Definice 1 Bud G graf, u, v U(G), a necht f : P k G je homomorfismus takový, že f(0) = u a f(k) = v Pak se graf f(p k ) nazývá sled délky k z uzlu u do uzlu v v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá tah (délky k z u do v v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá cesta (délky k z u do v v G) 8

9 Definice Řekneme, že graf G je souvislý, jestliže pro každé u, v U(G) existuje v G sled z u do v Větička Graf G je souvislý právě když pro každé u, v U(G) existuje v G cesta z u do v Definice Bud G G Řekneme, že graf G je komponenta grafu G, jestliže 1 G je souvislý graf, 2 je-li G G G a G je souvislý, pak G = G (Tedy: komponenty grafu G jsou jeho maximální souvislé podgrafy) Označení Minimální stupeň grafu: δ(g) = min{d G (U) u U(G)} Maximální stupeň grafu: (G) = max{d G (U) u U(G)} Neřekneme-li jinak, pak vždy značíme U(G) = n a H(G) = m Větička Je-li δ(g) n 2, pak je G souvislý Tvrzení (Vlastnosti souvislých grafů) Necht G je souvislý graf Pak 1 existuje uzel u U(G) tak, že graf G u je souvislý, 2 m n 1 9

10 Definice 1 Bud f : C k G homomorfismus Pak se graf f(c k ) nazývá uzavřený sled v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f(c k ) nazývá uzavřený tah v G 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f(p k ) nazývá kružnice v G Číslo k se nazývá délka (uzavřeného sledu, uzavřeného tahu, kružnice) Definice Souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf žádnou kružnici, se nazývá strom Věta Následující tvrzení jsou ekvivalentní 1 G je strom 2 Pro každé u, v U(G) existuje v G právě jedna cesta z u do v 3 G je souvislý a m = n 1 4 G je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní faktor Definice Bud G souvislý graf Graf T G se nazývá kostra grafu G, jestliže 1 T je strom, 2 T je faktor grafu G Větička V každém souvislém grafu existuje alespoň jedna jeho kostra 10

11 Ohodnocené grafy Definice Bud G graf Funkce w : H(G) (0, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Necht G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme w i,j = w({i, j}) jestliže {i, j} H(G), 0 jinak Matice W(G) = [w i,j ] n i,j=1 se nazývá vážená matice sousednosti grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Matice sousednosti: A(G) = [a i,j ] n i,j=1, kde a i,j = 1 jestliže {i, j} H(G), 0 jinak Matice incidence (uzlo-hranová): očíslujeme uzly u 1,, u n a hrany h 1,, h m a položíme I(G) = [b i,j ] n,m i,j=1, kde b i,j = 1 jestliže u i h j, 0 jinak Věta I(G)(I(G)) T = A(G) + S(G), kde S(G) = diag(d G (u 1 ),, d G (u n )) 11

12 Minimální kostra grafu Věta Bud G souvislý ohodnocený graf a K jeho souvislý faktor, pro který číslo nabývá minimální hodnotu Pak K je kostra grafu G {i,j} H(K) w Algoritmus 1 1 Polož G 0 = G, i := 0 2 Existuje v G i kružnice C i? - Ano: v C i najdi hranu h i s maximálním ohodnocením, polož G i+1 = (U(G i ), H(G i ) \ {h i }), i := i + 1 a opakuj 2 - Ne: G i je hledaná minimální kostra Algoritmus 2 1 Zvol u U(G) a polož G 0 = ({u}, ), i := 0 2 Je G i faktor grafu G? - Ne: mezi všemi hranami {x, y}, pro něž x U(G i ) a y / U(G i ) najdi tu, která má nejmenší ohodnocení, polož G i+1 = (U(G i ) {y}, H(G i ) {{x, y}}), i := i + 1 a opakuj 2 - Ano: G i je hledaná minimální kostra 12

13 Definice Nechť G je graf, u, v U(G) Vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d G (u, v)) rozumíme nejmenší délku cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistuje-li v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = Věta Nechť G je graf, x, y, z U(G) Pak platí: (i) d G (x, y) je celé číslo, (ii) d G (x, y) 0 a d G (x, y) = 0 x = y, (iii) d G (x, y) = d G (y, x), (iv) d G (x, y) + d G (y, z) d G (x, z), (v) je-li d G (x, z) > 1, pak existuje uzel y U(G) tak, že x y z a d G (x, y) + d G (y, z) = d G (x, z) Definice Nechť G je graf s ohodnocením w Pro každou cestu P G definujeme w-délku w(p ) cesty P předpisem w(p ) = h H(P ) w(h) Nechť u, v U(G) Pak w-vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d w G(u, v)) rozumíme nejmenší w-délku cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistujeli v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = Pro u, v U(G): cesta z u do v v G nejmenší délky: nejkratší cesta cesta z u do v v G nejmenší w-délky: minimální cesta 1

14 Funkce d w G má také vlastnosti metriky: Věta Nechť G je graf s ohodnocením w a nechť x, y, z U(G) Pak platí: (i) d w G(x, y) 0 a d w G(x, y) = 0 x = y, (ii) d w G(x, y) = d w G(y, x), (iii) d w G(x, y) + d w G(y, z) d w G(x, z), (iv) je-li d G (x, z) > 1, pak existuje uzel y U(G) tak, že x y z a d w G(x, y) + d w G(y, z) = d w G(x, z) Příklad Graf G železniční síť ČD ρ(x, y) cena jízdenky z x do y (obyčejné jízdné 2 třída) CENÍK OBYČEJNÉHO JÍZDNÉHO ČD Vzdálenost (km) Obyčejné jízdné 2 třída (Kč) , , , ,- Plzeň hl n Nezvěstice 16 km 28,- Kč Plzeň hl n Starý Plzenec 10 km 16,- Kč Starý Plzenec Nezvěstice 6 km 10,- Kč Funkce ρ(x, y) není metrika 2

15 Příklad: převozník, koza, vlk, zelí Převozník sám 1 hod Převozník se zelím 2 hod Převozník s kozou 3 hod Převozník s vlkem 4 hod Otázky: (i) Lze převoz uskutečnit? (ii) Jestliže ano, v jakém minimálním čase? (iii) Kolik má úloha minimálních řešení? PZ KV KZ PV, 1, 1 KV PZ Z PKV K,3 PKZ V u Z,2 PKVZ K,3 VZ PK, 1 V,4 PVZ K Z,2 K PVZ, 1 PK VZ K,3 PKVZ v V,4 Z,2 V,4 KZ PV V PKZ K,3 PKV Z, 1, 1 Odpovědi: PV KZ KV PZ (i) ANO (ii) 17 hodin (iii) 2 řešení 3

16 Nechť G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme d w i,j = d w G(i, j) Matice D w (G) = [d w i,j] n i,j=1 se nazývá matice w-vzdáleností (w-distanční matice) grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Distanční matice: D(G) = [d i,j ] n i,j=1, kde d i,j = d G (i, j) Definice Buď G graf, m = H(G) Řekneme, že G je eulerovský, jestliže v G existuje uzavřený tah délky m Věta Graf G je eulerovský právě když G je souvislý a všechny jeho uzly jsou sudého stupně EUL Vstup: graf G Úkol: je graf G eulerovský? Výstup: ANO / NE Důsledek Úloha EUL je řešitelná v polynomiálním čase 4

17 Definice Buď G graf, n = U(G) Řekneme, že G je hamiltonovský, jestliže v G existuje kružnice délky n Věta (Dirac) Nechť G je graf s n = U(G) 3 a Pak je G hamiltonovský δ(g) n 2 TSP (Problém obchodního cestujícího) Vstup: ohodnocený graf G Úkol: najít v G hamiltonovskou kružnici C s minimální hodnotou Výstup: kružnice C h H(C) w(h) A F 14 E G 7 H B 9 C D 5

18 Rozhodovací strom G H C D B C H E D C H C D B G B F E D H D E C D C G B H B C D A D F E H G F E D H D E C B C D G F F H E D E C G H E D H E F D B B G G B G C C B E G E D H E H C D C C F E E G F F F G G C G H B G D B D E E H C H C D F D G E G F H A A A A 6

19 Čas potřebný ke zpracování vstupních dat velikosti n, jestliže je nutno provést f(n) operací a provedení jedné operace trvá jednu mikrosekundu velikost vstupních dat n počet operací f(n) n 2 n 3 n 4 2 n n! 20 0,4 ms 8 ms 0,2 s 1 s let 40 1,6 ms 64 ms 2,6 s 12 dní 60 3,6 ms 0,2 s 13 s let 80 6,4 ms 0,5 s 41 s 3, let ms 1 s 100 s ms 8 s 27 min 500 0,25 s 125 s 17 hod s 17 min 12 dní 7

20 Předpokládáme, že jsme schopni daným algoritmem s časovou náročností f(n) zpracovat v daném časovém limitu vstupní data velikosti n = 100 a ptáme se, jak se zvětší velikost úloh, které jsme schopni zpracovat ve stejném časovém limitu, jestliže zvýšíme rychlost výpočtu 10, 100, 1000 zrychlení počet operací f(n) výpočtu n 2 n 3 n 4 2 n n!

21 Orientované grafy Orientovaný úplný graf: Kn = ( 1, n, 1, n 1, n ) Orientovaná cesta délky n 0: Pn = ( 0, n, {(i, i + 1) i 1, n 1 }}) Cyklus délky n 1: Cn = ( 1, n, {(i, i + 1) i 1, n 1 } {(n, 1)}) pro n 2; pro n = 1 dodefinujeme C 1 = ({1}, {(1, 1)}) Definice Nechť G je orientovaný graf, u U( G) Výstupní (polo)stupeň uzlu u v grafu G je číslo d G (u) = {(u, x) x U( G)} H( G) Vstupní (polo)stupeň uzlu u v grafu G je číslo d + G (u) = {(x, u) x U( G)} H( G) Věta Pro každý orientovaný graf G platí u U( G) d G (u) = u U( G) d + G (u) = H( G) 9

22 Definice 1 Buď G graf, u, v U( G), a nechť f : Pk G je homomorfismus takový, že f(0) = u a f(k) = v Pak se graf f( P k ) nazývá orientovaný sled délky k z uzlu u do uzlu v v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá orientovaný tah (délky k z u do v v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá orientovaná cesta (délky k z u do v v G) Definice 1 Nechť G je graf a f : C k G je homomorfismus Pak se graf f( C k ) nazývá uzavřený orientovaný sled délky k v grafu G 2 Je-li navíc f hranový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá uzavřený orientovaný tah (délky k v G) 3 Je-li navíc f uzlový monomorfismus, pak se f( P k ) nazývá cyklus (délky k v G) Definice Řekneme, že orientovaný graf G je (slabě) souvislý, jestliže jeho symetrizace je souvislý neorientovaný graf Definice Řekneme, že orientovaný graf G je silně souvislý, jestliže pro každou dvojici uzlů u, v U( G) existuje v G orientovaný sled z u do v Větička Graf G je silně souvislý právě když pro každé u, v U( G) existuje v G orientovaná cesta z u do v 10

23 Věta Souvislý orientovaný graf G s alespoň 2 uzly je silně souvislý právě když každá jeho hrana leží v alespoň jednom cyklu Definice Buď G G Řekneme, že graf G je kvazikomponenta (silná komponenta) grafu G, jestliže 1 G je silně souvislý graf, 2 je-li G G G a G je silně souvislý, pak G = G (Tedy: kvazikomponenty grafu G jsou jeho maximální silně souvislé podgrafy) Definice Buď G graf Řekneme, že G je acyklický, jestliže G neobsahuje jako podgraf žádný cyklus Věta Je-li G acyklický a G G, pak G je acyklický Definice Uzel u U( G ) se nazývá (i) vstupní uzel grafu G, jestliže d + G = 0, (ii) výstupní uzel grafu G, jestliže d G = 0 Větička Každý acyklický graf má vstupní a výstupní uzel 11

24 Věta Buď G orientovaný graf a n = U( G) Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) G je acyklický, (ii) každý neprázdný podgraf grafu G má výstupní uzel, (iii) každý neprázdný podgraf grafu G má vstupní uzel, (iv) existuje takové očíslování uzlů grafu G čísly 1,, n, že (i, j) H( G) i < j ACYC Vstup: graf G Úkol: je graf G acyklický? Výstup: ANO / NE Důsledek Úloha ACYC je řešitelná v polynomiálním čase Definice Buď G orientovaný graf, G1,, G k jeho kvazikomponenty Orientovaný graf G C s U( G C ) = { G 1,, G k } a H( G C ) = {( G i, G j ) i j a existují x U( G i ) a y U( G j ) tak, že (x, y) H( G)} se nazývá kondenzace grafu G Věta Buď G orientovaný graf Platí: (i) G C je acyklický graf, (ii) G je silně souvislý právě když G C je graf s jediným uzlem, (iii) G je acyklický graf právě když G = G C 12

25 Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (0, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf s ohodnocením w Pro každou cestu P G definujeme w-délku w( P ) cesty P předpisem w( P ) = w(h) h H( P ) Nechť u, v U( G) Pak (i) vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d G (u, v)) rozumíme nejmenší délku orientované cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G, (ii) w-vzdáleností uzlů u, v v grafu G (značíme d w G (u, v)) rozumíme nejmenší w-délku orientované cesty z uzlu u do uzlu v v grafu G Neexistuje-li v G cesta z u do v, klademe d G (u, v) = d w G (u, v) = 1

26 Nechť G je ohodnocený graf Uzly grafu G očíslujeme 1,, n, a pro 1 i, j n položíme w i,j = w((i, j)) jestliže (i, j) H( G), 0 jinak Matice W( G) = [w i,j ] n i,j=1 se nazývá vážená matice sousednosti grafu G Speciálně, neohodnocený graf považujeme za ohodnocený w i,j = 1 Matice sousednosti grafu G: A( G) = [a i,j ] n i,j=1, kde a i,j = 1 jestliže (i, j) H( G), 0 jinak Matice w-vzdáleností (w-distanční matice) grafu G: D w ( G) = [d w i,j] n i,j=1, kde d w i,j = d w G (i, j) Distanční matice grafu G: D( G) = [d i,j ] n i,j=1, kde d i,j = d G (i, j) 2

27 Výpočet distanční matice D( G): Věta Nechť G je orientovaný graf a k 0 Prvek a (k) i,j matice (A( G)) k je roven počtu sledů délky (přesně) k z uzlu i do uzlu j v G Důsledek Prvek d i,j matice D( G) je roven nejmenší mocnině k, pro kterou je prvek a (k) i,j matice (A( G)) k nenulový Výpočet w-distanční matice D w ( G): Nechť G je ohodnocený orientovaný graf Definujeme matici C( G) = [c i,j ] n i,j=1 předpisem: c i,j = 0 jestliže i = j, jestliže i j a (i, j) / H( G), w i,j jestliže i j a (i, j) H( G) (Matice C( G) se někdy nazývá cenová matice grafu G0 Definujeme nové operace: a b = min{a, b}, a b = a + b, a k-tou mocninu matice C( G) při těchto operacích označíme D (k) ( G) Věta Buď G je ohodnocený orientovaný graf a r nejmenší číslo pro něž D (r) ( G) = D (r+1) ( G) Pak D (r) ( G) = D w ( G) 3

28 Algoritmus 31 (Floydův algoritmus) 1 Položíme D 0 = C( G) 2 Pro k = 1,, n postupně vypočítáváme matice D k = [d k i,j] n i,j=1, kde d k ij = min{d k 1 ij, d k 1 ik + d k 1 kj } 3 D n = D w ( G) Poznámka: d k ij je minimální w-délka cesty z uzlu i do uzlu j množinou uzlů {1,, k} Věta 31 Algoritmus 31 nalezne w-distanční matici D w ( G) grafu G v čase O(n 3 ) 4

29 Dijkstrův algoritmus (minimální cesta z uzlu u do uzlu v) 1 Uzlu u přiřaď trvalou hodnotu th(u) = 0, ostatním uzlům dočasnou hodnotu dh(u) = 2 Je-li x poslední uzel, jemuž byla přiřazena trvalá hodnota th(x), pak všem uzlům y, pro něž (x, y) H( G) a které ještě nemají trvalou hodnotu, přiřaď novou dočasnou hodnotu dh(y) := min{dh(y), th(x) + w(x, y)} 3 Pro uzel z s nejmenší dočasnou hodnotou polož th(z) := dh(z) 4 Má uzel v trvalou hodnotu? NE: vrať se na 2, ANO: th(v) je w-délka minimální cesty z u do v Poznámka: hrany (x, y), na nichž w(x, y) = th(y) th(x), určují minimální cestu z u do v 5

30 Definice Buď G acyklický ohodnocený orientovaný graf a u, v U( G) Orientovaná cesta z u do v maximální w-délky se nazývá kritická cesta (z u do v v G) Příklad Činnost Doba Bezprostředně trvání podmiňující činnosti A 4 B 2 C 1 D 7 A E 6 A F 1 A,B,C G 2 A,B,C H 4 C I 2 E,F,G,H J 8 G,H Uzly stavy hrany činnosti A,4 0 E,6 D,7 B,2 F,1 I,2 C,1 0 G,2 0 J,8 H,4 6

31 Uzly: i t(i) T (i) i: očíslování uzlů podle věty o acyklických grafech (zároveň ověření acykličnosti) t(i): minimální časové ohodnocení minimální doba, za kterou lze dosáhnout stavu i T (i): maximální časové ohodnocení čas, kdy je nutno stav i opustit, aby nedošlo ke zpoždění projektu A,4 0 E,6 D, B,2 4 6 F,1 I, C,1 0 G,2 0 J, H, Kritická cesta: 1, 2, 4, 5, 7 Kritické činnosti: A, G, J 7

32 Algoritmus (kritická cesta z u do v v G) 1 Očísluj uzly grafu G podle věty o acyklických grafech 2 Konstrukce minimálního časového ohodnocení t(i): a) uzlu 1 (tj u) přiřaď t(1) = 0, b) pro i = 2,, n uzlu i přiřaď t(i) = max{t(j) + w((j, i)) (j, i) H( G)}, c) t(n) je w-délka kritické cesty 3 Konstrukce maximálního časového ohodnocení T (i): a) uzlu n (tj v) přiřaď T (n) = t(n), b) pro i = n 1,, 1 uzlu i přiřaď T (i) = min{t (j) w((i, j)) (i, j) H( G)} 4 Kritická cesta prochází těmi uzly i, pro něž T (i) = t(i), a hranami (i, j) pro něž w((i, j)) = t(j) t(i) 8

33 2 Toky v sítích Definice 21 Síť je orientovaný graf G s ohodnocením hran r : H( G) (0, ) a ohodnocením uzlů a : U( G) R Značení: uzly G očíslujeme 1,, n, pro i U( G) budeme a(i) krátce značit a i, pro (i, j) E( G) budeme r((i, j)) krátce značit r ij, i, j = 1,, n Definice 22 Buď G síť s ohodnocením uzlů a i a s ohodnocením hran r ij Tok v síti G je nezáporné hranové ohodnocení x : H( G) 0, ), splňující následující podmínky: 1 pro každý uzel i U( G) platí x ij j;(i,j) H( G) j;(j,i) H( G) x ji = a i, 2 pro každou hranu (i, j) H( G) platí 0 x ij r ij a i : intenzita uzlu i U( G) r ij : propustnost hrany (i, j) H( G) Uzel i U( G) se nazývá zdroj, je-li a i > 0, stok, je-li a i < 0, neutrální uzel, je-li a i = 0 9

34 Definice 24 Nechť G je síť, A U( G) je množina uzlů, a položme Ā = U( G) \ A Množina hran (A, Ā) = {(x, y) x A, y Ā} se nazývá řez sítě G Označení Je-li f : U( G) R funkce na U( G), označíme f(a) = f i, je-li g : H( G) R funkce na H( G), označíme g(a, Ā) = i A (i,j) (A,Ā) g ij Tvrzení 21 Nechť G je síť, x je tok v G a nechť A U( G) je množina uzlů G Pak platí a(a) = x(a, Ā) x(ā, A) Věta 21 V síti G existuje tok právě když a(u( G)) = 0 a pro každou množinu uzlů A U( G) je a(a) r(a, Ā) 10

35 Síť s jedním zdrojem a jedním stokem Síť G s jedním zdrojem z a jedním stokem s, nechť x je tok v G Zdroj z má intenzitu a 0 stok má intenzitu a Číslo a se nazývá velikost toku x a značí se x Definice 25 Tok x je maximální tok v G, jestliže pro každý tok x v G platí x x Definice 26 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, a nechť (A, Ā) je řez sítě G Číslo r(a, Ā) se nazývá propustnost řezu (A, Ā) Řekneme, že řez (A, Ā) je minimální řez sítě G, jestliže pro každý řez (A, Ā ) sítě G platí r(a, Ā) r(a, Ā ) Jsou-li u, v U( G) dva uzly G, pak řekneme, že řez (A, Ā) odděluje uzly u, v, jestliže u A a v Ā Tvrzení 22 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, nechť (A, Ā) je řez sítě G, oddělující z a s, a nechť x je tok v G Pak platí: (i) x = x(a, Ā) x(ā, A), (ii) x r(a, Ā) 1

36 Definice 27 Nechť u, w U( G) Polocesta z u do w je posloupnost u = v 0, h 1, v 1, h 2,, h k, v k = w, kde v i jsou navzájem různé uzly, h i jsou hrany a pro každé i = 1,, k platí buď h i = v i 1 v i (pak jde o souhlasnou hranu dané polocesty) nebo h i = v i v i 1 nesouhlasná hrana) Nechť x je tok v síti G Rezerva polocesty P je nezáporné číslo Θ(P ) = min{θ s (P ), Θ n (P )}, kde Θ s (P ) = min{r ij x ij (i, j) je souhlasná hrana P } a Θ n (P ) = min{x ij (i, j) je nesouhlasná hrana P} Polocesta P je rezervní, jestliže Θ(P ) > 0 Tvrzení 23 Nechť G je síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s, a nechť x je tok v G Existuje-li v G rezervní polocesta ze z do s vzhledem k x, pak tok x není maximální Věta 22 (Ford, Fulkerson) Buď G síť s jedním zdrojem z a jedním stokem s Velikost maximálního toku v G je rovna propustnosti minimálního řezu, oddělujícího z a s 2

37 Algoritmus 21 (Ford Fulkersonův algoritmus) 1 Jako výchozí tok x zvolme nulový tok: x ij := 0 pro každou hranu (i, j) H( G) 2 Jestliže v grafu G existuje nějaká rezervní polocesta P ze z do s, upravme podél ní tok x: x ij := x ij + Θ pokud (i, j) je souhlasná hrana polocesty P, x ij Θ pokud (i, j) je nesouhlasná hrana polocesty P, x ij pokud (i, j) neleží na P, a pokračujme bodem (2) 3 V případě, že rezervní polocesta ze z do s neexistuje, je tok x maximální Tvrzení 24 Jsou-li v síti G propustnosti všech hran celá čísla, pak Ford Fulkersonův algoritmus skončí po konečném počtu kroků 3

38 Edmonds Karpův algoritmus Myšlenka: zvolíme vždy nejkratší rezervní polocestu ze z do s Jedna z iterací kroku (2): máme nějaký tok x a hledáme nejkratší rezervní polocestu ze z do s (a) T je strom na jediném uzlu z, Seznam uzlů L obsahuje jedinou položku z, Zdroj je označený, Všechny ostatní uzly sítě G jsou neoznačené (b) Je-li L, pak nechť v je první uzel seznamu L Je-li v = s, algoritmus končí Jednoznačně určená polocesta spojující z a s ve stromu T je hledaná nejkratší polocesta Upravíme podél této polocesty tok x jako ve Ford Fulkersonově algoritmu Jinak označíme všechny neoznačené sousedy w uzlu v, pro něž (v, w) je nenasycená hrana nebo (w, v) je nenulová hrana, ve stromu T je připojíme hranami k v, a přidáme je na konec seznamu L Vyřadíme uzel v ze seznamu L a pokračujeme bodem (b) (c) je-li L =, pak rezervní polocesta ze z do s neexistuje a tok x je maximální 4

39 3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li ji do tohoto tvaru převést permutací řádků a stejnou permutací sloupců, Ekvivalentně: A je rozložitelná, jestliže existuje permutační matice P tak, že PAP T = A 11 A 12 0 A 22 1

40 Věta 32 Buď G ohodnocený orientovaný graf Platí: a) Je-li G silně souvislý, pak je matice W( G) nerozložitelná b) Jsou-li G 1,, G k kvazikomponenty grafu G, očíslované tak, že v kondenzaci G C jsou pouze hrany ( G k, G l ) pro k < l a očíslujeme-li uzly grafu G souhlasně s očíslováním kvazikomponent, tj tak, že je-li i G k a j G l pro k < l, pak i < j, pak matice W( G) má tvar W( G) = W 11 W 12 W 13 W 1k 0 W 22 W 23 W 2k 0 0 W 33 W 3k W kk, kde W ii = W( G) i, i = 1,, k, a tyto matice jsou již nerozložitelné Důsledek 31 Čtvercová matice A je nerozložitelná právě když její diagram G(A) je silně souvislý 2

41 Definice 33 Řekneme, že čtvercová matice A je slabě rozložitelná, jestliže existují permutační matice P a Q tak, že PAQ = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice Čtvercová matice, která není slabě rozložitelná, se nazývá úplně nerozložitelná, Definice 34 Bigraf je orientovaný graf G, jehož množinu uzlů lze rozložit na disjunktní neprázdné podmnožiny U 1, U 2 tak, že pro každou hranu (u, v) H( G) je u U 1 a v U 2 Definice 35 Buď A = [a ij ] čtvercová matice řádu n; označme U 1 množinu řádkových indexů a U 2 množinu sloupcových indexů matice A Bigraf matice A je orientovaný graf B(A) s množinou uzlů a množinou hran U = U 1 U 2 H = {(i, j) i U 1, j U 2, a ij 0} 3

42 Definice 36 Buď G bigraf s množinou uzlů U( G) = U 1 U 2 Množina V U 1, V U 1, se nazývá stabilní množina v G, jestliže pro množinu uzlů W = {j U 2 i V tak, že (i, j) H( G)} platí W V Věta 33 Čtvercová matice A je slabě rozložitelná právě když v jejím bigrafu B(A) existuje stabilní množina 4

43 Definice 37 Řekneme, že bigraf G je lineární, jestliže pro každý uzel u U 1 je d (u) = 1 a pro každý uzel v U 2 je d + (v) = 1 Definice 38 Je-li G bigraf a G1 G jeho lineární podbigraf, pak říkáme, že G 1 je párování v G Je-li G 1 G párování v G takové, že U( G 1 ) = U( G) (tj G 1 je faktorem bigrafu G), pak říkáme, že G 1 je perfektní párování v G Věta 34 1 Je-li A regulární matice, pak její bigraf B(A) má perfektní párování 2 Jestliže bigraf G má perfektní párování, pak existuje regulární matice A taková, že B(A) = G 5

44 Definice Strukturální matice řádu n 1 je čtvercová matice řádu n, u níž je dána pouze struktura nulových a nenulových prvků, ale nejsou určeny jejich konkrétní hodnoty (Poněkud přesněji: na strukturální matici lze pohlížet jako na funkci hodnot jejích nenulových prvků) Pro každou strukturální matici A nastává právě jedna z následujících možností: (i) polynom det(a) je nenulový, a při náhodné volbě nenulových prvků matice A je matice A regulární s pravděpodobností 1, (ii) polynom det(a) je nulový a matice A je singulární při každé volbě jejích nenulových prvků V prvním případě říkáme, že strukturální matice A je genericky regulární, ve druhém případě je A genericky singulární Věta 35 Nechť A je čtvercová strukturální matice Pak platí: A je genericky regulární B(A) má perfektní párování 6

45 Definice Nechť A je strukturální matice Největší přirozené číslo k, pro které v matici A existuje genericky regulární podmatice řádu k, se nazývá generická hodnost matice A a značí se gh(a) Definice Počet hran největšího párování v bigrafu B se nazývá párovací číslo bigrafu B a značí se ν( B) Věta 36 Nechť A je strukturální matice Pak gh(a) = ν( B(A)) 7

46 Největší párování v bigrafu je možno najít v polynomiálním čase převodem na úlohu maximálního toku: bigrafu B s U( B) = U 1 U 2 přiřadíme síť G tak, že k B přidáme nový uzel z (zdroj), nový uzel s (stok), hrany (z, u) pro všechny uzly u U 1, hrany (v, s) pro všechny uzly v U 2 Propustnosti všech hran jsou rovny jedné U 1 nové hrany nové hrany z bigraf B s U 2 Najdeme-li v G (celočíselný) maximální tok, pak hrany bigrafu B s nenulovým tokem určují největší párování v B 8

47 4 Míry souvislosti grafu Definice 41 Hrana {x, y} H(G) se nazývá most grafu G, jestliže v grafu G neexistuje žádná kružnice, která ji obsahuje Tvrzení 41 Je-li graf G souvislý a hrana {x, y} jeho most, pak graf G {x, y}, vzniklý odstraněním hrany {x, y} z G, je nesouvislý Věta 41 Má-li souvislý graf G most, pak má alespoň dva uzly lichého stupně Definice 42 Uzel x U(G) je artikulace grafu G, jestliže existují hrany {x, y 1 } a {x, y 2 }, které nepatří současně téže kružnici grafu G Definice 43 Buď G graf, G G jeho souvislý podgraf Řekneme, že G je blok grafu G, jestliže: a) G nemá artikulaci, b) jestliže G je souvislý graf bez artikulace takový, že G G G, pak G = G 1

48 Tvrzení 42 Buď G souvislý graf Pak G nemá artikulaci právě když pro každé dvě jeho hrany existuje kružnice, na níž obě leží Důsledek 41 Pro každé dvě hrany bloku, který není mostem, existuje kružnice, na níž obě leží Věta 42 Buďte G 1, G 2 dva bloky grafu G Pak buďto G 1 = G 2, nebo G 1 a G 2 nemají žádnou společnou hranu Definice 44 Buď G souvislý graf, B 1,, B r všechny jeho bloky a x 1,, x s všechny jeho artikulace Graf B(G), definovaný předpisem U(B(G)) = {x 1,, x s, B 1,, B r }, H(B(G)) = {{a, b} i, j tak, že a = x i, b = B j a x i U(B j )}, se nazývá blokový graf grafu G Věta 43 Pro každý souvislý graf G je blokový graf B(G) stromem 2

49 Definice 45 Buď G souvislý graf a x, y U(G) Množina B H(G) taková, že 1) každá cesta z uzlu x do uzlu y obsahuje alespoň jednu hranu množiny B, 2) žádná vlastní podmnožina množiny B nemá vlastnost 1), se nazývá hranový řez grafu G mezi uzly x a y Definice 46 Nejmenší počet prvků hranového řezu mezi uzly x a y se nazývá hranový stupeň souvislosti grafu G mezi uzly x a y a značí se h G (x, y) Definice 47 Buď G souvislý graf, x, y jeho uzly Množina A U(G) taková, že 1) každá cesta z x do y obsahuje alespoň jeden uzel z množiny A, 2) žádná vlastní podmnožina množiny A nemá vlastnost 1), se nazývá uzlový řez grafu G mezi uzly x a y Definice 48 Nejmenší počet prvků uzlového řezu, oddělujícího uzly x a y, se nazývá uzlový stupeň souvislosti grafu G mezi uzly x a y a značí se u G (x, y) Neexistuje-li uzlový řez mezi x a y, tj jsou-li uzly x a y sousední, klademe u G (x, y) = U(G) 1 3

50 Definice 49 (i) Nejmenší z čísel u G (x, y) nazveme uzlový stupeň souvislosti grafu G a budeme je značit u(g) (ii) Nejmenší z čísel h G (x, y) nazveme hranový stupeň souvislosti grafu G a budeme je značit h(g) Řekneme, že graf G je uzlově (resp hranově) k-souvislý, jestliže je u(g) k (resp h(g) k) Věta 44 Pro každý graf G platí u(g) h(g) δ(g) u(g) = 2, h(g) = 3, δ(g) = 4 u(g) = h(g) = δ(g) = 3 Věta 45 V každém grafu G platí h(g) 2 H(G) U(G) 4

51 Věta 46 (Ford, Fulkerson) Graf G je hranově k-souvislý mezi uzly a a b, a b, právě když v něm existuje k hranově disjunktních cest, vedoucích z a do b Věta 47 (Menger) Graf G je uzlově k-souvislý mezi nesousedními uzly a a b, právě když v něm existuje k uzlově disjunktních cest, vedoucích z a do b Konstrukce sítě G: U( G) = {(x, i) x U(G), i = 1, 2}, H( G) = {((x, 1), (x, 2)) x U(G)} {((x, 2), (y, 1)) {x, y} H(G)} Propustnosti hran: u hran typu ((x, 1) (x, 2)) položíme propustnost rovnu jedné, u hran druhého typu (tj ((x, 2), (y, 1)) ) bude propustnost nekonečná Zdrojem je uzel (a, 2), stokem je uzel (b, 1) G x G (x, 1) 1 (x, 2) a b (a, 1) 1 (a, 2) (b, 1) 1 (b, 2) y (y, 1) 1 (y, 2) 5

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g). 7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené

Více

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování.

Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. 9.5 Třída NP Definice 9.4. Nedeterministický algoritmus se v některých krocích může libovolně rozhodnout pro některé z několika možných různých pokračování. Příklad. Uvažujme problém IND a následující

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A =

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = 3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li

Více

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Pracovní texty přednášek Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti Kapitoly 1 5 rozšiřují a prohlubují předchozí

Více

1 Homomorfismus a isomorfismus grafů, souvislost, stromy, kostry, minimální kostra 2. 2 Metrika grafu, minimální cesta, distanční matice grafu 4

1 Homomorfismus a isomorfismus grafů, souvislost, stromy, kostry, minimální kostra 2. 2 Metrika grafu, minimální cesta, distanční matice grafu 4 Obsah 1 Homomorfismus a isomorfismus grafů, souvislost, stromy, kostry, minimální kostra 2 2 Metrika grafu, minimální cesta, distanční matice grafu 4 3 Silná souvislost, kvazikomponenty, kondenzace, acyklické

Více

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a KMA/TGD1 Teorie grafů, diskrétní optimalizace a výpočetní složitost 1 Pracovní texty přednášek http://wwwkmazcucz/tgd1 Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá

Více

TGH12 - Problém za milion dolarů

TGH12 - Problém za milion dolarů TGH12 - Problém za milion dolarů Jan Březina Technical University of Liberec 7. května 2013 Složitost problému Co je to problém? Složitost problému Co je to problém? K daným vstupním datům (velkému binárnímu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů študenti MFF 15. augusta 2008 1 17 Teorie grafů Požiadavky Základní pojmy teorie grafů, reprezentace grafu. Stromy a jejich základní vlastnosti,

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Složitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Složitost. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Složitost Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika 2 Opakování z minulé přednášky Co říká Churchova teze? Jak lze kódovat Turingův stroj? Co je to Univerzální

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus 1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

TGH09 - Barvení grafů

TGH09 - Barvení grafů TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014 Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová

Více

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY

ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Název tématického celku: Cíl: ALGORITMY A DATOVÉ STRUKTURY Metodický list č. 1 Časová složitost algoritmů Základním cílem tohoto tematického celku je vysvětlení potřebných pojmů a definic nutných k popisu

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde

Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 2

Teorie grafů a diskrétní optimalizace 2 KMA/TGD Teorie grafů a diskrétní optimalizace Pracovní texty přednášek http://wwwkmazcucz/tgd V předmětu KMA/TGD se využívá základní přehled hlavních pojmů a poznatků z teorie grafů, a (zejména) znalost

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Od Turingových strojů k P=NP

Od Turingových strojů k P=NP Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

STROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy

STROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou

Více