9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsledky, jevy
|
|
- Adéla Pokorná
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsedky, jevy Předpokady: 9110, 9114 Hodím kámen za normáních okoností jediný výsedek = spadne na zem Hodíme kámen na terč někoik možných výsedků (trefíme desítku, devítku,, střea půjde zcea vede) = náhodný pokus i když se snažíme vždy o stejné provedení (a stejný výsedek- trefení desítky) získáváme různé výsedky, které závisí na náhodě Př. 1: Jmenuj některé daší náhodné pokusy a naopak pokusy, které nemůžeme označit za náhodné. Nejběžnější náhodné pokusy: hod hrací kostkou hod mincí sejmutí karty z baíčku osování sportky měření rychosti moeku vzduchu testování účinnosti nového éku zkoumání výnosů nové podiny pokus o uměé opodnění (vastně i opodnění přirozenou cestou) Pokusy, které nemůžeme považovat za náhodné: zfiaovění fenoftaeinu v zásaditém prostředí zapáení sirky vhozené do ohně zničení auta, které narazí v pné rychosti do stěny pokud začneme i jevy, které se nezdají být náhodné pozorovat podrobněji, zjistíme náhodné maičkost (jak fenoftaein obarvuje zkumavku, kde sirka chytne, jakým směrem odétne kus krytu předního světa ) v minuosti bya náhodnost pokusů brána jako důsedek nedostatečné znaosti počátečních podmínek (kdybychom věděi přesně, jak jsme kostku hodii a jak vypadá podožka, měi bychom být schopni spočítat, jaké číso padne), dnes víme, že ani teoreticky není možné některé pokusy (havně v mikrosvětě) předpovědět jinak než jako náhodné pokusy s pravděpodobnostmi různých výsedků Co potřebujeme na prozkoumání náhodného pokusu: musíme znát všechny možné výsedky, kterými pokus může dopadnout a které spňují dvě podmínky: navzájem se vyučují (nemohou nastat dva naráz) jeden z nich nastane vždy množina všech možných výsedků pokusu (značíme Ω ), jednotivé výsedky (prvky množiny všech možných výsedků) značíme ω Pode náhodného pokusu, který zkoumáme může být Ω konečná (naše případy) i nekonečná. Př. 2: Urči množinu všech možných výsedků při násedujících náhodných pokusech: a) hod kasickou hrací kostkou 1
2 b) hod mincí c) sejmutí karty na začátku hry (vyšší vyhrává, mariášové karty) a) hod kasickou hrací kostkou na kostce může padnout šest různých hodnot Ω = { 1;2;3;4;5;6 } b) hod mincí mince má dvě strany (rub a íc) Ω = { r; } c) sejmutí karty na začátku hry (vyšší vyhrává) Ω = 7;8;9;10, spodek; svršek; krá; eso v baíčku je osm hodnot karet V některých případech má množina toik prvků, že se spojíme s tím, že určíme jejich počet a nepokoušíme se je všechny vypsat. Př. 3: Do třídy 4B2009 chodí 31 studentů. Urči koika způsoby může dopadnout osování: a) šesti studentů, kteří budou postupně maturovat v první maturitní den b) tří studentů, kteří zajistí vázy na květiny pro maturitní komisi a) šesti studentů, kteří budou postupně maturovat v první maturitní den šest studentů vybírám, maturovat budou postupně záeží na tom, kterého vybereme jako prvního a kterého jako druhého, vybíráme ze 31, bez opakování a záeží na pořadí 31! = = V6 ( 31) možností, prvků Ω 25! b) tří studentů, kteří zajistí vázy na květiny pro maturitní komisi tři studenti musí zajistit vázy, nezáeží na tom, kterého vybereme jako prvního vybíráme ze 31 bez opakování, nezáeží na pořadí sestavujeme tříčenné kombinace bez opakování 31 31! K3 ( 31) = = možností, prvků Ω 3 28! 3! Tak už je jasné, že budeme kombinatoriku docea často potřebovat. Pedagogická poznámka: Z pedagogického hediska není sovní zadání předchozího příkadu nejvhodnější. Jakmie se objevio sovo maturita, propada třída panice a začay se ozývat vzdechy: Radši o tom ani nemuv! V některých případech můžeme množinu všech možných výsedků sestavovat více způsoby: Př. 4: Sestav množinu všech možných výsedků náhodného pokusu hod třemi stejnými mincemi. první přístup: mince jsou stejné a nerozišujeme je Ω má čtyři prvky: Ω = 3 r ; 2 r,1 ; 1 r;2 ; 3 {( ) ( ) ( ) ( )} druhý přístup: všímáme si, na které z mincí, co pado rozišujeme mince mezi sebou Ω = r, r, r ; r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,, Ω má osm prvků: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
3 Ačkoiv se zdá, že první přístup je bižší skutečnosti (pokud mince hodíme najednou budeme je těžko rozišovat) a je jednodušší (množina Ω má méně prvků), v počtu pravděpodobnosti je daeko výhodnější druhý postup, protože všechny možnosti jsou v něm rovnocenné ( stejně pravděpodobné ) a v takovém případě jsou všechny úvahy snazší (je zřejmé, že 2 r,1 ; 1 r;2 pravděpodobnější než možnosti zbývající v prvním přístupu jsou možnosti ( ) ( ) protože mohou nastat třemi způsoby. Zásada: Pokud to bude jen trochu možné, budeme množinu všech možných výsedků sestavovat tak, aby všechny výsedky v této množině byy rovnocenné. Vrátíme se k našemu pokusu se třemi mincemi. Množina všech možných výsedků má osm Ω = r, r, r ; r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,,. Zjišťovat zda prvků: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nastaa pouze možnost ( r,, ) není příiš zajímavé. Zajímá nás napříkad zda na všech mincích pado to samé takový výsedek nemáme, ae máme dva výsedky, které tuto podmínku spňují, pokud je dáme dohromady vytvoří podmnožinu množiny Ω, které říkáme jev. Jezy většinou značíme vekými písmeny: A = r, r, r ;,, - jev A, že všech mincích pado to samé {( ) ( )} Př. 5: Urči výpisem násedující jevy, které mohou nastat při hodu třemi mincemi: b) jev B, při hodu pad na aespoň jedné minci rub a aespoň na jedné íc c) jev C, při hodu pad aespoň dvakrát íc d) jev D, při hodu pad jenom íc b) jev B, při hodu pad na aespoň jedné kostce rub a aespoň na jedné íc B = r, r, ; r,, r ;, r, r ; r,, ;, r, ;,, r {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} c) jev C, při hodu pad aespoň dvakrát íc C = r,, ;, r, ;,, r ;,, {( ) ( ) ( ) ( )} d) jev D, při hodu pad jenom íc D =,, {( )} Ceá obast jevů má svoji terminoogii: E = = nemožný jev (napříkad: padnou čtyři íce, jev je jednom jeden, ae popsat ho můžeme mnoha způsoby) F = Ω = jistý jev (napříkad: padne kombinace íců a rubů ),, r B (obecně ω B ), výsedek ω je příznivý jevu B ( ) D C = jev D je podjevem jevu C jev A B je průnikem jevů A a B a nastává pokud nastávají najednou jevy A a B jev A B je sjednocením jevů A a B a nastává pokud nastává aespoň jeden z jevů A a B Je-i A B = = jevy A a B se navzájem vyučují A = jev opačný k jevu A (nastává právě tehdy, když jev A nenastává) 3
4 Pedagogická poznámka: Stihnout oba zbývající příkady je obtížné, ae mysím, že to není veký probém. Př. 6: Pro předchozí příkad hodu třemi mincemi najdi: a) jev, který je podjevem jevu C b) jev, který se vyučuje s jevem B c) jev opačný k jevu B d) jev, který je průnikem jevů B a C e) jev, který je sjednocením jevů A a C a) jev, který je podjevem jevu C podjevem jevu C je napříkad jev D (pady jenom íce), E = r,, ;, r, ;,, r - pady dva íce a jeden rub jiný daší podjev ( ) ( ) ( ) b) jev, který se vyučuje s jevem B A r, r, r ;,, s jevem B se vyučuje jev = ( ) ( ), nebo jev D = (,, ) c) jev opačný k jevu B opačným jevem k jevu B je jev A ( r, r, r) ;(,, ) výsedek ( r, r, r ) d) jev, který je průnikem jevů B a C patí: B C = E = (jev D opačný není, protože neobsahuje e) jev, který je sjednocením jevů A a C F = r, r, r ; r,, ;, r, ;,, r ;,, - nepad právě sjednocením jevů A a C je jev ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jeden íc Př. 7: Osudí obsahuje čtyři barevné koue: bíou, fiaovou, zeenou, a modrou. Při pokusu náhodně najednou vytáhneme z osudí dvě koue. a) sestav množinu Ω (množinu všech možných výsedků pokusu) b) Najdi výsedky příznivé jevu M (tažena modrá koue) a B (tažena bíá koue) c) Urči jevy M B a M B. U všech jevů urči počet příznivých výsedků. a) sestav množinu Ω (množinu všech možných výsedků pokusu) všechny možné dvojice ze čtyř možností, nezáeží na uspořádání Ω = b, f ; b, z ; b, m ; f, z ; f, m ; z, m (všechny výsedky jsou rovnocenné), 6 prvků {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} b) Najdi výsedky příznivé jevu M (tažena modrá koue) a B (tažena bíá koue) M = b, m ; f, m ; z, m - 3 prvky {( ) ( ) ( )} (, );(, );(, ) B = b f b z b m - 3 prvky c) Urči jevy M B a M B. M B = b, f ; b, z ; b, m ; f, m ; z, m - 5 prvků {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} (, ) M B = b m 4
5 Shrnutí: Množinu všech možných výsedků se snažíme sestavit tak, aby všechny její prvky byy rovnocenné. 5
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Více{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.
9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Více1.9.1 Vyjádření neznámé ze vzorce I
.9. Vyjádření neznámé ze vzorce I Předpokady: 75, 85 Pedagogická poznámka: Ačkoiv v normání učebnici zabírá vyjadřování ze vzorce jenom tři stránky, věnova jsem ji ceou podkapitou, z někoika důvodů: Autor
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
Více1.9.1 Vyjádření neznámé ze vzorce I
.9. Vyjádření neznámé ze vzorce I Předpokady: 75, 85 Pedagogická poznámka: Ačkoiv v normání učebnici zabírá vyjadřování ze vzorce jenom tři stránky, věnova jsem ji ceou podkapitou, z někoika důvodů: Autor
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Více4.5.9 Pravděpodobnost II
.5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
Více( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceTeorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Více5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?
0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu
Více( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109
9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VícePravděpodobnost kolem nás
Brno, 17. 6. 2011 Pravděpodobnost kolem nás - jak spravedlivě losovat? - je možnost volby vždy výhodou? - který šifrovací zámek chrání nejlépe? - je známka z testu věrohodná? - proč prosperuje casino?
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Popis Pravděpodobnostní funkce E(X) D(X) Binomická - Bi(n, ) počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech P(X = k) = ( n k ) k (1 ) k n n(1 ) Hypergeometrická
Více9.1.8 Kombinace I. Předpoklady: 9107
9.1.8 Kombinace I Předpoklady: 9107 Př. 1: Urči, kolika způsoby je možné ze třídy s 1 studenty vybrat dva zástupce do studentské rady (bez rozlišení funkce). Vybíráme dvojici z 1 studentů: 1. student 1
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor014 Vypracoval(a),
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VícePříklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_17 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Více(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10
2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice
Více9.1.6 Permutace I. Předpoklady: 9101, 9102, 9104
9.1.6 Permutace I Předpoklady: 9101, 9102, 9104 Pedagogická poznámka: První tři příklady jsou opakování, je možné je přeskočit, nebo použít na zkoušení. Př. 1: Vyřeš slovní úlohy. a) Na plese se losuje
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání
Více2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.
.. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceDělitelnost šesti
1.3.11 Dělitelnost šesti Předpoklady: 010310 Př. 1: Zopakuj si všechny znaky dělitelnosti a roztřiď je do skupin podle podobnosti. Probrali jsme tři druhy pravidel pro dělitelnost: podle poslední číslice:
Více( ) ( 1) Permutace II. Předpoklady: c) ( n ) Př. 1: Rozepiš faktoriály. a) 6! b)! ( n + ) a) 6! = = 720
9..7 Permutace II Předpoklady: 906 Př. : Rozepiš faktoriály. a) 6! b)! n c) ( n + )! d) ( n ) a) 6! = 6 5 4 3 = 70 b) n n ( n )( n ) c) ( n + )! = ( n + ) n ( n )( n )... d) ( n ) ( n )( n )! =...! = 3...
Více4. cvičení 4ST201 - řešení
cvičící 4. cvičení 4ST201 - řešení Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý
VíceSada 1 Matematika. 16. Úvod do pravděpodobnosti
S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 16. Úvod do pravděpodobnosti Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 -
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
Více22. Pravděpodobnost a statistika
22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor001 Vypracoval(a),
Více