8.3.6 Nekonečná geometrická řada

Transkript

1 8..6 Nekoečá geometrická řd Předpokldy: 80, 805 Máme lit ppíru. Roztřiheme ho dvě poloviy, jedu dáme hromádku druhou opět roztřiheme poloviy (tedy čtvrtiy původího litu). Jedu z těchto polovi opět položíme hromádku zbývjící opět tříheme půl. A tk budeme potupovt pořád dál. Jk velký ku ppíru bude hromádce po ekoečě moho roztřižeích? N hromádce je všeche ppír z původího litu, kromě kouku, který držíme v ruce. Velikot kouku v ruce (tedy toho, co ám chybí k tomu, by tole byl celý ppír) e velmi rychle zmešuje (blíží e k ule), le pořád ám v ruce ěco zbývá (tky ám zbývá ještě ekoečěkrát roztřihout zbyteček ppíru v ruce) tv po ekoečě moho roztřižeích e emůžeme dívt jko ěco dožitelého reálým tříháím, jde o tv, ke kterému ituce reálým tříháím pouze měřuje protože kouek ppíru v ruce měřuje k ule, měřuje velikot hromádky k původí velikoti litu po ekoečě moho roztřižeích bude tole opět celý ppír. Zjímvé oučtem ekoečě moho ppírků jme ezíkli ekoečě velkou ppírovou plochu, le pouze plochu o velikoti oučet ekoečě moho číel emuí být ekoečý má myl ho zkoumt Dodtek: Pokud e zeptáte třiháí ppírků, větši tudetů bude ihed ouhlit tím, že oučet bude koečý (problém je píš převědčit tudety, že ebude ic chybět). Pokud e zeptáte ještě před tím, bude počet těch, kteří u ekoečého oučtu předpokládjí ekoečý výledek. Jik fkt, že i oučet ekoečě moh číel může být koečý, je vyvětleím ěkterých porií, příkld Achille želvy. Vrátíme e ke tříháí ppírků. Př. : Njdi poloupoti, které udávjí: ) velikot ppírku, který vzikl -tým třihem b) oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu. Řešeí zpiuj do tbulky: velikot ppírku, který vzikl -tým třihem prví třih velikot ppírku, který vzikl -tým třihem oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu

2 prví třih druhý třih + + třetí třih tý třih Ploch všech třihých ppírků e rová oučtu prvích čleů geometrické poloupoti q použijeme vzorec: q Zjímá á, co udělá oučet, když e blíží k ekoeču počítáme itu: 0 Výledek odpovídá šemu odhdu. Termiologie: zčátku jme měli poloupot: ; ;...; ;... ( ) ymbol zýváme ekoečá řd (ze čleů poloupoti ( ) ) pokud je poloupot ( ) geometrická kvocietem q zýváme ymbol ekoečá geometrická řd kvocietem q (áš předchozí obecě ejčtější přípd) ; ( ) poloupot ; + ; ;... vzikly čítáím prvích čleů poloupoti ( ) čátečých oučtů zýváme poloupot jejíž čley když jme hledli oučet ekoečé řdy, zjišťovli jme zd je poloupot ( ) čátečých oučtů kovergetí (má itu). Když je poloupot ( ) kovergetí pltí, říkáme že ekoečá řd má oučet pltí:

3 Když je poloupot ( ) emá oučet. Př. : Je dá poloupoti [ ] ( ) divergetí (emá itu), říkáme že ekoečá řd. Vypiš prvích om čleů poloupoti. Setv poloupot čátečých oučtů odpovídjící ekoečé řdy rozhodi zd má tto řd oučet. prvích om čleů: ;; ;; ;; ;;... čátečé oučty: poloupot čátečých oučtů vypdá tkto: ;0; ;0; ;0;... poloupot eutále ociluje mezi dvěm hodotmi (- 0) eí kovergetí ekoečá řd emá oučet. Výledek předchozího příkldu zmeá, že emůžeme pát z výrz zméko rovoti ějkým výledkem. Správých výledků by totiž bylo ekoečě moho (kvůli podivoti ekoeč). Ve všech áledujících výpočtech rozdělíme řdu dvojice tejé brvy ulovým oučtem zbytek, ze kterého zíkáme výledek : Při troše hy zíkáme jko výledek libovolé celé čílo závěr, že vůbec emá myl hledt oučet řdy je velice rozumý. Př. : Njdi chybu v áledující úvze: Nkrelíme i čtverec o délce try. D C D C D C D C A B A B A B A Potupě krelíme lomeé čáry L, L, L, L, (viz obrázek). Lomeé čáry e potupě blíží úhlopříčce čtverce. Velikot lomeých čr e rová délk úhlopříčky čtverce o trě je rov. B Tvrzeí v textu je zjevě eprávé, protože délk úhlopříčky je.

4 Důvod je zřejmý. Pokud bychom e délku úhlopříčky chtěli dívt jko oučet ekoečé řdy ložeé z ekoečého čleu poloupoti L, muel by délk úhlopříčky být itou délek lomeých čr. Tk tomu, le eí eboť rozdíl mezi délkou úhlopříčky délkmi lomeých čr e ezmešuje. Př. : Je dá geometrická poloupot ( ) hodoty kvocietu q bude mít ekoečá geometrická řd oučet vypočti ho. kvocietem q. Rozhodi, pro jké Pokud má mít ekoečá geometrická řd oučet, muí mít poloupot čátečých oučtů ( ) blížit čley původí poloupoti ( ) ( ) itu, tedy e její čley muí této hodotě potupě, které způobují rozdíly mezi čley poloupoti, e muí blížit ule (kdyby e eblížily ule, emohli bychom ečteím ekoečě moh čleů zíkt koečé čílo) muí pltit q <. Hledáme oučet: hledáme itu poloupoti ( ) je oučet prvích čleů geometrické poloupoti ( ) Součet řdy je itou poloupoti q pltí: q q. q 0 q q q q q Nekoečá geometrická řd , ve které 0 kovergetí, právě když pro její kvociet q pltí q <. Pro oučet kovergetí geometrické řdy pltí q Náledující příkld je oprvdu bouový pouze pro ty, kteří by e určováím oučtu ekoečých geometrických řd udili., je Př. 5: (BONUS) Je dá poloupot. Rozhodi, zd exituje oučet ( + ) ekoečé řdy , pokud exituje urči ho. Prvích ěkolik čleů poloupoti Hledáme čátečé oučty: ( + ) : ; ; ; ; ;

5 zdá e, že pltí:. Muíme i to ověřit, příkld mtemtickou idukcí: +. ověříme pro vyšlo +. předpokládáme pltot pro k, dokzujeme pltot pro k + k předpokld: k k + k + dokzujeme pltot pro k + (chceme zíkt vzorec k + ) : k + k k ( k + ) + k + k + k + k + k + + k + k + k + k + k + k + k + ( k ) ( )( ) + k + k + k + k + ( )( ) ( )( ) ( )( ) vzorec pltí tčí počítt Zkoumá řd má oučet je rove. Př. 6: Urči oučet ekoečých řd: ) b) c) d) ) pltí: 0 0 0, q řd koverguje q < 0 0 Dodíme do vzorce: 0 0 q

6 8 6 b) pltí:, q řd koverguje q < 9 Dodíme do vzorce: q c) pltí:, q oučet eexituje q d) pltí:, q řd koverguje q < Dodíme do vzorce: q 5 5 Př. 7: Petáková: tr 7/cvičeí 70 b) c) d) tr 7/cvičeí 7 b) d) tr 7/cvičeí 7 b) c) e) i) Shrutí: Součet ekoečě moh číel emuí být ekoečé čílo. Součet tkových geometrických řd určíme dozeím do vzorce. q 6